การใช้ทฤษฎี castigliano’s หาผลเฉลยที่ ... ·...

RSU JET Vol. 16, No. 2, 2013 บทความวชาการ

- 41 -

การใชทฤษฎ Castigliano’s หาผลเฉลยทแทจรงของการเสยรป ในชนสวนทมขนาดพ นทหนาตดไมคงท

(An Extension of Castigliano’s Theorem to Finding Exact

Solutionof Deformation of Parts with Varying Cross-Sections)

ตอศกด อทยไขฟา1) ณฐชานนท องศเศรณ

2)

1) ภาควชาวศวกรรมอตสาหการ วทยาลยวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยรงสต 2) ภาควชาวศวกรรมอตสาหการ คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยปทมธาน

Email: [email protected]

บทคดยอ

บทความนเปนการอธบายถงการน าทฤษฎ Castigliano ไปใชแกปญหาการหาขนาดการเสยรปทเกดขนในชนสวนทมพนทหนาตดไมคงทของชนสวนรบแรงรปตว C(Channel) ยาว 1 m เชอมตดกบเสารปตว T สง 4 m การพสจนทฤษฎกระท าโดยใชหลกการของทฤษฎอนรกษพลงงานและ Calculus ผลการค านวณทางทฤษฎพบวาคานรปตว c มระยะ Deflection คดเปนรอยละ 2.97 ของการเสยรปทงหมดของระบบ และเสารปตว T มระยะการ Deflection คดเปนรอยละ 96.94 สวนกรณการเกด Axial Load ในคานชนท1 คดเปนรอยละ 0.0884 ค ำส ำคญ : ทฤษฎ Castigliano, การหาผลเฉลยทแทจรง, พนทหนาตดไมคงท

Abstract

The work under study consists of one-meter C-Channel beam welded with a four meter T section beam. The validation of the model is made through the Castigliano’s theorem in conjunction with calculus. The calculations show that the C-Channel contributes 2.97% of the whole deformation under deflection leaving the rest, 96.94%, to the T-beam. Under axial load the proportion of the C-Channel reduces to 0.0884%. Keywords : Castigliano’s Theorem, Finding Exact Solution, Varying Cross-Sections.

mailto:[email protected]


- 42 -

1. บทน า ในโอกาสครบรอบ 129 ปการจากไปของ Carlo Alberto Castigliano นกคดทฤษฎและวศวกรหนมผมอายส นเพยง 37 ป กบความสามารถในการคดทฤษฎซงมผ สามารถน าไปตอยอดไดมากมาย บทความนจะกลาวถงทฤษฎและตวอยางของการหาคาการเสยรปใน column รปตว c ซงมพนทหนาตดไมคงตว จะเหนไดวาชนสวนทวไปทมพนทหนาตดเทากนตลอดนน ไดมผหาสตรการเสยรป และความเคนทเกดขนไวใชงาน ดงจะพบไดในตารางทายของเลมหนงสอทวไปทเ กยวกบงานทางดานน ส าหรบในบางกรณทวศวกรผออกแบบไดออกแบบใหชนสวนมความแขงแรงยงขน หรอบางกรณเปนออกแบบเพอใหประหยดขนอาจท าใหรปทรงตางๆมหนาตดไมสม าเสมอเหมอนในตาราง การหาขนาดของการเสยรปจะท าไดยากขน ทฤษฎ Castigliano ไดเขามามบทบาทในกรณน

ส าหรบตวทฤษฎไดถกแยกออกเปน 2 ทฤษฎ อยางไรกตามเมอกลาวถงทฤษฎท 2 ซงเปนทฤษฎทกลาวถงการเสยรป โดยอางองตาม [1] กลาววา ส าหรบระบบแบบอลาสตกใดๆทอยภายใตจดรองรบทแขงเกรง ถามแรงกระท าจากภายนอกขนาด F1, F2, …, Fn (รวมทงโหลดแบบกระจายและโหลดจากความเคนทเกดจากอณหภมดวย) กระท ากบระบบดงกลาว สามารถหาระยะการขจดของจดทมแรงกระท าไดจากความสมพนธดงสมการ

