หน่วยที่ 1 ระบบต่าง ๆ...

1

ค าน า

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ล าดบและอนกรม กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร รายวชาคณตศาสตรพนฐาน รหสวชา ค32101 ชนมธยมศกษาปท 5 เลมท 1 ความหมายและการหาพจนทวไปของล าดบ จดท าขนเพอพฒนาการออกแบบการเรยนรและพฒนาการเรยนรใหมประสทธภาพตามเกณฑมาตรฐาน โดยมงเนนสงเสรมความกาวหนาทางการเรยนรความหมายและการหาพจนทวไปของล าดบ ทมงเนนผเรยนเปนส าคญ โดยใชกระบวนการคดวเคราะหสงเคราะหหลายรปแบบ โดยผเรยนสามารถศกษาคนควาดวยตนเอง ท าใหเกดทกษะการเรยนรอยางถกวธและมประสทธภาพ ผจดท าหวงเปนอยางยงวา แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ล าดบและอนกรม เลมท 1 ความหมายและการหาพจนทวไปของล าดบน จะเปนประโยชน ตอผเรยน ในการเรยนร สามารถน าผเรยนไปสจดหมายตามศกยภาพ เปนผทมคณลกษณะ อนพงประสงค น าความรไปประยกตใชในชวตประจ าวนได และ เปนแนวทางส าหรบ ผทมความสนใจตอไป ขอขอบพระคณผอ านวยการโรงเรยน คณะครผเชยวชาญ ผทมสวนเกยวของ ทกทานและขอบใจนกเรยน ชนมธยมศกษาปท 5 ทกคน ทใหก าลงใจตลอดมา ท าให แบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมนส าเรจลลวงดวยด ขอขอบคณเปนอยางสง ไว ณ โอกาสน

สภา เสอเขยว

2

สารบญ หนา ค าน า............................................................................................................................. สารบญ......................................................................................................................... สวนประกอบของแบบฝกทกษะ................................................................................... ค าชแจง......................................................................................................................... คมอคร.......................................................................................................................... คมอนกเรยน................................................................................................................. จดประสงคการเรยนร................................................................................................... แบบทดสอบกอนเรยน................................................................................................. ใบความรท 1................................................................................................................

แบบฝกทกษะท 1............................................................................................. ใบความรท 2................................................................................................................

แบบฝกทกษะท 2............................................................................................. แบบฝกทกษะท 3............................................................................................. แบบฝกทกษะท 4.............................................................................................

ใบความรท 3................................................................................................................ แบบฝกทกษะท 5.............................................................................................

แบบทดสอบหลงเรยน.................................................................................................. บรรณานกรม............................................................................................................... ภาคผนวก....................................................................................................................

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน............................................................................ เฉลยแนวค าตอบแบบฝกทกษะท 1................................................................. เฉลยแนวค าตอบแบบฝกทกษะท 2................................................................. เฉลยแนวค าตอบแบบฝกทกษะท 3................................................................. เฉลยแนวค าตอบแบบฝกทกษะท 4................................................................. เฉลยแนวค าตอบแบบฝกทกษะท 5................................................................. เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน............................................................................

1 2 3 4 5 7 8 9

12 14 15 18 19 20 21 25 26 29 30 31 32 33 34 35 36 37

3

สวนประกอบของแบบฝกทกษะคณตศาสตร

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ล าดบและอนกรม เลมท 1 ความหมายและการหาพจนทวไปของล าดบ ประกอบดวย

1. สวนประกอบตน มดงน ปก ค าน า สารบญ สวนประกอบของแบบฝกทกษะ ค าชแจง 2. คมอคร มดงน ค าชแจงส าหรบครผสอน 3. คมอนกเรยน มดงน ค าชแจงส าหรบนกเรยน จดประสงคการเรยนร แบบทดสอบกอนเรยน เนอหา แบบฝกทกษะ แบบทดสอบหลงเรยน บรรณานกรม ภาคผนวก เฉลยแบบทดสอบและเฉลยแบบฝกทกษะ

