06-linhas de estado
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VI - LINHAS DE ESTADO
6.1 Definição
É o diagrama de influência da carga fixa, em todas as seções da estrutura. As linhas de estado podem ser diagramas de esforços ou de deslocamentos.
6.2 Traçados da linha de estado.
Em trechos compreendidos entre nós e apoios da estrutura determinamos as equações correspondentes nos esforços ou deslocamentos em pauta, a seguir analisamos a validade destas equações, procurando seus pontos críticos.
6.2.1 Regras práticas para traçado das linhas de estado
a) Num intervalo de barra, entre cargas concentradas, sem carga distribuída, o momento fletor varia linearmente, esforço cortante é constante.
b) Num intervalo com carga uniformemente distribuída: momento fletor é uma parábola do segundo grau, esforço cortante varia linearmente.
c) Num intervalo com carga variando linearmente: momento fletor é uma parábola do terceiro grau, esforço cortante é uma parábola de segundo grau.
d) Num intervalo com carga
parabólica do segundo grau: momento fletor é uma parábola do quarto grau, esforço cortante e uma parábola do terceiro grau.
e) Ao conhecer os momento nos dois pontos, A e B, liga-se estes pontos por uma linha reta obtendo a linha reta, temos a linha de fechamento do momento e obteremos o diagrama neste intervalo considerando-o como uma barra simplesmente apoiada sobre a influência do seu carregamento.
f) Onde o momento fletor é máximo o esforço cortante é nulo.
6.2.2 Convenção de sinais
Momento fletor
Esforço cortante
Esforço normal e momento de torção não há convenção, traça-se negativo para compressão e positivo para tração.
6.2.3 ExemplosExercício 1: Traçar o diagrama de momento fletor da seguinte estr
Momento fletor Esforço cortante Esforço normaltrecho AC Ms1 = - (+5 . x1) = - 5.x1
x = 0 ........Ms1 = 0tmx = 3 .........Ms1= 15 tm
Qs1 = - ( -5) = 5t Ns1 = -( +8) = -8t
trecho CD Ms2 = - [-8. x2 + 5 . 3 + 2 . x2 (x2/2)] = - x2² + 8x2
- 15x = 0 ........Ms2 = - 15 tmx = 5 ........Ms2 = 0 tm
Qs2 = - ( +8 - 2x2) = 2x2 - 8x = 0 .......Qs2 = -8tx = 5 .......Qs2 = 2t
Ns2 = -( +5) = -5t
trecho BD Ms3 = 0 Qs3 = 0t Ns3 = +( -2) = 2t
Exercício 2: Traçar o diagrama de momento fletor e esforço cortante da seguinte estrutura:
Momento fletortrecho AC Ms1 = -(-2,8 . x1) = 2,8.x1
x = 0 .........Ms1 = 0x = 2 .........Ms1 = 56 tf.mtrecho CDMs2 = -[(-2,8 . x2) + 2(x2 - x1)] = 2,8x22 - 2x2 + 4x = 2 ........Ms2 = 5,6tf.mx = 7 ........Ms2 = 9,6tf.mtrecho BDMs3 = 3,2 x3
x = 0 .......Ms3 = 0x = 3 .......Ms3 = 9,6tf.m
Esforço cortantetrecho ACQs1 = -( +2,8) = -2,8tftrecho CDQs2 = -( +2,8 - 2) = -0,8tftrecho BDQs3 = 3,2tf
