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Allgemeine Relativitätstheorie und Kosmologie
Stefan Weinzierl
14. Februar 2016
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Inhaltsverzeichnis
1 Einführung 41.1 Geschichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Spezielle Relativitätstheorie 62.1 Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Abstand, Metrik und Vierervektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Die Eigenzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Die Lorentztransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5 Transformation der Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.6 Die Vierergeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.7 Die Lorentzgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.8 Tensoren im Minkowski-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.9 Die relativistische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Elektrodynamik 203.1 Die Maxwell’schen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Die Lagrangedichte für die Wechselwirkung zwischen Teilchen und elektroma-
gnetischen Feldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Die Lagrangedichte der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Erhaltungssätze 274.1 Noether’sche Erhaltungsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 Translationsinvarianz und der Energie-Impuls-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . 284.3 Der Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . . . . 30
5 Riemann’sche und semi-Riemann’sche Geometrie 325.1 Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.2 Differentialformen und Integration auf Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . 355.3 Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.4 Riemann’sche Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.5 Hodge-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.6 Die kovariante Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.7 Der Levi-Civita-Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.8 Der Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.9 Der Krümmungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.10 Symmetrien und Killingvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.11 Der Weyl Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6 Allgemeine Relativitätstheorie 646.1 Größenordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.2 Das Äquivalenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.3 Bewegung eines Teilchens im Gravitationsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2
6.4 Die Einstein’schen Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.5 Die Wirkung der allgemeinen Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.6 Der Energie-Impuls-Tensor in der allgemeinen Relativitätstheorie . . . . . . . . 786.7 Der Palatini-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.8 Der Vielbein-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7 Spezielle Lösungen der Einstein’schen Gleichungen 907.1 Die Schwarzschild-Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.2 Die Periheldrehung des Merkur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.3 Schwarze Löcher, Kruskal-Koordinaten und Penrose-Diagramme . . . . . . . . . 1007.4 Geladene schwarze Löcher: Die Reissner-Nordström-Lösung . . . . . . . . . . . 1057.5 Rotierende schwarze Löcher: Die Kerr-Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8 Kosmologie 1108.1 Die perfekte Flüssigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.2 Energiebedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.3 Die Robertson-Walker-Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128.4 Die Friedmann’schen Gleichungen und der Hubble-Parameter . . . . . . . . . . 1158.5 Evolution des Universums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.6 Die Rotverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9 Schritte zur Quantengravitation 1229.1 Die Gravitation als Eichtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.2 Störungstheoretische Behandlung der Quantengravitation . . . . . . . . . . . . . 124
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1 Einführung
Literatur:
- R. Sexl and H. Urbantke, Gravitation und Kosmologie, Spektrum Akademischer Verlag
- W. Rindler, Relativity, Oxford University Press
- S. Carroll, Spacetime and Geometry, Addison-Wesley
- J. Peacock, Cosmological Physics, Cambridge University Press
- Ch. Misner, K. Thorne and J. Wheeler, Gravitation, Freeman and Company
- S. Weinberg, Gravitation and Cosmology, John Wiley
- G. Ellis and S. Hawking, The Large-Scale Structure of Space-time, Cambridge UniversityPress
- G. Börner, The Early Universe - Facts and Fiction, Springer
- L.D. Landau und E.M. Lifschitz, Band II, Klassische Feldtheorie, Akademie-Verlag
1.1 Geschichte
1638 G. Galilei Relativitätsprinzip1676 O. Rømer Endliche Lichtgeschwindigkeit
Ch. Huygens 1000 Erddurchmesser pro Minute1687 I. Newton Gesetze der Mechanik1864 J. C. Maxwell Maxwell’schen Gleichungen1900 M. Planck h: Wirkungsquantum1905 A. Einstein Spezielle Relativitätstheorie1915 A. Einstein Allgemeine Relativitätstheorie1919 A. Eddingtons Experimentelle Bestätigung der allgemeinen Relativitätstheorie
Die Newton’schen Gesetze:
1. Ein freies Teilchen bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit entlang gerader Linien.
2. Die Kraft auf ein Teilchen ist gleich dem Produkt seiner Masse und seiner Beschleunigung
~F = m~a.
3. Die Kräfte von Aktion und Reaktion sind vom gleichen Betrag und entgegengesetzt. Übtein Teilchen A eine Kraft ~F auf ein Teilchen B aus, so übt Teilchen B eine Kraft −~F aufTeilchen A aus.
4
Bemerkung: Physikalische Gesetze werden im allgemeinen bezüzglich eines Bezugssystems an-gegeben. Ein festes Bezugssystem ist eine gedachte Erweiterung eines festen Körpers. So be-stimmt zum Beispiel die Erde ein festes Bezugssystem im gesamten Raum, bestehend aus denPunkten, die relativ zur Erde und untereinander fest (in Ruhe) sind. Ein Beispiel hierfür sind dieOrte geostationärer Satelliten.
Unter allen festen Bezugssystemen sind die Inertialsysteme besonders ausgezeichnet. Inertial-systeme sind dadurch definiert, daß sich in ihnen freie Teilchen mit konstanter Geschwindigkeitauf geraden Linien bewegen. Die Newton’schen Gesetze gelten in Inertialsystemen.
Bemerkung: Newton postulierte die Existenz eines absoluten Raums, den er mit dem Schwer-punktssystem des Sonnensystems identifizierte. Newton ging ebenfalls von einer absoluten Zeitaus.
Die Galileitransformation: Gegeben seien zwei Inertialsysteme K und K′, so daß sich der Ur-sprung von K mit der Geschwindigkeit v entlang der x-Achse von K′ bewegt. Die Galileitrans-formation lautet:
x′ = x+ vt, y′ = y, z′ = z, t ′ = t.
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2 Spezielle Relativitätstheorie
2.1 Postulate
Inertialsystem: Bezugssystem, in dem sich ein Körper, der keinen äußeren unterliegt, mit kon-stanter Geschwindigkeit bewegt.
Verschiedene Inertialsysteme bewegen sich relativ zueinander mit geradlinig-gleichförmiger Ge-schwindigkeit.
Relativitätsprinzip: Naturgesetze gelten in jedem Inertialsystem in gleicher Form.
Prinzip einer endlichen Signalgeschwindigkeit (Maximalgeschwindigkeit der Wirkungsausbrei-tung).
Die Signalgeschwindigkeit ist in jedem Inertialsystem gleich, und gleich der Lichtgeschwin-digkeit
c = 2.99792 ·108m/s.
Grenzfall der klassischen Mechanik: c → ∞. In der klassischen Mechanik gilt das GalileischeRelativitätsprinzip: Räumliche Beziehungen hängen vom Bezugssystem ab. Die Zeit wird aller-dings als absolut betrachtet.
In der speziellen Relativitätstheorie ist die Zeit keine absolute Größe mehr. Beispiel: Zwei Inter-tialsysteme K und K′, wobei sich K relativ zu K′ nach rechts relativ der Achsen x und x′ bewege.Von irgendeinem Punkt A aud der x-Achse werden Signale in zwei entgegengesetzte Richtungenausgesandt. Da die Signalgeschwindigkeit im System K in beiden Richtungen gleich c ist, wer-den, gemessen im System K, die von A aus in gleicher Entfernung befindlichen Punkte B und C
von den Signalen in gleicher Zeit erreicht. Diese beiden Ereignisse der Ankunft der Signale istfür einen Beobachter im System K′ aber keineswegs gleichzeitig.
2.2 Abstand, Metrik und Vierervektoren
Ereignis charakterisiert durch den Ort, an dem es stattfindet, und durch den Zeitpunkt, an demes geschieht. Ein Ereignis ist also durch drei Ortskoordinaten und einer Zeitkoordinate in einemvier-dimensionalen Raum gegeben.
Betrachte wieder die Bezugssysteme K und K′: Betrachte ein erstes Ereignis, das darin bestehtdaß vom Punkt (x1,y1,z1) zur Zeit t1 ein Lichtsignal ausgesandt wird. Dieses Signal trifft zur Zeitt2 am Punkt (x2,y2,z2) ein (Ereignis 2). Da sich das Signal mit Geschwindigkeit c ausbreitet, hates die Entfernung
c(t2 − t1)
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zurückgelegt. Anderseits ist die Entfernung natürlich√
(x1 − x2)2 +(y1 − y2)2 +(z1 − z2)2
Daher gilt:
c2(t2− t1)2 − (x1 − x2)
2 − (y1 − y2)2 − (z1 − z2)
2 = 0.
In K′ seien die Koordinaten des ersten Ereignisses x′1,y′1,z
′1, t
′1 und die des zweiten Ereignisses
x′2,y′2,z
′2, t
′2. Wegen der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit gilt auch in diesem System
c2(t ′2− t ′1)2 − (x′1 − x′2)
2 − (y′1 − y′2)2 − (z′1 − z′2)
2 = 0.
Definition: Sind x1,y1,z1, t1 und x2,y2,z2, t2 die Koordinaten von zwei beliebigen Ereignissen, soheißt die Größe
s12 =√
c2(t2− t1)2 − (x1 − x2)2 − (y1 − y2)2 − (z1 − z2)2
der Abstand zwischen diesen beiden Ereignissen.
Aus der Invarianz der Lichtgeschwindigkeit folgt: Verschwindet der Abstand zwischen zwei Er-eignissen in einem Bezugssystem, so auch in allen anderen.
Allgemeiner gilt: Der Abstand zwischen zwei Ereignissen ist in allen Bezugssytemen gleich.Beweis: Sind zwei Ereignisse infinitessimal benachbart, so ist der Abstand
ds2 = c2dt2−dx2 −dy2 −dz2.
Gilt ds = 0 in einem Inertialsystem, so verschwindet ds′ in einem anderen System ebenfalls. ds
und ds′ sind infinitessimale Größen gleicher Ordnung. Aus diesen beiden Umständen folgt, daßsie zueinander proportional sein müssen:
ds2 = a ds′2
Die Proportionalitätskonstante a kann nicht von den Raum- und Zeitkoordinaten abhängen, dadies der Homogenität von Raum und Zeit widersprechen würde. a kann auch nicht von der Rich-tung der Relativgeschwindigkeit anhängen, da dies im Widerspruch zur Isotropie des Raumesstehen würde. Daher kann a nur vom Betrag der Relativgeschwindigkeit der beiden Inertialsy-steme abhängen. Betrache die Bezugsysteme K, K1 und K2. Sei ~v1 die Geschwindigkeit von K1
relativ zu K, ~v2 die Geschwindigkeit von K2 relativ zu K und ~v12 die Geschwindigkeit von K2
relativ zu K1. Dann gilt
ds2 = a(v1)ds21, ds2 = a(v2)ds2
2, ds21 = a(v12)ds2
2,
und daher
a(v2)
a(v1)= a(v12).
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Nun hängt v12 auch vom Winkel zwischen ~v1 und ~v2 ab, die linke Seite dagegen nicht. Dahermuß a(v) gleich einer Konstanten sein, die wie aus derselben Gleichung folg, gleich 1 sein muß.Daher
ds2 = ds′2,
und aus der Gleichheit infinitesimaler Abstände folgt auch die endlicher Abstände:
s = s′.
s212 > 0 zeitartiger Abstand;
es gibt ein Bezugssystem, in dem die Ereignisse 1 und 2 am gleiche Ort stattfinden.
s212 < 0 raumartiger Abstand;
es gibt ein Bezugssystem, in dem die Ereignisse 1 und 2 gleichzeitig stattfinden.
s212 = 0 lichtartiger Abstand;
Lichtkegel
Zwei Ereignisse können miteinander nur dann kausal verbunden sein, wenn der Abstand zwi-schen ihnen ≥ 0 ist. Dies folgt unmittelbar daraus, daß sich keine Wirkung mit einer Geschwin-digkeit ausbreiten kann, die größer als die des Lichtes ist.
Vierervektoren: Die Koordinaten (ct,x,y,z) eines Ereignisses können als Komponenten einesVektors in einem vier-dimensionalen Raum betrachtet werden.
x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z.
xµ = (x0,x1,x2,x3),
= (x0,~x).
Wir verwenden griechische Indizes µ,ν, ..., die die Werte 0,1,2,3 annehmen, um die Kompo-nenten eines Vierervektors zu bezeichnen. Lateinische Indizes i, j, ... werden verwendet, um dieKomponenten eines räumlichen Dreiervektors zu bezeichnen. Sie nehmen die Werte 1,2,3 an.
Der Abstand zweier Ereignisse xa und xb ist:
s2ab = (x0
a − x0b)
2 − (x1a − x1
b)2 − (x2
a − x2b)
2 − (x3a − x3
b)2.
Wir definieren den metrischen Tensor gµν durch
gµν =
1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1
8
Der Abstand läßt sich dann schreiben als:
s2ab =
3
∑µ=0
3
∑ν=0
gµν
(xµ
a − xµb
)(xν
a − xνb) .
Einsteinsche Summenkonvention: Solche Summen werden üblicherweise unter Fortlassung desSummenzeichens geschrieben. Allgemein soll die Regel gelten, daß über Indizes, die paarweiseauftreten, summiert wird, das Summationszeichen aber nicht aufgeschrieben wird. Dabei muß injedem Paar der eine Index oben stehen, der andere unten stehen.Also:
s2ab = gµν (xa − xb)
µ (xa − xb)ν .
Wir nennen einen Vierervektor xµ mit einem oberen Index einen kontravarianten Vektor, einVierervektor xµ mit einem unteren Index wird kovarianter Vektor genannt. Der Zusammenhangzwischen ko- und kontra-varianten Vektoren ist durch
xµ = gµνxν
gegeben. Somit läßt sich der Abstand auch schreiben als
s2ab = (xa − xb)µ (xa − xb)
µ = (xa − xb)µ (xa − xb)µ .
Bemerkung: Die durch die quadratische Form gµν = diag(1,−1,−1,−1) definierte Geometrieist keine euklidische Geometrie. Man nennt sie pseudoeuklidische Geometrie. Der spezielle Falleines vierdimensionalen Raumes mit der Metrik diag(1,−1,−1,−1) wird auch als Minkowski-Raum bezeichnet.
2.3 Die Eigenzeit
Wir beobachten aus einem Inertialsystem K′ eine Uhr, die sich beliebig bewegt. Diese Bewe-gung können wir näherungsweise durch eine Sequenz geradliniger-gleichförmiger Bewegungenbeschreiben. Man kann daher in jedem Zeitmoment der Uhr ein Inertialsystem K zuordnen, indem diese ruht. Im Koordinatensystem K′ legt die Uhr im infinitessimalen Zeitintervall dt ′ dieStrecke
√
dx′2 +dy′2 +dz′2
zurueck. Gefragt wird, welches Zeitintervall dt sie danach anzeigt. Aus der Invarianz des Ab-standes folgt:
c2dt ′2 −dx′2 −dy′2 −dz′2 = c2dt2
und daher
dt = dt ′
√
1− dx′2 +dy′2 +dz′2
c2dt ′2= dt ′
√
1− v2
c2.
9
Integration liefert für eine beliebige Bewegung
t2 − t1 =
t ′2∫
t ′1
dt ′√
1− v2
c2 .
Bemerkung 1: Die Eigenzeit eines sich bewegenden Gegenstandes ist immer kleiner als das ent-sprechende Zeitintervall im unbewegten System.
Bemerkung 2: Die ist kein Widerspruch zum Relativitätsprinzip, da zum Vergleich eine Uhrim “bewegten” System, aber mehrere Uhren im “unbewegten” System notwendig sind.
Bemerkung 3: Auch eine Uhr, die auf einer geschlossenen Kurve bewegt wird, stellt keine Wi-derspruch dar, da sie sich nicht dauernd in einem Inertialsystem befinden kann.
2.4 Die Lorentztransformation
Gesucht: Formel, die es uns gestatte, aus den Koordinaten x,y,z, t eines Ereignisses in einem Be-zugssystem K die Koordinaten x′,y′,z′, t ′ desselben Ereignisses in einem anderen InertialsystemK′ zu berechnen.
Zur Erinnerung: Galilei-Transformation:
x′ = x+ vt, y′ = y, z′ = z, t ′ = t.
System K bewegt sich mit Geschwindigkeit v relativ zum System K′ entlang der x-Achse.
Die relativistische Verallgemeinerung muß den Abstand invariant lassen. Daher kommen nurParallelverschiebungen und Drehungen in Frage. Parallelverschiebungen sind hier nicht so in-teressant, da sie nur die Lage des Ursprungs ändern. Jede Drehung im vierdimensionalen Raumkann in sechs Einzeldrehungen in den Ebenen xy, yz, zx, tx, ty und tz zerlegt werden. Drehungenin den ersten drei Ebenen entsprechen gewöhnlichen räumlichen Drehungen. Betrachte als Bei-spiel für die letzten drei die Drehung in der tx-Ebene, die y- und z-Koordinaten ändern sich hiernicht. Diese Drehung muß die Differenz
ct2 − x2
invariant lassen. Aufgrund der pseudo-euklifischen Metrik mit negativen Vorzeichen erhalten wirhier einen imaginären Drehungswinkel und damit hyperbolische trigometrische Funktionen:
ct ′ = xsinhφ+ ct coshφ,
x′ = xcoshφ+ ct sinhφ,
oder in Viererschreibweise
x′µ = Λµ
νxν,
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mit
Λµ
ν =
coshφ sinhφ 0 0sinhφ coshφ 0 0
0 0 1 00 0 0 1
.
Bestimmung von φ: Betrachte hierzu den Koordinatenursprung des Systems K im System K′:
ct ′ = ct coshφ, x′ = ct sinhφ,
und daher
tanhφ =x′
ct ′=
v
c.
Somit
sinhφ =vc
√
1− v2
c2
, coshφ =1
√
1− v2
c2
.
Im Grenzfall v ≪ c findet man die Galilei-Transformation.
Übliche Abkürzungen:
β =v
c, γ =
1√
1− v2
c2
.
Längenkontraktion: Ein Stab der Länge l, der im System K ruht und parallel zur x-Achse orien-tiert ist, hat im System K′ die Länge
l′ = l
√
1− v2
c2.
(Bestimme hierzu die x′-Koordinaten x′1 und x′2 des Anfangs- und des Endpunktes zu demselbenZeitpunkt t ′ im System K′.)
2.5 Transformation der Geschwindigkeit
Das System K bewege sich relativ zum System K′ mit der Geschwindigkeit V längs der x-Achse.Die Geschwindigkeit eines Teilchens in K sei
vx =dx
dt, vy =
dy
dt, vz =
dz
dt,
die entsprechenden Größen in K′ seien
v′x =dx′
dt ′, v′y =
dy′
dt ′, v′z =
dz′
dt ′,
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Die infinitessimalen Größen stehen mittels der Lorentztransformation
dx′ = γ(dx+V dt) , dy′ = dy, dz′ = dz, dt ′ = γ
(
dt +V
c2 dx
)
in Verbindung. Divison der ersten drei Gleichungen durch die vierte liefert:
v′x =vx +V
1+ vxV
c2
, v′y =vy
γ(1+ vxV
c2 ), vz =
vz
γ(1+ vxV
c2 ).
Spezialfall: vx = v, vy = vz = 0:
v′ =v+V
1+ vVc2
.
Die nach dieser Formel berechnete Summe zweier Geschwindigkeiten ist immer kleiner als c.
2.6 Die Vierergeschwindigkeit
Die Vierergeschwindigkeit eines Teilchens ist der Vektor
uµ =dxµ
ds
Um die Komponenten zu finden erinnern wir uns, daß
ds = cdt
√
1− v2
c2,
wobei v die gewöhnliche dreidimensionale Geschwindigkeit des Teilchens ist. Daher
u1 =dx1
ds=
dx1
cdt
√
1− v2
c2
=vx
c
√
1− v2
c2
.
Ergebnis:
uµ =
1
√
1− v2
c2
,~v
c
√
1− v2
c2
.
Die Komponenten von uµ sind nicht unabhängig sondern erfüllen die Relation
uµuµ = 1.
Die Vierergeschwindigkeit läßt sich daher geometrisch als Einheitsvektor auffassen, der die Welt-linie des Teilchens tangiert.
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2.7 Die Lorentzgruppe
Gruppenaxiome: Sei G eine nicht-leere Menge mit einer Verknüpfung. G ist eine Gruppe, fallsdie folgenden Axiome gelten:
• Assoziativgesetz: a · (b · c) = (a ·b) · c.
• Es gibt ein neutrales Element: e ·a = a.
• Es gibt zu jedem Element ein Inverses: a−1 ·a = e.
Beispiele: Matrixgruppen.
- GL(n,R), GL(n,C): Gruppe der nicht singulären n×n Matrizen: det M 6= 1
- SL(n,R), SL(n,C): det M = 1;
- O(n) : MMT = 1
- SO(n): MMT = 1 und det M = 1.
- U(n): MM† = 1.
- SU(n): MM† = 1 und det M = 1.
Definition der Lorentzgruppe: Matrixgruppe, welche den metrischen Tensor gµν = diag(1,−1,−1,−1)invariant läßt:
ΛT gΛ = g,
oder, etwas ausführlicher mit Indizes:
ΛµσgµνΛν
τ = gστ.
Diese Gruppe wird auch mit O(1,3) bezeichnet. Wie leicht zu sehen ist, gilt
(det Λ)2 = 1,
und daher
det Λ = ±1.
Gilt zusätzlich det Λ = 1 bezeichnet man die Gruppe mit SO(1,3) und spricht von der eigentli-chen Lorentzgruppe.Eine weitere Unterscheidung ergibt sich dadurch, ob die Zeitrichtung erhalten bleibt oder umge-kehrt wird. Gilt
Λ00 ≥ 1,
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so ist die Zeitrichtung erhalten und man spricht von der orthochronen Lorentzgruppe. Gilt dage-gen
Λ00 ≤ −1,
so wird die Zeitrichtung umgekehrt. Bemerkung:
∣∣Λ0
0
∣∣ ≥ 1
folgt aus ΛµσgµνΛν
τ = gστ für σ = τ = 0:
(Λ0
0
)2 −3
∑j=1
(
Λj0
)2= 1.
Zusammenfassend läßt sich sagen, daß die Lorentzgruppe aus vier Komponenten besteht, jenach-dem welche Werte
det Λ und Λ00
annehmen. Hiervon ist die “eigentliche orthochrone Lorentzgruppe”, definiert durch
ΛµσgµνΛν
τ = gστ, det Λ = 1, Λ00 ≥ 1,
am interessantesten. Die drei anderen Komponenten lassen sich durch ein Element der eigentli-chen orthochronen Lorentzgruppe und den beiden diskreten Transformationen der Zeitumkehr
Λµ
ν =
−1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
und der Raumspiegelung
Λµ
ν =
1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1
darstellen.
Die Poincarégruppe: Die Poincarégruppe besteht aus den Elementen der Lorentzgruppe und denTranslationen. Die Koordinaten transformieren sich wie folgt
x′µ = Λµ
νxν +bµ.
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2.8 Tensoren im Minkowski-Raum
Sei V ein Vektorraum und G eine Gruppe. Man sagt, G wirkt auf V , falls eine Abbildung gegebenist,
G×V →V
die
g1 (g2v) = (g1g2)v
erfüllt. In diesem Fall nennt man V eine Darstellung von G.
Beispiel 1: Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum und G = GL(n,R). Die Abbildung G×V →V
ist durch die Multiplikation einer Matrix mit einem Spaltenvektor gegeben:
v′i =n
∑j=1
Mi jv j
Beispiel 2: Sei V der Minkowskiraum und G die Lorentzgruppe.
x′µ = Λµνxν, (Einsteinsche Summenkonvention)
Beispiel 3: Sei V ein n2-dimensionaler Vektorraum und G =GL(n,R). Elemente aus V schreibenwir als vi j mit 1 ≤ i, j ≤ n. G wirkt auf V wie folgt:
v′i j =n
∑k=1
n
∑l=1
MikM jlvkl
Man nennt vi j einen Tensor zweiter Stufe.
Beispiel 4: Sei V ein 16-dimensionaler Raum und G die Lorenzgruppe.
T ′µν= Λ
µρΛν
σT ρσ
T µν ist ein Tensor zweiter Stufe.
Beispiel 5: Sei V ein 64-dimensionaler Raum und G die Lorentzgruppe.
T ′µνρ= Λ
µσΛν
κΛρλT σκλ
T µνρ ist ein Tensor dritter Stufe.
Allgemein: Ein Tensor ist ein Element eines Vektorraums, auf den eine Gruppenwirkung ge-geben ist. Die Anzahl der Kopien des Gruppenelements, die zur Definition der Gruppenwirkungbenötigt werden, bezeichnet man als Rang des Tensors.
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Pseudotensoren verhalten sich bei allen Transformationen, die sich auf Drehungen zurückführenlassen, wie Tensoren. Sie verhalten sich allerdings anders bei Spiegelungen (Raumspiegelung,Zeitumkehr), d.h. Transformationen, die sich nicht auf Drehungen zurückführen lassen: Hier un-terscheiden sie sich von den Tensoren um ein Minuszeichen.
Pseudotensoren nullter Stufe nennt man Pseudoskalare. Pseudotensoren erster Stufe nennt manauch axiale Vektoren.
In der speziellen Relativitätstheorie unterscheiden wir außerdem zwischen oberen und unterenIndizes (kontravariante und kovariante Komponenten). Der Zusammenhang ist wieder durch denmetrischen Tensor gegeben:
Tµν = gνρT µρ, Tµν = gµρgνσT ρσ
Tensoren mit bestimmten Symmetrieeigenschaften: Ein Tensor heißt symmetrisch falls gilt
Sµν = Sνµ
Ein Tensor heißt antisymmetrisch, falls
Aµν = −Aνµ
gilt. Insbesondere gilt für einen antisymmetrischen Tensor zweiter Stufe A00 = A11 = A22 =A33 = 0.
Beispiele für Tensoren in der speziellen Relativitätstheorie:
Rang 1: Ortsvektor xµ, Impulsvektor pµ.
Rang 2: Metrischer Tensor gµν.
Rang 4: Total antisymmetrischer Tensor (Levi-Civita-Tensor) εµνρσ. Der total antisymmetri-scher Tensor ist definiert durch
ε0123 = 1,
εµνρσ = 1 falls (µ,ν,ρ,σ eine gerade Permutation von (0,1,2,3) ist,
εµνρσ = −1 falls (µ,ν,ρ,σ eine ungerade Permutation von (0,1,2,3) ist,
εµνρσ = 0 sonst.
Der total antisymmetrische Tensor ist ein Pseudotensor, er ändert bei Raumspiegelung und Zeit-umkehr seine Komponenten nicht.
Duale Tensoren: Sei Fµν ein antisymmetrischer Tensor zweiter Stufe. Der Pseudotensor
Fµν =1
2εµνρσFρσ
16
heißt der zu Fµν duale Tensor.
Analog gilf für einen Vektor Aµ: Der Tensor dritter Stufe
Aµνρ = εµνρσAσ
heißt der zum Vektor Aµ duale Tensor.
2.9 Die relativistische Mechanik
Die wichtigsten Elemente der klassische Mechanik: Im Lagrangeformalismus betrachtet manverallgemeinerte Koordinaten qi(t) und die zugehörigen Geschwindigkeiten qi(t) =
∂∂t
qi(t).Lagrangefunktion
L(qi, qi)
Wirkung:
S [qi(t)] =
tb∫
ta
dt L(qi, qi)
Prinzip der kleinsten Wirkung: Ein Teilchen bewegt sich so, daß das Wirkungsintegral ein Extre-mum annimmt.
Wirkungsintegral für freie Materieteilchen:- muß invariant bezüglich Lorentztransformationen sein.- nur Differentiale erster Ordnung.
Die Wirkung für ein freies Teilchen hat daher die Gestalt
S = −α
b∫
a
ds
Das Integral ist längs einer Weltlinie zwischen den Ereignissen a und b zu nehmen. Damit S einMinimum hat muß α > 0 gelten. Begründung: Für eine ruhende Uhr ist ds = cdt.Wir schreiben auch
S =
tb∫
ta
L dt,
wobei L als Lagrange-Funktion bezeichnet wird. Mit
ds = cdt
√
1− v2
c2
17
erhalten wir
L = −αc
√
1− v2
c2 .
Im klassischen Grenzfall muß gelten:
limc→∞
L = const+1
2mv2.
Wir entwickeln L:
L = −αc
√
1− v2
c2 ≈−αc+αv2
2c
Daher α = mc und
S =−mc2
tb∫
ta
dt
√
1− v2
c2, L =−mc2
√
1− v2
c2.
Der Impuls eines Teilchens ist der Vektor
~p =∂L
∂~v=
m~v√
1− v2
c2
mit ~v = ~x,
(
zur Erinnerung : pi =∂L
∂qi
)
.
Die Energie eines Teilchens ist die Größe
E = ~p~v−L, (zur Erinnerung : E = piqi −L) ,
=m~v
√
1− v2
c2
~v+mc2
√
1− v2
c2 =m
√
1− v2
c2
(v2 + c2 − v2
)=
mc2
√
1− v2
c2
,
Für kleine Geschwindigkeiten erhält man
E ≈ mc2 +1
2mv2.
mc2 bezeichnet man als Ruheenergie.
Herleitung der Bewegungsgleichung für ein freies Teilchen in Vierer-Schreibweise: Ausgangs-punkt:
S = −mc
b∫
a
ds
18
Variation der Koordinaten:
xµ → xµ +δxµ
Variationsprinzip:
δ
δxµ(t)S [xµ(t)] = 0.
Nebenrechnung:
δ
δxµds =
δ
δxµ
√
dxνdxν =1
2√
ds22dxν
δ
δxµdxν = uν
δ
δxµdxν
und somit
δds = uνδdxν
Weiter
δS = −mc
b∫
a
δds =−mc
b∫
a
uνδdxν =−mc
b∫
a
uνdδxν
dsds
= −mc uνδxν|ba +mc
b∫
a
(d
dsuν
)
δxνds
Daraus folgt:
d
dsuν = 0,
d.h. die kräftefreie Bewegung eines Teilchens erfolgt mit konstanter Vierergeschwindigkeit.
