algebra lineare spazi vettoriali e.f. orsega – università ca foscari di venezia ch
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Algebra lineare
Spazi vettoriali
E.F. Orsega – Università Ca’ Foscari di Venezia
CH
E.F. Orsega – Università Ca’ Foscari di Venezia
Nota:Le diapositive contrassegnate in alto a destra
con un quadratino verde ( ) si possono anche “saltare” ai fini dell’esame, anche se costituiscono parti di
importante valenza culturale.
Quelle invece contrassegnate con un quadratino rosso( ) hanno rilevanza fondamentale ai fini dell’esame.
Tali connotazioni a volte variano a seconda del corso di laurea
E.F. Orsega – Università Ca’ Foscari di Venezia
Premessa
(Da: “Lezioni di Metodi Matematici della Fisica ”, di C. Villi, T.A. Minelli, A. Pascolini - Università di Padova. - Ed. CLEUP, Padova)
Lo spazio, nella sua accezione più grossolana, è' ciò che ci circonda, ciò in cui possiamo muoverci, avanti o indietro, a destra o a sinistra, in alto,o in basso: in altre parole, lo spazio è ciò in cui siamo abituati a misurare la lunghezza dei segmenti e la distanza fra due punti. Più in generale, lo spazio è l’ambiente in cui avvengono i fenomeni fisici: esso è detto anche spazio fisico. Lo spazio geometrico è uno spazio astratto. Le misure di lunghezze di segmenti e di distanze fra punti dello spazio fisico coincidono con analoghe quantità definite e calcolate nello spirito della geometria, euclidea : ciò genera la grande illusione che la geometria dello spazo fisico sia quella euclidea. Il vuoto possiede una sua costante dielettrica e una sua permeabilità magnetica: il vuoto non è spazio geometrico bensì spazio fisico.
E.F. Orsega – Università Ca’ Foscari di Venezia
Lo spazio fisico è lo spazio geometrico riempito dal campo gravitazionale e da campi elettromagnetici. Solo una parte limitata (su scala cosmica) dello spazio fisico è descrivibile dalla geometria euclidea: esso verrà detto spazio ordinario.Nello spazio ordinario si definiscono degli enti di natura vettoriale caratterizzati da un punto di applicazione, direzione e verso. Le forze, le velocità, ecc. sono vettori definiti in spazi astratti (spazio delle forze, spazio delle velocità, ecc.): tali spazi posseggono le stesse proprietà formali dello spazio, euclideo. Lo spazio euclideo è un modello per concepire lo spazio ordinario e gli spazi astratti in cui sono definiti vettori che rappresentano quantità fisiche (forze, velocità, ecc.) agenti nello spazio ordinario. In altre parole, lo spazio euclideo, simula correttamente ciò che circonda, cioè lo spazio ordinario in cui avvengono i fenomeni fisici, ma non è lo spazio ordinario : lo spazio ordinario mutua da quello euclideo il formalismo, matematico.
E.F. Orsega – Università Ca’ Foscari di Venezia
Questa simbiosi porta a generalizzare il concetto di spazio anche
a ciò che non ci circonda, che non ha alcuna corrispondenza con
lo spazio ordinario ed è una pura invenzione della mente, nel
senso che è descrivibile mediante enti matematici e in esso sono
adeguatamente definite delle quantità che hanno le stesse
proprietà delle lunghezze di segmenti e delle distanze fra punti
nello spazio ordinario, ovvero delle norme e delle distanze fra
punti in quello euclideo. Il concetto di spazio può altresì essere
generalizzato anche senza alcun riferimento a norme e distanze,
partendo da altre operazioni che si possono compiere nello
spazio ordinario, quale, ad esempio, la somma dei segmenti
secondo la regola del parallelogramma.
Calcolo vettoriale
E.F. Orsega – Università Ca’ Foscari di Venezia
Calcolo vettoriale
E.F. Orsega – Università Ca’ Foscari di Venezia
L’introduzione del concetto di vettore, e il conseguente calcolo vettoriale è, curiosamente, nato (nel sec. XIX, sostanzialmente nella rappresentazione algebrica, detta anche analitica – v. più avanti) come una componente di “strani” enti, piuttosto complicati e di difficile applicazione pratica: i quaternioni di Hamilton.
Sir William Rowan HAMILTON
(Dublino, 1805-1865)
Calcolo vettoriale
E.F. Orsega – Università Ca’ Foscari di Venezia
Lo svipuppo del calcolo vettoriale è dovuto principalmente ad alcuni eminenti fisici e matematici, tra i quali spiccano:
James Clerk MAXWELL(Edinburgo, 1831-1879)
Josiah Willard GIBBS
(U.S.A., 1839-1903)
Oliver
HEAVISIDE
(Londra,
1850-1925)
Hermann Günter
GRASSMAN
(Prussia,
1809-1877)
A
B
C
D
F
E
Segmenti orientati Segmenti orientati equipollenti:equipollenti:
hanno stessihanno stessi
modulo modulo (lunghezza), (lunghezza),
direzionedirezione, ,
verso verso
RappresentanoRappresentanogeometricamente geometricamente lo stesso lo stesso VETTOREVETTOREnello spazionello spazio
I vettorivettori rappresentati come segmenti orientati
(rappresentazione geometrica)
si intendono con l’origine coincidente con l’origine del sistema di riferimento (assi coordinati) eccetto nei casi in cui si parli di “vettori applicati” (fisica) per i quali si specifica la collocazione del punto origine (punto di applicazione)
Possono appartenere a uno spaziospazio:
monodimensionale (retta orientata, x),
bidimensionale (piano, xy)
o tridimensionale (spazio tridim., xyz),
0 1 2 3-1
-2-3
U
Vettori dello Vettori dello spazio monodimensionalespazio monodimensionale ((RR1 1
))Segmenti orientati applicati all’origine di una retta orientata sulla quale è stato stabilito un
sistema di ascisse:
scelta un’unità di misura (U), si stabilisce una corrispondenza biunivoca tra tutti i numeri reali e tutti i punti della retta.
Ad ogni segmento orientato è associato un numero reale. Es.: al segmento v è associato il numero +2, a w è associato il numero –3, al punto origine il numero 0.
vw
Vettori delloVettori dello spazio monodimensionale spazio monodimensionale ((RR11))
Tutti i vettori dello spazio monodimensionale euclideo possono quindi essere rappresentati da
tutti i segmenti orientati applicati all’origine della retta orientata (rappresentazione geometrica)
oppure da
tutti i numeri reali (rappresentazione algebrica o analitica)
In entrambi i casi si definiscono le operazioni di
addizione e sottrazione tra vettori
0 1 2 3-1
-2-3
U
Vettori delloVettori dello spazio monodimensionalespazio monodimensionale
Es.: Rappresent. algebrica (analitica)
v + w = s
vw OO
s
(+2) + (-3) = -1
s - v = w (-1) - (+2) = -3
Rappresent. geometrica
0 1 2 3-1
-2-3
U
Vettori delloVettori dello spazio monodimensionalespazio monodimensionale
I vettori, rappresentati come segmenti orientati su una retta, si possono quindi rappresentare come NUMERI REALI (rappresentazione algebrica o analitica).
Si sommano e si sottraggono con le stesse regole di addizione e sottrazione tra numeri relativi.
