aharonov-bohm effect

7/30/2019 Aharonov-Bohm Effect

1/8

T h e A h a r o n o v - B o h m E e c t a n d W e y l ' s G a u g e T h e o r y

W i l l i a m O . S t r a u b , P h D

P a s a d e n a , C a l i f o r n i a

A p r i l 4 , 2 0 1 0

T h e p r e s e n c e o f a n e l e c t r i c o r m a g n e t i c e l d i s e a s y t o d e t e c t y o u j u s t i n t r o d u c e a c h a r g e d p a r t i c l e ( x e d o r

m o v i n g a t s o m e i n i t i a l v e l o c i t y ) a n d w a t c h i t s b e h a v i o r . I f i t m o v e s o r d e e c t s , t h e n t h e r e ' s a n e l e c t r o m a g n e t i c e l d

n e a r b y ; t h e g r e a t e r t h e d e e c t i o n , t h e s t r o n g e r t h e e l d . T h e e l e c t r o m a g n e t i c e l d i s , o f c o u r s e , c o m p o s e d o f t h e

e l e c t r i c e l d

Ea n d t h e m a g n e t i c e l d

B, e i t h e r s i n g l y o r i n c o m b i n a t i o n . B u t M a x w e l l ' s e q u a t i o n s r e v e a l a d e e p e r

p h e n o m e n o n a s s o c i a t e d w i t h t h e s e e l d s , o n e t h a t w a s n o t e x p e r i m e n t a l l y d e m o n s t r a t e d u n t i l r e l a t i v e l y r e c e n t l y .

I t i s t h e p o t e n t i a l , a n d i t c o m e s i n t w o f o r m s t h e 3 - c o m p o n e n t v e c t o r p o t e n t i a l Ai a n d t h e s c a l a r p o t e n t i a l , b o t h o f w h i c h a r e g e n e r a l l y t i m e - d e p e n d e n t f u n c t i o n s o f s p a c e . T h e s e f u n c t i o n s a p p e a r s e e m i n g l y o u t o f n o w h e r e f r o m a

c o n s i d e r a t i o n o f t h e d i e r e n t i a l f o r m s o f t w o o f M a x w e l l ' s e q u a t i o n s :

B = 0 , w h i c h c a n b e e q u i v a l e n t l y e x p r e s s e d b y

B = A, a n d E = B/x0 , w h i c h l e a d s t o E = A/x0 . T h e f o u r p o t e n t i a l q u a n t i t i e s a r e j o i n e d

i n t o w h a t i s c a l l e d t h e f o u r - p o t e n t i a l A(= , A1, A2, A3) w h i c h , u n l i k e e i t h e r E o r B , t r a n s f o r m s l i k e a c o v a r i a n t L o r e n t z 4 - v e c t o r . I t i s i n t h i s s e n s e t h a t t h e 4 - p o t e n t i a l i s m o r e f u n d a m e n t a l t h a n t h e e l e c t r i c a n d m a g n e t i c e l d s .

I n v i s i b i l i t y o f t h e V e c t o r P o t e n t i a l

T h e s c a l a r p o t e n t i a l i s f a m i l i a r f r o m h i g h s c h o o l e l e c t r o m a g n e t i s m , w h e r e i t i s c o m m o n l y i d e n t i e d w i t h t h e s t a t i c p o t e n t i a l d i e r e n c e o r v o l t a g e V . B u t t h e v e c t o r p o t e n t i a l Ai n o r m a l l y d o e s n o t m a k e i t s a p p e a r a n c e u n t i l m u c h l a t e r ; i n d e e d , m a n y u n d e r g r a d u a t e s c i e n c e c o u r s e s i g n o r e i t c o m p l e t e l y . P e r h a p s m u c h o f t h e r e a s o n f o r t h i s

s t e m s f r o m a p r e o c c u p a t i o n w i t h t h e e l e c t r i c a n d m a g n e t i c e l d s t h e m s e l v e s , w h i c h a r e u s u a l l y t h e o n l y s o l u t i o n s

s o u g h t i n u n d e r g r a d u a t e p h y s i c s a n d e n g i n e e r i n g c l a s s e s . W h e n

Ai i s n a l l y i n t r o d u c e d , i t ' s n o r m a l l y b e c a u s e s o m e p r o b l e m s a r e e a s i e r t o s o l v e b y r s t c a l c u l a t i n g t h e p o t e n t i a l , t h e n u s i n g

B = A ( i n t h e s a m e w a y t h a t t h e

s c a l a r p o t e n t i a l i s u s e d c a l c u l a t e

E) .

B u t t h e r e a r e o t h e r r e a s o n s w h y

Ai d o e s n ' t g e t m u c h r e s p e c t . O n e h a s t o d o w i t h t h e f a c t t h a t , u n l i k e t h e m a g n e t i c e l d , i t ' s i m p o s s i b l e t o o b s e r v e d i r e c t l y ( s e e b e l o w ) . A n o t h e r i n v o l v e s t h e r e l a t e d f a c t t h a t , l i k e t h e s c a l a r

p o t e n t i a l , t h e v e c t o r p o t e n t i a l d o e s n o t h a v e a u n i q u e r e p r e s e n t a t i o n i n a n y g i v e n a p p l i c a t i o n . F o r e x a m p l e , t h e

p o t e n t i a l d i e r e n c e V = V V0 o f a c h a r g e d s p h e r e d e p e n d s o n h o w t h e g r o u n d p o t e n t i a l V0 i s d e n e d ; l i k e p o t e n t i a l e n e r g y , t h e o n l y t h i n g t h a t ' s e v e r m e a s u r e d i s t h e d i e r e n c e b e t w e e n t w o e n e r g y l e v e l s , a s t h e r e i s n o

a b s o l u t e r e f e r e n c e . T h e s a m e i s t r u e f o r Ai . T o s e e t h i s , w e c o n s i d e r a s i m u l t a n e o u s c h a n g e i n a n d Ai g i v e n b y t h e g a u g e t r a n s f o r m a t i o n

