afgelegde weg
TRANSCRIPT
![Page 1: afgelegde weg](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021503/5875e6251a28ab0f718b4e58/html5/thumbnails/1.jpg)
Toepassingen met integralen
![Page 2: afgelegde weg](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021503/5875e6251a28ab0f718b4e58/html5/thumbnails/2.jpg)
Met behulp van integralen kunnen we oppervlaktes berekenen, maar hoe ging dat ook alweer… ?
Beschouw een functie f: IR -> IR : x -> f(x)die beschrijft hoe f(x) varieert als x verandert.We nemen bijvoorbeeld de functie f met het functievoorschrift f(x)= - 0,125x³ + 0,75x².
![Page 3: afgelegde weg](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021503/5875e6251a28ab0f718b4e58/html5/thumbnails/3.jpg)
Met integralen kunnen we oppervlaktes berekenen, maar hoe ging dat ook alweer… ?
Op de figuur zie je dat f(x) > 0 is in het interval [a, b].
Dan is de oppervlakte tussen de grafiek en de x-as in het interval [a,b] gelijk aan:
b
adx).x(fA
![Page 4: afgelegde weg](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021503/5875e6251a28ab0f718b4e58/html5/thumbnails/4.jpg)
Een uitgewerkt voorbeeld.
Bereken de oppervlakte van een stuk grond met een maximale breedte aan de straatkant van 15 m. De grens achteraan wordt beschreven met de functie f(x) = -0,05x²+20.
15
0dx).20²x05,0(A
b
adx).x(fA
15
0x203
³x05,0A
0.203
³005,015.203³1505,0A m75,243A
![Page 5: afgelegde weg](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021503/5875e6251a28ab0f718b4e58/html5/thumbnails/5.jpg)
Voorbeeld…
dx).20²x05,0()x(A
dx).x(f)x(A
cx.203³x.05,0)x(A
Bepaal nu ook de oppervlaktefunctie:
Met deze oppervlaktefunctie kan je de oppervlakte van de grond berekenen voor verschillende x-waarden (=breedtes).
De integratieconstante kan je als volgt bepalen: als de breedte van het perceel nul is, is de oppervlakte ook gelijk aan nul, dus: 0c0.203
³0.05,0 0)0(A 0c
![Page 6: afgelegde weg](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021503/5875e6251a28ab0f718b4e58/html5/thumbnails/6.jpg)
Nu kunnen we integralen ook gebruiken in een aantal toepassingen…
1. Zwaartepunt van een figuur bepalen
2. Volume van omwentelingslichamen berekenen
3. Tijdsafhankelijke processen
4. Arbeid bij variabele krachten berekenen
![Page 7: afgelegde weg](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021503/5875e6251a28ab0f718b4e58/html5/thumbnails/7.jpg)
1. Zwaartepunt van een figuur bepalen…
Voor een figuur die begrensd wordt door 2 grafieken van functies fen g in een interval [a,b], berekenen we het zwaartepunt:
dx.)x(g)x(f
dx.)x(g)x(fxZ b
a
b
ax
dx.)x(g)x(f.2
dx.)x²(g)x²(fZ b
a
b
ay
![Page 8: afgelegde weg](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021503/5875e6251a28ab0f718b4e58/html5/thumbnails/8.jpg)
Als we het gebied tussen de grafiek van een functie f en de x-asover een interval [a,b] wentelen om de x-as,
2. Volume van omwentelingslichamen berekenen…
x
yz
ab
)(xfy
![Page 9: afgelegde weg](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021503/5875e6251a28ab0f718b4e58/html5/thumbnails/9.jpg)
x
yz
ab
)(xfy
Als we het gebied tussen de grafiek van een functie f en de x-asover een interval [a,b] wentelen om de x-as,
2. Volume van omwentelingslichamen berekenen…
![Page 10: afgelegde weg](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021503/5875e6251a28ab0f718b4e58/html5/thumbnails/10.jpg)
x
yz
ab
)(xfy
Als we het gebied tussen de grafiek van een functie f en de x-asover een interval [a,b] wentelen om de x-as,
2. Volume van omwentelingslichamen berekenen…
![Page 11: afgelegde weg](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021503/5875e6251a28ab0f718b4e58/html5/thumbnails/11.jpg)
x
yz
ab
)(xfy
Als we het gebied tussen de grafiek van een functie f en de x-asover een interval [a,b] wentelen om de x-as,
2. Volume van omwentelingslichamen berekenen…