Exercício 3:Traçar o diagrama de momento fletor da seguinte estrutura
Momento fletor Esforço cortantetrecho AC Ms1 = -[(-2.x1)(-2)] = 2.x1 +2
x = 0 .........Ms1 = 2tfmx = 3 .........Ms1 = 8tfm
Qs1 = -( +2) = -2tf
trecho BC Ms2 = +( +3.x2 + 2) = 3x2 + 2x = 0 .......Ms2 = 2tfmx = 2 .......Ms2 = 8tfm
Qs2 = -(2 - 5) = 3tf
Exercício 4: Traçar o diagrama de momento fletor da seguinte estrutura
Momento fletorbalanço da esquerda Ms1 = -[2. x1 + 1.x1(x1/2)] = - 2x1 - 1/2x1²
x = 0 ........Ms1 = 0x = 2 ........Ms1 = -6tfm
balanço da direita Ms2 = +[ - 2x2(x2/2)] = - x2²x = 0 ......Ms2 = 0x = 2 ......Ms2 = -4tfm
trecho AC Ms3 = -[ -7,8x3 + 4x3 + 6 + 1x3(x3/2)] = 3,8x3 - 6 - x3²/2x = 0 ......Ms3 = -6tmx = 2 .......Ms3 = -0,4tfm
trecho BC Ms4 = +[ -4 - 4 x4 + 8,2x4 - 2 x4(x4/2)] = - 4 + 4,2x4 - x4²x = 0 .......Ms4 = - 4tfmx = 2 .......Ms4 = 0,4tfmx = 3 .......Ms4 = -0,4tfm
Exercício 5: Traçar o diagrama de momento fletor da seguinte estrutura
Reações de apoioSFy = 0 ® 1,1.6 + 0,9(6+3) + 24,4659.sen 45 - Va + Vb = 0Ra + Rb = 32tfSFx= 0 ® -2,7 - 24,4659.cos45 - Hb = 0 Hb = 20tfSMb = 0 ® Va.9 + 1,1.6.(3+6/2) - 0,9.9.9/2 - 24,4659.sen45. 1,5 - 2,7.1,5 - 24,4659.cos45.1,5 = 0Va = 14,6666tfVb = 17,3333tf
Trecho ACMs1 = -( - 14,6666.x1 + (0,9 +1,1).x1(x1/2) = -x1² + 14,66666 x1 = 0 ...........Ms1 = 0
x1 = 6 ...........Ms1 = 51,99999 = 52tfmQs1 = -[14,66666 - (0,9+1.1)x1= -14,6666 + 2.x1x1 = 0 ...........Qs1 = -14,6666 tfx1= 6 ........... Qs1= -2,66666 tfNs1 = 0
Trecho BDMs2= Vb.sen45 + Hb.sen45 - (0,9.x2/2)sen45(x2/cos45) = 37,3333x2 - 0,45x2²x2 = 0 ...........Ms2= 0x2 = 1,5 ........Ms2 = 54,98750 tfQs2 = 17,3333cos45 + 20sen45 - (0,9.cos45)(x2/cos45) = 26,39865293 - 0,9x2x2 = 0 ...........Qs2 = 26,39865293 tfx2 = 1,5 ........Qs2 = 25,04865293 tfNs2 = +[ +Hb.cos45 + (0,9.cos45)(x2/cos45) + ( +20.cos45 - 17,333.cos45 + 0,9x2)] = +1,885618319 + 0,9x2x2 = 0 ...........Ns2 = 1,8856 tfx2 = 1,5 ........Ns2 = 3,2356 tfTrecho DCMs3= +[(17,3333.cos45 + 20.sen45 + 0,9.cos45.x3 /2)x3 /cos45 - 24,4659(x3 -1,5)/cos45 - 2,7sen 45(x3 -1,5)/cos45] = -0,45x3 ² - 1,085047.x3 + 57,62756x3 = 1,5 .......Ms3 = 54,9875 tfmx3 = 3 ..........Ms3 = 50,322 tfmQs3 = 26,39865293 - 0,9x3 - 24,4659 - 2,7sen45 = -0,9x3 + 0,023564620x3 = 1,5 ......Qs3 = -1,3255353 tfx3 = 3 ..........Qs3 = - 2,676 tfNs3 = +1,885618 + 0,9x3 - 2,7cos45x3 = 1,5 ...... Ns3 = 1,32643 tfx3 = 3 ..........Ns3 = 2,676 tf
Diagramas
Momento Fletor
Esforço Cortante
Esforço Normal
Exercício 6: Faça o cálculo, e trace as linhas de estado do momento fletor, esforço cortante e esforço normal, apresentando analiticamente para cada trecho as equações.
