Ali Nesin

1956da . . .

Nesin Yaynclk Ltd. Sti.

kunye. . .

Ali Nesin

Sayma

(ya da Kombinasyon Hesaplar)

Icindekiler

Onsoz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I Temel Yontemler 3

1 Guvercin Yuvas Ilkesi 5

2 Tumevarmla Kant ve Tanm 19

3 Kombinasyon Hesaplar 33

4 Iki Farkl Bicimde Sayma 55

5 Binom Katsaylar 67

6 Binom Aclm Problemleri 77

7 Kumelerin Elemanlarn Sayma 91

7.1 Bilesim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.2 Simetrik Fark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

8 Sayma Problemleri 101

II Daha Derin Sayma 105

9 Catalan Saylar 107

10 Nesneleri Farkl Bicimlerde Boyamak 111

11 Cizgeler ve Agaclar 119

11.1 Tanm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

11.2 Altcizge ve Baglantl Bilesenler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

11.3 Cizgelerin Onemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

v

11.4 Cizge Says . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

11.5 Adlandrlms Agac Says . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

12 Simetrik Grup 145

13 Stirling Saylar 155

14 Uretec Fonksiyonlaryla Dizi Formulu Bulmak 167

14.1 Polinomlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

14.2 Bicimsel Kuvvet Serileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

14.3 Toplama ve Carpma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

14.4 Tersinir Bicimsel Kuvvet Serileri . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

14.5 Bileske . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

14.6 Kuvvet Serileriyle Dizi Formulu Bulmak . . . . . . . . . . . . . 185

15 Parcalans Says 193

16 Ramsey Teorisi 199

16.1 Ramsey Saylar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

16.2 Sonsuz Ramsey Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

III Okuma Parcalar ve Uygulamalar 207

17 Saymak Zor, Hatta Kimileyin Imkansz Bir Zanaattr 209

18 Ikiye Kadar Filan Sayma 213

19 Dogrudan Sayma 225

19.1 Kosegenler Cokgenleri Kac Parcaya Ayrr? . . . . . . . . . . . 225

19.2 Bir Sihirbazlk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

19.3 Sopayla Sayalm! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

20 Tumevarmla Sayma 237

20.1 Hanoi Kulesi Oyunu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

20.2 Ikinci Problem: Duzlemi Parcalayan Dogrular . . . . . . . . . . 241

20.3 Ucuncu Problem: Josephus Problemi . . . . . . . . . . . . . . . 244

21 Dizi Sayma 251

22 Pokerin Matematigi 261

23 Ayr Dusen Ciftler 267

24 Fonksiyonlar Sayma 275

25 Kupleri Sayma 281

26 Cozumlu Birkac Problem 289

27 Bir Olimpiyat Sorusu ve Dusundurdukleri 295

Kaynakca 307

Onsoz

Bu kitap, liselilere ve universitelilere yonelik bir dizi kitabn ucuncusudurama ilk ikisinden oldukca bagmszdr. Birinci ve ucuncu ksm tamamen li-selilere yoneliktir. Ikinci ksmda seviye biraz artmaktadr ama lise seviyesiniasmamaktadr. Teori ilk iki ksmda yaplmakta, ucuncu ksmda birkac uy-gulama verilmektedir. Bu son bolumdeki konulardan ogrenciler birbirlerineseminerler verebilirler.

Konumuz sayma; bildigimiz, cocuklugumuzdan beri yaptgmz bir is. Amaelemanlar teker teker saymak yerine elemanlarn olusturdugu kumeyi tek birhamlede saymaya calsacagz. Birkac sayma sorusu ornegi vereyim: 25 sopaykac farkl bicimde 3 farkl renge boyayabiliriz? n dogru, duzlemde en fazlakac noktada kesisir? Icinde 001 barndrmayan 2008 uzunlugunda kac tane0 ve 1den olusan dizi vardr? Saysal lotoda (49/6, yani 49 saydan 6snseciyoruz) en az 4 tutturmay garantilemek icin en az kac sutun (ve hangisaylar) oynamalyz? Iste bu kitapta bu tur sorularla ilgilenecegiz.

