1

เอกสารประกอบการสอน

รายวชา คณตศาสตรชางอตสาหกรรม

ศภมาศ ปนปญญา

คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย

มหาวทยาลยราชภฏนครปฐม

๒๕๕๗

2

บทท 1

เวกเตอร

1.1 เวกเตอร

1.1.1 นยาม

ปรมาณในโลกมสองชนด คอ ปรมาณสเกลาร (Scalar Quantity) และปรมาณเวกเตอร (Vector Quantity) โดยทปรมาณสเกลารนนระบเฉพาะขนาดเชน ระยะเวลา มวล ราคาสงของ แตปรมาณเวกเตอรนนจะระบทงขนาดและทศทาง เชน แรง ความเรว ความเรง โมเมนตม บทเรยนเรองเวกเตอรนเปนพนฐานทส าคญของวชาพนฐานทางอตสาหกรรมและวศวกรรมทกสาขา

1.1.2 สญลกษณของเวกเตอร

การเขยนปรมาณเวกเตอรจะใชรปลกศร โดยใหความยาวลกศรแทนขนาดและหวลกศรชบอกทศทาง การเขยนชอเวกเตอรตามจดเรมและจดสนสดของลกศร เชน AB

หรอ ใชตวพมพเลก (มขด

ดานบน) กไดเชน u , v , w จากภาพเวกเตอรม “ขนาด” 4 หนวย และม “ทศทาง” ท ามม 45° กบแกน x ในทศทวนเขมนาฬกา

ภาพท 1.1 การเขยนปรมาณเวกเตอร

ขนาดของเวกเตอร u เขยนเปนสญลกษณวา u เวกเตอร 2 อนจะเทากนกตอเมอ มขนาด

เทากน และมทศทางเดยวกน (ไมจ าเปนตองมจดเรมตนเดยวกนและจดสนสดเดยวกน)

ถา u = (u1, u2) เปนเวกเตอรใดๆ แลวขนาดของเวกเตอร u (magnitude of u ) จะนยามโดย

u = 1 2,u u = 2 2

1 2u u

3

ตวอยางท 1.1 จงหาขนาดของเวกเตอรตอไปน เมอ a = (3, 4) และ b = (-3, 0)

วธท า จากนยาม u = 1 2,u u = 2 2

1 2u u

a = (3, 4) b = (-3, 0)

a = 2 23 4 b = 2 23 0

a = 5 b = 3

1.2 การบวกและลบเวกเตอร

1.2.1 การบวกเวกเตอร

สามารถหาผลลพธไดสองวธ คอ หวตอหาง และหางตอหาง

การบวกเวกเตอร มสมบตเหมอนการบวกจ านวนจรงทกประการ ไดแก

1. สมบตปด คอ ถา a และ b เปนจ านวนเตมบวกใดๆ แลว a + b เปนจ านวนเตมบวก

2.สมบตการสลบท คอ ถา a และ b เปนจ านวนเตมบวกใดๆ แลว a + b = b + a หรอ u + v = v + u

3. สมบตการเปลยนกลม คอ ถา a, b และ c เปนจ านวนใดๆ แลว

a + (b + c) = (a + b) + c หรอ (u + v ) + w = u + ( v + w )

4. การมเอกลกษณ เอกลกษณการบวกของเวกเตอร คอ เวกเตอรศนย 0 เปนเวกเตอรทมขนาดศนยหนวย เชน u + 0 = u

5. การมอนเวอรส คอ นเสธของ u เขยนสญลกษณวา -u หมายถง เวกเตอรทมขนาดเทากนแตทศทางตรงขามกบ u

- หวตอหาง ใหน าเวกเตอรมาเขยนตอกน โดยเอาหางลกศรใหมมาวางตอทหวลกศรเดม เวกเตอรลพธทได คอเวกเตอรทลากจากหางแรกสด ไปถงหวลกศรปลายสด AB

+ BC

= AC

ใน

สเหลยมดานขนาน ABCD

ภาพท 1.2 การบวกเวกเตอรแบบหวตอหาง

4

- หางตอหาง ใหน าหางเวกเตอรชนกน แลวตอเตมรปใหกลายเปนสเหลยมดานขนาน เวกเตอรลพธทได คอเวกเตอรทลากจากหางทชนกน ไปสดแนวทแยงมมสเหลยมดานขนาน AB

+

AD

= AC

ในสเหลยมดานขนาน ABCD

ภาพท 1.3 การบวกเวกเตอรแบบหางตอหาง

ตวอยางท 1.2 ก าหนดเวกเตอร u และ v ดงภาพ ใหวาดรปหา u + v และ u - v โดยวธหวตอหาง และหางตอหาง

ก าหนด เวกเตอร u และ เวกเตอร v

วธท า 1. แบบหวตอหาง

2. แบบหางตอหาง

ตวอยางท 1.3 จงหา A + B เมอก าหนดให A = (4,-3) และ B = (0,5)

วธท า A + B = (4,-3) + (0,5)

A + B = (4+0,-3+5)

A + B = (4,2)

5

1.2.2 การลบเวกเตอร

เปนการบวกดวยนเสธ u - v = u + (- v ) ดงนนสามารถหาเวกเตอรลพธไดจากวธการบวก ทงสองวธ คอหวตอหาง และหางตอหาง

ขนาดของเวกเตอรลพธ หาไดจากกฎของโคไซน ซงสรปไดดงน

u v = 2 2

2 cosu v u v และ u v =2 2

2 cosu v u v

เมอมม คอมมระหวาง u กบ v และมขนาดไมเกน 180 องศา

ภาพท 1.4 กฎโคไซน

ตวอยางท 1.4 จงหา u v เมอ u กบ v ท ามมกน 0 , 90 และ 180

วธท า จากเวกเตอรลพธ u v = 2 2

2 cosu v u v

มม 0 u v = 2 2

2 cos0u v u v = u + v

มม 90 u v = 2 2

2 cos90u v u v = 2 2

u v

มม 180 u v = 2 2

2 cos180u v u v = u v

1.3 การคณเวกเตอรดวยสเกลาร

ถา A

เปนเวกเตอรใดๆ ทไมใชเวกเตอรศนย และ c เปนคาคงตวใดๆ ทไมใชศนย แลวการคณเวกเตอร A

ดวยสเกลาร c จะเขยนแทนดวยสญลกษณ c A

ซงทศทางของ c A

จะขนอยกบคาของ

c กลาวคอ

1. ถา c = 0 จะได c A

= 0

2. ถา c > 0 จะได c A

เปนเวกเตอรทมทศเดยวกนกบ A

แตมขนาดเปน c A

3. ถา c < 0 จะได c A

เปนเวกเตอรทมทศตรงขามกบ A

และมขนาดเปน c A

6

การคณดวยสเกลาร มสมบตการเปลยนกลม และการแจกแจง เชนเดยวกบจ านวนจรง นนคอ

1. c bA cb A 2. c b A cA bA 3. c A B cA cB

4. 1 A

= A

5. 0 A

= 0

ตวอยางท 1.5 ก าหนดให A

= (3,4) และ B

= (2,1) จงหาคาของ 5 A

และ -2 B

วธท า A

= (3,4) และ B

= (2,1)

5 A

= 5(3,4) -2 B

= -2(2,1)