F

Uq

i

i

, ni ..., ,3 2, 1, (1)

เมอ iq ขนาดของการเสยรป U ฟงกชนของพลงงานภายในของระบบ iF โหลดทกระท ากบระบบ

2. ทฤษฎ Castigliano ทฤษฎ Castigliano มรากฐานอยบนทฤษฎของการอนรกษพลงงานและมการพสจนไดหลายชองทางแตใน

บทความนจะแสดงการพสจนในบรบทของทฤษฎทางกลศาสตรรวมกบแคลคลส โดยมขนตอนดงน ล ำดบท 1 สมมตใหระบบ(System) ถกตรงอยกบทโดยจดรองรบทแขงเกรง(Rigid Supports)

ขนท 1 ใหระบบถกกระท าดวยแรง nFFF ,...,, 21

เนองจากทฤษฎ Castigliano เคารพกฏของเทอรโมไดนามกส [2] ดงนนจะไดวา PEKEUWQ 2,12,1 (2) เมอ 2,1Q ความรอนท State1 ส State2 2,1W งานทเกดขนจากท State1 ส State2 U พลงงานภายในเปลยนแปลงของระบบ KE พลงงานจลนทเปลยนแปลงของระบบ PE พลงงานศกยทเปลยนแปลงของระบบ ถาระบบถก Fixed อยกบทดงน นจงไมมการเปลยนแปลงพลงงานจลนและพลงงานศกย และถาเปนระบบ Adiabatic ดงนนจะไมมการเปลยนแปลงของความรอน สมการ(2)จะลดรปลงเหลอ UW 2,1 ถางานภายนอกทกระท ากบระบบเปนการเพมพลงงานภายในใหแกระบบ เราอาจเขยนใหมเพอความสะดวกในรปของ Differential ดงน dUdW (3)

จากนยามของงานเทากบแรงคณระยะทางการเคลอนทในแนวแรงจะได FdxdW FdxW (4)

แตจาก kkxF เมอ k คาคงทของการยดตววสดในชวงอลาสตก

222

2

0

Fkk

dkW (5)


- 43 -

F1

F2

Fn

FJ FJ

Fn F1

F2

1 1

2

n

j

2

n

dFJ

j

F1

F2

Fn

Fj dFj

2

n 1

j dFj

ถาระบบถกแรงภายนอกกระท าท งหมด n แรง สมการ(5) จะเขยนไดใหมเปน

2222211 nnFFF

W

... (6)

หรอเขยนในรปฟงกชนไดเปน nn FFFUFFFfW ,...,,,...,, 2121 (7)

ขนท 2 เพมแรงเลกๆขนาด jdF เพยง 1 แรงเทานนเขาไปทแรง jF ดงนนพลงงานภายในของสมการ(7) จะเขยนไดใหมเปน

njj FdFFFFUUs ...,,..., 211 หรอในทางคณตศาสตรเขยนไดใหมเปน

dUUUs 1 (8) เมอ 1sU พลงงานภายใน ใน step1 แตจาก Elementary Calculus คา Total Differential จะหาได

รปท 1 แสดงการใหแรงกระท าในขนตอนท 1 โดยใหแรงขนาดใหญกอนแรงขนาดเลก

รปท 2 แสดงการใหแรงกระท าในขนตอนท 2 โดยใหแรงขนาดเลกกอนแรงขนาดใหญ


- 44 -

จากสตร

j

j

dFF

UdU

ดงนนสมการ(8) เขยนไดใหมเปน

j

j

dFF

UUU s

1 (9)

ล ำดบท 2 ขนท 1 ใหแรงเลกๆ ขนาด jdF กระท ากบระบบกอนแรงขนาดใหญ (ดรปท2) ดงนนงานทเกดจากแรงขนาดเลกๆ jdF นจะหาไดจากสมการ

2

jddFdW

j (10)

ขนท 2 ในขนนถาใหแรงขนาดใหญๆ ขนาด

nj FFFF ,...,...,, 21 กระท ากบระบบเหมอนทเคยกระท าในล าดบท 1 (แตกระท าตอจากแรงขนาดเลก) จะไดสมการของงานดงสมการ

222

2211 jjFFFW

...

jj

n dFFn

2

... (11)

งานภายนอกทงหมดทกระท ากบระบบจะไดจากการรวมสมการ(10) และสมการ(11 )เขาดวยกน

222

22112

jjFFFWs

...

