การแทรกสอดและการเลี้ยวเบน (interference and...

1 การแทรกสอด (Interference)

Yingyot Infahsaeng | THAMMASAT UNIVERSITY

การแทรกสอดและการเลี้ยวเบน (Interference and Diffraction)

การแทรกสอดและการเลี้ยวเบนเป็นปรากฏการณ์หนึ่งทางแสง ที่ยืนยันได้ว่าแสงมีคุณสมบัติเป็นคลื่น เนื่องจาก

ปรากฏการณ์ทั้งสองเป็นสิ่งที่เกิดขึ้นและสังเกตได้จากคลื่นกลชนิดต่างๆ เช่น คลื่นน้้า คลื่นในเส้นเชือก เป็นต้น และพฤติกรรม

แสงบางอย่าง เราไม่สามารถอธิบายอย่างง่ายให้เข้าใจโดยการใช้พื้นฐานของเส้นรังสีหรือทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตได้ เราจึง

ต้องศึกษาผลเชิงแสงที่ขึ้นอยู่กับธรรมชาติความเป็นคลื่นของแสง โดยเรามักเรียกการวิเคราะห์แสงด้วยคุณสมบัติความเป็น

คลื่นนี้ว่า ทัศนศาสตร์เชิงฟิสิกส์ (Optical Physics) หรือทัศนศาสตร์ของคลื่น (Wave Optics) ปรากฏการณ์เกี่ยวกับการ

แทรกสอดนั้น เราสามารถพบเห็นได้ในชีวิตประจ้าวันทั่วไปเช่น การเกิดสีรุ้งขึ้นบนผิวของฟองสบู่หรือฟิล์มน้้ามัน การเกิดสีรุ้ง

จากแสงสะท้อนแผ่น CD หรือ DVD การท้าไปหลักการแทรกสอดไปใช้ที่น่าตื่นตาอย่างหนึ่งคือการน้าไปใช้ในเทคนิคการแทรก

สอดแบบไมเคิลสัน (Michelson Interferometry) ซึ่งล่าสุดสามารถน้าไปตรวจวัดคลื่นความโน้มถ่วง (Gravitational waves)

อันโด่งดังได้ ในขณะที่การเลี้ยวเบนจะเป็นปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นเมื่อมีแหลง่ก้าเนิดคลืน่หลายแหลง่ และแสงสามารถโค้งอ้อมที่

ขอบหรือมุมของวัตถุได้ ท้าให้แสงที่ผ่านวัตถุทึบแสงที่ขอบหรือมุม และท้าให้เกิดเงาบนฉากที่อยู่ไกลออกไป ขอบเงาดังกล่าว

จะไม่คมชัดสมบูรณ์เสมอ การน้าหลักการเลี้ยวเบนไปใช้ประโยชน์ที่เห็นชัดเจนที่สุด คือ การเลี้ยวเบนของรังสีเอกซ์ และการ

สร้างภาพฮอโลกราฟฟี

ในบทนีจ้ะเป็นการอธิบายหลักการซ้อนทับ และแหล่งอาพันธ์ ซึ่งเป็นพ้ืนฐานส้าคัญส้าหรับการแทรกสอด จากนั้นจึง

วิเคราะห์การเกดิการแทรกสอดแบบเสรมิ และหักล้าง รวมไปถึงการแทรกสอดจากแหล่งก้าเนิดแสงมากกว่าหน่ึงแหล่ง และ

การแทรกสอดในฟิล์มบาง ส้าหรบัการเลีย้วเบน เราจะพิจารณาวิเคราะหเ์กี่ยวกับการเลี้ยวเบนที่เกิดขึ้นจากช่องสลิตเดี่ยวและ

หลายช่อง นอกจากนี้เรายังศึกษาตัวอย่างการน้าไปใช้ประโยชน์อีกด้วย

การแทรกสอด (Interference) การแทรกสอดจะหมายถึงเหตุการณ์ใดๆ ณ เวลาหนึ่ง ที่คลื่นสองคลื่นหรือ

มากกว่าสองคลื่น ทับกันในบริเวณหนึ่ง ซึ่งเราสามารถใช้ซ้อนทับ (Superposition

principle) เพื่อน้ามาพิจารณาผลการทับซ้อนของคลื่น ณ ต้าแหน่งนั้นๆ ได้ โดยหลักการ

ซ้อนทับกันกล่าวว่า

“เมื่อคลื่นสองคลื่นหรือมากกว่าทับกัน การกระจัดลัพธ์ที่จุดใดๆ ณ ขณะใดๆ

อาจหาได้โดยการบวกการกระจัดขณะหนึ่งที่จะเกิดขึ้นที่จุดนั้นจากคลื่นแต่ละคลื่นเมื่อมี

คลื่นนั้นคลื่นเดียว”

จากรูปทางซ้ายจะเห็นว่าคลื่นลัพธ์สุดท้าย เป็นผลรวมการกระจัดของคลื่นแต่ละ

คลื่น ณ ต้าแหน่งหนึ่งๆ และเวลาขณะใดๆ การกระจัดในที่นี้ ส้าหรับแสงซึ่งเป็นคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า เรามักหมายถึง

ส่วนประกอบหนึ่งของสนามไฟฟ้าหรือสนามแม่เหล็ก

2 การแทรกสอดแบบเสริมและหกัล้าง (Constructive and Destructive interference)


แหล่งอาพันธ์ (Coherent)

คลื่นแบบไซน์เป็นลักษณะพิเศษของแสงเอกรงค์ (แสงสีเดียว, monochromatic light) แหล่งก้าเนิดแสงทั่วไป ไม่ได้

ให้แสงเอกรงค์ เช่น หลอดไฟมักจะให้แสงที่มีความยาวคลื่นต่อเนื่องเป็นช่วงกว้าง อย่างไรก็ตามแหล่งก้าเนิดแสงเอกรงค์

สามารถสร้างได้โดยประมาณด้วยการใช้แผ่นกรองแสง เพื่อกรองแสงในบางช่วงความยาวคลื่นออกไป หรือการใช้เลเซอร์เป็น

แหล่งก้าเนิดแสงเอกรงค์ ส้าหรับแหล่งก้าเนิดแสงเอกรงค์สองแหล่งที่มีความถี่เท่ากันและมีความสัมพันธ์เฟสคงตัวแน่นอน โดย

ไม่จ้าเป็นท่ีเฟสตรงกัน เราจะเรียกแหล่งก้าเนิดแสงทั้งสองแหล่งว่าแหล่งอาพันธ์ (coherent)

การแทรกสอดแบบเสริมและหักล้าง (Constructive and Destructive interference) การแทรกสอดจะเริ่มพิจารณาเมื่อมีแหล่งอาพันธ์สองแหล่ง จากรูปข้างล่างคือ S1 และ S2 โดยสมมติให้ทั้งสองแหล่ง

นี้อยู่ห่างกันเป็นระยะ 4 เท่าของความยาวคลื่น (4) ต้าแหน่ง a, b และ c เป็นต้าแหน่งท่ีเราจะพิจารณาการแทรกสอด

การแทรกสอดแบบเสริม (Constructive interference) เกิดขึ้นเมื่อคลื่นอาพันธ์มาถึงจุดหนึ่งด้วยเฟสตรงกัน แอม

พลิจูดของคลื่นลัพธ์มีค่าเท่ากับผลบวกของแอมพลิจูดของแต่ละคลื่น ผลต่างเส้นทาง (Path difference) ส้าหรับแหล่งทั้ง

สองต้องเป็นเลขจ้านวนเต็มเท่าของความยาวคลื่น, ในรูป (b) ที่ต้าแหน่ง b จะอยู่ห่างจากแหล่งก้าเนิด S1 เป็นระยะ r1 =

7 ขณะที่จะอยู่ห่างจากแหล่งก้าเนิด S2 เป็นระยะ r2 = 9 ผลต่างเส้นทาง r2 – r1 = 2 ซึ่งเป็นจ้านวนเต็มเท่าของความยาว

คลื่น ที่ต้าแหน่ง b จึงเกิดการแทรกสอดแบบเสริมกัน

การแทรกสอดแบบหักล้าง (Destructive interference) เกิดขึ้นเมื่อคลื่นอาพันธ์ไปถึงจุดหนึ่งด้วยด้วยเฟสต่างกัน

ครึ่งรอบพอดี สันของคลื่นหนึ่งไปถึงเวลาเดียวกับท้องคลื่นของอีกลูกหนึ่ง แอมพลิจูดลัพธ์คือผลต่างระหว่างแอมพลิจูดของแต่

ละคลื่น ผลต่างเส้นทาง ส้าหรับแหล่งท้ังสองต้องเป็นครึ่งจ้านวนเต็มเท่าของความยาวคลื่น ในรูป (c) ที่ต้าแหน่ง c จะอยู่ห่าง

