allievo 1. prima che tu inizi a svolgere gli esercizi è bene che legga con molta attenzione le...
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Allievo
1
Prima che tu inizi a svolgere gli esercizi è bene che legga con molta attenzione le poche pagine di teoria, schematizzate in modo da rendere meno pesante la lettura. Ricorda che questo non sostituisce il libro di testo di cui devi fare sempre un buon uso. Prendi appunti cerca di costruire mappe concettuali e se non hai chiaro qualche concetto chiedi aiuto all’insegnante.
Buon Lavoro
Molto spesso la risoluzione di problemi tratti dalla fisica, chimica, economia, elettronica ecc.inducono a risolvere equazioni non lineari.
Le più semplici sono quelle di secondo grado o equazioni quadratiche.
Ricordiamo che il grado di una equazione ridotta in forma normale è il massimo esponente della variabile.
a,b,c vengono chiamati coefficienti dell’equazione.
Il coefficiente a deve essere diverso da zero altrimenti l’equazione diventa un’equazione di primo grado.
Il coefficiente c è detto termine noto
EQUAZIONE
PURA (b=0)
SPURIA (c=0)
MONOMIA(b=c=0)
Un’equazione di 2° si dice pura quando il coefficiente
b=0
Allora l’equazione si presenta nella forma
ax2 + c=0
per risolverla si procede così:
ax2 = - c
x2 = - c a
x1=-c/a; x2=--c/a ma sappiamo che sotto radice ci può essere solo un numero positivo allora a e c devono
avere segni diversi.
Se c=0 l’equazione diventa
ax2 + bx=0
Sfruttando la proprietà distributiva del prodotto rispetto
alla somma si scrive:
x(ax+b)=0 e utilizzando la legge di annullamento del prodotto si
ha: x=0 e ax+b=0
allora le soluzioni sono
x=0; x=-b/a (eq. Primo grado)
Se b=c=0 allora l’equazione si riduce alla semplice forma :
ax2 =0
le cui soluzioni che sono sempre due (anche se
coincidenti) sono :
x1=x2=0
Per risolvere una equazione di 2° si applica la formula risolutiva:
Il simbolo sotto radice prende il nome di DELTA o DISCRIMINANTE e il suo valore è dato dall’espressione
Dato che il discriminante è un numero sotto posto il segno di radice dobbiamo distinguere tre casi cioè quando è maggiore di zero, minore di zero o uguale a zero
In pratica per risolvere un’equazione completa di secondo grado applicando la formula risolutiva conviene procedere seguendo i seguenti passi:
1° passo: Se l’equazione non è nella forma ax2+bx+c= 0 occorre riportarla a tale forma utilizzando la proprietà delle uguaglianze e delle operazioni
2° passo: Per evitare inutili complicazioni di calcolo bisogna fare in modo che il coefficiente di x2 sia positivo: se non lo è basta moltiplicare ambo i membri per -1
3° passo: Si controllano i coefficienti a,b,c per vedere se sono multipli di uno stesso numero. Se lo sono si provvede ad eseguire le opportune semplificazioni
4° passo: Si calcola il discriminante (DELTA) dell’equazione e se ne controlla il segno: se esso è positivo l’equazione ha due soluzioni reali e distinte, se è uguale a zero le soluzioni sono reali e coincidenti, se è negativo l’equazione ammette soluzioni complesse.
Esercizi guidati
5x2-6x+1=0 è già nella forma normale e nessuna semplificazione è possibile fra i coefficienti che sono
a=5; b=-6; c=1
Calcoliamo il discriminante: b2 - 4ac= (-6)2-4(5)(1)= 36-20= 16
16 >0 due soluzioni reali e distinte date da
x1,2= -b+D x1= 6 + 16 =6+4 = 1 x2= 6 - 16= 6-4 = 2 = 1 2a 10 10 10 10 10 5
-8x2+24x-18=0 a=-8; b=24; c=-18 Essendo a=-8 negativo moltiplichiamo ambo i membri per -1: 8x2-24x+18=0 quindi dividiamo ambo i membri per 2:
4x2-12x+9=0 a=4; b=-12; c=9
Calcoliamo il discriminante: b2 - 4ac= (-12)2-4(4)(9)= 144-144= 0 Delta è zero le due soluzioni sono reali e coincidenti date da
x1=x2= - b = - 12=- 3 2a 8 2
ESERCIZI
Test 1
Una equazione di secondo grado si dice
completa quando………..
