alaptagok nyquist és bode diagramjaidinamikus rendszerek leírásának egyik módja az átviteli...

Alaptagok Nyquist és Bode diagramjai

Luspay Tamás, Bauer Péter

BME Közlekedésautomatikai Tanszék

2012. január 10.

1. Bevezetés - Átviteli függvény, frekvenciafüggvény

Dinamikus rendszerek leírásának egyik módja az átviteli függvények segítségével történik.Az átviteli függvényeket a rendszer differenciálegyenletéből kiindulva a Laplace transzfor-máció alkalmazásával vezethetjük be (lásd [1] A függelék). Vegyük a differenciálegyenletL-transzformáltját zérus kezdeti értékekkel, majd rendezzük a benne szereplő Y (s) ésU(s) tagok szerint, ahonnan kapjuk a G(s) racionális törtfüggvényt:

G(s) =Y (s)

U(s)=

b(s)

a(s)=

bmsm + . . .+ b1s+ b0

ansn + . . .+ a1s+ a0(1)

Az átviteli függvény tehát a kimenőjel és a bemenőjel zérus kezdeti feltételekkel vettL-transzformáltjainak hányadosa.

Az átviteli függvényt ún. pólus-zérus alakban is felírhatjuk:

G(s) = k

∏m

j=1(s− zj)

∏n

i=1(s− pi)

(2)

ahol zj a rendszer zérusai, vagyis a b(s) = 0 egyenlet gyökei, míg pi jelöli a rendszerpólusait, az a(s) = 0 egyenlet gyökeit.

A G(s) leírásának egy további lehetséges módja az időállandós alak. Alaptagok álta-lános időállandós alakja a következő:

G (s) =C(s)

Tnsn + Tn−1sn−1 + . . .+ T1s+ 1︸︷︷︸

0T︸︷︷︸

1T

(3)

Itt a nevező polinom fokszáma adja meg, hogy hány tárolós a tag. Így egy n-edfokúnevező polinom n tárolós tagot jelent, rövid jelölése nT . A számláló C(s) eleme háromfélealakú lehet:

1. A ekkor a tag arányos (P)

2. Ads ekkor a tag differenciáló (D)

3. AI

sekkor a tag integráló (I)

A lineáris dinamikus időinvariáns rendszerek frekvenciatartományban való vizsgálatátszinuszos lefutású bemenőjelekre adott válaszfüggvényeik segítségével végezhetjük el. Eh-hez bevezetjük a frekvenciafüggvény fogalmát. Egy rendszer frekvencia-válaszfüggvényé-nek (vagy egyszerűbben frekvenciafüggvényének) a rendszer egység amplitúdójú szinuszosbemenőjelre állandósult állapotban adott válaszfüggvényét nevezzük.

A frekvenciafüggvényt a differenciálegyenletből a jelek exponenciális alakjának és azexponenciális függvény differenciálási szabályának felhasználásával egyszerű átrendezéssel,míg az átviteli függvényből formálisan az s = iω helyettesítéssel kapjuk. Ez utóbbi kap-csolat mutatja azt is, hogy a frekvenciafüggvényeket a differenciálegyenletekből az ún.Fourier transzformációval, zérus kezdeti feltételekkel közvetlenül is megkaphatjuk [1]. AG(iω) függvényeket a rendszer frekvenciafüggvényének nevezzük, és az ω körfrekvenciaszerint ábrázoljuk.

Nyquist diagram: A Nyquist diagramon való ábrázolás kétféle módon is felfogható. Afrekvenciafüggvény értéke egy adott ω0 frekvencián egy komplex szám:

1

G(iω0) = ReG(iω0) + iImG(iω0)

Ez a szám komplex számsíkon ábrázolható és így ω = 0 . . .∞ tartományon a pontokatábrázolva adódik a Nyquist diagram.

A másik szemlélethez definiálni kell egy adott ω0 frekvenciára vonatkozóan az ampli-túdót A(ω0) és fázisszöget ϕ(ω0):

A(ω0) =√

ReG(iω0)2 + ImG(iω0)2

ϕ(ω0) = arctanImG(iω0)

ReG(iω0)

Így az amplitúdó, mint a fázisszöggel irányított szakasz ábrázolható derékszögű koor-dinátarendszerben. Ez a koordinátarendszer lehet a komplex számsík is, ahol ha a Revalós tengellyel bezárt szög a fázisszög akkor a kétféle szemlélet azonos ábrázolást ad.(márpedig definíció szerint a fázisszög a Re tengellyel bezárt szög).

A továbbiakban az alap tagok (0-tól 2 tárolóig) Nyquist és Bode diagramjainak alakjátismertetjük a jellegzetes pontok meghatározását is leírva (és a frekvenciafüggvényt azábrázoláshoz használt paraméterekkel is megadva). Az ezekhez kapcsolódó hosszabb le-vezetéseket és az állítások igazolását a függelék tartalmazza.

Összetett tagok Nyquist diagramját a következő módon ábrázoljuk: A frekvenciafügg-vényt felbontjuk alaptagok összegére. Az így kiadódott alaptagok Nyquist diagramjaitpontonként összeadva (az azonos ω frekvenciához tartozó vektorokat összegezve) kapjukaz eredő Nyquist diagramot.

Összetett tagok Bode diagramját a következő módon ábrázoljuk: A frekvenciafüggvénytfelbontjuk alaptagok szorzatára. Az így kiadódott alaptagok Bode diagramjait pontonkéntösszeadva (az azonos ω frekvenciához tartozó pontokat összegezve) kapjuk az eredő Bodediagramot. Ennek igazolását lásd a függelékben!

