การแทรกสอดและการเลี้ยวเบน (interference and...
Post on 06-Feb-2021
10 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
1 การแทรกสอด (Interference)
Yingyot Infahsaeng | THAMMASAT UNIVERSITY
การแทรกสอดและการเลี้ยวเบน (Interference and Diffraction)
การแทรกสอดและการเลี้ยวเบนเป็นปรากฏการณ์หนึ่งทางแสง ที่ยืนยันได้ว่าแสงมีคุณสมบัติเป็นคลื่น เนื่องจาก
ปรากฏการณ์ทั้งสองเป็นสิ่งที่เกิดขึ้นและสังเกตได้จากคลื่นกลชนิดต่างๆ เช่น คลื่นน้้า คลื่นในเส้นเชือก เป็นต้น และพฤติกรรม
แสงบางอย่าง เราไม่สามารถอธิบายอย่างง่ายให้เข้าใจโดยการใช้พื้นฐานของเส้นรังสีหรือทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตได้ เราจึง
ต้องศึกษาผลเชิงแสงที่ขึ้นอยู่กับธรรมชาติความเป็นคลื่นของแสง โดยเรามักเรียกการวิเคราะห์แสงด้วยคุณสมบัติความเป็น
คลื่นนี้ว่า ทัศนศาสตร์เชิงฟิสิกส์ (Optical Physics) หรือทัศนศาสตร์ของคลื่น (Wave Optics) ปรากฏการณ์เกี่ยวกับการ
แทรกสอดนั้น เราสามารถพบเห็นได้ในชีวิตประจ้าวันทั่วไปเช่น การเกิดสีรุ้งขึ้นบนผิวของฟองสบู่หรือฟิล์มน้้ามัน การเกิดสีรุ้ง
จากแสงสะท้อนแผ่น CD หรือ DVD การท้าไปหลักการแทรกสอดไปใช้ที่น่าตื่นตาอย่างหนึ่งคือการน้าไปใช้ในเทคนิคการแทรก
สอดแบบไมเคิลสัน (Michelson Interferometry) ซึ่งล่าสุดสามารถน้าไปตรวจวัดคลื่นความโน้มถ่วง (Gravitational waves)
อันโด่งดังได้ ในขณะที่การเลี้ยวเบนจะเป็นปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นเมื่อมีแหลง่ก้าเนิดคลืน่หลายแหลง่ และแสงสามารถโค้งอ้อมที่
ขอบหรือมุมของวัตถุได้ ท้าให้แสงที่ผ่านวัตถุทึบแสงที่ขอบหรือมุม และท้าให้เกิดเงาบนฉากที่อยู่ไกลออกไป ขอบเงาดังกล่าว
จะไม่คมชัดสมบูรณ์เสมอ การน้าหลักการเลี้ยวเบนไปใช้ประโยชน์ที่เห็นชัดเจนที่สุด คือ การเลี้ยวเบนของรังสีเอกซ์ และการ
สร้างภาพฮอโลกราฟฟี
ในบทนีจ้ะเป็นการอธิบายหลักการซ้อนทับ และแหล่งอาพันธ์ ซึ่งเป็นพ้ืนฐานส้าคัญส้าหรับการแทรกสอด จากนั้นจึง
วิเคราะห์การเกดิการแทรกสอดแบบเสรมิ และหักล้าง รวมไปถึงการแทรกสอดจากแหล่งก้าเนิดแสงมากกว่าหน่ึงแหล่ง และ
การแทรกสอดในฟิล์มบาง ส้าหรบัการเลีย้วเบน เราจะพิจารณาวิเคราะหเ์กี่ยวกับการเลี้ยวเบนที่เกิดขึ้นจากช่องสลิตเดี่ยวและ
หลายช่อง นอกจากนี้เรายังศึกษาตัวอย่างการน้าไปใช้ประโยชน์อีกด้วย
การแทรกสอด (Interference) การแทรกสอดจะหมายถึงเหตุการณ์ใดๆ ณ เวลาหนึ่ง ที่คลื่นสองคลื่นหรือ
มากกว่าสองคลื่น ทับกันในบริเวณหนึ่ง ซึ่งเราสามารถใช้ซ้อนทับ (Superposition
principle) เพื่อน้ามาพิจารณาผลการทับซ้อนของคลื่น ณ ต้าแหน่งนั้นๆ ได้ โดยหลักการ
ซ้อนทับกันกล่าวว่า
“เมื่อคลื่นสองคลื่นหรือมากกว่าทับกัน การกระจัดลัพธ์ที่จุดใดๆ ณ ขณะใดๆ
อาจหาได้โดยการบวกการกระจัดขณะหนึ่งที่จะเกิดขึ้นที่จุดนั้นจากคลื่นแต่ละคลื่นเมื่อมี
คลื่นนั้นคลื่นเดียว”
จากรูปทางซ้ายจะเห็นว่าคลื่นลัพธ์สุดท้าย เป็นผลรวมการกระจัดของคลื่นแต่ละ
คลื่น ณ ต้าแหน่งหนึ่งๆ และเวลาขณะใดๆ การกระจัดในที่นี้ ส้าหรับแสงซึ่งเป็นคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า เรามักหมายถึง
ส่วนประกอบหนึ่งของสนามไฟฟ้าหรือสนามแม่เหล็ก
-
2 การแทรกสอดแบบเสริมและหกัล้าง (Constructive and Destructive interference)
Yingyot Infahsaeng | THAMMASAT UNIVERSITY
แหล่งอาพันธ์ (Coherent)
คลื่นแบบไซน์เป็นลักษณะพิเศษของแสงเอกรงค์ (แสงสีเดียว, monochromatic light) แหล่งก้าเนิดแสงทั่วไป ไม่ได้
ให้แสงเอกรงค์ เช่น หลอดไฟมักจะให้แสงที่มีความยาวคลื่นต่อเนื่องเป็นช่วงกว้าง อย่างไรก็ตามแหล่งก้าเนิดแสงเอกรงค์
สามารถสร้างได้โดยประมาณด้วยการใช้แผ่นกรองแสง เพื่อกรองแสงในบางช่วงความยาวคลื่นออกไป หรือการใช้เลเซอร์เป็น
แหล่งก้าเนิดแสงเอกรงค์ ส้าหรับแหล่งก้าเนิดแสงเอกรงค์สองแหล่งที่มีความถี่เท่ากันและมีความสัมพันธ์เฟสคงตัวแน่นอน โดย
ไม่จ้าเป็นท่ีเฟสตรงกัน เราจะเรียกแหล่งก้าเนิดแสงทั้งสองแหล่งว่าแหล่งอาพันธ์ (coherent)
การแทรกสอดแบบเสริมและหักล้าง (Constructive and Destructive interference) การแทรกสอดจะเริ่มพิจารณาเมื่อมีแหล่งอาพันธ์สองแหล่ง จากรูปข้างล่างคือ S1 และ S2 โดยสมมติให้ทั้งสองแหล่ง
นี้อยู่ห่างกันเป็นระยะ 4 เท่าของความยาวคลื่น (4) ต้าแหน่ง a, b และ c เป็นต้าแหน่งท่ีเราจะพิจารณาการแทรกสอด
การแทรกสอดแบบเสริม (Constructive interference) เกิดขึ้นเมื่อคลื่นอาพันธ์มาถึงจุดหนึ่งด้วยเฟสตรงกัน แอม
พลิจูดของคลื่นลัพธ์มีค่าเท่ากับผลบวกของแอมพลิจูดของแต่ละคลื่น ผลต่างเส้นทาง (Path difference) ส้าหรับแหล่งทั้ง
สองต้องเป็นเลขจ้านวนเต็มเท่าของความยาวคลื่น, ในรูป (b) ที่ต้าแหน่ง b จะอยู่ห่างจากแหล่งก้าเนิด S1 เป็นระยะ r1 =
7 ขณะที่จะอยู่ห่างจากแหล่งก้าเนิด S2 เป็นระยะ r2 = 9 ผลต่างเส้นทาง r2 – r1 = 2 ซึ่งเป็นจ้านวนเต็มเท่าของความยาว
คลื่น ที่ต้าแหน่ง b จึงเกิดการแทรกสอดแบบเสริมกัน
การแทรกสอดแบบหักล้าง (Destructive interference) เกิดขึ้นเมื่อคลื่นอาพันธ์ไปถึงจุดหนึ่งด้วยด้วยเฟสต่างกัน
ครึ่งรอบพอดี สันของคลื่นหนึ่งไปถึงเวลาเดียวกับท้องคลื่นของอีกลูกหนึ่ง แอมพลิจูดลัพธ์คือผลต่างระหว่างแอมพลิจูดของแต่
ละคลื่น ผลต่างเส้นทาง ส้าหรับแหล่งท้ังสองต้องเป็นครึ่งจ้านวนเต็มเท่าของความยาวคลื่น ในรูป (c) ที่ต้าแหน่ง c จะอยู่ห่าง
