06-linhas de estado

VI - LINHAS DE ESTADO

6.1 Definição

É o diagrama de influência da carga fixa, em todas as seções da estrutura. As linhas de estado podem ser diagramas de esforços ou de deslocamentos.

6.2 Traçados da linha de estado.

Em trechos compreendidos entre nós e apoios da estrutura determinamos as equações correspondentes nos esforços ou deslocamentos em pauta, a seguir analisamos a validade destas equações, procurando seus pontos críticos.

6.2.1 Regras práticas para traçado das linhas de estado

a) Num intervalo de barra, entre cargas concentradas, sem carga distribuída, o momento fletor varia linearmente, esforço cortante é constante.

b) Num intervalo com carga uniformemente distribuída: momento fletor é uma parábola do segundo grau, esforço cortante varia linearmente.

c) Num intervalo com carga variando linearmente: momento fletor é uma parábola do terceiro grau, esforço cortante é uma parábola de segundo grau.

d) Num intervalo com carga

parabólica do segundo grau: momento fletor é uma parábola do quarto grau, esforço cortante e uma parábola do terceiro grau.

e) Ao conhecer os momento nos dois pontos, A e B, liga-se estes pontos por uma linha reta obtendo a linha reta, temos a linha de fechamento do momento e obteremos o diagrama neste intervalo considerando-o como uma barra simplesmente apoiada sobre a influência do seu carregamento.

f) Onde o momento fletor é máximo o esforço cortante é nulo.

6.2.2 Convenção de sinais

Momento fletor

Esforço cortante

Esforço normal e momento de torção não há convenção, traça-se negativo para compressão e positivo para tração.

6.2.3 ExemplosExercício 1: Traçar o diagrama de momento fletor da seguinte estr

Momento fletor Esforço cortante Esforço normaltrecho AC Ms1 = - (+5 . x1) = - 5.x1

x = 0 ........Ms1 = 0tmx = 3 .........Ms1= 15 tm

Qs1 = - ( -5) = 5t Ns1 = -( +8) = -8t

trecho CD Ms2 = - [-8. x2 + 5 . 3 + 2 . x2 (x2/2)] = - x2² + 8x2

- 15x = 0 ........Ms2 = - 15 tmx = 5 ........Ms2 = 0 tm

Qs2 = - ( +8 - 2x2) = 2x2 - 8x = 0 .......Qs2 = -8tx = 5 .......Qs2 = 2t

Ns2 = -( +5) = -5t

trecho BD Ms3 = 0 Qs3 = 0t Ns3 = +( -2) = 2t

Exercício 2: Traçar o diagrama de momento fletor e esforço cortante da seguinte estrutura:

Momento fletortrecho AC Ms1 = -(-2,8 . x1) = 2,8.x1

x = 0 .........Ms1 = 0x = 2 .........Ms1 = 56 tf.mtrecho CDMs2 = -[(-2,8 . x2) + 2(x2 - x1)] = 2,8x22 - 2x2 + 4x = 2 ........Ms2 = 5,6tf.mx = 7 ........Ms2 = 9,6tf.mtrecho BDMs3 = 3,2 x3

x = 0 .......Ms3 = 0x = 3 .......Ms3 = 9,6tf.m

Esforço cortantetrecho ACQs1 = -( +2,8) = -2,8tftrecho CDQs2 = -( +2,8 - 2) = -0,8tftrecho BDQs3 = 3,2tf

Exercício 3:Traçar o diagrama de momento fletor da seguinte estrutura

Momento fletor Esforço cortantetrecho AC Ms1 = -[(-2.x1)(-2)] = 2.x1 +2

x = 0 .........Ms1 = 2tfmx = 3 .........Ms1 = 8tfm

Qs1 = -( +2) = -2tf

trecho BC Ms2 = +( +3.x2 + 2) = 3x2 + 2x = 0 .......Ms2 = 2tfmx = 2 .......Ms2 = 8tfm

