rasporedi slucajnih velicina
DESCRIPTION
Rasporedi slucajnih velicina MatematikaTRANSCRIPT
![Page 1: Rasporedi slucajnih velicina](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020106/55cf9c7a550346d033a9fa6e/html5/thumbnails/1.jpg)
1.2. RASPOREDI SLUČAJNIH VELIČINA
![Page 2: Rasporedi slucajnih velicina](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020106/55cf9c7a550346d033a9fa6e/html5/thumbnails/2.jpg)
1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED
2
2
1
2
1)(
x
exf
x x
dxexF
2
2
1
2
1)(
Raspored verovatnoća neprekidne slučajne veličine X čija je funkcija gustine verovatnoća
za x(-, ), naziva se Normalna raspodela ili Laplas-Gausova raspodela
Funkcija raspodele
)(xF je oblika
![Page 3: Rasporedi slucajnih velicina](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020106/55cf9c7a550346d033a9fa6e/html5/thumbnails/3.jpg)
1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED
Funkcije gustine verovatnoća različitih normalnih rasporeda ( 1 2 3 i 1 2 3 ).
Normalna raspodela se simbolično prikazuje u obliku
),(~ 2NX
![Page 4: Rasporedi slucajnih velicina](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020106/55cf9c7a550346d033a9fa6e/html5/thumbnails/4.jpg)
1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED
Funkcije gustine verovatnoća različitih standardnih devijacija ( 1 = 2 = 3 =0 i 1 2 3 ).
Parametar verovatnoća a ne utiče na njen položaj.
karakteriše oblik krive funkcije gustina
![Page 5: Rasporedi slucajnih velicina](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020106/55cf9c7a550346d033a9fa6e/html5/thumbnails/5.jpg)
1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED
Za slučajne greške merenja Xmogu se odrediti njihove standardizovane slučajne veličine
X
t
odnosno važi
t
0 1Slučajna veličina t sledi Normalni raspored sa
parametrima
.
koji se naziva standardizovani Normalni raspored verovatnoća
)1 ,0(~ Nt
![Page 6: Rasporedi slucajnih velicina](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020106/55cf9c7a550346d033a9fa6e/html5/thumbnails/6.jpg)
1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED
Funkciju gustine verovatnoća je oblika
2
2
2
1)(
t
etf
a funkcija raspodele
dtetFt
t p
2
1)( 2
0
2
![Page 7: Rasporedi slucajnih velicina](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020106/55cf9c7a550346d033a9fa6e/html5/thumbnails/7.jpg)
1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED
Funkcija gustine verovatnoća standardizovane Normalne raspodele.
![Page 8: Rasporedi slucajnih velicina](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020106/55cf9c7a550346d033a9fa6e/html5/thumbnails/8.jpg)
1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED
Za određivanje verovatnoće pojave slučajne veličine t u nekom intervalu može se koristi Laplasova funkcija
2 2
2 2
2
2 2
2 20
1 22 1
2 2
t tt t
t
P t t t e dt e dt F t
0
f(t)oblast poverenjakriticna oblast kriticna oblast
t t
[ [-oo, -t t
-t
, + oo ]]
Laplasova funkcija.
![Page 9: Rasporedi slucajnih velicina](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020106/55cf9c7a550346d033a9fa6e/html5/thumbnails/9.jpg)
1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPOREDInterval poverenja za
t je
2/2/ ttt Ili za matematičko očekivanje
2/2/ txtx
Iz Laplasovih tablica može se za usvojenu vrednost verovatnoće (po argumentu p) odrediti argument odnosno interval u kome se nalazi slučajna veličina
2/2/ , ttt
2/t
ili obratno, iz istih tablica, po argumentu 2/t
odredi varovatnoća p.
može da se
![Page 10: Rasporedi slucajnih velicina](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020106/55cf9c7a550346d033a9fa6e/html5/thumbnails/10.jpg)
1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED
Verovatnoća pojave slučajne greške
sledi u obliku
)(2)()()( 2/2/2/2/ FtPtPttP ili 12/ ptP
![Page 11: Rasporedi slucajnih velicina](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020106/55cf9c7a550346d033a9fa6e/html5/thumbnails/11.jpg)
1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED
Podaci iz prethodne tabele mogu se napisati u sledećem obliku
683.011 pP 955.022 pP 997.033 pP
Odavde sledi da se retko javljaju slučajne greške čije su vrednosti veće od 3 i ovaj interval se često uzima kao gornja granica pojave slučajnih grešaka max=3 (pravilo tri sigme).