จากแหล่งก้าเนิด S1 เป็นระยะ r1 = 9.75 ขณะที่จะอยู่ห่างจากแหล่งก้าเนิด S2 เป็นระยะ r2 = 7.25 ผลต่างเส้นทาง r2 – r1
= 2.50 ซึ่งเป็นสองเท่าครึ่งของความยาวคลื่น ที่ต้าแหน่ง c จึงเกิดการแทรกสอดแบบหักล้างกัน
ในการพิจารณาที่ต้าแหน่งใดๆ จากรูปขวาสุด เส้นโค้งสีแดงแทนจุดทั้งหมดที่การแทรกสอดแบบเสริมกันเกิดขึ้น โดย
ผลต่างเส้นทางมีค่าเท่ากับเลขจ้านวนเต็ม m คูณกับความยาวคลื่น เรียกเส้นโค้งน้ีว่าเส้นโค้งปฏิบัพ (Antinodal curves)
𝑟2 − 𝑟1 = 𝑚𝜆
เส้นโค้งบัพ (Nodal curves) จะเป็นเส้นโค้งท่ีอยู่ครึ่งทางระหว่างเส้นโค้งปฏิบัพทั้งสอง
𝑟2 − 𝑟1 = (𝑚 +1
2) 𝜆
เมื่อ m คือเลขจ้านวนเต็มใด m = 0, ±1, ±2, ±3, …
-
3 การแทรกสอดของแสงจากสองแหลง่ (Young’s double-slit experiment with geometric analysis)
Yingyot Infahsaeng | THAMMASAT UNIVERSITY
การแทรกสอดของแสงจากสองแหล่ง (Young’s double-slit experiment with geometric
analysis) เมื่อแสงเอกรงค์ (Monochromatic light) แบบคลื่นระนานบ ผ่านช่องสลิต S0 ขนาดเล็ก จะท้าให้แสงที่ออกมามี
หน้าคลื่นเป็นส่วนโค้งแบบทรงกระบอก (Cylindrical wave fronts) และเมื่อแสงนี้ผ่านช่องสลิตขนาดเล็ก S1 และ S2 จะ
เสมือนว่าเป็นแหล่งก้าเนิดแสงสองแหล่ง โดยที่แสงที่ผ่านช่องสลิตทั้งสองจะมีความเป็นอาพันธ์กัน (Coherent wave) แสง
จากแหล่งก้าเนิด S1 และ S2 จะเกิดการแทรกสอดกัน เมื่อน้าฉากมารับที่ระยะใดๆ จะท้าให้เกิดริ้วการแทรกสอด เป็นแถบมืด
และแถบสว่างสลับกันไปบนฉาก ดังรูป (a)
จากรูป (b) เมื่อพิจารณาช่องสลิต S1 และ S2 ที่อยู่ห่างกันเป็นระยะ d โดยมีฉากวางตัวขนาดกับช่องสลิตทั้งสองที่
ระยะ R พิจารณาต้าแหน่ง P บนฉาก ซึ่งอยู่ห่างจากช่องสลิต S1 เป็นระยะทาง r1 และอยู่ห่างจากช่องสลิต S2 เป็นระยะทาง r2
ให้เส้นรังสีตามระยะทาง r2 ท้ามุม กับเส้นตั้งฉากระหว่างระนาบสลิตกับฉาก ในสถานการณ์จริง ระยะทาง R จากสลิตไปยัง
ฉากจะมีระยะที่ไกลมากเมื่อเทียบกับระยะ d ระหว่างสลิต หรือ R>>d ดังนั้นแล้วเส้นรังสี r1 และ r2 จะถือว่าขนานกัน และ
ผลต่างเส้นทางของระยะทางทั้งสองคือ 𝑟2 − 𝑟1 = 𝑑 sin 𝜃 ดังนั้นแล้วที่ต้าแหน่ง P บนฉาก แสงจะเดินทางจากสลิต
S1 และ S2 มาถึงต้าแหน่งดังกล่าว ด้วยระยะทางไม่เท่ากัน ขึ้นอยู่กับผลต่างเส้นทาง จากหลักการการแทรกสอดแบบเสริมและ
หักล้างกันก่อนหน้า จะได้ว่า
-
4 การแทรกสอดของแสงจากสองแหลง่ (Young’s double-slit experiment with geometric analysis)
Yingyot Infahsaeng | THAMMASAT UNIVERSITY
การแทรกสอดแบบเสริมกัน จะเกิดขึ้นเมื่อ
𝑑 sin 𝜃 = 𝑚𝜆
การแทรกสอดแบบหักล้างกัน จะเกิดขึ้นเมื่อ
𝑑 sin 𝜃 = (𝑚 +1
2) 𝜆
เมื่อ m คือเลขจ้านวนเต็มใด m = 0, ±1, ±2, ±3, … โดย d คือระยะห่างระหว่างสองสลิต คือมุมรองรับระหว่างเส้นกลาง
ระหว่างสลิตไปยังฉากกับเส้นจากต้าแหน่งกลางระหว่างสลิตไปยังต้าแหน่ง P ที่สนใจ และ คือความยาวคลื่น
ส้าหรับริ้วการแทรกสอดหรือฟริ้น (Fringes) จะแสดงแถบสว่างบนฉาก
เมื่อเกิดการแทรกสอดแบบเสริมกัน (Constructive interferenece) ส้าหรับ m
เป็นจ้านวนเต็มเท่าของความยาวคลื่น และจะแสดงแถบมืดเมื่อเกิดการแทรกสอด
แบบหักล้างกัน (Destructive interference) ส้าหรับ m+1/2 เท่าของความยาว
คลื่น เราสามารถหานิพจน์ส้าหรับต้าแหน่งจุดศูนย์กลางของแถบสว่างบนฉากได้
โดยก้าหนดให้ ym เป็นระยะจากศูนย์กลางของริ้ว = 0 ไปยังจุดศูนย์กลางของ
แถบสว่างที่ m โดยให้ m เป็นค่าที่สมนัยกันของ ym โดยที่ ym = R tan θm
จะได้ว่าระยะ ym มักน้อยกว่าระยะ R มากๆ ดังนั้น tanm sinm และส้าหรับ
มุมเล็กๆ จะได้ว่า
𝑦𝑚 = 𝑅𝑚𝜆
𝑑
ซึ่งจะเป็นการแทรกสอดแบบเสริมกันของยัง
ตัวอย่าง
ในการทดลองการแทรกสอดสลิตคู่การทดลองหนึ่ง สลิตอยู่ห่างกัน 0.20 mm และฉากอยู่ที่ระยะห่าง 1.0 m ริ้วสว่างริ้วที่สาม
(ไม่นับริ้วสว่างกลางที่อยู่ตรงข้างหน้าของสลิต) อยู่ที่ระยะห่าง 7.5 mm จากริ้วกลาง จงหาความยาวคลื่นแสงที่ใช้
จากโจทย์ ทราบว่า d = 0.20 mm, R = 1.0 m
m = 3, ym = 7.5 mm ดังนั้น
𝜆 =𝑦𝑚𝑑
𝑚𝑅= 500 × 10−9 𝑚
= 500 𝑛𝑚
ดังนั้นความยาวคลื่นแสงที่ใช้คือ 500 nm โดยที่
ริ้วนี้อาจเป็นริ้วที่ตรงกับ m = -3 ก็ได้
-
5 ความเข้มในรูปแบบการแทรกสอด
Yingyot Infahsaeng | THAMMASAT UNIVERSITY
ค าถาม
ถ้าใช้เลเซอร์แบบปรับเปลี่ยนสีได้เป็นแหล่งก้าเนิดแสง เมื่อเปลี่ยนสีเลเซอร์จากสีแดงเป็นน้้าเงินระยะห่างระหว่างริ้วสว่างจะ
เปลี่ยนเป็นอย่างไร?
ก) ระยะห่างระหว่างริ้ว ลดลง ข) ระยะห่างระหว่างริ้ว ไม่เปลี่ยน ค) ระยะห่างระหว่างริ้ว เพิ่มขึ้น
ตัวอย่าง
แบบรูปการแพร่สัญญาณของสถานีวิทยุ สถานีวิทยุสถานีหนึ่งท้างานที่ความถี่ 1500 kHz = 1.5x106 Hz มีสายอากาศขั้วคู่
แนวดิ่งท่ีเหมือนกันทุกประการสองสาย อยู่ห่างกัน 400 m การแกว่งกวัดเฟสตรงกัน ที่ระยะมากกว่า 400 m มากๆ ความเข้ม
ในแบบรูปการแผ่คลื่นท่ีเกิดขึ้น มีขนาดสูงสุดในทิศทางใด
จากโจทย์ สถานีวิทยุนี้ท้างานที่ความยาวคลื่น 𝜆 = 𝑐/𝑓 = 200 𝑚 เนื่องจากมุมไม่จ้าเป็นต้องมีขนาดเล็ก จึงใช้
สมการการแทรกสอดแบบเสริม สองสลิต แทนค่าตัวเลขต่างๆ ส้าหรับ m = 0, ±1, ±2, …
sin 𝜃 =𝑚𝜆
𝑑=𝑚(200 𝑚)
400 𝑚=𝑚
2
𝜃 = 0,±30°,±90°
ค้าถามเพิ่มเติม 1. ถ้า m มากกว่า 2 จะเป็นอย่างไร? 2.
ความเข้มต่้าสุด (การแทรกสอดแบบหักล้าง) จะเกิดขึ้นที่
ทิศทางใด?