Definition des kontravarianten Impulsvierervektors:
pµ = (E/c,~p) =
mc
√
1− v2
c2
,m~v
√
1− v2
c2
Bemerkung: p2 ist invariant.
19
3 Elektrodynamik
3.1 Die Maxwell’schen Gleichungen
Die Maxwell’schen Gleichungen:
~∇ ·~B(t,~x) = 0,
~∇×~E(t,~x)+1
c
∂
∂t~B(t,~x) = 0,
~∇ ·~E(t,~x) = 4πρ(t,~x),
~∇×~B(t,~x)− 1
c
∂
∂t~E(t,~x) =
4π
c~j(t,~x).
Potentiale:
~E(t,~x) = −~∇Φ(t,~x)− 1
c
∂
∂t~A(t,~x),
~B(t,~x) = ~∇×~A(t,~x).
Eichtransformation:
Φ′(t,~x) = Φ(t,~x)− 1
c
∂
∂tχ(t,~x),
~A′(t,~x) = ~A(t,~x)+~∇χ(t,~x),
Die Lorentz-Kraft:
~F(t,~x) = q
(
~E(t,~x)+~v
c×~B(t,~x)
)
.
Wir können die Elektrodynamik auch in kovarianter Form formulieren. Zur Erinnerung: Vierer-geschwindigkeit
uµ =dxµ
ds=
1
√
1− v2
c2
,~v
c
√
1− v2
c2
= γ
(
1,1
c~v
)
.
ds =c
γdt,
Viererbeschleunigung:
wµ =duµ
ds
Newton’s Gesetz F = ma in relativistischer Verallgemeinerung:
mc2 d
dsuµ = Kµ.
20
Kontraktion mit uµ liefert:
mc2uµd
dsuµ =
1
2mc2 d
dsu2︸︷︷︸
1
= 0,
und daher
Kµuµ = 0.
Für die räumlichen Komponenten gilt:
~K = γ~F
Angewandt auf die Lorentzkraft:
mc2 d
ds~u = mc2 d
ds
(
γ~v
c
)
= qγ
(
~E +~v
c×~B
)
.
Für die zeitliche Komponente gilt
uµKµ = γK0 − γ
c~v~K = 0,
K0 =1
c~v~K,
und daher
mc2 d
dsu0 = mc2 d
dsγ =
1
cqγ~E~v.
Somit:
mc2 d
ds(γ) = γq~E ·~v
c,
mc2 d
ds
(
γ~v
c
)
= γq
(
~E +~v
c×~B
)
.
Die linke Seite lautet kovariant geschrieben
mc2 d
dsuµ
Setzt man nun
Fµν =
0 −Ex −Ey −Ez
Ex 0 −Bz By
Ey Bz 0 −Bx
Ez −By Bx 0
21
so ist
Fµνuν =
0 −Ex −Ey −Ez
Ex 0 −Bz By
Ey Bz 0 −Bx
Ez −By Bx 0
γ
−γ vx
c
−γ vy
c
−γ vz
c
=
γ~E~vc
γEx + γc(vyBz − vzBy)
γEy + γc(vzBx − vxBz)
γEz + γc(vxBy − vyBx)
= γ
(~E~v
c~E + ~v
c×~B
)
.
Daher kann man schreiben
mc2 d
dsuµ = qFµνuν
Die linke Seite transformiert sich wie ein kontravarianter Vektor unter der Lorentzgruppe, uν
transformiert wie ein kovarianter Vektor, daher muß sich Fµν wie ein Tensor zweiter Stufe trans-formieren:
F ′µν= Λ
µρΛν
σFρσ
Fµν nennt man den Feldstärketensor. Die elektrischen und magnetischen Felder erhält man ausFµν durch
E i = F i 0 =−F0 i,
Bi = −1
2
3
∑j,k=1
εi jkF jk.
Bemerkung: Fµν ist anti-symmetrisch:
Fµν = −Fνµ.
Zusammenfassung der kovarianten Formulierung:
Definition des Feldstärketensors:
Fµν =
0 −Ex −Ey −Ez
Ex 0 −Bz By
Ey Bz 0 −Bx
Ez −By Bx 0
Maxwell’sche Gleichungen:
∂λFµν +∂µFνλ +∂νFλµ = 0,
∂µFµν =4π
cjν,
22
wobei jµ = (cρ,~j).Bemerkung: Mit Hilfe des anti-symmetrischen Tensors εµνρσ und wegen der Antisymmetrie vonFµν kann die erste Gleichung auch als
εµνρσ∂νFρσ = 0
geschrieben werden.
Lorentz-Kraft:
mc2 d
dsuµ = qFµνuν
Vierer-Potential:
Aµ =(
Φ,~A)
Fµν = ∂µAν −∂νAµ.
Die inhomogenen Maxwell’schen Gleichungen:
Aν −∂ν∂µAµ =4π
cjν.
Lorenz-Eichung:
∂µAµ = 0
Die inhomogenen Maxwell’schen Gleichungen in der Lorenz-Eichung:
Aν =4π
cjν.
3.2 Die Lagrangedichte für die Wechselwirkung zwischen Teilchen undelektromagnetischen Feldern
Zur Erinnerung: Die Wirkung eines freien relativistischen Teilchens:
STeilchen = −mc
b∫
a
ds
Für die Wechselwirkung zwischen einem Teilchen und dem elektromagnetischen Feld setzen wir
SWW = −q
c
b∫
a
dxµ Aµ(x).
23
Für ein Teilchen müssen wir
STeilchen +SWW = −mc
b∫
a
ds− q
c
b∫
a
dxµ Aµ(x)
betrachten. Variation der Koordinaten:
xµ → xµ +δxµ
Variationsprinzip:
δ(STeilchen +SWW ) = 0.
Zur Erinnerung
δds = uνdδxν
Des weiteren ist
δ(Aµdxµ
)= Aµdδxµ +
(δAµ
)dxµ
und
δAµ = Aµ(x+δx)−Aµ(x) =(∂νAµ
)δxν.
Somit
δ(STeilchen +SWW ) = −mc
b∫
a
δds− q
c
b∫
a
δ(dxµ Aµ(x))
= −mc
b∫
a
uνdδxν − q
c
b∫
a
Aµdδxµ − q
c
b∫
a
(δAµ
)dxµ
= mc
b∫
a
(d
dsuν
)
δxνds− q
c
b∫
a
Aµdδxµ − q
c
b∫
a
(∂νAµ
)dxµδxν
Nun ist
b∫
a
(∂νAµ
)dxµδxν =
b∫
a
(∂νAµ
)uµδxνds,
b∫
a
Aµdδxµ =
b∫
a
Aµd
dsδxµds =−
b∫
a
(d
dsAµ
)
δxµds =−b∫
a
∂Aµ
∂xν
∂xν
dsδxµds
= −b∫
a
∂νAµuνδxµds =−b∫
a
∂µAνuµδxνds
24
und somit
δ(STeilchen +SWW ) =
b∫
a
(
mcd
dsuν +
q
c∂µAνuµ − q
c∂νAµuµ
)
δxνds
=
b∫
a
(
mcd
dsuν +
q
cFµνuµ
)
δxνds
Somit muss gelten
mcd
dsuν +
q
cFµνuµ = 0,
und daher
mc2 d
dsuµ = qFµνuν.
3.3 Die Lagrangedichte der Elektrodynamik
Für die Wirkung der Elektrodynamik machen wir den Ansatz, daß sie aus einem Term, der “freie”Felder beschreibt und einem Term, der die Wechselwirkung mit der Materie beschreiben soll,besteht.
S = SFelder +SWW
Für die Konstruktion von SWW können wir den Ausdruck für eine Punktladung auf allgemeineLadungsverteilungen verallgemeinern:
SWW,Punktladung = −q
c
b∫
a
dxµ Aµ(x).
Die Ladungs- und die Stromdichte einer Punktladung mit Bahnkurve~x′(t) sind:
ρ(t,~x) = qδ3(~x−~x′(t)),~j(t,~x) = q~v(t)δ3(~x−~x′(t)).
Somit ist
jµ(x) =(
cρ,~j)
= qc
∫ds uµ δ4 (x− x′(s)
)
SWW = −∑i
qi
c
b∫
a
dxµ Aµ(x)
→ − 1
c2
∫d3x cρ(x)
∫ds
dxµ
dsAµ(x) =− 1
c2
∫d4xcρ(x)
dxµ
ds︸ ︷︷ ︸
jµ(x)
Aµ(x)
Für die Konstruktion von SFelder sollen die folgenden Forderungen erfüllt sein:
25
• Lorentz-Invarianz.
• Superpositionprinzip, d.h. das Ziel sind lineare Differentialgleichungen. Daher sollte derIntegrand von SFelder quadratisch in den Feldkomponenten sein
• Physikalisch eindeutig, d.h. eichinvariant. Daher sollte der Integrand durch Fµν und nichtdurch Aµ gegeben sein.
Der einfachste Ansatz ist
SFelder = − 1
16πc
∫d4xFµνFµν
Betrachten wir also nun
SFelder +SWW = − 1
16πc
∫d4xFµν(x)F
µν(x)− 1
c2
∫d4x jµ(x)Aµ(x)
Mit Fµν = ∂µAν−∂νAµ erhalten wir
SFelder +SWW =
∫d4x
[
− 1
8πc
(∂µAν
)(∂µAν)+
1
8πc
(∂µAν
)(∂νAµ)− 1
c2 jµ(x)Aµ(x)
]
Die Lagrangedichte lautet
L = − 1
8π
(∂µAν
)(∂µAν)+
1
8π
(∂µAν
)(∂νAµ)− 1
cjµ(x)Aµ(x)
Die Euler-Lagrange-Gleichungen lauten
∂L
∂Aν−∂µ
∂L
∂(∂µAν
) = 0.
Somit
−1
cjν(x)+
1
4π∂µ (∂
µAν)− 1
4π∂µ (∂
νAµ) = 0,
1
4π∂µFµν =
1
cjν(x),
∂µFµν =4π
cjν(x).
26
4 Erhaltungssätze
4.1 Noether’sche Erhaltungsgrößen
Wir betrachten das Funktional
I [ψ] =
∫
Σ
d4x L(ψ(x),∂µψ(x)
)
Wir betrachten zunächst eine Transformation, die L strikt invariant läßt. Diese Transformationsei gegeben durch
ψ(x) → ψ′(x) = hα(ψ(x)),
mit
h0(ψ(x)) = ψ(x).
Für α nahe bei Null gilt
δψ = ψ′−ψ = αd
dαhα(ψ(x))
∣∣∣∣α=0
.
Für die Variation der Lagrangedichte ergibt sich
δL =∂L
∂ψδψ+
∂L
∂(∂µψ
)∂µδψ
=∂L
∂ψδψ+∂µ
(
∂L
∂(∂µψ
)δψ
)
−∂µ
(
∂L
∂(∂µψ
)
)
δψ
=
[
∂L
∂ψ−∂µ
∂L
∂(∂µψ
)
]
δψ+∂µ
(
∂L
∂(∂µψ
)δψ
)
Falls ψ eine Lösung der Euler-Lagrange-Gleichungen ist, so verschwindet der erste Term. Istdie Lagrangedichte invariant unter der Transformation hα, so folgt, daß auch der zweite Termverschwindet, also
∂µJµ(x) = 0,
wobei der erhaltene Strom durch
Jµ(x) =∂L
∂(∂µψ
)δψ
gegeben ist.
27
Wir können das Noethertheorem auf Transformationen erweitern, die die Lagrangedichte bisauf Eichterme invariant lassen, d.h. Situationen in denen
L(A′
µ,∂µA′ν
)= L
(Aµ,∂µAν
)+
1
cjµ(x)∂µΛ(x)
anstelle von
L(A′
µ,∂µA′ν
)= L
(Aµ,∂µAν
)
gilt. Falls ∂µ jµ = 0 gilt, kann man jµ(x)∂µΛ(x) durch
∂µ ( jµ(x)Λ(x))
ersetzten. Der Zusatzterm ist dann eine Divergenz und gibt im Wirkungsintegral nur einen Ober-flächenterm. Da dort die Variation der Felder verschwinden soll, ändert er nichts.
4.2 Translationsinvarianz und der Energie-Impuls-Tensor
Wir betrachten wieder die Lagrangedichte
L(ψ(x),∂µψ(x)
),
die nicht explizit von x abhängt. Unter Translationen
xµ′ → xµ +αcµ,
gilt
ψ(x) → ψ′(x′) = ψ(x+αc) = ψ(x)+δψ(x),
δψ = ψ′−ψ = αd
dαψ(x+αc)
∣∣∣∣α=0
= αcµ∂µψ(x).
Es gilt weiter
δL = L(ψ′(x′),∂µψ′(x′)
)−L
(ψ(x),∂µψ(x)
)= αcµ∂µ
L (ψ(x),∂νψ(x))
Somit ist
δL = ∂µ
(
∂L
∂(∂µψ
)δψ
)
= ∂µ
(
∂L
∂(∂µψ
)αcµ∂µψ(x)
)
Daher folgt
αcν∂νL −∂µ
(
∂L
∂(∂µψ
)αcν∂νψ(x)
)
= 0,
αcν
[
gνµ∂µL −∂µ
(
∂L
∂(∂µψ
)∂νψ(x)
)]
= 0,
αcν∂µ
[
gνµL −
(
∂L
∂(∂µψ
)∂νψ(x)
)]
= 0,
28
Man nennt das Tensorfeld
T µν =
(
∂L
∂(∂µψ
)∂νψ(x)
)
−gµνL
den kanonischen Energie-Impuls-Tensor. T µν erfüllt die vier Erhaltungssätze
∂µT µν = 0.
Bemerkung: Treten mehrere Felder ψ(i) auf, so wird über alle Felder summiert:
T µν =N
∑i=1
(
∂L
∂(∂µψ(i)
)∂νψ(i)(x)
)
−gµνL
Bemerkung: Addiert man zu T µν einen Term
∂ρBµρν,
wobei Bµρν antisymmetrisch in µ und ρ ist,
Bρµν = −Bµρν,
so gilt ebenfalls
∂µ
(T µν +∂ρBµρν
)= 0.
Der kanonische Energie-Impuls-Tensor gibt also noch keine eindeutige Erhaltungsgröße. ZurEindeutigkeit betrachten wir den Drehimpuls. Vorbemerkung: Die relativistische Verallgemeine-rung des Drehimpulses
~M = ~x×~p
ist durch
Mµν =1
2(xµ pν − xν pµ)
gegeben. An T µν stellt man nun die Zusatzforderung, daß mit der Definition der Drehimpuls-dichte
Mµνρ = T µνxρ −T µρxν
gilt:
∂µMµνρ = 0.
Dies bedeutet
∂µMµνρ = ∂µ (Tµνxρ −T µρxν) =
(∂µT µν
)xρ +T ρν −
(∂µT µρ
)xν −T νρ
= T ρν −T νρ = 0.
Also
T µν = T νµ,
d.h. der Energie-Impuls-Tensor muß symmetrisch sein.
29
4.3 Der Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes
Wir betrachten des elektromagnetische Feld ohne äußere Quellen:
L(Aµ,∂µAν
)= − 1
16πFµνFµν
Wir finden(
∂L
∂(∂µAτ
)∂νAτ
)
−gµνL = − 1
4π(∂µAτ)(∂νAτ)+
1
4π(∂τAν)(∂νAτ)+
1
16πgµνFρσFρσ
=1
4π
[
Fµτ(x)F ντ (x)+
1
4gµνFρσFρσ
]
− 1
4πFµτ∂τAν.
Nun ist allerdings, da wir keine äußeren Quellen betrachten
∂µFµν = 0,
und daher
− 1
4πFµτ∂τAν = − 1
4π∂τ (F
µτAν) .
Dieser Term stellt also einen Oberflächenterm dar. Der symmetrische Energie-Impuls-Tensor deselektromagnetischen Feldes lautet:
T µν =1
4π
[
Fµτ(x)F ντ (x)+
1
4gµνFρσFρσ
]
.
Für die expliziten Einträge erhält man
T 00 =1
8π
(
~E2 +~B2)
= u(t,~x),
T i0 =1
4π
(
~E ×~B)i
=1
cSi(t,~x),
T i j = − 1
4π
[
~E i~E j +~Bi~B j − 1
2δi j(
~E2 +~B2)]
.
u(t,~x) die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes. Den Vektor~S bezeichnet man als Poyn-ting’scher Vektor. Er beschreibt die Impulsdichte bzw. die Flußdichte der Energie. Die rein räum-lichen Komponenten bezeichnet man als Maxwell’scher Spannungstensor.
30
Zusammenfassung der letzten Vorlesung
δL =
[
∂L
∂ψ−∂µ
∂L
∂(∂µψ
)
]
δψ+∂µ
(
∂L
∂(∂µψ
)δψ
)
1. Fall:- ψ erfüllt die Euler-Lagrange-Gleichungen.- L ist strikt invariant unter Symmetrietransformationen.Dann: Noetherstrom
Jµ(x) =∂L
∂(∂µψ
)δψ
ist erhalten:
∂µJµ(x) = 0,
2. Fall:- ψ erfüllt die Euler-Lagrange-Gleichungen.- L ist invariant unter Symmetrietransformationen bis auf Eichterme.Dann: Noetherstrom ist ebenfalls erhalten.
3. Fall:- ψ erfüllt die Euler-Lagrange-Gleichungen.- L hängt nicht explizit von xµ ab.Dann: Erhaltungssatz für den kanonischen Energie-Impuls-Tensor
T µν =
(
∂L
∂(∂µψ
)∂νψ(x)
)
−gµνL ,
∂µT µν = 0.
T µν eindeutig bis auf
T µν → T µν +∂ρBµρν, Bρµν =−Bµρν,
Zusatzforderung: T µν ist symmetrisch:
T µν = T νµ.
Energie-Impuls-Tensors des elektro-magnetischen Feldes:
T µν =1
4π
[
Fµτ(x)F ντ (x)+
1
4gµνFρσFρσ
]
.
31
5 Riemann’sche und semi-Riemann’sche Geometrie
5.1 Mannigfaltigkeiten
Ein topologischer Raum ist eine Menge M zusammen mit einer Familie T von Untermengenvon M, so daß die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
1. /0 ∈ T , M ∈ T
2. U1,U2 ∈ T ⇒U1 ∩U2 ∈ T
3. Für jede Indexmenge A gilt Uα ∈ T ;α ∈ A ⇒ ⋃α∈A
Uα ∈ T
Die Mengen U ∈ T nennt man offene Mengen.
Einen topologischen Raum bezeichnet man als Hausdorff-Raum, falls es zu jedem Paar ver-schiedener Punkte p1, p2 ∈M offene Mengen U1,U2 ∈ T gibt, so daß die folgenden Bedingungenerfüllt sind:
p1 ∈U1, p2 ∈U2, U1 ∩U2 = /0.
Eine Abbildung zwischen topologischen Räumen nennt man stetig falls das Urbild jeder offenenMenge wieder offen ist.
Eine bijektive Abbildung, welche stetig in beiden Richtungen ist, bezeichnet man als Homeo-morphismus.
Eine offene Karte von M ist ein Paar (U,ϕ), wobei U eine offene Untermenge von M und ϕein Homeomorphismus von U auf eine offene Untermenge von R
n ist.
Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension n ist ein Hausdorff-Raum mit einer Fa-milie offener Karten (Uα,ϕα)α∈A, so daß
M1:
M =⋃
α∈A
Uα.
M2: Für jedes Paar α,β ∈ A ist die Abbildung ϕβ ϕ−1α eine beliebig oft differenzierbare Ab-
bildung von ϕα
(Uα∩Uβ
)auf ϕβ
(Uα∩Uβ
).
Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit wird auch oft als C∞ Mannigfaltigkeit bezeichnet. Dawir uns nur mit differenzierbaren Mannigfaltigkeiten beschäftigen werden, werden wir oft dieBezeichnung “differenzierbar” weglassen und daher einfach und kurz von Mannigfaltigkeitensprechen.
32
Die Familie offener Karten (Uα,ϕα)α∈A bezeichnet man als Atlas.
Für p ∈Uα und
ϕα(p) = (x1(p), ...,xn(p)) ,
bezeichnet man die Menge Uα als die Koordinatenumgebung von p. Die Zahlen xi(p) bezeich-net man als die lokalen Koordinaten von p.
Bemerkung: M schaut lokal in jeder Koordinatenumgebung wie der Rn aus, doch gilt dies nichtglobal.
Seien M und N zwei Mannigfaltigkeiten der Dimension m und n. Wir bezeichnen mit xi dieKoordinaten von M und mit y j die Koordinaten von N. Eine Abbildung f : M → N zwischenzwei Mannigfaltigkeiten bezeichnet man als analytisch, falls es zu jedem Punkt p ∈ M eineUmgebung U von p und n Potenzreihen Pj, j = 1, ...,n gibt, so daß
y j( f (q)) = Pj (x1(q)− x1(p), ...,xm(q)− xm(p))
für alle q ∈U gilt.
Als eine analytische Mannigfaltigkeit bezeichnet man eine Mannigfaltigkeit, bei der die Ab-bildung ϕβ ϕ−1
α analytisch ist.
Beispiele
a) Rn: Der Raum Rn ist eine Mannigfaltigkeit. Rn kann mit einer einzigen Karte überdeckt wer-den.
b) S1: Die Kreislinie
S1 = ~x ∈ R2||~x|2 = 1
ist eine Mannigfaltigkeit. Für einen Atlas benötigt man mindestens zwei Karten.
c) Sn: Die n-Sphäre, definiert durch
Sn = ~x ∈ Rn+1||~x|2 = 1
d) Pn(R): Der projektive Raum definiert als alle Linien durch den Ursprung im Rn+1:
(x0,x1, ...,xn) = λ(x′0,x′1, ...,x
′n), λ 6= 0.
e) Die Menge aller Rotationsmatrizen in zwei Dimensionen:(
cosϕ −sinϕsinϕ cosϕ
)
,
33
Die Menge all dieser Matrizen bildet eine Mannigfaltigkeit, die homeomorph zur Kreislinie S1
ist.
f) Allgemeiner sind alle Liegruppen per Definition analytische Mannigfaltigkeiten.
Gegenbeispiele
Zum besseren Verständniss der Definition einer Mannigfaltigkeit seien einige Beispiele ange-führt, die keine Mannigfaltigkeiten sind:
a) Eine ein-dimensionale Linie vereinigt mit einer zwei-dimensionalen Fläche, wie zum Beispieldurch
x3(x2
1 + x22
)= 0
definiert. Die so definierte Punktmenge ist an einigen Punkten homeomorph zu R, an anderenPunkten homeomorph zu R
2. In der Definition einer Mannigfaltigkeit wird aber verlangt, daßdie Menge an allen Punkten homeomorph zu Rn für ein festes n ist.
b) Der Kegel
x21 + x2
2 − x23 = 0.
Die Umgebung des Punktes (0,0,0) läßt sich nicht homoemorph auf den R2 abbilden.
c) Ein einzelnes Kegelsegment
x21 + x2
2 − x23 = 0, x3 ≥ 0.
Hier läßt sich zwar eine Umgebung des Punktes (0,0,0) stetig auf den R2 abbilden, aber nichtdifferenzierbar.
d) Das Liniensegment
[0,1]
Hier gibt es zu den Endpunkten keine offene Umgebungen.
Morphismen
Noch einmal zur Übersicht die verschiedenen Morphismen, die wir bisher definiert haben:
Homeomorphismus: Eine Abbildung f : M → N von einer Mannigfaltigkeit M nach einerMannigfaltigkeit N bezeichnet man als Homeomorphismus, falls sie bijektiv ist und sowohlf : M → N als auch die Umkehrabbildung f−1 : N → M stetig sind.
34
Diffeomorphismus: Eine Abbildung f : M → N bezeichnet man als Diffeomorphismus, fallsdie Abbildung eine Homeomorphismus ist und sowohl f als auch f−1 beliebig oft differenzier-bar sind.
Analytischer Diffeomorphismus: In diesem Fall ist die Abbildung f : M → N ein Diffeomor-phismus und analytisch.
5.2 Differentialformen und Integration auf Mannigfaltigkeiten
Vorbemerkungen: Wir möchten nun Integrale auf Mannigfaltigkeiten definieren. Diese sollenzum Beispiel Volumenintegrale wie
∫
M
d4x L(x)
über den Euklidischen Raum oder Minkowski-Raum verallgemeinern, aber auch Linienintegralewie sie zum Beispiel in
−mc
b∫
a
ds
auftraten. Betrachten wir zunächst ein-dimensionale Integrale, welche wir durch einen Grenz-wertprozeß definieren können:
∫
R
dx f (x) = lim∑j
f (x j)∆x j
Ebenso zwei-dimensionale Integrale:∫
R2
dx dy g(x,y) = lim∑j∑k
g(x j,yk)∆x j∆yk
Bemerkung: Das Vorzeichen des letzten Beispiels ist von der gewählten Orientierung abhängig.
Anstelle der Funktionen f (x) und g(x,y) werden wir nun neue Objekte
f (x) dx, g(x,y) dx∧dy
einführen, die über ein Gebiet der entsprechenden Dimension integriert werden können, einfüh-ren. Der Grund hierfür sind die übersichtlicheren Transformationseigenschaften.
35
Tangentialvektoren
Sei I ⊂ R ein Intervall und γ : I → M ⊂ Rn eine differenzierbare Abbildung. Man bezeichnet
d
dtγ(t)
∣∣∣∣t0
∈ Rn
als Tangentialvektor an M im Punkte γ(t0). Die Gesamtheit aller Tangentialvektoren an M imPunkte p wird mit TpM bezeichnet. Die Dimension des Tangentialraumes ist gleich der Dimen-sion der Mannigfaltigkeit.
Wir bezeichnen mit T ∗p M den dualen Vektorraum von TpM, d.h. die Menge aller Linearformen
φ : TpM → R.
Die Elemente von φ ∈ T ∗p M heißen auch Kotangentialvektoren.
Ein Vektorfeld ist eine Abbbildung
X : M →Rn
X ordnet jedem Punkt p ∈ M einen Tangentialvektor X(p) ∈ Rn zu.
Differentialformen erster Ordnung
Eine Differentialform erster Ordnung ist eine Abbildung
ω : M →⋃p
T ∗p M
mit ω(p) ∈ T ∗p M. Die Differentialform ω ordnet also jedem Punkt p ∈ M einen Kotangential-
vektor ω(p) ∈ T ∗p M zu. Wir bezeichnen den Wert von ω(p) auf dem Tangentialvektor v ∈ TpM
mit
〈ω(p),v〉
Definition: Sei U ⊂ Rn und f : U → R eine differenzierbare Funktion. Unter dem totalen Diffe-rential d f von f versteht man eine Differentialform, für die
〈d f (p),v〉 =n
∑i=1
∂ f (p)
∂xivi
für alle Tangentialvektoren v = viei gilt.
Mit Hilfe der Koordinatenfunktionen
xi : Rn →R,(y1, ...,yn)→ yi
36
lassen sich nun die Differentiale
dx1, ...,dxn
definieren. Es gilt
⟨dxi,e j
⟩= δi j.
Die Kotangentialvektoren dx1(p), ..., dxn(p) bilden eine Basis von T ∗p M
Koordinatendarstellung: Jede Differentialform erster Ordnung läß sich schreiben als
ω =n
∑i=1
fi(x)dxi.
Kurvenintegrale: Sei γ : [a,b]→U eine Kurve. Dann wird das Integral von ω über γ definiert als
∫
γ
ω =
b∫
a
〈ω(γ(t)),γ′(t)〉dt.
Differentialformen höherer Ordnung
Wir haben bisher gesehen, daß Differentialformen erster Ordnung über Kurven integriert werdenkönnen. Wir möchten nun eine Verallgemeinerung, die eine Integration über höher dimensionaleGebiete erlaubt. Wir beginnen mit der Definition des Dachproduktes von Linearformen: Seienω1, ..., ωK ∈V ∗ Linearformen, also Abbildungen
ω j : V → R.
Dann wird die Abbildung
ω1 ∧ ...∧ωk : V k → R
definiert durch
(ω1 ∧ ...∧ωk)(v1, ...,vk) = det
〈ω1,v1〉 ... 〈ω1,vk〉... ... ...
〈ωk,v1〉 ... 〈ωk,vk〉
Eigenschaften des Dachproduktes:
• Das Dachprodukt ist linear in jedem Argument:
ω1 ∧ ...∧(aω′
i +bω′′i
)∧ ...∧ωk = a
(ω1 ∧ ...∧ω′
i ∧ ...∧ωk
)+b(ω1 ∧ ...∧ω′′
i ∧ ...∧ωk
)
37
• Das Dachprodukt ist alternierend:
ωσ(1)∧ ...∧ωσ(k) = sign(σ) ·ω1∧ ...∧ωk
Wir bezeichnen die Menge aller alternierenden linearen k-Formen auf V mit
∧kV ∗
Definition: Eine Differentialform der Ordnung k (oder kurz k-Form) ist eine Abbildung
ω : M →⋃p
∧kT ∗p M
mit ω(p) ∈ ∧kT ∗p M. Für k = 1 stimmt diese Definition mit der schon bekannten Definition für
Differentialformen erster Ordnung überein. Eine Differentialform nullter Ordnung ist eine reell-wertige Funktion.
Koordinatendarstellung von Differentialformen k-ter Ordnung:
ω =1
k! ∑i1,...,ik
fi1...ikdxi1 ∧ ...∧dxik
= ∑i1<...<ik
fi1...ikdxi1 ∧ ...∧dxik.
Abbleitungen von Differentialformen: Sei
ω = ∑i1<...<ik
fi1...ikdxi1 ∧ ...∧dxik.
eine k-Form. Dann bezeichnte dω die (k+1)-Form
dω = ∑i1<...<ik
d fi1...ik ∧dxi1 ∧ ...∧dxik.
