alapvetŐfogalmakÉstÉtelekcsaba/tanitas/fogalmak-tetelek14.pdf · 2014. 12. 8. ·...

GRÁFELMÉLET

ALAPVETŐ FOGALMAK ÉS TÉTELEK

1. Alapfogalmak

Definíciók:- irányítatlan és irányított gráf, csúcshalmaz, élhalmaz, szomszédsági reláció

- gráfok reprezentációi: szomszédsági mátrix, illeszkedési mátrix, pont-szomszédságlista, él lista, . . .

- hurokél, párhuzamos él, egyszerű gráf, séta, út, kör

- üres gráf, teljes gráf, páros gráf, hiperkocka, Petersen-gráf

- Fokszámsorozat: d1, d2, . . . , dn aG gráf fokszámsorozata, haG fokainak nem csökkenősorozata. Ekkor tehát v(G) = |V (G)| = n és d1 ≤ d2 ≤ . . . ≤ dn.

Állítás: 2e(G) =∑n

i=1 di

Kérdés: Mikor valósítható meg (másképpen: realizálható) egy fokszámsorozat valamely Ggráffal?

(i) {di}ni=1 pontosan akkor valósítható meg, ha∑n

i=1 di páros

(ii) {di}ni=1 pontosan akkor valósítható meg hurokél nélküli gráffal, ha (a)∑di páros

és (b) dn ≤ d1 + . . .+ dn−1

(iii) {di}ni=1 pontosan akkor valósítható meg egyszerű gráffal, ha a

d1, . . . , dn−dn−1, dn−dn − 1, . . . , dn−1 − 1

(nem feltétlenül nem csökkenően felírt) sorozat is megvalósítható egyszerű gráffal

Definíció: Fa: egyszerű, körmentes összefüggő gráf. Ághajtás operáció.

Nagyon könnyű:Állítás: Legyen T fa n csúcson. Ekkor e(T ) = n− 1.

Nehezebb:Tétel: Tfh. n ≥ 2.A {di}ni=1 természetes számokból álló sorozat pontosan akkor valósíthatómeg fával, ha d1 > 0 és

∑di = 2n− 2.

1

2 ALAPVETŐ FOGALMAK ÉS TÉTELEK

Tétel: Tfh. n ≥ 2. Legyen {di}ni=1olyan természetes számokból álló sorozat, melyre d1 > 0és∑di = 2n− 2. Ekkor a {di}ni=1 sorozatot megvalósító fák száma

(n− 2)!n∏i=1

1

(di − 1)!.

Cayley-tétel: Kn címkézett feszítőfáinak száma nn−2.

Megjegyzés: Nem izomorf feszítőfákból jóval kevesebb van.

Algoritmus: Prüfer-kódolás és visszafejtése. Az algoritmus elemzése alternatív bizonyítástad a Cayley-tételre.

2. Éltesztelés

Kezdetek, motiváció: Kombinatorikus csoport tesztelési módszer fertőző beteg megtalálásá-ra; N elemű csoportra 1 + log2N teszt elegendő (ennél kevesebb pedig nem is lehet elég, ezaz úgynevezett információelméleti alsó korlát). Szorosan kapcsolódó mérnöki probléma: hi-bakeresés optikai hálózatokban. Feltevések: (1) összefüggő részgráfok gyorsan tesztelhetőkúgynevezett monitorozó fényutakkal; (2) egyszerre legfeljebb egy meghibásodott él van.

Feladat: egyértelműen azonosítani a hibás élt, ha van hiba, méghozzá minél kevesebb össze-függő részgráfhoz tartozó monitorozó fényúttal (a fényút nem feltétlenül jelent gráfelméletiértelemben vett utat, de mindenképpen séta).

Könnyű látni: Ha a teszteknek nem kellene összefüggő részgráfoknak lenniük, akkoregy G gráfhoz elég lenne 1 + log2 e(G) teszt (ennél kevesebb pedig nem is lehet elég, ld.fent). Ehhez a bináris kódkiosztó módszert használhatjuk, mely a következő: az éleketmegszámozzuk 1-től e(G)-ig, majd ezeknek a számoknak a bináris alakját tekintjük. Az i-edik tesztben azok az élek szerepelnek, amiknek a bináris sorszámában az i-edik helyiértéken1-es van. Könnyű látni, hogy ezekkel a tesztekkel egyértelműen azonosíthatjuk az éleket.A baj az, hogy általában az így megadott tesztek nem adnak összefüggő részgráfot, lásdpl. Pn-et, az n pontú utat.

Tétel: Tfh. G olyan gráf, mely tartalmaz két éldiszjunkt feszítőfát, legyenek ezek T1 és T2.Ekkor 2 + 2 log2de(G)/2e összefüggő teszt elég G éleinek teszteléséhez.

Bizonyítás: Először vágjuk két egyforma (vagy majdnem egyforma, ha paritás miatt egy-formák nem lehetnek) méretű részre az E(G)−E(T1)−E(T2) élhalmazt. Jelölje a két résztE′1 és E′2. Most legyen

E1 = E′1 ∪ E(T1)

és

E2 = E′2 ∪ E(T2).

GRÁFELMÉLET 3

Ezekután E1-re és E2-re külön adjuk meg az összefüggő teszteket. Azzal kezdjük, hogy E1

élei között tetszőlegesen kiosztjuk a bináris kódokat (a már korábban említett megszámozásthasználjuk). Majd ugyanezt végrehajtjuk E2-re is, binárisan megszámozzuk az éleit.1

Az E1 éleire a tesztek a következők: az i-edik teszt E1 azon éleit tartalmazza, melyekkódjának az i-edik helyiértékén 1-es található, és emellett a T2 fa minden élét. Mivel T2

feszítőfa, így minden teszt összefüggő lesz, mivel mind tartalmazza T2-t. Hasonlóan teszünkE2-vel, csak itt az egyes helyiértékek által kijelölt élhalmazokhoz mindig T1-et vesszükhozzá. Külön-külön mindkét élhalmazt tudjuk így tesztelni (miért?), mindkét teszthalmaz1 + log2de(G)/2e összefüggő tesztet tartalmaz, ahonnan már jön a tétel. �

Megjegyzés: Ha G 4-szeresen összefüggő2, akkor biztosan van benne két éldiszjunkt feszí-tőfa. Ez elégséges, de nem szükséges feltétel.

