allgemeine relativitätstheorie · 2010. 4. 11. · allgemeine relativitätstheorie...
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Allgemeine Relativitätstheorie
Allgemeine RelativitätstheorieEine anschauliche Einführung in die Grundlagen
Allgemeine Relativitätstheorie
Wegelemente
y
x
ds
dx
dy
invariant bei Drehungen
ds2=dx2dy 2
euklidischer Raum: Minkowski-Raum:
c t
x
ds
dx
c d t ds2=c2dt 2−dx2
invariant bei Lorentz-Transformationen
3-dimensional:
ds2=dx 2dy 2dz2
ds2=dx dy dz 1 0 00 1 00 0 1dx
dydz
ds2=gab dx adx b
Euklidische Metrik
4-dimensional:
ds2=c2 dt2−dx 2−dy 2−dz2
ds2=c dt dx dy dz 1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1
c dtdxdydz
ds2=dxdx
Minkowski-Metrik
Allgemeine Relativitätstheorie
Beschleunigte Bezugssysteme
Beispiel: rotierendes Bezugssystem
In beschleunigten Bezugssystemen ist das Wegelement von komplizierterer Formals in einem Inertialsystem.
Die Metrikkoeffizienten sind im allgemeinen Funktionen der Koordinaten:
ds2 = gab(x,y,z,t) dxadxb
x
x'yy'
ω t
x=x ' cos t ' −y ' sin t ' y=x ' sin t ' y ' cos t ' z=z 't=t '
Wegelement im rotierenden System:
ds2=c2−2 x ' 2y ' 2dt ' 22 y ' dx ' dt '−2 x ' dy ' dt '−dx ' 2−dy ' 2−dz ' 2
Allgemeine Relativitätstheorie
Inertialsystem:
experimenteller Befund: schwere Masse und träge Masse sind gleich
Masse:
Bezugssystem, in dem das 1. Newton'sche Gesetz (Trägheitsprinzip) gilt.
Beobachtungen in Raumschiffen und Raumstationen zeigen:In einem Gravitationsfeld frei fallende Bezugssysteme sind Inertialsysteme.
Allgemeine Relativitätstheorie
ÄquivalenzprinzipDie Vorgänge in beschleunigten Bezugssystemen und in Gravitationsfeldern sind einander äquivalent.Durch Messungen innerhalb eines Labors kann man nicht unterscheiden,ob sich dieses in einem Gravitationsfeld befindet oder aus einer anderenUrsache konstant beschleunigt wird.
Gleichwertige Formulierung:In Lokalen Inertialsystemen („Satellitenlabor“) gelten die bekannten Gesetze der Speziellen Relativitätstheorie ohne Gravitation.
Allgemeine Relativitätstheorie
Allgemeine Relativitätstheorie
φ dφ
θ r
r sin(θ)
dθ
r sin(θ) dφ
r dθds
z.B. Kugelfläche
ds2=r 2 d 2r 2 sin2d 2
ds2=d d r 2 00 r 2 sin2d
d
Linienelement im Gravitationsfeld
Analogie:ebene Fläche gekrümmte Fläche
ohne Gravitation/Beschleunigung: flache Raumzeit, Minkowski-Metrik
ds2=dxdx
mit Gravitation/Beschleunigung: gekrümmte Raumzeit, kompliziertere Metrik
ds2=gx dx dx
u = 0u = 1
u = 2
v = 0v = 1
v = 2
r
s
x=ur v s
z.B. Ebeneim Raum
ds2=du2
dv 2
ds2=du dv 1 0
0 1dudv
Allgemeine Relativitätstheorie
Feldgleichungen
Newton: Einstein:
Grundsatz:
● beschrieben durch Potential ● Kraft ~ Änderung des Potentials
● Ursache der Gravitation ~ Masse
lokale Formulierung::● Quellstärke der Gravitation = Quellstärke der Potentialänderung ~ Dichte
Grundsatz:
● Ursache der Gravitation ~ Energie- und Impulsfluss ● beschrieben durch Metrikkoeffizienten ● Gravitation entspricht Krümmung der Raumzeit
lokale Formulierung::● Krümmung = Änderung der Metrikkoeffizienten ~ Energie- und Impulsfluss
r =4G⋅r G=−8Gc4 ⋅T
Allgemeine Relativitätstheorie
Lineare Näherung in schwachen Feldern
ds2=c2dt 21
2c2 −d x 21−
2c2
Oberfläche von M /kg r /km 2| |/c2
Erde 5,97⋅1024 6,37⋅106 1,4⋅10−9
Sonne 1,99⋅1030 6,96⋅105 4,2⋅10−6
Weißer Zwerg 1,99⋅1030 104 3,0⋅10−4
Neutronenstern 1,99⋅1030 10 3,0⋅10−1
r =−G M
rNewton'sches Gravitationspotential
Allgemeine Relativitätstheorie
∞
z.B. Sonne
RS
ruhende Uhr ruhende Uhr
Verhalten von Uhren
c2d 2=c2d t 212c2
dt= d
12c2
dt≈ d
1c2
dt≈d ⋅1− c2 d
In der Umgebung schwerer Massen ist der Gang von Uhren im Vergleich zu einer im Unendlichen ruhenden Uhr um den Faktor (1 – φ/c2) verlangsamt.