Rechenregeln: Seien ω und ω′ zwei k-Formen und f eine Funktion. Dann sind die k-Formen f ωund ω+ω′ durch
( f ω)(p) = f (p)ω(p),(ω+ω′)(p) = ω(p)+ω′(p)
definiert. Sei weiter σ eine l-Form. Dann definiert man die (k+ l)-Form ω∧σ durch
(ω∧σ)(p) = ω(p)∧σ(p).
Bemerkung:
ω∧σ = (−1)klσ∧ω.
38
Weiter gilt:
d(aω+bω′) = adω+bdω′,
d (ω∧σ) = (dω)∧σ+(−1)kω∧ (dσ) ,
d (dω) = 0.
Zurückziehen von Differentialformen: Sei U ⊂ Rn und
ω =1
k! ∑ fi1...ikdxi1 ∧ ...∧dxik.
eine k-Form in U . Weiter sei eine offene Menge V ⊂ Rm und eine stetig differenzierbare Abbil-dung
ϕ = (ϕ1, ...,ϕn) : V →U
vorgegeben. Dann definiert man eine k-Form ϕ∗ω in V durch
ϕ∗ω =1
k! ∑( fi1...ik ϕ)dϕi1 ∧ ...∧dϕik.
Bemerkung: k-Formen können über k-dimensionale (Unter)-Mannigfaltigkeiten integriert wer-den. Sei M eine Mannigfaltigkeit der Dimension n, K eine Untermannigfaltigkeit der Dimensionk und A eine kompakte Teilmenge von K, ebenfalls mit der Dimension k. Sei ferner ω eine k-Form auf M und
ϕ : U → Rn
eine lokale Karte von M, so daß A ∈U . Dann haben wir
ϕ−1 : Rn →U
und man definiert nun∫
A
ω =
∫
ϕ(A)
(ϕ−1
)∗ω
Die Differentialform ω wird durch ϕ−1 auf eine offene Untermenge des Rn zurückgezogen. Diesführt die Integration auf Mannigfaltigkeiten auf die Integration im Rn zurück.
Beispiel: Im R3 sei die Differentialform
ω = 3x3dx2 ∧dx3 +(x21 + x2
2)dx3 ∧dx1 + x1x3dx1 ∧dx2
gegeben. Sei M die folgende zweidimensionale Untermannigfaltigkeit
M = (x1,x2,x3) ∈ R3 : x3 = x1x2
39
und A die folgende kompakte Teilmenge von M:
A = (x1,x2,x3) ∈ M : 0 ≤ x1 ≤ 1,0 ≤ x2 ≤ 1.
Wir möchten ∫
A
ω
berechnen. Wir wählen zunächst eine lokale Karte von M
ϕ−1 : R2 → M,
(y1,y2)→ (y1,y2,y1y2)
Die einzelnen Koordinatenabbildungen sind(ϕ−1)
1 = y1,(ϕ−1)
2 = y2,(ϕ−1)
3 = y1y2,
und daher
d(ϕ−1)
1 = dy1, d(ϕ−1)
2 = dy2, d(ϕ−1)
3 = y2dy1 + y1dy2.
Somit∫
A
ω =
∫
ϕ(A)
(ϕ−1
)∗ω =
=
∫
ϕ(A)
3y1y2dy2 ∧ (y2dy1 + y1dy2)+(y2
1 + y22
)(y2dy1 + y1dy2)∧dy1 + y1 (y1y2)dy1 ∧dy2
=∫
ϕ(A)
(y2
1y2 −4y1y22 − y3
1
)dy1 ∧dy2 =
1∫
0
dy1
1∫
0
dy2(y2
1y2 −4y1y22 − y3
1
)=−3
4.
Zum Abschluss betrachten wir noch Beispiele für Differentialformen, die in der Physik auftreten:
A = ie
~cAµ(x)dxµ,
definiert eine Eins-Form. Es ist außerdem
dA = d(
ie
~cAνdxν
)
= ie
~c∂µAνdxµ ∧dxν
= ie
~c
1
2
(∂µAν−∂νAµ
)dxµ ∧dxν.
Daher ist es naheliegend die Feldstärkezweiform als
F = dA = ie
~c
1
2Fµνdxµ ∧dxν
40
zu definieren.
Bemerkung zu den Vorfaktoren: Wir betrachten den folgenden Differentialoperator:
DA = d +A = d + ie
~cAµdxµ =− i
~
(
i~d − q
cAµdxµ
)
.
Nun entspricht i~∂µ in der Quantenmechanik dem Impulsoperator pµ, so daß in der Klammer dieVerallgemeinerung des Terms
(
~p− q
c~A)
steht.Wir berechnen noch DA ∧DA auf eine beliebige Form ω angewandt:
(DA DA)ω =(
d + ie
~cAµdxµ
)
(
d + ie
~cAνdxν
)
ω
= d(
ie
~cAµdxµ ∧ω
)
+ ie
~cAνdxν ∧dω−
( e
~c
)2AµAνdxµ ∧dxν ∧ω
= (dA)∧ω
Daher
DA = d +A,
D2A = dA+A∧A = dA = F.
DA bezeichnet man als kovariante Abbleitung, F als Krümmungsform.
5.3 Tensoren
In der speziellen Relativitätstheorie hatten wir bereits Tensoren definiert. Seien K und K′ zweiKoordinatensysteme, die durch eine Lorentztransformation verknüpft sind:
x′µ = Λµ
νxν.
Dann haben wir eine Größe T µ1...µr , die sich wie
T ′µ1...µr = Λµ1ν1...Λ
µ1ν1
T ν1...νr
transformiert, als Tensor r-Stufe bezeichnet. Der kontravariante Vierervektor xµ ist ein Tensorerster Stufe.
Wir verallgemeinern nun diese Definition auf Koordinatensysteme die durch eine beliebi-ge Transformation, welche nicht notwendigerweise eine Lorentztransformation ist, miteinanderverknüpft sind. Wir betrachten die Transformation eines Koordinatensystems x0, x1, x2, x3 in einanderes x′0, x′1, x′2, x′3:
x′µ = f µ(x0,x1,x2,x3).
41
Bei einer Koordinatentransformation transformieren sich die Differentiale der Koordinaten ge-mäß
dx′µ =∂x′µ
∂xνdxν.
Als kontravarianter Vierervektor wird jede Gesamtheit von vier Größen Aµ bezeichnet, die sichbei Koordinatentransformationen wie diese Differentiale verhalten:
A′µ =∂x′µ
∂xνAν.
Diese Definition ist mit der schon bekannten Definiton in der speziellen Relativitätstheorie ver-träglich: Sei
x′µ = f µ(x0,x1,x2,x3) = Λµ
νxν.
Dann ist
∂x′µ
∂xν=
∂ f µ(x0,x1,x2,x3)
∂xν= Λ
µν
und somit
x′µ = Λµ
νxν =∂x′µ
∂xνxν.
Es sei φ eine skalare Funktion. Die Ableitungen ∂φ/∂xµ transformieren sich bei dem Übergangzu einem anderen Koordinatensystem nach der Formel
∂φ
∂x′µ=
∂φ
∂xν
∂xν
∂x′µ.
Als kovarianter Vierervektor wird jede Gesamtheit von vier Größen Aµ bezeichnet, die sich beiKoordinatentransformationen wie die Ableitung eines Skalars verhalten:
A′µ =
∂xν
∂x′µAν
Ein Tangentialvektor läß sich in jedem Punkt als Linearkombination der Basisvektoren eµ dar-stellen:
V = V µeµ.
Man verwendet für die Basisvektoren auch die Schreibweise
∂µ = eµ.
(Es sollte aus dem Kontext ersichtlich sein, ob ∂µ eine partielle Ableitung oder einen Basisvektordes Tangentialraums bezeichnet.)
42
Ein Vektorfeld ordnet jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit einen Vektor zu. Dual zu einem Vek-torfeld sind Eins-Formen. Sie ordnen an jedem Punkt der Mannigfaltigkeit einem Vektor eine(reelle oder komplexe) Zahl zu. Als Basis für den Raum der Einsformen verwendet man dieDifferentiale dxµ:
ω = ωµdxµ.
Die Dualität zwischen Vektorfeldern und Einsformen impliziert
dxµ (∂ν) = δµν.
Ebenso können wir aufgrund der Dualität ein Vektorfeld, daß ursprünglich per Definition jedemPunkt der Mannigfaltigkeit einen Tangentialvektor zuordnet, uminterpretieren: Ein Vektorfeldordnet ebenso jedem Punkt der Mannigfaltigkeit eine Linearform zu, die einen Kotangentialvek-tor auf R abbildet.
Ein Tensorfeld mit r kontravarianten und s kovarianten Indizes bildet am Punkt x ∈ M r Einsfor-men und s Tangentialvektoren auf eine reelle Zahl ab.
(T rs )x : (T ∗
x M)r × (TxM)s → R,
ω1, ...,ωr,V1, ...,Vs → (T rs )x
(ω1, ...,ωr,V1, ...,Vs
).
Koordinatendarstellung:
tµ1,...,µrν1,...,νs
(x) = (T rs )x (dxµ1 , ...,dxµr ,∂ν1, ...,∂νs
) .
Basisdarstellung eines Tensorfeldes auf einer D-dimensionalen Mannigfaltigkeit (wobei die Ko-ordinaten von 0 bis D−1 durchnummeriert werden):
T rs =
D−1
∑µ1,...,µr=0
D−1
∑ν1,...,νs=0
tµ1,...,µrν1,...,νs
(x)(∂µ1 ⊗ ...⊗∂µr
)⊗ (dxν1 ⊗ ...⊗dxνs) .
Beispiel: Ein (0,2)-Tensorfeld ist gegeben durch
g =D−1
∑µ,ν=0
gµν(x)dxµ ⊗dxν.
Bemerkung: In einem allgemeinen (0,s)-Tensorfeld tritt das Tensorprodukt ⊗ und nicht dasDachprodukt ∧ auf. Differentialformen haben die zusätzliche Eigenschaft antisymmetrisch zusein und es ist
dxµ ∧dxν =1
2(dxµ ⊗dxν −dxν ⊗dxµ) .
43
5.4 Riemann’sche Mannigfaltigkeiten
Definition einer Riemann’schen Mannigfaltigkeit: Sei M eine differentierbare Mannigfaltigkeit.Eine Riemann’sche Metrik g auf M ist ein (0,2)-Tensorfeld auf M, daß für jeden Punkt x ∈ M
folgende Eigenschaften hat:
gx(U,V ) = gx(V,U)
gx(U,U) ≥ 0, Gleichheit gilt falls U = 0,
wobei U,V ∈ TxM und gx = g|x.Kurz gefasst beduetet dies, daß gx eine symmetrische positiv-definite Bilinearform ist.
Eine Metrik g nennt man semi-Riemann’sche Metrik, falls gilt
gx(U,V) = gx(V,U),
falls gx(U,V) = 0 für alle U ∈ TxM gilt, dann ist V = 0.
Eine Mannigfaltigkeit mit einer semi-Riemann’schen Metrik nennt man eine semi-Riemann’scheMannigfaltigkeit.
Bemerkung: Da die Metrik symmetrisch ist, sind die Eigenwerte von gµν reell. Für eine Rie-mann’sche Mannigfaltigkeit sind alle Eigenwerte positiv, Für eine semi-Riemann’sche Mannig-faltigkeit können auch einige Eigenwerte negativ sein. Mannigfaltigkeit auf denen gµν genaueinen positiven Eigenwert (und (D− 1) negative Eigenwerte) hat, bezeichnet man als Lorentz-Mannigfaltigkeit.
Sei (U,ϕ) eine Karte von M und xµ die Koordinaten. Man schreibt die Metrik als
gx = gµν(x)dxµ ⊗dxν
wobei wieder die Einstein’sche Summenkonvention verwendet wurde.
Man findet auch oft die Notation
gµν(x)dxµdxν,
wobei das Symbol ⊗ für das Tensorprodukt weggelassen wurde. Auch in dieser verkürzten No-tation bezeichnen die dxµ eine Basis des Kotangentialraumes und g = gµν(x)dxµdxν ein (0,2)-Tensorfeld.
Eine weitere Schreibweise ist
g = det(gµν
),
und
|g| =∣∣det
(gµν
)∣∣ .
44
Aus dem Kontext sollte es hervorgehen, ob mit g das (0,2)-Tensorfeld gµν(x)dxµdxν oder dieDeterminante det(gµν) gemeint ist.
Das Inverse von gµν wird mit gµν bezeichnet.
gµρgρν = gνρgρµ = δνµ
Die Metrik induziert einen Isomorphismus zwischen TxM und T ∗x M, der durch
TxM → T ∗x M,
Uµ∂µ →(Uµgµν
)dxν
und
T ∗x M → TxM,
ωµdxµ →(ωµgµν
)∂ν
gegeben ist.
Wir betrachten noch Tensordichten und rufen hierzu nochmal das total antisymmetrische Levi-Civita Symbol in Erinnerung:
εµ1µ2...µn= 1 falls µ1,µ2, ...,µn eine gerade Permutation von 0,1, ...,(n−1) ist,
εµ1µ2...µn= −1 falls µ1,µ2, ...,µn eine ungerade Permutation von 0,1, ...,(n−1) ist,
εµ1µ2...µn= 0 sonst.
Im flachen Minkowski-Raum transformiert sich εµνρσ wie ein Tensor. Wir untersuchen nun, wiesich das Levi-Civita Symbol auf beliebigen Mannigfaltigkeiten verhält. Sei M
µ
µ′ eine beliebigen×n-Matrix. Es gilt
εµ′1µ′2...µ′n|M| = εµ1µ2...µn
Mµ1
µ′1M
µ2
µ′2...M
µn
µ′n.
Setzt man nun
Mµ
µ′ =∂xµ
∂xµ′
so ergibt sich
εµ′1µ′2...µ′n
=
∣∣∣∣∣
∂xµ′
∂xµ
∣∣∣∣∣εµ1µ2...µn
∂xµ1
∂xµ′1
∂xµ2
∂xµ′2...
∂xµn
∂xµ′n.
Mit Ausnahme der Determinante |∂xµ′/∂xµ| ist dies das Transformationsverhalten eines Tensors.Wir betrachten auch das Transformationsverhalten von g = detgµν und finden
g(x′) =
∣∣∣∣∣
∂xµ′
∂xµ
∣∣∣∣∣
−2
g(x).
45
Allgemein bezeichnet man eine Größe, die sich wie∣∣∣∣∣
∂xµ′
∂xµ
∣∣∣∣∣
m
×Tensor
transformiert, als eine Tensordichte vom Gewicht m. Daher ist εµ1µ2...µneine Tensordichte mit
Gewicht 1 und |g| eine Tensordichte mit Gewicht −2. Die Kombination√
|g| εµ1µ2...µn
transformiert sich wie ein Tensor.Wir geben noch eine nützliche Formel für die Kontraktion zweier Levi-Civita-Symbole an.
Es ist
|g| εµ1µ2...µrσ1...σn−rεν1ν2...νrσ1...σn−r = (−1)s (n− r)!δν1ν2...νr
µ1µ2...µr,
wobei s die Anzahl der negativen Eigenwerte der Metrik ist und
δν1ν2...νrµ1µ2...µr
=
∣∣∣∣∣∣
δν1µ1 ... δνr
µ1
... ... ...δν1
µr ... δνrµr
∣∣∣∣∣∣
.
5.5 Hodge-Theorie
Sei M eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit. Falls M eine Metrik besitzt, gibt es einen natürli-chen Isomorphismus zwischen dem Raum aller r-Formen und dem Raum aller (m− r)-Formen,der durch die Hodge-Operation ∗ gegeben ist.
∗ : Ωr(M)→ Ωm−r(M)
∗(dxµ1 ∧ ...∧dxµr) =
√
|g|(m− r)!
εµ1...µr
νr+1...νmdxνr+1 ∧ ...∧dxνm
Bemerkung:
∗∗ω = (−1)r(m−r)+sω,
wobei s wieder die Anzahl der negativen Eigenwerte der Metrik ist. Diese Formel verifiziert manleicht, indem man
∗∗ (dxµ1 ∧ ...∧dxµr) =|g|
r!(m− r)!ε
µ1...µrσr+1...σm
εσr+1...σm
ν1...νr(dxν1 ∧ ...∧dxνr)
= (−1)r(m−r) |g|r!(m− r)!
εµ1...µrσr+1...σmεν1...νrσr+1...σm(dxν1 ∧ ...∧dxνr)
=(−1)r(m−r)+s
r!δ
µ1...µrν1...νr
(dxν1 ∧ ...∧dxνr)
= (−1)r(m−r)+s (dxµ1 ∧ ...∧dxµr)
46
betrachtet.Mittels der Hodge-Operation kann man ein Skalarprodukt zwischen zwei r-Formen definie-
ren. Sei
ω =1
r!ωµ1...µr
dxµ1 ∧ ...∧dxµk ,
η =1
r!ηµ1...µr
dxµ1 ∧ ...∧dxµk ,
dann ist
(ω,η) =∫
M
ω∧∗η
=1
r!
∫
M
ωµ1...µrηµ1...µr
√
|g|dx1 ∧ ...∧dxm
Dieses Produkt ist symmetrisch:
(ω,η) = (η,ω)
Beispiel:
∗F = ∗(
ie
~c
1
2Fµνdxµ ∧dxν
)
=1
4i
e
~cFµνεµνρσdxρ ∧dxσ =
(
ie
~c
) 1
2Fµνdxµ ∧dxν.
Wir haben weiter
(F,F) =1
2
(
ie
~c
)2∫d4xFµνFµν
und daher∫
d4x L =1
8π
(~c
e
)2
(F,F) .
5.6 Die kovariante Ableitung
In flachen Raumzeiten bilden die Ableitungen eines Vektors
∂
∂xνAµ
einen Tensor. In krummlinigen Koordinaten gilt dies jedoch nicht mehr. Man vergleicht hiereinen Vektor an zwei verschiedenen Orten.
Definition eines affinen Zusammenhangs: Ein affiner Zusammenhang ist eine Abbildung ∇
∇ : Vect(M)×Vect(M)→ Vect(M)
(X ,Y )→ ∇XY,
47
welche die folgenden Bedingungen erfüllt:
∇(X+Y )Z = ∇XZ +∇Y Z
∇( f X)Y = f ∇XY
∇X(Y +Z) = ∇XY +∇X Z
∇X( fY ) = X( f )Y + f ∇XY
wobei f ∈ F(M) und X ,Y,Z ∈ Vect(M).Sei (U,ϕ) eine Karte mit den Koordinaten x = ϕ(p). Man definiert D3 Funktionen, die als Zu-sammenhangskoeffizienten C
µ
νλbezeichnet werden, durch
∇eµeν = eλCλ
µν
wobei eµ= ∂/∂µ die Koordinatenbasis von TpM ist. Für Funktionen f ∈ F(M) definiert man
∇X f = X( f ) = Xµ
(∂ f
∂xµ
)
Dann hat ∇X( fY ) die Form der Leibnitz-Regel
∇X( fY ) = (∇X f )Y + f (∇XY )
Weiter setzt man für Tensoren
∇X(T1 ⊗T2) = (∇X T1)⊗T2 +T1 ⊗ (∇XT2)
Im weiteren wird die Notation
∇µ = ∇eµ
verwendet. Man beachte, daß
∇XY = Xµ∇µ (Yνeν) = Xµ
(∂Y ν
∂xµeν +Y ν∇µeν
)
= Xµ
(
∂Y λ
∂xµ+Y νCλ
µν
)
eλ
gilt. ∇XY ist unabhängig von der Ableitung von X . Daher betrachtet man
∇µ = ∇eµ
und bezeichnet dies als kovariante Ableitung. Die obige Gleichung läßt sich nun wie folgt schrei-ben:
∇µ (Yνeν) =
(
∂µY ν+CνµλY λ
)
eν
48
In der physikalischen Literatur wird der Basisvektor eν oft weggelassen und man findet die Kom-ponentenschreibweise:
∇µY ν = ∂µY ν +CνµλY λ
Man muß sich hier den Basisvektor eν dazudenken. Streng mathematisch hat man
∇µeν = Cλµνeλ,
∇µY ν = ∂µY ν,
∇µ (Yνeν) =
(
∂µY ν +CνµλY λ
)
eν.
Wir betrachten noch wie die kovariante Ableitung auf kovariante Indizes wirkt. Sei ω = ωµdxµ
und Y =Y νeν. Es ist
∇µ 〈ω,Y 〉 = ∇µ (ωνY ν) =(∂µων
)Y ν +ων
(∂µY ν
).
Andererseits soll sein
∇µ 〈ω,Y 〉 =⟨∇µω,Y
⟩+⟨ω,∇µY
⟩
=⟨(∂µων)dxν +ων∇µdxν,Y
⟩+⟨
ω,(∂µY ν +CνµλY λ)eν
⟩
= (∂µων)Yν +⟨
ων∇µdxν,Y λeλ
⟩
+ων(∂µY ν +CνµλY λ).
Somit
ων
⟨∇µdxν,eλ
⟩Y λ +ωνCν
µλY λ = 0
und daher
∇µdxν = −Cνµλdxλ.
Es ist also
∇µ (ωνdxν) =(
∂µων −Cλµνωλ
)
dxν.
Auch hier findet man oft die Schreibweise
∇µων = ∂µων −Cλµνωλ
Wird diese Schreibweise verwendet, so muß man sich auch hier den Basisvektor dxν dazudenken.Paralleltransport: Falls
∇V X = 0
gilt, sagt man daß der Vektor entlang einer Kurve, die durch V beschrieben ist, parallel transpor-tiert worden ist.
49
5.7 Der Levi-Civita-Zusammenhang
Falls die Mannigfaltigkeit eine Metrik besitzt, können wir zusätzliche Bedingungen an den affi-nen Zusammenhang stellen: Wir verlangen, daß die Metrik gµν kovariant konstant ist, d.h. fallszwei Vektoren X und Y entlang einer Kurve paralleltransportiert werden, daß dann das Skalar-produkt zwischen ihnen sich nicht ändert. Durch eine Formel ausgedrückt bedeutet dies
∇V (g(X ,Y )) = 0
für alle X und Y mit ∇V X = ∇VY = 0. Da dies für alle Kurven und parallelverschobene Vektorengilt, folgt:
∇κ
(gµνdxµ ⊗dxν
)= 0
bzw.(
∂κgµν −Cλκµgλν−Cλ
κνgµλ
)
dxµ ⊗dxν = 0.
Da dies für alle Komponenten gelten soll, folgt
∂κgµν −Cλκµgλν −Cλ
κνgµλ = 0.
Man schreibt dies auch als
∇κgµν = 0.
In diesem Fall lassen sich die Zusammenhangskoeffizienten Cκµν wie folgt schreiben:
Cκµν = Γκ
µν +Kκµν
Die Größen Γκµν nennt man die Christoffel-Symbole. Sie sind symmetrische in µ ↔ ν. Die Grö-
ßen Kκµν bezeichnet man als Kontorsionskoeffizienten. Man findet
Γκµν =
1
2gκλ(∂µgνλ+∂νgµλ −∂λgµν
)
Kκµν =
1
2
(T κ
µν +T κµ ν +T κ
ν µ
)
T κµν = Cκ
µν −Cκνµ
T κµν ist antisymmetrisch bezüglich der unteren Indizes und wird Torsionstensor genannt.
Einen affiner Zusammenhang nennt man symmetrisch, falls der Torsionstensor verschwindet.Ist dies der Fall, so gilt
Cκµν = Γκ
µν,
Γλµν = Γλ
νµ.
50
Theorem: Auf einer Riemann’schen Mannigfaltigkeit bzw. semi-Riemann’schen Mannigfaltig-keit (M,g) gibt es einen eindeutigen symmetrischen Zusammenhang, der mit der Metrik komba-tibel ist. Diesen Zusammenhang bezeichnet man als Levi-Civita-Zusammenhang.
Ist die Metrik kovariant konstant und sind die Zusammenhangskoeffizienten symmetrisch, soläßt sich die Formel für die Christoffelsymbole, die auch die Existenz und Eindeutigkeit zeigt,relativ leicht herleiten. Wir schreiben zunächst die Gleichung für die Metrik für drei verschiedenePermutationen von Indizes auf:
∇ρgµν = ∂ρgµν −Γλρµgλν −Γλ
ρνgµλ = 0,
∇µgνρ = ∂µgνρ−Γλµνgλρ −Γλ
µρgνλ = 0,
∇νgρµ = ∂νgρµ −Γλνρgλµ −Γλ
νµgρλ = 0.
Subtrahiert man die letzten beiden von der ersten, so erhält man
∂ρgµν −∂µgνρ −∂νgρµ +Γλµνgλρ +Γλ
νµgρλ +Γλνρgλµ −Γλ
ρνgµλ +Γλµρgνλ−Γλ
ρµgλν = 0.
Verwendet man nun die Symmetrie der Christoffelsymbole und der Metrik, so ergibt sich
∂ρgµν −∂µgνρ −∂νgρµ +2Γλµνgλρ = 0.
Auflösen dieser Gleichung liefert die Formel
Γκµν =
1
2gκλ(∂µgνλ +∂νgµλ −∂λgµν
).
5.8 Der Satz von Stokes
Der Satz von Stokes läßt sich mittels Differentialformen für differenzierbare Mannigfaltigkeitenmit Rand elegant wie folgt schreiben:
∫
M
dω =
∫
∂M
ω.
Hierbei ist M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit, die einen Rand haben darf. Der Rand wirdmit ∂M bezeichnet. ω ist eine (n−1)-Form.
Besitzt die Mannigfaltigkeit eine Metrik g, so läßt sich der Satz von Stokes auch wie folgtschreiben:
∫
M
dnx√
|g|∇µV µ =∫
∂M
dn−1y√
|γ| nµV µ.
Hierbei ist ∇µ die kovariante Ableitung bezüglich des Levi-Civita-Zusammenhangs, γ die durchg auf ∂M induzierte Metrik und nµ ein Einheitsnormalenvektor auf ∂M.
51
Die zweite Fassung des Satzes von Stokes läßt sich wie folgt für semi-Riemannsche Mannig-faltigkeiten aus der ersten Version herleiten: Da M eine Metrik besitzt, läßt sich jede (n−1)-Formals das Hodge-Duale einer Einsform V =Vµdxµ darstellen:
ω = ∗V
Schreiben wir
ω =1
(n−1)!ωµ1...µn−1dxµ1 ∧ ...∧dxµn−1
so ist
ωµ1...µn−1 =√
|g|Vµgµνενµ1...µn−1 =√
|g|V µεµµ1...µn−1.
Weiter ist
dω =1
(n−1)!
(∂µ1ωµ2...µn
)dxµ1 ∧dxµ2 ∧ ...∧dxµn
=1
(n−1)!∂µ1
(√
|g|V µεµµ2...µn
)
dxµ1 ∧dxµ2 ∧ ...∧dxµn
=1
n!∂µ
(√
|g|V µεµ1µ2...µn
)
dxµ1 ∧dxµ2 ∧ ...∧dxµn.
In der zweiten Zeile muß aufgrund von εµµ2...µnund dxµ1 ∧dxµ2 ∧ ...∧dxµn die Beziehung µ = µ1
gelten, wir können also die kovarianten Indizes µ und µ1 vertauschen. Nach der Vertauschungkönnen wir die Beschränkung µ = µ1 aufheben und über alle Paare (µ,µ1) ohne weitere Ein-schränkungen summieren. Dadurch wird jeder Term n-fach gezählt, dies wird durch den zusätz-lichen Faktor 1/n kompensiert. Da weiter ∂µεµ1µ2...µn
= 0 ist, erhalten wir
dω = ∂µ
(√
|g|V µ)
dx1 ∧ ...∧dxn.
Wir betrachten nun für den Levi-Civita-Zusammenhang
∇µV µ = ∂µV µ +ΓµµνV ν =
1√
|g|∂µ
(√
|g|V µ)
.
Hierbei haben wir
Γµµν =
1√
|g|∂ν
√
|g|
verwendet. Wir erhalten also
dω =(∇µV µ
)√
|g|dnx
52
und somit ergibt sich für die linke Seite des Satzes von Stokes∫
M
dω =
∫
M
dnx√
|g|∇µV µ.
Betrachten wir nun die rechte Seite des Satzes von Stokes, die die Integration über den Rand vonM beinhaltet. Der Rand ∂M stellt eine (n−1)-dimensionale Hyperfläche dar. Es empfiehlt sich,Gaußsche Normalkoordinaten (z,y1, ...,yn−1) zu verwenden, wobei die Koordinaten (y1, ...,yn−1)die (n−1)-dimensionale Hyperfläche ∂M parametrisieren und z eine Koordinate in Richtung desNormalenvektors nµ ist. Die auf ∂M induzierte Metrik ist durch
γαβ =∂xµ
∂yα
∂xν
∂yβgµν
gegeben. Die Metrik auf M läßt sich durch die Gaußschen Normalkoordinaten ausdrücken:
g = ±dz⊗dz+ γαβdyα ⊗dyβ,
d.h. Mischterme dyα ⊗dz treten nicht auf. In diesen Koordinaten gilt√
|g| =√
|γ|.
Das Volumenelement auf dem Rand ist dann√
|γ|dy1 ∧ ...∧dyn−1.
Mit Hilfe des Einheitsnormalenvektors nµ können wir das Volumenelement auf dem Rand ∂M
koordinatenunabhängig schreiben:
1
(n−1)!
√
|g|nµ1εµ1µ2...µndxµ2 ∧ ...∧dxµn.
Betrachten wir nun die rechte Seite des Satzes von Stokes. Es ist∫
∂M
ω =
∫
∂M
1
(n−1)!
√
|g|V µεµµ2...µndxµ2 ∧ ...dxµn
=∫
∂M
1
(n−1)!
√
|g|V µnµnµ1εµ1µ2...µndxµ2 ∧ ...dxµn
=
∫
∂M
dn−1y√
|γ|V µnµ.