3. Folyamok

Definíció: Legyen G = G(V,E) irányított gráf, s és t két kitüntetett csúcsa, s 6= t, éslegyen c : E −→ R+ egy függvény. A H(G, s, t, c) hálózat ezek összessége, melyben s aforrás, t a nyelő, c pedig az élek kapacitását adja meg.Legyen f : E −→ R egy függvény. Az f függvény folyam, ha teljesülnek a következők:

Megengedettségi feltételek: minden e ∈ E(G)-re 0 ≤ f(e) ≤ c(e).

Megmaradási törvények: minden v ∈ V − {s, t}-re∑e:vBe

f(e) =∑e:vKe

f(e)

Az f folyam értéke é(f) =∑

e:sKe f(e)−∑

e:sBe f(e).

{S, T}-vágás: S ⊂ V, s ∈ S és T ⊂ V, t ∈ T úgy, hogy S ∪ T = V és S ∩ T = ∅. Avágás élhalmaza az E({S, T}) halmaz, mely azokat az éleket tartalmazza, amiknek egyikvégpontja S-be, a másik pedig T -be tartozik. E({S, T}) éleit két részre bontjuk:

−→E =

−→ST

azokat az éleket tartalmazza, amik S-ből T -be mutatnak, míg←−E =

−→TS azokat, amik T -ből

S-be irányulnak.

Lemma:e(S, T ) =

∑e:e∈−→ST

f(e)−∑

e:e∈−→TS

f(e) = e(f).

Definíció: Az {S, T} vágás kapacitása az S-ből T -be menő élek (tehát−→ST élei) kapacitá-

sainak összege. Jele: c(S, T ).

1Fontos: a T1 és T2 éleinek egyike se kapja a csupa 1-es kódot, különben a fák meghibásodásánál nemsikerül az egyértelmű azonosítás (miért is?). Köszönöm Rudas Ádámnak az észrevételt.

2A folyamok tárgyalásánál megtalálható a többszörös összefüggőség definíciója.


Könnyen látható:max

f folyame(f) ≤ min

{S,T} vagasc(S, T ).

Ennél több is igaz, ahogy az alább is látható. (biz. később)

Maximális folyam - minimális vágás tétel (MFMV): Legyen H(G, s, t, c) egy hálózat.Ekkor

maxf folyam

e(f) = min{S,T} vagas

c(S, T )

(erre a fontos tételre angolul MFMC (max flow - min cut) néven hivatkoznak).Megjegyzés: Egyenlőségnél az S-ből T -be menő élek teljesen ki vannak használva, ésT -ből S-be egyetlen élen át sem megy pozitív folyam.

Definíció: Legyen P egy irányítatlan s− t út (azaz olyan út, mely az irányítások törlésévelkapott G-ben s-ből t-be vezet), és legyen f egy folyam a H(

−→G, s, t, c) hálózatban. Az

e ∈ E(−→G)∩E(P ) él az Eelore(P ) halmazba tartozik, ha e-t P az irányításának megfelelően

járja be. Ha az e élt az irányításával ellenkező irányban járja be P, akkor e ∈ Ehatra(P ). AP út javító út az f folyamra nézve, ha

- minden e ∈ Eelore(P )-re f(e) < c(e) és

- minden e ∈ Ehatra(P )-re f(e) > 0.

Legyenδelore := min{c(e)− f(e) : e ∈ Eelore(P )},

δhatra := min{f(e) : e ∈ Ehatra(P )},végül

δ := min{δelore, δhatra}.

Lemma: Legyen f egy folyam a H(G, s, t, c) hálózatban. Ha van P javító út f -re nézve,akkor az f folyam nem maximális értékű, van olyan f ′ folyam a hálózatban, melyre

e(f) + δ = e(f ′).

Megjegyzés: Elsőre elképzelhetőnek tűnhet, hogy egy f folyam nem maximális értékű egyH(G, s, t, c) hálózatban, de a hálózatban mégsincs rá nézve javító út. Ahogy a következőtétel mutatja, ez szerencsére nincs így.

Tétel: Legyen f folyam a H(G, s, t, c) hálózatban. A következők ekvivalensek:(1) f maximális folyam(2) létezik olyan {S, T}-vágás, melyre e(f) = c(S, T )(3) nincs javító út H(G, s, t, c)-ben f -re nézve

GRÁFELMÉLET 5

A fenti tétel bizonyításánál használjuk a következő fogalmat és az utána következő lem-mát:Definíció: Az irányítások törlésével kapott P út javító út kezdemény H(G, s, t, c)-ben f -renézve, ha P (i) s-ből indul és (ii) minden e ∈ Eelore(P )-re f(e) < c(e) és (iii) mindene ∈ Ehatra(P )-re f(e) > 0.

Lemma: Legyen f maximális folyam H(G, s, t, c)-ben. Legyen S azon csúcsok halmaza,melyek elérhetők s-ből valamely javító út kezdeménnyel, és legyen T = V −S. Ekkor {S, T}egy s-et és t-t elválasztó vágás (tehát t ∈ T ), és kapacitása, c(S, T ) = e(f).

A fentiek már kiadják az MFMV tételt, a folyamok alaptételét.

3.1. Maximális folyam keresése algoritmussal. A Ford-Fulkerson-algoritmus a maxi-mális folyamot keresi egy H(G, s, t, c) hálózatban. Leírása:

Ford-Fulkerson-algoritmus(1) legyen f ≡ 0 (ez biztosan megengedett folyam; ha van más megengedett folyamunk,

indulhatunk abból is)

(2) S := {s}

(3) Legyen

Belore = {x ∈ V − S : ∃y ∈ S ugy, hogy −→yx ∈ E es f(−→yx) < c(−→yx)}és

Bhatra = {x ∈ V − S : ∃y ∈ S ugy, hogy −→xy ∈ E es f(−→xy) > 0}(4) Ha t ∈ (Belore ∪ Bhatra), akkor t-ből visszafelé menve találhatunk egy s − t javító

utat. Ennek mentén növeljük meg f -et, majd folytassuk a (2)-es lépéssel.