ความเข้มในรูปแบบการแทรกสอด จากริ้วการแทรกสอด เราจะหาความเข้มแสงในต้าแหน่งที่เกิดแถบสว่างได้อย่างไร เราสามารถพิจารณาได้จากการ
รวมคลื่นรูปไซน์จากสองแหล่งก้าเนิดที่ต้าแหน่ง P โดยการพิจารณาผลต่างเฟสของคลื่นทั้งสองที่ต้าแหน่ง P ซึ่งเป็นผลมาจาก
ผลต่างเส้นทาง แอมพลิจูดในการแทรกสอดจากสองแหล่ง ดังนั้นแล้วความเข้มในรูปแบบการแทรกสอดจะขึ้นอยู่กับก้าลังสอง
ของแอมพลิจูดสนามไฟฟ้า แบบเดียวกับท่ีเคยศึกษาในเรื่องคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า
ในการหาความเข้า เราจะเริ่มพิจารณาจาก คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้ารูปไซน์สองแหล่ง ที่มีแอมพลิจูดเท่ากันและมีโพลาไร
เซช่ันในทิศทางเดียวกัน โดยที่ความเข้มของคลื่นที่ต้าแหน่ง P จะมีค่าเท่ากับ 1
2𝜖0𝑐𝐸
2 ซึ่งขนาดแอมพลิจูดสนามไฟฟ้าจะ
ลดลง เมื่อระยะทางจากแหล่งก้าเนิดเพิ่มขึ้น ถ้าแหล่งก้าเนิดคลื่นทั้งสองเริ่มต้นมีเฟสตรงกัน (in phase) คลื่นที่มาถึงต้าแหน่ง
P จะมีเฟสแตกต่างกัน (phase difference) เป็นปริมาณผันตรงกับผลต่างระยะทางจากแหล่งก้าเนินคลื่นทั้งสอง (path
difference) แต่ถ้ามุมเฟสของคลื่นทั้งสองที่มาถึงต้าแหน่ง P คือ องค์ประกอบสนามไฟฟ้าของคลื่นทั้งสองที่ต้าแหน่ง P
สามารถเขียนได้ว่า 𝐸1(𝑡) = 𝐸 cos(𝜔𝑡 + 𝜙)
𝐸2(𝑡) = 𝐸 cos(𝜔𝑡)
-
6 ความเข้มในรูปแบบการแทรกสอด
Yingyot Infahsaeng | THAMMASAT UNIVERSITY
การทับซ้อนกันของสนามไฟฟ้าทั้งสองที่ต้าแหน่ง P จะได้ผลลัพธ์
เป็นฟังก์ช่ันรูปไซน์ที่มีแอมพลิจูด Ep โดยจะขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดสูงสุด E
และผลต่างเฟส จากรูปทางซ้าย จะเป็นการน้าเสนอแบบเฟส (Phasor
representation) เ มื่ อ E1 จะ เป็ นองค์ ประกอบ เฟสแนวนอนจาก
แหล่งก้าเนิด S1 ขณะที่ E2 จะมาจากแหล่งก้าเนิด S2 เฟสทั้งสองมีขนาด
แอมพลิจูดสูงสุดเท่ากันคือ E แต่ E1 กับ E2 ท้ามุมกัน เฟสทั้งสองหมุน
ทวนเข็มนาฬิกาด้วยอัตราเร็วเชิงมุมเท่ากันคือ ผลรวมขององค์ประกอบ
ตามแนวนอนจะเป็นภาพฉาย (Projection) ที่เวลาใดๆ ของสนามไฟฟ้ารวม
E ที่ต้าแหน่ง P และผลรวมเวกเตอร์ของเฟสเซอร์ทั้งสอง E1 กับ E2 คือ Ep
โดยการใช้กฎของโคไซน์และตรีโกณมิติ จะได้ว่า
𝐸𝑝2 = 𝐸2 + 𝐸2 + 2𝐸2 cos(𝜋 − 𝜙) = 𝐸2 + 𝐸2 + 2𝐸2 cos𝜙
จาก 1 + cos𝜙 = 2 cos2(𝜙/2) จะได้ว่า 𝐸𝑝2 = 2𝐸2(1 + cos𝜙) = 4𝐸2 cos2(𝜙/2)
ดังนั้นแล้วแอมพลิจูดที่ต้าแหน่ง P ของการแทรกสอดจากแหล่งก้าเนิดสองแหล่งคือ
𝐸𝑝 = 2𝐸 |cos𝜙
2|
ส้าหรับการหาความเข้มในการแทรกสอดจากสองแหล่ง เราทราบว่า
𝐼 = 𝑆𝑎𝑣 =𝐸𝑝2
2𝜇0𝑐=
1
2𝜖0𝑐𝐸𝑝
2
แทนค่า Ep ลงไปจะได้ว่า
𝐼 = 2𝜖0𝑐𝐸2 cos2𝜙/2
ในกรณีพิเศษ ความเข้มสูงสุด I0 จะสัมพันธ์กับต้าแหน่งที่ผลต่างเฟสมีค่าเป็นศูนย์ มีค่า 𝐼0 = 2𝜖0𝑐𝐸2 ดังนั้น
ความเข้มในการแทรกสอดจากสองแหล่ง จะได้ว่า
𝐼 = 𝐼0 cos2𝜙
2
ความสัมพันธ์ระหว่างผลต่างเฟสกบัผลต่างเส้นทาง
เราทราบว่าผลต่างเฟสจะแปรผันตรงกับผลต่างเส้นทางที่ต้าแหน่ง P จากแหล่งก้าเนิดทั้งสองแหล่ง เมื่อผลต่าง
เส้นทางมีค่าหนึ่งความยาวคลื่น ผลต่างเฟสจะครบหนึ่งรอบวงกลมหรือ = 2 rad = 360o และเมื่อผลต่างเส้นทางมีค่า /2
ผลต่างเฟส = rad = 180o ดังนั้นแล้วอัตราส่วนของผลต่างเฟส ต่อ 2 จะเท่ากับผลต่างเส้นทาง r2-r1 ต่อ คือ
𝜙 =2𝜋
𝜆(𝑟2 − 𝑟1) = 𝑘(𝑟2 − 𝑟1)
เมื่อ k = 2/ คือเลขคลื่น โดยความยาวคลื่นนี้เป็นความยาวคลื่นในวัสดุที่มีค่าดัชนีหักเห n
-
7 ความเข้มในรูปแบบการแทรกสอด
Yingyot Infahsaeng | THAMMASAT UNIVERSITY
สุดท้าย ถ้าต้าแหน่ง P อยู่ห่างจากแหล่งก้าเนิดมากกว่าระยะห่าง d มากๆ ผลต่างเส้นทางที่ท้าให้เกิดการแทรกสอด
จะได้ว่า 𝑟2 − 𝑟1 = 𝑑 sin 𝜃 จะท้าให้ผลต่างเฟสมีค่า
𝜙 = 𝑘(𝑟2 − 𝑟1) = 𝑘𝑑 sin 𝜃 =2𝜋𝑑
𝜆sin 𝜃
และความเข้มที่ต้าแหน่ง P จะได้ว่า
𝐼 = 𝐼0 cos2 (
1
2𝑘𝑑 sin 𝜃) = 𝐼0 cos
2 (𝜋𝑑
𝜆sin 𝜃)
จากสมการข้างต้น ต้าแหน่งที่ความเข้มมีค่าสูงสุด จะเกิดขึ้นเมื่อค่าโคไซน์มีค่า 1 ซึ่งจะได้ว่า
𝜋𝑑
𝜆sin 𝜃 = 𝑚𝜋 หรือ
𝑑 sin 𝜃 = 𝑚𝜆
เมื่อ m = 0, ±1, ±2, ±3, …
เมื่อฉากอยู่ห่างจากสลิตเป็นระยะทาง R เราสามารถนิยามต้าแหน่งบนฉากได้ด้วยระยะ y ต้าแหน่งริ้วสว่างที่เกิดขึ้น
