6 2012 uvijanje stapova -...
Post on 04-Feb-2018
237 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
UVIJANJE ŠTAPOVA
2
VAŽNO
• Posmi�no naprezanje τ
ρτ ⋅=o
t
IM
3
Maksimalno posmi�no naprezanja τ
• za:2d
r ==ρ0W
M tmaks =τ
4
• Polarni moment tromosti:
• Polarni moment otpora:
[ ]44
o 32d
= I cmπ
[ ]33
16cm
dWo
π=
5
Kut uvijanja (torzije) ϕ
• Krutost presjeka štapa na uvijanje:
[ ]rad o
t
IGlM
⋅⋅=ϕ
oIG ⋅
6
Dimenzioniranještapova optere�enih na uvijanje
• Uvjet �vrsto�e :
• Uvjet krutosti:
τ τmakst
o
dop
MW
= ≤
dopo
t
dop
IGM
lϑϕϑ
ϑϑ
≤⋅
==
≤
m/,do, oodop 01250 =ϑ
7
Unutarnje sile
• Moment uvijanja
• Uzdužna sila
• Popre�na sila
• Moment savijanja
0≠tM
0
00
===
y
z
M
T
N
8
Štapovi po obliku presjeka:
9
Štapovi po zakrivljenosti:
10
Štapovi po popre�nom presjeku:
11
Optere�enje štapa momentom�iji je vektor kolinearan sa
uzdužnom osi štapa
1. Ravni štap
2. Kružnog popre�nog presjeka
3. Konstantnog popre�nog presjeka
12
Optere�enje štapa momentom uvijanja
13
Pretpostavke o deformiranju štapa:
14
• a) da su se kvadrati pretvorili u romboidešto je karakteristi�no za deformaciju �istogposmika
• b) da se razmak izme�u popre�nih linija(kružnica) nije promijenio, niti sepromijenila duljina l ni promjer d
• c) da izvodnice i dalje ostaju pravci
15
1. pri deformiranju štapa popre�ni presjeci ostajuravni i okomiti na uzdužnu os štapa(Bernoullijeva hipoteza ravnih presjeka)
2.popre�ni presjeci zaokre�u se oko osi štapa kaokruti diskovi, polumjeri u popre�nimpresjecima ostaju pravci i zaokre�u se za isti kuttj. ne deformiraju se u svojoj ravnini(hipoteza o krutosti presjeka)
3. razmak izme�u popre�nih presjeka ne mijenja se pri deformaciji štapa što zna�i da u smjeru osištapa nema normalnih naprezanja σx = 0,
16
I.
II.
III.
17
Pretpostavke o deformiranju
I. Geometrijska analiza
II. Hooke-ov zakon:
III. Uvjeti ravnoteže:
γτ ⋅= G
0M 6. 0F 3.
0M 5. 0F 2.
0M 4. 0F 1.
zz
yy
xx
=Σ=Σ
=Σ=Σ=Σ=Σ
18
I. Geometrijska analiza
γ − kut smicanja [rad]ϕ − kut uvijanja (torzije) [rad]
19
ϑϕϑϕ =�⋅=dxd
dxd
ϑ⋅ρ=γ
ϑ⋅ρ=ϕ⋅ρ=ϕ⋅ρ==γ=γdxd
dxd
CAAA
tg,
20
II. Hooke-ov zakon
ϑργτ ⋅⋅=⋅= GG
ϑργ ⋅= 1. ad
21
III. Uvjeti ravnoteže:
�� =⋅τ⋅ρ+−=ΣA
tx 0dAMM
.4ad
0M 6. 0M 5. 0M 4.
0F 3. 0Fy 2. 0F 1.
zyx
zxx
=Σ=Σ=Σ=Σ=Σ=Σ
22
Relativni kut uvijanja
oA
2
A
2t
At
IG dAG dAG M
dAM
⋅ϑ⋅�� =⋅ρ⋅ϑ⋅�� =⋅ϑ⋅⋅ρ=
�� ⋅τ⋅ρ=
ot IGM ⋅⋅= ϑ
[ ]rad/m o
t
IGM⋅
=ϑ
ϑ
23
Kut uvijanja (torzije) ϕ
• Krutost presjeka štapa na uvijanje:
lIG
MIGdxM
dxl
O
t
O
tl
⋅⋅
=⋅⋅=⋅= ��
00
ϑϕ
[ ]rad O
t
IGlM
⋅⋅=ϕ
OIG ⋅
( ) ( )2kN/cm 077 8
3,012000 21
12E
G =+
=ν+
=Modul posmika:
24
Posmi�no naprezanje τ
ρρϑργτ ⋅=⋅
⋅⋅=⋅⋅=⋅=O
t
O
t
IM
IGM
GGG
ϑργτ ⋅⋅=⋅= GG
ρτ ⋅=O
t
IM
25
Maksimalno posmi�no naprezanja τ• za:
2d
r ==ρ
O
t
O
t
O
tmaks W
M
dIMd
IM ==⋅=
2
2τ
O
tmaks W
M=τ2dI
W OO =
26
Dimenzioniranještapova optere�enih na uvijanje
• Uvjet �vrsto�e :
dopO
tmaks W
M τ≤=τ
dopO.dopt
dop
tO
WMili
MW
τ⋅≤
τ≥
potr.