=

x0

A = A +

w h e r e (x, t) i s a n a r b i t r a r y f u n c t i o n o f t h e s p a c e - t i m e c o o r d i n a t e s . S u b s t i t u t i n g t h e s e n e w p o t e n t i a l s i n t o t h e

e x p r e s s i o n s

B = A a n d E = A/x0 s h o w s t h a t

E = E

B = B

T h a t i s , t h e e l e c t r i c a n d m a g n e t i c e l d s r e m a i n u n c h a n g e d . B y t h i s , w e s a y t h a t M a x w e l l ' s e q u a t i o n s a r e g a u g e

i n v a r i a n t . B e c a u s e o f t h e a r b i t r a r i n e s s o f t h e g a u g e p a r a m e t e r (x) , t h e 4 - p o t e n t i a l A h a s n o u n i q u e d e n i t i o n .

V e r y o f t e n , a c l e v e r c h o i c e o f t h e g a u g e p a r a m e t e r c a n b e u s e d t o s i m p l y t h e c a l c u l a t i o n o f

E a n d B . S e v e r a l e x a m p l e s a r e t h e s o - c a l l e d C o u l o m b g a u g e a n d L o r e n t z g a u g e , b u t w e w i l l n o t b e n e e d i n g t h e m i n t h i s s i m p l e

d i s c u s s i o n .

F o r m a n y y e a r s a f t e r M a x w e l l r s t s e t d o w n h i s f a m o u s e q u a t i o n s , t h e g a u g e p r o p e r t y o f t h e p o t e n t i a l s w a s l o o k e d

u p o n s t r i c t l y a s a u s e f u l c o m p u t a t i o n a l d e v i c e , a n d l i t t l e r e a l m e a n i n g w a s a s c r i b e d t o t h e p o t e n t i a l s t h e m s e l v e s ,

1


2/8

t h e v e c t o r p o t e n t i a l i n p a r t i c u l a r . I n d e e d , b e c a u s e i t c o u l d n o t a c t u a l l y b e s e e n o r d e t e c t e d , i t t o o k a b a c k s e a t t o

t h e m a g n e t i c e l d , w h i c h w a s c o n s i d e r e d t h e o n l y r e a l e l d . T o g i v e a c o n c r e t e e x a m p l e o f t h i s , c o n s i d e r a n i d e a l

s o l e n o i d o f v e r y l o n g ( e s s e n t i a l l y i n n i t e ) l e n g t h . W h e n a c u r r e n t i s s e n t t h r o u g h t h e c o i l e d w i r e , a s t r o n g m a g n e t i c

e l d i s s e t u p w i t h i n t h e s o l e n o i d , w h i l e t h e m a g n e t i c e l d e x t e r n a l t o t h e c o i l i s z e r o . I f a n o b s e r v e r n o w d i r e c t s a

m o v i n g p a r t i c l e o f c h a r g e q o u t s i d e t h e c o i l , t h e p a r t i c l e w i l l n o t e x p e r i e n c e a n y d e e c t i o n ( r e c a l l t h e L o r e n t z f o r c e

l a w

F = q/c v B ) , b e c a u s e t h e m a g n e t i c e l d i s z e r o t h e r e . B u t t h e v e c t o r p o t e n t i a l e x t e r i o r t o t h e s o l e n o i d i s n o t z e r o ; i n f a c t , t h e r e i s o n e n o n - z e r o c o m p o n e n t a b o u t t h e c y l i n d r i c a l a x i s o f t h e s o l e n o i d g i v e n b y

A =Br2s2r

w h e r e rs i s t h e r a d i u s o f t h e s o l e n o i d a n d r i s t h e r a d i a l d i s t a n c e f r o m t h e a x i s . T h e o b s e r v e r s e e s t h e p a r t i c l e p r o c e e d i n g o n i t s m e r r y w a y , a n d c o n c l u d e s t h a t n o e l d i s p r e s e n t . T h e v e c t o r p o t e n t i a l t h u s e s c a p e s d e t e c t i o n .

W e y l ' s G a u g e T h e o r y

I n 1 9 2 9 , t h e G e r m a n m a t h e m a t i c a l p h y s i c i s t H e r m a n n W e y l , u t i l i z i n g a n e a r l i e r i d e a o f h i s f r o m 1 9 1 8 , p r o p o s e d t h a t

t h e v e c t o r p o t e n t i a l c o u l d i n p r i n c i p l e a e c t t h e w a v e f u n c t i o n (x, t) o f a q u a n t u m - m e c h a n i c a l p a r t i c l e o r s y s t e m .T h i s p r o p o s a l l e d W e y l t o w h a t c o u l d a r g u a b l y b e c a l l e d t h e m o s t p r o f o u n d a n d b e a u t i f u l m a t h e m a t i c a l s y m m e t r y

k n o w n t o e x i s t i n n a t u r e , t h a t o f g a u g e i n v a r i a n c e . W e y l n o t i c e d t h a t a g a u g e t r a n s f o r m a t i o n o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c

e l d w o u l d i n d u c e a s i m i l a r c h a n g e i n t h e w a v e f u n c t i o n a n d i t s c o m p l e x c o n j u g a t e a s e x p r e s s e d b y

= ei

= ei

I n q u a n t u m m e c h a n i c s , r e a l a n d o b s e r v a b l e q u a n t i t i e s a r e e x p r e s s e d a s p r o d u c t s o f f u n c t i o n s a n d t h e i r c o n j u g a t e s ,

s o t h a t

=

eiei

=

T h u s , t h e i n f o r m a t i o n t h a t a g a u g e t r a n s f o r m a t i o n ( p e r h a p s m o r e p r o p e r l y c a l l e d a p h a s e t r a n s f o r m a t i o n i n t h i s

c a s e ) h a s a c t e d o n t h e w a v e f u n c t i o n i s h i d d e n . W e y l d i s c o v e r e d t h a t t h i s g a u g e s y m m e t r y i s d u e t o t h e p r e s e n c e o f

a n e l e c t r o m a g n e t i c e l d ; h e a l s o d i s c o v e r e d t h a t t h e i n v a r i a n c e o f e l e c t r i c c h a r g e i s a c o n s e q u e n c e o f t h i s s y m m e t r y .

