321 102 general mathematics - kku web hosting ·...

321102 General Mathematics Chapter 1: Plane Analytic Geometry

Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006

1

321 102 General Mathematics

( ส าหรับนักศึกษาคณะเภสัชศาสตร์ ประจ าภาคเรียนที ่ 1/2549 )

ผู้สอน: ดร.วัฒนา เถาว์ทิพย์

1 เรขาคณิตวิเคราะห็ในระนาบ

(Plane Analytic Geometry)

บทน า: การศึกษาเกีย่วกับกาเคลื่อนที่มีมาเนิ่นนาน ในปัจจุบันวิชาแคลคูลัส (Calculus) และ เรขาคณิตวิเคราะห ์ (Analytic Geometry) เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ส าคญัที่สามารถอธิบายได้ชัดเจน และภาคตัดกวย(Conic sections) เป็นลักษณะหนึ่งของการเคลื่อนทีข่องดาวเคราะห์ ดาวเทียม อิเลคตรอน โมเลกุล และอื่น ที่มีความส าคัญในการศึกษาในสาขาวิชาต่างๆ

เนื้อหา :

1.1 ภาคตัดกรวย (Conic Sections)

1.2 การย้ายแกน (Translation of axis)

1.3 การหมุนแกน (Rotation of axis)

วงกลม (Circle) วงรี (Ellipse)

พาราโบลา(Parabola) ไฮเพอโบลา(Hyperbola)



2

1.1 ภาคตัดกรวย (Conic Sections)

วงกลม (Circles)

นิยาม :

วงกลม (Circle) คือเซตของจุดในระนาบ ที่ระยะห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งมีค่าคงตัว เรียกจุดคงที่นั้นว่า จุดศูนย์กลาง (Center) และเรียกระยะคงที่ว่า รัศม ี(Radius)

■ การเขียนรูปวงกลม

- ใช้วงเวียน (Compass)

- ใช้เส้นเชือก (String)

■ การวิเคราะห์ หาสมการของวงกลม จากนิยาม

■ สมการในรูปมาตรฐานของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดก าเนิด รัศมี a คือ

2 2 2x y a

Center

Radius



3

Example 1 จงเขียนกราฟ พร้อม ระบุจุดศูนย์กลาง และรัศมีของวงกลมที่มีสมการเป็น 2 2 9x y

Solution

พาราโบลา (Parabolas )

นิยาม

พาราโบลา ( parabola) คือเซตของจุดในระนาบ ที่อยู่ห่างจากเส้นตรงคงที่เส้นหนึ่ง และจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะเท่ากัน จุดคงที่นั้นเรียกว่า โฟกัส (focus) และเส้นตรงคงที่นั้นเรียกว่า ไดเรกตริกซ์ (directrix)



4

■ การเขียนรูปพาราโบลา จากนิยาม

■ การวิเคราะห์ หาสมการของพาราโบลา จากนิยาม

Directrix

Focus

Vertex



5

■ สมการในรูปมาตรฐาน ของพาราโบลา ที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดก าเนิด เมื่อ 0p

สมการ Focus Directrix แกนสมมาตร ลักษณะเปิด

2 4x py (0, )p y p y-axis บน 2 4x py (0, )p y p y-axis ล่าง 2 4y px ( ,0)p x p x-axis ขวา 2 4y px ( ,0)p x p x-axis ล่าง

Example 2 จงหาโฟกัส และ ไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา 2 10y x พร้อมทั้งเขียนกราฟประกอบ Solution



6

วงรี (Ellipses)

นิยาม

วงรี (ellipse) คือเซตของจุดในระนาบที่ ผลบวกของระยะห่างจากจุดคงที่สองจุดมีค่าคงตัว จุดคงที่สองจุดนั้นเรียกว่า โฟกัส (Foci)

■ การเขียนรูปวงรี จากนิยาม

■ การวิเคราะห์หาสมการของวงรี จากนิยาม

1F 2F



7

■ สมการในรูปมาตรฐานของวงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดก าเนิด เมื่อ

