algebra linear 1 resumo e exercÍcios* p1 · regras que se aplicam a quaisquer matrizes quadradas....
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ALGEBRA LINEAR 1 – RESUMO E EXERCÍCIOS* P1
*Exercícios de provas anteriores escolhidos para você estar preparado para qualquer questão na prova. Resoluções em simplificaaulas.com
VETORES
Um vetor é uma lista ordenada de números que tem como
interpretação geométrica uma "seta" que dá uma direção,
sentido e tem um certo tamanho (chamado de norma ou
módulo). Dois vetores são equivalentes se possuírem o mesmo
módulo, a mesma direção e o mesmo sentido, mesmo estando
em locais diferentes do espaço.
OPERAÇÕES COM VETORES
Soma - somar as coordenadas.
Subtração - subtrair as coordenadas.
Multiplicação por escalar - o número (escalar) multiplica cada coordenada do vetor.
COMBINAÇÃO LINEAR E INDEPENDÊCIA LINEAR Combinação linear é quando escreve-se um vetor como
combinação de outros (�⃗� = 𝛼�⃗⃗� + 𝛽𝑐). Para fazer uma
combinação linear usamos as operações de soma, subtração ou multiplicação por escalar. Quando um vetor é combinação linear de outros dizemos que eles são Linearmente Dependentes (LD). NORMA OU MÓDULO Dado o vetor �⃗� = (𝑎, 𝑏, 𝑐), a sua norma (ou módulo) é igual a:
‖�⃗�‖ = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
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BASE Pode-se entender a base como as coordenadas de um espaço vetorial: a partir dos elementos da base é possível escrever qualquer elemento do subespaço como uma combinação linear única. Isso significa que a base possui somente elementos linearmente independentes. Se o espaço vetorial tem dimensão n, uma base sua terá n elementos linearmente independentes.
PARAMETRIZAÇÃO
Parametrização é quando descrevemos espaços (um ponto, uma reta, um plano) em função de vetores. A primeira coisa com que é preciso se preocupar é qual a dimensão do espaço
que queremos descrever. Por exemplo, uma reta tem dimensão um, um plano tem dimensão dois, um ponto tem dimensão zero. O número de dimensões do seu espaço é o número de vetores LI's necessários para descrevê-lo.
Ponto: zero dimensões
Reta: uma dimensão → um vetor
Plano: duas dimensões → dois vetores
Sólido tridimensional: três dimensões → três vetores Cada vetor linearmente independente dá uma direção: esses
vetores são chamados vetores diretores. Sabendo a dimensão agora é preciso saber por onde o espaço passa, por quais pontos. Conhecendo 1 ponto do espaço e vetores linearmente independentes desse espaço você consegue defini-lo. Exemplo: Parametrize um plano α que passa pelo ponto (1,2,3)
e contém os vetores (1,1,1) e (1,0,1). α=(1,2,3) +t(1,1,1) + s(1,0,1)=(1+t+s,2+t,3+t+s)
Possui duas variáveis independentes pois um plano tem duas dimensões.
PRODUTO ESCALAR
�⃗⃗� . �⃗� = ‖�⃗⃗�‖. ‖�⃗�‖. 𝑐𝑜𝑠𝜃 (𝜃 é o ângulo entre os dois vetores)
Ou, com as coordenadas, sendo �⃗⃗� = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) e �⃗� = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3):
�⃗⃗� . �⃗� = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 + 𝑢3𝑣3
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PROJEÇÃO ORTOGONAL
Quando queremos fazer a projeção ortononal de um vetor em outro (projeção na direção do outro):
SISTEMAS LINEARES
São um conjunto de equações cartesianas. FORMA MATRICIAL DE SISTEMAS LINEARES Um sistema linear pode ser entendido como uma multiplicação
Matriz-Vetor da forma A*x = b, onde A é a matriz cujas entradas são os coeficientes que multiplicam o vetor incógnita (ou vetor reposta) x = (x,y,z,...), b é o vetor dos termos independentes. Exemplo:
{𝑥 + 𝑦 = 100
10𝑥 + 20𝑦 = 1250
Podemos escrever o sistema de duas formas:
[1 1
10 20] ∗ [
𝑥𝑦] = [
1001250
] ou [1
10
120
100
1250]
SISTEMA HOMOGÊNEO É o sistema linear cujo vetor b dos termos independentes é totalmente nulo. Em forma matricial, um sistema homogêneo tem a forma A*x =0.
