asintotas funciones no continuas

UNIDAD IFUNCIONES Y TRANSFORMACIONES

A.PR.11.2.4J. Pomales septiembre 2013Naguabo PR Curso: Funciones y Modelos

ASÍNTOTAS DE FUNCIONES NO

CONTINUAS

Objetivos

• Utilizar el GeoGebra para dibujar funciones continua y no continuas.

• Determinar las asíntotas de funciones no continuas.

Diferencia entre función continua y no continua

• Función continua– su gráfica puede dibujarse con un solo

trazo– no presenta puntos de discontinuidad.

• Función no continua (discontinua)– tiene puntos en los cuales una pequeña

variación de la variable independiente produce un salto en los valores de la variable dependiente.

Utiliza el GeoGebra para dibujar las siguientes funciones:

1) f(x) = x4 + 2x2 – 3

2) f(x) = x5 + 2x

3) f(x) = x

x 1

Determina si su gráfica es continua o no es continua.

Dibuja las gráficas de las siguientes funciones y determina cuáles no son continuas:

f(x) = x4 + 2x2 – 3

Es continua

¿Es par o impar?

En “Entrada” o “Input”

escribes así

f(x) = x^4 + 2x^2 – 3

presiona “Enter”

Es parsu eje de simetría es el eje y

Dibuja las gráficas de las siguientes funciones y determina cuáles no son continuas:

f(x) = x5 + 2x

Es continua

¿Es par o impar?

En “Entrada” o “Input”

escribes así

f(x) = x^5 + 2x

presiona “Enter”

Es imparsu eje de simetría es (0,0)

Dibuja las gráficas de las siguientes funciones y determina cuáles no son continuas:

f(x) =

Esno continua

¿Es par o impar?

x

x 1

En “Entrada” o “Input”

escribes así

f(x) = (x + 1) / x

presiona “Enter”

Ninguna

ASÍNTOTAS

¿Qué es una asíntota?

• Es una línea que se aproxima a una curva pero que nunca la alcanza o toca.

• Son rectas a las cuales una gráfica se acerca más y más sin tocarlas.

• Son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.

• Como las asíntotas no son parte de la gráfica se dibujan como rectas punteadas.

¿Por qué estudiar las asíntotas de una función?

• Las asíntotas nos sirven de referencia al momento de dibujar su gráfica.

• Nos darían una idea del comportamiento de una función.

• Hoy trabajaremos con funciones no continuas.

Tipos de Asíntotas

• Las asíntotas se clasifican en:–Verticales:

• Eje de y o Paralelas al eje y

–Horizontales:• Eje de x o Paralelas al eje x

–Oblicuas:• Inclinadas

ASÍNTOTASEJEMPLOS DE

Gráfica de 2)2(1)(

x

xf

ASÍNTOTA VERTICAL

x = 2

ASÍNTOTA HORIZONTAL

y = 0

Recuerda:Si la gráfica tiene

asíntota horizontal no tendrá asíntota oblicua

31)(

xxxf

ASÍNTOTA VERTICAL

x = -3

ASÍNTOTA HORIZONTAL

y = 1

Recuerda:Si la gráfica tiene

asíntota horizontal no tendrá asíntota oblicua

Gráfica de

32 2

)( xxxf

ASÍNTOTA VERTICAL

x = -3

ASÍNTOTA OBLICUA

y = 2x – 6

Gráfica de

ASÍNTOTAS?¿CÓMO CALCULAR

¿Cómo calcular asíntotas?

• Sea una función racional

donde p(x) y q(x) son polinomios y q(x) 0, n es el grado del polinomio en el numerador p(x) ym es el grado del polinomio en el denominador q(x), entonces:

)()()(xqxpxf

Asíntota Horizontal

• Si n < m ,

entonces y = 0 es la ecuación de la asíntota horizontal, es decir , el eje de x.

• Si n = m ,

entonces

es la ecuación de la asíntota horizontal.• Si n > m ,entonces no hay asíntota horizontal

y procedemos a verificar si existe una asíntota oblicua.

)(

)(

xqdeprincipalecoeficient

xpdeprincipalecoeficientaa

m

ny

Ejemplo:Calcula la asíntota horizontal

12)( xxf

(1) Recomendación: Identifica n y m

n (grado del polinomio en el numerador) m (grado del polinomio en el denominador)

(2) En este caso: el grado del numerador es 0, la n = 0 el grado del denominador es 1, la m = 1

(3) Como n < m , y = 0 por lo que podemos concluir que la asíntota horizontal es el eje x.

Asíntota Vertical

• Simplifica la función

• Igualar el denominador a cero y resolver.

• El resultado obtenido es la asíntota vertical.

• Una función no continua puede tener más de una asíntota vertical o ninguna.

Cuidado

• Nunca debemos tener esta

situación:

• Por tal razón siempre deben

evaluar el numerador con los valores obtenidos al calcular la Asíntota Vertical.

• Si el numerador es cero deben descartar ese valor como Asíntota Vertical.

0

0

Ejemplo:Calcula la asíntota vertical

12)( xxf

(1) Recomendación: Debes simplificar al máximo la función. Luego, igualar el polinomio del denominador a cero y despejar la variable. Eso será la asíntota vertical.

En este caso ya está en su forma más simple así que procederemos a resolver:

(2) Podemos concluir que la asíntota vertical es x = 1.

1

01

x

x

Asíntota Oblicua

• Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador (n > m) procedemos a dividirlo

)()()()( xRxQxqxp

cociente dela división(resultado)

residuo dela división(sobrante)

Asíntota Oblicua

• Si R(x) = 0, no tiene asíntota oblicua

• Si R(x) ≠ 0, la asíntota oblicua es dada por la ecuación Q(x) = ax + b que corresponde al cociente (resultado) de la división.

• Recuerda que si una función tiene asíntota horizontal, no podrá tener asíntota oblicua y viceversa.

Ejemplo:Calcula la asíntota oblicua

(1) Como n > m , no tiene asíntota horizontal verificamos si existe asíntota oblicua. Esto es, dividir el numerador entre el denominador:

(2) Como R(x) ≠ 0 , la asíntota oblicua será Q(x). La asíntota oblicua es y = 2x – 6

32 2

)( xxxf

Q(x)

R(x)

62

18

186)(

6

62)(

0232

2

x

x

x

xx

xxx

Si deseas practicar más puedes ir a la siguiente página:

http://www.ematematicas.net/asintotas.php?a

Es una página interactiva que te dice si has contestado correctamente

PRÁCTICA

¿Dudas o preguntas?