ทฤษฎีกราฟ

82

ทฤษฎกราฟ ในเชงคณตศาสตร นยาม “กราฟ” ดงน

บทนยาม กราฟ G ประกอบดวย เซตจากด 2 เซต คอ

1. เซตทไมเปนเซตวางของจดยอด (Vertex) แทนดวยสญลกษณ V(G) 2. เซตของเสนเชอม (Edge) ทเชอมระหวางจดยอด แทนดวยสญลกษณ E(G)

ขอสงเกต V(G) ≠ ∅ แต E(G) อาจเปนเซตวางได ตวอยางท 1 กาหนดกราฟ G ดงรป

จากกราฟ G ทกาหนดให จะไดวา V(G) = {A, B, C, D} E(G) = {e1, e2, e3, e4}

เสนเชอม e ของกราฟ เกดกบ (Incident) จดยอด v ถาจดยอด v เปนจดปลายจดหนงของเสนเชอม

บทนยาม จดยอด u และจดยอด v ของกราฟ เปนจดยอดประชด (Adjacent Vertices) กตอเมอ มเสนเชอมระหวางจดทงสอง และเราเรยกจดยอด u และ v วา จดปลาย (End Point) ของเสนเชอมนน

ตวอยางท 2 จากกราฟของตวอยางท 1 จะเหนวา จดยอด A และจดยอด B เปนจดยอดประชด จดยอด A และจดยอด C เปนจดยอดประชด จดยอด B และจดยอด C เปนจดยอดประชด จดยอด C และจดยอด D เปนจดยอดประชด แต จดยอด A และจดยอด D ไมเปนจดยอดประชด

83

จดยอด B และจดยอด D ไมเปนจดยอดประชด หมายเหต

1. ในการเขยนแผนภาพของกราฟนน จะกาหนดตาแหนงของจดยอด ณ ตาแหนงใดกได และจะลากเสนเชอมของกราฟเปนเสนตรงหรอเสนโคงมความยาวเปนเทาใดกได โดยทเสนทลากจะไมตดกบตวมนเอง และไมลากผานจดยอดทไมใชจดยอดของเสนนน เชน กราฟตอไปน ถอวาเปนกราฟเดยวกน

2. เสนเชอมสองเสนของกราฟ อาจลากตดกนกได โดยทจดตดของเสนทงสองไมถอวาเปนจดยอดของกราฟ เชน กราฟ

สามารถเขยนใหมโดยไมมเสนเชอมตดกนไดดงน

กาหนดกราฟ ดงรป

84

จากกราฟจะเหนวา e1 และ e2 เปนเสนเชอมระหวางจดยอดคเดยวกน คอ จดยอด a และ จดยอด c เสนเชอม e5 เปนเสนเชอมทเชอมจดยอด b เพยงจดเดยว

บทนยาม เสนเชอมตงแต 2 เสนทเชอมระหวางจดยอดคเดยวกน เรยกวา เสนเชอมขนาน (Parallel Edges)

เสนเชอมทเชอมจดยอดเพยงจดเดยว เรยกวา วงวน (Loop)

จากรปขางตนจะเหนวา e1 และ e2 เปนเสนเชอมขนาน เสนเชอม e5 เปนวงวน

ในกรณทกราฟไมมเสนเชอมขนาน สามารถใชสญลกษณ AB เพอแทนเสนเชอมระหวางจดยอด A และ B ได เชน กราฟในตวอยางท 1 สามารถเขยนเซตของเสนเชอม E(G) ไดใหมเปน E(G) = {AB, BC, AC, CD}

บทนยาม เราเรยกกราฟทไมมเสนเชอมขนาน และไมมวงวน วา กราฟเชงเดยว (Simple Graph)

ตวอยางท 3 พจารณากราฟ

จะเหนวา กราฟ G1 เปนกราฟทมวงวน กราฟ G2 เปนกราฟทมเสนเชอมขนาน และกราฟ G3 เปนกราฟทมวงวนและเสนเชอมขนาน ดงนนกราฟ G1 G2 และ G3 ไมเปนกราฟเชงเดยว

85

กราฟเดยวกนและกราฟถอดแบบกน

เราไดทราบแลววาในการเขยนกราฟ G จะกาหนดตาแหนงของจดยอด ณ ตาแหนงใดกได จงทาใหกราฟเดยวกนนนมรปทแตกตางกนได

