alges3 kriging y cokriging

8/13/2019 ALGES3 Kriging y Cokriging

1/23

Universidad de Chile

Facultad de Ciencias Fsicas

Dep

Xa

y Matemticas

artamento de Ingeniera de MinasLaboratorio ALGES

Cokriging

vier Emery, Sebastin Pizarro M


2/23

Xavier Emery, Sebastin Piza

0. ....................

. ...

.

. .......................

ro M

......................................................................................

......................................................................................

....................................................................................

......................................................................................

ALGES

Cokriging

2

........................

........................

......................

......................


3/23


Nos interesamos por mtodos

variables regionalizadas en udatos de esta(s) variable(s). E

cuales se pueden subdividir e

1) Interpoladores basados e

los polgonos (2D) o polie

del ms cercano vecino, adel espacio (mtodo de int

2) Interpoladores basados e

3) Interpoladores baricntri

estimar. Entre ellos, pode

la media mvil, o el inver

Los mtodos antes nombr

los datos cercanos en la const

particular al considerar solame ignorar la continuidad espac

precisin de la estimacin, pocometerse, al no plantearse en

El estimador de (co)kriginde funcin aleatoria para desc

de la familia de interpoladore

segn sus distancias al sitio aagrupamientos en el espacio,

ro M

de interpolacin espacial, que permiten estimar

sitio dado del espacio, a partir de un conjunto l este contexto, se han desarrollado varios inter

las siguientes categoras:

una particindel espacio. Entre ellos, destaca

dros (3D) de influencia, conocido tambin com

como los mtodos construidos en base a una terpolacin lineal o de Akima, entre otros).

funciones, tales como splines o superficies de

os, que consisten en ponderar los datos vecinos

os mencionar el interpolador de los k-ms cerc

o de la distancia.

dos poseen la ventaja de ser fciles de ejecutar

uccin del estimador. Sin embargo poseen limi

nte la configuracin geomtrica de los datos yial de la variable regionalizada. Tampoco permi

ejemplo midiendo la dispersin del error que eun contexto probabilstico.

g permite superar estas limitantes, basndose eibir la(s) variable(s) regionalizada(s) en estudi

baricntricos. La ponderacin de los datos se

estimar, las redundancias entre datos causadasla estructura de correlacin espacial de la func

ALGES

Cokriging

3

una o varias

imitado deoladores, los

el mtodo de

interpolador

iangulacin

endencia.

del sitio a

anos vecinos,

y privilegian

antes, en

itio a estimarten conocer la

s susceptible

un modelo. Forma parte

etermina

or posiblesin aleatoria.


4/23


Seazla variable regionalizad1... n} los sitios con datos y xde kriging se obtiene al plante

1. Restriccin de linealid

La primera restriccin consist

una combinacin lineal ponde

Luego, el problema de la inter

y el coeficiente a.

Esta restriccin se debe a la ddistribuciones de probabilida

aleatoria. La construccin de

lineales de los datos, requerirmomentos, lo cual se puede re

2. Restriccin de insesgo

En el modelo probabilstico, e

Luego el estimador no tiendeSe puede interpretar esta restren el espacio: si se calcula so

de los errores de estimacin c

que los errores sean bajos, sin

ro M

en estudio,Zla funcin aleatoria correspondieel sitio en el cual se busca estimar el valor de

ar tres restricciones:

ad

e en escribir el estimador, denotadoZ*(x0) en a

rada de los datos:

= +=n

ZaZ1

0* )()( xx

polacin queda en encontrar los ponderadores {

cisin de considerar solamente los primeros m(media y funcin de covarianza / variograma)

stimadores ms sofisticados, que no sean comb

a especificar la funcin aleatoria ms all de sualizar con mtodos de geoestadstica no lineal.

l error cometido debe tener una esperanza nula:

E[Z*(x0) Z(x0)] = 0

a sobreestimar o subestimar el valor real descon ccin, reemplazando la esperanza matemtica

re numerosas configuraciones de kriging idntimetidos se acerca a cero. La ausencia de sesgo

o solamente que su media global es aproximada

ALGES

Cokriging

4

te, {x: =. El sistema

elante, como

, = 1... n}

mentos de lase la funcin

inaciones

dos primeros

ocido.or una media

cas, la mediano garantiza

mente nula.


