ใบความรู้ เรื่อง...

1

นางธนาภรณ โคตรนารา โรงเรยนระยองวทยาคม

ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ

ระบบสมการเชงเสนและค าตอบของระบบสมการเชงเสน บทนยาม

ให a, b, c, d, e, f เปนจ านวนจรงใด ๆ ท a, b ไมเปนศนยพรอมกน และ c, d ไมเปนศนยพรอมกน

เรยก ax by e

cx dy f

วาเปนระบบสมการเชงเสนสองตวแปร

โดยท x และ y เปนตวแปร ค าตอบของระบบสมการนคอคาของ x และ y ทท าใหสมการทงคเปนจรง

ตวอยางท 1 จงแกระบบสมการ

x + y = 0 2x – y = 3

วธท า x + y = 0 ………..(1) x–y = 3 ………..(2)

(1)+(2) ; x + y + 2x – y = 0 + 3 3x = 3

x = 3

3 = 1

แทนคา x = 1 ในสมการ (1) จะได 1 + y = 0 y = 0 – 1 = –1 ค าตอบของสมการคอ x = 1 และ y = –1 หรอ (1, –1)

เรอง ระบบสมการเชงเสน ใบความร

2



วธการแกระบบสมการ สามารถท าได 2 วธ คอ 1) การก าจดตวแปรโดยวธการบวกลบสมการ (elimination by addition or subtraction ) ท าไดโดยการน า

สมการมาบวกหรอลบกนเพอก าจดตวแปรใหเหลอตวแปรเดยว แลวหาคาตวแปรนนจากสมการทได จากนนใหน าคาของตวแปรทไดไปแทนในสมการเดมสมการใดสมการหนง เพอหาคาของตวแปรทเหลอ

2) การก าจดตวแปรโดยวธการแทนคา (elimination by substitution) ท าไดโดยเลอกสมการใดสมการหนง แลวหาคาตวแปรใดตวแปรหนงใหอยในรปของอกตวแปรหนง น าผลทไดไปแทนในอกสมการหนง แลวจะเหลอตวแปรเพยงตวเดยว จงหาคาของตวแปรนนได เมอหาตวแปรหนงไดกจะหาตวแปรทเหลอได

ระบบสมการเชงเสนและค าตอบของระบบสมการเชงเสน ในหวขอนจะศกษาระบบสมการเชงเสน n ตวแปร โดยท n 2 บทนยาม ให 1 2 3 na ,a ,a ,...a , b เปนจ านวนจรงใด ๆ ท 1 2 3 na ,a ,a ,...a ไมเปนศนยพรอมกน เรยกสมการ

1 1 2 2 3 3 n na x a x a x ... a x b เปนสมการเชงเสน n ตวแปร โดยท 1 2 3 nx ,x ,x ,...x เปนตวแปร บทนยาม ระบบสมการเชงเสนทม 1 2 3 nx ,x ,x ,...x เปนตวแปร หมายถงชดของสมการเชงเสนทประกอบดวยสมการเชงเสนทม 1 2 3 nx ,x ,x ,...x

เปนตวแปรจ านวน m สมการ โดยท m 2

ค าตอบของระบบสมการนคอ คาของ 1 2 3 nx ,x ,x ,...x ทท าใหสมการทง m สมการเปนจรง โดยทวไปแลว เมอก าหนดระบบสมการเชงเสนทม m สมการ และ n ตวแปร 11 1 12 2 13 3 1n n 1a x a x a x ... a x b

21 1 22 2 23 3 2n n 2a x a x a x ... a x b

m1 1 m2 2 m3 3 mn n ma x a x a x ... a x b

เมอ i1 1 i2 2 i3 3 in n ia x a x a x ... a x b เปนสมการเชงเสนทก i {1, 2, 3, …, m} นนคอ

i1 i2 i3 3 in ia ,a ,a x ,...,a ,b เปนจ านวนจรงใด ๆ ท i1 i2 i3 3 in ia ,a ,a x ,...,a ,b ไมเปนศนยพรอมกน