เมื่อ y
-
8 การแทรกสอดในฟิล์มบาง (Thinfilm)
Yingyot Infahsaeng | THAMMASAT UNIVERSITY
ความยาวคลื่น หลังจากเปลี่ยนความถี่คือ 𝜆 =𝑐
𝑓= 5.0 𝑚
ระยะระหว่างแหล่งคือ d = 10 m = 2 และจะได้ว่า 𝐼 = 𝐼0 cos2 (
𝜋𝑑
𝜆sin 𝜃)
𝐼 = (0.020 𝑊/𝑚2) cos2[(2𝜋 𝑟𝑎𝑑) sin 𝜃]
ก) ดังนั้นเมื่อ = 4.0o จะได้ความเข้ม I = 0.016 W/m2 ซึ่งประมาณ 82% ของความเข้มที่ = 0
ข) ความเข้ม I มีค่าเท่ากับ I0/2 เมื่อ cos(2𝜋 sin 𝜃) = ±1/√2
ซึ่งเกิดเมื่อ 2𝜋 sin 𝜃 = ±𝜋
4, sin 𝜃 = ±
1
8, 𝜃 = ±7.2°
ค) ความเข้มเป็นศูนย์เมื่อ cos(2𝜋 sin 𝜃) = 0
นั่นคือ 2𝜋 sin 𝜃 = ±𝜋
2, ±
3𝜋
2, sin 𝜃 = ±
1
4, ±
3
4, 𝜃 = ±14.5°,±48.6°
การแทรกสอดในฟิล์มบาง (Thinfilm) การแทรกสอดระหว่างรังสีที่สะท้อนจากผิวบนและผิวล่างของฟิล์มบาง
ผลต่างเส้นทางและการเลื่อนเฟสที่ผิวท้าให้แสงบางความยาวคลื่นแทรกสอดอย่าง
เสริมหรือหักล้าง
จากรูปซ้ายล่าง การแทรกสอดระหว่างคลื่นแสงสองคลื่นที่สะท้อนจาก
สองด้านของลิ่มอากาศท่ีคั่นแผ่นกระจกสองแผ่น ผลต่างเส้นทางคือ 2t โดยระยะ h
และ t มีขนาดน้อยกว่า l มากๆ
ที่จุด 2t เป็นเลขจ้านวนเต็มเท่าของความยาวคลื่น เราคาดว่าจะเห็นการ
แทรกสอดแบบเสริมและพื้นที่สว่าง และเมื่อ 2t เป็นครึ่งหนึ่งของเลขจ้านวนเต็ม
เท่าของความยาวคลื่น เราคาดว่าจะเห็นการแทรกสอดแบบหักล้างและพื้นที่มืด
ผลที่ได้ตรงกันข้าม ถ้า คลื่นสะท้อนคลื่นหนึ่งมีการเลื่อนเฟสไปครึ่งรอบระหว่างการ
สะท้อน
การสะท้อนแบบเสริมจากฟิล์มบาง ไม่มีการเลื่อนเฟสสัมพัทธ์
2𝑡 = 𝑚𝜆
การสะท้อนแบบหักล้างจากฟิล์มบาง ไม่มีการเลื่อนเฟสสัมพัทธ์
2𝑡 = (𝑚 +1
2)𝜆
เมื่อ m = 0, ±1, ±2, ±3, … และถ้ามีการเลื่อนเฟสสัมพัทธ์กัน สมการข้างต้นจะสลับกัน
-
9 การแทรกสอดในฟิล์มบาง (Thinfilm)
Yingyot Infahsaeng | THAMMASAT UNIVERSITY
การเลื่อนเฟสจากการสะท้อน
สนามไฟฟ้า Er เป็นสนามไฟฟ้าจากการสะท้อน ขณะที่สนามไฟฟ้า Ei เป็นสนามไฟฟ้าตกกระทบ โดยที่
𝐸𝑟 =𝑛𝑎 − 𝑛𝑏𝑛𝑎 + 𝑛𝑏
𝐸𝑖
รูป (a) เมื่อ na > nb แสงเดินทางในตัวกลางแรกช้ากว่าในตัวกลางที่สอง ในกรณีนี้ Er และ Ei มีเครื่องหมายเดียวกัน และการ
เลื่อนเฟสของคลื่นสะท้อนเทียบกับคลื่นตกกระทบเป็นศูนย์
รูป (b) เมื่อ na = nb แอมพลิจูด Er ของคลื่นสะท้อนเป็นศูนย์ คลื่นแสงตกกระทบไม่สามารถ “เห็น” ผิวร่วมได้ และดังนั้นจึง
ไม่มีคลื่นสะท้อน
รูป (c) เมื่อ na < nb แสดงเดินทางในวัสดุที่สองช้ากว่าในวัสดุแรก ในกรณีนี้ Er และ Ei มีเครื่องหมายตรงข้ามกัน และการ
เลื่อนเฟสของคลื่นสะท้อนเทียบกับคลื่นตกกระทบเท่ากับ rad (180o หรือครึ่งรอบ)
ฟิล์มบางและฟิล์มหนา ในฟิล์มบาง คลื่นแสงท่ีสะท้องมาจากสองผิวจะมีความเป็นอาพันธ์ (coherent) แต่ในฟิล์มหนา คลื่นแสง
ที่สะท้อนมาจากสองผิว จะไม่มีความสัมพันธ์ทางเฟส และไม่เป็นอาพันธ์กัน
-
10 การแทรกสอดในฟิล์มบาง (Thinfilm)
Yingyot Infahsaeng | THAMMASAT UNIVERSITY
ตัวอย่าง
สมมติว่าแผ่นแก้วตามรูป เป็นแผ่นสไลด์กล้องจุลทรรศน์สองแผ่นยาว 10 cm แผ่นทั้งสองแตะกันที่ปลายด้านหนึ่ง แต่ที่ปลาย
อีกด้านมีแผ่นกระดาษหนา 0.020 mm คั่นไว้ จงหาระยะห่างระหว่างริ้วการแทรกสอดที่เห็นจากการสะท้อน ริ้วที่แนวเส้น
สัมผัสเป็นริ้วมืดหรือริ้วสว่าง สมมติให้แสงเป็นแสงเอกรงค์ความยาวคลื่นในอากาศเท่ากับ 0 = 500 nm
คลื่นที่สะท้อนจากผิวล่างของลิ่มอากาศมีการเลื่อน
เฟสครึ่งรอบ คลื่นที่สะท้อนจากผิวบนไม่มีการเลื่อน
เฟส ดังนั้นริ่วที่เส้นสัมผัสเป็นริ้วมืด โดยมีเง่ือนไข
ส้าหรับการแทรกสอดแบบหักล้าง (ริ้วมืด) คือ
2𝑡 = 𝑚𝜆0
ความหนา t ของลิ่มอากาศท่ีแต่ละจุดเป็นสัดส่วนกับระยะ x จากเส้นท่ีสไลด์แตะกัน 𝑡
𝑥=
ℎ
𝑙 ซึ่งเราจะได้ว่า
2𝑥ℎ
𝑙= 𝑚𝜆0
𝑥 = 𝑚(1.25 𝑚𝑚)
ค่าเลขจ้านวนเต็ม m นี้ เป็นล้าดับต่อไปของต้าแหน่งริ้วมืด โดยที่ระยะห่างระหว่างริ้วเท่ากับ 1.25 mm
ค าถามเพ่ิมเติม
1. ถ้าใช้แสงท่ีมีความยาวคลื่นน้อยกว่านี้ ระยะห่างระหว่างริ้วจะเป็นอย่างไร?
2. ถ้าแผ่นแก้วมี n = 1.52 และช่องว่างระหว่างแผ่นแก้วมีน้้า n = 1.33 แทนท่ีอากาศ จะเกิดอะไรขึ้น?
