algebra-u de concepcion

MATEMÁTICA I PARA TÉCNICO EN COMPUTACIÓN

D E P A R T A M E N T O D E C I E N C I A S B Á S I C A S

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Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas

1

Índice

Contenido Página

Introducción: Potencias y Raíces 3

- Definición y Propiedades 4- Signos de una Potencia 6- Raíces 9- Propiedades de las raíces Aritméticas 10- Racionalización de denominadores 12- Autoevaluación de la Unidad 17 Unidad N° 1: Lógica y Teoría de Conjuntos 19

- Lógica 20- Conéctivos Lógicos 21- Tablas de Verdad 24- Clasificación de las Proposiciones Compuestas 28- Leyes del Algebra proposicional 30- Lógica Cuantificacional 32- Conjunto de validez 35- Negación de Proposiciones que contienen Cuantificadores 40- Conjuntos 41- Tipos de Conjuntos 42- Operaciones con Conjuntos 46- Autoevaluación de la Unidad 60 Unidad N° 2: Funciones 62

- Funciones 63- Función Inyectiva, Sobreyectiva, Biyectiva 65- Función Inversa 66- Tipos de Funciones 67- Matriz 104- Operación con Matrices 106- Determinante 111- Regla de Cramer 113- Relaciones de Orden en 116‘- Inecuaciones Lineales 117- Sistemas de Inecuaciones 119- Elementos de Optimización 121- Autoevaluación de la Unidad 128

Unidad N° 3: Números Complejos 130

- Unidad Imaginaria y Número Complejo 131- Operatoria entre Números Complejos 132- Forma Polar de un Complejo 134- Teorema de Moivre 136- Autoevaluación de la Unidad 139

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Unidad N° 4: Polinomios y Teoría de Ecuaciones 141

- Polinomios 142- División de Polinomios 142- Regla de Ruffini 143- Teoremas 145- Fracciones Parciales 153- Autoevaluación de la Unidad 158

Unidad N° 5: Inducción y Teorema del Binomio de Newton 159

- Inducción Matemática 160- Definición de Factorial 162- Teorema del Binomio 162- Término r-ésimo en el desarrollo del Binomio 164- Autoevaluación de la Unidad 168

Unidad N° 6: Progresiones Aritméticas y Geométricas 169

- Progresión Aritmética 170- Progresión Geométrica 171- Autoevaluación de la Unidad 173

Unidad N° 7: Elementos de Trigonometría 174

- Conceptos Previos 175- Funciones Trigonométricas en el Triángulo Rectángulo 177- Signos de las Funciones 181- Ángulos de Depresión y Elevación 183- Teorema del Seno 186- Teorema del Coseno 187- Identidades Trigonométricas 190- Funciones Trigonométricas Inversas 193- Ecuaciones Trigonométricas 194- Autoevaluación de la Unidad 198

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INTRODUCCIÓNPOTENCIAS Y RAÍCES

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Potencias

Definición À Una forma abreviada de escribir una multiplicación donde se repite el mismo factor veces se denomina . El factor que se repite8 Potencia se llama y las veces que se repite este factor se llama .base exponente

Así, a8 − ß + † + † + † ÞÞÞ † + œ +8™ ðóóóóóóñóóóóóóò n veces

Ejemplos: 1) 2 + 5 = 2 2 2 2 2 + 5 5 5 = 32 + 125 = 1575 3 † † † † † † 2) ( 3) = 3 3 3 = 27 † † 3

Propiedades:

I. Potencias de igual base.

a) Producto de potencias de igual base: Para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes.

+ † + œ +8 7 7 8

Ejemplos: 1) + † + œ +5 3 8

2) B † B œ B+$ , #+%, $+ ,

3) ( ) 8 8 8 † 8 œ 8 8 82 3 4 5 3 2 5 5 7 7 3 1+ + + + + +

%Ñ B † B œ B2 3 2 + 3 œ B&

b) División de potencias de igual base: Para dividir potencias de igual base, se conserva la base y se restan los exponentes.

; + À + œ œ + + Á !8 7 +8

+78 7

Ejemplos:

1) : + + œ + œ +5 3 5 3 2

2) : B B œ B5 3 28 8

3) ( ) : B B B B œ B B B8 4 1 + 1 7 2 38 8 8 8 8 8

%Ñ 7 À 7 œ 7 œ 7 # $ # Ð$Ñ &

II. Potencias de igual exponente.

c) Producto de potencias de igual exponente: Para multiplicar potencias de igual exponente, se multiplican las bases y se conservan los exponentes.

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+ † , œ Ð+ † ,Ñ7 7 7

Ejemplos:

1) 2 5 (10) 10003 3 3† œ œ

2) (2 ) 2 + † œ + † œ34 8

3 3ˆ ‰ ˆ ‰, , ,+ %+

3

2$Ñ † " œ # † œ $ œ #(3 Š ‹ Š ‹" $# #

$ $$

d) División de potencias de igual exponente: Para dividir potencias de igual exponente, se dividen las bases y se conserva el exponente.

: : con ó con + , œ Ð+ ,Ñ ß , Á ! œ , Á !7 7 7 + +7

,7 ,

7 Š ‹Ejercicios:

1) 48 : 16 3 814816

4 4 44

œ œ œŠ ‹

2) ( - ) : ( ) ( )( ) ( )

( )+ , + , œ œ + ,

+ , † + ,

+ ,2 2 3 3

33– —

$Ñ % À # œ Ð% À #Ñ œ Ð#Ñ œ $#& & & &

III. Potencia elevada a potencia. Para elevar una potencia a una potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes.

(+ Ñ œ +7 8 7 † 8

Ejemplos:

1) ( ) + œ +2 5 10

2) [ ( 2 ) ] ( 2 ) 1 1

( 2) 16 œ œ œ

2 2 4

4

3) ( ) ( )( )

6 2 9 4+ , † - .+ , - . + , - .

+ , - .2 3 2 2 3

1 2 3 2 2 4 6 24 6 3 6

œ œ + , - .

(3 ) (3) %Ñ œ œ $2 3 # †$ '

IV. Otras propiedades

Toda potencia elevada a exponente uno es igual a su base.- a a" œ

- Toda potencia de exponente cero es igual a uno.

1 0+ + Á! œ ,

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6

Toda potencia de exponente negativo es igual a uno dividido por la potencia con exponente positivo.

, con 0+ œ + Á 8 "

+ 8

Toda potencia de base fraccionaria con exponente negativo es igual al recíproco de la base y exponente positivo.

, , Š ‹+,

+ Á ! , Á !8 8

= Œ ,+

Ejemplos:

1) 40 & #) œ $! !

#Ñ + † , † + † , œ + † , œ "8" $8 "8 8$ ! !

$Ñ Ò $ÐB #CÑ & Ð(B %CÑ #)Ó œ "# $ !

) 2 1 12 8

% œ œ 33

) 2 + 4 + 8 + + 1 1 1 32 4 8 64

& œ œ 6 3 2 6 3 2

'Ñ œ œ$ % "'

% $ *Œ Œ # #

Signos de una potencia Potencia de exponente par.

Sabemos que un número par cualquiera se expresa por 2 con perteneciente al conjunto .8 8 ™Por lo tanto, "Si la base de una potencia es positiva y su exponente es par, la potencia también es positiva".

( ) [ ( ) ] ( ) = , œ , œ , ,2 2 2 28 8 8 8

Si la base es negativa y el exponente es par, se obtiene:

( ) [ ( ) ] ( ) + , œ , œ , œ ,2 2 2 28 8 8 8

Luego "Toda potencia de exponente par de un número real es siempre positivo". Es decir ;( )„ , 2 8

œ , 8 , para que pertenezca al conjunto y al conjunto .28 ™ ‘Ejemplos: 1) ( 7) ( 7) ( 7) = 49 œ † 2

2) ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) = 256 œ † † † 4

Potencia de exponente impar. Un número impar se forma agregando la unidad a un número par. Por lo tanto, (2 ) expresa8 "un número impar cualesquiera, con perteneciente al conjunto .8 ™ Entonces: Si la base es positiva y real la potencia también es positiva es decir :, ß

( ) ( ) ( ) = , œ , † , ,2 2 2 18 " 8 8

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Si la base es negativa se obtiene:,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , œ , † , œ , † , † " œ ,2 1 2 2 2 18 8 8 8

Por lo tanto " Toda potencia de exponente impar tiene el signo de la base "( ) „ , œ „ ,2 1 2 18 8

Ejemplos:

1) ( 3 ) ( 3) ( 3) 243 † œ œ 4 5

2) ( ) ( ) ( ) ; pertenece a + † + œ + œ + B3 2 4 3 4 B B " B B $

3) ( 2) (2) 4 8 32 † œ † œ2 3

4) ( 2 ) ( 2) ( 2) 32 † œ œ 3 2 5

Ejercicios propuestos

I) Simplifique las siguientes expresiones

1) + , † +,2 5 3

2) ( ) B B B † B3 1 4 5 1 3+ + +

3) ( : ) B B † B3 4 5

4) 3, +

+ , + ,

2 3

5 2 2 7

5) [ ] 2B C 8 8 2 3 4 0

) 6 1 13 4

' †44 4Œ Œ

) ( ) : ( ) ( + , + ,2 2 3 3

) (0,5) + (0,25) + (0,125)) 6 3 2

)

* † †+ , + , - .

+ , - . + ,Š ‹ Š ‹ Š ‹2 3 4

) (0, 5) + (0, 25) + (0, 125)"! 6 3 2

) [ ( ) ]"" - 8 +3

II) Simplifique las siguientes expresiones y de la solución sin exponentes negativosÞ

"Ñ#+ , -

%+ , -

% # $

# ) $

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#Ñ Ð+ , Ñ $+,

-Š ‹

%

"$ # #

$Ñ †BC B C

ÐBCÑ C

# #

# #

%ÑÐ'B DÑÐ$ÑÐBD Ñ

*B C

$ # #

% #

&ÑÐ+ , Ñ

Ð, +Ñœ # " #

# "

"

'ÑÐ$BC Ñ ÐB C Ñ

$B C

# $ $ %

# $

7 Ñ À+ , - + , -

, + - + , -œ” • ” •$ # % $ % #

% # $ # ! &

" # $

Respuestas I )

1) 2) + + , B B B3 8 0 2 3 5 8 + +

3) 4) + 3

B

, + , +

+ ,12

9 8 5 3

5 7

5) 3 ) 16

'"

) ( ) ) 3

64( + , )3

) ) 192( ) ( )

( )* "!

+ , † - .

+ , 2

) "" -3+ 8

II)

3

"Ñ #Ñ $Ñ B C %Ñ, - + #C D

#+ , B

"! % & # &

# & && $

c

&Ñ 'Ñ (Ñ+ * +

, B C ,

$ & #&

% # & )

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Raíces

La expresión se lee " raíz - ésima de " se llama È8 + 8 + .98./ 8 índice de la raíz cantidad subradicaly es la .+

Observación: El símbolo se llama È+ radical.

Definición: El proceso de encontrar consiste en hallar la base de modo queÈ8 + , À , œ +8

Ejemplos: 1) 9 + 25 = 3 + 5 = 8È È 2) 27 + 81 + 16 + 32 = 3 + 3+ 2 + 2 = 10È È È È3 54 4

Nota: Es un error muy común considerar iguales a: 64 36 con 64 36 si observamos se tiene:È È È

64 36 64 36È È È Á

100 8 + 6È Á 10 14Á

Luego È ÈÈB C Á B C2 2 2 2

È ÈÈB C Á B C2 2 2 2

:Potencia de exponente fraccionario

Toda raíz se puede escribir como una potencia de exponente fraccionario cuyo numerador es elexponente de la cantidad subradical y el denominador es el índice de la raíz.

de este modo

+ œ + à + œ +8: : 8 88È È

Ejemplos: 1) 81 81 81 30,25 œ œ œ

14 4È

2) 32 32 ( 32 ) 2 80,6 3 3œ œ œ œ35 5È

$Ñ + œ +$# È $

%Ñ B œ BÈ( $($

&Ñ + œ +È& &

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ObservaciónEl índice fraccionario se puede amplificar o simplificar según convenga sin que cambie el valor8

:de la expresión.Esta propiedad también se aplica cuando queremos multiplicar o dividir raíces de distinto índice.

Ejemplos:

1 Simplificar las raíces: Ñ + œ + œ +È È È#! #!À# "!"% "%À# (

Convertir a igual índice las raíces: #Ñ B à BÈ È$ '# (

a) È ÈÈ$ "#$†%B œ B œ B# #†% )

b)È È È' '†# "#B œ B œ B( (†# "%

$Ñ + , + ,È È ÈÈ$ % %$†% . # & #†% & œ † †$ †$

œ †È È"# "#+ ,) "&

œ È"# + ,) "&

Propiedades de las raíces aritméticas

I. Multiplicación de raíces de igual índice. Para multiplicar raíces de igual índice se conserva el índice y se multiplican las cantidades

subradicales y viceversa.

b , b , È ÈÈ È È8 8+ † œ + † , + −8 8 8 ‘

Ejemplos:

1) 2 4, 5 9 3È È È† œ œ

2) ( 7 + 27 ) 3 21 + 81 9 + 21È È È ÈÈ È† œ œ

3) 8 0, 125 8 1 1È È É È5 5 5 5œ † œ œ18

II. División de raíces de igual índice.Para dividir raíces de igual índice se conserva el índice y se dividen las cantidades subradicales yviceversa.

, b , ÈÈ Ê È ÈÈ8 +8 ,

œ œ + À , à , Á ! à + −8 +

,8 88 ‘

Ejemplos: 1) 4 2ÈÈ 8

2 82œ œ œÉ È

2) 625 : 5 125 5625

5È ÈÈ Ê3 33 3

œ œ œ

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III. Raíz de una raíz o producto de índices. Para extraer raíz de una raíz se multiplican los índices y se conserva la cantidad subradical.

; con ; É ÉÈ È È È7 78 78 8 8+ œ + + − + −‘ ‘

Ejemplo:

1) ÉÈ È3 6, œ ,

2) 7 7É È0,25 4 œ

IV. Potencia de una raíz.

Para elevar una raíz a una potencia se transforma la raíz a potencia de exponente fraccionario y seaplica la propiedad de potencia elevada a una potencia.

) Ð + − Ê Ð+ Ñ œ +8 8; ; † :: ; † :8È È‘

Ejemplos:

1. ( B Ñ œ ÐB Ñ œ B œ BÈ È$ $& "!$ $& "!# #

#Þ Ð BÑ œ ÐB Ñ œ B œ B7È 7 7" 77 7

$Þ Ð% # Ñ œ Ð% † # Ñ œ % † Ð# ÑÈ$ " "$ $$ $ $ $

œ '% † # œ "#)

V. Introducir el coeficiente de una raíz como factor del subradical.

En general, si se tiene: se obtiene:+ † ,È8È È È8 8 8 + † , œ + ,8 8

Luego: + , œ + ,È È8 8 8

El coeficiente de una raíz ingresa como factor del subradical elevándolo al índice de la raíz.

Ejemplos:

1) 3 5 3 5 9 5 45 È È È Èœ † œ † œ2

2) 2 3 5 2 6 2 3 5 2 6 Š ‹ Š ‹ Š ‹È ÈÈ È È ÈÉ Ê † œ † 2

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(2 2 6 3) (5 2 6 ) œ † É È È

(5 2 6 ) 5 2 6 ) œ † Ð É È È 25 24œ È 1œ

VI. Signos de una raíz.

Raíz de índice impar.

Tiene el índice de la cantidad subradical.

Ejemplos:

1) 64 4 pues ( 4) 64È3 œ œ 3

2) 27 3 pues ( + 3) +27È3 œ œ3

3) 32 2 pues ( 2 ) 32È5 œ œ 5

Raíz de índice par de un número negativo.

Este caso merece un tratamiento especial veamos un ejemplo:ß

Ejemplo:

25 no puede ser un número real, pues tanto ( + 5 ) como ( 5 )È 2 2

es +25. Es necesario, entonces, "imaginarse" un valor para 25 y para ello se escribe en forma deÈ producto. En efecto:

25 25 ( 1) 5 1 . Este número no pertenece a los números reales.È È È œ † œ

.Racionalización de denominadores

Son muy comunes las expresiones fraccionarias que contienen raíces en el denominador, suracionalización consiste en eliminar las raíces del denominador .

Primer caso.

Cuando el denominador es un monomio irracional se amplifica la fracción por éste monomio.

+ + , + ,

, , ,œ † œ

,È È ÈÈ È

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Ejemplo:

3 26 6 2 6 22 2 2 2È È È

È È Èœ † œ œ

Segundo caso:

Si el denominador es un binomio irracional se amplifica la fracción por este binomio, perocambiando el signo de uno de sus términos, es decir, se amplificará por el "binomio conjugado ". De estaforma queda en el denominador el producto de la suma por la diferencia de los dos términos deldenominador.

Ejemplos: "Ñ 12 12

13 2 13 2 13 2 13 2È È ÈÈ

œ †

12 13 2

13 4œ

Š ‹È

12 13 2 4 13 2

9 3œ œ

Š ‹ Š ‹È È

2) = 3 3 5 2

5 2 5 2 5 2È È ÈÈ È ÈÈ È

†

3 5 2

5 2œ

Š ‹È È

3 5 2

3œ

Š ‹È È

5 + 2œ È ÈTercer caso. Cuando el denominador es un trinomio irracional o un cuatrinomio, se le reduce a un binomiocon la ayuda de un paréntesis convenientemente colocado.

Ejemplo:

encerrando los dos primeros términos del denominador en un paréntesis 2

2 3 2#

ÈÈ È

queda:

ahora se amplifica por 2 3 2 obteniéndose:#

2 2 3 2

ÈŠ ‹È È Š ‹È È

2 2

2 3 2 2 3 2

2 3 2œ †

ÈŠ ‹ Š ‹È ÈÈ

Š ‹È

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2 2 2 3 2

2 3 2 2 3 2 œ

È ÈŠ ‹È’ “ ’ “Š ‹ Š ‹È ÈÈ È

= 2 2 2 3 2

2 + 3 2

È ÈŠ ‹ÈŠ ‹ Š ‹È È

2 #

= 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2

4 4 3 3 2 5 4 3

È È È ÈŠ ‹ Š ‹È ÈÈ È

œ

Hasta aquí el trinomio del denominador lo tenemos convertido en un binomio irracional y, por lo tanto, hay que amplificar ahora por 5 4 3 , Resultando:Š ‹È

2 2 2 3 2 5 4 3

5 4 3 5 4 3

’ Š ‹ “ Š ‹È ÈÈ ÈŠ ‹ Š ‹È È

† œ

2 2 2 3 2 5 4 3

25 48œ

’ Š ‹ “ Š ‹È ÈÈ È

4 2 2 6 4 5 4 3

25 48œ

Š ‹ Š ‹È È È

20 2 16 6 10 6 8 18 20 16 3

23œ

È È È È È

= 20 2 6 6 8 9 2 20 16 3

23È È È È †

20 2 6 6 24 2 20 16 3

23œ

È ÈÈ È

4 2 6 6 20 16 3

23œ

È È È

6 6 16 3 4 2 20

23œ

Š ‹È È È

6 6 16 3 4 2 20

23œ

Š ‹È È È

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Cuarto caso: Cuando en el denominador las raíces no son cuadradas debe amplificarse por una expresión talque el exponente de la cantidad subradical quede igual al índice de la raíz.ßEjemplos:

1) se debe amplificar por una cantidad tal que en el denominador resulte 2 con lo que6

2È È7

7 7

se elimina la raíz, para ello hay que amplificar por 2 ,en efecto:ww ww È7 6

3 2 3 646 2 6 22 2 2È È

È È È È7 7

7 7 7 7† œ œ œ

6 6

66

2) 3 3 5 3 5 3 55 5 5 5 5È È È È

È È È7 7 7 7

7 7 7

4 4 3 7

3 3 3œ † œ œ


1 2) 5 2 Ñ + +È Š ‹ Š ‹È È3 434 2

3) 4) 1 7 7 Š ‹ Š ‹ Š ‹È ÈÈ È È+ , + , 2

5) 9 16"

# 0, 25

6) 16 320, 75 0, 4

7) È È3 5+ +6 10

8) ( )È8 + , 28

9) 12, 5 2 È È†

10) 8 18 È È†

11) 11 3 11 3 É ÉÈ ÈÈ È3 3 †

12) 2 6 5 5 2 6 É ÉÈ È5 5 †

13) 125 64 14) 49 È È3 † + , -2 4 6

15) 75

3

ÈÈ + ,

+,

3

16) 15 50 18 32 6 200 : 3 2 Š ‹È È È È

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17) 18) 8 16 3227 81 243

Ê Ê Ê3 54

19) 32 20) È È5 53 13,

21) È È2 28 8, † ,7 3 9 7 8 8

22) 23) 7 É È ÉÈ3 0, 25 4,

24) 3 2 25) 3 2 É È È 26) 5 7 27)

3 5

È È 28) 29)

6 18 8 5 + 2 18 8 È È È È

È È

30) 31) 2 3

( 2 3 ) 5 5 2 3È ÈÈ È

32) 33) 3 9 2 3È È7 5 25

Respuestas

1) 2 2) 50 3) a b 4) 344 14 7 5) 5+ È 6) 4 7) 2 8) ( ) 9) 5 10) 12+ + ,2 2

11) 2 12) 1 13) 20 14) 7 15) 5 +, - +2 3

16) 29 17) 18) 19) 8 20) 2 43 3

, ,2 3È5

21) 22) 23) 7 24) 18 25) 18 , ,3 È È È6 4

26) 175 27) 28) 2 ( 5 2 ) 29) 53 5

5È È È È

30)13 2 12 3 5 6 50

94È È È

31) 32) 33) 3 3 3 2

2 Ð# # & "! "Ñ

#

È È È È È75

23

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17

1.- Determina el valor de:

Ð%!!!Ñ Ð"Þ!!!Þ!!!Ñ

Ð#!Þ!!!Þ!!!Ñ

$

&

2.- Determina si el número dado es positivo o negativo:

a) -10-10 ‘"!"!

b) ‘) Ð )Ñ Ð )Ñ& & & #

c) ‘1 1 1# $ % "

3.- Determina la veracidad o falsedad de:

a) para È È È#B C œ #B C Bß C !

b) Si es par, es definida para cualquier número real 8 B BÞÈ8 c) Si es impar, 4 t es definida para cualquier número real 8 >ÞÈ8

d) para cualquier número real Ð +Ñ œ +ß +ÞÈ #

4.- Calcula el valor de la expresión atendiendo a la condición dada:

a) si %B $B #B B œ )# "$ $ !

b) si &B

#B œ '

!

$

c) si y Ð B CÑÐB CÑ B œ # C œ 'È

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1.- Ð%!!!Ñ Ð"Þ!!!Þ!!!Ñ

Ð#!Þ!!!Þ!!!Ñœ # ‚ "!

$

&#!

2.- a) positivo

b) positivo

c) positivo

3.-

a) falso

b) falso

c) verdadero

d) verdadero

4.- Calcula el valor de la expresión atendiendo a la condición dada:

a) 9

b) 40

c) 8

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UNIDAD Nº1LÓGICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS

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LÓGICA

Toda estructura matemática necesita tener un razonamiento válido a través de un lenguaje quesea de uso universal. Ante esta situación es que se necesita una simplificación y uso de simbolismosinequívocos que nos permitan razonar en forma válida con reglas establecidas con claridad. En estecontexto, surgen conceptos tales como el de:

: Es una expresión con sentido en algún lenguaje que afirma o niegaProposición ß ßalgo y que nos proporciona información. Las proposiciones se denotan con la letras …..:ß ; ß <

Ejemplo 1:: À El pizarrón es verde; À # $ œ ( < À A ella le gusta la música

Si observa las proposiciones, estas pueden ser verdaderas o falsas (no aceptan ambigüedades).

No son proposiciones:a) el interruptorb) #B $ œ 'c) ¿Qué hora es ?.

Estos enunciados no son proposiciones porque no tienen sentido, no afirman ni niegan.

: Es una función que define una proposición. El valor de verdad puede serValor de VerdadVerdadero (V) o Falso (F).

Una tabla de verdad es una forma de resumir el valor de verdad de lasTabla de Verdad Àproposiciones. Esta se construye de acuerdo al número de proposiciones distintas que se den.

El número de combinaciones posibles de valores de verdad se determina al resolver la expresión donde representa el número de proposiciones dadas.# ß 8

8

¡¡ Veamos cómo funciona esto!!

8 œ " # œ # Si hay una sola proposición, , resolvemos . Esto significa que se"

pueden dar dos posibles valores de verdad y la tabla que resulta es:

:ZJ

# : ; 8 œ #ß # œ % Si hay proposiciones distintas y , entonces resolvemos #

Esto significa que se pueden dar cuatro combinaciones de valores de verdad y la tabla que resultaes :

: ;Z ZZ JJ ZJ J

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8 œ $ß # œ ) Si hay tres proposiciones , resolvemos $

Es decir, se pueden dar ocho combinaciones de valores de verdad y la tabla es:

: ; <Z Z ZZ Z JZ J ZZ J JJ Z ZJ Z JJ J ZJ J J

...y así sucesivamente.

Las proposiciones pueden ser . Son proposiciones simples las que se dansimples o compuestasen el ejemplo anterior :: À El pizarrón es verde; À # $ œ ( < À A ella le gusta la música

Son compuestas aquella que se unen mediante símbolos llamados Conectivos.

Conectivos Lógicos u Operadores Lógicos:

Son símbolos que permiten relacionar una o más proposiciones. Los conectivos son: la negación ( ), la conjunción ( ), disyunción ( ), condicional ( ) yµ • ” Äbicondicional ( ).Ç

"Þ µ : : Negación

Dado un enunciado , se puede formar otro enunciado que se llama negación de: escribiendo "es falso que..." ó "no..." antes de la proposición .: ß : Simbólicamente se representa por:

µ :

Ejemplo : : el día está nublado: : el día no está nubladoµ :

El valor de verdad de la negación depende del valor de verdad de la proposición original. Si es verdadero, entonces es falso y viceversa.: µ :

La tabla de verdad que resume esto es: : µ :

Z JJ Z

#Þ : • ; : Conjunción Dos proposiciones simples cualesquiera, se pueden unir mediante la palabra "y" para formar una proposición compuesta, que se llama Conjunción. Simbólicamente se denota por:

: • ;

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:Ejemplo

Está nublado: À Hace frío; À : Está nublado y hace frío.: • ; La tabla de verdad es:

: ; : • ;Z Z ZZ J JJ Z JJ J J

$Þ : ” ; : Disyunción Dos enunciados cualesquiera, se pueden combinar mediante la palabra "o" ( en el sentido y/o) para formar un nuevo enunciado que se llama disyunción de los dos enunciados previos. Simbólicamente se denota por: : ” ; :Ejemplo

: La puerta se abre: : La silla es de madera;

: ” ; : La puerta se abre o la silla es de madera La tabla de verdad es:

: ; : ” ;Z Z ZZ J ZJ Z ZJ J J

%Þ : Ä ; : Condicional Muchos enunciados en matemática son de la forma "si entonces ", estos se: ; llaman condicionales y se les denota por:

: Ä ; :Ejemplo

: son las 10 de la mañana: : la clase es de matemática;

: Si son las 10 de la mañana entonces la clase es de matemática: Ä ; La tabla de verdad es:

: ; : Ä ;Z Z ZZ J JJ Z ZJ J Z

&Þ : Ç ; : Bicondicional

Otro enunciado muy usado es el de la forma " sí y sólo si ", los cuales se: ; llaman bicondicionales y se les denota por :

: Ç ;

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Ejemplo: : Hoy voy a ir al cine; À Hace calor

: Hoy voy a ir al cine, sí y sólo si, hace calor: Ç ;La tabla de verdad es:

: ; : ;Z Z ZZ J JJ Z JJ J Z

Ç

Ejercicios"Þ Sean las proposiciones

El va a la fiesta: À Ella es su polola; À

Escriba con palabras los siguientes enunciados: +Ñ µ ; ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ : .

,Ñ ; ” µ : À ……………………………………………………………….

-Ñ µ µ : : ………………………………………………………………….

.Ñ µ µ ; : …………………………………………………………………

/Ñ µ : Ç ; : ………………………………………………………………..

0Ñ Ð : • µ ; Ñ Ä : :.……………………..……………………..……………

1Ñ : Ä µ ; : ………………………………………………………………....

#Þ Sean las proposiciones:

: À Tengo dinero; À Hoy dejaré de fumar

Escriba los siguientes enunciados verbales en forma simbólica usando y :: ;

+Ñ No tengo dinero

,Ñ Si tengo dinero entonces hoy no dejaré de fumar

-Ñ Tengo dinero, sí y sólo si, hoy dejo de fumar

.Ñ No es verdad que, hoy no dejaré de fumar

/Ñ No es verdad que, no tengo dinero y que hoy no dejaré de fumar

0Ñ Es falso que, no tengo dinero o que hoy dejaré de fumar

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Respuesta

"Þ

a) Ella no es su pololab) Ella es su polola o él no va a la fiestac) No es verdad que, él no va a la fiestad) No es verdad que, ella no es su pololae) El no va a la fiesta, sí y sólo si, ella es su pololaf) Si él va a la fiesta y ella no es su polola, entonces él va a la fiestag) Si él va a la fiesta, entonces ella no es su polola

#Þ +Ñ µ : ,Ñ : Ä µ ; -Ñ : Ç ; .Ñ µ µ ; /Ñ µ Ð µ : • µ ; Ñ 0Ñ µ Ð µ : ” ; Ñ

USO DE PARÉNTESIS

El uso de paréntesis es un símbolo que forma parte de la lógica secuencial, el uso de ellos eslógico y no retórico, sin los paréntesis las fórmulas o expresiones lógicas pueden carecer de sentido.

En el siguiente ejemplo, puede observar que las expresiones son claramente distintas:

+Ñ : Ä Ð; ” < Ñ ,Ñ Ð: Ä ; Ñ ” <

TABLAS DE VERDAD PARA RESOLVER PROPOSICIONES COMPUESTAS

Una manera de mostrar la relación entre el valor de verdad de una proposición y los valores de verdad de las proposiciones es medianteT Ð:ß ; ß ÞÞÞÑ :ß ;ß ÞÞÞ una tabla de verdad.

Ejemplo

Sea la proposición µ Ð : • µ ; Ñ

Primero se completan las dos primeras columnas correspondientes a las proposiciones y : ;

: ;Z ZZ JJ ZJ J

Segundo se resuelve el paréntesis de la proposición, desde adentro hacia afuera:

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: ; µ ;Z Z JZ J ZJ Z JJ J Z

Luego, se va completando la expresión que está dentro del paréntesis

: ; µ ; Ð : • µ ; ÑZ Z J JZ J Z ZJ Z J JJ J Z J

y por último: se completa toda la expresión en la tablaÞÞÞ

: ; µ ; Ð : • µ ; Ñ µ Ð : • µ ; ÑZ Z J J ZZ J Z Z JJ Z J J ZJ J Z J Z

Por lo tanto, la solución de está dada en la última columna.µ Ð : • µ ; Ñ

Existe otra forma de completar la tabla de verdad de y es laµ Ð : • µ ; Ñ siguiente: Se escribe toda la expresión en la tabla colocando cada parte de ésta en un cuadrado de la tabla

: ; µ Ð: • µ ; Ñ

Se va completando la tabla de la siguiente forma:

: ; µ Ð: • µ ; ÑZ Z Z JZ J Z ZJ Z J JJ J J Z

: ; µ Ð: • µ ; ÑZ Z Z J JZ J Z Z ZJ Z J J JJ J J J Z

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: ; µ Ð: • µ ; ÑZ Z Z Z J JZ J J Z Z ZJ Z Z J J JJ J Z J J Z

La solución de está dada en la columna de la negación .µ Ð : • µ ; Ñ Ð µ Ñ

Ejercicios

"Þ Construya la tabla de verdad de las siguientes expresiones lógicas:

+Ñ Ð : • µ ; Ñ Ä :

,Ñ Ð µ : ” ;Ñ Ç µ ;

-Ñ µ Ð : Ä ;Ñ • :

.Ñ Ð : ” µ ; Ñ ” Ð µ : • µ ;Ñ

/Ñ µ Ð : Ä <Ñ • ;

0Ñ Ò µ : Ä Ð ; • < Ñ Ó Ç µ ;

#Þ Si

Cecilia Bolocco es Primera Dama: À ; À " " œ # < À # & Á %

Determine el valor de verdad de:

+Ñ Ò Ð< ” µ ;Ñ • : Ó ” µ ;

,Ñ µ Ò Ð µ ; Ä µ : Ñ ” µ < Ó Ç :

$Þ Si

: À $ B $ C œ * ; À & B C œ ( < À & C B œ "" B œ "ß C Á #ß C − ‘


+Ñ Ò Ð: ” ;Ñ • µ < Ó Ä µ ;

,Ñ µ Ò Ð µ ; Ä µ : Ñ ” µ < Ó

-Ñ Ð µ : ” < Ñ Ä µ ;

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Respuesta

+Ñ : ; µ ; : • µ ; Ð: • µ ;Ñ Ä :Z Z J J ZZ J Z Z ZJ Z J J ZJ J Z J Z

,Ñ : ; µ : µ ; µ : ” ; Ð µ : ” ; Ñ Ç µ ;Z Z J J Z JZ J J Z J JJ Z Z J Z JJ J Z Z Z Z

-Ñ : ; : Ä ; µ Ð: Ä ; Ñ µ Ð: Ä ; Ñ • :Z Z Z J JZ J J Z ZJ Z Z J JJ J Z J J

.Ñ " # : ; µ : µ ; : ” µ ; µ : • µ ; " ” #

Z Z J J Z J ZZ J J Z Z J ZJ Z Z J J J JJ J Z Z Z Z Z

V F F F V FV V

FF V

F F F V F F

/Ñ : ; < : Ä < µ Ð: Ä <Ñ µ Ð: Ä <Ñ • ;Z Z Z Z J JZ Z J J Z ZZ J Z Z J J

J Z J JJ Z Z J JJ Z J J

0Ñ : ; < µ : µ ; ; • < µ : Ä Ð; • < Ñ µ : Ä Ð; • < Ñ Ç µ ;

Z Z Z J J ZZ Z J J J JZ J Z J Z J

‘ V F V F

V VV F F F V F V V

V V F V V FF F F V

F V V F FF F F V V F

J ZJ Z Z JJ Z J

F F

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#Þ +Ñ J ,Ñ Z

$Þ Los valores de verdad de las proposiciones son:

: À J ; À J < À J

+Ñ Ò Ð: ” ;Ñ • µ < Ó Ä µ ; Ò ÐJ ” J Ñ • µ J Ó Ä µ J

Ò Ð J Ñ • Z Ó Ä Z J Ä Z Z

,Ñ µ Ò Ð µ ; Ä µ : Ñ ” µ < Ó µ Ò Ð µ J Ä µ J Ñ ” µ J Ó µ Ò Ð Z Ä Z Ñ ” Z Ó µ ÒZ ” Z Ó µ ÒZ Ó J

-Ñ Ð µ : ” < Ñ Ä µ ; Ð µ J ” J Ñ Ä µ J Ð Z ” J Ñ Ä Z Ð Z Ñ Ä Z Z

Clasificación de las Proposiciones Compuestas

Tautología Una proposición es una Tautología si todos los valores de verdad deT Ð:ß ;ß ÞÞÞÑ su última columna son Verdaderos, sean cuáles sean los valores de verdad de sus proposiciones.