22

jjjj

ddFd

FFnn

... (12)

2

jj

jj

ddFdFU

(13)

แตจากงานเทากบพลงงานดงนน 22 ss UW อยางไรกตามพลงงานภายในของระบบจะไม

ขนอยกบล าดบกอนหลง (Sequent) ของแรงกระท า ดงนนสมการ(9)เทากบสมการ(13)

j

j

jj

j

dFd

UdFF

UU

2

j

j

jj

j

dFd

dFF

U

2

2j

j

j

d

F

U

ถา j

j

jd

d

j

2lim

0ดงนนจะได

j

jF

U

(14)

3 การประยกตทฤษฎสหลกการทางกล กราฟความสมพนธของงานในการเสยรปบน

ชวงอลาสตกแสดงในรปท 3 จากสมการท (14) มความหมายส าคญทบอกวา ถา

มสมการของพลงงานภายในทเกดจากโหลดตางๆแลวละก เราจะสามารถหาขนาดของการเสยรปทเกดจากโหลดชนดนนไดโดยการดฟเฟอรเรนชเอทสมการพลงงานเทยบกบโหลดชนดน น อยางไรกตามพลงงานภายในของระบบดงกลาวขางตนจะสามารถสะสมไวไดใน 4 รปแบบคอ 1 Axial strain 2 Bending Strain 3 Shear Strain และ 4 Torsion Strain ซง derived มาจากสตรตางๆดงน

1. Axial Energy จากรปท 4 ความเคนและความเครยดของแกน (Axial) ทจดใดๆจะหาไดจากสมการทวไปทเปนฟงกชนของระยะ z

zA

zFz (15)

dz

dz

(16)

แตจาก Hooke’s Law E (17)

dz

dzE

zA

zF (18)

dzzEzA

zFd (19)


- 45 -

21

jjFA

dFj

0

dj j

Fj

jjdFA 2

23

jjddFA

F

F

L

dzzEzA

zF

0 (20)

ถาฟงกชนทกตวในอนทแกรนดลดรปลงเปนคาคงทจะได

L

AE

FLdz

AE

F

0 (21)

จาก A

F , dAdF zz (23)

จาก dz

d z , dzd zz (24)

ส าหรบพลงงานภายในของ Volume Element, dV ทยดตวออกในแกน z เปนระยะ zd จะหาไดจาก

2

zdFddWdU

(22)

แทนสมการ (23) และ (24) ในสมการ (22)

2

dzdxdydW zz

(25)

รปท 3 แสดงกราฟของงานทเกดขนจากการเสยรป

รปท 4 แสดงความสมพนธระหวางการเสยรปกบพลงงานความเครยด

F


- 46 -

dV

EdVdW zzzz

22

/

dUdVE

2

2 (26)

หรอเขยนในกรณทวไปทความเคนและโมดลสเปนฟงกชนของ z ไดเปน

dVzE

zdU

2

2 (27)

dzdxdyzEzA

zFdV

zE

zA

zF

UA

V

2

2

2

22

dz

zEzA

zFU

2

2

(28)

ส าหรบพลงงานภายในชนดท 2, 3 และ 4 จะขอน าสตรส าเรจมาใชแทนลงในสมการทวไปทมรปคลายกบสมการ(28) สวนทมาของแตละสตรจะขออธบายในโอกาสตอไปหรอสามารถหาอานไดจากหนงสอ Mechanics ทวไป

2. Bending Energy จากรปท 5 คานทถกดดดงรปจะเกด Bending Moment ขน โดยมความสมพนธกบ Axial Stress ดงสมการ

zI

yzMz (29)

dVzE

zI

yzM

dVzE

zdU M 22

2

2

dV

IzE

yM

z

z

2

22

2 (30)

dAdzzIzE

yzMU

AM 2

22

2 (31)

แตจาก IdAy 2 (32)

dz

zIzE

zMU M 2

2

(33)

