algebra - exercitii seminar

7/25/2019 Algebra - Exercitii Seminar

1/24

;i

FORMA

CANONICA

JORDAN

A

MATRTCTLOR

3x3

Acest

document contine:

j

1.

Descfierea

problemei.

2. Prezentarea

scurta

a algoritmului

de aducere la forma

canonica

Jordan.

3.

Prezentarea

a doua

exemple

explicite,

comentate,

cu detalii

de

calcul

complete.

4.

O

lista

de matrici,

drept

exemple

propuse

pentru

rezolvare.

1. Descrierea

problemei

Se da

o

matriceA

de numere

complexe,

de dimensiune

nxn.

Orice matrice

B

obtinuta

dinA

cu

formula

B=C^G1)*A"C

se numeste

matrice

echivalenta

cuA.

Aceasta

relatie

intre

matrici

este

o

rctatie de echivalenfa,

adica

este

reflexiva,

simetica

si

tranzitiva.ln

consecinta,

matricile

se

grupeaza

in

c/ase

de

echivalenfa.

Acestea

sunt

multimi disjuncte de matrici, formate din matrici echivalente intre

ele.

Problema

naturala

care

se

pune

deci:

Descrierea

tuturor

acestor

clase de

echivalente.

Putin

mai

concret:

Sa se

gaseasca

in fiecare

clasa

de echivalenta

cate ,,

reprezentant,

care este "cel

mai

simplu",

spre

exemplu

contine

cele mai

multe

0-uri.

Raspunsul

exact

si complet

la

aceasta

problema

este

dat de urmatoarea

teorema:

Teorema

(Jordan):

Orice

matrice

A este

echivalenta

cu o

singura

matrice

D,

care are

o

structura "celulara"

de

urmatorul

tip:

D:=

Jr00 0

0

0 J20

0

0

00OJt_,0

0 00

0

Jt

unde

\. 1000

t

0 \.r

0

0

t

0

0

0x.

r

I

0 000\.

I

O asemnea

matrice

se

numeste

bloc Jordan,

numarul

complex

).r de

pe

diagonala ei

se

numeste

valoare

prcprie,

iar

dimensiunea

blocului

este numarul

de linii

sau

coloane

(matrice patratica).

J.:=

I


2/24

t

lata

cum

arata

blocurile

Jordan

de dimensiune

respectiv

1,2,3,

4,

...:

l:= (\)

dimensiunea

1:

dimensiunea

2:

dimensiunea

4:

\,0

0\z

00

00

,,=

()

l)

ln

consecinta,

formele

canonice

Jordan

posibile

ale

matricilorA

de

dimensiune

1,2,3,4,...

sunt:

D:=

(\)

(^,

D:=

I

Io

;)

,I

,'=

()

L)

dimensiunea

3:

(^,

o

',=lo

x?

t-

[0

0

il]

.I

ll

t o\

)lJ

D:=

00

l0

\lo

OX,

Observatii:

1. ln

formulele

de mai

sus valorile

proprii

l,

cu indici

diferiti nu

inseamna

automat si

valori

diferite Daca am impune aceasta conditie, atunci listele

ar

fi

mai lungi (vezi

mai

jos).

De

altfel in

cadrul

problemelor

propuse

vor

figura

matrici

care acopera

toate

aceste situatii

2. ldentificati

structura "celulara"

a acestor forme

canonice

Spre exemplu in

dimensiunea

4,

a doua forma

are

urmatoarea

structura

celulara: o celula

de dimensiune

2

cu

1,1

pe

diagonala,

si doua

celule

de dimensiune

1

cu

?y2

respectiv

1,3

pe

diagonala.

lnca

o

data

atragem atentia

ca aceste valori

prprii

?,,1,

),,2,13

nu

sunt neaparat

distincte.

3. Strucura

canonica

Jordan

este

unica, abstractie facand

de

pozitia

celulelor in

structura

lui

D,

care

nu

este importanta.