4

ค าชแจง เพอใหการศกษาแบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ล าดบและอนกรม กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร รายวชาคณตศาสตรพนฐาน รหสวชา ค32101 ชนมธยมศกษา ปท 5 เลมท 1 ความหมายและการหาพจนทวไปของล าดบ นกเรยนควรปฏบตดงน 1. ท าแบบทดสอบกอนเรยนเพอตรวจสอบความรเดมของนกเรยนกอนทจะศกษาแบบฝกทกษะคณตศาสตร 2. ศกษาจดประสงคการเรยนรและเนอหาตามล าดบขนตอนใหเขาใจ 3. ศกษาแบบฝกทกษะคณตศาสตรแตละเรองตามล าดบใหตอเนองกน หากม ขอสงสยหรอพบปญหาใหขอค าแนะน าหรอสอบถามจากครผสอนเมอศกษาเนอหาจบในแตละใบความรแลวใหท าแบบฝกทกษะเพอทบทวนความร 4. เมอศกษาเนอหาและปฏบตกจกรรมครบทกกจกรรมแลวใหท าแบบทดสอบหลงเรยนและตรวจค าตอบกบเฉลย 5. นกเรยนตองซอสตยตอตนเอง ไมดเฉลยแนวค าตอบกอนตอบค าถาม 6. เมอท าผดควรยอนกลบไปศกษาเนอหาใหมอกครง

กายพรอม ใจพรอมเราท าได ตงใจรวมกจกรรมนะคะนกเรยน

5

คมอคร

ค าชแจงส าหรบครผสอนแบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ล าดบและอนกรม กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5 แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ล าดบและอนกรม กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5 ไดแบงขนตอนการด าเนนการ ดงน ขนท 1 การทดสอบกอนใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ล าดบและอนกรม โดยน าแบบทดสอบกอนเรยน วดผลการเรยนรซงเปนแบบปรนยจ านวนชดละ 10 ขอ ขนท 2 การใหความรกบนกเรยน เปนขนทครจดกจกรรมการเรยนรใหนกเรยนมความเขาใจในเนอหาในแบบฝกทกษะคณตศาสตรประกอบ เพอใหนกเรยนมความเขาใจทดขน ขนท 3 น าแบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ล าดบและอนกรม มาใชในการสรางความเขาใจในเนอหา ในแตละเลม ขนท 4 การใหนกเรยนไดฝกฝน เปนการใหนกเรยนไดท าแบบฝกทกษะใน แตละเลม ขนท 5 การทดสอบหลงเรยนแตละเลม เปนการวดผลสมฤทธการเรยนรของนกเรยนในแตละเลม

มอย 2 สงทมกเสยใจในภายหลง 1. ท ำไปไมทนไดคด 2. ไดแตคดไมทนไดท ำ

6

บทบาทผสอน 1. ทดสอบนกเรยนกอนเรยนโดยการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร ดวยขอสอบปรนย 30 ขอ 2. แบงนกเรยนเปนกลม กลม 5-6 คน โดยคละนกเรยนเกง ปานกลาง ออน ใหอยในกลมเดยวกน เพอใหนกเรยนเกงไดชวยสอนนกเรยนทเรยนออน 3. ใหนกเรยนเลอกประธาน เลขานการกลม ผสอนแนะน าบทบาทหนาทของสมาชก 4. เตรยมแบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ล าดบและอนกรม กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5 ใหผเรยนซงประกอบไปดวยคมอนกเรยน ดงน ค าชแจงส าหรบผเรยน เนอหา แบบฝกทกษะ แบบทดสอบกอนเรยนและแบบทดสอบหลงเรยนของแบบฝกทกษะแตละเลม 5. ขณะทนกเรยนใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ล าดบและอนกรม ผสอนคอยดแลชแนะ และใหค าปรกษาสงเกตพฤตกรรมการท างานรายบคคล และการท างานกลม เพอเสนอแนะและปรบปรงการท างานใหดขน 6. ผสอน/ผเรยนเกบคะแนนจากการท าแบบฝกทกษะ และการทดสอบกอนเรยนและหลงเรยนของแบบฝกทกษะแตละชด ตรวจผลงานนกเรยนและประเมนผล 7. ใหนกเรยนท าแบบทดสอบวดผลสมฤทธหลงเรยนใชเวลา 60 นาท

7

คมอนกเรยน

นกเรยนปฏบต ดงน ท าแบบทดสอบกอนเรยน (รายบคคล) จ านวน 10 ขอ ลงในกระดาษค าตอบ ศกษาเนอหาเลมท 1 ความหมายและการหาพจนทวไปของล าดบ ท าแบบฝกทกษะใหครบทกฉบบ ตรวจค าตอบแบบฝกทกษะจากเฉลย น าผลการท าแบบทดสอบกอนเรยน-หลงเรยน มาบนทกลงในตารางเพอใหทราบผลการเรยนและการพฒนา