2. Alaptagok frekvenciatartományi vizsgálata

2.1. 0TP 0 tárolós arányos tag

Átviteli függvénye:

G(s) = A

Frekvenciafüggvénye:

G(iω) = A = 2

A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai:

ω = 0 ⇒ G(i0) = A

ω → ∞ ⇒ G(i∞) = A

Nyquist diagramja egyetlen pont (lásd 1. ábra).Bode amplitúdó diagramja egy a 0dB-es tengellyel párhuzamos egyenes 20 lg(A) magas-ságban. Bode fázis diagramja konstans nulla (lásd 2. ábra). Itt a(ω) = 20lg|A(ω)| azamplitúdó felhasznált definíciója, mely az amplitúdót decibel [dB] mértékegységben adjaeredményül.

2

0 0.5 1 1.5 2−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Re

Im

0TP tag Nyquist diagramja

A

1. ábra. 0TP alaptag Nyquist diagramja

100

101

5

5.5

6

6.5

7

7.5

ω [rad/sec]

Erõ

síté

s [d

B]

0TP tag Bode amplitúdó diagramja

20*log10

(A)

100

101

−1

−0.5

0

0.5

1

ω [rad/sec]

Fáz

issz

ög [f

ok]

0TP tag Bode fázis diagramja

2. ábra. 0TP alaptag Bode diagramja

2.2. 0TD 0 tárolós differenciáló tag


G(s) = Ads


G(iω) = Adiω = 2iω

3

−0.5 0 0.5−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Re

Im

0TD tag Nyquist diagramja

ω = 0

ω → ∞

3. ábra. 0TD alaptag Nyquist diagramja

10−1

100

101

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

30

ω [rad/sec]

Erõ

síté

s [d

B]

0TD tag Bode amplitúdó diagramja

Ad−1

+20 dB/dek

10−1

100

101

89

89.2

89.4

89.6

89.8

90

90.2

90.4

90.6

90.8

91

ω [rad/sec]

Fáz

issz

ög [f

ok]

0TD tag Bode fázis diagramja

4. ábra. 0TD alaptag Bode diagramja


ω = 0 ⇒ G(i0) = 0

ω → ∞ ⇒ G(i∞) = i∞

4

Nyquist diagramja egy egyenes 0-ból i∞-be (lásd 3. ábra).Bode amplitúdó diagramja egy a +20 dB

dekmeredekségű egyenes, mely a 0dB-es tengelyt

az 1

Adfrekvencián metszi. Bode fázis diagramja konstans +90 fok (lásd 4. ábra). Ennek

igazolását a függelék tartalmazza. 1 dekád a tizes alapú logaritmikus skálán a 10 kétegymást követő hatványa közti távolságot jellemzi. Például 1 dekád a távolság 10k és10k+1 közt, de ugyanígy 0, 25 ∗ 10k és 0, 25 ∗ 10k+1 közt is.

2.3. 0TI 0 tárolós integráló tag

−0.5 0 0.5−5

−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

Re

Im

0TI tag Nyquist diagramja

ω = 0

ω → ∞

5. ábra. 0TI alaptag Nyquist diagramja


G(s) =AI

s


G(iω) =AI

iω= −AIi

ω= −2i

ω


ω = 0 ⇒ G(i0) = −i∞ω → ∞ ⇒ G(i∞) = 0

Nyquist diagramja egy egyenes −i∞-ből 0-ba (lásd 5. ábra).Bode amplitúdó diagramja egy −20 dB

dekmeredekségű egyenes, mely a 0dB-es tengelyt az

AI frekvencián metszi. Bode fázis diagramja konstans −90 fok (lásd 6. ábra). Ennekigazolását a függelék tartalmazza.

5

100

101

−15

−10

−5

0

5

10

ω [rad/sec]

Erõ

síté

s [d

B]

0TI tag Bode amplitúdó diagramja

Ai

−20 dB/dek

100

101

−91

−90.8

−90.6

−90.4

−90.2

−90

−89.8

−89.6

−89.4

−89.2

−89

ω [rad/sec]

Fáz

issz

ög [f

ok]

0TI tag Bode fázis diagramja

6. ábra. 0TI alaptag Bode diagramja

−1 0 1 2 3 4 5 6−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

Re

Im


ωs = 1/T

ω = 0ω → ∞A




6

10−2

10−1

100

101

−15

−10

−5

0

5

10

15

ω [rad/sec]

Erõ

síté

s [d

B]

1TP tag Bode amplitúdó diagramja

T−1

−20 dB/dek

20*log10

(A)

10−2

10−1

100

101

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

ω [rad/sec]

Fáz

issz

ög [f

ok]

1TP tag Bode fázis diagramja

0.1*T−1

−45 fok/dek

10*T−1

8. ábra. 1TP alaptag Bode diagramja

G(s) =A

Ts+ 1


G(iω) =A

Tiω + 1=

A− ATωi

1 + T 2ω2=

5

2iω + 1


ω = 0 ⇒ G(i0) = A

ω → ∞ ⇒ G(i∞) = 0

ωs =1

T⇒ G

(

i1

T

)

=A− Ai

2=

A

2− Ai

2

A fenti kifejezésben ωs az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ωs) = −45◦. A tagNyquist diagramja egy félkör az alsó síknegyedben A-ból 0-ba (lásd 7. ábra). A félköralak igazolása a függelékben megtalálható.A Bode diagram esetében a továbbiakban az aszimptotikus szerkesztés módszerét ismer-tetjük. A diagramokon piros színnel jelöljük az aszimptotikus közelítést, míg kékkel avalódi frekvencia válaszokat.1TP tag Bode amplitúdó diagramja ωs =

1

Tfrekvenciáig egy 20 lg(A) magasságban haladó

vízszintes egyenes, majd a sarokkörfrekvenciától −20 dBdek

meredekségű egyenes. Fázisdiag-ramja 0◦ a sarokkörfrekvencia tizedénél kisebb frekvenciákra, −45

◦

dekmeredekségű egyenes

0.1ωs és 10ωs frekvenciák között és −90◦ a sarokkörfrekvencia tízszeresénél nagyobb frek-venciák esetén (lásd 8. ábra). Ennek igazolását a függelék tartalmazza. Látható, hogyωs = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen−45◦ értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza.