Contradicción Una proposición es una ontradicción si todos los valores de verdadT Ð:ß ;ß ÞÞÞÑ G de su última columna son Falsos, sean cuáles sean los valores de verdad de sus proposiciones.

Contingencia Una proposición es una Contingencia si todos los valores de verdadT Ð:ß ;ß ÞÞÞÑ de su última columna son Verdaderos y Falsos.

Ejemplo

Demuestre que la siguiente proposición es una tautología

µ Ð : ” µ ; Ñ Ç Ð µ : • ; Ñ

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Respuesta " # : ; µ : µ ; : ” µ ; µ Ð: ” µ ; Ñ µ : • ; " Ç #

Z Z J J Z J J ZZ J J Z Z J J ZJ Z Z J J Z Z ZJ J Z Z Z J J Z

Por lo tanto, es una Tautología.µ Ð : ” µ ; Ñ Ç Ð µ : • ; Ñ

Ejercicios

De las expresiones lógicas dadas, determine cuál de ellas es Tautología, Contradicción o Contingencia.

+Ñ Ð µ : • ; Ñ Ä µ ;

,Ñ : ” Ò µ Ð : • µ ; Ñ Ç < Ó

Observación 1:

Cuando las proposiciones que se relacionan por el conectivo determinan unaÄ Tautología, entonces la expresión es una implicancia lógica y el conectivo cambia a . Ê

Ejercicio

Demuestre que la siguiente expresión es una implicancia lógica

Ð : • ; Ñ Ä Ð : Ç ; Ñ

Observación 2:

Cuando las proposiciones que se relacionan por el conectivo determinan unaÇ Tautología, entonces la expresión es una equivalencia lógica y el conectivo cambia a Í

Ejemplo

En el ejercicio anterior, la expresión

es una Tautología, por lo tanto la escribimos:µ Ð : ” µ ; Ñ Ç Ð µ : • ; Ñ

µ Ð : ” µ ; Ñ Í Ð µ : • ; Ñ Un ejemplo de equivalencia lógica son las leyes Proposicionales.

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Leyes del Algebra Proposicional

"Þ Idempotencia +Ñ : • : Í : ,Ñ : ” : Í : #Þ No Idempotencia

+Ñ : • J Í J .Ñ : ” Z Í Z ,Ñ : ” J Í : /Ñ : • µ : Í J -Ñ : • Z Í : 0Ñ : ” µ : Í Z

$Þ Conmutatividad

+Ñ : • ; Í ; • : ,Ñ : ” ; Í ; ” : -Ñ : Ç ; Í ; Ç :

%Þ Asociatividad

+Ñ Ð : • ; Ñ • < Í : • Ð; • <Ñ ,Ñ Ð : ” ; Ñ ” < Í : ” Ð; ” <Ñ

&Þ Distributividad

+Ñ Ð : • ; Ñ ” < Í Ð: ” < Ñ • Ð ; ” <Ñ ,Ñ Ð : ” ; Ñ • < Í Ð : • < Ñ ” Ð; • <Ñ

'Þ Absorción

+Ñ : ” Ð : • ; Ñ Í : ,Ñ : • Ð : ” ; Ñ Í :

(Þ Negación

V+Ñ µ J Í ,Ñ µ Z Í J -Ñ µ Ð µ Z Ñ Í Z

)Þ De Morgan

+Ñ µ Ð : • ; Ñ Í µ : ” µ ; ,Ñ µ Ð: ” ; Ñ Í µ : • µ ;

*Þ Condicionales

+Ñ Ð : Ä ;Ñ Í µ : ” ;

,Ñ Ð : Ä ;Ñ Í µ ; Ä µ :

"!Þ Doble Implicación

Ð : Ç ; Ñ Í Ò Ð : Ä ;Ñ • Ð ; Ä :Ñ Ó

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Usando las leyes proposicionales también es posible encontrar otra expresión equivalente a la que se da, esto se hace simplificando la proposición compuesta dada.

Ejemplo Simplifique la expresión e indique cada paso que realizóÐ : ” ; Ñ Ä µ :

Respuesta

Ð : ” ; Ñ Ä µ : Por Condicionalµ Ð : ” ; Ñ ” µ : De MorganÐ µ : • µ ; Ñ ” µ : Conmutatividadµ : ” Ð µ : • µ ; Ñ Absorciónµ :

Por lo tanto Ð : ” ; Ñ Ä µ : Í µ : Ejercicios

I) Simplifique las siguientes expresiones:

"Þ : Ä Ò ; Ä Ð: • ;Ñ Ó #Þ : ” Ð µ ; Ä :Ñ

$Þ Ð: • ; Ñ Ä Ð µ : ” ; Ñ %Þ µ : Ä Ð; Ä µ :Ñ

II) Niegue las siguientes expresiones:

3Ñ µ : • ; 33Ñ Ò : ” Ð ; • µ : Ñ Ó

333Ñ Ð : ” ; Ñ Ä Ð µ : • ; Ñ 3@Ñ : Ä Ð µ : Ä ; Ñ

III) Demuestre que:

3Ñ Ò µ : Ä Ð µ ; • : Ñ Ó Í :

33Ñ Ò Ð: Ä ;Ñ ” Ð µ : Ä µ ; Ñ Ó Í Z

333Ñ Ò : ” Ð ; • µ : Ñ Ó Í Ð : ” ; Ñ

3@Ñ Ò Ð : Ä µ ; Ñ ” µ ; Ó Í Ð µ : ” µ ; Ñ

@Ñ Ò Ð : ” µ ; Ñ Ä Ð µ : • ; Ñ Ó Í µ : • ;

Respuesta

I) "Þ Z #Þ : ” ; $Þ Z %Þ Z

II) III) Se dejan al estudiante3@Ñ J

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LOGICA CUANTIFICACIONAL

Es una rama de la lógica que utiliza determinados símbolos llamados CUANTIFICADORES, los cuales permiten indicar el número de elementos de un conjunto que al ser sustituidos en un enunciado hacen de él una proposición verdadera.

Función lógica o proposicional

Es una afirmación que contiene una o más variable. Las funciones proposicionales se denotan por letras minúsculas, y las variables se escriben dentro de un paréntesis, por ejemplo:

, son funciones proposicionales, e son variables.: ÐBÑ ; ÐBÑ ß <ÐCÑ B C

:Ejemplo 1

Sea y la función proposicional : , E œ Ö"ß #ß $ × : Ð BÑ B # Ÿ & B − E Determine qué valores cumple la función.

Respuesta

Sustituiremos cada elemento de en la función proposicional .E : ÐBÑ

Sea B œ " Ê : Ð"Ñ œ " # Ÿ & V$ Ÿ &

Sea B œ # Ê : Ð #Ñ œ # # Ÿ & V% Ÿ &

Sea B œ $ Ê : Ð $Ñ œ $ # Ÿ & V& Ÿ &

Observe que " todos los elementos que están en A cumplen la proposición ": ÐB Ñ ,esto se puede simbolizar por el cuantificador: y es el Cuantificador Universal.a

a se lee, " para todo " , " todo"

Simbólicamente escribimos todo el enunciado de la siguiente forma:

Ð a B − E Ñ Ð : Ð B Ñ À B # Ÿ & Ñ

Esta función lógica es cuantificada.

:Ejemplo 2

Sea y E œ Ö "ß !ß " × ; Ð B Ñ À l B l $ œ %

Determine qué valores del conjunto A cumplen con la proposición

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Respuesta

Sustituiremos todos los elementos

B œ " ; Ð "Ñ À l " l $ œ % , " $ œ %

% œ % Z

B œ ! ß ; Ð ! Ñ À l ! l $ œ % ! $ œ %

$ œ % J

B œ " ß ; Ð " Ñ À l " l $ œ % " $ œ %

% œ % Z

Observe que sólo algunos elementos de A cumplen la proposición , esto se; Ð B Ñ simboliza por otro cuantificador: , llamado Cuantificador Existencial.b

b se lee, "existen algunos elementos " o " existe al menos un …" Simbólicamente escribimos todo el enunciado de la siguiente forma:

Ð b B − EÑ Ð; ÐBÑ À l Bl $ œ % Ñ

ó

bB ß B − E ß ; Ð B Ñ À l Bl $ œ %

Ejemplo 3:

Sea = , y E Ö # $ß $ × < Ð B Ñ À B ' œ BÈ # %

Determine qué valores del conjunto A cumplen con la proposición

Respuesta

Sustituiremos cada elemento en < Ð B Ñ

B œ # <Ð # Ñ À Ð # Ñ ' œ Ð #Ñ , # %

% ' œ "' F"! œ "'

B œ $ ß < Ð $ Ñ À Ð $ Ñ ' œ Ð $ÑÈ È È È # %

$ ' œ Ð $Ñ ÞÐ $ÑÈ È# #

V* œ *

B œ $ < $ $ œ $ , ( ) : ( ) + 6 ( ) # %

= * ' )" 15 = F)"

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En este ejemplo, de todos los elementos de A , sólo cumple con laÈ$ proposición, esto se simboliza por !, el cual es otro Cuantificador Existencial.b

! se lee, "existe un único "b

Del ejemplo anterior: , !b B − E < ÐBÑ À B ' œ B ß E œ Ö #ß $ß $×# % È

Ejemplo

Sea una función proposicional, sobre el conjunto , use cuantificadores: Ð B Ñ ‘ para escribir: Todo real cumple con :ÐBÑ

Respuesta

a B ß B − ß : Ð B Ñ‘

¡¡ Ahora resuelva usted !!

Ejercicios

Sea una función proposicional, sobre el conjunto , use cuantificadores para escribir los: Ð B Ñ ‘ siguientes enunciados.

a) Existe un real que cumple con : ……………...............………………….....: Ð B Ñb) Algún real cumple con : ………………………………………..……….......: Ð B Ñc) Todo real al cuadrado es positivo o cero : ……………………………………….d) La ecuación tiene solución única en : # B $ œ ! ‘e) Existe por lo menos un real tal que su raíz cuadrada no es real :

.............................…………………………………………………………..

0 ) No todos los números enteros son positivos :

........................................................................................................................

Respuestas

a) ,b x B ß B − : Ð B Ñ‘

b) ,b B ß B − : Ð B Ñ‘

c) ,a B ß B − B !‘ #

d) ,b x B ß B − : Ð B Ñ À # B $ œ !‘

e) ,b B ß B − B Â‘ ‘Èf) b B ß B − ß B Ÿ !™

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¿Se podrán agrupar de alguna forma todos los elementos de un conjunto que cumplen con una proposición? Si, en un conjunto llamado Conjunto de Validez.

Por lo tanto, el conjunto de validez es aquel en el cual están todos lo valores para los cuales la proposición es verdadera.

Su notación es , donde indica la proposición.Z ::

¡¡ Veamos un ejemplo de esto !!

Ejemplo

Sea E œ Ö #ß $ß % × ß = Ð B Ñ À B " #

Respuesta

Sea B œ # = Ð # Ñ À # " # " # J

( ) : B œ $ = $ $ " # # # J

( ) : B œ % = % % " # $ # Z

Es decir, el conjunto de Validez es = , ya que sólo el cumple con la proposiciónZ Ö % × % = Ð B=

Ñ.

Valor de Verdad de una función proposicional

El valor de verdad de una función proposicional depende del cuantificador y del conjunto de validez.

Ejemplo

Sea y la función: , : E œ Ö "ß # ß $ × a B B − E ß : Ð B Ñ # B " œ &

Respuesta:

Si sustituimos cada elemento de en , se observa que sólo cuando , la proposición seE : Ð B Ñ B œ # cumple, es decir:

: : Ð # Ñ # Ð#Ñ " œ & % " œ & & œ & Z œ Ö # ×:

Como la función lógica decía que: Para todos los elementos de A se cumple la proposición , obviamente esto es FALSO, ya: Ð B Ñque sólo se cumple para un elemento. Por lo tanto : , , : es falsoa B B − E : Ð B Ñ # B " œ &

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Ejercicios

Determine el conjunto de validez y el valor de verdad para cada función lógica dada: Sea E œ Ö #ß "ß !ß "ß # ×

a) , , a B B − E : Ð B Ñ À B # Ÿ "

b) , , b B B − E ; Ð B Ñ À l B l " "

c) , , bx B B − E < Ð B Ñ À B " #

d) , , a B B − E : Ð B Ñ À B # Ÿ $ e) , , b B B − E = Ð B Ñ À $l B l " "

Respuesta

a) Z œ Ö #ß "×:

Valor de verdad : Falso

b) Z œ Ö #ß "ß !ß "ß # ×;

Valor de verdad : Verdadero

c) Z œ Ö #ß "ß ! ×<


d) Z œ Ö "ß !ß "ß # ×:


e) Z œ Ö #ß "ß !ß "ß # ×=

Valor de verdad : Verdadero

Ahora, recurriremos a las tablas verdad vistas anteriormente, pero las llamaremos Tablas dedoble Entrada para resolver las siguientes funciones lógicas:

Ejemplo


, , a B B − E : Ð B Ñ Ç Ò : Ð BÑ Ä ; Ð B Ñ Ó

con :E œ Ö "ß !ß "ß # ×

: : Ð B Ñ # B " Ÿ %

:; Ð B Ñ B $ B #

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:Respuesta

Se construye la tabla de doble entrada de la forma siguiente:

: Ð B Ñ ; Ð B Ñ : Ð B Ñ Ä ; Ð B Ñ : Ð B Ñ Ç Ò : ÐB Ñ Ä ; Ð B Ñ Ó "!"#

Luego, se sustituyen los elementos de , en cada una de las proposiciones, para determinarEcuáles de ellos cumplen con la proposición dada:

: Ð B Ñ ; Ð B Ñ : Ð B Ñ Ä ; Ð B Ñ : Ð B Ñ Ç Ò : ÐB Ñ Ä ; Ð B Ñ Ó " Z Z Z Z! Z Z Z Z" Z Z Z Z# J Z Z J

Conjunto de Validez Z œ Ö "ß !ß "×Ð:ß ;Ñ Valor de verdad: Falso

¿Y qué pasa si el conjunto es el de los números reales?

Veamos un ejercicio en el cuál el conjunto es el de los números reales.

:Ejemplo

, + 1 b B B − ß B ! ” B $ "‘

Para determinar el Conjunto de Validez, se resuelven las inecuaciones y se determina la3Ñsolución Total:

B " ! ” B $ " B " ” B %

Recuerda que los conjuntos soluciones en los reales se representan con intervalos. La solución es :

Conjunto de validez : Ó _ß " ÒY Ó %ß _ Ò

Para determinar el Valor de verdad, se lee el cuantificador y se compara con el Conjunto de33Ñ Validez.

Valor de Verdad : Verdadero

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Ejercicios En cada uno de los siguientes ejercicios , determine:

a) Tabla de verdadb) Conjunto de validezc) Valor de verdad

"Þ E œ Ö #ß "ß !ß "ß # × Sea y la función proposicional:

b B B − E µ : Ð B Ñ Ç Ò ; Ð BÑ • µ < Ð B Ñ Ó , ,

: Ð B Ñ À B # B " œ !#

; Ð B Ñ À B " !

< Ð B Ñ À B $ −È ‘

#Þ E œ Ö!ß "ß #ß $ß %× Sea y la función proposicional:

b B B − E Ò Ð µ ; Ð B Ñ • µ : Ð BÑ Ñ Ä <Ð B Ñ Ó , ,

: Ð B Ñ À #B " Ÿ %

; Ð B Ñ À B $ !

< Ð B Ñ À B # es divisible por

$Þ E œ Ö !ß "ß #ß $ß % × y la función proposicional:

b B B − E : Ð B Ñ Ç Ò Ð µ : Ð B Ñ ” < Ð BÑÑ Ä ; Ð B Ñ Ó , ,

: Ð B Ñ À B $ &

; Ð B Ñ À B " Ÿ $#

< Ð B Ñ À B !

%Þ b B B − ß #B Ÿ " • #B $ & , + 1 ‘

&Þ b x B B − ß B # Ÿ " ” &#B $ , + ‘ %

'Þ aBß B − ß $B # " • *& B (

%‘

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Respuesta

"Þ a) "

: ÐBÑ ; ÐBÑ <ÐBÑ µ :ÐBÑ µ <ÐBÑ ;ÐBÑ • µ <ÐBÑ µ :ÐBÑ Ç Ò " Ó # J J Z Z J J J " Z J Z J J J Z! J J Z Z J J J" J Z Z Z J J J# J Z Z Z J J J

b) = Z Ö " ×Ð:ß ;ß <Ñ

c) Verdadero

#Þ a) "

:ÐBÑ ;ÐBÑ <ÐBÑ µ :ÐBÑ µ ;ÐBÑ µ ;ÐBÑ • µ : ÐBÑ " Ä <ÐBÑ! Z Z J J J J Z" Z Z J J J J Z# J Z Z Z J J Z$ J Z J Z J J Z% J Z Z Z J J Z

b) =Z Ö !ß "ß #ß $ß % ×Ð:ß ;ß <Ñ

c) Verdadero

$Þ

a) " #:ÐBÑ ;ÐBÑ <ÐBÑ µ :ÐBÑ µ :ÐBÑ ” <ÐBÑ " Ä ;ÐBÑ : ÐBÑ Ç #

! Z Z J J J Z Z" Z Z Z J Z Z Z# J J Z Z Z J Z$ J J Z Z Z J Z% J J Z Z Z J Z

b) Z œ Ö !ß "ß #ß $ß % ×Ð:ß ;ß <Ñc) Verdadero

4) b) c) VerdaderoZ œ Ó _ß !Ó

5) b) c) FalsoZ œ Ó _ß #$Î#Ò

6) b) c) FalsoZ œ Ó _ß %$Î&Ò

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NEGACION DE PROPOSICIONES QUE CONTIENEN CUANTIFICADORES

Para negar una proposición cuantificada hay que cambiar el cuantificador y negar la funciónproposicional reduciéndola al máximo usando las leyes proposicionales.

Por ejemplo:

b B ß B − Eß : Ð B Ñ Ä ;ÐBÑ E es un conjunto numérico cualquiera

La negación es : µ Ð b B ß B − Eß : Ð B Ñ Ä ;ÐBÑ Ñ

La negación de es La negación de esb a a b

La negación de la desarrollaremos aparte:: Ð B Ñ Ä ; ÐBÑ

µ Ò : Ä ; Ó µ Ò µ : ” ; Ó : • µ ;

Por lo tanto, la expresión negada de: resultab B ß B − Eß : Ð B Ñ Ä ; ÐBÑ À

aB ß B − Eß : ÐBÑ • µ ; ÐBÑ

¡¡Recuerda!! El conjunto nunca se niega, es decir, que es incorrecto escribir:E B Â E

La negación de: es ; es ; es ; es y viceversa. Ÿ • ” œ Á

Ejercicios

Sean las siguientes proposiciones, encuentre su negación:

"Þ b B ß B − Eß : Ð B Ñ ” ; ÐBÑ

#Þ a B ß B − Eß µ : Ð B Ñ Ä ; ÐBÑ $Þ b B ß B − Eß Ò Ð µ : Ð B Ñ ” ; ÐBÑ Ñ Ä : Ð BÑ Ó

%Þ a B B − ß # B Ÿ " • #B $ & , + 1 ‘

&Þ b B ß B − Eß & B " B ” 'B " $

Respuesta

"Þ a B ß B − Eß Ð µ : Ð B Ñ • µ ; ÐBÑ Ñ

#Þ b B ß B − Eß Ð µ : Ð B Ñ • µ ; ÐBÑ Ñ $Þ a B ß B − Eß µ : Ð B Ñ

4. , + 1 b B B − ß # B " ” #B $ &‘

&Þ a B ß B − Eß & B " B • 'B " $

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


41

CONJUNTOS

En el lenguaje cotidiano, decimos un curso de Algebra, un montón de libros de matemática,Àun cajón de ropa, la ciudad de Chillán , etc., es decir, usamos muchas palabras para expresar una misma idea. Losmatemáticos prefieren la palabra para expresar lo mismo.Conjunto Por lo tanto, podemos definir Conjunto como sigue:

conjuntoUn es una colección de objetos que está bien definido y para denotarlo se emplean letras mayúsculastales como: A, B, C, etc. Algunos ejemplos de conjuntos son :

A Jugadores de la Selección chilena año 1999œ Ö × B œ Ö+ß /ß 3 ß 9ß ? × C números naturales mayores que y menores que œ Ö # ' ×

¿...Pero , sabes cómo se llaman los objetos de un conjunto ?

Cada objeto de un conjunto se llama elemento del conjunto. , Y si el elemento está en el conjunto se dice que pertenece a él, en caso contrario se dice no pertenece esto sesimboliza o respectivamente− Â

Observe que los elementos de un conjunto se escriben entre llaves Ö×

En la siguiente tabla se muestra un paralelismo entre este lenguaje simbólico y cotidiano. Lenguaje Cotidiano Lenguaje Simbólico

Marcelo Salas integra la Selección Chilena del año 2001 Marcelo Salas AEl

− Chino Ríos (que es tenista), no integra la Selección Chilena Chino Ríos AÂ

En matemática, los elementos de un conjunto, se designan por , , , , .... etc, es decir con cualquier letraB C D + , ß ßminúscula. ¿Te has dado cuenta que en ocasiones es más fácil interpretar las cosas cuando se presentan en forma gráfica ?... en los conjuntos pasa algo similar, de ahí que es útil el uso de Diagramas de Venn. Los Diagrama de Venn-Euler nos permiten visualizar en forma sencilla e instructiva los conjuntos y susrelaciones, y en estos diagramas se usan las siguientes formas:

Por ejemplo:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


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Algunos tipos de Conjuntos son:

: este conjunto es aquel que no tiene elementos. Se simboliza por Conjunto Vacío g 9 Ö × Ejemplo 1 : Conjunto de canciones rancheras interpretadas por el grupo Kiss Ejemplo 2 : números que pertenezcan al conjunto de los números naturales y que sean negativos Ö ×

: Es el conjunto que contiene todos los elementos a los cuales pudiéramos hacer Conjunto Universo referencia en un momento dado, estos pueden ser infinitos o finitos.

Ejemplo 1: El conjunto de jugadores de un equipo de fútbol es finito Ejemplo 2: El conjunto de los números Enteros es infinito

Conjuntos Disjuntos: Son aquellos conjuntos que no tienen ningún elemento en común Ejemplo 1 : El conjunto de alumnos aprobados en Algebra es un conjunto disjunto con el de los alumnos reprobados Ejemplo 2 : Sea y . Los conjuntos A y B no tienen ningún elemento enE œ Ö"ß #ß $ × F œ Ö%ß &ß '×común, por ello son conjuntos disjuntos.

Ejercicios

1) De los conjuntos dados, indique cuál de ellos es o son vacíos:

a) A / œ ÖB − ! B " × b) B / œ ÖB − ! B " ×™ c) C / œ ÖB − ! B " ×‘

Determine en qué caso, el par de conjuntos dados es disjunto:#Ñ

a) A , , B , , œ Ö" # $ × œ Ö & * ! × b) A Bœ Ö"ß # ß $ × œ Ö "ß #ß & × c) A Tenistas Top Ten Ranking ATP tour B Tenistas chilenosœ Ö × œ Ö ×

Respuesta

1) Son conjuntos vacíos A y B 2) Son disjuntos los conjuntos dados en (a) y en (c)

Para escribir un conjunto existen ciertas reglas universalmente aceptadas.

:Formas de escribir un conjunto

Usualmente un conjunto se escribe de dos maneras:

1) Por Comprensión: En esta forma se escribe una característica de los elementos

Por ejemplo: es un árbol autóctono de ChileE œ BÎB˜ ™

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


43

2) : Escritura en la cual los elementos se identifican.Por Extensión

Por ejemplo: Raulí, Avellano, Coihue, Roble, ...E œ ˜ ™ E jercicios

I) Sea G el conjunto de numeros naturales menores que 5:

a) Escriba el conjunto por Comprensión b) Escriba el conjunto por Extensión

Respuestas

a) G œ ÖB − ÎB &× b) G œ Ö"ß #ß $ß % ×

¿ Existen otros conceptos importantes de conocer en los conjuntos ?

Si, en los conjuntos podemos definir otros conceptos, los cuales nos servirán para resolver más problemas. Estos son los de y , que se definen a continuación.Igualdad Subconjuntos

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B, se verifica:

: Decimos que dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos,ì Igualdad no importa el orden de éstos. La igualdad de los dos conjuntos se representa por A Bœ Ejemplo 1: Sean los conjuntos y E œ Ö "ß #ß $ ×ß F œ Ö #ß "ß $ × G œ ÖB − Î B Ÿ $× Determine si los conjuntos son iguales o no.

Respuesta

Los conjuntos A y B muestran claramente que ambos tienen los mismos elementos aunque en distinto orden. El conjunto C, está escrito por comprensión y señala que los elementos de este conjunto son números naturales menores o iguales a 3, es decir, quienes cumplen esta condición son los números , y . Por lo tanto se" # $verifica:

E œ F œ G

Ejemplo 2:

Sean los conjuntos A y Bœ ÖB − Î # B Ÿ ! × œ Ö "ß !×™

Respuesta

Estos conjuntos son iguales, porque A tiene elementos del conjunto y estos son ™ Ö "ß !×

Por lo tanto, A Bœ

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


44

Otro concepto importante es el de:

: Decimos que A es subconjunto de B si cada elemento del conjunto A es también un elementoì Subconjuntodel conjunto B, es decir, A está contenido en B. Simbólicamente se tiene:

A B significa " A es un subconjunto de B "© Gráficamente, esto se muestra en la figura:

A B©

Si un conjunto de otro se denota por:no es subconjunto

La sección 1 de Construcción Civil es un subconjunto de toda la carrera de Construcción Civil.Ejemplo 1:

: Sea A y B 1 , el conjunto B tiene un sólo elemento y éste está en el conjuntoEjemplo 2 œ Ö"ß #ß $ × œ ˜ ™A, por lo tanto , B A©

Ahora bien , los subconjuntos cumplen ciertas propiedades que conviene saber, ya que nos facilitan lacomprensión de los conjuntos y sus problemas. Dichas propiedades se cumplen para cualquier conjunto A.

:Propiedades de los subconjuntos

1) El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto: Ag ©

2) Todos los conjuntos son subconjuntos de sí mismo: A A©

3) Todos los conjuntos son subconjuntos del conjunto Universo U: A U©

Todas estas propiedades son útiles para un conjunto denominado "conjunto de las partes" o "conjuntopotencia". Curioso nombre, pero se llama Conjunto de las Partes porque está formado por todos los subconjuntos de un conjunto dado. El número de elementos (o cardinalidad ) de él, está dado por la solución de la expresión: ,#8

donde " " indica la cardinalidad del conjunto original. Su notación es .8 TÐEÑ

Ejemplo:

Sea . Determinar su Conjunto Potencia.Q œ Ö+ß , ß -×

: Respuesta

El conjunto M tiene elementos, es decir , por lo tanto el conjunto potencia tiene$ 8 œ $

VIR

GIN

IO G

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elementos y estos son:# œ )$

TÐQÑ œ gß Ö+ ×ß Ö ,×ß Ö - ×ß Ö+ß , ×ß Ö,ß - ×ß Ö+ß -×ß Ö+ß ,ß -×š › Observe que los elementos de ( ) se escriben entre llaves y algunos de los subconjuntos fueronT Q Ö × determinados por las propiedades de los subconjuntos dadas anteriormente.

Ejercicios I) Sean Determinar si las siguientesE œ Ö $ß ! ß & ×ß F œ Ö!ß &ß $ ×ß G œ Ö!ß & ×Þ proposiciones son Verdaderas ( V ) o Falsas ( F ). En el caso de que sean falsas indique la razón: a) C A .......... b) A B ..........© œ

c) C A .......... d) C B ..........− ©

e) A C .......... f) ..........Á g œ Ö g ×

g) A B ........... h) B ...........© g ©

II) Sea A Encontrar y luego determine si las siguientes proposiciones œ Ö +ß , ×Þ T ÐEÑ son Verdaderas ( V ) o Falsas ( F ). En el caso de que sean falsas indique la razón:

a) ..... ...... b) ............+ © TÐEÑ Þ Ö+× − TÐEÑ

c) ........ . d) ...........Ö+× © TÐEÑ ÞÞ ÖÖ+×× © TÐE Ñ

e) ............ d) ...........Ö+ß ,× © TÐEÑ ÖÖ+×× © TÐE Ñ

e) ............Ö+ß ,× © TÐEÑ

Respuesta

I) a) V b) V

c) F C no es un elemento de A. d) Vß

e) V

f) F, la expresión , representa un conjunto que tiene un elemento y este es Ög× g

g) V h) V

II)

El Conjunto Potencia tiene elementos y es# œ % T ÐE Ñ œ gß Ö+×ß Ö, ×ß Ö+ß , ×# š › a) F, porque " " es un elemento y la notación representa subconjunto+ ©

b) V c) F, porque representa un elemento de Ö+× T ÐEÑ

d) V e) F, porque es un elemento de Ö+ß ,× T ÐEÑ

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


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OPERACIONES CON CONJUNTOS

Los conjuntos nos permiten resolver problemas cotidianos a través de las operaciones que se pueden definir con ellos.Tomemos dos conjuntos cualesquieras, a los cuales llamaremos A y B

La Unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos de A ó B o ambos. La unión de A y B se representa simbólicamente por A B, específicamente se tiene:

A B œ BÎB − E ” B − F˜ ™A continuación, se presentan tres formas gráficas distintas de cómo se pueden relacionar los conjuntos, lo achuradorepresenta la unión de ellos.

Ejemplo 1:

Sean Determine A BE œ Ö +ß , ×ß F œ Ö +ß -ß . ×

Respuesta El conjunto A B es el conjunto que tiene los elementos de A ó B. œ Ö +ß ,ß -ß . × Nótese que cada elemento se escribe una sola vez aunque se haya repetido más de una, como es el caso de la letra " " que aparece dos veces.+

Ejemplo 2:

Un ejemplo gráfico se presenta a continuación con los conjuntos A, B y C. Se achuró la unión del conjunto Ay C.

A C

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


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de los conjuntos A y B se define como el conjunto formado sólo por los elementos que tienenLa Intersecciónen común A y B. La intersección se representa por A B Simbólicamente, se escribe:

A B A B œ BÎ B − • B −˜ ™ Gráficamente, lo achurado representa en cada caso la intersección de A y B.

Ejemplo 1:

Sean El conjunto A B es el conjunto formado por el elemento que seE œ Ö +ß , ×ß F œ Ö +ß -ß . ×Þ œ Ö+× repite, que en este caso es la letra " ".+

Ejemplo 2:

En la figura lo achurado representa A C

Se define de la siguiente forma: sea A un conjunto cualquiera, el complementoComplemento de un conjunto de A son todos aquellos elementos que están en el Universo, pero que no están en A. Simbólicamente, se representa por A o A ; A- -w

œ B − Y ÎB Â E˜ ™ Consecuencias de esta definición

g œ Y Y œ g E E œ Y E E œ g- - - -

Gráficamente, A se representa en lo achurado-

VIR

GIN

IO G

OM

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Ejemplo 1: Sean , , , , , , , , es un número parY œ " # $ % & ' ( ) * ß E œ B − YÎB˜ ™ ˜ ™ Determine E-

:Respuesta

El conjunto está formado por los números pares que están en el conjunto Universo dado: E Y E œ #ß %ß 'ß )˜ ™ Luego, , es decir, son todos aquellos elementos que están en el Universo y que no están enE œ "ß $ß &ß (ß *- ˜ ™ .E

Ejemplo 2: En la figura lo sombreado representa E-

entre dos conjuntos A y B, la cual se denota por , es el conjunto formado por todos loLa Diferencia EF elementos que están en A y no están en B. El orden es importante, pués: entre B y A la cual se denota por es el conjunto formado por todos los elementos queLa Diferencia ß F E están en B y no están en AÞ Nota:

E F Á F E

Por ejemplo:

Dados los conjuntos: y E œ "ß #ß $ F œ #ß %ß '˜ ™ ˜ ™ La diferencia E F œ Ö"ß $ ×

La diferencia F E œ Ö% ß ' ×

Por lo tanto, EF Á F E

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


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Ö"ß $ × Á Ö% ß ' × Simbólicamente:

EF œ ÖB − E • B Â F ×

Gráficamente, se representa en lo achurado:

Ejemplo 1:

Sean Determine y E œ Ö +ß , ×ß F œ Ö +ß -ß . ×Þ E F F E

Respuesta

Para determinar la diferencia entre A y B, al conjunto A se le quitan los elementos que tenga de B, lo cual da como resultado la letra " " es decir, ß ß E F œ Ö,×

De igual forma se determina el conjunto F E œ Ö -ß . ×

Esto muestra claramente que: EF Á F E

Ejemplo 2:

En la figura, lo achurado representa A C

Como consecuencia de estas definiciones, tenemos las siguientes propiedades con respecto al conjunto Universo y al conjunto Vacío:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


50

3Ñ Y œ9 9

33Ñ Y œ Y9

333Ñ Y œ Y9

3@Ñ Y œ9 9

Ejercicios "Þ œ Ö B − $ Ÿ B ( × Sea el conjunto U : y sean los conjuntos:™

A U : B U : es divisible por œ Ö B − $ B ( × œ Ö B − # ×

C U : mayor que D œ ÖB − B % × œ Ö ! ×

Determinar:

a) A B b) C A c) C A B Ð Ñ

d) D C e) A B C f) A D) C B Ð Ñ Ð Ñ Ò Ð Ð Ñ Ó- - - - -

#Þ Sea U œ Ö B − Î " B Ÿ ( ×™

A U œ Ö B − Î B # × B U œ Ö B − Î % Ÿ B ( × C U œ Ö B − Î B $ ×

Determine:

a) A B C b) A B C A c) A C A BÐ Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ- - -

d) A B C e) C A BÒ Ð Ñ Ó Ð Ñ - -

$Þ œ Ö +ß ,ß Ö-× × Con A . Encuentre el conjunto Potencia de A

%Þ Sean los conjuntos:

A B C ,œ Ö "ß #ß %ß &ß ( × œ Ö (ß )ß * × œ Ö "ß #ß $ % × ¿Es verdad que:

a) A A B A B b) A C) A B AÐ Ð Ñ Ñ œ Ð Ð Ñ © - - -

c) A B B A AÐ Ñ Ð Ñ œ-

&Þ œ Sea U y sean:‘

A U : B U :œ Ö B − B "! × œ Ö B − $ Ÿ B $Þ& × C U : œ Ö B − B ! ” B $ ×

VIR

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Determinar :

a) A B b) B A C c) A C B- - - Ð Ñ Ð Ñ

d) A B C Ò Ð Ñ Ó -

Respuesta

"Þ œ Ö $ß #ß "ß !ß "ß #ß $ß %ß &ß ' × U A œ Ö%ß &ß ' × B œ Ö #ß #ß %ß ' × C œ Ö&ß ' × D œ Ö! ×

a) A B œ Ö %ß ' × b) C A œ Ö %ß &ß ' × c) C A B Ð Ñ œ Ö & × d) D C UÐ Ñ œ- -

e) (A B) C U = œ Ö&ß ' × Ö $ß #ß "ß !ß "ß #ß $ß % ×-

f) [ (A D C B- - Ñ Ð Ñ Ó œ Ö ! ×

#Þ œ Ö !ß "ß #ß $ß %ß &ß 'ß ( × U A œ Ö$ß %ß &ß 'ß ( × B œ Ö%ß &ß ' × C œ Ö$ß %ß &ß 'ß ( ×

a) A B CÐ Ñ œ Ö !ß "ß # ×-

b) A B C AÐ Ñ Ð Ñ œ Ö !ß "ß # ×-

c) A C A BÐ Ñ Ð Ñ œ Ö !ß "ß # × -

d) A B CÒ Ð Ñ Ó œ Ö !ß "ß # ×-

e) C A BÐ Ñ œ Ö %ß &ß ' × -

$Þ # œ ) $

ATÐ Ñ œ Ö+×ß Ö,× ß ÖÖ-××ß Ö+ß ,×ß Ö+ß Ö-××ß Ö,ß Ö-××ß Ö+ß ,ß Ö-××ßš ›9%Þ Ð Ð Ñ Ñ œ a) A A B A B- - -

Si, ambos conjuntos son iguales b) A C A B AÐ Ñ Ð Ñ © Si c) A B B A AÐ Ñ Ð Ñ œ-

Si

&Þ œ U ‘ A œ Ó _ß "! Ò B œ Ò $ß $Þ& Ò C œ Ó _ß $ Ò Ó !ß _ Ò

VIR

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IO G

OM

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a) A B- œ Ò "!ß _ Ò Ò $ß $Þ& Ò b) B A CÐ Ñ œ- 9 c) A C BÐ Ñ œ- ‘ d) A B CÒ Ð Ñ Ó œ Ò $ß ! Ó Ò "!ß _ Ò-

Pero todo esto, también se puede resolver usando diagramas de Venn, achurando lo que se pide, veamos un ejemplo. Ejemplo:

Achurar la solución de A B CÐ Ñ

i) Primero achuramos A B, como se ve en la figura

ii) Luego, a la figura achurada le quitamos C

A B CÐ Ñ

Ejercicios

Achure en la figura dada, lo que se pide en cada ejercicio:

VIR

GIN

IO G

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EZ


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a) A C B b) A B c) A B CÐ Ñ Ð Ñ Ð Ñ- -

d) A B A e) A B C B- - - Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ

f) B A C g) A B C A Ð Ñ Ð Ñ -

Respuestaa)

b)

c)

d) Desarrollar en clases, en forma grupal.e)

VIR

GIN

IO G

OM

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f)

g) Desarrollar en clase, en forma grupal.

