2009 - seminário pós-graduação ufpr - modelo black & scholes

MODELO BLACK & SCHOLES

Alysson Ramos Artuso

Derivativos

Os mercados de derivativos (termos, futuros, opções) são de oscilações enormes grandes ganhos e GRANDES perdas.

Remédio de TARJA PRETA estude muito seus efeitos antes e use sempre pequenas doses.

Introdução às Opções

A apólice de seguro de um carro é muito parecida com o raciocínio de uma opção.

Você paga um prêmio para a seguradora. Isso lhe dá o direito, no período de um ano, de receber um carro novo caso o seu seja roubado (essa é a condição).

A seguradora tem uma obrigação com você lhe dar um carro novo caso o seu seja roubado durante esse ano.

Introdução às Opções

Vamos discutir apenas as opções de compra.

Ao comprar uma opção você paga um certo valor (pequeno perto do principal) para ter o direito de adquirir ações sob certas condições.

Quem te vendeu a opção tem a obrigação de lhe entregar as ações quando determinadas condições ocorrem.

Introdução às Opções

Exemplo: você compra por R$ 1 uma opção PETRK26 que te dá o direito de adquirir ações da Petrobrás por R$ 26 no dia 17/11/08.

Se no dia 17/11 a ação custar R$ 25, você não exerce seu direito (seu carro não foi roubado).

Se no dia 17/11 a ação custar R$ 30, você exerce seu direito. Compra a ação por R$ 26 e vende por R$ 30. Resultado: ganha R$ 4 - 1 (o que pagou pelo direito).

Introdução às Opções

O outro lado: você vende por R$ 1 uma opção PETRK26 que te lhe obriga a vender ações da Petrobrás por R$ 26 no dia 17/11/08.

Se no dia 17/11 a ação custar R$ 25, você não precisará entregar nada (nenhum carro foi roubado e a seguradora não precisa desembolsar dinheiro nenhum – ganhou o R$ 1 de prêmio).

Se no dia 17/11 a ação custar R$ 30, você terá que entregar as ações por R$ 26. Compra a ação por R$ 30 (supondo que você não as tenha “em estoque”) e vende por R$ 26. Resultado: perde R$ 4 - 1 (o que recebeu pela obrigação).

Introdução às Opções

A questão é: Para quem compra (dono do carro):

Quanto pagar pelo seguro? Quanto pagar pela opção?

Para quem vende (seguradora): Quanto cobrar por essa obrigação? Quanto vale o prêmio da opção?

MODELOS DE PRECIFICAÇÃO!

Histórico

1900 - Bachelier defende a tese “Théorie de la Especulation”, em que modela preços como um movimento browniano.

1955 - Samuelson – Teoria moderna de precificação: log dos preços descreve um MB.

1963 - Mandelbrot propõe distribuições de Levy (caudas grossas – lei de potências) para os retornos.

1970 - Fama – Hipótese do Mercado Eficiente 1973 - Black, Scholes e Merton desenvolvem o

Modelo de Black-Scholes para opções.

Hipótese do Mercado Eficiente

Em um mercado eficiente o preço atual reflete toda informação disponível.

O passado não contém qualquer informação que já não esteja incorporada no preço atual.

Preços variam com a chegada de novas informações flutuações imprevisíveis descrição probabilística.

S(t+1) = S(t) + variação aleatória Variações futuras do preço são independentes das

variações anteriores.Preços seguem um movimento browniano

Movimento Browniano Aritimético

É um versão de tempo contínuo do Random Walk.

Usado em Física para modelar o movimento das moléculas.

Representação Matemática:dS = μdt + σε

dS ~ N (μdt; σ2dt)

dt

Limitações do MBA

O MBA é conhecido como modelo aditivo porque a variável cresce de um valor constante a cada intervalo de tempo.

Problemas: O valor da variável pode ser negativa. Taxa de retorno diminui conforme o preço

aumenta. Desvio padrão é constante ao longo do tempo e

independe do preço do ativo.

Movimento Browniano Geométrico

Modelo Multiplicativo Combinação de duas parcelas:

Crescimento proporcional com taxa μ Crescimento aleatório proporcional com

distribuição normal e desvio padrão σ. Representação Matemática:

dS = μSdt + σSε

dS/S ~ N (μdt; σ2dt)

dt

Retorno

Ao invés de se modelar o preço, se modela o retorno (escala, estacionariedade, ergodicidade)

Retorno bruto: rt = ΔPt/Pt-1 = Pt/Pt-1 -1 1+ rt = Pt/Pt-1

Retornos positivos e negativos não possuem o mesmo significado.

Assimetria dos retornos: negativo tem limite em 100%.