5 A

= (5×3,5×4) -2 B

= (-2×2,-2×1)

5 A

= (15,20) -2 B

= (-4,-2)

การขนานกนของ 2 เวกเตอรเวกเตอร A

จะขนานกบเวกเตอร B

กตอเมอทง 2 เวกเตอรมระยะหางระหวางเวกเตอรเทากน ซงขนาดของเวกเตอรไมจ าเปนตองเทากน และทศทางกไมจ าเปนตองเปนทศทางเดยวกนกไดความสมพนธของ “การคณดวยสเกลาร” และ “การขนานกนของเวกเตอร”

เมอ 0u และ 0v จะไดทฎษฎวา

1. u จะขนานกบ v กตอเมอ มคา 0a ทท าใหu av

2. ถา u ไมขนานกบ v , หาก 0au bv แสดงวา a = 0 และ b = 0

ตวอยางท 1.6 ก าหนดให 4 3 2u v v w และ 3 4 2 5v w w u ถา 12w จงหาคา

u v w

วธท า 4 3 2u v v w และ 3 4 2 5v w w u

2 3 4w v v u 3 5 2 4v u w w

2w v u (1) 3 5 6v u w (2)

(1) ×3 = 6 3 3w v u น าสมการท (1)- (2)

ดงนน u = 18, v = 6 และ 12w

u v w = 18 + 6 + 12 = 36

ตวอยางท 1.7 ก าหนดให 0, 0u v และ u ขนานกบ v จงหาคา x ทท าใหสมการ

2 26 2 2x x u v x x u xv

วธท า / /u v แสดงวา สมประสทธ 0 นนคอ

7

2 26 2 2 0x x x x และ 1 0x

23 5 2 0x x

3 1 2 0x x

x 1/3, -2 และ -1

1.4 เวกเตอรกบเรขาคณต

เราสามารถใชความรเกยวกบเวกเตอร พสจนสวนประกอบของรปเรขาคณตหลายเหลยมไดรวมทงแกโจทยปญหาประเภท เขยนเวกเตอรทก าหนด ในรปผลรวมเชงเสนของเวกเตอรอนเทคนคทใชในการแกโจทยปญหาแบบน คอ

1. เขยนเวกเตอรทก าหนด ในรปผลรวมของเวกเตอรอน แบบใดกไดกอน

2. พยายามเปลยนเวกเตอรทไมตองการ เปนผลรวมของเวกเตอรทตองการ ไปทละขนๆ

3. เมอเหลอเพยงเวกเตอรทตองการแลว กจดเปนรปอยางงาย แลวจงตอบ

4. บางครงเราตองอาศยสมการเวกเตอรอน เพอชวยแปลงใหเปนเวกเตอรทตองการ

ตวอยางท 1.8 สเหลยมจตรส ABCD มจด M และ N อยทกงกลางดาน BC และ CD ตามล าดบ จงหา AB

ในเทอมของ AM

กบ AN

วธท า เรมตนเขยน AB

ในเทอมของเวกเตอรใดๆ กอน จากนนพยายามเปลยน

MB

ใหเปน AM

หรอ AN

ใหไดเชน AB

= AM

+ MB

(1)

จากรป เราเชอม MB

กบ AN

ไดดงน

AB

= AN

+ NC

+ CB

AB

= AN

+ 1

2AB

+ 2 MB

8

หรอจดสมการไดวา MB

= 1

4AB

- 1

2AN

(2)

เมอแทน (2) ลงใน (1) จะไดวา AB

= AM

+ 1 1

4 2AB AN

AB

= 4 2

3 3AM AN

1.5 เวกเตอรในพกดฉาก และเวกเตอรหนงหนวย

เวกเตอรทผานมาทงหมด เปนการมองในพกดเชงขว (Polar Coordinate) คออางถงเวกเตอรใดๆ ดวยคาขนาด (ความยาว) และทศทาง แตนอกจากนนเรายงสามารถอางถงเวกเตอรเหลานในพกดฉาก (Cartesian Coordinate) ไดดวยคาทศทางในแนวนอน x และแนวตง y ดงภาพ

ภาพท 1.5 เวกเตอรในพกดฉากในแนวนอน x และแนวตง y

1.5.1 เวกเตอรพกดฉาก (Cartesian Coordinate)ในระบบพกดฉากสองมตนน เราอาจ

เขยนสญลกษณแทนเวกเตอรใดๆ ในรป x

y

โดยท x คอความยาวจากจดเรมตนถงจดสดทายของเวกเตอรในแนวนอน

- x มคาเปนบวกแสดงวามทศไปทางขวามอ - x มคาเปนลบแสดงวามทศไปทางซายมอ

และ y คอความยาวจากจดเรมตนถงจดสดทายของเวกเตอรในแนวดง

- y มคาเปนบวกแสดงวามทศขนไปดานบน - y มคาเปนลบแสดงวามทศลงไปทางดานลาง

9

ภาพท 1.6 เวกเตอรในพกดฉาก ความยาวแนวนอนและความยาวแนวดง

ความสมพนธระหวางพกดเชงขว กบพกดฉาก

cosx r และ siny r

2 2

r x y และ tan /y x

เวกเตอรสองอนจะเทากน กตอเมอ x เทากน และ y เทากน เชน ในภาพu v

เวกเตอรสองอนจะขนานกน / /u v กตอเมอความชนเทากน (การขนานกนนน มทงแบบทศเดยวกนและทศตรงขามกน) และเวกเตอรสองอนจะตงฉากกน u v กตอเมอความชนคณกนได –1

ตวอยางท 1.9 ก าหนดใหเวกเตอร AB มจดเรมตนอยทจด A (x1,y1) และจดสดทายอยท B (x2,y2) จะไดวา

วธท า 2 1

2 1

x xAB

y y

ตวอยางท 1.10 ก าหนดใหจด A (1, 2) และ B (3, 4) แลว AB

มคาเทาใด

วธท า 2 1

2 1

x xAB

y y

แทนคา

3 1

4 2AB

2

2AB

1.5.2 เวกเตอรหนงหนวย (Unit Vector)

เวกเตอรทมขนาดเทากบหนงหนวย เวกเตอรหนวยบนระนาบทมบทบาทมาก คอ เวกเตอร i และเวกเตอร j เมอ 1,0i และ 0,1j ซงขนาดของเวกเตอร i และ j มคาเทากบ 1

นนคอ 1

0i

และ 0

1j

เราสามารถเขยนเวกเตอร a

b

ใดๆ ในรป ผลรวมเชงเสนของ i และ

j ไดดงน เชน a

b

= ai b j

10

ให 1 2,a a a = 1 2a i a j และ 1 2,b b b =

1 2b i b j จะไดวา

1. 1 2a i a j + 1 2b i b j = 1 1 2 2a b i a b j

2. 1 2a i a j - 1 2b i b j = 1 1 2 2a b i a b j

3. c 1 2a i a j = 1 2ca i ca j เมอ c เปนสเกลารใดๆ

ตวอยางท 1.11 จงหา u v และ 8 3u v เมอก าหนดให 2 3u i j และ 4 6v i j

วธท า u v = 2 3i j + 4 6i j

u v = 2 3i j

8 3u v = 8 2 3i j -3 4 6i j

8 3u v = 16 24 12 18i j i j = 28 42i j

1.6 ผลคณเชงสเกลาร

การคณเวกเตอรคหนง จะเกดผลลพธได 2 แบบ คอ

1. การคณแบบดอท (Dot Product) u v ใหผลลพธเปนสเกลาร (ตวเลข) หรอเรยกวาผลคณเชงสเกลาร (Scalar Product)