0a b และ 2 2c a b

Equation Foci Vertices Major axis

2 2

2 21

x y

a b ,0c ,0a x-axis

2 2

2 21

x y

b a 0, c 0, a y-axis

Example 3 จงหาโฟกัส และ จุดยอดของวงรี 2 2

116 9

x y พร้อมทั้งเขียน

กราฟประกอบ Solution

หมายเหตุ : พิจารณาวงรี 2 2

2 21

x y

a b เมื่อ

2 2c a b

1. ถ้า 0c ( ท าให ้ )a b แล้ว วงรีจะกลายเป็นวงกลม

2. ถ้า c a (ท าให้ 0b ) แล้ว วงรีจะกลายเป็นส่วนของเส้นตรง



8

ไฮเพอโบลา ( Hyperbolas) นิยาม

ไฮเพอโบลา ( hyperbola) คือเซตของจุดในระนาบ ที่ผลต่างของระยะห่างจากจุดคงที่สองจุด มีค่าคงตัว จุดคงที่ทั้งสองนั้นเรียกว่า โฟกัส (Foci)

■ การเขียนรูปไฮเพอโบลา จากนิยาม

■ การวิเคราะห์หาสมการไฮเพอโบลา จากนิยาม



9

■ ส่วนประกอบที่ส าคัญของ ไฮเพอโบลา

■ สมการในรูปมาตรฐานของไฮเพอโบลาเมื่อ 0, 0a b และ 2 2c a b

Equation Foci Vertices Asymptote

2 2

2 21

x y

a b ,0c ,0a

by x

a

2 2

2 21

y x

a b 0, c 0, a

ay x

b



10

Example 4 จงหาโฟกัส และ เส้น ก ากับ ของไฮเพอโบลา 2 2

116 9

x y .

แล้วเขียนกราฟประกอบพร้อมระบุ จุดโฟกัส จุดยอด และ เส้นก ากับให้ชัดเจน

Solution

■■ การจ าแนกชนิดของภาคตัดกรวยโดยใช้ ค่า Eccentricity. ■■

ค่าความเยื้องศูนย์กลาง (Eccentricity)

นิยาม

ค่า ความเยื้องศูนย์กลาง ( eccentricity) ของภาคตัดกรวย หมายถึงอัตราส่วนของระยะจากจุดบนภาคตัดกรวยนั้นมายังจุดโฟกัส กับระยะมายังเส้นไดเรกตริกซ์



11

■ การจ าแนกชนิดของภาคตัดกรวยโดยใช้ค่า Eccentricity.

Theorem

ถ้า e เป็นค่าความเยื้องศูนย์กลาง (Eccentricity) ของรูปที่เกิดจากภาคตัดกรวยอันหนึ่ง แลว้รูปนั้นจะเป็น :

(a) พาราโบลา (Parabola) ถ้า 1e

(b) วงรี (Ellipse) ถ้า 1e

(c) ไฮเพอโบลา (Hyperbola) ถ้า 1e

พิสูจน์ (a)

พิสูจน์ (b)



12

พิสูจน์ (c)

หมายเหต ุ: ในรูปวงรี และ ไฮเพอโบลา ค่าความเยื้องศูนย์กลาง จะเป็นอัตราส่วนของระยะจากจุดศูนย์กลางมายังโฟกัส (c) กับระยะจากจุดศูนย์กลางมายังจุดยอด(a) นั่นคือ

c

Eccentricitya



13

Example 5 จงหาสมการ และเขียนกราฟของวงรีที่มี 1

2e และโฟกัสอยู่

ที่จุด (1,0) และ ( 1,0)

Example 6 จงเขียนกราฟของภาคตัดกรวยท่ีมี 5

3e และมีโฟกัสทั้งสอง

อยู่ที่จุด (0,3)และ (0, 3)



14

1.2 การเลื่อนแกนทางขนาน (Translation of axes)