L’elemento neutro OO dell’addizione tra vettori (tale che per ogni
vv si ha che vv + OO = vv) è il vettore nullo. Algebricamente è rappresentato dal numero 0 (zero), geometricamente dal punto origine
vw OO
0 1 2 3-1
-2-3-1-2
-3
1
2
3Dato un sistema di riferimento sul piano di due assi cartesiani ortogonali
Vettori delloVettori dello spazio bidimensionale spazio bidimensionale ((R R 22))
x
y
0 1 2 3-1
-2-3-1-2
-3
1
2
3Dato un sistema di riferimento sul piano di due assi cartesiani ortogonali
Vettori delloVettori dello spazio bidimensionale spazio bidimensionale ((R R 22))
x
y
Ad ogni segmento orientato si può associare una coppia ordinata di numeri reali (x;y), data dalle coordinate dell’estremo del segmento orientato
0 1 2 3-1
-2-3-1-2
-3
1
2
3
P (3; 2)
vv
v = (3;2)v = (3;2)
Ogni vettorevettore nel piano si può nel piano si può
quindi rappresentare come quindi rappresentare come
coppia ordinata di numeri reali coppia ordinata di numeri reali
(rappresentazione algebrica o
analitica)
Vettori delloVettori dello spazio bidimensionale spazio bidimensionale ((R R 22))
0 1 2 3-1
-2-3-1-2
-3
1
2
3
P (3; 2)
vv
v = (3;2)v = (3;2)
ii
jj
uu
u =(-1;-3)u =(-1;-3)
Q (-1; -3)
Vettori delloVettori dello spazio bidimensionale spazio bidimensionale ((R R 22))
Ogni vettorevettore nel piano si può nel piano si può
quindi rappresentare come quindi rappresentare come
coppia ordinata di numeri reali coppia ordinata di numeri reali
(rappresentazione algebrica o
analitica)
0 1 2 3-1
-2-3-1-2
-3
1
2
3 T (2; 3)
w
w = (2;3)w = (2;3)
ii
i = (1;0)i = (1;0)
rr
r =(1;-3)r =(1;-3)
S (1; -3)
Vettori delloVettori dello spazio bidimensionale spazio bidimensionale ((R R 22))
0 1 2 3-1
-2-3-1-2
-3
1
2
3
P (3; 2)
vv
v = (3;2)v = (3;2)
ii
jj
i = (1;0)i = (1;0)
j = j = (0;1)(0;1)
uu
u =(1;-3)u =(1;-3)
Q (1; -3)
0 = (0;0)0 = (0;0)
Vettori delloVettori dello spazio bidimensionale spazio bidimensionale ((R R 22))
I vettori
1 2 3-1
-2-3
Vettori delloVettori dello spazio tridimensionale (spazio tridimensionale (R R 33))
-1-2
-3
1
2
3
vv = (3;4;4) = (3;4;4)
jj
Ogni vettorevettore nello spazio nello spazio tridimensionale si può tridimensionale si può rappresentare come rappresentare come
terna ordinata terna ordinata di numeri reali di numeri reali
(rappresentazione algebrica/analitica)
0 = (0;0;0)0 = (0;0;0)
3
kk
ii
i = i = (1;0;0)(1;0;0)j = (0;1:0)j = (0;1:0)
k = (0;0:1)k = (0;0:1)V
x
y
z
1 2 3-1-2-3-1
-2
-3
1
2
3
vv = (3;4;4) = (3;4;4)
jj
I vettori di modulo unitario(lunghezza = 1)
si dicono versoriversori
0 = (0;0;0)0 = (0;0;0)
3
kk
ii
V
i = (1;0;0)i = (1;0;0)
j = (0;1:0)j = (0;1:0)
k = (0;0:1)k = (0;0:1)
x
y
z
00
I versori lungo i tre assi coordinati i=(1;0;0), j= (0;1;0), k= (0;0;1)Sono i versori principali
Vettori delloVettori dello spazio tridimensionale (spazio tridimensionale (R R 33))
Somma e differenza di vettoriSomma e differenza di vettori
In rappresentazione geometrica la somma di due vettori degli spazi R2 e R3 è data dalla
“regola del parallelogramma”:
uu
vv
u + vu + v
Somma e differenza di vettoriSomma e differenza di vettori
In rappresentazione geometrica la differenza di due vettori si ottiene come indicato in figura:
(“La differenza di due vettori è uguale alla somma del primo con l’opposto del secondo” )
u - vu - v uu
vv
u - vu - v
(I due segmenti orientati gialli sono equipollenti e quindi rappresentano lo stesso vettoredifferenza u – vu – v))
Somma e differenza di vettoriSomma e differenza di vettori
In rappresentazione algebrica la somma (o la
differenza) di due vettori (di coordinate date) è un
terzo vettore che ha come coordinate la somma (o la
differenza) delle coordinate corrispondenti.
Es,:
dati: u = (1; -3; 2); v = (2; 0; 5)
u + v = (3; -3; 7) ; u - v = (-1; -3; -3)
Oltre le tre dimensioni non è possibile nessuna rappresentazione geometrica dei vettori, ma solo
la rappresentazione algebrica rappresentazione algebrica ( o( o analitica analitica)):
Un vettore è rappresentato da una
successione ordinata di n numeri (n-pla ordinata)
v = (x1; x2; x3; ….; xn)
Vettori delloVettori dello spazio n-dimensionale spazio n-dimensionale ((R R nn))
I vettori Vettori dello spazio n-dimensionale Vettori dello spazio n-dimensionale ((R R nn))
Esempi:Esempi:
u = (1; -3; 2.5; 2) è un vettore dello spazio R 4
v = (2; 0; 5; -2; 8) è un vettore dello spazio R 5
w = (1; -3; 2.5; 2; 0; 1; -5)) è un vettore dello spazio R 7
I vettori Vettori dello spazio n-dimensionale Vettori dello spazio n-dimensionale ((R R nn))
La sommaLa somma di due vettori nello spazio di due vettori nello spazio R R nn è un è un vettore che ha per coordinate la somma delle vettore che ha per coordinate la somma delle coordinate corrispondenti (analogamente per la coordinate corrispondenti (analogamente per la differenza).differenza).
Se: Se: u = (x1; x2; x3; …xn) e v = (y1; y2; y3; …yn)
Allora: u + v = (x1+y1; x2+y2; x3+y3; …; xn+yn)Es,:
u = (1; -3; 2.5; 2); v = (2; 0; 5; -2)
u + v = (3; -3; 7.5; 0)
Dato il vettore Dato il vettore vv, il suo , il suo modulomodulo vv èè la la lunghezzalunghezza, in valore , in valore
assoluto, del segmento orientato che rappresenta il assoluto, del segmento orientato che rappresenta il
vettore (fino a tre dimensioni - spazio vettore (fino a tre dimensioni - spazio R R 33))
Se un vettore è dato mediante le sue coordinate:Se un vettore è dato mediante le sue coordinate:
vv = (x; y; z) = (x; y; z) vv= =
L’espressione sotto radice (xL’espressione sotto radice (x22 + y + y22 + z + z22) è anche detta) è anche detta norma norma del vettoredel vettore vv. . Come si vedrà più avanti, essa è Come si vedrà più avanti, essa è uguale al uguale al prodotto scalareprodotto scalare del vettore per se stesso, del vettore per se stesso, vv vv = = vv22
222 zyx
E, in generale, per un vettore dello spazio R n
(vettore a n coordinate), il suo modulo è dato da:
vv = (x = (x11; x; x22; x; x33; ; … … ;; xxnn) ) vv= = n
ii x1
2
ModuloModulo di un vettore di un vettore
Dato il vettore Dato il vettore vv sul piano (spazio sul piano (spazio R R 2 2 ), ), definito definito
analiticamente daanaliticamente da due due coordinate, coordinate, vv = (x;y), = (x;y), il suo il suo
modulomodulo vv è dato daè dato da::
vv= =
22 yx
ModuloModulo di un vettore di un vettore
v
x
y
Esso deriva dall’applicazione del Teorema di Pitagora nella rappresentazione geometrica, come facilmente si desume dalla figura
ModuloModulo di un vettore di un vettore
V
x
y
zLa precedente relazione per il modulo di un vettore dello spazio R 3
(vettore a tre coordinate):
vv = (x; y; z) = (x; y; z)
vv==
deriva dal Teorema di Pitagora generalizzato nello spazio.