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS Existem várias formas de resolver sistemas. A mais conhecida é a substituição, que consiste em isolar uma variável em uma equação e substituir na outra até só sobrar uma. No entanto a mais eficiente é o escalonamento, que consiste em usar a matriz do sistema e através de combinações das linhas transformá-la em uma matriz triangular superior.
�⃗� = 𝑝𝑟𝑜𝑗�⃗⃗⃗��⃗� =�⃗�. �⃗⃗⃗�
‖�⃗⃗⃗�‖2 �⃗⃗⃗�
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INTERPRETAÇÃO DAS SOLUÇÕES DE UM SISTEMA Existem três possibilidades para a solução de um sistema:
SPD: Sistema Possível Determinado → um único vetor resposta x para o sistema. Geometricamente, essa solução é um ponto no espaço.
SPI: Sistema Possível Indeterminado → Infinitos vetores
resposta x para o sistema. A solução pode ser uma reta, um plano, um hiperplano...
SI: Sistema Impossível → não tem solução: não existe x que satisfaça o sistema.
MATRIZ INVERSA Uma matriz é chamada de inversível ou não singular se, e somente se, seu determinante é diferente de zero, por isso uma matriz só pode ser inversível se for uma matriz quadrada com
determinante diferente de zero e é representada pelo número -1 sobrescrito ao nome da matriz. Exemplos:
A-1 é a representação da matriz inversa de A B-1 é representação da matriz inversa de B
Para encontrar a inversa, devemos resolver a equação matricial:
𝐴. 𝐴−1 = 𝐼 , onde I é a matriz identidade. Lembrando que matriz identidade é a matriz quadrada (n x n) em que todas as entradas da diagonal principal são iguais a 1 e as demais são iguais a zero. Propriedades:
Se A e B são inversíveis, A.B também é e (𝐴. 𝐵)−1 = 𝐵−1. 𝐴−1
Se 𝐴𝑛 é inversível, então (𝐴𝑛)−1 = (𝐴−1)𝑛
Se 𝐴𝑡 é inversível, então (𝐴𝑡)−1 = (𝐴−1)𝑡
Talvez pareça confuso e inútil mas não é. Você verá isso melhor nos exercícios de provas anteriores. MATRIZ TRANSPOSTA
Encontramos a matriz transposta trocando linhas por colunas e vice e versa.
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DETERMINANTES
A toda matriz quadrada está associado um número ao qual
damos o nome de determinante.
Para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de ordem menor ou igual a 3 (n≤3), temos algumas regras práticas
para realizar estes cálculos. Entretanto, quando a ordem é superior a 3 (n>3), muitas destas regras não são aplicáveis.
Por isso veremos o teorema de Laplace, que, utilizando o conceito do cofator, conduz o cálculo dos determinantes para
regras que se aplicam a quaisquer matrizes quadradas.
Temos que cada elemento de uma matriz quadrada possui o seu respectivo cofator, sendo este cofator um valor numérico, que é obtido através da expressão a seguir:
Onde: Aij é o cofator do elemento aij da matriz A i é o número da linha j é o número da coluna Dij é o determinante da matriz obtida através da matriz A, entretanto você deverá excluir da matriz os elementos da linha i e da coluna j.
O teorema de Laplace consiste em escolher uma linha ou
coluna da matriz e somar os produtos dos elementos dessa linha/coluna pelos seus respectivos cofatores.