T h e g r e a t G e r m a n m a t h e m a t i c i a n E m m y N o e t h e r f a m o u s l y d i s c o v e r e d ( a l s o i n 1 9 1 8 ) t h a t e v e r y m a t h e m a t i c a l

s y m m e t r y i n n a t u r e ( t y p i c a l l y a n i n v a r i a n c e r e s u l t i n g f r o m t h e a r b i t r a r y c h a n g e o f s o m e q u a n t i t y i n a n a c t i o n

l a g r a n g i a n ) i s i n t i m a t e l y a s s o c i a t e d w i t h a c o n s e r v a t i o n l a w . F o r e x a m p l e , t h e s y m m e t r y o f t r a n s l a t i o n t h e

i n v a r i a n c e o f p h y s i c a l l a w s t h a t d o e s n ' t c h a n g e w h e n y o u g o f r o m P a s a d e n a , C a l i f o r n i a t o B r i s t o l , E n g l a n d

n e c e s s a r i l y r e q u i r e s t h a t l i n e a r m o m e n t u m b e a c o n s e r v e d q u a n t i t y . B u t w h a t i s o f t e n n o t a s s o c i a t e d w i t h N o e t h e r ' s

t h e o r e m i s t h e f a c t t h a t s u c h s y m m e t r i e s a r e h i d d e n f r o m p l a i n s i g h t i n s o m e w a y . A n a r b i t r a r y c h a n g e o f p h a s e

i n t h e w a v e f u n c t i o n , f o r e x a m p l e , c a n n o t b e s e e n o r m e a s u r e d , b u t i t m a n i f e s t s i t s e l f i n t h e v e r y o b s e r v a b l e f a c t

t h a t e l e c t r i c c h a r g e i s c o n s e r v e d a n o b s e r v a t i o n t h a t , u n t i l W e y l a n d N o e t h e r c a m e a l o n g h a d t o b e t a k e n a s a n

a p r i o r i f a c t .

I n t h e s e v e n t y o r s o y e a r s s i n c e M a x w e l l ' s e q u a t i o n s a p p e a r e d , t h e e x i s t e n c e o f t h e v e c t o r p o t e n t i a l w a s v i e w e d

s t r i c t l y a s a m a t h e m a t i c a l o d d i t y t h a t h a d n o r e a l p h y s i c a l m e a n i n g . W h y ? B e c a u s e i t c o u l d n o t b e s e e n o r

m e a s u r e d e x p e r i m e n t a l l y ! C a n w e t h e r e f o r e a s s o c i a t e s o m e c o n s e r v a t i o n l a w w i t h t h e p o t e n t i a l ? T h e a n s w e r i s y e s

a n d n o i t s t r u e s i g n i c a n c e s e e m s t o l i e o n l y i n t h e f a c t t h a t t h e g a u g e t r a n s f o r m a t i o n p r o p e r t y o f t h e p o t e n t i a l s

e n a b l e s t h e p r i n c i p l e o f g a u g e i n v a r i a n c e i n m o d e r n q u a n t u m t h e o r y . B u t t h a t p r i n c i p l e l e a d s t o c o n s e r v a t i o n l a w s ,

s o p e r h a p s i t i s o n l y a m a t t e r o f s e m a n t i c s .

T h e A h a r o n o v - B o h m I d e a

I t w a s n o t u n t i l 1 9 5 9 t h a t a m e t h o d w a s d e v i s e d f o r d e m o n s t r a t i n g t h e r e a l i t y o f t h e s c a l a r a n d v e c t o r p o t e n t i a l s .

A c t u a l l y , i t w a s l i t t l e m o r e t h a n a t h o u g h t e x p e r i m e n t , b e c a u s e i t c o u l d o n l y b e d e m o n s t r a t e d m a t h e m a t i c a l l y ,

2


3/8

n o t e x p e r i m e n t a l l y . D a v i d B o h m a n d h i s g r a d u a t e s t u d e n t Y a k i r A h a r o n o v , b o t h a t t h e U n i v e r s i t y o f B r i s t o l a t

t h e t i m e , s h o w e d t h e o r e t i c a l l y t h a t t h e v e c t o r p o t e n t i a l c o u l d b e d e t e c t e d w h e n a p p l i e d t o t h e f a m o u s d o u b l e - s l i t

e x p e r i m e n t . T h e p r o p o s e d s e t u p , s h o w n i n F i g u r e 1 , c o n s i s t s o f a c h a r g e d p a r t i c l e s o u r c e , d o u b l e s l i t , a n d d e t e c t o r

s c r e e n . B y r i n g t h e p a r t i c l e s o n e a t a t i m e a t t h e s l i t , e a c h p a r t i c l e ' s w a v e f u n c t i o n i n t e r f e r e s w i t h i t s e l f , r e s u l t i n g

i n t h e u s u a l i n t e r f e r e n c e p a t t e r n a t t h e d e t e c t o r . A h a r o n o v ' s a n d B o h m ' s a n s a t z w a s t o i m a g i n e p l a c i n g a t i n y

s o l e n o i d i m m e d i a t e l y b e h i n d t h e s l i t , w h e r e p r e s u m a b l y t h e s o l e n o i d ' s e x t e r n a l v e c t o r p o t e n t i a l w o u l d i n d u c e a

m e a s u r a b l e p h a s e s h i f t i n t h e p a t t e r n .

