ระบบสมการเชิงเส้นbencha/886204_58/ch2linearequation.pdf ·...

ระบบสมการเชงเสน Computer Science, Burapha University

1

Elementary operation

การด าเนนการขนมลฐานใชส าหรบแปลง Matrix ใหอยในรปทงายขน เชนในเรองการแปลง Matrix ใหอยในรป Normal form หรอเรองการหา Inverse matrix โดยการแปลง [A : In] ใหเปน [In : A-1] Elementary operation มใหเลอกมากมายหลายอยาง เชน •การสลบแถวใดๆ •การคณสเกลารเขาไปในสมาชกทงแถว •บวกหรอลบสมาชกแตละตวของแถวหนงกบอกแถวหนง

: i jR R

: i iR kR

: i i jR R kR

2

การใช Elementary row operation ในการหา Inverse matrix

ตวอยาง จงหา Inverse matrix ของ Matrix ตอไปนโดยใช Elementary row operation

1. ตงเปาหมายการแปลง Matrix

5 5 0 10

1 0 4 8

2 3 4 0

0 4 2 10.5

A

1:: AIIA nn

3

เราม Matrix ตงตนคอ

5 5 0 10 1 0 0 0

1 0 4 8 0 1 0 0:

2 3 4 0 0 0 1 0

0 4 2 10.5 0 0 0 1

A I

เปาหมายคอเราจะตองใช Elementary row operation แปลง Matrix ใหเปน

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

b b b b

b b b b

b b b b

b b b b

)(Ainverse

4

2. แปลง Matrix [A : I ] ใหเปนตามเปาหมาย 2.1 ท าให a11 เปน 1 ในทนเรามสามารถท าไดหลายวธเชนหารแถวท 1 ดวย a11 หรอ สลบแถว 1 กบ แถว 2 ในทนเราเลอกการหาร แถว 1 ดวย 5 จะได

5 5 0 10 1 0 0 0

1 0 4 8 0 1 0 0

2 3 4 0 0 0 1 0

0 4 2 10.5 0 0 0 1

1 1 0 2 0.2 0 0 0

1 0 4 8 0 1 0 0

2 3 4 0 0 0 1 0

0 4 2 10.5 0 0 0 1

5/1R

2.2. ท าให a21, a31, และ a41 เปน 0 โดยการ 2.2.1 แถว 2 – (แถว 1)*a21 แลวเกบไวในแถว 2 2.2.2 แถว 3 – (แถว 1)*a31 แลวเกบไวในแถว 3 2.2.3 แถว 4 – (แถว 1)*a41 แลวเกบไวในแถว 4

5

1 1 0 2 0.2 0 0 0

0 1 4 6 0.2 1 0 0

0 1 4 4 0.4 0 1 0

0 4 2 10.5 0 0 0 1

1 1 0 2 0.2 0 0 0

1 0 4 8 0 1 0 0

2 3 4 0 0 0 1 0

0 4 2 10.5 0 0 0 1

12 RR

13 2RR

6

2.3 ท าให a22 เปน 1 โดยการหารแถวท 2 ดวย a22 ซงเทากบ -1

1 1 0 2 0.2 0 0 0

0 1 4 6 0.2 1 0 0

0 1 4 4 0.4 0 1 0

0 4 2 10.5 0 0 0 1

1 1 0 2 0.2 0 0 0

0 1 4 6 0.2 1 0 0

0 1 4 4 0.4 0 1 0

0 4 2 10.5 0 0 0 1

2R

7

2.4 ท าให a12, a32, และ a42 เปน 0 โดยการ 2.4.1 แถว 1 – (แถว 2)*a12 แลวเกบไวในแถว 1 2.4.2 แถว 3 – (แถว 2)*a32 แลวเกบไวในแถว 3 2.4.3 แถว 4 – (แถว 2)*a42 แลวเกบไวในแถว 4