De asemenea

numerele

1 deasupra

diagonalei

pot

fi

mutate

dedesubtul

diagonalei,

toate

acestea

insemnind doar

a

permutare

a ordinii

de scriere a

vectorilor

bazei noi,

pentru

aplicatia

liniara definita de

matricea

data.

(Exercitiu)

D:=

00

00

\0

0\o

\ll

oxt

00

00

00

00

xzo

0\:

\rl

o

0\r0

0 0\2

000

D:=

0

0

I

\z

D:=

\, 1

0\,

00

00

(x

r

o

o\

lo

\ r nl

''=

[:

: ]

l]


3/24

ln consecinta,

daca la

indici

diferiti

corespund v6lori

diferite,

avem

urmatoarele forme

canonice

in

dimensiunea

2

si 3:

dimensiunea

2:

dimensiunea

3:

vezi

problemele:

1

23

456

2.

Prezentarea

scurta

a algoritmului

de aducere la forma

canonica

Jordan

pentru

matrici

2x2 si 3x3

Preull:

Calculul

polinomului

caracbristic,

p,

si a radacinilor

acestuia

A1, A2,

43. Aceste radacini

sunt valoriilor

propriiale

matricii

A.

Pasul2:

Calculul

vectorilor

proprii

pentru

fiecare raloare

proprie.

Pasul3:

Calculul

vectorilor

auxiliary

(daca

este cazul).

Pasul4:

Scrierea formei

canonice D,

si

a

maticii

de

schimbare

a bazei

C.

Algoritmul

in

detaliu:

Se calculeaza

polinomului

caracbristic,

p,

si

radacinile

acestuia 41,

12,

43.

Cazul

1:

41, 42,

A3 diferite

doua

cate doua.

(A-Al

"l)v=O

-->

v1

(A-42.l)wO

-->

{2

(A-,\3.l)w0

->

v3

Forma

canonica

este D=treicelule

de dimensiune

1,

cu Al, A2

si13

pe

iliagonala, ;"r

g=(vl

v2

v3)

,

=

[:'

i,J

,

=

[:'

;)

,,=(]

l)

(^,

l o')

o'=lo

\,

,

I

[,

o

^r)

(^,0

o

o,=lo

x. o

[,

,'

^,

.IiiJ

/x r

o\

''=

[:

]

l]

(^,oo

o'=lo

\r o

['

o

\z

/x

o

o\

'=[;

]

lJ


4/24

Cazul2:A1=42,

diferit

de

A3

(A-tr1

.l)v=O

-->

vl

(adica

avem 1

parametriu)

(A-13

*l)v=vl

-->

{2

(avem

un

vector

auxiliar)

.

(A-43

*l)te0

-->

v3

Forma

canonica

este

D=doua celule,

una de

dimensiune 2,

cu

)r1

pe

diagonala,

si una de

dimensiune

1, cu

A3

pe

diagonala, iar

C=(v1

2 v3).

Cazul

3:

A1=42,

diferit de

r\3

(A-I1

.l)v=0

-->

v1, v2

(linear

independenti,

adica avem

2

parametrii)

(A-43.l)w0

->

v3

Forma

canonica

este D=trei

celule de dimensiune

1, cu A1,

A2

si

A3

pe

diagonala,

,rt.

g=(vl

v2

v3).

Cazul4:.

A1=12=A3

(A-Al

.l)v=0

-.>

v1

(adica

avem 1

parametriu)

(A-Al

.l)v=v1

-->

v2

(primulvectorauxiliar)

(A-ll

.l)wl2

-->

v3

(al

doilea vector auxiliar)

Forma

canonica

este D=o

celula de dimensiune

3, cu

11

pe

diagonala,

'rr

6=(vl v2

v3).

Cazul 5:

A1=42=43

(A-Il

.l)v=0

-->

wl,

w2 (adica

avem

2

parametrii,

doivectori

liniar

independenti)

alegem v2

astfel ca

$/2,

w1, w2) sa fie liniar

independenti.