F i g u r e 1 . E x p e r i m e n t a l s e t u p w i t h s o l e n o i d t u r n e d o .

P a t h I n t e g r a l A p p r o a c h t o t h e A h a r o n o v - B o h m E e c t

T h e m a t h e m a t i c a l r e a s o n i n g w e w i l l u s e f o r t h e p r e d i c t e d s h i f t i s e q u i v a l e n t b u t d i e r e n t t h a n t h a t e m p l o y e d b y

A h a r o n o v a n d B o h m , b u t i t w i l l p r o v i d e a d d i t i o n a l i n s i g h t i n t o s o m e o t h e r i d e a s t h a t W e y l h a d p r o p o s e d . I t w i l l

a l s o g i v e u s t h e c h a n c e t o u s e a p a r t i c u l a r l y p o w e r f u l q u a n t u m t o o l , w h i c h i s t h e p a t h i n t e g r a l a p p r o a c h o r i g i n a l l y

p i o n e e r e d b y p h y s i c i s t R i c h a r d F e y n m a n i n h i s 1 9 4 2 d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n . T h e p a t h i n t e g r a l p r o v i d e s a p a r t i c u l a r l y

c l e a r a n d e l e g a n t s o l u t i o n t o t h e t h o u g h t e x p e r i m e n t o f A h a r o n o v a n d B o h m .

I w i l l n o t e n t e r i n t o a d e t a i l e d d i s c u s s i o n o f t h e p a t h i n t e g r a l ( i t ' s a v a i l a b l e e l s e w h e r e o n m y w e b s i t e ) , s o I

w i l l j u s t t o u c h o n i t h e r e . T h e p a t h i n t e g r a l i s a m a t h e m a t i c a l w a y o f d e s c r i b i n g t h e p r o b a b i l i t y a m p l i t u d e t h a t a

p a r t i c l e w i l l g o f r o m P o i n t A t o P o i n t B i n s o m e n i t e p e r i o d o f t i m e . I t s a y s t h a t t h e p a r t i c l e c a n t r a v e r s e a n y

i n t e r m e d i a t e p a t h o n i t s w a y t o P o i n t B , o v e r a n y t i m e p e r i o d . T h i s m e a n s t h a t , a f t e r l e a v i n g P o i n t A , t h e p a r t i c l e

c a n t r a v e l o u t t o t h e A n d r o m e d a G a l a x y , a t w h i c h p o i n t i t c a n t h e n t r a v e l b a c k i n t i m e a b i l l i o n y e a r s t o v i s i t

M a r s . I t c a n l i t e r a l l y e x e c u t e a n y o f a n i n n i t e n u m b e r o f p a t h s , c r a z y o r o t h e r w i s e , u n t i l i t a r r i v e s a t P o i n t B .

M o r e a m a z i n g l y , e a c h p a t h t h a t t h e p a r t i c l e c a n t a k e i s j u s t a s i m p o r t a n t a n d l o g i c a l a s a n y o t h e r , i n c l u d i n g t h e

c l a s s i c a l , s t r a i g h t p a t h f r o m A t o B . D o e s t h e p a r t i c l e r e a l l y t a k e a l l t h e s e p a t h s ? M a t h e m a t i c a l l y , t h e a n s w e r i s a

d e n i t e y e s . I n r e a l i t y , w e c a n n e v e r r e a l l y k n o w j u s t w h a t t h e p a r t i c l e d o e s . A l l w e k n o w f o r s u r e i s t h a t i t c a n , i f

i t w a n t s t o . B u t f o r e a c h p o s s i b l e p a t h t h e r e i s a c o r r e s p o n d i n g p r o b a b i l i t y a m p l i t u d e , a n d t h e s e a m p l i t u d e s c a n

i n t e r f e r e w i t h o n e a n o t h e r c o n s t r u c t i v e l y o r d e s t r u c t i v e l y . T h e c r a z y p a t h s t e n d t o b e t h e o n e s t h a t g e t c a n c e l e d

o u t b y d e s t r u c t i v e i n t e r f e r e n c e , w h i l e t h e l o g i c a l , c l a s s i c a l p a t h s t e n d t o r e i n f o r c e o n e a n o t h e r . W h i l e t h e p a t h

i n t e g r a l i s n e c e s s a r i l y i n n i t e - d i m e n s i o n a l , i t c a n i n p r i n c i p l e b e c a l c u l a t e d i n c l o s e d f o r m ; f o r s i m p l e p r o b l e m s ,

s u c h a s t h e f r e e p a r t i c l e a n d t h e h a r m o n i c o s c i l l a t o r , t h e c a l c u l a t i o n i s s t r a i g h t f o r w a r d a n d a g r e e s p e r f e c t l y w i t h

t h e r e s u l t s o f c l a s s i c a l a n d q u a n t u m p h y s i c s .

P a t h i n t e g r a l s c a n a l s o b e a p p l i e d t o e l d s , i n w h i c h c a s e t h e y g i v e t h e p r o b a b i l i t y a m p l i t u d e t h a t a e l d w i l l

p r o p a g a t e o r t r a n s i t i o n f r o m o n e e l d t o a n o t h e r o v e r a s p e c i e d p e r i o d o f t i m e . B u t t h e A h a r o n o v - B o h m t h o u g h t

e x p e r i m e n t d e s c r i b e d h e r e w i l l o n l y b e c o n c e r n e d w i t h c h a r g e d p a r t i c l e s ( l i k e e l e c t r o n s ) g o i n g f r o m P o i n t A ( t h e i r

s o u r c e ) t h r o u g h t h e d o u b l e s l i t t o P o i n t B ( t h e d e t e c t o r ) .