Exemplo:
Calcule o determinante da matriz C, utilizando o teorema de Laplace:
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Vamos utilizar a primeira coluna:
Encontrando os valores dos cofatores:
Sendo assim, pelo teorema de Laplace, o determinante da matriz C é dado pela seguinte expressão:
Note que não foi preciso calcular o cofator do elemento da matriz que era igual a zero, afinal, ao multiplicarmos o cofator, o resultado seria zero de qualquer forma. Diante disso, quando nos depararmos com matrizes que possuem muitos zeros em alguma linha ou coluna, a utilização do teorema facilita as coisas .
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PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 1) O determinante de uma matriz é igual a zero se:
os elementos de uma linha ou de uma coluna são iguais a zero;
ocorrer igualdade de elementos entre duas linhas ou duas colunas;
duas linhas ou duas colunas tiverem elementos de valores proporcionais.
Exemplos:
2) Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por um número K, o seu determinante fica multiplicado por K.
Os elementos da 1ª linha foram multiplicados por 2, então: det P’=2*detP 3) det (k*A) = kn * det A 4) det R = det (Rt). 5) Ao trocarmos duas linhas ou duas colunas de posição de uma matriz, o valor do seu determinante passa a ser oposto ao determinante da anterior. 6) O determinante de uma matriz triangular (aquela que os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero) é igual à multiplicação dos elementos da diagonal principal. 7) Considerando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz produto, temos que: det (AB) = (det A) * (det B) 8) Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou de uma coluna pelo mesmo número e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna, formamos a matriz B, onde ocorre a seguinte igualdade: det A = det B.
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EXERCÍCIOS (vídeos de resoluções destes exercícios em simplificaaulas.com)
1) (P1 2015) Sejam �⃗� , �⃗⃗⃗� ∈ 𝑉3 vetores tais que:
‖�⃗�‖ = 3, ‖�⃗⃗⃗�‖ =1
E tais que a medida do ângulo entre �⃗� e �⃗⃗⃗� seja igual a 𝜋
6. Se 𝜃 denota
a medida do ângulo entre �⃗� + �⃗⃗⃗� 𝑒 �⃗� − �⃗⃗⃗� , então cos ϴ é igual a:
(a) 8
√73;
(b) 10
3√7;
(c) 8
√76;
(d) 10
√73;
(e) 8
3√7.
2) (P1 2017) Sejam �⃗� , �⃗⃗⃗�, 𝑧 ∈ 𝑉3 vetores tais que �⃗� e �⃗⃗⃗� sejam ambos
ortogonais a 𝑧. Suponha que: ‖�⃗� + �⃗⃗⃗� + 𝑧‖2
= ‖�⃗� ‖2
+ ‖�⃗⃗⃗� ‖2
+ ‖𝑧 ‖2e
considere as seguintes afirmações:
(I) 𝑧 = 0⃗⃗;
(II) �⃗� e �⃗⃗⃗� são ortogonais ;
(III) �⃗� e �⃗⃗⃗� são linearmente dependentes.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas a afirmação (III) é necessariamente verdadeira;
(b) apenas a afirmação (II) é necessariamente verdadeira;
(c) apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente
verdadeiras;
(d) apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira;
(e) apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente
verdadeiras.
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3) (P1 2017) Sejam �⃗�, �⃗⃗⃗�, 𝑧 ∈ 𝑉3 vetores tais que �⃗� 𝑒 �⃗⃗⃗� sejam ambos
ortogonais a 𝑧,
‖�⃗�‖ = 3, ‖�⃗⃗⃗�‖ = 4 e ‖𝑧‖ = 5 e a medida do ângulo entre �⃗� 𝑒 �⃗⃗⃗� seja igual
a 𝜋
3.
Temos que ‖�⃗� + �⃗⃗⃗� − 𝑧‖ é igual a:
(a) √62;
(b) 4;
(c) 5;
(d) √5;
(e) √10.