จากแหล่งก้าเนิด S1 เป็นระยะ r1 = 9.75 ขณะที่จะอยู่ห่างจากแหล่งก้าเนิด S2 เป็นระยะ r2 = 7.25 ผลต่างเส้นทาง r2 – r1

= 2.50 ซึ่งเป็นสองเท่าครึ่งของความยาวคลื่น ที่ต้าแหน่ง c จึงเกิดการแทรกสอดแบบหักล้างกัน

ในการพิจารณาที่ต้าแหน่งใดๆ จากรูปขวาสุด เส้นโค้งสีแดงแทนจุดทั้งหมดที่การแทรกสอดแบบเสริมกันเกิดขึ้น โดย

ผลต่างเส้นทางมีค่าเท่ากับเลขจ้านวนเต็ม m คูณกับความยาวคลื่น เรียกเส้นโค้งน้ีว่าเส้นโค้งปฏิบัพ (Antinodal curves)

𝑟2 − 𝑟1 = 𝑚𝜆

เส้นโค้งบัพ (Nodal curves) จะเป็นเส้นโค้งท่ีอยู่ครึ่งทางระหว่างเส้นโค้งปฏิบัพทั้งสอง

𝑟2 − 𝑟1 = (𝑚 +1

2) 𝜆

เมื่อ m คือเลขจ้านวนเต็มใด m = 0, ±1, ±2, ±3, …

3 การแทรกสอดของแสงจากสองแหลง่ (Young’s double-slit experiment with geometric analysis)


การแทรกสอดของแสงจากสองแหล่ง (Young’s double-slit experiment with geometric

analysis) เมื่อแสงเอกรงค์ (Monochromatic light) แบบคลื่นระนานบ ผ่านช่องสลิต S0 ขนาดเล็ก จะท้าให้แสงที่ออกมามี

หน้าคลื่นเป็นส่วนโค้งแบบทรงกระบอก (Cylindrical wave fronts) และเมื่อแสงนี้ผ่านช่องสลิตขนาดเล็ก S1 และ S2 จะ

เสมือนว่าเป็นแหล่งก้าเนิดแสงสองแหล่ง โดยที่แสงที่ผ่านช่องสลิตทั้งสองจะมีความเป็นอาพันธ์กัน (Coherent wave) แสง

จากแหล่งก้าเนิด S1 และ S2 จะเกิดการแทรกสอดกัน เมื่อน้าฉากมารับที่ระยะใดๆ จะท้าให้เกิดริ้วการแทรกสอด เป็นแถบมืด

และแถบสว่างสลับกันไปบนฉาก ดังรูป (a)

จากรูป (b) เมื่อพิจารณาช่องสลิต S1 และ S2 ที่อยู่ห่างกันเป็นระยะ d โดยมีฉากวางตัวขนาดกับช่องสลิตทั้งสองที่

ระยะ R พิจารณาต้าแหน่ง P บนฉาก ซึ่งอยู่ห่างจากช่องสลิต S1 เป็นระยะทาง r1 และอยู่ห่างจากช่องสลิต S2 เป็นระยะทาง r2

ให้เส้นรังสีตามระยะทาง r2 ท้ามุม กับเส้นตั้งฉากระหว่างระนาบสลิตกับฉาก ในสถานการณ์จริง ระยะทาง R จากสลิตไปยัง

ฉากจะมีระยะที่ไกลมากเมื่อเทียบกับระยะ d ระหว่างสลิต หรือ R>>d ดังนั้นแล้วเส้นรังสี r1 และ r2 จะถือว่าขนานกัน และ

ผลต่างเส้นทางของระยะทางทั้งสองคือ 𝑟2 − 𝑟1 = 𝑑 sin 𝜃 ดังนั้นแล้วที่ต้าแหน่ง P บนฉาก แสงจะเดินทางจากสลิต

S1 และ S2 มาถึงต้าแหน่งดังกล่าว ด้วยระยะทางไม่เท่ากัน ขึ้นอยู่กับผลต่างเส้นทาง จากหลักการการแทรกสอดแบบเสริมและ

หักล้างกันก่อนหน้า จะได้ว่า

4 การแทรกสอดของแสงจากสองแหลง่ (Young’s double-slit experiment with geometric analysis)


การแทรกสอดแบบเสริมกัน จะเกิดขึ้นเมื่อ

𝑑 sin 𝜃 = 𝑚𝜆

การแทรกสอดแบบหักล้างกัน จะเกิดขึ้นเมื่อ

𝑑 sin 𝜃 = (𝑚 +1

2) 𝜆

เมื่อ m คือเลขจ้านวนเต็มใด m = 0, ±1, ±2, ±3, … โดย d คือระยะห่างระหว่างสองสลิต คือมุมรองรับระหว่างเส้นกลาง

ระหว่างสลิตไปยังฉากกับเส้นจากต้าแหน่งกลางระหว่างสลิตไปยังต้าแหน่ง P ที่สนใจ และ คือความยาวคลื่น

ส้าหรับริ้วการแทรกสอดหรือฟริ้น (Fringes) จะแสดงแถบสว่างบนฉาก

เมื่อเกิดการแทรกสอดแบบเสริมกัน (Constructive interferenece) ส้าหรับ m

เป็นจ้านวนเต็มเท่าของความยาวคลื่น และจะแสดงแถบมืดเมื่อเกิดการแทรกสอด

แบบหักล้างกัน (Destructive interference) ส้าหรับ m+1/2 เท่าของความยาว

คลื่น เราสามารถหานิพจน์ส้าหรับต้าแหน่งจุดศูนย์กลางของแถบสว่างบนฉากได้

โดยก้าหนดให้ ym เป็นระยะจากศูนย์กลางของริ้ว = 0 ไปยังจุดศูนย์กลางของ

แถบสว่างที่ m โดยให้ m เป็นค่าที่สมนัยกันของ ym โดยที่ ym = R tan θm

จะได้ว่าระยะ ym มักน้อยกว่าระยะ R มากๆ ดังนั้น tanm sinm และส้าหรับ

มุมเล็กๆ จะได้ว่า

𝑦𝑚 = 𝑅𝑚𝜆

𝑑

ซึ่งจะเป็นการแทรกสอดแบบเสริมกันของยัง

ตัวอย่าง

ในการทดลองการแทรกสอดสลิตคู่การทดลองหนึ่ง สลิตอยู่ห่างกัน 0.20 mm และฉากอยู่ที่ระยะห่าง 1.0 m ริ้วสว่างริ้วที่สาม

(ไม่นับริ้วสว่างกลางที่อยู่ตรงข้างหน้าของสลิต) อยู่ที่ระยะห่าง 7.5 mm จากริ้วกลาง จงหาความยาวคลื่นแสงที่ใช้

จากโจทย์ ทราบว่า d = 0.20 mm, R = 1.0 m

m = 3, ym = 7.5 mm ดังนั้น

𝜆 =𝑦𝑚𝑑

𝑚𝑅= 500 × 10−9 𝑚

= 500 𝑛𝑚

ดังนั้นความยาวคลื่นแสงที่ใช้คือ 500 nm โดยที่

ริ้วนี้อาจเป็นริ้วที่ตรงกับ m = -3 ก็ได้

5 ความเข้มในรูปแบบการแทรกสอด


ค าถาม

ถ้าใช้เลเซอร์แบบปรับเปลี่ยนสีได้เป็นแหล่งก้าเนิดแสง เมื่อเปลี่ยนสีเลเซอร์จากสีแดงเป็นน้้าเงินระยะห่างระหว่างริ้วสว่างจะ

เปลี่ยนเป็นอย่างไร?

ก) ระยะห่างระหว่างริ้ว ลดลง ข) ระยะห่างระหว่างริ้ว ไม่เปลี่ยน ค) ระยะห่างระหว่างริ้ว เพิ่มขึ้น


แบบรูปการแพร่สัญญาณของสถานีวิทยุ สถานีวิทยุสถานีหนึ่งท้างานที่ความถี่ 1500 kHz = 1.5x106 Hz มีสายอากาศขั้วคู่

แนวดิ่งท่ีเหมือนกันทุกประการสองสาย อยู่ห่างกัน 400 m การแกว่งกวัดเฟสตรงกัน ที่ระยะมากกว่า 400 m มากๆ ความเข้ม

ในแบบรูปการแผ่คลื่นท่ีเกิดขึ้น มีขนาดสูงสุดในทิศทางใด

จากโจทย์ สถานีวิทยุนี้ท้างานที่ความยาวคลื่น 𝜆 = 𝑐/𝑓 = 200 𝑚 เนื่องจากมุมไม่จ้าเป็นต้องมีขนาดเล็ก จึงใช้

สมการการแทรกสอดแบบเสริม สองสลิต แทนค่าตัวเลขต่างๆ ส้าหรับ m = 0, ±1, ±2, …

sin 𝜃 =𝑚𝜆

𝑑=𝑚(200 𝑚)

400 𝑚=𝑚

2

𝜃 = 0,±30°,±90°

ค้าถามเพิ่มเติม 1. ถ้า m มากกว่า 2 จะเป็นอย่างไร? 2.