222 zyx
Si generalizza ulteriormente per gli spazi astratti R n a più di tre dimensioni, portando alla già citata relazione generale:
vv = (x = (x11; x; x22; x; x33; ; … … ;; xxnn) ) vv= = n
ii x1
2
Dati due vettori: Dati due vettori:
uu = (x = (x11; x; x22; x; x33))
vv = (y = (y11; y; y22; y; y33))
Il modulo della Il modulo della differenza differenza tra i due vettori tra i due vettori uu e e vv (in (in R R 2 2 o o
R R 33 u - u - vv è dato daè dato da::
u - u - vv= =
dove il terzo addendo (zdove il terzo addendo (z11-z-z22))2 2 è nullo nel caso che i vettori è nullo nel caso che i vettori siano siano
di di RR2 2 (vettori del piano x, y).(vettori del piano x, y).
Distanza tra due puntiDistanza tra due punti
221
221
221 )()()( zzyyxx
Dati due vettori: Dati due vettori:
uu = (x = (x11; x; x22; x; x33); ); vv = (y = (y11; y; y22; y; y33))
se consideriamose consideriamo i loro estremi Pi loro estremi P11 e P e P2 2 (le cui coordinate (le cui coordinate sono quelle indicate), il sono quelle indicate), il modulo della differenza dei due modulo della differenza dei due vettorivettori (vedi rappresentazione geometrica – dia n° 23 -) (vedi rappresentazione geometrica – dia n° 23 -) corrisponde alla corrisponde alla distanzadistanza (numero assoluto!) tra i punti (numero assoluto!) tra i punti estremi Pestremi P11 e P e P22..
Distanza tra due puntiDistanza tra due punti
uu
vv
u - vu - v
P1
P2
Nell’ esempio in figura abbiamo:
P1 = (x1; y1); P2= (x1; y1)
La loro distanza, d(P1P2) è:
d(P1P2) =
x1
x2
y1
y2
221
221 )()( yyxx
Per qualsiasi insieme di vettori si definisce il Per qualsiasi insieme di vettori si definisce il prodotto di un numero (reale) c per un vettore prodotto di un numero (reale) c per un vettore v :v :
u = c vIl risultato di tale moltiplicazione è un vettore (u) che ha:
- stessa direzione di v (u parallelo a v)
- verso concorde o discorde a quello di v, a seconda che c sia rispettivamente positivo o negativo
-modulo di u uguale a modulo di c per modulo di v
u= cv
PRODOTTIPRODOTTI
Prodotto diProdotto di un numero per un vettoreun numero per un vettore
Es.:Es.:
u = 3 v
v
u
v
u = -2 v
u
PRODOTTIPRODOTTI
Prodotto diProdotto di un numero per un vettoreun numero per un vettore
In rappresentazione analitica (vettori rappres. In rappresentazione analitica (vettori rappres. mediante le coordinate), il prodotto di c per un mediante le coordinate), il prodotto di c per un vettore vettore vv si ottiene moltiplicando ciascuna si ottiene moltiplicando ciascuna coordinata per c.coordinata per c.
Es.: Es.: sia dato: sia dato: v v = (2; -3; 1)= (2; -3; 1)
uu = 3 = 3 v v = 3 (2; -3; 1) = (6; -9; 3)= 3 (2; -3; 1) = (6; -9; 3)
ww = -2 = -2 v v = -2 (2; -3; 1) = (-4; 6; -2)= -2 (2; -3; 1) = (-4; 6; -2)
PRODOTTIPRODOTTI
Prodotto diProdotto di un numero per un vettoreun numero per un vettore
Quindi si può dare un Quindi si può dare un criterio di criterio di parallelismoparallelismo tra due tra due vettori:vettori:
PRODOTTIPRODOTTI
Prodotto diProdotto di un numero per un vettoreun numero per un vettore
Due vettori u e v (non nulli) sono Due vettori u e v (non nulli) sono paralleliparalleli (o (o proporzionaliproporzionali) ) se se e solo see solo se uno di essi si può ottenere dall’altro moltiplicandolo uno di essi si può ottenere dall’altro moltiplicandolo per un opportuno numero c, cioè se le coordinate dei due per un opportuno numero c, cioè se le coordinate dei due vettori sono proporzionalivettori sono proporzionali
Ovvero: Ovvero: u || vu || v
se esiste un numero c tale che se esiste un numero c tale che v v = c= cuu
Es.:Es.: uu = (2; -1; 5) e = (2; -1; 5) e v v = (-8; -4; -20) = (-8; -4; -20)
sono paralleli, poiché sono paralleli, poiché v v = -4= -4uu
Le coordinate di u e v risultano Le coordinate di u e v risultano proporzionaliproporzionali (è costante il (è costante il rapporto tra le coordinate corrispondenti:rapporto tra le coordinate corrispondenti:
2/(-8) = -1/(-4) = 5/(-20) 2/(-8) = -1/(-4) = 5/(-20) = -4= -4
Esso Esso nonnon è un vettore, ma un è un vettore, ma un numeronumero (o (o scalarescalare))
PRODOTTIPRODOTTI
Prodotto Prodotto scalare scalare o o internointerno di due vettoridi due vettori
In rappresentazione geometrica:In rappresentazione geometrica:
u vu v = = uuvvcos cos
uu
vv
Prodotto dei moduli (lunghezze dei vettori) per il coseno dell’angolo tra i vettori
ovvero: modulo di un vettore per la proiezione dell’altro sulla direzione del primo
Esempio 1:Esempio 1:
vv= 2; = 2; uu= 2.2; = 2.2;
PRODOTTIPRODOTTI
Prodotto Prodotto scalare scalare o o internointerno di due vettoridi due vettori
u vu v = = uuvvcos cos = 2 = 2 2.2 2.2 3/2 3/2 3.81 3.81
uu
vv
30°30°
= 30° = 30° cos cos = = 3/23/2
Esempio 2:Esempio 2:
vv= 1; = 1; uu= 2.2; = 2.2;
PRODOTTIPRODOTTI
Prodotto Prodotto scalare scalare o o internointerno di due vettoridi due vettori
u vu v = = uuvvcos cos = 1 = 1 2.2 2.2 (-1/2) = -1.1(-1/2) = -1.1
uu
vv
120°120°
= 120° = 120° cos cos = - = -1/21/2
Esempio 3:Esempio 3:
vv= 1; = 1; uu= 2.2; = 2.2;
PRODOTTIPRODOTTI
Prodotto Prodotto scalare scalare o o internointerno di due vettoridi due vettori
u vu v = = uuvvcos cos = 1 = 1 2.2 2.2 0 = 00 = 0
uu
vv90°90°
= 90° = 90° cos cos = 0 = 0
PRODOTTIPRODOTTI
Prodotto Prodotto scalare scalare o o internointerno di due vettoridi due vettori
In In rappresentazione algebricarappresentazione algebrica::
Il Il prodotto scalare si può ottenere se sono date le si può ottenere se sono date le coordinate dei vettori :coordinate dei vettori :
uu = (x = (x11; y; y11; z; z11))
vv = (x = (x22; y; y22; z; z22))
Il loro prodotto scalare è:Il loro prodotto scalare è:
u vu v = x = x1 1 xx22 + y + y1 1 yy2 2 + z+ z1 1 zz22