2. การคณแบบครอส (Cross Product) u v ยงคงใหผลลพธเปนเวกเตอร หรอเรยกวาผลคณเชงเวกเตอร (Vector Product)

1.6.1 นยาม

การคณแบบดอท ในพกดฉาก. a c

ai b j ci d j ac dbb d

การคณแบบดอท ในพกดเชงขว cosu v u v เราสามารถใชสมการทงสองรวมกน ในการค านวณ

เกยวกบมม θระหวาง u กบ v ได

หมายเหต: การหาขนาดผลรวมเวกเตอรดวยกฎของโคไซน อาจเขยนใหมไดวา

ภาพท 1.7 การหาขนาดผลรวมเวกเตอรดวยกฎของโคไซน

11

สมบตของการคณเวกเตอรแบบดอท

ตวอยางท 1.12 จงหา u กบ v เมอ 3 2

,4 3

u v

, 3 5 , 4 2u i j v i j

วธท า จาก a c

ai b j ci d j ac dbb d

3 2

,4 3

u v

u v = (3×2) + (-4×-3)

u v = 18

และ 3 5 , 4 2u i j v i j u v = (3×-4) + (-5×2)

u v = -22

ตวอยางท 1.13u i j และ 2v i x j ถามมระหวาง u กบ v เปน 135 ° จงหาคาของ x

วธท า จาก cosu v u v

22 2 4 cos135x x

22 4x x น าไปยกก าลงสองทงสองขาง

2 24 4 4x x x

x = 0

1.7 ผลคณเชงเวกเตอร

การคณเวกเตอรแบบครอส เชน u v จะยงคงใหผลลพธเปนเวกเตอร

1.7.1 นยาม

ขนาดของเวกเตอรลพธทได sinu v u v ชวยค านวณมม θระหวาง u กบ v ได

12

สมบตของการคณเวกเตอรแบบครอส

หมายเหต : , ,i j k j k i k i j

สตรในการหาพนทสามเหลยม เมอมดานประชดเปน u กบ v และมมระหวางเวกเตอรเปน

θคอ 1 1sin

2 2u v u v พนทสเหลยมดานขนาน คอ sinu v u v

ปรมาตรของ ทรงสเหลยมหนาขนาน ( Parallelepiped) ทมดานประชดเปนเวกเตอร , ,u v w คอผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอร มคาเทากบ

หมายเหต : หากสลบล าดบเวกเตอรไมถกตอง ผลคณทไดอาจตดลบ จงตองใสคาสมบรณก ากบไวดวย

ตวอยางท 1.14 ใหหา u v และเวกเตอรหนงหนวยทตงฉากกบ u และ v ในแตละขอ

1. 2 3u i j และ 5v i j 2. 2u i j และ 3v i k

วธท า 2 3u i j และ 5v i j

13

เนองจาก u v = 3 02

5 01

ji k

u v = , ,i j k j k i k i j

u v = 0 0 7 7i j k k

เวกเตอรหนงหนวยทตงฉากกบ u และ v กคอ เวกเตอรทขนานกบ u v นนเอง

เวกเตอรหนงหนวยทตงฉากกบ u และ v คอ k

2u i j และ 3v i k

เนองจาก u v = 01 2

3 0 1

ji k

u v = 2 6i j k

เวกเตอรหนงหนวยทตงฉากกบ u และ v คอ 1

2 641

i j k

ตวอยางท 1.15 ใหหาพนทรปสามเหลยมทมจดยอดดงนP(1, 2, 3), Q(1, 3, 5) และ R(3, 1, 0)

วธท า P(1, 2, 3), Q(-1, 3, 5) และ R(3, -1, 0)

เนองจากu v = 1 1 1

2 2 2

ji k

a b c

a b c

u v = , ,i j k j k i k i j

2 2PQ i j k

2 3 3PR i j k

สตรในการหาพนทสามเหลยม 1 1sin

2 2u v u v

จาก 2 1 2 3 2 4

3 32

ji k

PQ PR i j k

พนท = 2 2 21 293 2 4

2 2 ตารางหนวย

14

1.8 เวกเตอรในพกดฉากสามมต

1. ในระนาบ (Plane :R2) หนงๆ เราจะอางถงต าแหนงหรอจดใดๆ ไดดวยคา พกด (Coordinate) โดยระบบทนยมใชมากทสดคอระบบ พกดฉาก (Cartesian Coordinate) ประกอบดวยแกนอางอง 2 แกนทตงฉากกน ณ จดก าเนด (จด O) เรยกชอแกนนอนและแกนตง วาแกน x และ y ตามล าดบ

2. แกนทงสองแบงพนทในระนาบ xy ออกเปน 4 สวน เรยกแตละสวนวา จตภาค (Quadrant)

3. การอางถงพกดในระบบพกดฉาก นยมเขยนในรป คอนดบ (Ordered Pair) ทสมาชกตวแรกแทนระยะทางในแนว +x และตวหลงแทนระยะทางในแนว +y เชน คอนดบ (2, 4) แตในความเปนจรงจดใดๆ ไมไดอยในระนาบเดยวกนเสมอไป แตอยใน ปรภมสามมต (3-Dimensional Space : R3) ดงนนเราจ าเปนตองใชพกดฉาก 3 มตซงประกอบดวยแกน x, y, และ z ตงฉากกนทจดก าเนด ระนาบ xy, yz, xz แบงปรภมออกเปน 8 สวน เรยกแตละสวนวา อฐภาค (Octant) โดยอฐภาคท 1-4 และ 5-8 จะมล าดบเหมอนจตภาคท 1-4 ดงรป

ภาพท 1.8 การอางถงพกดในระบบพกดฉากจดก าเนด ระนาบ xy, yz, xz

ภาพท 1.9 การอางถงพกดในระบบพกดฉากคอนดบ

15

หลกในการตงล าดบแกนตามมาตรฐานคอ กฎมอขวา (Right Hand Rule) เมอแบมอขวาขนตรงๆ และแยกนวโปงใหตงฉากกบนวช จะไดวาปลายนวทงสชไปในทศ +x, ฝามอหนไปในทศ +y, และนวโปงชไปในทศ +z ระบต าแหนงสงตางๆ ดวย สามสงอนดบ (Ordered Triple) ทสมาชกแตละตวแทนระยะทางในแนว +x, แนว +y, และแนว +z ตามล าดบ เชน สามสงอนดบ (2, 4, 1)เวกเตอรในพกดฉากสามมต จะอางถงดวย ,x y และ z ดงรป

ภาพท 1.10 การตงล าดบแกนตามมาตรฐาน

การค านวณเกยวกบเวกเตอรสามมต

1.เวกเตอรสองอนจะเทากน กตอเมอ x เทากน y เทากนและ z เทากน

2. เมอก าหนดเวกเตอรหนงหนวยบนแตละแกนดงน

กจะเขยนเวกเตอร

3. ขนาดของเวกเตอร 2 2 2

r x y z (ใชเปนสตรระยะทางระหวางจดสองจด คลาย

ทฤษฎบทปทาโกรสใน 2 มต)