วงแหวนนิวตัน (Newton Rings)
ผิวนูนของเลนส์ที่สัมผัสอยู่กับแผ่นแก้วระนาบ มีฟิล์มอากาศบางระหว่างผิวท้ังสอง เมื่อใช้แสงเอกรงค์ จะเห็นริ้วการ
แทรกสอดเป็นวงกลม เรียกว่าวงแหวนนิวตัน (Newton’s rings) โดยมีจุดศูนย์กลางของแบบรูปเป็นสีด้า
-
11 สารเคลอืบไมส่ะท้อนแสงและสารเคลอืบสะท้อนแสง
Yingyot Infahsaeng | THAMMASAT UNIVERSITY
การใช้ริ้วการแทรกสอดเพื่อทดสอบเลนส ์
แผ่นเลนส์ที่ถูกทดสอบจะวางบนแผ่นจานหนากว่าที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง
โตกกว่าที่อยู่ด้านล่างและเป็นแม่แบบที่มีรูปร่างถูกต้องเส้นคอนทัวร์คือริ้วการแทรก
สอดของนิวตัน แต่ละเส้นบ่งบอกระยะเพิ่มขึ้นครึ่งความยาวคลื่นระหว่างช้ินตัวอย่าง
กับแม่แบบที่ระยะ 10 เส้นจากจุดกลาง ผิวทั้งสองอยู่ห่างกัน 5 ความยาวคลื่นหรือ
หรือประมาณ 0.003 mm เลนส์คุณภาพสูงถูกฝนให้มีความเที่ยงน้อยกว่าหนึ่งความ
ยาวคลื่น
สารเคลือบไม่สะท้อนแสงและสารเคลือบสะท้อนแสง เมื่อ nglass > nfilm > nair
แสงสะท้อนจากตัวกลางที่มีดัชนีหักเหสูงกว่าตัวกลางที่แสงก้าลังเดินทาง
ดังนั้นการเปลี่ยนเฟสเหมือนกันในการสะท้อนท้ังสอง
ถ้าความหนาของฟิล์มเท่ากับ ¼ ของความยาวคลื่นในฟิล์ม ผลต่าง
เส้นทางทั้งหมดจะเท่ากับครึ่งความยาวคลื่น
แสงสะท้อนจากผิวแรกจะมีเฟสต่างจากที่สะท้อนจากผิวที่สองครึ่งรอบ
และจะมีการแทรกสอดแบบหักล้าง เรียกวัสดุที่ฉาบ (nglass > nfilm ) ว่า
สารเคลือบไม่สะท้อนแสง
ถ้าฉาบวัสดุดัชนีหักเหสูงกว่าดัชนีหักเหของแก้วลงบนแก้วให้หนา ¼ ความยาวคลื่น กรณีนี้การเลื่อนเฟสครึ่งรอบที่ผิวร่วม
อากาศ-ฟิล์ม แต่ไม่มีการเลื่อนเฟสที่ผวิร่วมฟิล์ม-แก้ว จะมีการแทรกสอดแบบเสริม และสภาพสะท้อนจะเพิ่มขึ้น และเรียกวัสดุ
ที่ฉาบ (nglass < nfilm ) ว่า สารเคลือบสะท้อนแสง
ตัวอย่าง
วัสดุเคลือบเลนส์ที่ใช้กันสามัญคือแมกนีเซียมฟลูออไรด์ MgF2 ซึ่งมี n = 1.38 ส้าหรับแสงความยาวคลื่น 550 nm สารเคลือบ
ไม่สะท้อนแสงน้ีต้องหน้าเท่าใด ถ้าเอามาเคลือบแก้วที่มี n = 1.52
ความยาวคลื่นของแสงในสารเคลือบคือ
𝜆 =𝜆0𝑛=550 𝑛𝑚
1.38= 400 𝑛𝑚
ผิวไม่สะท้อนแสงของ MgF2 ควรมีความหนา ¼ ของความยาวคลื่น หรือ 100 nm
-
12 Michelson Interferometer
Yingyot Infahsaeng | THAMMASAT UNIVERSITY
Michelson Interferometer อิน เตอร์ ฟี รอมิ เ ตอร์ ไม เคลสัน (The
Michelson Interferometer) มักใช้ในการวัดความ
ยาวคลื่นหรือการกระจัดสั้นๆ ที่ต้องการความ
เที่ยงตรงสูง เมื่อเลื่อนกระจกเงา M2 ช้าๆ ไปข้างหน้า
หรือหลังเป็นระยะ /2 ผลต่างความยาวเส้นทาง
ระหว่างรังสี 1 และ 2 จะเปลี่ยนไป ริ้วแต่ละริ้วจะ
เคลื่อนที่ไปทางซ้ายหรือขวาเท่ากับระยะระหว่างริ้ว
𝑦 =𝑚𝜆
2
ตัวอย่าง
อินเตอร์ฟีรอมิเตอร์ไมเคลสันเครื่องหนึ่งใช้แสงความยาวคลื่น 605.78 nm ถ้าผู้สังเกตมองแบบรูปการแทรกสอดผ่านกล้อง
โทรทรรศน์ท่ีเลนส์ใกล้ตามีสายใยเล็ง มีริ้วกี่ริ้วผ่านสายใยเล็งเมื่อกระจกเงา M2 เคลื่อนที่ได้หนึ่งเซนติเมตรพอดี
𝑚 =2𝑦
𝜆=2(1.000 × 10−2𝑚)
605.78 × 10−9𝑚= 33015
Exercises 1. สลิต 2 ช่องอยู่ห่างกัน 0.450 mm และอยู่ห่างจากฉาก 75.0 cm ระยะห่างระหว่างริ้วมืดที่ 2 และ 3 ซึ่งเกิดจาก
การแทรกสอด มีค่าเท่าใด สมมติใช้แสงเอกรงค์ท่ีมีความยาวคลื่น 500 nm
2. แสงเอกรงค์สองความแสงมีความยาวคลื่น 600 nm (สีแดง) และ 470 nm (สีน้้าเงิน) ผ่านสลิตคู่ที่มีระยะห่าง
ระหว่างสลิต 0.300 mm ท้าให้เกิดริ้วการแทรกสอดบนฉากที่อยู่ห่างออกไป 5.00 m ระยะห่างบนฉากระหว่างริ้ว
สว่างล้าดับที่ 1 ของแสงท้ังสองความยาวคลื่นมีค่าเท่าใด
3. แสงเอกรงค์ความยาวคลื่น 648 nm เดินทางจากอากาศตกกระทบตั้งฉากกับฟิล์มหนา 8.76 um ที่มีค่าดัชนีหักเห
1.35 ส่วนหน่ึงของแสงจะสะท้อนท่ีผิวแรกของฟิล์ม อีกส่วนหน่ึงของแสงจะสะท้อนกลับที่ผิวที่สอง ด้านหลังฟิล์ม ซึ่ง
เป็นรอยต่อระหว่างฟิล์มกับอากาศ จงหา
(a) จ้านวนลูกคลื่นที่อยู่ภายเส้นทางที่สองตั้งแต่ตกกระทบฟิล์ม จนกระทั่งสะท้อนกลับออกมาจากฟิล์ม
(b) ผลต่างเฟสระหว่างเส้นทางของแสงท้ังสอง หลังจากสะท้อนออกมาจากฟิล์ม
4. จากรูปอินเตอร์ฟีโรมิเตอร์ ระยะของ M2 จะเป็นเท่าใด เพื่อให้ริ้วแทรกสอดจ้านวน 1800 ริ้วผ่านเส้นสังเกต เมื่อใช้
แสงเลเซอร์ He-Ne ที่มีความยาวคลื่น 633 nm
-
13 การเลีย้วเบน (Diffraction)
Yingyot Infahsaeng | THAMMASAT UNIVERSITY
การเล้ียวเบน (Diffraction) เราได้ศึกษารูปแบบการแทรกสอดที่เกิดขึ้นได้เมื่อคลื่นแสงสองคลื่นรวมกัน
ในตอนนี้เราจะศึกษาปรากฏการณ์การแทรกสอดเนื่องจากการรวมคลื่นแสงหลาย
คลื่น ที่เป็นผลมาจากพฤติกรรมคลื่นหลังจากผ่านช่องเปิด โดยแต่ละส่วนเล็กๆ ของ
ช่องเปิดจะท้าตัวเป็นแหล่งก้าเนิดคลื่น เมื่อคลื่นหลายคลื่นแทรกสอดกันจะเกิด
รูปแบบริ้วสว่างและมืด เราเรียกปรากฏการณ์อย่างนี้ว่าการเลี้ยวเบน (Diffraction)
ตัวอย่างหนึ่งของปรากฏการณ์ตามธรรมชาติของการเลี้ยวเบน คือ เมื่อแสงจาก
แหล่งก้าเนิดเอกรงค ์ผ่านใบมีดโกนท้าให้เกิดริ้วมืดและสว่างดังรูปด้านข้าง
ตามหลักการเชิงแสงแบบเรขาคณิตท้านายว่าแสงที่ฉายผ่านวัตถุใดๆ ไปยังฉาก
ควรจะท้าให้เกิดเงาที่คมชัด ดังรูป เมื่อแสงเดินทางจากแหล่งก้าเนิดแสง ผ่านขอบ
คมของวัตถุใด และท้าให้เกิดเงาขึ้นบนฉาก โดยไม่มีแสงใดตกบนฉากท่ีจุดภายในเงา
และพื้นที่นอกเงาจะสว่างเกือบสม่้าเสมอ แต่ในความเป็นจริง เงาที่คมชัดเหล่านี้ไม่
เกิดขึ้นเนื่องมาจาก การเลี้ยวเบนของแสง ท้าให้ไม่สามารถอธิบายด้วยแบบจ้าลอง
อย่างง่ายของทัศนศาสตร์ได้