■ พิจารณากราฟของฟังก์ชัน ( )y f x ต่อไปนี ้

Example 1.2.1 ให้เขียนกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้ พร้อมสังเกตความแตกต่าง ที่เกิดขึ้น :

2y x

2 1y x

2 2y x

2( 1)y x

2( 2)y x



15

■ หลักของการเลื่อนแกน ทางขนาน (Translation of axes)

ในระนาบ XY ที่มีจุดก าเนิดอยู่ที ่จุด O, เราสามารถเลื่อนแกนทางขนาน ให้เป็นระนาบใหม่คือ ระนาบ X’Y’ ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O’ as in the

figure.

ความสัมพันธ์ระหว่าง ( , )x y กับ ( , )x y คือ:

x x h

y y k

(1.1)

หรือ

x x h

y y k

(1.2)

(h, k)

O X

X’

Y Y’

O’

k

h



16

■ โดยการประยุกต์สมการ (1.2) เราจะได้ข้อสรุปในการเลื่อนแกนทางขนานดังนี:้

- การเลื่อนกราฟของ ( )y f x ให้สูงขึ้น k หน่วย ให้เปลี่ยน y ในสมการเดิมเป็น y – k

- การเลื่อนกราฟของ ( )y f x ให้ต่ าลง k หน่วย ให้เปลี่ยน y ในสมการเดิมเป็น y + k

- การเลื่อนกราฟของ ( )y f x ไปทางขวา k หน่วย ให้เปลี่ยน x

ในสมการเดิมเป็น x – h

- การเลื่อนกราฟของ ( )y f x ไปทางซ้าย k หน่วย ให้เปลี่ยน x

ในสมการเดิมเป็น x + h

Example 1.2.2 ให้เปลี่ยนสมการ 2y x เพื่อให้กราฟสูงข้ึน 4 หน่วย แล้วให้เขียนกราฟของสมการใหม่เปรียบเทียบกับสมการเดิม

Example 1.2.3 ให้เปลี่ยนสมการ 2 2 4x y เพื่อให้กราฟเลื่อนต่ าลง 3 หน่วย แล้วให้เขียนกราฟของสมการใหมเ่ปรียบเทียบกับสมการเดิม



17

โดยหลักการเลื่อนแกนทางขนาน เราสามารถสรุปสมการในรูป มาตรฐานของสมการของภาคตัดกรวยดังต่อไปนี ้

■ สมการของวงกลม ทีมีรัศม ี a จุดศูนย์กลาง ( , )h k อยู่ในรูป

2 2 2( ) ( )x h y k a

■ สมการของพาราโบลาที่มีจุดยอด ( , )h k และ 0p อยู่ในรูป

Equation Focus Directrix Axis

2( ) 4 ( )x h p y k ( , )h k p y k p x h 2( ) 4 ( )x h p y k ( , )h k p y k p x h 2( ) 4 ( )y k p x h ( , )h p k x h p y k 2( ) 4 ( )y k p x h ( , )h p k x h p y k



18

■ สมการวงรีที่มีจุดศูนย์กลาง ( , )h k โดยที ่ 0a b และ 2 2c a b

อยู่ในรูป:

Equation Foci Vertices Major axis

2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

a b

,h c k ,h a k y k

2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

b a

,h k c ,h k a x h

■ สมการของไฮเพอโบลาทีม่ีจุดศูนย์กลาง ( , )h k โดยที ่ 0, 0a b และ

2 2c a b อยู่ในรูป : Equation Foci Vertices

2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

a b

,h c k ,h a k

2 2

2 2

( ) ( )1

y k x h

a b

,h k c ,h k a



19

Example 1.2.4 จงหาจุดศูนย์กลาง และรัศมีของวงกลม 2 2 4 6 3 0x y x y แล้วเขียนกราฟประกอบ

Example 1.2.5 จงหาโฟกัส และ จุดยอดของพาราโบลา 2 6 8 25 0x x y แล้วเขียนกราฟประกอบ



