aktuarska matematika

AKTUARSKA MATEMATIKA

1) IZVOĐENJE FORMULA (TEORETSKI DIO)2) URAĐENI ZADACI

1) Izvođenje formula (teoretski dio)

Diskontni faktor V x = 1

1,04x

Formule za žive

Dx = lx ∙Vx

Nx = Dx + Dx+1 + Dx+2 + ∙∙∙Nx – Nx+k = Dx + Dx+1 + ∙∙∙ + Dx+k-1

Formule za mrtve

Cx = d x ∙Vx+1

Mx = Cx + Cx+1 + Cx+2 + ∙∙∙Mx – Mx+k = Cx + Cx+1 + ∙∙∙ + Cx+k-1

Prilikom učenja kako se izvode formule najbitnije je obratiti pažnju na prvi red u zagradama i vidjeti kako se šta izvodi.To su osnove.Kroz zadatke se vidi kako treba i kako se izvođenje formula primjenjuje.

1

Uplata dekurzivne premije (ili isplata rente),ispodgodišnje (m),za period od x do x+k

1)P ∙(lx+1 ∙V

1+l x+2 ∙V2+…+l x+k ∙V

k

lx+ 1m

∙V1m+ l

x+1+ 1m

∙V1+1m+…+l

x+ k−1+ 1m

∙Vk−1+

1m

…

lx+m−1m

∙Vm−1m +l

x+1+m−1m

∙V1+m−1

m +…+ lx+k−1+

m−1m

∙Vk−1+m−1

m ) /množimo saV x

2)P ∙ (lx+1 ∙V

x+1+l x+2∙Vx+2+…+lx +k ∙V

x+k

lx+ 1m

∙Vx+1m+l

x+1+ 1m

∙Vx+1+

1m+…+l

x+k−1+ 1m

∙Vx+ k−1+

1m

…

lx+m−1m

∙Vx+m−1

m + lx+1+

m−1m

∙Vx+1+m−1

m +…+lx+k−1+

m−1m

∙Vx+k−1+ m−1

m )3)P ∙ (

D x+1+D x+2+…+D x+k

Dx+1m

+Dx+1+

1m

+…+Dx+k−1+

1m

…Dx+m−1m

+Dx+1+

m−1m

+…+Dx+k−1+

m−1m

),jer je D x=lx ∙Vx

4)P ∙ (N x+1−N x+ k−1

Nx+1m

−Nx+k +

1m

…Nx+m−1m

−Nx+k +

m−1m

) , jer je N x−N x +k=D x+D x+1+…+Dx+ k−1

2

X+1/

m X+2/

m... X+

(m-

1)/m

X+ 1 X+1+

1/m X

+1+2

/m... X+

1+(m

-1)/

m

X+2

X+k-

1 X+k

X+k-

1+1/

m

X+k-

1+2/

m... X+

k-1+

(m-1

)/m

x x+1 x+2 ... x+k-1 x+k

5)P ∙ (N x−D x−(N x+k−D x+ k )

N x−1m∙ Dx−N x+k+

1m∙ Dx+ k

…

N x−m−1m

∙ Dx−N x+k+m−1m

∙ D x+k) , jer je N

x+1m

=N x−1m∙D x

6)P∙(m ∙N x−m ∙N x+k−m+12∙ D x+

m+12∙D x+ k) ,jer je

1m

+ 2m

+…+m−1m

+1=m+12

7)P ∙ (m ∙ (N x−N x+k )−m+12∙ (D x−D x+k ))

8) Ako je m=1 ( godišnja premija (renta) ) imamo P ∙ (N x+1−N x+k +1 )

Uplata anticipativne premije(ili isplata rente),ispodgodišnje(m),za period od x do x+k

1)P ∙ (l x ∙V

0+lx +1 ∙V1+…+lx +k−1 ∙V

k−1

lx+ 1m

∙V1m+ l

x+1+ 1m

∙V1+1m+…+l

x+ k−1+ 1m

∙Vk−1+

1m

…

lx+m−1m

∙Vm−1m +l

x+1+m−1m

∙V1+m−1

m +…+ lx+k−1+

m−1m

∙Vk−1+m−1

m ) /množimo sa V x

2)P ∙ (l x ∙V

x+0+lx+1 ∙Vx+1+…+ lx+k−1 ∙V

x+k−1

lx+ 1m

∙Vx+1m+l

x+1+ 1m

∙Vx+1+

1m+…+l

x+k−1+ 1m

∙Vx+ k−1+

1m

…

lx+m−1m

∙Vx+m−1

m + lx+1+

m−1m

∙Vx+1+m−1

m +…+lx+k−1+

m−1m

∙Vx+k−1+ m−1

m )3

X+1/

m X+2/

m... X+

(m-

1)/m

X+ 1 X+1+

1/m X

+1+2

/m... X+

1+(m

-1)/

m

X+2

X+k-

1X X+k-

1+1/

m

X+k-

1+2/

m... X+

k-1+

(m-1

)/m

x x+1 x+2 ... x+k-1 x+k

3)P ∙ (Dx+D x+1+…+D x+k−1

Dx+1m

+Dx+1+

1m

+…+Dx+k−1+

1m

…Dx+m−1m

+Dx+1+

m−1m

+…+Dx+k−1+

m−1m

), jer je D x=lx ∙Vx

4)P ∙ (N x−N x+k

Nx+1m

−Nx+k +

1m

…Nx+m−1m

−Nx+k +

m−1m

), jer je N x−N x +k=D x+D x+1+…+Dx+ k−1

5)P ∙ (N x−N x+k


1m∙ Dx+ k

…

N x−m−1m


∙ D x+k) , jer je N

x+1m

=N x−1m∙D x

6)P∙(m ∙N x−m ∙N x+k−m−12∙D x+

m−12∙D x+k ), jer je

1m

+2m

+…+m−1m

=

1+m−12

(m−1 )

m=m−12

7) P ∙ (m ∙ (N x−N x+k )−m−12∙ (Dx−D x+k ))

8) Ako je m=1 ( godišnja premija (renta) ) imamo P ∙ (N x−N x+k )Uplata dekurzivne premije (ili isplata rente),ispodgodišnje (m),za period poslije x

4

X+1/

m

X+2/

m... X+

(m-

1)/m

X+1

X+1+

1/m

X+1+

2/m

... X+1+

(m-1

)/m

X+2

X+2+

1/m

x x+1 x+2 ...

1)P ∙(l x+1 ∙V

1+lx+2 ∙V2+…

lx+ 1m

∙V1m+ l

x+1+ 1m

∙V1+1m+l

x+2+ 1m

∙V2+1m+…

…

lx+m−1m

∙Vm−1m +l

x+1+m−1m

∙V1+m−1

m +lx+2+

m−1m

∙V2+m−1

m +…) / množimo sa V x

2)P ∙ (l x+1 ∙V

x +1+l x+2 ∙Vx+2+…

lx+ 1m

∙Vx+1m+l

x+1+ 1m

∙Vx+1+

1m+l

x+2+ 1m

∙Vx+2+

1m+…

…

lx+m−1m

∙Vx+m−1

m + lx+1+

m−1m

∙Vx+1+m−1

m +lx+2+

m−1m

∙Vx +2+m−1

m +…)3)P ∙ (

D x+1+D x+2+…Dx+1m

+Dx+1+

1m

+Dx+2+

1m

+…

…Dx+m−1m

+Dx+1+

m−1m

+Dx+2+

m−1m

+…),jer je D x=lx ∙Vx

4)P ∙ (N x +1Nx +1m

…Nx+m−1m

) , jer je N x+1=D x+1+Dx +2+…

5)P ∙ (N x−D x

N x−1m∙ D x

…

N x−m−1m

∙ Dx) , jer je N

x+1m

=N x−1m∙D x

6)P∙(m ∙N x−m+12∙D x) ,jer je

1m

+ 2m

+…+m−1m

+1=m+12

7)P ∙ (m ∙N x−m+12∙DX )

8) Ako je m=1 ( godišnja premija (renta) ) imamo P ∙ (N x−D x)

Uplata anticipativne premije (ili isplata rente),ispodgodišnje (m),za period poslije x

5

1)P ∙ (l x ∙V

0+lx +1 ∙V1+ lx+2 ∙V

2+…

lx+ 1m

∙V1m+ l

x+1+ 1m

∙V1+1m+l

x+2+ 1m

∙V2+1m+…

…

lx+m−1m

∙Vm−1m +l

x+1+m−1m

∙V1+m−1

m +lx+2+

m−1m

∙V2+m−1


2)P ∙ (l x ∙V

x+0+l x+1 ∙Vx+1+lx+2 ∙V

x+2+…

lx+ 1m

∙Vx+1m+l

x+1+ 1m

∙Vx+1+

1m+ l

x+2+ 1m

∙Vx+2+

1m+…

…

lx+m−1m

∙Vx+m−1

m + lx+1+

m−1m

∙Vx+1+m−1

m +…+lx+2+

m−1m

∙Vx+2+ m−1

m +…)3)P ∙ (

D x+D x+1+D x+2+…Dx +1m

+Dx+1+

1m

+Dx +2+

1m

+…

…Dx+m−1m

+Dx+1+

m−1m

+Dx+2+

m−1m

), jer je D x=lx ∙Vx

4)P ∙ (N x

Nx +1m

…Nx+m−1m

), jer je N x=Dx+D x+1+Dx +2+…

6

X+1/

m

X+2/

m

... X+(m

-1)

/mX+

1

X+1+

1/m

X+1+

2/m

... X+1+

(m-1

)/m

X+2

X+2+

1/mX

x x+1 x+2 ...