4) (P1 2017) Sejam �⃗� , �⃗⃗⃗�, 𝑧 ∈ 𝑉3 vetores tais que:
‖�⃗�‖ = 3, ‖�⃗⃗⃗�‖ = 2 e ‖𝑧‖ = 1
Suponha que �⃗� e 𝑧 sejam ortogonais, que a medida do ângulo entre
�⃗� e �⃗⃗⃗� seja igual a 𝜋
3 e que a medida do ângulo entre �⃗⃗⃗�, 𝑒 𝑧 seja igual a
𝜋
4 . Temos que a projeção ortogonal de �⃗� + 2�⃗⃗⃗� + 𝑧 sobre �⃗� é igual a:
(a) 4
3 �⃗�;
(b) 4 𝑣⃗⃗⃗⃗;
(c) 2 �⃗�;
(d) 5
3 �⃗�;
(e) 11
9 �⃗�.
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5) (P1 2017) Seja ℬ uma base ortonormal de 𝑉3 e considere os
vetores: �⃗� = (1, 0, -1)ℬ
e �⃗⃗⃗� = (0, 1, 1)ℬ
.
Seja �⃗� = 𝑝𝑟𝑜𝑗�⃗⃗⃗��⃗� e seja �⃗⃗� = (x, y, z)ℬ
uma combinação linear de �⃗� e �⃗⃗⃗�
que seja ortogonal a �⃗� e que satisfaça a igualdade �⃗�. �⃗⃗� = 1 .
Temos que x + y + z é igual a:
(a) − 8/3 ;
(b) − 4/3 ;
(c) 10/3 ;
(d) 2/3 ;
(e) −2.
6) (P1 2017) Seja ℬ uma base de 𝑉3 e considere os vetores: �⃗�1 =
(1, −2,0)ℬ, �⃗�2 = (0,3, −1)ℬ e �⃗�3 = (3, −3, −1)ℬ. Se β, γ ∈ R forem tais que
�⃗�1 + 𝛽�⃗�2 + 𝛾�⃗�3 = 0⃗⃗, então βγ será igual a:
(a) −1
9 ;
(b) 1
9 ;
(c) −1;
(d) 1
3 ;
(e) −1
3 .
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7) (P1 2017) Seja ℬ uma base ortonormal de 𝑉3 e considere os
vetores: �⃗� = (1, -1, 2)ℬ
e �⃗⃗⃗� = (3, -1, 1)ℬ
. Seja 𝑧 o vetor paralelo a �⃗�
tal que �⃗⃗⃗� − 𝑧 seja ortogonal a �⃗�. A norma do vetor 2𝑧 − �⃗⃗⃗� é igual a:
(a) √10;
(b) √11 ;
(c) √7;
(d) √8;
(e) √12.
8) (P1 2017) Seja a ∈ R e considere os vetores : �⃗⃗�1 = (1, −𝑎, −1)ℬ, �⃗⃗�2 =
(𝑎, 1, −1)ℬ e �⃗⃗�3 = (1,1,1)ℬ, em que ℬ é uma base de 𝑉3. Pode-se afirmar
que:
(a) {�⃗⃗�1, �⃗⃗�2, �⃗⃗�3} é uma base de 𝑉3 se, e somente se, 1 ≤ a < 3;
(b) {�⃗⃗�1, �⃗⃗�2, �⃗⃗�3} é uma base de 𝑉3 se, e somente se, 3 ≤ a < 5;
(c) {�⃗⃗�1, �⃗⃗�2, �⃗⃗�3} é uma base de 𝑉3 se, e somente se, −2 < a < −1;
(d) {�⃗⃗�1, �⃗⃗�2, �⃗⃗�3} é uma base de 𝑉3 se, e somente se, 5 ≤ a < 7;
(e) {�⃗⃗�1, �⃗⃗�2, �⃗⃗�3} é uma base de 𝑉3.