20

Example 1.2.6 จงจัดสมการภาคตัดกรวย 2 24 9 8 36 4 0x y x y ให้อยู่ในรูปมาตรฐานพร้อมทั้งเขียนกราฟประกอบ

Example 1.2.7 จงจัดสมการภาคตัดกรวย 2 29 4 18 16 29 0x y x y

ให้อยู่ในรูปมาตรฐานพร้อมทั้งเขียนกราฟประกอบ



21

■ การวิเคราะห์สมการก าลังสอง (Quadratic Equations)

สมการก าลังสองในรูปทั่วไปคือ

2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F (1.3)

เมื่อ A, B และ C ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด ในหัวข้อที่ผ่านมาเราจะเห็นว่า ถ้าแกนของภาคตัดกรวยขนานกับแกนหลัก คือแกน X หรือ แกน Y แล้วสมการจะอยู่ในรูป

2 2 0Ax Cy Dx Ey F (1.4)

โดยที่เทอม Bxy ไม่มีปรากฏในสมการ จากนั้นเราสามารถใช้การท าเป็นก าลังสองสมบูรณ์เพื่อจัดให้สมดังกล่าวอยู่ในรูปมาตรฐานได้ และยังสามารถจ าแนกได้ว่า ภาคตัดกรวยนั้นจะเป็น

a) parabola ถ้า 0AC

b) ellipse ถ้า 0AC

c) hyperbola ถ้า 0AC

ต่อไปนี้เราจะศึกษาสมการที่มีเทอม Bxy ปรากฏอยู่ โดยเริ่มจากสมการ 2 9xy

จะเห็นว่า กราฟของสมการดังกล่าว เกิดจากการหมุน ไฮเพอโบลา รอบจุดก าเนิด จากแกน X เป็นมุม 45 และในหัวข้อต่อไปนี้เราจะศึกษาในรายละเอียดเกี่ยวกับหลักการหมุนแกน



22

1.3 การหมุนแกน (Rotation of axes)

ให้ ระบบพิกัดฉาก X Y เกิดจากการหมุน ระบบพิกัดฉาก XY รอบจุดก าเนิด เป็นมุม ดังรูป

■ ความสัมพันธ์ระหว่าง ( , )x y และ ( , )x y คือ :

cos sinx x y (1.5)

sin cosy x y (1.6)

Y Y

X

X

O



23

Example 1.3.1 โดยการหมุนแกนรอบจุดก าเนิดทวนเข็มนาฬิกาเป็นมุม 4

เรเดียน จงหาสมการของไฮเพอโบลา 2 9xy ในระบบพิกัดฉาก X Y

Y

Y

X

X

O



24

■ จากสมการของการหมุนแกน

cos sinx x y (1.7)

sin cosy x y (1.8)

เราสามารถหาความสัมพันธใ์นทางกลับกัน คือ

cos sinx x y (1.9)

cos siny y x (1.10)

ดังต่อไปนี้ :



25

Example 1.3.2 จงหาสมการของวงรีที่มีโฟกัสทั้งสองอยู่ที่ ( 6, 6) และ ( 6, 6) ที่มีผลบวกของระยะจากจุดบนวงรีมายัง โฟกัสทั้งสองเท่ากับ 2 14

ในระบบพิกัดฉาก XY



26

■ ความสัมพันธ์ระหว่างสมการในระบบพิกัดฉาก XY

2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F (1.11)

และสมการในระบบพิกัดฉาก X Y

2 2 0A x B x y C y D x E y F (1.12)

สามารถแสดงได้ว่า

2 2cos cos sin sinA A B C

cos2 ( )sin 2B B C A

2 2sin cos sin cosC A B C

cos sinD D E

sin cosE D E

F F

ดังต่อไปนี้



27

■ จากความสัมพันธ์ดังกล่าว เราจะได้ทฤษฎีบทที่ส าคัญ เกี่ยวกับการหมุนแกน ดังรายละเอียดต่อไปนี:้