Es.: u = (3; -1; 4) ; v = (2; 5; -3)
u v = 32 + (-1)5 + 4 (-3) = -11
PRODOTTIPRODOTTI
Prodotto Prodotto scalare scalare o o internointerno di due vettoridi due vettori
In In rappresentazione algebricarappresentazione algebrica::
Il prodotto scalare di due vettori nello spazio n-Il prodotto scalare di due vettori nello spazio n-dimensionale dimensionale R R nn (n coordinate): (n coordinate):
uu = (x = (x11; x; x22; x; x33; ; … … ;; xxnn))
vv = (y = (y11; y; y22; y; y33; … ; y; … ; ynn ) )
Il loro Il loro prodotto scalareprodotto scalare è: è: u vu v = =
Es.: u = (3; -1; 4; 0; 5) ; v = (2; 5; -3; 1; -2)
u v = 32 + (-1)5 + 4 (-3) + 0 1+5 (-2)= -21
ii
n
i yx1
PRODOTTIPRODOTTI
Prodotto Prodotto scalare scalare o o internointerno di due vettoridi due vettori
Attraverso il prodotto scalare possiamo dare la:Attraverso il prodotto scalare possiamo dare la:
Condizione di perpendicolarità tra due vettori :
Due vettori (siano u e v) non nulli sono perpendicolari (o ortogonali) se e solo se
Il loro prodotto scalare è nullo (uv=Il loro prodotto scalare è nullo (uv=00))
Es.: u = (3; -1; -1); v = (2; 5; 1)
u v = 32 + (-1)5 + (-1) (1) = 0 ;
i due vettori sono perpendicolari
PRODOTTIPRODOTTI
Prodotto Prodotto scalare scalare o o internointerno di due vettoridi due vettori
Il Il modulomodulo ( o ( o normanorma) di un vettore) di un vettore di uno spazio R n
(vettore a n coordinate):
vv = (x = (x11; x; x22; x; x33; ; … … ;; xxnn) ) vv= =
si può esprimere come la radice quadrata del si può esprimere come la radice quadrata del prodotto prodotto scalare del vettore per se stessoscalare del vettore per se stesso ( (v v x x v = vv = v22):):
vv= = ((v v x x v)v)1/21/2 = = ((vv22))1/2. 1/2.
Uno spazio vettoriale per il quale sia stata definita la Uno spazio vettoriale per il quale sia stata definita la norma dei suoi vettori si dice “norma dei suoi vettori si dice “normatonormato”.”.
n
ii x1
2
Esso è un Esso è un vettorevettore e si indica con la scrittura:e si indica con la scrittura:
PRODOTTIPRODOTTI
Prodotto Prodotto vettoriale vettoriale o o esternoesterno di due vettoridi due vettori
Come si calcolaCome si calcola::
ModuloModulo: : u u v v = = uuvvsen sen
(area del parallelogrammo di (area del parallelogrammo di
lati lati u u e e vv))
DirezioneDirezione: : perpendicolare al perpendicolare al
piano di piano di uu e e vv
VersoVerso: come in figura: come in figura
uu
u u vv
vv
u u vv
v v uu
PRODOTTIPRODOTTI
Prodotto Prodotto vettoriale vettoriale o o esternoesterno di due vettoridi due vettori
uu
Ne segue che il prodotto vettoriale non è commutativo,
ma anticommutativo:
u u v = - v = - v v uuvv
u u vv
v v uu
PRODOTTIPRODOTTI
Prodotto Prodotto vettoriale vettoriale tra itra i versori principaliversori principali ii j kj k
(vettori di modulo unitario lungo x, y, z)
i i j = kj = k j j i = -ki = -k
j j k = ik = i k k j = -ij = -i
k k i = ji = j ii k = -jk = -j
ii jj
kk
ii jj
kk
Procedendo nel verso delle frecce, “un vertice per il successivo” dà per prodotto “il terzo vertice”, mentre nel verso contrario alle frecce otteniamo “l’opposto del terzo vertice”
PRODOTTIPRODOTTI
Prodotto Prodotto vettorialevettoriale
Attraverso il prodotto esterno possiamo dare Attraverso il prodotto esterno possiamo dare unauna
Condizione di Condizione di parallelismoparallelismo tra due vettori: tra due vettori:
Due vettori non nulli sono paralleli se e Due vettori non nulli sono paralleli se e solo sesolo se
Il loro prodotto vettoriale è nullo.Il loro prodotto vettoriale è nullo.
PRODOTTIPRODOTTI
Prodotto Prodotto vettorialevettoriale
Due vettori non nulli sono paralleli se e Due vettori non nulli sono paralleli se e solo sesolo se
Il loro prodotto vettoriale è nullo.Il loro prodotto vettoriale è nullo.
Infatti due vettori paralleli (Infatti due vettori paralleli (stessa direzionestessa direzione) formano ) formano un angolo un angolo didi 0° (verso concorde) 0° (verso concorde) o di 180° (verso o di 180° (verso discorde):discorde):
In entrambe i casi sen In entrambe i casi sen = 0; = 0; quindi il quindi il prodotto esterno prodotto esterno è nullo in conseguenza del suo modulo nulloè nullo in conseguenza del suo modulo nullo
((u u v v = = uuvvsen sen ))
= 0= 0 = 180°= 180°
PRODOTTIPRODOTTI
Prodotto Prodotto vettoriale in rappresentzione analiticavettoriale in rappresentzione analitica
Il prodotto esternoIl prodotto esterno di due vettori di date coordinate:di due vettori di date coordinate:
V = (xV = (x11; y; y11; z; z11) ; U = (x) ; U = (x22; y; y22; z; z22))
si calcola esprimendoli come combinazione lineare dei si calcola esprimendoli come combinazione lineare dei versori principali versori principali i, j, ki, j, k e applicando la proprietà e applicando la proprietà distributivadistributiva
(rammentando i prodotti esterni tra i versori – vedi dia n° (rammentando i prodotti esterni tra i versori – vedi dia n° 40):40):VV U = U = (x(x11i i + y+ y11jj + z + z11kk) ) (x(x22i i + y+ y22jj + z + z22kk) =) =
(y(y11zz22 – y – y22zz11) ) ii + (z + (z11xx22 – z – z22xx11) ) j j + (x+ (x11yy22-x-x22yy11) ) kk
Es.: Es.: V = (1; -1; 4) ; U = (2; 0; -3)V = (1; -1; 4) ; U = (2; 0; -3)
VV U = [U = [(-1)*(-3) – 0*4] (-1)*(-3) – 0*4] ii + [4*2 – (-3)*1] + [4*2 – (-3)*1] j j + [1*0-2*(-1)] + [1*0-2*(-1)] k =k =
= = 3 3 i + i + 1111j + j + 22kk
PRODOTTIPRODOTTI
Prodotto Prodotto vettorialevettoriale
Un metodo equivalente è il calcolo del determinante:
222
111
zyx
zyx
kji
UV
(Vedi più avanti il capitolo Matrici e determinanti
PRODOTTIPRODOTTI
Prodotto Prodotto mistomisto
Implica tre vettori (ad. es. u, v, w) e si indica con la scrittura: (u v)w v)w
ed è un numero (scalare) :
il prodotto vettoriale di u e v è a sua volta moltiplicato scalarmente per w.