Gunluk yasamdan kaynaklanan, dolaysyla problemi anlamak icin nere-deyse okuma yazma bilmenin bile gerekmedigi, ama yant bugune dek bulu-namayan bircok sayma sorusu vardr. Yukardaki ornek sorulardan sonuncusuda yant -bildigim kadaryla- bilinmeyen sorulardan biridir.

Her ne kadar cocuklugumuzdan beri sayyor olsak da, saymak cok zor birkonudur. Teorisi az gelismistir. Bilinen birkac standart sayma yontemi olsa da,benim sahsi gorusume gore konu kendi basna matematiksel bir dal olmaktanuzaktr, cunku, genel olarak, karsmza ckan bir sayma problemiyle nasl basacklacagn problemle karslasr karslasmaz kestirebilmek oldukca guctur.

Dolaysyla saymann derinine inilmis bir konu oldugunu soyleyemeyiz. De-rinine inilemese de konunun yuzeyi cok genistir ve sadece bu yuzeyde dolasmakbas dondurucu bir maceradr.

Benim universite yllarmda bu konuda dersler okutulmazd, kitaplar dayazlmamst, yazlmssa da cok populer degildi; liselerde daha cok olaslk adaltnda biraz okutulurdu. Buyuk olcude bilgisayarlarn gelismesiyle sayma ko-nusu bugun buyuk onem kazand. Artk bu ve genel olarak sonlu ya da ayrkmatematik olarak adlandrlan benzer konularda bircok universitede derslerveriliyor, her biri digerinden ilginc bircok kitap yaymlanyor; en azndan Bat

1

2

dunyasnda.Bu kitapta sayma konusuna sadece bir giris yapacagz. Daha ileri seviyede

sayma tekniklerini Sonlu Matematik adl, su anda hazrlanmakta olan birazdaha akademik bir kitapta gorecegiz.

Cogu kitabn aksine, bu kitap ortalara dogru giderek kolaylasr (sonra tek-rar zorlasr). Ilk bolumlerde baz yerleri anlayamayan okur okumaya devam et-sin. Anlayacag ve hosuna gidecek seyler ogrenecegini sanyorum. Alstrmalarda illa kolaydan zora dogru sralanmamstr. Ayrca alstrmalarn zorlugu met-nin zorluguyla dogru orantl degildir. Alstrmalarn okura zor gelmesi illaokurun konuyu iyi anlamadg anlamna gelmeyebilir. Sayma konusunu ma-tematigin diger konularndan ayran iste bu ozelliktir: Teorisi kolaydr amapratigi zor, hatta cogu zaman imkanszdr. Degme matematikci bile baz soru-larda, ustelik yant kolay olan sorularda cuvallayabilir, cunku probleme dogruyaklasm bariz olamayabilir.

Teorik olmayan, ogrenilenleri pekistirmeye yarayan (ve eglenceli oldugunudusundugum) yazlar kitabn sonunda Okuma Parcalar ad altnda bula-caksnz. Kolaydan zora dogru giden bu yazlar kitabn herhangi bir asama-snda okuyabilirsiniz, ornegin teoriden yoruldugunuzda.

Matematik Dunyas dergisine yazdklar birer yazy buraya almama izinveren Hayri Ardal, Basak Ay, Selin Enust Calskan, Sermin Cam ve MustafaOzdemir meslektaslarma, birer yazda paslastgmz Haluk Oral ve AndreiRatiu meslektaslarma ve kitabn mizanpajnda buyuk emegi gecen Asl CanKorkmaza ve Atay Erise, her basmda yeni duzeltmeler bulan Ali Torune,dorduncu basmn duzeltmelerini yapan Onur Karaya ve hala daha inatlakopmayan boynuma -hepimiz adna- cok tesekkur ederim.