ds2=c2dt 21
2c2 ds2
=c2d 2
Allgemeine Relativitätstheorie
Verhalten von Maßstäben
∞
z.B. Sonne
RS
ruhender Maßstab ruhender Maßstab
ds2=d 2 ds2=d x21−2c2
d 2=d x 21−2c2
dx= d
1−2c2
dx≈ d
1−c2
dx≈d⋅1 c2 d
Maßstäbe, die von ∞ in die Umgebung schwerer Massen gebracht werden, schrumpfen im Vergleich zu den bei ∞ befindlichen Maßstäben um den Faktor (1 + φ/c2).
Allgemeine Relativitätstheorie
Gravitationsrotverschiebung
Beispiel: Von der Oberfläche eines Sterns (A) wird Licht der Frequenz fA ausgesandt.Am Ort B wird dieses Licht mit einer Frequenz fB empfangen.
Voraussage der ART: f A−f B
f A=B−A
A=r B−r A
c2
Bestätigung durch Messungen an der Sonne und an Quasaren
B A
Rotverschiebung
Allgemeine Relativitätstheorie
Erste terrestrische Messung: Pound/Rebka/Snider (1962/65)
Gravitationsrotverschiebung (2)
f A−f B
f A=g h
c2 =9,81m/s2⋅22,5m3⋅108m /s
=2,45⋅10−15
h=22,5m
wurde experimentell bestätigt
homogenes Gravitationsfeld:
y =g y h − 0=g h
Allgemeine Relativitätstheorie
LichtablenkungVoraussage der ART: Lichtstrahlen erfahren im Gravitationsfeld eine Ablenkung.
Erste Beobachtungen: Lichtstrahlen von Sternen, die den Rand der Sonne streifen (sichtbar bei Sonnenfinsternissen)
vorausgesagter Ablenkungswinkel: =1,75 ' ' experimentell bestätigt
weitere experimentelle Bestätigungen durch Messungen an Quasaren
Allgemeine Relativitätstheorie
Periheldrehung
Die Newton'sche Gravitationstheorie sagt für die Bahnkurven von Planeten Ellipsen voraus.
In der ART ergibt sich eine kleine Abweichung von der geschlossenen Ellipsenbahn,die als Drehung der Ellipse beschrieben werden kann.
Experimentell wird sie als Winkeländerung ∆ϕ des sonnennächsten Bahnpunkts, desPerihels, beobachtet.
Beispiel Merkur:
Die ART ergibt ∆ϕ = 43'' pro Erdjahrhundert,
in Übereinstimmung mit experimentellen Daten.
Allgemeine Relativitätstheorie
RadarechoverzögerungEin von der Erde ausgesandtes Radarsignal kann von einem anderen Planeten reflektiertund auf der Erde wieder empfangen werden.Passiert der Radarstrahl dabei das Gravitationsfeld der Sonne, so trifft das Echo zeitlichverzögert ein.Diese Änderung der Laufzeit kann experimentell beobachtet werden.
Beispiel: Erde - Mars
ART:
t=2⋅2⋅G⋅MS
c3 ⋅lnaE⋅aM
RS2 =220s
Messung:
Allgemeine Relativitätstheorie
Wo wird die ART benötigt?● Korrekturen/Erweiterungen der Newton'schen Gravitationstheorie
● Erklärung von Gravitationslinsen
● Voraussage von Gravitationswellen
● Theorie des Sternaufbaus und der Sternentwicklung
● Beschreibung von Schwarzen Löchern / Quasaren
● Kosmologie: Aufstellen von Weltmodellen, welche die zeitliche Entwicklung der Materieverteilung und des Gravitationsfeldes des Kosmos beschreiben