27
Dimenzioniranještapova optere�enih na uvijanje
• Uvjet krutosti:
0
0
r
dop
odop
3602
)m/74,1do44,0
)m/0,1do25,0
ϕ⋅π⋅=ϕ
⋅⋅=ϑ
=ϑ
(rad 10 10
( 2-2-
dopo
t
dop
IGM
lϑϕϑ
ϑϑ
≤⋅
==
≤
28
• Polarni moment tromosti:
• Polarni moment otpora:
[ ]4cm32
π4
O
d = I
[ ]33
O cm16d
Wπ=
29
Dimenzioniranje
• Uvjet �vrsto�e :
• Uvjet krutosti:
Mjerodavna je ve�a vrijednost promjeraštapa d.
d t
dop
≥ ⋅⋅
163
M
π τ
d t
dop
≥ ⋅⋅ ⋅32
4
M G π ϑ
30
• Dopušteno posmi�no naprezanje za:
- �elik
• Dopušteni kut uvijanja:
[ ]rad/m 1074,11044,0 22 −− ⋅−⋅=dopϑ[ ]metruradijan /
[ ]/m 0,125,0 °−=dopϑ[ ]metrustupanj /
2
2
kN/cm 9,5 275 S
kN/cm 7,5 235 S
=τ
=τ
dop
dop
31
Dopušteni moment uvijanja
Uz poznate vrijednosti , i• iz uvjeta �vrsto�e:
• iz uvjeta krutosti:
kao dopušteno optere�enje usvajamomanju vrijednost.
dop
3
dopO,
.dopt 16d
WM τ⋅π=τ⋅=
dop
4
dopO,,dopt 32
dGIGM ϑ⋅π⋅=ϑ⋅⋅=
dopτdopϑ G
tM
32
Dijagram posmi�nih naprezanja u štapuprstenastog popre�nom presjeku
optere�enog na uvijanje
- Polarni moment tromosti
- Polarni moment otpora
( ) [ ]444
cm 32
πdDIo
−=
( ) [ ]344
cm D16
d - D
⋅⋅= π
oW
τ ρ= MI
t
o
τmakst
o
MW
=
33
Ponekad nam može biti poznata snaga Pkoju prenosi vratilo i broj okretaja vratila n, pa trebamo odrediti momenta uvijanja Mt.
1. Ponavljanje: - snaga P [W]- broj okretaja n [okret/min.]
2. Rad:
J)(Nm MW
J)(Nm sFW
=ϕ⋅=
=⋅=
3460n2
PP M 3 .ad t ⋅π⋅=ω
=
) t Kut( ⋅ω=ϕ
ω⋅=ϕ⋅== tt Mdtd
Mdt
dWP
��
���
�⋅π⋅=���
��
�⋅π⋅=ϕ=ωs
okr
60n2
minokr
n2dtd
3. Snaga P – rad u vremenu:
4. Kutna brzina ω:
35
Moment uvijanja
nP
M t ⋅⋅=
π30
n2
P60Mt ⋅π⋅
⋅=
��
� =okr./min
Wm N
36
Glavna naprezanjakod uvijanja
37
Trajektorije naprezanja* kod uvijanja
* linije …………..!
38
Lom štapa optere�enog na uvijanje
• a) od elastoplasti�nog materijala
• b) od krhkog materijala
39
Lom štapa optere�enog na uvijanje
• a) od elastoplasti�nog materijala
40
Lom štapa optere�enog na uvijanje
b) od krhkog materijala
41
Uvijanje štapova tankih stijenkizatvorenog profila
Bredtov izraz:
tAM t
maks ⋅⋅=
02τ
.konstt =⋅τ
A0 – površina srednjeg presjeka (crta to�ka)
42
Uvijanje štapa neokruglogpresjeka
43
Raspodjela posmi�nih naprezanjau štapovima neokruglog presjeka
optere�enim na uvijanjea)pravokutni presjek b) elipti�asti presjek
44
1. Primjer
[ ] [ ]rad/cm 10 4,36 = rad/m 10 36,4180
25,0180
kN/cm 4,2N/cm 2400
min/.okr 120nW10 60 kW 60P
5-3-dop
oo
oodopdop
22
3
⋅⋅=ϑ
=π⋅=π⋅ϑ=ϑ
==τ
=⋅==
Koliki je promjer �eli�ne osovine, koja prenosisnagu P = 60 kW pri n = 120 okr./min akodopušteno posmi�no naprezanje iznosi τdop = 2400 N/cm2, a dopušteni relativni kutuvijanja ϑdop = 0,25 °/m.
45
[ ][ ]
cm kN 5,477Nm 775 4 120
10 60 30M
min/.okrW
]Nm[ n P 30
M
3
t
t
==⋅π
⋅⋅=
=⋅π⋅=
3
dop
t.potr o
32dopo
tmaks
cm 1994,25,477
M
W
cm
cm kN
cmkN
WM
==τ
≥
��
�=
��
�τ≤=τ
[ ] cm 10,0
199 16
W 16
d 16d
W 3 O3
O ≥π⋅≥
π⋅≥→π=
Rješenje:
a) uvjet �vrsto�e:
46
Uz zadane uvjete potreban promjer osovined ≥ 10,8 [ cm ].
