7 raspodele apsolutno neprekidnih slucajnih promenljivih

Apsolutno neprekidne raspodeleRaspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivihnazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

a b

Verovatno�a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost izintervala (a,b]

Uniformna raspodela

Za sluqajnu promenljivu X ka�emo da ima uniformnuraspodelu na intervalu [a,b], a < b, i pixemo X : U(a,b), akoima gustinu raspodele oblika

f (x) =

{ 1b−a , x ∈ [a,b],

0, x 6∈ [a,b].

a b x

f (x)1

b−a

Gustina raspodele za X : U(a,b)

Funkcija raspodeleFunkcija raspodele sluqajne promenljive X sa uniformnomraspodelom na intervalu [a,b] je

F (x) =

0 , x < a

1b−a · x −

ab−a , a ≤ x < b

1 , x ≥ b.

1

a b x

F (x)

Funkcija raspodele za X : U(a,b)

Pomo�u funkcije raspodele F (x) mo�e se izraqunativerovatno�a proizvoljnog doga�aja {c < X < d} kao

P{c < X ≤ d} = F (d)− F (c).

PrimerSluqajna promenljiva X ima uniformnu raspodelu naintervalu [2; 4]. Odrediti funkciju raspodele sluqajnepromenljive X , a zatim izraqunati verovatno�e doga�aja: a){X ≤ 3}, b) {1 < X ≤ 2,5}, v) {2,5 < X ≤ 3,5}.

RexenjeSluqajna promenljiva X ima uniformnu raspodelu naintervalu [2; 4], xto znaqi da je a = 2 i b = 4, tako da jefunkcija raspodele

F (x) =

0, x < 2,12 · x − 1, 2 ≤ x < 4,1, x ≥ 4.

1

2 4 x

F (x)

Funkcija raspodele za X : U(2,4)

Rexenjea)

1

32 4 x

F (x)

P{X ≤ 3} = F (3) =12.

Rexenjeb)

1

2, 51 2 4 x

F (x)

P{1 < X ≤ 2,5} = F (2,5)− F (1) = F (2,5) = 0,25 .

Rexenjev)

2, 5 3, 52 4 x

F (x)

P{2,5 < X ≤ 3,5} = F (3,5)− F (2,5) = 0,5. �

Normalna (Gausova) raspodela

Za sluqajnu promenljivu X ka�emo da ima normalnu raspodelusa parametrima m ∈ R i σ2 > 0 i pixemo X : N (m, σ2), ako jenjena gustina raspodele oblika

f (x) =1√

2πσ2· e−

(x−m)2

2σ2 , x ∈ R .

f (x)

xm

Osobine gustine raspodeleGustina raspodele je pozitivna funkcija, tj. za svakox ∈ R va�i f (x) > 0.Gustina raspodele je simetriqna u odnosu na pravux = m, tj. za svako x ∈ R va�i f (m + x) = f (m − x).

Gustina raspodele dosti�e maksimum u x = m i on iznosif (m) = 1/

√2πσ2.

Gustina raspodele konvergira ka 0 kada x te�i ka ∞ ili−∞, tj. va�i

limx→−∞

f (x) = limx→∞

f (x) = 0.

F (x)

x

Grafik funkcije raspodele za X : N (m, σ2)

Osobine funkcije raspodeleFunkcija raspodele je pozitivna i rastu�a funkcija.

Funkcija raspodele konvergira ka 0 kada x te�i ka −∞ ikonvergira ka 1 kada x te�i ka ∞, tj. va�ilimx→−∞ F (x) = 0 i limx→∞ F (x) = 1.

Normalnu raspodelu imaju visina ljudi, koliqina padavina utoku godine, pritisak i tako dalje.

Mnoge diskretne raspodele se mogu svesti na normalnuraspodelu, ako je broj mogu�ih vrednosti veliki, a one subliske jedna drugoj.

