° ° 3.4 konstanz der lichtgeschwindigkeit galilei- transformation: die lichtgeschwindigkeit ist...
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€
rc =
r ′ c +
r u
°
€
S€
E
€
E
€
ru
€
ru
€
rc
€
rc
€
Licht
von einem
Stern
3.4 Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
Galilei- Transformation:
€
rv =
r ′ v +
r u
€
z′
€
z
€
r′ v €
y
€
A
€
′ x = x +ut€
′ y
€
rv
Die Lichtgeschwindigkeit ist in allen Bezugssystemen Konstant, unabhängig von deren Relativ-geschwindigkeit zur Lichtquelle
E1 WS14/15
E1 WS14/15
Ergebnis: Gleichzeitige Detektion beider -g Quanten, obwohl sich deren Quelle mit
nahezu Lichtgeschwindigkeit bewegt!
E1 WS14/15
Zum Problem der Gleichzeitigkeit bei endlicher Lichtgeschwindigkeit
E1 WS14/15
3.5 Lorentz-Transformation
€
y€
S
€
z
€
€
xO
Blitz in O = O‘ bei t = t‘ = 0
E1 WS14/15
3.5 Lorentz-Transformation
Blitz in O = O‘ bei t = t‘ = 0
€
y€
S
€
z
€
€
xO
€
y€
S
€
z
€
xO‘
‘
‘
‘
‘
€
rr t( ) =
r c ⋅ t
€
r′ r ′ t ( ) =r ′ c ⋅ ′ t
€
v = vx
A€
x 2 + y 2 + z2 = c 2 ⋅ t 2
€
′ x 2 + ′ y 2 + ′ z 2 = c 2 ⋅ ′ t 2
€
′ t = a t − bx( )€
′ y = y
€
′ z = z
Ergebnis vieler Experimente: c = c‘
€
′ x = k x − v ⋅ t( )Linearer Ansatz:
E1 WS14/15
€
=>k2 x2 − 2vxt + v2t 2( ) + y2 + z2
€
=c 2a2 t 2 − 2bxt + b2x 2( )
€
k 2 − b2a2c 2( )x 2 − 2 k 2v − ba2c 2
( )xt + y 2 + z2
€
= a2 − k 2v 2 c 2( )c
2t 2
€
k 2 − b2a2c 2 =1
k 2v − ba2c 2 = 0
a2 − k 2v 2 c 2 =1
⎫
⎬ ⎪
⎭ ⎪⇒
€
a = k =1
1− v 2 c 2
€
b = v c 2
€
′ x =x − vt
1− v 2 c 2
€
y = ′ y
€
z = ′ z
€
′ t =t − vx c 2
1− v 2 c 2
Muss zu jedem Zeitpunkt identische sein mit => Koeffizientenvergleich
E1 WS14/15
€
mit γ = 1− v2 c2( )
−1 2
€
y = ′ y
€
′ y = y
€
z = ′ z
€
′ z = z
€
′ x = γ x − vt( )
€
x = γ ′ x + v ′ t ( )
€
′ t = γ t − vx c 2( )
€
t = γ ′ t + v ′ x c2( )
€
r′ u =d ′ x
d ′ t ,d ′ y
d ′ t ,d ′ z
d ′ t
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
€
r′ u x =d ′ x
d ′ t =
d ′ x
dt⋅
dt
d ′ t
€
=γ dx
dt− v
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟γ 1+
v ′ u xc 2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
Lorentz-Transformation
€
ru =
dx
dt,dy
dt,dz
dt
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
Geschwindigkeit des Körpers A in S und S‘
Invariant für
€
s2 = ct( )2
− x2 = c ′ t ( )2
− ′ x 2
E1 WS14/15
€
′ u y =uy
γ 1−uxv
c 2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
€
uy =′ u y
γ 1+v ′ u xc 2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
€
′ u z =uz
γ 1−vux
c2
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
€
uz =′ u z
γ 1+v ′ u xc 2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
dito
€
ux =′ u x + v
1+′ u xv
c2
€
′ u x =ux − v
1−uxvc2
Lorentz-Transformation der Geschwindigkeitenfür v II x
E1 WS14/15
3.6 Spezielle Relativitätstheorie
Einsteins Postulate: (1905, Annalen der Physik)
Alle Inertialsysteme sind gleichberechtigt für alle physikalischen Gesetze
Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum hat in allen Inetrtialsystemen den gleichen Wert c, unabhängig von der Bewegung des Beobachters
PoincareLorentz
E1 WS14/15
€
t
€
t1
€
x
€
B
€
A
€
C
€
Δx ⋅Δx
Zum Problem der Gleichzeitigkeit
€
A1
€
C1
€
α1
€
tanα 1 =1 c
Ruhendes System
O
Wenn alle Inertialsysteme äquivalent sind müssen im bewegten System A‘ und C‘ den Blitz gleichzeitig sehen!