Es bleibt noch das Vorzeichen des Einheitsnormalenvektors nµ zu diskutieren. Im Riemann’schenFall mit positiver definiter Metrik zeigt nµ nach außen. Daher gilt im semi-Riemannschen Fall:Ist nµ zeitartig, so zeigt nµ nach außen, ist nµ hingegen raumartig, so zeigt nµ nach innen.
53
5.9 Der Krümmungstensor
Vorbemerkung: Sei
X = Xµeµ = Xµ ∂
∂xµ
ein Vektorfeld. Ein Vektorfeld wirkt auf eine Funktion als Richtungsableitung:
X( f ) = Xµ ∂
∂xµf .
Sei nun
Y = Y ν ∂
∂xν
ein weiteres Vektorfeld. Man definiert die Lie-Klammer [X ,Y ] als
[X ,Y ]( f ) = X (Y ( f ))−Y (X( f )) .
Nun hat man
X (Y ( f )) = Xµ∂µ (Yν∂ν f ) = Xµ
(∂µY ν
)(∂ν f )+XµY ν∂µ∂ν f ,
Y (X( f )) = Y µ∂µ (Xν∂ν f ) = Y µ
(∂µXν
)(∂ν f )+Y µXν∂µ∂ν f ,
und somit
[X ,Y ]( f ) =(Xµ∂µY ν −Y µ∂µXν
)∂ν f .
Die Lie-Klammer ist wieder ein Vektorfeld, dessen Komponenten durch
[X ,Y ] =(Xµ∂µY ν −Y µ∂µXν
)eν
gegeben sind.
Bemerkung: Weder XY noch Y X sind Vektorfelder, da sie zweite Ableitungen enthalten. DieKombination [X ,Y ] enthält dagegen nur erste Ableitungen und ist daher ein Vektorfeld.
Bemerkung: Ein wichtiger Spezialfall ist
[eµ,eν
]= 0.
(Dies sieht man am leichtesten wenn man eµ = ∑Xσeσ mit Xσ = 0 für µ 6= σ und Xσ = 1 fürµ = σ betrachtet.)
54
Da die Zusammenhangskoeffizienten Cλµν keinen Tensor darstellen, können sie keine intrinsi-
sche Bedeutung als Maß der Krümmung einer Mannigfaltigkeit haben. Als intrinsische Objektestehen der Torsionstensor
T : Vect(M)⊗Vect(M)→ Vect(M)
T (X ,Y ) = ∇XY −∇Y X − [X ,Y ]
und der Riemann’sche Krümmungstensor
R : Vect(M)⊗Vect(M)⊗Vect(M)→ Vect(M)
R(X ,Y,Z) = ∇X ∇Y Z−∇Y ∇X Z−∇[X ,Y ]Z
zur Verfügung. Offensichtlich sind R und T anti-symmetrisch in X und Y :
T (X ,Y) = −T (Y,X)
R(X ,Y,Z) = −R(Y,X ,Z)
Verwendet man die Koordinatendarstellung, so hat man
T (eµ,eν) = T λµνeλ,
R(eµ,eν,eλ) = Rκλµνeκ.
Bemerkung: Man achte auf Stellung des Index λ!
Mit Hilfe von
∇µeν =Cλµνeλ,
[eµ,eν
]= 0,
bestimmen wir nun T λµν und Rκ
λµν:
T (eµ,eν) = ∇µeν −∇νeµ −[eµ,eν
]
= Cλµνeλ −Cλ
νµeλ
=(
Cλµν −Cλ
νµ
)
eλ,
R(eµ,eν,eλ) = ∇µ∇νeλ −∇ν∇µeλ −∇[eµ,eν]eλ
= ∇µCκνλeκ −∇νCκ
µλeκ
=(∇µCκ
νλ
)eκ +Cκ
νλ∇µeκ −(
∇νCκµλ
)
eκ −Cκµλ∇νeκ
=(∂µCκ
νλ
)eκ +Cκ
νλCηµκeη −
(
∂νCκµλ
)
eκ −CκµλC
ηνκeη
=(
∂µCκνλ −∂νCκ
µλ +Cηνλ
Cκµη −C
ηµλ
Cκνη
)
eκ.
Wir haben also:
T λµν = Cλ
µν −Cλνµ,
Rκλµν = ∂µCκ
νλ −∂νCκµλ +C
ηνλ
Cκµη −C
ηµλ
Cκνη.
55
Wir werden im folgenden nur den Levi-Civita-Zusammenhang betrachten. Hier verschwindet derTorsionstensor und die Zusammenhangskoeffizienten Cκ
µν sind gleich den Christoffel-SymbolenΓκ
µν:
Cκµν = Γκ
µν =1
2gκλ(∂µgνλ +∂νgµλ −∂λgµν
).
Der Riemann’sche Krümmungstensor läßt sich dann durch die Christoffel-Symbole ausdrücken:
Rκλµν = ∂µΓκ
νλ −∂νΓκµλ +Γ
ηνλΓκ
µη −ΓηµλΓκ
νη.
Bemerkung: Für Rκλµν = gκρRρλµν
findet man
Rκλµν =1
2
(
∂2gκν
∂xλ∂xµ− ∂2gλν
∂xκ∂xµ+
∂2gλµ
∂xκ∂xν− ∂2gκµ
∂xλ∂xν
)
+gξη
(
ΓξκνΓ
ηλµ−Γ
ξκµΓ
ηλν
)
.
Der Tensor Rκλµν hat die folgenden Symmetrien:
Rκλµν = −Rκλνµ,
Rκλµν = −Rλκµν,
Rκλµν = Rµνκλ.
Als Ricci-Tensor definiert man die folgende Verjüngung des Krümmungstensors:
Ricµν = Rλµλν
Der Ricci-Tensor ist symmetrisch:
Ricµν = Ricνµ.
Die skalare Krümmung ist definiert als
R = gµνRicµν
Der Einstein’sche Tensor wird als die folgende Kombination definiert:
Gµν = Ricµν −1
2gµνR
Die Identitäten von Bianchi:
Rκλµν +Rκµνλ +Rκνλµ = 0,
∇ρRκλµν +∇κRλρµν +∇λRρκµν = 0.
Beweis der ersten Identität von Bianchi: Äquivalente Formulierungen sind
Rκλµν +Rκ
µνλ +Rκνλµ = 0,
R(X ,Y,Z)+R(Y,Z,X)+R(Z,X ,Y) = 0.
56
Für den Beweis geht man vom Verschwinden des Torsionstensors aus:
T (X ,Y ) = ∇XY −∇Y X − [X ,Y ] = 0.
Differenziert man kovariant, so erhält man
∇Z (∇XY −∇Y X − [X ,Y ]) = 0,
∇Z∇XY −∇Z∇Y X −∇Z [X ,Y ] = 0.
Wir betrachten den Term ∇Z [X ,Y ] und verwenden nochmal die Torsionsfreiheit:
∇Z [X ,Y ]−∇[X ,Y ]Z− [Z, [X ,Y ]] = 0.
Somit ergibt sich
∇Z∇XY −∇Z∇Y X −∇[X ,Y ]Z− [Z, [X ,Y ]] = 0.
Summiert man über die drei zyklischen Permutationen von (X ,Y,Z) und verwendet man dieJacobi-Identität
[Z, [X ,Y ]]+ [X , [Y,Z]]+ [Y, [Z,X ]] = 0.
so erhält man
∇Z∇XY −∇Z∇Y X −∇[X ,Y ]Z
+∇X ∇Y Z−∇X ∇ZY −∇[Y,Z]X
+∇Y ∇ZX −∇Y ∇X Z−∇[Z,X ]Y = 0,
oder anders ausgedrückt
R(X ,Y,Z)+R(Y,Z,X)+R(Z,X ,Y) = 0.
Beweis der zweiten Identität von Bianchi: Äquivalente Formulierungen sind
∇ρRµνκλ +∇κRµνλρ +∇λRµνρκ = 0,
∇ρRµ
νκλ+∇κR
µ
νλρ+∇λR
µνρκ = 0,
(∇XR)(Y,Z,V )+(∇Y R)(Z,X ,V)+(∇ZR)(X ,Y,V ) = 0.
Bei der zweiten Zeile ist zu beachten, daß für den Levi-Civita Zusammenhang die Metrik ko-variant konstant ist (∇ρgκµ = 0) und man daher die kovariante Ableitung mit dem Hochziehender Indizes vertauschen kann. Für den Beweis führen wir die folgende Notation ein, um etwasSchreibarbeit zu sparen: Sei S die Operation, die über die drei zyklischen Permutationen von(X ,Y,Z) summiert. In dieser Schreibweise ist also zu zeigen
S (∇ZR)(X ,Y,V ) = 0.
57
Wir beginnen wieder mit dem Verschwinden des Torsionstensors T (X ,Y) = 0 und erhalten
R(T (X ,Y),Z,V ) = R(∇XY,Z,V )−R(∇Y X ,Z,V)−R([X ,Y ] ,Z,V ) = 0.
Summation über alle drei zyklischen Permutationen liefert
S (R(∇ZX ,Y,V )−R(∇ZY,X ,V )−R([X ,Y ] ,Z,V )) = 0,
und da der Riemann’sche Tensor in den ersten beiden Komponenten anti-symmetrisch ist:
S (R(∇ZX ,Y,V )+R(X ,∇ZY,V )−R([X ,Y ] ,Z,V )) = 0,
Wir betrachten nun
∇Z (R(X ,Y,V )) = (∇ZR)(X ,Y,V )+R(∇ZX ,Y,V )+R(X ,∇ZY,V )+R(X ,Y,∇ZV ) .
Dies eingesetzt ergibt
S (∇Z (R(X ,Y,V))− (∇ZR)(X ,Y,V )−R(X ,Y,∇ZV )−R([X ,Y ] ,Z,V )) = 0.
Wir zeigen nun
S (∇Z (R(X ,Y,V))−R(X ,Y,∇ZV )−R([X ,Y ] ,Z,V )) = 0,
dann folgt hieraus die zweite Bianchi-Identität
S (∇ZR)(X ,Y,V ) = 0.
Es ist
∇Z (R(X ,Y,V))−R(X ,Y,∇ZV )−R([X ,Y ] ,Z,V ) =
=(∇Z∇X ∇Y −∇Z∇Y ∇X −∇Z∇[X ,Y ]
)V
−(∇X ∇Y ∇Z −∇Y ∇X ∇Z −∇[X ,Y ]∇Z
)V
−(∇[X ,Y ]∇Z −∇Z∇[X ,Y ]−∇[[X ,Y ],Z]
)V
= [∇Z , [∇X ,∇Y ]]V +∇[[X ,Y ],Z]V.
Summiert man nun über die drei zyklischen Permutationen so ist wegen der Jacobi-Identität
S([∇Z , [∇X ,∇Y ]]V +∇[[X ,Y ],Z]V
)= 0,
und die zweite Bianchi-Identität ist bewiesen.
Ein wichtige Folgerung aus der zweiten Bianchi-Identität erhält man aus den folgenden Schrit-ten: Kontrahiert man in der zweiten Identität κ und µ so findet man:
gµκ∇ρRκλµν +∇µRλρµν +gµκ∇λRρκµν = 0.
58
Nun ist für den Levi-Civita Zusammenhang die Metrik kovariant konstant ∇ρgκµ = 0 und mankann Kontraktion und kovariante Ableitung vertauschen:
∇ρRicλν +∇µRλρµν −∇λRicρν = 0.
Kontrahiert man noch λ und ν, so findet man
∇ρR−∇µRicρµ −∇νRicρν = 0.
∇ρR−2∇µRicρµ = 0,
−2∇µ
(
Ricµρ −1
2gµρR
)
= 0.
Anders ausgedrückt erhält man
∇µGµν = 0.
5.10 Symmetrien und Killingvektoren
Symmetrien spielen eine wichtige Rolle in der Physik und wir betrachten nun das Symmetrie-konzept für semi-Riemann’sche Mannigfaltigkeiten. Die Poincarégruppe, bestehend aus Lorentz-transformationen und Translationen, ist zum Beispiel die Symmetriegruppe des flachen Minkowski-Raumes. Unter einer Poincarétransformation transformieren sich die Koordinaten wie
x′µ = Λµ
νxν +bµ.
Die Metrik
gµνdxµdxν
ist invariant unter diesen Transformationen. Symmetrien, die die Metrik invariant lassen, be-zeichnet man als Isometrien.
Wir definieren nun Isometrien (d.h. Symmetrien die die Metrik invariant lassen) für eine be-liebige semi-Riemann’sche Mannigfaltigkeit M: Sei
f : M → M
ein Diffeomorphismus. Man nennt f eine Isometrie, falls
f ∗g = g
gilt. Falls X ,Y ∈ TpM bedeutet dies
g f (p)( f∗X , f∗Y ) = gp(X ,Y ).
Die identische Abbildung, die Komposition von Isometrien und das Inverse einer Isometrie sindwieder Isometrien. Die Isometrien bilden daher eine Gruppe. Isometrien erhalten die Länge eines
59
Vektors.
Beispiel: Für den Minkowski-Raum ist die Isometriegruppe durch die Poincarégruppe gegeben.
Killing Vektorfelder: Sei (M,g) eine semi-Riemann’sche Mannigfaltigkeit und X ∈ Vect(M)ein Vektorfeld auf M. Falls die Transformation
x′µ = xµ + εXµ,
wobei ε eine infinitessimale Größe ist, eine Isometrie ist, so bezeichnet man X als ein KillingVektorfeld. In diesem Fall gilt
∂(xκ + εXκ)
∂xµ
∂(xλ + εXλ)
∂xνgκλ(x+ εX) = gµν(x).
Mit
gκλ(x+ εX) = gκλ(x)+ εXσ∂σgκλ(x)+O(ε2)
ergibt sich
Xσ∂σgµν +gκν∂µXκ+gµλ∂νXλ = 0.
Dies ist die Gleichung von Killing. Für den Levi-Civita-Zusammenhang können wir diese Glei-chung auch wie folgt schreiben:
∇µXν+∇νXµ = 0.
Eine Menge von Killing Vektorfeldern nennt man abhängig, falls ein Vektorfeld aus dieser Men-ge sich als Linearkombination der anderen mit konstanten Koeffizienten darstellen läßt.
Bemerkung: Die Anzahl der unabhängigen Killing Vektorfelder kann größer als die Dimensi-on der Mannigfaltigkeit sein.
Beispiel: Für den Minkowski-Raum verschwinden die Zusammenhangskoeffizienten des Levi-Civita-Zusammenhangs und die Gleichung von Killing reduziert sich auf
∂µXν+∂νXµ = 0.
Offensichtlich erfüllen die vier konstanten Vektorfelder
Xµ
(i) = δµi, 0 ≤ i ≤ 3,
diese Gleichung. Darüberhinaus erfüllen auch die Vektorfelder
Xµ = aµνxν,
60
wobei aµν anti-symmetrisch und konstant ist, die Killing-Gleichung. Wir haben also 4+6 = 10unabhängige Killing Vektorfelder, die natürlich den Translationen und den Lorentztransforma-tionen entsprechen.
Für den euklidischen Raum der Dimension D (bzw. Minkowski-Raum der Dimension D) fin-det man
D(D+1)
2
unabhängige Killing Vektorfelder, die den D Translationen und den D(D−1)/2 Rotationen bzw.Lorentztransformationen entsprechen.
Allgemein bezeichnet man eine semi-Riemann’sche Mannigfaltigkeit (M,g) der Dimension D,welche
D(D+1)
2
unabhängige Killing Vektorfelder besitzt, als einen maximal symmetrischen Raum.
Für maximal symmetrische Räume ist die Krümmung an jedem Punkt und in jede Richtungidentisch, da die Killing Vektorfelder D Symmetrien bezüglich Translationen und D(D− 1)/2Symmetrien bezüglich Rotationen liefern. Wir können nun versuchen den Krümmungstensor ausinvarianten Tensoren zu konstruieren. Hierfür stehen die Metrik und der total anti-symmetrischeTensor zur Verfügung. Berücksichtigt man die Symmetrieeigenschaften des Riemann’schen Krüm-mungstensors, so ergibt sich für die Tensorstruktur nur eine Möglichkeit:
Rκλµν = c(gκµgλν −gκνgλµ
).
Die Proportionalitätskonstante findet man durch Kontraktion mit gκµ und gλν:
R = c(D2 −D
),
und daher
Rκλµν =R
D(D−1)
(gκµgλν−gκνgλµ
).
Die Krümmung maximal symmetrischer Räume ist daher vollständig durch die skalare Krüm-mung R beschrieben. Man unterscheidet die Fälle R = 0, R > 0 und R < 0.
Maximal symmetrische Räume, in der die Metrik eine euklidische Signatur hat, sind:
R > 0 Sphäre Sn,
R = 0 Euklidischer Raum Rn,
R < 0 hyperbolischer Raum Hn.
61
Maximal symmetrische Räume, in der die Metrik Lorentz-Signatur hat, sind:
R > 0 Anti de Sitter-Raum AdSn,
R = 0 Minkowski-Raum Mn,
R < 0 de Sitter-Raum dSn.
Zur Erinnerung sei darauf hingewiesen, daß hier die Konvention verwendet wird, bei der eineMetrik mit Lorentz-Signatur einen positiven und (n−1) negative Eigenwerte hat. Man findet inder Literatur auch oft die entgegengesetzte Konvention, in dem eine Metrik mit Lorentz-Signatureinen negativen und (n−1) positive Eigenwerte besitzt. Die beiden Fälle stehen durch
gµν → −gµν
in Beziehung. Unter dieser Transformation findet man
Γκµν → Γκ
µν,
Rκλµν → Rκ
λµν,
Ricµν → Ricµν,
R → −R.
5.11 Der Weyl Tensor
Der Ricci Tensor und die skalare Krümmung enthalten die Information, die durch Spurbildungaus dem Riemann’schen Krümmungstensor gewonnen werden kann. Der spurlose Anteil gehthierbei verloren. Dieser Anteil wird durch den Weyl Tensor ausgedrückt. In D Dimensionen istder Weyl Tensor durch
Cκλµν = Rκλµν −2
D−2
(gκµRicνλ −gκνRicµλ −gλµRicνκ +gλνRicµκ
)
+2
(D−1)(D−2)
(gκµgνλ −gκνgµλ
)R
definiert. Der Weyl Tensor ist nur für Mannigfaltigkeiten mit einer Dimension D ≥ 3 definiert.Für D = 3 verschwindet er identisch. Der Weyl Tensor hat die gleichen Symmetrieeigenschaftenwie der Riemann’sche Krümmungstensor:
Cκλµν = −Cκλνµ,
Cκλµν = −Cλκµν,
Cκλµν = Cµνκλ,
Cκλµν +Cκµνλ +Cκνλµ = 0,
Der Weyl Tensor wird auch oft als konformer Tensor bezeichnet. Dies hat den folgenden Grund:Betrachtet man zwei Metriken gµν und
g′µν = ω2(x)gµν,
62
wobei ω(x) eine beliebige nicht-verschwindende Funktion auf der Mannigfaltigkeit ist, so findetman
Cκλµν = C′κ
λµν.
63
6 Allgemeine Relativitätstheorie
6.1 Größenordnungen
Wir betrachten zunächst die Größenordnung der Gravitation im Vetgleich zur elektromagne-tischen Kraft: Die gravitative Wechselwirkung zwischen einem Proton und einem Antiprotonbeträgt
FG = −Gm2
p
r2r,
wobei die Newton’sche Konstante G den Wert
G = (6.67259±0.00085) ·10−11 m3kg−1s−2
hat. Zum Vergleich: Die Coulombkraft beträgt
FC = − 1
4πε0
e2
r2 r.
Für das Verhältnis der beiden Kräfte findet man∣∣∣∣
FG
FC
∣∣∣∣
=4πε0Gm2
p
e2= 0.81 ·10−36.
Die Gravitation ist die schächste der bekannten Kräfte.
Bemerkung: Im Gegensatz zur elektrischen Kraft ist die Gravitation immer anziehend.
Dimensionslose Größen:
α =1
4πε0
e2
~c= 0.0072973 =
1
137.036,
αG =Gm2
p
~c= 5.9 ·10−39.
Planck-Masse:
MPl =
√
~c
G= 1.221 ·1019 GeV = 2.177 ·10−8 kg.
Die Planck-Masse ist wesentlich größer als die Massen der heute bekannten Elementarteilchen.
Planck-Länge:
λPl =2π~c
MPlc2 = (2π)1.62 ·10−35 m.
Die Planck-Länge ist kürzer als die typische Reichweite der Teilchenkräfte (≈ 10−18 m).
64
6.2 Das Äquivalenzprinzip
Das Äquivalenzprinzip: Wir betrachten zunächst ein Teilchen im Gravitationsfeld in der nicht-relativistischen Mechanik. Die Lagrange-Funktion lautet:
L =1
2mT v2 −mSφ,
wobei mT die Träge Masse des Teilchens bezeichne, und mS die schwere Masse des Teilchensbezeichne. Die Bewegungsgleichung lautet:
mTd
dt~v = −mS
~∇φ.
Experimentell ist bekannt, daß mT = mS gilt. Dies ist die schwache Formulierung des Äquiva-lenzprinzips: Die schwere und die träge Masse sind gleich. Daher:
d
dt~v = −~∇φ.
Betrachte eine Anzahl von Probeteilchen in einem homogenen und zeitlich konstanten Gravita-tionsfeld. In einem Inertialsystem K lauten die Bewegungsgleichungen:
mid2
dt2~x(i) = mi~g+∑
j 6=i
~Fi j.
Geht man von dem Inertialsystem K über zu einem mit~g gleichmäßig beschleunigten Bezugssy-stem K′,
~y = ~x− 1
2~gt2,
so lauten die Bewegungsgleichungen
mid2
dt2~y(i) = ∑
j 6=i
~Fi j.
Starke Version des Äquivalenzprinzips: In jedem Punkt x der Raumzeit M kann man immer einlokales Inertialsystem finden derart, daß in einer hinreichend kleinen Umgebung U ∈ M von x
die Bewegungsgleichungen genau die aus der speziellen Relativitätstheorie bekannte Form an-nehmen, d.h. die Existenz eines Graviationsfeldes kann durch lokale Experimente alleine nichtnachgewiesen werden.
Bemerkung: Die schwache Version des Äquivalenzprinzips bezieht sich nur auf die Bewegungs-gesetze frei fallender Körper, die starke Version bezieht sich auf alle physikalischen Phänomene.
65
Im folgenden sei
ηµν =
1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1
die bekannte Metrik der flachen Minkowski Raum-Zeit. In der allgemeinen Relativitätstheoriewird die Metrik eine ortsabhängige Funktion. Eine mathematisch präzise Formulierung des star-ken Äquivalenzprinzips lautet: In jedem Punkt x0 der Raumzeit kann man ein Bezugssystem sokonstruieren, daß
gµν(x0) = ηµν,
∂gµν(x)
∂xα
∣∣∣∣x0
= 0.
Solche Bezugssysteme werden Gauß’sche Koordinaten oder Normalkoordinaten genannt.
6.3 Bewegung eines Teilchens im Gravitationsfeld
Wir betrachten zunächst, wie sich ein Teilchen kräftefrei auf einer gegebenen Mannigfaltigkeitbewegt.
Zur Erinnerung: In der Newton’schen Mechanik bewegt sich ein freies Teilchen mit konstan-ter Geschwindigkeit entlang gerader Linien.
In der speziellen Relativitätstheorie hatten wir dies wie folgt formuliert: Die kräftefreie Bewe-gung eines Teilchens erfolgt mit konstanter Vierergeschwindigkeit:
d
dsuµ = 0,
Diese Bewegungsgleichung konnten wir mit Hilfe des Prinzips der kleinsten Wirkung aus derWirkung eines freien Teilchens
S = −mc
b∫
a
ds
herleiten. Diese Wirkung ist proportional zur Länge des Weges zwischen den Raumzeitpunktena und b, und ein Minimum wird erreicht für die kürzeste Verbindung zwischen a und b. Wege,welche die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten beschreiben, nennt man Geodäten.
66
Um die Bewegung eines kräftefreien Teilchens auf einer beliebigen semi-Riemann’schen Man-nigfaltigkeit zu beschreiben, betrachten wir daher Geodäten. Für eine semi-Riemann’sche Man-nigfaltigkeit mit dem Levi-Civita-Zusammenhang gibt es eine alternative Definition für Geodä-ten: Eine Geodäte ist eine Kurve entlang der der Tangentialvektor der Kurve paralleltransportiertwird.
Sei xµ(λ) eine Kurve und Tµ1...µk
ν1...νlein Tensor. Der Tangentialvektor an die Kurve im Punkte
xµ(0) ist
V =dxµ
dλeµ
Der Tensor wird entlang der Kurve paralleltransportiert, falls gilt:
∇V Tµ1...µk
ν1...νl=
dxτ
dλ∇τT
µ1...µkν1...νl
= 0.
Für einen Vektor (ein (1,0)-Tensorfeld) vereinfacht sich diese Gleichung zu
dxτ
dλ∇τV
µ =dxτ
dλ
(∂τV
µ +ΓµτσV σ
)= 0.
Setzen wir nun für V µ den Ausdruck für den Tangentialvektor V µ = dxµ/dλ ein, so erhält man
dxτ
dλ
(
∂τdxµ
dλ+Γ
µτσ
dxσ
dλ
)
=d2xµ
dλ2+Γ
µτσ
dxτ
dλ
dxσ
dλ= 0.
Die Gleichung
d2xµ
dλ2 +Γµτσ
dxτ
dλ
dxσ
dλ= 0
nennt man die Geodäten-Gleichung. Falls die Zusammenhangskoeffizienten verschwinden, waszum Beispiel im euklidischen Raum oder im Minkowski-Raum der Fall ist, so reduziert sich dieGeodäten-Gleichung auf
d2xµ
dλ2= 0,
was der Bewegung eines Teilchens mit konstanter Geschwindigkeit entlang einer geraden Linieentspricht. Bei der Herleitung der Geodäten-Gleichung sind wir von der Definition bezüglich desParalleltransports des Tangentialvektors einer Kurve ausgegangen. Betrachten wir nun die ersteDefinition, welche Geodäten als die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten definiert, undhierzu das Funktional
s =
∫ √gµν
dxµ
dλ
dxν
dλdλ
67
Setzen wir
f = gµνdxµ
dλ
dxν
dλ
so ergibt sich für die Variation dieses Funktionals
δs =∫
δ√
f dλ =1
2
∫1√
fδ f dλ.
Wählt man nun als Parameter λ die Eigenzeit s (genauer gesagt s = cτ), so erhält man
f = gµνdxµ
ds
dxν
ds= gµνuµuν = 1.
Es ist daher ausreichend, die Extrema des einfacheren Funktionals
I =1
2
∫f ds =
1
2
∫gµν
dxµ
ds
dxν
dsds
zu betrachten. Wir betrachten nun
xµ → xµ +δxµ,
gµν → gµν +(∂σgµν
)δxσ.
Dies eingesetzt ergibt
δI =1
2
∫ [∂σgµν
dxµ
ds
dxν
dsδxσ +gµν
d (δxµ)
ds
dxν
ds+gµν
dxµ
ds
d (δxν)
ds
]
ds.
Die letzten beiden Terme lassen sich partiell integrieren, so zum Beispiel
1
2
∫gµν
dxµ
ds
d (δxν)
dsds = −1
2
∫ [gµν
d2xµ
ds2 +dgµν
ds
dxµ
ds
]
δxνds
= −1
2
∫ [gµν
d2xµ
ds2+∂σgµν
dxσ
ds
dxµ
ds
]
δxνds.
Setzt man dies ein, so erhält man
δI = −∫ [
gµσd2xµ
ds2+
1
2
(∂µgνσ +∂νgσµ −∂σgµν
) dxµ
ds
dxν
ds
]
δxσds.
Falls die Variation verschwindet, erhält man
gµσd2xµ
ds2+
1
2
(∂µgνσ +∂νgσµ −∂σgµν
) dxµ
ds
dxν
ds= 0.
Multipliziert man noch mit der inversen Metrik, so ergibt sich
d2xρ
ds2+
1
2gρσ(∂µgνσ +∂νgσµ −∂σgµν
) dxµ
ds
dxν
ds= 0.
68
Dies ist genau die Geodäten-Gleichung mit den Christoffesymbolen als Zusammenhangskoef-fizienten. Also sind die beiden Definitionen der Geodäten für den Levi-Civita-Zusammenhangäquivalent.
Zum Abschluss betrachten wir noch eine dritte Herleitung der Geodäten-Gleichung, indem wirbekannte Beziehungen aus dem flachen Minkowski-Raum “kovariant”-verallgemeinern: Wir star-ten von der Bewegungsgleichung eines kräftefreien Teilchens im Minkowski-Raum:
d
dsuµ = 0,
Dies läßt sich auch als
duµ = 0
schreiben. Die Verallgemeinerung auf gekrümmte Räume lautet
∇uµ = 0.
Mit der Definition der kovarianten Ableitung erhält man
duµ +Γµνρuνdxρ = 0.
Teilt man wieder durch ds, so findet man
d2xµ
ds2 +Γµνρ
dxν
ds
dxρ
ds= 0.
Dies ist die gesuchte Bewegungsgleichung. Die Bewegung des Teilchens wird durch die Größen
Γµνρ bestimmt. Da d2xµ
ds2 die Viererbeschleunigung des Teilchens ist, kann man die Größe
−mΓµνρuνuρ
als die auf Teilchen im Graviationsfeld wirkende Viererkraft bezeichnen.