(v2

vector

duxiliar)

(A-41

.l)v2=vl

-->

vl

(primul

vector

propriu)

v3=wl

sau v3=w2,

daca

{vl,

w1} liniar

independenti

sau

{vl,w2}

sunt

liniar

independenti

(al

doilea vector

propriu)

Forma

canonica

este

D=o

celula de dimensiune

2, cu A'l

pe

diagonala,

si o

celula

de dimensiune

1

tot

cu Al

pe

diagonala, iar

Q=(vl lr2 v3).

Cazul

6:

A1=42=43

(A-Il

.l)v=0

-->

v1

,

tt2,

v3

(adica

avem

3

parametrii,

trei

vectori

liniar

independenti)

A=I1*1,

adica este data

in

forma canonica,

nu

avem ce calcula


5/24

3. Prezentarea

de

exemple

explicite,

combntate,

cu detalii

de

catcul

complete

Pregatirea

problemetor:

(t

o o\

(r

lo\

'u,=lr,rl

$,=lo,,l

[r

-zr)

[oo

r)

,Sr:=

u'v

(r

r

o\

(-r

I t\

c=lr

2 t

I .-t=1,

-,-,1

(.,-r

-r)

[*

z t)

I

:=

identiry(3)

====

=

===

=

==

=

==

=

===

=

=

= =

= =

= =

=

= = = = == = =

= =

=

===

=====

=

==

=====

=

==

=.==

Pregatirea

problemei

nr

i:

(z

r

o\

(r

I

o\

o,=lrr,l

"=1,211

\0

o

2/

\r

_1

_t)

(t

t o\

-rll

;f:=C.D.C'

A=l{

5 ll

tt

\s

-3

0)


6/24

PROtsLEMA1:

Se da matricea

A. Sa se calculeze

forma canonica

Jordan si

matricea

schimbarii

bazei.

(r l

o\

e=l-+

s r

I

[,

4 o)

SOLUTIE:

Pl:

calculul

polinomului

caracteristic,

p,

si

a

radacinilor

acestuia,

valoriile

proprii

ale lui A

p(\):=

le

-

X.rl factor

-+

-(\ -

2)3

\r:=

2

\.r:=

2

\,

:=

2

\

)

P2:

C

alcu lul vectorilo

r

proprii.

/*\

(

u-* \

(A-2D.|

,l-l

3.y-4.x+z

|

,*uro-2.D=2

\z) \5.*

-

3.y

-

2.2)

Rangulfiind 2,

avem 2 necunoscute

principale,

si o necunoscuta

secundara, deci

un

parametru.

O ecuatie

este secundara, se

poate

omite din sistem.

Given

y-x=0

3.y-4tx+z=0

x=o

/o\

Find(x,y,z)-l"l

tt

\a,/

Punand

q=1,

avem vectorul

propriu:

,

-

[i]

(1a,

v

(A_2r)v,=[l)

(1)


7/24

rank(augment(,t

-

z.t,vr))

=

z

P2:

C

alcu hrl

vectorilo

r

auxiliari.

/*\

(

v-x-l

\

(A-rDlrl-,,*l

3.y-4.x

+z-t

I

[.;]

\5.x

s.y

-

z.z

-

t

)

f.)

(

'-*

)

(A-2'D.l

rl-ur-rl

3.y-4.x+z-r

I

(.,J

'

(.r.*-3.y-z.z+z)

Find(x,y,z)

-

[_l

,J

Given

y-x-l=0

3.y

*

4.x +

z-

I

=

0

x=o

Punand

o=0,

avem

vectorulauxiliar:

(A

-

2.t).v,

(2a)

(2)

,,

=[i]

''=[l]

rank(auement(e

-

z'r,vr))

=

z

Given

'Ytx=0

3.y-4.x+z-l=0

xEd.


8/24

Punand

q=0,

avem vectorulauxiliar:

',

=

[i]

(3a,

/o\

(A-2'l)'vr-'r=lol (3)

IoJ

P3:

Scrierea formei

canonice

D, si a matricii

de schimbarc

a bazei C.