5)P ∙ (N x

N x−1m∙ D x

…

N x−m−1m

∙ Dx) , jer je N

x+1m

=N x−1m∙D x

6)P∙(m ∙N x−m−12∙ Dx ), jer je

1m

+ 2m

+…+m−1m

=m−12

7) P ∙ (m ∙N x−m−12∙ Dx )

8) Ako je m=1 ( godišnja premija (renta) ) imamo P ∙ N x

Uplata kapitala u godini x+k

1) K ∙ lx +k ∙Vk , množimo sa V x

2) K ∙ lx +k ∙Vx+k

3) K ∙ D x+k ,jer je D x+k=l x+k ∙Vx+k

Isplata kapitala za slučaj doživljenja godine x+k+m

1) K ∙ lx +k+m ∙Vk+m ,množimo sa V x

2) K ∙ lx +k+m ∙Vx+ k+m

3) K ∙ D x+k+m , jer je D x+k+m=lx +k+m ∙Vx+ k+m

Osiguranje kapitala za slučaj smrti od x+k do x+k+m

1) K ∙ (dx+ k ∙V k+1+d x+k +1 ∙V k+2+…+dx +k+m−1 ∙Vk+m ) , množimo sa V x

2) K ∙ (dx+ k ∙V x+ k+1+d x+k+1 ∙V x+ k+2+…+dx+k +m−1 ∙Vx+k+m )

3) K ∙ (C x +k+C x+k +1+…+C x+k +m−1 ) , jer je C x+ k=d x+k ∙Vx+k +1

4) K ∙ (M x+k−M x+k+m ) , jer je M x +k−M x+k+m=C x+k+C x +k+1+…+C x+k+m−1

Osiguranje kapitala za slučaj smrti poslije x+k

1) K ∙ (dx+ k ∙V k+1+d x+k +1 ∙V k+2+dx+k +2 ∙V k+3+…) , , množimo sa V x

2) K ∙ (dx+ k ∙V x+ k+1+d x+k+1 ∙V x+ k+2+d x+k+2 ∙Vx+ k3+… )

3) K ∙ (C x +k+C x+k +1+C x+k+2+…) , jer je C x+ k=d x+k ∙Vx+k +1

4) K ∙ M x +k , jer je M x +k=C x+ k+C x+k+1+C x+k+2+…

7

2) URAĐENI ZADACI

AKO SE NIŠTA NE NAGLASI U ZADATKU (U TEKSTU ZADATKA) TADA SE PODRAZUMJEVA DA SU ANTICIPATIVNE PREMIJE ILI RENTE I PRIMJENJUJEMO FORMULE ZA ANTICIPATIVNE PREMIJE ( RENTE).

Prilikom rada zadataka drugi korak u izvođenju se preskače zbog gubljenja vremena na tom koraku,a zadaci su tačni i priznaju se na ispitu i bez tog koraka.

U zadacima koji su ovdje urađeni takođe je preskočen drugi korakAko neko želi da izvodi drugi korak prilikom vježbanja slobodno neka radi

Prilikom rada zadataka bitno je nacrtati i označiti kada počinje(od koje godine) premija,renta ili kapital i kada završava.Vidjeti ćete u sledećim zadacima na šta mislim Ima istih ili sličnih zadataka ali svi su urađeni

1. Lice staro 45 godina želi da osigura kapital od 200.000 n.j. za slučaj doživljenja 75-og rođendana, odnosno tromjesečnu ličnu rentu od 5.000 n.j ,s tim da se prva renta isplati po proteku 15 godina od dana početka osiguranja.Za ovo osiguranje uplaćeno je danas 20.000 n.j.Koliko još treba uplatiti nakon 8 godina?

x=45K=200.000 (75-ti rođendan)R=5.000 (60,-)P1=20.000P2=?

P1 ∙ l x+P2 ∙l x+kVk = R ∙ (

lx +k+n ∙Vk+n+l x+k+n+1 ∙V

k +n+1+…

lx+ k+n+ 1

m

∙Vk +n+

1m+l

x+k+n+1+ 1m

∙Vk+n+1+

1m+…

…

lx+k+n+

m−1m

∙Vk +n+m−1

m +lx+k+n+1+

m−1m

∙Vk+n+1+m−1

m +…) + K

lx +k+n+n' ∙Vk+n+n' / množimo sa V x

8

x+k

P2

53

x x+k+n x+k+n+n’

P145

R60

K75

m =4

P1 ∙ D x+P2 ∙D x+ k= R ∙ (Dx+ k+n+D x+k+n+1+…

Dx+k+n+

1m

+Dx+k+n+1+

1m

+…

…Dx+k +n+

m−1m

+Dx+k+n+1+

m−1m

+…) + K ∙ D x+k+n+n'

P1 ∙ D x+P2 ∙D x+ k= R ∙(N x+ k+n

Nx +k+n+

1m

…Nx+k +n+

m−1m

) + K ∙ D x+k+n+n'

P1 ∙ D x+P2 ∙D x+ k= R ∙ (N x+ k+n

N x+k+n−1m∙D x+k +n

…

N x+k +n−m−1m

∙ Dx +k+n) + K ∙ D x+k+n+n'

P1 ∙ D x+P2 ∙D x+ k= R ∙ (m ∙N x+k +n−m−12∙ D x+k+n) + K ∙ D x+k+n+n '

20.000 ∙ D45 + P2 ∙ D53 = 5.000 (4 ∙N 60−32∙D60) + 200.000 ∙ D75

2. Lice staro 38 godina želi da osigura kapital za slučaj smrti,s tim da smrt nastupi po proteku 30 godina od dana početka osiguranja.Za ovo osiguranje uplaćivaće se dvomjesečna premija koja u toku prvih 15 godina iznosi po ___ n.j.,a nadalje po ___ n.j.Kolika je premija u prvoj seriji ako je premija prve veća od premije druge serije za 30% i ako je osigurani kapital u toku prvih 5 godina 200.000n.j., a nadalje 160.000 n.j.

x=38P1 = ___ n.j (38,53)P2 = ___ n.j (53,-)P1 = 1,3 P2

K1 = 200.000 (68,73)K2 = 160.000 (73,-)

9

P1 ∙ (l x ∙V

0+lx +1 ∙V1+…+lx +k−1 ∙V

k−1

lx+ 1m

∙V1m+ l

x+1+ 1m

∙V1+1m+…+l

x+ k−1+ 1m

∙Vk−1+

1m

…

lx+m−1m

∙Vm−1m +l

x+1+m−1m

∙V1+m−1

m +…+ lx+k−1+

m−1m

∙Vk−1+m−1

m ) ++¿ P2 ∙ (

lx +k ∙Vk+l x+k+1 ∙V

k+1+…

lx+ k+ 1

m

∙Vk+1m+l

x+k+1+ 1m

∙Vk +1+

1m+…

…

lx+k+

m−1m

∙Vk+m−1

m +lx+k+1+

m−1m

∙Vk+1+m−1

m +…) =

=K1∙(d x+k+n ∙V k+n+1+dx+ k+n+1 ∙V k+n+2+…+d x+k +n+n'−1 ∙Vk+n+n' )+

+K2∙(d x+k+n+n ' ∙V k+ n+n'+1+d x+k+n+n'+1 ∙V

k +n+n'+2+… ) / množimo sa V x

P1 ∙ (Dx+D x+1+…+D x+k−1

Dx+1m

+Dx+1+

1m

+…+Dx+k−1+

1m

…Dx+m−1m

+Dx+1+

m−1m

+…+Dx+k−1+

m−1m

) + P2∙ (Dx+ k+D x+ k+1+…

Dx+k+

1m

+Dx+ k+1+

1m

+…

…Dx+k +

m−1m

+Dx+ k+1+

m−1m

+…)= K1∙(C x+k+n+C x+k+n+1+…+C

x+ k+n+n')+K2∙(C x+k+n+n '+C x+k+ n+n'+1+…)

P1∙(N x−N x+k

Nx+1m

−Nx+k +

1m

…Nx+m−1m

−Nx+k +

m−1m

)+P2∙(N x+ k

Nx+ k+

1m

…Nx+k +

m−1m

)=K1∙(M x+k+n−M x+ k+n+n')+ +K2∙M x +k+n+n'

10

x+k

P2

53

m=6

x x+k+n x+k+n+n’

P138

K168

K2

73

P1∙(N x−N x+k


1m∙ Dx+ k

…

N x−m−1m


∙ D x+k)+P2∙(

N x +k

N x+k−1m∙ Dx+ k

…

N x+k−m−1m

∙D x+k) =

=K1∙(M x+k+n−M x+ k+n+n') + K2∙M x +k+n+n'

P1 ∙ (m ∙N x−m ∙N x+k−m−12∙D x+

m−12∙D x+k ) + P2 ∙ (m ∙N x+k−

m−12∙D x+k )=


P1 ∙ [m∙ (N x−N x +k )−m−12∙ (D x−Dx +k )] + P2 ∙ (m ∙N x+k−

m−12∙D x+k ) =


1,3 P2 ∙ [6 ∙ (N 38−N53 )−52∙ (D38−D53 )] + P2 ∙ (6 ∙ N53−52 ∙ D53) =

=200.000 ∙ (M 68−M 73 ) + 160.000 ∙ M 73

3. Lice staro 40 godina želi da osigura godišnju doživotnu anticipativnu ličnu rentu , s tim da renta u toku prvih 20 godina iznosi 20.000 n.j. , a nadalje po 42.000 n.j. Koliko kapitala treba uplatiti?

x=40R1 = 20.000 (40,60)R2 = 42.000 (60,-)P=?

