8a serie circunferencia e circulo
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Circunferência e círculo
Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf
Sumário Página
Revisão............................................................................................................................ 1
Circunferência e Círculo .......................................................................................... 1
Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo ....................................... 2
Raio, corda e diâmetro.............................................................................................. 2
Posições relativas de uma reta e uma circunferência ............................................... 3
Relações métricas na circunferência............................................................................... 3
Relação entre as cordas ............................................................................................ 4
Relação entre secantes.............................................................................................. 4
Relação entre secante e tangente.............................................................................. 4
Polígonos regulares inscritos na circunferência.............................................................. 7
Elementos de um polígono regular inscrito.............................................................. 8
Propriedades ............................................................................................................. 9
Relações métricas de polígonos inscritos numa circunferência ................................... 12
Quadrado inscrito na circunferência ...................................................................... 12
Hexágono regular inscrito na circunferência ......................................................... 14
Triângulo eqüilátero inscrito na circunferência ..................................................... 15
Comprimento da circunferência.................................................................................... 18
Referências bibliográficas............................................................................................. 21
1
Circunferência e círculo
Revisão
Circunferência e Círculo
Circunferência Círculo
A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que
estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo
denominado o centro da circunferência. Esta talvez seja a
curva mais importante no contexto das aplicações.
É o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma
distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. Na figura abaixo, a circunferência é a linha de cor preta que envolve a região cinza, enquanto o círculo é toda a região pintada de cinza reunida com a circunferência.
2
Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo
Pontos interiores Pontos exteriores
Os pontos interiores de um círculo são os pontos do círculo que não estão na
circunferência.
Os pontos exteriores a um círculo são os pontos localizados fora do círculo.
Raio, corda e diâmetro
Raio Corda Diâmetro
Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento
de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a
outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. Na
figura, os segmentos de reta OA, OB e OC são
raios.
Corda de uma circunferência é um
segmento de reta cujas extremidades pertencem
à circunferência. Na figura, os segmentos de
reta AC e DE são cordas.
Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que
passa pelo centro da circunferência.
Observamos que o diâmetro é a maior corda
da circunferência. Na figura, o segmento de
reta AC é um diâmetro.
3
Posições relativas de uma reta e uma circunferência
Reta secante Reta tangente
Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a
circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que
é a reta que contém uma corda.
Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que
intercepta a circunferência em um único ponto P. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura ao lado, o ponto P é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta
tangente à circunferência.
Relações métricas na circunferência
A circunferência também apresenta relações métricas entre seus elementos. Vejamos essas relações.
4
Relação entre as cordas
Se duas cordas de uma circunferência se interceptam em um ponto P então o produto das medidas das duas partes de uma corda é igual ao produto das
medidas das duas partes da outra corda.
PDPCPBPA ⋅=⋅
Relação entre secantes
Quando duas secantes se interceptam externamente a uma circunferência, o produto da medida da secante inteira pela medida de sua parte externa é
constante.
PDPCPBPA ⋅=⋅
Relação entre secante e tangente
O quadrado da medida do segmento tangente é igual ao produto da medida do segmento secante inteiro pela medida de sua parte externa.
PBPAPC2 ⋅=
5
Exemplos:
a) Na circunferência abaixo, determine a medida x do segmento PD, sabendo que PA = 7 cm, PB = 4 cm e PC = 2 cm.
Através da relação entre secante e tangente, temos:
PDPCPBPA ⋅=⋅ De acordo com os dados do problema, podemos escrever:
14228
282
247
=
=
=⋅=⋅
x
x
x
x
Logo, a medida do segmento PD é 14 cm.
b) Calcular o comprimento r do raio da circunferência abaixo, sendo dados PA = 20 cm e PC = 10 cm.
Através da relação das cordas, temos:
PCPBPA2 ⋅= De acordo com os dados do problema, podemos escrever:
15r20300
r
300r20
100400r20
r20100400
10)r210(202
=
=
=−=+=
⋅+=
Logo, o comprimento do raio é 15 cm.
6
EXERCÍCIOS A
(1) Determine a medida x indicada nas figuras abaixo:
a)
c)
b)
d)
(2) Na figura abaixo, determine as medidas x e y indicadas.
7
(3) De um ponto P, situado a 3 cm de uma circunferência, traça-se um segmento de tangente PC cuja medida é 9 cm. Nessas condições, determine o comprimento do raio dessa circunferência.
Polígonos regulares inscritos na circunferência
Polígono regular é todo polígono que possui lados e ângulos congruentes entre si. O nome de um polígono regular será dado de acordo com seu número de lados.