8

จดประสงคการเรยนร

1. ดานความร 1.1 นกเรยนสามารถบอกความหมายของล าดบได 1.2 นกเรยนสามารถหาพจนท n เมอก าหนด an ใหได 1.3 นกเรยนสามารถหาพจนทวไปของล าดบจ ากดทก าหนดใหได 2. ดานทกษะกระบวนการ 2.1 ในการเชอมโยงศาสตรเดยวกน 2.2 ในการใหเหตผล 2.3 ในการแกปญหา 3. ดานคณลกษณะอนพงประสงค 3.1 มความรบผดชอบ 3.2 มความซอสตย 3.3 มระเบยบวนย

9

แบบทดสอบกอนเรยน เลมท 1 ความหมายและการหาพจนทวไปของล าดบ

ค าสง ใหนกเรยนท าเครองหมาย ค าตอบทถกทสดในกระดาษค าตอบ (10 คะแนน)

1. พจารณาขอความตอไปน 1.) ล าดบเปนฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตม 2.) ในการเขยนล าดบจะเขยนเฉพาะสมาชกของเรนจเรยงกนไป ขอใดถกตอง ก. 1.) ถก และ 2.) ผด ข. 1.) ผด และ 2.) ถก ค. ผดทง 1.) และ 2.) ง. ถกทง 1.) และ 2.)

2. พจารณาขอความตอไปน 1.) ล าดบทมโดเมนเปนเซตจ ากดจะเปนล าดบจ ากด 2.) ล าดบอนนตมโดเมนคอ I+

ขอใดถกตอง ก. 1.) ถก และ 2.) ผด ข. 1.) ผด และ 2.) ถก ค. ผดทง 1.) และ 2.) ง. ถกทง 1.) และ 2.) 3. จากล าดบ 10 , 15 , 20 , 25 , 30 พจนทเทาใดมคาเทากบ 10 ก. พจนท 1 ข. พจนท 2 ค. พจนท 3 ง. พจนท 4

10

4. พจนท 3 ของล าดบใดตอไปนมคาเทากบ 19 ก. 19 , 21 , 23 , 25 ข. 15 , 19 , 23 , 27 ค. 9 , 14 , 19 ,24 ง. -8 , 1 , 10 , 19 5. พจนท 5 ของล าดบ มคาเทาไร

ก.

ข.

ค.

ง.

6. พจนท 3 ของล าดบ มคาเทาไร

ก.

ข.

ค.

ง. 7. พจนท 4 และ 5 ของล าดบ 4 , 9 , 14 , … คอขอใด ก. 19 , 24 ข. 20 , 29 ค. 24 , 29 ง. 27 , 36

11

8. พจนท 4 และพจนท 5 ของล าดบ คอขอใด

ก.

ข.

ค.

ง.

9. พจนทวไปของล าดบ 1 , 3 , 7 , 15 คอขอใด

ก. an = 2n – 1

ข . an = 2n + 1

ค . an = 3n

ง . an = 3n

10. พจนทวไปของล าดบ 0.3 , 0.03 , 0.003 , 0.0003 คอขอใด

ก.

ข.

ค.

ง.

12

ล าดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก n ตวแรก หรอ โดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก ล าดบทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก n ตวแรก หรอ { 1 , 2 , 3 , … , n } เรยกวา ล าดบจ ากด ล าดบทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก หรอ { 1 , 2 , 3 , … } เรยกวา ล าดบอนนต

เชน 50 , 100 , 150 , … , 600 เปนล าดบจ ากด 2 , 4 , 8 , … , 2n , … เปนล าดบอนนต an = 2n – 1 ; n = 1 , 2 , 3 , … , 10 เปนล าดบจ ากด ตวอยางท 1 ให f(n) = 2n – 1

1. ถาโดเมนของ f คอ { 1 , 2 , 3 , … , 10 } ล าดบทเกดจากฟงกชน f คอ f(1) , f(2) , f(3) , … , f(10) 1 , 3 , 5 , … , 19 เรยกวา ล าดบจ ากด

2. ถาโดเมนของ f คอ { 1 , 2 , 3 , … } ล าดบทเกดจากฟงกชน f คอ f(1) , f(2) , f(3) , … 1 , 3 , 5 , … เรยกวา ล าดบอนนต