ความเข้มต่้าสุด (การแทรกสอดแบบหักล้าง) จะเกิดขึ้นที่

ทิศทางใด?

ความเข้มในรูปแบบการแทรกสอด จากริ้วการแทรกสอด เราจะหาความเข้มแสงในต้าแหน่งที่เกิดแถบสว่างได้อย่างไร เราสามารถพิจารณาได้จากการ

รวมคลื่นรูปไซน์จากสองแหล่งก้าเนิดที่ต้าแหน่ง P โดยการพิจารณาผลต่างเฟสของคลื่นทั้งสองที่ต้าแหน่ง P ซึ่งเป็นผลมาจาก

ผลต่างเส้นทาง แอมพลิจูดในการแทรกสอดจากสองแหล่ง ดังนั้นแล้วความเข้มในรูปแบบการแทรกสอดจะขึ้นอยู่กับก้าลังสอง

ของแอมพลิจูดสนามไฟฟ้า แบบเดียวกับท่ีเคยศึกษาในเรื่องคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า

ในการหาความเข้า เราจะเริ่มพิจารณาจาก คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้ารูปไซน์สองแหล่ง ที่มีแอมพลิจูดเท่ากันและมีโพลาไร

เซช่ันในทิศทางเดียวกัน โดยที่ความเข้มของคลื่นที่ต้าแหน่ง P จะมีค่าเท่ากับ 1

2𝜖0𝑐𝐸

2 ซึ่งขนาดแอมพลิจูดสนามไฟฟ้าจะ

ลดลง เมื่อระยะทางจากแหล่งก้าเนิดเพิ่มขึ้น ถ้าแหล่งก้าเนิดคลื่นทั้งสองเริ่มต้นมีเฟสตรงกัน (in phase) คลื่นที่มาถึงต้าแหน่ง

P จะมีเฟสแตกต่างกัน (phase difference) เป็นปริมาณผันตรงกับผลต่างระยะทางจากแหล่งก้าเนินคลื่นทั้งสอง (path

difference) แต่ถ้ามุมเฟสของคลื่นทั้งสองที่มาถึงต้าแหน่ง P คือ องค์ประกอบสนามไฟฟ้าของคลื่นทั้งสองที่ต้าแหน่ง P

สามารถเขียนได้ว่า 𝐸1(𝑡) = 𝐸 cos(𝜔𝑡 + 𝜙)

𝐸2(𝑡) = 𝐸 cos(𝜔𝑡)



การทับซ้อนกันของสนามไฟฟ้าทั้งสองที่ต้าแหน่ง P จะได้ผลลัพธ์

เป็นฟังก์ช่ันรูปไซน์ที่มีแอมพลิจูด Ep โดยจะขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดสูงสุด E

และผลต่างเฟส จากรูปทางซ้าย จะเป็นการน้าเสนอแบบเฟส (Phasor

representation) เ มื่ อ E1 จะ เป็ นองค์ ประกอบ เฟสแนวนอนจาก

แหล่งก้าเนิด S1 ขณะที่ E2 จะมาจากแหล่งก้าเนิด S2 เฟสทั้งสองมีขนาด

แอมพลิจูดสูงสุดเท่ากันคือ E แต่ E1 กับ E2 ท้ามุมกัน เฟสทั้งสองหมุน

ทวนเข็มนาฬิกาด้วยอัตราเร็วเชิงมุมเท่ากันคือ ผลรวมขององค์ประกอบ

ตามแนวนอนจะเป็นภาพฉาย (Projection) ที่เวลาใดๆ ของสนามไฟฟ้ารวม

E ที่ต้าแหน่ง P และผลรวมเวกเตอร์ของเฟสเซอร์ทั้งสอง E1 กับ E2 คือ Ep

โดยการใช้กฎของโคไซน์และตรีโกณมิติ จะได้ว่า

𝐸𝑝2 = 𝐸2 + 𝐸2 + 2𝐸2 cos(𝜋 − 𝜙) = 𝐸2 + 𝐸2 + 2𝐸2 cos𝜙

จาก 1 + cos𝜙 = 2 cos2(𝜙/2) จะได้ว่า 𝐸𝑝2 = 2𝐸2(1 + cos𝜙) = 4𝐸2 cos2(𝜙/2)

ดังนั้นแล้วแอมพลิจูดที่ต้าแหน่ง P ของการแทรกสอดจากแหล่งก้าเนิดสองแหล่งคือ

𝐸𝑝 = 2𝐸 |cos𝜙

2|

ส้าหรับการหาความเข้มในการแทรกสอดจากสองแหล่ง เราทราบว่า

𝐼 = 𝑆𝑎𝑣 =𝐸𝑝2

2𝜇0𝑐=

1

2𝜖0𝑐𝐸𝑝

2

แทนค่า Ep ลงไปจะได้ว่า

𝐼 = 2𝜖0𝑐𝐸2 cos2𝜙/2

ในกรณีพิเศษ ความเข้มสูงสุด I0 จะสัมพันธ์กับต้าแหน่งที่ผลต่างเฟสมีค่าเป็นศูนย์ มีค่า 𝐼0 = 2𝜖0𝑐𝐸2 ดังนั้น

ความเข้มในการแทรกสอดจากสองแหล่ง จะได้ว่า

𝐼 = 𝐼0 cos2𝜙

2

ความสัมพันธ์ระหว่างผลต่างเฟสกบัผลต่างเส้นทาง

เราทราบว่าผลต่างเฟสจะแปรผันตรงกับผลต่างเส้นทางที่ต้าแหน่ง P จากแหล่งก้าเนิดทั้งสองแหล่ง เมื่อผลต่าง

เส้นทางมีค่าหนึ่งความยาวคลื่น ผลต่างเฟสจะครบหนึ่งรอบวงกลมหรือ = 2 rad = 360o และเมื่อผลต่างเส้นทางมีค่า /2

ผลต่างเฟส = rad = 180o ดังนั้นแล้วอัตราส่วนของผลต่างเฟส ต่อ 2 จะเท่ากับผลต่างเส้นทาง r2-r1 ต่อ คือ

𝜙 =2𝜋

𝜆(𝑟2 − 𝑟1) = 𝑘(𝑟2 − 𝑟1)

เมื่อ k = 2/ คือเลขคลื่น โดยความยาวคลื่นนี้เป็นความยาวคลื่นในวัสดุที่มีค่าดัชนีหักเห n



สุดท้าย ถ้าต้าแหน่ง P อยู่ห่างจากแหล่งก้าเนิดมากกว่าระยะห่าง d มากๆ ผลต่างเส้นทางที่ท้าให้เกิดการแทรกสอด

จะได้ว่า 𝑟2 − 𝑟1 = 𝑑 sin 𝜃 จะท้าให้ผลต่างเฟสมีค่า

𝜙 = 𝑘(𝑟2 − 𝑟1) = 𝑘𝑑 sin 𝜃 =2𝜋𝑑

𝜆sin 𝜃

และความเข้มที่ต้าแหน่ง P จะได้ว่า

𝐼 = 𝐼0 cos2 (

1

2𝑘𝑑 sin 𝜃) = 𝐼0 cos

2 (𝜋𝑑

𝜆sin 𝜃)

จากสมการข้างต้น ต้าแหน่งที่ความเข้มมีค่าสูงสุด จะเกิดขึ้นเมื่อค่าโคไซน์มีค่า 1 ซึ่งจะได้ว่า

𝜋𝑑

𝜆sin 𝜃 = 𝑚𝜋 หรือ

𝑑 sin 𝜃 = 𝑚𝜆

เมื่อ m = 0, ±1, ±2, ±3, …

เมื่อฉากอยู่ห่างจากสลิตเป็นระยะทาง R เราสามารถนิยามต้าแหน่งบนฉากได้ด้วยระยะ y ต้าแหน่งริ้วสว่างที่เกิดขึ้น

เมื่อ y

8 การแทรกสอดในฟิล์มบาง (Thinfilm)


ความยาวคลื่น หลังจากเปลี่ยนความถี่คือ 𝜆 =𝑐

𝑓= 5.0 𝑚

ระยะระหว่างแหล่งคือ d = 10 m = 2 และจะได้ว่า 𝐼 = 𝐼0 cos2 (

𝜋𝑑

𝜆sin 𝜃)

𝐼 = (0.020 𝑊/𝑚2) cos2[(2𝜋 𝑟𝑎𝑑) sin 𝜃]

ก) ดังนั้นเมื่อ = 4.0o จะได้ความเข้ม I = 0.016 W/m2 ซึ่งประมาณ 82% ของความเข้มที่ = 0