จากรูปข้างล่าง แสดงตัวอย่างการเลี้ยวเบน ที่เกิดจากการวางใบมีดโกนที่
กึ่งกลางระหว่างรูเข็มซึ่งถูกส่องด้วยแสงเอกรงค์และฟิล์มถ่ายรูป ภาพขยายทางขวา
แสดงบริเวณใกล้เงาของขอบซ้ายของใบมีด ลูกศรบอกต้าแหน่งของเส้นเงาเชิง
เรขาคณิต พื้นที่นอกเงาเชิงเรขาคณิตมีแถบสว่างและแถบมืดสลับกันล้อมรอบขอบ และมีแสงนิดหน่อยในบริเวณเงา เรามักไม่
ค่อยเห็นรูปแบบดังกล่าวในชีวิตประจ้าวัน เพราะแสงธรรมดาส่วนมากไม่ใช่แสงเอกรงค์และไม่ใช่แหล่งก้าเนิดแสงแบบจุด ถ้า
เราใช้หลอดไฟทั่วไป แสงแต่ละความยาวคลื่นจากทุกจุดของหลอด จะท้าให้เกิดรูปแบบการเลี้ยวเบนของตัวเอง และแต่ละ
รูปแบบจะเกิดการทับซ้อนกันจนเราไม่สามารถเห็นตัวรูปแบบริ้วแถบสว่างและมืดได้
-
14 การเลีย้วเบน (Diffraction)
Yingyot Infahsaeng | THAMMASAT UNIVERSITY
ถึงแม้ว่าเราไม่สามารถใช้ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตมาวิเคราะห์รูปแบบการเลี้ยวเบนได้ แต่ เราสามารถน้าทฤษฏีของฮอย
เกนส์มาวิเคราะห์การเลี้ยวเบนของแสงได้ โดยต้าแหน่งหน้าคลื่นท่ีเวลาภายหลังใดๆ คือเส้นโค้งท่ีสัมผัสกับคลื่นทุติยภูมิที่เวลา
นั้น โดยที่มีรูปแบบการเลี้ยวเบนได้ 2 รูปแบบดังนี ้
1. การเลี้ยวเบนระยะใกล้หรือแบบเฟรสเนล (Fresnel diffraction): แหล่งก้าเนิดแสง ฉาก และสิ่งกีดขวางอยู่ค่อนข้างใกล้กัน
2. การเลี้ยวเบนระยะไกลหรือแบบฟราวน์โฮเฟอร์ (Fraunhofer diffracion): แหล่งก้าเนิดแสง ฉาก และสิ่งกีดขวางอยู่ไกลจาก
กัน จนประมาณได้ว่าล้าแสงท่ีตกบนฉากเป็นล้าแสงขนาน
บางครั้งเราบรรยายการเลี้ยวเบนว่าเป็น “การโค้งของแสงอ้อมสิ่งกีดขวาง” โดยกระบวนการที่ท้าให้เกิดการเลี้ยวเบนจะมี
อยู่ในการแผ่ของทุกคลื่น รวมทั้งคลื่นย่อยของฮอยเกนส์ด้วย ดังนั้นแล้วการเลี้ยวเบนจะเกี่ยวข้องกับคลื่นย่อยของฮอยเกนส์ที่
แจกแจงอย่างต่อเนื่องตลอดพื้นที่ช่องเปิด หรือแหล่งหรือช่องเปิดจ้านวนมหาศาล อย่างไรก็ตาม ปรากฏการณ์ทั้งหมดจะถูก
ควบคุมด้วยฟิสิกส์พื้นฐานเดียวกันของหลักการซ้อนทับและหลักการของฮอยเกนส์
การเลี้ยวเบนจากสลิตเดี่ยว (Single Slit Diffraction)
พิจารณารูปแบบการแทรกสอดที่เกิดจากแสงเอกรงค์คลื่นระนาบ เมื่อแสงออกมาจากสลิตแคบยาว หลักการเชิงแสงแบบ
เรขาคณิตจะท้านายว่าล้าแสงส่งผ่านควรมีภาคตัดขวางขนาดเดียวกับสลิต ดังรูปข้างล่าง (a) แต่ในความเป็นจริง รูปแบบการ
เลี้ยวเบนจะเกิดขึ้นหลังจากผ่านช่องสลิต ซึ่งประกอบไปด้วยแถบสว่างกลางที่อาจกว้างกว่าความกว้างของช่องสลิตมาก
ล้อมรอบด้วยแถบสว่างแถบมืดสลับกันไป โดยมีความเข้มลดลงอย่างเห็นได้ชัด นอกจากนี้ ยังพบว่าความกว้างของแถบสว่าง
กลางเป็นสัดส่วน ผกผัน กับความกว้างของสลิต นั่นคือ ยิ่งความกว้างของช่องสลิตน้อยลง รูปแบบการเลี้ยวเบนทั้งหมดก็จะยิ่ง
กว้างขึ้น
เราสามารถใช้หลักการของฮอยเกนส์ อธิบายการเกิดรูปแบบการเลี้ยวเบนดังกล่าวได้ โดยพิจารณาจากรูปข้างล่าง
(a) – (d) โดยเรามองว่าช้ินพ้ืนท่ีของช่องเปิดสลิตแต่ละชิ้นเป็นแหล่งคลื่นทุติยภูมิได้
(a) คลื่นระนาบตกกระทบสลิต โดยแบ่งสลิตออกเป็นแถบแคบ ขนานกับขอบยาว กว้างเท่ากันหลายๆ แถบ และตั้งฉาก
กับหน้ากระดาษ แต่ละแถบของสลิตจะท้าตัวเป็นแหล่งของคลื่นย่อยทุติยภูมิทรงกระบอก ตามหลักการฮอยเกนส์
(b) ฉากถูกวางไว้ด้านขวาของสลิต การเลี้ยวเบนระยะใกล้ (เฟสเนล) เกิดเมื่อรังสีจากแต่ละแถบไปยังจุด P ไม่ขนานกัน
โดยเราสามารถค้านวณความเข้มลัพธ์ที่จุด P บนฉากได้โดยการบวกคลื่นย่อยแต่ละคลื่นเข้าด้วยกัน โดยค้านึกถึงเฟส
และแอมพลิจูดที่หลากหลายของคลื่น
-
15 การเลีย้วเบน (Diffraction)
Yingyot Infahsaeng | THAMMASAT UNIVERSITY
(c) เมื่อฉากอยู่ไกลมากพอจากสลิต การเลี้ยวเบนระยะไกล (ฟราวน์โฮเฟอร์) จะเกิดขึ้น โดยพิจารณาว่ารังสีเหล่านั้น
ขนานกันได้
(d) การใช้เลนส์ทรงกระบอกตีบแสง เพื่อท้าให้รังสีขนานผ่านเลนส์ท้าให้เกิดภาพย่อส่วนของรูปแบบการเลี้ยวเบน
ระยะไกลเกิดขึ้นบนฉาก
การวัดระยะริ้วมืด (Dark Fringe)
ส้าหรับการเลี้ยวเบนแบบฟราวน์โฮเฟอร์จากสลิตเดี่ยวสามารถวิเคราะห์ได้อย่างง่ายๆ โดยพิจารณาจากรูปด้านข้าง
ผลต่างในความยาวเส้นทางไปยังจุด P คือ (a/2) sin โดยที่
a คือความกว้างสลิต และ คือมุมระหว่างเส้นตั้งฉากไป
ยังสลิต กับเส้นจากจุดศูนย์กลางของสลิตไปยัง P สมมติว่า
ผลต่างเส้นทางนี้เท่ากับ /2 แล้วแสงจากแถบสองแถบนี้จะ
ไปถึงจุด P โดยมีเฟสต่างกันครึ่งรอบ และหักล้างกัน และจะ
ได้ว่า ริ้วมืดเกิดเมื่อใดก็ตามที่ 𝑎/2 𝑠𝑖𝑛𝜃 = ±𝜆/2
ดังนั้นแล้ว ส้าหรับร้ิวมืดใดๆ ที่อยู่เหนือหรือต่้ากว่าจากจุด
ศูนย์กลาง จะได้ว่า
sin 𝜃 =𝑚𝜆
𝑎,
เมื่อ m = 0, ±1, ±2, ±3, …
ในกรณีที่แสงมีความยาวคลื่นมีขนาดเล็กกว่าความกว้างสลิตมากๆ จะประมาณได้ว่า 𝑠𝑖𝑛𝜃 ≈ 𝜃 ≈ 𝑡𝑎𝑛𝜃 จะได้ว่า
𝜃 = 𝑚𝜆/𝑎 ถ้าระยะจากสลิตไปยังฉากคือ 𝑥 และระยะในแนวดิ่งของแถบมืดที่ m จากจุดศูนย์กลางของรูปแบบคือ 𝑦𝑚
จะได้ว่า 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑦𝑚/𝑥 ดังนั้น
𝑦𝑚 = 𝑥𝑚𝜆
𝑎, 𝑓𝑜𝑟 𝑦𝑚 ≪ 𝑥
-
16 ความเข้มของการเลีย้วเบน (Intensity in Diffraction)
Yingyot Infahsaeng | THAMMASAT UNIVERSITY
ตัวอย่าง
แสงเลเซอร์ 633 nm ผ่านสลิตแคบและสังเกตรูปแบบการเลี้ยวเบนบนฉากที่อยู่ห่างออกไป 6.0 m ระยะบนฉากระหว่างจุด
ศูนย์กลางของค่าต่้าสุดแรกสองข้างของริ้วสว่างกลางคือ 32 mm สลิตกว้างเท่าใด
ระยะระหว่างจุดบนฉากน้อยกว่าระยะจากสลิตไปถึงฉากมาก จึงประมาณว่ามุมมีค่าเล็กมาก ค่าต่้าสุดแรกคือริ้วมืดที่ m = 1