1 1 0 2 0.2 0 0 0

0 1 4 6 0.2 1 0 0

0 1 4 4 0.4 0 1 0

0 4 2 10.5 0 0 0 1

1 0 4 8 0 1 0 0

0 1 4 6 0.2 1 0 0

0 0 8 2 0.6 1 1 0

0 0 14 13.5 0.8 4 0 1

21 RR

23 RR

24 4RR

8

2.5 ท าให a33 เปน 1 โดยการหารแถวท 3 ดวย a33 ซงเทากบ 8

1 0 4 8 0 1 0 0

0 1 4 6 0.2 1 0 0

0 0 8 2 0.6 1 1 0

0 0 14 13.5 0.8 4 0 1

1 0 4 8 0 1 0 0

0 1 4 6 0.2 1 0 0

0 0 1 0.25 0.075 0.125 0.125 0

0 0 14 13.5 0.8 4 0 1

8/3R

9


1 0 0 7 0.3 0.5 0.5 0

0 1 0 5 0.1 0.5 0.5 0

0 0 1 0.25 0.075 0.125 0.125 0

0 0 0 10 0.25 2.25 1.75 1

1 0 4 8 0 1 0 0

0 1 4 6 0.2 1 0 0

0 0 1 0.25 0.075 0.125 0.125 0

0 0 14 13.5 0.8 4 0 1

31 4RR

32 4RR

34 14RR

10

2.7 ท าให a44 เปน 1 โดยการหารแถวท 4 ดวย a44 ซงเทากบ 10

1 0 0 7 0.3 0.5 0.5 0

0 1 0 5 0.1 0.5 0.5 0

0 0 1 0.25 0.075 0.125 0.125 0

0 0 0 10 0.25 2.25 1.75 1

10/4R

1 0 0 7 0.3 0.5 0.5 0

0 1 0 5 0.1 0.5 0.5 0

0 0 1 0.25 0.075 0.125 0.125 0

0 0 0 1 0.025 0.225 0.175 0.1

11


1 0 0 7 0.3 0.5 0.5 0

0 1 0 5 0.1 0.5 0.5 0

0 0 1 0.25 0.075 0.125 0.125 0

0 0 0 1 0.025 0.225 0.175 0.1

41 7RR

42 5RR

43 25.0 RR

1 0 0 0 0.125 1.075 0.725 0.7

0 1 0 0 0.025 0.625 0.375 0.5

0 0 1 0 0.08125 0.06875 0.16875 0.025

0 0 0 1 0.025 0.225 0.175 0.1

12

1

0.125 1.075 0.725 0.7

0.025 0.625 0.375 0.5

0.08125 0.06875 0.16875 0.025

0.025 0.225 0.175 0.1

A

ไดค าตอบเปน

ทดสอบค าตอบโดย IAA 1

1000

0100

0010

0001

1.0175.0225.0025.0

025.016875.006875.008125.0

5.0375.0625.0025.0

7.0725.0075.1125.0

5.10240

0432

8401

10055

หรอไม

ถกตอง

13

รปแบบทวไปของสมการเชงเสนทไมทราบคา 2 ตว

ผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนคอคอนดบ ทท าใหสมการ (1) และ (2) เปนจรง โดยผลเฉลยสามารถมไดหนงชด หรอหลายชด หรอไมมผลเฉลยกได เชน มผลเฉลยคอ

2222121

1212111

bxaxa

bxaxa

),( 21 xx

--------------------------(1)

--------------------------(2)

242

12

21

21

xx

xx

)2,3(),1,1(

ระบบสมการเชงเสน

เมอ aij คอ สมประสทธของตวแปร i = 1, 2, …, m j = 1, 2, …, n bi คอ คาคงตวของสมการท i และ x1, x2, …, xn คอตวแปร

14

นยาม ระบบสมการเชงเสนในรปของเมทรกซ

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

n

n

m m mn n m

a a a x b

a a a x b

a a a x b

ถาใหระบบสมการประกอบดวย m สมการ และ n ตวแปร จะเขยนเปนสมการเมทรกซได คอ AX = B นนคอ

เรยกวาเมทรกซของสมประสทธตวแปร 11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