(5) Ha t 6∈ (Belore ∪Bhatra), de Belore ∪Bhatra 6= ∅

(a) Legyen x ∈ Belore ∪Bhatra tetszőleges

(b) S := S + x, és folytassuk a (3)-as lépéssel

(6) Ha Belore ∪Bhatra = ∅, akkor megállunk – f maximális folyam3

Megjegyzés: Ha minden kapacitás egész szám (vagy azzá tehető felszorzással), akkora fenti algoritmus biztosan véges sok lépésben megáll, hiszen minden javítás legalábbegységnyivel növeli a folyam értékét. Ha valós aritmetikát feltételezünk, akkor lehetségesolyan hálózatot megadni, melyen a Ford-Fulkerson algoritmus nem áll meg véges időben,sőt, még az is lehetséges, hogy a kiszámolt folyamértékek nem konvergálnak az optimálismegoldáshoz.

3Ilyenkor ugyanis nincs javító út.


Edmonds-Karp változat: használjunk mindig minimális hosszúságú javító utat (azazolyat, ami a legkevesebb élt tartalmazza); ezt szélességi kereséssel meg lehet valósítani.Ekkor az így módosított algoritmus O(v(G)4) lépésben biztosan megáll. (ha megáll, márnincsen javító út, tehát gyorsan megtalálhatjuk az optimális megoldást)

Definíció: A H(−→G, s, t, c) hálózat uniform hálózat, ha minden

−→G -beli él kapacitása egy-

ségnyi, azaz c ≡ 1. Legyen F ⊆ E(−→G). Ekkor dkiF (x) = |{e ∈ F : xKe}| és dbeF (x) = |{e ∈

F : xBe}|.

Az az f függvény, mely F élein 1, másutt 0, pontosan akkor teljesíti a megmaradásitörvényt, ha minden x ∈ V − {s, t}-re dkiF (x) = dbeF (x).

Állítás: Legyen F egy élhalmaz G-ben. Ekkor a következők ekvivalensek:(1) F folyamot határoz meg

(2) ha x 6= s, t, akkor dkiF (x) = dbeF (x)

(3) F felírható a következő alakban:

F = ∪iPi⋃∪jQj

⋃∪kCk,

ahol a Pi, Qj és Ck élhalmazok mind diszjunktak (tehát F tetszőleges éle pontosanegyben bukkan fel), és minden Pi egy irányított s− t út élhalmaza, minden Qj egyirányított t− s út élhalmaza, végezetül minden Ck egy irányított kör élhalmaza.

Egy élhalmaz egyszerű, ha nincs benne irányított kör. Könnyű látni, hogy minden irányí-tott kör kiiktatható F -ből úgy, hogy a megmaradt élhalmaz folyamot határoz meg, ha Fis folyamot határozott meg. Ráadásul a két folyam értéke megegyezik. F -et egyszerűnekhívjuk, ha nincs benne irányított kör.

Állítás: Legyen H(G, s, t, c) egy uniform hálózat. Ekkor van benne olyan f optimálisfolyam, melyet egy F egyszerű élhalmaz határoz meg, és a maximális folyamérték éppen azs− t utak száma a fenti egyszerű dekompozícióban,

Definíció: Egy L élhalmaz elvágó élhalmaz−→G -ben, ha elhagyása után nincs

−→G -ben irányí-

tott s− t út.

Állítás: Minden {S, T}-vágás élhalmaza (S-ből T -be mutató élek) egyben elvágó halmaz.Megfordítva, minden L elvágó élhalmaznak van olyan részhalmaza, mely egy {S, T}-vágásélhalmaza.

Menger-tétel: Legyen−→G egy irányított gráf, és s, t ∈ V (

−→G), s 6= t. Ekkor

max{k : P1, . . . , Pk eldiszjunkt−−→s− t utak} =

min{|L| : L ⊆ E(−→G),

−→G − L−ben nincs

−−→s− t ut}.

GRÁFELMÉLET 7

1. Következmény: (Menger-tétel irányítatlan gráfokban éldiszjunkt utakra) Legyen Gegy irányítatlan gráf, és s, t két pontja. Ekkor

max{k : P1, . . . , Pk eldiszjunkt s−t utak} = min{|L| : L ⊆ E(G), G−L−ben nincs s−t ut}.

2. Következmény: (Menger-tétel irányított gráfokban pontdiszjunkt utakra) Legyen−→G

egy irányított gráf, és s, t két pontja. Tfh. nincs −→st irányított él a gráfban. Ekkor

max{k : P1, . . . , Pk pontdiszjunkt−−→s− t utak} =

min{|U | : U ⊆ V (G)− {s, t}, G− U−ban nincs−−→s− t ut}.

3. Következmény: (Menger-tétel irányítatlan gráfokban pontdiszjunkt utakra) LegyenG egy irányítatlan gráf, és s, t két pontja, melyek nem szomszédosak. Ekkor

max{k : P1, . . . , Pk pontdiszjunkt s− t utak} =

min{|U | : U ⊆ V (G)− {s, t}, G− U−ban nincs s− t ut}.

Definíció: Legyen k ∈ N. A G gráf k-szorosan élösszefüggő, ha tetszőlegesen elhagyvabelőle legfeljebb k − 1 élt, az így kapott gráf még összefüggő. Úgy is mondjuk, hogy Gk-élösszefüggő.

Hasonlóan, a G gráf k-szorosan pontösszefüggő, ha tetszőlegesen elhagyva belőle legfel-jebb k − 1 csúcsot az így kapott gráf még összefüggő. Ilyenkor G-t k-összefüggőnek ishívjuk.

Tétel: Legyen G egy gráf és k ∈ N.1. G pontosan akkor k-élösszefüggő, ha bármely x, y ∈ V (G)-re létezik k darab páronként

éldiszjunkt xy út G-ben.

2. G pontosan akkor k-összefüggő, ha v(G) > k+1 és bármely x, y ∈ V (G)-re létezik kdarab páronként pontdiszjunkt xy út G-ben (itt természetesen az utak belső pontjainem lehetnek közösek)

Jelölés: Legyen G egy gráf. Ha G összefüggő, akkor κe(G) = a legnagyobb k, amire Gk-élösszefüggő és κ(G) = a legnagyobb k, amire G k-összefüggő. Ha G nem összefüggő,akkor κe(G) = κ(G) = 0.