5/23


3. Restriccin de optimal

Se busca minimizar la varianz

la dispersin de dicho error:

mi

Si se calculara sobre numeros

de los errores de estimacin cequivale a la minimizacin de

Una vez planteada la metodol

estimacin. Para ello se utilizdel espacio que contiene el sit

puede considerar varias posib

La vecindad puede abarcar to

ellos (vecindad mvil). Con usemejantes a la vecindad nic

en utilizar todos los datos, au

A la vecindad mvil se le deb

1. Tamao de la vecinda

El tamao de la vecindad deb

Precisin de las estimacio

Tiempos de clculo, pocagrandes, cambios en la co

factores, se tiende a elegirnmero de datos vecinos s

ro M

idad

a del error cometido (llamada varianza de krig

imizar K2(x0) = var[Z

*(x0) Z(x0)]

s configuraciones de kriging idnticas, la varia

metidos sera la ms baja posible. Este criteriol error cuadrtico promedio.

ga a utilizar se debe considerar con qu datos

el concepto de vecindad de krigingque se refiio a estimar y los datos utilizados en la estimaci

lidades.

os los datos disponibles (vecindad nica) o sl

diseo apropiado, la vecindad mvil obtiene ry ahorra tiempo de clculo que sta gasta inne

los datos muy lejanos del sitio a estimar.

atribuir una forma y un tamao.

permitir un equilibrio entre varios factores:

es: aumenta cuando la vecindad contiene ms

confiabilidad del modelo de variograma para di tinuidad espacial de la variable regionalizada:

una vecindad de tamao limitado, luego a restrieleccionados.

ALGES

Cokriging

5

ng), que mide

za estadstica

de precisin

se realizar la

re al dominion. El usuario

o una parte de

esultadoscesariamente

atos;

stanciasebido a estos

ngir el


6/23


Cabe notar que no hay justific

alcance del modelo variogrfialcance no tienen correlacin

casos, estos datos intervienen

precisin, a veces de maneratamao de la vecindad es la c

alcance del variograma.

2. Forma de la vecindad

En la medida de lo posible, la

la funcin aleatoria, reveladageomtrica, se considerar un

caractersticas orientacin yanisotropa. A menudo, tambicuadrantes en 2D u octantes e

fijo de datos, con el fin de rep

la informacin que se va a co

La figura 1 presenta un ejempforma de elipse centrada en el

mximo, estn indicados.

,

ro M

acin particular para limitar el tamao de la vec

co, bajo el pretexto que los datos localizados mcon valor en el sitio a estimar. De hecho, en la

indirectamente en la estimacin de la media y

o despreciable. El factor a considerar en la elecntidad de datos disponibles en la vecindad, ms

forma de la vecindad debe tomar en cuenta la a

or el anlisis variogrfico. As, en el caso de uvecindad en forma de elipse (2D) o elipsoide

excentricidad sean idnticas a las de la elipsen, se divide esta vecindad en varios sectores (e3D), en cada uno de los cuales se trata de bus

artir de mejor manera en torno al sitio que se qu

servar.

lo de vecindad mvil en el espacio de dos dimesitio a estimar. Los datos retenidos, tres por cu

( ).

ALGES

Cokriging

6

indad al

s all de esteayora de los

ejoran la

cin delque el

isotropa de

a anisotropa3D) cuyas

(elipsoide) degeneral, enar un nmero

iere estimar,

siones, endrante al


7/23


Por otro lado, la figura 2 mue

dimensiones, en forma de elip

,

En caso de anisotropa ms covecindad en forma de elipse oms sofisticada (por ejemplo,

pura). Hay que buscar entonc

isovalores del mapa variogrfi

direccin y distancia geogrfi

3. Otras restricciones

Se puede agregar restriccionedistancia mnima entre dos da

sin dato, una distancia mxim

4. Validacin

Para validar los parmetros delas llamadas tcnicas de valid

opciones de vecindad y se eli

ro M

tra un ejemplo de vecindad mvil en el espacio

soide centrado en el sitio a estimar, y su divisi

( ).

mpleja que la anisotropa geomtrica, se sueleelipsoide, aunque idealmente se debera escogeuna vecindad en forma de banda en caso de ani

s una elipse que se acerca lo mejor posible a la

co, que indican el nivel de correlacin en funci

a.

adicionales en la seleccin de datos vecinos, taos seleccionados, un nmero mximo de sector

a sin ningn dato, un nmero mnimo de datos s

la vecindad (tamao, forma, nmero de datos),cin cruzada o de jack-knife: se pone a prueba

e aquella que entrega los resultados ms satisfa

ALGES

Cokriging

7

de tres

en octantes.

onservar unar una formaotropa zonal

curvas de

n de la

les como: unaes angulares

eleccionados.

se puede usarvarias

ctorios.