ใบความรท 1 ใบความรท 1

ความหมายของล าดบ

13

ตวอยางท 2

1.) 7 , 14 , 21 , 28 , 35 , 42 เปนล าดบจ ากด 2.) 4 , 9 , 16 , 25 , 35 , … , (n+1)2 , … เปนล าดบอนนต

3.) an = 2n + 1 , n { 1 , 2 , 3 , … , 20 } เปนล าดบจ ากด

4.) เปนล าดบอนนต

5.) an = 2n2 - 1 เปนล าดบอนนต ตวอยางท 3

ก าหนดให เมอ n { 1 , 2 , 3 , 4 }

จงหาล าดบดงกลาว

วธท า จาก

จะได

จะได

จะได

จะได

ดงนน ล าดบดงกลาว คอ

หมายเหต ถาไมไดก าหนดคา n ในโดเมน ใหถอวาล าดบ ดงกลาวเปนล าดบอนนต

14

ค าชแจง ใหนกเรยนบอกวาล าดบตอไปนเปนล าดบจ ากดหรอล าดบอนนต ใหถกตอง ( 10 คะแนน)

1.) 7 , 14 , 21 , 28 , 35 , 42 , … ……………………………………………………………… 2.) 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , …, (n + 1)2 , … ……………………………………………………………… 3.) an = 2n + 1 , n {1 , 2 , 3 , … , 20} ……………………………………………………………… 4.) , n I+

……………………………………………………………… 5.) an = 2n2 - 1 , n {1 , 2 , 3 , … } ……………………………………………………………… 6.) 0 , -5 , -10 , 15 , … , -100 ……………………………………………………………… 7.) 6 , 1 , -4 , … ……………………………………………………………… 8.) an = 3n - 2 , n {1 , 2 , 3 , … } ……………………………………………………………… 9.) , n {1 , 2 , 3 , … , 10} ……………………………………………………………… 10.) 9 , 14 , 19 , …, 5n + 4 , … ………………………………………………………………

แบบฝกทกษะท 1

15

ถา a เปนล าดบ การเขยนล าดบ a จะเขยนเฉพาะสมาชกของเรนจ เรยงกนไป กลาวคอ

ถา a เปนล าดบจ ากดจะเขยนแทนดวย a1 , a2 , a3 ,… , an

ในกรณท a เปนล าดบอนนตจะเขยนแทนดวย a1 , a2 , a3 ,… , an , … เรยก a1 วาพจนท 1 ของล าดบ a2 วาพจนท 2 ของล าดบ

a3 วาพจนท 3 ของล าดบ

an วาพจนท n หรอพจนทวไป (General term) ของล าดบ พจารณาล าดบ 9 , 18 , 27 , 36 , 45 พบวา 9 เปนพจนท 1 18 เปนพจนท 2 45 เปนพจนท 5

ใบความรท 2

.

.

.

.

.

.

16

ตวอยางท 1

ใหนกเรยนเขยนสพจนแรกของล าดบทมพจนทวไปเปน an = 3n+1

วธท า a1 = 3(1) + 1 = 3 + 1 = 4

a2 = 3(2) + 1 = 6 + 1 = 7

a3 = 3(3) + 1 = 9 + 1 = 10

a4 = 3(4) + 1 = 12 + 1 = 13

ดงนน สพจนแรกของล าดบ an = 3n+1 คอ 4 , 7 , 10 , 13

ตวอยางท 2

ใหนกเรยนเขยนสพจนแรกของล าดบทมพจนทวไปเปน an = 2n – 3

วธท า a1 = 21 – 3 = 2 – 3 = -1

a2 = 22 – 3 = 4 – 3 = 1

a3 = 23 – 3 = 8 – 3 = 5

a4 = 24 – 3

= 16 – 3 = -13

ดงนน สพจนแรกของล าดบ an = 2n – 3 คอ -1 , 1 , 5 , -13

10 18 17

ตวอยางท 3

จงหาวาพจนถดไปสองพจนของล าดบทก าหนดใหตอไปน 1 , 3 , 7 , 13 , …

วธท า พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ พบวา 1 3 7 13

+2 +4 +6

จะเหนวา พจนทอยถดไปจะเพมขน 2 , 4 และ 6 ตามล าดบ ดงนน พจนสองพจนทถดไปของล าดบเพมขน 8 และ 10 ตามล าดบ จะได 21 และ 31 เปนพจนสองพจนถดไปของล าดบทก าหนดให แสดงดงน 1 3 7 13 21 31