Qs2 = -(2 - 5) = 3tf

Exercício 4: Traçar o diagrama de momento fletor da seguinte estrutura

Momento fletorbalanço da esquerda Ms1 = -[2. x1 + 1.x1(x1/2)] = - 2x1 - 1/2x1²

x = 0 ........Ms1 = 0x = 2 ........Ms1 = -6tfm

balanço da direita Ms2 = +[ - 2x2(x2/2)] = - x2²x = 0 ......Ms2 = 0x = 2 ......Ms2 = -4tfm

trecho AC Ms3 = -[ -7,8x3 + 4x3 + 6 + 1x3(x3/2)] = 3,8x3 - 6 - x3²/2x = 0 ......Ms3 = -6tmx = 2 .......Ms3 = -0,4tfm

trecho BC Ms4 = +[ -4 - 4 x4 + 8,2x4 - 2 x4(x4/2)] = - 4 + 4,2x4 - x4²x = 0 .......Ms4 = - 4tfmx = 2 .......Ms4 = 0,4tfmx = 3 .......Ms4 = -0,4tfm

Exercício 5: Traçar o diagrama de momento fletor da seguinte estrutura

Reações de apoioSFy = 0 ® 1,1.6 + 0,9(6+3) + 24,4659.sen 45 - Va + Vb = 0Ra + Rb = 32tfSFx= 0 ® -2,7 - 24,4659.cos45 - Hb = 0 Hb = 20tfSMb = 0 ® Va.9 + 1,1.6.(3+6/2) - 0,9.9.9/2 - 24,4659.sen45. 1,5 - 2,7.1,5 - 24,4659.cos45.1,5 = 0Va = 14,6666tfVb = 17,3333tf

Trecho ACMs1 = -( - 14,6666.x1 + (0,9 +1,1).x1(x1/2) = -x1² + 14,66666 x1 = 0 ...........Ms1 = 0

x1 = 6 ...........Ms1 = 51,99999 = 52tfmQs1 = -[14,66666 - (0,9+1.1)x1= -14,6666 + 2.x1x1 = 0 ...........Qs1 = -14,6666 tfx1= 6 ........... Qs1= -2,66666 tfNs1 = 0

Trecho BDMs2= Vb.sen45 + Hb.sen45 - (0,9.x2/2)sen45(x2/cos45) = 37,3333x2 - 0,45x2²x2 = 0 ...........Ms2= 0x2 = 1,5 ........Ms2 = 54,98750 tfQs2 = 17,3333cos45 + 20sen45 - (0,9.cos45)(x2/cos45) = 26,39865293 - 0,9x2x2 = 0 ...........Qs2 = 26,39865293 tfx2 = 1,5 ........Qs2 = 25,04865293 tfNs2 = +[ +Hb.cos45 + (0,9.cos45)(x2/cos45) + ( +20.cos45 - 17,333.cos45 + 0,9x2)] = +1,885618319 + 0,9x2x2 = 0 ...........Ns2 = 1,8856 tfx2 = 1,5 ........Ns2 = 3,2356 tfTrecho DCMs3= +[(17,3333.cos45 + 20.sen45 + 0,9.cos45.x3 /2)x3 /cos45 - 24,4659(x3 -1,5)/cos45 - 2,7sen 45(x3 -1,5)/cos45] = -0,45x3 ² - 1,085047.x3 + 57,62756x3 = 1,5 .......Ms3 = 54,9875 tfmx3 = 3 ..........Ms3 = 50,322 tfmQs3 = 26,39865293 - 0,9x3 - 24,4659 - 2,7sen45 = -0,9x3 + 0,023564620x3 = 1,5 ......Qs3 = -1,3255353 tfx3 = 3 ..........Qs3 = - 2,676 tfNs3 = +1,885618 + 0,9x3 - 2,7cos45x3 = 1,5 ...... Ns3 = 1,32643 tfx3 = 3 ..........Ns3 = 2,676 tf

Diagramas

Momento Fletor

Esforço Cortante

Esforço Normal

Exercício 6: Faça o cálculo, e trace as linhas de estado do momento fletor, esforço cortante e esforço normal, apresentando analiticamente para cada trecho as equações.

