uvijanje - torzija - Почетна · pdf fileizlaz ulaz izlaz m=2knm2 m=5knm1 m=3knm3 3 knm...
TRANSCRIPT
11/22/2009
1
Uvijanje - torzija
Obrtni moment i moment uvijanja
Uvijanje grede kružnog poprečnog preseka
Odnos modula elastičnosti i modula klizanja
Dimenzionisanje delova izloženih čistom uvijanju
Uvijanje - torzija
Otpornost materijala
Ako u preseku deluje samo moment torzije naprezanje je čisto uvijanje -torzija
- F
+ F
m t
m A
A
B
11/22/2009
2
Definicija uvijanja
Uvijanje je naprezanje pri kome se u svakom poprečnom preseku štapa javlja samo moment koji obrće oko ose štapa – moment uvijanja ili moment torzije Mt
Otpornost materijala
Obrtni moment i moment uvijanja
Kod štapa koji je izložen uvijanju ili torziji deluje samo moment uvijanja dok ostale unutrašnje sile - aksijalna sila, transverzalna i moment savijanja ne postoje.
Uzročnici naprezanja su spoljašnji obrtni momenti koji deluju na štap u ravnima upravnim na njegovu osu
Otpornost materijala
11/22/2009
3
Obrtni moment i moment uvijanja
Štap izložen dejstvu dva sprega
Da bi štap bio u ravnoteži momenti ovih spregova treba da budu međusobno jednaki po intenzitetu, a suprotnih smerova
F1
F1
F2
F2
d 1
d 2F d = F d = 1 1 2 2 M
Otpornost materijala
Obrtni moment i moment uvijanja
Da bi se odredio unutrašnji moment uvijanja iskorišćena je metoda preseka
Štap se preseca zamišljenom ravni R
R
M
M z
Otpornost materijala
11/22/2009
4
Obrtni moment i moment uvijanja
Svaki od delova treba da bude u ravnoteži
To je moguće ako je unutrašnji moment u uočenom preseku jednak obrtnom momentu suprotnog smera
Momenti se razlikuju samo po smeru saglasno zakonu akcije i reakcije
M
M
Mt
Mt
Mt
Mt
= M
= M
Otpornost materijala
Obrtni moment i moment uvijanja
Moment uvijanja Mt, unutrašnji moment, smatra se pozitivnim ako obrće u smeru kazaljke na časovniku posmatran iz vrha normale na ravan momenta
Dijagram momenta uvijanja analiziranog štapa
M
M
M
M
Mt
+
z
Otpornost materijala
11/22/2009
5
Obrtni moment i moment uvijanja
Primer transmisije gde se pogoni vratilo sa 5 kNm, a na dva izlaza prosleđuje 3 odnosno 2 kNm
Raspodela torzionog momenta merodavna za određivanje dimenzija vratila i napona u presecima ima izgled kao na slici
A B
izlaz izlazulaz
M =2kNm2 M =5kNm1 M =3kNm3
3 kNm3 kNm
-2kNm -2kNm
+
Mt
MtI
MtIIM 2 M 1
M 3
polje I polje II
Otpornost materijala
Uvijanje grede kružnog poprečnog preseka
Moment uvijanja Mt=MA
deluje u ravni B
Nastaje deformacija – pa vlakno se ab na spoljašnjem omotaču UVIJA na ab’, a vlakno
cd na cd’ za ugao g
Istovremeno se u ravni B zakrene Cd na Cb’ za
ugao q
a
b'd'
c
b
d
C
g1
q
F
-F
Mt
M Al
AB
Otpornost materijala
11/22/2009
6
Uvijanje grede kružnog poprečnog preseka
a
b'd'
c
b
d
C
g1
q
F
-F
Mt
M Al
AB
Iz trouglova Dabb’ i DCbb’ jednaki lukovi bb’
Lg1=Rq odnosno na nekom prečniku Lg=rq
Ugao naginjanja srazmeran je udaljenju od ose
001 ggg rzaR
r
Otpornost materijala
Uvijanje grede kružnog poprečnog preseka
R
r
1g
g
Tangencijalni, smicajni napon po poprečnom preseku se menja po zakonu prave linije