+2 +4 +6 +8 +10

ตวอยางท 4

จงหาวาพจนถดไปสองพจนของล าดบทก าหนดใหตอไปน 16, 8 , 4 , 2 , …

วธท า พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ พบวา 16 8 4 2

2 2 2

จะเหนวา พจนทอยถดไปจะเปนครงหนงของพจนทอยขางหนา ดงนน พจนสองพจนทถดไปของล าดบคอ 1 และ แสดงดงน

16 8 4 2 1

2 2 2 2 2

18

ค าชแจง จงหาวา 5 เปนพจนทเทาไรของล าดบตอไปน (5 คะแนน)

1.) 3 , 5 , 7 , 9 ……………………………………………………………… 2.) 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ……………………………………………………………… 3.) 25 , 10 , 15 , 10 , 5 , 0 ……………………………………………………………… 4.) 9 , 7 , 5 , 3 ……………………………………………………………… 5.) , 1 , 5 , 25 , …

………………………………………………………………

จงหาวา 7 เปนพจนทเทาไรของล าดบตอไปน (5 คะแนน) 6.) 5 , 7 , 9 , 11 ……………………………………………………………… 7.) 7 , 14 , 21 , 28 ……………………………………………………………… 8.) 3 , 5 , 7 , 9 ……………………………………………………………… 9.) -14 , -7 , 0 , 7 , 14 ……………………………………………………………… 10.) -2 , 1 , 4 , 7 , 10 , 13 , 15

………………………………………………………………

แบบฝกทกษะท 2

19

ค าชแจง ใหนกเรยนเขยนสพจนแรกของล าดบตอไปน ( 10 คะแนน)

1.)

……………………………………………………………… 2.) n(n-1)

……………………………………………………………… 3.)

……………………………………………………………… 4.)

……………………………………………………………… 5.)

………………………………………………………………

6.) ……………………………………………………………… 7.)

……………………………………………………………… 8.)

……………………………………………………………… 9.) ………………………………………………………………

10.) ………………………………………………………………

แบบฝกทกษะท 3

20

ค าชแจง ใหนกเรยนหาสองพจนถดไปของล าดบตอไปน ( 10 คะแนน)

1.) 200 , 195 , 190 , 185 , … ……………………………………………………………… 2.) 1 , 4 , 16 , 64 , … ……………………………………………………………… 3.) 729 , 243 , 81 , 27 , … ……………………………………………………………… 4.) 2 , 7 , 17 , 32 , … ……………………………………………………………… 5.) 5 , 10 , 30 , 120 , …

………………………………………………………………

6.) 9 , 10 , 12 , 15 , … ……………………………………………………………… 7.) -5 , -4 , -3 , … ……………………………………………………………… 8.) 5 , 4 , 1 , -4 , … ……………………………………………………………… 9.) 5 , 9 , 13 , … ……………………………………………………………… 10.) 12 , 20 , 30 , …

………………………………………………………………

แบบฝกทกษะท 4

21

ตวอยางท 1

การหาพจนทวไปของล าดบ การหาพจนทวไปของล าดบ คอ การเขยนแสดงพจนทวไป an ในรปท ม n เปนตวแปร และเมอแทน n ดวยสมาชกในเซต {1, 2, 3,…,m} แลวไดพจนท 1 , 2 , 3 , … , m ของล าดบตรงตามทก าหนด วธการหาพจนทวไปเชนน โดยทวไปใชการสงเกตความสมพนธของพจนตางๆ และความสมพนธระหวางพจนกบล าดบทของพจน ดงตวอยางตอไปน

จงหาพจนทวไปของล าดบ 15 , 18 , 21 , 24 , 27 , 30 วธท า จากล าดบจ ากด 15 , 18 , 21 , 24 , 27 , 30 จะได a1 = 15 = 3 + 12 = 3(1) + 12