45
dop
to
dopo
t
cm 13561036,48077
5,477G
MI
IG
M
=⋅⋅
=ϑ⋅
=
ϑ≤⋅
=ϑ
−
[ ]cm 8,101356 32I 32
d 32d
I 44 O4
O ≥π
⋅≥π⋅≥→π=
• b) uvjet krutosti:
47
2. Primjer
Prstenasta osovine prenosi moment uvijanjaMt = 7,5 kNm/m. Omjer unutrarnjeg i vanjskogpromjera osovine k = d/D = 0,8.
• a) Odredite dimenzije prstenaste osovine ako jedopušteno posmi�no naprezanjeτdop = 2400 N/cm2
• b) Odredite promjer osovine punog popre�nogpresjeka za iste uvjete te
• c) Usporedite slu�ajeve a) i b) poekonomi�nosti
48
Zadaci za vježbu
3. Za prijenos okretnog momenta do radnog alata (krune) kojim se izra�uje bušotina u tlu, koristi se cijev dužineL = 25 m s promjerima D =120 mm i d = 110 mm. Akopogonski motor kod bušenja na toj dubini predaje osovinisnagu od 13,5 kW kod 100 okreta u minuti, koliko jemaksimalno posmi�no naprezanje na površini profila i koliki je kut uvijanja ϕ na dužini L= 25 m, ako je modulposmika G = 8 106 N/cm2.
• (Rješenje: τmaks = 1 293 N/cm2 i ϕ = 0,067 rad = 3,8°)
4. Koliki je minimalni promjer �eli�ne osovine koja prenosisnagu P = 46 kW pri brzini vrtnje n = 1 480 okr./min. Zadano je dopušteno naprezanje τdop = 1.200 N/cm2; modul posmika G = 8 106 N/cm2, a uvijanje osovine nesmije biti ve�e od 0,25° po metru dužine osovine.
• (Rješenje: dmin = 54,2 mm)
49
5. Odredite dopuštenu snagu koju može prenositiosovina promjera d = 20 mm, ako je dopuštenonaprezanje τdop = 100 N/mm2 i broj okretajaosovine n = 100 okr. /min.
• (Rješenje: Pdop = 1 640 W)
6. U popre�nom presjeku osovine nastaje moment uvijanja Mt = 2 000 Nm. Odredite da li osovinapromjera d = 65 mm zadovoljava uvjete �vrsto�ei krutosti, ako je zadan modul pomika G = 80 GPa, dopušteno naprezanje τdop = 40 N/mm2
i dopušteni relativni kut uvijanja ϑdop = 0,85 °/m.
• (Rješenje: Promjer osovine zadovoljava zadaneuvjete �vrsto�e i krutosti.)
50
2. Primjer
Prstenasta osovine prenosi moment uvijanjaMt = 7,5 kNm/m. Omjer unutrarnjeg i vanjskogpromjera osovine k = d/D = 0,8.
• a) Odredite dimenzije prstenaste osovine ako jedopušteno posmi�no naprezanjeτdop = 2400 N/cm2
• b) Odredite promjer osovine punog popre�nogpresjeka za iste uvjete te
• c) Usporedite slu�ajeve a) i b) poekonomi�nosti
51
Rješenje
a) Prstenasta osovinauvjet �vrsto�e: τ τmaks
t
o
dop
MW
= ≤
[ ][ ]
32
dop
tpotr. o cm 312,50 =
cm/kNcm kN
2,4
0 75 =
M Wτ
≥
kN/cm 4,2N/cm 2400
8,0D/dk
m/kNcm 750 m/kNm 5,7M
22.dop
t
==τ
====
52
• Vanjski promjer
( ) ( )D =16 W
1 - k =
16 312,50 1 - 0,8
= 13,9 cm 140 mmo
43
43
π π⋅ ≈
d = ⋅ ⋅ k D = 0,8 140 = 112 mm
• Unutrašnji promjer
( ) ( ) [ ]334
4
4
4
4
4
44
o cm 312,50 = D16
k - 1
DD
16
Dd
-DD
D16
d-D W ⋅π=
⋅
π
���
�
=⋅
π=
53
b) Promjer osovine punog popre�nog presjeka
[ ]331
o cm 312,50 = 16
d W
π=
dWo≥ ≥ ⋅ ≈
16 163
π π 312,50
11,7 cm = 117 mm
54
c) Omjer težina prstenaste i pune osovinebit �e jednak omjeru površina njihovihpresjeka
• Prstenasta je osovina gotovo dva putalakša od pune (φ 117). Me�utim njihovaizrada je tehnološki mnogo složenija, a ako se izra�uje tokarenjem nema uštedematerijala (φ 140).
( )1A2A ≈→≈=−=
π
π⋅−
=21
515,07,11
2,110,14
4d
4dD
AA
2
22
21
22
1
top related