=> geneigte x‘, t‘ Achsen
Für jeden Beobachter ist die Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse an verschiedenen Raumpunkten abhängig vom verwendeten Bezugssystem
€
t
€
t1
€
A1′
€
x€
C1′
€
B
€
A
€
C
€
β′
€
t2
€
t′ = const
€
tanβ ′ =1 v
ABC ruhen in S‘, bewegen sich also in S!
O‘ bewege sich mit v=vx
S
€
t
€
tA
€
x€
E
€
xA
€
′ t
€
′ x
€
′ t A
€
′ x A
€
α
€
α
€
tanα = v
E1 WS14/15
€
t
€
x
€
A2
€
′ x
€
β
€
A1
€
x1
€
x2
€
t2
€
t1
Zur Transformation der Geschwindigkeiten
Punkt A bewege sich mit u bzgl O und u‘ bezgl. O‘
Der Beobachter in O misst
€
ux =x2 − x1
t2 − t1
€
′ u x =′ x 2 − ′ x 1′ t 2 − ′ t 1
≠ ux
Der Beobachter in O‘ misst
€
′ t
€
x1′
€
t2′
€
t1′
€
x2′
=> Lorentztransformation der Geschwindigkeiten
E1 WS14/15
€
ct
€
x
€
€
A
€
B
€
α
€
tanα = c /v
€
Weltlinie
€
45°€
Lichtblitz
€
ct
€
x
€
′ β
€
′ x
Minkowski-Diagramme(Raum-Zeit-Koordinaten)
(4er-Koordinaten)
€
Gleichzeitigkeit
€
α€
tanα = c /v
€
c ′ t (Weltline vonO' )
v=vx
€
tan ′ β = v /c weil für die x‘ Achse gilt t‘=0 => LT: t=vx/c2
€
′ β
€
′ γ
=> ‘ = - ‘ g a b = arctan (c/v) – arctan (v/c)
€
c ′ ′ t
€
′ ′ x
€
′ ′ β €
′ ′ β v=-vx
Weiters Intertialsystem S‘, das sich mit v=vx relativ zu S bewegt
E1 WS14/15
€
s2 = ct( )2
− x2 = c ′ t ( )2
− ′ x 2
Minkowski-Diagramme(Raum-Zeit-Koordinaten)
(4er-Koordinaten)
€
ct
€
x
€
€
A
€
B
€
α
€
tanα = c /v
€
Weltlinie
€
45°€
Lichtblitz
€
GleichzeitigkeitNicht nur die Lagen, auch die Skalen der Achsen sind in S und S‘ verschieden!
Lichtgeschwindigkeit in allen Systemen gleich =>
s2 invariant bei der Transformation zwischen Intertialsystemen
OBdA wählen wir s2=-1
t=0 => OA = 1
aber auch t‘=0 => OB = 1
€
€
c ′ t
€
′ x
A
A‘ B‘
B
€
ct
€
x€
x2 − ct( )2
=1
O
=> Skalen verschieden!
http://www.tempolimit-lichtgeschwindigkeit.de/
€
P2
€
P1
€
t1Gleichzeitigkeit
€
c ′ t
€
′ x
€
x2′
€
x1′
€
ct
€
x
€
x1
€
x2
€
L
€
x1′ = γ x1 − vt1( )
€
x2′ = γ x2 − vt2( )
€
⇒ x2′ − x1
′ = γ x2 − x1( )
€
für t1 = t2
€
⇒ L′ = γ ⋅L
€
⇒ L < ′ L
€
weil γ >1
Zur Lorentz-Kontraktion der Längen
€
′ L = P1′P2
′ = x2′ − x1
′
€
L = P1P2 = x2 − x1
Längenmessung durch gleichzeitiges festlegen der beiden Koordinaten!
Lorentz-Transformation:
Die Länge eines bewegten Maßstabs erscheint dem ruhenden Beobachter verkürzt
€
L′
€
t1′
€
Weltlinien
€
P2′
€
=P1′
€
v ⋅ t
€
N
€
C€
B
€
AB + BC = 2 ⋅ L2 + vΔ ′ t
2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟2 ⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
1 2
€
=c ⋅Δ ′ t
€
⇒ Δ ′ t =2L
c 2 − v 2( )
1 2
€
=>Δ ′ t =Δt
1− v2 c2( )
1 2
€
=γ⋅Δt
Einsteins Gedankenexperiment zur Lichtuhr
Zeitnormal in S: ∆to=2L/c
Uhr wird jetzt mit v bewegt
Für den Beobachter in S durchläuft das Licht den Weg ABC
mit AN = NC = v ∆t/2
€
Δt = 2L caber im ruhenden System:
€
L
€
A
€
Spiegel
€
Detektor€
Blitz −
lampe
Bewegte Uhren laufen langsamer!