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9) (P1 2017) Considere a matriz:
𝐴 = (
1 0 −1−1 0 −10 2 0
111
2 0 1 0
)
Temos que a soma dos elementos na diagonal principal da matriz
𝐴−1 é igual a:
(a) −1
2;
(b) 3
4 ;
(c) 1
4;
(d) 0;
(e) −1
4;
10) (P1 2015) Seja A uma matriz real 3 X 3 tal que det(A) = 7. Temos
que: (det(𝐴3) + det(3𝐴)) det(𝐴−1) é igual a:
(a) nenhuma das outras alternativas é correta;
(b) 76;
(c) 3724;
(d) 534
7;
(e) 52.
11) (P1 2017) Sejam A e B matrizes reais 5 × 5 e suponha que: det(A)
= 3 e det(B) = −1. Denote por 𝐴𝑡 a transposta da matriz A. Temos que
det(−2𝐴𝐵𝐴𝑡 ) é igual a:
(a) −18;
(b) 6;
(c) 288;
(d) 18;
(e) −288.
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12) (P1 2014) Considere a matriz A ∈ M3(ℝ), dada por 𝐴 = (
𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖
)
. Se B = (
𝑎 𝑐 5(𝑏 − 2𝑐)
𝑑 𝑓 5(𝑒 − 2𝑓)𝑔 𝑖 5(ℎ − 2𝑖)
), sabendo que det(A) = 2, pode-se afirmar
que det(𝐵−1) é igual a:
(a) −1/10
(b) −1/100
(c) −1/20
(d) 1/100
(e) 1/20
13) (P1 2016) Considere a matriz:
𝐴 = (
2 1 01 1 0
−1 1 1
−110
1 2 0 1
)
e denote por 𝐴𝑡 a sua transposta. Temos que det(𝐴3) − det[3(𝐴𝑡)−1] é
igual a:
(a) -26;
(b) 55;
(c) 0;
(d) 26;
(e) 81.
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14) (P1 2014) Considere as matrizes:
𝐴 = [
1 30
−11
132
−2 −301
−1
−13
−2
] 𝐵 = [
1 03
−2−3
10
−1
−1 1313
2−1−2
]
e as afirmações abaixo:
(I) det(A) ≠ det(B)
(II) det(A) = det(B)
(III) det(𝐴2𝐵) = −63
(IV) det(A𝐵2) = −43
Está correto o que se afirma em:
(a) (I), (III) e (IV), apenas.
(b) (II) e (IV), apenas.
(c) (I) e (III), apenas.
(d) (I) e (IV), apenas.
(e) (II) e (III), apenas.
15) (P1 2015) A igualdade abaixo:
(
1 1001
00
−1
0 0110
1−10
)
−1
(
1 1111
001
−1 0−1−1−1
110
0022
) = (
1 1010
000
−1 00
−10
010
1−111
)
não é valida. Qual coluna da matriz do lado direito da igualdade deve
ser alterada para que a igualdade se torne valida?
(a) a primeira;
(b) a segunda;
(c) a quinta;
(d) a quarta;
(e) a terceira.
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16) (P1 2017) Seja a ∈ R e considere o sistema linear
{
𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 𝑦 + 𝑎𝑧 = 𝑎2
nas incógnitas reais x, y e z. Temos que esse sistema possuirá uma
única solução se, e somente se:
(a) 0 < a < 1;
(b) a = 0;
(c) a ≠ 0;
(d) a ≠ 1;
(e) a = 1.
17) (P1 2014) Uma caixa contendo moedas de 1, 5 e 10 centavos tem
13 moedas totalizando 83 centavos. Então, pode-se afirmar que o
número de moedas de 1 somado com o número de moedas de 5
menos o número de moedas de 10 é igual a:
(a) 1
(b) 5
(c) 7
(d) −5
(e) −1