1

2

n

x

xX

x

1

2

m

b

bB

b

เรยกวาเมทรกซตวแปร เรยกวาเมทรกซคาคงตว 15

นยาม ระดบชน(Rank)ของเมทรกซ คอขนาดของเมทรกซจตรสยอยทใหญสดของเมทรกซ ทมคาดเทอรมแนนทไมเทากบศนย ตวอยาง

93

31A ม Rank เทากบ 1

001

200

032

B ม Rank เทากบ 3

6det B

5591

2308C ม Rank เทากบ 2

555

23,27

59

30,72

91

08

99det,33det,11det,0det A

17

0000

0000

0100

5310

4031

1000

4100

3211

Reduced Echelon Matrix

เมทรกซเอซลอนลดรปแบบแถว คอเอซลอนแบบแถวทหนงตวแรกของแถวใดอยทหลกใดสมาชกตวอน ๆ ในหลกนนตองเปนศนย เชน

00000

41000

60010

80401

,

1000

0100

0011

เมทรกซเอซลอนแบบแถว คอเมทรกซทสมาชกตวแรกทไมเปนศนยของแตละแถวตองเปนหนง โดยหนงตวแรกในแถวลางจะตองอยในหลกดานขวาของแถวบนและแถวทมสมาชกเปนศนยหมดจะอยแถวลางสด เชน

Rank ของเมทรกซ จะเทากบจ านวนแถวทไมเปนศนยทงหมดของเมทรกซเอซลอนลดรปแบบแถวของเมทรกซ

18

วธท า

ตวอยาง จงหา Rank ของเมทรกซทก าหนด โดยใชวธหาเมทรกซเอซลอนลดรปแบบแถว

1101

1312

1101

1312

1101

1312

1312

1101

21 RR

0000

0000

1312

1101

144 RRR

R3 R3 – R2

0000

0000

1110

1101

2 122 RRR

ดงนน Rank ของเมทรกซเทากบ 2 หมายเหต พจารณาเอซลอนแบบแถวกได

นยาม System of Non-Homogeneous Equations

ระบบสมการไมเอกพนธ คอระบบสมการทเมทรกซคาคงตวของสมการบางคาไมเทากบศนย นนคอ AX = B โดยจะเปนระบบสมการสอดคลองเมอ Rank เมทรกซสมประสทธ(A)เทากบ Rank เมทรกซแตงเตม(A:B) และเทากบหรอนอยกวาจ านวนตวแปร ถาเทากบจะมค าตอบชดเดยว และถานอยกวาจะมค าตอบหลายชดไมจ ากด แตถา Rank ของเมทรกซสมประสทธ(A)นอยกวา Rank ของเมทรกซแตงเตม(A:B) แลวจะเปนระบบสมการไมสอดคลอง

หมายเหต เมทรกซแตงเตม(Augmented Matrix) คอการแปลงเมทรกซเดมโดยการน าอกเมทรกซหนงมาตอเตมทางดานแถวหรอหลก เชน เมทรกซ A เมอน าเมทรกซ B มาตอดานแถวจะได (A:B) เปนเมทรกซแตงเตม

นยาม System of Homogeneous Equations

ระบบสมการเอกพนธ คอระบบสมการทเมทรกซคาคงตวของสมการเทากบศนย นนคอ AX = 0 โดยจะเปนระบบสมการสอดคลองเสมอ คออยางนอยสดจะม X = 0 เปนค าตอบหนงชดเรยกวาค าตอบสามญ(trivial solution) และค าตอบชดอนๆ เรยกวาค าตอบวสามญ(nontrivial solution) โดยพจารณาจากคาดเทอรมแนนทของเมทรกซสมประสทธของตวแปร(A)

ถา det(A) = 0 จะมชดค าตอบหลายค าตอบไมจ ากด

แตถาไมเทากบศนยจะมค าตอบสามญค าตอบเดยว คอ ศนย

การหาค าตอบของระบบสมการเชงเสนดวยเมทรกซ

วธการหาค าตอบของระบบสมการเชงเสนม 3 วธคอ 1. ใช Inverse matrix เหมาะกบระบบทมสมการจ านวนไมมาก (2 - 3 สมการ) 2. ใช Cramer’s rule เหมาะกบระบบทมสมการจ านวนไมมาก 3. ใชวธการของ Gaussian Elimination ซงเหมาะกบระบบทมสมการจ านวนมาก