Los conjuntos también cumplen ciertas reglas, las cuales rigen a sus operaciones. A continuación se presentauna lista de estas reglas o propiedades y luego unos ejercicios en los cuales serán utilizadas éstas, se incluye ademásla forma de resolución correspondiente.

Propiedades de los Conjuntos

Sean tres conjuntos cualesquieras A, B y C:

1) Asociatividad

a) A B C A B C b) A B C A B CÐ Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ œ Ð Ñ

#Ñ Conmutatividad

a) A B B A b) A B B A œ œ

3) Distributividad

a) A B C A B A C b) A B C A B A C Ð Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ

%Ñ De Morgan

a) A B A B b) A B A BÐ Ñ œ Ð Ñ œ - - - - - -

VIR

GIN

IO G

OM

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5) Absorción

a) A A B A b) A A B A Ð Ñ œ Ð Ñ œ

6) No Idempotencia a) A b) A A g œ g g œ c) A U A d) A U U œ œ e) A A f) A A U œ g œ- -

7Ñ Involución

A AÐ Ñ œ- -

8) Diferencia

a) A B A B œ -

9) Idempotencia

a) A A A b) A A A œ œ

Para resolver ejercicios en los cuales se usan las propiedades, conviene desarrollar el lado de la expresión que presenta mayor dificultad justificando cada paso.

Ejemplo 1:

Usando las propiedades dadas, demostrar que:

E œ E ÐE FÑ-

:Respuesta Desarrollaremos la segunda parte de la expresión para llegar a la primera parte: E ÐE F Ñ-

DiferenciaE ÐE F Ñ- - -

De MorganE Ò ÐE Ñ ÐF Ñ Ó- - - -

InvoluciónE Ð E F Ñ AbsorciónE

Luego: E ÐE F Ñ œ E-

Ejemplo 2:

Usando las propiedades dadas, demuestre que ÐE F Ñ ÐF E Ñ œ E-

Respuesta

Desarrollaremos la primera parte de la expresión para llegar a la segunda parte: ÐE F Ñ ÐF E Ñ-

VIR

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IO G

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DiferenciaÐE F Ñ Ò ÐF E Ñ Ó- -

( De MorganÐE F Ñ Ò F E Ñ Ó - - -

) InvoluciónÐE F Ñ ÐF E-

DistributividadE ÐF F Ñ-

No IdempotenciaE 9 No IdempotenciaE

Luego: E œ ÐE F Ñ ÐF E Ñ-

¿ Y puedo aplicar en algún problema real todo esto .... ?

Los Problemas con enunciados son un buen ejemplo de la utilización de las operaciones deconjuntos. Para resolverlos, basta con transformar el lenguaje cotidiano a lenguaje matemático.

Ejemplo 1:

En una encuesta realizada a consumidores de comida rápida se revela que: '# comen sólo papas fritas y hamburguesas, comen sólo completos, comen sólo papas fritas,"! "# %

$ $$ #& comen los tres tipos de alimentos, comen al menos dos de estos tipos de comida y comenpapas fritas. Si todos nombran alguna de las alternativas, encuentre:

a) ¿Cuántas personas comen completos y hamburguesa? b) ¿Cuántas personas comen sólo completos? c) ¿Cuántas personas comen exactamente dos tipos de esta comida?

:Respuesta

Se designa cada conjunto del problema con una letra mayúscula convenientemente. LlamaremosU al conjunto universo el cual está formado por el total de consumidores de Comida Rápidadados en el problema, los cuales son , P será el conjunto de consumidores de Papas Fritas, H el'#conjunto de consumidores de Hamburguesas y C los consumidores de Completos. Esto en

notación conjuntista es:

U consumidores de Comida Rápidaœ ÖB Î B × P U consumidores de Papas Fritasœ ÖB − ÎB × H U consumidores de Hamburguesaœ ÖB − Î B × C U consumidores de Completosœ ÖB − ÎB ×

Las personas que consumen Papas Fritas y Hamburguesas indica que no consumen"! sóloCompletos, es decir, es P H CÐ Ñ œ "!

Los consumidores de Completos no consumen ninguna de las otras comidas rápidas, "# sóloCompletos, es decir, C P H =12 Ð ÑLos consumidores de Papas Fritas tampoco consumen las otras comidas rápidas, es decir,% sóloP H C =4 Ð Ñ Las personas que consumen los tres tipos de comidas están dados por la solución del$conjunto P H C =3Ð ÑLas personas que consumen al menos dos de los tres tipos de comida rápida significa que$$consumen como dos tipos distintos, es decir,mínimo

P H H C P C P H CÐ Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ œ "$

VIR

GIN

IO G

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Los consumidores de Papas Fritas también son consumidores de Hamburguesas y Completos,#&es decir, es todo el conjunto P.

Completaremos la información en la figura dada a continuación:

Las respuestas al problema planteado son:

a) C H ; personas comen completos y hamburguesas. œ "& "&

b) C P H ; personas comen sólo completos. Ð Ñ œ "# "#

c) P H C H C P P C HÒ Ð Ñ Ó Ò Ð Ñ Ó Ò Ð Ñ Ó œ $! personas comen exactamente dos tipos de esta comida.$!

Problemas con enunciado

"Þ En una investigación a mil estudiantes de un Instituto se determinó que 720 tenían cassettes, 670 poseían CD y 540 tenían ambas cosas. Determinar: a) ¿Cuántos estudiantes tienen cassettes o CD? b) ¿Cuántos estudiantes no tienen cassettes ni CD? c) ¿Cuántos estudiantes tienen sólo CD? d) ¿Cuántos estudiantes tienen sólo cassettes?

# . Se investigó un grupo de 5500 personas en relación con la estrategia a seguir con objeto deconservar el combustible. De éstas, 2000 opinaron que lo aceptable era el racionamiento, 1500dijeron que lo apropiado sería fijar un impuesto adicional por litro, y 750 personas indicaron quelo apropiado sería la aplicación de ambos procedimientos.

El resto de las personas no aceptan ninguno de los dos sistemas. Determinar: a) Un diagrama de Venn, que resuma lo anterior. b) ¿Cuántas personas aceptarían en forma voluntaria el racionamiento pero no el impuesto? c) ¿Cuántas personas aceptarían en forma voluntaria el impuesto, pero no el racionamiento? d) ¿Cuántas personas no aceptarían en forma voluntaria ninguno de los dos cursos de acción?

VIR

GIN

IO G

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58

$Þ En una elección de directorio de una empresa asistieron 595 de un universo de 703 accionistas.Según los estatutos de la empresa cada accionista recibe una papeleta con los nombres de todoslos candidatos y en donde el accionista marcará, si lo desea, hasta dos preferencias.De los resultados de la elección se determinó la siguiente información referente a las tres primerasmayorías.El candidato A obtuvo 324 preferencias, 47 de los accionistas sólo votaron por A, 203 votaronpor A y no por B, 164 votaron por C y B, 358 votaron por C y 42 votaron sólo por B. Determinar:

a) ¿Quién obtuvo la primera mayoría? b) ¿Quién obtuvo la segunda mayoría? c) ¿Cuántos votaron por dos candidatos? d) De todos lo asistentes, ¿cuántos no votaron por C? e) ¿Cuántos sólo votaron por C? f) ¿Cuántos de los asistentes no votaron por ninguno de los tres? g) ¿Cuántos accionistas no se hicieron presente? h) ¿Cuántos accionistas votaron por los tres candidatos?

%Þ De una encuesta a 200 personas que compran pasta de dientes 80 compran Pepsodent, 60 compran solamenteOdontine, 20 compran solamente Signal, 14 compran Pepsodent y Odontine, 20 compran Odontine y Signal, 12

compran Pepsodent y Signal y 10 compran todos. El resto compra otra marca. a) ¿Cuántos compran al menos una de estas marcas? b) ¿Cuántos no compran estos dentríficos? c) ¿Cuántos compran solamente Pepsodent? d) ¿Cuántos compran Signal? e) ¿Cuántos no compran Odontine? f) ¿Cuántos compran Signal u Odontine?

&Þ Se realizó una encuesta a 200 alumnos de Ingeniería en Ejecución en diversas disciplinas acercade la forma en que ocupaban su tiempo libre, 30 dicen que sólo leen, 60 dicen quesólamente escuchan música, 20 dicen que sólo estudian, 16 dicen que leen y escuchan música, 50dicen que estudian, 16 dicen que escuchan música y estudian y 8 hacen las tres cosas .

De acuerdo a la encuesta, responda las preguntas dadas:

a) Grafique la información. b) ¿Cuántos sólo leen o estudian? c) ¿De los que opinan, cuántos dicen que no leen? d) ¿Cuántas personas no contestan alguna de estas tres alternativas? e) ¿Cuántas personas escuchan música, pero no leen? f) ¿Cuántas personas estudian y escuchan música, pero no leen?

II) Demuestre que: ( Justifique cada paso )

a) Ð E F Ñ E œ E F- - -

b) ÐE F Ñ E œ F E- - -

c) ÐE F Ñ ÐE F Ñ œ E F- - - -

d) ÐE F Ñ E œ- - 9

e) E ÐE F Ñ œ- - 9

f) Ò E ÐE F Ñ Ó œ Y-

VIR

GIN

IO G

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59

g) ÐE F Ñ E œ EF- -

h) Ò Ð E F Ñ E Ó E œ E- -

Respuesta

"Þ +Ñ )&! ,Ñ "&! -Ñ "$! .Ñ ")!

#Þ +Ñ

,Ñ "#&! -Ñ (&! .Ñ #(&!

$Þ +ÑG ,ÑF -Ñ %%" .Ñ #$( /Ñ $) 0Ñ #( ninguno1Ñ "!) 2Ñ

%Þ +Ñ "(! ,Ñ $! -Ñ '% .Ñ %# /Ñ ""' 0Ñ "!'

&Þ +Ñ

,Ñ '% -Ñ )) .Ñ &# /Ñ ') 0Ñ )6.- Se dejan al estudiante.

VIR

GIN

IO G

OM

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60

1.- Si se tiene que:

6 10: À El Sol es un astro frío; À r : La temperatura está por debajo de cero

Escribe las proposiciones dadas:

a) p q” b) p qµ Ä c) (r p) q• Ä d) (p q) r• Ç e) (p q) (q r)• • • 2.- Confecciona la tabla de verdad de la siguiente proposición y señala si es tautología, contradicción o contingencia:

p q p qˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰‘: Ä ; Ä ” µ Ä •

3.- Una encuesta realizada a 100 estudiantes del IPVG arrojó la siguiente información: 32 estudian Cálculo I 20 estudian Física 45 estudian Química 15 estudian Cálculo I y Química 7 estudian Cálculo I y Física 10 estudian Física y Química 30 no estudian ninguna de las tres asignaturas

Determina el número de alumnos que: a) estudian las tres asignaturas b) cursan una y sólo una de las tres asignaturas

4.- Si sabemos que un conjunto G es subconjunto de un conjunto A no vacío, determina la veracidad de los siguientes enunciados:

a) A G G œ b) (G A) A ¨ c) G A A œ d) (A G) A (A G) œ

5.- ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

a) Si entoncesE F œ Fß F © E b) Si entoncesE F œ Fß E © F c) Si Ø entonces ØE F œ F œ d) Si y entoncesE © F B − F B − E e) Si entoncesB − Eß B − E F f) Si entoncesB − Eß B − E F

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1.- a) 6 10 ó el Sol es un astro frío b) Si 6 no es menor que 10 entonces el Sol es un astro frío c) Si la temperatura está por debajo de cero y 6 10 entonces el Sol es un astro frío d) 6 10 y el Sol es un astro frío si y sólo si la temperatura está por debajo de cero. e) 6 10 y el Sol es un astro frío, y , el Sol es un astro frío y la temperatura está por debajo de cero.

2.- : ; : Ä ; µ ” µ • ” µ Ä • : Ä ; Ä ” µ Ä •

Z Z ZZ J J Z

q p q p q p q p q ( ) p q p q F V V V V V F F

ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰‘ V

V F F F V V V V V F F F

J ZJ J

3.- a) Hay cinco alumnos que estudian las tres asignaturas b) Hay 48 alumnos que estudian una y sólo una de las asignaturas. 4.- a) V b) F c) V d) V

5.- a) Z b)Z c)J d)J e)J f) Z

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UNIDAD Nº2 FUNCIONES

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Funciones

Antes de analizar el concepto de función, generalizaremos un poco y veremos primero el conceptode Relación, que es uno de los más importantes de las matemáticas, pues uno de los aspectos a consideraren cualquier ciencia, es establecer correspondencias entre diversos tipos de fenómenos. Ejemplos decorrespondencias en la vida diaria son:

- A cada artículo de un estante se le hace corresponder su precio. - A cada nombre de la guía telefónica se le hace corresponder uno o más números de teléfono. - A cada cuadrado se le hace corresponder su área. - A cada estudiante le corresponde un número de matrícula. . ...etc.

Una vez que se conoce una correspondencia, se pueden calcular valores para una variable ,conocida la otra. Un analísta de costos podría predecir los costos de diferentes niveles de salida de unproceso de manufactura; un investigador médico podría conocer la correspondencia entre lasenfermedades cardíacas y el aumento del peso. Los ejemplos anteriores tienen en común que cada unointenta formar pares de elementos de un primer conjunto, llamado , con los elementos de unDominiosegundo conjunto llamado Codominio.

Se define así, una como una correspondencia que asigna a cada elemento del Relación Dominiouno o más elementos del . A partir de estos conceptos, se puede definir ahora, el concepto deCodominiofunción: Una es una relación con la restricción de que a cada valor del le correpondeFunción Dominio" uno y solo un valor " Codominiodel , es decir, una Función es un conjunto de pares ordenados ÐBß CÑtales que no hay dos pares ordenados diferentes del conjunto, que tengan el mismo primer elemento.

Observación: Toda Función es una Relación , pero no toda relación es una función .

Notación Funcional.

Las funciones generalmente se simbolizan por las letras ó designando por " " a la variable0 1 2 ß Bßindependiente y por " " a la variable dependiente, la notación más común es en donde C C œ 0 ÐB Ñ 0ÐB Ñ B C es la expresión algebraíca que relaciona a " con " " . Veamos algunos ejemplos: "

Ejemplo 1:

Al perímetro de una circunferencia se le hace corresponder el doble del valor de multiplicado por su 1radio . Si designamos por el radio ( variable independiente ) y por " al perímetro ( variable " " "B Cdependiente) tenemos :

C œ † B 2 1

Ejemplo 2 : A cada valor de se le hace corresponder el doble de disminuido en 6.^ :

^ œ : 2 6

Ejemplo 3: A la temperatura en grados celsius se la hace correponder la partes de la temperatura59

en grados fahrenheit disminuida en 32 . Asignando por " " la temperatura en grados celsius y por " " laC Btemperatura en grados fahrenheit, tenemos :

C œ B ( 32 )59

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Sabemos que una Función comprende dos conjuntos de elementos, un Dominio, un Codominio y ademásuna regla de correspondencia que permite asignar a cada elemento del dominio exactamente un elementodel Codominio. Si representa un elemento del dominio de una función , entonces, a menudo usaremosB 0el símbolo en lugar de para designar el número del codominio de la función con el cual se0 ÐB Ñ C 0aparea.

B Ä C œ 0 ÐB Ñ

Dominio de una función.

El dominio de una función hace referencia al conjunto de los posibles valores que puede tomar la variableindependiente, esto es:

= , H970 ˜ ™B E Î b B F C œ 0ÐBÑ% %

Observación 1 : Si a una función , definida sobre los reales, no se le indica el dominio al definir lacorrespondencia, se entenderá que el dominio está constituido por todos aquellos números reales para loscuales el valor de la función existe y es real. Se considera, además, que el dominio de las funcioneslineales, cuadráticas y polinomiales es el conjunto de los números reales.

Observación 2 : Para determinar el Dominio de una función se analizan las posibles indeterminacionesque puede tener la expresión que define a dicha función: a) El denominador de una fracción debe ser distinto de cero b) La cantidad subradical de una raíz de índice par debe ser 0

Ejemplo: Determine el dominio de las siguientes funciones .

a) ( ) 3 4 Solución 0 B œ B B À H97 œ2 ‘

b) ( ) Solución : { 4 } 9 4

1 B œ H97 œ B

B

2‘

c) 3 6 Solución : 22ÐBÑ œ B H97 œ B Èd) ( ) = Solución :

7 + 1

: B H97 œB2 ‘

Recorrido de una Función.

El Recorrido de una función hace referencia al conjunto de todas las imágenes que posee una función, esdecir los posibles valores que puede tener la variable dependiente.ß

{ , } V/- 0 œ C F Î b B E C œ 0ÐBÑ% %Observación: Puesto que el recorrido es el conjunto de todas las posibles imágenes, entonces una formapráctica de determinar el recorrido es garantizando la existencia de su preimagen ( ) ; esto se lograBdespejando dicha variable y analizando para que valores de " " existe " " , dicho análisis debeC Bconsiderar : a) El denominador de una fracción debe ser distinto de cero. b) La cantidad subradical de una raíz de índice par debe ser 0. c) La condición del dominio (si lo hay) d) La fórmula que define la función, por ejemplo, una raíz que puede ser positiva o negativa.

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Ejemplo: Determine el recorrido de las siguientes funciones.

a) 7 1 0ÐBÑ œ B V/- œ ‘

b) 1ÐBÑ œ B V/- œ2 +0‘

c) 3 2ÐBÑ œ B V/- œÈ ‘0-

Ejemplo 1:

Analice Dominio y Recorrido de la siguiente función : C œ 0ÐBÑ œB $

B "

a) Análisis dominio : b) Análisis recorrido :

H970 B Á C œB $

B " : 1 0

1 B Á CB C œ B $H970 œ Ö × B C " œ C $ 1 ( ) ‘

B œ C $

C " Luego : 0C " Á 1C Á 1 .V/- 0 œ Ö ×‘

Ejemplo 2: Analice Dominio y Recorrido de C œ 0ÐBÑ œ B "È 2

a) : 1 0H97 B 2

1B 2

1¸ ¸B

] , 1 ] U [ 1, [H97 œ _ _

b) : 1V/- C œ B È 2

1C œ B 2 2

1 C œ B2 2

1 È ¸ ¸C œ B2

V/- œ ‘ +

Función Inyectiva, Sobreyectiva , Biyectiva:

Sea : una función,0 E Ê F

3 0 B œ 0 B) : ( ) ( ) se dirá inyectiva si0 1 2 ; , AB œ B a B B1 2 1 2 %

Es decir, una función es inyectiva si a cada elemento del dominio le corresponde un sólo elemento delrecorrido.

33) se dirá sobreyectiva o epiyectiva si :0 , a C F b B E C œ 0ÐBÑ% % ,

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Es decir, una función es sobreyectiva si todas las imágenes tienen preimagen, verificandose que :V/- Ð0Ñ œ F

333) 0 se dirá biyectiva si es inyectiva y epiyectiva .

Observación : Si : no es Inyectiva ni Sobreyectiva se puede encontrar un restricción sobre0 E Ä FE F 0 E Ä F y de modo que : ' ' sea Inyectiva y Sobreyectiva.( Redefinición).

Ejemplo: Determine si la siguiente función es biyectiva ( de no serlo, redefínala)

: ; 0 Ä 0ÐBÑ œ B‘ ‘ 2

Dominio œ ‘ , luego Cod Rec por lo tanto no es sobreyectiva .V/- œ 0 Á 0ß 0‘ˆ ‰+

0

Restricción: Correspondera cambiar el codominio por el recorrido, y queda: : 0 Ä‘ ‘0

+

sólo resta analizar su inyectividad : ( ) 0 B œ 0ÐB Ñ Ê B œ B1 2 1 2

Sea ( ) ( )0 B œ 0 B1 2 ( ) ( )B œ B1 2

2 2

¸ ¸ ¸ ¸B œ B1 #

Luego : ó B œ B B œ B1 2 1 2Por lo tanto, no es inyectiva y restringimos entonces, el dominio de la función de a para hacerla0 ‘ ‘0

+

inyectiva, entonces se tiene:

: 0 Ä‘ ‘+ +o

es inyectiva y sobreyectiva. es decir, es biyectiva.B Ä ß 0 0ÐBÑ œ B2

Función Inversa.

Sea : una biyección, entonces la asociación de imágen " " con su correspondiente preimagen0 E Ä F C" " , se puede denotar por una nueva función tal que :B 1

: 1 F Ä E ( )B Ä C œ 1 B

( ) ( )C œ 0 B Í B œ 1 C

A la función la denominaremos función inversa de y la denotaremos por 1 0 0 1

Así se tiene :

; ( ) , , C œ 0ÐBÑ B œ 0 C a B E a C F1 % %

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Ejemplo:

Sea : definida por: 2 ¿ Es función biyectiva.? Si lo es, determine su0 Ä 0ÐBÑ œ B " 0‘ ‘inversa .0 1

a) Inyectividad:

( ) ( )0 B œ 0 B1 2 2 1 2 1 / + 1B œ B 1 2 2 2 / 2B œ B ƒ1 2 es inyectiva.B œ B ¾ 01 2

b) Sobreyectividad :

2C œ B " 1 2 / 2C œ B ƒ

, no exiten restricciones para , s sobreyectiva; 1

2C

œ B C V/- 0 œ ¾ 0 /‘

por lo tanto es Biyectiva, de tal forma existe la función inversa de y está0 0 definida por:

' : 0 Ä‘ ‘ ( ) .B Ä 0 B œ B"1

2

Comprobación: (3) = 5 (5) 3 0 Ê 0 œ1

Tipos de Funciones

Función Lineal

Definición:

Una función bien definida , es de primer grado o lineal cuando está representada porC œ 0 B ( )una expresión de la forma donde y son constantesC œ +B , + ,

Representación gráfica de una función lineal.

Para cualquier función definida en las variables e se puede considerar un conjunto de puntosB Cque satisfacen la relación dada; estos puntos pueden ser representados en el sistema de coordenadascartesianas; donde el eje es asignado a la variable independiente y el eje a la variable" " " " B Cdependiente. La gráfica de una función lineal es una linea recta y para graficarla debemos conocer comomínimo 2 puntos que la satisfagan. En una función lineal de la forma reconoceremos el valor de " " como laC œ +B , +pendiente de la recta, designada frecuentemente por , al punto (0, ) como la intersección de la" " 7 ,recta con el eje , por lo cual a la función le llamaremos forma intersecto - pendiente.C C œ +B ,

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Ejemplo:

En la función 7, reconoceremos a como la pendiente, y ( 0,7 ) como3 3 2 2

C œ B 7 œ

el punto de intersección de la recta con el eje ( 0 ).C B œ

Para graficar una función lineal de la forma , se necesita hallar 2 puntos que satisfagan laC œ + B ,ecuación y unirlos con una linea recta.Conocido el intersecto " " (0, ) , sólo se necesita un punto más por conocer, el que se puede determinarC ,hallando el intersecto " " , esto es, haciendo 0B C œ

Ejemplo:

Representar graficamente la función : 3 7C œ B 0 7B œ Ê C œ 0 C œ Ê B œ 7

3 ; H97 œ V/- œ‘ ‘Idea gráfica :

Pendiente de una Linea Recta

Definición:

La de una linea recta mide el cambio en ( ) también conocido como " pendiente incremento en C CJ C" dividido por un cambio en ( ), conocido como" ". La pendiente indica laB BJ incremento en Binclinación y la dirección de una linea recta. Cuanto mayor es el valor absoluto de la pendiente, másinclinada es la recta. Como ya se señaló, en la forma intersecto pendiente de una función lineal expresada en la forma :C œ 7B , B C B C , es la pendiente . Para una recta que pasa por los puntos ( , ) ; ( , ) , la" "7 1 1 2 2pendiente " " se puede determinar a partir de la siguiente expresión :7

7 œ œ

C C C

B B B

J

J2 1

2 11 2 ( )B Á B

Una recta con pendiente que pasa por el punto ( , ) tiene la siguiente ecuación llamada forma " punto7 B C1 1pendiente ".

C C œ 7 BB ( )1 1

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Una recta positivamente inclinada, posee un ángulo de inclinación que varía entre 0 ° < < 90 ° . Una!recta negativamente inclinada posée un ángulo de inclinación que varía entre 90 ° < < 180 ° .La!pendiente de una ( = cte ) es cero ( = 0 ) ; la pendiente de una recta horizontal rectaC œ O O 7vertical = B + ( cte ) es indefinida ( ).+ œ 7 œ _

Idea gráfica :

Dadas las siguentes funciones :

a) 1 su pendiente es 34

C œ B 7 œ34

b) = 2 6 su pendiente es 2C B 7 œ

- C 7 œ !) = 4 su pendiente es

d) 3 su pendiente es B œ 7 œ _

e) 2 su pendiente es -2B C ' œ ! 7 œ

f) 3 2 su pendiente es 32

B C œ ) 7 œ

Ejemplo :

Determinar la ecuación y pendiente de la recta que une los puntos (2,3) y ( 1,5).

Respuesta:

Pendiente : 3 5 22 1 3

7 œ œ

Ecuación : 3 ( 2) 23

C œ B Î † $

3( 3 ) 2 4C œ B Î *

3 2 13C œ B Î ƒ $

2 133 3

C œ B

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Ejemplo :

Determine la ecuación de la recta de pendiente y que pasa por el punto , 3 .3 1 5 2

7 œ Œ

Ecuación : 3 3 1 5 2

C œ B Î † &Œ 5 ( 3 ) 3 C œ B

"

#Œ

5 15 3 32

C œ B † #‚ 10 30 6 3C œ B Î $!

10 6 27C œ B Î † "!

3 27 5 10

C œ

Aplicaciones Prácticas.

Muchas áreas de la administración y las ciencias económicas se manejan eficientemente con funcioneslineales como por ejemplo:

Función Lineal de Costo:

A las empresas les interesan entre otros factores los costos, por que reflejan el dinero que gastan. Estosflujos de dinero suelen destinarse al pago de sueldos, materias primas, calefacción, arriendo, teléfono yotros gastos. Suele definirse el costo total en términos de dos componentes : Costo total variable y Costototal fijo. Ambos componentes deben sumarse para determinar el costo total.

Ejemplo 1 : Una firma tiene costos fijos de $ 120 (en miles de pesos) por concepto de arriendo y salario queßdeben ser pagados sin importar el nivel de producción, y un costo marginal de $18, gasto en que se incurrepor cada unidad adicional de producción ( ) . En resumen, la firma enfrenta un costo total ( ) que seB Gpuede expresar mediante una función lineal de la forma donde:C œ 7B , Costos TotalesC œ costos marginales7 œ costos fijos Así : 18 0, œ G œ B "# Sí se producen 240 unidades ( 240), entonces se tiene:B œ

18 40 120G œ † # $ 4 440G œ ÞEjemplo 2: Una empresa que elabora un sólo producto, quiere determinar la función que expresa el costo totalanual en función de la cantidad de unidades producidas . Los contadores indican que los gastos fijos cadaBaño son de 50.000 dólares, también se ha estimado que los costos de materias primas por cada unidadproducida ascienden a $5.50 y que los de mano de obra son de $1.50 en el departamento de montage, $0.75en el cuarto de acabado y $ 1.25 en el departamento de empaque y embarque. La función de costo total tendrá la siguiente forma À

C œ GÐBÑ œ costo total variable costo total fijo

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Los costos totales variables, constan de dos componentes: los costos de materias primas y los de mano deobra. Los segundos se calculan al sumar los respectivos costos de mano de obra de los tres departamentos,luego el costo total queda determinado por la función:

costo total de materias primas costo de mano de obra costo total fijo C œ . . .C œ & &!B Ð" &!B ! (&B "Þ#&BÑ &!Þ!!! C œ *B &!Þ!!!

Funciones Lineales del Ingreso

El dinero que entra en una organización por la venta de sus productos o por la prestación deservicios suele recibir el nombre de La forma más clásica para calcular el ingreso total por laingreso. venta de un servicio es: Ingreso total (precio) (cantidad vendida)œ †En esta relación, la suposición es, que el precio de venta es el mismo para todas las unidades vendidas. Siuna compañía vende productos , donde es el número de unidades vendidas del producto y indica8 B 3 T3 3

el precio del producto , la función que permite calcular el ingreso total obtenido del producto esta dada3 8por:

V œ : B : B : B ÞÞÞ : B" " # # $ $ 8 8

Esta función de ingreso puede formularse de manera más concisa empleando la notación de sumatoria:

V œ : B!3œ"

8

3 3

Ejemplo :

Si la firma recibe un precio constante ( ) por cada unidad de producción ( ) su ingreso total ( ): B Vse puede expresar mediante la ecuación lineal de la forma:

V œ : † B Así, si se venden 240 unidades a $8 el ingreso será : 240 , es decir:V œ † B 240 8 $ 1 920V œ † œ Þ

Funciones Lineales de Utilidad:

La se determina a partir de la diferencia entre el ingreso total y el costoutilidad total, es decir:

Utilidad ingreso total costo totalœ

Cuando tanto el ingreso total como el costo total son funciones lineales de la(s) misma(s) variable(s), la función de utilidad es también una función lineal de la(s) misma(s)variable(s). Luego la utilidad se define como :

TÐBÑ œ V ÐBÑ GÐBÑEjemplo :

Atendiendo a lo anterior, podemos determinar la expresión utilidad que deja la venta de unT artículo, sabiendo que se venden 240 unidades de él y además que los gastos fijos corresponden a $120 y que el costo de materias primas por cada unidad producida asciende a $18:

; y sustituyendoT œ V G 240 ( 18 120 )T œ B B 240 18 120T œ B B 222 120T œ B

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Punto de Equilibrio:

Uno de los puntos principales es aquel en donde el nivel de operación o deproducción de un artículo, arroja por resultado una utilidad cero. A ese nivel se le da el nombre de puntode equilibrioÞ Es un punto muy útil de referencia ya que, representa el nivel de operación en que losingresos totales son iguales a los costos totales. Cualquier cambio en este nivel producirá una utilidad ouna pérdida. El análisis del equilibrio, es útil sobre todo como instrumento de planeacióncuando las empresas estudian futuras expansiones (en el caso que quieran ofrecer nuevos productos oservicios, por ejemplo). De manera semejante, ayuda a evaluar el pro y el contra de emprender un nuevonegocio. En todos los casos el análisis permite efectuar una proyección a la rentabilidad.

Ejemplo : Con la información anterior se puede hallar fácilmente el "punto de equilibrio" , es decir, el nivelde producción en que los ingresos sólo cubren o igualan los costos, con lo cuál, o en formaV œ Gequivalente 0 . Para el ejemplo anterior, se tiene :T œ = 0T 222 120 = 0B 0,54B œ

Es decir para una producción de 0,54 unidades, la empresa no pierde ni gana , es decir, losßcostos se igualan a los ingresos siendo así la utilidad nula.

Ejemplo A una compañía grabadora, le cuesta $6.000 preparar un álbum de discos considerando los costosde grabación, los costos de diseño del álbum, etc. Estos costos representan un costo fijo en el tiempo. Lafabricación, ventas y costos de regalías (todos costos variables) son $2 50 por álbum. Si el álbum se vendeßa las distribuidoras en $4 0 cada uno ¿Cuántos álbumes debe vender la compañía para estar en el punto deßequilibrio?.Solución:Sean número de unidades vendidasB œ costo para producir unidadesG œ B Ingreso sobre la venta de unidadesV œ B Luego: G œ ß B$6.000 $2 50 $4V œ B La compañía alcanza su punto de equilibrio cuando , entonces debe encontrarse tal queV œ G Bse verifique esa igualdad, es decir: 4 6.000 2 50B œ ß B 6.000"ß &!B œ 4.000B œ Comprobación: Para 4.000, se tiene:B œ 6.000 2 50 y 4G œ ß B V œ B 6.000 2 50(4.000) 4(4.000)œ ß œ 6.000 10.000 $16.000œ œ $16.000 œ Entonces, la compañía debe vender 4.000 unidades para estar en el punto de equilibrio; cualquier venta por sobre 4.000 producirá una utilidad; y las ventas por bajo de 4.000 producirá unapérdida.