Retorno

Retorno logarítmico (log-retorno ou retorno composto continuamente):

Rt = ln (Pt/Pt-1) = ln (1 + rt) Expansão de Taylor:

Para rt pequeno: Rt = ln (1+rt) = rt

Retornos compostos: 1 + rt(k)= (1+rt)(1+rt-1)...(1+rt-k+1)

Rt(k) = Rt + Rt-1 +...+ Rt-k+1

Retorno Logarítmico

Rt(k) = Rt + Rt-1 +...+ Rt-k+1

Para k grande a soma pode ser aproximada por uma v.a. de distribuição gaussiana Teorema Central do Limite

Generalização do TCL (sem restrições de segundo momento) distribuições de Levy

Distribuição do Retorno

Retornos R(t) = ln [S(t) / S(t-1)] seguem um movimento browniano.

Distribuição normal para os retornos logarítmicos.

Exemplo: retornos nos últimos 5 dias:1%; -0,5%; 2%; -1,5%; -0,5%μ = 0,10%σ2 = 0,019%σ = 1,39%

Distribuição do Retorno

Projetando o retorno para daqui a um dia N (0,1%;1,39%2)

Projetando o retorno para daqui a dois dias:μ = 2 x 0,10% = 0,20%σ2 = 2 x 0,019% = 0,039σ = x 1,39% = 1,96%

N (0,2%;1,96%2)

R(1) ~ N(μ,σ2) R(t) ~ N(tμ,tσ2)

2

Distribuição do Preço

Se o retorno segue uma distribuição normal...

Preço S(t) segue uma distribuição log-normal.

Modelo Black-Scholes

Usando esse modelo para o comportamento dos preços das ações, Fisher Black e Myron Scholes desenvolveram um modelo de precificação para as opções.

O modelo B&S pode ser deduzido a partir de três abordagens diferentes: Carteira Equivalente Risco Neutro Árvore Binomial

Carteira Equivalente

Qualquer investidor que no lugar de adquirir a opção aplique este valor no ativo subjacente e num ativo sem risco teria o mesmo fluxo de caixa do caso em que compra a opção, ou seja, é possível obter o mesmo retorno (e as mesmas variações) na opção ou na carteira equivalente.

Sendo investimentos iguais, devem ter preços iguais.

Risco Neutro

É possível, através da venda de uma opção e da compra de unidades do ativo, adquirir uma carteira de risco neutro (delta hedge).

Abordagem de Robert Merton Modelo de Black-Scholes-Merton

Abordagem BinomialS.u4

S.u3

S.u2 S.u2

S.u S.u

S S S

S.d S.d

S.d2 S.d2

S.d3

S.d4

Premissas do B&S

H1) A taxa de juros livre de risco é constante ao longo do tempo e é possível emprestar recursos à essa taxa;

H2) O preço do ativo-objeto segue um caminho aleatório e contínuo ao longo do tempo, com distribuição log-normal;

H3) A volatilidade do ativo-objeto é constante ao longo do tempo; H4) Não há custos de transação; H5) É possível ficar livremente comprado ou vendido em qualquer

quantidade fracionária de opção ou ação; H6) Não há oportunidade de arbitragem sem risco; H7) É permitida a venda a descoberto de todo o tipo de ativo, ou

seja, não é necessário possuir o ativo-objeto previamente para poder vendê-lo;

H8) O ativo-objeto não distribui dividendos; H9) Opções só podem ser exercidas no seu vencimento (européias).

Preço “justo”

Opção de Compra (call): Na data de vencimento:

C(S,T) = max (S-K, 0)K é o strike

Preço Justo a t dias do vencimento:C(S, t) = e-rt E[C(S,t)]

Fórmula de B&S

O valor V=V(t,S) de uma opção satisfaz a equação diferencial (em [0,T] x R+):

Semelhança com a equação de difusão de calor:

02

12

222

rVS

VrS

S

VS

t

V

0)(2

2

xfr

u

t

u

Condições de Contorno

Condição de Contorno (para calls): C(T,S) = (S-K)+: Preço da opção é não-negativo C(t, 0) = 0: Se o ativo valer 0, a call vale 0 limS ∞ C(t,S)/S = 1: Se S for um valor muito grande o

valor da call coincide com o valor do ativo.

Abordagem da Carteira Equivalente: O valor da carteira no tempo T é igual ao retorno da opção.

Solução através de transformadas de Fourier.

Fórmula B&S

Solução:

S: o preço do ativo-objeto; K: strike da opção; r: taxa livre de risco; t: tempo para o exercício; σ: volatilidade

tdd

trK

S

td

dNKedSNStC rt

12

2

1

21

2ln

1

)()(),(

Volatilidade

A chamada volatilidade é o desvio padrão anualizado. Desvio padrão para um período de t dias é dado por .

Normalmente, o intervalo t é t = 252 dias e a volatilidade é dada por (com valor em %).

t

252

Volatilidade

A volatilidade a ser colocada no modelo é a volatilidade no período de existência da opção (futura), mas como sabê-la?

O mais comum é utilizar a volatilidade histórica de curto ou longo prazo (desvio padrão dos últimos 21 ou 252 pregões).

Usando esse valor, normalmente o preço teórico e o preço atual da opção são diferentes.

