CAPÍTULO 4 CÁLCULO II

4.2 VOLUMENES Método de Discos Si f es una función continua en [a,b] y R es la región limitada por y = f(x), el eje x y las rectas x = a y x = b; S es el sólido de revolución que se genera la girar la región R alrededor del eje x. Para una partición Δ de [a,b] el i-ésimo subintervalo es [xi –1, xi] y su punto medio es γi. Si formamos n rectángulos de altura f(γi) y base Δix se generan n discos circulares al girar cada rectángulo alrededor del eje x.

Δix

γi

xixi -1

2.0 4.0 6.

2.0

4.0

6.0

El i-ésimo rectángulo genera un disco circular de radio f(γi) y espesor Δix; su volumen es π[f(γi)]2Δix m3. En el límite, al sumar los n rectángulos generados, se puede obtener el volumen del sólido:

V = dxxfxfb

aii

n

in ∫∑ =Δ=∞→

22

1)]([)]([lim πγπ

Ejemplo 1: Hallar el volumen del sólido de revolución generado por la rotación de la región x + 2y = 2, el eje x y el eje y, alrededor del eje x. Considerar los elementos rectangulares perpendiculares al eje de revolución. x 0 0.5 1 1.5 2 y 1 0.75 0.5 0.25 0

1.0 2.0

1.0

xi – 1 xi

γi

V = dxxfb

a∫ 2)]([π

V = 20122

2

04

2

0

22 ][]1[]1[ 322 xxxx xdxxdx +−=+−=− ∫∫ πππ

V = πππ 32

32

122

22 ]22[]2[ 32

=+−=+−

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CAPÍTULO 4 CÁLCULO II

Ejemplo 2: Hallar el volumen del sólido de revolución generado por la rotación del la región limitada por y2 = x3 y y = 4, alrededor del eje y. x 0 1 2 3 4 y 0 1 2.8 5.2 8

V = dyyfyfd

c

n

iiin ∫∑ =Δ

=∞→

2

1

2 )]([)]([lim πγπ

V =

4

037

374

0

344

0

232 ][ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡== ∫∫

ydxydyy πππ

V = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ 37)4(73π

Si las funciones f y g son continuas en [a,b] donde f(x) ≥ g(x) para toda x en [a,b]. Sea R la región limitada, por arriba por y = f(x), por abajo por y = g(x) y por los lados por las rectas x = a y x = b.

El elemento de volumen es un anillo circular. El i-ésimo rectángulo tiene ancho Δix y γi es el punto medio del intervalo. Sea S el sólido de revolución obtenido por la rotación de R alrededor del eje x. El volumen del disco circular está dado por:

V = xgf ii

n

iin

Δ−∑=∞→

))]([)](([lim 2

1

2 γγπ

a b

y = f(x)

y = g(x)

y

x

Δix

(γi, f(γi))

(γi, g(γi))

R2 – r2 Altura

8.0

4.0

(f(

4.0

γi),γi)

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CAPÍTULO 4 CÁLCULO II

V = ∫ −b

a

dxxgxf ))]([)](([ 22π

Ejemplo 3: Hallar el volumen del sólido de revolución generado por la rotación del la región limitada por las rectas y =x, y = 2x y x + y = 6, alrededor del eje y.

x 0 1 2 3 4 f(x) 0 1 2 3 4 g(x) 0 2 4 6 8 h(x) 6 5 4 3 2

Como los rectángulos son paralelos al eje x, entonces γi representa un valor de y.

V = + ygf ii

n

iin

Δ−∑=∞→

))]([)](([lim 2

1

2 γγπ ygh ii

n

iin

Δ−∑=∞→

))]([)](([lim 2

1

2 γγπ

V = + ∫ −3

0

22 ))]([)](([ dyygyfπ ∫ −4

3

22 ))]([)](([ dyygyhπ

V = ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

3

0

22

2][ dyyyπ + ∫ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−−

4

3

22

2]6[ dyyyπ

V = ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

3

0

22

4dyyyπ + ∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

4

3

22

41236 dyyyyπ =

4

3

3323

0

33

12321236

123 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

yyyyyy ππ

V = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡− )34(

41)34(6)34(36

123

33 3322

33ππ = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+−+− )2764(

41)7(636

499π

V = [ ]734283

437

493 +=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +− πππ

V = 10π Método de las Capas Cilíndricas

Sea R la región limitad por y = f(x) el eje x y las rectas x = a y x = b. Sea S el sólido de revolución generado por la rotación de R alrededor del eje y, entonces el elemento de volumen es una capa cilíndrica. Si Δix es la anchura del i-ésimo rectángulo y γi el punto medio del intervalo [xi-1, xi]. El volumen de cada capa cilíndrica generada es: 2πrhe:

El volumen de todo el sólido es:

2 . 0 4 . 0 6 . 0

2 . 0

4 . 0

6 . 0

8 . 0g(x)

f(x)

h(x)

(γi, f(γi))

γix -1i

xi

y

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CAPÍTULO 4 CÁLCULO II

V = = xf i

n

iiinΔ∑

=∞→ 1)(2lim γπγ ∫

b

a

dxxxf )(2π

Ejemplo 4: Hallar el volumnen del sólido de revolución generado por la rotación de la región limitada por y = x2, el eje x y la recta x = 3 alrededor del eje y. Usar el método de las capas cilíndricas. x 0 1 2 3 y 0 1 4 9

V = = xf i

n

iiinΔ∑

=∞→ 1)(2lim γπγ ∫

b

a

dxxxf )(2π

V = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡== ∫∫ 4

324

22)(243

0

43

0

33

0

2 ππππ xdxxdxxx

V = π281

Ejemplo 12: Hallar el centroide del sólido de revolución generado por la rotación alrededor del eje x de la región x + 2y = 2, el eje x y el eje y, utilizando el método de las capas cilíndricas. x 0 1 2 3 4 y 1 1/2 0 -1/2 -1

V = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−=− ∫∫ 3

223212

32

222)22(2)22(2

1

0

321

0

21

0

πππππ yydyyydyyy

V = π32

2 . 0 4 . 0 6 . 0

2 . 0

4 . 0

6 . 0

8 . 0

(γi, 21 f(γi))

2.0

1.0 γ( 21 f(γi), i)

(f(γi), γi)

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