6.4 Die Einstein’schen Feldgleichungen
In diesem Abschnitt werden wir die Einstein’schen Feldgleichungen heuristisch “herleiten”. Wirhatten bereits im letzten Abschnitt gesehen, daß sich die Geodätengleichung ergibt, wenn manausgehend von der Bewegungsgleichung im flachen Raum duµ/ds = 0 partielle Ableitungendurch kovariante Ableitungen ersetzt. In diesem Abschnitt werden wir diese “Regeln” nun auchverwenden, um die Feldgleichungen der Gravitation zu finden. Im darauffolgenden Abschnittwerden wir dann die Feldgleichungen in einer strikteren Betrachtungsweise aus einer Lagrange-dichte ableiten. Die Regeln für die “minimale Ersetzung”:
• Ersetze partielle Ableitungen durch kovariante Ableitungen.
69
• Ersetze die flache Metrik ηµν durch gµν.
Als ein Beispiel sei angeführt, daß im flachen Minkowski-Raum gilt
∂µT µν = 0.
Dies wird für gekrümmte Mannigfaltigkeiten verallgemeinert zu
∇µT µν = 0.
Haben wir die Einstein’schen Feldgleichungen gefunden, so möchten wir auch zeigen, daß siesich im Newton’schen Grenzfall auf die uns bekannten Gleichungen der klassischen Mechanikreduzieren.
d2~x
dt2 =−~∇Φ, ∆Φ = 4πGρ.
Newton’scher Grenzfall bedeutet
• Die Teilchen bewegen sich langsam gegenüber der Lichtgeschwindigkeit.
• Das Gravitationsfeld ist schwach, so daß es als Störung der flachen Raumzeit behandeltwerden kann.
• Das Gravitationsfeld ist statisch (zeitunabhängig).
Wir betrachten nun ein schwaches stationäres Gravitationsfeld. Die Bewegungsgleichung für einfreies Teilchen ist allgemein
d2xµ
ds2 +Γµνρ
dxν
ds
dxρ
ds= 0.
Für die Vierergeschwindigkeit gilt
uµ =dxµ
ds=
1
√
1− v2
c2
,~vc
√
1− v2
c2
.
Für eine sehr langsame Bewegung gilt
∣∣∣∣
d~x
ds
∣∣∣∣≪∣∣∣∣
dx0
ds
∣∣∣∣.
Daher vereinfacht sich die Bewegungsgleichung zu
d2xµ
ds2+Γ
µ00
dx0
ds
dx0
ds= 0.
70
Für die Christoffel-Symbole findet man
Γµ00 =
1
2gµλ (∂0g0λ +∂0g0λ −∂λg00) =−1
2gµλ∂λg00,
da nach Voraussetzung das Gravitationsfeld statisch sein soll. Setzt man nun
gµν = ηµν +hµν,
mit |hµν| ≪ 1, so ergibt sich für die inverse Metrik gµν in erster Ordnung
gµν = ηµν −hµν,
wobei
hµν = ηµσηντhστ.
Für Γµ00 findet man
Γµ00 = −1
2ηµλ∂λh00,
Eingesetzt in die Bewegungsgleichung ergibt dies
d2xµ
ds2=
1
2ηµλ (∂λh00)
(dx0
ds
)2
.
Mit ds = cdτ ergibt sich für die räumlichen Komponenten der Bewegungsgleichung:
d2xi
dτ2=
1
2c2(∂ih00
)(
dt
dτ
)2
.
Teilt man beide Seiten durch (dt/dτ)2, so erhält man
d2xi
dt2=
1
2c2∂ih00,
Mit ~∇ = (∂1,∂2,∂3) =−(∂1,∂2,∂3) ergibt sich
d2~x
dt2= −1
2c2~∇h00,
Vergleicht man diese Gleichung mit
d2~x
dt2= −~∇Φ,
so findet man, daß das Gravitationspotential durch
Φ =1
2c2h00
71
gegeben ist. Somit
g00 = η00 +h00 = 1+2
c2Φ.
Dies bedeutet, daß eine Metrik der Form g00 = 1+ 2c2 Φ im Newton’schen Grenzfall dem New-
ton’schen Gesetz d2~x/dt2 =−~∇Φ entspricht.
Wir suchen nun nach einer Verallgemeinerung des Poisson’schen Gesetzes: ∆Φ = 4πGρ. DerAusgangspunkt ist, daß die Masse die Quelle des Gravitationsfeldes ist.
Masse = Ruheenergie
= 0-Komponente eines Vierervektors.
Massendichte = Energiedichte
= 00-Komponente eines Vierer-Tensors.
Daher erwartet man daß der Energie-Impuls-Tensor T µν die Quellen des Gravitationsfeldes be-schreibt. Im Minkowski-Raum folgt aus der Energie-Impuls-Erhaltung:
∂µT µν = 0.
In allgemeinen Koordinaten lautet diese Gleichung
∇µT µν = 0.
Daher sucht man eine Gleichung, die allgemein kovariant ist, und T µν enthält.
Weiter ist bekannt, daß das Newton’sche Gravitationspotential die Poisson-Gleichung erfüllt:
∆Φ = 4πGρ,
wobei die Massendichte ρ sich durch die 00-Komponente des Energie-Impuls-Tensors ausdrückenläßt:
ρ =1
c2 T 00.
Weiter hat man
Φ ≈ 1
2c2h00,
g00 = 1+h00,
und daher findet man
∆g00 =8πG
c4T00.
72
Daher sucht man eine Gleichung der Form
Gµν =8πG
c4Tµν,
wobei der Tensor Gµν die Metrik mit Ableitungen bis zur zweiten Ordnung enthält.
Gesucht ist also Gµν mit folgenden Eigenschaften:
1. Gµν ist ein Tensor;
2. Gµν enthält Ableitungen der Metrik bis zur 2. Ordnung, linear in g′′ oder quadratisch in g′;
3. Gµν ist symmetrisch, da Tµν symmetrisch ist;
4. ∇µGµν = 0, da Tµν erhalten ist;
5. Für schwache stationäre Gravitationsfelder gilt
G00 → ∆g00.
Die ersten beiden Punkte implizieren, daß nur Ricµν und gµνR zur Verfügung stehen, daher
Gµν = c1Ricµν + c2gµνR.
Damit ist auch Bedingung 3 erfüllt. Wir wissen schon, daß für den Einstein’schen Tensor
∇µGµκ = 0
gilt, daher muß wegen Gµν = Ricµν − 12gµνR gelten:
c2 = −1
2c1.
Aus 5 folgt, daß die Proportionalitätskonstante durch
c1 = 1
gegeben ist. Daher
Gµν = Gµν
und die Einstein’schen Feldgleichungen lauten
Gµν =8πG
c4Tµν,
Ricµν −1
2gµνR =
8πG
c4Tµν,
73
Eindeutigkeit der Einstein’schen Gleichungen: Annahmen 1-4 sind unverzichtbar, aber mögli-cherweise sind kleine Abweichungen vom Newton’schen Gravitationsgesetz bisher unbeobach-tet geblieben. Es läßt sich zeigen, daß die Einstein’schen Gleichungen eindeutig bis auf einenmöglichen Zusatzterm
Λgµν
sind. Λ bezeichnet man als kosmologische Konstante, sie wurde von Einstein 1917 eingeführtuns später wieder verworfen (“größte Eselei ...”). Heute gibt es starke Hinweise, daß Λ 6= 0 ist.Die Einstein’schen Gleichungen mit kosmologischer Konstante lauten:
Ricµν −1
2gµνR−Λgµν =
8πG
c4 Tµν,
Bemerkung zum Vorzeichen des Terms Λgµν: Verwendet man anstelle der Signatur (+,−,−,−)die Signatur (−,+,+,+), so ändern die Terme Ricµν und gµνR ihr Vorzeichen nicht, die Metrikgµν dagegen ändert ihr Vorzeichen. Um unabhängig von der Vorzeichenkonvention numerischden gleichen Wert für die kosmologische Konstante zu erhalten, findet man in der Literatur,welche die Konvention (−,+,+,+) verwendet den Ausdruck Ricµν −1/2gµνR+Λgµν.In der Gegenwart einer kosmologischen Konstante findet man für den Newton’schen Grenzfall
∆Φ = 4πGρ+1
2c2Λ.
Daher impliziert eine nicht-verschwindende kosmologische Konstante Λ eine homogene, stati-sche Energiedichte im Universum von
ρvac =c2
8πGΛ.
Bemerkungen:
- Die Einstein’schen Gleichungen sind nicht-lineare Differentialgleichungen, sie enthalten ne-ben den zweiten Ableitungen von gµν auch Produkte von ersten Ableitungen und gµν. Daher giltfür die Gravitation kein Superpositionsprinzip.
- Kontrahiert man die Einstein’schen Gleichungen mit gµν, so erhält man
R−2R−4Λ =8πG
c4 T,
wobei wir T = gµνTνµ gesetzt haben. Auflösen nach R liefert
R = −8πG
c4 T −4Λ.
Wir können nun diesen Ausdruck für die skalare Krümmung wieder in die Einstein’schen Feld-gleichungen einsetzen und erhalten
Ricµν =8πG
c4
(
Tµν −1
2gµνgρσTσρ
)
−Λgµν.
74
- Im leeren Raum ist Tµν = 0, und daher bei verschwindender kosmologischer Konstante auchRicµν = 0. Dies impliziert aber nicht notwendigerweise, daß Rµνρσ = 0 ist, d.h. daß die Krüm-mung verschwindet. Anmerkung: Für D = 2 oder D = 3 folgt aus Ricµν = 0 auch Rµνρσ = 0.
6.5 Die Wirkung der allgemeinen Relativitätstheorie
Wir betrachten zunächst das Gravitationsfeld für sich, d.h. ohne weitere Materiefelder. Die Einstein-Hilbert-Wirkung mit einer kosmologischen Konstante lautet:
SEH = − c3
16πG
∫d4x
√−g (R+2Λ)
Hier bezeichnet
g = det gµν.
Wir leiten nun die Bewegungsgleichungen durch die Variation der Metrik ab. Es ist technischeinfacher, anstelle der Variation δgµν die Variation nach der inversen Metrik gµν durzuführen. Da
gµρgρν = δµν
ist, folgt
(δgµρ)gρν +gµρ(δgρν
)= 0,
δgµν = −gµρgνσδgρσ.
Mit R = gµνRicµν ergeben sich für die Variation der Wirkung drei Terme:
δSEH = − c3
16πGδ
∫d4x
√−g(gµνRicµν +2Λ
)
= − c3
16πG
∫d4x
√−ggµνδRicµν
︸ ︷︷ ︸
(δS)1
+∫
d4x√−gRicµνδgµν
︸ ︷︷ ︸
(δS)2
+∫
d4x(gµνRicµν +2Λ
)δ√−g
︸ ︷︷ ︸
(δS)3
.
Der zweite Term hat schon die Form eines Ausdruck der mit δgµν multipliziert wird.
Wir betrachten zunächst den ersten Term. Der Ricci-Tensor ist als Kontraktion des Riemann’schenKrümmungstensors definiert, der wiederum durch die Christoffel-Symbole gegeben ist:
Rκλµν = ∂µΓκ
νλ −∂νΓκµλ +Γ
ηνλ
Γκµη −Γ
ηµλ
Γκνη.
75
Man berechnet daher zunächst die Variation des Riemann’schen Krümmungstensors bezüglichder Christoffel-Symbole.
Γ′κµν = Γκ
µν +δΓκµν.
Zur Erinnerung: Die Christoffel-Symbole sind kein (1,2)-Tensor! Um das Transformationsver-halten der Christoffel-Symbole unter einer Koordinatentransformation zu finden betrachtet man
∇µ′Vν′ =
∂xµ
∂xµ′∂xν′
∂xν∇µV ν.
Nun läßt sich die linke Seite ausdrücken durch
∇µ′Vν′ = ∂µ′V
ν′ +Γν′µ′λ′V
λ′
=∂xµ
∂xµ′ ∂µ
(
∂xν′
∂xνV ν
)
+Γν′µ′λ′
∂xλ′
∂xλV λ
=∂xµ
∂xµ′∂xν′
∂xν∂µV ν +Γν′
µ′λ′∂xλ′
∂xλV λ +
∂xµ
∂xµ′ Vν ∂2xν′
∂xµ∂xν.
Auf der rechten Seite ergibt sich
∂xµ
∂xµ′∂xν′
∂xν∇µV ν =
∂xµ
∂xµ′∂xν′
∂xν∂µV ν +
∂xµ
∂xµ′∂xν′
∂xνΓν
µλV λ.
Somit
Γν′µ′λ′
∂xλ′
∂xλV λ +
∂xµ
∂xµ′ Vλ ∂2xν′
∂xµ∂xλ=
∂xµ
∂xµ′∂xν′
∂xνΓν
µλV λ.
Hier wurde im zweiten Term auf der linken Seite der Summationsindex ν durch λ ersetzt. Dadies für alle V λ gelten soll, findet man nachdem man mit ∂xλ/∂xλ′
durchmultipliziert hat
Γν′µ′λ′ =
∂xµ
∂xµ′∂xν′
∂xν
∂xλ
∂xλ′ Γνµλ −
∂xµ
∂xµ′∂xλ
∂xλ′∂2xν′
∂xµ∂xλ.
Seien nun Cνµλ
und Cνµλ
zwei Zusammenhänge. Die Differenz transformiert sich als
Cν′µ′λ′ −Cν′
µ′λ′ =∂xµ
∂xµ′∂xν′
∂xν
∂xλ
∂xλ′
(
Cνµλ −Cν
µλ
)
,
da sich die Terme mit den zweiten Ableitungen wegheben. Die Differenz Cνµλ−Cν
µλist daher ein
(1,2)-Tensor. Insbesondere ist damit gezeigt, daß die Variation der Christoffel-Symbole
δΓκµν = Γ′κ
µν −Γκµν
76
sich wie ein Tensor transformiert. Somit
∇µ
(δΓκ
νλ
)= ∂µ
(δΓκ
νλ
)+Γκ
µρδΓρνλ −Γ
ρµνδΓκ
ρλ −ΓρµλδΓκ
νρ.
Variiert man den Riemann’schen Krümmungstensor nach den Christoffel-Symbolen so findetman
δRκλµν = ∂µδΓκ
νλ −∂νδΓκµλ +δΓ
ηνλ
Γκµη +Γ
ηνλ
δΓκµη −δΓ
ηµλ
Γκνη −Γ
ηµλ
δΓκνη
= ∇µ
(δΓκ
νλ
)−∇ν
(
δΓκµλ
)
.
Dann drückt man die Variation δΓκµν durch δgµν aus:
δΓκµν = −1
2
[
gλµ∇νδgλκ +gλν∇µδgλκ −gµαgνβ∇κδgαβ]
.
Setzt man ein, so findet man
(δS)1 =
∫d4x
√−g∇σ
[
gµν∇σ (δgµν)−∇λ
(
δgσλ)]
.
Dieses Integral ist eine kovariante Divergenz und kann daher in ein Randintegral umgeschriebenwerden, es trägt zur Variation daher nichts bei.
Wir betrachten nun (δS)3: Wir müssen die Variation der Determinante von g berechnen. Hierzuist folgende Formel hilfreich: Für jede quadratische Matrix mit nicht-verschwindender Determi-nante gilt:
ln(det M) = Tr (lnM) .
Hierbei ist der Logarithmus einer Matrix durch
exp(lnM) = M
definiert, und die Exponentialfunktion durch die Reihenentwicklung. Falls M = diag(λ1, ...,λn)eine Diagonalmatrix ist, ist die obige Formel unmittelbar einsichtig:
ln(λ1 ·λ2 · ... ·λn) = lnλ1 + lnλ2 + ...+ lnλn.
Für eine beliebige invertierbare Matrix diagonalsiert man zunächst. Variiert man diese Glei-chung, so ergibt sich
1
det Mδ(det M) = Tr
(M−1δM
).
Nimmt man nun für M die Matrix gµν, so erhält man
δg = g(gµνδgµν
)=−g
(gµνδgµν
).
77
Somit
δ√−g = − 1
2√−g
δg =1
2
g√−ggµνδgµν =−1
2
√−ggµνδgµν.
Somit findet man für die Variation der Einstein-Hilbert-Wirkung
δSEH = − c3
16πG
∫d4x
√−g
[
Ricµν −1
2gµνR−Λgµν
]
δgµν.
Da dies für beliebige Variationen δgµν gelten soll, folgt
Ricµν −1
2gµνR−Λgµν = 0,
d.h. die Einstein’schen Gleichungen, falls keine weitere Materie vorhanden ist.
6.6 Der Energie-Impuls-Tensor in der allgemeinen Relativitätstheorie
Sind weitere Felder und Materie vorhanden, so lautet die gesamte Wirkung
S = SEH +STeilchen +SFelder + ...
mit
STeilchen = −mc
b∫
a
ds,
SFelder = − 1
16πc
∫d4x
√−gFµνFµν,
In die Einstein’schen Gleichungen geht der Energie-Impuls-Tensor ein. Wir haben schon einallgemeines Verfahren zur Berechnung des Energie-Impuls-Tensor aus einer LagrangedichteL(φ,∂µφ) kennengelernt:
T µν =
(
∂L
∂(∂µφ)∂νφ(x)
)
−gµνL +∂ρBµρν.
Hierbei ist Bµρν antisymmetrisch in µ und ρ und so zu bestimmen, daß T µν symmetrisch ist.Beispiel: Ein skalares Feld besitzt die Lagrangedichte
L =~c
2
[
gµν(∂µφ(x)
)(∂νφ(x))−m2 (φ(x))2
]
.
Es ergibt sich (∂ρBµρν verschwindet in diesem Fall):
T µν =
(
∂L
∂(∂µφ)∂νφ(x)
)
−gµνL
=~c
2
[
2(∂µφ(x))(∂νφ(x))−gµν (∂λφ(x))(
∂λφ(x))
+m2gµν (φ(x))2]
.
78
Hier betrachten wir noch ein alternatives Verfahren, daß den Vorteil hat, direkt das richtige undsymmetrische Resultat zu liefern. Wir betrachten die Wirkung
S =1
c
∫d4x
√−gL .
Variiert man bezüglich gµν, so erhält man
δS =1
c
∫d4x
[
∂√−gL
∂gµνδgµν +
∂√−gL
∂∂gµν
∂xλ
δgµν
∂xλ
]
=1
c
∫d4x
[
∂√−gL
∂gµν− ∂
∂xλ
∂√−gL
∂∂gµν
∂xλ
]
δgµν.
Setzt man nun
1
2
√−gTµν =∂√−gL
∂gµν− ∂
∂xλ
∂√−gL
∂∂gµν
∂xλ
so erhält man
δS =1
2c
∫d4x
√−gTµνδgµν.
Es läßt sich zeigen, daß
Tµν =2√−g
[
∂√−gL
∂gµν− ∂
∂xλ
∂√−gL
∂∂gµν
∂xλ
]
mit der ersten Definition des Energie-Impuls-Tensors übereinstimmt. Wir verifizieren dies fürdas obige Beispiel des skalaren Feldes:
L =~c
2
[
gµν(∂µφ(x)
)(∂νφ(x))−m2 (φ(x))2
]
.
Wir finden
Tµν =2√−g
∂√−gL
∂gµν= 2
∂L
∂gµν+
2√−gL
∂√−g
∂gµν
= 2∂L
∂gµν−Lgµν
=~c
2
[
2(∂µφ(x)
)(∂νφ(x))−gµν (∂λφ(x))
(
∂λφ(x))
+m2gµν (φ(x))2]
.
Nun wieder zurück zum allgemeinen Fall. Man erhält somit für die Variation von
S = − c3
16πG
∫d4x
√−g(R+2Λ)+1
c
∫d4x
√−gL
79
folgenden Ausdruck:
δS = − c3
16πG
∫d4x
√−g
[
Ricµν −1
2gµνR−Λgµν
]
δgµν +1
2c
∫d4x
√−gTµνδgµν.
Also folgt
− c3
16πG
[
Ricµν −1
2gµνR−Λgµν
]
+1
2cTµν = 0,
bzw.
Ricµν −1
2gµνR−Λgµν =
8πG
c4Tµν.
6.7 Der Palatini-Formalismus
Vorbemerkung: Betrachte in der klassischen Mechanik die Wirkung
S =
∫ tb
ta
L(q, q)dt, L(q, q) =1
2q2 −V (q).
Variiert man die verallgemeinerte Koordinate q(t) und hält die Endpunkte fest δq(ta) = δq(tb) =0 so erhält man die Euler-Lagrange-Gleichung
δL
δq− d
dt
δL
δq= 0, q =−δV
δq.
Dies ist die Formulierung der klassischen Mechanik nach Lagrange. Ebenso können wir dieHamilton-Formulierung der klassischen Mechanik betrachten:
S =
∫ tb
ta
(pq−H(q, p))dt, H(q, p) =1
2p2 +V (q)
Wir betrachten nun q(t) und p(t) als unabhängig (d.h. wir setzen nicht von Anfang an p(t)= q(t))und variieren nach q(t) und p(t). Variation nach p(t) liefert die Beziehung
q =δH(q, p)
δp= p.
Variation nach q(t) liefert die Bewegungsgleichung
p = −δH(q, p)
δq=−δV
δq.
Wir übertragen dies nun auf die allgemeine Relativitätstheorie. Wir hatten bei der Herleitung derEinstein’schen Gleichungen aus der Einstein-Hilbert-Wirkung
SEH = − c3
16πG
∫d4x
√−g(gµνRicµν +2Λ
)
80
die Variation nach der inversen Metrik gµν betrachtet. Der Ricci-Tensor
Ricµν = ∂κΓκνµ −∂νΓκ
κµ +ΓηνµΓκ
κη −ΓηκµΓκ
νη
hängt von den Christoffel-Symbolen ab, welche wiederum von der Metrik abhängen
Γκµν =
1
2gκλ(∂µgνλ +∂νgµλ −∂λgµν
).
Im Palatini-Formalismus betrachtet man dagegen die (inverse) Metrik gµν und die (symmetri-schen) Zusammenhangskoeffizienten als unabhängige Größen. Variation nach der inversen Me-trik liefert die Einstein’schen Gleichungen
Ricµν −1
2gµνR−Λgµν = 0.
(Hier tragen nur die Terme (δS)2 und (δS)3, welche die Variation von gµν und√−g bezüglich
gµν beschreiben, bei.) Im Palatini-Formalismus hängt Ricµν nur von den Zusammenhangskoeffi-zienten ab. Variation von
Ricµν = ∂κCκνµ −∂νCκ
κµ +CηνµCκ
κη −CηκµCκ
νη
bezüglich der Zusammenhangskoeffizienten Cκµν liefert
δRicµν = ∇κδCκνµ −∇νδCκ
κµ
Somit ergibt sich für die Variation der Wirkung bezüglich der Zusammenhangskoeffizienten:
δSEH = − c3
16πG
∫d4x
√−ggµνδRicµν =− c3
16πG
∫d4x
√−ggµν(∇κδCκ
νµ −∇νδCκκµ
)
=c3
16πG
∫d4x
(
∇κ√−ggµν −δν
κ∇λ
√−ggµλ)
δCκνµ.
Da dies für alle Variationen gelten soll, muß die Klammer verschwinden, und daher dann auchdie symmetrische Kombination
∇κ√−ggµν − 1
2δν
κ∇λ
√−ggµλ − 1
2δ
µκ∇λ
√−ggνλ = 0.
Dies ist ein System von 40 Gleichungen für die 40 kovarianten Ableitungen ∇κ√−ggµν. Die
einzige Lösung ist
∇κ√−ggµν = 0.
Man zeigt nun
∇κ√−g = 0,
81
hieraus folgt sofort
∇κgµν = 0.
Mit Hilfe von
0 = ∇κ√−gδ
ρν = ∇κ
√−ggρµgµν =√−ggρµ∇κgµν
folgt dann auch
∇κgµν = 0.
Dies ist die Bedingung daß die Metrik bezüglich des Zusammenhangs kovariant konstant ist. Zu-sammen mit der Voraussetzung, daß der Zusammenhang torsionsfrei (symmetrisch) ist, definiertdies genau den Levi-Civita-Zusammenhang. In diesem Fall sind die Zusammenhangskoeffizien-ten durch die Christoffelsymbole gegeben.
Bemerkung: Betrachtet man nur die Metrik als ein unabhängiges Feld, so enthält die Einstein-Hilbert-Wirkung zweite Ableitungen der Metrik. Der Vorzug des Palatini-Formalismuses bestehtdarin, daß nur erste Ableitungen der Zusammenhangskoeffizienten auftreten.
6.8 Der Vielbein-Formalismus
Der Vielbein-Formalismus ist notwendig, um die Wechselwirkung zwischen Fermionen und derGravitation beschreiben zu können.
Wir betrachten eine Mannigfaltigkeit der Dimension n. Wir hatten bisher für die Basisvektorendes Tangentialraumes am Punkte p die Ableitungen in Richtung der Koordinatenachsen verwen-det:
eµ = ∂µ,
Als Standardbasis für den Kotangentialraum am Punkte p haben wir bisher die hierzu dualenVektoren verwendet:
θµ = dxµ.
Für die Kugeloberfläche mit den Koordinaten Polarwinkel ϑ und Azimuthwinkel ϕ lautet dieMetrik
g = dϑ⊗dϑ+ sin2 ϑdϕ⊗dϕ.
Am Punkte (ϑ,ϕ) = (π/3,0) findet man
g(eϕ,eϕ) =3
4,
82
am Punkte (ϑ,ϕ) = (π/2,0) dagegen
g(eϕ,eϕ) = 1.
Allgemein kann auch der Fall auftreten, daß zwei Basisvektoren am Punkte A orthogonal sind,am Punkte B dagegen nicht, man nehme hierzu eine Metrik mit einem Term c(x)ei ⊗ e j, wobeider Koeffizient c(x) am Punkte A verschwindet, am Punkte B hingegen nicht. Die Ableitungen indie Richtung der Koordinatenachsen bilden daher nicht in jedem Punkte eine Orthonormalbasis.Für die Tangentialräume können wir uns eine neue Basis ea definieren, welche per Definition
g(ea,eb) = ηab
erfüllt. (Diese Definition gilt für eine Lorentz-Mannigfaltigkeit, für eine Mannigfaltigkeit miteuklidischer Signatur ersetzt man ηab durch δab.) Diese Basis ist im allgemeinen nicht mehrdurch die Richtungen der Koordinatenachsen definiert, aber läßt sich als Linearkombination derbisherigen Basis eµ ausdrücken:
ea = e µa eµ,
wobei eµ
a eine invertierbare n × n Matrix ist. Um die Orientierung zu erhalten, fordert mandete
µa > 0. Man bezeichnet die neue Basis ea als die nicht-Koordinatenbasis. Es hat sich die
Konvention eingebürgert, für die Koordinatenbasis eµ griechische Indizes zu verwenden und la-teinische Indizes für die nicht-Koordinatenbasis ea. Man verwendet auch die Bezeichnungenholonome Basis für eµ und nicht-holonome Basis für ea. Die n×n-Matrix e
µa bezeichnet man
im allgemeinen als Vielbein, auf einer Mannigfaltigkeit der Dimension vier als Vierbein (undauf einer Mannigfaltigkeit der Dimension drei als Dreibein usw.). Die zu e
µa inverse Matrix wir
mit eaµ bezeichnet:
e µa ea
ν = δµν, e µ
a ebµ = δb
a.
Mit Hilfe von eaµ erhält man
eµ = eaµea
und
gµν = eaµeb
νηab.
Ebenso läßt sich eine neue Basis θa des Kotangentialraumes definieren, welche
〈θa,eb〉 = δab
erfüllt. Man findet
θa = eaµθµ, θµ = e µ
a θa.
83
Für Vektorfelder hatten wir die Lie-Klammer definiert, welche wieder ein Vektorfeld liefert:
[X ,Y ] =(Xµ∂µY ν −Y µ∂µXν
)eν
Für die Koordinatenbasis hatten wir[eµ,eν
]= 0.
Für die nicht-Koordinatenbasis gilt allerdings
[ea,eb] =[e µ
a eµ,eν
b eν
]=(e µ
a ∂µe νb − e
µb ∂µe ν
a
)eν = c c
ab ec,
wobei
c cab =
(e µ
a ∂µe νb − e
µb ∂µe ν
a
)ec
ν,
d.h. die nicht-Koordinatenbasis hat eine nicht verschwindende Lie-Klammer:
[ea,eb] = c cab ec.
Mit Hilfe von eaµ und e
µa können Tensoren von der Koordinatenbasis in die nicht-Koordinatenbasis
umgeschrieben und zurückverwandelt werden. So hat man zum Beispiel für einen (1,2)-Tensor
T κµν = e κ
c eaµeb
νT cab.
Die Zusammenhangskoeffizienten bilden keinen Tensor, hier setzt man
∇aeb = ωcabec.
Nun ist aber
∇aeb = ∇eµ
a eµ(e ν
b eν) = e µa ∇µ (e
νb eν) = e µ
a
[(∂µe ν
b
)eν +Cκ
µνe νb eκ
]
= e µa
[(∂µe ν
b
)ec
ν +Cκµνe ν
b ecκ
]ec = e µ
a ecν
[
∂µe νb +Cν
µρeρ
b
]
ec,
und somit
ωcab = e µ
a ecν
[
∂µe νb +Cν
µρeρ
b
]
.
Wir definieren nun die Zusammenhangs-Einsform ωab:
ωab = ωa
cbθc = eaν
(
∂µe νb +Cν
µρeρ
b
)
dxµ.
ωab nennt man auch die Spin-Zusammenhangsform.
Wir betrachten nun den Torsionstensor und den Krümmungstensor in der nicht-Koordinatenbasis:
T (ea,eb) = T cabec,
R(ea,eb,ec) = Rdcabed.
84
Aus der Definition des Torsionstensors bestimmen wir T cab:
T (ea,eb) = ∇aeb −∇bea − [ea,eb] = (ωcab −ωc
ba − c cab )ec,
also
T cab = ωc
ab −ωcba − c c
ab .