บทนยาม เรากลาววา กราฟ G และกราฟ H เปนกราฟเดยวกน(Identical) กตอเมอ V(G) = V(H)และ E(G) = E(H)

ตวอยางท 4 พจารณากราฟ G และกราฟ H ดงรป

G H จะเหนวา V(G) = {A, B, C, D} = V(H) E(G) = {AC, BC, BD} = E(H)

ดงนน เราจะกลาววา กราฟ G และกราฟ H เปนกราฟเดยวกน บทนยาม เรากลาววา กราฟ G และกราฟ H เปนกราฟถอดแบบกน (Isomorphic) กตอเมอ ม

ฟงกชน φ ซงเปนฟงกชน หนงตอหนงจาก V(G) ไปทวถง V(H) โดยท uv ∈E(G) กตอเมอ ∈φφ )v()u( E(H) สาหรบทกๆจดยอด u และจดยอด v ใน G

86

ตวอยางท 5 พจารณากราฟ

จะเหนวา กราฟ H และกราฟ G กาหนดชอใหจดยอดแตกตางกน ถงแมวารปกราฟทงสองนจะด

เหมอนกนกตาม แตกราฟ G และ กราฟ H เปนกราฟถอดแบบกน ทงนมฟงกชน φ ซงนยามวา φ(ui) = vi โดยท i = 1, 2, 3, 4, 5 เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก V(H) ไปทวถง V(G) โดยท uiuj ∈E(H) กตอเมอ vivj ∈E(G) ดกรของจดยอด

พจารณากราฟตอไปน

จดยอด จานวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอด a 2 b 4 c 4 d 2

จะเหนวา เสนเชอมทเกดกบจดยอด a ไดแก เสนเชอม ab และ ac ดงนน จานวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอด a คอ 2 สาหรบจดยอด b มเสนเชอมทเกดกบจดยอด b ไดแก เสนเชอม ba, bc และ bb เปนวงวน เกดกบจดยอด b กรณทมเสนเชอมเปนวงวนจะกาหนดใหนบจานวนเสนเชอมท

87

เกดกบจดยอดนนเพมขน โดยใหนบเสนเชอมทเปนวงวน 1 วง วงวนเปน 2 ดงนนจานวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอด b จงเปน 4

บทนยาม ดกร (Degree) ของจดยอด v ในกราฟ คอ จานวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอด v

ตอไปจะเรยกจานวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอดวา ดกร ใชสญลกษณ deg v แทนดกรของจดยอด v ตวอยางท 6 กาหนดกราฟ ดงรป

จากรปจะไดวา deg a = 2 deg b = 1 deg c = 3 deg d = 4 ตวอยางท 7 กาหนดกราฟ ดงรป

88

จากรปจะไดวา deg a = 2

deg b = 5 deg c = 5 deg d = 4 สงเกตวา deg a + deg b + deg c + deg d = 16 และกราฟมจานวนเสนเชอมทงหมด 8 เสน ความสมพนธระหวางผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟกบจานวนเสนเชอมของกราฟเปนไปตามทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท ให u1, u2, u3, …, u

)G(V เปนจดยอดทงหมดในกราฟ G จะไดวา

)G(E2udeg)G(v

1ii =∑

=

นนคอ ผลรวมของดกรของจดยอดทดจดในกราฟเทากบสองเทาของจานวนเสนเชอมในกราฟ

พสจน เนองจากเสนเชอมแตละเสนในกราฟเกดกบจดยอดเปนจานวน 2 ครง ดงนนเสนเชอมแตละเสนจะถกนบ 2 ครงในผลรวมของดกรของจดยอดทกจด นนคอ ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟเทากบสองเทาของจานวนเสนเชอมในกราฟ ขอสงเกต ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟเปนจานวนคเสมอ ตวอยางท 8 จงหาจานวนเสนเชอมของกราฟทมผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟเทากบ 22 วธทา สมมตวา กราฟมเสนเชอม n เสน จากทฤษฎบท 1 ผลรวมของดกรของจดยอดทดจดในกราฟเทากบสองเทาของจานวน

เสนเชอมในกราฟ ดงนน 22 = 2n นนคอ n = 11 สรปไดวา กราฟมเสนเชอม 11 เสน

ตวอยางท 9 จงหาจานวนจดยอดของกราฟทมเสนเชอม 15 เสน และมจดยอด 3 จด ทมดกร 4 สวนจดยอดทเหลอมดกร 3 วธทา ให n เปนจานวนจดยอดทมดกร 3