Trivi: κe(G) ≥ κ(G) minden G gráfra.

Egy fontos alkalmazás: Projektkiválasztás folyamok segítségével.


4. Párosítások

Definíciók: Legyen G egy gráf. M ⊂ E(G) párosítás, ha az M -beli éleknek nincs közösvégpontja (≡ v(M) = 2 · |M |, úgy is mondjuk, hogy M élei függetlenek - emiatt hurokélnem lehet benne egy párosításban sem). Teljes párosítás: |M | = v(G)/2, tehát ekkor Gpáros sok csúcsú gráf.

Maximális párosítás:

ν(G) = max{|M | : M parositas G−ben}.

Mohó párosítási algoritmus(1) E = {e1, e2, . . . , em}, M := ∅, i := 1(2) Ha M ∪ ei párosítás, akkor M := M ∪ ei(3) Ha i < m akkor i := i+ 1 és folytassuk a 2-es lépéssel(4) Megállunk, a megtalált M élhalmaz a párosításunkLegyen π egy permutáció [m]-en. Ha a fenti 1-es lépésben π szerinti sorrendben vesszük

az éleket, a megtalált párosítás méretét νπ(G)-vel jelöljük.

Állítás: ν(G)/2 ≤ νπ(G) ≤ ν(G).

4.1. Véletlen algoritmus teljes párosítás létezésére páros gráfokban. 4

Definíció: Legyen G egy A és F csúcsosztályokkal rendelkező páros gráf (A az alsó, F afelső csúcsok halmaza). A BG páros szomszédsági mátrix a következőképpen épül fel: asorai A elemeivel, az oszlopai F elemeivel vannak megcímkézve. A a-adik sor f -edik elemepontosan akkor 1-es, ha a és f szomszédosak, különben 0.

Észrevétel: Ha det(BG) 6= 0, akkor van legalább egy nemnulla kifejtési tagja a deter-minánsnak, annak elemei mind 1-esek, ez tehát azt jelenti, hogy ekkor G-ben van teljespárosítás. Ez megfordítva már nem igaz: lehet úgy nulla a determináns, hogy legyennemnulla kifejtési tagja BG-nek. Azaz ha det(BG) = 0, attól még lehet teljes párosításG-ben.

Definíció: Legyen B egy n× n-es mátrix. Ekkor B permanense a következő képlettel vanmeghatározva:

per(B) =∑

π permutacio

n∏i=1

Bi,π(i).

Látható, hogy per(BG) értéke éppen G teljes párosításainak száma. Sajnos a perma-nens jelenlegi tudásunk szerint nagyon időigényesen számolható csak ki, így visszatérünk adetermináns felhasználására.

Definíció: Az XG egy e(G) változós polinom, melyet úgy kapunk, hogy BG-ben az 1-eseketkicseréljük különböző változókra, majd a kapott mátrixnak vesszük a formális kifejtését.Tétel: Az XG polinom pontosan akkor azonosan nulla, ha G-ben nincs teljes párosítás.

4Ezt az alfejezetet nem kell tudni!

GRÁFELMÉLET 9

Bár XG kifejtésében a nemnulla tagok száma kezelhetetlen lehet már kis v(G)-re is, deha det(XG)-ben konkrét értékeket adunk a változóknak, az így kapott determináns márgyorsan kiszámolható. Most megadunk egy véletlen módszert:

Véletlen algoritmus teljes párosítás létezésének eldöntésére(1) Minden e ∈ E(G)-re véletlenül, egyenletes eloszlással kiveszünk egy re számot az{1, 2, . . . , N} halmazból, a választások függetlenek egymástól (itt N egy „nagy”egész szám).

(2) Számoljuk ki a det(XG)|xe=re értéket, azaz az xe változó helyébe helyettesítsük beaz re számot minden e ∈ E(G)-re, majd vegyük a determinánst.

(3) Ha a kapott determináns nem nulla, akkor a kimenet: „biztosan van teljes párosításG-ben”. Ha nullát kaptunk, akkor a kimenet: „valószínűleg nincs teljes párosításG-ben”.

Miért működik a fenti módszer? Hasznos intuíció a következő: hogyha veszünk egy k-adfokú egyváltozós valós polinomot, akkor annak legfeljebb k különböző gyöke lehet, így hapl. egy 1 ésN közti véletlen egész számot helyettesítenénk be a változó helyébe, kicsi eséllyel,≤ k/N valószínűséggel kapnánk nullát - hacsak nem volna a polinom azonosan nulla. Ami esetünkben det(XG) egy e(G) változós polinom, tehát jóval bonyolultabb viselkedést iselvárhatnánk, de szerencsére a fenti gondolatmenet általánosítható.

Schwartz-lemma: Legyen p(x1, . . . , xk) ∈ R[x1, . . . , xk] egy nem azonosan nulla polinom,és legyenek az ri számok egyenletes eloszlású független véletlen változók az {1, . . . , N}halmazból. Ekkor

P (p(r1, . . . , rk) = 0) ≤ deg(p)

N,

ahol deg(p) a p polinom foka.

4.2. Javító utas módszerek. Definíció: Legyen G egy gráf, M egy párosítása, P pedigegy P = v0e1v1e2 . . . vk−1ekvk út G-ben. P javító út M -re, ha v0 és vk párosítatlan csúcsokés P minden páros indexű éle M -be tartozik. (ekkor persze k páratlan)Triviális: Ha létezik P javító út M -re, akkor G-ben van M -nél több élű párosítás.

Ennél több is igaz:

Berge-tétel: Pontosan akkor nincs nincs javító út M -re, ha M optimális. (a bizonyításnéhány gyakorlaton tárgyalt feladatból következik)

Észrevétel: A mohó algoritmus egy triviális javító utat keres minden lépésében.

Definíció: Adva van a G gráf és egy M párosítása. P = v0e1v1e2 . . . vk−1ekvk javító útkezdemény M -re, ha v0 párosítatlan, és minden páros indexű él M -beli.