Za vlakno koje se poklapa sa geometrijskom osom tangencijalni napon je jednak nuli
Najveći je za r=R, max=1
C
= 1
rR
1
1
Otpornost materijala
11/22/2009
7
Uvijanje grede kružnog poprečnog preseka
12
EG
Između tangencijalnog napona i deformacije –klizanja postoji odnos
=Gg - Hukov zakon
Klizanje je srazmerno tangencijalnom naponu
G - modul klizanja
E – modul elastičnosti
Hukov zakon s=Ee
Modul klizanja
b'd'
b
d C
q
R
r
bb' = R = lq g1
dd' = r = lq g
g g= 1
rR
Otpornost materijala
Uvijanje grede kružnog poprečnog preseka
o
AA
t IR
dArR
rdAM 121
Tangencijalni napon deluje na dA, elementarnu površinu na nekom prečniku r
Ovo se svodi na
elementarnu silu dA
Zbir momenata elementarnih sila za tačku O daje moment torzije Mt
Io – polarni moment inercije
C
= 1
rR
1
1r
dA
Otpornost materijala
11/22/2009
8
Najveći tangencijalni smicajni napon
1= max maksimalni tangencijalni
napon, MPa
I0 – polarni moment inercije, m4
W0 – polarni otporni moment
00
1maxW
M
I
RM tt
R
IW 0
0
MPa
m3
Otpornost materijala
Ugao uvijanja u rad
1= max maksimalni tangencijalni napon,
MPa
I0 – polarni moment inercije, m4
G – modul klizanja, MPa
L - dužina, m
GR
l
GI
lM t max
0
q rad
Otpornost materijala
11/22/2009
9
Ugao uvijanja u stepenima
1= max maksimalni tangencijalni napon,
MPa
I0 – polarni moment inercije, m4
G – modul klizanja, MPa
L - dužina, m
GR
l
GI
lM t max
0
180180
q
o
Otpornost materijala
Poasonov koeficijent
e – uzdužna dilatacija
eP – poprečna dilatacija
koeficijent zavisnosti poprečne dilatacije od uzdužne
Poasonov koeficijent je neimenovan broj
l
l1
b
h
epb
eph
ee -p
Otpornost materijala
11/22/2009
10
Poasonov koeficijent i modul elastičnosti
0,3
0,34
0,33
0,37
0,25
1/6
[-]
2.1 . 105
0.7 . 105
1.1 . 105
1.0 . 105
1.0 . 105
0.3. 105
E [ M Pa ]
Čelik
Materijal
Aluminijum
Bakar
Mesing
Sivi liv
Beton
Otpornost materijala
Veza modula elastičnosti i modula klizanja
G – modul klizanja, MPa
E – modul elastičnosti, MPa
- Poasonov koeficijent
212
EG MPa
Otpornost materijala
11/22/2009
11
Moduli klizanja i elastičnosti za čelik
G=8 104 MPa– modul klizanja
E=2,1 105 MPa - modul elastičnosti
=0,3 Poasonov koeficijent
Pa
m
NEEG
2
81046,2212
u starim jedinicama E=2,1 106 kp/cm2 G=8 105 kp/cm2
Otpornost materijala
Zatezna čvrstoća i uvojna (torziona) čvrstoća
Pošto se u tablicama češće nalaze vrednosti zatezne čvrstoće za određeni materijal od vrednosti uvojne čvrstoće koristi se njihov odnos
MM s 6,05,0 -
Otpornost materijala
11/22/2009
12
Dozvoljeni napon kod zatezanja
Dozvoljeni napon je količnik jačine na kidanje, zatezne čvrstoće, od kog je proračunavani deo i stepena sigurnosti
Otpornost materijala
sss M
ddoz
Dozvoljeni napon kod uvijanja (torzije)
Dozvoljeni napon je količnik jačine na torziju, smicajne (torzione) čvrstoće, od kog je proračunavani deo i stepena sigurnosti
Otpornost materijala
M
ddoz
11/22/2009
13
Dozvoljeni torzioni (smicajni) napon
Pošto se u tablicama češće nalaze vrednosti dozvoljenog napona na zatezanje koristi se odnos