Promena vrednosti parametara m i σ2 utiqe na grafikgustine raspodele.

Promena vrednosti parametra m

xm = −2 m = 0 m = 2

Promena vrednosti parametra σ2

xσ2 = 1/4 σ2 = 1 σ2 = 4

Standardna normalna raspodela

Ukoliko sluqajna promenljiva koja ima normalnu raspodeluima parametre m = 0 i σ2 = 1, tada ka�emo da ima standardnunormalnu raspodelu. Ovu sluqajnu promenljivu najqex�eoznaqavamo sa X ∗ i pixemo X ∗ : N (0,1).

f (x)

x0

F (x)

x0

Verovatno�e P{a ≤ X ∗ ≤ b} izraqunavaju se pomo�u funkcije

Φ(t) = P{0 ≤ X ∗ ≤ t}.

f (x)

x0 t

Vrednosti funkcije Φ(t)

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .03590.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .07540.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .11410.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .15170.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .18790.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .22240.6 .2258 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2518 .25490.7 .2580 .2612 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .28520.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2996 .3023 .3051 .3078 .3106 .31330.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .33891.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .36211.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .38301.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .40151.3 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .41771.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .43191.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .44411.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .45451.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .46331.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .47061.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .47672.0 .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4803 .4808 .4812 .48172.1 .4821 .4826 .4830 .4834 .4838 .4842 .4846 .4850 .4854 .4857

PrimerPretpostavljaju�i da sluqajna promenljiva X ima standardnu normalnu raspodelu,

odrediti verovatno�e slede�ih doga�aja: a) {1, 21 ≤ X ≤ 2, 52}, b){−1, 24 ≤ X < 2, 58}, v) {−0, 52 < X ≤ 0, 52}, g) {−2, 12 ≤ X ≤ −1, 17}, d) {X ≥ 3, 01},�) {X < −1, 36}, e) {X < 2, 59}, �) {X ≥ −3, 56}.

Rexenje

a)

1, 21 2, 52

P{1, 21 ≤ X ≤ 2, 52}=Φ(2, 52)− Φ(1, 21)=0, 4941− 0, 3869=0, 1072.

Rexenje

b)

−1, 24 2, 58

P{−1, 24 ≤ X < 2, 58}=Φ(2, 58) + Φ(1, 24)=0, 4951 + 0, 3925=0, 8876.

Rexenje

v)

−0, 52 0, 52

P{−0, 52 < X ≤ 0, 52} = Φ(0, 52) + Φ(0, 52) = 2 · 0, 1985 = 0, 397.

Rexenje

g)

−2, 12−1, 17

P{−2, 12 ≤ X ≤ −1, 17}=Φ(2, 12)− Φ(1, 17)=0, 483− 0, 379=0, 104.

Rexenje

d)

3, 01

P{X ≥ 3, 01} = 0, 5− Φ(3, 01) = 0, 5− 0, 4987 = 0, 0013.

Rexenje

�)

−1, 36

P{X < −1, 36} = 0, 5− Φ(1, 36) = 0, 5− 0, 4131 = 0, 0869.

Rexenje

e)

2, 59

P{X < 2, 59} = 0, 5 + Φ(2, 59) = 0, 5 + 0, 4952 = 0, 9952.

Rexenje

�)

−3, 56

P{X ≥ −3, 56} = Φ(3, 56) + 0, 5 = 0, 4998 + 0, 5 = 0, 9998. �

Standardizacija

Postupak prelaska sa normalne raspodele N (m, σ2) nastandardnu normalnu raspodelu N (0,1) zove sestandardizacija.

Veza izme�u sluqajnih promenljivih X i X ∗ koje imaju redomN (m, σ2) i N (0,1) raspodele zadata je formulom

X ∗ =X −m√

σ2.

Tada va�i

P{a ≤ X ≤ b} = P{

a−m√σ2≤ X ∗ ≤ b −m√

σ2

}.