11

x x+k

R1

40R2

60

m =1

P ∙ lx = R1 ∙ (l x ∙V

0+lx +1 ∙V1+…+lx +k−1 ∙V

k−1

lx+ 1m

∙V1m+ l

x+1+ 1m

∙V1+1m+…+l

x+ k−1+ 1m

∙Vk−1+

1m

…

lx+m−1m

∙Vm−1m +l

x+1+m−1m

∙V1+m−1

m +…+ lx+k−1+

m−1m

∙Vk−1+m−1

m ) ++ R2 ∙ (


k+1+…

lx+ k+ 1

m

∙Vk+1m+l

x+k+1+ 1m

∙Vk +1+

1m+…

…

lx+k+

m−1m

∙Vk+m−1

m +lx+k+1+

m−1m

∙Vk+1+m−1


P ∙ D x = R1 ∙ (Dx+D x+1+…+D x+k−1

Dx+1m

+Dx+1+

1m

+…+Dx+k−1+

1m

…Dx+m−1m

+Dx+1+

m−1m

+…+Dx+k−1+

m−1m

)+

R2∙ (Dx+ k+D x+ k+1+…

Dx+k+

1m

+Dx+ k+1+

1m

+…

…Dx+k +

m−1m

+Dx+ k+1+

m−1m

+…)P ∙ D x = R1∙(

N x−N x+k

Nx+1m

−Nx+k +

1m

…Nx+m−1m

−Nx+k +

m−1m

)+R2∙(N x+ k

Nx+ k+

1m

…Nx+k +

m−1m

)P ∙ D x= R1∙(

N x−N x+k


1m∙ Dx+ k

…

N x−m−1m


∙ D x+k)+R2∙(

N x +k

N x+k−1m∙ Dx+ k

…

N x+k−m−1m

∙D x+k)

12

P ∙ D x = R1 ∙ (m ∙N x−m ∙N x+k−m−12∙D x+

m−12∙D x+k ) +

+ R2 ∙ (m ∙N x+k−m−12∙D x+k )

P ∙ D x = R1 ∙ [m∙ (N x−N x +k )−m−12∙ (D x−Dx +k )] + R2 ∙ (m ∙N x+k−

m−12∙D x+k )

m=1 ; pa imamoP ∙ D x = R1 ∙ (N x−N x+k ) + R2 ∙N x+k

P ∙ D40 = 20.000 ∙ (N 40−N60 ) + 42.000 ∙ N60

4. Lice staro 50 godina želi da osigura kapital od 50.000 n.j za slučaj doživljenja 80-og rođendana,odnosno 100.000 n.j za slučaj smrti ako smrt nastupi u toku narednih 20 godina, a 150.000 n.j ako smrt nastupi u narednom periodu.Za ovo osiguranje uplaćivaće se mjesečna premija P?

x=50K1 = 50.000 (80-ti rođendan)K2 = 100.000 (50,70)K3 = 150.000 (70,-)P =?

P∙(l x ∙V

0+lx +1 ∙V1+…+lx +k+n−1 ∙V

k−1

lx+ 1m

∙V1m+ l

x+1+ 1m

∙V1+1m+…+l

x+ k+n−1+ 1m

∙Vk−1+

1m

…

lx+m−1m

∙Vm−1m +l

x+1+m−1m

∙V1+m−1

m +…+ lx+k +n−1+

m−1m

∙Vk−1+m−1

m )=

=K1 ∙l x+k+nVk +n + K2 ∙(dx ∙V 1+d x+1 ∙V 2+…+dx+ k−1 ∙V

k ) ++K3 ∙(dx +k ∙V k +1+dx+ k+1 ∙V k +2+…) / množimo sa V x

13

x x+k+n

K2

50K1

80

P m=12

x+k

K3

70

P∙(Dx+D x+1+…+D x+k +n−1

Dx+1m

+Dx+1+

1m

+…+Dx+k+n−1+

1m

…Dx+m−1m

+Dx+1+

m−1m

+…+Dx+k +n−1+

m−1m

)= K1 ∙D x+k +n +

+ K2 ∙ (C x+C x +1+…+C x+k−1 ) + K3 ∙ (C x+k+C x+k +1+…)

P∙(N x−N x+k +n

Nx+1m

−Nx+k +n+

1m

…Nx+m−1m

−Nx+k +n+

m−1m

)= K1 ∙D x+k +n + K2 ∙ (M x−M x+ k ) + K3 ∙M x+k

P∙(N x−N x +k+n

N x−1m∙ Dx−N x+k +n+

1m∙D x+k +n

…

N x−m−1m

∙ Dx−N x+k +n+m−1m

∙D x+ k+n) =

= K1 ∙D x+k +n + K2 ∙ (M x−M x+ k )+ K3 ∙M x+k

P∙ (m ∙N x−m ∙N x+k +n−m−12∙ Dx+

m−12∙ Dx +k+n)=K1 ∙D x+k +n+K2 ∙ (M x−M x+ k )+ +

K3 ∙M x+k

P∙[m∙ (N x−N x +k+n )−m−12∙ (Dx−D x+k +n )]=K1 ∙D x+k +n+K2 ∙ (M x−M x+ k )+ +K3 ∙M x+k

P ∙ [12∙ (N50−N80 )−112∙ (D50−D80 )]= 50.000 ∙D 80 + 100.000 ∙ (M50−M 70 )+ +150.000 ∙M 70

5. Lice staro 34 godine želi da osigura tromjesečnu ličnu rentu,s tim da se prva renta isplati po proteku 30 godina od dana početka osiguranja.Na špčetku isplate renta je iznosila po 2.500 n.j a nakon 6 godina se povećala na 2.800 n.j. Za ovo osiguranje uplaćivaće se mjesečna premija.Kolika je neto premija?

x=34R1 = 2.500 (64,70)

14

R2 = 2.800 (70,-)P =? (34,74)

P∙(l x ∙V

0+lx +1 ∙V1+…+lx +k−1 ∙V

k−1

lx+ 1m

∙V1m+ l

x+1+ 1m

∙V1+1m+…+l

x+ k−1+ 1m

∙Vk−1+

1m

…

lx+m−1m

∙Vm−1m +l

x+1+m−1m

∙V1+m−1

m +…+ lx+k−1+

m−1m

∙Vk−1+m−1

m )=R1 ∙ (

l x+k ∙Vk+l x+k +1 ∙V

k+1+…+ lx+ k+n−1 ∙Vk +n−1

lx+ k+ 1

m

∙Vk +1m+l

x+ k+1+ 1m

∙Vk+1+

1m+…+l

x+k+n−1+ 1m

∙Vk +n−1+

1m

…

lx+k+

m−1m

∙Vk+m−1

m +lx+k+1+

m−1m

∙Vk+1+m−1

m +…+lx +k+n−1+

m−1m

∙Vk+n−1+m−1

m )++¿ R2 ∙ (


k +n+1+…

lx+ k+n+ 1

m

∙Vk +n+

1m+l

x+k+n+1+ 1m

∙Vk+n+1+

1m+…

…

lx+k+n+

m−1m

∙Vk +n+m−1

m +lx+k+n+1+

m−1m

∙Vk+n+1+m−1

m +…) /množimo sa V x

P∙(Dx+D x+1+…+D x+k−1

Dx+1m

+Dx+1+

1m

+…+Dx+k−1+

1m

…Dx+m−1m

+Dx+1+

m−1m

+…+Dx+k−1+

m−1m

)=

15

x x+k+n

34R2

70

m ‘=4

P m=12

x+k

R1

64

R1 ∙ (Dx +k+Dx +k+1+…+D x+k +n−1

Dx+k +

1m

+Dx+ k+1+

1m

+…Dx+ k+n−1+

1m

…Dx+k +

m−1m

+Dx+ k+1+

m−1m

+…+Dx+ k+n−1+

m−1m

) +

+ R2∙ (Dx+ k+n+D x+k+n+1+…

Dx+k+n+

1m

+Dx+k+n+1+

1m

+…

…Dx+k +n+

m−1m

+Dx+k+n+1+

m−1m

+…)P∙(

N x−N x+k

Nx+1m

−Nx+k +

1m

…Nx+m−1m

−Nx+k +

m−1m

)= R1 ∙ (N x+ k−N x+k+n

Nx+k +

1m

−Nx+k+n+

1m

…Nx+k +

m−1m

−Nx+k+n+

m−1m

) + R2∙(N x+ k+n

Nx +k+n+

1m

…Nx+k +n+

m−1m

)P∙(

N x−N x+k


1m∙ Dx+ k

…

N x−m−1m


∙ D x+k)= R1∙(

N x +k−N x+k +n

N x+ k−1m∙D x+k−N x+ k+n+

1m∙D x+k +n

…

N x+k−m−1m

∙D x+k−N x+ k+n+m−1m

∙ Dx +k+n)+

R2∙(N x+ k+n


…

N x+k +n−m−1m

∙ Dx +k+n)

P∙ (m ∙N x−m ∙N x+k−m−12∙D x+

m−12∙D x+k )=

=R1 ∙ (m ' ∙N x+ k−m' ∙ N x+k+n−m'−12

∙D x+k+m'−12

∙D x+k +n) ++ R2 ∙ (m ' ∙N x+ k+n−

m'−12

∙ Dx+ k+n)P∙[m∙ (N x−N x +k )−m−1

2∙ (D x−Dx +k )]=

=R1∙[m' ∙ (N x+k−N x+k +n )−m'−12

∙ (D x+k−D x+k +n )]++R2∙(m ' ∙N x+ k+n−

m'−12

∙ Dx+ k+n)16

P∙[12∙ (N34−N 64 )−112∙ (D34−D 64 )]=

=2.500∙[4 ∙ (N64−N 70)−32∙ (D64−D70 )] + 2.800∙(4 ∙N 70−

32∙D70)

6. Lice staro 33 godine želi da osigura kapital od 100.000 n.j. za slučaj smrti pod uslovom da smrt nastupi nakon 40 godina,odnosno ličnu mjesečnu rentu od 1.000 n.j. Za ovo osiguranje uplaćeno je danas 20.000.Koliko još treba uplatiti nakon 5 godina,ako se prva renta isplaćuje po proteku 10 godina od dana početka osiguranja.

x=33K= 100.000 (73,-)R = 1.000 (43,-)P1 = 20.000P2 =?