4.การบวกลบเวกเตอร และการคณดวยสเกลาร

5. การคณแบบดอท

และ cosu v u u ใชสมการทงสองรวมกน ในการค านวณมม θระหวาง u กบ v

16

สงเกตไดวาการค านวณเกยวกบเวกเตอรในสามมตนน คลายคลงกบเวกเตอรในสองมตและสมบตของเวกเตอรกเปนเชนเดยวกนทงหมด จะมเพยงสงเดยวทตางออกไป นนคอ การบอกทศทางในสามมต จะไมกลาวถงความชน แตจะวดมมทเวกเตอรกระท ากบแกนทงสาม เรยกวา มมก าหนดทศทาง (Direction Angle) ไดแก มม α (alpha), β (beta) และ γ (gamma)

มม αคอมมทเวกเตอรท ากบแกน +x

มม βคอมมทเวกเตอรท ากบแกน +y +

มม γคอมมทเวกเตอรท ากบแกน +z

อาศยผลคณแบบดอท (น าเวกเตอร u ai b j ck มาดอทกบ , ,i j k ทละอน) จะได

เรยกคาทงสามนวา โคไซนแสดงทศทาง (Direction Cosine) มกกลาวถงคาเหลานแทนมม

เวกเตอรสองอนจะขนานกน / /u v กตอเมอ โคไซนแสดงทศทางของ u กบ v ทงชด..

1. มคาตรงกน (แสดงวา u กบ v มทศทางเดยวกน) หรอ

2. เปนคาตดลบของกน ... (แสดงวา u กบ v มทศทางตรงขามกน)

เวกเตอรสองอนจะตงฉากกน u v กตอเมอ 0u v

ตวอยางท 1.16 ก าหนดพกดจด P(1,2,3) และ Q( 1,3,5) ใหหา

1. เวกเตอร PQ

2. เวกเตอรหนงหนวยในทศเดยวกบ PQ

3. เวกเตอรขนาด 7 หนวย ในทศเดยวกบ QP

วธท า เวกเตอร PQ

= 1 1 3 2 5 3i j k

PQ

= 2 2i j k

17

เวกเตอรหนงหนวยในทศเดยวกบ PQ

2 2 2

r x y z

PQ

= 2 2 22 1 2 9 3

PQ

= 1

2 23

i j k

เวกเตอรขนาด 7 หนวย ในทศเดยวกบ QP

QP

= - PQ

= 1 2 2i j k

QP

= 2 2i j k

7QP

= 7

2 23

i j k

ตวอยางท 1.17 ใหหา u v และมมระหวาง u กบ v ของ u i k และ 3v i j

วธท า จาก a c

ai b j ci d j ac dbb d

31

0 , 1

01

u v

u v = -3+0+0 = -3

จาก cosu v u v

2 10 cosu v

3arccos

20

18

แบบฝกหดทายบทท 1

แบบฝกหด 1.1

เรอง การบวกและการลบเวกเตอร

1. ใหเขยนเวกเตอรแสดงการเคลอนทดวยความเรว 40 กม.ตอ ชม. ไปทางทศตะวนออก และ 60 กม.ตอ ชม. ไปทางทศตะวนตกเฉยงใต

2. ถา u แทนระยะทาง 50 กม. ในทศ 170 จะไดวา -u คอเทาไร

3. นาย ก ออกเดนทางในทศ 30 เปนระยะทาง 1,000 กม. แลวเดนทางตอในทศ 150 เปนระยะทาง 500 กม. จงหาวาเขาอยททางทศใดของจดเรมตน และอยหางเทาไร

4.เครองบนออกแรงบนดวยความเรว 200 กม.ตอ ชม. ในทศ 30 ถากระแสลงพดดวยความเรว 50 กม. ตอ ชม. ในทศ 330 จงหาอตราเรวของเครองบนทแทจรง

5. จงหา u v เมอ u กบ v ท ามมกน0 , 90 และ 180

6. ถา u + v + w = 0 และ 2, 4, 2u v w จงหา u v และ u v

7. ก าหนดให 1, 2, 3u v w , w ตงฉากกบ v และมทศเดยวกบ u จงหาคาของ u v w

8. ถา 4, 3, 6u v u v จงหา u v

9. ถา 4, 5u v และ u ตงฉากกบ v จงหา 2 3u v u v

10. ถา u v จงหามมระหวาง u กบ v ทท าให u v = 2 u v

11. ก าหนด ABCDEF เปนรปหกเหลยมดานเทามมเทา ม O เปนจดกงกลาง และ 2AB

หนวย

เวกเตอรใดตอไปนยาวกวา 4 หนวย

ก. AD FD

ข. AB ED

ค. FO DO

ง. OD OB

แบบฝกหด 1.2

เรอง การคณเวกเตอรดวยสเกลาร

1. ก าหนดให 0, 0u v และ 2 5 1 3x u v x u v แลว u จะขนานกบ v เมอ x มคา

เทาใด

19

2. ก าหนดให 0, 0u v และ 2 5 1 3x u v x u v แลว u กบ v จะมทศทางเดยวกน

เมอ x มคาเทาใด

3. u กบ v มทศทางเดยวกน ถา 22 26 3 100

5 3u x v u v จงหาคา x

4. ก าหนดให 0, 0u v และ u ไมขนานกบ v จงหาคา x และ y ทสอดคลองกบสมการ 8 2 2xu x v y u yv

5. ก าหนดให 0, 0u v และ u ไมขนานกน ถา 3 8 3 2u v a u v b u v จงหาคา a

และ b

6. ถา u ไมขนานกบ v และ 4 2 1w a b u a b v ,

2 2 2 3 1s b a u a b v จงหาคาa กบ b ทท าให 3 2w s

แบบฝกหด 1.3

เรอง เวกเตอรกบเรขาคณต

1. สเหลยมดานขนาน ABCD มจด P เปนจดทเสนทแยงมมตดกน จด O อยบนดาน AB โดย : 3:5AQ QB ถา AB u

และ AD v

จงหา PQ

ในรปของ u กบ v

2. จากภาพ : 2 :1EF FB

จงหา AF

ในรผลรวมของ a กบ b

3. สามเหลยม ABC เปนรปสามเหลยมใดๆ ให AB a

และ AC b ถา , ,AD BE CF

คอ มธยฐานของ

สามเหลยม ตดกนทจด O จงเขยน DO ในรปของ a กบ b

4. สเหลยม ABCD เปนสเหลยมดานขนาน จด E อยบน CB

โดย 1

3CE CB

, จด F เปนจดตดของ

AC

กบ DE

หาก EF aED

และCF bCA

จงหาคา a กบ b

5. ให D เปนจดแบงดาน AC ของสามเหลยม ABC โดยท : :AD DC m n

จงหา BD

ในเทอมของ

AB

กบ BC

20

แบบฝกหด 1.4

เรองเวกเตอรในพกดฉาก และเวกเตอรหนงหนวย

1. จงเขยน PQ

ใหอยในระบบแกนฉาก เมอก าหนดจดดงน

1.1 P(2,4), Q(3,7) 1.2 P( 2,3), Q(4, 5)

2. ถา 3

2PQ

ใหหา

2.1 จดเรมตน เมอสนสดทQ( 2, 5) 2.2 จดสนสด เมอเรมตนท P(4, 6)