รปท 5 แสดงการเกด Bending Moment ในคาน

รปท 6 แสดงความสมพนธระหวาง Bending Moment กบ Normal Stress ทเกดขนในคาน


- 47 -

3. Transverse Shear Energy

ในกรณของความเคนเฉอนจะแทนดวย และคาคงทจะแทนดวย G และมความสมพนธของความเคนเฉอนเปนไปตามสมการ

It

VQ (34)

A

dAdzIt

VQ

dVUGGV

S 22

2

2

L

dzdAt

Q

GI

V

A02

2

2

2

2 (35)

เนองจาก 0A ดงนนถาคณสมการ(35)ดวย A

A จะได

L

dzGA

VfU s

S

0

2

2 (36)

หรอเขยนในเทอมทวไปไดเปน

L

dzzAzG

VfU

zzszS

0

2

2

เมอ

A

dAyt

Qf

zyzS 2

2,

= Form Factor for Shear (37) zV แรงเฉอน zG Shear Modulus

AydyyytzyQ

topy

y

, (38)

N.A. zM dz

dz

zdMzM

z

1

z

2

zy

ytop

y

dy

dz dz

ytop

t(y)

y

dy

N.A.

รปท 7 แสดงการกระจายของ Normal Stress ทเกดขนจาก Bending Moment

รปท 8 แสดงสวนหนงของหนาตดจากแกนสมดลเปนระยะ y และมการสมดลในแกน x

dz

dz

zdMzM

dz

N.A. zM


- 48 -

a b

dz

Distribution of Shear Stress

Twisted End

Fixed End z

4 Torsion Energy พจารณารปท 10 กรณการเกด Torsion จะมสมการ ดงน

dz

dG

(39)

แต GJ

T

dz

d

(40)

ดงนน J

T (41)

เมอแทน(40)และ(41)ในสมการ(39) จะไดเปน

A

JdAdzdV

GU

G

T

VT 2

2

2

2

L

A

dzdAGJ

T

0

22

2

2

dzddGJ

TL

0 0

2

0

22

2

2

dzdGJ

TL

0 0

32

22

2

(42)

แต Jd

32 (43)

dzGJ

TU

L

T 0

2

2 (44)

หรอเขยนในเทอมทวไปไดเปน

dz

zJzG

TzU

Lz

T 0

2

2 (45)

รปท 9 แสดงตวอยางการกระจายตวของความเคนเฉอนเปนรปทรงพาราโบลาบนหนาตดสเหลยมผนผา

รปท 10 a) แสดงการเสยรปจาก Torque และ b) การแจกแจงของ Shear Stress ทเกดขน


- 49 -

4 การออกแบบและการค านวณ ชนสวนดงรปท 11 รบแรงกดขนาด 200 kg จะม Deflection เกดขนดงน

รปท 11 แสดงมตของคานและต าแหนงทแรงกระท า

รปท12 แสดง Free Body Diagram ของชนสวนชนท 1, Shear Force และ Bending Moment


- 50 -

i

ifhz

l

hhzh

1

(46)

161166

z 1610

1

z (47)

i

ii

A

Ayy

(48)

11215

112

121550

zh

zhzh

.

3

512

zh

zh . (49)

รปท 13 แสดง Free Body Diagram ของชนสวนชนท 2

รปท 14 แสดงพกดตางๆของหนาตด ตว c


- 51 -

Z

3

1212

12

3

1 311 hzhbhbI z

~

2

11

2 2h

hzhbzh (50)

311

12

1215

3

1 3zh

21

111

2zh

zh

31

1212

35

zh

21

12

zhzh

3

32 3

zh (51)

3211215 zhzhA (52) จาก 2

1 yAII zz ~ (53)

21 yAII zz

~ (54)

3

32 3

1

zh

I z

22

325132

zh

zhzh

. (55)

96

252696 234

1

zh

zhzhzhzhI z

.

(56) แทน (47) ใน (56) จะได

1756000

2181500370041

z

zzzI z

87906250020710000 z (57)

1

0 11

211

1 2

l

z

dzzIzE

zM

FF

U MM

dz

zIzE

F

zMzM

dzzIzE

F

zMl

z

l

z

1

0 11

111

0 11

21

2 (58)

รปท 15 แสดงกราฟของการเกด Deflection เทยบกบความยาวของคานชนท1


- 52 -

z

27

cmN100682

1

.