Volatilidade Implícita

Qual deveria ser a volatilidade para que o modelo fornecesse o valor atual? volatilidade implícita.

Joga no modelo as quatro variáveis conhecidas e o preço atual retorna a volatilidade implícita (VI).

A VI reflete qual a expectativa do mercado em relação à movimentação futura do ativo.

Espera uma oscilação maior que no passado? VI > VH.

Espera uma oscilação menor que no passado? VI < VH.

A volatilidade implícita costuma ser diferente para cada uma das opções.

Smile da Volatilidade

Smile da Volatilidade

68,00%69,00%70,00%71,00%72,00%73,00%74,00%75,00%76,00%

18,0 20,0 22,0 24,0 26,0 28,0 30,0 32,0 34,0

Preço de Exercício

Vo

lati

lida

de

Im

plíc

ita

Gregas

Derivadas parciais do preço de uma opção.

Explicam como as opções se movimentam.

Muito utilizadas para a montagem de estratégias com opções.

São cinco: delta, gamma, theta, vega e rho

Delta

Taxa de variação do preço da opção em relação ao preço do ativo objeto.

“Velocidade”, indica a movimentação do prêmio da opção quando o ativo objeto se movimenta.

)( 1dNS

C

Gamma

Taxa de variação do delta em relação ao preço do ativo objeto.

“Aceleração”, indica como o delta (“velocidade”) se altera quando o ativo objeto se movimenta.

tS

d

S

C

)( 1

2

2

Theta

Taxa de variação do prêmio da opção relativo ao tempo até o vencimento.

O sinal negativo indica que a opção perde valor pela passagem do tempo.

)(2

)(2

1 dNrKet

dS

t

Crt

Vega

Taxa de variação do prêmio da opção em relação a uma mudança na volatilidade.

tdSC

)( 1

Rho

Taxa de variação do valor da opção em relação à taxa de juros.

Para o mercado brasileiro, na maioria das vezes é insignificante, pois as opções são mensais e a mudança na taxa de juros não costuma ser altamente significativa.

)( 2dNKter

Crt

Exemplo

PETR4: R$23,20

Exemplo de operação

Borboleta (operação alvo): C 1000 PETRK22 por R$ 2,65 V 2000 PETRK24 por R$ 1,68 C 1000 PETRK26 por R$ 1,08 Custo de R$ 370,00

Exemplo de Operação

PETR4: R$23,20 Delta: 7,6 Gamma: -5,3 Theta: 6,3 Vega: -2,2 Rho: 0,0

Novos Desenvolvimentos

Relaxamento ou modificações das premissas do modelo: Inclusão da distribuição de dividendos; Modelagem estocástica da taxa de juros; Modelo com saltos sobrepostos ao MBG; Soluções para opções americanas ao

invés de somente européias;

Novos Desenvolvimentos

Matriz de volatilidades implícitas; Modelagem da volatilidade (EWMA, GARCH,

Volatilidade Estocástica); Uso de outras distribuições de probabilidade

para o preço ao invés da log-normal; Uso de outras premissas para o movimento dos

preços (efeitos de memória); Modelagem através do caos determinístico ao

invés de aleatoriedade para os preços;

LTCM

Em 1994, John Meriwether, recrutou alguns dos mais brilhantes matemáticos em finanças para gerir um fundo o Long Term Capital Management, incluindo Scholes e Merton.

Durante 3 anos conseguiram retornos extraordinários de 40% ao ano, altamente alavancados.

Na crise russa de 1998 o LTCM teve que zerar parte de suas operações com grande prejuízo, diminuindo seu capital de US$ 2,3 bi para US$ 600 mi em três semanas.

O FED, em conjunto com bancos de investimento, arrecadou US$ 3,5 bi para tapar o rombo.

Referências

DAMODARAN, Aswath. Avaliação de Investimentos. Rio de Janeiro: Qualitymark, 1997.

HISSA, Mauricio. Investindo em Opções. Rio de Janeiro: Elsevier, 2007.

HULL, John C. Fundamentos dos Mercados Futuros e de Opções. São Paulo: BM&F, 2005.

MORETTIN, Pedro A.; TOLOI, Clélia M. C. Análise de Séries Temporais. São Paulo: Edgard Blücher, 2006.

Referências

BONOTTO, Everaldo M. A equação de Black-Scholes com ação impulsiva. Tese de Doutorado; USP, 2008.

CARVALHO FILHO, José A. Modelo exponencial para distribuição dos retornos do Ibovespa. Dissertação de Mestrado; UFPE, 2004

CURY, M. A. Controle ótimo estocástico a tempo discreto e espaço de estado contínuo aplicado a derivativos. Tese de Doutorado; USP, 2005.

ODA, Luís F. A teoria da ciência no modelo Black-Scholes de apreçamento de opções. Dissertação de Mestrado; USP, 2007.

RAMOS, Antônio M. T. Modelo exponencial para opções: aplicações ao índice Bovespa. Dissertação de Mestrado; UFPE, 2007.