Reação de apoioSFy = 0 ® 6.3 + 7,4 - Vc - Vn = 0SFx= 0 ® Hd - 5 = 0 Hd = 5tfSMd = 0 ® -5.5 + 7,4.0 + 6.3.(2+2+3/2) - Vn.7 = 0Vn = 10,571tfVd = 14,829tf
Momento fletor Esforço cortante Esforço normalTrecho DF Ms1 = 0 Qs1 = 0 Ns1 = -( + 14,829 - 7,5) =
- 7,329tf
1 Esforço na barra DHSMf = 0 ® -5.2 + 6.3(2+2+3/2) - 10,571.7 - VDH[2.cos(arctg3/2)] = 0VDH = 9,014tfVDHv = 9,014 cos 33°41'24,2'' = 7,5tfVDHh = 9,014 sen 33°41'24,2'' = 5tf
2 Esforço na barra DFSFx= 0 ® VHDh - 5 = 0VHDh = 5 tfSFy = 0 ® 14,829 - VHDv - VFD = 0VFD = 7,329 tf
Trecho FH SMs2 = 0 ® -(7,4x2 - 7,329x2)x2 = 0 ....Ms2 = 0x2=2.......Ms2= -,14tfm
Qs2=-(-7,329+ 7,4) = - 0,071tf
Ns2 = 0
Trecho HI SMs3 = 0 ® - (0,.071x3 - 7,5(x3-2) - 5.0x3=2...MS3=-0,142tfmx3=4...MS3= 14,716tfm
Qs3 = -(-7,329+7,4 -7,5 ) = 7,429tf
NS3 = -(5) = -5 tf
Trecho MI SMs4 = 0 ® + (+5.x4)x4 = 0 .......Ms4 = 0x4 = 2 ...... Ms4 = 10tfm
Qs4 = 5tf Ns4= 0
Trecho IJ SMs5 = 0 ® -[( -7,429x5) + 5.2 + 6 (x5-4)(x5-4/2)]x5=4.....Ms5 =
4,716tfmx5 =7....Ms5 = 0
Qs5=7,429 - (60x5)x5=0..Qs5= 7,429tfx5=3Qs5= -10,571tf
Ns5 = - (5-5) = 0
Trecho JN 0 < x < 7
Ms6 = 0 Qs6 = 0 Ns6 = + (-10,517) = - 10,517tf
Diagramas
Momento Fletor
Esforço Cortante
Esforço Normal
Exercício 7: Calcule os esforços internos solicitantes fornecendo as equações das linhas de estado e os respectivos diagramas:
Reações de apoio
Estrutura ISFx = 0 ® Hd = 10KNSFy = 0 ® Vd + Vc = 20 + 30(1,5+2+2,5+2) + 30.2.1/2 = 295SMa = 0 ® 20.1,5 + 10.10 + 30.1,5.1,5.1/2 -15 +25 -30(2+2,5+2)(2+2,5+2)1/2 + Vd(2+2,5) -35.2.1/2.{(2/3.2)+(2+2,5)} = 0Vd = 167,59259KNVc = 127,40741KN
Estrutura IISFx = 0 ® Hb = 10KNSFy = 0 ® Va + Vb = 167,59259 + 50 + 60 + 40.2 + 40.2 = 437,59259SMa = 0 ® 167,59259(2+2,5+2,5) + 10.3 + 40.2(2/2+2,5.2,5) + 50.2,5 - Va(2,5+2,5) - 60.2 - 40.2.2.1/2 = 0Va = 321,62963KNVb = 115,96296KN