89

ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟ คอ (3)(4) + 3n จากทฤษฎบท 1 ผลรวมของดกรของจดยอดทดจดในกราฟเทากบสองเทาของจานวน

เสนเชอมในกราฟ ดงนน (3)(4) + 3n = 2(15) เพราะฉะนน n = 6 ดงนน จานวนจดยอดทงหมดของกราฟ คอ 3 + 6 = 9 จด ตวอยางท 10 จงพจารณาวาเปนไปไดหรอไมวา จะมกราฟทมจดยอด 4 จด และดกรของจดยอด คอ 1, 1, 2 และ 3 ตามลาดบ วธทา สมมตวา มดกรทมจดยอด 4 จด และดกรของจดยอดเทากบ 1, 1, 2 และ 3 ดงนน ผลรวมของดกรของจดยอดทกจด คอ 1 + 1 + 2 + 3 = 7 ซงเปนจานวนค ขดแยงกบทฤษฎบท 1 ดงนนเปนไปไมไดทจะมกราฟดงกลาว

บทนยาม จดยอดทมดกรเปนจานวนค เรยกวา จดยอดค (Even Vertex) จดยอดทมดกรเปนจานวนค เรยกวา จดยอดค (Odd Vertex)

ตวอยางท 11 กาหนดกราฟ ดงรป

จากรปจะไดวา deg a = 2 deg b = 3 deg c = 0 deg d = 3 deg e = 2 ดงนน จดยอด a, c และ e เปนจดยอดค จดยอด b และ d เปนจดยอดค

90

ทฤษฎบท 2 ทกกราฟจะมจดยอดคเปนจานวนค

พสจน ให G เปนกราฟ ถา G ไมมจดยอดค นนคอ G มจานวนจดยอดคเปนศนย จงไดวา G มจานวนจดยอดคเปนจานวนค ตอไปสมมตวา กราฟ G มจดยอดค k จด คอ v1, v2, v3, …, vk

และมจดยอดค n จด คอ u1, u2, u3, …, un จากทฤษฎบท 1 จะไดวา (deg v1 + deg v2 + … + deg vk) + (deg u1 + deg u2 + … + deg un) = 2q เมอ q คอ จานวนเสนเชอมของ G ดงนน deg v1 + deg v2 + … + deg vk = 2q - (deg u1 + deg u2 + … + deg un) เนองจาก deg u1 + deg u2 + … + deg un ตางกเปนจานวนค ดงนน 2q - (deg u1 + deg u2 + … + deg un) เปนจานวนค นนคอ deg v1 + deg v2 + … + deg vk เปนจานวนค แตเนองจาก deg v1 + deg v2 + … + deg vk เปนจานวนค เพราะฉะนน k จะตองเปนจานวนค จงจะทาให deg v1 + deg v2 + … + deg vk

เปนจานวนค สรปไดวา กราฟ G มจดยอดคเปนจานวนค จากตวอยางท 10 เราใหเหตผลโดยอาศยทฤษฎบท 2 ดงน สมมตวา มกราฟทมจดยอด 4 จด และดกรของจดยอด คอ 1, 1, 2 และ 3 จะไดวา กราฟมจดยอดคเปนจานวน 3 จด ซงขดแยงกบทฤษฎบท 2 สรปไดวา ไมมกราฟทมสมบตดงกลาว

ตวอยางท 12 ถาในหองประชมแหงหนงมผเขารวมประชมทงหมด 23 คน เปนไปไดหรอไม

วา ผเขารวมประชมแตละคนจบมอทกทายผเขารวมประชมคนอนเพยง 7 คนเทานน วธทา แปลงปญหาดงกลาวเปนกราฟ โดยใหจดยอดแทนผเขารวมประชม และเสนเชอมแทน

การจบมอทกทายของผเขารวมประชม จะไดวา กราฟนมจดยอด 23 จด และจดยอดแตละจดมดกร 7 นนคอ กราฟมจดยอดคเปนจานวน 23 จด ซงเปนจานวนค ขดแยง กบทฤษฎบท 2 ดงนน เปนไปไมไดทผเขารวมประชมแตละคนจบมอกบคนอนเพยง 7 คนเทานน

91

แนวเดนและกราฟเชอมโยง

สมมตวา แผนผงของเมองหนงแทนดวยกราฟดงรป โดยใหจดยอดแทนอาเภอ และเสนเชอมแทนถนนทเชอมระหวางอาเภอสองอาเภอ