dd s 6,05,0 -
Otpornost materijala
Dimenzionisanje vratila i štapova pri uvijanju
Dimenzionisanje dela prema maksimalnom torzionom naponu - uslov čvrstoće
Dimenzionisanje prema dozvoljenom uglu uvijanja po jedinici dužine - uslov deformabilnosti
ODABRATI NEPOVOLJNIJI KRITERIJUM– ODNOSNO VEĆE DIMENZIJE
Otpornost materijala
11/22/2009
14
Dimenzionisanje prema najvećem torzionom naponu
Najveći napon pri uvijanju
Dobija se poprečni presek
Za kružni poprečni presek
dozt
W
M
0
1max
doz
tO
MW
316
doz
tMD
Otpornost materijala
Dimenzionisanje prema dozvoljenoj deformabilnosti – dozvoljeni ugao uvijanja
Najveći ugao pri uvijanju
Dobija se poprečni presek
Za kružni poprečni presek
dozt
GI
Mqq
0
'
doz
tO
G
MI
q
332
doz
t
G
MD
q
m
raddozq
Otpornost materijala
11/22/2009
15
Dimenzionisanje
Nakon određivanja prethodne dve vrednosti dimenzija poprečnog preseka iz:
Uslova čvrstoće
Uslova deformabilnosti
bira se računom dobijena veća vrednost
Otpornost materijala
Kod torzionog naprezanja postoje tri osnovna zadatka
1. Poznato je opterećenje i poprečni presek štapa i treba odrediti veličinu napona i ugla deformacije
2. Poznato je opterećenje, oblik poprečnog preseka i materijal, a potrebno je odrediti dimenzije tog preseka
3. Poznat je poprečni presek i dozvoljeni napon, a potrebno je odrediti vrednost maksimalnog torzionog momenta
Otpornost materijala
11/22/2009
16
1. Određivanje veličine napona i ugla deformacije
MPaW
M t
0
Poznato je opterećenje i poprečni presek štapa i treba odrediti veličinu napona i ugla deformacije
radGI
M t
0
q
Otpornost materijala
2. Određivanje veličine poprečnog preseka
4
'm
G
MI
doz
tO
q
m
raddozq
Poznato je opterećenje, oblik poprečnog preseka i materijal, a potrebno je odrediti dimenzije tog preseka
3mM
Wdoz
tO
Otpornost materijala
11/22/2009
17
3. Određivanje veličine torzionog momenta koji deo sme da prenese
'
'
doz
tdozOt
G
MGIM
m
raddozq
Poznat je poprečni presek i dozvoljeni napon, a potrebno je odrediti vrednost maksimalnog torzionog momenta
NmWM dozt 0
Kao merodavna uzima se manja vrednost
Otpornost materijala
Veza između obrtnog momenta i snage
Kada je poznata snaga koju prenosi analizirani deo (vratilo, štap) poznat je i obrtni moment
WMP
s
1
JodnosnoNmP
M
Otpornost materijala
11/22/2009
18
Veza između obrtnog momenta i snage
Kada je poznata snaga koju prenosi analizirani deo (vratilo, štap) poznat je i obrtni moment
Wn
MP30
min
on
Nmn
PM
30
1min -n
Otpornost materijala
Rezime
Moment uvijanja jednak je spoljašnjem obrtnom momentu suprotnog smera Mt=M
Kod uvijanja najviše se deformišu (uvijaju) spoljašnja vlakna, vlakna u osi se ne deformišu
Smicajni napon max najveći je na spoljašnjim vlaknima
G – modul klizanja
Hukov zakon: napon je proporcionalan proizvodu modula klizanja i ugla uvijanja
Maksimalni smičući napon je količnik momenta Mt torzije i W0 polarnog otpornog momenta
Maksimalni ugao uvijanja je količnik momenta torzije Mt i proizvoda modula klizanja i polarnog momenta inercije GI0
Otpornost materijala