Geometricamente ha il Geometricamente ha il significato del significato del Volume Volume del del parallelepipedo che ha i tre parallelepipedo che ha i tre vettori come spigolivettori come spigoli
PRODOTTIPRODOTTI
Prodotto Prodotto mistomisto
Il prodotto misto dà un criterio Il prodotto misto dà un criterio didi
Complanarità di tre vettori: di tre vettori:
Tre vettori non nulli sono Tre vettori non nulli sono complanari se e solo se il loro complanari se e solo se il loro prodotto misto è nullo.prodotto misto è nullo.
Combinazione lineare di vettoriCombinazione lineare di vettori
Dati due o più vettori Dati due o più vettori uu11, u, u22, … u, … un ,n ,
se se si moltiplica ciascuno di essi per un numero
arbitrario (diverso da zero) e poi si sommano i
vettori così ottenuti, si ottiene una
combinazione lineare dei vettori dati.
Combinazione lineare di vettoriCombinazione lineare di vettori
Quindi se:
w = c1u1 + c2u2 + … + cnun
(dove c1, c2,…, cn sono numeri non tutti nulli)
diciamo che il vettorediciamo che il vettore w w è unaè una combinazione combinazione
linearelineare
dei vettoridei vettori uu11, u, u22, … u, … unn..
Es.: Es.: uu = (2; 3; -5); = (2; 3; -5); vv = (1; 0; 4) = (1; 0; 4)
ww = 2 = 2uu + + vv = (4; 6; -10) + (1; 0; 4) = (5; = (4; 6; -10) + (1; 0; 4) = (5;
6; -6)6; -6)
ww è una combinazione lineare dei vettori è una combinazione lineare dei vettori uu e e vv..
Dipendenza lineare tra vettoriDipendenza lineare tra vettori
N vettori (due o più) (N vettori (due o più) (uu11; ; uu22; …; ; …; uunn) si dicono) si dicono
linearmente dipendentilinearmente dipendenti
se ciascuno di essi si può esprimere come se ciascuno di essi si può esprimere come
combinazione lineare degli altri n-1 vettori.combinazione lineare degli altri n-1 vettori.
Ciò equivale a dire che la combinazione lineare degli n vettori è nulla (uguale al vettore nullo) per valori dei coefficienti ci non tutti nulli.
Dipendenza lineare tra vettoriDipendenza lineare tra vettori
Se ciascuno degli n vettori (Se ciascuno degli n vettori (uu11; ; uu22; …; ; …; uunn) ) nonnon si si
può esprimere come combinazione lineare può esprimere come combinazione lineare
degli altri, vale a dire che la combinazione degli altri, vale a dire che la combinazione
lineare degli n vettori è nulla (uguale al vettore lineare degli n vettori è nulla (uguale al vettore
nullo) nullo) solo solo per valori dei coefficienti cper valori dei coefficienti cii tutti tutti
nulli,nulli,
allora gli n vettori si diconoallora gli n vettori si dicono
linearmente indipendentilinearmente indipendenti
Dipendenza lineare tra vettoriDipendenza lineare tra vettori
In pratica:In pratica:
1.- Due vettori 1.- Due vettori paralleliparalleli sono sono l. dipendentil. dipendenti
2.-2.- Due vettori Due vettori nonnon paralleli sono paralleli sono l. l.
indipendenti.indipendenti.
3.- Tre vettori compalnari sono 3.- Tre vettori compalnari sono l. dipendentil. dipendenti
4.- Tre vettori non complanari sono4.- Tre vettori non complanari sono l. l.
indipendentiindipendenti
Sistemi di baseSistemi di base
Un insieme di n vettori linearmente Un insieme di n vettori linearmente
indipendenti costituisce un indipendenti costituisce un sistema di basesistema di base per per
lo spazio lo spazio RRn,n,
Ciò significa che ogni vettore dello spazio può Ciò significa che ogni vettore dello spazio può
essere espresso come combinazione lineare essere espresso come combinazione lineare
degli n vettori l. indipendenti.degli n vettori l. indipendenti.
Sistemi di baseSistemi di base
Un vettoreUn vettore qualsiasi qualsiasi uu (non nullo) è sistema di (non nullo) è sistema di
base per lo spazio base per lo spazio R R 11 (retta euclidea): ogni (retta euclidea): ogni
vettore vettore vv della retta si ottiene da della retta si ottiene da uu
moltiplicandolo per un numero opportuno: moltiplicandolo per un numero opportuno: vv
= c= cu.u.
Sistemi di baseSistemi di base
Due vettoriDue vettori uu e e vv non paralleli ( e ovviamente non paralleli ( e ovviamente
complanari) costituiscono un sistema di base per lo complanari) costituiscono un sistema di base per lo
spazio spazio R R 22 (piano euclideo): ogni vettore (piano euclideo): ogni vettore ww del piano si del piano si
ottiene come combinazione lineare di ottiene come combinazione lineare di uu e e vv: :
ww = c = c11u u + c+ c22 v v
L’esempio più noto è quello della coppia di versoriL’esempio più noto è quello della coppia di versori
ii e e j. j.
Ogni vettore w del piano si può scrivere come:
w = xi + yj, cioè come combinazione lineare di ii e e j.j.
Sistemi di baseSistemi di base
Tre vettoriTre vettori uu, , v, z v, z non complanarinon complanari costituiscono un costituiscono un
sistema di base per lo spazio sistema di base per lo spazio R R 33 (spazio tridimensionale (spazio tridimensionale
euclideo): ogni vettore euclideo): ogni vettore ww dello spazio si ottiene come dello spazio si ottiene come
combinazione lineare di combinazione lineare di u,u, v v e z z: :
ww = c = c11uu + c+ c22 vv + c+ c33zz
L’esempio più noto è quello della terna di versoriL’esempio più noto è quello della terna di versori
ii , , j j ee k. k.
Ogni vettore w dello spazio trid. si può scrivere come:
w = xi + yj,+ zk, cioè come combinazione lineare di ii , ,
jj e e k.k.
Sistemi di baseSistemi di base
Ci sono quindi due modi per indicare un vettore in
rappresentazione analitica:
1) Specificando la terna delle sue coordinate:
v = (x:y;z)
2) Scrivendolo come combinazione lineare dei versori
principali: v = xi + yj,+ zk,
Es.: Es.: v = (-1; 5; 2)v = (-1; 5; 2)
v v = -i + 5j,+ 2k,
W = (0; 1; -6)
W = j - 6k
Il secondo modo è particolarmente utile
per calcolare i prodotti scalare e vettoriale in
rappresentazione analitica
I vettorivettori (in rappresentazione algebrica) costituiti da n-ple ordinate di numeri reali si dicono anche vettori euclidei vettori euclidei
((o più completamente:: vettori dello spazio vettoriale lineare – vettori dello spazio vettoriale lineare – SVL - euclideo)SVL - euclideo)
Euclide di Alessandria
( 325 – 265 a.C.)
