321 102 general mathematics - kku web hosting ·...
Post on 18-Oct-2019
0 Views
Preview:
TRANSCRIPT
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
1
321 102 General Mathematics
( ส าหรับนักศึกษาคณะเภสัชศาสตร์ ประจ าภาคเรียนที ่ 1/2549 )
ผู้สอน: ดร.วัฒนา เถาว์ทิพย์
1 เรขาคณิตวิเคราะห็ในระนาบ
(Plane Analytic Geometry)
บทน า: การศึกษาเกีย่วกับกาเคลื่อนที่มีมาเนิ่นนาน ในปัจจุบันวิชาแคลคูลัส (Calculus) และ เรขาคณิตวิเคราะห ์ (Analytic Geometry) เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ส าคญัที่สามารถอธิบายได้ชัดเจน และภาคตัดกวย(Conic sections) เป็นลักษณะหนึ่งของการเคลื่อนทีข่องดาวเคราะห์ ดาวเทียม อิเลคตรอน โมเลกุล และอื่น ที่มีความส าคัญในการศึกษาในสาขาวิชาต่างๆ
เนื้อหา :
1.1 ภาคตัดกรวย (Conic Sections)
1.2 การย้ายแกน (Translation of axis)
1.3 การหมุนแกน (Rotation of axis)
วงกลม (Circle) วงรี (Ellipse)
พาราโบลา(Parabola) ไฮเพอโบลา(Hyperbola)
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
2
1.1 ภาคตัดกรวย (Conic Sections)
วงกลม (Circles)
นิยาม :
วงกลม (Circle) คือเซตของจุดในระนาบ ที่ระยะห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งมีค่าคงตัว เรียกจุดคงที่นั้นว่า จุดศูนย์กลาง (Center) และเรียกระยะคงที่ว่า รัศม ี(Radius)
■ การเขียนรูปวงกลม
- ใช้วงเวียน (Compass)
- ใช้เส้นเชือก (String)
■ การวิเคราะห์ หาสมการของวงกลม จากนิยาม
■ สมการในรูปมาตรฐานของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดก าเนิด รัศมี a คือ
2 2 2x y a
Center
Radius
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
3
Example 1 จงเขียนกราฟ พร้อม ระบุจุดศูนย์กลาง และรัศมีของวงกลมที่มีสมการเป็น 2 2 9x y
Solution
พาราโบลา (Parabolas )
นิยาม
พาราโบลา ( parabola) คือเซตของจุดในระนาบ ที่อยู่ห่างจากเส้นตรงคงที่เส้นหนึ่ง และจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะเท่ากัน จุดคงที่นั้นเรียกว่า โฟกัส (focus) และเส้นตรงคงที่นั้นเรียกว่า ไดเรกตริกซ์ (directrix)
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
4
■ การเขียนรูปพาราโบลา จากนิยาม
■ การวิเคราะห์ หาสมการของพาราโบลา จากนิยาม
Directrix
Focus
Vertex
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
5
■ สมการในรูปมาตรฐาน ของพาราโบลา ที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดก าเนิด เมื่อ 0p
สมการ Focus Directrix แกนสมมาตร ลักษณะเปิด
2 4x py (0, )p y p y-axis บน 2 4x py (0, )p y p y-axis ล่าง 2 4y px ( ,0)p x p x-axis ขวา 2 4y px ( ,0)p x p x-axis ล่าง
Example 2 จงหาโฟกัส และ ไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา 2 10y x พร้อมทั้งเขียนกราฟประกอบ Solution
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
6
วงรี (Ellipses)
นิยาม
วงรี (ellipse) คือเซตของจุดในระนาบที่ ผลบวกของระยะห่างจากจุดคงที่สองจุดมีค่าคงตัว จุดคงที่สองจุดนั้นเรียกว่า โฟกัส (Foci)
■ การเขียนรูปวงรี จากนิยาม
■ การวิเคราะห์หาสมการของวงรี จากนิยาม
1F 2F
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
7
■ สมการในรูปมาตรฐานของวงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดก าเนิด เมื่อ