P1 ∙ l x+P2 ∙l x+kVk = R ∙ (


k +n+1+…

lx+ k+n+ 1

m

∙Vk +n+

1m+l

x+k+n+1+ 1m

∙Vk+n+1+

1m+…

…

lx+k+n+

m−1m

∙Vk +n+m−1

m +lx+k+n+1+

m−1m

∙Vk+n+1+m−1

m +…) ++¿ K ∙(d x+k+ n+n' ∙V k+ n+n

'+1+d x+k+ n+n'+1 ∙Vk +n+ n'+ 2+…) / množimo sa V x

P1 ∙ D x+P2 ∙D x+ k = R ∙(Dx+ k+n+D x+k+n+1+…

Dx+k+n+

1m

+Dx+k+n+1+

1m

+…

…Dx+k +n+

m−1m

+Dx+k+n+1+

m−1m

+…) +

K ∙ (C x+k +n+n'+C x+k +n+n' 1+…)

17

x x+k x+k+n x+k+n+n’

P133

P238

R43

K73

m=12

P1 ∙ D x+P2 ∙D x+ k = R∙(N x+ k+n

Nx +k+n+

1m

…Nx+k +n+

m−1m

) + K ∙M x+k +n+n'

P1 ∙ D x+P2 ∙D x+ k = R∙(N x+ k+n


…

N x+k +n−m−1m

∙ Dx +k+n) + K ∙M x+k +n+n'

P1 ∙ D x+P2 ∙D x+ k = R ∙ (m ∙N x+k +n−m−12∙ D x+k+n) + K ∙M x+k +n+n'

20.000 ∙D 33+P2 ∙D38 = 1.000 ∙ (12 ∙N 43−112∙ D43) + 100.000 ∙M 73

7. Lice staro 30 godina želi da osigura kapital za slučaj doživljenja 70 godina od 100.000 n.j ,odnosno tromjesečnu ličnu rentu koja u toku prvih 10 godina iznosi po ____ n.j ,a nadalje po ____ n.j ,s tim da je renta druge serije veća od rente prve serije za 25%. Za ovo osiguranje će se uplaćivati mjesečna premija od 1.000 n.j. Kolika je renta prve serije ,ako je prva renta isplaćena po proteku 35 godina od dana početka osiguranja?

x=30K = 100.000 (70 godina)R1 = __ (65,75)R2 = __ (75,-)R2 = 1,25 R2

P = 1.000 (30,65)

18

P∙(l x ∙V

0+lx +1 ∙V1+…+lx +k−1 ∙V

k−1

lx+ 1m

∙V1m+ l

x+1+ 1m

∙V1+1m+…+l

x+ k−1+ 1m

∙Vk−1+

1m

…

lx+m−1m

∙Vm−1m +l

x+1+m−1m

∙V1+m−1

m +…+ lx+k−1+

m−1m

∙Vk−1+m−1

m )=R1(


k+1+…+ lx+ k+n+n'−1 ∙Vk +n+n'−1

lx+ k+ 1

m

∙Vk+1m+l

x +k+1+ 1m

∙Vk+1+

1m+…+l

x+k+n+n'−1+ 1m

∙Vk +n+n'−1+

1m

…

lx+k +

m−1m

∙Vk+m−1

m +lx+k+1+

m−1m

∙Vk+1+m−1

m +…+lx +k+n+n'−1+

m−1m

∙Vk+n+n'−1+m−1

m )+¿ R2 ∙ (

lx +k+n+n' ∙Vk+n+n'+l x+k +n+n'+1 ∙V

k+n+n'+1+…

lx+ k+n+n'+ 1

m

∙Vk +n+n'+

1m+l

x+k +n+n'+1+ 1m

∙Vk+n+n'+1+

1m+…

…

lx+k+n+n'+

m−1m

∙Vk +n+n'+ m−1

m +lx+k +n+n'+1+

m−1m

∙Vk+n+n'+1+m−1

m +…)++K ∙ lx+k +n ∙V

k +n / množimo sa V x

P∙(Dx+D x+1+…+D x+k−1

Dx+1m

+Dx+1+

1m

+…+Dx+k−1+

1m

…Dx+m−1m

+Dx+1+

m−1m

+…+Dx+k−1+

m−1m

)=

19


30R165

K70

R275

m’ =4

P m=12

= R1 ∙ (Dx +k+Dx +k+1+…+D x+k +n+n'−1

Dx+ k+ 1

m

+Dx+k+1+ 1

m

+…+Dx+k +n+n'−1+ 1

m

…Dx+k +m−1

m

+Dx+ k+1+m−1

m

+…+Dx+ k+n+n'−1+ m−1

m

) +

+ R2∙ (Dx+ k+n+n'+D x+k +n+n'+1+…

Dx+k+n+n'+ 1

m

+Dx+k +n+n'+1+ 1

m

+…

…Dx+k +n+n'+m−1

m

+Dx+k +n+n'+1+m−1

m

+…) + K ∙D x+k +n

P∙(N x−N x+k

Nx+1m

−Nx+k +

1m

…Nx+m−1m

−Nx+k +

m−1m

)= R1 ∙ (N x+ k−N x+k+n+n'

Nx+k + 1

m

−Nx+k+n+n'+ 1

m

…Nx+k +m−1

m

−Nx+k+n+n'+m−1

m

) + + R2∙(

N x+ k+n+n'

Nx+ k+n+n'+ 1

m

…Nx+k +n+n'+m−1

m

) + K ∙D x+k +n

P∙(N x−N x+k


1m∙ Dx+ k

…

N x−m−1m


∙ D x+k)= =R1∙

(N x+k−N x +k+n+n'

N x+ k−1m∙D x+k−N x+ k+n+n'+

1m∙D x+ k+n+n'

…

N x+k−m−1m

∙D x+k−N x+ k+n+n'+m−1m

∙ D x+k+n+n')+

20

+ R2∙(N x+k +n+n'

N x+k+n+n'−1m∙D x+k +n+n'

…

N x+k +n+n'−m−1m

∙ D x+k+n+n') + K ∙D x+k +n

P∙ (m ∙N x−m ∙N x+k−m−12∙D x+

m−12∙D x+k )=

=R1 ∙ (m ' ∙N x+ k−m' ∙ N x+k+n+n'−m'−12

∙D x+k+m'−12

∙D x+ k+n+n') ++ R2 ∙ (m ' ∙N x+ k+n+n'−

m'−12

∙ Dx +k+n+n') + K ∙D x+k +n

P∙[m∙ (N x−N x +k )−m−12∙ (D x−Dx +k )]=

=R1∙[m' ∙ (N x+k−N x+ k+n+n')−m'−12

∙ (D x+ k−Dx +k+n+n') ]++R2∙(m ' ∙N x+ k+n+n'−

m'−12

∙ Dx +k+n+n') + K ∙D x+k +n

1.000∙[12∙ (N30−N65 )−112∙ (D 30−D65 )]=

=R1∙[4 ∙ (N65−N75 )−32∙ (D 65−D75) ]+

+ 1,25R1∙(4 ∙N 75−32∙D75) + 100.000 ∙D70

8. Lice staro 42 godine želi da osigura kapital od 70.000 n.j za slučaj doživljenja 68 godine odnosno dvomjesečnu ličnu rentu od 1.000 n.j ,s tim da se prva renta isplati po proteku 18 godina od dana početka osiguranja. Za ovo osiguranje uplaćivaće se tromjesečna jednaka premija P. Kolika je tromjesečna jednaka premija P?

x=42K = 70.000 (68 godina)R = 1.000 (60,-)P =? (42,60)

21

P∙(l x ∙V

0+lx +1 ∙V1+…+lx +k−1 ∙V

k−1

lx+ 1m

∙V1m+ l

x+1+ 1m

∙V1+1m+…+l

x+ k−1+ 1m

∙Vk−1+

1m

…

lx+m−1m

∙Vm−1m +l

x+1+m−1m

∙V1+m−1

m +…+ lx+k−1+

m−1m

∙Vk−1+m−1

m )==R(


k+1+…

lx+k+ 1

m

∙Vk+1m+l

x+k +1+ 1m

∙Vk +1+

1m+…

…

lx+k +

m−1m

∙Vk+ m−1

m +lx+k +1+

m−1m

∙Vk +1+m−1

m +…)+K ∙l x+k +n ∙V k+n/množimo sa V x

P∙(Dx+D x+1+…+D x+k−1

Dx+1m

+Dx+1+

1m

+…+Dx+k−1+

1m

…Dx+m−1m

+Dx+1+

m−1m

+…+Dx+k−1+

m−1m

)=

= R ∙ (Dx+ k+D x+ k+1+…

Dx+k+

1m

+Dx+ k+1+

1m

+…

…Dx+k +

m−1m

+Dx+ k+1+

m−1m

+…) + K ∙D x+k +n

22

x x+k x+k+n

42R60

K68

m’ =6

P m=4

P∙(N x−N x+k

Nx+1m

−Nx+k +

1m

…Nx+m−1m

−Nx+k +

m−1m

)= R ∙ (N x+ k

Nx+ k+

1m

…Nx+k +

m−1m

) + K ∙D x+k +n

P∙(N x−N x+k


1m∙ Dx+ k

…

N x−m−1m


∙ D x+k)= R∙(

N x +k

N x+k−1m∙ Dx+ k

…

N x+k−m−1m

∙D x+k)+K ∙D x+k +n

P∙ (m ∙N x−m ∙N x+k−m−12∙D x+

m−12∙D x+k )=

=R ∙ (m ' ∙N x+ k−m'−12

∙ D x+k ) + K ∙D x+k +n

P∙[m∙ (N x−N x +k )−m−12∙ (D x−Dx +k )]=

= R ∙ (m ' ∙N x+ k−m'−12

∙ D x+k ) + K ∙D x+k +n

P∙[4 ∙ (N42−N 60)−32∙ (D42−D60 )]= 1.000 ∙ (6 ∙ N60−52 ∙ D60) + 70.000 ∙D 60

9. Lice staro 33 godine želi da osigura kapital od 100.000 n.j za slučaj doživljenja 70-og rođendana, odnosno mjesečnu ličnu rentu koja u toku prvih 10 godina iznosi po 1.000 n.j a nadalje po 800 n.j.,s tim da se prva renta isplati po proteku 27 godina od dana početka osiguranja. Za ovo osiguranje uplaćivaće se tromjesečna jednaka premija P?