ข) ความเข้ม I มีค่าเท่ากับ I0/2 เมื่อ cos(2𝜋 sin 𝜃) = ±1/√2

ซึ่งเกิดเมื่อ 2𝜋 sin 𝜃 = ±𝜋

4, sin 𝜃 = ±

1

8, 𝜃 = ±7.2°

ค) ความเข้มเป็นศูนย์เมื่อ cos(2𝜋 sin 𝜃) = 0

นั่นคือ 2𝜋 sin 𝜃 = ±𝜋

2, ±

3𝜋

2, sin 𝜃 = ±

1

4, ±

3

4, 𝜃 = ±14.5°,±48.6°

การแทรกสอดในฟิล์มบาง (Thinfilm) การแทรกสอดระหว่างรังสีที่สะท้อนจากผิวบนและผิวล่างของฟิล์มบาง

ผลต่างเส้นทางและการเลื่อนเฟสที่ผิวท้าให้แสงบางความยาวคลื่นแทรกสอดอย่าง

เสริมหรือหักล้าง

จากรูปซ้ายล่าง การแทรกสอดระหว่างคลื่นแสงสองคลื่นที่สะท้อนจาก

สองด้านของลิ่มอากาศท่ีคั่นแผ่นกระจกสองแผ่น ผลต่างเส้นทางคือ 2t โดยระยะ h

และ t มีขนาดน้อยกว่า l มากๆ

ที่จุด 2t เป็นเลขจ้านวนเต็มเท่าของความยาวคลื่น เราคาดว่าจะเห็นการ

แทรกสอดแบบเสริมและพื้นที่สว่าง และเมื่อ 2t เป็นครึ่งหนึ่งของเลขจ้านวนเต็ม

เท่าของความยาวคลื่น เราคาดว่าจะเห็นการแทรกสอดแบบหักล้างและพื้นที่มืด

ผลที่ได้ตรงกันข้าม ถ้า คลื่นสะท้อนคลื่นหนึ่งมีการเลื่อนเฟสไปครึ่งรอบระหว่างการ

สะท้อน

การสะท้อนแบบเสริมจากฟิล์มบาง ไม่มีการเลื่อนเฟสสัมพัทธ์

2𝑡 = 𝑚𝜆

การสะท้อนแบบหักล้างจากฟิล์มบาง ไม่มีการเลื่อนเฟสสัมพัทธ์

2𝑡 = (𝑚 +1

2)𝜆

เมื่อ m = 0, ±1, ±2, ±3, … และถ้ามีการเลื่อนเฟสสัมพัทธ์กัน สมการข้างต้นจะสลับกัน



การเลื่อนเฟสจากการสะท้อน

สนามไฟฟ้า Er เป็นสนามไฟฟ้าจากการสะท้อน ขณะที่สนามไฟฟ้า Ei เป็นสนามไฟฟ้าตกกระทบ โดยที่

𝐸𝑟 =𝑛𝑎 − 𝑛𝑏𝑛𝑎 + 𝑛𝑏

𝐸𝑖

รูป (a) เมื่อ na > nb แสงเดินทางในตัวกลางแรกช้ากว่าในตัวกลางที่สอง ในกรณีนี้ Er และ Ei มีเครื่องหมายเดียวกัน และการ

เลื่อนเฟสของคลื่นสะท้อนเทียบกับคลื่นตกกระทบเป็นศูนย์

รูป (b) เมื่อ na = nb แอมพลิจูด Er ของคลื่นสะท้อนเป็นศูนย์ คลื่นแสงตกกระทบไม่สามารถ “เห็น” ผิวร่วมได้ และดังนั้นจึง

ไม่มีคลื่นสะท้อน

รูป (c) เมื่อ na < nb แสดงเดินทางในวัสดุที่สองช้ากว่าในวัสดุแรก ในกรณีนี้ Er และ Ei มีเครื่องหมายตรงข้ามกัน และการ

เลื่อนเฟสของคลื่นสะท้อนเทียบกับคลื่นตกกระทบเท่ากับ rad (180o หรือครึ่งรอบ)

ฟิล์มบางและฟิล์มหนา ในฟิล์มบาง คลื่นแสงท่ีสะท้องมาจากสองผิวจะมีความเป็นอาพันธ์ (coherent) แต่ในฟิล์มหนา คลื่นแสง

ที่สะท้อนมาจากสองผิว จะไม่มีความสัมพันธ์ทางเฟส และไม่เป็นอาพันธ์กัน




สมมติว่าแผ่นแก้วตามรูป เป็นแผ่นสไลด์กล้องจุลทรรศน์สองแผ่นยาว 10 cm แผ่นทั้งสองแตะกันที่ปลายด้านหนึ่ง แต่ที่ปลาย

อีกด้านมีแผ่นกระดาษหนา 0.020 mm คั่นไว้ จงหาระยะห่างระหว่างริ้วการแทรกสอดที่เห็นจากการสะท้อน ริ้วที่แนวเส้น

สัมผัสเป็นริ้วมืดหรือริ้วสว่าง สมมติให้แสงเป็นแสงเอกรงค์ความยาวคลื่นในอากาศเท่ากับ 0 = 500 nm

คลื่นที่สะท้อนจากผิวล่างของลิ่มอากาศมีการเลื่อน

เฟสครึ่งรอบ คลื่นที่สะท้อนจากผิวบนไม่มีการเลื่อน

เฟส ดังนั้นริ่วที่เส้นสัมผัสเป็นริ้วมืด โดยมีเง่ือนไข

ส้าหรับการแทรกสอดแบบหักล้าง (ริ้วมืด) คือ

2𝑡 = 𝑚𝜆0

ความหนา t ของลิ่มอากาศท่ีแต่ละจุดเป็นสัดส่วนกับระยะ x จากเส้นท่ีสไลด์แตะกัน 𝑡

𝑥=

ℎ

𝑙 ซึ่งเราจะได้ว่า

2𝑥ℎ

𝑙= 𝑚𝜆0

𝑥 = 𝑚(1.25 𝑚𝑚)

ค่าเลขจ้านวนเต็ม m นี้ เป็นล้าดับต่อไปของต้าแหน่งริ้วมืด โดยที่ระยะห่างระหว่างริ้วเท่ากับ 1.25 mm

ค าถามเพ่ิมเติม

1. ถ้าใช้แสงท่ีมีความยาวคลื่นน้อยกว่านี้ ระยะห่างระหว่างริ้วจะเป็นอย่างไร?

2. ถ้าแผ่นแก้วมี n = 1.52 และช่องว่างระหว่างแผ่นแก้วมีน้้า n = 1.33 แทนท่ีอากาศ จะเกิดอะไรขึ้น?

วงแหวนนิวตัน (Newton Rings)

ผิวนูนของเลนส์ที่สัมผัสอยู่กับแผ่นแก้วระนาบ มีฟิล์มอากาศบางระหว่างผิวท้ังสอง เมื่อใช้แสงเอกรงค์ จะเห็นริ้วการ

แทรกสอดเป็นวงกลม เรียกว่าวงแหวนนิวตัน (Newton’s rings) โดยมีจุดศูนย์กลางของแบบรูปเป็นสีด้า

11 สารเคลอืบไมส่ะท้อนแสงและสารเคลอืบสะท้อนแสง


การใช้ริ้วการแทรกสอดเพื่อทดสอบเลนส ์

แผ่นเลนส์ที่ถูกทดสอบจะวางบนแผ่นจานหนากว่าที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง

โตกกว่าที่อยู่ด้านล่างและเป็นแม่แบบที่มีรูปร่างถูกต้องเส้นคอนทัวร์คือริ้วการแทรก

สอดของนิวตัน แต่ละเส้นบ่งบอกระยะเพิ่มขึ้นครึ่งความยาวคลื่นระหว่างช้ินตัวอย่าง

กับแม่แบบที่ระยะ 10 เส้นจากจุดกลาง ผิวทั้งสองอยู่ห่างกัน 5 ความยาวคลื่นหรือ

หรือประมาณ 0.003 mm เลนส์คุณภาพสูงถูกฝนให้มีความเที่ยงน้อยกว่าหนึ่งความ

ยาวคลื่น

สารเคลือบไม่สะท้อนแสงและสารเคลือบสะท้อนแสง เมื่อ nglass > nfilm > nair

แสงสะท้อนจากตัวกลางที่มีดัชนีหักเหสูงกว่าตัวกลางที่แสงก้าลังเดินทาง

ดังนั้นการเปลี่ยนเฟสเหมือนกันในการสะท้อนท้ังสอง

ถ้าความหนาของฟิล์มเท่ากับ ¼ ของความยาวคลื่นในฟิล์ม ผลต่าง

เส้นทางทั้งหมดจะเท่ากับครึ่งความยาวคลื่น

แสงสะท้อนจากผิวแรกจะมีเฟสต่างจากที่สะท้อนจากผิวที่สองครึ่งรอบ

และจะมีการแทรกสอดแบบหักล้าง เรียกวัสดุที่ฉาบ (nglass > nfilm ) ว่า

สารเคลือบไม่สะท้อนแสง

ถ้าฉาบวัสดุดัชนีหักเหสูงกว่าดัชนีหักเหของแก้วลงบนแก้วให้หนา ¼ ความยาวคลื่น กรณีนี้การเลื่อนเฟสครึ่งรอบที่ผิวร่วม