7


−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Re

Im


ω = 0 ω → ∞

Ad /T

ωs = 1 / T


10−2

10−1

100

101

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

ω [rad/sec]

Erõ

síté

s [d

B]

1TD tag Bode amplitúdó diagramja

T−1

+20 dB/dek

10−2

10−1

100

101

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

ω [rad/sec]

Fáz

issz

ög [f

ok]

1TD tag Bode fázis diagramja

0.1*T−1

−45 fok/dek

10*T−1

10. ábra. 1TD alaptag Bode diagramja


8

G(s) =Ads

Ts+ 1Frekvenciafüggvénye:

G(iω) =Adiω

T iω + 1=

AdTω2 + Adωi

1 + T 2ω2=

5iω

2iω + 1A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai:

ω = 0 ⇒ G(i0) = 0

ω → ∞ ⇒ G(i∞) =Ad

T

ωs =1

T⇒ G

(

i1

T

)

=Ad + Adi

2T=

Ad

2T+

Adi

2T

A fenti kifejezésben ωs az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ωs) = +45◦. A tagNyquist diagramja egy félkör a felső síknegyedben 0-ból Ad

T-be (lásd 9. ábra). A félkör

alak igazolása a függelékben megtalálható.Az 1TD tag Bode diagramját legkönnyebben szerkesztéssel határozhatjuk meg. Figye-lembe véve az összetett tagok ábrázolására vonatkozó tételt (lásd függelék), az 1TD tagfelfogható mint egy 0TD és 1TP alaptagok sorba kapcsolt eredője. Az alaptagok ampli-túdó és fázis görbéit megrajzolva, majd minden frekvencián összegezve kapjuk az eredőgörbéket, melyről a következőket mondhatjuk:

• az amplitúdó görbe egy +20 dBdek

meredekségű egyenes ω < 1

Tfrekvenciákon, mely az

1

Adpontban metszi (metszené) a 0 dB-es tengelyt, majd 1

T< ω frekvenciákra egy

20 lg Ad

Terősítésű vízszintes egyenes. A 0dB-es tengellyel való metsződés az 1

Tés 1

Ad

frekvenciák viszonyától függ. Ha 1

T> 1

Adakkor létrejön a metsződés, ha 1

T< 1

Ad

akkor nem jön létre metsződés, ha 1

T= 1

Adakkor a diagram éppen a 0dB-es tengelyre

törik.

• a fázis 90◦ és 0◦ között változik, 0.1ωs-nél kisebb frekvenciák esetén 90◦, 0.1ωs és10ωs frekvenciatartományon −45

◦

dekmeredekségű egyenes, 10ωs-nél nagyobb frek-

venciák esetén 0◦ (lásd 10. ábra). Látható, hogy ωs = 1/T frekvencián a Bodefázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen +45◦ értéket vesz fel, me-lyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza.



G(s) =AI

s(Ts+ 1)


G(iω) =AI

iω(T iω + 1)=

−AITω2 − AIωi

T 2ω4 + ω2=

−AIT − AI

ωi

T 2ω2 + 1=

2

3(iω)2 + iω


ω = 0 ⇒ G(i0) = −AIT − i∞ω → ∞ ⇒ G(i∞) = 0

ωs =1

T⇒ G

(

i1

T

)

=−AIT − AIT i

2= −AIT

2− AIT i

2

9

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

Re

Im


AI T

ω = 0

ω → ∞


10−2

10−1

100

101

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

ω [rad/sec]

Erõ

síté

s [d

B]

1TI tag Bode amplitúdó diagramja

T−1

−20 dB/dek

−40 dB/dek

10−2

10−1

100

101

−180

−170

−160

−150

−140

−130

−120

−110

−100

−90

ω [rad/sec]

Fáz

issz

ög [f

ok]

1TI tag Bode fázis diagramja

0.1*T−1

−45 fok/dek

10*T−1

12. ábra. 1TI alaptag Bode diagramja

A fenti kifejezésben ωs az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ωs) = −135◦. A tag Ny-quist diagramja ω = 0-ban az AIT −i∞ pontból indul és a 0 pontba fut be. Aszimptotájaaz AIT -vel jellemzett egyenes (lásd 11. ábra).

10

Az 1TI tagot mint 0TI és 1TP soros kapcsolásának tekintve a Bode diagramok:

• az amplitúdó görbe egy −20 dBdek

meredekségű egyenes ω < 1

Tfrekvenciákon, majd

1

T< ω frekvenciákra egy −40 dB

dekmeredekségű egyenes. A 0dB-es tengellyel való

metsződés az 1

Tés AI frekvenciák viszonyától függ. Ha 1

T> AI akkor -20 dB

dek, egyéb

esetben -40 dBdek

meredekséggel metszi a görbe a 0dB-es tengelyt.

• a fázis −90◦ és −180◦ között változik, 0.1ωs-nél kisebb frekvenciák esetén −90◦, 0.1ωs

és 10ωs frekvenciatartományon −45◦

dekmeredekségű egyenes, 10ωs-nél nagyobb frek-

venciák esetén −180◦ (lásd 12. ábra). Látható, hogy ωs = 1/T frekvencián a Bodefázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen −135◦ értéket vesz fel, me-lyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza.