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¿Cuál es el punto de equilibrio, en este ejemplo, si los costos fijos son $9.000 y los costos variables son de$2 80 por unidad? Respuesta: 7.500.ß

Ejercicios Propuestos

1) La gerencia de una empresa que fabrica patines, tiene costos fijos (costos a cero salidas) de$300 diarios y costos totales por $ 4 300 diarios cuando hay una salida de 100 pares de patines por día.ÞSuponga que el costo está linealmente relacionado con la salida.G a) Determine la pendiente de la recta que une los puntos asociados con las salidas de 0 y 100; esdecir, la recta que pasa por (0,300)y (100,4 300)Þ b) Encuentre la ecuación de la recta que relaciona la salida con el costo. Escriba la respuesta finalde la forma G œ 7B ,Þ c) Construya la gráfica de la ecuación del costo tomado de la parte b para ! Ÿ B Ÿ #!!Þ d) Resuelva las partes a y b del ejemplo para los costos fijos de $250 diarios y costos totales de$3 450 diarios para una salida de 80 patines por día.Þ

2) Si $ (capital) se invierte a una tasa de interés de , entonces la cantidad que se obtieneT < Edespués de años se calcula con Si $100 se invierten a 6% ( ), entonces:> E œ T < > T Þ < œ !ß !' E œ '> "!! ß > !Þ a) ¿A cuánto ascenderá la cantidad de $100 después de 5 años? ¿Después de 20 años?. b) Construya la gráfica de la ecuación para ! Ÿ > Ÿ #!!Þ c) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica ? (la pendiente indica el aumento en la cantidad por cada año adicional de inversión).E

3) Una compañía manufacturera está interesada en introducir una nueva segadora. Sudepartamento de investigación de mercado dió a la gerencia el pronóstico de precio-demanda que sepresenta en la siguiente tabla.

Precio Demanda estimada$70 7.800$120 4.800$160 2.400$200 0

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a) Marque estos puntos e indique con número de segadoras que se espera que la gente compre.(demanda) a un precio $ cada una.: b) Observe que los puntos de la parte (a) están a lo largo de una recta. Encuentre la ecuación deesa recta. (Nota: La pendiente de la recta que se determina en la parte (b) indica el decremento en lademanda por cada $ 1 de aumento en el precio).

4) Un equipo de oficina se adquirió por $20.000 y se supone que tiene un valor de baratillo de$ 2.000 después de 10 años. Si su valor se deprecia linealmente (para propósitos de impuestos) de $20.000a $2.000: a) Encuentre la ecuación lineal que relaciona el valor (V) en dólares al tiempo en años.Ð>Ñ b) ¿Cuál sería el valor del equipo después de seis años?. c) Construya la gráfica de la ecuación para ! Ÿ > Ÿ "!(Nota: La pendiente que se encontró en la parte (a) indica el decremento en el valor por año). 5) La ecuación de costo para una cierta empresa que produce equipos estereofónicos esta dadapor: , donde $ representa los costos fijos (construcción y gastos generales)G œ *'Þ!!! )! † 8 *'Þ!!!y $ es el costo variable por unidad (materiales, manufactura, etc). Construya la gráfica de esta función)!para 0 1.000.Ÿ 8 Ÿ

6) Un electricista cobra $1200 por visita domiciliaria más $ 500 por hora de trabajo adicional.Exprese el costo de solicitar un electricista a casa, en función del número de horas que dura la visita yestime el costo para 7 horas de trabajo.

7) Un artista que hace una exhibición de cuadros recibe $ 320.000 por cada cuadro vendido menos$ 45.000 por cargo de almacenaje y exhibición. Represente el ingreso que él recibe en función delVnúmero de cuadros vendidos y calcule el ingreso si se venden 5 cuadros.B

8) Un autor recibe honorarios por $ 120.000 más $1.800 por cada libro vendido. Exprese suingreso como función del número de libros vendidos y calcule su valor para 8 libros vendidos.V B

9) Las ventas de una empresa farmacéutica local crecieron de $ 6.500.000 en 1980, a$11.000.000 en 1990. Suponiendo que las ventas se aproximan a una función lineal, exprese las ventas Zcomo función de tiempo >Þ

10) Una fábrica vendió 320 computadores en 1980 y 400 en 1994. Asumiendo que las ventas seaproximan a una función lineal, exprese las ventas de la empresa en función del tiempo .Z >

11) Una maquinaria industrial vale $ 480.000 y se deprecia en $ 5.000 al año. Empleandodepreciación lineal, exprese el valor de la máquina como una función del número de años . Calcule suZ >valor pasado 3 años de uso.

12) Una industria de papel vendio 5.000 toneladas en 1992 y 3200 en 1996. Asumiendo que lasventas se aproximan a una función lineal exprese la venta de la industria en función del tiempo yZ >evalúe la venta para 1997.

Respuestas 1) a) m=40 b) G œ %!B $!! c) Se deja al alumno y alumna. d) a) m=40 b) G œ %!B #&!

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2) a 130; 220Ñ

b)

c La pendiente es 6Ñ

3) b) .Ð:Ñ œ '!: "#!!!

4) a) (t)=-1800p + 20000 b) $9200Z c)

5)

6) $ 4.700 el trabajo

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7) $ 1.555.000

8) $ 1.344.400

9) ( ) 450.000 6.500.000Z B œ >

10) V(t) = 20t + 320

11) V (3) = $ 465.000

12) V(5) = 2.750 Toneladas.

Algebra de Funciones Reales.

Dos o más funciones se pueden combinar para tener una nueva función a través de la adición,sustracción, multiplicación o división de las funciones originales. Dadas las funciones y , con en el0 1 Bdominio de ambas, entonces se tiene :

a) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 B œ 0 B 1 B

b) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 B œ 0 B 1 B

c) ( ) ( ) 0 † 1 B œ 0ÐBÑ † 1ÐBÑ

d) ( ) ( ) ( ) ( ) , con ( ) 00 Î 1 B œ 0 B Î 1 B 1 B Á

Ejemplo:

Suponga que una firma tiene un costo marginal de 450 pesos, un costo fijo de 1 200 pesos y unÞprecio venta de 600 pesos. Suponiendo que representa el número de artículos producidos y vendidos, elBingreso total y el costo total de la firma se puede expresar como:

( ) 600 y ( ) 450 1 200V B œ B G B œ B Þ

La función utilidad, en cambio, es una combinación de las dos anteriores obtenidas porsustracción, es decir: ( ) = ( ) ( )T B V B G B ( ) 600 (450 1 200 )T B œ B B Þ ( ) 150 1 200T B œ B Þ

Así, para una producción de 12 artículos se tendrá:V œ † œ Þ(12) 600 12 $ 7 200

G œ † œ Þ(12) 450 12 1200 $ 6 600

T œ † œ(12) 150 12 1200 $ 600

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


77

Composición de Funciones.

Hay muchas situaciones en las que una cantidad viene dada en función de una variable, la que asu vez puede ser escrita en función de otra variable. Combinando las funciones de un modo adecuado se puede expresar la cantidad original como unafunción de la tercera variable. Éste proceso se conoce como composición de funciones.

Observación:

Comúnmente la notación [ ( ) ] se denota por ( o )( ) a condición de que 0 1 B 0 1 B V/- 0 ©H970 .

Aplicaciones de la Función Compuesta.

Ejemplo 1:

Un estudio ambiental sugiere que el nivel medio diario de monóxido de carbono en el aire estarádado por: 0, 7 3 partes por millón, cuando la población sea miles . Se estima que dentroGÐ:Ñ œ † : :de años la población será ( ) 8 0, 2 miles.> : > œ † >2

a) Expresando el nivel de monóxido de carbono en el aire en función del tiempo. Se tiene: ( ) 0, 7 y ( ) 8 0, 2 G : œ † : $ : > œ † > 2

Luego: [ ( ) ] 0, 7 [ 8 0, 2 ] 3G : > œ † † > 2

[ ( ) ] 0,14 8,6G : > œ † > 2

b) El nivel de monóxido transcurrido 5 años sería: [ (5) ] 0, 14 25 8, 6G : œ † [ (5) ] 12, 1 partes por millónG : œEjemplo 2:

Una empresa determina que la función de la demanda para " " artículos viene dada por ( ) B B : œ4800 20 , donde " " es el precio de venta (en dólares). A su vez, los costos totales vienen : :definidos por ( ) 6000 30 ( en dólares.)G B œ B

a) ¿ Qué cantidad de artículos se habían vendido para un precio de 4, 2 dólares ?. Resp : (4, 2) 4716 dólares .B œ

b) ¿ Cuál es el costo para artículos vendidos a 5, 8 dólares?B [ ( ) 6000 30 (4.800 20 )G B : Ó œ : [ ( 5, 8) ] 146.520 dólares.G B œ

Ejercicios Propuestos.

1) Una empresa tiene un costo fijo de 1.200 pesos y un costo marginal de 600. Si el precio de venta es de720 pesos. Determine :

a) La función utilidad .b) Punto de equilibrio en forma gráfica y analítica.c) Estime utilidad para la venta de treinta artículos .

2) La función demanda " " de un producto en términos de su precio " " viene dado por 9000 B : B œ 20 La función costos totales viene dada por 12000 30:Þ G œ BÞ

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


78

Determine:a) Función ingreso total.b) Estime el ingreso para 12 artículos vendidos.c) Función utilidad.d) ¿Cuánta utilidad genera la venta de 48 artículos? .e) Estime el costo para una producción de 36 artículos .

3) Un estudio ambiental de una cierta comunidad suburbana, sugiere que el nivel medio diario demonóxido de carbóno en el aire será ( ) 0 8 3 partes por millón cuando la población sea G : œ ß : :miles. Se estima que dentro de siete años la población de la comunidad será: ( ) 8 0, 2 : > œ † > 2

miles. Exprese el nivel de monóxido de carbono en función del tiempo y estime su valor cuando hantranscurrido siete años.

4) En cierta industria, el costo total de fabricación durante el proceso diario de producción es de ( ) G ; œ; ; ; > œ >2 2 400 dolares . En un día típico de trabajo, se fabrican ( ) 30 unidades durante laprimera horas del proceso de producción. Exprese el costo total en función de y estime ¿cuánto habrá> >sido gastado en producción al final de la tercera hora?.

5) Un importador de arroz estima que los consumidores locales comprarán aproximadamente ( ) H : œ1280

2 : miles de kilos por mes, cuando el precio sea de dólares. Se estima que dentro de semanas el: >

precio del arroz será de: ( ) 0, 3 1, 2 16 dólares por miles de kilos .: > œ > > 2

a) Exprese la demanda de consumo en función de .>b) ¿Cuántos miles de kilos de arroz comprarán cuando el precio sea de 1, 2 dolares?c) ¿ Cuál será el precio del kilo de arroz en la tercera semana ?d) ¿ Cuál será la demanda a la quinta semana ?

Respuestas

1) a) ( ) 120 1.200.T B œ B

b) Punto de equilibrio 10.B œ

c) 2.400 pesosT œ

2) a) ( ) 450 20

V B œ B B2

b) (12) 5.392, 8 pesos .V œ

c) ( ) 420 12.000 x

20T B œ B

2

d) (48) 8.044, 0 pesos . T œ

e) (36) 13.080 pesos.G œ

3) ( ) 0, 16 9, 4 G > œ > 2

(7) 17, 24 partes por millónG œ

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


79

4) ( ) 900t + 60 t + 400G > œ 2

(3) 8.680 dolares .G œ

&Ñ H > œ> >

a) ( ) .1.280

[ 0, 3 1, 2 16 ] 2 2

b) (1,2) 889 miles de kilos H œ

c) (3) 22, 3 dolares: œ

d) (5) 1, 4 miles de dólares.H œ

Funciones Cuadráticas.

Cualquier función definida por una ecuación de la forma :

C œ +B , B - ß + Á 02

donde , y son constantes, se denomina función cuadrática.+ , -

Ecuación Cuadrática.

Cuando ( ) 0 , es decir , 0 para algún valor del dominio de , la expresión 0 B œ C œ 0 +B , B2

- œ 0 , se denomina " ", donde a, b, c son Ecuación cuadrática " o de " segundo gradonúmeros reales y a 0.Á

Resolución de una Ecuación Cuadrática.

Considere la ecuación 0 :+ B , B - œ2

3 - œ + B , B œ) Si 0 , se tiene : 02

( ) 0B + B , œ

Soluciones : B1 2 0 , œ B œ ,

+

Ejemplo:

7 14 0B B œ2

( 7 14 ) 0 0 2B B œ Ê B œ C B œ1 2

33Ñ , œ + B - œSi 0, se tiene: 02

B œ -

+2

B œ „ -

+Ê

Ejemplo

5 20 0B œ2

4B œ2

4 B œ „ È

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


80

= 2 2B C B œ 1 2

333 + -) Si , , son distintos de cero, podemos encontrar soluciones para:+ B , B - œ2 0 usando los siguientes criterios .

a) Factorización.

0 + B , B - œ Î ƒ +2

0B B œ, -

+ +2

( ) ( ) 0 de modo que se cumpleB B B B œ À1 2

B1 2 1 2 B œ B † B œ, -

+ + ;

Ejemplo: 3 6 24 0 3B B œ Î À2

2 8 0B B œ2

( 4) ( ) 0.B B # œ

Soluciones: 4 , 2B œ B œ 1 2

b) Por completación de cuadrados.

Se trata de transformar una ecuación cuadrática de la forma general :+ B , B - œ B E œ F E F2 2 0 en ( ) donde y son constantes.

Cuando el coeficiente del término cuadrático es 1 se puede convertir en un cuadrado perfecto

tomando la mitad del coeficiente numerico de , , elevándolo al cuadrado y sumándolo a lab2

B ˆ ‰ Œ b2

2

expresión , ésta se reconvierte en ˆ ‰B ,2

2

Ejemplo 14 24 0B B œ2

14 24 142

B B œ Î 22Œ

14 49 24 49B B œ 2

( 7) 25B œ2

7 5B œ „ B œ „ 7 5

Soluciones: = 12 y = 2B B1 2

Ejercicio. 2 1 0B B œ2

2 1 1B B œ Î 2

2 1 2B B œ2

( 1) 2 B œ „È 1 2B œ „ÈSoluciones: 1 2 , 1 2 B œ B œ 1 2È È

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


81

Ahora se probará este método en la ecuación general cuadrática:

0 ; 0+ B , B - œ + Á2

0 / + B , B - œ ƒ +2

0B B œ, -

+ +2

/ +

2B B œ

, - ,

+ + +2

2Œ

2 2B B œ

, , , -

+ + + +2

2 2Œ Œ

4 4 4

B B œ, , , +-

+ + +2

2 2

2 2

2 4

4Œ B œ, , + -

+ +

2 2

2

2 4

4B œ „

, , + -

+ +Ê 2

2

2 2

4B œ „

, , + -

+ +

È 2

Fórmula general de resolución de una Ecuación Cuadrática

4

2B œ

,„ , + -

+

È 2

Generalmente ésta fórmula se utiliza para resolver ecuaciones cuadráticas cuando los métodosanteriores no funcionan. La expresión 4 se denomina Discriminante y de este valor podemos obtener información, + -2

útil respecto de las soluciones.

3 , + - œ Ê) 4 0 Las raíces son reales e iguales. 2

33 , + - Ê) 4 > 0 Las raíces son reales y distintas 2

333 , + - Ê) 4 < 0 Las raíces son complejas y distintas.2

Representación Gráfica de una Función Cuadrática. La gráfica de una función cuadrática es una 0 B œ +B , B - + Á( ) ; 0 " Parábola2

" Si > 0 la parábola es cóncava haciaque tiene su eje ( recta de simetría ) paralelo al eje vertical . +arriba y si 0 la parábola es cóncava hacia abajo.+ Los elementos determinantes para la gráfica de una función cuadrática son las coordenadas delvértice y las intersecciones de la parábola con los ejes cordenados.a) Intersección eje : ( 0 )B C œ

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


82

0 ; las soluciones o raíces las designaremos por y + B , B - œ B B2 1 2

b) Coordenadas del vértice: Se determinan por completación de cuadrados, así en: ,0ÐBÑ œ + B , B -2

por completación de cuadrados obtenemos la función de la forma: ( , donde lasC œ + B 2Ñ 52

coordenadas del son ( ).vértice V 2ß 5

Ejemplo :

Sea: 6 5.C œ B B 2

3 B C œ) Intersección con el eje : ( 0 )

6 5 0B B œ2

( 5)( 1 ) 0 , Luego:B B œ 5 y 1B œ B œ1 2

33) Coordenadas del vértice: 6 5C œ B B 2

5 6 9C œ B B Î 2

4 ( 3)C œ B 2

( 3) 4 ( 3 4 )C œ B ß 2 Ê V

333) Idea gráfica:

Otra forma de determinar las coordenadas del vértice dados y (intersecciones con el eje ) es:B B B1 2

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


83

( )

2B œ C œ 0 B

B B@ @ @

1 2

Ejemplo:

Dada: 6 5, 5 y 1C œ B B B œ B œ21 2Ê

Entonces se tiene:

35 + 1

2 B œ œ@

(3) 4 ( 3 4 )C œ 0 œ ß @ Ê V

Aplicaciones de la Función Cuadrática

Muchos de los problemas que se dan en el ámbito económico, biológico, social, administrativo,etc. están modelados por funciones cuadráticas, como por ejemplo:Las funciones de ingreso y ganancia .Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo : La utilidad de una determinada fábrica de computadores para cada unidad vendida, vieneT Bdada por la siguiente expresión:

T B œ B B Þ ( ) 600 3 12 0002

a) ¿ Para qué producción, la utilidad es máxima ?Como la gráfica de esta función es una parábola abierta hacia abajo, es claro que la máxima utilidad selogra en las coordenadas V del vértice. Así tenemos : T B œ B B Þ ( ) 600 3 12 0002

T B œ B B ( ) 3 600 12.0002

completando cuadrados, la función se puede expresar como:T B œ B B Þ ( ) 3 ( 200 ) 12 0002

T B œ B B Þ Þ Þ( ) 3 ( 200 10 000 ) 12 000 30 0002

T B œ B Þ( ) 3 ( 100 ) 18 0002

Luego el vértice tiene por las coordenadas ( 100, 18 000), por lo tanto cuando se venden 100 unidades laÞ

utilidad se maximiza en $ 18 000Þ

b) ¿ Para que producción la utilidad es nula ( = 0)?T

3 600 12 000 0 3 B B Þ œ Î À 2

200 400 0B B œ2

200 40000 1600

2B œ

„ È

, para efectos prácticos diremos que200 196

2B ¸

„

198 y 2B œ B œ1 2

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


84

Luego, para la producción de 2 y 198 unidades la utilidad es nula, es decir , son puntos de equilibrio .

idea gráfica :

Ejemplos :

1) Dadas las siguientes funciones de Ingreso total ( ) y de costo total ( ), exprese la gananciaV B G B

T B como una función explícita de y determine el nivel máximo de ganancia (determinando el vértice de

T B T B œ( )) y los puntos de equilibrio ( ( ) 0).

( ) 600 5V B œ B B2

( ) 100 10 500G B œ B Þ

Puntos de equilibrio:

( ) 600 5 ( 100 10 500 )T B œ B B B Þ2

( ) 5 500 10.500T B œ B B 2

0 5 500 10 500 5œ B B Þ Î ƒ 2

0 100 2 100 , de donde:œ B B Þ2

100 10 000 8 400

2B œ

„ Þ ÞÈ 70 ; 30

100 402

B œ Ê B œ B œ„

1 2

Puntos de equilibrio 30 y 70 unidades.

Nivel máximo de ganancia

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


85

50 70 30

2 2B œ œ œ

B B @

1 2

2000C œ@

Luego, para una producción de 50 unidades , la utilidad se maximiza en $ 2 000 .Þ

Idea gráfica :

2) El departamento de investigación de mercado de una empresa, recomendó a la gerencia que la

compañía fabrique y venda un nuevo producto prometedor. Después de amplias investigaciones, el

departamento apoyó la recomendación con la ecuación de demanda siguiente:

(1)B œ 0Ð:Ñ œ 'Þ!!! $! † :

donde: el número de unidades que los distribuidores comprarán probablemente cada mes a $ porB :

unidad. Observe que a medida que el precio sube el número de unidades disminuye.

Del departamento de finanzas se obtuvo la siguiente ecuación de costo:

(2)GÐBÑ œ (#Þ!!! '! † B

donde $ es el costo fijo (manufactura y costos generales) y $ es el costo variable por unidad(#Þ!!! '!

(materia prima, ventas,transporte, almacenamiento,etc.).

La ecuación de ingreso (cantidad de dinero , que recibe la compañía por vender unidades a $V B :

por unidad ) esta dada por la expresión:

(3) V œ B † :

Finalmente, la ecuación de rentabilidad es:

(4)T œ VG

donde: es la utilidad, es el ingreso y es el costo.T V G

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


86

Nótese, que la ecuación de costo (2) expresa como una función de y la ecuación deG Bß

demanda (1) expresa como una función de . Al substituir (1) en (2), se obtiene el costo como funciónB : G

lineal del precio ::

G œ (#Þ!!! '! † Ð'Þ!!! $! † :Ñ œ %$#Þ!!! "Þ)!! † : , Función lineal (5)

En forma similar, al sustituir (1) en (3), se obtiene el ingreso como una función cuadrática delV

precio ::

, Función cuadrática (6)V œ Ð'Þ!!! $! † :Ñ † : œ 'Þ!!!: $! † :#

Ahora, vamos a construir las gráficas de las ecuaciones (5) y (6) en el mismo sistema de

coordenadas. Se obtiene la siguiente figura:

Conviene observar detenidamente la información contenida en esta gráfica. Calcularemos los

puntos de equilibrio, es decir, los precios a los cuales el costo es igual al ingreso (los puntos de intersección

de las dos gráficas anteriores). Se calcula de modo que::

G œ V

.%$#Þ!!! " )!! † : œ 'Þ!!!: $! † :#

/ $!: (Þ)!! : %$#Þ!!! œ ! ƒ $!#

: #'!: "%Þ%!! œ !#

: œ#'!„ #'! %Ð"%%!!Ñ

#

È #

luego:: œ ß#'!„"!!

#

$80 y $: œ : œ ")!" #

Por lo tanto, al precio de $ , o bien $ por unidad, la empresa se encontrará en el punto de)! ")!

equilibrio. Entre estos dos precios se puede predecir que la empresa obtendrá una utilidad.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


87

¿A qué precio se obtendrá la máxima utilidad?. Para calcular ese valor, se escribe À

T œ V G

œ Ð'Þ!!!: $!: Ñ Ð%$#Þ!!! ")!!:Ñ#

œ $!: (Þ)!!: %$#Þ!!!#

Puesto que ésta es una función cuadrática, la utilidad máxima se obtiene en À

$: œ œ œ "$!, (Þ)!!

#+ #Ð $!Ñ

Observe que éste no es el precio con el cual el ingreso es máximo. Este último ocurre en

: œ "!!$ .

El departamento de investigación de mercado de una empresa recomendó a la gerencia que la$Ñ ß

compañia fabrique y venda un nuevo producto. El departamento adoptó la recomendación con la ecuación

de demanda dada por: 2.000 10 , donde es el número de unidades que los distribuidoresB œ : B

compraran cada mes a $ por unidad. Del departamento de finanzas se obtuvo la siguiente ecuación de:

costos 36.000 30 , donde $36.000 es el costo fijo y $30 es el costo marginal.G œ B

a) Determine la ecuación Ingreso:

La cantidad de dinero , que recibe la compañia por vender unidades a $ por unidad es :V B :

V œ B † : : œ V œ B † B B

, pero , luego 2.000 2.000

10 10Œ

2.000

10Ê V œ

B B2

b) Determine la función Utilidad:

T œ BB B

36.000 302.000

10Œ 2

T œ # B BB

00 36.000 3010

2

T œ B B

170 36.00010

2

c) Determine los puntos de equilibrio:

B B œ Î † "!

2

10 170 36.000 0

B B œ2 1.700 360.000 0

B œ„

1.700 2.890.000 1.440.000

2È

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


88

B œ„

, luego:1.700 1.204, 2

2B œ B œ1 2 1.452,1 ; 247,9

d) Determine la producción para una utilidad máxima:

B œ œ

@ 8501.452,1 247,9

2C œ@ 36.250

Luego, para una producción de 850 unidades , la utilidad se maximiza en $ 36.250 .

Veamos otro ejemplo: Determine en forma gráfica y analitíca, los puntos de equilibrio de una fábrica,

dadas las funciones de ingreso total ( ) y costo total ( ) definidas a continuación:V G

V B œ B B( ) 750 5 2

G B œ B ( ) 100 20.000

Solución :Los puntos de equilibrio se presentan cuando ó 0), así tenemos :V œ G Ð T œ

V B œ G B Ê B B œ B ( ) ( ) 750 5 100 20.0002

5 650 20.000 0 / B B œ ƒ &2

130 4000 0B œ2

( 80) ( 50 ) 0B B œ

80 y 50Ê B œ B œ1 2

La utilidad es nula para una producción de 50 y 80 unidades.

Para la idea gráfica, consideramos:

V B œ B B( ) 750 5 2

0 750 5 œ B B2

0 (750 5 ) 0 y 150œ B B Ê B œ B œ1 2

B œ œ (& Ê C œ@ @!"&!

# 28125

Para graficar la función costo total, se tiene:

G B œ B ( ) 100 20.000

B GÐBÑ0 20.000100 30.000

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


89

Idea gráfica :


1 En una cierta industria, el costo total de producción de unidades durante el período diario deÑ ;

producción es ( ) = dólares. En un día normal de trabajo, se fabrican ( )G ; ; ; *!! ; > œ #& >#

unidades durante las primeras " " horas de un período de producción.>

a) Exprese el costo total de producción como una función de >

b) ¿ Cuánto se habrá gastado en producción al final de la tercera hora ?

c) ¿ Cuándo alcanzara el costo total de producción US $ ?""Þ!!!

2) El departamento de investigación de mercado de una empresa, recomendó a la gerencia que la

compañía fabrique y venda un nuevo producto prometedor. Después de amplias investigaciones, el

departamento apoyó la recomendación con la ecuación de demanda siguiente:

B œ 0Ð:Ñ œ *!!! $!:

donde es el número de unidades que los distribuidores comprarán probablemente cada mes a $ porB :

unidad. Del departamento de finanzas se obtuvo la siguiente ecuación de costo

GÐBÑ œ *!Þ!!! $!B

a) Exprese el costo como una función lineal del precio G :

b) Exprese el ingreso como una función cuadrática del precio V :

c) Construya la gráfica de las funciones de costo e ingreso obtenidas en las partes (a) y (b) en el

mismo sistema de coordenadas, e identifique las regiones de utilidad y pérdida.

d) Calcule los puntos de equilibrio; es decir, encuentre los precios al valor más próximo en el cual

V œ G .

e) Calcule el precio que produce el máximo ingreso.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


90

La función de demanda de un producto particular es , donde se$Ñ ; œ 0Ð:Ñ œ &!!!!! $!!!: ;

expresa en unidades y en dólares. Determine la función cuadrática del ingreso total, donde es una: V

función de es decir, ¿Cuál es la concavidad de la función?: ¿Cuál es la intersección con el eje: V œ 1Ð:ÑÞ

C?. ¿Cuál es el ingreso total con un precio de $20?. ¿Cuántas unidades serán demandadas a este precio? ¿A

qué precio se maximizará el ingreso total?Þ

4) La función de demanda de un producto es 2 25 , donde se expresa en; œ 0Ð:Ñ œ !!!! : ;

unidades y en dólares. Determine la función cuadrática del ingreso total, donde es una función de ,: V :

es decir, ¿Cuál es la concavidad de la función?: ¿Cuál es la intersección con el eje ?. ¿Cuál esV œ 1Ð:ÑÞ C

el ingreso total con un precio de $60?. ¿Cuántas unidades serán demandadas a este precio? ¿A qué precio

se maximizará el ingreso total?

5) El costo, en dólares, de una fábrica en función del número de unidades producidas, viene dado

por ( ) 1500 40 . Su nivel de producción es una función del tiempo ( en horas) y viene dadaG ; œ ;

por ( ) 16 .0 > œ > >2

4

Determine:

a) El costo en función del tiempo y gráfica correspondiente.

b) Instante en que se maximiza el costo.

c) Instante en el que los costos asociados corresponden a 10 300 dólares.Þ

d) ¿En qué instante los costos son nulos? .

e) Costos para las 7 primeras horas.

Respuestas

1)

a) GÐ>Ñ œ '#&> #&> *!!#

b Ñ GÐ$Ñ œ ''!!

c) > œ %

2)

a) $'!Þ!!! *!!:

b) V œ 8: œ Ð*Þ!!! $!:Ñ: œ *Þ!!!: $!:#

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


91

c)

d) $ $288%#ß

e) $150.

3) 500000 3000 abajo (0,0), $800000; V œ 1Ð:Ñ œ : : ß 1Ð#!Ñ œ#

$440000 unidades, $83.330Ð#!Ñ œ

4) 20000 abajo (0,0) $ ;V œ 1Ð:Ñ œ : #&: ß ß 1Ð'!Ñ œ """!!!!#

unidades , $0Ð'!Ñ œ ")&!! %!!

5) a) 10 640 1500 > > #

b) Los costos se maximizan en 32 horas.> œ

c) Los costos ascendieron a 1030 para 20 y 44 horas.> œ > œ

d) Los costos se anulan para 66, 3 horas.> œ

e) 11740- œ

Función Exponencial.

Hasta ahora hemos estudiado la mayoría de las funciones algebráicas, es decir, funciones que se

pueden definir utilizando las operaciones algebraicas de adición, sustracción, multiplicación, división,

potencia y raíces. En ningún caso se ha tenido una variable como exponente. Así, definimos una nueva

función que se compone de una base y un exponente en la variable esta función, que se denomina+ Bß

función exponencial. Definimos una función exponencial de la siguiente forma:

0ÐBÑ œ + + + Á ; > 0 y 1B

Las funciones exponenciales se emplean para expresar crecimiento y decrecimiento, ésta es la

razón por la cual a estas funciones frecuentemente se les da el nombre de funciones de crecimiento.

En general se emplean para describir por ejemplo, crecimiento económico, PNB per cápita, interés

compuesto, crecimiento demográfico de animales y bacterias , degradación de materiales radiactivos, etc.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


92

Gráfica de Funciones Exponenciales:

Para graficar funciones exponenciales se construye una tabla de valores, asignándole valores convenientesa , y a partir de ellos, determinar los valores para ( al reemplazar en la ecuación). Además, es buenoB CÞ Bconsiderar que la función es:

Creciente , si + "Decreciente , si ! + "

veamos un ejemplo para cada uno de los casos:

Ejemplo 1 (función creciente):Si se desea construir la gráfica de la función exponencial 2 , se tiene la siguiente tabla de valores :C œ B

B C

$

#

"

! "" ## %$ )

")"%"#

Idea gráfica:

En general, independiente de la base ( > 1 , 1 ) toda función exponencial de la forma + + Á Cœ +B pasa por el punto (0, 1).

Ejemplo 2 (función decreciente):Si se desea construir la gráfica de la función exponencial 2 = , se tiene la siguiente tabla deC œ Ð Ñ-B B"

#

valores :

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


93

842

0 1 1 2 3

B C $ # "

"#1418

Idea gráfica

Propiedades de la función exponencial.

Supuesto: > 0 ; , 1 e cualquier número real.+ß , + , Á à B C

1) + † + œ +B C BC

2) 1

+ œ+

BB

3) Œ +

+œ +

B

CB C

4) a b+ œ +B B † CC

5) ( )+ † , œ + † ,B B B

6) + +

, ,œ

B

B

BŠ ‹

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


94

Resumamos ahora, algunas características importantes de la función exponencial: a) El de la función es el conjunto de todos lo números reales, el recorrido de la funcióndominioes el conjunto de todos los números reales positivos. b) Para > 1 la función es creciente y cóncava hacia arriba; para 0 < < 1, la función es+ +decreciente y cóncava hacia arriba. c) Independientemente de la base, la función exponencial pasa siempre por el punto (0,C œ + B

1). d) El eje es una síntotas horizontal para la gráfica de la función exponencial.B e) La función es inyectiva. En las funciones exponenciales, la base que con más frecuencia se utiliza es el número irracional" " Función/ cuyo valor matemático es 2,171828...Así la función: la denominaremos "C œ / ßB

exponencial natural".

Observación: En la asignatura de Cálculo, el número surge del estudio de la función definida por:/ 0

donde es un entero positivo.0Ð8Ñ œ 8 1 ˆ ‰ 18

8

Puede probarse que los valores de la función se acercan al número , a medida que 0Ð8Ñ / 8aumenta de valor, es decir: cuando 0Ð8Ñ œ / 8 1 ˆ ‰ Ä Ä _1

8

8

Las funciones que involucran potencias de " " juegan un papel central en matemática aplicada, se/usan por ejemplo, en demografía para preveer tamaños de población, en finanzas para calcular el valor deinversiones, en arqueología para fechar objetos antigüos etc.

Aplicaciones de la Funciones Exponenciales.

Interés Compuesto:

Si se invierten dólares a un tipo anual de interés y el interés se compone veces por año , elT < 5

saldo ( ) pasado años será: dólares. F > > F > œ T ( ) 1 + ˆ ‰r5

5 >

Cuando crece la frecuencia con lo que es compuesto el interés, el correspondiente saldo ( )F >también crece.¿ Qué sucede a la expresión 1 + cuando crece sin límite?.T 5ˆ ‰<

5

5t

Interés Compuesto Contínuamente: Si se intervienen dólares y se compone continuamente , el saldoTF > >( ) después de años será:

F > œ T /( ) < > dólaresEjemplo: Suponga que invierte 3 000 dólares a un tipo anual de intéres del 4 %. Calcule el saldo después deÞ8 años si el intéres se compone:a) Semestralmente.b) Mensualmente.c) Continuamente.

Solución:a) ( ) 3 000 1 4 118, 4 dólares.F > œ Þ † œ Þˆ ‰0, 04

22 8†

b) ( ) 3 000 1 4 129, 2 dólares.F > œ Þ † œ Þˆ ‰0, 0412

12 8†

c) ( ) 3 000 4 131, 4 dólares.F > œ Þ † / œ Þ0,04 • 8

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


95

Crecimiento exponencial.

Una cantidad ( ) que crece de acuerdo a una ley de la forma: ( ) o donde y sonU > U > œ U † / U OO >!

constantes positivas se dice que experimentan un " crecimiento exponencial ".

Ejemplo:

Sea ) el número de bacterias presentes pasado minutos respondiendo al modelo: ( ) 2000 UÐ> > U > œ †/0,05 >

¿Cuántas bacterias habrán, pasado 20 minutos?

Solución:U œ Þ † /(20) 2 000 0,05 20†

U œ(20) 5436, 6 bacterias.