ระยะ y1 จากค่าสูงสุดกลางไปยังค่าต่้าสุดคือ y1 = (32 mm)/2 = 16 mm ดังนั้นความกว้างของสลิตคือ
𝑎 =𝑥𝜆
𝑦𝑎= 0.24 𝑚𝑚
ความเข้มของการเลี้ยวเบน (Intensity in Diffraction) การแจกแจงความเข้มส้าหรับรูปแบบการเลี้ยวเบนสลิตเดี่ยวสามารถวิเคราะห์ได้โดยใช้วิธีบวกเฟสเซอร์
a) ส้าหรับ x >> a จะถือได้ว่าเฟสเซอร์ทั้งหมดที่จุด O มีเฟสตรงกัน นั่นคือมีทิศทางเดียวกัน
b) ที่จุดศูนย์กลางรูปแบบการเลี้ยวเบน แอมพลิจูดลัพธ์ที่ O คือ E0 โดยสมมติว่าเกิดจากการ
แบ่งสลิตเป็น 14 แถบ
c) ผลบวกของเฟสซอร์เป็นส่วนของเส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า และ Ep ซึ่งเป็นแอมพลิ
จูดของสนามไฟฟ้าลัพธ์ที่ P คือเส้นคอร์ด โดยที่มุม คือผลต่างเฟสรวมระหว่างคลื่นจากแถบ
บนสุด ในรูป a) และคลื่นจากแถบล่างสุด
d) เมื่อแบ่งสลิตแคบลง จนลิมิตจ้านวนแถบเล็กเป็นอนันต์ เส้นโค้งเฟสเซอร์จะกลายเป็นส่วนโค้ง
วงกลม
โดยแอมพลิจูดในการเลี้ยวเบนสลิตเดี่ยว 𝐸𝑝 = 𝐸0sin(𝛽/2)
𝛽/2
และความเข้มในการเลี้ยวเบนสลิตเดี่ยว 𝐼 = 𝐼0 [sin(𝛽/2)
𝛽/2]2
-
17 ความเข้มของการเลีย้วเบน (Intensity in Diffraction)
Yingyot Infahsaeng | THAMMASAT UNIVERSITY
ผลต่างเฟส สามารถเขียนในรูปปริมาณเรขาคณิตได้ โดยผลต่างเฟส 2π/ คูณผลต่างเส้นทาง ดังนั้น 𝛽 =2𝜋
𝜆𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝜃 และจะได้ว่า ความเข้มในการเลี้ยวเบนสลิตเดี่ยวคือ
𝐼 = 𝐼0 {sin[𝜋𝑎(sin𝜃)/𝜆]
𝜋𝑎(sin 𝜃)/𝜆}
2
ในการหาความเข้มสูงสุด เราจะพบว่ายอดความเข้มกลางจะใหญ่กว่ายอดอื่นๆ
มาก โดยความเข้มยอดลดลงอย่างรวดเร็วที่ระยะออกห่างจากจุดศูนย์กลางของ
รูปแบบการเลี้ยวเบน ในการหาความเข้มสูงสุด อาจจะคาดได้ว่ายอดอยู่ที่ต้าแหน่ง
ซึ่งฟังก์ ช่ันไซน์มีค่า ±1 นั่นคือ = ± 𝜋, ± 3𝜋, ± 5𝜋 หรือ โดยทั่วไปที่
ถูกต้องโดยประมาณว่า
𝛽 ≈ ±(2𝑚 + 1)𝜋, 𝑚 = 0,1,2, …
ถ้าหาอนุพันธ์สมการความเข้มเทียบกับ และให้เท่ากับศูนย์เพื่อหาค่าสูงสุด
และต่้าสุด จะได้สมการอดิสัย ซึ่งต้องใช้การแก้ด้วยวิธีเชิงตัวเลข (Numerical
method) ซึ่งที่จริงแล้ว ไม่มี ค่าสูงสุดใกล้ = ± 𝜋 โดยต้าแหน่งสูงสุดแรกบน
ข้างใดข้างหนึ่งใกล้ = ± 3𝜋 จะเกิดขึ้นจริงที่ 𝛽 = ±2.86𝜋 ดังนั้นเพื่อหา
ความเข้มที่ต้าแหน่งสูงสุดด้านข้าง เราจะแทนค่า กลับลงสมการความเข้ม ซึ่งจะ
ประมาณได้ว่า
𝐼𝑚 ≈𝐼0
(𝑚 +12)
𝜋2
ความกว้างของรูปแบบสลติเดีย่ว
ส้าหรับมุมเล็กๆ การกระจายเชิงมุมของรูปแบบการเลี้ยวเบนเป็นสัดส่วนผกผันกับความกว้างสลิต a หรือกล่าวได้ว่า
แปรผันตรงกับอัตราส่วนความกว้างสลิต a ต่อความยาวคลื่น จากรูปข้างล่างแสดงความเข้มเป็นฟังก์ช่ันมุม ส้าหรับ
อัตราส่วน a/ ต่างๆ
ส้าหรับคลื่นแสง (light waves) ความยาวคลื่น มักมีค่าน้อยกว่าความกว้างสลิต a และค่ามุม จะมีค่าน้อยท้าให้
ค่า sin = โดยการประมาณดังนี้ ที่ต้าแหน่ง 1 ซึ่งเป็นต้าแหน่งที่มีความเข้มน้อยที่สุดด้านข้างจากความเข้มสูงสุดกึ่งกลาง
และสัมพันธ์กับ /2= จะมีค่า 𝜃1 = 𝜆/𝑎
-
18 สลติหลายช่อง (Multiple Slit)
Yingyot Infahsaeng | THAMMASAT UNIVERSITY
ตัวอย่าง
a) จงหาความเข้มที่จุดที่ผลต่างเฟสรวมระหว่างคลื่นย่อยจากบนสุดและล่างสุดของสลิตมีค่า 66 rad
b) ถ้าจุดนี้อยู่ห่าง 7.0o จากต้าแหน่งสูงสุดกลาง สลิตกว้างเป็นกี่ความยาวคลื่น
จากโจทย์เราทราบว่า b = 66 rad ดังนั้น b/2 = 33 rad 𝐼 = 𝐼0 [sin(33 𝑟𝑎𝑑)
33 𝑟𝑎𝑑]2
= (9.2 × 10−4)𝐼0
ความเข้มนี้อยู่ที่ต้าแหน่งสูงสุดด้านข้างที่ 𝐼𝑚 ≈𝐼0
(𝑚+1
2)𝜋2
จาก β = 2πλa sin θ จะได้ว่า 𝑎 =
𝛽𝜆
2𝜋 sin𝜃= 86𝜆
ถ้าแสงมีความยาวคลื่น 633 nm ความกว้างสลิตคือ 86x633x10-9 = 4.7x10-5 = 47 m
สลิตหลายช่อง (Multiple Slit) กรณีมีสลิตความกว้างจ้ากัดสองช่อง ถ้าสลิตแคบมีขนาดใกล้เคียงกับคามยาวคลื่น เราสามารถ
ประมาณได้ว่าแสงจากแต่ละช่องสลิตมีความสม่้าเสมอในทุกทิศทางที่ออกมาจากสลิต และเมื่อสลิตกว้าง
จ้ากัด ต้าแหน่งยอดในรูปแบบการแทรกสอดของสลิตคู่จะถูกกล้้าสัญญาณโดยรูปแบบการเลี้ยวเบนสลิต
เดี่ยวซึ่งเป็นลักษณะของความกว้างของแต่ละสลิต จากภาพด้านข้าง
a) แสดงความเข้มในรูปแบบการเลี้ยวเบนสลิตเดี่ยวกว้าง a ต้าแหน่งความเข้มต่้าสุดของการ
เลี้ยวเบนจะก้าหนดด้วยเลขจ้านวนเต็ม md = ±1, ±2, … (d แทน diffraction)
b) แสดงความเข้มในรูปแบบการแทรกสอด ที่เกิดจากสลิตแคบมากสองช่องห่างกัน d โดยที่ d
เป็นสี่เท่าของความกว้างสลิตเดี่ยว a , d = 4a ต้าแหน่งสูงสุดการแทรกสอดจะก้าหนดด้วย
เลขจ้านวนเต็ม mi = 0,±1, ±2, … (i แทน interference)
เมื่อเปรียบเทียบภาพ (a) และ (b) จะพบว่าความเข้มต้าแหน่งต่้าสุดเคียงกันในรูปแบบสลิตเดี่ยวจะยาว
เป็นสี่เท่าของระยะห่างในรูปแบบสลิตคู่ จากภาพ (b) สมมติว่าเราขยายสลิตแคบแต่ละช่องให้กว้าง
เท่ากับความกว้าง a ของช่องสลิตเดี่ยวในรูป (a) นั่นคือ d = 4a ผลของความกว้างจ้ากัดของสลิตคือการ
ซ้อนทับรูปแบบท้ังสองดังรูป (c) ซึ่งความเข้มของรูปแบบการซ้อนทับกันของสลิตสองสลิตที่มีความกว้าง
จ้ากัดจะได้ว่า
𝐼 = 𝐼0 cos2𝜙
2[sin(𝛽/2)
𝛽/2]2
โดย 𝜙 = 2𝜋𝑑𝜆sin 𝜃 และ 𝛽 = 2𝜋𝑎
𝜆sin𝜃
-
19 สลติหลายช่อง (Multiple Slit)
Yingyot Infahsaeng | THAMMASAT UNIVERSITY
จากรูป (c) สังเกตได้ว่าต้าแหน่งความเข้มแทรกสอดที่ 4 ทางด้านข้างจะหายไป เพราะต้าแหน่งการแทรกสอดสูงสุดนี้
(mi = 4, 8,…) จะสอดคล้องต้าแหน่งเดียวกับต้าแหน่งการเลี้ยวเบนต่้าสุด (md = 1, 2,…) ท้าให้ความเข้มที่ต้าแหน่งนี้
หายไป
กรณีสลิตแคบมากหลายช่อง สลิตแบบนี้เป็นส่วนส้าคัญของสเปกโทรสโกปี