x =33

23

K =100.000 (70-ti rođendan)R1 =1.000 (60,70)R2 =800 (70,-)P =? (33,60)

P∙(l x ∙V

0+lx +1 ∙V1+…+lx +k−1 ∙V

k−1

lx+ 1m

∙V1m+ l

x+1+ 1m

∙V1+1m+…+l

x+ k−1+ 1m

∙Vk−1+

1m

…

lx+m−1m

∙Vm−1m +l

x+1+m−1m

∙V1+m−1

m +…+ lx+k−1+

m−1m

∙Vk−1+m−1

m )==R1(


k+1+…+ lx+ k+n−1 ∙Vk +n−1

lx+ k+ 1

m

∙Vk+1m+l

x +k+1+ 1m

∙Vk+1+

1m+…+l

x+k+n−1+ 1m

∙Vk +n−1+

1m

…

lx+k +

m−1m

∙Vk+m−1

m +lx+k+1+

m−1m

∙Vk+1+m−1

m +…+lx +k+n−1+

m−1m

∙Vk+n−1+m−1

m )+¿ R2 ∙ (


k +n+1+…

lx+ k+n+ 1

m

∙Vk +n+

1m+l

x+k+n+1+ 1m

∙Vk+n+1+

1m+…

…

lx+k+n+

m−1m

∙Vk +n+m−1

m +lx+k+n+1+

m−1m

∙Vk+n+1+m−1

m +…)++K ∙ lx+k +n ∙V


24

x x+k x+k+n

33R160

R2K70

m’ =12

P m=4

P∙(Dx+D x+1+…+D x+k−1

Dx+1m

+Dx+1+

1m

+…+Dx+k−1+

1m

…Dx+m−1m

+Dx+1+

m−1m

+…+Dx+k−1+

m−1m

)=

= R1 ∙ (Dx +k+Dx +k+1+…+D x+k +n−1

Dx+ k+

1m

+Dx+k+1+

1m

+…+Dx+k +n−1+

1m

…Dx+k +

m−1m

+Dx+ k+1+

m−1m

+…+Dx+ k+n−1+

m−1m

) +

+ R2∙ (Dx+ k+n+D x+k+n+1+…

Dx+k+n+

1m

+Dx+k+n+1+

1m

+…

…Dx+k +n+

m−1m

+Dx+k+n+1+

m−1m

+…) + K ∙D x+k +n

P∙(N x−N x+k

Nx+1m

−Nx+k +

1m

…Nx+m−1m

−Nx+k +

m−1m

)= R1 ∙ (N x+ k−N x+k+n

Nx+k +

1m

−Nx+k+n+

1m

…Nx+k +

m−1m

−Nx+k+n+

m−1m

) + + R2∙(

N x+ k+n

Nx +k+n+

1m

…Nx+k +n+

m−1m

) + K ∙D x+k +n

P∙(N x−N x+k


1m∙ Dx+ k

…

N x−m−1m


∙ D x+k)= =R1∙(

N x +k−N x+k +n


1m∙D x+k +n

…

N x+k−m−1m


∙ Dx +k+n)

+

25

+ R2∙(N x+ k+n


…

N x+k +n−m−1m

∙ Dx +k+n) + K ∙D x+k +n

P∙ (m ∙N x−m ∙N x+k−m−12∙D x+

m−12∙D x+k )=

=R1 ∙ (m ' ∙N x+ k−m' ∙ N x+k+n−m'−12

∙D x+k+m'−12

∙D x+k +n) ++ R2 ∙ (m ' ∙N x+ k+n−

m'−12

∙ Dx+ k+n) + K ∙D x+k +n

P∙[m∙ (N x−N x +k )−m−12∙ (D x−Dx +k )]=

=R1∙[m' ∙ (N x+k−N x+k +n )−m'−12

∙ (D x+k−D x+k +n )]++R2∙(m ' ∙N x+ k+n−

m'−12

∙ Dx+ k+n) + K ∙D x+k +n

P∙[4 ∙ (N33−N60 )−32∙ (D 33−D60) ]=

=1.000∙[12∙ (N60−N70 )−112∙ (D 60−D70 )]+

+ 800∙(12 ∙N 70−112∙D70)+100.000 ∙D70

10. Lice staro 32 godine želi da osigura kapital od 222.000 n.j za slučaj doživljenja 72-og rođendana,odnosno ličnu tromjesečnu rentu od 2.000 n.j. .Za ovo osiguranje uplatiće se danas 15.000 n.j. a u toku narednih 8 godina uplaćivaće se na kraju svakog četveromjesečja po ____ n.j. Kolika je četveromjesečna premija,ako se prva renta isplaćuje po proteku 20 godina od dana početka osiguranja?

x = 32K =222.000 (72 rođendan)R =2.000 (52,-)P1 = 15.000P2 = ?(32,40)P2 je dukurzivna

26

P1 ∙ l x + P2 ∙ (lx+1 ∙V

1+l x+2 ∙V2+…+l x+k ∙V

k

lx+ 1m

∙V1m+ l

x+1+ 1m

∙V1+1m+…+l

x+ k−1+ 1m

∙Vk−1+

1m

…

lx+m−1m

∙Vm−1m +l

x+1+m−1m

∙V1+m−1

m +…+ lx+k−1+

m−1m

∙Vk−1+m−1

m )== R ∙ (


k +n+1+…

lx+ k+n+ 1

m

∙Vk +n+

1m+l

x+k+n+1+ 1m

∙Vk+n+1+

1m+…

…

lx+k+n+

m−1m

∙Vk +n+m−1

m +lx+k+n+1+

m−1m

∙Vk+n+1+m−1

m +…)++K ∙ lx+k +n+n' ∙V

k +n+n' / množimo sa V x

P1 ∙ D x + P2 ∙ (D x+1+D x+2+…+D x+k

Dx+1m

+Dx+1+

1m

+…+Dx+k−1+

1m

…Dx+m−1m

+Dx+1+

m−1m

+…+Dx+k−1+

m−1m

) =¿ R∙ (

Dx+ k+n+D x+k+n+1+…Dx+k+n+

1m

+Dx+k+n+1+

1m

+…

…Dx+k +n+

m−1m

+Dx+k+n+1+

m−1m

+…) + K ∙D x+k +n+n'

P1 ∙ D x + P2 ∙(N x+1−N x+ k−1

Nx+1m

−Nx+k +

1m

…Nx+m−1m

−Nx+k +

m−1m

) = R∙(N x+ k+n

Nx +k+n+

1m

…Nx+k +n+

m−1m

) + K ∙D x+k +n+n'

27


P132

P240

R52

K72

m’ =4m=3

P2P2...

P1 ∙ D x + P2 ∙(N x−D x−(N x+k−D x+ k )


1m∙ Dx+ k

…

N x−m−1m


∙ D x+k) = R∙(

N x+ k+n


…

N x+k +n−m−1m

∙ Dx +k+n) + +

K ∙D x+k +n+n'

P1 ∙ D x + P2 ∙(m ∙N x−m ∙N x+k−m+12∙ D x+

m+12∙D x+ k) =

R ∙ (m ' ∙N x+ k+n−m'−12

∙ Dx+ k+n) + K ∙D x+k +n+n'

P1 ∙ D x + P2∙ [m∙ (N x−N x +k )−m+12∙ (Dx−D x+k )] =

= R ∙ (m ' ∙N x+ k+n−m'−12

∙ Dx+ k+n) + K ∙D x+k +n+n'

15.000 ∙D 32 + P2∙ [3∙ (N32−N 40)−42∙ (D32−D40 )] =

= 2.000 ∙ (4 ∙N 52−32∙D52) + 222.000 ∙D72

11. Lice staro 40 godina želi da osigura kapital od 200.000 n.j. za slučaj doživljenja 65 godine života,odnosno tromjesečnu rentu koja u toku prvih 10 godina iznosi po ___ n.j.a nadalje po ___ n.j.Za ovo osiguranje uplaćivaće se dvomjesečna premija po 2.000 n.j. Kolika je renta prve serije,ako je renta druge veća od rente prve serije za 15% i ako je prva renta isplaćena po proteku 20 godina od dana početka osiguranja?

x =40K =200.000 (65 godina)P =2.000 (40,60)R1 =?(60,70)R2 =?(70,-)

28

R2 = 1,15 R1

P∙(l x ∙V

0+lx +1 ∙V1+…+lx +k−1 ∙V

k−1

lx+ 1m

∙V1m+ l

x+1+ 1m

∙V1+1m+…+l

x+ k−1+ 1m

∙Vk−1+

1m

…

lx+m−1m

∙Vm−1m +l

x+1+m−1m

∙V1+m−1

m +…+ lx+k−1+

m−1m

∙Vk−1+m−1

m )=R1(


k+1+…+ lx+ k+n+n'−1 ∙Vk +n+n'−1

lx+ k+ 1

m

∙Vk+1m+l

x +k+1+ 1m

∙Vk+1+

1m+…+l

x+k+n+n'−1+ 1m

∙Vk +n+n'−1+

1m

…

lx+k +

m−1m

∙Vk+m−1

m +lx+k+1+

m−1m

∙Vk+1+m−1

m +…+lx +k+n+n'−1+

m−1m

∙Vk+n+n'−1+m−1

m )+¿ R2 ∙ (

lx +k+n+n' ∙Vk+n+n'+l x+k +n+n'+1 ∙V

k+n+n'+1+…

lx+ k+n+n'+ 1

m

∙Vk +n+n'+

1m+l

x+k +n+n'+1+ 1m

∙Vk+n+n'+1+

1m+…

…

lx+k+n+n'+

m−1m

∙Vk +n+n'+ m−1

m +lx+k +n+n'+1+

m−1m

∙Vk+n+n'+1+m−1

m +…)++K ∙ lx+k +n ∙V


29


40 R160

K65

R2

70

m’ =4

P m=6

P∙(Dx+D x+1+…+D x+k−1

Dx+1m

+Dx+1+

1m

+…+Dx+k−1+

1m

…Dx+m−1m

+Dx+1+

m−1m

+…+Dx+k−1+

m−1m

)=

= R1 ∙ (Dx +k+Dx +k+1+…+D x+k +n+n'−1

Dx+ k+ 1

m

+Dx+k+1+ 1

m

+…+Dx+k +n+n'−1+ 1

m

…Dx+k +m−1

m

+Dx+ k+1+m−1

m

+…+Dx+ k+n+n'−1+ m−1

m

) +

+ R2∙ (Dx+ k+n+n'+D x+k +n+n'+1+…

Dx+k+n+n'+ 1

m

+Dx+k +n+n'+1+ 1

m

+…

…Dx+k +n+n'+m−1

m

+Dx+k +n+n'+1+m−1

m

+…) + K ∙D x+k +n

P∙(N x−N x+k

Nx+1m

−Nx+k +

1m

…Nx+m−1m

−Nx+k +

m−1m

)= R1 ∙ (N x+ k−N x+k+n+n'