H e r e i s t h e p a t h i n t e g r a l f o r a p a r t i c l e g o i n g f r o m P o i n t A t o P o i n t B w h e n t h e s l i t s a r e n o t p r e s e n t :

I =

Dx(t) exp[iS(x, t)/]

H e r e , I r e p r e s e n t s t h e p r o b a b i l i t y a m p l i t u d e f o r t h e o v e r a l l p r o c e s s ; i t i s a c o m p l e x n u m b e r , a n d i t s c o n j u g a t e

s q u a r e r e p r e s e n t s t h e r e a l p r o b a b i l i t y t h a t t h e p a r t i c l e w i l l l e a v e A a n d a r r i v e a t B . T h e q u a n t i t y

Dxi s s h o r t h a n d

3


4/8

f o r t h e i n n i t e s e q u e n c e

dx1 dx2 dx3 . . ., w h e r e e a c h x = x(t) r e p r e s e n t s a g i v e n p a t h , a n d t h e s i n g l e i n t e g r a l s i g n r e p r e s e n t s a n i n n i t e n u m b e r o f t h e m . T h e q u a n t i t y S i n t h e e x p o n e n t i a l t e r m i s t h e a c t i o n , w h i c h i s d e n e d a s t h e

i n t e g r a l o f t h e l a g r a n g i a n L o v e r t i m e . S i n c e w e ' l l b e c o n s i d e r i n g t h e m o t i o n o f c l a s s i c a l c h a r g e d p a r t i c l e s m o v i n g w i t h s m a l l v e l o c i t i e s , w e ' l l e m p l o y t h e n o n - r e l a t i v i s t i c f o r m o f t h e l a g r a n g i a n . Y o u m a y r e c a l l f r o m y o u r p h y s i c s

c l a s s e s t h a t t h e l a g r a n g i a n f o r a f r e e p a r t i c l e o f m a s s m i s j u s t L0 = 1/2 m(dx/dt)2

. F o r a f r e e p a r t i c l e h a v i n g a

c h a r g e q i n t h e p r e s e n c e o f a v e c t o r p o t e n t i a l , i t b e c o m e s

L = L0 +q

cAi

dxi

dt

( N o t e t h a t I h a v e s e t t h e s c a l a r p o t e n t i a l t e r m A0 = t o z e r o , b e c a u s e t h i s e l d i s a b s e n t i n t h e A h a r o n o v - B o h m s e t u p . ) T h e p a t h n o w i n t e g r a l l o o k s l i k e

I =

Dx(t) exp

iS0

exp

iq

c

t0

Aidxi

dtdt

w h e r e S0 =t0L0dt . L a s t l y , n o t e t h a t t h e i n t e g r a l o v e r t i m e o f t h e v e c t o r p o t e n t i a l t e r m b e c o m e s a l i n e i n t e g r a l

o v e r s p a c e :

t

0

Aidxi

dt

dt = B

A

Aidxi

s o w e h a v e , n a l l y ,

I =

Dx(t) exp

iS0

exp

iq

c

BA

Aidxi

A r m e d n o w w i t h t h e p a t h i n t e g r a l ( o r a t l e a s t a n i n k l i n g o f w h a t i t r e p r e s e n t s ) , l e t u s p r o c e e d t o t h e A h a r o n o v -

B o h m e x p e r i m e n t i t s e l f .

D e r i v a t i o n o f t h e A h a r o n o v - B o h m E e c t

L e t u s c o n s i d e r t h e c l a s s i c d o u b l e - s l i t e x p e r i m e n t , c o n s i s t i n g o f a s o u r c e o f i d e n t i c a l , q u a n t u m - s i z e d p a r t i c l e s e a c h

h a v i n g a c h a r g e q ( e l e c t r o n s o r p r o t o n s w i l l d o n i c e l y ) , a n i m p e n e t r a b l e s c r e e n w i t h t w o c l o s e l y - s p a c e d , n a r r o w s l i t s ,

a n d d e t e c t o r . I n p r a c t i c e , t h e s l i t w i d t h s w i l l b e o n t h e o r d e r o f s e v e r a l m i c r o n s , s e p a r a t e d b y a s e c t i o n o f s c r e e n

o f c o m p a r a b l e d i m e n s i o n . S u c h s m a l l d i s t a n c e s a r e n e c e s s a r y i n v i e w o f t h e q u a n t u m n a t u r e o f t h e d o u b l e s l i t

e x p e r i m e n t i t s e l f . I n a d d i t i o n , w e p l a c e a s o l e n o i d b e h i n d t h e s l i t s e p a r a t i o n . T h e s o l e n o i d i t s e l f m u s t b e e x t r e m e l y

s m a l l , a n d i t m u s t b e s h i e l d e d i n s u c h a w a y a s t o p r e v e n t p h y s i c a l i n t e r a c t i o n w i t h t h e c h a r g e d p a r t i c l e s .

W e s t a r t w i t h t h e s o l e n o i d i n p l a c e b u t w i t h t h e c u r r e n t t u r n e d o , s o Ai = 0. W e n o w s t a r t r i n g c h a r g e d p a r t i c l e s a t t h e s c r e e n , a t a t h e r a t e o f r e t h a t p r e v e n t s t h e p a r t i c l e s f r o m i n t e r a c t i n g w i t h o n e a n o t h e r . S o m e o f

t h e p a r t i c l e s w i l l p a s s t h r o u g h S l i t 1 a n d s o m e t h r o u g h S l i t 2 , b u t i n g e n e r a l e a c h p a r t i c l e w i l l s e e m t o g o t h r o u g h

b o t h s l i t s . T h i s i s , a f t e r a l l , t h e n a t u r e o f t h e q u a n t u m w e i r d n e s s o f t h e d o u b l e s l i t e x p e r i m e n t ! W e c a n a s s o c i a t e

a p a t h i n t e g r a l f o r e a c h s l i t :