,1fr:=

augment(u,ur,rr)

(zro\

D:=c-l.A.c

o=lo

r rl

[o

o ,.J

adica

(1), (2),

si

(3)

scrise intr-o forma usor

diferita:

Av1

=

2v1

AUZ=

v1+

2tr2

Av3

=

v2

+

2v3

vor

da

matricea

D

de

mai

sus,

respectiv

(1a),

(2a),

si

(3a)

dau

matricea

Q=(vl

12 v3).

Pregatirea

problemei

nr

2:

(z

ro\

(r

r o\

p'=lorrl

c:=u.v

.=l,

z

t

I

[ooz)

[,-,

r)

/+

-r

-r\

A:=C.D.C-' O=lr'-,

I

/vwll

\2-1 t)


9/24

PROBLEMA2:

se

da

makieea

A.

sa

se catculeze forma

canonica

Jordan

si

r

matricea

schimbarii

bazei.

/+

-r

-r\

o=1,

,

-,.1

[z-r

r)

SOLUTIE:

PI:

calculul

polinomului

caracteristic,

p,

si

a radacinilor

acestuia,

valoriile

proprii

ale luiA

,gg(\):=

le

-

X.rl factor

-+

-(\

-

2)3

\, :=

2 \,r:=

2

\r:=

2

P2:

Calcu

lu

vectorilo

r

proprii.

/*)

(2.*

-v -

,\

(A-2.D.1,

l-l

z.*-y-,1

rank(A-2.r)=

1

[,J

[r.,.-

y-,)

Rangul fiind

1,

avem

o necunoscuta

principala,

si

2 necunoscute

secundare,

deci

2

parametrii.

Doua

ecuatii

sunt

secundare

si se

pot

omite din

sistem.

Given

2.x-y-z=0

x=o.

y=0

(

o" \

tt

Find(x,y,z)-+l

0

I

tt

\.z'o

-

9/

Punand

q=1

si

p=0,

apoiq=0

si

B=1,

avem vectorii

proprii(coeficientii

luio

siB

respectiv):

*2=[i]

(A-2r)w,=[l]

-'=[i]

(A-2r)w,=[l]


10/24

,

P2:

G alcu

lul vectorilo

r

a

uxiliary si

recatcularea

vectorib

r

proprii.

Se alege

un

vector,

care sa

fie

liniar independent

de

w1

si

w2:

Fie:

"[:]

(1a)

(1)

(2a)

(2)

(3a)

(3)

A_2r)v,=[l]

rank(ausment(*r,*z,u))

=

:

...rangul

este

maxim,

3, deci

alegerea

este

buna.

Acest

vector se ra numi v2.

v2:=

v

v, :=

(A

-

2.1).v,

.,[ij

/o\

(A-2r).v,=[:,J

v3:= wr

"r=

[iJ

Sa observam

ca

v1 este

in subspatiul

generat

de w1

siw2

(v1=w1+w2).

Vom

alege

un vector in

acest

subspatiu liniar independent

de v1.

rank/ausment/v,wr))

=

Z

\"

...rangulfiind

maxim,

2, deciwl

este

liniar

independent

de

v1,

deci alegerea este

buna.

Acesta

va

fi

al

treilea

vector cautat.


11/24

P3:

Scderea formei

canonice

D,

si

a

matrlcii

de schimbare

a

bazei

C.

,Srt=

"ugrn"nt(u.

ur,

rr)

(r

ll\

(-z

21\

c=lr,

rl

c-r=lz

-r

-,1

['

oz)

['

-r

o)

(zro\

tt

D:=c-l.A.c

p=lo

z

ol

(.orrJ

adica

(2),

(1),

si

(3)

scrise intro

forma

usor

diferita:

Av1

=

2v1

Au2=v1+2rr2

Av3

=

2v3

vor

da matricea

D

de

mai

sus;

respectiv

(2a), (1a),

si

(3a)

dau matricea

Q=(vl

r,r2

v3).