Nx+k + 1

m

−Nx+k+n+n'+ 1

m

…Nx+k +m−1

m

−Nx+k+n+n'+m−1

m

) + + R2∙(

N x+ k+n+n'

Nx+ k+n+n'+ 1

m

…Nx+k +n+n'+m−1

m

) + K ∙D x+k +n

30

P∙(N x−N x+k


1m∙ Dx+ k

…

N x−m−1m


∙ D x+k)= =R1∙

(N x+k−N x +k+n+n'

N x+ k−1m∙D x+k−N x+ k+n+n'+

1m∙D x+ k+n+n'

…

N x+k−m−1m

∙D x+k−N x+ k+n+n'+m−1m

∙ D x+k+n+n')+

+ R2∙(N x+k +n+n'

N x+k+n+n'−1m∙D x+k +n+n'

…

N x+k +n+n'−m−1m

∙ D x+k+n+n') + K ∙D x+k +n

P∙ (m ∙N x−m ∙N x+k−m−12∙D x+

m−12∙D x+k )=

=R1 ∙ (m ' ∙N x+ k−m' ∙ N x+k+n+n'−m'−12

∙D x+k+m'−12

∙D x+ k+n+n') ++ R2 ∙ (m ' ∙N x+ k+n+n'−

m'−12

∙ Dx +k+n+n') + K ∙D x+k +n

P∙[m∙ (N x−N x +k )−m−12∙ (D x−Dx +k )]=

=R1∙[m' ∙ (N x+k−N x+ k+n+n')−m'−12

∙ (D x+ k−Dx +k+n+n') ]++R2∙(m ' ∙N x+ k+n+n'−

m'−12

∙ Dx +k+n+n') + K ∙D x+k +n

2.000∙[6 ∙ (N 40−N60 )−52∙ (D40−D 60) ]=

=R1∙[4 ∙ (N60−N70 )−32∙ (D 60−D70 )]+1,15 ∙R1∙(4 ∙N 70−

32∙D70) +

+ 200.000 ∙D65

31

12. Lice staro 45 godina želi da osigura polugodišnju ličnu rentu,s tim da se prva renta isplati po proteku 22 godine od dana početka osiguranja.Na početku isplate renta je iznosila po 2.000 n.j. a nakon 5 godina se smanjila na 1.500 n.j.Za ovo osiguranje uplaćivaće se dvomjesečna premija P?

x =45R1 =2.000 (67,72)R2 =1.500 (72,-)P =? (45,67)

P∙(l x ∙V

0+lx +1 ∙V1+…+lx +k−1 ∙V

k−1

lx+ 1m

∙V1m+ l

x+1+ 1m

∙V1+1m+…+l

x+ k−1+ 1m

∙Vk−1+

1m

…

lx+m−1m

∙Vm−1m +l

x+1+m−1m

∙V1+m−1

m +…+ lx+k−1+

m−1m

∙Vk−1+m−1

m )=R1 ∙ (


k+1+…+ lx+ k+n−1 ∙Vk +n−1

lx+ k+ 1

m

∙Vk +1m+l

x+ k+1+ 1m

∙Vk+1+

1m+…+l

x+k+n−1+ 1m

∙Vk +n−1+

1m

…

lx+k+

m−1m

∙Vk+m−1

m +lx+k+1+

m−1m

∙Vk+1+m−1

m +…+lx +k+n−1+

m−1m

∙Vk+n−1+m−1

m )+32

x x+k x+k+n

45 R167

R2

72

m’ =2

P m=6

+¿ R2 ∙ (lx +k+n ∙V

k+n+l x+k+n+1 ∙Vk +n+1+…

lx+ k+n+ 1

m

∙Vk +n+

1m+l

x+k+n+1+ 1m

∙Vk+n+1+

1m+…

…

lx+k+n+

m−1m

∙Vk +n+m−1

m +lx+k+n+1+

m−1m

∙Vk+n+1+m−1


P∙(Dx+D x+1+…+D x+k−1

Dx+1m

+Dx+1+

1m

+…+Dx+k−1+

1m

…Dx+m−1m

+Dx+1+

m−1m

+…+Dx+k−1+

m−1m

)=

R1 ∙ (Dx +k+Dx +k+1+…+D x+k +n−1

Dx+k +

1m

+Dx+ k+1+

1m

+…Dx+ k+n−1+

1m

…Dx+k +

m−1m

+Dx+ k+1+

m−1m

+…+Dx+ k+n−1+

m−1m

) +

+ R2∙ (Dx+ k+n+D x+k+n+1+…

Dx+k+n+

1m

+Dx+k+n+1+

1m

+…

…Dx+k +n+

m−1m

+Dx+k+n+1+

m−1m

+…)P∙(

N x−N x+k

Nx+1m

−Nx+k +

1m

…Nx+m−1m

−Nx+k +

m−1m

)= R1 ∙ (N x+ k−N x+k+n

Nx+k +

1m

−Nx+k+n+

1m

…Nx+k +

m−1m

−Nx+k+n+

m−1m

) + R2∙(N x+ k+n

Nx +k+n+

1m

…Nx+k +n+

m−1m

)P∙(

N x−N x+k


1m∙ Dx+ k

…

N x−m−1m


∙ D x+k)= R1∙(

N x +k−N x+k +n


1m∙D x+k +n

…

N x+k−m−1m


∙ Dx +k+n)+

R2∙(N x+ k+n


…

N x+k +n−m−1m

∙ Dx +k+n)

33

P∙ (m ∙N x−m ∙N x+k−m−12∙D x+

m−12∙D x+k )=

=R1 ∙ (m ' ∙N x+ k−m' ∙ N x+k+n−m'−12

∙D x+k+m'−12

∙D x+k +n) ++ R2 ∙ (m ' ∙N x+ k+n−

m'−12

∙ Dx+ k+n)P∙[m∙ (N x−N x +k )−m−1

2∙ (D x−Dx +k )]=

=R1∙[m' ∙ (N x+k−N x+k +n )−m'−12

∙ (D x+k−D x+k +n )]++R2∙(m ' ∙N x+ k+n−

m'−12

∙ Dx+ k+n)

P∙[6 ∙ (N 45−N67 )−52∙ (D45−D 67) ]=

=2.000∙[2∙ (N67−N 72)−12∙ (D67−D 72)]+1.500∙(2 ∙N 72−

12∙ D72)

13. Lice staro 42 godine želi da osigura dvomjesečnu ličnu rentu koja u toku prvih 12 godina iznosi po 1.000 n.j.,a nadalje po 1.200 n.j.renta počinje da se isplaćuje po proteku 18 godina od dana početka osiguranja.Za ovo osiguranje uplaćivaće se tromjesečna jednaka premija P?

x =42R1 =1.000 (60,72)R2 =1.200 (72,-)P =? (42,60)

34

P∙(l x ∙V

0+lx +1 ∙V1+…+lx +k−1 ∙V

k−1

lx+ 1m

∙V1m+ l

x+1+ 1m

∙V1+1m+…+l

x+ k−1+ 1m

∙Vk−1+

1m

…

lx+m−1m

∙Vm−1m +l

x+1+m−1m

∙V1+m−1

m +…+ lx+k−1+

m−1m

∙Vk−1+m−1

m )=R1 ∙ (


k+1+…+ lx+ k+n−1 ∙Vk +n−1

lx+ k+ 1

m

∙Vk +1m+l

x+ k+1+ 1m

∙Vk+1+

1m+…+l

x+k+n−1+ 1m

∙Vk +n−1+

1m

…

lx+k+

m−1m

∙Vk+m−1

m +lx+k+1+

m−1m

∙Vk+1+m−1

m +…+lx +k+n−1+

m−1m

∙Vk+n−1+m−1

m )++¿ R2 ∙ (


k +n+1+…

lx+ k+n+ 1

m

∙Vk +n+

1m+l

x+k+n+1+ 1m

∙Vk+n+1+

1m+…

…

lx+k+n+

m−1m

∙Vk +n+m−1

m +lx+k+n+1+

m−1m

∙Vk+n+1+m−1


P∙(Dx+D x+1+…+D x+k−1

Dx+1m

+Dx+1+

1m

+…+Dx+k−1+

1m

…Dx+m−1m

+Dx+1+

m−1m

+…+Dx+k−1+

m−1m

)=

35

x x+k x+k+n

42 R160

R2

72

m’ =6

P m=4

R1 ∙ (Dx +k+Dx +k+1+…+D x+k +n−1

Dx+k +

1m

+Dx+ k+1+

1m

+…Dx+ k+n−1+

1m

…Dx+k +

m−1m

+Dx+ k+1+

m−1m

+…+Dx+ k+n−1+

m−1m

) +

+ R2∙ (Dx+ k+n+D x+k+n+1+…

Dx+k+n+

1m

+Dx+k+n+1+

1m

+…

…Dx+k +n+

m−1m

+Dx+k+n+1+

m−1m

+…)P∙(

N x−N x+k

Nx+1m

−Nx+k +

1m

…Nx+m−1m

−Nx+k +

m−1m

)= R1 ∙ (N x+ k−N x+k+n

Nx+k +

1m

−Nx+k+n+

1m

…Nx+k +

m−1m

−Nx+k+n+

m−1m

) + R2∙(N x+ k+n

Nx +k+n+

1m

…Nx+k +n+

m−1m

)P∙(

N x−N x+k


1m∙ Dx+ k

…

N x−m−1m


∙ D x+k)= R1∙(

N x +k−N x+k +n


1m∙D x+k +n

…

N x+k−m−1m


∙ Dx +k+n)+

R2∙(N x+ k+n


…

N x+k +n−m−1m

∙ Dx +k+n)