วธแกระบบสมการ

3



ในระบบสมการเชงเสนทม n ตวแปร มกนยมแทนตวแปรดงน ถา n = 2 แลว จะให x, y แทนตวแปร ถา n = 3 แลว จะให x, y, z แทนตวแปร ถา n = 4 แลว จะให x, y, z, t แทนตวแปร ถา n 5 แลว จะให 1 2 3 nx ,x ,x ,...x แทนตวแปร อาจใช 1 2 3 nx ,x ,x ,...x แทนตวแปร กรณ n = 2, 3 หรอ 4 กได ส าหรบค าตอบของระบบสมการมกนยมเขยนในรปของ n สงอนดบ (ordered n-tuple) เชน (x, y) , (x, y, z), (x, y, z, t), ( 1 2 3 nx ,x ,x ,...x )

ตวอยางท 1 จงแกระบบสมการ x + y + z = 2 x + y – z = 4 x + 2y + z = 4

วธท า x + y + z = 2 …………………..(1) x + y – z = 4 …………………..(2) x + 2y + z = 4 …………………..(3)

(1) – (2) จะได 2z = –2

z = –1 (3) – (1) จะได y = 2 แทนคา y = 2 และ z = –1 ลงใน (1) จะได x + 2 – 1 = 2 x = 1 ดงนน ค าตอบของระบบสมการคอ (1, 2, –1)

ตรวจค าตอบโดยการน าคา x = 1 , y = 2 และ z = –1 แทนลงใน (2) และ (3) ไดคาเปนจรงทงสองสมการ

อยาลม!ตรวจค าตอบนะจะ

4



ตวอยางท 2 จงแกระบบสมการ x + y + z = –2 x – 2y – 2z = 1 x + 2y + z = 0

วธท า x + y + z = –2 …………………..(1) x – 2y – 2z = 1 …………………..(2) x + 2y + z = 0 …………………..(3)

(1) – (2) จะได (x + y + z) – (x – 2y – 2z) = –2 – 1

x + y + z – x + 2y + 2z = –3

3y + 3z = –3 y + z = –1 …………………..(4)

(3) – (1) จะได (x + 2y + z) – (x + y + z) = 0 – (–2) x + 2y + z – x – y – z = 2 y = 2 แทนคา y = 2 ลงใน (4) จะได 2 + z = –1 z = –3 แทนคา y = 2 และ z = –3 ลงใน (1) จะได x + 2 + (–3) = –2 x = –1 ตรวจค าตอบ โดยการน าคา x = –1 , y = 2 และ z = –3 แทนลงใน (2) และ (3) ไดคาเปนจรงทงสองสมการ

ดงนน ค าตอบของระบบสมการคอ (–1, 2, –3)


5




x + 2y + 7z = 10 x + y + 5z = 7 2x – y + 4z = 5

วธท า x + 2y + 7z = 10 …………………..(1) x + y + 5z = 7 …………………..(2) 2x – y + 4z = 5 …………………..(3)

(1) – (2) จะได y + 2z = 3 …………………..(4) 2(1) จะได 2x + 4y + 14z = 20 …………………..(5) (5) – (3) จะได 5y + 10z = 15 ………………….(6) 5 (4) 5y + 10z = 15 ………………….(7) (6) – (7) 0 = 0 เปนจรง ดงนน ค าตอบของระบบสมการมหลายค าตอบ 2 (4) จะได 2y + 4z = 6 …………………..(8) (1) – (8) จะได x + 3z = 4 …………………..(9)

จาก (4) จะได y = 3 – 2z และจาก (9) จะได x = 4 – 3z แทน x = 4 – 3z และ y = 3 – 2z ลงใน (3) จะได 2(4 – 3z) – (3 – 2z) + 4z = 5

5 = 5 แทน x = 4 – 3z และ y = 3 – 2z ลงใน (1) จะได (4 – 3z) + 2(3 – 2z) + 7z = 10 10 = 10 แทน x = 4 – 3z และ y = 3 – 2z ลงใน (2)

จะได (4 – 3z) + (3 – 2z) + 5z = 7 7 = 7 ดงนน x = 4 – 3z , y = 3 – 2z สอดคลองสมการ (1), (2), (3) จะไดวา ค าตอบของระบบสมการคอ (4 – 3z, 3 – 2z, z) เมอ z R หรอเซตค าตอบของระบบสมการคอ {(x, y, z) | x = 4 – 3z , y = 3 – 2z , z R} หรอ {(4 – 3z, 3 – 2z, z) | z R}

