matrizes 2014
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Prof.: Rodrigo Carvalho
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MATRIZ é uma tabela numérica, disposta em m linhas e n colunas.
Exemplos:
34
51
82
A 4610B 96
15C
2861
2535
7038
C2C1 C3 C4
L1
L2
L33x4
Ordem da Matriz
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É uma matriz que representa todas as matrizes de mesma ordem.
Exemplos
1) 2)
3231
2221
1211
23A
aa
aa
aa
axij
333231
232221
131211
33B
bbb
bbb
bbb
bxij
Cada elemento de uma matriz tem a sua posição representada da seguinte maneira:
aij
Linha
Coluna
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Exemplo
a) Matriz Linha → Matriz que possui uma única linha.
4x1
4610B
Exemplo
b) Matriz Coluna → Matriz que possui uma única coluna.
1x27
2A
Exemplo
c) Matriz Nula → Matriz que possui todos os elementos nulos.
000
000O 3x2
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Exemplo
d) Matriz Oposta → Matriz obtida a partir da troca dos sinais dos elementos da matriz dada.
e) Matriz Quadrada
Exemplos
3x2754
012A
3x2754
012A
1)
2x293
62A
2)
3x3543
501
032
A
→ Matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas.
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333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
B
→ As matrizes quadradas possuem duas diagonais:
Exemplo
DP
DS
Diagonal Principal (i = j)
Diagonal Secundária (i + j = constante)
Observação:
→ É a matriz quadrada na qual os elementos da DP são iguais a 1 e os demais iguais a zero
2x2
2 10
01I
Exemplo
e.1) Matriz Identidade
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Propriedades
Exemplos
É a matriz obtida a partir da troca ordenada das linhas pelas colunas da matriz dada.
1)
2)
3x23104
826A
2x3
t
38
102
46
A
2x240
32B
2x2
t
43
02B
1) (At)t = A 2) (A + B)t = At + Bt 3) (A . B)t = Bt . At
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Exemplo
Uma matriz quadrada A é dita simétrica quando At = A.
3x3
t
175
703
532
A
3x3175
703
532
A
OBS: Os elementos simétricos em relação à DP são iguais.
3x3175
703
532
A
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Exemplo
Uma matriz quadrada A é dita anti-simétrica quando At = - A.
3x3
t
075
703
530
A
3x3075
703
530
A
33075
703
530
x
A
OBS: Os elementos da DPsão nulos e os simétricos em relação a ela são opostos.
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Exemplos
a) Adição e Subtração Para adicionar e subtrair matrizes de mesma ordem, operamos os elementos de mesma posição.
1)
2)
253
041
701
432
552
413
13
53
10
24
03
71
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Exemplos
b) Multiplicação b.1) Produto de uma matriz por uma constante
1)
2)
16104
826A2
852
413AConsidere a matriz , determine:
A2
1
42
51
22
1
2
3
Para multiplicar uma matriz por uma constante, basta multiplicar todos os elementos dessa matriz pela constante.
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b.2) Produto entre matrizes
pmpnnm xxxABB.A
Condição: Nº de colunas da 1ª = Nº de linhas da 2ª Ordem da matriz resultante: L1ª x C2ª
Para multiplicar duas matrizes, é necessário o número de colunas da 1ª matriz ser igual ao número de linhas da 2ª matriz.
=
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Exemplo
AB. produto matriz a
possível, se determine,,43
02B e
03
14
12
A Sejam22
23x
x
234.00.33.02.3
4).1(0.43).1(2.4
4.10.23.12.2
x
2306
45
47
x
AB
O produto entre duas matrizes é obtido multiplicando-se cada linha da 1ª matriz por cada coluna da 2ª matriz.
2x22x3
43
02.
03
14
12
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OBSERVAÇÃO
Exemplo
Para multiplicar uma matriz por uma matriz escalar, quando possível, basta multiplicar cada elemento da matriz pelo escalar da DP.
2x22x3
20
02.
03
14
12
2x306
28
24
CONCLUSÃO: A . In = A
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Seja uma matriz quadrada A de ordem n (n ≥ 1). A essa matriz está associado um único número chamado determinante de A.