- l’insieme di tutti i numeri reali costituisce tutti i numeri reali costituisce unouno spazio euclideo monodimensionale spazio euclideo monodimensionale (a (a una dimensione)una dimensione) o o retta euclidearetta euclidea ((R R 11 ))
-l’insieme di tutte le coppie ordinate di tutte le coppie ordinate di numeri reali costituisce uno numeri reali costituisce uno spazio euclideo bidimensionale spazio euclideo bidimensionale (a due (a due dimensioni)dimensioni) o o piano euclideopiano euclideo ( (R R 22 ) )
-l’insieme di tutte le terne ordinate di tutte le terne ordinate di numeri reali costituisce unonumeri reali costituisce uno spazio spazio euclideo tridimensionale euclideo tridimensionale (a tre (a tre dimensioni)dimensioni)
-Ecc. per n>3Ecc. per n>3
Spazi euclidei
I vettorivettori (in rappresentazione algebrica)costituiti da n-ple ordinate di numeri complessi z (del tipo z= a + ib, dove i = -1)si dicono anche vettori hermitianivettori hermitiani::
-‘‘l’insieme di tutti i tutti i numeri complessi numeri complessi costituisce unocostituisce uno spazio spazio hermitiano monodimensionale hermitiano monodimensionale o o retta hermitianaretta hermitiana ( (C C 11 ) )
-l’insieme di tutte le coppie ordinate di tutte le coppie ordinate di numeri complessi (znumeri complessi (z11; z; z22) costituisce uno) costituisce uno spazio spazio hermitiano bidimensionale hermitiano bidimensionale oo piano hermitianopiano hermitiano ( (C C 22 ) )
l’nsieme di tutte le tutte le terne ordinateterne ordinate di di numeri complessinumeri complessi (z(z11; z; z2;2;; z; z3 3 ) costituisce uno) costituisce uno spazio hermitiano tridimensionale (spazio hermitiano tridimensionale (C C 33 ) )
- Ecc. per qualsiasi dimensione n- Ecc. per qualsiasi dimensione nCharles Hermite
(1822-1901)
Spazi hermitiani
Vi sono poi spazi vettoriali costituiti da enti astratti che non Vi sono poi spazi vettoriali costituiti da enti astratti che non sono necessariamente n-ple di numeri, ma per i quali si sono necessariamente n-ple di numeri, ma per i quali si definiscono somma, differenza, prodotto scalare, modulo e definiscono somma, differenza, prodotto scalare, modulo e distanza:distanza: spazi pre-hilbertiani
Si generalizza poi il concetto di spazio Si generalizza poi il concetto di spazio vettoriale introducendo vettori a infinite vettoriale introducendo vettori a infinite dimensioni, con determinate proprietà dimensioni, con determinate proprietà che implicando i concetti di limiteche implicando i concetti di limite
di una successione, ecc.: di una successione, ecc.:
Spazi hilbertiani, spazi diSpazi hilbertiani, spazi di
BanachBanach, ecc., ecc.
David Hilbert
(1862 – 1943)
Stefan Banach(1892 – 1945)
VETTORI VARIABILIVETTORI VARIABILI
Nelle scienze sperimentali si tratta principalmente Nelle scienze sperimentali si tratta principalmente (fenomeni dinamici) con grandezze vettoriali (ad es. forze (fenomeni dinamici) con grandezze vettoriali (ad es. forze o velocità) variabili nel tempo o nello spazio: esse sono o velocità) variabili nel tempo o nello spazio: esse sono matematicamente rappresentate da matematicamente rappresentate da vettori variabilivettori variabili, cioè , cioè le cui coordinate non sono numeri (o parametri letterali le cui coordinate non sono numeri (o parametri letterali costanti), ma variabili in dipendenza da uno o più costanti), ma variabili in dipendenza da uno o più parametri.parametri.
Ad es., le coordinate di un vettore (e quindi, Ad es., le coordinate di un vettore (e quindi, geometricamente, direzione, modulo e verso) possono geometricamente, direzione, modulo e verso) possono variare con il tempo: esse sono quindi espresse da variare con il tempo: esse sono quindi espresse da funzionifunzioni della variabile indipendente tempo (t).della variabile indipendente tempo (t).
Il vettore stesso è quindi una Il vettore stesso è quindi una funzione di t funzione di t (si chiamerà, più (si chiamerà, più propriamente, propriamente, funzione-vettorefunzione-vettore (o funzione vettoriale), in (o funzione vettoriale), in contrapposizione alle funzioni, già viste in Analisi (come contrapposizione alle funzioni, già viste in Analisi (come f(x), o f(x;y;z)) che, per dati valori assegnati alle variabili f(x), o f(x;y;z)) che, per dati valori assegnati alle variabili indipendenti, assumono valori numerici, dette anche indipendenti, assumono valori numerici, dette anche perciò perciò funzioni scalari.funzioni scalari.
VETTORI VARIABILIVETTORI VARIABILI
Esprimeremo un vettore Esprimeremo un vettore u u dipendente, ad es., da una dipendente, ad es., da una variabile t con la scrittura:variabile t con la scrittura:
uu(t) = x(t)(t) = x(t)ii + y(t)+ y(t)jj + z(t) + z(t)kk
Es.:Es.: 1) 1) uu(t) = (t) = ttii –(2t+1) –(2t+1)jj + 2t + 2tkk
oppure: oppure: 2) 2) vv(t) = -(t) = -ii +ln(t) +ln(t)jj + 2+ 2kk
Nel primo caso tutte e tre le coordinate sono variabili in Nel primo caso tutte e tre le coordinate sono variabili in funzione di t; in termini più sintetici potremmo scrivere funzione di t; in termini più sintetici potremmo scrivere il vettore come: il vettore come: uu(t) = (t) = (t(t; ; –(2t+1)–(2t+1); ; 2t),. Ad es., per t 2t),. Ad es., per t =2 otterremo: =2 otterremo: uu((22)) = 22ii –5 –5jj + 4 + 4k k = = (2; -5; 4).(2; -5; 4).
Nel secondo caso, invece, solo la seconda coordinata è Nel secondo caso, invece, solo la seconda coordinata è funzione di t.funzione di t.
DERIVATA DERIVATA di un VETTOREdi un VETTORE
Se il vettore è funzione di una variabile (ad es. t), allora Se il vettore è funzione di una variabile (ad es. t), allora possiamo calcolare le possiamo calcolare le derivatederivate del vettore: del vettore:
u’u’(t) = = x’(t)(t) = = x’(t)ii + y’(t)+ y’(t)jj + z’(t) + z’(t)kk
dove con i simboli x’(t) ecc. si denotano le derivate delle dove con i simboli x’(t) ecc. si denotano le derivate delle coordinate rispetto alla variabile t.coordinate rispetto alla variabile t.(notiamo che i versori (notiamo che i versori ii, , jj, , kk vanno trattati come costanti vanno trattati come costanti moltiplicative).moltiplicative).
Es.:Es.: uu(t) = (t) = ttii –(2t+1) –(2t+1)jj + 2t + 2t33kk
derivataderivata: : u’u’(t) = (t) = ii –2 –2jj + 6t + 6t22kk
derivata seconda:derivata seconda: u’’ u’’(t) = (t) = 66kk (le derivate dei primi due termini sono nulle in quanto (le derivate dei primi due termini sono nulle in quanto derivate di costanti)derivate di costanti)
dt
du(t)
DERIVATA DERIVATA di un VETTOREdi un VETTORE
Un esempio in fisicaUn esempio in fisica: : moto circolare uniforme.moto circolare uniforme. y
x
r
v
PConsideriamo un punto materiale P che
ruoti uniformemente sulla circonferenza (angoli uguali in tempi uguali).
L’angolo percorso nell’unità di tempo si chiama velocità angolare ().
L’angolo percorso nel tempo t è dato da:
= t.
La posizione del punto P all’istante t è data dal raggio-vettore (funzione-vettore) r (x;y), di coordinate:
x= r cos()= r cos( t); y= r sen()= r sen( t);
DERIVATA DERIVATA di un VETTOREdi un VETTORE
Un esempio in fisicaUn esempio in fisica: : moto circolare uniforme.moto circolare uniforme. y
x
r
v
PIl raggio-vettore r (funzione del tempo,
perché ha modulo costante, ma direzione variabile – analogamente alla velocità v) è quindi espresso da:
r = r cos( t)i + r sen( t)j
Il vettore velocità v è la derivata del vettore r rispetto al tempo:
= v = -r sen( t)i + r cos( t)j dt
dr
DERIVATA DERIVATA di un VETTOREdi un VETTORE
y
x
r
v
P
Calcolando il prodotto scalare r v
(somma dei prodotti delle coordinate corrispondenti) si trova che esso è nullo per ogni valore di t e quindi che i vettori r e v sono in ogni istante perpendicolari tra loro:
il vettore velocità è quindi sempre tangente alla circonferenza nel punto P.
