2つの確率変数の和 (平均、分散、共分散)x+y).pdfcov [ x ,y ]_x8z cov [ x ,y ] e...
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2つの確率変数の和(平均、分散、共分散)
1
1a
2a
1b 2b
12p
21p22p
X
Y
kjp
11p
とは?)],([ YXgE
),( 11 bag ),( 21 bag
),( 22 bag),( 12 bag
),( jk bag
jkjk
k j
pbagYXgE ),()],([ 2
次の式が成り立つ
)],([)],([ YXgEYXgE
1a
2a
1b 2b
12p
21p 22p
X
Y
kjp
11p),( 11 bag
),( 12 bag
),( jk bag
),( 21 bag
),( 22 bag
3
次の式が成り立つ
1a
2a
1b 2b
12p
21p 22p
X
Y
kjp
11p
),(),( jkjk bahbag
)],([)],([
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YXhEYXgE
YXhYXgE
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4
1a
2a
1b 2b
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21p 22p
X
Y
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11p
の計算][XE
1a
k
Xkjk
k j
k kpapaXE )(][
ka
1a
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)1()( 112111 Xpappa
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5
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2a
1b 2b
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21p22p
X
Ykjp
11p
の計算][YE
1b
k
Yjjk
k j
j jpbpbYE )(][
jb
2b
2b
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6
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7
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8
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Y
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10
を変形する][ YXV
],[2][][][ YXCovYVXVYXV
11
について],[ YXCov
)])([(],[ YX YXEYXCov
• X と Y が同じ傾向を示すとき、共分散は正の値をとる。
• X と Y が異なる傾向を示すとき、共分散は負の値をとる。
• X と Y が独立ならば、共分散はゼロになる。
12
A社株の1年後の価格増減 X
• 確率 0.5 で-1,確率 0.5 で+5となるとき,Xの期待値と分散・標準偏差を求めよう.
1 -1 0.5
2 +5 0.5
合計 1.0
k ka )(kpX)()( 2 kpa Xk )(kpa Xk
5.05.0)1(
5.25.05
2)( XEX
5.45.0)21( 2
5.45.0)25( 2
9)(2 XVX期待値 分散
13
A社株の1年後の価格増減 X
• 確率 0.5 で-1,確率 0.5 で+5となるとき,Xの期待値と分散・標準偏差を求めよう.
1 -1 0.5
2 +5 0.5
合計 1.0
k ka )(kpX)()( 2 kpa Xk )(kpa Xk
5.05.0)1(
5.25.05
2)( XEX
5.45.0)21( 2
5.45.0)25( 2
9)(2 XVX期待値 分散
14
B社株の1年後の価格増減 Y
• 確率 0.5 で-1,確率 0.5 で+3となるとき,Yの期待値と分散・標準偏差を求めよう.
1 -1 0.5
2 +3 0.5
合計 1.0
j jb )( jpY )()( 2 jpb YYj )( jpb Yj
5.05.0)1(
5.15.03
1)( YEY
25.0)11( 2
25.0)13( 2
4)(2 YVY期待値 分散
15
B社株の1年後の価格増減 Y
• 確率 0.5 で-1,確率 0.5 で+3となるとき,Yの期待値と分散・標準偏差を求めよう.
1 -1 0.5
2 +3 0.5
合計 1.0
j jb )( jpY )()( 2 jpb YYj )( jpb Yj
5.05.0)1(
5.15.03
1)( YEY
25.0)11( 2
25.0)13( 2
4)(2 YVY期待値 分散
16
0.4 0.10.5
0.1 0.40.5
0.5 0.5 1.0)( jpY
)(kpX
YY
XX
2 2
3
36
)])([(],[.1 YX YXEYXCovCase
6
6
6
))(( YX YX
kjp
17
0.4 0.10.5
0.1 0.40.5
0.5 0.5 1.0)( jpY
)(kpX
YY
XX
2 2
3
36
)])([(],[.1 YX YXEYXCovCase
6
6
6
))(( YX YX
kjp
6.3
4.061.0)6(1.0)6(4.06],[
YXCov
2.206.3249][ YXV 18
0.1 0.40.5
0.4 0.10.5
0.5 0.5 1.0)( jpY
)(kpX
YY
XX
2 2
3
36
)])([(],[.2 YX YXEYXCovCase
6
6
6
))(( YX YX
kjp
19
0.1 0.40.5
0.4 0.10.5
0.5 0.5 1.0)( jpY
)(kpX
YY
XX
2 2
3
36
)])([(],[.2 YX YXEYXCovCase
6
6
6
))(( YX YX
kjp
6.3
1.064.0)6(4.0)6(1.06],[
YXCov
8.56.3249][ YXV 20
0.25 0.250.5
0.25 0.250.5
0.5 0.5 1.0)( jpY
)(kpX
YY
XX
2 2
3
36
)])([(],[.3 YX YXEYXCovCase
6
6
6
))(( YX YX
kjp
21
0.25 0.250.5
0.25 0.250.5
0.5 0.5 1.0)( jpY
)(kpX
YY
XX
2 2
3
36
)])([(],[.3 YX YXEYXCovCase
6
6
6
))(( YX YX
kjp
025.0625.0)6(
25.0)6(25.06],[
YXCov
1349][ YXV 22
)])([(],[ YX YXEYXCov
23
)])([(],[ YX YXEYXCov
YXYX XEYEYXE ][][][
YXYXE ][
][ YXYX XYYXE
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1a
2a
1b 2b
X
Y
)()( jpkp YX
の計算が独立のときのと ][ YXEYX
jkba
11ba
)1()1( YX pp
21ba
)2()1( YX pp
12ba
)1()2( YX pp
22ba
)2()2( YX pp
25
1a
2a
1b 2b
X
Y
)()( jpkp YX
の計算が独立のときのと ][ YXEYX
YXYX
k j
jk jpkpbaYXE )()(][
jkba
YX
YYX
pa
pbpbpa
)1(
)2()1()1(
1
211
11ba
)1()1( YX pp
21ba
)2()1( YX pp
12ba
)1()2( YX pp
22ba
)2()2( YX pp
YX
YYX
pa
pbpbpa
)2(
)2()1()2(
2
212
26
)])([(],[ YX YXEYXCov
YXYXE ][
0],[
][][][
YXCov
YEXEYXE
YX
YX
だから、
が独立のときと
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