100

01756000

879062500207100002181500370041001008069200

dz

z

zzzz

zz.

0710. cm เมอพลอตกราฟของฟงกชนการเกด Deflection

จะไดกราฟ ดงรปท 15 ส าหรบ Deflection ของชนสวนท 2 จะหาไดจาก

dz

zIzE

F

zMzM

F

Ul

z

MM

2

0 22

22

22

2

2

221

2

0 2

21210

ll

zz EI

ylF

EI

ylyFFl zdz

(59)

1819192 A cm2 3195519502 ..y cm

391

121319

31

2zI~

336129

192

cm4

รปท 16 แสดงเสนผานศนยกลางมวลของเสารปตว T


- 53 -

เปอรเซนตการเสยรป

ชนดของการเสยรป

2222 yAII zz ~

174318336 2 cm4 แทนคา 2y , 2zI และคา E ตาม [1] ในสมการ (59)

31382174100682

400310080692007

2

2 ..

.

M cm

ส าหรบผลของการยายแรงมากระท าท Neutral Axis ของชนสวนท 2 จะท าใหเกดการหดตวดงน

2

0 22

22

2 2

l

A dzzAzE

F

FF

U A

dz

zAzE

Fdz

zAzE

F

Fll

2

0 22

2

0 22

2

2

400

0

11 2

02 Fz

EAFdz

EA

l

A

00211018100682

40080692007

..

.

cm

ถาไมคดผลจาก Transverse Shear จะม Deflection เกดขนทงสนเทากบ

313820710002110212

... MMA

386912. cm

ระยะขจดจากปลายเดมหาไดจาก

23138220710002110 ... d

3152. cm มมทกระท ากบแนวดงหาไดจาก

465720710002110

31382.

..

.arctan

จ านวนเปอรเซนตของการเกด Deflection แสดงในรปท 17

5. สรป

เมอไมคด Transverse Shear จะพบวา ผลของ Bending Moment ในคานชนท 1 คดเปน 2.97% ของการเสยรปท งหมด และคดเปน 96.94% ส าหรบชนสวนท 2 สวนกรณการเกด Axial Load ในคานชนท1 คดเปน 0.0884% ซงถอวานอยมาก จะเหนวาการเสยรปของคานขนอยกบปจจยหลกคอทศทางทแรงกระท าและคา Second Moment of Area ของคาน โดยทการค านวณทกอยางรวมทงการเขยนรป Deflection จะตองกระท ากบแกน Neutral axis ของคานหรอชนสวนนนเปนหลก ดงรปท 18

%.94962 M

%1 97.2M

รปท 17 แสดงจ านวนเปอรเซนตของการเกด Deflection เทยบกบชนดของการเสยรป

%0884.02

A


- 54 -

6. กตตกรรมประกาศ ขอขอบคณ ดร.พษณ มนสปต ทชวยตรวจสอบ

ภาษา ผศ.ดร.วนย อวยพรประเสรฐทชวยแนะน าการใชโปรแกรมคอมพวเตอร ผศ.สน สขกรมใส(มอเยอร) อาจารยศลปชย วฒนเสย ทชวยเขยนรปและกราฟ และสดทายขอขอบคณนายกจเกษม คลายกรต ทชวยแนะน าการใชโปรแกรมคอมพวเตอรและการพลอตกราฟ

7. เอกสารอางอง [1] Boresi, Arthur P. and Omar M. Sidebottom,

“Advance Mechanics of Materials”, John Wiley & Sons, pp. 170, 1993.

[2] Kalyan Annamalai & Ishwar K. Puri., “Advanced thermodynamics engineering”, 2001.

[3] Robert L. Norton., “Machine Design An Integrated Approach”, Prentice-Hall Inc., pp. 994, 1996.

รปท 18 แสดงระยะการเกด Deflection ของคาน

การใช้ทฤษฎี castigliano’s หาผลเฉลยที่ ... ·...

Documents