Javító út kezdeményes párosítási algoritmusAdva van G és benne egy M párosítás.(1) Legyen R ⊂ V − V (M), K := R; B := ∅, C := K ∪B(2) AMÍG találunk k ∈ K pontot, melynek van s 6∈ C (azaz címkézetlen) szomszédja


2.1 Ha s 6∈ V (M), akkor találtunk egy javító utat s-be, a k-ba vezető javító útkezdeményt meghosszabbítva. Ebben az esetben Sikeres a keresés.

2.2 Ha létezik t ∈ V úgy, hogy st ∈ M, akkor mohó címkenövelés: K := K ∪ t,B := B ∪ s és C := C ∪ {s, t}.

(3) Ha az „AMÍG” ciklusból nem Sikeres kereséssel jöttünk ki, akkor Sikertelen a keresés.

Észrevétel: az algoritmus folyamán végig |K| − |B| = |R|.

Magyar módszer (Harold Kuhn 1955-ben, König Dénes és Egerváry Jenő ered-ményeit felhasználva): Legyen G(A,F ) egy páros gráf, M pedig egy párosítása. Mpontosan akkor maximális, ha a Javító út kezdeményes párosítási algoritmus az R = A ∩(V − V (M)) indulással5 nem talál javító utat, azaz Sikertelen kereséssel ér véget.

Definíció: Legyen G(A,F ) páros gráf. A H ⊂ A halmaz König-akadály az A halmazban,ha |N(H)| < |H|.1. Következmény: A G(A,F ) páros gráfban pontosan akkor van A-t lefedő párosítás, haA-ban nincs König-akadály.2. Következmény: A G(A,F ) páros gráfban pontosan akkor van teljes párosítás, ha|A| = |F | és A-ban nincs König-akadály.Definíció: L ⊂ V lefogó ponthalmaz, ha minden e ∈ E élnek van L-beli végpontja.Könnyű, de fontos: Ha L lefogó ponthalmaz és M párosítás, akkor |L| ≥ |M |. Ennekkövetkezménye: ha |L| = |M |, akkor L minimális míg M maximális méretű.

Edmonds-algoritmus:Ha G nem páros, ezzel kereshetünk benne maximális párosítást. Kiindulás: adva van G

és benne egy M párosítás. Javító utat keresünk M -re.(1) Legyen R = V − V (M), K := R; B := ∅, C := K ∪B(2) Mohó címkenövelés elakadásig (ezzel felépítünk egy F keresőerdőt).(3) AMÍG találunk k, k′ ∈ K pontot, melyek szomszédosak

- legyenek r és r′ azok az R-beli csúcsok, melyekből indulva címkéztük meg k-tilletve k′-t3.1 Ha r 6= r′, akkor találtunk egy javító utat: az r-ből induló, k-ba vezető javító

út kezdeményből a kk′ élen át eljuthatunk r′-be. Ebben az esetben Sikeres akeresés.

3.2 Ha r = r′, akkor Edmonds-eset. (Ezt külön írjuk le.)(4) Ha az „AMÍG” ciklusból nem Sikeres kereséssel jöttünk ki, akkor Sikertelen a keresés.

Edmonds-eset:Az e = kk′ él a kereső erdő r-ben gyökerező részfájában meghatároz egy Ce kört. A

Ce kört összezsugorítjuk, az így kapott gráfot G-vel jelöljük. Ezzel egyben kaptunk egy Fkeresőerdőt és egy M párosítást. Ezután folytassuk a 2-es (Mohó címkenövelés) lépéssel.

5Tehát R az összes párosítatlan alsó pont halmaza.

GRÁFELMÉLET 11

Definíció: Legyen R ⊂ V (G) és

β(R) = c1(G−R)− |R|,ahol c1(G−R) a G−R páratlan csúcsszámú komponenseinek száma. R Tutte-akadály, haβ(R) > 0.

Könnyű: HaM párosítás, akkor β(R) ≤ n−2|M | =: δ(M); δ(M) a párosítatlan csúcsokszáma.

Megjegyzés: Ha az Edmonds-algoritmus Sikertelen kereséssel áll meg, akkor a K halmazaz aktuális Gv gráfban független halmaz, és ekkor

β(B) = c1(Gv −B)− |B| = |K| − |B|,ami éppen a fák száma a kereső erdőben. Pontosan ennyi csúcs marad párosítatlan G-ben.

Tutte-tétel: G-ben pontosan akkor van teljes párosítás, ha nincs benne Tutte-akadály.

Berge-formula:

max{β(T ) : T ⊆ V (G)} = min{δ(M) : M parosıtas}

Petersen-tétel: Minden kétszeresen élösszefüggő 3-reguláris gráfban van teljes párosítás.

Egyéb párosítással kapcsolatos optimalizálási kérdések: G éleit súlyozzuk – keressünkmaximális súlyú párosítást, keressünk minimális súlyú teljes párosítást!

5. A kínai postás problémája

Definíció: Legyen G összefüggő, legyen ` : E(G) −→ R+ élsúly függvény. Egy S =x0e1x1e2x2 . . . xs−1esxs sétára `(S) =

∑e∈S `(e). A célunk megoldani az alábbi minimali-

zálási feladatot, és megtalálni az optimális S sétát:

min{`(S) : S zart seta, melyre E(S) = E(G)}.A probléma Mei-ko Kwan kínai matematikus után kapta a nevét.

Ha van Euler-kör G-ben, a megoldás trivin az Euler-kör maga. Általában a következőalgoritmust használhatjuk (Edmonds):

Kínai postás probléma megoldása(1) G-ben meghatározzuk a páratlan fokú pontok Q halmazát.(2) Q összes u, v pontpárjára meghatározzuk a P (u, v) legrövidebb utat (pl. a Dijkstra-

algoritmussal).(3) Készítünk egy F segédgráfot Q-n: ebben minden lehetséges él szerepel, az uv él

súlya `(uv) = `(P (u, v)).(4) Vesszük F legkisebb súlyú teljes párosítását, legyen ez M.(5) M éleit hozzáadjuk G-hez, majd az így kapott gráfban Euler-kört keresünk. Ez lesz

a probléma optimális megoldása.

Állítás: Az optimális körséta minden élen legfeljebb kétszer halad át.


Figure 1. Dirac-csavar

6. Hamilton-kör, Hamilton-út

Definíció: Egy G gráf Hamilton-köre olyan kör, mely G minden csúcsán pontosan egyszerhalad át. A Hamilton-út olyan út, mely G minden csúcsát tartalmazza.