12/24

tt

PROBLEMA{:

Se da

matricea A. Sa

se calculeze forma

canonica

Jordan si

matricea

schimbarii

bazei.

^=[i

Ll]

SOLUTIE:

Pl:

calculul

polinomului

caracteristic,

p,

si a radacinilor

acestuia,

valoriile

proprii

ale lui A

p,{\)

:=

le

-

X'rl factor

+

-(\

+ l).(\

-

2)2

\,

:= 2 \,r:= 2

\, :=

-l

P2: G

alcu

lul vectorilo

r

proprii.

\l=2

/x\ I z.u-x-z \

(^-^,

l[;,J

-[;;:.)

rank(e-x,r)=z

Rangul fiind

2, avem

2 necunoscute

principale,

si o necunoscuta secundara,

deci

un

parametru.

O ecuatie este secundara,

se

poate

omite

din sistem.

Given

2.y'x-z=0

5.y-4tx-z=0

x=0

/o\

Find(x,y,z)-tl"l

tt

\0,/

Punand

o=1,

avem

un

singur vector

propriu

corespunzator valorii

proprii

A1:

.,[iJ

(A_2r)v,=[l]

(1a)

(1)


13/24

\r=-,

/x\

(

2.x+2.v-z \

(A.

r.Dl,

|

-,l

z.**ziy

-,

|

.a,rcrn+

r.r)=2

'

\z

)

\5.y

-

4.x +

2.2)

Rangul fiind

2, avem 2 necunoscute

principale,

si o

necunoscuta

secundara,

deci

un

parametru.

O

ecuatie

este

secundam,

se

poate

omite din

sistem.

Given

2.x+2.y-z=0

5'Y

-

4'x

+

2.2=

0

x=0

/o\

Find(x,y,z)-+l

0

I

[,

".J

Punand

o=1,

avem

un

singur vector

propriu

corespunzator

lui

A3:

/r\

,r,=lol

,rr,

[,J

P2:

C

alcu

lul

vectbrilo

r

ad*iltari.

Valoarea

proprie

2

este

radacina

dubla,

dar

ii

corespunde

doar

un

singur

vector

propriu

(A+,r)v,=[l]

De

acea mai

avem

nevoie

de un vector

auxiliar.

(*\ (z.v-x-z-l

\

(^

-

^")

[.

:)-',-

[;;

;

;-',)

Given

(

a \

Find(x,y,z)

-

[.:

,.,l

rank(A-\,.t)=z

rank(auement(a

-

X,'t,v,))

=

z

2.y-x-z-l=0

5.y-4.x-z*l=0

x=o


14/24

Punand

q=0,

avem

vectorulauxiliar:

[iJ

,,,

(A-

2'l).v,

",

=

[lJ

(2)

P3:

Scderea forrnei

canonice

D, si

a

matricii

de

schimbarc

a bazei

C.

C:= augment("r,rr,rr)

(t

o l\

(o

I o\

c=lr

o ol

c-r-lr-r

-'l

[' -12)

['-,

o)

(z

l o\

D:=c-l.A.c

,=lo,

o

I

\0

0

-ll

adica

(1),

(2),

si

(3)

scrise

intro

forma

usor

diferita:

Av1

=

2v1

Au2=

v1

+

2tt2

Av3

=

.

-1v3

vor da

matricea

D

d" *"r

aur,

respectiv

(1a),

(2a),

si

(3a)

dau

matricea

Q=(vl

v2

v3).

=

=

=

=====

= =

==

==

= =======

= = =

=====

=

====== ======

==

= = ==

=

= === = = = =

= =

Pregatirea

problemei

nr

4:

(zo

o\

(r

o

l\

g,=lo z

o

I

.=lr

o ol

(o

o

-rJ

[, -,

,)

(-t

3 o\

-rll

$:=C'D'C

^

A=10

201

tt

\-6

6 2)


15/24

PROBI-EMAI:

Se

da matricea

A. Sa se

calcuteze

forma

canonica

Jordan

si

matricea

schimbarii

bazei.