อากาศ-ฟิล์ม แต่ไม่มีการเลื่อนเฟสที่ผวิร่วมฟิล์ม-แก้ว จะมีการแทรกสอดแบบเสริม และสภาพสะท้อนจะเพิ่มขึ้น และเรียกวัสดุ

ที่ฉาบ (nglass < nfilm ) ว่า สารเคลือบสะท้อนแสง


วัสดุเคลือบเลนส์ที่ใช้กันสามัญคือแมกนีเซียมฟลูออไรด์ MgF2 ซึ่งมี n = 1.38 ส้าหรับแสงความยาวคลื่น 550 nm สารเคลือบ

ไม่สะท้อนแสงน้ีต้องหน้าเท่าใด ถ้าเอามาเคลือบแก้วที่มี n = 1.52

ความยาวคลื่นของแสงในสารเคลือบคือ

𝜆 =𝜆0𝑛=550 𝑛𝑚

1.38= 400 𝑛𝑚

ผิวไม่สะท้อนแสงของ MgF2 ควรมีความหนา ¼ ของความยาวคลื่น หรือ 100 nm

12 Michelson Interferometer


Michelson Interferometer อิน เตอร์ ฟี รอมิ เ ตอร์ ไม เคลสัน (The

Michelson Interferometer) มักใช้ในการวัดความ

ยาวคลื่นหรือการกระจัดสั้นๆ ที่ต้องการความ

เที่ยงตรงสูง เมื่อเลื่อนกระจกเงา M2 ช้าๆ ไปข้างหน้า

หรือหลังเป็นระยะ /2 ผลต่างความยาวเส้นทาง

ระหว่างรังสี 1 และ 2 จะเปลี่ยนไป ริ้วแต่ละริ้วจะ

เคลื่อนที่ไปทางซ้ายหรือขวาเท่ากับระยะระหว่างริ้ว

𝑦 =𝑚𝜆

2


อินเตอร์ฟีรอมิเตอร์ไมเคลสันเครื่องหนึ่งใช้แสงความยาวคลื่น 605.78 nm ถ้าผู้สังเกตมองแบบรูปการแทรกสอดผ่านกล้อง

โทรทรรศน์ท่ีเลนส์ใกล้ตามีสายใยเล็ง มีริ้วกี่ริ้วผ่านสายใยเล็งเมื่อกระจกเงา M2 เคลื่อนที่ได้หนึ่งเซนติเมตรพอดี

𝑚 =2𝑦

𝜆=2(1.000 × 10−2𝑚)

605.78 × 10−9𝑚= 33015

Exercises 1. สลิต 2 ช่องอยู่ห่างกัน 0.450 mm และอยู่ห่างจากฉาก 75.0 cm ระยะห่างระหว่างริ้วมืดที่ 2 และ 3 ซึ่งเกิดจาก

การแทรกสอด มีค่าเท่าใด สมมติใช้แสงเอกรงค์ท่ีมีความยาวคลื่น 500 nm

2. แสงเอกรงค์สองความแสงมีความยาวคลื่น 600 nm (สีแดง) และ 470 nm (สีน้้าเงิน) ผ่านสลิตคู่ที่มีระยะห่าง

ระหว่างสลิต 0.300 mm ท้าให้เกิดริ้วการแทรกสอดบนฉากที่อยู่ห่างออกไป 5.00 m ระยะห่างบนฉากระหว่างริ้ว

สว่างล้าดับที่ 1 ของแสงท้ังสองความยาวคลื่นมีค่าเท่าใด

3. แสงเอกรงค์ความยาวคลื่น 648 nm เดินทางจากอากาศตกกระทบตั้งฉากกับฟิล์มหนา 8.76 um ที่มีค่าดัชนีหักเห

1.35 ส่วนหน่ึงของแสงจะสะท้อนท่ีผิวแรกของฟิล์ม อีกส่วนหน่ึงของแสงจะสะท้อนกลับที่ผิวที่สอง ด้านหลังฟิล์ม ซึ่ง

เป็นรอยต่อระหว่างฟิล์มกับอากาศ จงหา

(a) จ้านวนลูกคลื่นที่อยู่ภายเส้นทางที่สองตั้งแต่ตกกระทบฟิล์ม จนกระทั่งสะท้อนกลับออกมาจากฟิล์ม

(b) ผลต่างเฟสระหว่างเส้นทางของแสงท้ังสอง หลังจากสะท้อนออกมาจากฟิล์ม

4. จากรูปอินเตอร์ฟีโรมิเตอร์ ระยะของ M2 จะเป็นเท่าใด เพื่อให้ริ้วแทรกสอดจ้านวน 1800 ริ้วผ่านเส้นสังเกต เมื่อใช้

แสงเลเซอร์ He-Ne ที่มีความยาวคลื่น 633 nm

13 การเลีย้วเบน (Diffraction)


การเล้ียวเบน (Diffraction) เราได้ศึกษารูปแบบการแทรกสอดที่เกิดขึ้นได้เมื่อคลื่นแสงสองคลื่นรวมกัน

ในตอนนี้เราจะศึกษาปรากฏการณ์การแทรกสอดเนื่องจากการรวมคลื่นแสงหลาย

คลื่น ที่เป็นผลมาจากพฤติกรรมคลื่นหลังจากผ่านช่องเปิด โดยแต่ละส่วนเล็กๆ ของ

ช่องเปิดจะท้าตัวเป็นแหล่งก้าเนิดคลื่น เมื่อคลื่นหลายคลื่นแทรกสอดกันจะเกิด

รูปแบบริ้วสว่างและมืด เราเรียกปรากฏการณ์อย่างนี้ว่าการเลี้ยวเบน (Diffraction)

ตัวอย่างหนึ่งของปรากฏการณ์ตามธรรมชาติของการเลี้ยวเบน คือ เมื่อแสงจาก

แหล่งก้าเนิดเอกรงค ์ผ่านใบมีดโกนท้าให้เกิดริ้วมืดและสว่างดังรูปด้านข้าง

ตามหลักการเชิงแสงแบบเรขาคณิตท้านายว่าแสงที่ฉายผ่านวัตถุใดๆ ไปยังฉาก

ควรจะท้าให้เกิดเงาที่คมชัด ดังรูป เมื่อแสงเดินทางจากแหล่งก้าเนิดแสง ผ่านขอบ

คมของวัตถุใด และท้าให้เกิดเงาขึ้นบนฉาก โดยไม่มีแสงใดตกบนฉากท่ีจุดภายในเงา

และพื้นที่นอกเงาจะสว่างเกือบสม่้าเสมอ แต่ในความเป็นจริง เงาที่คมชัดเหล่านี้ไม่

เกิดขึ้นเนื่องมาจาก การเลี้ยวเบนของแสง ท้าให้ไม่สามารถอธิบายด้วยแบบจ้าลอง

อย่างง่ายของทัศนศาสตร์ได้

จากรูปข้างล่าง แสดงตัวอย่างการเลี้ยวเบน ที่เกิดจากการวางใบมีดโกนที่

กึ่งกลางระหว่างรูเข็มซึ่งถูกส่องด้วยแสงเอกรงค์และฟิล์มถ่ายรูป ภาพขยายทางขวา

แสดงบริเวณใกล้เงาของขอบซ้ายของใบมีด ลูกศรบอกต้าแหน่งของเส้นเงาเชิง

เรขาคณิต พื้นที่นอกเงาเชิงเรขาคณิตมีแถบสว่างและแถบมืดสลับกันล้อมรอบขอบ และมีแสงนิดหน่อยในบริเวณเงา เรามักไม่

ค่อยเห็นรูปแบบดังกล่าวในชีวิตประจ้าวัน เพราะแสงธรรมดาส่วนมากไม่ใช่แสงเอกรงค์และไม่ใช่แหล่งก้าเนิดแสงแบบจุด ถ้า

เราใช้หลอดไฟทั่วไป แสงแต่ละความยาวคลื่นจากทุกจุดของหลอด จะท้าให้เกิดรูปแบบการเลี้ยวเบนของตัวเอง และแต่ละ

รูปแบบจะเกิดการทับซ้อนกันจนเราไม่สามารถเห็นตัวรูปแบบริ้วแถบสว่างและมืดได้



ถึงแม้ว่าเราไม่สามารถใช้ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตมาวิเคราะห์รูปแบบการเลี้ยวเบนได้ แต่ เราสามารถน้าทฤษฏีของฮอย

เกนส์มาวิเคราะห์การเลี้ยวเบนของแสงได้ โดยต้าแหน่งหน้าคลื่นท่ีเวลาภายหลังใดๆ คือเส้นโค้งท่ีสัมผัสกับคลื่นทุติยภูมิที่เวลา