Analogamente, calcolando il vettore accelerazione , come derivata della velocitò, si trova che è perpendicolare a v e quindi parallela ad r, ma di verso opposto (accelerazione centripeta).
DERIVATA DERIVATA di una di una FUNZIONE-VETTOREFUNZIONE-VETTORE
Più in generale, le coordinate di una funzione-vettore Più in generale, le coordinate di una funzione-vettore possono dipendere da più variabili indipendenti (ad. es. le possono dipendere da più variabili indipendenti (ad. es. le tre coordinate spaziali x, y, z: pensiamo ad. es alle tre coordinate spaziali x, y, z: pensiamo ad. es alle coordinate dei vettori campo elettrico (coordinate dei vettori campo elettrico (EE) o magnetico () o magnetico (HH o o BB) variabili.) variabili.
In tal caso avremo a che fare con una funzione-vettore del In tal caso avremo a che fare con una funzione-vettore del tipo:tipo:
FF (x;y;z) = X(x;y;z) (x;y;z) = X(x;y;z)ii + Y(x;y;z) + Y(x;y;z)jj + Z(x;y;z) + Z(x;y;z)kk
dove X, Y, Z non sono coordinate spaziali (come x, y, z), ma dove X, Y, Z non sono coordinate spaziali (come x, y, z), ma coordinate del vettore coordinate del vettore FF, a loro volta funzioni di x,y, e z., a loro volta funzioni di x,y, e z.
Si potranno allora calcolare le derivate parziali di Si potranno allora calcolare le derivate parziali di FF rispetto rispetto a ciascuna delle coordinate indipendenti x,y,za ciascuna delle coordinate indipendenti x,y,z
DERIVATA DERIVATA di una di una FUNZIONE-VETTOREFUNZIONE-VETTORE
Esempio: Esempio: Sia data la funzione-vettore:Sia data la funzione-vettore:
FF (x;y;z) = (x (x;y;z) = (x22y+zy+z33))ii + 2z + 2zjj – (xyz) – (xyz) kk
= = (2xy)(2xy)ii– (yz) – (yz) k k
= = (x(x22))ii– (xz) – (xz) kk
= = (3z(3z22))ii + 2 + 2jj – (xy) – (xy) kk
dx
F
dy
F
dz
F
Matrici
(Tabelle di elementi disposti su m righe e n colonne)
Di particolare interesse le matrici quadrate (m=n):
Es. (m=n=3):
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
V
Matrici
Un vettore a n componenti (coordinate), cioè appartenente allo spazio Rn, si può rappresentare come una matrice a n righe e una colonna (detta anche vettore colonna)
Es.: il vettore u = (3; -2; 1) come:
1
2
3
u
Matrici come operatori
Come si applica una matrice a un vettore?
Ad es.: una matrice quadrata 3x3 (di terz’ordine) applicata a un vettore u di R3, lo trasforma in un vettore v ancora di R3.
u OperatoreOperatore
matricialematriciale
A
v
A u = v
Matrici come operatori
Come si applica una matrice a un vettore?
A u = v
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
..
1
1
1
z
y
x
==
2
2
2
z
y
x
Matrici come operatori
Come si applica una matrice a un vettore?
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa..
1
1
1
z
y
x
==
2
2
2
z
y
x
Mediante il Mediante il prodotto matriciale righe x colonneprodotto matriciale righe x colonne::
Il Il primo elemento, xprimo elemento, x22, del vettore trasformato si ottiene , del vettore trasformato si ottiene moltiplicando la prima riga della matrice per il vettore moltiplicando la prima riga della matrice per il vettore colonna (xcolonna (x11, y, y11, z, z11), come somma dei prodotti degli ), come somma dei prodotti degli elementi omologhi:elementi omologhi:
xx22 = a = a1111 x x1 1 + a+ a1212 y y11 + + aa1313 z z11
Matrici come operatori
Come si applica una matrice a un vettore?
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa..
1
1
1
z
y
x
==
2
2
2
z
y
x
Il Il secondo elemento, ysecondo elemento, y22, del vettore trasformato si , del vettore trasformato si ottiene moltiplicando la seconda riga della matrice per il ottiene moltiplicando la seconda riga della matrice per il vettore colonna (xvettore colonna (x11, y, y11, z, z11):):
yy22 = a = a2121 x x1 1 + a+ a2222 y y11 + + aa2323 z z11
Matrici come operatori
Come si applica una matrice a un vettore?
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa..
1
1
1
z
y
x
==
2
2
2
z
y
x
Il Il terzo elemento, zterzo elemento, z22,, del vettore trasformato si del vettore trasformato si ottiene moltiplicando la terza riga della matrice ottiene moltiplicando la terza riga della matrice per il vettore colonna (xper il vettore colonna (x11, y, y11, z, z11):):
zz22 = a = a3131 x x1 1 + a+ a3232 y y11 + + aa3333 z z11
Matrici come operatori
Come si applica una matrice a un vettore?
Es.1:
21
1
2
3.
35
21
1x3 + (-2)x2 = -1; 5x3 + 3x2 = 211x3 + (-2)x2 = -1; 5x3 + 3x2 = 21
Matrici come operatori
Come si applica una matrice a un vettore?
Es.2:
17
1
10
4
1
2
.
331
150
201
1x2 + 0x1 + (-2)x(-4) = 10;1x2 + 0x1 + (-2)x(-4) = 10;
0x2 + 5x1 + 1x(-4) = 10x2 + 5x1 + 1x(-4) = 1
1x2 + 3x1 + (-3)x(-4) = 171x2 + 3x1 + (-3)x(-4) = 17
Equazioni vettoriali e sistemi lineariA x = c
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
..
3
2
1
x
x
x
==
3
2
1
c
c
c
Quest’Quest’equazione vettorialeequazione vettoriale ( (l’incognita è il vettore l’incognita è il vettore xx, cioè le
sue componenti x1, x2, x3) equivale a porre in forma
matematica il problema: “ Data la matrice A e il vettore c, qual è il vettore x tale che applicando A ad x si ottenga c? ”
Equazioni vettoriali e sistemi lineariA x = c
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
..
3
2
1
x
x
x
==
3
2
1
c
c
c
Applicando il prodotto righe per colonne si Applicando il prodotto righe per colonne si ottiene:ottiene:
aa1111xx11 + a + a1212xx2 + 2 + aa1313xx3 3 = c= c11
aa2121xx11 + a + a2222xx2 + 2 + aa2323xx3 3 = c= c22
aa3131xx11 + a + a3232xx2 + 2 + aa3333xx3 3 = c= c33
Equazioni vettoriali e sistemi lineari
aa1111xx11 + a + a1212xx2 + 2 + aa1313xx3 3 = c= c11
aa2121xx11 + a + a2222xx2 + 2 + aa2323xx3 3 = c= c22
aa3131xx11 + a + a3232xx2 + 2 + aa3333xx3 3 = c= c33
L’equazione vettoriale Ax = c è quindi equivalente a L’equazione vettoriale Ax = c è quindi equivalente a
un un sistema di equazioni linearisistema di equazioni lineari (= di primo grado ), o (= di primo grado ), o
semplicemente semplicemente sistema linearesistema lineare nelle incognite x nelle incognite x11, x, x22, ,
xx33 (in questo caso il sistema è “quadrato” 3x3) (in questo caso il sistema è “quadrato” 3x3)
Equazioni vettoriali e sistemi lineari
Un sistema lineare può avere:Un sistema lineare può avere:
a)a) Un’Un’unica soluzioneunica soluzione (terna ordinata di (terna ordinata di valori xvalori x11*, x*, x22*, x*, x33*, vale a dire un vettore *, vale a dire un vettore xx*= (x*= (x11*; x*; x22*; x*; x33*) *)
b) Infinite soluzioni
c) Nessuna soluzione
Equazioni vettoriali e sistemi lineari
Matrici e determinanti
Per Per matrice del sistemamatrice del sistema (A) si intende la matrice (A) si intende la matrice
formata dai coefficienti delle incognite.formata dai coefficienti delle incognite.