Theorem 1.3.1 ก าหนดให้ 2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F เป็นสมการในระบบพิกัดฉาก XY และ 0B ถ้า ระบบพิกัดฉาก X Y เกิดจาก

การหมุนรอบจุดก าเนิดเป็นมุม และ cot 2A C

B

แล้วสมการในระบบ

พิกัดใหม่ จะอยู่ในรูป 2 2 0A x C y D x E y F

Proof



28

Example 1.3.3 จงวิเคราะห์และเขียนกราฟของสมการ

2 22 3 10 0x xy y



29

Example 1.3.4 จงวิเคราะห์และเขียนกราฟของสมการ

2 22 3 2 25 0x xy y



30

■ เนื่องจากการหมุนแกนสามารถก าจัดเทอม Bxy ออกไปได้เสมอ ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะวิเคราะห์เฉพาะสมการที่อยู่ในรูป

2 2 0Ax Cy Dx Ey F

โดยกราฟของสมการดังกล่าวจะเป็น

a) วงกลม ถ้า 0A C ( ในกรณีพิเศษอาจเป็นจุด หรือไม่มีกราฟ )

b) พาราโบลา ถ้า 0A และ 0C หรือไม่ก็ 0A และ 0C

c) วงรี ถ้า A และ C บวกท้ังคู ่ หรือ เป็นลบทั้งคู่ (กรณีพิเศษอาจเป็น วงกลม จุด หรือ ไม่มีกราฟ ก็ได)้

d) ไฮเพอโบลา ถ้า A และ C เครื่องหมายตรงกันข้าม ( กรณีพิเศษอาจเป็นแส้นตรงสองเส้นตัดกันก็ได)้

e) เส้นตรง ถ้า 0A C และอย่างน้อย D หรือ E ไม่เป็นศูนย์

f) เส้นตรง หนึ่ง หรอื สองเส้น ถ้าทางซ้ายมือสามารถแยกตัวประกอบ เป็น สองตัวประกอบเชิงเส้น (Two linear factors)



31

■ อย่างไรก็ตาม เราสามารถจ าแนกชนิดของภาคตัดกรวย โดยไม่ต้องก าจ้ดเทอม Bxy ของสมการในรูปทั่วไป

2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F

ได้โดยทฤษฎีบทต่อไปนี:้

Theorem 1.3.2 ให้ 2 4D B AC เป็น ดิสคริมินันต ์(Discriminant)

ของสมการก าลังสอง

2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F

แล้วกราฟของสมการดังกล่าวมีลักษณะตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้ a) ถ้า 0D เป็นพาราโบลา หรือ เส้นตรงสองเส้นขนานกัน หรือ

เส้นตรงหนึ่งเส้น หรือไม่มีกราฟ

b) ถ้า 0D เป็นวงรี หรือวงกลม หรือ จุดหนึ่งจุด หรือไม่มีกราฟ

c) ถ้า 0D เป็นไฮเพอโบลา หรือ เส้นตรงสองเส้นตัดกัน

Proof



32

Example 1.3.5 ให้เติมค าตอบในช่องว่างที่ก าหนดให้

(a) 2 23 6 3 2 7 0x xy y x มีกราฟเป็นรูป ………………

เพราะ ……………………………………………………

(b) 2 2 1 0x xy y มีกราฟเป็นรูป ………………

เพราะ ……………………………………………………

(c) 2 5 1 0xy y y มีกราฟเป็นรูป ………………

เพราะ ……………………………………………………

======== END ========

Chapter 2 Vectors

2.1 Review of vectors

2.2 Linear combination and linearly independent

2.3 Vectors in three dimensional space

Chapter 3 Limit and continuity of functions

Chapter 4 Derivative of functions

Chapter 5 Applications of derivative and

differentials

Chapter 6 Integration

Chapter 7 Applications of integration

Chapter 8 Differential equations

======== Absolutely End =======

321 102 general mathematics - kku web hosting ·...

Documents