PrimerVodostaj (izra�en u cm) jedne reke ima normalnu raspodeluN (150,100). Odrediti verovatno�u da �e sluqajno izabranogdana vodostaj: a) biti manji od 140 cm, b) biti ve�i od 170cm, v) biti izme�u 135 i 160 cm, g) biti ve�i od 120 cm, d)biti manji od 165 cm.

RexenjeNeka je X sluqajna promenljiva koja predstavlja vodostaj rekesluqajno izabranog dana.Sluqajna promenljiva X ima normalnu N (150,100) raspodelu,tako da je potrebno izvrxiti standardizaciju.Kako je m = 150 i σ2 = 100, odnosno σ =

√100 = 10, to je

formula standardizacije

X ∗ =X − 150

10.

Rexenjea)

P{X < 140} = P{

X − 15010

<140− 150

10

}= P{X∗ < −1}

= 0, 5− Φ(1) = 0, 1587.

b)

P{X > 170} = P{

X − 15010

>170− 150

10

}= P{X∗ > 2}

= 0, 5− Φ(2) = 0, 0228.

v)

P{135 ≤ X ≤ 160} = P{

135− 15010

≤X − 150

10≤

160− 15010

}= P{−1, 5 ≤ X∗ ≤ 1}= Φ(1, 5) + Φ(1) = 0, 7745.

Rexenjeg)

P{X > 120} = P{

X − 15010

>120− 150

10

}= P{X ∗ > −3}

= Φ(3) + 0,5 = 0,9987.

d)

P{X < 165} = P{

X − 15010

<165− 150

10

}= P{X ∗ < 1,5}

= 0,5 + Φ(1,5) = 0,9332. �

χ2 raspodela

Neka su sluqajne promenljive X1, X2, . . . , Xn nezavisne i nekasvaka ima standardnu normalnu N (0,1) raspodelu. Zasluqajnu promenljivu Y definisanu formulom

Y = X 21 + X 2

2 + · · ·+ X 2n

ka�emo da ima χ2 raspodelu sa n stepeni slobode i pixemoY : χ2

n.

f (x)

x

n = 1

n = 2

n = 3

n = 5

Grafik gustine raspodele χ2n raspodele

F (x)

x

n = 1

n = 2

n = 3

n = 5

Grafik funkcije raspodele χ2n raspodele

Verovatno�e P{a ≤ χ2n ≤ b} izraqunavaju se pomo�u funkcije

hn(x) = P{X ≤ x}.

f (x)

xx

n \ p 0.005 0.010 0.025 0.050 0.95 0.975 0.990 0.9951 .0000 .0002 .0010 .0039 3.84 5.02 6.63 7.882 .0100 .0201 .0506 .103 5.99 7.38 9.21 10.63 .0717 .115 .216 .352 7.81 9.35 11.3 12.84 .207 .297 .484 .711 9.49 11.1 13.3 14.95 .412 .554 .831 1.15 11.1 12.8 15.1 16.76 .676 .872 1.24 1.64 12.6 14.4 16.8 18.57 .989 1.24 1.69 2.17 14.1 16.0 18.5 20.38 1.34 1.65 2.18 2.73 15.5 17.5 20.1 22.09 1.73 2.09 2.70 3.33 16.9 19.0 21.7 23.6

10 2.16 2.56 3.25 3.94 18.3 20.5 23.2 25.211 2.60 3.05 3.82 4.57 19.7 21.9 24.7 26.812 3.07 3.57 4.40 5.23 21.0 23.3 26.2 28.313 3.57 4.11 5.01 5.89 22.4 24.7 27.7 29.814 4.07 4.66 5.63 6.57 23.7 26.1 29.1 31.315 4.60 5.23 6.26 7.26 25.0 27.5 30.6 32.816 5.14 5.81 6.91 7.96 26.3 28.8 32.0 34.317 5.70 6.41 7.56 8.67 27.6 30.2 33.4 35.718 6.26 7.01 8.23 9.39 28.9 37.5 34.8 37.219 6.84 7.63 8.91 10.1 30.1 32.9 36.2 38.620 7.43 8.26 9.59 10.9 31.4 34.2 37.6 40.0

Primer

Neka sluqajna promenljiva X ima χ25 raspodelu. Odrediti

slede�e verovatno�e: a) P{X < 0,412}, b) P{X ≥ 0,831}, v)P{0,554 < X ≤ 1,15}.