6




x + 2y – 2z = 1 2x + 2y – z = 4 3x + 4y – 3z = 6

วธท า x + 2y – 2z = 1 …………………..(1) 2x + 2y – z = 4 …………………..(2) 3x + 4y – 3z = 6 …………………..(3) (1) + (2) จะได 3x + 4y – 3z = 5 …………………..(4)

ถา (x, y, z) เปนค าตอบของระบบสมการทก าหนดแลว (x, y, z) ตองสอดคลองกบ สมการ (1), (2), (3) และถา (x, y, z) สอดคลองกบสมการ (1), (2) แลว (x, y, z) ตองสอดคลอง กบสมการ (4)

จาก (3) 3x + 4y – 3z = 6 จาก (4) 3x + 4y – 3z = 5

(3) – (4) จะได 0 = 1 เปนเทจ ซงเหนไดวา ไมม x, y, z ทท าใหสมการ (3) และ (4) เปนจรงพรอมกน ดงนน ระบบสมการทก าหนดไมมค าตอบ ตวอยางท 5 จงแกระบบสมการ 2x – y + 3z – w = –3 3x + 2y – z + w = 13 x – 3y + z – 2w = –4 –x + y + 4z + 3w = 0

วธท า 2x – y + 3z – w = –3 …………………..(1)

3x + 2y – z + w = 13 …………………..(2) x – 3y + z – 2w = –4 …………………..(3) –x + y + 4z + 3w = 0 …………………..(4)

(2) + (1) จะได (3x + 2y – z + w) + (2x – y + 3z – w) = –2 – 1

3x + 2y – z + w + 2x – y + 3z – w = 13 + (–3)

7



5x + y + 2z = 10 …………………..(5) 2(1) – (3) จะได 2(2x – y + 3z – w) – (x – 3y + z – 2w) = 2(–3) – (–4) 4x – 2y + 6z – 2w – x + 3y – z + 2w = –6 + 4 3x + y + 5z = –2 …………………..(6) 3(1) + (4) จะได 3(2x – y + 3z – w) + (–x + y + 4z + 3w) = 3(–3) + 0 6x – 3y + 9z – 3w – x + y + 4z + 3w = –9 5x – 2y + 13z = –9 …………………..(7)

5x + y + 2z = 10 …………………..(5) 3x + y + 5z = –2 …………………..(6)

(5) – (6) จะได 2x – 3z = 12 …………………..(8)

2(6) + (7) จะได 11x + 26z = –13 …………………..(9) 11(8) 22x – 33z = 132 …………………..(10) 2(9) 22x – 52z = –26 …………………..(11) (10) – (11) 19z = 158

z = 15819

แทนคา z = 15819 ลงใน (8)

จะได 2x – 3( 15819 ) = 12

x = 35119

แทนคา x = 35119 และ z = 158

19 ลงใน (6)

จะได 3x + y + 5z = 10

3( 35119 ) + y + 5( 158

19 ) = 10

y = 165319

ตรวจค าตอบ โดยการน าคา x = 35119 , y = 1653

19 และ z = 15819 แทนลงใน (2)

และ (3)ไดคาเปนจรงทงสองสมการ

ดงนน ค าตอบของระบบสมการคอ ( 35119 , 1653

19 , 15819 )


8



1) x + y – z = 2

3x – y – 2z = –1 x – 3y – 3z = 4 ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..

ใบงาน

กจกรรมท

1

ชอ

....................................................................................

...........................ชน ม.4/..........เลขท............

ค าชแจง จงแกระบบสมการตอไปน

9



2) 2x + y – z = 5 3x – 2y + 2z = –3 x – 3y – 3z = –2 ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..

10



3) 2x + 3y + z = 3 x + 2y + z = 1 –x + 4y = –2 ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..

11



4) 4x + 3y + 2z = 5 3x – y – z = 6 –x + 2y + z = 1 ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..