Nomenclatura
8
Quando os vértices de um polígono estão sobre uma circunferência, dizemos que:
• o polígono está inscrito na circunferência;
• a circunferência está circunscrita ao polígono
Elementos de um polígono regular inscrito
Centro do polígono é o centro da circunferência circunscrita a ele (ponto O).
Raio do polígono é o raio da circunferência circunscrita a ele (OC). Apótema do polígono é o segmento que une o centro do polígono ao ponto médio de um de seus lados (OM ). Ângulo central é aquele cujo vértice é o centro do polígono e cujo lados são semi-retas que contêm dois raios consecutivos.
A medida do ângulo central é dada por: n
360ºac = (n = número de lados).
Ângulo interno é aquele cujos lados são dois lados consecutivos do polígono.
A medida do ângulo interno é dada por: n
0º812)-(nai
⋅= (n = número de
lados). Soma dos ângulos internos: a soma dos ângulos internos de um polígono regular de n lados é dada por: 180º2)(nSi ⋅−= (n = número de lados).
9
Propriedades
1ª) Em dois polígonos regulares inscritos e com o mesmo número de lados, os perímetros são proporcionais aos comprimentos dos respectivos raios.
2ª) Em dois polígonos regulares inscritos e com o mesmo número de lados, os perímetros são proporcionais às medidas dos respectivos lados.
3ª) Em dois polígonos regulares inscritos e com o mesmo número de lados, os perímetros são proporcionais às medidas dos respectivos apótemas.
Exemplos:
a) Determinar a medida do ângulo central e a medida do ângulo interno de um pentágono regular inscrito.
Indicando por ca a medida do ângulo central, temos:
º72a5
º360a
n360º
a
c
c
c
=
=
=
Indicando por ia a medida do ângulo interno, temos:
º108a540º5
a
50º813
a
50º812)-(5
a
n0º812)-(n
a
i
i
i
i
i
=
=
⋅=
⋅=
⋅=
Logo, o ângulo central do pentágono inscrito é 72º e o ângulo interno é 108º.
10
b) Dois hexágonos regulares estão incritos em circunferências de raios 14 cm e 21 cm. Se o perímetro do hexágono inscrito na menor delas é 84 cm, determinar o perímetro do outro hexágono.
Indicando o perímetro desconhecido por x e aplicando a 1ª propriedade, temos:
12614
1764
176414
842114
=
=
=
=
x
x
xx
Logo, o perímetro do outro hexágono é 126 cm.
EXERCÍCIOS B
(1) Determine a medida do ângulo central e a medida do ângulo interno de cada um dos seguintes polígonos regulares inscritos:
a) triângulo eqüilátero
b) quadrado
c) hexágono regular
d) octógono regular
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(2) O perímetro de um polígono regular inscrito numa circunferência cujo raio mede x é 60 cm. Sabe-se que outro polígono regular com o mesmo número de lados está inscrito numa circunferência de raio 25 cm e tem 150 cm de perímetro. Quanto mede o comprimento x do raio da primeira circunferência?
(3) Os perímetros de dois polígonos regulares com o mesmo número de lados medem 48 cm e 60 cm, respectivamente. Quanto mede o apótema do segundo se o apótema do primeiro mede 34 cm?
(4) Os perímetros de dois polígonos regulares com o mesmo número de lados são, respectivamente, 28,28 cm e 39,592 cm. Quanto medem o raio e o apótema do primeiro se o raio e o apótema do segundo medem, respectivamente, 7 cm e 3,5 cm?
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Relações métricas de polígonos inscritos numa circunferência
Quando consideramos a medida do lado do polígono regular, a medida do apótema do mesmo polígono e o comprimento do raio da circunferência onde o polígono está inscrito, podemos estabelecer relações métricas entre essas medidas.
Quadrado inscrito na circunferência
13
Exemplo:
► Um quadrado está inscrito numa circunferência de raio 24 cm. Nessas condições, determine:
a) a medida do lado do quadrado:
cm224
2r
=
=
l
l
b) a medida do apótema do quadrado:
cm212a
2242
a
22r
a
=
=
=
c) o perímetro (P) do quadrado:
P = l4
P = 2244 ⋅
P = cm296
d) a área (S) do quadrado:
S = 2l
S = 2)224(
S = 2cm1152
14
Hexágono regular inscrito na circunferência
Exemplo:
► Determine a medida do lado e a medida do apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 30 cm.