a2 = 18 = 6 + 12 = 3(2) + 12

a3 = 21 = 9 + 12 = 3(3) + 12

a4 = 24 = 12 + 12 = 3(4) + 12

a5 = 27 = 15 + 12 = 3(5) + 12

a6 = 30 = 18 + 12 = 3(6) + 12

พจนทวไปของล าดบจ ากดนคอ 3n + 12 เมอ n = 1 , 2, 3 , 4 , 5 ,6

ใบความรท 3

22

ตวอยางท 2

จงหาพจนทวไปของล าดบ 5 , 8 , 11 , 14 , 17 , 20

วธท า จากล าดบจ ากด 5 , 8 , 11 , 14 , 17 , 20

จะได a1 = 5 = 3 + 2 = 3(1) + 2

a2 = 8 = 6 + 2 = 3(2) + 2

a3 = 11 = 9 + 2 = 3(3) + 2

a4 = 14 = 12 + 2 = 3(4) + 2

a5 = 17 = 15 + 2 = 3(5) + 2

a6 = 20 = 18 + 2 = 3(6) + 2

พจนทวไปของล าดบจ ากดนคอ 3n + 2 เมอ n = 1 , 2, 3 , 4 , 5 ,6

ตวอยางท 3

จงหาพจนทวไปของล าดบ 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14

วธท า จากล าดบจ ากด 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14

จะได a1 = 4 = 2 + 2 = 2(1) + 2

a2 = 6 = 4 + 2 = 2(2) + 2

a3 = 8 = 6 + 2 = 2(3) + 2

a4 = 10 = 8 + 2 = 2(4) + 2

a5 = 12 = 10 + 2 = 2(5) + 2

a6 = 14 = 12 + 2 = 2(6) + 2

พจนทวไปของล าดบจ ากดนคอ 2n + 2 เมอ n = 1 , 2, 3 , 4 , 5 ,6

23

ตวอยางท 4

จงหาพจนทวไปของล าดบ 1 , 0 , -1 , -2 , -3 , …

วธท า จากล าดบทก าหนดใหหาผลตางระหวางสองพจนทอยตดกน

ไดดงน 1 0 -1 -2 -3 -1 -1 -1 -1 จะเหนวา ผลตางครงท 1 มคาคงตวเทากบ -1 an = an + b จะได a1 = 1 = a + b …………….(1)

a2 = 0 = 2a + b …………….(2)

a3 = -1 = 3a + b …………….(3)

a4 = -2 = 4a + b …………….(4)

a5 = -3 = 5a + b …………….(5)

จาก (1) จะได a = 1 – b แทนคา a = 1 – b ใน (2) จะได 0 = 2(1- b) + b 0 = 2 – 2b + b 0 = 2 – b จาก a = 1 – b จะได a = 1 – 2 ดงนน an = -n + 2 = 2 - n

24

ตวอยางท 5

จงหาพจนทวไปของล าดบ 1 , 3 , 7 , 13 , …

วธท า จากล าดบทก าหนดใหหาผลตางระหวางสองพจนทอยตดกน

ไดดงน 1 3 7 13 ผลตางครงท 1 2 4 6 ผลตางครงท 2 2 2 จะเหนวา ผลตางครงท 2 มคาคงตวเทากบ 2 ใหพจนทวไปของล าดบนอยในรป an = an2 + bn + c แทน n ในพจนทวไปดวย 1 , 2 , 3 และ 4 จะได a1 = 1 = a + b+ c ……….(1)

a2 = 3 = 4a + 2b + c ……….(2)

a3 = 7 = 9a + 3b + c ……….(3)

a4 = 13 = 16a + 4b + c ……….(4)

แลวหาสมการเชงเสนเพอหา a , b และ c ไดดงน ( 2) - (1) ; 2 = 3a + b …………(5) ( 3) - (2) ; 4 = 5a + b …………(6) ( 6) - (5) ; 2 = 2a หรอ a = 1 แทน a = 1 ใน (5) จะได b = -1 แทน a = 1 และ b = -1 ใน (1) จะได c = 1 เมอแทน n ดวย 1 , 2 , 3 และ 4 จะได a1 , a2 , a3 และ a4 เทากบคาทก าหนดให แสดงวา an ทหาไดเปนพจนทวไป

ของล าดบทก าหนดให

25

ค าชแจง ใหนกเรยนหาพจนทวไปของล าดบใหถกตอง ( 10 คะแนน)

1.)

……………………………………………………………… 2.) 1 , 3 , 9 , 27 ……………………………………………………………… 3.)

……………………………………………………………… 4.) ……………………………………………………………… 5.) 0.4 , 0.04 , 0.004 , 0.0004

………………………………………………………………

6.) 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , … ……………………………………………………………… 7.) 3 , 7 , 11 , 15 , 19 , … ……………………………………………………………… 8.) 3 , 0 , -3 , -6 , -9 , … ……………………………………………………………… 9.)