0a b และ 2 2c a b
Equation Foci Vertices Major axis
2 2
2 21
x y
a b ,0c ,0a x-axis
2 2
2 21
x y
b a 0, c 0, a y-axis
Example 3 จงหาโฟกัส และ จุดยอดของวงรี 2 2
116 9
x y พร้อมทั้งเขียน
กราฟประกอบ Solution
หมายเหตุ : พิจารณาวงรี 2 2
2 21
x y
a b เมื่อ
2 2c a b
1. ถ้า 0c ( ท าให ้ )a b แล้ว วงรีจะกลายเป็นวงกลม
2. ถ้า c a (ท าให้ 0b ) แล้ว วงรีจะกลายเป็นส่วนของเส้นตรง
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
8
ไฮเพอโบลา ( Hyperbolas) นิยาม
ไฮเพอโบลา ( hyperbola) คือเซตของจุดในระนาบ ที่ผลต่างของระยะห่างจากจุดคงที่สองจุด มีค่าคงตัว จุดคงที่ทั้งสองนั้นเรียกว่า โฟกัส (Foci)
■ การเขียนรูปไฮเพอโบลา จากนิยาม
■ การวิเคราะห์หาสมการไฮเพอโบลา จากนิยาม
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
9
■ ส่วนประกอบที่ส าคัญของ ไฮเพอโบลา
■ สมการในรูปมาตรฐานของไฮเพอโบลาเมื่อ 0, 0a b และ 2 2c a b
Equation Foci Vertices Asymptote
2 2
2 21
x y
a b ,0c ,0a
by x
a
2 2
2 21
y x
a b 0, c 0, a
ay x
b
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
10
Example 4 จงหาโฟกัส และ เส้น ก ากับ ของไฮเพอโบลา 2 2
116 9
x y .
แล้วเขียนกราฟประกอบพร้อมระบุ จุดโฟกัส จุดยอด และ เส้นก ากับให้ชัดเจน
Solution
■■ การจ าแนกชนิดของภาคตัดกรวยโดยใช้ ค่า Eccentricity. ■■
ค่าความเยื้องศูนย์กลาง (Eccentricity)
นิยาม
ค่า ความเยื้องศูนย์กลาง ( eccentricity) ของภาคตัดกรวย หมายถึงอัตราส่วนของระยะจากจุดบนภาคตัดกรวยนั้นมายังจุดโฟกัส กับระยะมายังเส้นไดเรกตริกซ์
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
11
■ การจ าแนกชนิดของภาคตัดกรวยโดยใช้ค่า Eccentricity.
Theorem
ถ้า e เป็นค่าความเยื้องศูนย์กลาง (Eccentricity) ของรูปที่เกิดจากภาคตัดกรวยอันหนึ่ง แลว้รูปนั้นจะเป็น :
(a) พาราโบลา (Parabola) ถ้า 1e
(b) วงรี (Ellipse) ถ้า 1e
(c) ไฮเพอโบลา (Hyperbola) ถ้า 1e
พิสูจน์ (a)
พิสูจน์ (b)
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
12
พิสูจน์ (c)
หมายเหต ุ: ในรูปวงรี และ ไฮเพอโบลา ค่าความเยื้องศูนย์กลาง จะเป็นอัตราส่วนของระยะจากจุดศูนย์กลางมายังโฟกัส (c) กับระยะจากจุดศูนย์กลางมายังจุดยอด(a) นั่นคือ
c
Eccentricitya
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
13
Example 5 จงหาสมการ และเขียนกราฟของวงรีที่มี 1
2e และโฟกัสอยู่
ที่จุด (1,0) และ ( 1,0)
Example 6 จงเขียนกราฟของภาคตัดกรวยท่ีมี 5
3e และมีโฟกัสทั้งสอง
อยู่ที่จุด (0,3)และ (0, 3)
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
14
1.2 การเลื่อนแกนทางขนาน (Translation of axes)
■ พิจารณากราฟของฟังก์ชัน ( )y f x ต่อไปนี ้
Example 1.2.1 ให้เขียนกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้ พร้อมสังเกตความแตกต่าง ที่เกิดขึ้น :
2y x
2 1y x
2 2y x
2( 1)y x
2( 2)y x
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
15
■ หลักของการเลื่อนแกน ทางขนาน (Translation of axes)
ในระนาบ XY ที่มีจุดก าเนิดอยู่ที ่จุด O, เราสามารถเลื่อนแกนทางขนาน ให้เป็นระนาบใหม่คือ ระนาบ X’Y’ ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O’ as in the
figure.