Rexenjea)

f (x)

x0,412

P{X < 0,412} = h5(0,412) = 0,005.

Rexenjeb)

f (x)

x0,831

P{X ≥ 0,831} = 1− h5(0,831) = 0,975.

Rexenjev)

f (x)

x0,554 1,15

P{0,554< X ≤1,15}=h5(1,15)− h5(0,554)=0,05− 0,01=0,04.

Studentova raspodela

Neka su sluqajne promenljive X :N (0,1) i Y :χ2n nezavisne. Za

sluqajnu promenljivu T definisanu formulom

T =X√Y

√n

ka�emo da ima Studentovu raspodelu sa n stepeni slobode ipixemo T : tn.

f (x)

x

n = 1

n = 5

n = 10

n = 30

Grafik gustine raspodele tn raspodele

F (x)

x

n = 1

n = 5

n = 10

n = 30

Grafik funkcije raspodele tn raspodele

Verovatno�e P{a ≤ tn ≤ b} izraqunavaju se pomo�u funkcije

tn(x) = P{0 ≤ X ≤ x}.

f (x)

x0

n \ p 0.100 0.200 0.300 0.400 0.450 0.475 0.490 0.4951 .325 .727 1.376 3.078 6.314 12.706 31.821 63.6572 .289 .617 1.061 1.886 2.920 4.303 6.965 9.9253 .277 .584 .978 1.638 2.353 3.182 4.541 5.8414 .271 .569 .941 1.533 2.132 2.776 3.747 4.6045 .267 .559 .920 1.476 2.015 2.571 3.365 4.0326 .265 .553 .906 1.440 1.943 2.447 3.143 3.7077 .263 .549 .896 1.415 1.895 2.365 2.998 3.4998 .262 .546 .889 1.397 1.860 2.306 2.896 3.3559 .261 .543 .883 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250

10 .260 .542 .879 1.372 1.812 2.228 2.764 3.16911 .260 .540 .876 1.363 1.796 2.201 2.718 3.10612 .259 .539 .873 1.356 1.782 2.179 2.681 3.05513 .259 .538 .870 1.350 1.771 2.160 2.650 3.01214 .258 .537 .868 1.345 1.761 2.145 2.624 2.97715 .258 .536 .866 1.341 1.753 2.131 2.602 2.94716 .258 .535 .865 1.337 1.746 2.120 2.583 2.92117 .257 .534 .863 1.133 1.740 2.110 2.567 2.89818 .257 .534 .862 1.330 1.734 2.101 2.552 2.87819 .257 .533 .861 1.328 1.729 2.093 2.539 2.86120 .257 .533 .860 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845

PrimerNeka sluqajna promenljiva X ima Studentovu t5 raspodelu. Odrediti verovatno�e:

a) P{0, 267 ≤ X ≤ 1, 476}, b) P{−0, 267 ≤ X ≤ 1, 476} i v) P{−1, 476 ≤ X ≤ −0, 267}.

Rexenjea)

f (x)

0,267 1,476

P{0,267 ≤ X ≤ 1,476} = t5(1,476)− t5(0,267) = 0,3.

Rexenjeb)

f (x)

−0,267 1,476

P{−0,267 ≤ X ≤ 1,476} = t5(0,267) + t5(1,476) = 0,5.

Rexenjev)

f (x)

−0,267−1,476

P{−1,476 ≤ X ≤ −0,267} = t5(1,476)− t5(0,267) = 0,3. �