![Page 12: Rasporedi slucajnih velicina](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020106/55cf9c7a550346d033a9fa6e/html5/thumbnails/12.jpg)
1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.1. JEDNODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED
Kriva slučajnih grešaka.
![Page 13: Rasporedi slucajnih velicina](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020106/55cf9c7a550346d033a9fa6e/html5/thumbnails/13.jpg)
1.2.2. DVODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.2. DVODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED
Raspored verovatnoća neprekidne dvodimenzionalne slučajne veličine (X, Y) čija je funkcija gustine
verovatnoća
2
2
2
2
2
)(2
)(
)1(2
1
212
1),( y
y
y
y
x
xxy
x
x
xy
yyxx
xyyx
eyxf
za x(-, ) i y(-, ), naziva se dvodimenzionalna Normalna raspodela
Funkcija raspodele ),( yxF je oblika
12
1),(
)(2
)(
)1(2
1
2
2
2
2
2
2
x y
yyxx
xyyx
dxdyeyxF y
y
y
y
x
xxy
x
x
xy
![Page 14: Rasporedi slucajnih velicina](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020106/55cf9c7a550346d033a9fa6e/html5/thumbnails/14.jpg)
1.2.2. DVODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.2. DVODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED
Dvodimenzionalni Normalni raspored.
![Page 15: Rasporedi slucajnih velicina](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020106/55cf9c7a550346d033a9fa6e/html5/thumbnails/15.jpg)
1.2.2. DVODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.2. DVODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED
2
2
2
2 )()(
2
1
2
1),( y
y
x
xyx
yx
eyxf
ili u obliku
)()(),( yfxfyxf gde su funkcije:
2
2)(
2
1
2
1)( x
xx
x
exf
2
2)(
2
1
2
1)( y
yy
y
eyf
Ako su slučajne veličine X i Y međusobno nezavisne onda je
![Page 16: Rasporedi slucajnih velicina](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020106/55cf9c7a550346d033a9fa6e/html5/thumbnails/16.jpg)
1.2.2. DVODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.2. DVODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED
Kod dvodimenzionalnih slučajnih veličina, slučajne grešake merenja mogu se izraziti u obliku vektora slučajnih grešaka
y
x
y
x
y
x
ε
sa vektorom očekivanja
0μ
y
x
y
x
E
E
)(
)(
i odgovarajućom kovarijacionom matricom
2
2
yxyyx
yxxyx
xK
![Page 17: Rasporedi slucajnih velicina](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020106/55cf9c7a550346d033a9fa6e/html5/thumbnails/17.jpg)
1.2.2. DVODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.2. DVODIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED
Funkcija gustine verovatnoća postaje
εKε
x
1x
T
K
2
1
det2
1),( ef yx
gde su:
222 1det xyxx xK
2
2
2 1
1
1
1
yyx
xy
yx
xy
x
xy
1xK
) ,() ,(~ xx K0Kμε NN Ili simbolično
![Page 18: Rasporedi slucajnih velicina](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020106/55cf9c7a550346d033a9fa6e/html5/thumbnails/18.jpg)
1.2.3. VIŠEDIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.3. VIŠEDIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED
Raspored verovatnoća neprekidne n dimenzionalne slučajne veličine (X1 , X2 , ..., Xn ) čija je funkcija
gustine verovatnoća
x1
xT
x μxKμx
xK
2
1
21det2
1),...,,( exxxf nn
naziva se višedimenzionalna Normalna raspodela.