Exemplos
2x239
42A
4x14610B
3x3945
415
072
C
→ Ǝ det A
→ Ǝ det C
→ Não existe det B, pois a matriz B não é quadrada.
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Determinantes de 1ª Ordem O determinante associado a uma matriz de 1ª ordem é o próprio elemento a11.
Exemplos
1) det A = 7
2) = -2
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Determinantes de 2ª Ordem
Exemplos
31
42A
74
53C
1)
2)
det A = 2.3 - 1.4 = 2
det C = - 3.7 - (- 4).5 = - 1
3) 31
533.3 - 1.5= 4
O determinante associado a uma matriz de 2ª ordem é obtido pela diferença entre o produto dos elementos da DP e o produto dos elementos da DS.
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Determinantes de 3ª Ordem (Regra de Sarrus)
Exemplo
321
103
241
A
det A = (1.0.(-3) + 4.1.(-1) +2.3.2) – ((-1).0.2 + 2.1.1 + (-3).3.4)
21
03
41
det A = 8 – (-34)
det A = 42
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Exemplo
É o determinante associado a um elemento aij de uma matriz quadrada de ordem maior do que 1, quando suprimimos sua linha e sua coluna.
Determine o menor complementar do termo a23 na matriz abaixo.
321
103
241
A 21
4164).1(2.1
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Exemplo
É o determinante obtido pelo produto entre o Menor Complementar de um elemento aij e o fator (- 1) i + j.
Determine o cofator do termo a23 na matriz abaixo.
321
103
241
A
21
41.1 32 66.1
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Exemplo P1º) Escolhe-se uma fila qualquer.
0105
2340
0036
0011Sugestão: Escolhe-se a fila com o maior número de “zeros”.
P2º) Multiplica-se cada elemento da fila escolhida por seu cofator.
P3º) O determinante associado à matriz original será a soma dos determinantes parciais obtidos no P2º).
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Uma matriz quadrada A é dita inversível(ou não singular), quando det A ≠ 0. Denotando a inversa da matriz A como A-1, então
A . A- 1 = A- 1 . A = In
Exemplo
Determine a inversa, caso exista, da matriz .
34
12A
Quando det A = 0, dizemos que a matriz é singular.
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Regra prática para Matriz Inversa de 2ª Ordem
Exemplo
(1º Passo)
Adet
24
13
A 1
Troca-se de posição os elementos da DP.
(2º Passo) Troca-se de sinais os elementos da DS.
(3º Passo) Divide-se todos os elementos da matriz pelo determinante associado à matriz original.
Calcule a matriz inversa de .
34
12A
2
24
13
122
1
2
3A 1
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Cálculo da Matriz Inversa de ordem n≥2
Adet
A) (cofA
t1
ou
Adet
A adjA 1
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Propriedades que anulam um determinante:
0
731
000
321
O determinante é nulo quando tem uma fila toda nula.
O determinante é nulo quando tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais.
0
321
815
321
0
1284
815
321
X 4 IGUAIS
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Propriedades que alteram um determinante:
254
32
Um determinante muda de sinal quando duas filas paralelas mudam de posição.
Quando se multiplica ou divide uma fila de um determinante por uma constante, o novo determinante fica multiplicado ou dividido por essa constante.
245
23
245
23 6
125
63
x3
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Propriedades que alteram um determinante: Se A e B são duas matrizes quadradas de mesma ordem, então det(A.B) = det A . det B. (Teorema de Binet)
43
12A
21
40B
Exemplo Calcule o determinante de A.B.
→ det A = 2.4 – 3.1 = 5
→ det B = 0.2 – 1.4 = - 4
det (A.B) = det A . det B
det (A.B) = 5 . (– 4)
det (A.B) = – 20
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Sendo A uma matriz quadrada:
Adet Adet a) t
Adet Adet a) t
Adet
1Adet b) 1-
Se uma matriz quadrada A de ordem n é multiplicada por uma constante k, o seu determinante fica multiplicado por kn , ou seja:
A.det k(k.A)det n
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400
530
172
A
Uma matriz quadrada é dita triangular, quando aij = 0, para i > j ou i < j.Exemplo
Em uma matriz triangular, o determinante é igual ao produto dos elementos da DP.
400
530
172
DP
4.3.2 24
Matriz triangular superior