Reação de apoioSFy = 0 ® 6.3 + 7,4 - Vc - Vn = 0SFx= 0 ® Hd - 5 = 0 Hd = 5tfSMd = 0 ® -5.5 + 7,4.0 + 6.3.(2+2+3/2) - Vn.7 = 0Vn = 10,571tfVd = 14,829tf

Momento fletor Esforço cortante Esforço normalTrecho DF Ms1 = 0 Qs1 = 0 Ns1 = -( + 14,829 - 7,5) =

- 7,329tf

1 Esforço na barra DHSMf = 0 ® -5.2 + 6.3(2+2+3/2) - 10,571.7 - VDH[2.cos(arctg3/2)] = 0VDH = 9,014tfVDHv = 9,014 cos 33°41'24,2'' = 7,5tfVDHh = 9,014 sen 33°41'24,2'' = 5tf

2 Esforço na barra DFSFx= 0 ® VHDh - 5 = 0VHDh = 5 tfSFy = 0 ® 14,829 - VHDv - VFD = 0VFD = 7,329 tf

Trecho FH SMs2 = 0 ® -(7,4x2 - 7,329x2)x2 = 0 ....Ms2 = 0x2=2.......Ms2= -,14tfm

Qs2=-(-7,329+ 7,4) = - 0,071tf

Ns2 = 0

Trecho HI SMs3 = 0 ® - (0,.071x3 - 7,5(x3-2) - 5.0x3=2...MS3=-0,142tfmx3=4...MS3= 14,716tfm

Qs3 = -(-7,329+7,4 -7,5 ) = 7,429tf

NS3 = -(5) = -5 tf

Trecho MI SMs4 = 0 ® + (+5.x4)x4 = 0 .......Ms4 = 0x4 = 2 ...... Ms4 = 10tfm

Qs4 = 5tf Ns4= 0

Trecho IJ SMs5 = 0 ® -[( -7,429x5) + 5.2 + 6 (x5-4)(x5-4/2)]x5=4.....Ms5 =

4,716tfmx5 =7....Ms5 = 0

Qs5=7,429 - (60x5)x5=0..Qs5= 7,429tfx5=3Qs5= -10,571tf

Ns5 = - (5-5) = 0

Trecho JN 0 < x < 7

Ms6 = 0 Qs6 = 0 Ns6 = + (-10,517) = - 10,517tf

Diagramas

Momento Fletor

Esforço Cortante

Esforço Normal

Exercício 7: Calcule os esforços internos solicitantes fornecendo as equações das linhas de estado e os respectivos diagramas:

Reações de apoio

Estrutura ISFx = 0 ® Hd = 10KNSFy = 0 ® Vd + Vc = 20 + 30(1,5+2+2,5+2) + 30.2.1/2 = 295SMa = 0 ® 20.1,5 + 10.10 + 30.1,5.1,5.1/2 -15 +25 -30(2+2,5+2)(2+2,5+2)1/2 + Vd(2+2,5) -35.2.1/2.{(2/3.2)+(2+2,5)} = 0Vd = 167,59259KNVc = 127,40741KN

Estrutura IISFx = 0 ® Hb = 10KNSFy = 0 ® Va + Vb = 167,59259 + 50 + 60 + 40.2 + 40.2 = 437,59259SMa = 0 ® 167,59259(2+2,5+2,5) + 10.3 + 40.2(2/2+2,5.2,5) + 50.2,5 - Va(2,5+2,5) - 60.2 - 40.2.2.1/2 = 0Va = 321,62963KNVb = 115,96296KN