Parametri raspodele su
),(~ xx Kμx N
![Page 19: Rasporedi slucajnih velicina](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020106/55cf9c7a550346d033a9fa6e/html5/thumbnails/19.jpg)
1.2.3. VIŠEDIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.3. VIŠEDIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED
Slučajne grešake merenja mogu se izraziti u obliku vektora slučajnih grešaka
nnn x
x
x
22
11
2
1
xμxε
sa vektorom očekivanja
0μxμ x
nnE
E
E
E
2
1
)(
)(
)(
2
1
i odgovarajućom kovarijacionom matricom.
![Page 20: Rasporedi slucajnih velicina](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020106/55cf9c7a550346d033a9fa6e/html5/thumbnails/20.jpg)
1.2.3. VIŠEDIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED1.2.3. VIŠEDIMENZIONALNI NORMALNI RASPORED
Funkcija gustine verovatnoća sada postaje
εKε
x
1x
T
K
2
1
21det2
1),...,,( ef nn
ili za nezavisne slučajne veličine, gde je
n
i i
i
12
2
εKε 1x
T
pa je funkcija oblika
2
2
12
2
2
1
2
1
21
212
1
2...
1),...,,( i
in
i i
i
eefn
i in
n
n
) ,() ,(~ xx K0Kμε NN gde je
![Page 21: Rasporedi slucajnih velicina](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020106/55cf9c7a550346d033a9fa6e/html5/thumbnails/21.jpg)
1.2.4. HI-KVADRAT RASPORED1.2.4. HI-KVADRAT RASPORED
Kada niz nezavisnih normiranih slučajnih veličina
X1, X2, ..., Xr
slede normalni raspored sa parametrima )1 ,0(~ NX
njihov zbir kvadrata slediće 2 raspored (hi -kvadrat) sa
r stepeni slobode
r
iirr xxxxX
1
2222
21
2 ... (0 2r < ).
Očekivanje i varijansa su:
rE r 2
rV r 222
![Page 22: Rasporedi slucajnih velicina](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020106/55cf9c7a550346d033a9fa6e/html5/thumbnails/22.jpg)
1.2.4. HI-KVADRAT RASPORED1.2.4. HI-KVADRAT RASPORED
22,r
kritičnaoblast
1
2, ,r
2f
oblastpoverenja
Funkcija gustine verovatnoća 2
rasporeda.
rasporeda.
rrX r 2 ,~ 2
![Page 23: Rasporedi slucajnih velicina](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020106/55cf9c7a550346d033a9fa6e/html5/thumbnails/23.jpg)
1.2.5. STUDENTOV RASPORED1.2.5. STUDENTOV RASPORED
Slučajna veličina X
tY r
imaće Studentov t raspored sa r stepeni slobode ako:
1. slučajna veličina
2. slučajna veličina Y ima
)1 ,0(~ NX2
3. su slučajne veličine međusobno nezavisne.
Očekivanje i varijansa su:
0tE 2
2
r
rtV
![Page 24: Rasporedi slucajnih velicina](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020106/55cf9c7a550346d033a9fa6e/html5/thumbnails/24.jpg)
1.2.5. STUDENTOV RASPORED1.2.5. STUDENTOV RASPORED
Funkcija gustine verovatnoća t rasporeda.
2 0~ σ,tt r
![Page 25: Rasporedi slucajnih velicina](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020106/55cf9c7a550346d033a9fa6e/html5/thumbnails/25.jpg)
1.2.6. FIŠEROV RASPORED1.2.6. FIŠEROV RASPORED
Yr
Xr
r
Yr
X
F
1
2
2
1
Kada dve nezavisne slučajne veličine X i Y imaju hi-kvadrat
raspored sa r1 i r2 stepeni slobode, tada će novoformirana
slučajna veličina
imati Fišerov raspored sa r1 i r2 stepeni slobode.
![Page 26: Rasporedi slucajnih velicina](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022020106/55cf9c7a550346d033a9fa6e/html5/thumbnails/26.jpg)
1.2.6. FIŠEROV RASPORED1.2.6. FIŠEROV RASPORED
Funkcija gustine verovatnoća F rasporeda.