นั้น โดยที่มีรูปแบบการเลี้ยวเบนได้ 2 รูปแบบดังนี ้

1. การเลี้ยวเบนระยะใกล้หรือแบบเฟรสเนล (Fresnel diffraction): แหล่งก้าเนิดแสง ฉาก และสิ่งกีดขวางอยู่ค่อนข้างใกล้กัน

2. การเลี้ยวเบนระยะไกลหรือแบบฟราวน์โฮเฟอร์ (Fraunhofer diffracion): แหล่งก้าเนิดแสง ฉาก และสิ่งกีดขวางอยู่ไกลจาก

กัน จนประมาณได้ว่าล้าแสงท่ีตกบนฉากเป็นล้าแสงขนาน

บางครั้งเราบรรยายการเลี้ยวเบนว่าเป็น “การโค้งของแสงอ้อมสิ่งกีดขวาง” โดยกระบวนการที่ท้าให้เกิดการเลี้ยวเบนจะมี

อยู่ในการแผ่ของทุกคลื่น รวมทั้งคลื่นย่อยของฮอยเกนส์ด้วย ดังนั้นแล้วการเลี้ยวเบนจะเกี่ยวข้องกับคลื่นย่อยของฮอยเกนส์ที่

แจกแจงอย่างต่อเนื่องตลอดพื้นที่ช่องเปิด หรือแหล่งหรือช่องเปิดจ้านวนมหาศาล อย่างไรก็ตาม ปรากฏการณ์ทั้งหมดจะถูก

ควบคุมด้วยฟิสิกส์พื้นฐานเดียวกันของหลักการซ้อนทับและหลักการของฮอยเกนส์

การเลี้ยวเบนจากสลิตเดี่ยว (Single Slit Diffraction)

พิจารณารูปแบบการแทรกสอดที่เกิดจากแสงเอกรงค์คลื่นระนาบ เมื่อแสงออกมาจากสลิตแคบยาว หลักการเชิงแสงแบบ

เรขาคณิตจะท้านายว่าล้าแสงส่งผ่านควรมีภาคตัดขวางขนาดเดียวกับสลิต ดังรูปข้างล่าง (a) แต่ในความเป็นจริง รูปแบบการ

เลี้ยวเบนจะเกิดขึ้นหลังจากผ่านช่องสลิต ซึ่งประกอบไปด้วยแถบสว่างกลางที่อาจกว้างกว่าความกว้างของช่องสลิตมาก

ล้อมรอบด้วยแถบสว่างแถบมืดสลับกันไป โดยมีความเข้มลดลงอย่างเห็นได้ชัด นอกจากนี้ ยังพบว่าความกว้างของแถบสว่าง

กลางเป็นสัดส่วน ผกผัน กับความกว้างของสลิต นั่นคือ ยิ่งความกว้างของช่องสลิตน้อยลง รูปแบบการเลี้ยวเบนทั้งหมดก็จะยิ่ง

กว้างขึ้น

เราสามารถใช้หลักการของฮอยเกนส์ อธิบายการเกิดรูปแบบการเลี้ยวเบนดังกล่าวได้ โดยพิจารณาจากรูปข้างล่าง

(a) – (d) โดยเรามองว่าช้ินพ้ืนท่ีของช่องเปิดสลิตแต่ละชิ้นเป็นแหล่งคลื่นทุติยภูมิได้

(a) คลื่นระนาบตกกระทบสลิต โดยแบ่งสลิตออกเป็นแถบแคบ ขนานกับขอบยาว กว้างเท่ากันหลายๆ แถบ และตั้งฉาก

กับหน้ากระดาษ แต่ละแถบของสลิตจะท้าตัวเป็นแหล่งของคลื่นย่อยทุติยภูมิทรงกระบอก ตามหลักการฮอยเกนส์

(b) ฉากถูกวางไว้ด้านขวาของสลิต การเลี้ยวเบนระยะใกล้ (เฟสเนล) เกิดเมื่อรังสีจากแต่ละแถบไปยังจุด P ไม่ขนานกัน

โดยเราสามารถค้านวณความเข้มลัพธ์ที่จุด P บนฉากได้โดยการบวกคลื่นย่อยแต่ละคลื่นเข้าด้วยกัน โดยค้านึกถึงเฟส

และแอมพลิจูดที่หลากหลายของคลื่น



(c) เมื่อฉากอยู่ไกลมากพอจากสลิต การเลี้ยวเบนระยะไกล (ฟราวน์โฮเฟอร์) จะเกิดขึ้น โดยพิจารณาว่ารังสีเหล่านั้น

ขนานกันได้

(d) การใช้เลนส์ทรงกระบอกตีบแสง เพื่อท้าให้รังสีขนานผ่านเลนส์ท้าให้เกิดภาพย่อส่วนของรูปแบบการเลี้ยวเบน

ระยะไกลเกิดขึ้นบนฉาก

การวัดระยะริ้วมืด (Dark Fringe)

ส้าหรับการเลี้ยวเบนแบบฟราวน์โฮเฟอร์จากสลิตเดี่ยวสามารถวิเคราะห์ได้อย่างง่ายๆ โดยพิจารณาจากรูปด้านข้าง

ผลต่างในความยาวเส้นทางไปยังจุด P คือ (a/2) sin โดยที่

a คือความกว้างสลิต และ คือมุมระหว่างเส้นตั้งฉากไป

ยังสลิต กับเส้นจากจุดศูนย์กลางของสลิตไปยัง P สมมติว่า

ผลต่างเส้นทางนี้เท่ากับ /2 แล้วแสงจากแถบสองแถบนี้จะ

ไปถึงจุด P โดยมีเฟสต่างกันครึ่งรอบ และหักล้างกัน และจะ

ได้ว่า ริ้วมืดเกิดเมื่อใดก็ตามที่ 𝑎/2 𝑠𝑖𝑛𝜃 = ±𝜆/2

ดังนั้นแล้ว ส้าหรับร้ิวมืดใดๆ ที่อยู่เหนือหรือต่้ากว่าจากจุด

ศูนย์กลาง จะได้ว่า

sin 𝜃 =𝑚𝜆

𝑎,

เมื่อ m = 0, ±1, ±2, ±3, …

ในกรณีที่แสงมีความยาวคลื่นมีขนาดเล็กกว่าความกว้างสลิตมากๆ จะประมาณได้ว่า 𝑠𝑖𝑛𝜃 ≈ 𝜃 ≈ 𝑡𝑎𝑛𝜃 จะได้ว่า

𝜃 = 𝑚𝜆/𝑎 ถ้าระยะจากสลิตไปยังฉากคือ 𝑥 และระยะในแนวดิ่งของแถบมืดที่ m จากจุดศูนย์กลางของรูปแบบคือ 𝑦𝑚

จะได้ว่า 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑦𝑚/𝑥 ดังนั้น

𝑦𝑚 = 𝑥𝑚𝜆

𝑎, 𝑓𝑜𝑟 𝑦𝑚 ≪ 𝑥

16 ความเข้มของการเลีย้วเบน (Intensity in Diffraction)



แสงเลเซอร์ 633 nm ผ่านสลิตแคบและสังเกตรูปแบบการเลี้ยวเบนบนฉากที่อยู่ห่างออกไป 6.0 m ระยะบนฉากระหว่างจุด

ศูนย์กลางของค่าต่้าสุดแรกสองข้างของริ้วสว่างกลางคือ 32 mm สลิตกว้างเท่าใด

ระยะระหว่างจุดบนฉากน้อยกว่าระยะจากสลิตไปถึงฉากมาก จึงประมาณว่ามุมมีค่าเล็กมาก ค่าต่้าสุดแรกคือริ้วมืดที่ m = 1

ระยะ y1 จากค่าสูงสุดกลางไปยังค่าต่้าสุดคือ y1 = (32 mm)/2 = 16 mm ดังนั้นความกว้างของสลิตคือ

𝑎 =𝑥𝜆

𝑦𝑎= 0.24 𝑚𝑚

ความเข้มของการเลี้ยวเบน (Intensity in Diffraction) การแจกแจงความเข้มส้าหรับรูปแบบการเลี้ยวเบนสลิตเดี่ยวสามารถวิเคราะห์ได้โดยใช้วิธีบวกเฟสเซอร์

a) ส้าหรับ x >> a จะถือได้ว่าเฟสเซอร์ทั้งหมดที่จุด O มีเฟสตรงกัน นั่นคือมีทิศทางเดียวกัน

b) ที่จุดศูนย์กลางรูปแบบการเลี้ยวเบน แอมพลิจูดลัพธ์ที่ O คือ E0 โดยสมมติว่าเกิดจากการ

แบ่งสลิตเป็น 14 แถบ

c) ผลบวกของเฟสซอร์เป็นส่วนของเส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า และ Ep ซึ่งเป็นแอมพลิ

จูดของสนามไฟฟ้าลัพธ์ที่ P คือเส้นคอร์ด โดยที่มุม คือผลต่างเฟสรวมระหว่างคลื่นจากแถบ