3. คอนดบ A(3, 4), B(6,3), C(7, 1) จงหาเวกเตอร , ,AB AC BC

พรอมขนาด

4. 3

4u

, 2

2v

, 3

4w

จงหา 2 3u v w และ 2 3u v w

5. เวกเตอรในแตละขอ ขนานกนหรอไม ถาขนานใหบอกวามทศเดยวกนหรอตรงขามกน

5.1 0

4

กบ 0

2

5.2 4

0

กบ 2

0

5.3 0

3

กบ 3

0

5.4 7

14

กบ 1

2

6. ใหเขยนเวกเตอร 6

9w

ในรปผลรวมเชงเสนของ 4 1,

1 4u v

7. ก าหนดให 3 4 5, ,

2 1 3u v w

จงเขยนเวกเตอรตอไปนในรป i กบ j

7.1 u 7.2 v 7.3 w

7.4 u v 7.5 2u w

8. ก าหนดคอนดบ 1,2 , 4, 2 , 3.4 , 2, 16 3A B C D จงหา

8.1 2 3AB CD

.ในรป i กบ j 8.2 2 3AB CD

9. ก าหนดจด P(c,d) และ Q(c + a, d+b) จงหาเวกเตอรหนงหนวยทศตรงขามกบ PQ

แบบฝกหด 1.5

เรอง ผลคณเชงสเกลาร

1. ก าหนดคอนดบ A(3, 2), B(3,5), C(2,4) จงหา

21

1.1 AB BC

1.2 AB BC AC

2. ถา u กบ v ท ามมกน 60 ° และ 2, 3u v จงหามมระหวาง v u กบ v

3. 2 1,

5 2u v

ถา 11u w และ 8v w จงหา w v

4. ก าหนดให ABC เปนรปสามเหลยม ทม , ,AB u BC v CA w

โดย 7, 15u w และ

28u v จงหาคา 2w v u

5. ถา 0, 2, 3, 4u v w u v w จงหา u v

6. จงแสดงวาสามเหลยม ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก โดยอาศยการคณเวกเตอร เมอก าหนดคอนดบดงน A(2,2), B(6,4), C(10, 14) และใหบอกวามมใดเปนมมฉาก

7. จงหาพนทสามเหลยมตามทก าหนด

7.1 สามเหลยม OAB เมอ 3 5 , 8 2OA i j OB i j

7.2 สามเหลยมมมฉาก ABC เมอ 2 2 , 3 3AB i j AC i j

7.3 สามเหลยมทมu v กบ u v เปนดานสองดาน เมอ 2 ,u i j v i j

8. ก าหนดเวกเตอร , 4 3a xi y j b i j และ 5 5c i j ถา , 3a b a และ 0a c

จงหาคา x + y

9. 3 4 , 2 3u i j v i j ถา a เปน unit vector ทตงฉากกบ u จงหาคา v a

แบบฝกหด 1.6

เรอง ผลคณเชงเวกเตอร

1. ก าหนด 2u i j k และ 2v i j k

1.1 u v 1.2 คา sin ของมมระหวาง u และ v

1.3 พนทของรปสเหลยมดานขนานทมดนประชดเปน u และ v

2. ใหหาพนทรปสามเหลยมทมจดยอดน 2.0.3 , 1,4,5 , 7,2,9A B C

3. ใหหาพนทรปสเหลยมดานขนาน ABCD เมอก าหนด

3.1 2.0. 3 , 1,4,5 , 7,2,9A B C 3.2 3 2AB i j

และ 2DA i j k

22

4. ใหหาปรมาตรของรปทรงสเหลยมหนาขนาน ทมดานประชดเปนเวกเตอรดงน 2 3 , 3 4 2u i j k v i j k และ 4w i j k

แบบฝกหด 1.7

เรอง เวกเตอรในพกดฉากสามมต

1. ก าหนด 3u i j และ 2 2 6v i j k ใหหา

1.1 u v 1.2 u v

1.3 เวกเตอรหนงหนวย v 1.4 ขนาดมมระหวาง u v กบ v

2. ใหหา u v และมมระหวาง u กบ v ของ 2u i j k และ 2v i j k

3. ก าหนด 2 3 , 3 4 2u i j k v i j k และ 2 4 2w i j k ใหพจารณาวาเวกเตอรคใดบางทตงฉากกน

4. รปสามเหลยมทมจด A(2, 1,1), B(7,0, 2) และ C(3,2, 1) เปนจดยอด, เปนรปสามเหลยมมมฉากหรอไมถาเปนมมใดเปนมมฉาก

5. ใหหาโคไซนแสดงทศทางของ 2 3u i j k และ 4 2 6v i j k และพจารณาวาเวกเตอรดงกลาวขนานกนหรอไม

23

24

บทท 2

เมตรกซและดเทอรมแนนท

2.1 เมตรกซ

2.1.1 นยาม

เมตรกซ หมายถง การแสดงขอมลหรอตวเลขชดหนงหรอกลมหนงดวยการจดล าดบของตวเลขใหอยในรปสเหลยมมมฉากทประกอบดวยแถวนอน (Row) และแนวหลก(Column) ตวอยาง เมตรกซ A, B และ C ดงน

2.1.2 สญลกษณของเมตรกซ

สญลกษณของเมตรกซ (symbol of matrix) หมายถงสงทใชบงบอกความเปนเมตรกซหรอการเขยนเมตรกซอนประกอบดวยสญลกษณของเมตรกซสญลกษณทมความหมายเฉพาะตวเพอน าไปสเมตรกทสมบรณโดยเครองหมาย ( )หรอ [ ] ปดลอมไว ก าหนดให A เปนเมตรกซ ประกอบดวย m แถว และ n หลก

ลกษณะทวไปของเมตรกซ

1. ใชอกษร A, B, C, ...แทนชอเมตรกซและใชตวอกษรพมพเลก a, b, c , ... แทนสมาชกของเมตรกซ เชน

แถวท 1

แถวท 2

แถวท m

หลกท 1 หลกท n

25

ตวเลข 2 หลกทเขยนก ากบอยดานลางขวาของ a ท าหนาทบงบอกถงต าแหนงของสมาชกในเมตรกซ โดยเลขตวแรกบงบอกต าแหนงแถวทเทาใด และตวเลขตวหลงบงบอกต าแหนงหลกทเทาใด เชน

a11 เปนสมาชกในต าแหนงแถวท 1 หลกท 1

a21 เปนสมาชกในต าแหนงแถวท 2 หลกท 1

ถาก าหนดให aij

เปนสมาชกใดๆ ของเมตรกซ A แลว หมายถงสมาชกทอยในต าแหนงแถว i และหลก j

ของเมตรกซ

2. สมาชกในแตละแถวของเมตรกซ A จะประกอบดวยจ านวน n จ านวนเทากนทกแถว และแตละหลกของเมตรกซ A จะประกอบดวยจ านวน m จ านวนเทากนทกหลก