Decrecimiento Exponencial.

Una cantidad ( ) que decrece de acuerdo con la ley : ( ) donde y son constantesU > U > œ U / U O! !O>

positivas se dice que experimenta un " decrecimiento exponencial ".

Ejemplo:Los bosques de un país están desapareciendo a razón de 3,6 % al año. Si originalmente habían 2 400Þ(millones).¿Cuántos árboles habían desaparecido en el transcurso de 7 años?

Solución:U > œ Þ † /( ) 2 400 †0, 036 7

U œ Þ † /(7) 2 400 0,252

U œ(7) 1865, 4 millones de árboles.Depreciación

Cuando las organizaciones adquieren vehículos, edificios, equipos y otras clases de "bienes", loscontadores acostumbran asignar el costo del objeto a lo largo del periodo en que se usa. En el caso de uncamión que cueste $10.000 y cuya vida útil sea de 5 años, asignarán 2 000 dólares por año como costo deÞposesión. Se da el nombre de depreciación, al costo asignado a un periodo determinado. Los contadoresllevan también, registros de los principales activos y su valor actual o " en libros". El valor en librosrepresenta la diferencia entre el precio de compra del activo y la cantidad de depreciación asignada, o sea:

Valor libro costo de compra depreciación.œ El valor en libros de un equipo industrial se representa mediante la función exponencial:

300 000 (2,5)Z œ Þ † †>0,1

donde: es el valor libro expresado en dólares y representa el número de años transcurridos desde laZ >adquisición del equipo. El valor del equipo al cabo de 5 años es Z œ 0Ð&Ñ œ $!!Þ!!!Ð#ß &Ñ!ß"†Ð&Ñ

œ $!!Þ!!!Ð#ß &Ñ!ß&

œ $!!Þ!!!"

Ð#ß &Ñ!ß&

œ$!!Þ!!!

"ß &) $ 189873,42œ

¿Cuál era el valor del equipo cuando se compró?. ¿Y cuál era al cabo de 10 años? ¿De 20 años?.

Respuestas. $300 000, $120 000, $48 000.Þ Þ Þ

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


96


1) Suponga que se convierten 1 200 dólares a un tipo anual de interés delÞ3,2 % . Calcule el saldo después de 5 años si el interés se compone:

a) Mensualmente.b) Contínuamente.

2) Una cierta maquinaria industrial se deprecia de forma que su valor pasado años viene dado por ( )> U >œ U / †> 0, 03

a) Después de 20 años la maquinaria tiene un valor de 9000 dólares ¿ Cuál era su valor original ?b) ¿Cuál será su valor pasado 3 años?c) Establezca la gráfica correspondiente.

3) El ritmo al que un empleado medio de correo puede clasificar cartas después de meses en el trabajo>está dada por:G > œ ( ) 420 120 e carta por hora . † >0, 4

a) Esboce la gráfica correspondiente.b) Estime número de cartas clasificadas pasado 4 meses. c) Si el número de cartas clasificadas es de 300 por hora.¿ Cuánta antigüedad tiene el empleado en sutrabajo?.

Respuestas 1) a) 1 407, 9 dólares.Þ b) 1 408, 2 dólares.Þ

2) a) 16 400 dólares.Þ b) 14 988 dólares.Þ c) Resuelva en clases junto a sus compañeros.

3) a) Resuelva en clases junto a sus compañeros. b) 395, 77cartas. c) 0 mes de antigüedad.

Función Logarítmica.

Definición:

La función define la variable " " en función de " ", esta ecuación también puedeC œ + C BB

determinar a " " como una función de " " lo que se denota por , a esta nueva función se le daráB C B œ +C

el nombre de función logarítmica en base " " lo que se denota por:+

con > 0 ; 1C œ 691 B B œ + si y sólo si +C + + Á

La constante se llama base.+

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


97

La variable argumento del logaritmo.B La variable valor del logaritmo.C

Es importante recordar que y la expresión describen la misma función.C œ 691 B B œ ++C

Ahora, puesto que el dominio de una función exponencial incluye a todos los números reales y surecorrido es el conjunto de los números reales positivos, el dominio de una función logarítmica es elconjunto de todos los reales positivos y su recorrido el conjunto de todos los números reales.

Gráfica de la función Logarítmica:

La gráfica de esta función logarítmica, es simétrica a la gráfica de la función exponencial. Para realizar lagráfica, le asignamos valores a y reemplazamos en la función para así obtener los valores deC B œ ,C

BÞ

Ejemplo:

Graficar: que es equivalente a 0ÐBÑ œ 691 B B œ $$C

B C

$

#

"

! "" $# *$ #(

"#("*"$

Idea gráfica :

En general, independiente de la base ( > 0 , 1) la función pasa siempre por el+ + Á C œ 691 B+punto (1, 0). Además, se verifica que si: la función es creciente y si la función es+ "ß ! + "ßdecreciente.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


98

Propiedad de la Función Logarítmica.

Sea > 0, 1, > 0, > 0 entonces se tiene:+ + Á C Q R ß

1) 691 + œ B+B

2) 691 ÐQ † RÑ œ 691 Q 691 R+ + +

3) 691 Ð Ñ œ 691 Q 691 R+ + +QR

4) 691 ÐQ Ñ œ : 691 Q+:

+

5) , si y solo si , 691 Q œ 691 R Q œ R+ +

6) 1 0691 œ+

7) 1691 + œ+

Logarítmo Natural. Si la base de una función logarítmica es 2,7182818..., entonces el logaritmo se denomina+ / œlogaritmo natural, luego se escribe y se subentiende que la base es el número " ". Entonces,691 B 68 B //

se tiene:

C œ 68B B œ / si y sólo si C

Las funciones exponenciales y las funciones logarítmicas son inversas entre sí. Como tales, launa contribuye en la solución de la otra. Puesto que significa la potencia a la que debe elevarse " "68 B /para obtener , se concluye que:B

1) ; ; / œ + / œ B / œ 0ÐBÑ68 + 6 8 B 6 8 0ÐBÑ

2) ; ; ( )68 / œ " 68 / œ + 6 8 / œ 0 B+ 0ÐBÑ

Aplicaciones de Logarítmo Natural

1) La población del mundo está creciendo a un ritmo aproximado del 3% anual respondiendo elßmodelo ( ) donde es el tiempo en años.T > œ T / >!

† >0,03

¿ Cuánto tardará la población mundial en duplicarse?.

Solución:T > œ T /( ) ! >0,03

2 T œ T /! !>0,03

2 e œ Î 680,03 >

6 8 œ > 68 / 2 0, 03 68 œ > 2 0, 03

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


99

68œ > Ê > œ

20, 03

23, 1 años.

2) ¿ Cuántos años demorará una suma de dinero para triplicarse a un interés compuesto del 8> T%, anual.

Solución:

A (1 0,08)œ T >

3 (1 0,08)T œ T >

3 (1 0,08) œ Î6 8>

68 œ > 6 8 3 1,08.6 8

6 8œ > Ê > œ

3 1, 08

14, 3 años.

3) El fermento de un cultivo aumenta de 5 gramos a 12 gramos despúes de 9 horas. Halle larazón de crecimiento .<

Solución:

12 5 œ /9 <

2, 4 œ / Î 6 89 <

6 8 œ < 2, 4 9

6 8œ < Ê < œ œ

2, 49

0,09 9 %.

4) Las moscas de árboles frutales crecen a razón de 5, 8 % al día. ¿Cuánto demorará la poblaciónen llegar a ser cuatro veces su tamaño actual?.

Solución :

T > œ T /( ) ! †>0, 058

4P P! !†>œ /0, 058

4 œ / Î 680,058†>

6 8œ > Ê > œ

40, 058

23, 9 años.

Ecuaciones lineales

Definición :

Cuando 0, para algún valor del dominio , la expresión se denomina 0ÐBÑ œ +B , œ 0 "Ecuación de primer grado o Lineal ". El conjunto solución de una ecuación, son los valores que sustituidos en la ecuación, latransforman en una igualdad, a dichos valores se les denomina de la ecuación."raíces o soluciones "

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


100

Ejemplo

La ecuación 2 3 0 tiene por raíz pues sustituida en la ecuación la hace3 2

B œ B œ

verdadera Þ

Resolución de una Ecuación Lineal

Las siguientes propiedades que se cumplen en una igualdad, son fundamentales para el proceso deresolver ecuaciones:

Sean , , números reales, entonces:+ , -

a) Si , se cumple (Propiedad Aditiva)+ œ , + - œ , -b) Si , se cumple (Propiedad de Sustracción)+ œ , + - œ , -c) Si , se cumple (Propiedad de Multiplicación)+ œ , + † - œ , † -

d) Si , se cumple , 0 (Propiedad de División )+ œ , œ - Á+ ,

- -

Si la ecuación original se modifica mediante el uso de cualesquiera de las propiedades anteriores seobtendra una ecuación equivalente.

Observación : En una ecuación de la forma 0 tenemos:+ B , œ

i) Si 0 la solución es unica + Á B œ ,

+ ii) Si , existen infinitas soluciones.+ œ ! , œ ! iii) Si , No tiene solución.+ œ ! , Á !

Ejemplo 1 : 5 2 8 / +2B œ 5 8 2B œ 5 10 / 5B œ ƒ 2B œ

Ejemplo 2 : 7 3 5 4 / 5B œ B B 2 3 4 / 3B œ 2 7 / 2B œ ƒ

72

B œ

Ejemplo 3 : 8 3 (5 2 ) 3 ( 1) 3B † B œ † B 8 15 6 3 3 3B B œ B 14 15 3 / 3B œ B B 11 15 0 / 15B œ 11 15 / 11B œ ƒ

1511

B œ

Ejemplo 4: / 12 1

3 4B B "

œ †#

4( 1 ) 3 6B B œ 4 4 3 6B B œ 4 6B œ 2B œ

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


101

Ejemplo 5: / ( 5)( 2 ) 3 1 2 5

B B

B B œ † B B

( 3 ) ( 5 ) ( 1 ) ( 2 )B B œ B B 5 3 15 2 2B B B œ B B B 2 2

2 15 2 / B B œ B B B2 2 #

2 15 2B œ B = 13B

Ejemplo 6 : / ( 1) 2 8 4 3

( 1 ) ( 1 ) ( 1)B B B œ B

B 2

2

2 ( 1 ) 8 ( ) 4 3B B " œ B 2 2 8 8 4 3B B œ B 6 10 4 3 B œ B 7 10 œ B

7

10 œ B

Ejemplo de aplicación: Empleando la depreciación lineal o de linea recta, una firma calcula el valoractual " " de una máquina después de " " años lo que se refleja en la ecuación:C B

= 30.000 2 00C % B

a) Determinar el valor actual de la máquina

Al inicio 0 luego se tiene: 30.000 2400 0 30.000B œ C œ † œ

b) El valor después de 5 años

5, luego se tiene: 30.000 2.400 18.000B œ C œ † & œ

c) El valor de salvamento después de 9 años

30.000 2400 9C œ † 8.400C œ

Sistema de Ecuaciones Lineales.

Dos ecuaciones que tengan las mismas dos variables, conforman un sistema de ecuaciones (eneste caso de primer grado) que se puede resolver tanto de manera gráfica como algebraica. Una forma deresolver algebraicamente un sistema de ecuaciones, es expresar las ecuaciones en la forma intersecto -pendiente. Posteriormente, se igualan ambas expresiones y se despeja la variable " ", la que finalmenteBdetermina " " sustituyéndola en cualesquiera de las ecuaciones intersecto - pendiente iniciales.C

Ejemplo :

Resuelva algebraicamente el siguiente sistema de ecuaciones: 2 10B C œ 6 4 16B C œ

3) Forma intersecto - pendiente: 2 10 (1)C œ B 1,5 4 (2)C œ B

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


102

33) :Igualando 2 10 1,5 4 B œ B 14 3,5œ B 4 œ B

333) :Reemplazando este valor de en (1) ó (2) se tieneB 2 4 10 (1)C œ † 2C œ

Luego el punto de intersección de ambas rectas es ( 4 ,2 ).

Para resolver el sistema graficamente, se grafican ambas ecuaciones en el mismo plano y se determina el punto donde se cruzan ambas rectas. En el ejemplo anterior:

C œ B B œ C œC œ B œ

2 10 0 10 0 5œ

C œ B B œ C œ C œ B œ

1,5 4 0 4 0 2,7œ

Idea gráfica :

Ejemplo de Aplicación:

Para una Industria, las ecuaciones de costo e ingreso estan definidas por : 5 120G œ B 8V œ B

Determine algebraica y gráficamente el punto de equilibrio:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


103

a) Algebraicamente: V œ G 8 5 120B œ B 40B œPara una producción de 40 artículos la utilidad es nula.

b) :Gráficamente

Dadas las ecuaciones, se tiene:

C œ B C œ )B 5 120 e

Si 120 Si 0 0B œ ! Ê C œ B œ Ê C œ

Si 0 24 Si 6 48C œ Ê B œ B œ Ê C œAl graficar ambas rectas, se obtiene el punto de equilibrio 40 unidades.B œIdea gráfica :

Resuelva los problemas

1) Dadas las ecuaciones de oferta y demanda:

; œ : ; œ : 2500 8000 4000 18.000

Determine en forma algebraica y gráfica, el precio de equilibrio y cantidad .

2) Dada las ecuaciones Ingreso total y Costos totales. Indique punto de equilibrio y explique el significadográficamente y algebraicamente.V œ B 75G œ B 50 + 150

3) Dadas las ecuaciones: 40 y 30 120, ingresos y costos totales de una fábrica,V œ B G œ B determine punto de equilibrio, algebraicamente y gráficamente.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


104

4) Los costos marginales de una empresa ascienden a U$ 20 y los costos fijos a U$800. Si el precio deventa por cada unidad será de U$ 32 . Determine gráfica y analíticamente el punto de equilibrio para dichaempresa.

Respuestas

1) = 4 ; = 2000: ;

2) Punto de equilibrio = 6 unidades.B

3) 12 unidades.B œ

4) 66,6 unidadesB œ

Matrices y determinantes

Matriz

Definición de Matriz:

Una matriz A de es un arreglo rectangular de 7B8 7 † 8 números o elementos dispuestos en7 8 filas y columnas. En general:

E œ

+ + ÞÞÞ + ÞÞÞ ++ + ÞÞÞ + ÞÞÞ +Þ Þ Þ ÞÞ Þ Þ ÞÞ Þ Þ Þ+ + ÞÞÞ + ÞÞÞ +Þ Þ Þ ÞÞ Þ Þ ÞÞ Þ Þ Þ

+ + ÞÞÞ + ÞÞÞ +

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

"" "# "4 "8

#" ## #4 #8

3" 3# 34 38

7" 7# 74 78

El símbolo , indica el elemento de la primera fila y la segunda columna. La matriz definida+12anteriormente, es una matriz de orden ( se lee " por "), es decir, tiene y x filas7 8 7 87 8columnas x dimensión como ya se señalo anteriormente y al producto se le llama de la matriz7 8 ÞMuchas veces nos referimos a un elemento en general de la matriz como indicando un elemento de la "+343 4-ésima -ésima " fila y la " " columna de la matriz .

Podemos utilizar los corchetes para encerrar el arreglo o bién los simbolos o À ½ ½ Š ‹Algunos ejemplos particulares de matrices son :

, , 1 0-2 3

10 1 -1 2 42

E œ F œ G œŒ Î ÑÏ Ò a b

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105

Ejemplos de matrices y sus dimensiones.

0 1 3] Matriz de orden 1 x 3 ,se le llama matriz fila ó vector fila.Ò Ä

Matriz de orden 4 x 1, se le llama matriz columna ó vector columna.

3 0 1-2

Î ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò

Ä

Observaciónes: -Es importante notar que primero se da el número de filas y luego el número de columnas. -Si es una matriz con (el número de filas es igual al número de columnas) entonces E 7B8 7 œ 8 Eßse llama matriz cuadrada. En el caso que , entonces diremos que la matriz es rectangular.7 Á 8

Œ 1 23 1 es una matriz de 2 x 2 ( se dice que la matriz es cuadrada).

Ä 7 œ 8 Í

Œ 1 1 30 2 1 es una matriz de 2 x 3 ( se dice que la matriz es rectangular).

Ä 7 Á 8 Í

[ 4 ] es una matriz 1 x 1 y es llamada escalar.Ä

Œ ! ! !! ! !

Ä es una matriz nula o también llamada matriz cero de 2 x 3.

( tiene todos sus elementos iguales a cero) Î ÑÏ Ò

" ! !! " !! ! "

Ä es la matriz identidad de orden 3.

Igualdad de matrices.

Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y sus elementos correspondientes son iguales.

Ejemplo1:

” • ” •+ , - B C D. / 0 A ? >

œ

Luego : ; ; ; ; ; + œ B , œ C - œ D . œ A / œ ? 0 œ >

Ejemplo2:

Œ "

" $œ

!Þ&

"

"#

#!!!#!!!

'#

1 1

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106

Operación con matrices

Adición de matrices.

Si dos matrices y , tienen las mismas dimensiones, entonces su adición, indicada por E F EFes la matriz resultante al efectuar la adición de los coeficientes correspondientes en cada lugar.Por ejemplo, si À

E œ à F œ Í EF œ+ , B C + B , C- . A D - A . D

” • ” • ” •

Ya que la adición de dos matrices es igual a la matriz formada por la suma de los elementoscorrespondientes, se infiere de las propiedades de los números reales que la adición de matrices de lamisma dimensión es asociativa conmutativa y admite un neutro aditivo (matriz nula) es decir:ßsi , , y son matrices de la misma dimensión, entonces se verifica:E F G !

Propiedad Conmutativa.EF œ F E ( ( ) Propiedad AsociativaEFÑ G œ E F G Þ

E ! œ ! E œ E Ð! œ matriz nula)Ejemplo para la Propiedad Conmutativa:

Œ Œ Œ Œ Œ % $ ( ) ( ) % $ "" && * " % " % & * ' "$

œ œ

El negativo de una matriz , denotado por es una matriz cuyos elementos son los negativos de losQ Qelementos de Por lo tanto , si QÞ À

Q œ Ê Q œ+ , + ,- . - .

” • ” •Observese que [ ] 0 ( es la matriz cero ).Q Q œ

Sustracciones de matrices :

Si y son matrices de la misma dimensión, entonces se define la sustracción de la siguienteE Fmanera : EF œ E Ð FÑ

Por lo tanto, para restar la matriz de la matriz , simplemente se restan los coeficientesF Erespectivos.

Ejemplo : 1 3 2 1 1 3 2 1- 2 1 4 3 2 1 4 3” • ” • ” • ” • œ

3 42 2œ

” •

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107

Multiplicación (Ponderación) de una matriz por un escalar.

El producto de un escalar y una matriz , denotado por , es una matriz con elementosO Q O †Qformados por la multiplicación de cada elemento de por . Esta definición está en cierto modoQ Omotivada por el hecho de que por ejemplo si es una matriz se desearía que sea igual a 2Q Q Q QÞ

Ejemplo :

3 2 0 1 6 0 33 1 2 9 3 6 † œ

Œ Œ

Multiplicación de Matrices.

Producto punto. El producto punto de una matriz fila 1 x y una matriz columna x 1 es el número real dado8 8por:

. . . ....

c d Ô ×Õ Ø+ + + ,† œ + , + , + ,

,

,1 2 2

1

1 1 2 2 8

8

8 8

Producto de Matrices.

El producto de dos matrices y se define sólo bajo la suposición de que el número de columnas enE FE Ð 7 Ñ F Ð 8Ñ Ede orden x es igual al número de filas en de orden x , entonces la matriz producto de y: :F E † F, denotada por , es una matriz de orden7 8 3 4 3 x cuyo elemento de la -ésima fila y de la ésima columna es el producto punto de la fila -ésimade la matriz y de la columna -ésima de la matriz .E 4 F

Es importante verificar las dimensiones antes de comenzar el proceso de la multiplicación. Si unamatriz tiene dimensión x y la matriz tiene dimensiónE + , F x , entonces, solo si el producto existirá y tendrá dimensión x .- . , œ - E † F + . Para comprender el mecanismo de la multiplicación de matrices veremos un ejemplo :

2 3 -1-2 1 2

1 32 0-1 2

E œ F œ” • Ô ×Õ Ø

E † F œ

† †

† †

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

Ô × Ô ×Õ Ø Õ Øc d

Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø

[ 2 3 1 ] 1 32 2 3 1 0-1 2

[-2 1 2 ] [ 2 1 2 ] 1 32 0-1 2

9 42 2E † F œ

Œ

VIR

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108

Propiedades de la Multiplicación.

La multiplicación de matrices en general no es conmutativa.Q † R Q R puede dar la matriz cero sin que lo sean ni ni . E F GSuponiendo, que para las matrices dadas , , la multiplicación y adición están definidas, entonces para siendo un número real se tienen las siguientesO propiedades:

1) ( ) ( ) Propiedad AsociativaE † F † G œ E † F † G

2) ( ) Propiedad Distributiva por la izquierdaE † F G œ E † F E † G

3) ( ) Propiedad Distributiva por la derechaF G † E œ F † E G † E

4) ( ) ( ) ( )O † E † F œ O † E † F œ E † O † F

Como la multiplicación de matrices no es en general conmutativa, las propiedades número dos ytres deben escribirse como propiedades diferentes.

Aplicaciones

Realizar los siguientes ejercicios:

Análisis de Costos : Se tiene una compañía con dos diferentes fábricas relacionadas con manufactura deguitarras y banjos. Los costos de producción para cada instrumento se dan en las siguientes matrices: Fabrica Fabrica B C Guitarra Banjo Guitarra Banjo

Materiales labor $ 30 $ 25 $ 36 $ 27$ 60 $ 80 $ 54 $ 74” • ” •œ E œ F

Encuentre el costo promedio para las dos fábricas dado por la expresión ( )"

#E F

Herencia: Gregol Mendel ( 1822 - 1884 ), monje bávaro y botánico, hizo descubrimientos querevolucionaron la genética. En un experimento cruzó guisantes híbridos amarillos redondos ( amarillosredondos son las caracteristicas dominantes ; los guisantes también eran de color verde y tenian pliegescomo caracteres recesivos ) y obtuvo 560 guisantes de los tipos indicados en la matriz. Redondo Arrugado

Amarillo Verde = M 319 101 108 32 ” •

Suponga que realizó un segundo experimento del mismo tipo y obtuvo 640 guisantes de los tiposindicados en la siguiente matriz.

Redondo Arrugado

Amarillo - Verde 370 124 110 36” • œ R

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


109

Si se combinan los resultados de los dos experimentos, escriba la matriz resultante ,Q Rcalcule además, la fracción decimal del número total de guisantes ( 1 200) en cada categoría de losÞresultados combinados

Indicación = ( + )1

1200Q R

Producto punto

Una fábrica produce un esquí acuático para salto, que necesita 4 horas de trabajo en eldepartamento de fabricación y 1 hora en el de acabado. El personal de fabricación recibe $800 por hora yel personal de acabado $600 por hora. El costo total de la mano de obra por esquí está dado por el productopunto :

[ 4 1 ] = $ 38 por esquí86” •

Costo de la mano de obra : $38.

Una compañía con fábricas localizadas en diferentes partes del país tiene necesidad dehoras de trabajo y de salarios para la fabricación de tres tipos de botes inflables, lo que se indica en lassiguientes matrices :

horas de trabajo por bote 0,6 hrs 0,6 hrs 0,2 hrs 1,0 hrs 0,9 hrs 0,3 hrs1,5 hrs 1,2 hrs 0,4 hrs

Q œÔ ×Õ Ø

Primera Fila : Bote para una personaSegunda fila : Bote para dos personasTercera fila : Bote para cuatro personas Fabrica I Fabrica II

Salario por hora $ 6 $ 7$ 8 $ 10$ 3 $ 4

R œÔ ×Õ Ø

Primera fila : Departamento de CorteSegunda fila : Departamento de ensambleTercera fila : Departamento de empaque

Atendiendo a la información entregada, determine: a) Los costos de mano de obra para la fabricación del bote para una persona en la fábrica I ,esdecir, el producto punto:

[ 0,6 0,6 0,2 ] 683

†Ô ×Õ Ø

b) Los costos de mano de obra para la fabricación del bote para cuatro personas en la fabrica II.Efectue el producto punto como en la letra a). c) ¿Cuál es la dimensión de ?Q † R d) Determine y realice la interpretación correspondiente.Q † R

Ejercicios La Sra. Riquelme y el Sr. Pérez son vendedores en una nueva agencia de automóviles que vendensolo dos modelos (el compacto y el de lujo). Agosto fue el último mes para los modelos del año y enSeptiembre se introduciran los modelos del siguiente.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


110

Las ventas brutas en dólares para cada mes se dan en las siguientes matrices: Ventas Agosto Ventas Septiembre Compacto Lujo Compacto Lujo

” • ” •$ 18.000 $ 36.000 $ 72.000 $ 144.000$ 36.000 0 $ 90.000 $ 108.000 = = E F

Primera Fila : Sra. RiquelmeSegunda Fila : Sr. PérezSi se interpretan estas matrices se tiene que la Sra. Riquelme tenía $ 18.000 en venta de automóvilescompactos en Agosto y el Sr. Pérez tenía $ 108.000 en venta de automóviles de lujo en Septiembre

a) ¿Cuáles son las ventas combinadas (en dólares) en Agosto y Septiembre para la vendedora y elvendedor, considerando cada modelo ? Compacto Lujo

EF œ $ 90.000 $ 180.000$ 126.000 108.000” •

Primera Fila : Sra. RiquelmeSegunda Fila : Sr. Pérez

b) ¿ Cuál es el aumento de las ventas en dólares de Agosto a Septiembre ?

Compacto Lujo

F E œ Primera Fila : Sra. Riquelme. $ 54.000 $ 108.000$ 54.000 $108.000” •

Segunda Fila : Sr. Pérez c) Si ambos vendedores reciben el 5% de comisión por el total de sus ventas endólares, calcule cuánto recibio cada uno para cada modelo vendido en Septiembreß

0,05 0.05 x 72000 0.05 x 144.000 3600 72000.05 x 90.000 0.05 x 108.000 4500 5400† F œ œ” • Œ


Dadas las siguientes matrices :

E œ F œ G œ

Œ Œ Î ÑÏ Ò

3 1 0 2 11 2 1 1 3 , , ,

3 10 1

1 2

H œ

1 1 3

2 4 1Œ

Determine :

a) EH

b) 2H E

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


111

c) E † F

d) (2 ) 3E † F G

e) 3F E

Respuestas

a) 4 0 31 6 0Œ

b) 1 3 65 6 3Œ

c) 9 44 3Œ

d) 24 511 3Œ

e) No se puede efectuar la operatoria indicada, pues el orden de la matriz es distintoF al orden de la matriz EÞ

Función Determinante.

Determinante : Con cada matriz cuadrada podemos asociar un número real o complejo llamado determinante deEE E y que denotamos por por ejemplo, si se tiene la siguiente matriz : , ./> E

E œ+ ,- .

” • El determinante, es el número representado por es decir, corresponde./> E +. ,- = ( ) , Jal producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonalsecundaria. Generalmente el símbolo que se usa para indicar un determinante es un par de barras verticales,por ejemplo :

./> E œ œ +. , -+ ,- .

( )º º Debe recordarse que tiene un valor númerico, mientras que la matriz es un arreglo de./> E Enúmeros. Un determinante de orden es uno con filas y columnas. Calcularemos a continuación losR 8 8determinantes de orden 2 y 3.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


112

Determinantes de Segundo Orden : En general, se puede simbolizar un determinante de segundo orden de la siguiente manera :

º º+ ++ +

11 12

21 22

Donde se emplea una letra minúscula con un doble subíndice para facilitar la generalización adeterminantes de un orden más alto. El primer subíndice indica la fila a la cual pertenece el elemento, y elsegundo subíndice indica la columna. Así es el elemento de la segunda fila y de la primera columna y+21+12 es el elemento de la primera fila y de la segunda columna. Cada determinante de segundo ordenrepresenta un número real dado por la fórmula siguiente :

º º+ ++ +

œ + + + +11 12

21 2211 22 12 21 x x

Ejemplo : 4 6 101 23 4./> œ œ œ º º

Determinantes de Orden Tres:

Un determinante de orden tres es un arreglo cuadrado de nueve elementos y representa un númeroreal o complejo dado por la siguiente fórmula :

â ââ ââ ââ ââ ââ â »+ + + + ++ + + + ++ + + + +

œ + † + † + + † + † + + † + † + Ñ11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

11 22 33 12 23 31( "$ #" $#

( ) + † + † + + † + † + + † + † +"# $$ "" #$ $# "$ ## $"#"

Propiedades de los determinantes.

Los siguientes teoremas facilitan mucho la tarea de evaluar los determinantes de orden mayor oigual a 3

Teorema1 : Si se multiplica cada elemento de una fila ( o columna ) de un determinante por una constante ,Oel determinante resultante es veces el original.O

Teorema2 : Si todos los elementos de una fila ( o columna ) son ceros, entonces el valor del determinante escero.

Teorema3 : Si se intercambian dos filas ( o columnas ) de un determinante, entonces el determinante queresulta es negativo del anterior.

Teorema 4: Si dos filas ( o columnas ) de un determinante son iguales, entonces el valor del determinante escero.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


113

Teorema5 :

Si se suma a una fila ( o columna ) un múltiplo de otra fila ( o columna), el valor del determinanteno cambia.

Regla de Cramer.

A continuación se verá como surgen los determinantes de manera natural en el proceso pararesolver los sistemas de ecuaciones lineales. Inicialmente se investigarán dos ecuaciones con dosincognitas y después se extenderán estos resultados a tres ecuaciones con tres incógnitas.

Sean las ecuaciones :

+ B + C œ 5 ÐP11 12 1 1 ) )+ B + C œ 5 ÐP21 22 2#

Se tiene que si se multiplica las ecuaciones y por constantes reales tal que se pueda reducirP P1 2una de las variables se tiene :

+ B + C œ 5 Î † +11 12 1 22 + B + C œ 5 Î † +21 22 2 12

tenemos :+ + B + + C œ 511 22 12 22 1 22 a

a + + B + + C œ 521 12 12 22 2 12

( ) B + + + + œ 5 + 5 +11 22 21 12 1 22 2 12

B œ5 + 5 +

Ð+ + + + Ñ" "" # "#

"" ## #" "#, con 0+ + + + Á11 22 21 12

Lo que podemos facilmente asociar a :

B œ

5 +5 +

+ ++ +

º ºº º

1 12

2 22

11 12

21 22

En forma similar tenemos C œ

+ 5+ 5

+ ++ +

º ºº º

11 1

21 2

1 12

21 22

"

Luego se tiene:

a) Regla de Cramer para ecuaciones con dos incógnitas

Dado el sistema: + B + C œ 511 12 1+ B + C œ 521 22 2

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


114

Con 0H œ Á+ ++ +º º11 12

21 22

Entonces: B œ C œ

5 + + 55 + + 5

H H

º º º º1 12 12 1

2 22 21 2

El determinante se denomina determinante de los coeficientes. Si 0 el sistema tieneH H Áexactamente una solución la cual está dada por la regla de Cramer. Por otro lado si 0, entonces seH œpuede demostrar que el sistema es inadecuado o es dependiente, es decir, el sistema no tiene soluciones otiene un número infinito de soluciones.

Ejemplo:

Resolver : 3 4 1B C œ 2 5 2B C œ

B œ

= = =

1 42 53 42 5

5 8 13 1315 8 23 23

º ºº º

= =

3 12 2

23 23 236 2 4

C œ

º º

b) Regla de Cramer para 3 ecuaciones con tres incógnitas

Dado el sistema : + B + C + D œ 511 12 13 1 + B + C + D œ 521 22 23 2

+ B + C + D œ 531 32 33 3

con 0H œ Á+ + ++ + ++ + +

â ââ ââ ââ ââ ââ â11 12 13

21 22 23

31 32 33

Entonces se tiene:

B œ C œ D œ

5 + + + 5 + + + 55 + + + 5 + + + 55 + + + 5 + +

H H

â â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â â1 12 13 11 1 13 11 12 1

2 22 23 21 2 23 21 22 2

3 32 33 31 3 33 31 + 5

H

32 3

Es sencillo recordar estas fórmulas de determinantes para , , si se observa que:B C D

1) El determinane está formado por los coeficientes de , , , manteniendo laH B C D misma posición relativa en el determinante como se encuentra en el sistema.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


115

2) El determinante aparece en el denominador de , , H B C DÞ

3) El númerador para se puede obtener a partir de , reemplazando losB H coeficientes de , ( , y ), por las constantes , y B + + + 5 5 511 21 31 1 2 3 respectivamente. Proposiciones análogas se pueden hacer para los númeradores de como de .C D

Resolver : 1B C œ 3 4C D œ 3B D œ

H œ H œ œ

â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â »1 1 0 1 1 0 1 10 3 1 0 3 -1 0 31 0 1 1 0 1 1 0

; luego

H † † † † † † † Ê† † † † †=(1 3 1 +1 -1 1 0 0 0) (0 3 1 1 -1 0 1 0 1)

H œ = (3 1 + 0) (0 +0 + 0) 2

De igual forma si calculamos ; ; tenemos :B C D

B œ œH

= = 2

1 1 0 1 1-4 3 -1 -4 33 0 1 3 0 (3 3 + 0) ( 4 + 0 + 0 ) 4

2 2

â ââ ââ ââ ââ ââ â »

C œ œ œ œ œ H #

#

â ââ ââ ââ ââ ââ â »1 1 0 1 10 - 4 -1 0 - 41 3 1 1 3 ( 4 1+ 0) (0 3 + 0 ) 5 3

2 2 1

D œ œ œ œ œ

H #

Ð Ñ #

â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â1 1 1 1 10 3 4 0 31 0 3 1 0 9 4 + 0 ( 0 + 0 + 3 ) 5 3

2 2 1

Luego ; 1 ; 1B œ # C œ D œ

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


116


Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones mediante determinantes:

1) 8 9 61B C œ 3 6 1B C œ2) 26 45 97B C œ 13 10 16B C œ

3) 3 9 8 41B C D œ 4 5 2 20C B D œ 8 11 7 35 D B C œ

4) 2 3 80B C D œ 11 2 C œ B 3 50B D œ

5) 9 7 6 18B C D œ 12 14 9 27B C D œ 18 35 15 0B C D œ

Respuestas

1) 5 7/3B œ à C œ

2) 2 1B œ à C œ

3) 2 3 1B œ C œ D œ

4) 12 13 14B œ C œ D œ

5) 5 3 1B œ C œ D œRelaciones de Orden en ‘. Dados y números reales se cumple una y sólo una de las siguientes alternativas:+ ,

i) ; " mayor que "+ , + ,ii) ; " menor que "+ , + ,iii) ; " es igual que "+ œ , + ,

Ley de Tricotomía : Como ejemplos de ordenamiento tenemos 1 0 ; 3 0 ;

, etc. Estas relaciones de orden se llaman " desigualdades1 32 2

absolutas o estrictas "

Otras desigualdades son:

+ , + , ; " mayor o igual que "+ Ÿ , + , ; " menor o igual que "

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


117

Propiedades de las Desigualdades.