……………………………………………………………… 10.)

………………………………………………………………

แบบฝกทกษะท 5

26

แบบทดสอบหลงเรยน เลมท 1 ความหมายและการหาพจนทวไปของล าดบ

ค าสง ใหนกเรยนท าเครองหมาย ค าตอบทถกทสดในกระดาษค าตอบ (10 คะแนน)

1. พจนทวไปของล าดบ 1 , 3 , 7 , 15 คอขอใด

ก. an = 2n – 1

ข . an = 2n + 1

ค . an = 3n

ง . an = 3n

2. จากล าดบ 10 , 15 , 20 , 25 , 30 พจนทเทาใดมคาเทากบ 10 ก. พจนท 1 ข. พจนท 2 ค. พจนท 3 ง. พจนท 4 3. พจนทวไปของล าดบ 0.3 , 0.03 , 0.003 , 0.0003 คอขอใด

ก.

ข.

ค.

ง.

27

4. พจนท 3 ของล าดบใดตอไปนมคาเทากบ 19 ก. 19 , 21 , 23 , 25 ข. 15 , 19 , 23 , 27 ค. 9 , 14 , 19 ,24 ง. -8 , 1 , 10 , 19

5. พจนท 5 ของล าดบ มคาเทาไร

ก.

ข.

ค.

ง.

6. พจนท 3 ของล าดบ มคาเทาไร

ก.

ข.

ค.

ง.

7. พจารณาขอความตอไปน 1.) ล าดบทมโดเมนเปนเซตจ ากดจะเปนล าดบจ ากด 2.) ล าดบอนนตมโดเมนคอ I+

ขอใดถกตอง ก. 1.) ถก และ 2.) ผด ข. 1.) ผด และ 2.) ถก ค. ผดทง 1.) และ 2.) ง. ถกทง 1.) และ 2.)

28

8. พจนท 4 และ 5 ของล าดบ 4 , 9 , 14 , … คอขอใด ก. 19 , 24 ข. 20 , 29 ค. 24 , 29 ง. 27 , 36 9. พจนท 4 และพจนท 5 ของล าดบ คอขอใด

ก.

ข.

ค.

ง.

10. พจารณาขอความตอไปน 1.) ล าดบเปนฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตม 2.) ในการเขยนล าดบจะเขยนเฉพาะสมาชกของเรนจเรยงกนไป ขอใดถกตอง ก. 1.) ถก และ 2.) ผด ข. 1.) ผด และ 2.) ถก ค. ผดทง 1.) และ 2.) ง. ถกทง 1.) และ 2.)

29

บรรณานกรม

จกรนทร วรรณโพธกลาง. (2545). ตะลยโจทยกวา 2300 ขอ คณตศาสตร ม.4-5-6. กรงเทพ ฯ : พฒนาการศกษา.

วชาการ,กรม.(2544). คมอการจดการเรยนรกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร. กรงเทพ ฯ:โรงพมพองคการรบสงสนคาและพสดภณฑ (ร.ส.พ.)

ศภกจ เฉลมวสตมกล. (2548). คณตศาสตรพนฐาน ม.5 เลม 1. กรงเทพฯ :

ทองพลการพมพ.

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2551). หนงสอเรยนสาระ

การเรยนรคณตศาสตรเลม 1. พมพครงท 6. กรงเทพฯ : สกสค.

ส าราญ มแจงและคณะ. (2549). สอการเรยนรคณตศาสตรพนฐาน ม.5 เลม 1.

พมพครงท 1. กรงเทพฯ : ส านกพมพวฒนาพานช จ ากด.

ภาคผนวก

10 31

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน เลมท 1 ความหมายและการหาพจนทวไปของล าดบ

ขอท ค าตอบ 1. ข

2. ง

3. ก

4. ค

5. ง

6. ค

7. ก

8. ง

9. ก

10. ข

เฉลยแบบฝกทกษะท 1

32

ค าชแจง ใหนกเรยนบอกวาล าดบตอไปนเปนล าดบจ ากดหรอล าดบอนนต ใหถกตอง ( 10 คะแนน)

1.) 7 , 14 , 21 , 28 , 35 , 42 , … …ล าดบอนนต……………………………………………… 2.) 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , …, (n + 1)2 , … …ล าดบอนนต……………………………………………… 3.) an = 2n + 1 , n {1 , 2 , 3 , … , 20} …ล าดบจ ากด….…………………………………………… 4.) , n I+

