4.2
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CAPÍTULO 4 CÁLCULO II
4.2 VOLUMENES Método de Discos Si f es una función continua en [a,b] y R es la región limitada por y = f(x), el eje x y las rectas x = a y x = b; S es el sólido de revolución que se genera la girar la región R alrededor del eje x. Para una partición Δ de [a,b] el i-ésimo subintervalo es [xi –1, xi] y su punto medio es γi. Si formamos n rectángulos de altura f(γi) y base Δix se generan n discos circulares al girar cada rectángulo alrededor del eje x.
Δix
γi
xixi -1
2.0 4.0 6.
2.0
4.0
6.0
El i-ésimo rectángulo genera un disco circular de radio f(γi) y espesor Δix; su volumen es π[f(γi)]2Δix m3. En el límite, al sumar los n rectángulos generados, se puede obtener el volumen del sólido:
V = dxxfxfb
aii
n
in ∫∑ =Δ=∞→
22
1)]([)]([lim πγπ
Ejemplo 1: Hallar el volumen del sólido de revolución generado por la rotación de la región x + 2y = 2, el eje x y el eje y, alrededor del eje x. Considerar los elementos rectangulares perpendiculares al eje de revolución. x 0 0.5 1 1.5 2 y 1 0.75 0.5 0.25 0
1.0 2.0
1.0
xi – 1 xi
γi
V = dxxfb
a∫ 2)]([π
V = 20122
2
04
2
0
22 ][]1[]1[ 322 xxxx xdxxdx +−=+−=− ∫∫ πππ
V = πππ 32
32
122
22 ]22[]2[ 32
=+−=+−
M. I. CLAUDIA RAZO HERNÁNDEZ 1
CAPÍTULO 4 CÁLCULO II
Ejemplo 2: Hallar el volumen del sólido de revolución generado por la rotación del la región limitada por y2 = x3 y y = 4, alrededor del eje y. x 0 1 2 3 4 y 0 1 2.8 5.2 8
V = dyyfyfd
c
n
iiin ∫∑ =Δ
=∞→
2
1
2 )]([)]([lim πγπ
V =
4
037
374
0
344
0
232 ][ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡== ∫∫
ydxydyy πππ
V = ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ 37)4(73π
Si las funciones f y g son continuas en [a,b] donde f(x) ≥ g(x) para toda x en [a,b]. Sea R la región limitada, por arriba por y = f(x), por abajo por y = g(x) y por los lados por las rectas x = a y x = b.
El elemento de volumen es un anillo circular. El i-ésimo rectángulo tiene ancho Δix y γi es el punto medio del intervalo. Sea S el sólido de revolución obtenido por la rotación de R alrededor del eje x. El volumen del disco circular está dado por:
V = xgf ii
n
iin
Δ−∑=∞→
))]([)](([lim 2
1
2 γγπ
a b
y = f(x)
y = g(x)
y
x
Δix
(γi, f(γi))
(γi, g(γi))
R2 – r2 Altura
8.0
4.0
(f(
4.0
γi),γi)
M. I. CLAUDIA RAZO HERNÁNDEZ 2
CAPÍTULO 4 CÁLCULO II
V = ∫ −b
a
dxxgxf ))]([)](([ 22π
Ejemplo 3: Hallar el volumen del sólido de revolución generado por la rotación del la región limitada por las rectas y =x, y = 2x y x + y = 6, alrededor del eje y.
x 0 1 2 3 4 f(x) 0 1 2 3 4 g(x) 0 2 4 6 8 h(x) 6 5 4 3 2
Como los rectángulos son paralelos al eje x, entonces γi representa un valor de y.
V = + ygf ii
n
iin
Δ−∑=∞→
))]([)](([lim 2
1
2 γγπ ygh ii
n
iin
Δ−∑=∞→
))]([)](([lim 2
1
2 γγπ
V = + ∫ −3
0
22 ))]([)](([ dyygyfπ ∫ −4
3
22 ))]([)](([ dyygyhπ
V = ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
3
0
22
2][ dyyyπ + ∫ ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−−
4
3
22
2]6[ dyyyπ
V = ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
3
0
22
4dyyyπ + ∫ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−
4
3
22
41236 dyyyyπ =
4
3
3323
0
33
12321236
123 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
yyyyyy ππ
V = ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−−−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡− )34(
41)34(6)34(36
123
33 3322
33ππ = ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −+−+− )2764(
41)7(636
499π
V = [ ]734283
437
493 +=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +− πππ
V = 10π Método de las Capas Cilíndricas
Sea R la región limitad por y = f(x) el eje x y las rectas x = a y x = b. Sea S el sólido de revolución generado por la rotación de R alrededor del eje y, entonces el elemento de volumen es una capa cilíndrica. Si Δix es la anchura del i-ésimo rectángulo y γi el punto medio del intervalo [xi-1, xi]. El volumen de cada capa cilíndrica generada es: 2πrhe:
El volumen de todo el sólido es:
2 . 0 4 . 0 6 . 0
2 . 0
4 . 0
6 . 0
8 . 0g(x)
f(x)
h(x)
(γi, f(γi))
γix -1i
xi
y
M. I. CLAUDIA RAZO HERNÁNDEZ 3
CAPÍTULO 4 CÁLCULO II
V = = xf i
n
iiinΔ∑
=∞→ 1)(2lim γπγ ∫
b
a
dxxxf )(2π
Ejemplo 4: Hallar el volumnen del sólido de revolución generado por la rotación de la región limitada por y = x2, el eje x y la recta x = 3 alrededor del eje y. Usar el método de las capas cilíndricas. x 0 1 2 3 y 0 1 4 9
V = = xf i
n
iiinΔ∑
=∞→ 1)(2lim γπγ ∫
b
a
dxxxf )(2π
V = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡== ∫∫ 4
324
22)(243
0
43
0
33
0
2 ππππ xdxxdxxx
V = π281
Ejemplo 12: Hallar el centroide del sólido de revolución generado por la rotación alrededor del eje x de la región x + 2y = 2, el eje x y el eje y, utilizando el método de las capas cilíndricas. x 0 1 2 3 4 y 1 1/2 0 -1/2 -1
V = ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−=− ∫∫ 3
223212
32
222)22(2)22(2
1
0
321
0
21
0
πππππ yydyyydyyy
V = π32
2 . 0 4 . 0 6 . 0
2 . 0
4 . 0
6 . 0
8 . 0
(γi, 21 f(γi))
2.0
1.0 γ( 21 f(γi), i)
(f(γi), γi)
M. I. CLAUDIA RAZO HERNÁNDEZ 4
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