21

ทฤษฎบท ถาระบบสมการเชงเสนในรปของสมการเมทรกซ คอ AX = B และ A เปน Non-singular Matrix ซงม A-1 เปนเมทรกซผกผนแลว

BAX 1หมายเหตระบบสมการเชงเสนทหาค าตอบโดยวธเมทรกซผกผน จะเปนระบบสมการทมค าตอบเพยงชดเดยว นนคอ Rank ของเมทรกซ A เทากบ [A:B] และเทากบจ านวนตวแปร ตวอยาง จงค าตอบของระบบสมการโดยใช Inverse matrix

1252

12

833

321

321

321

xxx

xxx

xxx

22

สมการเมทรกซ คอ AX = B เปนสมการไมเอกพนธม det(A) = 26 โดย Rank ของ A = 3 เทากบจ านวนตวแปร ดงนนจงเปนสมการสอดคลองทมค าตอบเดยว เลอกหาค าตอบโดยวธเมทรกซผกผน

วธท า หา det(A) = 26 และหา A-1 จาก

1

1

8

3

2

1

x

x

x3 1 3

1 2 1

2 5 2

ซง

adjAA

Adet

11

T

adjA

765

13013

941

ดงนน 1

1 13 51

4 0 626

9 13 7

A

ค าตอบ 1

1 13 5 8 26 11 1

4 0 6 1 26 126 26

9 13 7 1 52 2

X A B

จากโจทยจะไดวา A = , X = , B =

23 2,1,1 321 xxxนนคอ

Cramer’s Rule ระบบสมการเชงเสนในรปสมการเมทรกซ AX = B ทม n สมการและ n ตวแปร ซง A เปน Nonsingular matrix แลวระบบสมการเปนระบบสมการสอดคลองทมค าตอบเพยงชดเดยว หาไดจาก

เมอ Ai คอเมทรกซทแปลงมาจากเมทรกซ A ทแทนหลกท i ดวย เมทรกซคาคงตว B

niA

Ax i

i ,...,2,1;det

det

ตวอยาง จงหาค าตอบของระบบสมการ

423

24654

18642

321

321

321

xxx

xxx

xxx

วธท า สมการเมทรกซ คอ AX = B เปนสมการไมเอกพนธม det(A) = 6 โดย Rank ของ A = 3 เทากบจ านวนตวแปร ดงนนจงเปนสมการสอดคลองทมค าตอบเดยว เลอกหาค าตอบโดยวธ Cramer’s rule

หา

niA

Ax i

i ,...,2,1;det

det

18

413

2454

1842

det,12

243

6244

6182

det,24

214

6524

6418

det 321

AAA

ดงนนค าตอบของระบบสมการ คอ

36

18

det

det,2

6

12

det

det,4

6

24

det

det 3

32

21

1

A

Ax

A

Ax

A

Ax

ตวอยาง จงหาค าตอบของระบบสมการ โดยวธการ Gaussian Elimination

2 2 3 8

2 3 4 7

4 2 11

4 5 2 4 28

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

วธท ำ 1. เขยนโจทยใหอยในรป Matrix

1 2 2 3 8

2 3 4 1 7

1 4 1 2 11

4 5 2 4 28

x

y

z

w

26

Gaussian Elimination คอการหาค าตอบของระบบสมการ โดยการด าเนนการขนมลฐานกบเมทรกซแตงเตมสมประสทธของตวแปรดวยคาคงตวของระบบสมการ ใหเปนเอซลอนเมทรกซแบบแถว ซงสมมลกบเมทรกซเดม ความสมพนธของสมประสทธตวแปรในแตละแถวยงเหมอนเดม ดงนนค าตอบจากระบบสมการของเมทรกซเอซลอนทคดดวยการแทนคายอนกลบ(Back – Substitution) จงเปนค าตอบของระบบสมการ

2. สรำง Augmented matrix โดยน ำเมทรกซสมประสทธมำตอกบเวกเตอรคำคงตว

1 2 2 3 8

2 3 4 1 7

1 4 1 2 11

4 5 2 4 28

3. ตงเปำหมำยของกำรแปลง Matrix ใหอยในรป

1 ... ... ... ...