Könnyű: Ha G egyszerű gráf, akkor van benne ≥ δ(G) + 1 hosszú út. Ha δ(G) elég nagy,sokkal többet állíthatunk.

Dirac-tétel: Legyen G egyszerű, legalább 3 pontú gráf. Ha G minimális foka, δ(G) ≥ n/2,akkor G-ben van Hamilton-kör.

Ore-tétel: Legyen G egyszerű gráf legalább három ponton. Tegyük fel, hogy ha x és ykülönböző csúcsok G-ben, melyek nem szomszédosak, akkor d(x) + d(y) ≥ v(G). EkkorG-ben van Hamilton-kör. (ezt bizonyítottuk, jön belőle a Dirac-tétel)

Fontos fogalom a bizonyításban: Dirac-csavar (vagy Dirac-transzformáció). Az ábrán láthatóa kilenc csúcsú, fekete élekből álló P út. Ha léteznek a kékkel jelölt x1x6 és x5x9 élek E(G)-ben, akkor találhatunk egy kilenc hosszú kört (pirossal jelölve), mely P minden csúcsáttartalmazza.

Definíció: Legyen α(G) = max{|I| : I ⊆ V (G), e(G[I]) = 0} a legnagyobb függetlenhalmaz mérete G-ben.

Chvátal-Erdős-tétel: Legyen G egyszerű gráf legalább 3 csúcson. Ha κ(G) ≥ α(G), akkorG-ben van Hamilton-kör.

Megjegyzés: Bár a Dirac-tétel vagy a Chvátal-Erdős-tétel megad egy-egy elégséges feltételtHamilton-kör létezésére, nem ismert „egyszerű” (polinom időben ellenőrizhető) szükséges éselégséges feltétel Hamilton-körökre. „Ráadásul” a Hamilton-kör probléma NP-teljes.

7. Gráfok színezése

Definíció: Legyen G egy gráf. Az s : V (G) → N függvény jó csúcsszínezése G-nek, haminden xy ∈ E(G)-re s(x) 6= s(y). (Ha G-nek van hurokéle, nem lehet jó csúcsszínezése.)

GRÁFELMÉLET 13

Jelölés:χ(G) = min{k : ∃s : V (G)→ [k] jo csucsszinezes},

tehát a legkisebb szín szám, ami szükséges. χ(G)-t G kromatikus számának is mondjuk.Egy lehetséges alkalmazás: Legyen V feladatok halmaza. Bizonyos feladatokat végretudunk hajtani egyszerre, más feladatok kizárják a párhuzamos végrehajtást. Készítünkegy G gráfot. Ha két feladatot nem tudunk egy időben végrehajtani, akkor a megfelelő kétpontot összekötjük éllel G-ben. Ekkor a feladatok végrehajtásához szükséges lépések számaéppen χ(G).

Észrevétel: χ(G) = 1 akkor és csak akkor, ha e(G) = 0. Ha T fa, akkor 2 szín elég, ígyχ(T ) = 2. Ha G-ben van páratlan kör, akkor χ(G) ≥ 3.

Állítás: χ(G) = 2 pontosan akkor, ha G páros gráf.

Mohó színezési algoritmus: Egy π permutáció szerinti sorrendben vesszük G csúcsait.Az i-edik csúcsot azzal a legkisebb színnel színezzük, melyet a már színezett szomszédainem foglaltak még le.Állítás: Bármely hurokél mentes G gráfot tudunk a mohó algoritmussal legfeljebb ∆(G)+1színt felhasználva színezni (itt ∆(G) a G maximális foka).

Brooks-tétel: Legyen G összefüggő, hurokél mentes gráf. Ha G nem teljes gráf vagypáratlan kör, akkor χ(G) ≤ ∆(G). (nem bizonyítottuk)Megjegyzés: Az optimális számú színnel való színezés nagyon nehéz algoritmikus problé-ma, nem ismert rá hatékony módszer (éppúgy NP-teljes, mint a Hamilton-kör probléma).Brooks tétele általában nem éles, sokszor a maximális foknál jóval kevesebb szín elég.

Gyengített Brooks-tétel: Legyen G egy összefüggő, hurokél mentes gráf, mely nemreguláris. Ekkor χ(G) ≤ ∆(G).

A gyengített Brooks-tétel bizonyítása sugall egy színezési heurisztikát: a fokszámok sze-rint rendezzük a csúcsokat, és kezdjük a mohó színezést a nagy fokúakkal, egyre kisebbfokúak felé haladva.

Gallai-Roy-Vitaver-tétel: Legyen G egy hurokél mentes gráf, és legyen D a G éleinekvalamely irányításával kapott gráf. Ekkor χ(G) ≤ `(D) + 1, ahol `(D) jelöli D leghosszabbirányított útjának hosszát. Megfordítva, bármely G-hez tartozik olyan irányítás, melyreχ(G) = `(G) + 1.

Állítás: Minden háromszögmentes, n pontú gráf kromatikus száma legfeljebb 2√n.

Definíció: Legyen G egy gráf. Az s : E(G)→ N függvény jó élszínezése G-nek, ha mindenxy, xz ∈ E(G)-re s(xy) 6= s(xz) (azaz közös végponttal rendelkező élek színe különböző;mivel akár párhuzamos élek is lehetnek G-ben, a közös pontok száma 2 is lehet). Jelölés:

χe(G) = min{k : ∃s : E(G)→ [k] jo elszinezes},tehát a legkisebb szín szám, ami szükséges. χe(G)-t G élkromatikus számának is mondjuk.Könnyű: ∆(G) ≤ χe(G).

Tétel (König): Legyen G páros gráf. Ekkor χe(G) = ∆(G).


Vizing-tétel: (∆(G) ≤) χe(G) ≤ ∆(G) + 1. (nem bizonyítottuk)

Színezéssel kapcsolatos: Hadwiger-sejtés, Kuratowski-tétel, Wagner-tétel.

7.1. Röviden síkgráfokról. 6

Definíció:∗ Síkbarajzolás, síkgráf. Tartomány. Síkgráf duálisa.Euler-formula:∗ Minden G síkgráfra t+ c = e+ 2, ahol t jelöli G tartományainak számát,c a pontjainak száma és e az éleinek száma.