(-r

3 o\

e=l

o

, ,l

[-u

u ,.i

SOLUTTE:

Pl:

calculul

polinomului

caracteristic,

p,

si a radacinilor

acestuia,

valoriiltt

proprii

ale

lui A

pd\)

:=

la

-

X.rl factor

-r

-(\

+

l).(\

-

2)2

\, :=

2 \,r:=

2

\r:=

-l

P2:

Galcu lul

vectorilo

r

proprii.

\:= 2

(*)

/:.v

-

r.x\

(A-xr)lrl-l

,

I

rank(A-\.r)=1

\r)

\6.y

-

6.x/

Rangulfiind

1, avem

1

necunoscuta

principala,

si2

necunoscute

secundare,

deci

doi

parametrii.

Doua

ecuatii

sunt

secundare,

se

omit din

sistem.

Given

3.y-3'x=0

Y=o'

z=g

["\

Find(x,y,z)-l"l

t;l

Punand

o=1,

9=0

respectiv

pentru

q=0,

F=1

avem vectorii

proprii

(coeficientii

lui

q

respectiv

ai

lui

B):

/r

\

(o\

,,'=l,l

(1a)

,r,=lil

ea)

[o/

(,J

=[;]

(1)

@-2,)v,=

[lJ

(2)

[r.J

'

l.o

)


16/24

X:=

-l

M'

f.)( t't

)

(A-\.D.1

,l-l

,.,

I

ranr


17/24

lia

P3:

$cderEa f0rrnei

canonice

D, si

a

matricii

de

schimbarc

a bazei

C.

C

:=

augment(rr,rr,rr)

(t

ol\

(o

I

o\

ll-rll

.=l,ool

"-'=l-rr

rl

\o

t z)

\r

-1

o)

(z

o o\

D:=c-l.A.c

o=lo 2

ol

tt

\0

0

-ll

adica

(1), (2),

si

(3)

scrise intro

forma

usor

diferita:

Av1

=

2v1

Au2=

2\n

Av3

=

-1v3

wr

da

matricea

D

de mai sus,

respectiv

(1a),

(2a),

si

(3a)

dau matricea

C=(vl

12 v3).

=

==

=

=

=

=

==

= = = =

==

=

==

=

=

= = = = = = = = =

=

=

= = =

=

=

= = === =

=

== == =

= =

= = = = = = === =

Pregatirea

problemei

nr

5:

(z

o

o\

(rol\

s,=lo-z

rl

.=l,orl

\00-r)

\012)

(-t

3 o\

-r

I I

A.:=C.D.C

'

A=10

2 0l

wv

l"

^

^l

2

-2

-2)


18/24

PROBLEifrAI:

Se da matricea

A. Sa se calculeze

forma

canonica Jordan si

matricea

schimbarii

bazei.

(-t 3

o\

tt

A=lo

2

o

l

lt

t, _"

-r)

SOLUT E:

PI:

calculul

polinomului

caracteristic,

p,

si a

radacinilor

acestuia,

valoriile

proprii

ale luiA

p{\;

:=

le

-

X.{ factor

-+

-(\

-

2).(\ + 2).(\

+

l)

fu:=

2

\,r:=

-2

\r:=

-l

P2: Calcu

lul vectorilo

r

proprii.

\:= 2

/x\

(

3.v

-

3.x \

(A-x.r)lrl-l

o

|

,*uro-\.r;=2

\r)

\2.* -

2.y

-

4.2)

Rangulfiind

1,

avem

1

necunoscuta

principala,

si 2

necunoscute

secundare, deci

doi

parametrii.

Doua

ecuatii sunt secundare,

se omit din

sistem.

Given

3'Y-3'x=0

2'x

-

2'Y

-'4'z=

0

x=0.

/o\

Find(x,y,z)-l"l

[oJ

Punand

q=1

avem vectoriul

propriu

(coeficientii lui

o):

',[:J

(A-2r)v,=[l]

(1a)

(1)


19/24

,

\:=

-2

f.)