Estrutura I Momento fletor Esforço cortante Esforço normal
Trecho GE0<x<1
Ms1 = - [10.x1]X = 0 ® 0x = 1 ® -10KNm
Qs1 = 10KN Ns1 = -20KN
Trecho EC0<x<1,5
Ms2 = -[10.1 + 20.x2 + 30.x2.x2.1/2]X = 0 ® -10KNmx = 1,5 ® -73,75KNm
Qs2 = -[-20-30.x2]x =0 ® 20KN x =1,5 ® 65KN
Ns2 = 10KN
Trecho CH1,5<X<3,5
Ms3 = -[10.1 + 20.x3 + 30.x3.x3.1/2 - 127,407(x3-1,5]X = 1,5 ® -73,75KNmx = 3,5 ® -8,93518KNm
Qs3= -[-20 - 30.x3 + 127,467]x =1,5 ® -62,4KNx =3,5 ® -2,41KN
Ns3 = 10KN
Trecho FD0<x<2
Ms4 = +[25 - 30.x4.x4/2 - (35-35/2.x4)x4.x4/2 - (35/2x4.x4.1/2)(2/3.x4)]X = 0 ® 25KNmx = 2 ® -81,6666KNm
Qs4 = [-30.x4 - (35-35/2.x4)x4 - 35/2.x4.x4.1/2]x =0 ® 0KNx =2 ® -95KN
Ns4 = 0KN
Trecho DH2<x<4,5
Ms5 = +[25 - 30.x5.x5/2 - (35.2.1/2)(x5-1/3.2) + 167,59259(x5-2)]X = 2 ® -81,6666KNmx = 4,5 ® 6,0648KNm
Qs5 = [-30.x5 - (35.2/2) + 167,59259]x =2 ® 72,592KNx =4,5 ® -2,41KN
Ns5 = 0
Estrutura IITrecho DI0<x<3
Ms6 = -[10.x6]X = 0 ® 0KNmx = 3 ® -30KNm
Qs6 = -[-10]=10KN Ns6 = 10KN
Trecho AI0<x<2
Ms7 = -[167,592.x7 + 40.x7.x7/2 + 10.3]X = 0 ® -30KNmx = 2 ® -445,185KNm
Qs7= -[167,592.x7 + 40.x7.x7/2 + 10.3]x =0 ® 167,59KNx =2 ® 247,59KN
Ns7 = 10KN
Trecho AK2<x<4,5
Ms8 = -[167,592.x8 + 40.2(x8-2/2) + 10.3 – 321,62963(x8-2)]X = 2 ® -445,185KNmx = 4,5 ® -260,089KNm
Qs8 = -[-167,592 - 40.2 + 321,62963] = -74,03704KN
Ns8 = 10KN
Trecho JB0<x<2
Ms9=+[-60.x9- 40.x9.x9/2]X = 0 ® 0KNmx = 2 ® -200KNm
Qs9 = [-60 -40.x9]x =0 ® -60KNx =2 ® -140KN
Ns9 = 0KN
Trecho BK2<x<4,5
Ms10=+[-60.x10-40.2.(x10 -2/2) + 115,96296(x10-2)]X = 2 ® -200KNmx = 4,5 ® -260,0926Nm
Qs10 = [-60 - 40.2 +115,962] = 10KN
Ns10 = 10KN
Diagramas:
Momento Fletor
Esforço Cortante
Esforço Normal
Exercício 8: Calcule e trace as linhas de estado da estrutura abaixo.
