Algebra Linear

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<p>Prof. Dr Marlia Brasil Xavier REITORA</p> <p>Prof. Dr. Maria das Graas Silva VICE-REITORA</p> <p>Prof. Dr. Ruy Guilherme Castro de Almeida PR-REITOR DE ENSINO E GRADUAO</p> <p>Prof. M.Sc. Maria Jos de Souza Cravo DIRETORA DO CENTRO DE CINCIAS SOCIAIS E EDUCAO</p> <p>Prof. M.Sc. Antonio Srgio Santos Oliveira CHEFE DO DEPARTAMENTO DE MATEMTICA, ESTATSTICA E INFORMTICA</p> <p>Prof. M. Sc. Rubens Vilhena Fonseca COORDENADOR DO CURSO DE MATEMTICA COORDENADOR DO CURSO DE MATEMTICA MODALIDADE A DISTNCIA</p> <p>Introduo LGEBRA LINEAR</p> <p>SUMRIOCaptulo 1 ESPAOS VETORIAIS Espao vetorial real Propriedades dos espaos vetoriais Subespaos vetoriais Combinao linear de vetores Subespao vetorial gerado Espaos vetoriais finitamente gerados Dependncia e independncia linear Baseedimenso Componentes de um vetor Mudana de base Captulo 2 - ESPAOS VETORIAIS EUCLIDIANOS Produto interno em espaos vetoriais Espao vetorial euclidiano Mdulo de um vetor ngulo de dois vetores Distncia entre dois vetores Vetores ortogonais Conjunto ortogonal de vetores Base ortogonal 42 45 45 48 51 51 52 53 9 13 13 18 21 24 25 30 35 36</p> <p>Capitulo 3 - TRANSFORMAES LINEARES Funes vetoriais Transformaes lineares Ncleo de uma transformao linear Imagem de uma transformao linear Propriedades do ncleo e da imagem Matriz de uma transformao linear Operaes com transformaes lineares Transformaes lineares planas 64 65 73 74 76 79 84 87</p> <p>Capitulo 4 - OPERADORES LINEARES Operadores lineares Operadores inversiveis Matrizes semelhantes Operador ortogonal Operador simtrico Captulo 5 - VETORES PRPRIOS E VALORES PRPRIOS Vetor prprio e valor prprio de um operadot linear Determinao dos valores prprios e dos vetores prprios Propriedades dos valores prprios e dos vetores proprios Diagorializao de operadores Diagonalizao de matrizes simtricas Propriedades 116 119 124 125 130 103 103 106 109 114</p> <p>Captulo 6 - SIMPLIFICAO DA EQUAO GERAL DAS CNICAS Cnicas Simplificao da equao geral das cnicas Classificao das conicas 134 134 137</p> <p>Captulo 1</p> <p>ESPAOS VETORIAIS1.1 ESPAO VETORIAL REALSeja um conjunto V, no vazio, sobre o qual esto definidas as operaes de adio e multiplicao por escalar, isto : , V, IR, + V, V V</p> <p>O conjunto V com estas duas operaes chamado espao vetorial real se forem verificados os seguintes axiomas: A) Em relao adio: A1) ( + ) + = + ( + ), , , A2) + = + , , , V A3) 0 V, V, + 0 = A4) V, (- ) V, + (- ) = 0 M) Em relao multiplicao por escalar: M1 ) ( ) = ( ) M2 ) ( + ) = + M3 ) ( + ) = + M4 ) 1 = para , , IR Os elementos , , , ..., de um espao vetorial V so denominados vetores. Se a definio de espao vetorial considerasse como escalares o conjunto C dos nmeros complexos, V seria um espao vetorial complexo. Entretanto, nesta INTRODUO LGEBRA LINEAR sero considerados somente espaos vetoriais reais. Por ter sido dada a definio de forma genrica, para um espao vetorial V qualquer, ela serve para conjuntos diversos, tais como (o que si ver a seguir) o IR2, o IR3, o conjunto das matrizes M(m n), etc. Assim, conforme seja o espao vetorial considerado, os vetores tero a natureza dos elementos desse espao e</p> <p>V</p> <p>8</p> <p>ESPAOS VETORIAIS Captulo 1</p> <p>os conjuntos correspondentes tero a mesma estrutura em relao s operaes de adio e multiplicao por escalar. Embora sejam dados exemplos de vrios espaos vetoriais, sero examinados, de preferncia, aqueles cujas aplicaes se referem Geometria Analtica.