8/23


1.3.1. Hiptesis

Se supone que la variable regicual se conoce la media y la f

estacionario, suponiendo ento

covarianza entre dos datos sladelante, denotaremos mcom

1.3.2. DeterminaciPara ello se revisar una a una

1. Linealidad: Se asegura est

2. Insesgo: El valor esperado

ZE )([ 0* x

Este valor es nulo si:

En consecuencia, el estim

ro M

onalizadaz es la realizacin de una funcin alencin de covarianza. Por lo general, se trabaja

ces que la media es constante en el espacio y q

o depende del vector de separacin entre estosla media y C(h) como la funcin de covarianz

del estimador

las distintas condiciones del kriging:

a restriccin al tomar como estimador en x0

=

+=n

ZaZ1

0

* )()( xx

del error de estimacin es:

ma

ZEZEaZ

n

n

]1[

])([])([])(

1

0

1

0

+=

+=

=

= xxx

man

]1[1

=

=

dor se pone bajo la forma

mZnn

]1[)()(11

0

* =

=

+= xx

ALGES

Cokriging

8

toriaZ de laen un marco

ue la

atos. Ena.


9/23


de modo que el valor de la

asigna una ponderacin igdatos. Mientras menos po

uno se aleja de estos datos

compensar la falta de info

3. Optimalidad: Ahora se depuede expresar en funcin

ZZ 00* )()(var[ xx

El mnimo de esta expresilas incgnitas {, = 1...

Es un sistema lineal en elincgnitas. En escritura m

(

( 1

x

x

nC

C

M

lo que permite determinarcoeficiente aditivo apor

1.3.3. Varianza de krLa varianza del error de estim

expresa de la siguiente forma:

ro M

media aparece como si fuera un dato adicional,

al al complemento de la ponderacin acumuladeracin se da a los datos (en la prctica, esto

), ms ponderacin recibe la media. El rol de la

macin cuando los datos son escasos o alejado

e calcular la varianza del error de estimacin, lde la covarianza, de la siguiente manera:

=

= =

+=nn n

CC11 1

2 (2)(] xxx

n se obtiene anulando sus derivadas parcialesn}. Se obtiene finalmente el sistema de ecuacio

)()(,...1 01

xxxx == =

CCnn

ual el nmero de ecuaciones es igual a la cantiatricial, este sistema es:

=

)(

)(

)()

)()

0

011

1

11

xx

xx

xxx

xxx

nnnn

n

C

C

C

C

MM

L

M

L

los ponderadores de kriging {, = 1... n}, lueedio de la condicin de insesgo.

iging

acin en el sitio x0, llamada varianza de krigin

=

=n

KS C1

0

2

0

2 )()( xxx

ALGES

Cokriging

9

al cual se

a de los otroscurre cuando

media es

.

a cual se

0 )

on respecto aes:

ad de

go el

simple, se


10/23


donde 2= C(0) es la varianzvarianza de kriging simple es

1.4.1. Hiptesis

Se supone ahora que la variab

Z estacionaria, de la cual no s

covarianza C(h) o el variograpermite generalizar el estima

constante en el espacio: la me

sea aproximadamente constan

1.4.2. DeterminaciLas etapas del kriging dan:

1. Linealidad: Se asegura est

2. Insesgo: El valor esperado

ZE ([ 0*

x

Como se desconoce el val

ro M

a prioride la funcin aleatoriaZ. Se puede mmenor o igual a la varianza a priori:

2

0

2)( xKS

le regionalizada z es una realizacin de una fun

conoce la media m, sino que solamente la fun

a (h). El considerar el valor de la media comor a situaciones donde esta media no es riguros

dia puede variar de una regin a otra del espaci

te en cada vecindad de kriging.