บนสุด ในรูป a) และคลื่นจากแถบล่างสุด

d) เมื่อแบ่งสลิตแคบลง จนลิมิตจ้านวนแถบเล็กเป็นอนันต์ เส้นโค้งเฟสเซอร์จะกลายเป็นส่วนโค้ง

วงกลม

โดยแอมพลิจูดในการเลี้ยวเบนสลิตเดี่ยว 𝐸𝑝 = 𝐸0sin(𝛽/2)

𝛽/2

และความเข้มในการเลี้ยวเบนสลิตเดี่ยว 𝐼 = 𝐼0 [sin(𝛽/2)

𝛽/2]2

17 ความเข้มของการเลีย้วเบน (Intensity in Diffraction)


ผลต่างเฟส สามารถเขียนในรูปปริมาณเรขาคณิตได้ โดยผลต่างเฟส 2π/ คูณผลต่างเส้นทาง ดังนั้น 𝛽 =2𝜋

𝜆𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝜃 และจะได้ว่า ความเข้มในการเลี้ยวเบนสลิตเดี่ยวคือ

𝐼 = 𝐼0 {sin[𝜋𝑎(sin𝜃)/𝜆]

𝜋𝑎(sin 𝜃)/𝜆}

2

ในการหาความเข้มสูงสุด เราจะพบว่ายอดความเข้มกลางจะใหญ่กว่ายอดอื่นๆ

มาก โดยความเข้มยอดลดลงอย่างรวดเร็วที่ระยะออกห่างจากจุดศูนย์กลางของ

รูปแบบการเลี้ยวเบน ในการหาความเข้มสูงสุด อาจจะคาดได้ว่ายอดอยู่ที่ต้าแหน่ง

ซึ่งฟังก์ ช่ันไซน์มีค่า ±1 นั่นคือ = ± 𝜋, ± 3𝜋, ± 5𝜋 หรือ โดยทั่วไปที่

ถูกต้องโดยประมาณว่า

𝛽 ≈ ±(2𝑚 + 1)𝜋, 𝑚 = 0,1,2, …

ถ้าหาอนุพันธ์สมการความเข้มเทียบกับ และให้เท่ากับศูนย์เพื่อหาค่าสูงสุด

และต่้าสุด จะได้สมการอดิสัย ซึ่งต้องใช้การแก้ด้วยวิธีเชิงตัวเลข (Numerical

method) ซึ่งที่จริงแล้ว ไม่มี ค่าสูงสุดใกล้ = ± 𝜋 โดยต้าแหน่งสูงสุดแรกบน

ข้างใดข้างหนึ่งใกล้ = ± 3𝜋 จะเกิดขึ้นจริงที่ 𝛽 = ±2.86𝜋 ดังนั้นเพื่อหา

ความเข้มที่ต้าแหน่งสูงสุดด้านข้าง เราจะแทนค่า กลับลงสมการความเข้ม ซึ่งจะ

ประมาณได้ว่า

𝐼𝑚 ≈𝐼0

(𝑚 +12)

𝜋2

ความกว้างของรูปแบบสลติเดีย่ว

ส้าหรับมุมเล็กๆ การกระจายเชิงมุมของรูปแบบการเลี้ยวเบนเป็นสัดส่วนผกผันกับความกว้างสลิต a หรือกล่าวได้ว่า

แปรผันตรงกับอัตราส่วนความกว้างสลิต a ต่อความยาวคลื่น จากรูปข้างล่างแสดงความเข้มเป็นฟังก์ช่ันมุม ส้าหรับ

อัตราส่วน a/ ต่างๆ

ส้าหรับคลื่นแสง (light waves) ความยาวคลื่น มักมีค่าน้อยกว่าความกว้างสลิต a และค่ามุม จะมีค่าน้อยท้าให้

ค่า sin = โดยการประมาณดังนี้ ที่ต้าแหน่ง 1 ซึ่งเป็นต้าแหน่งที่มีความเข้มน้อยที่สุดด้านข้างจากความเข้มสูงสุดกึ่งกลาง

และสัมพันธ์กับ /2= จะมีค่า 𝜃1 = 𝜆/𝑎

18 สลติหลายช่อง (Multiple Slit)



a) จงหาความเข้มที่จุดที่ผลต่างเฟสรวมระหว่างคลื่นย่อยจากบนสุดและล่างสุดของสลิตมีค่า 66 rad

b) ถ้าจุดนี้อยู่ห่าง 7.0o จากต้าแหน่งสูงสุดกลาง สลิตกว้างเป็นกี่ความยาวคลื่น

จากโจทย์เราทราบว่า b = 66 rad ดังนั้น b/2 = 33 rad 𝐼 = 𝐼0 [sin(33 𝑟𝑎𝑑)

33 𝑟𝑎𝑑]2

= (9.2 × 10−4)𝐼0

ความเข้มนี้อยู่ที่ต้าแหน่งสูงสุดด้านข้างที่ 𝐼𝑚 ≈𝐼0

(𝑚+1

2)𝜋2

จาก β = 2πλa sin θ จะได้ว่า 𝑎 =

𝛽𝜆

2𝜋 sin𝜃= 86𝜆

ถ้าแสงมีความยาวคลื่น 633 nm ความกว้างสลิตคือ 86x633x10-9 = 4.7x10-5 = 47 m

สลิตหลายช่อง (Multiple Slit) กรณีมีสลิตความกว้างจ้ากัดสองช่อง ถ้าสลิตแคบมีขนาดใกล้เคียงกับคามยาวคลื่น เราสามารถ

ประมาณได้ว่าแสงจากแต่ละช่องสลิตมีความสม่้าเสมอในทุกทิศทางที่ออกมาจากสลิต และเมื่อสลิตกว้าง

จ้ากัด ต้าแหน่งยอดในรูปแบบการแทรกสอดของสลิตคู่จะถูกกล้้าสัญญาณโดยรูปแบบการเลี้ยวเบนสลิต

เดี่ยวซึ่งเป็นลักษณะของความกว้างของแต่ละสลิต จากภาพด้านข้าง

a) แสดงความเข้มในรูปแบบการเลี้ยวเบนสลิตเดี่ยวกว้าง a ต้าแหน่งความเข้มต่้าสุดของการ

เลี้ยวเบนจะก้าหนดด้วยเลขจ้านวนเต็ม md = ±1, ±2, … (d แทน diffraction)

b) แสดงความเข้มในรูปแบบการแทรกสอด ที่เกิดจากสลิตแคบมากสองช่องห่างกัน d โดยที่ d

เป็นสี่เท่าของความกว้างสลิตเดี่ยว a , d = 4a ต้าแหน่งสูงสุดการแทรกสอดจะก้าหนดด้วย

เลขจ้านวนเต็ม mi = 0,±1, ±2, … (i แทน interference)

เมื่อเปรียบเทียบภาพ (a) และ (b) จะพบว่าความเข้มต้าแหน่งต่้าสุดเคียงกันในรูปแบบสลิตเดี่ยวจะยาว

เป็นสี่เท่าของระยะห่างในรูปแบบสลิตคู่ จากภาพ (b) สมมติว่าเราขยายสลิตแคบแต่ละช่องให้กว้าง

เท่ากับความกว้าง a ของช่องสลิตเดี่ยวในรูป (a) นั่นคือ d = 4a ผลของความกว้างจ้ากัดของสลิตคือการ

ซ้อนทับรูปแบบท้ังสองดังรูป (c) ซึ่งความเข้มของรูปแบบการซ้อนทับกันของสลิตสองสลิตที่มีความกว้าง

จ้ากัดจะได้ว่า

𝐼 = 𝐼0 cos2𝜙

2[sin(𝛽/2)

𝛽/2]2

โดย 𝜙 = 2𝜋𝑑𝜆sin 𝜃 และ 𝛽 = 2𝜋𝑎

𝜆sin𝜃

19 สลติหลายช่อง (Multiple Slit)


จากรูป (c) สังเกตได้ว่าต้าแหน่งความเข้มแทรกสอดที่ 4 ทางด้านข้างจะหายไป เพราะต้าแหน่งการแทรกสอดสูงสุดนี้

(mi = 4, 8,…) จะสอดคล้องต้าแหน่งเดียวกับต้าแหน่งการเลี้ยวเบนต่้าสุด (md = 1, 2,…) ท้าให้ความเข้มที่ต้าแหน่งนี้

หายไป

กรณีสลิตแคบมากหลายช่อง สลิตแบบนี้เป็นส่วนส้าคัญของสเปกโทรสโกปี

สมมติให้สลิตแต่ละช่องแคบเท่าๆ กับความยาวคลื่น ดังนั้นการกระจายรูปแบบการ

เลี้ยวเบนจะไม่สม่้าเสมอ จากรูปด้านข้าง แสดงสลิตแคบแปดช่อง ทีม่ีระยะระหว่างสลิต

เคียงกัน d การแทรกสอดแบบเสริมจะเกิดขึ้นที่มุม เทียบกับเส้นแนวฉากไปถึงจุด P

ที่มีผลต่างเส้นทางระหว่างสลิตเคียงกันเป็นจ้านวนเต็มเท่าของความยาวคลื่น ซึ่งจะได้ว่า