</p> <p>Exemplos1) O conjunto V = IR2 ={(x, y) / x, y IR} um espao vetoral com as operaes de adio e multiplicao por um nmero real assim definidas: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) (x, y) = ( x, y)</p> <p>Essas operaes so denominadas operaes usuais. Para verificar os oito axiomas de espao vetorial, sejam y1), v = (x2, y2) e = (x3, y3). A1) ( + ) + = ((x1, y1) + (x2, y2)) + (x3, y3) = ((x1 + x2, y1+y2)) + (x3,y3) = ((x1 + x2) + x3, (y1 + y2) + y3) = (x1 + (x2 + x3), y1 + (y2 + y3)) = (x1, y1) + (x2 + x3, y2 + y3) = (x1, y1) + ((x2, y2) + (x3, y3)) = +( + ) A2) + = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1+y2) = (x2 + x1, y2 + y1) = (x2, y2) + (x1, y1) = A3) + IR2, IR2, + 0 = (x1, y1) + (0, 0) = (x1 + 0, y1 + 0) = (x1, y1) = = (x1,</p> <p>0 = (0, 0)</p> <p>9</p> <p>ESPAOS VETORIAIS Captulo 1</p> <p>A4)</p> <p>= (x1, y1)</p> <p>IR2,</p> <p>(- ) = (-x1, -y1) IR2, + (- ) = (x1, y1) + (-x1, -y1) = (x1 x2, y1 y1) = (0, 0) = 0</p> <p>M1 ) (</p> <p>) =( = ((</p> <p>) (x1, y1) ) x 1, ( ( x1, ( ) y1) ) y1) ( y1))</p> <p>= ( ( x1), = = =</p> <p>( (x1, y1))</p> <p>M2) ( + ) = ( + ) (x1, y1) = (( ) x1, ( + ) y1) x1, y1 + (x1, y1) y1) y1) y1) + ( x1, = ( x1 + = ( x 1, = = M3 ) ( + )= = + ((x1, y1) + (x2, y2) (x1 + x2, y1 + y2) (y1 + y2)) y1 + (x2, y2) y2) x 2,</p> <p>(x1, y1) +</p> <p>= ( (x1 + x2, = ( x1 + = = M4) 1 = 1 (x1, y1) = (1x1, 1y1) = (x1, y1) =</p> <p>= ( x1, y1) + ( x2, y2) (x1, y1) + +</p> <p>2) Assim como um par ordenado (x1, x2) de nmeros reais representa um ponto ou um vetor no IR2, e uma terna ordenada (x1, x2, x3) de nmeros reais representa um ponto ou um vetor no IR3, como se sabe</p> <p>10</p> <p>ESPAOS VETORIAIS Captulo 1</p> <p>da Geometria Analtica1, pode-se dizer, estendendo a idia, embora sem representao geomtrica, que uma qudrupla ordenada de nmeros reais (x1, x2, x3, x4) um ponto ou um vetor do IR4 e que uma n-upla ordenada de nmeros reais (x1, x2, x3, ..., xn) um ponto ou um vetor do IRn. Analogamente, os conjuntos IR3, IR4, ..., IRn so tambm espaos vetoriais com as operaes usuais de adio e multiplicao por escalar. A verificao dos oito axiomas para esses conjuntos anloga do IR2. 3) O conjunto IR, em relao s operaes usuais de adio e de multiplicao por escalar um espao vetorial. De fato, sabe-se que a adio de nmeros reais satisfaz os axiomas A1, A2, A3 e A4 e que, na multiplicao, se verificam os axiomas M1, M2, M3 e M4. 4) O conjunto das matrizes M(m, n) com as operaes de adio e multiplicao por escalar, definidas nos itens A.8 e A.9 do APNDICE, um espao vetorial. Em particular, o conjunto das matrizes quadradas Mn um espao vetorial em relao s mesmas operaes. 