Ebenso ergibt sich aus
R(ea,eb,ec) = ∇a∇bec −∇b∇a −∇[ea,ab]ec
=(
∂aωdbc −∂bωd
ac +ωebcωd
ae −ωeacωd
be − c eab ωd
ec
)
ed
die Koeffizienten
Rdcab = ∂aωd
bc −∂bωdac +ωe
bcωdae −ωe
acωdbe − c e
ab ωdec.
Man definiert nun die Torsions-Zweiform T a und die Krümmungs-Zweiform Rab:
T a =1
2T a
bcθb ∧θc,
Rab =
1
2Ra
bcdθc ∧θd .
Mit Hilfe dieser Definitionen lassen sich nun die Strukturgleichungen von Cartan aufschrei-ben:
T a = dθa +ωab ∧θb,
Rab = dωa
b +ωac ∧ωc
b.
Wir betrachten noch die Bianchi-Identitäten in der nicht-Koordinatenbasis:
dT a +ωab ∧T b = Ra
b ∧ eb,
dRab +ωa
c ∧Rcb −Ra
c ∧ωcb = 0.
Bemerkung: Wir hatten die Bianchi-Identitäten in der Koordinatenbasis schon für den Fall indem der Torsionstensor verschwindet bewiesen. In der jetzigen Form sind sie allgemein gültig(auch für T a 6= 0).
Die allgemeine Relativitätstheorie läßt sich im Vielbein-Formalismus elegant formulieren. DieserFormalismus hat außerdem den Vorteil, das Spinorfelder berücksichtigt werden können. Anstel-le der Metrik gµν benutzt man im Vielbein-Formalismus das Vielbein und die Spin-Zusammen-hangsform als fundamentale Felder. Ähnlich wie im Palatini-Formalismus (der die inverse Me-trik und die symmetrischen Zusammenhangskoeffizienten verwendet), läßt sich im Vielbein-Formalismus zeigen, daß die Spin-Zusammenhangsform durch die Vielbeinfelder ausgedrückt
85
werden kann. Im Vielbein-Formalismus und im Palatini-Formalismus enthält man anstelle vonDifferentialgleichungen zweiter Ordnungen gekoppelte Differentialgleichungen erster Ordnung.
Der Ausgangspunkt für die Formulierung im Vielbein-Formalismus sind zwei Eins-Formen. Manbetrachtet das Vielbein-Feld
θa = eaµdxµ
und die Spin-Zusammenhangsform
ωab = ωa
µbdxµ.
Die Transformation von der Koordinatenbasis zur nicht-Koordinatenbasis soll umkehrbar undorientierungserhaltend sein, daher fordert man
det(ea
µ
)> 0.
Die Spin-Zusammenhangsform definiert die kovariante Ableitung:
∇µea = ωbµaeb.
Torsion und Krümmung sind gegeben durch
T a = dθa +ωab ∧θb,
Rab = dωa
b +ωac ∧ωc
b.
Explizit haben wir für die Krümmung
Rab =
1
2Ra
bµνdxµ ∧dxν,
Rabµν = ∂µωa
νb −∂νωaµb +ωa
µcωcνb −ωa
νcωcµb.
Die Metrik ist gegeben als
gµν = eaµeb
νηab.
Das Vielbein definiert auch eindeutig einen torsionsfreien Spin-Zusammenhang, der mit der Me-trik kompatibel ist. Dies sieht man am leichtesten wie folgt: Die Beziehung zwischen den Zu-sammenhangskoeffizienten ωa
µb in der nicht-Koordinatenbasis und den Zusammenhangskoeffi-zienten Cκ
µν in der Koordinatenbasis ist gegeben durch
ωaµb = ea
ν
[
∂µe νb +Cν
µρeρ
b
]
.
Nun soll aber der Zusammenhang in der Koordinatenbasis torsionsfrei und metrik-kompatibelsein, also muß er der Levi-Civita-Zusammenhang sein. Dieser ergibt sich aus den Ableitungender Metrik zu
Cκµν = Γκ
µν =1
2gκλ(∂µgνλ +∂νgµλ −∂λgµν
)
=1
2e κ
a eaλ[
ebλ
(
∂µebν +∂νeb
µ
)
+ ebν
(
∂µebλ −∂λeb
µ
)
+ ebµ
(
∂νebλ −∂λeb
ν
)]
.
86
Somit erhalten wir
ωaµb =
1
2e ν
b eaλ[ecµ
(∂νec
λ −∂λecν
)+ ecν
(∂µec
λ −∂λecµ
)− ecλ
(∂µec
ν −∂νecµ
)].
Für die Wirkung findet man
SEH = − c3
16πG
∫d4x
√−g(R+2Λ)
= − c3
16πG
∫εabcd
(1
2θa ∧θb ∧Rcd +
Λ
12θa ∧θb ∧θc ∧θd
)
.
Für die Herleitung der letzten Zeile betrachten wir zunächst den Term mit der kosmologischenKonstante. Hier haben wir
Λ
12εabcdθa ∧θb ∧θc ∧θd =
Λ
12εabcdea
µebνec
ρedσdxµ ∧dxν ∧dxρ ∧dxσ
= − Λ
12εabcdεµνρσea
µebνec
ρedσdx0 ∧dx1 ∧dx2 ∧dx3
= 2Λ det(ea
µ
)dx0 ∧dx1 ∧dx2 ∧dx3,
wobei
dxµ ∧dxν ∧dxρ ∧dxσ = −εµνρσdx0 ∧dx1 ∧dx2 ∧dx3
verwendet wurde. Das Minuszeichen ergibt sich, da aufgrund der verwendeten Konvention ε0123 =1 aber ε0123 =−1 ist. Nun ist allerdings auch
√−g =√
−detgµν =√
−det(ea
µebνηab
)=√
−deteaµ deteb
ν detηab = det(ea
µ
),
womit die Gleichheit des Terms mit der kosmologischen Konstante gezeigt wäre.Für die Herleitung des Terms mit der Krümmungsform benötigen wir die Schouten-Identität:
εabcdeµ
f + εbcd f e µa + εcd f ae
µb + εd f abe µ
c + ε f abceµ
d = 0.
Nehmen wir nun die Wirkung
SEH = − c3
16πG
∫εabcd
(1
2θa ∧θb ∧Rcd +
Λ
12θa ∧θb ∧θc ∧θd
)
mit den Nebenbedingungen
det(ea
µ
)> 0, ωa b
µ =−ωb aµ
als Ausgangspunkt. Die Antisymmetrie der Spinzusammenhangsform ωa bµ = −ωb a
µ impliziert∇κgµν = 0, wie man leicht sieht:
0 = ∇µ
(gρσdxρ ⊗dxσ
)= ∇µ
(
ηabθa ⊗θb)
=−(ωaµb +ωbµa
)θa ⊗θb
= −(
ωa bµ +ωb a
µ
)
ηacηbdθc ⊗ηd.
87
Variiert man die Wirkung bezüglich des Spin-Zusammenhangs, so findet man
δSEH = − c3
16πG
∫dxµ ∧dxν ∧dxρ ∧dxσεcde f η f gηbh
[1
2
(
∂νecρ
)
edσδe
aδhg
+1
2ec
ρ
(
∂νedσ
)
δeaδh
g −1
2ec
ρedσωe
νaδhg +
1
2ec
ρedσωh
νgδea
]
δωa bµ .
Hieraus folgt unter der Verwendung der Antisymmetrie der Spinzusammenhangsform ωa bµ =
−ωb aµ daß der in a und b antisymmetrische Ausdruck
0 = −1
4εµνρσεcde f
(
δeaδ
fb −δe
bδ fa
)[(
∂νecρ
)
edσ + ec
ρ
(
∂νedσ
)]
−ecρed
σ
[
ωeνaδ
fb +ω
fνbδe
a −ωeνbδ f
a −ωfνaδe
b
]
= −1
2εµνρσεcde f
δeaδ
fb
[(
∂νecρ
)
edσ + ec
ρ
(
∂νedσ
)]
− ecρed
σ
[
ωeνaδ
fb −ωe
νbδ fa
]
= −1
2εµνρσεcde f
δeaδ
fb
(
∂νecρ −∂ρec
ν
)
− eeρ
(
δ faδ
gb −δg
aδfb
)
ωcνg
edσ
verschwinden muß. Nun ist
δ faδ
gb −δg
aδfb = −1
2εabi jε
f gi j
und
εcde f
(
δ faδ
gb −δg
aδfb
)
=1
2εabi jε
gi j f εcde f
= −1
2εabi j
(
δgcδi
dδ je +δi
cδjdδg
e +δ jcδ
gdδi
e −δ jcδi
dδge −δi
cδgdδ j
e −δgcδ
jdδi
e
)
= −εabi j
(
δgcδi
dδ je +δi
cδjdδg
e +δ jcδ
gdδi
e
)
.
Somit erhalten wir
0 = −1
2εµνρσ
εabcd
(
∂νecρ −∂ρec
ν
)
+ eeρεabi j
(
δgcδi
dδ je +δi
cδjdδg
e +δ jcδ
gdδi
e
)
ωcνg
edσ
= −1
2εµνρσ
εabcd
(
∂νecρ −∂ρec
ν
)
+ εabcdωcνge
gρ + ee
ρεabecωcνd
edσ
= −1
2εµνρσεabcd
∂νecρ −∂ρec
ν +ωcνge
gρ −ωc
ρgegν
edσ
Dies ist nicht anderes als die Bedingung, daß die Torsion verschwindet:
∂νecρ −∂ρec
ν +ωcνge
gρ −ωc
ρgegν = 0.
Variiert man nun die Wirkung bezüglich des Vierbein-Feldes, so findet man
δSEH = − c3
16πG
∫dxµ ∧dxν ∧dxρ ∧dxσεabcd
[1
2eb
νRcdρσ +
1
3Λeb
νecρed
σ
]
δeaµ.
88
Hier folgt
0 = −εµρστεabcd
[1
2eb
ρRcdστ +
1
3Λeb
ρecσed
τ
]
.
Wir multiplizieren die Gleichung mit eaκgκν:
0 = −εµρστεabcd
[1
2eb
ρRcdστ +
1
3Λeb
ρecσed
τ
]
eaκgκν.
Nach einer etwas längeren Rechnung unter wiederholter Ausnutzung der Schouten-Identität fin-det man
0 = −2det(
eaρ
)(
Ricµν − 1
2gµνR−Λgµν
)
.
Dies sind die Einsteinschen Feldgleichungen.
89
7 Spezielle Lösungen der Einstein’schen Gleichungen
7.1 Die Schwarzschild-Lösung
Wir betrachten eine statische kugelsymmetrische Massenverteilung, wie sie zum Beispiel durchdie Erde oder durch die Sonne in guter Näherung gegeben ist und suchen eine Lösung der Ein-stein’schen Gleichungen ausserhalb der Massenverteilung. Hierzu suchen wir Lösungen von
Ricµν = 0
Bemerkung: Die Einstein’schen Gleichungen lassen sich (ohne kosmologische Konstante) auchals
Ricµν =8πG
c4
(
Tµν −1
2gµνgρσTρσ
)
schreiben. Im Vakuum gilt Tµν = 0, also reduzieren sich die Einstein’schen Gleichungen aufRicµν = 0.
Bemerkung: Die genaue Definition von “statisch” und “kugelsymmetrisch” erfordert aufgrundder notwendigen Koordinatenunabhängigkeit etwas Sorgfalt. Diese Diskussion wird auf späteraufgeschoben. Für den Moment soll “statisch” implizieren, daß alle Metrikkomponenten von derZeitkoordinate unabhängig sind und daß keine gemischten Terme
cdt ⊗dxi +dxi ⊗ cdt
in der Metrik auftreten. Diese Bedingung wird einsichtigt, wenn man annimmt daß “statisch”auch die Invarianz unter der Zeitumkehr t →−t impliziert. Unter dieser Transformation ändernTerme wie c2dt2 oder dxidx j ihr Vorzeichen nicht, die gemischten Terme cdtdxi dagegen schon.
Die Kugelsymmetrie impliziert, daß das Raumwinkelelement dΩ2 seine Form nicht ändert: DerKoeffizient des dϕ2-Terms soll immer sin2 ϑ mal der Koeffizient des dϑ2-Tems sein. Deswei-teren impliziert die Kugelsymmetrie, daß außer dϕ2 und dϑ2 keine weiteren (d.h. gemischten)Terme mit dϕ oder dϑ vorkommen.
Wir machen daher den folgenden Ansatz:
ds2 = e2a(r)c2dt2− e2b(r)dr2 − e2c(r)r2dΩ2
Wir können noch die folgende Vereinfachung durchführen: Betrachtet man eine neue radialeVariable
r′ = ec(r)r
so findet man
ds2 = e2a(r)c2dt2−(
1+ rdc(r)
dr
)−2
e2b(r)−2c(r)dr2 − r2dΩ2
90
Durch eine Redefinition der Funktion b(r) ist es daher ausreichend, den Ansatz
ds2 = e2a(r)c2dt2− e2b(r)dr2 − r2dΩ2
zu betrachten. a(r) und b(r) sind zwei noch zu bestimmende Funktionen. Wir berechnen zu-nächst die Christoffelsymbole (und setzen für die Rechnung zur Vereinfachung c = 1):
Γttr = ∂ra, Γr
tt = e2(a−b)∂ra, Γrrr = ∂rb,
Γθrθ =
1r, Γr
θθ =−re−2b, Γϕrϕ = 1
r,
Γrϕϕ =−re−2b sin2 θ, Γθ
ϕϕ =−sinθcosθ, Γϕθϕ = cosθ
sinθ .
Alle anderen Komponenten erhält man entweder durch Symmetriebetrachtungen oder sind null.Als nächstes berechnet man die Komponenten des Riemann’schen Krümmungstensor:
Rtrtr = a′b′−a′′− (a′)2, Rt
θtθ =−re−2ba′, Rtϕtϕ =−re−2b sin2 θ a′,
Rrθrθ = re−2bb′, Rr
ϕrϕ = re−2b sin2 θ b′, Rθϕθϕ =
(1− e−2b
)sin2 θ,
wobei a′ = ∂ra und b′ = ∂rb. Somit ergeben sich die Komponenten des Ricci-Tensors zu
Rtt = e2(a−b)
[
a′′+(a′)2 −a′b′+2
ra′]
,
Rrr = −a′′− (a′)2 +a′b′+2
rb′,
Rθθ = e−2b[r(b′−a′
)−1]+1,
Rϕϕ = sin2 θ Rθθ.
Die skalare Krümmung ist gegeben durch
R = −2e−2b
[
a′′+(a′)2 −a′b′+2
r
(a′−b′
)+
1
r2
(
1− e2b)]
.
Ausserhalb der Massenverteilung gilt:
Ricµν = 0.
Da Rtt und Rrr unabhängig voneinander verschwinden müssen, gilt auch
0 = e2(b−a)Rtt +Rrr =2
r
(a′+b′
)
und daher a′+b′ = 0. Diese Gleichung führt integriert zu
b(r) = −a(r)+ c.
91
Die Integrationskonstante c kann durch eine Reskalierung
t → e−ct
eliminiert werden. Daher können wir ohne Einschränkung
b(r) = −a(r)
setzen. Betrachten wir nun Rθθ = 0. Einsetzen liefert
e2a(2ra′+1
)= 1.
Dies läßt sich auch als
d
dr
(
re2a(r))
= 1
schreiben. Diese Gleichung wird durch
e2a(r) = 1− rs
r
gelöst, wie man leicht durch nachrechnen verifiziert. rs ist eine noch zu bestimmende Integrati-onskonstante. Fügen wir nun wieder alle Faktoren der Lichtgeschwindigkeit c ein, so ergibt sichfür die Metrik das Resultat
ds2 =(
1− rs
r
)
c2dt2 − dr2
1− rs
r
− r2(dθ2 + sin2 θdφ2
).
Diese Lösung wurde 1916 von K. Schwarzschild gefunden. Zur Bestimmung der Integrations-konstante betrachten wir die tt-Komponente der Metrik. Für eine Punktmasse m ergibt sich imNewton’schen Grenzfall
gtt = c2
(
1+2
c2Φ
)
= c2
(
1− 2Gm
rc2
)
und somit rs zu
rs =2Gm
c2.
Man bezeichnet rs als Schwarzschildradius der Masse m.
Beispiele für den Schwarzschildradius:
Sonne : m ≈ 2 ·1030 kg → rs = 2.95 km,
Erde : m ≈ 6 ·1024 kg → rs = 0.9 cm.
Ein Theorem von Birkhoff besagt, daß die Schwarzschild-Lösung die einzige kugelsymmetrischeLösung der Einstein’schen Gleichungen im Vakuum ist. Insbesondere impliziert dieses Theorem,
92
daß es keine zeitabhängigen Lösungen gibt. Der Beweis des Birkhoff’schen Theorems sei kurzskizziert: Wir beginnen mit einer genauen Definition des Begriffes “Kugelsymmetrie”: In einemflachen dreidimensionalen Raum entspricht die Kugelsymmetrie der Invarianz unter der Rotati-onsgruppe SO(3). Auf einer beliebigen semi-Riemannschen Mannigfaltigkeit sind Symmetriendurch Killing Vektorfelder charakterisiert. Die Killing Vektorfelder der Kugeloberfläche S2 sindgegeben durch
R = ∂ϕ,
S = cosϕ ∂θ − cotθsinϕ ∂ϕ,
T = −sinϕ ∂θ − cotθcosϕ ∂ϕ.
Diese Vektorfelder erfüllen die Kommutatorrelationen
[R,S] = T, [S,T ] = R, [T,R] = S.
Dies ist nicht anderes als die Lie-Algebra der Gruppe SO(3). Wir können nun den Begriff “Ku-gelsymmetrie” für eine beliebige vier-dimensionale Raumzeit definieren: Wir fordern die Exi-stenz von drei Killing Vektorfeldern, welche die obigen Vertauschungsrelationen erfüllen. Durchgeeignete Wahl des Koordinatensystems impliziert dies, daß die Metrik die Form
ds2 = e2a(t,r)c2dt2− e2b(t,r)dr2 − r2dΩ2
hat.
Bemerkung: Die hier auftretenden Funktionen a(t,r) und b(t,r) sind a priori Funktionen von t
und r. Man berechnet nun wieder die Christoffelsymbole, den Krümmungstensor und den Ricci-Tensor. Man findet zum Beispiel
Rictr =2
r∂tb
also
b = b(r).
Mit Hilfe einer geeigneten Koordinatenredefinition der Zeitkoordinate läßt sich auch erreichen,daß a(t,r) nicht von t abhängt. Dies führt dann zu dem Ansatz
ds2 = e2a(r)c2dt2− e2b(r)dr2 − r2dΩ2,
welcher bei der Herleitung der Schwarzschild-Lösung verwendet wurde.
Bemerkung: Alle Komponenten der Metrik sind zeitunabhängig. Dies bedeutet, daß jede kugel-symmetrische Lösung der Einstein’schen Gleichungen im Vakuum ein zeitartiges Killing Vek-torfeld besitzt.
93
Man bezeichnet eine Metrik mit einem Killing Vektorfeld, welches im Unendlichen zeitartigist, als stationär. Die allgemeine Form einer stationären Metrik ist
ds2 = g00(~x)dt2+g0i(~x)(dtdxi +dxidt
)+gi j(~x)dxidx j.
Man bezeichnet eine Metrik mit einem Killing Vektorfeld, welches zeitartig und orthogonal zueiner Familie von Hyperflächen ist, als statisch. Die allgemeine Form einer statischen Metrik ist
ds2 = g00(~x)dt2+gi j(~x)dxidx j.
Wir betrachten nun die Singularitäten der Schwarzschildmetrik:
• Die Metrik wird singulär für r = rs. Dies ist allerdings nicht mehr als eine Koordinatensin-gularität, physikalische Größen wie der Einstein’sche Tensor und der Krümmungstensorsind endlich für r = rs. Physikalisch interpretiert man rs als Ereignishorizont eines schwar-zen Lochs.
Anmerkung: Ein triviales Beispiel für eine Koordinatensingularität findet man in einerEbene am Ursprung, fall man Polarkoordinaten verwendet:
ds2 = dr2 + r2dϕ2.
gµν =
(1 00 r2
)
, gµν =
(1 00 1
r2
)
.
Insbesondere ist
gϕϕ =1
r2.
Offensichtlich ist dies ein Artefakt des verwendeten Koordinatensystems, da in einer Ebenekein Punkt vor einem anderen ausgezeichnet ist.
• Der Punkt r = 0 stellt eine echte Singularität dar. Um echte Singularitäten von Koordina-tensingularitäten zu unterscheiden betrachtet man skalare Größen wie zum Beispiel
R = gµνRicµν, RicµνRicµν, RµνρσRµνρσ.
Für die Schwarzschildmetrik findet man zum Beispiel
RµνρσRµνρσ =12r2
s
r6.
94
7.2 Die Periheldrehung des Merkur
Wir betrachten zunächst Geodäten für die Schwarzschild-Metrik.
d2xµ
dλ2+Γ
µτσ
dxτ
dλ
dxσ
dλ= 0
Die Christoffelsymbole für die Schwarzschild-Metrik lauten (wir setzen wieder c = 1):
Γttr =
rs
2r(r−rs), Γr
tt =rs
2r3 (r− rs), Γrrr =− rs
2r(r−rs),
Γθrθ =
1r, Γr
θθ =−(r− rs), Γϕrϕ = 1
r,
Γrϕϕ =−(r− rs)sin2 θ, Γθ
ϕϕ =−sinθcosθ, Γϕθϕ = cosθ
sinθ .
Die Geodätengleichung führt zu vier gekoppelten Differentialgleichungen zweiter Ordnung, wel-che sich nur sehr schwer direkt lösen lassen. Ein besserer Weg ist der folgende: Wir wissen, daßdie Schwarzschild-Metrik vier Killing Vektorfelder besitzt: Ein Vektorfeld aufgrund der Zeit-translationinvarianz, drei weitere Vektorfelder aufgrund der Kugelsymmetrie. Falls Kµ ein Kil-ling Vektorfeld ist, so gilt
Kµdxµ
dλ= const
Darüberhinaus gibt es noch eine weitere erhaltene Größe:
ε = gµνdxµ
dλ
dxν
dλ.
Wählen wir λ = s so gilt ε = 1.
Das zeitartige Killing Vektorfeld entspricht der Energieerhaltung und ist in den Koordinaten(t,r,θ,ϕ) gegeben durch
Kµ = (∂t)µ = (1,0,0,0)
Zieht man den Index herunter, so findet man
Kµ =((
1− rs
r
)
,0,0,0)
Die drei Killing Vektorfelder der Kugelsymmetrie entsprechen der Drehimpulserhaltung, einVektorfeld bestimmt den Betrag des Drehimpulses, zwei Vektorfelder die Richtung. Erhaltungdes Drehimpulses bedeutet, daß sich ein Teilchen in der Ebene bewegt. Wir können daher
θ =π
2
95
wählen. Das Killing Vektorfeld, das den Betrag des Drehimpulses beschreibt, ist durch
Rµ =(∂ϕ
)µ= (0,0,0,1)
gegeben. Auch hier ziehen wir wieder den Index nach unten:
Rµ =(0,0,0,−r2 sin2 θ
).
Mit sinθ = 1 ergeben sich die Erhaltungsgrößen
E = Kµdxµ
dλ=(
1− rs
r
) dt
dλ,
L = −Rµdxµ
dλ= r2 dϕ
dλ.
Wir betrachten nun
ε = gµνdxµ
dλ
dxν
dλ.
Ausgeschrieben ergibt dies
ε =(
1− rs
r
)( dt
dλ
)2
−(
1− rs
r
)−1(
dr
dλ
)2
− r2
(dϕ
dλ
)2
Einsetzen der Erhaltungsgrößen liefert
(dr
dλ
)2
+(
1− rs
r
)(
ε+L2
r2
)
= E2.
Diese Gleichung läßt sich auch schreiben als
1
2
(dr
dλ
)2
+V (r) = E ,
wobei
E =1
2E2,
V (r) =1
2ε− εrs
2r+
L2
2r2− rsL
2
2r3
Bemerkung: In der Newton’schen Theorie würde man ein effektives Potential finden, welchesden Term 1/r3 nicht enthält, die anderen Terme sind identisch. Der erste Term des effektivenPotentials ist eine Konstante, der zweite Term entspricht dem Newton’schen Gravitationspoten-tial, der dritte Term gibt einen Beitrag des Drehimpulses an, dessen Form in der Newton’schenMechanik und der allgemeinen Relativitätstheorie identisch ist. Der letzte Term tritt nur in derallgemeinen Relativitätstheorie auf.
96
Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen um die Sonne. Der Punkt mit der geringsten Entfer-nung zur Sonne wir als das Perihel bezeichnet. Wir betrachten nun die Perihelpräzession desMerkur. Hierzu wollen wir eine Gleichung bestimmen, die die Radialekoordinate r als Funktiondes Winkels ϕ angibt: r = r(ϕ). Wir multiplizieren die Bewegungsgleichung mit
(dϕ
dλ
)−2
=r4
L2
und erhalten(
dr
dϕ
)2
+ε
L2r4 − εrs
L2r3 + r2 − rsr =
E2
L2r4.
Setzt man nun
x =2L2
rsr
so ergibt sich
(dx
dϕ
)2
+4L2
r2s
(ε−E2
)−2εx+ x2 =
1
2
r2s
L2x3.
Wir differenzieren nun nach ϕ:
2dx
dϕ
d2x
dϕ2−2ε
dx
dϕ+2x
dx
dϕ=
3
2
r2s
L2x2 dx
dϕ
und erhalten folgende Gleichung:
d2x
dϕ2− ε+ x =
3
4
r2s
L2x2.
Der Parameter ε war definiert durch
ε = gµνdxµ
dλ
dxν
dλ.
Wählen wir als Parameterisierung der Bahn die Eigenzeit λ = s so gilt
gµνdxµ
ds
dxν
ds= 1.
Mit ε = 1 lautet unsere Gleichung nun
d2x
dϕ2 −1+ x =3
4
r2s
L2 x2.
97
In der Newton’schen Mechanik verschwindet der Term auf der rechten Seite und die Gleichung
d2x
dϕ2 −1+ x = 0.
läßt sich exakt lösen:
xNewton(ϕ) = 1+ ecosϕ.
Dies ist die Lösung von Kepler und Newton und beschreibt eine perfekte Ellipse. Die Größe e
gibt die Ekzentrizität an. In der allgemeinen Relativitätstheorie behandeln wir nun den Term
3
4
r2s
L2x2
als kleine Störung und suchen eine Lösung der Form
x(ϕ) = xNewton(ϕ)+ x(ϕ).
Im Rahmen der Störungstheorie ergibt sich für x die Differenzialgleichung
d2x
dϕ2 + x =3
4
r2s
L2 x2Newton
=3
4
r2s
L2(1+ ecosϕ)2
=3
4
r2s
L2
[(
1+e2
2
)
+2ecosϕ+e2
2cos2ϕ
]
.
Nun ist
d2
dϕ2 (ϕsinϕ)+ϕsinϕ = 2cosϕ,
d2
dϕ2 (cos2ϕ)+ cos2ϕ = −3cos2ϕ,
und daher
x =3
4
r2s
L2
[(
1+e2
2
)
+ eϕsinϕ− e2
6cos2ϕ
]
eine Lösung. Der erste Term 1+ e2/2 beschreibt eine konstante Verschiebung von x (bzw. r),der dritte Term −e2/6cos2ϕ eine Oszillation die sich zu Null mittelt. Interessant ist der Termeϕsinϕ, der sich mit jedem Umlauf aufsummiert. Wir vernachlässigen den ersten und den drittenTerm und erhalten
x(ϕ) = 1+ ecosϕ+3
4
r2s
L2eϕsinϕ.
98
Nun ist ebenfalls näherungsweise
cos((1−α)ϕ) ≈ cosϕ+αd
dαcos((1−α)ϕ)|α=0 = cosϕ+αϕsinϕ
und daher
x(ϕ) = 1+ ecos((1−α)ϕ) ,
mit
α =3
4
r2s
L2.
Pro Umlauf verschiebt sich das Perihel daher um einen Winkel
∆ϕ = 2πα =3πr2
s
2L2.
Wir bestimmen noch L2: Für eine perfekte Ellipse gilt
r =(1− e2)a
1+ ecosϕ,
wobei a die große Halbachse bezeichnet. Aus x = 1+ ecosϕ folgt andererseits
r =2L2
rs
1
1+ ecosϕ
und somit
L2 =rs
2(1− e2)a.
Mit rs = 2Gm/c2 findet man letztendlich
∆ϕ =6πGm
(1− e2)a.
Für die Sonne haben wir
Gm
c2 = 1.48 ·103m.
Die Umlaufbahn des Merkurs wird beschrieben durch
a = 5.79 ·1010m, e = 0.2056.
Man findet also
∆ϕ = 0.103′′/Umlauf.
99
Üblicherweise wird die Präzession pro Jahrhundert angegeben. Mit einer Umlaufzeit von 88Tagen für Merkur ergibt sich
∆ϕ = 43.0′′/(100 y).
Dies kann nun mit den gemessenen Daten verglichen werden:
5601′′/(100 y) gemessen
−5025′′/(100 y) Präzession der Äquinoktialpunkte
−532′′/(100 y) Störung aufgrund der anderen Planeten
44′′/(100 y)
Die Präzession der Äquinoktialpunkte ergibt sich da die Äquatorialebene um 23.5 gegenüberder Ekliptikebene geneigt ist.
7.3 Schwarze Löcher, Kruskal-Koordinaten und Penrose-Diagramme
Nachdem wir die Schwarzschild-Lösung im Aussenraum (r > rs) betrachtet haben, wollen wirnun die Schwarzschild-Lösung für den Fall betrachten, daß wir uns dem Schwarzschild-Radius rs
nähern. Wir können als erstes versuchen die kausale Struktur zu verstehen und betrachten hierzudie Lichtausbreitung für konstantes θ und ϕ:
ds2 = 0 =(
1− rs
r
)
c2dt2− dr2
1− rs
r
.