Estrutura I Momento fletor Esforço cortante Esforço normal

Trecho GE0<x<1

Ms1 = - [10.x1]X = 0 ® 0x = 1 ® -10KNm

Qs1 = 10KN Ns1 = -20KN

Trecho EC0<x<1,5

Ms2 = -[10.1 + 20.x2 + 30.x2.x2.1/2]X = 0 ® -10KNmx = 1,5 ® -73,75KNm

Qs2 = -[-20-30.x2]x =0 ® 20KN x =1,5 ® 65KN

Ns2 = 10KN

Trecho CH1,5<X<3,5

Ms3 = -[10.1 + 20.x3 + 30.x3.x3.1/2 - 127,407(x3-1,5]X = 1,5 ® -73,75KNmx = 3,5 ® -8,93518KNm

Qs3= -[-20 - 30.x3 + 127,467]x =1,5 ® -62,4KNx =3,5 ® -2,41KN

Ns3 = 10KN

Trecho FD0<x<2

Ms4 = +[25 - 30.x4.x4/2 - (35-35/2.x4)x4.x4/2 - (35/2x4.x4.1/2)(2/3.x4)]X = 0 ® 25KNmx = 2 ® -81,6666KNm

Qs4 = [-30.x4 - (35-35/2.x4)x4 - 35/2.x4.x4.1/2]x =0 ® 0KNx =2 ® -95KN

Ns4 = 0KN

Trecho DH2<x<4,5

Ms5 = +[25 - 30.x5.x5/2 - (35.2.1/2)(x5-1/3.2) + 167,59259(x5-2)]X = 2 ® -81,6666KNmx = 4,5 ® 6,0648KNm

Qs5 = [-30.x5 - (35.2/2) + 167,59259]x =2 ® 72,592KNx =4,5 ® -2,41KN

Ns5 = 0

Estrutura IITrecho DI0<x<3

Ms6 = -[10.x6]X = 0 ® 0KNmx = 3 ® -30KNm

Qs6 = -[-10]=10KN Ns6 = 10KN

Trecho AI0<x<2

Ms7 = -[167,592.x7 + 40.x7.x7/2 + 10.3]X = 0 ® -30KNmx = 2 ® -445,185KNm

Qs7= -[167,592.x7 + 40.x7.x7/2 + 10.3]x =0 ® 167,59KNx =2 ® 247,59KN

Ns7 = 10KN

Trecho AK2<x<4,5

Ms8 = -[167,592.x8 + 40.2(x8-2/2) + 10.3 – 321,62963(x8-2)]X = 2 ® -445,185KNmx = 4,5 ® -260,089KNm

Qs8 = -[-167,592 - 40.2 + 321,62963] = -74,03704KN

Ns8 = 10KN

Trecho JB0<x<2

Ms9=+[-60.x9- 40.x9.x9/2]X = 0 ® 0KNmx = 2 ® -200KNm

Qs9 = [-60 -40.x9]x =0 ® -60KNx =2 ® -140KN

Ns9 = 0KN

Trecho BK2<x<4,5

Ms10=+[-60.x10-40.2.(x10 -2/2) + 115,96296(x10-2)]X = 2 ® -200KNmx = 4,5 ® -260,0926Nm

Qs10 = [-60 - 40.2 +115,962] = 10KN

Ns10 = 10KN

Diagramas:

Momento Fletor

Esforço Cortante

Esforço Normal

Exercício 8: Calcule e trace as linhas de estado da estrutura abaixo.