−4 −2 0 2 4 6−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

Re

Im


Aω =0

ω → ∞

ωs = 1/T

ωs = 1/T

ξ≥ 0,5

ξ< 0,5



G(s) =A

T 2s2 + 2Tξs+ 1


G(iω) =A

T 2(iω)2 + 2Tξiω + 1=

A(1− T 2ω2 − 2Tξωi)

(1− T 2ω2)2 + 4T 2ξ2ω2=

A− AT 2ω2 − 2ATξωi

T 4ω4 + (4T 2ξ2 − 2T 2)ω2 + 1

ξ = 0, 8 G(iω) =5

4(iω)2 + 3, 2iω + 1

ξ = 0, 3 G(iω) =5

4(iω)2 + 1, 2iω + 1

11

10−2

10−1

100

101

−40

−30

−20

−10

0

10

20

ω [rad/sec]

Erõ

síté

s [d

B]

2TP tag (ξ<1) Bode amplitúdó diagramja

20*log10

(A) p

−40 dB/dek

10−2

10−1

100

101

−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

ω [rad/sec]

Fáz

issz

ög [f

ok]

2TP tag (ξ<1) Bode fázis diagramja

0.1*p

−90 fok/dek

10*p

10−2

10−1

100

101

102

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

ω [rad/sec]

Erõ

síté

s [d

B]

2TP tag (ξ=1) Bode amplitúdó diagramja

20*log10

(A) p−40 dB/dek

10−2

10−1

100

101

102

−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

ω [rad/sec]

Fáz

issz

ög [f

ok]

2TP tag (ξ=1) Bode fázis diagramja

0.1*p

−90 fok/dek

10*p

10−2

10−1

100

101

102

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

ω [rad/sec]

Erõ

síté

s [d

B]

2TP tag (ξ>1) Bode amplitúdó diagramja

20*log10

(A) p1

−20 dB/dek

p2

−40 dB/dek

10−2

10−1

100

101

102

−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

ω [rad/sec]

Fáz

issz

ög [f

ok]

2TP tag (ξ>1) Bode fázis diagramja

0.1*p1

−45 fok/dek

0.1*p2

−90 fok/dek

10*p1

−45 fok/dek10*p

2

14. ábra. 2TP alaptag Bode diagramjai

12


ω = 0 ⇒ G(i0) = A

ω → ∞ ⇒ G(i∞) = 0

ωs =1

T⇒ G

(

i1

T

)

=A− A− 2Aξi

4ξ2= 0− 2Aξi

4ξ2

A fenti kifejezésben ωs az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt a frekvenciafüggvény értéketisztán képzetes ϕ(ωs) = −90◦. A tag Nyquist diagramja egy torz "félkör" az alsó kétsíknegyedben A-ból 0-ba (ahány tárolós a tag, annyi síknegyeden halad át a Nyquistdiagramja) (lásd 13. ábra). Bizonyítható (lásd függelék), hogy az A pontba húzottfüggőleges egyenest ξ < 0, 5 csillapítás esetén fogja a diagram kétszer metszeni (ekkor"lóg át" rajta jobbra) egyébként minden pontja az egyenesen, vagy annak bal oldalánhelyezkedik el.A kéttárolós tagok esetében a rendszer viselkedését a ξ csillapítási tényező befolyásolja,három esetet különböztetünk meg (tipikus kéttárolós tag az egytömegű csillapított lengő-rendszer):

• ξ < 1 a rendszer gyengén csillapított, ekkor a rendszernek komplex konjugált pólus-párja van,

• ξ = 1 esetén a rendszer aperiodikus-periodikus határhelyzetben van, a rendszernekegy darab kétszeres multiplicitású valós pólusa van (kritikus csillapítás),

• ξ > 1 esetén a rendszer túlcsillapított, két eltérő valós pólusa van (|p1| < |p2|).A kéttárolós tagok Bode diagramjait szorzatra bontással és az alaptagok ábrázolása utánieredő számítással kaphatjuk meg.A pólusok alapján a 2TP aszimptotikus Bode diagramokról a következőket mondhatjuk:

• – Komplex konjugált póluspár vagy kétszeres multiplicitású valós pólus eseténaz amplitúdó diagram 20 lg(A) erősítésű vízszintes egyenes az |p1| = |p2| = |p|frekvenciáig, majd onnan −40 dB

dekmeredekségű egyenes.

– A fázisfüggvény 0◦ és −180◦ között forgat: 0◦ a 0.1|p| frekvenciánál kisebbfrekvenciákra, −90

◦

dekmeredekségű egyenes 0.1|p| és 10|p| frekvenciák között

és −180◦ 10|p|-nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd 14. ábra). Látható, hogyωs = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezőenéppen −90◦ értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan advissza.

– A valós Bode amplitúdó diagramon a |p| frekvencián kiemelés található gyengéncsillapított esetben. Határeset a ξ = 0 csillapítatlan rendszer ahol az ωs = |p|sajátlengési (vagy sarok) frekvencián végtelen nagy amplitúdó és ezért végtelennagy kiemelés alakul ki.

• – Két valós pólus esetén az amplitúdó diagram 20 lg(A) erősítésű vízszintes egye-nes az |p1| frekvenciáig, majd onnan −20 dB

dekmeredekségű egyenes a |p2| frek-

venciáig. |p2| frekvenciától pedig −40 dBdek

meredekségű egyenes.

– A fázisfüggvény 0◦ és −180◦ között forgat: 0◦ a 0.1|p1| frekvenciánál kisebbfrekvenciákra, −45

◦

dekmeredekségű egyenes 0.1|p1| és 0.1|p2| frekvenciák kö-

zött, −90◦

dekmeredekségű egyenes 0.1|p2| és 10|p1| frekvenciák között, −45

◦

dek

meredekségű egyenes 10|p1| és 10|p2| frekvenciák között, és −180◦ 10|p2|-nél na-gyobb frekvenciák esetén(lásd 14. ábra). Látható, hogy ωs = 1/T frekvenciána Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen −90◦ értéketvesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza.