5) O conjunto IR2 = {(a, b) / a, b IR} no um espao vetorial em relao s operaes assim definidas: (a, b) + (c, d) = (a + c, h + d) k (a, b) = (ka, b), k IR</p> <p>Como a adio aqui definida a usual, verificam-se os axiomas A1, A2, A3 e A4 de espao vetorial, conforme se viu no Exemplo 1. Logo, no devem se verificar alguns (ou algum) dos axiomas relativos multiplicao. Sejam = (x1,y1), v = (x2, y2) e , IR</p> <p>M1 ) (</p> <p>) = ( ) (x1, y1) = (( ) x1, y1) = ( ( x1), y1) = ( x1, y1) = ( (x1, y1)) = ( )</p> <p>(Este axioma se verifica)</p> <p>1</p> <p>Ver Geometria Analtica. Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Editora McGraw-Hill.</p> <p>11</p> <p>ESPAOS VETORIAIS Captulo 1</p> <p>M2) ( + ) = ( + ) (x1, y1) = (( + ) x1, y1) = ( x1 + x1, y1) (x1, y1) + (x1, y1) = (ax1, y1) + ( x1, y1) = ( x1 + x1, 2 y1) Como se v, ( + ) + e, portanto, no se verificando, no mnimo, o axioma M2, o conjunto de que trata este Exemplo no um espao vetorial.</p> <p>1.2- PROPRIEDADES DOS ESPAOS VETORIAISDa definio de espao vetorial V, decorrem as seguintes propriedades: I) II) III) IV) V) VI) Existe um nico vetor nulo em V (elemento neutro da adio). Cada vetor V admite apenas um simtrico (- ) V, se + = V. = .</p> <p>Para quaisquery, , , , Qualquer que seja</p> <p>+ , ento</p> <p>V, tem-se: -(- ) = , isto , o oposto de - . V, existe um e somente um x, tal que +x=</p> <p>Quaisquer que sejam , Qualquer que seja segundo o vetor zero.</p> <p>V, 0 = 0. O primeiro 0 o nmero real zero e o</p> <p>VII) VIII) IX) X)</p> <p>Qualquer que seja = 0, implica Qualquer que seja Quaisquer que sejam</p> <p>IR, 0 = 0. = 0 ou = 0. =- . IR, (- ) = (- ) = -( ).</p> <p>V, (-1) Ve</p> <p>1.3 SUBESPAOS VETORIAISSejam V um espao vetorial e S um subconjunto no-vazio de V. O subconjunto S um subespao vetorial de V se S um espao vetorial em relao adio e multiplicao por escalar definidas em V. A definio parece indicar que, para um subconjunto S ser subespao vetorial de V, se deveria fazer a verificao, em S, dos oito axiomas de espao vetorial relativos adio e </p> <p>12</p> <p>ESPAOS VETORIAIS Captulo 1</p> <p>multiplicao por escalar. Entretanto, como S parte de V (que espao vetorial), no necessria essa verificao. Para citar s um exemplo, o axioma A2 ( + = + ) no precisa ser examinado porque se a comutatividade da adio valida para todos vetores de V, ela valer para todos vetores de S. A seguir, as condies para um subconjunto S ser subespao vetorial de V. Um subconjunto S, no-vazio, de um espao vetorial V, um subespao vetorial de V se forem satisfeitas as seguintes condies: S, IR, + S, S. S.</p> <p>I) Para quaisquer , II) Para quaisquer</p> <p>De fato: se um vetor qualquer de S, pela condio II, S para todo IR. Fazendo = 0, vem 0 S, ou seja, 0 S (axioma A3); fazendo = -1, tem-se (-1) = S (axioma A4). Os outros axiomas A1, M1, M2, M3 e M4 de espao vetorial so verificados em S por ser S um subconjunto no-vazio deV. Todo espao vetorial V {0} admite, pelo menos, dois subespaos: o conjunto {0}, chamado subespao zero ou subespao nulo e o prprio espao vetorial V. Esses dois so os subespaos triviais de V. Os demais so denominados subespaos prprios de V. Os subespaos triviais do IR2, por exemplo, so {(0, 0)} e IR2, enquanto os subespaos prprios so as retas que passam pela origem do sistema de referncia. De modo anlogo, os subespaos triviais do IR3 so {(0, 0, 0)} e o IR3; os subespaos prprios do IR3 so as retas e os planos que passam pela origem do sistema de referncia.