Reações de apoio

Estrutura ISFx=0®Hc = 50KNSFy=0® Vc + Vb = 30.2 + 50.2.1/2 + 40.2 = 190SMc=0®30.2.(1/2.2)+50.2.1/2.(2/3.2)+40.2.(3/2+2)+50.1,5-35-Vb(2+2) = 0Vb = 101,667KNVc = 88,333KN

Estrutura IISFx = 0 ® Ha = 50KNSFy = 0 ® Va = 30.3 + 88,333 = 178,333KNSMa = 0 ® -30.3.(1/2.3) - 88,333.3 = -400KNm

Momento fletor Esforço cortante Esforço normalEstrutura ITrecho CD0<x<2

Ms1=-[-88,333.x1+30. x1.x1/2–50/23x1.x1.1/2. 1/3.x1]x = 0 ® 0KNmx = 1 ® 69,16KNmx = 2 ® 83,33KNm

Qs1 = -[88,333 - 30.x1 - 50/2.x1.x1/2]x = 0 ® -88,333KNx = 1 ® -45,833KNx = 2 ® 21,667KN

Ns1 = -50KN

Trecho BE0<x<2

Ms2 = +[+101,667.x2 – 40.x2.x2/2]x = 0 ® 0KNmx = 1 ® 81,667KNmx = 0 ® 123,334KNm

Qs2 = +[101,667 - 40.x2]x = 0 ® 101,667KNx = 1® 61,667KNx = 2® 21,667KN

Ns2 = 0

Trecho ED0<x<1,5

Ms3 = +[+101,667.2 – 40.2.1/2.2 - 50.x3]x = 0 ® 123,334KNmx = 1 ® 73,334KNmx = 1,5 ® 48,334KNm

Qs3 = -50KN Ns3 = +[-101,667 + 40.2] = -21,667KN

D Md=-[-88,333.2+30.2/2 .2+ 50.2.1/2.1/3.2 + 35 = 48,334KNm

Estrutra IITrecho CA0<x<3

Ms4 = +[-88,333.x4 – 30.x4.x4/2]x = 0 ® 0KNmx = 1,5 ® -166,25KNmx = 3 ® -400KNm

Qs4=+[-88,333 -30.x4]x = 0 ® -88,333KNx = 1,5 ® -133,333KNx = 3 ® -178,333KN

Ns4 = -50KN

Diagramas

Momento Fletor:

Esforço Cortante:

Esforço Normal:

Exercício 9: Calcule os esforços internos solicitantes e trace os seus respectivos diagramas

Reações de apoio

SFx = 0 ® Ha = 15.2 = 15KNSFy = 0 ® Va + Vb = 10.3 + 20 + 10.2 = 70SMa = 0 ® 25 - 10.3.3/2 - 20.3 - 10.2(2+1) + 15.2.1/2.2/3.2 + Vb.4 = 0Vb = 30KNVa = 40KN

Momento Fletor Esforço Cortante Esforço Normal0<x<2 Ms1 = -[-40.x1 + 25

+10.x1.x1/2 + 15.0]X = 0 ® -25KNmX = 1 ® 10KNmX = 2 ® 35KNm

Qs1 = -[40 - 10.x1]x = 0 ® -40KNx = 1 ® -30KNx = 2 ® 35KN

Ns1 = -[-15] = 15KN

0<x<1 Ms2 = +[ -20.x2 – 10.x2.x2/2]X = 0 ® 0KNmX = 1 ® -25KNm

Qs2 = [-20 - 10.x2]x = 0 ® -20KNx = 1 ® -30KN

Ns2 = 0

0<x<2 Ms3 = -[-20.1 - 10.1/2.1 + 10 .2.2/2 + 25 - 40.2 – 15.x3 - 15/2 .x3.x3.1/2.1/3.x3]X = 0 ® 60KNmX = 2 ® 40KNm

Qs3 = -[-15 + 15/2 .x3.x3.1/2]x = 0 ® 15KNx = 1 ® 11,25KNx = 2 ® 0KN

Ns3 = - [20 + 10(2+1) - 40] = -10KN

0<x<2 Ms4 = [30.x4 - 10.x4.x4.1/2]

Qs4 = [30 - 10.x4]x = 0 ® 30KN

Ns4 = 0

X = 0 ® 0KNmX = 1 ® 25KNmX = 2 ® 40KNm

x = 1 ® 20KNx = 2 ® 10KN

Diagramas

Momento Fletor

Esforço Cortante

Esforço Normal