Reações de apoio
Estrutura ISFx=0®Hc = 50KNSFy=0® Vc + Vb = 30.2 + 50.2.1/2 + 40.2 = 190SMc=0®30.2.(1/2.2)+50.2.1/2.(2/3.2)+40.2.(3/2+2)+50.1,5-35-Vb(2+2) = 0Vb = 101,667KNVc = 88,333KN
Estrutura IISFx = 0 ® Ha = 50KNSFy = 0 ® Va = 30.3 + 88,333 = 178,333KNSMa = 0 ® -30.3.(1/2.3) - 88,333.3 = -400KNm
Momento fletor Esforço cortante Esforço normalEstrutura ITrecho CD0<x<2
Ms1=-[-88,333.x1+30. x1.x1/2–50/23x1.x1.1/2. 1/3.x1]x = 0 ® 0KNmx = 1 ® 69,16KNmx = 2 ® 83,33KNm
Qs1 = -[88,333 - 30.x1 - 50/2.x1.x1/2]x = 0 ® -88,333KNx = 1 ® -45,833KNx = 2 ® 21,667KN
Ns1 = -50KN
Trecho BE0<x<2
Ms2 = +[+101,667.x2 – 40.x2.x2/2]x = 0 ® 0KNmx = 1 ® 81,667KNmx = 0 ® 123,334KNm
Qs2 = +[101,667 - 40.x2]x = 0 ® 101,667KNx = 1® 61,667KNx = 2® 21,667KN
Ns2 = 0
Trecho ED0<x<1,5
Ms3 = +[+101,667.2 – 40.2.1/2.2 - 50.x3]x = 0 ® 123,334KNmx = 1 ® 73,334KNmx = 1,5 ® 48,334KNm
Qs3 = -50KN Ns3 = +[-101,667 + 40.2] = -21,667KN
D Md=-[-88,333.2+30.2/2 .2+ 50.2.1/2.1/3.2 + 35 = 48,334KNm
Estrutra IITrecho CA0<x<3
Ms4 = +[-88,333.x4 – 30.x4.x4/2]x = 0 ® 0KNmx = 1,5 ® -166,25KNmx = 3 ® -400KNm
Qs4=+[-88,333 -30.x4]x = 0 ® -88,333KNx = 1,5 ® -133,333KNx = 3 ® -178,333KN
Ns4 = -50KN
Diagramas
Momento Fletor:
Esforço Cortante:
Esforço Normal:
Exercício 9: Calcule os esforços internos solicitantes e trace os seus respectivos diagramas
Reações de apoio
SFx = 0 ® Ha = 15.2 = 15KNSFy = 0 ® Va + Vb = 10.3 + 20 + 10.2 = 70SMa = 0 ® 25 - 10.3.3/2 - 20.3 - 10.2(2+1) + 15.2.1/2.2/3.2 + Vb.4 = 0Vb = 30KNVa = 40KN
Momento Fletor Esforço Cortante Esforço Normal0<x<2 Ms1 = -[-40.x1 + 25
+10.x1.x1/2 + 15.0]X = 0 ® -25KNmX = 1 ® 10KNmX = 2 ® 35KNm
Qs1 = -[40 - 10.x1]x = 0 ® -40KNx = 1 ® -30KNx = 2 ® 35KN
Ns1 = -[-15] = 15KN
0<x<1 Ms2 = +[ -20.x2 – 10.x2.x2/2]X = 0 ® 0KNmX = 1 ® -25KNm
Qs2 = [-20 - 10.x2]x = 0 ® -20KNx = 1 ® -30KN
Ns2 = 0
0<x<2 Ms3 = -[-20.1 - 10.1/2.1 + 10 .2.2/2 + 25 - 40.2 – 15.x3 - 15/2 .x3.x3.1/2.1/3.x3]X = 0 ® 60KNmX = 2 ® 40KNm
Qs3 = -[-15 + 15/2 .x3.x3.1/2]x = 0 ® 15KNx = 1 ® 11,25KNx = 2 ® 0KN
Ns3 = - [20 + 10(2+1) - 40] = -10KN
0<x<2 Ms4 = [30.x4 - 10.x4.x4.1/2]
Qs4 = [30 - 10.x4]x = 0 ® 30KN
Ns4 = 0
X = 0 ® 0KNmX = 1 ® 25KNmX = 2 ® 40KNm
x = 1 ® 20KNx = 2 ® 10KN
Diagramas
Momento Fletor
Esforço Cortante
Esforço Normal