ความสัมพันธ์ระหว่าง ( , )x y กับ ( , )x y คือ:
x x h
y y k
(1.1)
หรือ
x x h
y y k
(1.2)
(h, k)
O X
X’
Y Y’
O’
k
h
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
16
■ โดยการประยุกต์สมการ (1.2) เราจะได้ข้อสรุปในการเลื่อนแกนทางขนานดังนี:้
- การเลื่อนกราฟของ ( )y f x ให้สูงขึ้น k หน่วย ให้เปลี่ยน y ในสมการเดิมเป็น y – k
- การเลื่อนกราฟของ ( )y f x ให้ต่ าลง k หน่วย ให้เปลี่ยน y ในสมการเดิมเป็น y + k
- การเลื่อนกราฟของ ( )y f x ไปทางขวา k หน่วย ให้เปลี่ยน x
ในสมการเดิมเป็น x – h
- การเลื่อนกราฟของ ( )y f x ไปทางซ้าย k หน่วย ให้เปลี่ยน x
ในสมการเดิมเป็น x + h
Example 1.2.2 ให้เปลี่ยนสมการ 2y x เพื่อให้กราฟสูงข้ึน 4 หน่วย แล้วให้เขียนกราฟของสมการใหม่เปรียบเทียบกับสมการเดิม
Example 1.2.3 ให้เปลี่ยนสมการ 2 2 4x y เพื่อให้กราฟเลื่อนต่ าลง 3 หน่วย แล้วให้เขียนกราฟของสมการใหมเ่ปรียบเทียบกับสมการเดิม
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
17
โดยหลักการเลื่อนแกนทางขนาน เราสามารถสรุปสมการในรูป มาตรฐานของสมการของภาคตัดกรวยดังต่อไปนี ้
■ สมการของวงกลม ทีมีรัศม ี a จุดศูนย์กลาง ( , )h k อยู่ในรูป
2 2 2( ) ( )x h y k a
■ สมการของพาราโบลาที่มีจุดยอด ( , )h k และ 0p อยู่ในรูป
Equation Focus Directrix Axis
2( ) 4 ( )x h p y k ( , )h k p y k p x h 2( ) 4 ( )x h p y k ( , )h k p y k p x h 2( ) 4 ( )y k p x h ( , )h p k x h p y k 2( ) 4 ( )y k p x h ( , )h p k x h p y k
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
18
■ สมการวงรีที่มีจุดศูนย์กลาง ( , )h k โดยที ่ 0a b และ 2 2c a b
อยู่ในรูป:
Equation Foci Vertices Major axis
2 2
2 2
( ) ( )1
x h y k
a b
,h c k ,h a k y k
2 2
2 2
( ) ( )1
x h y k
b a
,h k c ,h k a x h
■ สมการของไฮเพอโบลาทีม่ีจุดศูนย์กลาง ( , )h k โดยที ่ 0, 0a b และ
2 2c a b อยู่ในรูป : Equation Foci Vertices
2 2
2 2
( ) ( )1
x h y k
a b
,h c k ,h a k
2 2
2 2
( ) ( )1
y k x h
a b
,h k c ,h k a
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
19
Example 1.2.4 จงหาจุดศูนย์กลาง และรัศมีของวงกลม 2 2 4 6 3 0x y x y แล้วเขียนกราฟประกอบ
Example 1.2.5 จงหาโฟกัส และ จุดยอดของพาราโบลา 2 6 8 25 0x x y แล้วเขียนกราฟประกอบ
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
20
Example 1.2.6 จงจัดสมการภาคตัดกรวย 2 24 9 8 36 4 0x y x y ให้อยู่ในรูปมาตรฐานพร้อมทั้งเขียนกราฟประกอบ
Example 1.2.7 จงจัดสมการภาคตัดกรวย 2 29 4 18 16 29 0x y x y
ให้อยู่ในรูปมาตรฐานพร้อมทั้งเขียนกราฟประกอบ
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
21
■ การวิเคราะห์สมการก าลังสอง (Quadratic Equations)