del estimador

a restriccin al tomar como estimador en x0

=

+=n

ZaZ1

0

*)()( xx

del error de estimacin es:

ma

ZEZEaZ

n

n

]1[

])([])([])()

1

0

1

0

+=

+=

=

=

xxx

r de la media m, este valor esperado es nulo si:

101

== =

n

ya

ALGES

Cokriging

10

strar que la

in aleatoria

in de

desconocidomente

, siempre que


11/23


La igualdad sobre la suma

datos fueran iguales a una

3. Optimalidad: como en el c

ZZ 0* ()(var[ x

Se necesita minimizar estsuma de las incgnitas es

llamada multiplicador de

)]()(var[ 200* =ZZ xx

y se minimiza la funcinparciales de esta funcin

=

=

1

1

n

n

Este sistema contiene unapuede escribir en notacin

1

(

( 1

x

x

nC

CM

En trminos de variogram

ro M

de los ponderadores asegura que, en el caso en

misma constante, el valor estimado restituira e

aso del kriging simple, la varianza del error de

=

= =

+=nn n

CC11 1

2

0 (2)()] xxx

expresin bajo la condicin de insesgo, que igual a 1. Esto se logra introduciendo una incg

agrange, el cual se denotar como . Se escrib

)(2)(1

0

1 1

++ =

= =

nn n

CC xxxx

e las n+1 incgnitas 1, ... n, . Calculando lasluego anulndolas, se obtiene el sistema:

=

==+

1

...1)()( 0 nCC xxxx

incgnita y una ecuacin ms que el de krigingmatricial:

=

1

)(

)(

01

1)()

1)()

0

011

1

11

xx

xx

xxx

xxx

nnnn

n

C

C

C

CMM

L

L

MML

a, se tiene equivalentemente el siguiente sistem

ALGES

Cokriging

11

que todos los

sta constante.

stimacin es:

0 )x

pone que laita adicional

e:

]1[21

=

n

erivadas

simple. Se

:


12/23


1

(

( 1

x

x

n

M

1.4.3. Varianza de krLa varianza del error de estimexpresa de la siguiente forma:

2

donde 2= C(0) es la varianzsiempre, la varianza de krigin

Una propiedad notable del kri

trminos de variograma, sigue

este caso, la varianza a priori

Podemos mencionar las sigui

1.5.1. Kriging con deLa media de la funcin aleato

(deriva) en la distribucin esp

kriging universal, don

kriging trigonomtrico

ro M

=

1

)(

)(

01

1)()

1)()

0

011

1

11

xx

xx

xxx

xxx

nnnn

n

MM

L

L

MM

L

iging

acin en el sitio x0, llamada varianza de krigin

=

=

=

=

n

n

O C

1

0

1

0

2

0

)(

)()(

xx

xxx

a prioride la funcin aleatoriaZ. En general,ordinario es menor o igual a la varianza a prio

en general,2

0

2)( xKO

ging ordinario es que las ecuaciones anteriores

n vlidas aun cuando este variograma no tiene

s infinita y la funcin de covarianza no existe.

ntes variantes del kriging:

riva

iaZvara en el espacio, reflejando una tendenc

acial de los valores. Se tiene los siguientes caso

e la deriva es una funcin polinomial de las co

, donde la deriva es una combinacin de funcio

ALGES

Cokriging

12

ordinario, se

ero nori:

xpresadas en

eseta: en

a sistemtica

s particulares:

rdenadas

es coseno


13/23


kriging con deriva extexhaustivamente cono

1.5.2. Kriging de bloPermite estimar directamente

el soporte de los datos (bloquexplotacin minera o unidade

sentido fsico, es necesario qu

El plantear las tres etapas del

difiere del sistema puntual enordinario, se tendr el siguien

=

=

1

1

n

n

con

v),(x

donde {u1, uM} son puntos

ro M

rna, donde la deriva es proporcional a una varicida.

ue

el valor promedio de la variable sobre un soporvde volumen |v|), por ejemplo, unidades selecde remediacin ambiental. Para que los clcul

e la variable estudiada sea aditiva.

riging conduce al sistema de kriging de bloque

el miembro de la derecha. Por ejemplo, en el cae sistema:

=

==

1

...1),()( nvxxx

=

M

mmv M

dv 1

)(1

)(||

1uxxxx

que discretizan el bloque de inters.