13


−0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Re

Im


Ad /

2ξT

ω = 0

ω → ∞ φ = 0



G(s) =Ads

T 2s2 + 2Tξs+ 1


G(iω) =Adiω

T 2(iω)2 + 2Tξiω + 1=

Adiω(1− T 2ω2 − 2Tξωi)

(1− T 2ω2)2 + 4T 2ξ2ω2=

(1− T 2ω2)Adiω + 2AdTξω2)

T 4ω4 + (4T 2ξ2 − 2T 2)ω2 + 1

ξ = 0, 8 G(iω) =5iω

4(iω)2 + 3, 2iω + 1


ω = 0 ⇒ G(i0) = 0

ω → ∞ ⇒ G(i∞) = 0

ωs =1

T⇒ G

(

i1

T

)

=0 + 2Adξ

T

4ξ2=

Ad

2ξT+ 0i

A fenti kifejezésben ωs az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt a frekvenciafüggvény értéketisztán valós (ϕ(ωs) = 0). A tag Nyquist diagramja egy teljes kör a felső és alsó kétsíknegyedben 0-ból 0-ba (ahány tárolós a tag, annyi síknegyeden halad át a Nyquistdiagramja) (lásd 15. ábra). A teljes kör alak igazolása a függelékben megtalálható.A pólusok alapján az 1TD aszimptotikus Bode diagramokról a következőket mondhatjuk:

14

10−2

10−1

100

101

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

ω [rad/sec]

Erõ

síté

s [d

B]

2TD tag (ξ<1) Bode amplitúdó diagramja

+20 dB/dek

p

−20 dB/dek

10−2

10−1

100

101

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

100

ω [rad/sec]

Fáz

issz

ög [f

ok]

2TD tag (ξ<1) Bode fázis diagramja

0.1*p

−90 fok/dek

10*p

10−2

10−1

100

101

102

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

ω [rad/sec]

Erõ

síté

s [d

B]

2TD tag (ξ=1) Bode amplitúdó diagramja

+20 dB/dek

p

−20 dB/dek

10−2

10−1

100

101

102

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

100

ω [rad/sec]

Fáz

issz

ög [f

ok]

2TD tag (ξ=1) Bode fázis diagramja

0.1*p

−90 fok/dek

10*p

10−2

10−1

100

101

102

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

ω [rad/sec]

Erõ

síté

s [d

B]

2TD tag (ξ>1) Bode amplitúdó diagramja

+20 dB/dek

p1

p2

−20 dB/dek

10−2

10−1

100

101

102

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

100

ω [rad/sec]

Fáz

issz

ög [f

ok]

2TD tag (ξ>1) Bode fázis diagramja

0.1*p1

−45 fok/dek

0.1*p2

−90 fok/dek

10*p1

−45 fok/dek10*p

2

16. ábra. 2TD alaptag Bode diagramjai

15

• – Komplex konjugált póluspár vagy egy darab kétszeres multiplicitású pólus ese-tén az amplitúdó diagram +20 dB

dekmeredekségű egyenes az |p1| = |p2| frek-

venciáig (mely 0dB-es tengelyt az 1

Adfrekvencián metszi), majd onnan −20 dB

dek

meredekségű egyenes. A 0dB-es tengellyel való metsződés az 1

Tés 1

Adfrekven-

ciák viszonyától függ. Ha 1

T> 1

Adakkor létrejön a metsződés, ha 1

T< 1

Adakkor

nem jön létre metsződés.

– A fázisfüggvény 90◦ és −90◦ között forgat: 90◦ a 0.1|p| frekvenciánál kisebbfrekvenciákra, −90

◦


és −90◦ 10|p|-nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd 16. ábra). Látható, hogyωs = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezőenéppen 0◦ értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan advissza.

– A valós Bode amplitúdó diagramon a |p| frekvencián kiemelés található gyengéncsillapított esetben. Határeset a ξ = 0 csillapítatlan rendszer ahol az ωs = |p|sajátlengési (vagy sarok) frekvencián végtelen nagy amplitúdó és ezért végtelennagy kiemelés alakul ki.

• – Két valós pólus esetén az amplitúdó diagram +20 dBdek

meredekségű egyenes az|p1| frekvenciáig (mely 0dB-es tengelyt az 1

Adfrekvencián metszi), majd onnan

vízszintes egyenes a |p2| frekvenciáig. |p2| frekvenciától pedig −20 dBdek

mere-dekségű egyenes. A 0dB-es tengellyel való metsződés az |p1| és 1

Adfrekvenciák

viszonyától függ. Ha |p1| > 1

Adakkor létrejön a metsződés, ha |p1| < 1

Adakkor

nem jön létre metsződés.

– A fázisfüggvény 90◦ és −90◦ között forgat: 90◦ a 0.1|p1| frekvenciánál kisebbfrekvenciákra, −45

◦

dekmeredekségű egyenes 0.1|p1| és 0.1|p2| frekvenciák kö-

zött, −90◦


◦

dek

meredekségű egyenes 10|p1| és 10|p2| frekvenciák között, és −90◦ 10|p2|-nél na-gyobb frekvenciák esetén (lásd 16. ábra). Látható, hogy ωs = 1/T frekvenciána Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen 0◦ értéket veszfel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza.



G(s) =AI

s (T 2s2 + 2Tξs+ 1)


G(iω) =AI

T 2(iω)3 + 2Tξ(iω)2 + iω=

AI(−2Tξω2 − ωi+ T 2ω3i)

4T 2ξ2ω4 + ω2 − 2T 2ω4 + T 4ω6=

=−2TξAI − AI

ωi+ T 2AIωi

4T 2ξ2ω2 + 1− 2T 2ω2 + T 4ω4

G(iω)|ξ=0,8 =5

4(iω)3 + 3, 2(iω)2 + iωG(iω)|ξ=0,6 =

5

4(iω)3 + 2, 4(iω)2 + iω

16

−16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0−500

−400

−300

−200

−100

0


Re

Im

ξ<0.707

ξ≥0.707

ω = 0

ω → ∞

2Tξ AI



ω = 0 ⇒ G(i0) = −2TAIξ − i∞ω → ∞ ⇒ G(i∞) = 0

ωs =1

T⇒ G

(

i1

T

)