</p> <p>13</p> <p>ESPAOS VETORIAIS Captulo 1</p> <p>Exemplos1) Sejam V=IR2 e S ={(x,y)} IR2/y = 2x} ou S = {(x, 2x); x IR}, isto , S o conjunto dos vetores do plano que tm a segunda componente igual ao dobro da primeira. Observe-se que S , pois (0, 0) S. (Daqui por diante, fica dispensada a necessidade de verificar se o conjunto no-vazio porque os exemplos trataro somente de conjuntos no-vazios.) Se S subespao vetorial de V = IR2, S deve satisfazer s condies I e II. Para = (x1, 2x1) S e = (x2, 2x2) S, tem-se: I) + = (x1 + x2, 2x1 + 2x2) = (x1 + x2, 2(x1 + x,)) segunda componente de + igual ao dobro da primeira. II) = (x1, 2x1) = (ax1, 2ax1) igual ao dobro da primeira. S pois a</p> <p>S pois a segunda componente de</p> <p>Portanto, S um subespao vetorial do IR2. Esse subespao S representa geometricamente uma reta que passa pela origem do sistema de referncia (Fig. 1.3).</p> <p>14</p> <p>ESPAOS VETORIAIS Captulo 1</p> <p>ObservaoObserve-se que ao escolher dois vetores e da reta y = 2x, o vetor + pertence reta e, se se multiplicar um vetor da reta por , o vetor tambm estar na reta. Se a reta dada S no passar pela origem, S no um subespao vetorial do IR2. Assim, para a reta S = {(x,y) IR2/y = 4 - 2x} ou S = {(x,4 - 2x); x IR} e os vetores (1,2) e = (2,0) de S, verifica-se que + = (3,2) S. =</p> <p>Os exemplos destas duas retas sugerem, para qualquer subconjunto S de um espao vetorial V, que sempre que 0 S, S no subespao de V. Esse fato sempre til para detectar, muitas vezes de imediato, que um subconjunto S no subespao vetorial. No entanto, no se pense que s pelo fato de 0 S, o subconjunto S seja subespao vetorial. o caso do subconjunto S = {(x, |x| ); x IR} IR2.</p> <p>ObservaoObserve-se que, nesse subconjunto, (0, 0) S e que para os vetores = (3, 3) e = (-2, 2) de S, + = (1, 5) S, o que mostra no ser S 2 subespao vetorial do IR .</p> <p>2) Sejam V = IR3 e S = {(x, y, 0); x, y tm a terceira componente nula. Para I) II) = (x1, y1 0) e + =</p> <p>IR}, isto , S o conjunto dos vetores do IR3 que</p> <p>= (x2, y2, 0), tem-se: S, pois a terceira componente de + nula. nula.</p> <p>= (x1 + x2, y1 + y2, 0)</p> <p>(x1, y1, 0) = (ax1, ay1, 0)</p> <p>S, pois a terceira componente de</p> <p>Logo, S um subespao vetorial do IR3. 3) Sejam V = IR3 e S {(x, y, z) = (x1, y1, z1) IR3/2x + 3y - 4z = 0}. Nessecaso:</p> <p>S implica 2x1 + 3y1 - 4z1 = 0</p> <p>15</p> <p>ESPAOS VETORIAIS Captulo 1</p> <p>= (x2, y2, z2)</p> <p>S implica 2x2 + 3y2 - 4z2 = 0</p> <p>I) Somando, membro a membro, as duas igualdades, vem: 2(x1 + x2,) + 3(y1 + y2) 4(z1 + z2) = 0 Essa igualdade mostra que: + pois as coordenadas de II) Por outra parte, = (ax1, ay1, az1) pois, se 2x1 + 3y1 - 4z1 = 0, ento (2x1 + 3y1 - 4z1) = 0 ou 2( x1) + 3 ( y1) - 4( z1) = 0, o que demonstra que as componentes de satisfazem a equao 2x + 3y - 4z = 0. Logo, S um subespao vetorial do IR3. Esse subespao S representa um plano passando pela origem do sistema de referncia. S, + = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) S,</p> <p>satisfazem a equao 2x + 3y - 4z = 0.