I1 = 1

Dx exp iS0 I2 =

2

Dx exp

iS0

w h e r e t h e s u b s c r i p t s r e f e r t o t h e p a t h s t h r o u g h t h e t w o s l i t s . T h e p a t h s a r e c o n s t r a i n e d t o g o t h r o u g h t h e i r r e s p e c -

t i v e s l i t s , b u t t h e y ' r e f r e e - p a r t i c l e p a t h i n t e g r a l s , a n d w e k n o w t h e s o l u t i o n t o s u c h i n t e g r a l s . F o r a n u n c o n s t r a i n e d

p a r t i c l e g o i n g f r o m P o i n t A t o P o i n t B , i t ' s

I = m

2it

1/2exp

im(B A)2

2t

4


5/8

( T h e e x p o n e n t i a l t e r m i s a c o n s t a n t p h a s e f a c t o r t h a t w i l l d i s a p p e a r w h e n w e t a k e t h e c o n j u g a t e s q u a r e o f

I, s o

w e ' l l i g n o r e i t . ) I n v i e w o f t h i s , I1 a n d I2 c a n d i e r o n l y i n p h a s e , a n d s o w e w r i t e

I1 = m

2it

1/2exp

i1

I2 =

m2it

1/2exp

i2

w h e r e t h e q u a n t i t i e s 1 a n d 2 a r e p h a s e c o n s t a n t s r e e c t i n g t h e p a t h c o n s t r a i n t s . T h e t o t a l p a t h i n t e g r a l i s t h e n I = I1 + I2 , w h i c h w e c a n w r i t e a s

I = m

2it

1/2exp

i1

1 + exp

i(2 1)

T h e q u a n t i t y (2 1)/ r e p r e s e n t s t h e p h a s e d i e r e n c e b e t w e e n t h e c o m b i n e d p a t h s ; t h e d e t e c t o r a t a n y g i v e n p o i n t w i l l s e e c o n s t r u c t i v e i n t e r f e r e n c e w h e n = 2n a n d d e s t r u c t i v e i n t e r f e r e n c e w h e n = (2n + 1) ,w h e r e n i s a n i n t e g e r . T h e p a t h i n t e g r a l I i s a p r o b a b i l i t y a m p l i t u d e , a n d t o g e t t h e p r o b a b i l i t y w e h a v e t o t a k e t h e c o n j u g a t e s q u a r e o f t h i s q u a n t i t y . I t i s n o t d i c u l t t o s h o w t h a t

II = |I|2 = 2mt

cos2 12

( 1 )

T h u s , t h e p a t h i n t e g r a l a p p r o a c h t o t h e d o u b l e - s l i t e x p e r i m e n t e x p l a i n s t h e s i n u s o i d a l i n t e r f e r e n c e p a t t e r n s e e n a t

t h e d e t e c t o r , a n d t h i s r e s u l t h a s b e e n v e r i e d b y e x p e r i m e n t .

W e n o w s t a r t t h e c u r r e n t r u n n i n g i n t o t h e s o l e n o i d . W h a t e e c t , i f a n y , c a n w e e x p e c t ? T h e p r e s e n c e o f t h e

s o l e n o i d i n d u c e s a l o n g i t u d i n a l m a g n e t i c e l d i n s i d e t h e s o l e n o i d , b u t t h i s m a g n e t i c e l d i s r e s t r i c t e d t o i t s i n t e r i o r ;

t h u s , t h e r e i s n o e x t e r n a l m a g n e t i c e l d t o a e c t t h e c h a r g e d p a r t i c l e s a s t h e y p a s s t h r o u g h t h e s l i t s . A s f a r a s

t h e y ' r e c o n c e r n e d , t h e y s e e t h e s a m e v a c u u m a s t h e y d i d w h e n t h e s o l e n o i d w a s t u r n e d o . B u t n o w t h e r e ' s a n

a d d i t i o n a l t e r m i n t h e p a t h i n t e g r a l , a n d w e c a n ' t u s e t h e f r e e - p a r t i c l e s o l u t i o n . O r c a n w e ? F r o m e l e m e n t a r y

e l e c t r o d y n a m i c s , w e k n o w t h a t a l i n e i n t e g r a l l i k e

Aidx

ii s i n d e p e n d e n t o f t h e p a t h t a k e n f r o m o n e p o i n t t o

a n o t h e r , s o w e c a n t a k e t h i s t e r m o u t o f t h e p a t h i n t e g r a l a n d t r e a t i t a s a p h a s e c o e c i e n t :

Dx(t) exp

iS

exp

iqc

Aidx

i

= exp

iqc

Aidx

i

Dx(t) exp

iS

= m

2it

1/2exp

i

exp

iq

c

Aidx

i

( N o t e t h e u s e o f a g e n e r i c i n t h i s e x p r e s s i o n . ) A s b e f o r e , t h e t o t a l p a t h i n t e g r a l i s I = I1 + I2 , a n d w i t h t h e s o l e n o i d t u r n e d o n i t c a n b e w r i t t e n a s

I = m

2it

1/2exp

i1

exp

iq

c

1

Aidxi

1 + exp

i(2 1)

exp

iq

c

2

Aidxi

1

Aidxi

= m

2it1/2

expi1 exp

iq

c

1

Aidxi1 + exp (i)exp

iq

c 2

Aidxi

1

Aidxi ( 2 )

B u t t h e l a s t q u a n t i t y r e p r e s e n t s a c l o s e d p a t h f r o m t h e p a r t i c l e s o u r c e t o t h e d e t e c t o r a n d b a c k , s o w e h a v e