12



จงแกระบบสมการตอไปน 1) x + y – z = 2

3x – y – 2z = –1 x – 3y – 3z = 4

วธท า x + y – z = 2 …………………..(1) 3x – y – 2z = –1 …………………..(2) x – 3y – 3z = 4 …………………..(3)

2(1) – (2) จะได –x + 3y = 5 …………………..(4)

3(1) – (3) จะได 2x + 6y = 2 …………………..(5) (5) – 2(4) จะได 4x = –8 x = –2 แทนคา x = –2 ลงใน (4) จะได –(–2) + 3y = 5 y = 1

แทนคา x = –2 และ y = 1 ลงใน (1) จะได –2 + 1 – z = 2 z = –3 ตรวจค าตอบ โดยการน าคา x = –2 , y = 1และ z = –3 แทนลงใน (2) และ (3) ไดคาเปนจรงทงสองสมการ

ดงนน ค าตอบของระบบสมการคอ (–2, 1, –3)

วธท ามไดหลาย

วธนะจะ

ตรวจค าตอบ

หรอยงจะ

เฉลยใบกจกรรม

ท 1

13



2) 2x + y – z = 5 3x – 2y + 2z = –3 x – 3y – 3z = –2

วธท า 2x + y – z = 5 …………………..(1) 3x – 2y + 2z = –3 …………………..(2) x – 3y – 3z = –2 …………………..(3)

2(1) + (2) จะได 7x = 7 …………………..(4)

x = 1

3(1) – (3) จะได 5x + 6y = 17 …………………..(5) แทนคา x = 1 ใน (5) จะได 5(1) + 6y = 17

y = 2

แทนคา x = 1 และ y = 2 ลงใน (3) จะได 1 – 3(2) – 3z = –2 z = –1 ตรวจค าตอบ โดยการน าคา x = 1 , y = 2และ z = –1 แทนลงใน (1) และ (2) ไดคาเปนจรงทงสองสมการ ดงนน ค าตอบของระบบสมการคอ (1, 2, –1)

3) 2x + 3y + z = 3

x + 2y + z = 1 –x + 4y = –2

วธท า 2x + 3y + z = 3 …………………..(1) x + 2y + z = 1 …………………..(2) –x + 4y = –2 …………………..(3)

(1) – (2) จะได x + y = 2 …………………..(4)

(3) + (4) จะได 5y = 0 y = 0

ตรวจค าตอบ

หรอยงจะ


วธนะจะ

14



แทนคา y = 0 ใน (4) จะได x + 0 = 2 x = 2 แทนคา x = 2 และ y = 0 ลงใน (1) จะได 2(2) + 3(0) + z = 3 z = –1 ตรวจค าตอบ โดยการน าคา x = 2 , y = 0และ z = –1 แทนลงใน (2) และ (3) ไดคาเปนจรงทงสองสมการ ดงนน ค าตอบของระบบสมการคอ (2, 0, –1)

4) 4x + 3y + 2z = 5 3x – y – z = 6 –x + 2y + z = 1

วธท า 4x + 3y + 2z = 5 …………………..(1) 3x – y – z = 6 …………………..(2) –x + 2y + z = 1 …………………..(3)

(2) + (3) จะได 2x + y = 7 …………………..(4)

(1) – 2(3) จะได 6x – y = 3 …………………..(5) (4) + (5) จะได 8x = 10

x = 5

4

แทนคา x = 5

4 ลงใน (4)

จะได 2 5

4

+ y = 7

y = 7 – 5

2 = 9

2

แทนคา x = 5

4 และ y = 9

2 ลงใน (3)

จะได – 5

4

+ 2 9

2

+ z = 1

อยาลม! ตรวจ

ค าตอบทกครง

นะจะ


วธนะจะ

15



5

4 + 9 + z = 1

31

4+ z = 1

z = 1 – 31

4= 27

4

ตรวจค าตอบ โดยการน าคา x = 5

4 , y = 9

2และ z = 27

4 แทนลงใน (2) และ (3)

ไดคาเปนจรงทงสองสมการ

ดงนน ค าตอบของระบบสมการคอ ( 5

4, 9

2, 27

4 ) หรอ ( 1

14, 1

42, 3

64

)

อยาลม! ตรวจ

ค าตอบทกครง

นะจะ

เกงจง ท า

ไดหมด

เลย

ใบความรู้ เรื่อง...

Documents