1) Si , entonces 0+ , + ,

2) Si , entonces ó + Ÿ , + , + œ ,

3) Si , 0 , entonces + Ÿ , - + † - Ÿ , † -

4) Si , 0 , entonces + Ÿ , - + † - , † -

5) Si y , entonces + Ÿ , , Ÿ - + Ÿ -

6) Si 0 , entonces ( 0 0 ) ó ( 0 0)+ † , + • , + Ÿ • , Ÿ

7) Si 0 , entonces ( 0 0) ó ( 0 0)+

, + • , + Ÿ • ,

8) Si 0 , entonces( 0 0 ) ó ( 0 0 )+ † , Ÿ + • , Ÿ + Ÿ • ,

9) Si 0, entonces ( 0 b 0) ó ( 0 0)+

,Ÿ + • + Ÿ • ,

Desigualdad Absoluta :

Es aquella que es válida para todo número real. Ejemplo : 1 0B 2

Desigualdad Condicional o Inecuación Lineal.

Es la que es válida solo para ciertos valores Ejemplo: 3 es una inecuación pués es válida para . ElB Bconjunto de valores que hacen verdadera una inecuación se denomina conjunto solución y a diferencia deuna ecuación, este conjunto es infinito.

Ejemplo : 3 2 Solución: 1B œ B œ 3 2 Solución: 1 B B

Inecuaciones Lineales.

Inecuaciones de primer grado en una variable.

La solución de una inecuación en una variable, consiste en todos los valores de para los cualesBla inecuación es verdadera. Estos valores pertenecen a uno o más intervalos de la recta real.

Intervalos: Dados y con + , − + ,‘

a) , ’ “ š ›+ , œ B Î + Ÿ B Ÿ ,

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


118

b) , “ “ š ›+ , œ B Î + B Ÿ ,

c) , ’ ’ š ›+ , œ B Î + Ÿ B ,

d) , “ ’ š ›+ , œ B Î + B ,

Ejemplo 1 : Resuelva 3 2 1 / +2B Ÿ

Solución: 3 3 / 3B Ÿ ƒ

1 Solución: Intervalo , 1 B Ÿ _“ “Ejemplo 2: Resuelva : 7 1 6

32 3B B

Î †

Solución: 9 42 2 6B B 7 36 / 7B ƒ

Solución: Intervalo ,+ 36 367 7

B _“ ’

Ejemplo 3 : Resuelva : ( 3 ) 7 2 ( 5 ) 6B B B B 2

6 9 7 + 2 + 5 6B B B B B 2 2

4 2 5 6 B B 9 8 1 B Î † 9 8B

Luego: 89

B

Solución Intervalar: , + 89

“ ’_

Valor Absoluto. Es frecuente en el cálculo operar con desigualdades. Son de particularimportancia las que se relacionan con la noción de " valor absoluto " . Si es un número real, su valorBabsoluto es un número real no negativo designado por , que se define por:k kB

k k œB œB B B B

; 0 ; 0

Ejemplos:

a) ( 5 ) 5 b) 5 73

k k ¸ ¸ œ œ œ73

c) 0,6 ( 0,6 ) 0,6k k œ œ

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


119

Sistemas de Inecuaciones de Primer Grado con una incógnita Dos o más inecuaciones de primer grado con una incógnita pueden formar un sistema deinecuaciones. Resolver un sistema de este tipo, consiste en determinar el conjunto de soluciones comunes atodas las inecuaciones que lo forman. Un procedimiento de resolución es resolver independientemente cadainecuación, luego se establece el conjunto intersección de los conjuntos solución de cada inecuación.

Ejemplo 1:

3 2 5 6 8

B B Ÿ

1) 3 2 5 2) 6 8B B Ÿ 3 3 2B B Ÿ 1B

Solución 1 Solución 2: 1 : { 2 }Ö B − Î B × B − Î B Ÿ‘ ‘

Solución General Solución: S1 S2 : / 1 2 Ö B − B Ÿ ×‘

Ejemplo 2:

12 1 115 2 14 3 3 1

B B B B

1) 12 1 11 2) 5 2 1 3) 4 3 3 1B B Ÿ B B 1 2 4B B B

Solución 1 Solución 2: 1 : 2 Ö B − Î B × Ö B − Î B ×‘ ‘

Solución 3 Solución General: 4 : S S SÖ B − Î B × ‘ 1 2 3

Solución : 2 4 Ö B − Î Ÿ B ×‘

Inecuaciones Lineales con dos variables

Resolver una inecuación presentada en 2 variables significa determinar todos los puntos del planoque hacen verdadera la desigualdad presente; estos puntos al representarlos gráficamente conforman un"semiplano" cuya frontera natural corresponde a la recta asociada a la inecuación. Esta recta se incluye alconjunto solución si la desigualdad presente es " " ó " ", de lo contrario se dibuja con linea Ÿdiscontinua para dividir el plano.

Ejemplo: Construya la gráfica de: 2 1B C Ÿ

Para graficar, hacemos: 2 1B C œ Entonces: 2C œ B "

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


120

B C! "

!"#

S = ( , ) 2 1Ö B C Î B C Ÿ ×

Observación:

El conjunto solución es infinito.

En resumen, la gráfica de una desigualdad lineal en 2 variables de la forma+ B ,C - + B , C - , Á o bien con 0, es el semiplano inferior o superior (pero no ambos ),determinado por la recta .+ B , C œ -

Observación:

El semiplano generalmente puede ser determinado por un punto de referencia que no pertenezca ala recta. ( generalmente el origen ( 0, 0 )). Si 0, la gráfica de ó bien > , es el, œ + B - + B -semiplano izquierdo o derecho ( pero no ambos), según pueda ser determinado por la recta + B œ -

Ejemplo: Construya la gráfica de 4B

La recta asociada es = 4B

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


121

Sistema de Inecuaciones en 2 variables.

Solucionar un sistema de inecuaciones de primer grado en dos variables equivale a determinar laintersección de los semiplanos que satisfacen a ambas inecuaciones:

Ejemplo :5 2 3 2 3 5 2 3 54 1 4 1 4 1

B Ÿ C Ê B C Ÿ Ê B C C B B C B C

Las rectas asociadas serían:

C œ C œ B B

2 5 1

3 4

B C B C

! !& "

$ %&

#!

" !

S ( ) 2 3 5 4 1 œ B ß C Î B C • B C ×˜

Elementos de Optimización.

Una de las principales aplicaciones de los sistemas de Inecuaciones en dos variables, dicerelación con " Programación Lineal ", en donde, el objetivo principal es la maximización o minimizaciónde una función objetivo, la que depende de dos o más variables. Dichas variables suelen estar relacionadasentre sí por una o varias restricciones ( Desigualdades ). La función objetivo (maximizar o minimizar) para nuestro estudio queda definida por la funciónlineal de la forma:

^ œ +B , C - D B ß C ß D ... con número de productos, máquinas, etc.

Observación:

Normalmente además de las restricciones específicas de cada problema, suele ser preciso, añadirque las variables sean positivas ( ... 0 )Bß C ß D El modelo de programación lineal se ocupa de maximizar o minimizar una función objetivo linealsujeta a dos tipos de restricciones:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


122

1) Restricciones estructurales 2) Restricciones de no negatividad, una para cada variable de decisión. Las restriccionesestructurales reflejan factores como la limitación de recursos y otras condiciones que impone la situacióndel problema. Las restricciones de no negatividad garantizan que ninguna variable de decisión seanegativa.

Ejemplo 1:

1) Una planta fabrica 2 tipos de lanchas, una para 2 personas y una para 4 personas. Cada lanchapara 2 personas requiere 2,7 horas de trabajo en el departamento de corte y 2,4 horas en el departamento demontaje. Cada lancha para cuatro personas necesita 5,4 horas en el departamento de corte y 3,6 horas en elde montaje. El máximo de horas de trabajo cada mes en los departamentos de corte y montaje son 2592 y2016 respectivamente. La información dada se resume en la siguiente tabla:

Departamento Corte Departamento Montajelancha (2) 2,7 2,4lancha (4) 5,4 3,6Máximo hrs 2592 2016

Sean : Nº de lanchas para 2 personas fabricadas por mes.B : Nº de lanchas para 4 personas fabricadas por mes.C

Se escribe en un sistema de desigualdades lineales las condiciones que se indican:

Restricciones: 2,7 5,4 2592B C Ÿ 2,4 3,6 2016B C Ÿ Resolviendo gráficamente el sistema se determina la región óptima.

Las rectas asociadas son:

2,7 5,4 2592 2,4 3,6 = 2016B C œ B C

C œ C œ B B

2,7 2592 2,4 2016

5,4 3,6

B C B C! %)! ! &'!*'! ! )%! !

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


123

Idea gráfica :

Si cada lancha para 2 personas tiene un valor de 3200 dólares y cada lancha para 4 personas unvalor de 5600 dólares ¿Cuántas lanchas de cada tipo se deben fabricar y vender para que el ingreso seamáximo ?La Función objetivo a máximizar está dada por: 3200 56000 Bß C œ B Ca b Los valores que maximizan dicha función deben ser extraidos de la región de confianza.Si la región de confianza es acotada, es decir, queda limitada por los ejes coordenados y las rectasasociadas a cada restricción, entonces la función se evalua en los vértices de la región para determinar losvalores máximos o mínimos. En este ejemplo los vértices corresponden a los puntos À(0,0), (0,480),(840,0) y (480,240) punto de intersección de las rectas asociadas. Evaluando en la funciónobjetivo, se tiene:

0 œ œa b0 , 0 3200 ( 0 ) 5600 ( 0 ) 0

0 œ œa b0, 480 3200 ( 0 ) 5600 (480) 2.688.000

0 œ œa b840, 0 3200 (840) 5600 (0) 2.688.000

0 œ œa b480, 240 3200 (480) 5600 (240) 2.880.000

Por lo tanto, el máximo ingreso se logra al fabricar 480 lanchas para 2 personas y 240 lanchaspara 4 personas.

Ejemplo 2:

Resuelva el siguiente problema de programación lineal (determinando e para maximizar yB Cminimizar la función) si se tiene:

Función objetivo : ( , ) 20 100 B C œ B CRestricciones : 12 4 72B C Ÿ 4 8 64B C Ÿ 0B 0C La rectas asociadas son:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


124

12 4 = 72 4 8 = 64B C B C

C œ ") $B C œ ) B

#

B C B C! ") ! )' ! "' !

Resolviendo gráficamente el sistema de inecuaciones y determinando la región óptima acotada setiene :

Idea gráfica :

Punto intersección : ( 4, 6 )Evaluando en la función objetivo se tiene:

0 ß œ œ(0 0) 20 ( 0 ) 10 ( 0 ) 0

0 ß œ œ(0 8) 20 ( 0 ) 10 ( 8 ) 80

0 ß œ œ(6 0) 20 ( 6 ) 10 ( 0 ) 120

0Ð ß œ œ4 6) 20 ( 4 ) 10 ( 6 ) 140

Por lo tanto, la función se minimiza para una producción nula de e , y se maximiza para 4B Cartículos , y 6 artículos B CÞ

Ejemplo 3: Una empresa fabrica dos productos, los cuales deben procesarse en los departamentos 1 y 2 .En latabla siguiente se resumen las necesidades de horas de trabajo por unidad de cada producto en uno y otrodepartamento. También se incluyen las capacidades de horas de trabajo semanales en ambos departamentosy los márgenes respectivos de utilidad que se obtienen con los dos productos. El problema consiste endeterminar el número de unidades que hay que fabricar de cada producto, con objeto de maximizar laaportación total de costos fijos y las utilidades.

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125

Producto Producto Capacidad de trabajo semanalDepartamento 1 3 h por unidad 2 h por unidad 120 hDepartamento 2 4 h por unidad 6 h por

E F

unidad 260 hMárgenes de Utilidad $5 por unidad $6 por unidad

Solución Si se supone que y son el número de unidades fabricadas de los productos y B B E F" # respectivamente, entonces puede calcularse la aportación a las utilidades totales sumando lascontribuciones de ambos productos. La utilidad que aporta cada uno de los productos se obtiene almultiplicar el margen de utilidad por el número de unidades producidas y vendidas. Si se define como laDaportación a los costos y utilidades totales, se tendrá:

( ) 5 6D B ß B œ B B" # " #

Según la información suministrada en el planteamiento del problema, las únicas restricciones aldecidir el número de unidades que deben fabricarse son las capacidades de trabajo semanal en los dosdepartamentos. Luego tenemos que: 3 2 120 departamento 1B B Ÿ" #

4 6 260 departamento 2B B Ÿ" #

Si bien no hay una expresión formal de tal restricción, se sabe implícitamente que y noB B" #

pueden ser negativas. Hay que explicar esta clase de restricción en la formulación del modelo. Al combinar la función objetivo y las restricciones, el modelo de programación lineal querepresenta el problema se formula de la siguiente manera:

maximice ( ) 5 6D B ß B œ B B" # " #

sujeta a 3 2 120 B B Ÿ" #

4 6 260 B B Ÿ" #

0B "

0B #

Representación gráfica

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126

Reemplazando en la función objetivo 5 6 los valores que limitan la región que es solución seD œ B B" #

tiene, para: a) (0,0) D œ !

b) (0, ) 130

3D œ #'!

c) (20,30) D œ #)!

d) (40,0)D œ #!!

El valor que hace a máximo es el punto (20,30) por lo tanto, la función se maximiza para unaDproducción de 20 unidades del producto y 30 unidades del producto siendo $ 280B B D œ" #


1 Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones de 2 variables:

a) 5 2 34 1

B CC B

b) 4 5 35 ( 1) 3 1, ++ ,

c) 3 7 24 1 5 2B Ÿ CC C B

2) Aplicaciones de los sistemas de inecuaciones en dos variables: "Elementos de Optimización "

a) Una empresa fabrica 2 tipos de productos, para lo cual un operario trabaja 8 horas. La materiaprima para producir dichos productos es de 11 kilos como máximo; Si el operario demora 3 horas en elprimer producto y 2 horas en el segundo utilizando 4 kilos de materia prima para el primero y 3 kilos parael segundo, determine el número de productos a fabricar de cada tipo para obtener el máximo de beneficiossabiendo que los productos seran vendidos a $ 800 y $ 420 respectivamente.

b) Una planta fabrica 2 tipos de botes, un bote para 2 persona y un bote para 4 personas. Cadabote para 2 personas requiere 0,9 horas de trabajo en el departamento de corte y 0,8 horas de trabajo en eldepartamento de montaje. Cada bote para 4 personas necesita 1,8 horas de trabajo en el departamento decorte y 1,2 horas en departamento de montaje. El máximo de horas de trabajo disponible cada mes en losdepartamentos de corte y montaje son 864 y 672 respectivamente. Calcule el número de cada tipo de botepara obtener el máximo de ingreso, sabiendo que el bote para 2 personas se vende a $160.000 y el de 4personas a $320.000.

c) Un paciente de un hospital necesita que se le administren diariamente por lo menos 84 unidadesde medicamento A y 120 unidades de medicamento B. Cada gramo de la sustancia M contiene 10 unidadesde medicamento A y 8 unidades de medicamento B y cada gramo de la sustancia N contiene 2 unidades

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127

del medicamento A y 4 unidades del medicamento B. ¿Cuántos gramos de la sustancia M y N se puedenmezclar para cumplir con los requisitos diarios mínimos?.

d) Se desea programar una dieta con dos alimentos A y B. Una unidad del alimento A contiene500 calorías y 10 gramos de proteínas; una unidad de B contiene 500 calorías y 20 gramos de proteínas. Ladieta requiere como mínimo 3000 calorías y 80 gramos de proteínas. Si el precio de una unidad de A es $8y de una unidad de B es $12. ¿Qué cantidad de unidades de los alimentos A y B se deben comprar parasatisfacer las exigencias de la dieta a un costo mínimo?.

e) Una compañía fabrica dos productos. Uno y otro deben ser procesados en dos departamentos.El producto A requiere dos horas por unidad en el departamento 1 y 4horas por unidad en el departamento 2. El producto B requiere 3 horas por unidad en el departamento 1 y 2horas por unidad en el departamento 2. Los departamentos 1 y 2 tienen respectivamente 60 y 80 horasdisponibles a la semana. Los margenes de utilidad de los productos son $3 y $4 por unidad. Formule elmodelo de programación lineal para determinar la mezcla de productos que maximice las utilidades totales.Interprete los resultados que indiquen la mezcla de productos recomendada. ¿Qué porcentaje de lacapacidad diaria se utilizará en cada departamento?.

Respuestas

a) Se deben producir 0 cantidad del primer producto y del segundo producto113

para que la ganancia sea máxima. b) Para obtener el máximo de ingreso se deben producir 480 botes para 4 personas ó 480 botes para 2 personas y 240 botes para 4 personas. c) Región de confianza limitada por los puntos (0 , 42) , (4, 22) y (15 , 0). d) El valor mínimo de la función es 56. Corresponde a 4 e , es decir, aB œ C œ # 4 unidades del alimento A y 2 unidades del tipo B. Tales cantidades de A y B proporcionan un total de calorías y proteínas de acuerdo a las exigencias planteadas. e) 85 cuando y 10. deben fabricarse 15 unidades delD œ B œ "& B œ" #

producto A y 10 unidades del producto B con un 100% de uso de ambos departamentos.

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128

1.- Si , determina:0ÐBÑ œ B $B# $

a) b) c)0Ð+ Ñ 0Ð+ "Ñ 0Ð Ñ"

,#

2.- Sea la función:

de manera que 0 À E © Ä B Ä C œ 0ÐBÑ œ /‘ ‘ B"

Determina:

a) Dominio, codominio y recorrido

b) Determina si es inyectividad, sobreyectividad y biyectividad0

c) ¿Existe ? En caso contrario redefine la función.0 Þ"

3 Determina las raices de : Þ %B )B %B œ !$ #

4 Resuelve: a) b)Þ œ B B %B & œ !#B & " #B

B " B "

# "$ $

5.- Si y Determina:E œ F œ# " ! ! $ "! " # " # !% " ' # $ %

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

a) b) c)EF F E #E $F

6.- Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 600 millones de pesos y el costo de una casa del tipo A es de 13 millones y el de la casa B es de 8 millones. El número de casas de tipo A ha de ser, al menos, del 40% del total y el del tipo B, el del 20% por lo menos. Si cada casa del tipo A se vende a 16 millones y cada una del tipo B en 9 millones. ¿Cuántas casas de cada tipo debe construir para obtener el máximo beneficio?

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129

1.- a) b)0Ð+ Ñ œ + $+ 0Ð+ "Ñ œ $+ "!+ ""+ %# % ' $ #

c) 0Ð Ñ œ" , $,

, , ,

$ #

# $

2.- a) Dominio: , Codominio: , Recorrido: ‘ ‘ ‘

b) es inyectiva, no es sobreyectiva, luego tampoco es biyectiva0

c) No existe , pero se redefine:0"

0 À Ä 0 À Ä‘ ‘ ‘ ‘ "

B Ä C œ / B Ä C œ " 68BB"

3 0 Þ B œ B œ " # B œ " #" # $È È

4.- a) 4 ; es solución extrañaB œ B œ "

b) y B œ "#& B œ "

5.- a) b) EF œ F E œ# % " # # "" $ # " " ## # "! ' % #

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

c) #E $F œ% ( $ $ % %"% "" !

Î ÑÏ Ò

6.- 40 viviendas del tipo A y 10 viviendas del tipo B, de tal forma de obtener un beneficio máximo de 130 millones.

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130

UNIDAD Nº

NÚMEROS COMPLEJOS$

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131

En el conjunto de los números reales no encontramos valores que satisfacen la ecuación B 2 1 0 . œ Para dar solución a ésta ecuación y otras similares, se hace necesario extender el conjunto delos números reales a uno mas amplio denominado:" que es aquel conjunto = x , de todos los pares ordenados deConjunto de los Números Complejos" ‚ ‘ ‘números reales , donde es el númeroÐ+ß ,Ñ œ Ð+ß !Ñ Ð!ß ,Ñ œ Ð+ß !Ñ Ð,ß !Ñ † Ð!ß "Ñ œ + ,3 3 œ Ð!ß "Ñcomplejo llamado .Unidad Imaginaria

Definición de Unidad Imaginaria:

En primer lugar definiremos dicha "unidad imaginaria" denotada por " " y cuyo valor3matemático corresponde a:

3 œ 1 Unidad imaginaria.ÈNotación, que nos permite expresar de manera equivalente las raíces de cantidades subradicales negativastales como:

a) 5 (-1) 5 = 5 È ÈÈ œ † 3

b) 16 (-1) 16 = 16 4 È ÈÈ œ † 3 œ 3

c) (-1) = 7 7 75 5 5

Ê Ê Ê œ † 3

d) (-1) = 1 1 14 4 4

Ê Ê Ê œ † 3 œ 3"

#

Definición de Número Complejo:

Como ya se mencionó, el conjunto de los números complejos está formado por todos los númerosde la forma con y en . Se denomina a " " parte real y a " " parte imaginaria. Esta forma+ ,3 + , + ,‘de escribir los números complejos, se llama y se tiene que:Forma Binómica o forma Algebraica,

3 + œ , 3) Si 0, entonces " " se denomina " complejo imaginario puro ".

33 , œ +) Si 0, entonces " " se denomina " complejo real puro".

Observaciones:

La forma binómica tiene la ventaja de que permite sumar y multiplicar números complejos como si fuerannúmeros reales, teniendo en cuenta solamente que 3 œ "Þ#

En los números complejos están incluidos todos los números reales y todos los imaginarios puros.

Igualdad de Números Complejos.

y + , 3 œ - . 3 Í + œ - , œ .

La condición necesaria y suficiente para que los números complejos y+ , 3 sean iguales es que - . 3 y + œ - , œ .Þ

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132

Conjugado de un Número Complejo

El conjugado de un número complejo es el número complejo .+ , 3 + , 3 Por ejemplo, el conjugado de 2 es 2 . El conjugado de es el $ 3 $ 3 % &3complejo + 5 . % 3

Potencias de " ".3

1) 1 3 œ È2) 3 œ "2

3) 1 1 1 3 œ 3 † 3 œ † œ 3 2 È È4) 1 1 13 œ 3 † 3 œ † œ4 2 2

. .5) ; con y 3 œ 3 : 54 :5 5 %

Operatoria entre números complejos. Dados dos números complejos: se tiene:( ) y ( ) + , 3 - . 3

Adición: Se calcula en forma binómica sumando los términos semejantes, es decir: ( ) ( ) ( ) ( ) + , 3 - . 3 œ + - , . 3

Ejemplo: (7 ) ( 5 $3 # $3Ñ œ '3

Sustracción: Se calcula en forma binómica restando los términos semejantes, es decir: ( ) ( ( ) ( ) + , 3 - . 3Ñ œ + - , . 3

Ejemplo: (7 ) ( 2 ) 9 $3 $3 œ

Multiplicación À El producto se obtiene multiplicando cada término del primer binomio por cada términodel segundo, luego se reemplaza por y se suman los términos semejantes.3 "#

( ) ( ) + , 3 † - . 3 œ +- +. 3 ,- 3 ,. 3 2

œ ( ) (+- ,. +. -,Ñ3

Ejemplo: ( ) ( )( $3 † # $3 œ "% #"3 '3 * 3 2

œ "% "&3 * 23 15 œ 3

División: Finalmente, para dividir un número complejo por otro 0 y obtener así la+ , 3 - . 3 Áforma binómica del complejo se amplifica este cuociente por el conjugado del denominador, +, 3

-. 3 , procediéndose como sigue:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) + , 3 + , 3 - . 3 +- +.3 ,-3 ,.3

- . 3 - . 3 - . 3 - .œ † œ

#

# #

œ œ 3Ð+-,.ÑÐ,-+.Ñ3- . - . - .

+-,. ,-+.# # # # # #

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Ejemplo: ( 7 ) ( ) 14 ( 3 ) ( )

$ 3 # $3 #" 3 ' 3 * 3

# 3 # $3 % *3† œ

2

2

œ 5 2713

3

5 27

13 13œ

3

Representación Gráfica de los Números Complejos.

El número complejo puede representarse gráficamente por un punto situado en el+ ,3 Tplano que determinan los ejes coordenados y que se llama " Plano Complejo ". De éste modo "a todocomplejo" le corresponde un punto en el plano y viceversa. Todo los puntos localizados sobre el eje " "\tienen coordenadas de la forma: ( , 0 ) y corresponden a los números , por ésta razón al eje+ + !3 œ +de la se le llama " ". Todos los puntos localizados sobre el eje "Y" tienen coordenadas\ eje de los realesde la forma (0 , ) las cuales corresponden a los números imaginarios 0 + , por este motivo, a este, ,3 œ ,3eje se le llama " eje de los imaginarios" La representación de un número complejo en el plano complejo puede hacerse , como semencionó anteriormente con un punto , y también por medio de un segmento dirigido o vector T ST Þ

→

Ejemplo:

Ubique en el plano complejo À a) ( 3, 4)

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134

b) ( 2, 4 )

c) 1 5D œ 3"

d) 5 3D œ 3#

Forma Polar o Trigonométrica de un Complejo.

Si en lugar de considerar coordenadas cartesianas se consideran coordenadas polares, entonces un punto PÐ + ,3Ñ <representación del número complejo del plano puede determinarse por la longitud del radiovector y por cualquier amplitud (ángulo) que forme el vector con el eje positivo de las ( eje real

→ST B!

positivo).

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135

Al número se le llama módulo o valor absoluto del número complejo.< = È+ ,2 2

El ángulo , llamado del número complejo, se escoge como el ángulo positivo! amplitud ó argumento

menor cuya tangente esta definida por tg = !,

+

De la figura se tiene: ( ) y ( )+ œ < -9= ‡ , œ < =/8 ‡ ‡! !entonces, si se reemplazan y por las expresiones ( ) y ( ) se tiene:+ , ‡ ‡ ‡

+ ,3 œ < Ð-9= 3 =/8 Ñ ! !

A esta forma: de escribir un número complejo se le llama < ( ) forma Polar o-9= 3 =/8! !Trigonométrica ( ) forma Rectángular, binómica o cartesianay a la expresión se le llama del+ , 3número complejo.

Ejemplo:

Represente en forma polar el complejo ( 1 3 ) ( 1, 3 )D œ 3 œ È È

Calculamos primero el módulo y el argumento del complejo:

El módulo es: = ( 1 ) + ( 3 ) = 4 < œ < œ #É È È2 2

Como tg = , entonces el argumento es 120° o bien 300°. Pero como sabemos que P está en el! !È$"

segundo cuadrante, entonces 120°.! œ

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Idea Gráfica:

Luego : 1 + 3 2 ( 120º 120º ) 3 œ -9= 3 =/8ÈEjemplo:

Exprese en forma rectangular el complejo siguiente: 8 ( 210º 210º )D œ -9= 3 =/8

-9= œ -9= œ 210º 30º 3

2È

=/8 œ =/8 œ "

# 210º 30º

D œ 3 "

# 8 [ ( ) ]

3 2

È

D œ 3 4 3 4ÈD œ ( 4 3 , 4 )È

Teorema de Moivre. Si es cualquiera número racional, entonces se verifica que:8

[ ( ) ] [ ]< -9= =/8 œ < -9=8 3=/8 8! ! ! !8 8

Ejemplo: 3 i [ 2 ( 330º 330º ) ]Š ‹È œ -9= 3 =/810

10

( 3 ) + (1) = 3

< œ >1 "É È È2 2 )

4 = 330°< œ È ) 2< œ

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3 i [ 2 ( 330º 330º ) ]Š ‹È œ -9= 3 =/810

10

2 ( 10 330º 10 330º )œ † -9= † 3 =/8 †10

2 ( 3300 3300)œ † -9= 3 =/810

1024 ( 60º 60 )œ † -9= 3 =/8

1024 3

2œ 3

"

# È 512 512 3 œ 3 È

Ejercicio:

Evalúe la siguiente expresion utilizando el teorema de Moivre y exprese el resultado en formarectangular.a) ( ) " 3 7

El módulo sería:

r = ( - 1) + (1) 2 È È2 2 œ

Determinemos ahora el argumento: tg = = = 135º! !1

-1 " Ê

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138

Luego: ( ) = [ 2 ( 135º 135º ) ] " 3 -9= 3 =/87 7È = ( 2 ) [ 7 135º 7 135º ]È 7 -9= † 3 =/8 †

= ( ) [ 945º 945º ]È # -9= 3 =/87

= ( ) [ 225º 225º ]È # -9= 3=/87

= ( ) [ 45º 45º ]È # -9= 3 =/87

= ( ) [ ] 2 2

2 2È È È

# 7

= ( ) ( )

2 2 3

# #È È8 8

Ejercicios Propuestos.

I.- Realice las operaciones indicadas, simplifique y escriba el resultado en la forma .+ , 3

a) b) ( 3 ) ( ) ( 3 ) ( 3 )

( ) ( 1 ) ( 2 ) %3 & (3 % 3 † % 3

% #3 $ 3 3

II .Exprese cada uno de los complejos en forma polar

a) 3 b) 2 3 $ 3 #3Èc) 12 d) 2 2 & 3 3È È

III Exprese en forma rectangular los siguientes complejos.

a) 2( 315º 315º ) b) 4 ( 240º 240º)-9= 3 =/8 -9= 3 =/8

c) 3 ( 90º 90º )-9= 3=/8

IV.- Evalúe cada una de las siguientes expresiones utilizando el teorema de Moivre y exprese elresultado en forma rectangular.

a) ( 3 )È 3 5

b) 3

2 È"

# 3

20

c) [ 2 ( 315 ° 315º )-9= 3 =/8 4

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Respuestas

I

a) b) 10 12

3 &3"

#

IIa) 3 2 ( 45º 45º )È -9= 3 =/8b) 4 ( 210º 210º )-9= 3 =/8c) 13 ( 157º 157º)-9= 3 =/8d) 2 ( 315º 315º )-9= 3 =/8

IIIa) 2 2 b) 2 2 3 È È È 3 3

c) 33

IV

a) 16 3 16 b) 3

2 3 3

"

#È È

c) 16

1.- Dados: Determina:D œ $ #3 ß D œ % &3" #

a) b) " D

D D" #

"

2.- Realiza las operaciones indicadas, simplifica y escribe el resultado en la forma .+ , 3

(" 3Ñ $Ð" &3Ñ 3Ð& $3Ñ ‘3.- Expresa el complejo en forma polar.D œ % &3

4.- Expresa ° ° en forma binomialD œ %Ð-9= #"! 3=/8#"! Ñ Þ

5.- Calcula la potencia indicada y expresa el resultado en forma binomial:

Ð $ 3ÑÈ )

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140

1.- a) b) $ # # #$

"$ "$ %" %" 3 3

2.- "! "!3

3.- º ºD ¸ %" Ð-9= "#)ß '' 3=/8"#)ß '' ÑÈ

4.- D œ # $ #3È

5.- "#) "#) $3È

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141

UNIDAD Nº4POLINOMIOS Y TEORÍA DE ECUACIONES

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142

POLINOMIOS:

Definición 1.

Toda expresión de la forma :

T B œ + B + B + B ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ + B + B + B +a b 8 8" 8# $ # "$8 8" 8# # "

!

con lo llamaremos y lo denotaremos por .8 TÐBÑ% polinomio

son los coeficientes del polinomio, en particular se denomina coeficiente+ ß + ß + ß ÞÞÞÞÞß + +! " # 8 8

principal y término libre o independiente.+!

Si , entonces se dice que el polinomio es de grado " " en la variable " ".+ Á ! 8 B

8

Si todos los coeficientes del polinomio:

TÐBÑ œ + B + B ÞÞÞÞÞÞ + B +8 8" "8 8" "

!

son ceros, decimos que es el polinomio nulo.T Ba bEjemplos:

1) Grado de TÐBÑ œ B B TÐBÑ œ #ß + œ "ß + œ !#8 !

2) Grado de UÐBÑ œ $ B B " UÐBÑ œ "&ß + œ $ß + œ ""

#È È"&

8 !

3) no es polinomioVÐBÑ œ VÐBÑ(B B

B &

$ #

Teorema 1. Si y son polinomios tales que , entonces existen únicos polinomios yT B U B U B Á ! ; Ba b a b a b a b< Ba b tales que: T B œ U B † ; B < Ba b a b a b a ben donde el grado de es menor que . Esto se escribe formalmente como:< B U Ba b a b se llama resto o residuo

T B < B

U B U Bœ ; B < B

a b a ba b a ba b a b se llama cuociente; Ba b

División de Polinomios

Si en una fracción polinómica se determina que el grado de es mayor que el grado deT B

U BT B

a ba b a bU Ba b, la fracción se denomina " ". Es posible reducir dicha fracción a la expresiónFracción Impropia

; B < B

U Ba b a ba b utilizando un algoritmo similar al de la división de números enteros:

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143

Ejemplo:

Sea la fracción polinómica , tenemos:$B #B (B #

B B $

& $ #

#

$B #B (B # ƒ B B $ œ $B $B %B #!& $ # # $ #

… $B … *B „ $B& $ %

$B (B (B #% $ #

… $B „ $B … *B% #$

%B "'B #$ #

„ %B … %B „ "#B$ #

#!B "#B ##

„ #!B … #!B „ '!#

)B '#

El cuociente es y el resto es ; B œ $B $B %B #! < B œ )B '#a b a b$ #

Luego: $B #B (B # )B'#B B$ B B$

$ #& $ #

# #œ $B $B %B #!

Regla de Ruffini

Un caso particular es el de la división de un polinomio por otro de la forma T B U B œ B +a b a b Aplicando el algoritmo de la división de polinomios se llega a una regla para calcular loscoeficientes del cuociente y el resto de dividir por que se denomina T B U B œ B +a b a b Regla de Ruffiniy el cálculo se realiza como sigue:

Ejemplo: Divida por T B œ B B #B " U B œ B #a b a b% $

Solución: Para aplicar Ruffini se utiliza una tabla en la que se ubican los coeficientes de (como T B T Ba b a bno tiene potencia se coloca en esa posición).B !#

También, debe colocarse el número que resulta de hacer . En este caso:U B œ !a b B # œ ! Ê B œ #

Para el ejemplo, la tabla es la siguiente:

Coeficientes de

Coeficientes de y resto

T B " " ! # "# # % "# #

; B < B " " # '

a ba b a b ""

El grado de para nuestro ejemplo es ; B 8 " œ % " œ $a b Luego, el cuociente es y el resto es ; B œ B B #B ' < B œ ""a b a b$ #

Luego: T B ""

U B B #œ B B #B '

a ba b $ #

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1) Divida por T B œ $B B #B ' U B œ B "a b a b$ # #

2) Divida por T B œ B #B ) U B œ B #a b a b% # #

3) Divida por T B œ B %B ( U B œ B "a b a b$

4) Divida porT B œ 'B $B #B &B # U B œ B "

#a b a b% $ #

5) Divida por T B œ $B "$B "!B # U B œ B "

$a b a b$ #

Solución

1) ; B œ $B " < B œ &B (a b a b2) ; B œ B % < B œ !a b a b#

3) ; B œ B B $ < B œ "!a b a b#

4) ; B œ 'B #B % < B œ !a b a b$

5) ; B œ $B "#B ' < B œ !a b a b#

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145

Teorema del factor

Definición 2: Si y son polinomios, diremos que divide a si y solo sí existe un polinomioT B U B U B T Ba b a b a b a b2 Ba b tal que:

T B œ U B † 2 Ba b a b a bObservaciones:

2 B 2 BSi existe , es único.a b a b U B T B U B T BSi divide a , se dice que factoriza a . a b a b a b a b U B T B

T B

U BSi tiene resto cero, es un factor de .

a ba b a b a b

Ejemplo: El polinomio puede dividirse por T B œ B #B B U B œ Ba b a b$ #

B #B B ƒ B œ B #B "$ # #

… B$

#B B#

… #B#

B „ B !