2

Aidxi

1

Aidxi =

Aidx

i

w h e r e t h e m i n u s s i g n r e m i n d s u s t h a t t h e c l o s e d p a t h u n d e r c o n s i d e r a t i o n i s c l o c k w i s e . U s i n g S t o k e ' s t h e o r e m , t h i s

i n t e g r a l c a n b e w r i t t e n a s t h e s u r f a c e i n t e g r a l

Aidx

i =

A dS

5


6/8

w h e r e t h e s u r f a c e i n q u e s t i o n i s t h e c r o s s s e c t i o n o f t h e s o l e n o i d . B u t t h i s i s j u s t t h e m a g n e t i c u x t h r o u g h t h e a x i s o f t h e s o l e n o i d , g i v e n b y

A dS =

B n dS

=

E q u a t i o n ( 2 ) n o w b e c o m e s

I = m

2it

1/2exp

i1

exp

iq

c

1

Aidxi

1 + exp (i)exp

iq

c

T h e s q u a r e o f t h i s p a t h i n t e g r a l i s e a s i l y s h o w n t o b e

|I|2 =2m

tcos2

1

2

q

c

C o m p a r i n g t h i s r e s u l t w i t h ( 1 ) , w e s e e t h a t t h e e e c t o f t h e s o l e n o i d o n t h e c h a r g e d p a r t i c l e s i s t o s h i f t t h e p a t t e r n

i n a c c o r d a n c e w i t h

qc

F i g u r e 2 . E x p e r i m e n t a l s e t u p w i t h s o l e n o i d t u r n e d o n . P a t t e r n h a s s h i f t e d t o t h e r i g h t .

A t t h e t i m e A h a r o n o v a n d B o h m d e r i v e d t h i s f o r m u l a i n 1 9 5 9 t h e r e w a s n o w a y t o t e s t i t e x p e r i m e n t a l l y t h e

r e q u i r e d s o l e n o i d h a d t o b e p e r f e c t l y s h i e l d e d a n d o f s u c h a s m a l l s i z e ( n o m o r e t h a n s e v e r a l m i c r o n s i n d i a m e t e r )

t h a t f a b r i c a t i o n w a s i m p o s s i b l e . A n d w h i l e t h e r e w a s h a r d l y a n y d o u b t t h a t t h e y h a d m a d e a p o t e n t i a l l y m a j o r

d i s c o v e r y ( n o p u n i n t e n d e d ) , m a n y i n t h e p h y s i c s c o m m u n i t y c o n t i n u e d t o d o u b t t h a t t h e v e c t o r p o t e n t i a l c o u l d

e v e r b e d e t e c t e d . N o l e s s a n a u t h o r i t y t h a n N i e l s B o h r e x p r e s s e d d o u b t o n t h e A h a r o n o v - B o h m p r e d i c t i o n .

E x p e r i m e n t a l V e r i c a t i o n o f t h e A h a r o n o v - B o h m E e c t

I n t h e y e a r s f o l l o w i n g p u b l i c a t i o n o f t h e A h a r o n o v - B o h m p a p e r , s e v e r a l a t t e m p t s w e r e m a d e b y v a r i o u s r e s e a r c h e r s

t o c o n s t r u c t a s u i t a b l e s o l e n o i d . F o r a w h i l e , i t a p p e a r e d t h a t m i c r o s c o p i c m a g n e t i z e d i r o n b e r s m i g h t b e w o r k a b l e ,

a n d r e s u l t s w e r e o b t a i n e d t h a t a p p e a r e d t o v e r i f y t h e A h a r o n o v - B o h m p r e d i c t i o n . B u t i n d i s p u t a b l e r e s u l t s w e r e

n o t a c h i e v e d u n t i l 1 9 8 6 , w h e n A k i r a T o n o m u r a a n d h i s c o l l e a g u e s ( f o l l o w i n g u p o n e a r l i e r e o r t s t h e y c o n d u c t e d i n

1 9 8 2 ) s u c c e e d e d i n p r o d u c i n g a 6 - m i c r o n d i a m e t e r , m i c r o f a b r i c a t e d t o r o i d a l s o l e n o i d u t i l i z i n g t h e M e i s s n e r e e c t .

T h e r e s u l t s m a t c h e d t h e p r e d i c t e d p h a s e s h i f t p e r f e c t l y , a n d t h e A h a r o n o v - B o h m t h o u g h t e x p e r i m e n t w a s n a l l y

v e r i e d . F o r h i s w o r k , T o n o m u r a r e c e i v e d t h e N i s h i n a M e m o r i a l P r i z e , t h e A s a h i P r i z e , t h e J a p a n A c a d e m y a n d

I m p e r i a l P r i z e , a n d t h e B e n j a m i n F r a n k l i n M e d a l i n P h y s i c s .

6


7/8

P a t t e r n s h i f t i n T o n o m u r a e x p e r i m e n t .

T h e A h a r o n o v - B o h m E e c t a n d W e y l ' s G a u g e T h e o r y

I n t h e p a t h i n t e g r a l a p p r o a c h t h a t w e u s e d t o d e r i v e t h e A h a r o n o v - B o h m p r e d i c t i o n , a f a c t o r a p p e a r s t h a t i s

a s s o c i a t e d w i t h t h e a c t i o n t e r m . I t i s

exp

iq

c

Adx

( I h a v e r e s t o r e d t h e s c a l a r p o t e n t i a l t e r m . ) I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t t h i s s a m e t e r m a p p e a r s a s a c o n s e q u e n c e o f

a t h e o r y H e r m a n n W e y l d e v e l o p e d i n 1 9 1 8 , i n w h i c h h e a t t e m p t e d t o u n i f y t h e g r a v i t a t i o n a l a n d e l e c t r o m a g n e t i c

e l d s u s i n g a g e n e r a l i z a t i o n o f E i n s t e i n ' s 1 9 1 5 g r a v i t y t h e o r y . I n W e y l ' s t h e o r y , t h e t e r m a p p e a r s a s a s c a l i n g f a c t o r