E1 WS14/15
€
=> N (h2 ) = a ⋅N(h1) ⋅e−Δt ′ τ
€
mit Δt = (h1 − h2) v€
μ− τ⏐ → ⏐ e− + ν μ + ν e
Zum Myon-Zerfall
Lebensdauer ruhender Myonen t ≈ 5 10-6 s
Während der Flugzeit dt = dh/v zerfällt bei einer mittleren Lebensdauer ‘ t der Bruchteil
dN/N = -dt/ ‘ =t > N(t) = N0 e-t/ ‘ t
a<1 berücksichtigt den Verlust durch Streuung an Luftmolekülen
Ausgiebige Messungen ergaben ‘ t ≈ 45 10-6s
mit ‘ t = gt => g = 9 => v = 0.994 c
€
h2
€
D 2
€
D1
€
h1
€
μ−
€
Δh = h1 − h2
Berg
E1 WS14/15
€
ct
€
x
€
t2 = T
€
x = xu − v t − T 2( )
€
P2
€
Weltlinie
von A
€
Weltlinie
von B
€
t1 = T 2
€
xu€
P1
€
x = vt
€
=c ⋅T
€
ds0
P1
∫ = c 2 − v 2 dt0
T 2
∫
€
=c ⋅T2γ
€
=c ′ T
2
€
P1P 2 : dx = −v ⋅dt
€
dsP1
P2
∫ = c 2 − v 2 dtT 2
T
∫
€
=c ⋅T2γ
€
=c ′ T
2
€
′ T = T γ
€
< T
Zwillingsparadoxon
€
ds2 = c2dt 2 − dx2
€
=c 2d ′ t 2 − d ′ x 2Invariantes Wegelement:
€
ds0
P2
∫ = c dt0
T
∫Reisezeit B:
€
0P1 : dx = v ⋅dtReisezeit A:
E1 WS14/15
€
ct
€
x
€
C
€
Vergangenheit
€
x = ct
€
−ct€
−x
€
x = −ct
€
Zukunft
€
anderswo
€
anderswo
€
A
€
B
E=mc2 folgt aus der allgemeinen Relativitätstheorie => Später
Raumzeitereignise und Kausalität
Lichtgeschwindigkeit obere Grenze für Signalübertragung!
=> Wirkung nur innerhalb des Lichtkegels! A kann mit B aber nicht mit C kausal verknüpft sein
Im 4-dimensionalen Minkowsky-Raum stellt der Lichtkegel eine 3d-Hyperfläche dar
E1 WS14/15
€
ct
€
Weltlinie
von A
€
x
€
t t2 = Δt2
€
von B ausgesandte
Signale
€
x1, t1( )
€
x2, t2( )
€
t t1 = Δt1 €
2. Lichtpuls
€
1. Lichtpuls
€
x = vt
€
⇒ c ⋅ t =c
vx
€
x1 = c t1 − t0( )
€
=x0 + v ⋅ t1
€
x2 = c t2 − t0 − τ( )
€
=x0 + vt2
Zum Dopplereffekt
E1 WS14/15
€
t2 − t1 =c ⋅τc − v
€
x2 − x1 =v ⋅c ⋅τc − v
€
′ τ =t2′ − t1′
€
=γ⋅ t2 − t1( ) −v
c 2x2 − x1( )
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
€
=γ⋅1+ β( ) ⋅τ mit β = v c
€
γ= 1+ β 2( )
−1 2
€
′ τ =τ 1+ β
1− β
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
1 2
€
⇒ ′ f =1′ τ = f0
1− β
1+ β
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
1 2
€
ct
€
x
€
C
€
Vergangenheit
€
x = ct
€
−ct€
−x
€
x = −ct
€
Zukunft
€
anderswo
€
anderswo
€
A
€
B
E1 WS14/15
€
ct
€
x
€
′ β
€
′ x
€
α€
tanα = c /v
€
c ′ t
v=vx
€
tan ′ β = v /c weil für die x‘ Achse gilt t‘=0 => LT: t=vx/c2
€
′ β
€
′ γ
=> ‘ = - ‘ g a b = arctan (c/v) – arctan (v/c)
€
′ ′ x
€
′ L = P1′P2
′ = x2′ − x1
′
€
L = P1P2 = x2 − x1
E1 WS14/15
€
t1
€
Δt
€
Lichtsignale
€
ct
€
x
€
′ x
€
c ′ t
€
A€
t2
€
Δt€
B€
x = c t − Δt( )
′ x = c ′ t − Δ ′ t ( )
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
€
x = ct
′ x = c ′ t
⎧ ⎨ ⎩
€
Weltlinie
für x0
€
x0
€
t1′ = γ t1 − v ⋅x0 c2
( )
€
t2′ = γ t2 − v ⋅x0 c2
( )
€
⇒ Δt′ = t2′ − t1′
€
=γ⋅Δt
Zur Zeitdilatation
Uhr ruht im System S in O und schickt im Zeitabstand ∆t zwei Lichtpulse
€
t2′
€
t1′
€
B′
€
Weltlinie
für ′ x 0
€
= ′ A
Lorentz-Transformation liefert die Zeitpunkte t‘1 und t‘2, zu denen ein bewegter Beobachter in x‘0 die Lichtpulse misst
Bewegte Uhren laufen langsamer
E1 WS14/15
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