0 1 ... ... ...

0 0 1 ... ...

0 0 0 1 ...

27

โดย … ใน Matrix นหมำยถงเลขอะไรกได

4. ท ำ Elementary row operation เพอแปลงให Augmented matrix กลำยเปนเมทรกซเปำหมำยโดยใช Row operation

4.1 ท ำให a11 เปน 1 โดยกำรหำรแถว 1 ดวย a11 (ในทนไมตองท ำเพรำะ a11

เปน 1 อยแลว)

4.2 ท ำให a21, a31, และ a41 เปน 0 โดย

1 2 2 3 8

0 7 0 5 23

0 6 3 5 19

0 3 6 8 4

1 2 2 3 8

2 3 4 1 7

1 4 1 2 11

4 5 2 4 28

12 2RR

13 RR

14 4RR

28

4.3 ท ำให a22 เปน 1 โดยกำรหำรแถว 2 ดวย a22

1 2 2 3 8

0 1 0 5 / 7 23/ 7

0 6 3 5 19

0 3 6 8 4

1 2 2 3 8

0 7 0 5 23

0 6 3 5 19

0 3 6 8 4

7/2 R

4.4 ท ำให a32, a42 เปน 0 โดยกำร

1 2 2 3 8

0 1 0 5 / 7 23/ 7

0 6 3 5 19

0 3 6 8 4

1 2 2 3 8

0 1 0 5 / 7 23/ 7

0 0 3 5 / 7 5 / 7

0 0 6 41/ 7 41/ 7

23 6RR

24 3RR

29

4.5 ท ำให a33 เปน 1 โดยกำรหำรแถว 3 ดวย a33

1 2 2 3 8

0 1 0 5 / 7 23/ 7

0 0 3 5 / 7 5 / 7

0 0 6 41/ 7 41/ 7

3/3 R

1 2 2 3 8

0 1 0 5 / 7 23/ 7

0 0 1 5 / 21 5 / 21

0 0 6 41/ 7 41/ 7

4.6 ท ำให a43 เปน 0 โดยกำร

1 2 2 3 8

0 1 0 5 / 7 23/ 7

0 0 1 5 / 21 5 / 21

0 0 6 41/ 7 41/ 7

1 2 2 3 8

0 1 0 5 / 7 23/ 7

0 0 1 5 / 21 5 / 21

0 0 0 31/ 7 31/ 7

34 6RR

30

5. ค ำนวณค ำตอบจำก Matrix ทไดโดยวธแทนคำกลบ (Back substitution)

5.1 จำกสมกำรท 4 เรำจะได w = -1

5.2 จำกสมกำรท 3 เรำจะได

5 5

21 21z w z = 0


5 23

7 7y w y = 4


2 2 3 8x y z w x = 3

ดงนนเรำไดค ำตอบเปน x = 3, y = 4, z = 0, w = -1

31

ตวอยาง จงหาค าตอบของระบบสมการโดยวธการ Gaussian Elimination

1 2 3 4

2 4

1 2 3 4

1 2 3 4

3 0

2 2 5

2 2 4

2 4 2 8 5

x x x x

x x

x x x x

x x x x

วธท า สมการเมทรกซ คอ AX = B เปนสมการไมเอกพนธม det(A) = 0

หา Rank ของ A และ [A:B] พจารณาจากเมทรกซเอซลอนแบบแถว

3 3 1

4 4 1

3 322

4 4 2

1 1 1 3 0 1 1 1 3 0

0 2 0 2 5 0 2 0 2 5:

21 1 2 2 4 0 0 1 1 4

2 4 2 8 5 0 2 0 2 5

1 1 1 3 0 1 1 1 3 0

5 50 1 0 1 0 1 0 1

2 222

0 0 1 1 4 0 0 1 1 4

0 2 0 2 5 0 0 0 0 0

R R RA B

R R R

R RRR Echclo

R R R

n Matrix

จะได Rank ของ A เทากบ [A:B] เทากบ 3 ซงนอยกวาจ านวนตวแปร ดงนนระบบสมการเปนแบบไมขดแยง(สอดคลอง) ทมค าตอบจ านวนหลายชดไมจ ากด เลอกหาค าตอบโดยวธขจดแบบเกาส คอท าให [A:B] เปนเอซลอนลดรปแบบแถว

จากเอซลอนเมทรกซแบบแถวของ[A:B]ด าเนนการขนมลฐานตอใหเปนแบบลดรป

1 1 2

1 1 3

51 1 1 3 0 1 0 1 2

25

50 1 0 10 1 0 12

20 0 1 1 4

0 0 1 1 40 0 0 0 0

0 0 0 0 0

131 0 0 3

2

50 1 0 1 Re

2

0 0 1 1 4

0 0 0 0 0

Echclon Matrix R R R

R R R duced Echclon Matrix

35

ระบบสมการทสมมลกบเอซลอนแบบลดรป คอ 1 4

2 4

3 4

133

2

5

2

4

x x

x x

x x

ให x4= k จะไดค าตอบทงหมดของระบบสมการ คอ

4 3

2 1

, 4

2.5 , 6.5 3

x k x k

x k x k

หรอเขยนเปน vector form

6.5 3 6.5 3

2.5 2.5 1

4 4 1

0 1

k

kX k

k

k

เมอ k เปนคาคงตว

ตวอยาง จงหาค าตอบของระบบสมการ 2 5 3 0

4 4 0

4 2 0

x y z

x y z

x y

วธท า ระบบสมการเปนระบบสมการเอกพนธทม det(A) = 0 ดงนนค าตอบสามญ(trivial solution) คอ ศนย หาค าตอบชดอน ๆ โดยวธขจดแบบเกาส

2 2 111

3 3 1

5 3 5 31 0 1 0

2 5 3 0 2 2 2 24

: 4 4 1 0 4 4 1 0 0 14 7 042

4 2 0 0 4 2 0 0 0 12 6 0

R R RRA B R

R R R

22 3 3 2

5 3 5 31 0 1 0

2 2 2 2

1 10 1 0 12 0 1 0

14 2 2

0 12 6 0 0 0 0 0

RR R R R

เปนระบบสมการทสมมลกบระบบสมการเดม ดงนนค าตอบของระบบสมการคอ

5 30

2 2

10

2

x y z

y z

, ,2 4

k kz k y x เมอ k เปนคาคงตว

ตวอยาง จงหาค าตอบของระบบสมการ 1 2 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4

2 0

4 0

2 3 0

4 4 0

x x x

x x x x

x x x x

x x x

วธท า เปนระบบสมการเอกพนธ หาค าตอบโดยวธขจดแบบเกาส

2 2 1

2 4

3 3 1

1 2 0 1 0 1 2 0 1 0 1 2 0 1 0

44 1 1 1 0 0 9 1 5 0 0 1 4 4 0:

1 2 1 3 0 0 0 1 4 0 0 0 1 4 0

0 1 4 4 0 0 1 4 4 0 0 9 1 5 0

R R RA B R R

R R R

2 2 4 4 2 4 3

1 2 0 1 0 1 2 0 1 0 1 2 0 1 0

0 1 4 4 0 0 1 4 4 0 0 1 4 4 09 37

0 0 1 4 0 0 0 1 4 0 0 0 1 4 0

0 9 1 5 0 0 0 37 41 0 0 0 0 107 0

R R R R R R R

เปนระบบสมการทมคา Rank ของ A เทากบ 4 และ Rank [A:B] เทากบ 4 แสดงวาระบบสมการมเพยงค าตอบเดยว คอ ศนย(trivial solution)

ระบบสมการเชิงเส้นbencha/886204_58/ch2linearequation.pdf ·...

Documents