Daher
cdt
dr= ± 1
1− rs
r
.
Für großes r geht die rechte Seite über in ±1, doch für r → rs findet man
limr→rs
cdt
dr= ±∞.
In diesem Koordinatensystem werden die Lichtkegel enger und enger, je mehr man sich demSchwarzschildradius nähert. Es bedeutet nicht, daß man den Schwarzschildradius nicht überque-ren kann. Ein Beobachter hat keine Probleme, sich auf das schwarze Loch zuzubewegen. Sendeter in regelmässigen Abständen seiner Eigenzeit Lichtsignale, so erreichen diese Lichtsignaleeinen zurückgebliebenen Beobachter in immer grösseren Abständen. Es werden nur die Signa-le beim zurückgebliebenen Beobachter empfangen, welche vor dem Überqueren des Schwarz-schildradius abgeschickt wurden.
100
Zum besseren Verständnisses des Ereignishorizontes rs versuchen wir nun bessere Koordina-tensysteme zu finden, welche keine Koordinatensingularität für r = rs aufweisen. Wir werden inmehreren Schritten vorgehen. Definiert man für r > rs
r∗ = r+ rs ln
(r
rs
−1
)
so lautet die Metrik nun
ds2 =(
1− rs
r
)(c2dt2−dr∗2)− r2dΩ2,
wobei nun r als eine Funktion von r∗ aufzufassen ist. Nun gilt zwar
cdt
dr∗= ±1,
aber der Ereignishorizont r = rs entspricht nun r∗ =−∞. Definiert man nun
v = ct + r∗,
u = ct − r∗,
so gilt für in das schwarze Loch einfallende radiale lichtartige Geodäten v = const und für aus-laufende radiale lichtartige Geodäten u = const.
Geht man nun wieder über zur alten radialen Koordinate r, ersetzt aber die Zeitkoordinate durch
v = ct + r∗ = ct + r+ rs ln
(r
rs−1
)
,
so erhält man die Eddington-Finkelstein Koordinaten. Die Metrik lautet nun
ds2 =(
1− rs
r
)
dv2 − (dvdr+drdv)− r2dΩ2.
In diesen Koordinaten findet man für die Determinante der Metrik∣∣∣∣∣∣∣∣
1− rs
r−1 0 0
−1 0 0 00 0 −r2 00 0 0 −r2 sin2 θ
∣∣∣∣∣∣∣∣
= −r4 sin2 θ.
Die Determinante weist keine Singularität für r = rs auf. Für radiale lichtartige Kurven hat mannun
dv
dr=
0, einlaufend2
1− rsr
, auslaufend,
101
Bei r = rs wird aus dem radial auslaufenden Strahl nun ebenfalls ein einlaufender Strahl. DerOrt r = rs ist daher ein “point of no return”, überquert ein Teilchen diesen Ort, so kommt esnie mehr zurück. Man definiert nun als Ereignishorizont eine Fläche, jenseits derer Teilchenniemals wieder nach räumlich Unendlich zurückkommen können. Den Raum, der durch den Er-eignishorizont eingeschlossen wird, nennt man schwarzes Loch.
Wir haben nun für die Schwarzschild-Raumzeit zwei Bereiche: den Aussenraum r > rs, und denBereich des schwarzen Loches, welcher vom Aussenbereich auf zukunftsartigen Kurven erreichtwerden. Wir stellen auch fest, daß es unmöglich ist, daß schwarze Loch auf vergangenheitsarti-gen Kurven zu erreichen.
Die Schwarzschild-Lösung ist allerdings statisch und damit invariant unter Zeitumkehr. Daherkönnen diese beiden Bereiche noch nicht die komplette Raumzeit beschreiben. Einen weiterenBereich erhält man, indem man in der Redefinition der Zeitkoordinate anstelle von v die Größeu verwendet:
u = ct − r∗ = ct − r− rs ln
(r
rs−1
)
,
Die Metrik lautet nun
ds2 =(
1− rs
r
)
du2 − (dudr+drdu)− r2dΩ2.
In diesem Koordinatensystem definiert der Bereich r < rs eine Region, die vom Aussenraum nurauf vergangenheitsorientierten Kurven erreicht werden kann, aber nie auf zukunftsorientiertenKurven. Es können also Signale aus dieser Region in den Aussenraum gelangen, doch ist esunmöglich vom Aussenraum in diese Region zu gelangen. Man spricht hier von einem weissenLoch.
Um nun alle Bereiche der Schwarzschild-Raumzeit mit einem Koordinatensystem abzudecken,definieren wir ein neues Koordinatensystem
T =
√r
rs−1 e
r2rs sinh
(ct
2rs
)
,
R =
√r
rs−1 e
r2rs cosh
(ct
2rs
)
.
Die Metrik lautet nun
ds2 =4r3
s
re
rrs
(dT 2 −dR2)− r2dΩ2,
wobei nun r impliziert durch
T 2 −R2 =
(
1− r
rs
)
errs
102
definiert ist. Diese Koordinaten bezeichnet man als Kruskal-Koordinaten. In den Kruskal-Koordinaten gilt für radiale lichtartige Kurven
T = ±R+ const.
Der Ereignishorizont r = rs ist gegeben durch
T = ±R.
Allgemeiner gilt für Flächen mit r = const:
T 2 −R2 = const.
Die erlaubten Bereiche von (T,R) sind daher
−∞ ≤ R ≤ ∞, T 2 < R2 +1.
Flächen mit t = const sind gegeben durch
T
R= tanh
(ct
2rs
)
.
Die wichtigsten Eigenschaften einer Raumzeit lassen sich mit Hilfe von Penrose-Diagrammendarstellen. Penrose-Diagramme haben die folgenden Eigenschaften:
• Penrose-Diagramme stellen die Zeitkoordinate und die radiale Koordinate dar.
• Lichtstrahlen in radialer Richtung laufen in Penrose-Diagrammen in 45-Winkeln.
• Penrose-Diagramme bilden die komplette Raumzeit auf ein endliches Gebiet ab.
Wir betrachten zunächst die Konstruktion des Penrose-Diagramms für die flache Minkowski-Raumzeit. Wir beginnen mit der Metrik in Kugelkoordinaten (der Einfachheithalber setzen wirc = 1):
ds2 = dt2−dr2 − r2dΩ2.
Wir definieren nun Lichtkegelkoordinaten
u = t − r, v = t + r.
Die Bereiche von u und v sind:
−∞ < u < ∞, −∞ < v < ∞, u ≤ v.
Die Metrik lautet nun
ds2 =1
2(dudv+dvdu)− 1
4(v−u)2
dΩ2.
103
Wir setzen nun
u′ = arctanu,
v′ = arctanv.
Die Bereiche transformieren sich auf
−π
2< u′ <
π
2, −π
2< v′ <
π
2, u′ ≤ v′.
Die Metrik lautet nun
ds2 =1
4cos2 u′ cos2 v′[2(du′dv′+dv′du′
)− sin2(v′−u′)dΩ2] .
Setzt man nun
t ′ = v′+u′,
r′ = v′−u′,
so erhält man die Bereiche
0 ≤ r′ < π,∣∣t ′∣∣+ r′ < π,
und die Metrik
ds2 =1
(cost ′+ cosr′)2
(dt ′2−dr′2 − sin2 r′dΩ2
].
Das Penrose-Diagramm der Minkowski-Raumzeit:
i+
I +
i0
I −
i−
In einem Penrose-Diagramm bezeichnet man mit
i+ Unendlich für alle zukunftsorientierten zeitartigen Kurven,i0 Unendlich für alle raumartigen Kurven,i− Unendlich für alle vergangenheitsorientierten zeitartigen Kurven,I + Unendlich für alle zukunftsorientierten lichtartigen Kurven,I − Unendlich für alle vergangenheitsorientierten lichtartigen Kurven.
Alle zeitartigen Geodäten beginnen daher bei i− und enden bei i+. Alle raumartigen Geodä-ten beginnen und enden bei i0. Alle lichtartigen Geodäten beginnen bei I − und enden bei I +.
104
(Lichstrahlen, die bei I − beginnen und radial einwärts laufen, tun dies bis r = 0. Danach laufensie radial auswärts. Zeichnet man dies im Penrose-Diagramm ein, so werden sie bei r = 0 effek-tiv reflektiert. Die Lichtstrahlen enden dann bei I
+.)
Man bezeichnet eine Raumzeit (oder eine Region einer Raumzeit) als asymptotisch flach, fallsim zugehörigen Penrose-Diagramm I +, i0 und I − wie im Penrose-Diagramm der Minkowski-Raumzeit sind.
Das Penrose-Diagramm für die Schwarzschild-Metrik erhält man völlig analog. Man beginntmit den Kruskal-Koordinaten und definiert
U = T −R, V = T +R.
Man setzt dann
U ′ = arctanU√rs
, V ′ = arctanV√rs
,
und letztendlich
T ′ =V ′+U ′, R′ =V ′−U ′.
Als Bereich findet man
−π
2<U ′ <
π
2, −π
2<V ′ <
π
2, −π
2<U ′+V ′ <
π
2.
Das Penrose-Diagramm der Schwarzschild-Raumzeit:
i+
I+
i0
I −
i−
i+
I+
i0
I −
i−
rs
rs
7.4 Geladene schwarze Löcher: Die Reissner-Nordström-Lösung
Ein Theorem besagt, daß stationäre, asymptotisch flache Lösungen für schwarze Löcher der all-gemeinen Relativitätstheorie gekoppelt mit der Elektrodynamik, welche nicht-singulär ausser-halb eines Ereignishorizontes sind, vollständig durch die Größen Masse, Ladung und Drehim-puls beschrieben werden.
Für die Schwarzschild-Lösung haben wir Ladung und Drehimpuls des scharzen Loches ver-nachläßigt. Wir betrachten nun die Verallgemeinerung für ein geladenes schwarzes Loch. Die
105
Reissner-Nordström-Lösung beschreibt ein elektrisch geladenes schwarzes Loch. Die Ladungwird mit Q bezeichnet. Die Metrik lautet:
ds2 =∆
r2c2dt2− r2
∆dr2 − r2dΩ2,
wobei
∆ = r2 − 2Gmr
c2+
GQ2
c4.
Wir setzen c = 1, somit ergibt sich
∆ = r2 −2Gmr+GQ2.
Diese Lösung wurde in den Jahren 1916-1918 von Reissner und Nordström gefunden.
Den Ereignishorizont erhält man aus
∆ = 0,
r± = Gm±√
G2m2 −GQ2.
Wir betrachten nun die verschiedenen Fälle:
1. Fall: Gm2 < Q2.In diesem Fall gibt es keine reelle Lösung für r±. ∆ ist immer positiv und die Metrik ist regulärfür alle Punkte r 6= 0. Die Singularität bei r = 0 ist durch keinen Ereignishorizont von der Re-gion der asymptotisch flachen Raumzeit getrennt. Man bezeichnet als nackte Singularität eineSingularität von welcher Signale I + erreichen können.Das zugehörige Penrose-Diagramm der Reissner-Nordström-Lösung für Gm2 < Q2:
i+
I +
i0
I −
i−
2. Fall: Gm2 > Q2.Hier haben wir Ereignishorizonte bei
r± = Gm±√
G2m2 −GQ2.
Die Singularität bei r = 0 ist für die Reissner-Nordström-Lösung zeitartig.Das zugehörige Penrose-Diagramm der Reissner-Nordström-Lösung für Gm2 > Q2:
106
I +
i0
I −
I +
i0
I −
I +
i0
I−
I +
i0
I−
r+
r+
r+
r+
r−
r−
3. Fall: Gm2 = Q2. Diesen Fall bezeichnet man als die extreme Reissner-Nordström Lösung. Indiesem Fall fallen r+ und r− zusammen:
r = Gm.
Die Singularität bei r = 0 ist zeitartig, überquert man den Ereignishorizonzt, so ist es möglichdie Singularität zu vermeiden und man kann in ein weiteres Universum gelangen.Das zugehörige Penrose-Diagramm der Reissner-Nordström-Lösung für Gm2 = Q2:
107
I +
i0
I−
I+
i0
I −
r
r
7.5 Rotierende schwarze Löcher: Die Kerr-Lösung
Die Kerr-Lösung beschreibt ein rotierendes schwarzes Loch. Der Drehimpuls des schwarzenLoches wird mit J bezeichnet. Die Metrik lautet:
ds2 =
(
1− 2Gmr
c2Σ
)
c2dt2+2Gmr j sin2 θ
c2Σ(cdtdϕ+dϕcdt)
−Σ
∆dr2 −Σdθ2 −
((r2 + j2)2 −∆ j2 sin2 θ
Σ
)
sin2 θdϕ2,
wobei
∆ = r2 − 2Gmr
c2+ j2, Σ = r2 + j2 cos2 θ, j =
J
mc.
Diese Lösung wurde 1953 von Kerr gefunden.
Wir betrachten noch den allgemeinen Fall: Ein rotierendes geladenes schwarzes Loch mit derMasse m, Ladung Q und Drehimpuls J. Die Metrik lautet
ds2 =
(∆− j2 sin2 θ
Σ
)
c2dt2+j sin2 θ
(r2 + j2 −∆
)
Σ(cdtdϕ+dϕcdt)
−Σ
∆dr2 −Σdθ2 −
((r2 + j2)2 − j2∆sin2 θ
Σ
)
sin2 θdϕ2,
wobei
∆ = r2 − 2Gmr
c2+
GQ2
c4+ j2, Σ = r2 + j2 cos2 θ, j =
J
mc.
Diese Metrik bezeichnet man als Kerr-Newman-Metrik.
108
Die Koordinaten (t,r,θ,ϕ) bezeichnet man auch als Boyer-Lindquist-Koordinaten. Für Q= J = 0reduziert sich die Metrik auf die Schwarzschild-Metrik. Wir betrachten im weiteren einige Be-sonderheiten, die sich aufgrund des Drehimpulses ergeben. Zur Vereinfachung diskutieren wirnur die ursprüngliche Kerr-Lösung (Q = 0). Hält man j konstant und betrachtet man m → 0 sofindet man
ds2 = c2dt2 − (r2 + j2 cos2 θ)
r2 + j2dr2 − (r2 + j2 cos2 θ)dθ2− (r2 + j2)sin2 θdϕ2.
Dies ist die Minkowski-Metrik in elliptische Koordinaten
x =√
r2 + j2 sinθcosϕ,
y =√
r2 + j2 sinθsinϕ,
z = r cosθ.
Insbesondere entspricht r = 0 einer zwei-dimensionalen Scheibe.
Die Kerr-Metrik ist nicht statisch, sondern stationär. In der Metrik treten gemischte Terme (cdtdϕ+dϕcdt) auf. Die Ereignishorizionte findet man wieder durch Lösen der Gleichung (wir setzenwieder c = 1)
∆ = r2 −2Gmr+ j2 = 0.
Wie bei der Reissner-Nordström-Lösung unterscheidet man wieder drei Fälle: Gm < j, Gm = j
und Gm > j. Wir betrachten hier nur den letzten Fall. Man findet
r± = Gm±√
G2m2 − j2.
Wir hatten den Ereignishorizont als eine Fläche definiert, jenseits derer Teilchen niemals wie-der nach räumlich Unendlich zurückkommen können. Der Ereignishorizont ist eine lichtarti-ge Fläche. Wir definieren nun einen Killing-Horizont als eine lichtartige Fläche, entlang dererein Killing-Vektorfeld lichtartig ist. Für die Schwarzschild-Metrik und die Reissner-Nordström-Metrik können wir das Killing-Vektorfeld K = ∂t betrachten. In diesem Fall ist der zugehörigeKilling-Horizont genau der Ereignishorizont.Für die Kerr-Metrik trifft dies nicht mehr zu: Der Killing-Horizont des Vektorfeldes K = ∂t istnicht mit dem Ereignishorizont identisch. Dies liegt daran, daß die Kerr-Lösung zwar stationär,aber nicht statisch ist. Den Killing-Horizont des Vektorfeldes K = ∂t findet man durch lösen derGleichung KµKµ = 0.
(r−Gm)2 = G2m2 − j2 cos2 θ.
Zum Vergleich: Für den äußeren Ereignishorizont hat man
(r+−Gm)2 = G2m2 − j2.
Die Region zwischen diesen beiden Flächen bezeichnet man als Ergosphäre.
109
8 Kosmologie
8.1 Die perfekte Flüssigkeit
Eine Flüssigkeit stellt oft eine hinreichend gute Näherung für ein System mit vielen Teilchendar. Anstelle die Koordinaten und Geschwindigkeiten jedes einzelnen Teilchens zu spezifizieren,begnügen wir uns mit der Angabe des Vierergeschwindigkeitfeldes uµ(x) der Flüssigkeit.
Eine besondere Rolle spielt das Konzept der perfekten Flüssigkeit: Eine perfekte Flüssigkeitwird per Definition im Ruhesystem der Flüssigkeit durch nur zwei Parameter beschrieben: dieEnergiedichte ρ und die Druckdichte p.
Von besonderem Interesse ist nun der Energie-Impuls-Tensor der perfekten Flüssigkeit. Wir kön-nen ihn wie folgt plausibel machen: Im Ruhesystem der Flüssigkeit hängt T µν nur von ρ und p
ab:
T µν =
c2ρ 0 0 00 p 0 00 0 p 00 0 0 p
.
Wir suchen nun die Verallgemeinerung auf beliebige Koordinatensysteme. Berücksichtigt man,daß im Ruhesystem gilt
uµuν =
1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0
, gµν =
1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1
,
so findet man leicht die gewünschte Verallgemeinerung:
T µν =(
p+ c2ρ)
uµuν − pgµν.
Das Konzept einer perfekten Flüssigkeit ist allgemein genug, um eine Vielzahl verschiedenerphysikalischer Situationen zu beschreiben. Die Spezifizierung geschieht durch eine Zustands-gleichung
p = p(ρ),
die einen Zusammenhang zwischen der Druckdichte und der Massendichte herstellt. Beispielesind
• Staub: Für Staub gilt die Zustandsgleichung
p = 0.
In diesem Fall lautet der Energie-Impuls-Tensor
T µν = c2ρuµuν.
Nicht wechselwirkende Galaxien können zum Beispiel durch Staub modelliert werden.
110
• Isotropisches Photonengas: Für ein Photonengas haben wir die Zustandsgleichung
p =1
3c2ρ
und der Energie-Impulstensor reduziert sich auf
T µν =4
3c2ρuµuν − 1
3c2ρgµν.
• Vakuumenergie: Hier gilt die Zustandsgleichung
p = −c2ρ
und der Energie-Impulstensor reduziert sich auf
T µν = c2ρgµν.
Bemerkung: Startet man von den Einstein’schen Gleichungen ohne kosmologische Kon-stante
Ricµν −1
2gµνR =
8πG
c4Tµν
und zerlegt man den Energie-Impuls-Tensor in einen Teil, der der Vakuumenergie ent-spricht und den restlichen Beitrag aller übrigen Materie
Tµν = T(M)
µν +ρvacc2gµν
so ergibt sich
Ricµν −1
2gµνR− 8πG
c2 ρvacgµν =8πG
c4 T(M)
µν .
Dies ist äquivalent zu einer kosmologischen Konstante
Λ =8πG
c2 ρvac.
8.2 Energiebedingungen
Anstelle der Verwendung von Modellen für den Energie-Impuls-Tensor, ist es oft auch nütz-lich ganz allgemein Charakteristiken der Lösungen der Einstein’schen Gleichungen zu diskutie-ren, welche sich aus bestimmten Eigenschaften des Energie-Impuls-Tensors ergeben. Die Eigen-schaften des Energie-Impuls-Tensor werden als Energiebedingungen formuliert:
• Die schwache Energiebedingung:
Tµνtµtν ≥ 0 für alle zeitartigen Vektoren tµ.
Für die perfekte Flüssigkeit bedeutet dies ρ ≥ 0 und c2ρ+ p ≥ 0.
111
• Die lichtartige Energiebedingung:
Tµνlµlν ≥ 0 für alle lichtartigen Vektoren lµ.
Für die perfekte Flüssigkeit bedeutet dies c2ρ+ p ≥ 0.
• Die dominante Energiebedingung:
Tµνtµtν ≥ 0 für alle zeitartigen Vektoren tµ;
gµν Tµρtρ Tνσtσ ≥ 0, d.h. Tµρtρ ist nicht raumartig.
Für die perfekte Flüssigkeit bedeutet dies c2ρ ≥ |p|.
• Die lichtartig dominante Energiebedingung:
Tµνlµlν ≥ 0 für alle lichtartigen Vektoren lµ;
gµν Tµρlρ Tνσlσ ≥ 0, d.h. Tµρlρ ist nicht raumartig.
Für die perfekte Flüssigkeit bedeutet dies c2ρ ≥ |p| oder c2ρ =−p.
• Die starke Energiebedingung:
Tµνtµtν ≥ 1
2T
ρρ tσtσ für alle zeitartigen Vektoren tµ.
Für die perfekte Flüssigkeit bedeutet dies c2ρ+ p ≥ 0 und c2ρ+3p ≥ 0.
Für die perfekte Flüssigkeit können wir die Energiebedingungen wie folgt zusammenfassen.Geht man von einer Zustandsgleichung
p = wc2ρ
aus (wobei man w als den Parameter der Zustandsgleichung bezeichnet), so impliziert jede derobigen Energiebedingungen zusammen mit ρ ≥ 0, daß
w ≥ −1
gilt.
8.3 Die Robertson-Walker-Metrik
Wir wiederholen nochmal die Begriffe Isotropie und Homogenität eines Raumes: Isotropie be-deutet, daß keine Richtung eines Raumes ausgezeichnet ist, Homogenität bedeutet, daß keinPunkt eines Raumes ausgezeichnet ist. Bemerkung: Isotropie und Homogenität sind zunächst un-abhängige Konzepte, es gibt Mannigfaltigkeiten die homogen, aber nirgends isotrop sind, R×S2
wäre ein Beispiel.
112
Andererseits gilt: Falls ein Raum überall isotrop ist, so ist er auch homogen. Ebenso gilt: Fallein Raum isotrop in einem Punkt ist und darüberhinaus homogen ist, so ist er auch überall isotrop.
Aus der Beobachtung der kosmischen Hintergrundstrahlung können wir folgern, daß das Uni-versum von der Erde aus betrachtet räumlich isotrop ist. Da wir nicht davon ausgehen, daß derBeobachtungspunkt Erde besonders ausgezeichnet ist, können wir (räumliche) Isotropie im ge-samten Universum und damit auch (räumliche) Homogenität im gesamten Universum folgern.
Bemerkung: Über die zeitliche Komponente ist nichts gesagt, wir werden davon ausgehen, daßdas Universum in der Zeit sich verändert. Wir betrachten daher eine Raumzeit, die in den räum-lichen Komponenten homogen und isotrop ist, aber in der Zeit evolviert. Wir können (zuminde-stens lokal) annehmen, dass sich diese Raumzeit als
R×Σ
darstellen läß, wobei R die Zeitkoordinate darstellt und Σ eine dreidimensionale Mannigfaltigkeitist, welche die räumlichen Komponenten darstellt. Da die räumlichen Komponenten homogenund isotrop sind, folgt daß Σ ein maximal symmetrischer Raum ist. Durch eine geeignete Wahlder Zeitkoordinate können wir erreichen, daß sich die Metrik als
ds2 = c2dt2−R(t)2dσ2
schreiben läßt. R(t) bezeichnet man als Skalierungsfaktor, dσ2 gibt die Metrik auf der Mannig-faltigkeit Σ an. Für maximal symmetrische Räume gilt
Rσλµν = κ(gσµgλν −gσνgλµ
).
Wir wenden dies nun auf den drei-dimensionalen Raum Σ mit der Metrik
dσ2 = γi jduidu j
an:
R(3)i jkl = κ
(γikγ jl − γilγ jk
),
wobei die hochgestellte 3 andeutet, daß wir hier für den Krümmungstensor nur die Beschränkungauf die drei-dimensionale Mannigfaltigkeit Σ betrachten. Für die Konstante κ gilt
κ =R(3)
6.
Für den Ricci-Tensor findet man
Ric(3)i j = 2κγi j.
Ähnlich wie bei der Schwarzschildlösung läßt sich die Metrik dσ2 auf die Form
dσ2 = γi jduidu j = e2b(r)dr2 + r2dΩ2
113
bringen. Wie bei der Schwarzschildlösung berechnet man aus dieser Form den Ricci-Tensor. Inden Koordinaten (r,θ,ϕ) findet man
Ric(3)11 =
2
r∂rb,
Ric(3)22 = e−2b (r∂rb−1)+1,
Ric(3)33 =
[
e−2b (r∂rb−1)+1]
sin2 θ.
Setzt man dies nun mit der obigen Gleichung Ric(3)i j = 2κγi j gleich, so findert man für b(r):
b(r) = −1
2ln(1−κr2
)
und somit
dσ2 =dr2
1−κr2 + r2dΩ2
Insgesamt ergibt sich für die Metrik der vier-dimensionalen Raumzeit
ds2 = c2dt2−R(t)2
[dr2
1−κr2 + r2(dθ2 + sin2 θdφ2
)]
Eine Metrik dieser Form bezeichnet man als Robertson-Walker-Metrik. Der SkalierungsfaktorR(t) ist noch zu bestimmen. Die Geometrien lassen sich durch den Parameter κ in drei Klassenwie folgt charakterisieren:
κ > 0 geschlossene Geometrie
κ = 0 räumlich flach
κ < 0 offene Geometrie
Dies sieht man am leichtesten, indem man sich eine neue radiale Koordinate durch
dχ =dr√
1−κr2
definiert. Integriert man diese Gleichung, so erhält man
r =
sinχ, κ = 1,χ, κ = 0,sinhχ, κ =−1.
und somit
dσ2 =
dχ2 + sin2 χdΩ2, κ = 1,dχ2 +χ2dΩ2, κ = 0,dχ2 + sinh2 χdΩ2, κ =−1.
Für κ = 1 erhält man somit für dσ2 die Metrik der Sphäre S3, für κ = 0 erhält man die flacheeuklidische Metrik und für κ =−1 erhält man eine hyperbolische Metrik.
114
8.4 Die Friedmann’schen Gleichungen und der Hubble-Parameter
Zur Bestimmung der Funktion R(t) verwendet man nun die Einstein’schen Gleichungen und dasModell der perfekten Flüssigkeit für den Energie-Impuls-Tensor
T µν =(
p+ c2ρ)
uµuν − pgµν.
zusammen mit der Zustandsgleichung
p = wc2ρ.
Im Ruhesystem der Flüssigkeit gilt uµ = (1,0,0,0) und somit
T µν =
c2ρ 0 0 000 −pgi j
0
Zieht man einen Index herunter, so ergibt sich
Tµν = diag(c2ρ,−p,−p,−p).
Für die Spur hat man
T = T µµ = c2ρ−3p.
Wir erinnern uns, daß die Einstein’schen Gleichungen sich auch als
Ricµν =8πG
c4
(
Tµν −1
2gµνT
)
−Λgµν
schreiben lassen. Für die µν = 00-Komponente findet man
−31
c2
R
R=
4πG
c4
(c2ρ+3p
)−Λ
und für die µν = i j-Komponenten erhält man
1
c2
R
R+2
1
c2
(R
R
)2
+2κ
R2 =4πG
c4
(c2ρ− p
)+Λ.
(Ein Punkt über einer Funktion stehe hier für d/dt.) Eliminiert man noch die zweite Ableitungaus der letzten Gleichung, so erhält man die Friedmann’schen Gleichungen:
(R
R
)2
=8πGρ
3− κc2
R2+
Λc2
3
R
R= −4πG
3c2
(c2ρ+3p
)+
Λc2
3
115
Man bezeichnet die Größe
H(t) =R(t)
R(t)
als Hubble-Parameter. Der Wert des Hubble-Parameters zum jetzigen Zeitpunkt wird als Hub-blekonstante H0 bezeichnet. Die Hubblekonstante hat den Wert
H0 = 70±10 km s−1Mpc−1.
Ein Megaparsec ist gleich 1Mpc = 3.09 ·1022m. Der Hubble-Parameter ist ein Maß für die Aus-dehnung des Universums.
Schlägt man die kosmologische Konstante der Massendichte zu (als ideale Flüssigkeit mit p =−c2ρ), so lautet die erste Gleichung:
H(t)2 =8πGρ
3− κc2
R2,
Die Rate, mit der sich die Expansion verlangsamt, wird durch den Parameter
q = −RR
R2=−
RR
(RR
)2 .
beschrieben. Aus den Friedmann’schen Gleichungen folgt (für Λ = 0):
q =c2ρ+3p
2c2ρ− 3c4κ4πGR2
.
Für die zeitliche Änderung des Hubble-Parameters findet man
H(t) =d
dt
R(t)
R(t)=
R
R−(
R
R
)2
=− [1+q(t)]H(t)2.
Die kritische Dichte ist durch κ = 0 definiert, also
ρc =3H2
8πG
Man definiert auch oft einen Dichteparameter Ω als
Ω =ρ
ρc=
8πG
3H2ρ.
Die erste Friedmann’sche Gleichung läßt sich dann schreiben als
Ω−1 =κ
H2R2.
Daher gilt:
ρ < ρc ↔ Ω < 1 ↔ κ < 0 ↔ offen,
ρ = ρc ↔ Ω = 1 ↔ κ = 0 ↔ flach,
ρ > ρc ↔ Ω > 1 ↔ κ > 0 ↔ geschlossen.
116
8.5 Evolution des Universums
Wir betrachten noch die Energieerhaltung. Aus
∇µTµν = 0
folgt für die 0-Komponente
0 = ∂µTµ0 +Γ
µ
µλT λ0 −Γλ
µ0Tµ
λ = ∂0c2ρ−3R
R
(c2ρ+ p
).
Mit der Zustandsgleichung p = wc2ρ ergibt sich
ρ
ρ= −3(1+w)
R
R.