P∙ (m ∙N x−m ∙N x+k−m−12∙D x+

m−12∙D x+k )=

=R1 ∙ (m ' ∙N x+ k−m' ∙ N x+k+n−m'−12

∙D x+k+m'−12

∙D x+k +n) ++ R2 ∙ (m ' ∙N x+ k+n−

m'−12

∙ Dx+ k+n)P∙[m∙ (N x−N x +k )−m−1

2∙ (D x−Dx +k )]=

=R1∙[m' ∙ (N x+k−N x+k +n )−m'−12

∙ (D x+k−D x+k +n )]++R2∙(m ' ∙N x+ k+n−

m'−12

∙ Dx+ k+n)36

P∙[4 ∙ (N42−N 60)−32∙ (D42−D60 )]=

=1.000∙[6 ∙ (N 60−N72)−52∙ (D60−D72 )]+1.200∙(6 ∙ N72−52 ∙D 72)

14. Lice staro 40 godina želi da osigura kapital za slučaj smrti,s tim da kapital u toku prvih 15 godina iznosi 50.000 n.j. ,a nadalje 80.000 n.j.Za ovo osiguranje uplaćivaće se četveromjesečna premija P?

x =40K1 =50.000 (40,55)K2 =80.000 (55,-)P =? (40,-)

P∙(l x ∙V

0+ lx+1 ∙V1+…

lx+ 1m

∙V1m+l

x+1+ 1m

∙V1+1m+…

…

lx+m−1m

∙Vm−1m +l

x+1+m−1m

∙V1+m−1

m +…) == K1 ∙(dx ∙V 1+d x+1 ∙V 2+…+dx+ k−1 ∙V

k ) ++ K2 ∙(dx+ k ∙V k+1+dx+k +1 ∙V k+2+…) / množimo sa V x

37

x x+k

K1

40K2

55

P m=3

P∙(Dx+D x+1+…

Dx+1m

+Dx+1+

1m

+…

…Dx+m−1m

+Dx+1+

m−1m

+…) = K1 ∙ (C x+C x+1+…+C x+k−1 ) +

+ K2 ∙ (C x+k+C x+k +1+…)

P∙(N x

Nx +1m

…Nx+m−1m

) = K1 ∙ (M x−M x+ k ) + K2 ∙M x+k

P∙(N x

N x−1m∙ D x

…

N x−m−1m

∙ Dx) = K1 ∙ (M x−M x+ k ) + K2 ∙M x+k

P ∙ (m ∙N x−m−12∙ Dx ) = K1 ∙ (M x−M x+ k ) + K2 ∙M x+k

P ∙ (3 ∙ N40−22 ∙ D40) = 50.000 ∙ (M 40−M 55) + 80.000 ∙ M55

15. Lice staro 50 godina želi da osigura tromjesečnu rentu od 5.000 n.j. u toku 8 godina,pod uslovom da se prva renta isplati po proteku 15 godina i 3 mjeseca od dana početka osiguranja.Za ovo osiguranje uplaćovaće se godišnja premija P?

x =50R =5.000 (65,73)P =? (50,65)R je dekurzivna

38

P∙(l x ∙V

0+lx +1 ∙V1+…+lx +k−1 ∙V

k−1

lx+ 1m

∙V1m+ l

x+1+ 1m

∙V1+1m+…+l

x+ k−1+ 1m

∙Vk−1+

1m

…

lx+m−1m

∙Vm−1m +l

x+1+m−1m

∙V1+m−1

m +…+ lx+k−1+

m−1m

∙Vk−1+m−1

m ) =

R ∙(lx+k +1∙V

k+1+l x+k +2 ∙Vk+2+…+ lx+ k+n ∙V

k +n

lx+k + 1

m

∙Vk +1m+l

x+ k+1+ 1m

∙Vk+1+

1m+…+l

x +k+n−1+ 1m

∙Vk+n−1+

1m

…

lx+k+

m−1m

∙Vk+m−1

m +lx+ k+1+

m−1m

∙Vk+1+m−1

m +…+lx+ k+n−1+

m−1m

∙Vk+n−1+ m−1

m )//množimo sa V x

P∙(Dx+D x+1+…+D x+k−1

Dx+1m

+Dx+1+

1m

+…+Dx+k−1+

1m

…Dx+m−1m

+Dx+1+

m−1m

+…+Dx+k−1+

m−1m

) =R ∙ (

D x+ k+1+Dx +k+2+…+D x+ k+n

Dx+ k+

1m

+Dx+k+1+

1m

+…+Dx+k +n−1+

1m

…Dx+k +

m−1m

+Dx+ k+1+

m−1m

+…+Dx+ k+n−1+

m−1m

)P∙(

N x−N x+k

Nx+1m

−Nx+k +

1m

…Nx+m−1m

−Nx+k +

m−1m

) = R ∙ (N x+k +1−N x+k+n+1

Nx+k +

1m

−Nx+k+n+

1m

…Nx+k +

m−1m

−Nx+k+n+

m−1m

)39

x x+k+n

50 73

m’ =4

P m=1

x+k

R65

P∙(N x−N x+k


1m∙ Dx+ k

…

N x−m−1m


∙ D x+k) =

= R ∙ (N x+k−Dx+ k−N x+k+n+D x+ k+n

N x+ k−1mDx+ k−N x+k+n+

1mD x+k +n

…

N x+k−m−1m

Dx+ k−N x+k+n+m−1m

Dx+ k+n)

P∙ (m ∙N x−m ∙N x+k−m−12∙D x+

m−12∙D x+k ) =

= R∙ (m ' ∙N x+ k−m' ∙ N x+k+n−m'+12∙ Dx +k+

m'+12∙ Dx+ k+n)

P∙[m∙ (N x−N x +k )−m−12∙ (D x−Dx +k )] =

= R∙[m' ∙ (N x+k−N x+k +n )−m'+12∙ (D x+ k−Dx +k+n )]

P ∙ (N x−N x+k ) = R∙[m' ∙ (N x+k−N x+k +n )−m'+12∙ (D x+ k−Dx +k+n )]

P ∙ (N50−N 65) = 5.000∙[4 ∙ (N65−N73 )−52∙ (D65−D 73)]

16. Lice staro 40 godina želi da osigura mjesečnu ličnu rentu koja u toku prvih 5 godina iznosi po 1.000 n.j.,a nadalje po 1.200 n.j.,odnoano kapital od 500.000 n.j. za slučaj smrti. Kolika je jednokratna neto premija P?

x =40R1 =1.000 (40,45)R2 =1.200 (45,-)P =?

40

P ∙ lx = R1 ∙ (l x ∙V

0+lx +1 ∙V1+…+lx +k−1 ∙V

k−1

lx+ 1m

∙V1m+ l

x+1+ 1m

∙V1+1m+…+l

x+ k−1+ 1m

∙Vk−1+

1m

…

lx+m−1m

∙Vm−1m +l

x+1+m−1m

∙V1+m−1

m +…+ lx+k−1+

m−1m

∙Vk−1+m−1

m ) ++ R2 ∙ (


k+1+…

lx+ k+ 1

m

∙Vk+1m+l

x+k+1+ 1m

∙Vk +1+

1m+…

…

lx+k+

m−1m

∙Vk+m−1

m +lx+k+1+

m−1m

∙Vk+1+m−1

m +…) +

+ K1 ∙(dxV 1+dx+1V 2+…) / množimo sa V x

P ∙ D x = R1 ∙ (Dx+D x+1+…+D x+k−1

Dx+1m

+Dx+1+

1m

+…+Dx+k−1+

1m

…Dx+m−1m

+Dx+1+

m−1m

+…+Dx+k−1+

m−1m

)+

+ R2∙ (Dx+ k+D x+ k+1+…

Dx+k+

1m

+Dx+ k+1+

1m

+…

…Dx+k +

m−1m

+Dx+ k+1+

m−1m

+…) + K1 ∙ (C x+C x+1+…)

41

xP

x+k

R1

40R2

45

m =12

P ∙ D x = R1∙(N x−N x+k

Nx+1m

−Nx+k +

1m

…Nx+m−1m

−Nx+k +

m−1m

)+R2∙(N x+ k

Nx+ k+

1m

…Nx+k +

m−1m

) + K ∙M x

P ∙ D x= R1∙(N x−N x+k


1m∙ Dx+ k

…

N x−m−1m


∙ D x+k)+R2∙(

N x +k

N x+k−1m∙ Dx+ k

…

N x+k−m−1m

∙D x+k)+K ∙M x

P ∙ D x = R1 ∙ (m ∙N x−m ∙N x+k−m−12∙D x+

m−12∙D x+k ) +

+ R2 ∙ (m ∙N x+k−m−12∙D x+k ) + K ∙M x

P ∙ D x = R1 ∙ [m∙ (N x−N x +k )−m−12∙ (D x−Dx +k )] + R2 ∙ (m ∙N x+k−

m−12∙D x+k )+

+K ∙M x

P∙D40 = 1.000 ∙ [12∙ (N40−N 45 )−112∙ (D40−D 45 )] +

+ 1.200 ∙ (12 ∙N 45−112∙ D45) + 500.000 ∙M 40

17. Lice staro 42 godine želi da osigura kapital za slučaj smrti,s tim da kapital u toku prvih 18 godina iznosi 300.000 n.j,a nadalje 400.000 n.j. Za ovo osiguranje uplaćivaće se tromjesečna premija koja u toku prvih 15 godina iznosi po 400 n.j.,a nadalje po ___ n.j. Koliko iznosi premija nakon 15-te godine?