ALGES

Cokriging

13

ble externa

e mayor que

ivas des tengan un

s, que slo

so del kriging


14/23


El cokriging busca realizar la

tomando en cuenta su continu

modeladas a travs de sus variEsta tcnica generaliza el krig

ponderada de los datos dispon

cuando la variable de inters (variables correlacionadas con

La seleccin de datos relevant

univariable. Por ejemplo, losdatos colocalizados de una co

complementar a los datos de l

mejorar la estimacin local.

Investigaciones recientes handebera tomar en consideraci

corregionalizacin. A modo d

Si las variables son indepeno aportan informacin y

Si las variables estn en cproporcionales entre s) y

informacin. En cambio,aportan informacin en lo

En este caso, se debera ut

datos secundarios colocali

A raz de lo anterior, se puedemultivariable. Las ms comu

sitio o bloque a estimar, sin ipara los datos de la variable pventaja de esta ltima estrateg

de la variable, pero tiene el in

ecuaciones de cokriging tanta

estrategia (bsqueda de puntoen forma simultnea.

ro M

estimacin local conjunta de varias variables re

dad espacial y las relaciones de dependencias e

ogramas directos y cruzados (modelo de correg ing: se construye el estimador como una combi

ibles, sin sesgo y con varianza de error mnima.

variable primaria) est sub-muestreada con resella (covariables o variables secundarias).

es para realizar estimaciones es ms compleja

atos asociados a la variable primaria pueden apariable. Por el contrario, los datos de una cova

a variable primaria, luego proporcionar informa

mostrado que el diseo ptimo de la vecindad dn el tipo de muestreo multivariable as como el

e ejemplos, se tienen los siguientes casos partic

ndientes o espacialmente no correlacionadas, lal mejor diseo es la vecindad univariable.

rrelacin intrnseca (sus variogramas directosel muestreo es homotpico, las covariables tam

n caso de que el muestreo sea heterotpico, lassitios donde no se tiene informacin de la vari

ilizar una vecindad dislocada, que descarta so

zados con datos primarios.

considerar varias estrategias de bsqueda de daes consisten en buscar los puntos con datos m

portar a qu variables corresponden, o realizarimaria (a estimar) y otra bsqueda para las covia es el desacoplamiento de la bsqueda segn l

onveniente de que se debe realizar la bsqueda

veces como hay variables a estimar. En cambi

s con datos) permite estimar todas las variables

ALGES

Cokriging

14

ionalizadas,

ntre variables,

ionalizacin).acin lineal

Es ventajosa

ecto a otras

ue en el caso

antallar a losiable pueden

cin til para

e cokrigingmodelo de

lares:

s covariables

cruzados sonoco aportan

covariablesble primaria.

lamente los

tos en el casocercanos del

una bsquedariables. Laa naturaleza

y resolver las

, la primera

por cokriging


15/23


Consideremos un conjunto deZ1, ZNconjuntamente estac

cruzadas {Cij(h): i,j= 1N}en el sitio x0del espacio.

El estimador de cokriging se

en la vecindad de x0, o sea:

donde xirepresenta al -si

la vecindad de cokriging. El c

1... ni} son las incgnitas del

Se exige que el error de estim

ii 00 ZZE 0* )([ x

lo que conduce a la siguiente

=i0a

Finalmente, se busca que la v

expresa en funcin de las cov

ro M

( )

variables regionalizadas, modeladas por funcioionarias, de medias {mi: i= 1N} y covarianz

conocidas. Supongamos que se quiera estimar

lantea como una combinacin lineal de los dat

= =

+=N

i

ni

iiii

i

Za1 1

,,0

*

1 )()( 00 xx ,

o punto con dato de la i-sima variable (Zi) ubi

oeficiente aditivo ay los ponderadores {,i,i0, i

roblema de cokriging.

cin tenga una esperanza nula:

= =

=

= =

++=

+=

N

iii

n

iiii

n

iii

N

i

ni

iiii

0

i

00

0i

000

i

00

mma

ZEZEa

1 1

,,

1

,,

01

1 1

,,0

[]1[

])([])([]) xxx

ondicin:

= =

=

N

ii

i

n

iiii

n

ii

0

i

00

0i

00mm

1 1

,,

1

,, ][]1[ .