3. ขนาดของเมตรกซไมไดบอกเปนจ านวนตวเลขหรอจ านวนจรง แตบอกเปนขนาดในรปจ านวนแถวและจ านวนหลกของเมตรกซนนๆ เชน A เปนเมตรกซทประกอบดวยสมาชก m แถว และ n หลกเมตรกซนจะมสมาชกทงหมด mn จ านวน

หมายเหต มตของเมตรกซ = จ านวนแถว × จ านวนหลก หรอ Am×n

ตวอยาง 2.1 ก าหนดเมตรกซ A และ B ให จงตอบค าถามตอนไปเกยวกบเมตรกซ

1. A มมตของเมตรกซเทาไร และ a11, a21 มคาเทาไร

2. B มมตของเมตรกซเทาไร และ b12, b22มคาเทาไร

วธท า 1. A เปนเมตรกซทมมต 3×2 เพราะ A ม 3 แถว และ 2 หลก

a11 = 2 เพราะหมายถง สมาชกในแถวท 1 หลกท 1 ของเมตรกซ A

a21 = 1 เพราะหมายถง สมาชกในแถวท 2 หลกท 1 ของเมตรกซ A

2. B เปนเมตรกซทมมต 3×2 เพราะ B ม 3 แถว และ 2 หลก

26

b12 = 1 เพราะหมายถง สมาชกในแถวท 1 หลกท 2 ของเมตรกซ B

b22 = -1 เพราะหมายถง สมาชกในแถวท 2 หลกท 2 ของเมตรกซ B

2.2 ชนดของเมตรกซ

โดยทวไปสามารถแบงเมตรกซตามลกษณะของเมตรกซได ดงตอน

1. เมตรกซแถว (Row Matrix) คอ เมตรกซทมสมาชกแถวเพยงแถวเดยว หรอ เมตรกซทมขนาด 1×n เชน

A = 2 5 1 B = 2 4 1 0

2. เมตรกซหลก (Column Matrix) คอ เมตรกซทมสมาชกหลกเพยงหลกเดยว หรอ เมตรกซทมขนาด m×1 เชน

C =3

1

1

D = 8

3

3.เมตรกซศนย (Zero Matrix) คอ เมตรกซทมสมาชกทกตวมคาเปนศนยทงหมด และเมตรกซศนยเขยนแทนดวยสญลกษณ 0 เชน

D = 0 0 0

0 0 0

0 0 0

4. เมตรกซจตรส (Square Matrix) คอ เมตรกซทมสมาชกจ านวนแถวเทากบจ านวนหลกหรอ เมตรกซทมขนาด n×n หรอเมตรกซขนาด n เชน

E =1 4 0

3 4 0

1 6 5

5. เมตรกซเฉยง (Diagonal Matrix) คอ เมตรกซจตรสทมสมาชกอยเหนอและใตเสนทแยงมมหลกมคาเปนศนย

เสนทแยงมมหลก ( main diagonal) คอ สมาชกในต าแหนง a11, a22, a33,…., ann ของเมตรกซจตรส

F =3 0

0 1

G = 1 0 0

0 4 0

0 0 3

27

6. สเกลารเมตรกซ (Scalar Matrix) คอ เมตรกซเฉยงทมสมาชกในต าแหนงเสนทแยงมมหลกมคาเทากนหมด เชน

H =2 0

0 2

I = 5 0 0

0 5 0

0 0 5

7. เมตรกซเอกลกษณ (Identity Matrix) คอ เมตรกซจตรสทมในต าแหนงเสนทแยงมมหลก มคาเปน 1 ทงหมด สวนสมาชกในต าแหนงอนมคาเปน 0 ทงหมด ก าหนดให Inเปนสญลกษณแทนเมตรกซเอกลกษณขนาด n×n

I1 =1 0

0 1

I2 = 1 0 0

0 1 0

0 0 1

2.3 การเทากนของเมตรกซ

เมตรกซ A และ B จะเทากนกตอเมอมมตเดยวกนหรอมขนาดเทากนและสมาชก

ทอยในต าแหนงเดยวกนมคาเทากนนนคอ A = B กตอเมอ a11 = b11 , a12 = b12เชน

A = 1

4 5

1 2

B = 16 25

11

2

A = B เพราะวา - เมตรกซ A และ B มมตหรอขนาดเทากน คอ 2×2

- สมาชกในต าแหนงเดยวกนมคาเทากนทกค

C = 1 4

2 3

D = 1 16

4 3

C D เพราะวาสมาชกในต าแหนงแถวท2 หลกท 2 มคาไมเทากน ถงแมวาเมตรกซ C และ D จะมมตหรอขนาดเทากนกตาม

สรป เมตรกซ 2 เมตรกซ จะเทากนกตอเมอ

1. เมตรกซทงสองมมตหรอขนาดเทากน

2. สมาชกในต าแหนงหลก และแถว มคาเทากนทกค

28

ตวอยาง 2.2 ให A = 4

1 6

x y

และ B = 8 16

1 x y

จงหาคา x และ y เมอก าหนดให

เมตรกซ A เทากบ เมตรกซ B

วธท า ถา A = B สมาชกในต าแหนงเดยวกนจะมคาเทากนคอ

x + y = 8 ……….(1)

x – y = 6 ..……...(2)

สมการท (1) + (2) ; 2x = 14

x = 7

สมการท (1) - (2) ; 2y = 2

y = 1

นนคอ A = B กตอเมอ x = 7 และ y = 1

ตวอยางท 2.3 ใหC = 26

3

x

และ D = 9x y

y

จงหาคา x และ y เมอก าหนดให เมตรกซ C

เทากบ เมตรกซ D

วธท า ถา C = D สมาชกในต าแหนงเดยวกนจะมคาเทากนคอ

6x2 = 9x-y ……….(1)

3 = y ..……...(2)

แทนคา y= 3 ในสมการท (1)

6x2 = 9x-3

6x2-9x+3 = 0

(6x-3)(x-1) = 0

6x-3 = 0 หรอ x-1 = 0

x = 1

2 หรอ x = 1

ดงนน C = D กตอเมอ x = 1

2หรอ x = 1 และ y = 3

29

ตวอยางท 2.4ก าหนดให E = 2 2ije

เมอ ije = (i-j)2

F=2 2ijf

เมอ ijf = ,0

,1

i j

i j

จงแสดงวา E= F

วธท า ให E = 2 2ije

= 11 12

21 22

e e

e e

เมอ ije = (i-j)2 ดงนน

e11 = (1-1)2 = 0 e12 = (1-2)2 = 1

e21 = (2-1)2 = 1 e22 = (2-2)2 = 0

E = 11 12

21 22

e e

e e

= 0 1

1 0

ให F = 2 2ijf

= 11 12

21 22

f f

f f

เมอ ijf = ,0

,1

i j

i j

ดงนน

f11 = 0 (เพราะ 1=1) f12 = 1 (เพราะ 1 2)

f21 = 1 (เพราะ 2 1) f22 = 0 (เพราะ 2=2

F = 11 12

21 22

f f

f f

= 0 1

1 0

ดงนน E = F เพราะวา 0 1

1 0

= 0 1

1 0

2.4 การคณจ านวนคงทกบเมตรกซ

ถา A เปนเมตรกซใดๆ และ k เปนจ านวนคาคงท แลว kA คอการคณเมตรกซ A กบจ านวนคาคงท โดยน าจ านวนคาคงทคณกบสมาชกทกตวของเมตรกซ A และขนาดหรอมตของเมตรกซยงคงเทาเดม เชน