a,b,c sono uguali a zero
b e c sono diversi da zero
C=0
a=0
10
Test 2
Quali soluzioni ammette una equazione di secondo grado che sia monomia?
0
-b/a
1, -1
nessuna
11
Test 3
Se Delta è maggiore di zero le soluzioni sono:
Reali e coincidenti
Reali e negative
Nulle
Reali e distinte
12
Test 4
Una equazione di secondo grado è pura quando:
c=0
a=0
b=0
b=c=0
13
Test 5
X2-4x=0 è:
Pura
Spuria
Monomia
6
Completa
Test 6
Le soluzioni dell’equazione :
3x2-x-10=0 è
3, 4
2, -2
15
Sol. immaginarie
-5/3, 2
Test 7
3x-9x2=0 ammette come soluzioni
X=1 X=3
X=0; x=1/3
X=0
X=3; x=0
16
Test 8
Quale dei seguenti numeri è radice dell’equazione: 9x-x2=0
1
0
9
-2
17
Test 9
Se Delta è uguale a zero le soluzioni sono:
Una sola
Due, ma coincidenti
Una reale e una nulla
Due coincidenti e nulle
18
Test 10
La soluzione dell’equazione
(x+2)2 - 4(x+1)=3x
x=1; x=3
X=0 ; x=3
X= 1 ; x= 0
X= 3; x=-3
19
I coefficienti b,c devono essere diversi da zero allora l’equazione si dice completa
Se b=c=0 allora l’equazione si riduce alla semplice forma :
ax2 =0
le cui soluzioni che sono sempre due (anche se coincidenti) sono :
x1=x2=0
Un’equazione di 2° si dice pura quando il coefficiente b=0
Allora l’equazione si presenta nella forma
ax2 + c=0
per risolverla si procede così:
ax2 = - c
x2 = - c a
x1=-c/a; x2=--c/a ma sappiamo che sotto radice ci può essere solo un numero
positivo allora a e c devono avere segni diversi.
Un’equazione di 2° si dice pura quando il coefficiente b=0
Allora l’equazione si presenta nella forma
ax2 + c=0
per risolverla si procede così:
ax2 = - c
x2 = - c a
x1=-c/a; x2=--c/a ma sappiamo che sotto radice ci può essere solo un numero
positivo allora a e c devono avere segni diversi.
Se c=0 l’equazione diventa
ax2 + bx=0
Sfruttando la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma si scrive:
x(ax+b)=0 e utilizzando la legge di annullamento del prodotto si ha: x=0 e ax+b=0
allora le soluzioni sono
x=0; x=-b/a (eq. Primo grado)
Per risolvere una equazione di 2° si applica la formularisolutiva:
Il simbolo sotto radice prende il nome di DELTA o DISCRIMINANTE e il suo valoreè dato dall’espressione
Se c=0 l’equazione diventa
ax2 + bx=0
Sfruttando la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma si scrive:
x(ax+b)=0 e utilizzando la legge di annullamento del prodotto si ha: x=0 e ax+b=0
allora le soluzioni sono
x=0; x=-b/a (eq. Primo grado)
Per verificare che un numero è radice di una equazione devi sostituire al posto della variabile (x) il numero dato e verificare che ci sia un’uguaglianza
osserva…….
Per risolvere una equazione di 2° si applica la formularisolutiva:
Il simbolo sotto radice prende il nome di DELTA o DISCRIMINANTE e il suo valoreè dato dall’espressione
31
punteggio