Diese Gleichung läßt sich integrieren
ρ(t) ∼ R(t)−3(1+w).
Wir betrachten einige Extremfälle: Nimmt man an, daß das Universum nur aus nicht wechsel-wirkenden Galaxien besteht (Staub), so hat man w = 0 und
ρM(t) ∼ R(t)−3.
Man bezeichnet ein Universum, in dem die Energiedichte wie R(t)−3 abfällt als materiedomi-niert. Betrachtet man hingegen ein Universum, welches nur aus Photonen besteht, so hat manw = 1/3 und
ρR(t) ∼ R(t)−4.
Man bezeichnet ein Universum, in dem die Energiedichte wie R(t)−4 abfällt als strahlungsdo-miniert. Zuletzt betrachten wir noch ein Universum, welches nur aus Vakuumenergie besteht.Hier hat man w =−1 und
ρΛ(t) ∼ R(t)0.
Man bezeichnet ein Universum, in dem die Energiedichte zeitlich konstant ist als vakuumdomi-niert.
Für alle Fälle finden wir ein Potenzgesetz
ρ(t) = ρ0R(t)−n,
wobei n = 3(1+w). Betrachten wir nochmal die erste Friedmann’sche Gleichung
H(t)2 =8πG
3ρ(t)− κc2
R(t)2,
117
so läßt sich auch der Term proportional zur räumlichen Krümmung κ als eine effektive Energie-dichte
ρcurv(t) = −3c2κ
8πGR(t)−2
betrachten. Aus n = 3(1+w) folgt für diesen Fall w =−1/3. Man setzt auch
Ωcurv =ρcurv
ρc
=− c2κ
R(t)2H(t)2=−c2κ
R2.
Mit diesen Konventionen haben wir
H(t)2 =8πG
3
(
ρcurv(t)+∑j
ρ j(t)
)
.
Dividiert man beide Seiten durch H(t)2 so ergibt sich
1 = Ωcurv +∑j
Ω j
Bemerkung: Die gesamte Energiedichte des Universums ist natürlich nur
Ω = ∑j
Ω j,
d.h. ohne Ωcurv. Daher gilt
Ωcurv = 1−Ω.
Die Definition von ρcurv und Ωcurv dient nur zur Vereinfachung der Diskussion der verschiedenenBeiträge zu H(t).Betrachten wir nun zur Vereinfachung nur eine Energiedichte mit der Zeitabhängigkeit
ρ(t) = ρ0R(t)−n,
mit n > 0 so folgt aus
H(t)2 =8πG
3ρ(t)
R(t) =
√
8πG
3ρ0 R(t)1− n
2
und somit
R(t) =
[2
3n2πGρ0 (t − t0)
2] 1
n
.
Zum Zeitpunkt t = t0 haben wir R(t0) = 0. Den Zeitpunkt t0 bezeichnet man als Urknall und stellteine echte Singularität der Raumzeit dar. Für n > 0 divergiert zum Beispiel die Energiedichteρ(t)∼ R(t)−n. Das zugehörige Penrose-Diagramm läßt sich wie folgt darstellen:
118
i+
I+
i0i−
Wir betrachten noch den Spezialfall n = 0, der der Vakuumsenergie entspricht. In diesem Fall istdie Energiedichte konstant
ρ(t) = ρ0
und man findet
R(t) = exp
(√
8
3πGρ0 (t − t0)
)
.
8.6 Die Rotverschiebung
Wir betrachten zur Vereinfachung ein räumlich flaches Universum (κ = 0) mit der Robertson-Walker-Metrik
ds2 = c2dt2−R(t)2[dr2 + r2
(dθ2 + sin2 θdφ2
)]
und nehmen weiter an, daß die Zeitabhängigkeit des Skalierungsfaktors einem Potenzgesetzfolgt:
R(t) =
(t
t0
)q
, 0 < q < 1,
wobei t0 hier eine Größe mit der Dimension Sekunden ist, um R(t) dimensionslos zu halten. Fürdie Potenz q ergibt sich für eine perfekte Flüssigkeit mit der Zustandsgleichung p = wc2ρ
q =2
n=
2
3(1+w).
Für ein strahlungsdominiertes Universum haben wir zum Beispiel q = 1/2, für ein materiedomi-niertes Universum q = 2/3. Für die Lichtausbreitung findet man
dx
dt= ±c
(t
t0
)−q
.
Diese Gleichung läßt sich integrieren und man findet
t =
[(1−q)
c tq0
(±x− x0)
] 11−q
.
Aus der Differentialgleichung findet man auch, daß die Llichtkegel für t = 0 tangential zur Sin-gularität bei t = 0 sind. Ein wichtiger Punkt dieser Geometrie ist, daß sich die Lichtkegel zweier
119
Punkte in der Vergangenheit nicht schneiden müssen. Schneiden sie sich nicht, so besteht keinkausaler Zusammenhang zwischen diesen beiden Punkten.
Wir betrachten nun für eine Metrik der Form
ds2 = c2dt2−R(t)2[dr2 + r2
(dθ2 + sin2 θdφ2
)]
die Geodäten-Gleichung
d2xµ
dλ2 +Γµτσ
dxτ
dλ
dxσ
dλ= 0
Für ein masseloses Teilchen (Photon) haben wir
dxµ
dλ
dxµ
dλ= 0.
Als Normalisierung verwendet man
pµ =dxµ
dλ.
Ein Beobachter mit Vierergeschwindigkeit Uµ mißt die Energie des Photons zu
E = pµUµ.
Für die 0-Komponente der Geodäten-Gleichung finden wir
c2 d2t
dλ2 +RRδi jdxi
dλ
dx j
dλ= 0.
Mit
dr
dλ=
c
R
dt
dλ
ergibt sich
d2t
dλ2+
R
R
(dt
dλ
)2
= 0.
Eine Lösung ist
dt
dλ=
ω0
R(t),
wobei ω0 eine Konstante ist. Verifikation der Lösung:
d2t
dλ2+
R
R
(dt
dλ
)2
=d
dλ
ω0
R+
R
R
ω20
R2=
(d
dt
ω0
R
)dt
dλ+
ω20R
R3
=
(−ω0R
R2
)ω0
R+
ω20R
R3= 0.
120
Ein Beobachter mit konstanten räumlichen Koordinaten (und somit Vierergeschwindigkeit Uµ =(1,0,0,0)) beobachtet daher ein Photon mit Energie
E = Uµ dxµ
dλ=
ω0
R(t).
Hieraus folgt die kosmologische Rotverschiebung: Ein Photon, welches mit der Energie E1 beidem Skalierungsfaktor R(t1) emittiert wurde und mit der Energie E2 bei dem SkalierungsfaktorR(t2) gemessen wurde, erfüllt die Relation
E2
E1=
R(t1)
R(t2).
Der Begriff “Rotverschiebung” erklärt sich daraus, daß in einem expandierenden UniversumR(t2)> R(t1) für t2 > t1 gilt. Daraus folgt E2 < E1. Üblicherweise wird die Rotverschiebung als
z =E1 −E2
E2=
λ2 −λ1
λ1=
R(t2)
R(t1)−1
angegeben. Setzt man R(t2) = 1 so findet man
R(t1) =1
1+ z.
Man erhält also aus der Rotverschiebung den Skalierungsfaktor zur Zeit der Emission des Pho-tons.
Bemerkung: Die Rotverschiebung und der Dopplereffekt sind konzeptionell verschieden: Voneinem Dopplereffekt kann man nur in flachen Räumen sprechen, in dem die Relativgeschwin-digkeit zwischen zwei Punkten wohldefiniert ist. Auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit lassensich nur Tangentialvektoren am gleichen Punkt vergleichen, eine Relativgeschwindigkeit zwi-schen zwei entfernten Punkten ist nicht wohldefiniert. Die Rotverschiebung ergibt sich aufgrundder Änderung der Metrik.
Mit dieser Warnung im Hinterkopf, werden wir nun trotzdem der Rotverschiebung eine Ge-schwindigkeit zuordnen. Wir führen zunächst den momentanen physikalischen Abstand dp(t)zweier Objekte (Galaxien) ein. Befindet sich ein Objekt im Ursprung und das zweite bei derradialen Koordinate r, so ist
dp(t) = R(t)r.
Die Änderung des momentanen physikalischen Abstandes definiert eine Geschwindigkeit
v = dp(t) = R(t)r =R(t)
R(t)dp(t) = H(t)dp(t).
Dies ist das Hubble’sche Gesetz.
121
9 Schritte zur Quantengravitation
Dieses Kapitel setzt ein Verständnis der Quantenfeldtheorie voraus. In der Quantenfeldtheorie istes üblich, die natürlichen Einheiten
c = 1, ~= 1,
zu wählen. Darüberhinaus ist es üblich, die Felder zu reskalieren:
~Enat =1√4π
~EGauss, ρnat =√
4πρGauss,
~Bnat =1√4π
~BGauss, ~jnat =√
4π~jGauss.
Die Maxwellschen Gleichungen lauten dann
~∇ ·~E = 0, ~∇ ·~E = ρ,
~∇×~E +∂t~B = 0, ~∇×~B−∂t
~E = ~j.
Wir betrachten kurz die Poisson-Gleichung für das skalare Potential in der Elektrostatik, die innatürlichen Einheiten
∆Φem = −ρ
lautet. Die Lagrangedichte der Elektrodynamik in natürlichen Einheiten ergibt sich zu
L = −1
4FµνFµν,
d.h. ohne einen zusätzlichen Faktor 1/(4π). Der Energie-Impuls-Tensor der Elektrodynamik hatebenfalls in natürlichen Einheiten keinen expliziten Vorfaktor 1/(4π). In diesem Kapitel verwen-den wir natürliche Einheiten. Die Einsteinschen Feldgleichungen lauten dann
Ricµν −1
2gµνR−Λgµν = 2GTµν,
und die Wirkung der allgemeinen Relativitätstheorie lautet
SEH = − 1
4G
∫d4x
√−g(R+2Λ) .
Wir setzen
κ =√
8G,
und somit
SEH = − 2
κ2
∫d4x
√−g(R+2Λ) .
122
9.1 Die Gravitation als Eichtheorie
Wir können die Gravitation als eine Theorie betrachten, die invariant unter bestimmten “Eichtrans-formationen” ist. Im Falle der Gravitation sind die Eichtransformationen die allgemeinen Koor-dinatentransformationen
x′µ = f µ (x) .
Eine infinitessimale allgemeine Koordinatentransformation schreiben wir als
x′µ = xµ − εξµ (x) .
(Das Minuszeichen hat keine weitere Bedeutung und ist Konvention.) Die infinitessimale Um-kehrtransformation ist dann
xµ = x′µ + εξµ(x′)+O
(ε2).
Wir bestimmen die Metrik im transformierten System:
g′µ′ν′(x′)
=∂xµ
∂x′µ′
∂xν
∂x′ν′ gµν
(x(x′))
=(
δµ
µ′ + ε∂µ′ξµ(x′))(
δνν′ + ε∂ν′ξ
ν(x′))(
gµν
(x′)+ εξρ
(x′)
∂ρgµν
(x′))
+O(ε2)
= gµ′ν′(x′)+ ε[(
∂µ′ξµ(x′))
gµν′(x′)+(∂ν′ξ
ν(x′))
gµ′ν(x′)+ξρ
(x′)
∂ρgµ′ν′(x′)]
+O(ε2).
Man schreibt auch oft in kürzerer Form
g′µν = gµν + ε[(
∂µξρ)
gρν +(∂νξρ)gµρ +ξρ∂ρgµν
]+O
(ε2).
Schreiben wir nun
gµν (x) = ηµν +κhµν (x) ,
so findet man für h′µν:
h′µν = hµν +ε
κ
[(∂µξρ
)ηρν +(∂νξρ)ηµρ
]
+ε[(
∂µξρ)
hρν +(∂νξρ)hµρ +ξρ∂ρhµν
]+O
(ε2).
Wir können dies etwas vereinfachen und finden
h′µν = hµν +ε
κ
[∇µξν +∇νξµ
]+O
(ε2),
wobei ξµ = gµνξν = ηµνξν +κhµνξν. Wir können die Transformation von hµν nach h′µν als eineinfinitessimale Eichtransformation betrachten.
123
9.2 Störungstheoretische Behandlung der Quantengravitation
Bei der Herleitung der Einsteinschen Gleichungen hatten wir den Newtonschen Grenzfall be-trachtet. Dieser Grenzfall war durch drei Bedingungen definiert: schwache Kopplung, statischesGravitationsfeld sowie der Forderung, daß sich alle Teilchen langsam gegenüber der Lichtge-schwindigkeit bewegen. In diesem Abschnitt werden wir auf die letzten beiden Forderungenverzichten, behalten aber die erste bei, so daß wir das Gravitationsfeld als Störung der flachenRaumzeit behandeln können. Darüberhinaus wollen wir alle (kleinen) Störungen des Gravita-tionsfeldes betrachten und jede Störung mit exp iS gewichten. Dies führt uns direkt zu einerstörungstheoretischen Beschreibung der Quantengravitation. Dies wird uns auch erlauben, Gra-vitationswellen und deren Streuung zu beschreiben. Wir bezeichnen mit
ηµν =
1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1
die Metrik des flachen Minkowskiraumes. Wir schreiben
gµν = ηµν +κhµν
und behandeln κhµν als einen Störterm. Wir erinnern uns, daß wir κ =√
8G definiert hatten. DerTensor hµν beschreibt das Feld eines Graviton. Die Metrik ηµν des flachen Minkowskiraumes istLösung der Einsteinschen Gleichungen ohne kosmologische Konstante,
Ricµν −1
2gµνR = 0,
ηµν ist keine Lösung der Einsteinschen Gleichungen mit einer von Null verschiedenen kosmo-logischen Konstante. Da wir um eine triviale Lösung entwickeln wollen, beschränken wir unsim folgenden auf Λ = 0. Die Einstein-Hilbert-Wirkung ohne kosmologische Konstante läßt sichsomit als
SEH =
∫d4x L , L =− 2
κ2
√−gR
schreiben. Hierbei betrachten wir κ/4 als eine (kleine) Kopplungskonstante. Wir betrachtennun für hµν eine effektive (nicht-renormierbare) Quantenfeldtheorie, die durch das generierendeFunktional
Z [Jµν] =
∫Dhexp
[
i
∫d4x L +LGF +LFP + Jµνhµν
]
definiert ist. Hierbei bezeichnet LGF einen eichfixierenden Term und LFP den zugehörigen Faddeev-Popov-Term. Auf den eichfixierenden Term LGF werden wir später noch genauer eingehen, derFaddeev-Popov-Term LFP ist in der Born-Näherung nicht weiter relevant. Die so definierte Quan-tenfeldtheorie wollen wir im Rahmen der Störungstheorie behandeln. Unser erstes Ziel hierbei
124
ist die Entwicklung der Lagrangedichte in Potenzen von hµν. Wir führen die folgenden Abkür-zungen ein:
(ηhη)µν = ηµµ1hµ1µ2ηµ2ν,
(ηhηhη)µν = ηµµ1hµ1µ2ηµ2µ3hµ3µ4ηµ4ν,
(ηhηhηhη)µν = ηµµ1hµ1µ2ηµ2µ3hµ3µ4ηµ4µ5hµ5µ6ηµ6ν,
Mit Hilfe dieser Abkürzungen können wir den inversen metrischen Tensor durch hµν ausdrücken:
gµν = ηµν −κ(ηhη)µν +κ2 (ηhηhη)µν −κ3 (ηhηhηhη)µν +O(κ4) .
Der inverse metrische Tensor is eine unendliche Reihe in κ. Wir betrachten nun die Determinanteg = det(gµν). Auch hier führen wir wieder einige Abkürzungen ein:
(ηh) = ηµ1µ2hµ2µ1,
(ηhηh) = ηµ1µ2hµ2µ3ηµ3µ4hµ4µ1 ,
(ηhηhηh) = ηµ1µ2hµ2µ3ηµ3µ4hµ4µ5ηµ5µ6hµ6µ1,
(ηhηhηhηh) = ηµ1µ2hµ2µ3ηµ3µ4hµ4µ5ηµ5µ6hµ6µ7ηµ7µ8hµ8µ1 .
Für die Determinante gilt dann:
−det(gµν
)=
1+κ(ηh)+κ2
[1
2(ηh)2 − 1
2(ηhηh)
]
+κ3
[1
6(ηh)3 − 1
2(ηhηh)(ηh)+
1
3(ηhηhηh)
]
+κ4
[1
24(ηh)4 − 1
4(ηhηh)(ηh)2 +
1
8(ηhηh)2 +
1
3(ηhηhηh)(ηh)− 1
4(ηhηhηhηh)
]
.
Dieser Ausdruck endet mit dem O(κ4)-Term. Nehmen wir nun allerdings die Wurzel, so erhaltenwir wieder eine unendliche Reihe in κ:
√−g = 1+κ
2(ηh)+
κ2
8
[
(ηh)2 −2(ηhηh)]
+κ3
48
[
(ηh)3 −6(ηhηh)(ηh)+8(ηhηhηh)]
+O(κ4).
Zur Berechnung der skalaren Krümmung R betrachten wir zunächst die Christoffel-Symbole
Γκµν =1
2
(∂µgνκ +∂νgµκ −∂κgµν
)=
κ
2
(∂µhνκ +∂νhµκ −∂κhµν
).
Hierbei haben wir ∂αηβγ = 0 verwendet. Der Riemannsche Krümmungstensor ergibt sich zu
Rκλµν =κ
2
(∂λ∂µhκν −∂κ∂µhλν +∂κ∂νhλµ −∂λ∂νhκµ
)+gξη
(ΓξκνΓηλµ −ΓξκµΓηλν
).
Der erste Term ist hierbei linear in hµν, während der zweite Term mindestens quadratisch in hµν
ist. Für die skalare Krümmung gilt dann
R = gκµgλνRκλµν.
125
Da sowohl gµν als auch√−g unendliche Reihen in κ sind, erhalten wir auch für die Lagrange-
dichte eine unendliche Reihe in κ. Wir schreiben
L +LGF =∞
∑i=1
L(i),
wobei der Term L (i) das Feld hµν genau i-mal enthält. Wir erhalten also eine Theorie mit einerunendlichen Anzahl von Wechselwirkungsvertices, geordnet nach der Anzahl der Felder. L (1) istgegeben durch
L(1) = −2
κηκµηλν∂λ
(∂µhκν −∂νhκµ
)
Dieser Term ist eine totale Ableitung und verschwindet in der Wirkung nach partieller Integrati-on:
−2
κηκµηλν
∫d4x ∂λ
(∂µhκν −∂νhκµ
)= 0.
Die Lagrangedichte beginnt also mit Termen quadratisch in hµν.
Bemerkung: Hätten wir naiv die Einstein-Hilbert-Wirkung mit einer kosmologischen KonstanteΛ 6= 0 um die flache Minkowskimetrik ηµν entwickelt, so würden wir von der Entwicklung von√−g einen Zusatzterm zu L (1) bekommen:
−2Λ
κηµνhµν.
Dieser Term ist keine totale Ableitung und verschwindet nicht. Ein Term dieser Art wird als Tad-pole bezeichnet und zeigt an, daß um das falsche Hintergrundfeld entwickelt wurde.
Wir kehren zum Fall Λ = 0 zurück und betrachten nun L (2). Zu L (2) trägt auch LGF bei. Ei-ne übliche Eichung für die Gravitation ist die de Donder-Eichung. In dieser Eichung ist
LGF =1
κ2CµηµνCν,
wobei Cµ durch
Cµ = ηαβΓµαβ =κ
2ηαβ
(∂αhβµ +∂βhαµ −∂µhαβ
)= κηαβ
(
∂αhβµ −1
2∂µhαβ
)
gegeben ist. In dieser Eichung findet man
L(2) =
1
2hµ1µ2
(1
2ηµ1µ2ην1ν2 − 1
2ηµ1ν1ηµ2ν2 − 1
2ηµ1ν2ηµ2ν1
)
hν1ν2 .
126
Hiebei haben wir den Ausdruck in Klammern in (µ1,µ2) und (ν1,ν2) symmetrisiert. Dies ist pro-blemlos möglich, da hµν symmetrisch ist. Wir betrachten zuerst die Tensorstruktur (in D Raum-Zeit-Dimensionen). Für
Mµ1µ2ν1ν2 =1
2ηµ1ν1ηµ2ν2 +
1
2ηµ1ν2ηµ2ν1 − 1
2ηµ1µ2ην1ν2,
Nµ1µ2ν1ν2 =1
2
(
ηµ1ν1ηµ2ν2 +ηµ1ν2ηµ2ν1 −2
D−2ηµ1µ2ην1ν2
)
gilt
Mµ1µ2ρ1ρ2Nρ1ρ2ν1ν2 =1
2
(δ
µ1ν1
δµ2ν2+δ
µ1ν2
δµ2ν1
).
Als Propagator für das Graviton findet man
1
2
(
ηµ1ν1ηµ2ν2 +ηµ1ν2ηµ2ν1 −2
D−2ηµ1µ2ην1ν2
)i
k2 .
Als nächstes bestimmen wir den 3-Graviton-Vertex. Hierzu betrachten wir L (3). Nach einer etwaslängeren Rechnung und unter Verwendung partieller Integration findet man
L(3) = κ
[
−1
4ηµ1ν1ηµ2ν2ηµ3ν3ηρ2ρ3 +
1
4ηµ1ν1ηµ2ν3ηµ3ν2ηρ2ρ3 +ηµ1ν2ηµ2ν1ηµ3ν3ηρ2ρ3
−ηµ1ν2ηµ2ν3ηµ3ν1ηρ2ρ3 +1
2ηµ1ρ2ηρ3ν1ηµ2ν2ηµ3ν3 − 1
2ηµ1ρ2ηρ3ν1ηµ2ν3ηµ3ν2
+2ηµ1ρ2ηρ3ν2ηµ2ν3ηµ3ν1 −ηµ1ρ2ηρ3ν2ηµ2ν1ηµ3ν3 − 1
2ηµ3ρ2ηρ3ν2ηµ1ν1ηµ2ν3
+ηµ3ρ2ηρ3ν2ηµ1ν3ηµ2ν1 −ηµ1ρ2ηρ3ν3ηµ2ν2ηµ3ν1 −ηµ3ρ2ηρ3ν3ηµ1ν2ηµ2ν1
+1
2ηµ3ρ2ηρ3ν3ηµ1ν1ηµ2ν2
]
hµ1ν1
(∂ρ2hµ2ν2
)(∂ρ3hµ3ν3
).
Wir schreiben L (3) als
L(3) = O
µ1µ2µ3ν1ν2ν3 (∂1,∂2,∂3)hµ1ν1hµ2ν2hµ3ν3,
wobei Oµ1µ2µ3ν1ν2ν3 (∂1,∂2,∂3) durch Vergleich mit der vorherigen Gleichung definitiert ist. Hier-bei bezeichnet ∂ j eine Ableitung, die auf das Feld hµ jν j
wirkt. Die Feynmanregel für den 3-Graviton-Vertex lautet dann
V µ1µ2µ3ν1ν2ν3 (p1, p2, p3) = i ∑σ∈S3
Oµσ(1)µσ(2)µσ(3)νσ(1)νσ(2)νσ(3)
(ipσ(1), ipσ(2), ipσ(3)
).
Der explizite Ausdruck für V µ1µ2µ3ν1ν2ν3 ist länglich und wird hier nicht angegeben. Es soll abereine interessante Eigenschaft erwähnt werden. Der 3-Graviton-Vertex läßt sich schreiben als
V µ1µ2µ3ν1ν2ν3 (p1, p2, p3) = iκ
4V µ1µ2µ3 (p1, p2, p3)V ν1ν2ν3 (p1, p2, p3)+ ...,
127
wobei die Punkte für Terme stehen, die im On-Shell-Limes verschwinden. V µ1µ2µ3 (p1, p2, p3) istder kinematische Anteil des zyklisch geordneten 3-Guon-Vertex, gegeben durch
V µ1µ2µ3 (p1, p2, p3) = i[gµ1µ2
(p
µ31 − p
µ32
)+gµ2µ3
(p
µ12 − p
µ13
)+gµ3µ1
(p
µ23 − p
µ21
)].
Wir sehen also, daß der 3-Graviton-Vertex im On-Shell-Limes im wesentlichen das Quadratdes 3-Gluon-Vertex ist. Dies stellt eine Verbindung zwischen nicht-abelschen Eichtheorien undder Gravitation her und wird als “double copy”-Eigenschaft bezeichnet. Im Prinzip ist es mög-lich, aus der Lagrangedichte systematisch die weiteren Wechselwirkungsvertices für vier, fünf,... Gravitonen herzuleiten. Zur Berechnung der Streuamplitude mit n Gravitonen benötigt manalle Vertices mit bis zu n Feldern. Die Streuamplitude läßt sich dann über Feynmandiagrammeberechnen. Allerdings ist dieser Weg sehr mühselig. Effizientere Methoden basieren auf der obenerwähnten “double copy”-Eigenschaft oder auf On-shell-Rekursionsformeln.
Wir betrachten noch die Kopplung eines Gravitons an ein komplexes skalares Feld. Die rele-vante Lagrangedichte lautet
LSkalar =√−g
[(∂µφ∗
)(∂νφ)gµν −m2φ∗φ
].
Auch diese Lagrangedichte können wir wieder in eine Reihe in κ entwickeln.
LSkalar =∞
∑i=0
L(i)Skalar.
Der nullte Term L(0)Skalar lautet
L(0)Skalar =
(∂µφ∗
)(∂νφ)ηµν −m2φ∗φ.
Dieser Term gibt den Propagator des skalaren Feldes:
i
p2 −m2 .
Der Term L(1)Skalar lautet
L(1)Skalar =
κ
4
[2(ηµ1µ2ηµ3µ4 −ηµ1µ3ηµ2µ4 −ηµ1µ4ηµ2µ3)hµ1µ2
(∂µ3φ∗
)(∂µ4φ
)−2m2ηµ1µ2hµ1µ2φ∗φ
].
Hieraus ergibt sich der Skalar-Skalar-Graviton-Vertex zu
iκ
4
[2p
µ11 p
µ22 +2p
µ12 p
µ21 −
(2p1 · p2 +2m2
)ηµ1µ2
],
wobei p1 der Impuls des auslaufenden φ∗-Teilchens und p2 der Impuls des auslaufenden φ-Teilchens ist.
Wir können nun die Streuamplitude für die Streunung zweier skalarer Teilchen mit den Mas-sen m und m′ durch Gravitonaustausch berechnen. Das relevante Feynmandiagramm ist hierbei
128
p1
p2 p3
p4
Wir erhalten für die Steuamplitude
M =(κ
4
)
i[2p
µ12 p
µ23 +2p
µ13 p
µ22 −
(2p2 p3 +2m′2)ηµ1µ2
]
×1
2
[ηµ1ν1ηµ2ν2 +ηµ1ν2ηµ2ν1 −ηµ1µ2ην1ν2
] i
(p2 + p3)2
×(κ
4
)
i[2p
ν11 p
ν24 +2p
ν14 p
ν21 −
(2p1p4 +2m2
)ην1ν2
],
wobei in der ersten Zeile die Feynmanregel für den oberen Skalar-Skalar-Graviton-Vertex steht,in der zweiten Zeile die Feynmanregel für den Gravitonpropagator und in der dritten Zeile dieFeynmanregel für den unteren Skalar-Skalar-Graviton-Vertex. Kontrahiert man die Indizes, soerhält man
M = −i(κ
4
)2 4
t
[(s+u)
(m2 +m′2)− su−m4 −m′4 −4m2m′2] .
Hierbei haben wir die Mandelstam-Variablen
s = (p1 + p2)2 = (p3 + p4)
2 , t = (p2 + p3)2 = (p1 + p4)
2 , u = (p1 + p3)2 = (p2 + p4)
2
verwendet. Wir betrachten nun die Streuung φ1φ2 → φ3φ4 im nicht-relativistischen Grenzfall.In diesem Grenzfall sind die räumlichen Komponenten der Vierervektoren klein gegenüber denEnergiekomponenten. Behalten wir nur den jeweils führenden Term so ist in diesem Grenzfall
pµ1 = (−m,−~p1), p
µ2 = (−m′,−~p2), p
µ3 = (m′,~p3), p
µ4 = (m,~p4).
Das Minuszeichen bei p1 und p2 rührt daher, daß wir in unserer Konvention alle Impulse alsauslaufend betrachten. Für die Mandelstam-Variablen s und u ergibt sich
s =(m+m′)2
, u =(m−m′)2
.
Für die Mandelstam-Variable t ergibt sich
t = −|~p3 −~p2|2 = −|~p4 −~p1|2 = −|~q|2 .
Im nicht-relativistischen Grenzfall ist die Mandelstam-Variable t klein gegenüber den anderenVariablen s, u, m2 und m′2. Wir können die Variable t daher im Zähler vernachläßigen. Wirerhalten für die Streuamplitude
M = i(κ
4
)2 8m2m′2
|~q|2= 4i
Gm2m′2
|~q|2.
129
Wir können diese Streuamplitude mit der Streuamplitude für die Streuung zweier geladener Fer-mionen mit den Ladungen Q und Q′ und den Massen m und m′ vergleichen. Im Rahmen derQuantenelektrodynamik findet man im nicht-relativistischen Grenzfall
A = −4iQQ′mm′
|~q|2.
Betrachten wir zunächst die Vorzeichen. Aus der Elektrodynamik ist bekannt, daß sich gleich-artige Ladungen (QQ′ > 0) abstoßen und entgegengesetzte Ladungen (QQ′ < 0) anziehen. Ausdem Vorzeichen von M folgt, daß die Gravitation eine anziehende Kraft ist.
Bis auf Vorfaktoren sind die beiden Streuamplituden identisch. Die funktionale Abängigkeitvon den Impulsen ist in beiden Fällen durch den Faktor 1/|~q|2 gegeben und entspricht im klassi-schen Grenzfall einem 1/r-Potential.
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