rianza del error de estimacin sea mnima. Esta

rianzas simples y cruzadas:

ALGES

Cokriging

15

es aleatoriasas directas y

a variableZi0

s disponibles

ado dentro de

= 1...N, =

varianza se


16/23


)([var 0* x0 ii

ZZ

La minimizacin conduce al sejemplo, por pivote de Gauss)

N

j

n

ijij Cj

0(

1 1

,,= =

La varianza del error de estim

ZCKS i2

Cabe sealar que es posible e

los mismos datos para todas lque todas las variables estn

i 1{

y denotemos:

Zel vectorN 1 cuy

mel vectorN 1 cuy

C(x x) la matriz

la matrizNNcu

Entonces, el estimador de cok

0

* )(xZ

ro M

()(2

)()](

1 10,,

1 1 1 1

,,,,0

0xx

xxx

00

i

00

i j

00

ii

N

i

ni

iiii

N

i

N

j

n n

ji

ijijii

CC

C

+

=

= =

= = = =

iguiente sistema de ecuaciones lineales, cuya re

entrega los ponderadores de cokriging:

i

i

ii

jinNiC

0...1,...1)() 0 === xxxx

acin (varianza de cokriging simple) vale:

= =

=N

i

n

i

ii

i

ii

i

CC1 1

00 )()()( 000 xx0x .

timar todas las variables en forma simultnea si

s estimaciones. Para simplificar las notaciones,uestreadas en los mismos sitios (muestreo hom

nnN i =},,... y = xx iin ,},,...1{

trmino genrico es Zi

trmino genrico es mi

Ncuyo trmino genrico es Cij(x x)

o trmino genrico es ,i,j(ponderadores de c

riging simple se escribe como

=

+n

1

)(xZ con =

=n

T

1

mm

ALGES

Cokriging

16

solucin (por

se consideran

supongamosotpico):

kriging)


17/23


en donde los ponderadores so

(

(

1

11

xxC

xxC

n

M

Por consiguiente, basta con in

variables en el sitio x0. Sin einvertir (en comparacin con

por dos cuando se mide dos v

aumentan rpidamente al aum

Se tiene tambin la siguientetrminos diagonales correspo

los trminos no diagonales in

distintas):

CKS

En el caso de un muestreo hetvariables en algunos puntos c

removiendo las filas y colum

faltantes.

Todas las ecuaciones anterior

medias de las variables no socruzadas no slo dependen de

absolutas de los datos. Sin em

medias y las covarianzas son

Se plantean las mismas hipte

las medias m1,... mNson descoaplicacin de las etapas de lin

de ecuaciones:

ro M

soluciones del siguiente sistema matricial:

=

)(

)(

)()

)()

0

0111

xxC

xxC

xxC

xxC

nnnn

n

MM

L

MO

L

vertir una sola matriz para obtener la estimaci

bargo, se debe observar el importante tamao dl caso univariable). Por ejemplo, este tamao s

riables en los mismos sitios.As, los tiempos d

entar el nmero de variables.

atriz de varianza-covarianza de los errores deden a las varianzas de error, para cada variable

ican cun relacionados estn los errores asocia

=

=n

T

1

0000 )()()( xxCxxCx

erotpico, es decir, cuando no existe informacin datos, se adapta las ecuaciones matriciales a

as de C(x x), C(x x0) y correspondie

s pueden extenderse a modelos no estacionario

constantes en el espacio o donde las covarianzvector de separacin h, sino que tambin de la

bargo, en la prctica, resulta cuestionable asumi

erfectamente conocidas en todos los puntos del

(

sis que en el cokriging simple, salvo que ahora

nocidas y no estn vinculadas por relaciones mealidad, insesgo y optimalidad conduce al sigui

ALGES

Cokriging

17

de todas las

e la matriz amultiplica

clculo

okriging (losmientras que

os a variables

n de algunasteriores,

tes a datos

, donde las

s directas ys posiciones

r que las

espacio.