ในการเดนทางจากอาเภอ A ไปยงอาเภอ D มเสนทางการเดนทางหลายเสนทาง เสนทางตางๆ จะแทนดวยลาดบของจดยอดและเสนเชอม ดงน เสนทาง A, e1, E, e5, D บทนยาม ให u และ v เปนจดยอดของกราฟ แนวเดน u - v (u - v walk) คอ ลาดบจากดของจดยอดและเสนเชอมสลบกน u = u0, e1, u1, e2, u2, …, un-1, en, un = v โดยเรมตนทจดยอด u และสนสดทจดยอด v และแตละเสนเชอม ei จะเกดกบ

จดยอด ui-1 และ ui เมอ i ∈ {1, 2, …, n}

บทนยาม รอยเดน (trail) คอ แนวเดนในกราฟทเสนเชอมทงหมดแตกตางกน วถ(Path) คอ แนวเดนในกราฟทจดยอดทงหมดแตกตางกน วงจร(Circuit) คอ แนวเดนทเสนเชอมทงหมดแตกตางกน โดยมจดเรมตนและจดสดทายเปนจดยอดเดยวกน วฏจกร(Cycle) คอวงจรทไมมจดยอดซากน ยกเวนจดเรมตนและจดสดทาย

บทนยาม กราฟ G เปนกราฟเชอมโยง(connected graph) ถาจดยอด 2 จดใดๆ ใน G เชอไดดวยวถ

92

สอการสอน ใช PowerPoint นาเสนอ

93

94

กราฟถวงนาหนก (weight) บทนยาม คานาหนก(weight) ของเสนเชอม e ในกราฟ คอ จานวนทไมเปนลบทกาหนดไวบนเสนเชอม e กราฟถวงนาหนก(weight graph) คอ กราฟทเสนเชอมทกเสนมคานาหนก

ตวอยาง กราฟตอไปนเปนถวงนาหนก

2

5 13

42

ตวอยาง กราฟตอไปนเปนกราฟถวงนาหนก ซงจาลองจากแผนทเมองในประเทศไทย โดยใหจดยอดแทนเมอง เสนเชอมแทนถนน และคานาหนกเสนเชอมแทนระยะทางระหวาง เมองสองเมอง

A

D B

F

E

C

2

5

1

2

3

6

3 2

จะหาเสนทางจากเมอง A ไปยงเมอง E ทงหมดทไมผานเมองซากน เสนทางท 1 A, B, D, E ระยะทางยาว 2 + 1 + 3 = 4 กโลเมตร เสนทางท 2 A, B, D, F, E ระยะทางยาว 2 + 1 + 2 + 2 = 7 กโลเมตร เสนทางท 3 A, B, D, C, F, E ระยะทางยาว 2 + 1 + 3 + 6 + 2 = 14 กโลเมตร เสนทางท 4 A, C, F, E ระยะทางยาว 5 + 6 + 2 = 13 กโลเมตร เสนทางท 5 A, C, F, D, E ระยะทางยาว 5 + 6 + 2 + 3 = 16 กโลเมตร

95

เสนทางท 6 A, C, D, E ระยะทางยาว 5 + 3 + 3 = 11 กโลเมตร เสนทางท 7 A, C, D, F, E ระยะทางยาว 5 + 3 + 2 + 2 = 12 กโลเมตร จะเหนวาเสนทางท 1 A, B, D, E ระยะทางยาว 4 กโลเมตรเปนระยะทางทสนทสด

บทนยาม วถทสนทสด จากจด A ถงจดยอด Z ในกราฟถวงนาหนก คอวถ A - Z ทผลรวมของคานาหนกของเสนเชอมทกเสนในวถ A-Z นอยทสด

ฉะนนในตวอยางขางตน จะเหนวา วถ A, B, D, E เปนวถทสนทสด

สาหรบกราฟถวงนาหนกทมจดยอดและเสนเชอมเปนจานวนมาก การหาวถ A - Z ทสนทสด

โดยการคนหาวถ A - Z ทงหมดแลวเลอกวถทผลรวมของคานาหนกนอยทสด ทาไดไมสะดวกและเสยเวลา ในการหาวถ A - Z ทสนทสด มขนตอนวธทใชหาวถทสนทสด เชน ขนตอนวธของ Dijkstra