1. Következmény:∗ (1) HaG egyszerű síkgráf legalább 3 ponton, akkor e(G) ≤ 3·v(G)−6.(2) Ha G egyszerű páros síkgráf legalább 3 ponton, akkor e(G) ≤ 2 · v(G)− 4.

2. Következmény:∗ (1) miatt K5 nem síkgráf, míg (2)-ből következik, hogy K3,3 (a háromház - három kút gráf) sem síkgráf.

3. Következmény: Minden G egyszerű síkgráfnak van olyan pontja, melynek foka legfel-jebb 5. Emiatt minden egyszerű síkgráfot lehet 6 színnel színezni.Híres kérdés volt: Lehet-e minden síkgráf pontjait 4 színnel jól színezni? Eredetileg atartományokra vonatkozott a kérdés (térkép országainak színezése 4 színnel), de a duálisraáttérve már pontszínezési kérdés lesz belőle. Az 1850-es években vetette fel Francis Guthrie.Az évek során egy hasznos hibás „megoldás” is született: Kempe hibás bizonyítása, de jómódszere vezetett el az Ötszín-tételhez, amit Heawood bizonyított. Végül 1976-ban oldottameg Appel és Haken, részben számítógep felhasználásával – ez a Négyszín-tétel. Robertson,Sanders, Seymour és Thomas nagyban egyszerűsítette a bizonyítást, de a még így is sokmegvizsgálandó eset miatt nekik sem sikerült elkerülni a számítógépek használatát.

8. Extremális gráfelmélet

8.1. Független halmazok, klikkek. Definíció: Legyen G egyszerű gráf. H ⊂ V (G)független halmaz, ha e(G[H]) = 0, azaz H-beli csúcsok között nem megy él G-ben. Jelölés:

α(G) = max{|H| : e(G[H]) = 0}.

H ⊂ V (G) klikk, ha e(G[H]) =(|H|

2

), azaz bármely két H-beli csúcs között megy él G-ben.

Jelölés:

ω(G) = max

{|H| : e(G[H]) =

(|H|2

)}.

Könnyű látni: α(G) = ω(G).

Mohó algoritmus α(G) becslésére

(1) F := ∅, T := V (G)(2) AMÍG T 6= ∅

(a) Legyen x ∈ T tetszőleges.(b) Legyen F = F + x és T = T − x−N(x)

(3) Kimenet: az F független halmaz

6A megcsillagozott részek BSc-s anyagba tartoznak, itt csak emlékeztetőül szerepelnek.

GRÁFELMÉLET 15

Könnyű látni az algoritmusból: α(G) ≥ v(G)/(∆(G) + 1). Ennél több is igaz általában:

Caro-Wei-tétel:α(G) ≥

∑v∈V (G)

1

d(v) + 1.

8.2. Turán-tétel. Definíció: Legyen k, n ∈ N úgy, hogy 2 ≤ k ≤ n. A Tn,k Turán-gráfcsúcshalmaza k diszjunkt osztályból áll: A1, . . . , Ak, ahol ||Ai| − |Aj || ≤ 1 (ha k|n, akkorminden osztály ugyanakkora). Tn,k élei: ha 1 ≤ i 6= j ≤ k, akkor minden x ∈ Ai szomszédosminden y ∈ Aj-vel, más élek nincsenek.

Definíció: LegyenG és F két gráf. Azt mondjuk, hogy F részgráfjaG-nek, ha megkaphatjukF -et G-ből csúcsok és élek elhagyásával. Jele: F ⊆ G. A G gráf F -mentes, ha F 6⊆ G.Trivi: Tn,r nem tartalmaz Kr+1-et, azaz Kr+1-mentes.

Turán-tétel: Legyen 3 ≥ r ∈ N és G egy n csúcsú egyszerű gráf, mely Kr-mentes. Ekkor

e(G) ≤ e(Tn,r−1).

8.3. Ramsey-elmélet. 7

Definíció: Legyen G egyszerű gráf. Ekkor

Ramsey(G) = R(G) = max{α(G), ω(G)}.Másképpen nézve: G éleit színezzük zöldre, és amik nincsenek benne G-ben, azokat pirosra.Így beszíneztük az n = v(G) csúcsú Kn éleit. Homogén halmaznak hívjuk azt a H ⊆ V (G)csúcshalmazt, melyen belül minden él ugyanolyan színű – vagy mind piros, vagy mind zöld.

Ramsey-tétel: Legyen k ∈ N. Ha n ≥ 4k, akkor akárhogy színezzük két színnel Kn

éleit, találunk k méretű homogén halmazt. Tehát ha G egy n csúcsú egyszerű gráf, akkorR(G) ≥ 1

2 log2 n.

9. „Kisvilág” gráfok

Előzmények, példák: Karinthy Frigyes egy novellája és Stanley Milgram híres cso-magküldési kísérlete. A Hollywood-gráf. Ismeretségi hálózatok, akár irodalmi művekben is(pl. Homérosz: Íliász, Hugo: Nyomorultak). Telefonhívások gráfja. Anyagcsere gráfja. Azagy neuronhálózata. Idegrendszer. Táplálékláncok.

Általános tulajdonságok:- Kicsi átmérő („Milyen kicsi a világ?!”), de legalábbis kicsi átlagos átmérő (azaz alegtöbb pontpár közel van egymáshoz).

- A fokszámeloszlás hatványtörvényt követ: a k fokúak aránya ≈ C/ks, ahol C és sállandók (ezek a skálafüggetlen gráfok)

- Viszonylag kevés él, és mégis sok háromszög, amin a következő értendő: ha x-neky és z is szomszédja, akkor nagyobb arányban lesz y és z szomszédos, mint ami azélek számából egyenletes élelosztás esetén következne.

7Nem kell tudni, de érdemes tudni.


- A véletlen támadásoknak jól ellenállnak, a célzott támadások ellen jóformán védte-lenek

9.1. Az Albert-Barabási-modell egy skálafüggetlen gráftípus generálására. A kis-világ gráfok megértéséhez fontos ilyen gráfokat generálni. A most tárgyalandó módszertAlbert Réka és Barabási Albert-László dolgozta ki.