Así, puede escribirse de la forma:T Ba b T B œ U B † 2 Ba b a b a b T B œ B B #B "a b a b#

Teorema de Factorización Única

Teorema 2: Todo polinomio de grado se puede escribir como producto de una constante por polinomios8 "de grado y esta descomposición es única salvo el orden de los factores."

Si aparecen factores repetidos se asocian los factores iguales escribiendo su producto en forma depotencia.

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146

Ejemplo:a) El polinomio puede escribirse de la siguiente forma:T B œ B "a b #

T B œ B " B "a b a ba bb) El polinomio puede escribirse de la siguiente forma:T B œ B $B #a b #

T B œ B # B "a b a ba bc) El polinomio puede escribirse de la siguiente forma:T B œ #B "#B ")a b #

T B œ # B 'B *a b a b#

T B œ # B $ B $a b a ba b T B œ # B $a b a b#

Definición 3: Dado un polinomio y un elemento se llamaTÐBÑ œ + B + B ÞÞÞÞÞÞ + B + B8 8" "

8 8" "

! !

valor de en al elemento que se obtiene reemplazando por en el polinomio y efectuandoT B B T B B Ba b a b! ! !

las operaciones indicadas.

Ejemplo:

Dado , determine T B œ $B #B T #"

#a b a b$

Solución: Reemplazando en se tiene:# T Ba b T # œ $ # # #

"

#a b a b a b$

T # œ $ ) % "

#a b a b

T # œ #% % "

#a b

Luego: T # œ&(

#a b

Raíz de un Polinomio

Definición 4:

Si es un polinomio, diremos que es una raíz (solución o cero) de ,T B + T Ba b a bsi y sólo si .T + œ !a bEjemplo: Sea así es raíz o cero de , pues:T B œ B " " T Ba b a b$

T " œ " "a b a b$ T " œ !a bEjemplo: Sea , sus ceros o raíces son y , pues:T B œ B %B $ $ "a b #

T $ œ $ % $ $ T " œ " % " $a b a b a b a b a b a b# $

T $ œ * "# $ T " œ " % $a b a b T $ œ ! T " œ !a b a b

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Teorema del Resto

Teorema 3:

El resto de dividir un polinomio por otro de la forma es T B B + T +a b a b De acuerdo a este teorema, se puede utilizar la Regla de Ruffini para calcular el valor de unpolinomio en , ya que el último número que se obtiene aplicándola es el resto de dividir T B B œ + T Ba b a bpor , es decir, . También, sirve para verificar rápidamente si es o no una raíz de B + T + + T Ba b a bEjemplo: Dado , calcule T B œ $B #B B %B "& T #a b a b% $ #

Solución: Utilizando la regla de Ruffini, se tiene:

Coeficientes de


T B $ # " % "& ' ) "% #! #

; B < B $ % ( "!

a ba b a b &

Luego, y no es raíz de .T # œ & # TÐBÑa bTeorema 4:

El polinomio es divisible por si y solo sí " " es raíz de .T B B + + T Ba b a b a bEjemplo: El polinomio es divisible por , porque es raíz de . Esto seT B œ B #B " B " " T Ba b a b$ #

verifica de la siguiente forma: T " œ " # " "a b a b a b$ #

T " œ " # "a b T " œ !a b

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1) Determine si es un factor de a b a bB " T B œ B &B 'B "% #

2) Determine si es un factor de a b a bB # T B œ B $B %$ #

3) Determine el residuo de dividido por T B œ %B B % U B œ B #a b a b$ #

4) Determine si T $ T B œ B %B #B "!a b a b & $

5) Verifique si los valores dados para son raíces del polinomio dado en los siguientes casos:+ T Ba ba) T B œ B ")B ) + œ %a b $

b) T B œ #B B B " + œ "

#a b $ #

c) T B œ #B %B " + œ $a b #

d) T B œ B %B (B "! + œ "a b $ #

Solución

1) No, porqueT " œ "" Á !a b2) Si porqueß T # œ !a b3) < B œ $#a b4) T $ œ "&"a b5) a) Si, es raíz de b) Si, es raíz de + œ % T B + œ T B

"

#a b a b

c) No, no es raíz de d) Si, es raíz de + œ $ T B + œ " T Ba b a b

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149

Número máximo de soluciones o raícesTeorema 5: El polinomio con grado " " tiene a lo más " " raíces.T B 8 8a bObservaciones: Como un polinomio de grado " " tiene a lo más " " raíces, no necesariamente diferentes, es8 8decir, que las raíces pueden repetirse, introducimos entonces, el concepto de raíz múltiple.

Multiplicidad Algebraica de una raíz

Definición 5: Se dirá que " " es raíz de multiplicidad " " para si divide a y + 8 T B B + T B B +a b a b a b a b8 8"

no lo divide, es decir, " " es el mayor entero positivo tal que divide a .8 B + T Ba b a b8

Ejemplo: es raíz de multiplicidad doble para: + œ # T B œ B %B %Ba b $ #

Pues: B %B %B œ BÐB %B %Ñ œ B B #$ # # #a b El factor aparece elevado aa bB # #

Teorema 6: Sea un polinomio; y si y son tales que < (es decir,T B B +ß , T + T , T + † T , !a b a b a b a b a b‘ %

T + T , + ,a b a b y tienen signos opuestos), entonces existen ceros reales entre y .

Ejemplo: ¿Hay un cero real entre y para ?" # 0ÐBÑ œ B #B 'B 'B *% $ #

Solución: 0 " œ )a b 0 # œ $a b < , por lo tanto existe un cero real entre y 0 " † 0 # œ #% ! " #a b a b

Teorema Fundamental del Algebra

Teorema 7: Todo polinomio de grado con coeficientes en tiene por lo menos una raíz en .8 " ‚ ‚

Este teorema equivale a decir que todo polinomio de grado con coeficientes en tiene8 " ‚exactamente raíces en .8 ‚

Ejemplo: El polinomio de grado tiene exactamente raíces. Estas son: T B œ B #B B # $ $ "ß "a b $ #

y . #

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Verificación:

T " œ " # " " #a b a b a b a b$ #

T " œ " # " #a b T " œ !a b T " œ " # " " #a b a b a b a b$ #

T " œ " # " #a b T " œ !a b T # œ # # # # #a b a b a b a b$ #

T # œ ) ) # #a b T # œ !a b

Raíces Complejas de un Polinomio

Teorema 8: Si es un polinomio con coeficientes reales y si el complejo es raíz de ,T B + ,3 T Ba b a b a bentonces el complejo conjugado también lo es.a b+ ,3

Ejemplo: Determine los ceros del polinomio :T B œ B $B ""B #(B ") $3a b % $ # sabiendo que es solución o raíz.

Solución: Si es solución entonces es factor o divide a . Luego, también lo hace , es$3 B $3 T B B $3a b a b a bdecir, es factor de , lo que equivale a a ba b a b a bB $3 B $3 T B B *#

Aplicando la división de polinomios tenemos:

B $B ""B #(B ") ƒ B * œ B $B #% $ # # #

… B … *B% # $B #B #(B ")$ #

„ $B „ #(B$

#B ")#

… #B … ")#

! Luego:

B $B ""B #(B ") œ B * B $B #% $ # # #a ba b œ B * B # B "a ba ba b#

Así, los ceros o raíces de este polinomio son: , , y $3 $3 # "

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Regla de los signos de Descartes

Teorema 9: Si es un polinomio real, entonces el número de ceros reales positivos (o negativos) a lo másT Ba bes el número de variaciones de signos de o de y a lo menos es el número de variacionesT B T Ba b c da bmenos .#

Ejemplo: Indique posibles raíces reales positivas o negativas de :

T B œ B %B (B &B "a b ' % $

Solución: T B %a b tiene variaciones de signo. Luego, tiene a lo más ó 0 ceros reales positivos.T B %ß #a b T B œ B % B ( B & B "a b a b a b a b a b' % $

T B œ B %B (B &B "a b ' % $

Luego, tiene a lo más ó ceros reales negativos.T B # !a bCeros Racionales de un Polinomio

Teorema 10: Si el número racional , donde y son enteros primos relativos, es una raíz del polinomio:

-

.- .

+ B + B ÞÞÞÞÞÞ + B + + Á ! - + .8 8" " 88 8" "

! !, de coeficientes enteros, entonces " " divide y " " divide a

+8.

Ejemplo: Sea entonces se tiene que:T B œ %B $B %B $a b % $

+ œ $ Ê „ "ß „ $!

+ œ % Ê „ "ß „ #ß „ %8

Luego, las posibles raíces racionales de son:T Ba b

, , , , , " $

" $ " $

# # % %

Ejemplo: Hallar las raíces racionales de: TÐBÑ œ B #B ")B )B %"B $!& % $ #

Solución: es de grado , por lo tanto, tiene raíces.T B & &a b + œ $! Ê „ "ß „ #ß „ $ß „ &ß „ 'ß „ "!ß „ "&ß „ $!

!

+ œ " Ê „ "8

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152

Las posibles raíces racionales son :

, , , , , , ,+

+œ " # $ & ' "! "& $!!

8

Aplicando la definición de raíz de un polinomio tenemos que es raíz.T + œ ! #a b Esto se puede verificar usando la regla de Ruffini:

Coeficientes de


T B " # ") ) %" $!# ) #! &' $! #

; B < B " % "! #) "&

a ba b a b !

Para determinar las raíces de se deben ir probando las posibles raíces racionales, cuando elT Ba bresto entonces se ha encontrado otra raíz de , y así sucesivamente. Para este procedimiento< B œ ! T Ba b a bse deben usar los coeficientes de que entrega la tabla de la siguiente forma:; Ba b

Coeficientes de anteriores


; B " % "! #) "&$ #" $$ "& $

; B < B " ( "" &

a ba b a b !

Luego: es raíz de y el grado de se ha rebajado de a$ T B ; B % $a b a bCoeficientes de anteriores


; B " ( "" & " ' & "

; B < B " ' &

a ba b a b !

Así por ensayo se ha determinado una nueva raíz: y el grado de se ha rebajado de a . " ; B $ #a b Cuando el grado de se ha rebajado a , las raíces que faltan se determinan resolviendo la; B #a becuación de segundo grado: ; B œ !a b En este caso, B 'B & œ !#

a ba bB & B " œ !

B & œ ! ” B " œ !

B œ & B œ "

Luego, las raíces o ceros de son: , , y con multiplicidad T B # $ & " #a b Así tenemos que:

se puede expresar de la siguiente forma:TÐBÑ œ B #B ")B )B %"B $!& % $ #

T B œ B # B $ B & B "a b a ba ba ba b#

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Observación: Cuando se deben hacer muchas verificaciones pueden ahorrarse cálculos analizando el número deraíces positivas y negativas mediante la regla de los signos de Descartes.

Fracciones Parciales.

Una fracción racional algebraica es el cociente de dos polinomios. La fracción se dice propia si elgrado del numerador es menor que el del denominador, y en caso contrario se dice impropia. Una fracción

impropia se puede escribir como la suma de un polinomio y una fracción propia. Por ejemplo es3

2B

una fracción propia, mientras que es impropia. Nótese que + 3 5 5B B B $B

B # B #œ B "

2 2

3 + 2B es la suma de un polinomio y una fracción propia. Dos o más fracciones propias se pueden sumar

para obtener una fracción única cuyo denominador es el mínimo común denominador de las distintasfracciones.

Supongamos que ( ), ( ) son polinomios en tales que el grado de ( ) y el gradoT B U B T B œ 8‘de ( ) con 1, entonces podemos dividir ( ) por ( ), para esto debemos ordenar cadaU B œ 7 8 7 T B U Bpolinomio en potencias decrecientes de y proceder como el siguiente ejemplo:B

Ejemplo : ordenando de tiene: 5 3

2B B

B

2

3 : 2

B B & B # œ B "

B B

2

( ) 2

/ 5 2 / 3

B B

Podemos decir que : 5 3B $B

B # B #œ B "

2

En general si el grado de ( ) grado de ( ) y si ( ) y ( ) polinomios en , entoncesT B U B b H B V B ‘T B( ) puede escribirse de manera única:

T B œ U B H B V B( ) ( ) • ( ) ( )

Nuestro trabajo será descomponer una fracción racional dada, en la suma de fracciones propiasque se llamarán fracciones parciales. Los casos que aquí se consideran se explicarán mediante ejemplos:

Caso 1: Factores Lineales no Repetidos en el Denominador.

A cada factor del denominador le corresponde una fracción que tiene por numerador unaconstante y por denominador el factor de la forma :

E E E E

+ B , + B , + B , + B ,

1 2 3

1 1 2 2 3 3 ................ 8

8 8

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154

Ejemplo: Descomponer:

= ( ) ( 3 2) 5

( 2) ( 3 2) 3 2 B # E F

B B B # B B # B ‚

5 2 (3 ) ( )B œ E B # F B # 5 2 3 2 2B œ EB E FB F 5 2 (3 ) 2 .B œ E F B F #E

3 5 22 2 2

E F œ † E F œ

'E #F œ "! #E #F œ #

Al efectuar la reducción de términos semejantes, se tiene:

E œ 8 8A = 1 Ê F œ #

Luego 5 2 1 2

( ) ( 3 ) 3B

B # B # B # B #œ

Caso 2: .Factores Lineales Repetidos en el Denominador

Se sugiere aquí que por cada factor ( repetido, resulte una suma de fracciones parciales.+ B ,Ñ5

E E E

+B , +B , +B ,

1 2

( ) ( ) ( ) ............

5 5"

5

Ejemplo:Descomponer:

= ( )2 6

( ) ( )B B % E F G

B B # B B # B # B B #

2

2 22‚

2 6 ( ) ( ) B B % œ E B %B % FB B # GB2 2

2 6 4 4 2B B % œ EB EB E FB FB GB2 2 2

2 6 4 ( ) (4 2 ) 4B B œ EF B E F G B E2 2

Luego: 4 4 1E œ Ê E œ

2 3EF œ Ê F œ

4 + 2B + C = 6 4E Ê G œ

Luego: 2 6 4 1 3 4

( 2) 2 ( 2)B B

B B B B B œ

2

2#

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Caso 3: Factores de Segundo Grado Irreductibles en el Denominador, no Repetidos.

Por cada factor cuadrático irreductible a del denominador,se escribe una fracciónB ,B -2

parcial del tipo:

EBF

+B ,B -2

Ejemplo:

Descomponer:

2( ) ( 4) 4

B " B B B " B B

œ E FB G

2 2

2 4 ( ) ) œ EB EB E F B G ÐB "2

2 4œ EB EB EF B FB GB G2 2

2 ( ) ( ) 4œ EF B EF G B E G2

Se concluye entonces que:

1) 0 EF œ Ê F œ E

2) EF G œ !

3) 4 %E G œ # Ê G œ E #

Luego reemplazamos en 2) y se tiene:

( 4 0E EÑ E # œ 2 4 E E œ # 2 E œ #

Se tiene entonces que:

1 1 y 2E œ Ê F œ G œ

Luego : 2 1

( ) ( ) B " B B % B " B B %œ

B #2 2

Caso 4: Factores de Segundo Grado Irreductibles y Repetidos en el Denominador.

En este caso, se sugiere que por cada factor irreductible repetido ( ) del+B , B -2 5

denominador , resulte una suma de fracciones parciales.

EBF GBH L B O

+B ,B - +B ,B - +B ,B -

( ) ( ) +. . .+ 2 2 1 25 5

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Ejemplo: Descomponer en fracciones parciales:

3 8 ( 2) 2 ( 2)

B E FB G HB I

B B B B B œ

4

2 2 2 2 2

( 2) ( ) ( ) ( )œ E B F B G B #B HB I B2 2 3

( 4 4) 2 2 œ E B B F B F B GB GB HB IB4 2 4 2 3 2

4 4 2 œ EB EB E FB #FB GB GB HB IB4 2 4 2 3 2

( ) ( 4 ) (2 ) 4œ EF B GB E #F H B G I B E4 3 2

Luego se tiene:

4 8 2E œ Ê E œEF œ $ Ê F œ " G œ !I œ !H œ 10

Entonces:

3 8 2 10( 2) 2 ( 2)

B B B

B B B B B œ

4

2 2 2 2 2

Ejercicios Propuestos:

I.- Determine todas las raíces de los polinomios

a) ( ) 9 4 120 B œ B B B 4 2

b) ( ) 7 10 0 B œ B B B4 3 2

c) ( ) 3 72 1080 B œ B B B B B 5 4 3 2

d) ( ) 2 8 14 11 28 120 B œ B B B B B B 6 5 4 3 2

e) ( ) - x + 78x - 76x - 245x + 405x - 1620 B œ B6 5 4 3 2

II.- Encuentre las raíces o ceros de los siguientes polinomios

a) ( ) 9 5 101 336 3920, sabiendo que 4 es raíz.0 B œ B B B B B 35 4 3 2

b) ) 3 12 8 32 16, sabiendo que 1 es raíz de multiplicidad0ÐB œ B B B B B B B 7 6 5 4 3 2

triple.

c) ( 11 25 25 24 36, sabiendo que 6 es raíz y de multiplicidad doble.0 B Ñ œ B B B B B 5 4 3 2

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III.- Descomponer en fracciones parciales

a) b) 54 2 7 5 24

( ) ( 4) ( 5) 2 8B " B B B B

B B B B 4 3 2

2

c) d) 2 6 4 1

( 2) ( 1)B B B B B

B B B

2 3 2

2 2 2

e) 2

2B B $

B B B

2

4 3

Respuestas

I.- a) 1, 3 y 2 de multiplicidad doble.

b) 2, 5 y 0 de multiplicidad doble.

c) 3 , 3 , 3 y 2 de multiplicidad doble 3 3

d) 3, 2 de multiplicidad doble y 1 de multiplicidad triple.

e) - 2 , 9i y - 9i y 1 de multiplicidad triple

II.-

a) B œ &ß B œ (ß B œ %3ß B œ %3b) B œ "ß B œ #ß B œ #3ß B œ #3-Ñ B œ "ß B œ 'ß B œ 3ß B œ 3

III.-

a) 3 2 1 1 4 5

B B B

b) 1 B 2 2 5 4 2B B

c) 4 3 1

( 2) 2B B B 2

d) 1 1 1

2( 1) 1 2( )B B B " 2 2

e) 3 1 3

2 4 4( 2)B B B B

B 2 2

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1.- Si , prueba que 3 es una raíz de de multiplicidad 2:ÐBÑ œ #B ""B "#B * :ÐBÑ$ #

2.- Determina el polinomio cuociente y el polinomio resto de las siguientes divisiones:

a) ÐB %B (Ñ ƒ ÐB "Ñ$

b) ( ) ( )'B $B #B &B # ƒ B "

#% $ #

3.- Aplica la Regla de Ruffini para realizar la siguiente division: a) ("!!!B "Ñ ƒ Ð"!B "Ñ$

4.- Descomponer en fracciones parciales.B (B $B #

ÐB B %Ñ

$ #

# #

1.- 3 es de multiplicidad 2 pues divide a ÐB $Ñ ß :ÐBÑÞ#

2.- a) GÐBÑ œ B B $ VÐBÑ œ "!$

b) GÐBÑ œ 'B #B % VÐBÑ œ !$

3.- GÐBÑ œ "!!B "!B " à VÐBÑ œ !#

4.- B (B $B # B ' (B #'

ÐB B %Ñ B B % ÐB B %Ñœ

$ #

# # # # #

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UNIDAD Nº 5

INDUCCIÓN Y TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON

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INDUCCIÓN MATEMÁTICA:

Este método de demostración, es una de las herramientas más empleadas en matemática. Estemétodo se basa en un razonamiento inductivo que consiste en generalizar a base de unas cuantasobservaciones y se utiliza específicamente para demostrar la validez de ciertas proposiciones para unsubconjunto de números naturales.

Definición de Conjunto Inductivo: LLamaremos al conjunto de todos los subconjuntos M de que verifica las cantidadesM ‘siguientes.

i) 1 M%ii) M ( ) MB Ê B "% %

Los elementos de se llaman "M conjuntos inductivos ".

Principio de Inducción Finita.

Teorema 1:

Se consideraran los siguientes pasos:

3Ñ Se verifica la fórmula propuesta o teorema para algún valor entero positivo de n , por lo general elmenor.33Ñ Se demuestra que si la fórmula o teorema propuesto es válido para n, siendo n un entero positivo,también es válida para n+1.

Resumiendo, se tiene:

Sea ( ) una propieded de la variable " ", si se cumple:T 8 8

3 T ") ( ) verdadera. 33 a 8 8 • T 8 Ê T 8 ") ( ) [ ( ) ( )]%

Entonces se verifica:

[ ( ) ( ( ) Verdadera ]a 8 8 Ê T 8%

Ejemplos:

1) Diremos que la suma de los primeros " " enteros impares positivos es , es decir, demostraremos8 82

que :

T 8 8 " œ 8 a8 8( ) : 1 + 3 + 5 + 7 + ........ + (2 ) ; , .2 %

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Solución:

1) Probemos que la fórmula es válida para = 18 (1) 1T œ 1 12 œLuego es válida para 18 œ

2) Supongamos valida la proposición para n, es decir:T 8 8 œ 8( ) : 1 + 3 + . . . + (2 1) .2

Trataremos de demostrar ahora, si es verdadera la proposición para n+1, es decir:T 8 " 8 " 8 œ 8 "( ): 1 + 3 + 5 + ... + (2 ) + ( 2 1) ( )2

en efecto:Sumando (2 ) a ambos lados de ( ), se tiene:8 " T 8

1 3 5 ...... (2 1) (2 ) (2 ) 8 8 " œ 8 8 "2

1 3 5 ....... (2 ) (2 ) 2 8 " 8 " œ 8 8 "2

1 3 5 ........ (2 ) (2 ) ( 1) 8 " 8 " œ 8 2

Por lo tanto , es válido para ( )8 "

2) Pruebe que 1 2 3 ......... ( ). 8 œ 8 8 ""

#

Solución:

1) Válida para 8 œ " ( ) , ya que se verifica:T " œ "

"

#† † œ ß 8 œ 1 ( 1 1) 1 luego es válido para 1

2) Supongamos que:

T 8 8 œ 8 8 " ß( ) : 1 2 3 ........... ( ) es verdadero probemos"#

si ( ) es verdadero.T 8 " Sumaremos ( ) a ambos lados y tendremos:8 "

1 2 3 ....... ( ) ( ) ( ) 8 8 " œ 8 8 " 8 ""#

1 2 3 .. ... ( ) 2 2

2 ÞÞ 8 8 " œ

8 8 8 2

1 2 3 .. ... ( ) 3 2

2 ÞÞ 8 8 " œ

8 8 2

1 2 3 .. ... ( ) ( 1 ) ( )

2 ÞÞ 8 8 " œ

8 8 #

1 2 3 .. ... ( ) ( ) ( 2 ) ÞÞ 8 8 " œ 8 " 8 "

#

Por lo tanto , es válido para ( )8 "

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162

Definición de Factorial:

Se le llama sucesión a la sucesión definida en forma recursiva de la siguiente manera:factorial,

(0) 1+ œ (1) 1+ œ . . . ( ) ( ) , ( )+ 8 œ 8 + 8 " a 8 %

es decir, la sucesión corresponde al producto de los enteros positivos desde 1 hasta inclusive. Elfactorial 8número natural ( se denomina y se denota por " ". Por lo tanto se tiene que :+ 8Ñ " factorial de " !8 80! = 1 ; 1! = 1; 2! = 2 1 = 2†8 œ 8 8 " 8 # † † 8! ( ) ( ) ....... 3 2 1 , es decir , ! ( ) !.œ 8 8 "

Ejemplos:

1) Calcular cada una de los siguientes factoriales: 4!, 5!, 9!, 12!2) Calcular cada una de las siguientes operaciones y simplificarlas.

a) b) c) d) 7 ! 8 ! 9 ! 100 !6 ! 5 ! 3! 7 ! 98 !

Definición de un Número Combinatorio. Por número combinatorio entenderemos una expresión de la forma que se lee " sobre "

Š ‹8

58 5

con ; , y que verifica:5 Ÿ 8 8 5% % 0

Š ‹ ! ! ( )!

8 8

5 5 8 5œ

Ejemplo: = = = = 21 7 ! 7 6 5! 7 6

2 ! 5 ! 2 ! 5! 1 2Œ ( † † †

# †

Observación: Es de importancia considerar que:

Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹8 8 8 88 8

8 " 80 1 = 1 ; = ; = ; = 1

Ahora como conocemos los conceptos de factorial y combinación, veamos el desarrollo completo de unbinomio:

Teorema del Binomio de Newton.

Si ; , entonces se tiene:8 + ,% % ‘

( + .......1 2 3

+ ,Ñ œ + + , + , + , 8 8 8 28 8 8" 8# 8$ $Š ‹ Š ‹ Š ‹

+ , ,8

5 "Š ‹ 8 5"Ñ 5" 5 ( ( )

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163

Expresión que se conoce con el nombre de " " el cual frecuentemente seTeorema del Binomio de Newtonescribe como sigue:

( ) + , œ + ,8

5

0

8 85 5

5œ

8" Š ‹Ejemplos: Desarrolle ( )+ , 9

Utilizando la forma general de binomio, se tiene:

( ) + , 9 œ + , 8 œ 5 œ8

5 9; 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9." Š ‹

5œ

885 5

0

( ) 9 9 9 9 90 1 2 3 4

+ , œ + , + , + , + , + ,9 9 0 8 1 7 2 6 3 5 4Œ Œ Œ Œ Œ .

9 9 9 9 95 6 7 8 9

+ , + , + , + , + ,Œ Œ Œ Œ Œ 4 5 3 6 2 7 8 0 9

( ) 9 9 • 8 9 • 8 • 7 9 • 8 • 7 • 6 1 • 2 1 • 2 • 3 1 • 2 • 3 • 4

+ , œ + + , + , + , + , 9 9 8 7 2 6 3 5 4

+ 9 • 8 • 7 • 6 • 5 9 • 8 • 7 • 6 • 5 • 4 9 • 8 • 7 • 6 • 5 • 1 • 2 • 3 • 4 • 5 1 • 2 • 3 • 4 • 5 •6

+ , + ,4 5 3 6 4 •3 1• 2 •3 • 4• 5 •6 • 7

++ ,2 7

9 • 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 •2 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8

+, ,8 9

( ) 9 36 84 126 126 84 + , œ + + , + , + , + , + , + , 9 9 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6

36 9 .+ , + , ,2 7 8 9

Desarrolle: ( 7) :+ 7

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 7 7 7 70 1 2 3 4

+ , œ + , + , + , + , +7 7 0 6 1 5 2 4 3 3Œ Œ Œ Œ Œ ( ) + ( ) ( ) ( )

7 7 75 6 7

, + , + , + ,4 2 5 6 o 7Œ Œ Œ

= 7 21 35 35 21 7 b+ + , + , + , + , + , +, 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7

Desarrolle : 2 2

Š ‹C B 5

Š ‹ Œ Œ Œ 2 = (2 ) ( ) (2 ) ( ) (2 ) ( ) + 2 0 2 1 2 2 2

5 5 5 C C C C

B B B B55 0 4 1 3 2

(2 ) ( ) + (2 ) ( ) + (2 ) ( )5 5 5 3 2 4 2 5 2Œ Œ Œ C C C

B B B2 3 1 4 0 5

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


164

Š ‹ 2 32 40 20 5 2 4 32

5C œ C C B C B C B C B

B B54 3 2 2 3 4&

&

Ahora veremos cómo determinar un término cualquiera sin necesidad de realizar el desarrollo completo delbinomio, gracias a la fórmula siguiente que nos permite encontrar el término de lugar -ésimo de unX< 8binomio de Newton.

Término - ésimo en el desarrollo del binomio de Newton.<

X œ B C8

< "<

8 <" <" Š ‹ ( )

Obtenga el 7 término en el desarrollo de: ( 3 )7o 10B #+

Solución: Con 10 y 78 œ < œ

> œ B +

710 (7 1) 7 1 (3 ) ( 2 )

107 1Œ

> œ B +74 6 ( 3 ) ( 2 )

106Œ

> œ B +74 6 ( 3 ) ( 2 )

10 • 9 • 8 • 7 • 6 • 51 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6

> œ B +74 6 210 • 81 • 64

> œ B +74 6 1088640

Obtenga el 5 término en el desarrollo de: 32

>o8Š ‹7

8

Solución: Con 8 y 58 œ < œ

> œ 854

4 • • ( 3 )84Œ Š ‹7

2

> œ 87

• • 81 8 • 7 • 6 • 5 1 • 2• 3 • 4 165

44

> œ 7 8 54 4

567016

> œ 7 854 4

28358

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


165

Determine el término central de : + 1Œ BB

12

Solución:

Sabemos que tiene 13 términos, luego el término central se obtiene en la séptima posición,Œ BB

+ 1 12

así: 8 œ "# C < œ (

> œ BB

66 6 • ( )

12 16Œ

> œ BB

66

6 924 • 1

> œ6 924

Determine el término que contiene a ( ) en el desarrollo de: 5

7 7B4

3 6Œ Solución : 8 = 6, así

> œ 7 7 œ 7< "

B<

< <" <" ( ) ( ) con ( ) ( )6

5Œ 37 4

Luego 5 , el término buscado es el 5% œ < " Ê < œ to

Así tenemos que :

> œ 7 œ 7 œB B $B 7

5

24

4 ( ) 15 • •

6 3 4 5 25 5Œ Œ ' '

4

Ejercicios propuestos.

1) Pruebe que:

a) 1 + 2 + 3 + ............ + ( ) ( 2 1)

62 2 2 28 œ

8 8 " 8

b) 1 + 2 + 3 + .............. + ( 1)14

3 3 3 3 2 28 œ 8 8

c) 1 + 2 + 3 + .............. + ( 1)(2 1)(3 + 3 )

304 4 4 4

28 œ

8 8 8 8 8 "

d) 1 + 5 + 5 + .............. + 5 (5 )14

2 8" 8œ "

e) (2 + ) + (4 + ) +..........+ (2 + ) 2 1 14 2

" "

# #œ "8 8"

8

8Œ f) es divisible por 2.8 82

g) [ ( 1 ) ] es divisible por 4.8 8 2

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


166

Desarrolle:

1) 2) 2 3

Š ‹ Š ‹+ C , œ B œ2 4

5 6

3) 2 5

Š ‹7 œ8 8

Solución:

1) 32 16 4 2 2

5 5 5 5+ + , + , + , +, ,

5 4 2 3 4 2 6 810

2) 2 + + + + 5 20 5 2 6

3 27 27 81 729B B C

B C B C B C B C C24 2016 2 12 3 8 4 4 5

3) 256 +1024 1792 1792 224 448

5 25 125 125 31257

7 8 7 8 7 8 7 8 787 5 3 4 4 3' #

7 8 7 8 8112 16

15625 78125 390625

2 6 7 8

Desarrolle:

Determine el:

a) Cuarto término de 3

Š ‹+ ,2

7

b) Séptimo término de ( 3 )B C2 3 12

c) Término central de 2

Š ‹: ;3

10

d) Coeficiente que acompaña el término central en 4

Š ‹7 83

8

e) Que contiene a en ( 2 )+ + ,2 6"#

f) Que contiene a en (2 ): ; :% 2 10

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


167

Solución:

a) 35

81

+ ,4 6

b) 673596 B C12 18

c) 63

8 : ;15 5

d) 35128

e) 60 + ,2 2

f) 11520 : ;4 8

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


168

"Þ Demuestra por inducción matemática que:

" & & ÞÞÞ & œ Ð& "Ñ# 8" 8"%

#Þ Aplica el binomio de Newton para expresar:

ÐB C Ñ$ $ &

$Þ B ÐB #Ñ Indica los valores de , de manera que el tercer sumando del desarrollo de %

sea igual a 48.

%Þ Ð# BÑ Determina el onceavo término en el desarrollo de "!

&Þ Ð ÑB B C #B

C % CDetermina, si existe, el término que contiene en el desarrollo de:

#& #"(

1.- La expresión es cierta para pues 8 œ "ß " œ Ð& "ÑÞ"%

Supongamos que la fórmula es cierta para con entero positivo, esto es:8 8

" & & ÞÞÞ & œ Ð& "Ñ# 8" 8"%

Demostremos que: +5 5" & & ÞÞÞ & œ Ð& "Ñ Î # 8" 8 8" 8"

%

" & " " "% % % % %

8 8 8 8 8"Ð& "Ñ & œ Ð& Ñ œ Ð & † & "Ñ œ Ð& "Ñ

2.- B &B C "!B C "!B C &B C C"& "# $ * ' ' * $ "# "&

3.- „ #È4.- B"!

5.- El término es el décimo

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


169

UNIDAD Nº 6

PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


170

Sucesión: Conjunto de números llamados términos, ordenados de una manera definida, es decir, existe unaregla por la cual se pueden encontrar los términos consecutivos una vez determinado el primero.

Definición de Progresión Aritmética

Llamaremos a una sucesión en que cada término después del primero se formaProgresión Aritméticasumando un número fijo llamado " diferencia " . Así si designamos por al primer término de la" "+1progresión, por a la diferencia entre los términos y al número de términos que la componen," " " " . 8tenemos: , , , ( )+ + . + #. + $. ß ÞÞÞ ß + 8 " .1 1 1 1

A dicha expresión la denotaremos por ( ) + 8 −8

Definición: Sean y dos números reales. Llamaremos . . de primer término " " y diferencia "+ . + T E. " a una sucesión ( ) de números reales, definida por recurrencia de la siguiente manera:+ 8 −8

, si , si + œ

+ 8 œ "+ . 8 #88"

œ

Término n-ésimo de una Progresión Aritmética

" " se llama término ésimo o término de lugar " " de la progresión y está dado por:+ 8 88

, + œ + 8 " .8 ( ) a 8 %

Suma de los " " primeros términos de P. A.8

Si ( ) es una . tenemos que la suma de los primeros términos está dada por:+ 8 − T ÞE 88

( )W œ #+ 8 " .8

#8 ‘

Ejemplos:

1) Considere la progresión aritmética determine:$ß (ß ""ß ÞÞÞ

a) El sexto término: ; ; + œ $ . œ % 8 œ ' + œ $ & † % œ #$6b) El 9 término: ; ; no + œ $ . œ % 8 œ * + œ $ ) † % œ $&9c) La suma de los 5 primeros términos:

W œ # † $ % † % œ &&&

#5 ‘

d) La suma de los 8 primeros términos:

W œ # † $ ( † % œ "$')

#8 ‘

e) La suma de los 10 primeros términos:

W œ # † $ * † % œ #"!"!