96

ขนตอนวธของไดคสตรา (Dijkstra’s Algorithm)

เมอ G เปนกราฟไมขาดตอนทมนาหนก นนคอ G เปนกราฟทจดทกจดมวถอยางนอยหนงวถเชอมถงกน และแตละเสน e ใน G ถกกาหนดดวยจานวนจรงทไมเปนลบ และ u0 เปนจดทกาหนดใหเปนจดเรมตน

w(uv) หมายถงความยาวของเสน uv S หมายถง complement ของ เซต S

ให i = 0, S0 = {u0}, และ L(v) = ∞ สาหรบทก ๆ จด v ≠ u0

กาหนดคาจด v ดวย (L(v) , -)

yes

no yes

no

|V(G) | = 1 ?

หาคา iSv∈

min {L(v)}

จดใดททาใหเกดคานอยทสด ใหเรยกจดนนวา ui+1

กาหนดให Si+1 = Si U {ui+1} แทนคา i ดวย i + 1

i = V(G)- 1 ?

Finish

สาหรบแตละจด v iS∈ ให L(v) = min{ L(v) , L(ui)+w(uiv) }

กาหนดคา v ใหมเปน (L(v),ui) ถาคา L(v) ทไดเปนคาใหม

97

ในทนเราจะศกษา ขนตอนวธของ Dijkstra พรอมแสดงตวอยาง จงหาวถ A - H ทสนทสดของกราฟตอไปน

A

E B

D H

C

F

G

2

2

1

4

4

5

1

6

2

3

3

7

98

99

100

จากกราฟขางตน เราไดวา วถ A-H ทสนทสดคอ A, B, E, H วถ A-D ทสนทสดคอ A, C, D วถ A-G ทสนทสดคอ A, C, G วถ A-F ทสนทสดคอ A, B, F

หมายเหต จากขนตอนวธของ Dijkstra ขางตนเราจะไดวถทสนทสดจาก A ไปยงจดยอดใดๆ เทานน ถาเราจะหาวถทสนทสดจากจดยอดทไมใชจด A จะตองเรมขนตอนวธของ Dijkstra

ใหม

กจกรรมการเรยนร

1. ครนาเขาสบทเรยนโดยการใหนกเรยนพจารณาลกษณะของกราฟถวงนาหนก แลวพจารณาวถทสนทสด

2. แจงจดประสงคการเรยนรประจาเรองใหนกเรยนทราบ 3. ครใชเทคนคการสอนแบบบรรยาย 4. ใชสอการสอนดวย PowerPoint เพอใหนกเรยนไดเขาใจทางเดนตางๆ มากยงขน

101

สอการสอน ใช PowerPoint นาเสนอ

102

103

กราฟออยเลอร

ปญหาสะพานเคอนกสเบรก มอยวา ณ เมองเคอนกสเบรกมเกาะกลางแมนาพรเกล (Pregel) จานวน 2 เกาะ และมสะพานทเชอมระหวางเกาะและเมองดงรปตอไปน

ชาวเมองเคอนกสเบรกพยายามหาวธเดนขามสะพานใหครบทกสะพาน โดยทขามสะพานแต

ละสะพานเพยงครงเดยวและกลบมาทจดยอดเรมตน เลออนฮารด ออยเลอรไดแปลงปญหานใหอยในรปกราฟ โดยใหอาณาบรเวณ A, B, C, D

แทนดวยจดยอดของกราฟ และสะพานแตละพานแทนดวยเสนเชอมของกราฟ

104

A

C

B

D

ปญหาสะพานเคอนกสเบอรก เมอจาลองอยในรปกราฟจะได

จากกราฟ สามารถแปลงไดเปนปญหาการลากผานเสนเชอมของกราฟดงรปขางตน จนครบทกเสนโดยไมตองยกปากกาและผานเสนแตละเสนเพยงครงเดยว โดยทจดเรมตนและจดสนสดเปนจดเดยวกน

บทนยาม วงจรออยเลอร(Euler trail) คอ รอยเดนซงผานจดยอดทกจดและเสนเชอมทกเสนของกราฟ

ทฤษฎบทตอไปน ใหเงอนไขวา กราฟทกาหนดใหเปนกราฟออยเลอรเมอไร

ทฤษฎบท ให G เปนกราฟเชอมโยง จะไดวา G เปนกราฟออยเลอร กตอเมอ จดยอดทกจดของ G มดกรเปนจานวนค กราฟทมวงจรออยเลอร เรยกวา กราฟออยเลอร (Eulerian graph)