![Page 12: afgelegde weg](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021503/5875e6251a28ab0f718b4e58/html5/thumbnails/12.jpg)
x
yz
ab
)(xfy
Als we het gebied tussen de grafiek van een functie f en de x-asover een interval [a,b] wentelen om de x-as,
2. Volume van omwentelingslichamen berekenen…
![Page 13: afgelegde weg](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021503/5875e6251a28ab0f718b4e58/html5/thumbnails/13.jpg)
x
yz
ab
)(xfy
2. Volume van omwentelingslichamen berekenen…
Dan kunnen we het volume van dit omwentelingslichaamberekenen met de formule:
b
adx).x²(f.V
![Page 14: afgelegde weg](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021503/5875e6251a28ab0f718b4e58/html5/thumbnails/14.jpg)
2. Volume van omwentelingslichamen berekenen…
VOORBEELD:Bereken het volume dat ontstaat door de ingekleurde gebieden te wentelenOm de x-as:
07,537V
2
0
2 dx.³)x(πV 4
2
2 dx.)x10(π
7
4
7
4
22 dx.)4x(πdx.)x10(π
65,16997,30945,57V
![Page 15: afgelegde weg](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021503/5875e6251a28ab0f718b4e58/html5/thumbnails/15.jpg)
3. Tijdsafhankelijke processen…
Tijdsafhankelijke processen zijn bijvoorbeeld: de snelheid van een wagen in functie van de tijd, de versnelling van een vliegtuig in functie van de tijd, het debiet van een rivier in functie van de tijd, …
Als we deze processen beschrijven met een functie f(t), dan merken we opdat de oppervlakte onder de grafiek een betekenis heeft:
voor een snelheidsfunctie is de oppervlakte onder de grafiek een maatvoor de afgelegde weg,
voor een versnellingsfunctie is de oppervlakte onder de grafiek een maatvoor de snelheidsverandering.
![Page 16: afgelegde weg](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021503/5875e6251a28ab0f718b4e58/html5/thumbnails/16.jpg)
3. Tijdsafhankelijke processen…
VOORBEELD:als we de snelheid van een wandelaar uitdrukken infunctie van de tijd, bijvoorbeeld v(t)= -4t³+12t,
dan is
de afgelegde weg
ofwel
En dus
dt).t(v)t(s
dt.t12³t4)t(s
c²t.6t)t(s
c2²t.124
t.4)t(s
4
4
( met c=0, want s(0)=0)
![Page 17: afgelegde weg](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021503/5875e6251a28ab0f718b4e58/html5/thumbnails/17.jpg)
3. Tijdsafhankelijke processen…
VOORBEELD:als we de versnelling van een vallend voorwerpuitdrukken in functie van de tijd, bijv.: a(t)= 9,81(een constante versnelling uitgedrukt in m/s²),
dan is
de snelheidsverandering
en dus
dt).t(a)t(v
dt.81,9)t(v
ct.81,9)t(v
( met c=0, want v(0)=0)
![Page 18: afgelegde weg](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021503/5875e6251a28ab0f718b4e58/html5/thumbnails/18.jpg)
4. Arbeid bij variabele krachten berekenen…
Voor constante krachten geldt: W = F.s W = arbeid in JF = kracht in Ns = verplaatsing in m
Wanneer de geleverde krachten echter variabel zijn in functie van de verplaatsing, dan geldt:
ds).s(F)s(W
Om de geleverde arbeid te kunnen berekenen, moeten we dus de functie van de kracht integreren. We moeten dus bepalen hoe de kracht verandertals de verplaatsing varieert.
![Page 19: afgelegde weg](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021503/5875e6251a28ab0f718b4e58/html5/thumbnails/19.jpg)
4. Arbeid bij variabele krachten berekenen…
VOORBEELD:Een kabel met een gewicht van 40 N per meter wordt afgerold van een cilinder. De kracht die hiervoor nodig is, is gelijk aan het gewicht van het reeds afgerolde stuk.Bereken de arbeid die nodig is om 10 m af te rollen.
ds.s.40ds).s(F)s(W
1. We bepalen eerst hoe de kracht verandert als de verplaatsing verandert:0 m afgerold: F= 40 N/m . 0 m = 0 N1 m afgerold: F= 40 N/m . 1 m = 40 N2 m afgerold: F= 40 N/m . 2 m = 80 Ns m afgerold: F= 40 . s
2.De geleverde arbeid berekenen we dan via
3. De arbeid om 10 m af te rollen, is dan:
J20002²0.40
2²10.40
2²s.40ds.s.40W10
0
10
0