A = 1 3 0 , k = 3, 3A = 3 1 3 3 3 0 = 3 9 0

ตวอยางท 2.5 ก าหนดให A = 2 1

4 2

จงหาเมตรกซ 2A, -3A และ 1

2A

วธท า ใหคาคงท ( k) = 2, -3 และ 1

2 ตามล าดบ

1. 2A = 22 1

4 2

=

2 2 2 1

2 4 2 2

= 4 2

8 4

30

2. -3A = -32 1

4 2

=

3 2 3 1

3 4 3 2

=6 3

12 6

3. 1

2A = 1

2

2 1

4 2

=

1 12 1

2 2

1 14 2

2 2

=1

12

2 1

2.5 การบวกและลบเมตรกซ

2.5.1 การบวกเมตรกซ

ก าหนดให เมตรกซ A= ij m na

และ เมตรกซ B= ij m n

b

จะไดวา

A + B = ij ij m na b

เชน ให A = 11 12

21 22

a a

a a

และ B = 11 12

21 22

b b

b b

A + B =

11 11 12 12

21 21 22 22

a b a b

a b a b

สรป การบวกกนของเมตรกซ มเงอนไขดงน

1. เมตรกซ 2 เมตรกซ จะตองมมตหรอขนาดเทากน

2. น าสมาชกในต าแหนงเดยวกนแตละเมตรกซมาบวกกนเปนคๆ จนครบทกค

ตวอยาง 2.6 จงหาคาของ เมตรกซ A บวกกบ เมตรกซ B เมอก าหนดให

A =1 4 6

1 3 7

3 2 5

B = 2 1 5

3 4 5

4 0 6

วธท า A และB มขนาดเทากน คอ 3×3

A + B =1 4 6

1 3 7

3 2 5

+ 2 1 5

3 4 5

4 0 6

=

1 2 4 1 6 5

1 3 3 4 7 5

3 4 2 0 5 6

31

= 3 5 11

2 7 12

7 2 11

ตวอยาง 2.7 ก าหนดให

C =0 1

6 5

3 2

D = 3 7

1 6

3 1

E = 0 1

1 0

6 1

จงแสดงวา (C+D)+E = C+(D+E)

วธท า C + D = 0 1

6 5

3 2

+ 3 7

1 6

3 1

= 3 8

7 11

0 3

(C+D)+E = 3 8

7 11

0 3

+ 0 1

1 0

6 1

= 3 7

6 11

6 2

D + E = 3 7

1 6

3 1

+ 0 1

1 0

6 1

= 3 6

0 6

3 0

C+(D+E) = 0 1

6 5

3 2

+ 3 6

0 6

3 0

= 3 7

6 11

6 2

(C+D)+E = C+(D+E) = 3 7

6 11

6 2

ตวอยาง 2.8 ก าหนดสมการเมตรกซ

2 1 2

0

u x

y

+

5 2

3z

= 3 0

4 2

u

z

+ 5

7 2

u x

z y

จงหาคาตวแปร u, x, y และ z

วธท า 2 1 2

0

u x

y

+ 5 2

3z

= 3 0

4 2

u

z

+ 5

7 2

u x

z y

2 1 5 2 2

0 3

u x

z y

= 3 0 5

4 7 2 2

u u x

z z y

32

2 4 2 2

3

u x

z y

= 3 5

11 2 2

x

z y

เมตรกซมมตเทากน สมาชกในต าแหนงเดยวกนเทากนเปนคๆ ดงน

2u+4 = 3 z = 11z 2x-2 = 5x -y+3 = -2+2y

2u = 7 0 = 10z -3x = 2 5 = 3y

u = 7

2 z = 0 x = 2

3 y = 5

3

จะไดวา u = 7

2, z = 0, x = 2

3 และ y = 5

3

2.5.2 การลบเมตรกซ

ถาเมตรกซ A และ B มขนาดเทากนแลว ดงนน

A – B = A + (-B)

สรป การลบกนของเมตรกซ มเงอนไขดงน

1. เมตรกซ 2 เมตรกซ จะตองมมตหรอขนาดเทากน

2. น าสมาชกในต าแหนงเดยวกนแตละเมตรกซมาลบกนเปนคๆ จนครบทกค

ตวอยาง 2.9 ก าหนดให F = 2 3

1 0

G = 5 2

1 1

วธท า F – G = F + (-G)

= 2 3

1 0

- 5 2

1 1

=

2 5 3 2

1 1 0 1

= 7 1

0 1

ดงนน F – G = F + (-G) = 7 1

0 1

ตวอยาง 2.10 ก าหนดสมการเมตรกซให 2x

y

- 5

6

= 4

31

จงหาคา x และ y

33

วธท า 2x

y

- 5

6

= 4

31

2

2

x

y

- 5

6

= 12

3

2 5

2 6

x

y

= 12

3

เมตรกซมมตเทากน สมาชกในต าแหนงเดยวกนเทากนเปนคๆ ดงน

2x-5 = 12 2y-(-6) = -3

2x = 17 2y = -9

x =17

2 y = 9

2

จะได x = 17

2 y = 9

2

2.6 สมบตของเมตรกซ

ก าหดใหเมตรกซ A, B, C และ O

มมตหรอขนาดเทากน k เปนจ านวนคาคงทใดๆ

1. k(A+B) = kA + Kb

2. k ·O

= O

3. 0 ·A = O

4. A + B = B + A

5. (A+B)+C = A+(B+C)

6. A + O

= A

7. A + (-A) = O

ตวอยาง 2.11 ก าหนดเมตรกซA และ B ใหจงหาเมตรกซ X เมอ 2X + B = 3(A +X)

A =1 2 4

1 0 3

5 3 1

B = 0 3 1

1 0 2

4 1 5

วธท า 2X + B = 3(A +X)

34

2X + B = 3A + 3X

B -3A = 3X – 2X

X = B – 3A

แทนคา A และ B ลงในสมการ

X =0 3 1

1 0 2

4 1 5

- 31 2 4

1 0 3

5 3 1

X =0 3 1

1 0 2

4 1 5

- 3 6 12

3 0 9

15 9 3

X =

0 3 3 6 1 12

1 3 0 0 2 9

4 15 1 9 5 3

X = 3 9 11

2 0 11

19 8 2

2.7 การคณเมตรกซกบเมตรกซ

2.7.1 นยาม

การคณเมตรกซดวยเมตรกซถา A และ B เปนเมตรกซ 2 เมตรกซใด ๆ การน าเมตรกซ A มาคณกบเมตรกซ B จะเกดผลขนอยางใดอยางหนงใน 2 อยางตอไปน

1. ไมสามารถหาผลคณได

2. สามารถหาผลคณได

มตของเมตรกซทน ามาหาผลคณถา A เปนเมตรกซ B เปนเมตรกซ ผลคณ AB จะเกดขนไดเมอ p q และ AB จะมมต

- โดยท สมาชกของผลคณของเมตรกซในแถวท i หลกท j จะเกดสมาชกในแถวท i ของเมตรกซทอยหนา คณกบสมาชกในหลกท j ของเมตรกซหลกเปนคๆ แลวน ามาบวกกน

A B C

111 12

221 22

1 2

. . .