สมการก าลังสองในรูปทั่วไปคือ
2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F (1.3)
เมื่อ A, B และ C ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด ในหัวข้อที่ผ่านมาเราจะเห็นว่า ถ้าแกนของภาคตัดกรวยขนานกับแกนหลัก คือแกน X หรือ แกน Y แล้วสมการจะอยู่ในรูป
2 2 0Ax Cy Dx Ey F (1.4)
โดยที่เทอม Bxy ไม่มีปรากฏในสมการ จากนั้นเราสามารถใช้การท าเป็นก าลังสองสมบูรณ์เพื่อจัดให้สมดังกล่าวอยู่ในรูปมาตรฐานได้ และยังสามารถจ าแนกได้ว่า ภาคตัดกรวยนั้นจะเป็น
a) parabola ถ้า 0AC
b) ellipse ถ้า 0AC
c) hyperbola ถ้า 0AC
ต่อไปนี้เราจะศึกษาสมการที่มีเทอม Bxy ปรากฏอยู่ โดยเริ่มจากสมการ 2 9xy
จะเห็นว่า กราฟของสมการดังกล่าว เกิดจากการหมุน ไฮเพอโบลา รอบจุดก าเนิด จากแกน X เป็นมุม 45 และในหัวข้อต่อไปนี้เราจะศึกษาในรายละเอียดเกี่ยวกับหลักการหมุนแกน
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
22
1.3 การหมุนแกน (Rotation of axes)
ให้ ระบบพิกัดฉาก X Y เกิดจากการหมุน ระบบพิกัดฉาก XY รอบจุดก าเนิด เป็นมุม ดังรูป
■ ความสัมพันธ์ระหว่าง ( , )x y และ ( , )x y คือ :
cos sinx x y (1.5)
sin cosy x y (1.6)
Y Y
X
X
O
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
23
Example 1.3.1 โดยการหมุนแกนรอบจุดก าเนิดทวนเข็มนาฬิกาเป็นมุม 4
เรเดียน จงหาสมการของไฮเพอโบลา 2 9xy ในระบบพิกัดฉาก X Y
Y
Y
X
X
O
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
24
■ จากสมการของการหมุนแกน
cos sinx x y (1.7)
sin cosy x y (1.8)
เราสามารถหาความสัมพันธใ์นทางกลับกัน คือ
cos sinx x y (1.9)
cos siny y x (1.10)
ดังต่อไปนี้ :
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
25
Example 1.3.2 จงหาสมการของวงรีที่มีโฟกัสทั้งสองอยู่ที่ ( 6, 6) และ ( 6, 6) ที่มีผลบวกของระยะจากจุดบนวงรีมายัง โฟกัสทั้งสองเท่ากับ 2 14
ในระบบพิกัดฉาก XY
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
26
■ ความสัมพันธ์ระหว่างสมการในระบบพิกัดฉาก XY
2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F (1.11)
และสมการในระบบพิกัดฉาก X Y
2 2 0A x B x y C y D x E y F (1.12)
สามารถแสดงได้ว่า
2 2cos cos sin sinA A B C
cos2 ( )sin 2B B C A
2 2sin cos sin cosC A B C
cos sinD D E
sin cosE D E
F F
ดังต่อไปนี้
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
27
■ จากความสัมพันธ์ดังกล่าว เราจะได้ทฤษฎีบทที่ส าคัญ เกี่ยวกับการหมุนแกน ดังรายละเอียดต่อไปนี:้
Theorem 1.3.1 ก าหนดให้ 2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F เป็นสมการในระบบพิกัดฉาก XY และ 0B ถ้า ระบบพิกัดฉาก X Y เกิดจาก
การหมุนรอบจุดก าเนิดเป็นมุม และ cot 2A C
B
แล้วสมการในระบบ
พิกัดใหม่ จะอยู่ในรูป 2 2 0A x C y D x E y F