𝑑 sin 𝜃 = 𝑚𝜆, 𝑚 = 0, ± 1, ± 2, …

ซึ่งหมายความว่าการเสริมกันเกิดขึ้นเมื่อผลต่างเฟส ที่ต้าแหน่ง P ส้าหรับแสงจากสลิตเคียงกันจะเป็นเลขจ้านวน

เต็มเท่าของ 2 นั่นคือความเข้มสูงสุดในรูปแบบจะเกิดขึ้นที่ต้าแหน่งเดียวกัน เช่นเดียวกับสลิตคู่ที่มีระยะห่างสลิตเท่ากัน ใน

รูปแบบจากสลิตคู่นั้น จะมีความเข้มต่้าสุดแน่นอนอยู่ระหว่างคู่ความเข้มสงูสุด ซึ่งสัมพันธ์กับมุมที่มีผลต่างเฟสระหว่างคลื่นจาก

แหล่งก้าเนิดสองแหล่งคือ , 3, 5,… ส้าหรับรูปแบบของแปดสลิต ความเข้มต่้าสุดจะเกิดขึ้นท่ีต้าแหน่งนี้เช่นกันเนื่องจาก

แสงจากสลิตเคียงกันจะหักล้างกันพอดี สอดคล้องกับแผนภาพเฟสในรูป (a) ข้างล่าง แต่ต้าแหน่งนี้ไม่ใช่ต้าแหน่งเดียวที่มีความ

เข้มต่้าสุดส้าหรับรูปแบบแปดสลิต ตัวอย่างเช่น ความเข้มต่้าสุดจะเกิดขึ้นเมื่อผลต่างเฟสของแหล่งก้าเนิดเคียงกันเป็นเลข

จ้านวนเต็มเท่าของ /4 ดังรูป (b) ข้างล่าง เฟสเซอร์ลัพธ์รวมจะมีค่าเป็นศูนย์ ท้าให้ความเข้มเป็นศูนย์ด้วย ถ้าผลต่างเฟสเป็น

/2 เราจะได้แผนภาพเฟสเซอร์ตามรูป (c) ซึ่งเฟสเซอร์ลัพธ์และความเข้มจะเป็นศูนย์ด้วย

โดยทั่วไป ความเข้มของแปดสลิตจะมีค่าเป็นศูนย์เมื่อผลต่างเฟสเคียงกัน เป็นจ้านวนเต็มเท่าของ /4 ยกเว้นเมื่อ

เป็นจ้านวนเต็มเท่าของ 2 ดังนั้นแล้วส้าหรับแปดสลิต จะมีต้าแหน่งความเข้มต่้าสุด 7 ต้าแหน่ง ทุกๆ ช่วงความเข้มสูงสุด

โดยรูปแบบการแทรกสอดส้าหรับสลิตแคบมากที่ห่างเท่ากัน N สลติ จะมีรูปแบบตัวอย่างดังต่อไปนี้

20 เกรตติง้เลีย้วเบน (Diffraction grating)


a) สองสลิต มีต้าแหน่งต่้าสุดหนึ่งต้าแหน่งระหว่างต้าแหน่งสูงสุดเคียงกัน

b) แปดสลิต มีต้าแหน่งต่้าสุดเจ็ดต้าแหน่งระหว่างคู่เคียงกันของต้าแหน่งสูงสุดที่สูงกว่าและแคบกว่า

c) สิบหกสลิต มีต้าแหน่งต่้าสุดสิบห้าต้าแหน่งระหว่างคู่ต้าแหน่งสูงสุด ที่มีความกว้างแคมาก

สเกลแนวดิ่งต่างกันในแต่ละกราฟ I0 คือความเข้มสูงสุดส้าหรับสลิตเดี่ยว และความเข้มสูงสุดส้าหรับ N สลิตคือ N2I0

ความกว้างของแต่ละยอดเป็นสัดส่วนกับ 1/N

เกรตติ้งเลี้ยวเบน (Diffraction grating) เกรตติงเลี้ยวเบนคือแถวของสลิตจ้านวนมากท่ีมีความกว้างเท่ากันและมีระยะห่าง

ระหว่างกลางสลิตเท่ากับ d เท่ากัน ส้าหรับเกรตติง บางครั้งเรียกสลิตว่า ร่อง (groove)

หรือ เส้น (line) ตามภาพเป็นเกรตติงส่องผ่าน ระยะ d เป็นระยะระหว่างก่ึงกลางสลิตเคียง

กัน เรียกว่า ระยะเกรตติง ต้าแหน่งความเข้มสูงสุด หลายสลิต คือ

𝑑 sin 𝜃 = 𝑚𝜆, 𝑚 = 0, ± 1, ± 2, …

เรียกเส้น m = ±1 ว่าเป็นเส้นล้าดับแรก เรียกเส้น m = ±2 ว่าเป็นเส้นล้าดับที่

สอง แต่ละค่า m สมนัยกับสเปกตรัมต่อเนื่อง มุมส้าหรับแต่ละความยาวคลื่นถูกก้าหนด

ด้วยสมการข้างต้น


ความยาวคลื่นของสเปกตรัมที่มองเห็นได้มีค่าประมาณ 400 nm ถึง 700 nm จงหาความกว้างเชิงมุมของสเปกตรัมที่มองเห็น

ได้ล้าดับแรกท่ีเกิดจากเกรตติงระนาบท่ีมี 600 สลิตต่อมิลลิเมตร เมื่อแสงขาวตกตั้งฉากบนเกรตติง

สเปกตรัมล้าดับแรกตรงกับ m = 1 ระยะเกรตติง d คือ 𝑑 = 1600 𝑠𝑙𝑖𝑡/𝑚𝑚

= 1.67 × 10−6 𝑚

ที่ m = 1 มุมเบี่ยงเบน v ของแสงสีม่วง (400 nm) คือ sin𝜃𝑣 =400×10−9 𝑚

1.67×10−6 𝑚= 0.240 θv = 13.9°

มุมเบี่ยงเบน r ของแสงสีแดง (700 nm) คือ sin𝜃𝑟 =700×10−9 𝑚

1.67×10−6 𝑚= 0.419 θr = 24.8°

ดังนั้นความกว้างเชิงมุมของสเปกตรัมที่มองเห็นได้ล้าดับแรกคือ 24.8° − 13.9° = 10.9°



สเปกโทรมิเตอร์เกรตติง (Spectrometry grating)

เกรตติงเลี้ยวเบนสามารถน้ามาใช้ในการกระจายแสงให้เป็นสเปกตรัม ปริมาณสลิตจ้านวนมาก จะท้าให้ได้ความ

ละเอียดที่มากข้อแตกต่างระหว่างเกรตติงเลี้ยวเบนกับปรึซึมซึ่งเบนแสงสีแดงน้อยสุด

ก้าลังการแยกชัดเอกรงค์ (Chromatic Resolving Power)

การแยกชัดของสเปกโทรมิเตอร์เกรตติง Chromatic Resolving Power คือ ผลต่างความยาวคลื่นน้อยสุด Δλ ที่

สเปกโทรมิเตอร์แยกได้ด้วยกา้ลังการแยกชัดสี R

𝑅 =𝜆

𝛥𝜆= 𝑁𝑚

ยิ่งจ้านวนสลิต N มีค่ามาก การแยกชัดก็ยิ่งดี นอกจากน้ัน ยิ่งล้าดับ m ของต้าแหน่งสูงสุดของรูปแบบเลี้ยวเบนที่เรา

ใช้มีค่าสูง ก้าลังการแยกชัดก็ยิ่งดี

การเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์ (X-ray diffraction)

เมื่อรังสีเอกซ์ (X-rays) ผ่านผลึก ผลึกนั้นจะกระท้าตัวเสมือนเกรตติงเลี้ยวเบน เป็นผลให้รังสีเอกซ์เลี้ยวเบน รังสี

เอกซ์อยู่ช่วงประมาณ 10-10 m ซึ่งเป็นระยะเดียวกับระยะห่างระหว่างอะตอมท่ีวางตัวซ้้าๆ กัน (ผลึก)

คลื่นระนาบตกกระทบแถวล้าดับสี่เหลี่ยมผืนผ้าของจุดศูนย์กลางการกระเจิง ในกรณีคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า คลื่น

เหนี่ยวน้าโมเมนต์ขั้วคู่ไฟฟ้าแกว่งกวัดในแต่ละตัวกระเจิง ซึ่งท้าตัวเสมือนเป็นสายอากาศเล็กท่ีเปล่งคลื่นกระเจิงออกมา



ในกรณีนี้คลื่นกระเจิงไม่ได้มีเฟสตรงกันทั้งหมด เพราะระยะ

การแทรกสอดและการเลี้ยวเบน (interference and...

Documents