Induljunk ki egy élből, majd lépésenként egy új pontot és egy rá illeszkedő új élt adunka gráfhoz. A következő szabály szerint építkezünk: ha már van n csúcsom, x1, . . . , xn, ésxn+1 az új csúcs, akkor xn+1-et

d(xi)∑nj=1 d(xj)

valószínűséggel kössük össze az xj csúccsal. A valószínűségek összege 1, tehát mindig leszxn+1-nek szomszédja az első n csúcs közül. Az eredmény minden lépésben egy fa lesz,melynek fokszámeloszlása hatványtörvényt követ s = 3 kitevővel8. Kiválóan ír le egyesfizikai vagy kémiai folyamatokat, pl. a polimerizációt. Ha az új pontot több már meglévőponttal is összeköthetem a fenti szabállyal analóg módon, akkor persze már nem fát kapunk,pl. háromszögek is lehetnek a keletkező gráfban.

9.2. A Girvan-Newman-algoritmus közösségek megkeresésére. Az adatbányászatialkalmazásoknál az egyik fő cél a közösségek9 kimutatása. A közösség fogalmára többféledefiníció is ismert, mi a következőt használjuk: egy gráfban közösségnek tekintjük a csú-csoknak egy K részhalmazát, ha igaz, hogy K-n belül nagyobb az élsűrűség, mint K ésa komplementere között. Ha egy gráf nem összefüggő, akkor komponensei nyilvánvalóanközösségeknek tarthatók. De persze a komponenseket belülről is tagolhatják további kö-zösségek. A közösségek kimutatására szolgáló sok módszerből egyet ismertetünk, melyetMichelle Girvan és Mark Newman adott meg.

Legyen G egy gráf és tfh. e = uv ∈ E(G). Definiáljuk a p(x, y) függvényt minden x, y ∈V (G), x 6= y pontpárra: P (x, y) = az x-et y-nal összekötő minimális hosszú utak halmaza,és legyen p(x, y) = |P (x, y)|. Most legyen p(e;x, y) = |{P : P ∈ P (x, y) es e ∈ P}|, tehátazon minimális hosszú, x-et y-nal összekötő utak száma, amik tartalmazzák az e élt. Végüla fogalom, amiért az előző jelöléseket bevezettük:

b(e) =∑

(x,y)∈(V (G)2 )

p(e;x, y)

p(x, y).

A b(e) függvény10 annál nagyobb, minél többször szerepel e minimális hosszú utakban.Bevezetését a következő megfontolás indokolja: ha e az egyetlen él, mely két részgráfot

összeköt G-ben, akkor a két részgráf pontjai között menő minimális hosszú utak mindegyiketartalmazni fogja e-t, tehát b(e) szükségképpen nagy lesz. Ha viszonylag kevés él köt összekét részt, az összekötő élek között még mindig lesz olyan, ami sok minimális hosszú útban

8Ez Bollobás, Riordan, Spencer és Tusnády eredménye.9Sok a hasonlóság klaszterezéssel.10Angol neve „edge betweenness”, azaz él köztesség.

GRÁFELMÉLET 17

szerepel, hisz az átlag még mindig nagy szám lesz. Tehát ha a gráf jól szétválaszthatópontdiszjunkt közösségekre, akkor néhány nagy b(.) értékű él elhagyása után szét fog esnikomponensekre. Az algoritmus itt sem áll meg: rögzítjük a pillanatnyi állást, majd továbbdobáljuk el az éleket a b(.) szerint, hogy a komponensek/közösségek belső szerkezetét ismegismerjük. Pontos leírás:

Girvan-Newman-algoritmus(1) Minden e ∈ E(G)-re kiszámoljuk b(e) értékét.(2) Legyen e a legnagyobb b(.) értékű él. Az e élt töröljük a gráfból: G := G− e.(3) Ha E(G) 6= ∅, akkor folytassuk az (1)-es lépéssel.

Nyomon követve az éltörlésekkel kapott gráfsorozatot, képet kapunk a közösségekről.

9.3. Kevés szó véletlen gráfokról. 11

Az Albert-Barabási-modell egy véletlenül felépülő gráfot ad. Az első véletlen gráfokatGilbert illetve Erdős Pál és Rényi Alfréd definiálta nagyjából 50 évvel ezelőtt. Az ún. Erdős-Rényi-modellben a G(n, p) véletlen gráf tulajdonságait vizsgáljuk. Egy G(n, p) gráf akövetkezőképpen épül fel: minden különböző pontokból álló pontpárra a többi választástólfüggetlenül p valószínűséggel behúzzuk a pontpárt összekötő élt, míg (1 − p)-vel a pontoknem lesznek szomszédosak.

Néhány érdekes p érték (a felsorolt tulajdonságok mind nagy, n-ben 1-hez tartó valószí-nűséggel teljesülnek)

- p = 0-nál nincs egyetlen élünk sem

- p = 1/n-nél lesz kb. log n méretű komponens a gráfban

- ha p = K/n, ahol K egy nagy rögzített szám, akkor bár a gráf nem lesz összefüggő,de lesz egy nagy komponense, ami a pontok túlnyomó részét tartalmazza (érdekes,hogy pl. már K = 2 ad egy viszonylag nagy komponenst!)

- ha p = lognn , akkor a gráf összefüggő lesz, sőt, egész kicsivel, log logn

logn -nel megnövelveezt a p-t, már Hamilton-kör is lesz

- ha p = 1/√n, akkor sok háromszög lesz

- p = 1/2-nél α(G), ω(G) ≈ log n (Erdős Pál ezt használta ki, hogy a Ramsey-számokra megadja híressé vált korlátját)

- p = 1-nél a gráf éppen Kn

Alkalmazásuk: A matematikának szinte minden területén előfordulnak, algoritmusok ki-dolgozásánál, elemzésénél is fontosak. A kisvilág gráfok közösségei sokszor ilyen véletlen

11Érdekesség, nem része a tananyagnak.


gráfok tulajdonságaival rendelkeznek, így az egyes közösségekre sokszor akár Erdős-Rényi-féle véletlen gráfként is érdemes lehet tekinteni.

alapvetŐfogalmakÉstÉtelekcsaba/tanitas/fogalmak-tetelek14.pdf · 2014. 12. 8. ·...

Documents