f o r t h e m e t r i c t e n s o r g o f R i e m a n n i a n g e o m e t r y , w h i c h d e t e r m i n e s t h e l e n g t h o r m a g n i t u d e o f v e c t o r q u a n t i t i e s .W e y l ' s t h e o r y p r o d u c e d a v a r i a n t o f E i n s t e i n ' s g r a v i t a t i o n a l e l d e q u a t i o n s t h a t i n i t i a l l y a p p e a r e d t o b e o f g r e a t

i m p o r t a n c e w i t h r e g a r d t o t h e d e s c r i p t i o n o f e l e c t r o m a g n e t i s m a s a p u r e l y g e o m e t r i c c o n s t r u c t . U n f o r t u n a t e l y ,

t h e t h e o r y r e q u i r e d t h a t t h e R i e m a n n i a n l i n e e l e m e n t , ds2 = gdxdx, b e i t s e l f r e s c a l e d f r o m p o i n t t o p o i n t

i n s p a c e - t i m e . A s E i n s t e i n h i m s e l f p o i n t e d o u t , t h i s w o u l d m e a n t h a t c e r t a i n p r o p e r t i e s o f m a t t e r w o u l d c h a n g e

f r o m p o i n t t o p o i n t a n d f r o m o n e t i m e t o t h e n e x t , a n d t h u s h a v e d i e r i n g h i s t o r i e s a s t h e y m o v e d t h r o u g h a n

e l e c t r o m a g n e t i c e l d . I n p a r t i c u l a r , t h e l i n e s p a c i n g s o f a t o m i c s p e c t r a , w h i c h o f c o u r s e a r e x e d , w o u l d c h a n g e

w i t h t i m e . F u r t h e r m o r e , s i n c e t h e q u a n t i t y /mc2 h a s u n i t s o f t i m e , e v e n t h e m a s s o f p a r t i c l e s w o u l d h a v e t o c h a n g e a s t h e y p r o p a g a t e t h r o u g h a n e l e c t r o m a g n e t i c e l d .

I n a t t e m p t i n g t o a v e r t d i s a s t e r , W e y l s o u g h t t o s o m e h o w x t h e s c a l i n g o f t h e m e t r i c t e n s o r g s o t h a t a p p r o p r i a t e p h y s i c a l q u a n t i t i e s w o u l d b e r e m a i n i n v a r i a n t . I n c o n s i d e r a t i o n o f t h e t r a n s f o r m a t i o n

g exp

iq

c

Adx

g

W e y l n o t e d t h a t

g w o u l d r e m a i n u n c h a n g e d i f

q

c

Adx

= 2n

T h i s i d e a a p p e a r e d w o r k a b l e , a n d L o n d o n u s e d i t t o d e r i v e t h e e l e c t r o n o r b i t s i n t h e B o h r a t o m i c m o d e l . B u t ,

h a v i n g c o n c e d e d t o E i n s t e i n ' s a r g u m e n t , W e y l e v e n t u a l l y a b a n d o n e d h i s t h e o r y .

B u t W e y l n e v e r g a v e u p o n h i s b a s i c p r e m i s e , w h i c h w a s t h a t r e s c a l i n g ( w h i c h h e c a l l e d a g a u g e t r a n s f o r m a t i o n )

w a s s u c h a b e a u t i f u l i d e a t h a t n a t u r e m u s t s u r e l y t a k e a d v a n t a g e o f i t . I n a s e m i n a l p a p e r p u b l i s h e d i n 1 9 2 9 ,

W e y l a p p l i e d h i s g a u g e i d e a t o q u a n t u m m e c h a n i c s , w h e r e i t f o r e v e r c h a n g e d p h y s i c s . T o d a y , t h e c o n c e p t o f g a u g e

i n v a r i a n c e ( t h e i n v a r i a n c e o f p h y s i c a l l a w s w i t h r e s p e c t t o a r e s c a l i n g o f t h e w a v e f u n c t i o n ) i s o n e o f t h e f o u n d a t i o n s

o f a l l m o d e r n t h e o r i e s o f t h e s t r o n g , w e a k a n d e l e c t r o m a g n e t i c i n t e r a c t i o n s . A n d i t i s n o t b e y o n d t h e r e a l m o f

p o s s i b i l i t y t h a t W e y l ' s i d e a s m a y y e t b e i n s t r u m e n t a l i n b r i n g i n g t h e s o l e r e m a i n i n g f o r c e , g r a v i t y ( n o d o u b t k i c k i n g

a n d s c r e a m i n g ) , i n t o w h a t w e a l l h o p e w i l l b e t h e t r u e U n i e d T h e o r y o f E v e r y t h i n g .

R e f e r e n c e s

1 . Y a k i r A h a r o n o v a n d D a v i d B o h m , S i g n i c a n c e o f e l e c t r o m a g n e t i c p o t e n t i a l s i n q u a n t u m t h e o r y . P h y s i c a l

R e v i e w 1 1 5 , 1 9 5 9 , 4 8 5 4 9 1 .

7


8/8

2 . A k i r a T o n o m u r a e t a l . , E v i d e n c e f o r A h a r o n o v - B o h m e e c t w i t h m a g n e t i c e l d c o m p l e t e l y s h i e l d e d f r o m

e l e c t r o n w a v e . P h y s i c a l R e v i e w L e t t e r s ( I S S N 0 0 3 1 - 9 0 0 7 ) , v o l . 5 6 , F e b . 2 4 , 1 9 8 6 , p . 7 9 2 - 7 9 5 .

3 . F r i t z L o n d o n , Q u a n t u m - m e c h a n i c a l i n t e r p r e t a t i o n o f W e y l ' s t h e o r y . Z e i t s c h r i f t f . P h y s i k 4 2 , 1 9 2 7 .

4 . W o l f r a m R e s e a r c h , A h a r o n o v - B o h m a n i m a t i o n . h t t p : / / d e m o n s t r a t i o n s . w o l f r a m . c o m / A h a r o n o v B o h m E e c t /

8

aharonov-bohm effect

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