Proof
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
28
Example 1.3.3 จงวิเคราะห์และเขียนกราฟของสมการ
2 22 3 10 0x xy y
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
29
Example 1.3.4 จงวิเคราะห์และเขียนกราฟของสมการ
2 22 3 2 25 0x xy y
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
30
■ เนื่องจากการหมุนแกนสามารถก าจัดเทอม Bxy ออกไปได้เสมอ ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะวิเคราะห์เฉพาะสมการที่อยู่ในรูป
2 2 0Ax Cy Dx Ey F
โดยกราฟของสมการดังกล่าวจะเป็น
a) วงกลม ถ้า 0A C ( ในกรณีพิเศษอาจเป็นจุด หรือไม่มีกราฟ )
b) พาราโบลา ถ้า 0A และ 0C หรือไม่ก็ 0A และ 0C
c) วงรี ถ้า A และ C บวกท้ังคู ่ หรือ เป็นลบทั้งคู่ (กรณีพิเศษอาจเป็น วงกลม จุด หรือ ไม่มีกราฟ ก็ได)้
d) ไฮเพอโบลา ถ้า A และ C เครื่องหมายตรงกันข้าม ( กรณีพิเศษอาจเป็นแส้นตรงสองเส้นตัดกันก็ได)้
e) เส้นตรง ถ้า 0A C และอย่างน้อย D หรือ E ไม่เป็นศูนย์
f) เส้นตรง หนึ่ง หรอื สองเส้น ถ้าทางซ้ายมือสามารถแยกตัวประกอบ เป็น สองตัวประกอบเชิงเส้น (Two linear factors)
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
31
■ อย่างไรก็ตาม เราสามารถจ าแนกชนิดของภาคตัดกรวย โดยไม่ต้องก าจ้ดเทอม Bxy ของสมการในรูปทั่วไป
2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F
ได้โดยทฤษฎีบทต่อไปนี:้
Theorem 1.3.2 ให้ 2 4D B AC เป็น ดิสคริมินันต ์(Discriminant)
ของสมการก าลังสอง
2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F
แล้วกราฟของสมการดังกล่าวมีลักษณะตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้ a) ถ้า 0D เป็นพาราโบลา หรือ เส้นตรงสองเส้นขนานกัน หรือ
เส้นตรงหนึ่งเส้น หรือไม่มีกราฟ
b) ถ้า 0D เป็นวงรี หรือวงกลม หรือ จุดหนึ่งจุด หรือไม่มีกราฟ
c) ถ้า 0D เป็นไฮเพอโบลา หรือ เส้นตรงสองเส้นตัดกัน
Proof
321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
32
Example 1.3.5 ให้เติมค าตอบในช่องว่างที่ก าหนดให้
(a) 2 23 6 3 2 7 0x xy y x มีกราฟเป็นรูป ………………
เพราะ ……………………………………………………
(b) 2 2 1 0x xy y มีกราฟเป็นรูป ………………
เพราะ ……………………………………………………
(c) 2 5 1 0xy y y มีกราฟเป็นรูป ………………
เพราะ ……………………………………………………
======== END ========
Chapter 2 Vectors
2.1 Review of vectors
2.2 Linear combination and linearly independent
2.3 Vectors in three dimensional space
Chapter 3 Limit and continuity of functions
Chapter 4 Derivative of functions
Chapter 5 Applications of derivative and
differentials
Chapter 6 Integration
Chapter 7 Applications of integration
Chapter 8 Differential equations
======== Absolutely End =======
top related