=−2TAIξ + (TAI − TAI)i

4ξ2=

−TAI

2ξ+ 0i

A fenti kifejezésben ωs az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt a frekvenciafüggvény értéketisztán valós (ϕ(ωs) = −180◦). A tag Nyquist diagramja az 1TI tag diagramjának torzí-tása (két síknegyeden halad át) 2TAIξ értékkel jellemzett aszimptotával (lásd 17. ábra).Bizonyítható (lásd függelék), hogy a 2TAIξ pontba húzott függőleges egyenest ξ < 1/

√2

csillapítás esetén fogja a diagram kétszer metszeni (ekkor "lóg át" rajta balra) egyébkéntminden pontja az egyenesen, vagy annak jobb oldalán helyezkedik el.A pólusok alapján az 1TI aszimptotikus Bode diagramokról a következőket mondhatjuk:

• – Komplex konjugált póluspár vagy egy darab kétszeres multiplicitású pólus ese-tén az amplitúdó diagram −20 dB

dekmeredekségű egyenes az |p1| = |p2| = |p|

frekvenciáig, majd onnan −60 dBdek

meredekségű egyenes. A 0dB-es tengellyelvaló metsződés a |p| és AI frekvenciák viszonyától függ. Ha |p| > AI , akkor−20 dB

dek, egyéb esetben −60 dB

dekmeredekséggel metszi a görbe a 0dB-es tengelyt.

– A fázisfüggvény −90◦ és −270◦ között forgat: −90◦ a 0.1|p| frekvenciánál kisebbfrekvenciákra, −90

◦


és −270◦ 10|p|-nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd 18. ábra). Látható, hogyωs = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezőenéppen −180◦ értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosanad vissza.

– A valós Bode amplitúdó diagramon a |p| frekvencián kiemelés található gyengéncsillapított esetben.

17

10−2

10−1

100

101

−60

−40

−20

0

20

40

60

ω [rad/sec]

Erõ

síté

s [d

B]

2TI tag (ξ<1) Bode amplitúdó diagramja

−20 dB/dek

p

−60 dB/dek

10−2

10−1

100

101

−280

−260

−240

−220

−200

−180

−160

−140

−120

−100

−80

ω [rad/sec]

Fáz

issz

ög [f

ok]

2TI tag (ξ<1) Bode fázis diagramja

0.1*p

−90 fok/dek

10*p

10−2

10−1

100

101

102

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

ω [rad/sec]

Erõ

síté

s [d

B]

2TI tag (ξ=1) Bode amplitúdó diagramja

−20 dB/dek

p

−60 dB/dek

10−2

10−1

100

101

102

−280

−260

−240

−220

−200

−180

−160

−140

−120

−100

−80

ω [rad/sec]

Fáz

issz

ög [f

ok]

2TI tag (ξ=1) Bode fázis diagramja

0.1*p

−90 fok/dek

10*p

10−2

10−1

100

101

102

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

ω [rad/sec]

Erõ

síté

s [d

B]

2TI tag (ξ>1) Bode amplitúdó diagramja

−20 dB/dek

p1

−40 dB/dek

p2

−60 dB/dek

10−2

10−1

100

101

102

−280

−260

−240

−220

−200

−180

−160

−140

−120

−100

−80

ω [rad/sec]

Fáz

issz

ög [f

ok]

2TI tag (ξ>1) Bode fázis diagramja

0.1*p1

−45 fok/dek

0.1*p2

−90 fok/dek

10*p1

−45 fok/dek10*p

2

18. ábra. 2TI alaptag Bode diagramjai

18

• – Két valós pólus esetén az amplitúdó diagram −20 dBdek

meredekségű egyenes az|p1| frekvenciáig, majd onnan −40 dB

dekmeredekségű egyenes a |p2| frekvenciáig.

|p2| frekvenciától pedig −60 dBdek

meredekségű egyenes. A 0dB-es tengellyel valómetsződés a |p1| és AI frekvenciák viszonyától függ. Ha |p1| > AI , akkor -20 dB

dek, egyéb esetben -40 dB

dekvagy -60 dB

dekmeredekséggel metszi a görbe a 0dB-es

tengelyt.

– A fázisfüggvény −90◦ és −270◦ között forgat: −90◦ a 0.1|p1| frekvenciánál ki-sebb frekvenciákra, −45

◦

dekmeredekségű egyenes 0.1|p1| és 0.1|p2| frekvenciák

között, −90◦


◦

dek

meredekségű egyenes 10|p1| és 10|p2| frekvenciák között, és −270◦ 10|p2|-nél na-gyobb frekvenciák esetén (lásd 18. ábra). Látható, hogy ωs = 1/T frekvenciána Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen −180◦ értéketvesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza.

2.10. PD arányos deriváló tag

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Re

Im

PD tag Nyquist diagramja

ω → ∞

ω = 0

19. ábra. PD alaptag Nyquist diagramja


G(s) = Ts+ 1


G(iω) = T iω + 1

19

10−2

10−1

100

101

102

103

0

20

40

60PD tag Bode amplitúdó diagramja

ω [rad/sec]

Erõ

síté

s [d

B]

10−2

10−1

100

101

102

103

0

50

100PD tag Bode fázis diagramja

Fáz

issz

ög [f

ok]

ω [rad/sec]

+20dB/dekT−1

0.1*T−1

10*T−1

+45 fok/dek

20. ábra. PD alaptag Bode diagramja


ω = 0 ⇒ G(i0) = 1

ω → ∞ ⇒ G(i∞) = 1 + i∞

ωs =1

T⇒ G

(

i1

T

)

= i+ 1

A fenti kifejezésben ωs az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ωs) = 45◦. A tag Nyquistdiagramja egy egyenes az 1 pontból az 1 + i∞-be (lásd 19. ábra).A Bode diagram esetében a továbbiakban az aszimptotikus szerkesztés módszerét ismer-tetjük. A diagramokon piros színnel jelöljük az aszimptotikus közelítést, míg kékkel avalódi frekvencia válaszokat.PD tag Bode amplitúdó diagramja ωs = 1

Tfrekvenciáig egy 0dB magasságban haladó

vízszintes egyenes, majd a sarokkörfrekvenciától +20 dBdek

meredekségű egyenes. Fázisdiag-ramja 0◦ a sarokkörfrekvencia tizedénél kisebb frekvenciákra, +45

◦

dekmeredekségű egye-

nes 0.1ωs és 10ωs frekvenciák között és +90◦ a sarokkörfrekvencia tízszeresénél nagyobbfrekvenciák esetén (lásd 20. ábra).