…ล าดบอนนต……………………………………………… 5.) an = 2n2 - 1 , n {1 , 2 , 3 , … } …ล าดบอนนต……………………………………………… 6.) 0 , -5 , -10 , 15 , … , -100 …ล าดบจ ากด….…………………………………………… 7.) 6 , 1 , -4 , … …ล าดบอนนต……………………………………………… 8.) an = 3n - 2 , n {1 , 2 , 3 , … } …ล าดบอนนต……………………………………………… 9.) , n {1 , 2 , 3 , … , 10} …ล าดบจ ากด….…………………………………………… 10.) 9 , 14 , 19 , …, 5n + 4 , … …ล าดบอนนต………………………………………………

33

ค าชแจง จงหาวา 5 เปนพจนทเทาไรของล าดบตอไปน (5 คะแนน)

1.) 3 , 5 , 7 , 9 …พจนท 2………………………………………………… 2.) 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 …พจนท 5………………………………………………… 3.) 25 , 10 , 15 , 10 , 5 , 0 …พจนท 5………………………………………………… 4.) 9 , 7 , 5 , 3 …พจนท 3………………………………………………… 5.) , 1 , 5 , 25 , …

…พจนท 3…………………………………………………

จงหาวา 7 เปนพจนทเทาไรของล าดบตอไปน (5 คะแนน) 6.) 5 , 7 , 9 , 11 …พจนท 2………………………………………………… 7.) 7 , 14 , 21 , 28 …พจนท 1………………………………………………… 8.) 3 , 5 , 7 , 9 …พจนท 3………………………………………………… 9.) -14 , -7 , 0 , 7 , 14 …พจนท 4………………………………………………… 10.) -2 , 1 , 4 , 7 , 10 , 13 , 15

…พจนท 4…………………………………………………

เฉลยแบบฝกทกษะท 2

34

ค าชแจง ใหนกเรยนเขยนสพจนแรกของล าดบตอไปน ( 10 คะแนน)

1.)

………………………………………………………………

2.) n(n-1)

……………………………………………………………… 3.)

……………………………………………………………… 4.)

……………………………………………………………… 5.)

………………………………………………………………

6.) ………………………………………………………………

7.)

……………………………………………………………… 8.)

……………………………………………………………… 9.)

……………………………………………………………… 10.) ………………………………………………………………

เฉลยแบบฝกทกษะท 3

35

ค าชแจง ใหนกเรยนหาสองพจนถดไปของล าดบตอไปน ( 10 คะแนน)

1.) 200 , 195 , 190 , 185 , … ……180 , 175..…………………………………………… 2.) 1 , 4 , 16 , 64 , … ……256 , 1024…………………………………………… 3.) 729 , 243 , 81 , 27 , … ……9 , 3…………………………………………………… 4.) 2 , 7 , 17 , 32 , … ……52 , 77………………………………………………… 5.) 5 , 10 , 30 , 120 , …

……600 , 3600…………………………………………….. 6.) 9 , 10 , 12 , 15 , … ……19 , 24………………………………………………… 7.) -5 , -4 , -3 , … ……-2 , -1…..……………………………………………… 8.) 5 , 4 , 1 , -4 , … ……-11 , -20……………………………………………….. 9.) 5 , 9 , 13 , … ……17 , 21………………………………………………… 10.) 12 , 20 , 30 , … ……42 , 56……..…………………………………………..

เฉลยแบบฝกทกษะท 4

36

ค าชแจง ใหนกเรยนหาพจนทวไปของล าดบใหถกตอง ( 10 คะแนน)

1.)

……………………………………………………………… 2.) 1 , 3 , 9 , 27

……………………………………………………………… 3.)

……………………………………………………………… 4.)

……………………………………………………………… 5.) 0.4 , 0.04 , 0.004 , 0.0004

………………………………………………………………

6.) 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , … ………………………………………………………………

7.) 3 , 7 , 11 , 15 , 19 , … ………………………………………………………………

8.) 3 , 0 , -3 , -6 , -9 , … ………………………………………………………………

9.)

……………………………………………………………… 10.)

………………………………………………………………

เฉลยแบบฝกทกษะท 5

10 37

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน เลมท 1 ความหมายและการหาพจนทวไปของล าดบ

ขอท ค าตอบ 1. ก

2. ก

3. ข

4. ค

5. ง

6. ค

7. ง

8. ก

9. ง

10. ข