)

se supone que

temticas. Lante sistema


18/23


=

=

=

=

= =

1

,,

1

,,

1 1

,,

0

1

(

0

0

00

0C

i

i

j

n

ii

n

ii

N

j

n

i

ijij x

y varianza del error

00

2 (ZCKO i x

en donde 1i0,... Ni0son inc

Asimismo, se puede escribir lde covarianzas: basta con ree

los variogramas correspondie

Como en el caso del cokrigin

todas las variables, el miembrcual basta con invertir una sol

el sitio x0. En el caso de un m

escribe como:


ro M

=

===+

0

0

,...1

..1,...1)()0

iiNi

NiC iiiij

xxx

0000001 1

0,, )()( ii

N

i

n

iiiiiii

i

CC = = = xx0 ,

nitas adicionales (multiplicadores de Lagrange

s ecuaciones anteriores en trminos de variogrplazar las covarianzas simples y cruzadas por

tes.

simple, si se seleccionan los mismos datos par

o de la izquierda no depende de la variable de i a matriz para obtener la estimacin de todas las

estreo homotpico, el estimador del conjunto

=

=n

1

0

* )()( xZxZ

soluciones del siguiente sistema matricial:

ALGES

Cokriging

18

.ni

.

mas en lugarl opuesto de

estimar

ters, por lovariables en

e variables se


19/23


I

xxC

xxC

)(

)(

1

11

n

M

donde Ies la matriz identidad

0es una matrizNN

es una matrizNN

La matriz de varianza-covaria

CKO 0( x

Nuevamente, en el caso de un

anteriores, removiendo las fil

a datos faltantes.

Una variante del cokriging oren cambiar la condicin sobre

en lugar de las condiciones tr

ro M

=

I

xxC

xxC

0I

IxxC

IxxC

)(

)(

)(

)(

0

0111

nnnn

n

MM

L

L

MMO

L

de tamaoNN

e ceros

cuyo trmino genrico es ij(multiplicadores d

nza de los errores de cokriging es:

=

+=n

T

1

000 ])([)() xxCxxC

muestreo heterotpico, se adapta las ecuacione

s y columnas de C(x x), C(x x0) y co

(

inario (llamada cokriging ordinario estandarizla suma de los ponderadores

= =

=N

i

n

ii

i

1 1

,, 10

dicionales

==

=

=

=

0

1

,,

1

,,

,...10

1

0

1

00

iiNiin

ii

n

ii

ALGES

Cokriging

19

Lagrange)

matriciales

respondientes

)

ado) consiste


20/23


Esta nueva condicin proporc

tradicional los ponderadores auna restriccin de insesgo sl

Es el caso de mismo atributo

contrario, se tiene que re-esca

En trminos matriciales, el coforma:


)(

)(

1

11

F

xxC

xxC

T

n

M

donde Fes una matrizN 1

es una matriz 1 N

La matriz de varianza-covaria

stdCKO ( x

ro M

ona ms influencia a las covariables, puesto qu

signados a cada covariable suman cero, pero cosi todas las variables poseen la mismamedia d

edido sobre soportes distintos o con aparatos

ar cada variable en torno a una misma media.

riging ordinario estandarizado se escribe de la

=

=n

1

0

* )()( xZxZ

soluciones del sistema:

=

1

)(

)(

0

)(

)(

0

0111

xxC

xxC

F

FxxC

FxxC

nn

T

nn

n

MM

L

L

MMO

L

e unos

uyo trmino genrico es i(multiplicador de L

nza de los errores de cokriging es:

=

+=n

T

1

0000 ])([)() FxxCxxC

ALGES

Cokriging

20

e en el sistema

responde aesconocida.

istintos; de lo

siguiente

grange)


21/23


Podemos mencionar las sigui

2.6.1. Cokriging mixSe conoce la media de alguna

2.6.2. Cokriging conLas medias de las funciones a

espacio, reflejando una tende

valores. Se tiene los siguiente

cokriging universal, d cokriging trigonomtri

cokriging con deriva evariables externas exh

2.6.3. Cokriging de bAqu, el objetivo es estimar elun bloque de soporte volumt

reemplazar los trminos de co

cokriging, por sus valores propara el cokriging ordinario tra

tendr el siguiente sistema:

I

xxC

xxC

(

(

1

11

n

M

con

v: bloque a estimar

=

M

m

nM

v1

(1

),( xCxC

{u1, uM}: puntos q

ro M

ntes variantes del cokriging:

o

variables, mientras que se desconoce la media

deriva

eatorias que representan la corregionalizacin

cia sistemtica (deriva) en la distribucin espac

casos particulares:

nde las derivas son polinomios de las coordena co, donde las derivas son combinaciones de fu

xterna, donde las derivas son proporcionales austivamente conocidas.