(,.*'''')

(A-\.D.1

vl-+l

4.y

I

rank(A-\.D=2

't-ttt

\r)

\2.x

-

2.y

)

Rangulfiind

1,

avem 1

necunoscuta

principala,

si2

necunoscute

secundare,

deci

doi

parametrii.

Doua

ecuatii

sunt

secundare,

se omit

din sistem,

Given

x+3'Y=0

4'Y=o

z= o.

/o\

Find(x,y,z)-lr

l

tt

\o/

Punand

o=1

avem vectoriul

propriu

(coeficientii

lui

o):

"'=[iJ

(A+2.I).vr=[;]

/o\

Find(x,y,z)

-

[r:]

(2a)

X:=

-l

(*\

(

t.v

\

to-^.,1.1

,l-l

,,

|

.anr


20/24

-\i

Punand

q=1

avem vectoriul

propriu

(coeficientii

lui o):

v

=

t';l

3'=

|

[,,J

,^ ir\ r:l

A+l.I).v3=l

'

[o.J

P2:

G

alcu

lul vectorilo

r

a uxiliari.

Nu avem nevoie

de vectori

auxiliari.

(3a)

(3)

P3:

Scderea formei canonice

D,

si

a

matricii

de

schimbarc

a

bazei

C.

C:=

augment(r'uZ,ur)

(r

ol\

(o

l

o\

ll-rll

C=ll o ol c'=l-2 z tl

tttt

\ot2)

\l

-lo)

(z

o

o\

D:=c-l.A.c

o=1,

-,

o

I

[o

o

-t)

adica

(1),

(2),

si

(3)

scrise intr-o forma usor diferita:

Av'l

=

2v1

Au2=

-2v2

Av3

=

-1v3

vor da matricea

D

de mai sus,

respectiv

(1a), (2a),

si

(3a)

dau matricea C=(v1

12 v3).

============================================================

PROBLEMA6:

Daca

forma

canonica

a matricii A este Al, atunci

matricea insasi este

AI.

I

ntradevar,

daca At

=C^

(-{

)*A*C,

atu

nci A=C*A *C^

(-i

)=A|*C*C^

Gi )=X.

Pentru

A=Al

nu

avem nimic

de calculat,

matricea

este data in forma

sa canonica.


21/24

a

4.

O lista

de matrici,

exempte

propuse

pentru

rezolvare.

Mai

jos,

aveti

o

lista

lunga

de matrici,

notate

cu A,

pentru

care

se cere forma

canonica

Jordan..

Lista contine

si

forma

canonica,

matricea

D, deci rezultatul

obtinut

poate

fi verificat

imediat.

Structura celulara

a

matricii

D

pe

care il obtineti din

algoritm trebuie

sa coincida

cu

matricea

D, data

drept rezultat Va

reamintim,

ca

poate

diferi

ordinea celulelor

si acel sir

de

1

deasupra

diagonalei,

care

poate

apara

dedesubtul

diagonalei, in functie

de

preferintele

rezolvitorului

de a

face notatiile

pentru

denumirea

valorilor

proprii

si

a

vectorilor

bazei

noi.

Daca indicii

vectorilor

auxiliar

descresc,

sirul de

unu va

fi

sub diagonala,

daca

indicii

cresc, atunci

sirul de 1 va rezulta

deasupra

diagonalei.

Matricea

C

folosita

in

constructia

luiA

din D

nu

este

unica Matricea

C

obtinuta

din

algoritm

nu

trebuie neaparat

sa coincida

cu cea

folosita

in

constructia

problemei

C:=

U.V

#=

identiU(3)

'[ii:]

"[i:i)

.[i

_i

i]

c

tl

i;,j


22/24

^['iir]

t r

o\

*=[:;lJ

0.

^(il

;l

(t

r

o\

'=[:;:]

11.

^[i

I:]

[i:lJ

2.