</p> <p>4) Sejam V = M(3, 1) e S o conjunto-soluo do sistema linear homogneo:</p> <p>3x 4 y 2 z 2x y z z 0 0 x 3yFazendo:</p> <p>0</p> <p>3 4 A 2 1 1 3</p> <p>2 1 , 1 X</p> <p>x y z e 0</p> <p>0 0 , 0</p> <p>o sistema, em notao matricial, ser dado por AX = 0, sendo X elemento do conjuntosoluo S. Se x1 x2</p> <p>X1</p> <p>y1 z1</p> <p>e</p> <p>X2</p> <p>y2 z2</p> <p>so solues do sistema, ento:</p> <p>16</p> <p>ESPAOS VETORIAIS Captulo 1</p> <p>AX1 = 0 e AX2 = 0 I) Somando, membro a membro, as duas igualdades, vem: A (X1 + X2) = 0, o que implica X1 + X2 S,</p> <p>isto , a soma de duas solues ainda uma soluo do sistema. II) Por outra parte, multiplicando por a a primeira igualdade, vem: (AX1) = 0 ou A( X1) = 0, o que implica X1 S, isto , o produto de uma constante por uma soluo ainda uma soluo do sistema. Logo, o conjunto-soluo S do sistema linear homogneo um sub-espao vetorial de M(3, 1). AX=O. O subespao S tambm chamado espao-soluo do sistema AX = 0. Se um sistema linear no-homogneo, o seu conjunto soluo S no um subespao vetorial (verificao a cargo do leitor). 5) Sejam</p> <p>V</p> <p>M2</p> <p>a b c c</p> <p>; a, b, c, d IR</p> <p>e S</p> <p>a 0 c 0</p> <p>; a, c</p> <p>IR ,</p> <p>isto , S o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2, cujos elementos da segunda coluna so nulos. Para quaisquer a1 0</p> <p>c1I) II) +</p> <p>0</p> <p>S,</p> <p>a2 c2</p> <p>0 0</p> <p>S e</p> <p>IR, tem-se:</p> <p>S; S.</p> <p>Logo, S um subespao vetorial de M2.</p> <p>1.4 - COMBINAO LINEAR DE VETORESSejam os vetores v1, v2, ..., vn do espao vetorial V e os escalares a1, a2 an. Qualquer V da forma = a1 1 + a2v2 + ... + an n</p> <p>vetor v</p> <p> uma combinaao linear dos vetores v1, v2, .., vn.</p> <p>17</p> <p>ESPAOS VETORIAIS Captulo 1</p> <p>ExemplosNo espao vetorial IR3, o vetor v = (-7, -15, 22) uma combinao linear dos vetores v1 = (2, -3, 4) e v2 = (5, 1, -2) porque: v = 4v1 - 3v2 De fato: (-7, -15, 22) = 4 (2, -3,4) -3 (5, 1, -2) = (8, -12, 16) + (-15, -3, 6) = (-7, -15, 22)</p> <p>1.4.1 Problemas ResolvidosOs problemas 1 a 3 se referem aos vetores v1 = (1, -3, 2) e v2 = (2, 4, -1) do IR3. 1) Escrever o vetor v = (-4, -18, 7) como combinao linear dos vetores v1 e v2. Soluo Pretende-se que: v = a1v1 + a2v2, sendo a1 e a2 escalares a determinar. Deve-se ter: (-4, -18, 7) = a1 (1, -3,2) + a2 (2, 4, -1) (-4, -18, 7) = (a1, -3 a1, 2a1) + (2a2, 4a2, -a2) (-4, -18, 7) = (a1 + 2a2, -3 a1 + 4a2, 2 a1 - a2) Pela condio de igualdade de vetores, como se sabe da Geometria Analtica, resulta o sistema</p> <p>Cuja soluo : a1 = 2 e a2 = -3. Portanto: v = 2v1 - 3v2</p> <p>18</p> <p>ESPAOS VETORIAIS Captulo 1</p> <p>2) Mostrar que o vetor v = (4, 3, -6) no combinao linear dos vetores v1 e v2. Soluo Deve-se mostrar que no existem escalares a1 e a2, tais que: v = a1v1 + a2v2 Utilizando procedimento anlogo ao do problema anterior, vem: (4, 3, -6) = a1(l, -3, 2) + a2(2, 4, -1) (4, 3, -6) = (a1, -3 a1, 2 a1) +...</p>