loque

valor promedio de una o varias variables regioico mayor que el soporte de los datos. En este

varianza que aparecen en el segundo miembro

edios cuando x0discretiza el bloque a estimar.dicional (con medias desconocidas y no relacio

=

I

xC

xC

0I

IxxC

IxxC

),(

),(

)()

)(111

v

v

nnnn

n

MM

L

L

MMO

L

mn )u

e discretizan el bloque v.

ALGES

Cokriging

21

de las otras.

aran en el

ial de los

dasciones coseno

na o varias

alizadas enaso, basta con

el sistema de

Por ejemplo,adas), se


22/23


2.6.4. Cokriging factEsta tcnica consiste en desco

lineal de corregionalizacin)jerarquizados en funcin de la

estos factores a partir de los d

2.6.5. Cokriging coloCuando se dispone de una codel sitio a estimar tienden a ade la covariable puede provoc

Una simplificacin consiste e

el sitio a estimar, adems de tsituacin, ni siquiera se requi

solamente su valor en el orige

Entre los distintos tipos de co

cokriging simple u ordinario ela suma de los ponderadores a

nico dato considerado de la

datos de la variable primaria

Aunque simplifica el sistemadesventajas:

Es necesario conocer la coprimaria o a proximidad i

No se toma en cuenta todala covariable, lo que puedestimacin (varianza de c

No es posible realizar unconsiste en utilizar como

los datos de la variable pri

(cokriging multi-colocaliz

ro M

rial o anlisis factorial geoestadstico

mponer las funciones aleatorias (representadas

n un conjunto defactoressin correlacin espaccantidad de informacin que contienen, luego

tos disponibles.

calizado

ariable conocida exhaustivamente, los datos ubantallar a los datos alejados. Adems, la abundar problemas numricos al resolver el sistema d

utilizar, para la estimacin, slo el dato de la c

dos los datos asociados a la variable primaria.re conocer la funcin de covarianza de la covar

, lo que reduce el esfuerzo de inferencia y mo

riging presentados anteriormente, se puede co

standarizado. El cokriging ordinario tradicional signados a la covariable sea nula, o sea, que el

ovariable sea nulo; por ende, slo se tomara e

se ignorara la covariable.

e ecuaciones, el cokriging colocalizado presen

variable en todos los sitios donde se busca esti

mediata de estos.

la informacin disponible: se olvida casi todostraducirse por una subestimacin de la precisi

kriging demasiado alta).

okriging ordinario clsico. Una solucin para eatos secundarios aquellos ubicados en los mis

maria, adems del dato colocalizado con el siti

ado).

ALGES

Cokriging

22

or un modelo

al cruzada yn estimar

cados cercancia de datos

e cokriging.

ovariable en

n estaable, sino que

elamiento.

siderar el

impone queonderador del

cuenta los

a varias

ar la variable

los valores den de la

te problemaos sitios que

a estimar


23/23

Chils J.P. and Delfiner P., 19New York, 695 p

Goovaerts P., 1997. Geostatis

Press, New York, 480 p

Isaaks E.H. and Srivastava R.University Press, New York,

Rivoirard J., 2004. On some s

Geology, vol. 36, no. 8, p. 89

Subrananyam A. and Pandalai

kriging systems. MathematicaSubrananyam A. and Pandalai

implification by screen effec

Wackernagel H., 2003.Multi

Springer, Berlin.

99. Geostatistics: Modeling Spatial Uncertain

ics for Natural Resources Evaluation, Oxford

., 1989. n Introduction to Applied Geostati 61 p

implifications of cokriging neighbourhood. M

-915.

, H.S., 2004. On the equivalence of the cokrig

l Geology, vol. 36, no. 4, p. 507-523., H.S., 2008.Data configuration and the cokrits. Mathematical Geology, vol. 40, no. 4, p. 425

ariate Geostatistics: An Introduction with Ap

ALGES

Cokriging

, Wiley,

University

tics, Oxford

thematical

ng and

ing system:

-443.

lications.

alges3 kriging y cokriging

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