/r

-r

-r\

^=[;

-i:)

(-t

o

o\

^=[i,

:

:)

[i

;

:]

t8.

^[i

;)

[i

;:]

:l

,)

,)

^[i

(-t

^=[]'

^=

[-i'

(-z

r o\

o=l-o 2 t

I

[,

-,

-r)

.[lii]

(-r,

o\

o,=lo

-t

o

I

[o

o .)

15.

16.

0

J

-2

7

7

4

2

7

4

;f:=

C.D.C-

I

-t

A:=

C.D.C

_l

A:= C.D.C

-,|

A:= C.D.C

-l

A:= C.D.C

_l

A:=

C.D.C

_l

A:= C.D.C

_l

A:= C.D.C

_1

A:=

C.D.C

_t

A:=

C.D.C

(t

o

o\

13

,=[;;:]

(t

o o\

,'=[:

;

I

4.

(-t

r

o\

o'=lo

-t

,

I

[, o

-r)

17.

19.


23/24

-l

A:=

C.D.C

_l

A:= C.D'C

,$r:=

C.n.c-

I

-l

A:= C.D.C

Ar:=

C.O.C-

I

_1

A:=

C.D.C

$:=

C.D.C-

I

-t

A:= C.D.C

-l

A:= C.D'C

N

;f:=

C.D.C-

I

0 0\

8 5l

-rc

-7)

(r

,

,'l

^=[;j,

;,l

(zro\

'=[:;;J

0.

^(ir:

,ll

,[l:lJ

1.

(q

-r

-r\

o=l-,

,

o

I

[s

-3

o)

[l:lJ

.[i:l]

(z

o

o\

o'=

lo

, ,

I

\0

0

3)

24,

(-z

r

o\

o,=lo

-2,

I

\0

0

-2)

25.

(-t

r

o\

^=[;

::)

(-z

r

o\'

o'=lo

-2

o I

[o

o

-r)

26.

/o

-r

-r\

e=lz

-,

-,1

(.,

-,

-rj

(-z

r

o\

,'=[:

:

I

^

=

[-,i

(-z

o o\

o'=[;

;

:,J

(-t

z z\

^

=

[;'r'

'"

X)

(r

o

o\

o,=

lo

-r

,

I

\0

0

3)

22.

23.

il

1l

il

(z

o=l-,

[:

(-s

^

=

[;"'

(-e

o=

l-,,

I

t'

0

4

_,,

4

t2

-6

4

t2

-6

27.

28.

29.


24/24

^liii]

tro\

,,=

[:

;

],J

30.

^[;

i;)

^[j,

Ij]

/-r

-r -r\

o=l ,

*

-,

I

\2 -r

-4)

(-z

o=l-,,

\rs

(-t

o o\

o,=l

o

*

o

I

\o

o z)

38.

(-t

z z\

o=l

o

, o

I

[-r

u ,)

(t

o o\

,,=

[;

; :]

-l

A:= C.D.C

Sn:=

C.n.C-

I

,Ar:=

C.n.C-

I

_t

A:= C.D.C

-t

A:=

C.D.C

;$u:=

C.D.C-

I

_t

A:= C.D.C

;5:=

C.D.C-

I

-t

A:=

C.D.C

_t

A:= C.D.C

o

o\

i,

j,l

(zro\

'=[.:;:J

t1 t o\

'=[:;;,J

31.

32.

(z

o o\

o=l , ,

-,

I

[r,

o)

(-z

z z\

o=l-,0 s 61"

[,, -u -t)

(-z

z z\

o=l-,0

s

6l

\ro

-6

4)

/soo\

'=[:;:]

(t

o

o\

,,=

[.: ;

:,j

u.

33.

(-q

r o\

^=[;

:

:,l

(-t

r o\

o,=lo

-3

,

I

[o

o

-r)

(-z

r o\

n'=lo

-3

o

I

[o

o

-r)

35.

36.

37.

(-z

r o\

o'=l

o

-,

o I

[,

o

,)

39.

algebra - exercitii seminar

Documents