2つの確率変数の和（平均、分散、共分散）

1

1a

2a

1b 2b

12p

21p22p

X

Y

kjp

11p

とは？)],([ YXgE

),( 11 bag ),( 21 bag

),( 22 bag),( 12 bag

),( jk bag

jkjk

k j

pbagYXgE ),()],([ 2

次の式が成り立つ

)],([)],([ YXgEYXgE

1a

2a

1b 2b

12p

21p 22p

X

Y

kjp

11p),( 11 bag

),( 12 bag

),( jk bag

),( 21 bag

),( 22 bag

3

次の式が成り立つ

1a

2a

1b 2b

12p

21p 22p

X

Y

kjp

11p

),(),( jkjk bahbag

)],([)],([

)],(),([

YXhEYXgE

YXhYXgE

),(),( 1111 bahbag ),(),( 2121 bahbag

),(),( 2222 bahbag ),(),( 1212 bahbag

4

1a

2a

1b 2b

12p

21p 22p

X

Y

kjp

11p

の計算][XE

1a

k

Xkjk

k j

k kpapaXE )(][

ka

1a

2a2a

)1()( 112111 Xpappa

)2()( 222212 Xpappa

5

1a

2a

1b 2b

12p

21p22p

X

Ykjp

11p

の計算][YE

1b

k

Yjjk

k j

j jpbpbYE )(][

jb

2b

2b

)1()( 121111 Ypbppb )2()( 222122 Ypbppb

1b

6

を変形する][ YXE

][][][ YEXEYXE

YX

7

]}][[{][ 2YXEYXEYXV

を変形する][ YXV

8

を変形する][ YXV

]}][[{][ 2YXEYXEYXV

YX

])}()[{( 2

YX YXE

])(

))((2)[(

2

2

Y

YXX

Y

YXXE

])[(

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2

2

Y

YXX

YE

YXEXE

9

を変形する][ YXV

],[2][][][ YXCovYVXVYXV

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])[(][

])[(][

2

2

YX

Y

X

YXEYXCov

YEYV

XEXV

10

を変形する][ YXV

],[2][][][ YXCovYVXVYXV

11

について],[ YXCov

)])([(],[ YX YXEYXCov

• X と Y が同じ傾向を示すとき、共分散は正の値をとる。

• X と Y が異なる傾向を示すとき、共分散は負の値をとる。

• X と Y が独立ならば、共分散はゼロになる。

12

A社株の１年後の価格増減 X

• 確率 0.5 で－１，確率 0.5 で＋５となるとき，Xの期待値と分散・標準偏差を求めよう．

1 -1 0.5

2 +5 0.5

合計 1.0

k ka )(kpX)()( 2 kpa Xk )(kpa Xk

5.05.0)1(

5.25.05

2)( XEX

5.45.0)21( 2

5.45.0)25( 2

9)(2 XVX期待値 分散

13

A社株の１年後の価格増減 X

• 確率 0.5 で－１，確率 0.5 で＋５となるとき，Xの期待値と分散・標準偏差を求めよう．

1 -1 0.5

2 +5 0.5

合計 1.0

k ka )(kpX)()( 2 kpa Xk )(kpa Xk

5.05.0)1(

5.25.05

2)( XEX

5.45.0)21( 2

5.45.0)25( 2

9)(2 XVX期待値 分散

14

B社株の１年後の価格増減 Y

• 確率 0.5 で－１，確率 0.5 で＋３となるとき，Yの期待値と分散・標準偏差を求めよう．

1 -1 0.5

2 +3 0.5

合計 1.0

j jb )( jpY )()( 2 jpb YYj )( jpb Yj

5.05.0)1(

5.15.03

1)( YEY

25.0)11( 2

25.0)13( 2

4)(2 YVY期待値 分散

15

B社株の１年後の価格増減 Y

• 確率 0.5 で－１，確率 0.5 で＋３となるとき，Yの期待値と分散・標準偏差を求めよう．

1 -1 0.5

2 +3 0.5

合計 1.0

j jb )( jpY )()( 2 jpb YYj )( jpb Yj

5.05.0)1(

5.15.03

1)( YEY

25.0)11( 2

25.0)13( 2

4)(2 YVY期待値 分散

16

0.4 0.10.5

0.1 0.40.5

0.5 0.5 1.0)( jpY

)(kpX

YY

XX

2 2

3

36

)])([(],[.1 YX YXEYXCovCase

6

6

6

))(( YX YX

kjp

17

0.4 0.10.5

0.1 0.40.5

0.5 0.5 1.0)( jpY

)(kpX

YY

XX

2 2

3

36

)])([(],[.1 YX YXEYXCovCase

6

6

6

))(( YX YX

kjp

6.3

4.061.0)6(1.0)6(4.06],[

YXCov

2.206.3249][ YXV 18

0.1 0.40.5

0.4 0.10.5

0.5 0.5 1.0)( jpY

)(kpX

YY

XX

2 2

3

36

)])([(],[.2 YX YXEYXCovCase

6

6

6

))(( YX YX

kjp

19

0.1 0.40.5

0.4 0.10.5

0.5 0.5 1.0)( jpY

)(kpX

YY

XX

2 2

3

36

)])([(],[.2 YX YXEYXCovCase

6

6

6

))(( YX YX

kjp

6.3

1.064.0)6(4.0)6(1.06],[

YXCov

8.56.3249][ YXV 20

0.25 0.250.5

0.25 0.250.5

0.5 0.5 1.0)( jpY

)(kpX

YY

XX

2 2

3

36

)])([(],[.3 YX YXEYXCovCase

6

6

6

))(( YX YX

kjp

21

0.25 0.250.5

0.25 0.250.5

0.5 0.5 1.0)( jpY

)(kpX

YY

XX

2 2

3

36

)])([(],[.3 YX YXEYXCovCase

6

6

6

))(( YX YX

kjp

025.0625.0)6(

25.0)6(25.06],[

YXCov

1349][ YXV 22

)])([(],[ YX YXEYXCov

23

)])([(],[ YX YXEYXCov

YXYX XEYEYXE ][][][

YXYXE ][

][ YXYX XYYXE

24

1a

2a

1b 2b

X

Y

)()( jpkp YX

の計算が独立のときのと ][ YXEYX

jkba

11ba

)1()1( YX pp

21ba

)2()1( YX pp

12ba

)1()2( YX pp

22ba

)2()2( YX pp

25

1a

2a

1b 2b

X

Y

)()( jpkp YX

の計算が独立のときのと ][ YXEYX

YXYX

k j

jk jpkpbaYXE )()(][

jkba

YX

YYX

pa

pbpbpa

)1(

)2()1()1(

1

211

11ba

)1()1( YX pp

21ba

)2()1( YX pp

12ba

)1()2( YX pp

22ba

)2()2( YX pp

YX

YYX

pa

pbpbpa

)2(

)2()1()2(

2

212

26

)])([(],[ YX YXEYXCov

YXYXE ][

0],[

][][][

YXCov

YEXEYXE

YX

YX

だから、

が独立のときと

27