20

3. Függelék

3.1. Igazolás: 0TD alaptag Bode diagramja

Az ideális differenciáló tag erősítését a következő módon írhatjuk:

a(ω) = 20 lg |Adiω| = 20 lgAdω = 20 lgAd + 20 lgω

Amennyiben a körfrekvencia egy dekádnyit változik akkor az erősítés változása:

a(10 · ω)− a(ω) = 20 lgAd + 20 lg 10 + 20 lgω − 20 lgAd − 20 lgω

= 20 lg 10 = 20

vagyis az amplitúdó görbe meredeksége +20 dbdek

.A vágási körfrekvencia:

0 = 20 lgAd + 20 lgωc

lgωc = − lgAd = lgA−1

d

ωc =1

Ad

A fázisfüggvény:

ϕ(ω) = arctanImG(iω)

ReG(iω)= arctan

ImAdiω

ReAdiω= arctan

Adω

0= arctan∞ = +90◦

minden ω-ra.

3.2. Igazolás: 0TI alaptag Bode diagramja

Az ideális integráló tag erősítését (hasonlóan a differenciálóhoz) a következő módon írhat-juk:

a(ω) = 20 lgAI

ω= 20 lgAI − 20 lgω

Amennyiben a körfrekvencia egy dekádnyit változik akkor az erősítés változása:

a(10 · ω)− a(ω) = 20 lgAI − 20 lg 10− 20 lgω − 20 lgAI + 20 lgω

= −20 lg 10 = −20

vagyis az amplitúdó görbe meredeksége −20 dbdek

.A vágási körfrekvencia:

0 = 20 lgAI − 20 lgωc

lgωc = lgAI

ωc = AI

A fázisfüggvény:

ϕ(ω) = arctanImG(iω)

ReG(iω)= arctan

Im −AI iω

Re −AI iω

= arctan−AI

ω

0= − arctan∞ = −90◦

minden frekvencián.

21

3.3. Igazolás: 1TP alaptag Nyquist diagramja félkör alakú

Thálesz tétele értelmében egy kör átmérője fölé rajzolt háromszögek, melyek harmadikcsúcsa a körön helyezkedik el mindig derékszögűek. Mi ezt a tételt fordítva fogjuk alkal-mazni és belátjuk, hogy adott Nyquist diagram esetén a futó pont (ω) és a kezdő- (ω = 0)és végpont (ω → ∞) által alkotott háromszögek derékszögűek, így a futó pont félkört(teljes kört) fut be.

Jelölje a futó pont valós és képzetes részből képzett vektorát a komplex számsíkon G.A pedig az ω = 0 ponthoz tartozó vektort. Azt szükséges belátni, hogy a G vektor a GAkülönbségi vektorra mindig merőleges:

G =[AN

−ATωN

]T

N = 1 + T 2ω2

A =[A 0

]T

GA = A−G =[A− A

NATωN

]T

GA ·G =A2

N− A2

N2− A2T 2ω2

N2=

A2N

N2− A2 + A2T 2ω2

N2=

=A2 + A2T 2ω2

N2− A2 + A2T 2ω2

N2= 0 ∀ω

q.e.d.

3.4. Igazolás: 1TP alaptag Bode amplitúdó diagramja

Az 1TP tag amplitúdó függvénye:

a(ω) = 20 lg

∣∣∣∣

A

Tiω + 1

∣∣∣∣= 20 lgA− 20 lg

√

1 + (Tω)2

ami alacsony frekvenciák esetén, azaz amikor a gyök alatti kifejezésben a frekvencia függéselhanyagolható, ω << 1

T:

a(ω)|ω<< 1

T= 20 lgA

az aszimptota egyenlete. Magas frekvenciák esetén, mikor is a gyök alatti kifejezésben az1 elhanyagolható, ω >> 1

T:

a(ω)|ω>> 1

T= 20 lgA− 20 lg Tω

az aszimptota egyenlete, ami egy −20 dBdek

meredekségű egyenes.A két aszimptota metszéspontját meghatározó egyenlet:

20 lgA = 20 lgA− 20 lg Tω

amiből ω = 1

Tadódik.

3.5. Igazolás: 1TD alaptag Nyquist diagramja félkör alakú

Az igazolás elve azonos az 1TP tagra vonatkozóéval. Jelölje a futó pont valós és kép-zetes részből képzett vektorát a komplex számsíkon G. A pedig az ω → ∞ ponthoztartozó vektort. Azt szükséges belátni, hogy a G vektor a GA különbségi vektorra mindigmerőleges:

22

G =[AdTω2

NAdωN

]T

N = 1 + T 2ω2

A =[Ad

T0]T

GA = A−G =[Ad

T− AdTω2

N−Adω

N

]T

GA ·G =A2

dω2

N− A2

dT2ω4

N2− A2

dω2

N2=

A2dω

2N

N2− A2

dω2 + A2

dT2ω4

N2=

A2dω

2 + A2dT

2ω4

N2− A2

dω2 + A2

dT2ω4

N2= 0 ∀ω

q.e.d.