สมมติให้สลิตแต่ละช่องแคบเท่าๆ กับความยาวคลื่น ดังนั้นการกระจายรูปแบบการ
เลี้ยวเบนจะไม่สม่้าเสมอ จากรูปด้านข้าง แสดงสลิตแคบแปดช่อง ทีม่ีระยะระหว่างสลิต
เคียงกัน d การแทรกสอดแบบเสริมจะเกิดขึ้นที่มุม เทียบกับเส้นแนวฉากไปถึงจุด P
ที่มีผลต่างเส้นทางระหว่างสลิตเคียงกันเป็นจ้านวนเต็มเท่าของความยาวคลื่น ซึ่งจะได้ว่า
𝑑 sin 𝜃 = 𝑚𝜆, 𝑚 = 0, ± 1, ± 2, …
ซึ่งหมายความว่าการเสริมกันเกิดขึ้นเมื่อผลต่างเฟส ที่ต้าแหน่ง P ส้าหรับแสงจากสลิตเคียงกันจะเป็นเลขจ้านวน
เต็มเท่าของ 2 นั่นคือความเข้มสูงสุดในรูปแบบจะเกิดขึ้นที่ต้าแหน่งเดียวกัน เช่นเดียวกับสลิตคู่ที่มีระยะห่างสลิตเท่ากัน ใน
รูปแบบจากสลิตคู่นั้น จะมีความเข้มต่้าสุดแน่นอนอยู่ระหว่างคู่ความเข้มสงูสุด ซึ่งสัมพันธ์กับมุมที่มีผลต่างเฟสระหว่างคลื่นจาก
แหล่งก้าเนิดสองแหล่งคือ , 3, 5,… ส้าหรับรูปแบบของแปดสลิต ความเข้มต่้าสุดจะเกิดขึ้นท่ีต้าแหน่งนี้เช่นกันเนื่องจาก
แสงจากสลิตเคียงกันจะหักล้างกันพอดี สอดคล้องกับแผนภาพเฟสในรูป (a) ข้างล่าง แต่ต้าแหน่งนี้ไม่ใช่ต้าแหน่งเดียวที่มีความ
เข้มต่้าสุดส้าหรับรูปแบบแปดสลิต ตัวอย่างเช่น ความเข้มต่้าสุดจะเกิดขึ้นเมื่อผลต่างเฟสของแหล่งก้าเนิดเคียงกันเป็นเลข
จ้านวนเต็มเท่าของ /4 ดังรูป (b) ข้างล่าง เฟสเซอร์ลัพธ์รวมจะมีค่าเป็นศูนย์ ท้าให้ความเข้มเป็นศูนย์ด้วย ถ้าผลต่างเฟสเป็น
/2 เราจะได้แผนภาพเฟสเซอร์ตามรูป (c) ซึ่งเฟสเซอร์ลัพธ์และความเข้มจะเป็นศูนย์ด้วย
โดยทั่วไป ความเข้มของแปดสลิตจะมีค่าเป็นศูนย์เมื่อผลต่างเฟสเคียงกัน เป็นจ้านวนเต็มเท่าของ /4 ยกเว้นเมื่อ
เป็นจ้านวนเต็มเท่าของ 2 ดังนั้นแล้วส้าหรับแปดสลิต จะมีต้าแหน่งความเข้มต่้าสุด 7 ต้าแหน่ง ทุกๆ ช่วงความเข้มสูงสุด
โดยรูปแบบการแทรกสอดส้าหรับสลิตแคบมากที่ห่างเท่ากัน N สลติ จะมีรูปแบบตัวอย่างดังต่อไปนี้
-
20 เกรตติง้เลีย้วเบน (Diffraction grating)
Yingyot Infahsaeng | THAMMASAT UNIVERSITY
a) สองสลิต มีต้าแหน่งต่้าสุดหนึ่งต้าแหน่งระหว่างต้าแหน่งสูงสุดเคียงกัน
b) แปดสลิต มีต้าแหน่งต่้าสุดเจ็ดต้าแหน่งระหว่างคู่เคียงกันของต้าแหน่งสูงสุดที่สูงกว่าและแคบกว่า
c) สิบหกสลิต มีต้าแหน่งต่้าสุดสิบห้าต้าแหน่งระหว่างคู่ต้าแหน่งสูงสุด ที่มีความกว้างแคมาก
สเกลแนวดิ่งต่างกันในแต่ละกราฟ I0 คือความเข้มสูงสุดส้าหรับสลิตเดี่ยว และความเข้มสูงสุดส้าหรับ N สลิตคือ N2I0
ความกว้างของแต่ละยอดเป็นสัดส่วนกับ 1/N
เกรตติ้งเลี้ยวเบน (Diffraction grating) เกรตติงเลี้ยวเบนคือแถวของสลิตจ้านวนมากท่ีมีความกว้างเท่ากันและมีระยะห่าง
ระหว่างกลางสลิตเท่ากับ d เท่ากัน ส้าหรับเกรตติง บางครั้งเรียกสลิตว่า ร่อง (groove)
หรือ เส้น (line) ตามภาพเป็นเกรตติงส่องผ่าน ระยะ d เป็นระยะระหว่างก่ึงกลางสลิตเคียง
กัน เรียกว่า ระยะเกรตติง ต้าแหน่งความเข้มสูงสุด หลายสลิต คือ
𝑑 sin 𝜃 = 𝑚𝜆, 𝑚 = 0, ± 1, ± 2, …
เรียกเส้น m = ±1 ว่าเป็นเส้นล้าดับแรก เรียกเส้น m = ±2 ว่าเป็นเส้นล้าดับที่
สอง แต่ละค่า m สมนัยกับสเปกตรัมต่อเนื่อง มุมส้าหรับแต่ละความยาวคลื่นถูกก้าหนด
ด้วยสมการข้างต้น
ตัวอย่าง
ความยาวคลื่นของสเปกตรัมที่มองเห็นได้มีค่าประมาณ 400 nm ถึง 700 nm จงหาความกว้างเชิงมุมของสเปกตรัมที่มองเห็น
ได้ล้าดับแรกท่ีเกิดจากเกรตติงระนาบท่ีมี 600 สลิตต่อมิลลิเมตร เมื่อแสงขาวตกตั้งฉากบนเกรตติง
สเปกตรัมล้าดับแรกตรงกับ m = 1 ระยะเกรตติง d คือ 𝑑 = 1600 𝑠𝑙𝑖𝑡/𝑚𝑚
= 1.67 × 10−6 𝑚
ที่ m = 1 มุมเบี่ยงเบน v ของแสงสีม่วง (400 nm) คือ sin𝜃𝑣 =400×10−9 𝑚
1.67×10−6 𝑚= 0.240 θv = 13.9°
มุมเบี่ยงเบน r ของแสงสีแดง (700 nm) คือ sin𝜃𝑟 =700×10−9 𝑚
1.67×10−6 𝑚= 0.419 θr = 24.8°
ดังนั้นความกว้างเชิงมุมของสเปกตรัมที่มองเห็นได้ล้าดับแรกคือ 24.8° − 13.9° = 10.9°
-
21 เกรตติง้เลีย้วเบน (Diffraction grating)
Yingyot Infahsaeng | THAMMASAT UNIVERSITY
สเปกโทรมิเตอร์เกรตติง (Spectrometry grating)
เกรตติงเลี้ยวเบนสามารถน้ามาใช้ในการกระจายแสงให้เป็นสเปกตรัม ปริมาณสลิตจ้านวนมาก จะท้าให้ได้ความ
ละเอียดที่มากข้อแตกต่างระหว่างเกรตติงเลี้ยวเบนกับปรึซึมซึ่งเบนแสงสีแดงน้อยสุด
ก้าลังการแยกชัดเอกรงค์ (Chromatic Resolving Power)
การแยกชัดของสเปกโทรมิเตอร์เกรตติง Chromatic Resolving Power คือ ผลต่างความยาวคลื่นน้อยสุด Δλ ที่
สเปกโทรมิเตอร์แยกได้ด้วยกา้ลังการแยกชัดสี R
𝑅 =𝜆
𝛥𝜆= 𝑁𝑚
ยิ่งจ้านวนสลิต N มีค่ามาก การแยกชัดก็ยิ่งดี นอกจากน้ัน ยิ่งล้าดับ m ของต้าแหน่งสูงสุดของรูปแบบเลี้ยวเบนที่เรา
ใช้มีค่าสูง ก้าลังการแยกชัดก็ยิ่งดี
การเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์ (X-ray diffraction)
เมื่อรังสีเอกซ์ (X-rays) ผ่านผลึก ผลึกนั้นจะกระท้าตัวเสมือนเกรตติงเลี้ยวเบน เป็นผลให้รังสีเอกซ์เลี้ยวเบน รังสี
เอกซ์อยู่ช่วงประมาณ 10-10 m ซึ่งเป็นระยะเดียวกับระยะห่างระหว่างอะตอมท่ีวางตัวซ้้าๆ กัน (ผลึก)
คลื่นระนาบตกกระทบแถวล้าดับสี่เหลี่ยมผืนผ้าของจุดศูนย์กลางการกระเจิง ในกรณีคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า คลื่น
เหนี่ยวน้าโมเมนต์ขั้วคู่ไฟฟ้าแกว่งกวัดในแต่ละตัวกระเจิง ซึ่งท้าตัวเสมือนเป็นสายอากาศเล็กท่ีเปล่งคลื่นกระเจิงออกมา
-
22 เกรตติง้เลีย้วเบน (Diffraction grating)
Yingyot Infahsaeng | THAMMASAT UNIVERSITY
ในกรณีนี้คลื่นกระเจิงไม่ได้มีเฟสตรงกันทั้งหมด เพราะระยะ
top related