x =42K1 =300.000 (42,60)K2 =400.000 (60,-)P1 =400 (42,57)P2 =? (57,-)

42

P1 ∙ (l x ∙V

0+lx +1 ∙V1+…+lx +k−1 ∙V

k−1

lx+ 1m

∙V1m+ l

x+1+ 1m

∙V1+1m+…+l

x+ k−1+ 1m

∙Vk−1+

1m

…

lx+m−1m

∙Vm−1m +l

x+1+m−1m

∙V1+m−1

m +…+ lx+k−1+

m−1m

∙Vk−1+m−1

m ) ++ P2 ∙ (


k+1+…

lx+ k+ 1

m

∙Vk+1m+l

x+k+1+ 1m

∙Vk +1+

1m+…

…

lx+k+

m−1m

∙Vk+m−1

m +lx+k+1+

m−1m

∙Vk+1+m−1

m +…)=

K1 ∙(dx ∙V 1+d x+1 ∙V 2+…+dx+ k+n−1∙Vk +n ) +

+ K2 ∙(dx+ k+n ∙V k+n+1+dx+k +n+1 ∙Vk+n+2+…) / množimo sa V x

P1 ∙ (Dx+D x+1+…+D x+k−1

Dx+1m

+Dx+1+

1m

+…+Dx+k−1+

1m

…Dx+m−1m

+Dx+1+

m−1m

+…+Dx+k−1+

m−1m

)+

+ P2∙ (Dx+ k+D x+ k+1+…

Dx+k+

1m

+Dx+ k+1+

1m

+…

…Dx+k +

m−1m

+Dx+ k+1+

m−1m

+…)=K1 ∙ (C x+C x+1+…+C x+k+n−1 ) +

+ K2 ∙ (C x+k+n+C x+k+n+1+…)

43

x x+k+n

K1

42K2

60

P1 m=4

x+k

57

P2

P1∙(N x−N x+k

Nx+1m

−Nx+k +

1m

…Nx+m−1m

−Nx+k +

m−1m

)+P2∙(N x+ k

Nx+ k+

1m

…Nx+k +

m−1m

) = K1 ∙ (M x−M x+ k+n ) + K2 ∙M x+k+n

P1∙(N x−N x+k


1m∙ Dx+ k

…

N x−m−1m


∙ D x+k)+P2∙(

N x +k

N x+k−1m∙ Dx+ k

…

N x+k−m−1m

∙D x+k)=

¿K1 ∙ (M x−M x+ k+n ) + K2 ∙M x+k+n

P1 ∙ (m ∙N x−m ∙N x+k−m−12∙D x+

m−12∙D x+k ) +

+ P2 ∙ (m ∙N x+k−m−12∙D x+k )= K1 ∙ (M x−M x+ k+n ) + K2 ∙M x+k+n


m−12∙D x+k )=

= K1 ∙ (M x−M x+ k+n ) + K2 ∙M x+k+n

400 ∙ [4 ∙ (N42−N 57)−32∙ (D42−D57 )] + P2 ∙ (4 ∙N 57−

32∙D57)=

= 300.000 ∙ (M 42−M 60) + 400.000 ∙ M 60

18. Lice staro 30 godina želi da osigura kapital za slučaj smrti,s tim da kapital u toku prvih 20 godina iznosi 500.000 n.j. ,a nadalje 800.000 n.j. Za ovo osiguranje uplaćivaće se mjesečna premija,koja u toku prvih 10 godina iznosi po 200 n.j.,a nadalje po ___ n.j. Kolika je premija nakon 10-te godine?

44

x =30K1 =500.000 (30,50)K2 =800.000 (50,-)P1 =200 (30,40)P2 =? (40,-)

P1 ∙ (l x ∙V

0+lx +1 ∙V1+…+lx +k−1 ∙V

k−1

lx+ 1m

∙V1m+ l

x+1+ 1m

∙V1+1m+…+l

x+ k−1+ 1m

∙Vk−1+

1m

…

lx+m−1m

∙Vm−1m +l

x+1+m−1m

∙V1+m−1

m +…+ lx+k−1+

m−1m

∙Vk−1+m−1

m ) ++ P2 ∙ (


k+1+…

lx+ k+ 1

m

∙Vk+1m+l

x+k+1+ 1m

∙Vk +1+

1m+…

…

lx+k+

m−1m

∙Vk+m−1

m +lx+k+1+

m−1m

∙Vk+1+m−1

m +…)=

K1 ∙(dx ∙V 1+d x+1 ∙V 2+…+dx+ k+n−1∙Vk +n ) +

+ K2 ∙(dx+ k+n ∙V k+n+1+dx+k +n+1 ∙Vk+n+2+…) / množimo sa V x

P1 ∙ (Dx+D x+1+…+D x+k−1

Dx+1m

+Dx+1+

1m

+…+Dx+k−1+

1m

…Dx+m−1m

+Dx+1+

m−1m

+…+Dx+k−1+

m−1m

)+

+ P2∙ (Dx+ k+D x+ k+1+…

Dx+k+

1m

+Dx+ k+1+

1m

+…

…Dx+k +

m−1m

+Dx+ k+1+

m−1m

+…)=K1 ∙ (C x+C x+1+…+C x+k+n−1 ) +

+ K2 ∙ (C x+k+n+C x+k+n+1+…)

45

x x+k+n

K1

30K2

50

P1 m=12

x+k

40

P2

P1∙(N x−N x+k

Nx+1m

−Nx+k +

1m

…Nx+m−1m

−Nx+k +

m−1m

)+P2∙(N x+ k

Nx+ k+

1m

…Nx+k +

m−1m

) = K1 ∙ (M x−M x+ k+n ) + K2 ∙M x+k+n

P1∙(N x−N x+k


1m∙ Dx+ k

…

N x−m−1m


∙ D x+k)+P2∙(

N x +k

N x+k−1m∙ Dx+ k

…

N x+k−m−1m

∙D x+k)=

¿K1 ∙ (M x−M x+ k+n ) + K2 ∙M x+k+n

P1 ∙ (m ∙N x−m ∙N x+k−m−12∙D x+

m−12∙D x+k ) +

+ P2 ∙ (m ∙N x+k−m−12∙D x+k )= K1 ∙ (M x−M x+ k+n ) + K2 ∙M x+k+n


m−12∙D x+k )=

= K1 ∙ (M x−M x+ k+n ) + K2 ∙M x+k+n

200 ∙ [12∙ (N30−N 40)−112∙ (D30−D40 )] + P2 ∙ (12 ∙N 40−

112∙ D40)=

= 500.000 ∙ (M30−M 50 ) + 800.000 ∙ M50

19. Lice staro 45 godina želi da osigura kapital od 100.000 n.j. za slučaj smrti,odnosno mjesečnu ličnu rentu od 5.000 n.j.,s tim da se prva renta isplati po proteku 20 godina od dana početka osiguranja. Kolika je godišnja neto premija?

x =45K =100.000 (45,-)

46

R =5.000 (65,-)P =? (45,65)

P ∙ (l x ∙V

0+lx +1 ∙V1+…+lx +k−1 ∙V

k−1

lx+ 1m

∙V1m+ l

x+1+ 1m

∙V1+1m+…+l

x+ k−1+ 1m

∙Vk−1+

1m

…

lx+m−1m

∙Vm−1m +l

x+1+m−1m

∙V1+m−1

m +…+ lx+k−1+

m−1m

∙Vk−1+m−1

m ) ==R∙(


k+1+…

lx+ k+ 1

m

∙Vk+1m+l

x+k+1+ 1m

∙Vk +1+

1m+…

…

lx+k+

m−1m

∙Vk+m−1

m +lx+k+1+

m−1m

∙Vk+1+m−1

m +…)++ K ∙(dx ∙V 1+dx+1 ∙V k+2+…) / množimo sa V x

P ∙ (Dx+D x+1+…+D x+k−1

Dx+1m

+Dx+1+

1m

+…+Dx+k−1+

1m

…Dx+m−1m

+Dx+1+

m−1m

+…+Dx+k−1+

m−1m

) =

= R∙ (Dx+ k+D x+ k+1+…

Dx+k+

1m

+Dx+ k+1+

1m

+…

…Dx+k +

m−1m

+Dx+ k+1+

m−1m

+…)+ K ∙¿

47

x x+k

K45

R65

m ‘=12

P m=1

P∙(N x−N x+k

Nx+1m

−Nx+k +

1m

…Nx+m−1m

−Nx+k +

m−1m

)=R∙(N x+ k

Nx+ k+

1m

…Nx+k +

m−1m

)+ K ∙M x

P∙(N x−N x+k


1m∙ Dx+ k

…

N x−m−1m


∙ D x+k) = R∙(

N x +k

N x+k−1m∙ Dx+ k

…

N x+k−m−1m

∙D x+k) + K ∙M x

P ∙ (m ∙N x−m ∙N x+k−m−12∙D x+

m−12∙D x+k ) =

= R ∙ (m ' ∙N x+ k−m'−12

∙ D x+k ) + K ∙M x

P ∙ [m∙ (N x−N x +k )−m−12∙ (D x−Dx +k )] = R ∙ (m ' ∙N x+ k−

m'−12

∙ D x+k ) + K ∙M x

m=1; pa imamo

P ∙ (N x−N x+k ) = R ∙ (m' ∙ Nx+k−m'−12 ∙ Dx +k) + K ∙M x

P ∙ (N 45−N65 ) = 5.000 ∙ (12 ∙N 65−112∙D65) + 100.000 ∙M 45

48

aktuarska matematika

Documents