3.6. Igazolás: 2TP alaptag Nyquist diagramjának viszonya az Aponttal jellemzett függőleges egyeneshez ξ függvényében

A 2TP tag Nyquist diagramja akkor "lóg át" az [A 0] pontba állított függőleges egyenesen,ha ReG(iω) = A lehetséges ω 6= 0 esetén is. Az erre vonatkozó számítás:

A =A− AT 2ω2

T 4ω4 + (4T 2ξ2 − 2T 2)ω2 + 1

AT 4ω4 +(4AT 2ξ2 − 2AT 2

)ω2 + A = A− AT 2ω2 a , ω2 > 0

AT 4a2 +(4AT 2ξ2 − AT 2

)a = 0

AT 4a = AT 2 − 4AT 2ξ2

a =1

T 2− 4

T 2ξ2

(4)

Könnyen belátható, hogy (4)-nek akkor létezik a > 0 megoldása, ha ξ < 0, 5. Ezzeligazoltuk, hogy ekkor fog a Nyquist diagram "átlógni" az A pontba húzott függőlegesen.

3.7. Igazolás: 2TI alaptag Nyquist diagramjának viszonya a −2AITξponttal jellemzett függőleges egyeneshez ξ függvényében

A 2TI tag Nyquist diagramja akkor "lóg át" a [−2AITξ 0] pontba állított függőlegesegyenesen, ha ReG(iω) = −2AITξ lehetséges ω 6= 0 esetén is. Az erre vonatkozó számítás(hasonlóan a 2TP taghoz):

− 2AITξ =−2AITξ

T 4ω4 + (4T 2ξ2 − 2T 2)ω2 + 1

T 4ω4 +(4T 2ξ2 − 2T 2

)ω2 = 0 a , ω2 > 0

T 4a2 = 2T 2a− 4T 2ξ2a

a =2

T 2− 4

T 2ξ2

(5)

Könnyen belátható, hogy (5)-nak akkor létezik a > 0 megoldása, ha ξ < 1/√2. Ezzel

igazoltuk, hogy ekkor fog a Nyquist diagram "átlógni" a −2AITξ pontba húzott függőle-gesen.

23

3.8. Igazolás: 2TD alaptag Nyquist diagramja kör alakú

Az igazolás elve azonos az 1TP tagra vonatkozóéval. Jelölje a futó pont valós és képzetesrészből képzett vektorát a komplex számsíkon G. A pedig az ωs = 1/T sarokkörfrekven-ciához tartozó vektort. Azt szükséges belátni, hogy a G vektor a GA különbségi vektorramindig merőleges:

G =[

2Tξω2Ad

N

(1−T 2ω2)Adω

N

]T

N = T 4ω4 +(4T 2ξ2 − 2T 2

)ω2 + 1

A =[

Ad

2ξT0]T

GA = A−G =[

Ad

2ξT− 2Tξω2Ad

N−(1−T 2ω2)Adω

N

]T

GA ·G =2ξTA2

dω2

2ξTN− 4T 2ξ2ω4A2

d

N2− (1− T 2ω2)

2A2

dω2

N2=

A2dω

2 (T 4ω4 + 4T 2ξ2ω2 − 2T 2ω2 + 1)

N2− A2

dω2 (T 4ω4 + 4T 2ξ2ω2 − 2T 2ω2 + 1)

N2= 0

q.e.d.

3.9. Igazolás: PD alaptag Bode amplitúdó diagramja

A PD tag amplitúdó függvénye:

a(ω) = 20 lg |T iω + 1| = 20 lg√

1 + (Tω)2

ami alacsony frekvenciák esetén, azaz amikor a gyök alatti kifejezésben a frekvencia függéselhanyagolható, ω << 1

T:

a(ω)|ω<< 1

T= 20 lg 1 = 0dB

az aszimptota egyenlete. Magas frekvenciák esetén, mikor is a gyök alatti kifejezésben az1 elhanyagolható, ω >> 1

T:

a(ω)|ω>> 1

T= 20 lg Tω

az aszimptota egyenlete, ami egy +20 dBdek

meredekségű egyenes.A két aszimptota metszéspontját meghatározó egyenlet:

20 lg 1 = 20 lg Tω

amiből ω = 1

Tadódik.

3.10. Igazolás: Összetett tag Bode diagramja szorzat alakból aszorzatban szereplő alaptagok Bode diagramjainak összege-ként kapható meg

Vegyük egy összetett tag alaptagok szorzataként felírt frekvenciafüggvényét:

G(iω0) = G1G2 . . . Gn

Gj ∈ C j = 1 . . . n ⇒Gj = rje

iϕj ⇒G(iω0) = r1e

iϕ1r2eiϕ2 . . . rne

iϕn = r1r2 . . . rneiϕ1eiϕ2 . . . eiϕn = reiϕ

(6)

24

Az eredő amplitúdó így r = r1r2 . . . rn az eredő fázis pedig ϕ = ϕ1 + ϕ2 + . . . + ϕn. Afázisszögről így azonnal látható, hogy az alaptagok fázisszögeit összegezve megkapjuk azeredő szöget.

Vizsgáljuk most a Bode amplitúdó diagram értékét felhasználva az amplitúdó definí-cióját:

a(ω0) = 20 lg |G(iω0)| = 20 lg |r1r2 . . . rneiϕ| = 20 lg(r1r2 . . . rn) =

= 20 lg r1 + 20 lg r2 + . . .+ 20 lg rn = a1(ω0) + a2(ω0) + . . .+ an(ω0)(7)

Hivatkozások

[1] Bokor József, Gáspár Péter: Irányítástechnika járműdinamikai alkalmazásokkal, Ty-poTeX kiadó, Budapest, 2008.

25

alaptagok nyquist és bode diagramjaidinamikus rendszerek leírásának egyik módja az átviteli...

Documents