a) a medida do lado do quadrado:
cm30
r
==
l
l
b) a medida do apótema:
cm215a
2230
a
23r
a
=
=
=
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Triângulo eqüilátero inscrito na circunferência
Exemplo:
► Um triângulo eqüilátero está inscrito numa circunferência de raio 360 cm. Determine:
a) a medida do lado do triângulo:
cm180
3306
3r
=⋅=
=
l
l
l
b) a medida do apótema do triângulo:
cm330a
2360
a
2r
a
=
=
=
16
EXERCÍCIOS C
(1) Uma circunferência tem 40 cm de raio. Nessas condições, determine a medida do lado e do apótema de cada um dos seguintes polígonos regulares inscritos nessa circunferência:
a) quadrado
b) hexágono regular
c) triângulo eqüilátero
(2) Um quadrado cujo lado mede 16 cm está inscrito numa circunferência. Determine o comprimento r do raio dessa circunferência.
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(3) Sabendo que o apótema de um triângulo eqüilátero incrito em uma circunferência de raio r mede 15 cm, determine:
a) o comprimento do raio
b) a medida do lado do triângulo, fazendo 73,13 =
(4) O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede cm315 .
a) Qual é a medida do raio dessa circunferência?
b) Qual é a medida do apótema de um triângulo eqüilátero inscrito nessa circunferência?
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Comprimento da circunferência
Quando somamos todos os lados de uma figura plana iremos obter o seu perímetro, no caso específico do círculo, o cálculo do seu perímetro é dado pelo comprimento da circunferência (contorno do círculo), pois um círculo é contornado por uma circunferência que é formada pela união das extremidades de uma linha aberta.
O cálculo do comprimento da circunferência (perímetro) foi obtido da seguinte forma: como todas as circunferências são semelhantes entre si, ou seja, todas pertencem ao mesmo centro, foi concluído que a razão entre o comprimento (C) de qualquer circunferência pelo seu respectivo diâmetro (D) será sempre uma mesma constante.
Assim: 14,3DC ≅
O número 3,141592... corresponde em matemática à letra grega π (lê-se "pi"). Costuma-se considerar π = 3,14.
Logo:
πr2C
πDC
πDC
=⋅=
=
rπ2C =
Utilizando essa fórmula, podemos determinar o comprimento de qualquer circunferência.
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Exemplos:
a) Determinar o comprimento de uma circunferência que tem 9 cm de raio.
cm56,52C
93,142C
rπ2C
=⋅⋅=
=
Logo, o comprimento da circunferência é 56,52 cm.
b) Qual é o comprimento r do raio de uma circunferência que tem 18,84 cm de comprimento?
cm3r
6,2818,84
r
r28,684,81
r3,14284,81
rπ2C
=
=
=⋅⋅=
=
Logo, o raio da circunferência é de 3 cm.
c) Qual é o comprimento x de um arco de 60º numa circunferência que tem 21 cm de raio?
Sabemos que a medida completa da circunferência, em graus, é 360. Portanto, para resolver esse problema vamos usar uma regra de três simples e direta:
360º rπ2
60º x
cm98,21688,131
88,1316
2114,3216
rπ260º360º
=
=
=
⋅⋅=
=
x
x
xx
x
Logo, o comprimento do arco pedido é 21,98 cm.
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EXERCÍCIOS D
Todo domingo Carla passeia pelo parque com sua bicicleta.
(1) Sabendo que 1 polegada equivale, aproximadamente, a 2,54 cm, quantos centímetros tem uma volta da roda da bicicleta de Carla?
(2) No último domingo, Carla andou 4 km com sua bicicleta. Quantas voltas deu cada roda?
(3) De casa ao clube, ida e volta, cada roda dá 2000 voltas. A que distância da casa de Carla fica o clube?
21
Referências bibliográficas
ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando
matemática. São Paulo: Brasil, 2002.
BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo:
FTD, 2006.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.
EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá:
Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.
GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e
descobrir. São Paulo: FTD, 2005.
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José
Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.
GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São
Paulo: Scipione, 2006.
MATEMATICA ESSENCIAL. Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br>.
Acesso em: 15 de outubro de 2008.
MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Onaga. Matemática: idéias e desafios. São
Paulo: Saraiva, 1997.
MUNDO EDUCAÇÃO. Disponível em: < http://www.mundoeducacao.com.br>.
Acesso em: 16 de outubro de 2008.
SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br>.
Acesso em: 16 de outubro de 2008.
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA. Disponível em:
<http://www.moodle.ufba.br>. Acesso em: 15 de outubro de 2008.
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