Eski ogrencim, yeni meslektasm Sonat Suere ozel bir paragraf ayrmamgerekiyor. Cok dar bir zamanda, o kadar isi arasnda kitab birkac kez bastanasag okudu ve cok onemli duzeltmeler yapt, cok degerli onerilerde bulundu.Daha fazla zaman olsayd yapabilecegi duzeltmeleri dusunmek bile korkutucu!Sonata da hepimiz adna cok tesekkur ederim.

Ali NesinSubat-Haziran 2009

ve Agustos 2014

Ksm I

Temel Yontemler

1. Guvercin Yuvas Ilkesi

Haluk Oral ile birlikte yazlmstr.

Bir sihirbaz sahnede yaptg numarayla kucuk dilinizi yutturabilir ama na-sl yaptgn ogrendiginizde numarann butun havas kaybolur. Numaranngercekten sihirbazlk olmadgn anlarsnz! Bu bir duskrklg yaratr. Onunicin sihirbazlar numaralarn nasl yaptklarn acklamazlar.

Matematikte de ilk baksta zor gorunen baz problemlerin cozumu cok basitolabilir, cozum sasrtc derecede basit bir matematiksel ilkeye dayanabilir.Matematikcilerin srlarn paylasmamas (en azndan gunumuzde) soz konusuolmadgndan bu ilkelerden birini acklayacagz: Cekmece Ilkesi , nam digerGuvercin Yuvas Ilkesi .

Ilke gercekten cok basit. Ama once sihirbazlk numaramz yapalm:

Ileride dunyaca unlu matematikci olacak olan kucuk Gauss, babasyla or-manda gezerken babasna sormus:

Bu ormanda yaprak says birbirine esit iki agacn olmas icin herhangibir kosul soyleyebilir misin?

Baba Gauss boyle bir kosul dusunemeyince yant kucuk Karl vermis:

Eger ormandaki agac says, bu ormanda en cok yaprag olan agacnyaprak saysndan en az iki fazlaysa, en az iki agacn yaprak says ayndr...

Bu oyku buyuk bir olaslkla uydurmadr. Ama kucuk Gaussun buyudu-gunde dunyann gelmis gecmis en buyuk matematikcisi olacag gercektir.

Gaussun yant karsk gibi gorunebilir ilk baksta. Ama cok kolay oldugu-nu su acklamay okuyunca fark edeceksiniz: Guvercin beslediginizi dusunun,her aksam da guvercinler yuvalarna girsinler. Eger guvercin says guvercinyuvas saysndan fazlaysa, ornegin 4 yuva ve 5 guvercin varsa, o zaman en azbir yuvada birden fazla guvercin olacaktr. Ilkeye Guvercin Yuvas ad veril-mesinin nedeni bu acklamadr.

Bu ilke degisik ama denk ifadelerle de verilebilir. Ornegin,

1. Guvercin says yuva saysndan fazlaysa, en az bir yuvada birden fazlaguvercin olur.

2. Belli sayda guvercin ayn sayda yuvaya yerlestirildiginde, yuvalardanbirinin bos kalmas icin gerek ve yeter kosul, en az bir yuvada 1den fazla

6 1. Guvercin Yuvas Ilkesi

guvercin olmasdr.

3. Eger belli sayda guvercin belli sayda yuvaya, hicbir yuvaya 1denfazla guvercin koyulmadan yerlestirilebiliyorsa, o zaman guvercin says yuvasaysndan kucukesittir.

4. Iki sonlu kume arasnda birebir esleme olmas icin gerek ve yeter kosul,bu iki kumenin eleman saysnn esit olmasdr.

Ormana ve agaclara donelim. Ne demisti Gauss? Ormandaki agac saysen fazla yaprag olan agacn yaprak saysndan en az iki fazlaysa... Ormanda 6agac olsun ve her agac en fazla 4 yaprakl olsun. Ilk bes agacn yaprak saylar0, 1, 2, 3, 4