#10 ‘

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


171

Definición de Progresiones Geométricas

Llamaremos a aquella sucesión en que cada término después del primeroProgresión Geométricase obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado . Así, si denotamos por " " al"razón" +1primer término, " " a la razón y " " al número de términos que la componen, tenemos:< 8

+ + † < + † < ÞÞÞ + † <1 1 1 1 , , , , # 8"

Definición: Sean y dos números reales. Se llama P.G. de primer término " " y razón " " a+ < + < la sucesión ( ) de números reales definida por recurrencia.+ 8 −8

, si , si + œ

+ < œ "+ † < < #88"

œ

Término n-ésimo de una Progresión Geométrica

" " se llama término ésimo o término de lugar " " de la Progresión Geométrica y está+ 8 88

dado por:

+ œ + † <88"

Suma de los " " primeros términos de una P.G.8

Si ( ) es una P. G. se tiene que la suma de " " primeros términos está dada por:+ 8 − 88

W œ <+ <

<8

8

, si < 1 , y ( 1 )

1¸ ¸

, si > 1 ( )

W œ <

+ < "

< "8

8 ¸ ¸Ejemplos:

1) Consideremos la progresión geométrica , , ....... Determine:& "! #!ß

a) El 7 término: 79

Solución: ; ; + œ & < œ # 8 œ ( + œ & † # œ $#!7'

b) El 10 término:79

Solución: + œ & † # œ #&'!10*

c) Suma de los 7 primeros términos:

Solución: S( )

7 œ œ '$&& # "

# "

(

d) La suma de los 12 primeros términos:

Solución: ( )

W œ œ #!%(&& # "

# ""

"#

2

VIR

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IO G

OM

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172


1) Hallar el octavo término y la suma de los ocho primeros términos de la progresión: , , , . . .% ) "'

2) Hallar el dieciseisavo término de la progresión 4, , , ...( "!

3) Hallar la suma de los 12 primeros términos de la progresión , , , . . .$ ) "$

4) Hallar el séptimo término y la suma de los siete primeros términos de la progresión: , , . . .* ' %ß

5) Hallar el término 8 y la suma de los 10 primeros términos de la progresión:@o

, , , ' "# #% ÞÞÞ

6) Repartir $ entre personas de modo que cada persona reciba $ más que la anterior. ¿Cuánto"!!! "' &reciben la primera y la última?

7) Cuatro personas se reparten cierta suma de dinero, de modo que cada persona reciba veces lo que%reciba la anterior. Si la tercera persona recibió $ , ¿cuál fue la suma repartida?$#!

Solución:

1) + œ &"# W œ "!#!8 8

2) + œ %*16

3) W œ $''12

4) ; + œ W œ'% %'$

)" )"7 7

5) ; + œ (') W œ #!%'8 10

6) $ y $ #& "!!

7) $ "(!!

VIR

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IO G

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173

1.- Una alumna del IPVG decide trotar una determinada distancia cada semana, de acuerdo con el siguiente horario: la primera semana trotará 1.000 metros por día. Cada semana siguiente trotará 250 metros más por día de lo que trotó la semana anterior. a) ¿Qué distancia recorrerá por día en la semana número 26? b) ¿En cuál semana trotará 10.000 metros por día?

2.- La suma de los 15 primeros términos de una P.A. es 270. Determina el primer término y la diferencia si el décimo quinto término es 39.

3.- Determina el valor de tal que cada sucesión sea progresión aritmética::

: "ß : $ß $: "ß

4.- Determina el tercer término de una progresión geométrica con razón sexto#

$

término "#)

)"

5.- El octavo término de una P.G. es 243 y el quinto es 9. ¿Cuáles son los tres primeros términos de la P.G.?

1.- a) a y , . Luego metros por día en la" #'œ "Þ!!! . œ #&! 8 œ #' + œ (Þ#&! semana número 26.

b) La alumna trotará 10.000 metros por día en la semana número 37.

2.- y + œ $ . œ $

3.- y la progresión es :: œ % $ß (ß ""Þ

4.- a$ œ"'

$

5.- " "

* $ß ß "

VIR

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IO G

OM

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174

UNIDAD NºELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA

(

VIR

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IO G

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175

Conceptos previos:

1) es todo ángulo cuyo vértice coincide con el origen de un sistemaÁngulo en posición normal:de coordenadas rectangulares en donde el coincide con el eje positivo de las y el lado inicial ladoBterminal queda ubicado en algún cuadrante.

2) es un número real que representa cuantas veces debe rotar el lado inicialMedida del ángulo:para coincidir con el lado terminal. Si la rotación es antihorario, el ángulo tiene una medida positiva y si larotación es en sentido horario, la medida del ángulo es negativa. Para medir ángulos se usan principalmenteel y el sistema sexagesimal sistema radian.

3) es la medida del ángulo del centro de una circunferencia que subtiendeUn grado sexagesimal:un arco de longitud de la longitud de la circunferencia."

$'!

4) es la medida de un ángulo del centro de una circunferencia que subtiende un arcoUn radián:igual al radio de la circunferencia.

VIR

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IO G

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176

Relación entre el sistema sexagesimal y el sistema radián

Dado un ángulo cualquiera este se puede expresar en grados sexagesimales o en radianes; larelación entre dichos sistemas está dada por:

$'! œ #º rad1 Luego:

º °

rad")!

œ1 !

!

con º ángulo medido en grados! œ rad ángulo medido en radianes! œ

Ejemplos:

1) 540º 3 rad 2) 90º rad2

œ œ11

3) 30º rad 4) 120º rad6 3

2œ œ

1 1

5) 60º rad 6) 45º rad3 4

œ œ1 1


I) Transformar a radianes À

+Ñ "& ,Ñ #(! -Ñ "$& .Ñ $#!° ° ° °

II) Transformar a grados À

+Ñ ,Ñ -Ñ .Ñ" & " &

# % ' $1 1 1 1

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177

Soluciones

I)

+Ñ ,Ñ -Ñ .Ñ1 3 3 16

12 2 4 9 1 1 1 1

II)

+Ñ ,Ñ -Ñ .Ñ90º 225° 30º 300°

Funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo

La trigonometría, se refiere a la medida de los lados y los ángulos de un triángulo. Para iniciarnos en éste tópico primeramente hablaremos de un tipo especial de triángulo, elrectángulo, para luego generalizar con los distintos tipos de triángulos.

Teorema de Pitágoras: Sea ABC un triángulo rectángulo en C y sean los lados a y b catetos del triángulo y sea el lado c(frente al ángulo recto) a quién llamaremos hipotenusa.

B

β

a c

αC Ab

Se tiene : - œ + ,# # #

Ejemplos: Para cada triángulo rectángulo determine el lado que falta:1Ñ

B œ $ %# # #

B œ * "'#

B œ #&# È B œ &

VIR

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178

2)

"$ œ B &# #2

"'* œ B #&2

"'* #& œ B2

"%% œ B2

"# œ B

Recordemos que en un triángulo rectángulo se verifican las siguientes relaciones geométricas:

1) 90º de donde 90º ! " " ! œ œ

2) (Teorema de Pitágoras)- œ + ,2 2 2

Definiciones de las funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo:

Dado el triángulo rectángulo en C:

B

β

a c

αC Ab

Seno de un ángulo: Es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. El seno del ángulo se abrevia =/8así:

=/8 œ+

-!

=/8 œ,

-"

Coseno de un ángulo: Es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa. El coseno del ángulo se abrevia-9= así:

-9= œ,

-!

-9= œ+

-"

VIR

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IO G

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EZ


179

Tangente de un ángulo: Es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente. La tangente del ángulo seabrevia así>1 À

>1 œ >1 œ+ ,

, +! "

Como consecuencia inmediata de éstas definiciones se obtienen las relaciones también llamadasRecíprocas.

Cotangente de un ángulo: Es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto. La contangente del ángulo seabrevia :-9>1

-9>1 œ -9>1 œ, +

+ ,! "

podemos decir también que :

1

-9>1 œ>1

!!

Secante de un ángulo: Es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo, la secante del ángulo se abrevia=/- . Para el ángulo y se obtiene respectivamente:! "

; =/- œ =/- œ- -

, +! "

podemos decir también que :

1

=/- œ

-9=!

!Cosecante de un ángulo: Es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo. La cosecante del ángulo se abrevia-9=/- . Para el ángulo y se tienen respectivamente:! "

; -9=/- œ -9=/- œ

- -

+ ,! "

podemos decir también que:

1

-9=/- œ

=/8!

!

De lo anterior resulta: =/8 œ -9=! " -9= œ =/8! " >1 œ -9>1! " -9>1 œ >1! "

Pero 90° . Luego, podemos escribir la siguiente conclusión importante:" !œ

=/8 œ -9= -9= œ =/8 >1 œ -9>1 -9>1 œ >1

(90° ) (90° )

(90° ) (90° )

! !! !! !! !

Nota: La función de un ángulo agudo es igual a la cofunción de su complemento.

Ejemplos:1) 70º 20º-9= œ =/82) 25º 65º-9>1 œ >1

VIR

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IO G

OM

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180

3) Los catetos de un triángulo rectángulo en C miden 15 cm y 20 cm. Calcule las funciones de losdos ángulos agudos.Solución: Primeramente se calcula la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras.-

c = 20 + 152 2 2

c = 400 + 2252

c = 625 c = 252 ÊLuego:

20 cm 4 15 cm 325 cm 5 25 cm 5

=/8 œ œ =/8 œ œ! "

15 cm 3 20 cm 425 cm 5 25 cm 5

-9= œ œ -9= œ œ! "

20 cm 4 15 cm 315 cm 3 20 cm 4

>1 œ œ >1 œ œ! "

15 cm 3 20 cm 420 cm 4 15 cm 3

-9>1 œ œ -9>1 œ œ! "

25 cm 5 25 cm 520 cm 4 15 cm 3

-9=/- œ œ -9=/- œ œ! "

25 cm 5 25 cm 515 cm 3 20 cm 4

=/- œ œ =/- œ œ! "

Nota: Si se desea calcular los valores de y basta saber por ejemplo que: , se aplica! " !=/8 œ !ß )=/8 !ß ) œ &$ß "$ œ 1( ) º .! De igual forma si se sabe que se tiene que: ( ) ° .=/8 œ !ß ' =/8 !ß ' œ $'ß )( œ" " 1

Recuerde que º; el valor de pudo obtenerse reemplazando en! " " ! œ *! ° º" !œ *! œ $'ß )(

4) ¿Cuál es la altura de un edificio si la visual dirigida al borde del techo, desde una distancia de 40m de la pared, mide 38º?Solución: Veamos el dibujo que representa la situación:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


181

Conocemos el ángulo y el cateto adyacente a él, teniendo como incógnita el lado opuesto alángulo; la función que relaciona a éstos tres elementos es el de tangente;luego: 38º>1 œ

B

%!

38º m.%! >1 œ B Ê B œ $"ß #&

Signos de las funciones Dada una circunferencia unitaria radio igual uno , la dividiremos en cuatro regiones llamadasa bcuadrantes.

Se toma un punto P que está en la circunferencia unitaria y se tiene queÐBß CÑP P , con un ángulo en posición normal.ÐBß CÑ œ Ð-9= ß =/8 Ñ! ! ! Según esto es posible observar lo siguiente À

Ubicación PIIIIIIIV

a b! ! ! !-9= =/8 >1

VIR

GIN

IO G

OM

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182

Como P P , entoncesa b a b a b a b! ! ! ! !œ -9= ß =/8 À -9= =/8 œ "# #

-9= =/8 œ " B C œ "# # # #! ! a b Valores de las funciones coseno, seno y tangente para ángulos de:

!ß ß ß ß #" $

# #1 1 1 1

P! ! ! ! !

1

1

1

1

a ba ba ba ba ba b

-9= =/8 >1! "ß ! " ! !"

#!ß " ! " _

"ß ! " ! !$

#!ß " ! " _

# "ß ! " ! !

Se ha indicado los signos de los puntos P ubicados en los distintos cuadrantes, que tambiéna bBß Ccorresponden a los signos de las funciones trigonométricas coseno y seno, respectivamente, así tenemos: Si el ángulo tiene su lado terminal en el segundo cuadrante, determinaremos cuanto nos falta paracompletar 180º, preocupándonos además del signo que le corresponde a la función en dicho cuadrante, esdecir:

=/8 œ =/8 -9= œ -9= ( 180° ) y (180° )! ! ! !

Ejemplos:

150º 30º =/8 œ =/8 œ"

#

120º 60° -9= œ -9= œ "

# 135º 45º 1>1 œ >1 œ

Si el ángulo tiene su lado terminal en el tercer cuadrante determinaremos cuán superior a 180º esel ángulo, es decir: ( 180º )=/8 œ =/8 ! ! ( 180º )-9= œ -9= ! !Nota: con 180º.! Ejemplos:

210º 30º = =/8 œ =/8 "

# 225º 45º 1>1 œ >1 œ

Si el ángulo tiene su lado terminal en el cuarto cuadrante determinaremos cuanto nos falta paracompletar 360º. Así se tiene que: (360° )=/8 œ =/8 ! ! (360° )-9= œ -9= ! !

Ejemplos:

º º º º

=/8 $!! œ =/8 '! œ -9= $$! œ -9= $! œ$ $

# #

È È

º º º º

=/- $"& œ =/- %& œ œ # -9>1 $!! œ -9>1 '! œ

# $

# $È È È

VIR

GIN

IO G

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EZ


183


Resolver sin calculadora:

" =/8"#! -9="#! #-9=/- "&!) º º º œ# -9=#"! =/- #%! $>1##& œ) º º º $ =/8$$! -9>1 $"& -9=$!! œ) º º % =/8"&! $>1 $"& (-9=/- #"! œ) º º º

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º º

Soluciones

" # $ ! % "$ ( # $

# #) ) ) ) È È

& # $ ' % & $) ) È È È

Ángulos de Depresión y Elevación

Un es aquel que se forma desde la línea de vista horizontal del observadorángulo de depresiónhasta un objeto abajo de ésta. El es aquel que se forma desde la línea de vistaángulo de elevaciónhorizontal del observador hasta un objeto situado arriba de ésta. En la figura el ángulo de depresión del punto A al punto B es y el ángulo de elevación del punto!B al punto A es . Dado que ambos ángulos se miden a partir de las líneas horizontales, las cuales son"paralelas, la línea de vista AB es transversal, y como los ángulos opuestos internos de dos líneas paralelasson iguales se tiene que: .! "œ

Ejemplos:1) De lo alto de un faro, de 120 m sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión de un bote es de 15º¿A que distancia está el bote del faro?

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


184

Solución: Conocemos el ángulo (15°), el lado opuesto al ángulo y desconocemos el cateto adyacente, lafunción trigonométrica que relaciona estos valores es la función tangente. Obteniéndose:

15º 447, 846 m120 120

15º>1 œ Í B œ œ

B >12) Encuentre la altura de un poste, si el ángulo de elevación de su parte superior cambia de 18º a39º. Cuando el observador avanza 20 m.

Solución:

En el triángulo rectángulo ABC, 18º ; luegoACCB

-9>1 œ

AC CB 18º ó bién DC + 20 CB 18º.œ † -9>1 œ † -9>1

En el triángulo DBC; 39º = ; luego DC CB 39º.DCCB

-9>1 œ -9>1

Se tiene : DC = CB 18 20 CB 39º; es decir :-9>1 œ -9>1

CB 18º CB 39º 20-9>1 -9>1 œ

CB ( 18º 39º) 20-9>1 -9>1 œ

CB20

18º 39º œ

-9>1 -9>1

CB 10, 85 m.20

3, 077 1, 234 œ œ

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


185

Luego: DC = 10,85 39º = 13, 39 m.† -9>1

La altura del árbol apróximadamente es de 10, 85 m.

3) ¿Qué longitud debe tener una escalera tal que inclinada respecto al terreno en un ángulo de 72ºalcanza hasta el borde de una ventana ubicada a 8 mts de altura?.

Solución:

72º8

=/8 œB

8 8 72º 0, 95106

B œ œ=/8

8, 41 m.B œ


1) Un árbol de 30 metros de alto arroja una sombra de 36 metros de largo. Hallar el ángulo deelevación del sol.

2) Cuando el sol está 20º sobre el horizonte. ¿Qué largo tiene la sombra que proyecta un edificio de45 metros de alto?

3) De lo alto de un faro que emerge 36 metros sobre el mar, el ángulo de depresión de un bote es de15º. ¿A qué distancia está el bote del faro?.

4) Un hombre conduce durante 150 metros a lo largo de una vía inclinada 20º sobre la horizontal. ¿Aqué altura se encuentra sobre su punto de partida?

5) Un árbol quebrado por el viento forma un triángulo rectángulo con el suelo. Si la parte quebradahace un ángulo de 50º con el suelo y si la copa del árbol esta ahora a 6 metros de su base. ¿Qué altura teníael árbol?.

6) Dos edificios de cubierta plana distan 18 metros. Del techo del más bajo de 12 metros de alto, elángulo de elevación del borde del techo del más alto es de 40º. ¿Cuál es la altura del edificio más alto?.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


186

7) Dos caminos rectos se cortan bajo un ángulo de 75º . Hallar la mínima distancia de uno de ellos auna estación de gasolina que está sobre el otro a 300 metros del cruce.

Soluciones

1) El ángulo de elevación es de 40º.

2) El largo de la sombra del edificio es de 124 metros.

3) La distancia del bote al faro es de 134 metros.

4) La altura corresponde a 51 metros.

5) La altura del árbol es de 16,48 metros.

6) La altura del edificio más alto corresponde a 27 metros.

7) La mínima distancia corresponde a 290 metros.

Anteriormente, vimos como se resuelven problemas usando como referencia triángulos rectángulos. Ahora,resolveremos problemas usando cualquier tipo de triángulo con los teoremas del Seno y Coseno.

Teorema del seno

En todo triángulo ABC de ángulos , y se cumple:! " #

+ , -

=/8 =/8 =/8œ œ

! " #

Ejemplo:1) ¿Cuál es la altura de un cerro?, si las visuales dirigidas a la cumbre desde dos puntos situados a100 metros forman respectivamente con la horizontal un ángulo de 30º y 50º.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


187

Se sabe que el ángulo ACB = 20º; pués 20º + 30º = 50º

= z 100

sen 30º sen 20º

z = 100

0, 342†"

#

z = 146, 2 metros.

Por otra parte, en el triángulo BDC se tiene:

sen 50º = h = 146,2 sen 50ºhz

Í †

h = 112 metros es la altura del cerro.

Teorema del coseno

En todo triángulo ABC de ángulos , y se cumple:! " #

+ œ , - #,- -9=# # # ! , œ + - #+- -9=# # # " - œ + , #+, -9=# # # #

2) Un avión está a 150 Km. de una estación de radar y se desplaza con rumbo NE de 50°, unsegundo avión está a 220 Km. de la estación y vuela con rumbo SE de 70°. ¿Cuál es la distancia entre losdos aviones?.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


188

Por teorema del coseno À

a b a b a b a ba ba ba bAB ° AB# # #œ "&! ##! # "&! ##! -9= '! Ê œ "*%ß '(*

Los dos aviones están separados por Km."*%ß '(*

3) Un mástil está sujeto por dos cables, de modo que los tirantes quedan a lados opuestos, losángulos que forman los tirantes con el suelo son 28° y 48°. Si la distancia entre las cuñas es de 50 m.¿Cuánta cantidad de cable se ha gastado? ¿Cuál es la altura del mástil?

Por teorema del seno À

, &! &! =/8 %)

=/8%) =/8 "!% =/8 "!%œ Ê , œ Ê , œ $)ß #*

° ° °°

+ &! &! =/8 #)

=/8#) =/8 "!% =/8 "!%œ Ê + œ Ê + œ #%ß "*

° ° °°

En triángulo CDB À

=/8 %) œ Ê #%ß "* Ð=/8 %) Ñ œ 2 Ê "(ß *) œ 22

#%ß "*° °a b

Se ha gastado metros de cable.'#ß %)

El mástil mide metros de alto."(ß *)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


189


"Ñ Un piloto vuela desde A, 125 Km en la dirección NO 38º y regresa. Por un error, el piloto vuela

125 Km en la dirección SE 51º. ¿A qué distancia quedó de A y en que dirección debe volar para regresar

al punto de partida?.

#) AB son dos puntos de orillas opuestas de un río. Desde A se mide una base recta AC = 275

metros y se miden los ángulos CAB = 125º y ACB = 49º. Hallar la longitud de AB.

$) Una torre de 125 metros de altura está sobre una roca en la orilla de un río. Desde lo alto de la

torre el ángulo de depresión de un punto de la orilla opuesta es de 29º y desde la base de la torre el ángulo

de depresión del mismo punto es de 18º. Hallar el ancho del río y la altura de la roca.

Soluciones

1) El piloto debe volar en dirección SO 45, 72º una distancia de 28,3 Km para

llegar de C a A.

#Ñ La longitud de AB corresponde a 1986 metros.

$) El ancho del río posee 544 metros.

La roca posee una altura de 177 metros.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


190

Identidades Trigonométricas

Es una igualdad válida para valores de !Þ Existen dos métodos para resolverlas À

a) Transformar uno de los dos costados hasta llegar al otro lado. b) Transformar ambos lados por separado hasta obtener expresiones equivalentes.

Es necesario para estos ejercicios usar las siguientes identidades fundamentales À

"Ñ =/8 -9= œ " # #! !

#Ñ " >1 œ =/- # #! !

$Ñ " -9>1 œ -9=/- # #! !

%Ñ =/8 † -9=/- œ " ! !

&Ñ -9= † =/- œ " ! !

'Ñ >1 † -9>1 œ " ! !

(Ñ >1 œ=/8

-9= !

!

!

)Ñ -9>1 œ-9=

=/8 !

!

!

Existen otras identidades trigonométricas que se utilizarán más adelante y que enunciamos acontinuación:"Ñ =/8 # œ # =/8 -9= ! ! !

#Ñ -9= # œ -9= =/8 ! ! !# #

$Ñ >1 # œ# >1

" >1 !

!

!#

%Ñ =/8 œ" -9= #

# #!

!

&Ñ -9= œ" -9= #

# #!

!

Ejemplos À"Ñ =/8 † =/- œ =/- " # # #! ! !

=/8 † =/- œ =/8 †"

-9=# # #

#! ! !

!

œ=/8

-9=

#

#

!

!

œ >1#!

œ =/- "#!

Por lo tanto, =/8 † =/- œ =/- "# # #! ! !

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


191

#Ñ œ #=/8 B ">1B -9>1B

>1B -9>1B #

>1B -9>1B

>1B -9>1Bœ

=/8B -9=B

-9=B =/8B

=/8B -9=B

-9=B =/8B

œ

=/8 B -9= B

-9=B =/8B=/8 B -9= B

-9=B =/8B

# #

# #

œ †=/8 B -9= B -9=B =/8B

-9=B =/8B "

# #

œ =/8 B " =/8 B# #a b œ #=/8 B "#

Por lo tanto,>1B -9>1B

>1B -9>1Bœ #=/8 B "#

3) =/- † -9=/- œ =/- -9=/-# # # #) ) ) )

=/- † -9=/- œ " "

-9= =/8# #

# #) )

) )

=/- † -9=/- œ

=/8 -9=

-9= † =/8# #

# #

# #) )

) )

) )

=/- † -9=/- œ"

-9= † =/8# #

# #) )

) )

=/- † -9=/- œ †" "

-9= =/8# #

# #) )

) )

=/- † -9=/- œ =/- † -9=/-# # # #) ) ) )

Por lo tanto, =/- † -9=/- œ =/- -9=/-# # # #) ) ) )

4) ( ) ( ) " -9= " =/- † -9>1 œ =/8) ) ) )

( ) " =/- -9= -9= † =/- -9>1 œ =/8) ) ) ) ) )

-9>1 =/- † -9>1 -9= † -9>1 -9= † =/- † -9>1 œ =/8) ) ) ) ) ) ) ) )

-9= " -9= -9= " -9=

=/8 -9= =/8 =/8 -9= =/8 † -9= † -9= † † œ =/8

) ) ) )

) ) ) ) ) )) ) )

" -9=

=/8œ =/8

# )

))

=/8

=/8œ =/8

#)

))

=/8 œ =/8) )

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


192

Por lo tanto, ( ) ( ) " -9= " =/- † -9>1 œ =/8) ) ) )

5 Ñ œ>1B =/-B -9>1B -9=/-B

-9>1B -9=/-B >1B =/-B

>1B =/-B >1B =/-B -9>1B -9=/-B

-9>1B -9=/-B -9>1B -9=/-B -9>1B -9=/-Bœ †

œ>1B =/-B -9>1B -9=/-B

-9>1 B -9=/- B

a ba b# #

œ †>1B =/-B -9>1B -9=/-B >1B =/-B

" >1B =/-B

a ba b

œ-9>1B -9=/-B >1 B =/- B

" >1B =/-B

a ba ba ba b# #

œ-9>1B -9=/-B "

" >1B =/-B

a ba ba ba b œ

-9>1B -9=/-B

>1B =/-B

Por lo tanto,>1B =/-B -9>1B -9=/-B

-9>1B -9=/-B >1B =/-Bœ


Demuestre las siguientes identidades:

1 Ñ =/- C =/8 C œ-9= C =/- C

-9=C =/-C# #

$ $

2 Ñ œ-9>1 -9=/- " =/8

-9>1 -9=/- " " -9=

9 9 9

9 9 9

3 Ñ " =/8 -9= œ # " =/8 " -9=a b a ba b9 9 9 9#

4 Ñ -9=/- -9>1 " -9=/- -9>1 " œ #-9>1a ba b9 9 9 9 9

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


193

Funciones trigonométricas inversas De las funciones trigonométricas biyectivas es posible definir las funciones trigonométricasinversas, es decir, conocido el valor de una función trigonométrica averiguar el ángulo que genera estevalor. Las funciones trigonométricas biyectivas son:

=/8 À ß È "ß "# #

’ “ ‘1 1

B È C œ =/8B

-9= À !ß È "ß " ‘ ‘1

B È C œ -9= B

>1 À ß È# #

“ ’1 1‘

B È C œ >1 B

Las funciones así redefinidas poseen inversa.

a) Función inversa del seno À

La función inversa del seno denotada por ó , se define como la función inversa de lasen Arcsen-1

función seno restringuida .C œ =/8B

: E<-=/8 "ß " È ß# #

‘ ’ “1 1

B È C œ E<-=/8B

La inversa de seno de o el Arcseno de es el número o ángulo ,

B B C Ÿ C Ÿ# #

1 1

ß B C œ E<-=/8B Í B œ =/8Ccuyo seno es , es decir,

b) Función inversa del coseno À

La función inversa del coseno denotada por ó , se define como la función inversa decos Arccos-1

la función coseno restringuida .C œ -9=B

:E<--9= "ß " È !ß ‘ ‘1 B È C œ E<--9=B

La inversa de coseno de o el Arccoseno de es el número o ángulo , B B C ! Ÿ C Ÿ 1ß B C œ E<--9=B Í B œ -9=Ccuyo coseno es , es decir,

c) Función inversa de tangente À

La función inversa de tangente denotada por ó , se define como la función inversa de latg Arctg-1

función tangente restringuida .C œ >1B

E<->1 À È ß# #

‘1 1“ ’

B È C œ E<->1 B

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


194

La inversa de tangente de ó el Arcotangente de es el número o ángulo ,

B B C C # #

1 1

ß B C œ E<->1B Í B œ >1Ccuya tangente es , es decir,

Identidades de una función con su inversa

"Ñ =/8 =/8 B œ B " Ÿ B Ÿ "a b"

#Ñ =/8 =/8B œ B Ÿ B Ÿ# #

"a b

1 1

$Ñ -9= -9= B œ B " Ÿ B Ÿ "a b"

%Ñ -9= -9= B œ B ! Ÿ B Ÿ"a b 1 &Ñ >1 >1 B œ B B −a b" Para todo ‘

'Ñ >1 >1 B œ B B # #

"a b

1 1

Ecuaciones Trigonométricas

Son ecuaciones en las que la incógnita está comprendida en funciones trigonométricas, es decir,en que la incógnita es un ángulo. Para resolverlas se considerará que el intervalo de trabajo es 0, .Ò # Ó1 No existe un método general para resolver ecuaciones trigonométricas, depende de la forma quepresenten, veamos algunos ejemplos.

Ejemplos À

"Ñ =/8> œ -9=> Î À -9=>

=/8 >

-9= >œ "

>1 > œ " Í > œ E<->1 " Í > œ%

"1

Pero como debemos encontrar todas las soluciones en el intervalo 0, , entoncesÒ # Ó1

> œ œ% %

&# 1 1

1

Comprobación À

=/8 -9= Ê œ > œ% % %

" "

# #

1 1 1? Luego es solución de la ecuaciónÈ È "

=/8 -9= Ê œ > œ& & " " &

% % %# #1 1 1 ? Luego es solución de la ecuaciónÈ È #

Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación es ,š ›11

% %

&

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


195

#Ñ #-9= =/8 " œ !#9 9

# " =/8 =/8 " œ !a b#9 9# #=/8 =/8 " œ !#9 9

#=/8 =/8 " œ !#9 9

Sea entonces ? œ =/8 ß #? ? " œ !9 #

? œ " „ " )

%

È

? œ Ê ? œ " $ "

% #" "

? œ Ê ? œ " " $

%# #

=/8 œ Í œ E<-=/8 Í œ" "

# # '9 9 9

1"


9 1 11

# œ œ' '

&

=/8 œ " Í œ E<-=/8 " Í œ$

#9 9 9 1a b $

Comprobación À

#-9= =/8 " ! Ê # " œ ! œ' ' % # '

$ "#"

1 1 19 ? Luego es solución de Œ

la ecuación

#-9= =/8 " ! Ê # " œ ! œ& & $ " &

' ' % # '#

#1 1 9 1 ? Luego es soluciónŒ de la ecuación

#-9= =/8 " ! Ê # ! " " œ ! œ$ $ $

# # ##

$1 1 9 1 ? Luego es solucióna b de la ecuación

Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación es ,š ›11 1

' ' #

& $ß

$Ñ =/8#B œ =/8B #=/8B -9= B œ =/8B

#=/8B -9= B =/8B œ !=/8B #-9= B " œ !a b=/8 B œ ! Í B œ E<-=/8 ! Í B œ !"

Pero como debemos encontrar todas las soluciones en el intervalo , entonces: Ò !ß # Ó1 yB œ ! œ B œ # ! œ ## $1 1 1 1

#-9= B " œ ! Í -9= B œ Í B œ E<--9= Í B œ" "

# # $%

1

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


196


B œ # œ$ $

&& 1 1

1

Comprobación À

=/8! =/8! Ê ! œ ! B œ ! ? Luego es solución de la ecuación"

=/8# =/8 Ê ! œ ! B œ1 1 1 ? Luego es solución de la ecuación#

=/8% =/8# Ê ! œ ! B œ #1 1 1 ? Luego es solución de la ecuación$

=/8 =/8 Ê œ B œ# $ $

$ $ # # $1

1 1 ? Luego es solución de la ecuación

È È%

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$ $ # # $1 1 1 ? Luego es solución de la ecuación

È È&

Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación es ,š ›!ß ß # ß$ $

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1

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radianes=/8 œ Í œ E<-=/8 Í µ "ß #)(!#% #%

#& #&) ) )%

Pero como debemos encontrar todas las soluciones en el intervalo 0, , entoncesÒ # Ó1) 1& œ "ß #)(! µ "ß )&%&*

Comprobación À

$=/8 ! %-9=! % Ê ! % œ % œ ! ? Luego es solución de la)" ecuación

$=/8 %-9= % Ê ! % Á % œ1 1 ) 1? Luego no es solución de la#

ecuación$=/8 # %-9= # % Ê ! % œ % œ #1 1 ) 1? Luego es solución de la$

ecuación

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


197

$=/8 "ß #)(! %-9= "ß #)(! % Ê % œ % œ "ß #)(!? Luego es solución de la)% ecuación

$=/8"ß )&%&* %-9="ß )&%&* % Ê "ß (' Á % œ "ß )&%&*? Luego no es solución )& de la ecuación

Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación es ,š ›! # ßE<-=/8#%

#&1


Resolver las ecuaciones trigonométricas: para todo tal que B ! Ÿ B Ÿ #1

" #=/8 " œ !) !

# =/8 † -9= œ) 0 9 9

$ >1B " =/8 B $ œ) ( )(4 ) 0#

% =/8 =/8 # œ) + 0#! !

& -9= B œ =/8 B) 3 # #

' =/- œ >1 -9>1) 2 + " " "

( -9=B =/8B œ) 3 1È

Soluciones

" œ # œ à à #) ; ) 0 ; ; 6 6 2 2

5 3! 9 1 1

1 1 1 1

$ B œ % œ) ; ; ; ; ; ) 4 3 3 4 3 3 2

2 5 4 51 1 1 1 1 1 1!

& B œ ' œ) ; ; ; ) ; 3 3 3 3 6 6

2 4 5 51 1 1 1 1 1"

(Ñ B œ ! à à #%

$

11

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


198

1.- Convierte el ángulo dado en grados sexagesimales :

a) = b) ! "1(

'œ #

2.- Si es un ángulo agudo y sen , determina los valores de las demás" " œ#

(

funciones trigonométricas en "Þ

3.- Un volantin queda atascado en las ramas más altas de un árbol. Si la cuerda del

volantin mide 90 pies y forma un ángulo de 22º con el suelo, determina en forma

estimativa la altura del árbol encontrando la distancia que hay entre el volantin y

el suelo.

4.- Si y al II cuadrante, determina el valor de :>1 œ −#

$! !

°

° °=/8Ð*! Ñ -9= Ð")! Ñ

>1Ð#(! Ñ ->1 Ð$'! Ñ

° ! !

! !

5.- Verifica la identidad : sen cos1

! !! !

† œ>1 -9>

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


199

1.- a) º b) º! "œ #"! œ ""%ß &*

2.- = , tg =

-9= ß -=- œ ß =/- œ -9> œ$ & # & ( ( & $ &

( "& # "& #" " " " "

È È È È

3.- = 39,8°!

4.- La altura estimada del árbol es de 33,71 pies.

&Þ œ>1 -9> =/8 -9=

-9= =/8

- 1 1

! ! ! !

! !

1

œ=/8 -9=

=/8 † -9=

# #! !

! !

œ œ =/8 † -9==/8 † -9==/8 -9=

! !! !

! !# #

algebra-u de concepcion

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