Nel caso esemplificato, A è: Nel caso esemplificato, A è:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Equazioni vettoriali e sistemi lineari
Il Il determinante determinante di una matrice quadrata - det(A) - è un - det(A) - è un numeronumero (vedi regole per il calcolo di un determinante). (vedi regole per il calcolo di un determinante).
Lavori sui determinanti apparvero già nella seconda metà del sec Lavori sui determinanti apparvero già nella seconda metà del sec XVIII ad opera di: E. Bézout (1730-1783), A.T. Vandermonde XVIII ad opera di: E. Bézout (1730-1783), A.T. Vandermonde (1735-1796), e proseguirono nel secolo successivo soprattutto (1735-1796), e proseguirono nel secolo successivo soprattutto ad opera di:ad opera di:
Pierre-Pierre-Simon Simon LaplaceLaplace(1749-1827)(1749-1827)
Joseph-Louis Joseph-Louis LagrangeLagrange(1749-1827)(1749-1827)
Determinante di una matrice quadrata
Il Il determinante determinante di una matrice quadrata A A
si scrive det(A) o anche Dsi scrive det(A) o anche DAA, oppure con due barre verticali ai , oppure con due barre verticali ai lati della tabella-matrice lati della tabella-matrice
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Det(A)Det(A)==
Esso è un Esso è un numero realenumero reale (positivo, negativo o nullo) (positivo, negativo o nullo)
Regole per il calcolo di un determinanteRegole per il calcolo di un determinante
1) Il 1) Il determinante determinante di una matrice quadrata di di 1°1°ordine (un ordine (un solo elemento asolo elemento a1111) coincide con l’elemento stesso.) coincide con l’elemento stesso.
2) Il 2) Il determinante determinante di una matrice quadrata di di 2°2°ordineordine
2221
1211
aa
aaè uguale a: Det(A) = a11a22 – a12a21
[diagonale principale ( ) meno
diagonale secondaria ( ) ]
Es.:
12
53
A =
A = Det(A) = (-3)*2 – 5*2 = -16
Esiste un teorema dal quale discende un metodo generale per il calcolo dei determinanti di matrici
quadrate di qualsiasi ordine.
Ci limitiamo qui a dare regole pratiche per calcolare i determinanti fino al 3°ordine.
Regole per il calcolo di un determinanteRegole per il calcolo di un determinante
3) Il 3) Il determinante determinante di una matrice quadrata di di 3°3°ordineordine
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
si può calcolare con la regola di Sarrus.
Regole per il calcolo di un determinanteRegole per il calcolo di un determinante
Regola di SarrusRegola di Sarrus (solo per matrici di 3° ordine)
Si aggiungano a destra le prime due colonne:
32
22
12
31
21
11
333231
232221
131211
a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
Si possono così considerare
tre diagonali principali ( )
e tre diagonali secondarie ( )
Regole per il calcolo di un determinanteRegole per il calcolo di un determinante
Regola di SarrusRegola di Sarrus (solo per matrici di 3° ordine)
Si aggiungano a destra le prime due colonne:
32
22
12
31
21
11
333231
232221
131211
a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
Si calcolano i prodotti degli elementi di ogni diagonale principale e si sommano. Sia DP il risultato:
DP = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32)
Regole per il calcolo di un determinanteRegole per il calcolo di un determinante
Regola di SarrusRegola di Sarrus (solo per matrici di 3° ordine)
Si aggiungano a destra le prime due colonne:
32
22
12
31
21
11
333231
232221
131211
a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
Si calcolano ora i prodotti degli elementi di ogni diagonale secondaria e si sommano. Sia DS il risultato:
DS = (a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33)
Regole per il calcolo di un determinanteRegole per il calcolo di un determinante
Regola di SarrusRegola di Sarrus (solo per matrici di 3° ordine)
Si aggiungano a destra le prime due colonne:
32
22
12
31
21
11
333231
232221
131211
a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
Il determinanate della matrice data risulta:
Det(A) = DP - DS
Equazioni vettoriali e sistemi lineari
Johann CarlJohann CarlFriedrich Friedrich GaussGauss(1777-1855)(1777-1855)
Augustin Augustin LouisLouisCauchyCauchy(1789-1857)(1789-1857)
Carl GustavCarl GustavJacobiJacobi
(1804-1851)(1804-1851)
Equazioni vettoriali e sistemi lineari
Per i Per i sistemi quadrati sistemi quadrati vale il vale il
TEOREMA DI TEOREMA DI CRAMERCRAMER::
Ip.:Ip.: det (A) det (A) 0 0
Th.:Th.: Il sistema ammette una ed una Il sistema ammette una ed una sola sola soluzione (un vettore, cioè una soluzione (un vettore, cioè una
successione ordinata di successione ordinata di numeri)numeri)
Gabriel Cramer (1704 – 1752)
Equazioni vettoriali e sistemi lineari
Il teorema di Cramer recita:Il teorema di Cramer recita:
““Condizione necessaria e sufficiente Condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema quadrato ammetta affinché un sistema quadrato ammetta un’unica soluzione è che il determinante un’unica soluzione è che il determinante del sistema sia diverso da zerodel sistema sia diverso da zero””
Se invece il Se invece il determinante è uguale a zerodeterminante è uguale a zero il il sistema ammette infinite soluzioni oppure sistema ammette infinite soluzioni oppure nessuna (sistema incompatibile)nessuna (sistema incompatibile)
In questo caso si ricorre al In questo caso si ricorre al Teorema di Teorema di Rouché-CappelliRouché-Cappelli (teorema generale, valido (teorema generale, valido per qualunque sistema lineare, qui non per qualunque sistema lineare, qui non trattato).trattato).
Equazioni vettoriali e sistemi lineari
Se il sistema quadrato è Se il sistema quadrato è omogeneo (tutti i termini (tutti i termini noti cnoti c11, c, c22, c, c33 nulli): nulli):
[Si ricorda che ogni sistema omogeneo ammette [Si ricorda che ogni sistema omogeneo ammette sempre almeno la sempre almeno la soluzione banalesoluzione banale o o nulla nulla (0; (0; 0; 0)]0; 0)]
1.- Se il sistema omogeneo è di Cramer (det(A) 1.- Se il sistema omogeneo è di Cramer (det(A) 0) allora esso ammette 0) allora esso ammette solo solo la soluzione la soluzione banale.banale.
2.- Se il sistema omogeneo non è di Cramer 2.- Se il sistema omogeneo non è di Cramer (det(A)=0), allora il sistema ammette (det(A)=0), allora il sistema ammette infinite soluzioni (quella banale e altre infinite soluzioni (quella banale e altre infinite non banali)infinite non banali)
Buon lavoro!