105

ตวอยาง กราฟตอไปนเปนกราฟออยเลอร

บทนยาม รอยเดนออยเลอร(Euler circuit) คอ วงจรทผานจดยอดทกจดและเสนเชอมทกเสนของกราฟ

ทฤษฎบทตอไปน ใหเงอนไขวา กราฟทกาหนดใหมรอยเดนออยเลอรเมอไร

ทฤษฎบท ให G เปนกราฟเชอมโยง จะไดวา G เปนกราฟทมรอยเดนออยเลอร กตอเมอ G มจดยอดทเปนดกรเปนจานวนคไมเกน 2 จด ยงไปกวานนจดยอดทเปนจานวนคเหลานนจะเปนจดเรมตนและจดปลายของรอยเดนออยเลอร

ปญหาหนงทดคลายกบปญหาวงจรออยเลอร คอปญหาการหาวถในกราฟทไมใชจดยอดซากน

ยกเวนจดเรมตนและจดสนสดตองเปนจดเดยวกน ซงกคอ วฎจกรและวฎจกรนผานครบทกจดยอดในกราฟน จะเรยกวฎจกรนวา วฎจกรแฮมลตน ถา G มวฎจกรแฮมลตน จะเรยก G วาเปนกราฟแฮมลตน(Hamiltonian graph)

106

สอการสอน ใช PowerPoint นาเสนอ

ตนไม ตอไปเราจะศกษากราฟทมลกษณะพเศษชนดหนง เรยกวา ตนไม ซงมบทบาทสาคญในการศกษาทฤษฎกราฟ และในการประยกตทางดานตางๆ เชน โครงสรางขอมลในวชาคอมพวเตอร การศกษาโครงสรางทางเคมของสารประกอบไฮโดรคารบอน หรอในการออกแบบวงจรไฟฟาและอเลกทรอนกส

บทนยาม ตนไม (tree) คอ กราฟเชอมโยงทไมมวฏจกร

107

ดวอยาง พจารณากราฟตอไปน

(A)

(D) (C)

(B)

จะเหนวา กราฟในรป (A) และ (B) เปนตนไม กราฟในรป (C) ไมเปนตนไม เพราะมวฏจกรปรากฏอย กราฟในรป (D) ไมเปนตนไม เพราะไมใชกราฟเชอมโยง

ลกษณะเฉพาะของตนไม ทฤษฎบทตอไปนเปนทฤษฎบททบงบอกลกษณะเฉพาะ(characterization) ของตนไม ทฤษฎบท

1. ให T เปนกราฟทไมมวงวน กราฟ T เปนตนไม กตอเมอ จดยอด 2 จดใดๆ ใน T เชอมโยงกนไดดวยวถเพยงวถเดยว

2. ให T เปนกราฟทมจานวนจดยอดเปน n จด กราฟ T เปนตนไม กตอเมอ กราฟ T ไมมวฏจกร และมเสนเชอม n – 1 เสน

3. ให T เปนกราฟทมจานวนจดยอดเปน n จด กราฟ T เปนตนไม กตอเมอ กราฟ T เปนกราฟเชอมโยงและมเสนเชอม n – 1 เสน

4. ถา T เปนตนไมทมจานวนจดยอดอยางนอย 2 จด แลว กราฟ T จะมดกร 1 อยางนอย 2 จด

ตนไมแผทว (spanning tree)

กอนทจะศกษาตนไมแผทว เราจะเรมตนศกษากราฟยอยกอน

บทนยาม กราฟยอย (subgraph) ของกราฟ G คอกราฟทประกอบดวยจดยอดและเสนเชอมใน G กลาวคอ กราฟ H เปนกราฟยอยของกราฟ G ถา V(G) V(H) และ E(H) E(G) ⊂ ⊂

108

ตวอยาง กาหนดกราฟ G และกราฟ H ดงรป

G : A

B C

D A

B C

D

H :

V(G) = { A, B, C, D } V(H) = { A, B, C, D } E(G) = {AB, BC, CD, DA, BD} E(H) = {AB, BC, DA, BD} จะไดวา กราฟ H เปนกราฟยอยของกราฟ G พจารณาวากราฟใด เปนกราฟยอยของกราฟ G

A

B

C

D

A

B

C

D

A

B

C

D

A

B

C

D

A

B

C

D

A

B

C A

B

C

D

G

G1 G2 G3

G4 G5 G6

D

D

กราฟ G2 และ G6 ไมเปนกราฟยอยของ G พจารณากราฟยอยของกราฟ G จะเหนวากราฟ G1 , G3 และ G5 เปนกราฟยอยของ G และเปนตนไมดวย บทนยาม ตนไมแผทว (spanning tree) คอตนไมซงเปนกราฟยอยของกราฟเชอมโยง G ทบรรจจดยอด

ทกจดยอด

109

การประยกตของทฤษฎกราฟทเกยวของกบตนไม สมมตวาเราตองการสรางถนนเชอมตอระหวางเมองตางๆ โดยททราบคาใชจายในการกอสรางถนนทเชอมเมอง 2 เมองใดๆ ปญหาทเกดขนคอ เราควรสรางถนนเชอมระหวางเมองใดบาง เพอใหเมอง 2 เมองใดๆ สามารถตดตอกนไดทางรถยนต และเสยคาใชจายในการกอสรางนอยทสด จากปญหาดงกลาว เราอาจสรางกราฟทมนาหนกทสมนยกบปญหานได โดยใหเมองแตละเมองแทนดวยจดยอด ถนนแทนดวยเสนเชอม และคาใชจายในการกอสรางถนนแทนคานาหนกของเสนเชอม คาตอบของปญหานคอ การหาสบกราฟแผทวทเปนกราฟเชอมโยงและมคานาหนกนอยทสด ขนตอนวธในการหากราฟแผทวทเปนกราฟเชอมโยงและมคานาหนกนอยทสดมอยดวยกนหลายวธ แตในทนเราจะกลาว 2 วธเทานน คอ วธของครสกาวล (Kruskal) และขนตอนวธของพรม (Prim) ในบรรดาขนตอนวธเหลาน ขนตอนวธของครสกาวล จดวาเปนขนตอนวธทมชอเสยงมากทสด ขนตอนวธของครสกาวล (Kruskal’s algorithm) แนวคดของขนตอนวธของครสกาวล คอการเลอกเสนทมนาหนกนอยทสดจากกราฟเชอมโยงถวงนาหนก ตดตอกนไปเพอสรางกราฟเชอมถวงนาหนก และการเลอกเสนดงกลาวตองไมกอใหเกดวฎจกร การเลอกนจะสนสดลงเมอไดตนไมแผทว ตวอยาง จงหากราฟแผทวทเปนกราฟเชอมโยงและมคานาหนกนอยทสดของกราฟทกาหนดใหโดยใชขนตอนวธของครสกาวล

วธทา เราจะใชเสนหนาบงถงเสนของกราฟแผทวทเปนกราฟเชอมโยงและมคานาหนกนอยทสด

110

เราจะเหนวาคานาหนกของแผทวทเปนกราฟเชอมโยงมคาเทากบ 8 หมายเหต กราฟแผทวทเปนกราฟเชอมโยงและมคานาหนกนอยทสดของแตละกราฟอาจมไดมากกวา 1 แบบ

111

ขนตอนวธของพรม(Prim’s algorithm) แนวคดขนตอนของพรม คอการแทนตนไม T ทมอยในการเชอมโยงทมนาหนกดวยตนไมอนใหมทเกดจากการเพมเสนทมนาหนกนอยทสดลงไปใน T โดยทเสนๆ นเปนเสนเชอมจดทอยใน T กบจดทไมอยใน T ตวอยาง จงหากราฟแผทวทเปนกราฟเชอมโยงและมคานาหนกนอยทสดของกราฟทกาหนดให โดยใชขนตอนวธของพรม

วธทา เราจะใชเสนหนาบงถงเสนของกราฟแผทวทเปนกราฟเชอมโยงและมคานาหนกนอยทสด

112

เราจะเหนวาคานาหนกของแผทวทเปนกราฟเชอมโยงมคาเทากบ 8

กจกรรมการเรยนร

1. ครนาเขาสบทเรยนโดยการใหนกเรยนนกเรยนพจารณากราฟทมลกษณะพเศษชนดหนง

เรยกวา ตนไม แลวนาไปสเนอหาของตนไม 2. แจงจดประสงคการเรยนรประจาเรองใหนกเรยนทราบ 3. ครใชเทคนคการสอนแบบบรรยาย 4. ใชสอการสอนดวย PowerPoint

สอการสอน ใช PowerPoint นาเสนอ

113