. . .

. . .

p

p

mpm m

aa a

aa a

aa a

111 12

221 22

1 2

. . .

. . .

. . .

n

n

p p pn

bb b

ab b

a a a

=

111 12

221 22

1 2

. . .

. . .

. . .

n

n

m m mn

cc c

cc c

c c c

35

หมายเหต : A คณกบ B ไดกตอเมอ จ านวนหลกของ A เทากบจ านวนแถวของ B และผลลพธ C จะมขนาดเทากบ (แถวของ A) × (หลกของ B)

1 2 2 2 1 2A B C

ตวอยางท 2.12 ก าหนด A = 1 3 และ B = 31

52

วธท า จาก A1×2คณกบ B2×2เทากบ C1×2

AB = 1 3 ·31

52

AB = 3

1 35

11 3

2

แถว 1A หลก 1B แถว 1A หลก 2B

AB = 1 3 3 5 1 1 3 2

AB =3 15 1 6 = 18 7

ตวอยางท 2.13 ก าหนดเมตรกซ A, B และ C ใหดงตอไปน จงหา AB

A = 2 1

3 0

B = 3 32

54 1

วธท า จาก A2×2คณกบ B2×3เทากบ C2×3

AB =2 1

3 0

3 32

54 1

AB =

3 2 32 1 2 12 1

4 1 5

3 2 33 0 3 0 3 0

4 1 5

AB =

2 3 1 4 2 2 1 1 2 3 1 5

3 3 0 4 3 2 0 1 3 3 0 5

AB =

6 4 4 1 6 5

9 0 6 0 9 0

36

AB = 10 5 11

9 6 9

2.7.2 เมตรกซยกก าลง

ก าหนดให A เปนเมตรกซจตรสใดๆ และ n เปนจ านวนเตมบวก แลว

....nA A A A A A น า A จ านวน n เมตรกซคณกน

ตวอยางท 2.14 ก าหนดใหA = 2 1

3 0

จงหาคา A3

วธท า A3 = A·A·A หา A2 กอน

A2 = 2 1

3 0

·2 1

3 0

·

=

2 2 1 3 2 1 1 0

3 2 0 3 3 1 0 0

=

7 2

6 3

น าคณกบ A

A3 = 2 1

3 0

·7 2

6 3

=

2 7 1 6 2 2 1 3

3 7 0 6 3 2 0 3

= 20 7

21 6

ดงนน A3 มคาเทากบ 20 7

21 6

2.7.3 สมบตการคณเมตรกซกบเมตรกซ

1. (kA)+B = k(AB) =A(kB)

2. A(BC) = (AB)C

3. A(B+C) = AB + AC

4. AI =IA = A

5. AO

= O

37

2.8 สลบเปลยนของเมตรกซ

2.8.1 นยาม

เมตรกซสลบเปลยน (ทรานสโพส) คอเมตรกซทไดจากการสลบสมาชก จากแถวเปนหลก และจากหลกเปนแถว ของเมตรกซตนแบบ เมตรกซสลบเปลยนของAทมมตm×nจะเขยนแทนดวยAT (บางครงอาจพบในรปแบบAt, Atr, tAหรอA′) ซงจะมมตเปนn×m (สลบกน) นยามโดย

ส าหรบทกคาของiและjท 1 ≤ i ≤ nและ 1 ≤ j ≤ mตวอยางเชน

ตวอยาง 2.14 ก าหนดให 32

4 2

6 7

A

และ 0 4

51

3 0

B

จงหาคาของ T

A B และ T TA B

วธท า ท า A B กอน A B = 32

4 2

6 7

+ 0 4

51

3 0

= 2 1

3 7

9 7

T

A B = 2 1

3 7

9 7

= 3 92

7 71

TA = 32

4 2

6 7

= 62 4

3 72

TB = 0 4

51

3 0

= 0 31

5 04

38

T TA B = 62 4

3 72

+ 0 31

5 04

= 3 92

7 71

ดงนน T

A B มคาเทากบ T TA B คอ 3 92

7 71

2.8.2 สมบตการทรานสโพส

ก าหนดใหเมตรกซA, Bและสเกลารcคณสมบตของเมตรกซสลบเปลยนมดงน

1. เมตรกซทสลบเปลยนสองครงจะไดเมตรกซตนแบบ

2. การสลบเปลยนของเมตรกซมคณสมบตการกระจายในการบวก เมอเมตรกซทงสองสามารถบวกกนได

3. การสลบเปลยนของเมตรกซมคณสมบตการกระจายในการคณเมอเมตรกซทงสองสามารถคณกนไดโปรดสงเกตวาล าดบของการคณจะเรยงยอนกลบ ไมวาจะมกเมตรกซกตาม

4. การสลบเปลยนของสเกลาร กจะไดสเกลารตวเดม จงสามารถดงตวรวมออกมาได

5. ดเทอรมแนนตของเมตรกซจะมคาเทากบดเทอรมแนนตของเมตรกซสลบเปลยน

6. ผลคณจด (dot product) ของเวกเตอรสองคอลมน a กบ b สามารถค านวณไดจาก

7. เมตรกซผกผนของการสลบเปลยน เทากบเมตรกซสลบเปลยนของการผกผน

2.9 อนเวอรสการคณของเมตรกซ

อนเวอรสของเมตรกซในทนหมายถงอนเวอรสของการคณของเมตรกซ ซงเมตรกซทจะหาอนเวอรสไดนนจะตองมคาก าหนดไมเทากบศนย อนเวอรสของเมตรกซA จะใชสญลกษณ A-1ทงน

39

1 1AA I A A

2.10 อนเวอรของเมตรกซขนาดn×n 3n

2.10.1 การหาอนเวอรสโดยใชเมตรกซผกผน

ตวอยาง 2.15 จงหาคาของเมตรกซ A

วธท า หาคาของอนเวอรสโดยใชเมตรกซผกผน

40

2.10.2 การหาอนเวอรสโดยใชการด าเนนงานแบบแถว

ตวอยาง 2.16 จากตวอยางท 2.15 จะไดเมตรกซแตงเตมของเมตรกซ A คอ

จากนนจะไดการด าเนนงานแบบแถวดงตอไปน

41

2.10.3 คณสมบตของอนเวอรส

ก าหนด A และ B เปนเมตรกซมต n×nทสามารถหาอนเวอรสได จะไดวา

2.11 ดเทอรมแนนท

คาก าหนดหรอดเทอรมแนนทของเมตรกซนน เปนฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของเมตรกซจตรสและมเรนจเปนสบเซตของเซตจ านวนจรง สญลกษณทใชแทนคาก าหนดของเมตรกซ A จะแทนดวย det(A) หรอ | A |

1. ก าหนด Aเปนเมตรกซมต n×n จะเรยกเมตรกซ A วาเปนเมตรกซเอกฐาน (Singular Matrix) ถา det(A) = 0

2. ก าหนด Aเปนเมตรกซมต n×n จะเรยกเมตรกซ A วาเปนเมตรกซไมเอกฐาน (Non-singular Matrix) ถา det(A) 0

42

ถา A เปนเมตรกซไมเอกฐาน แลว A สามารถหาอนเวอรสการคณได การหาอนเวอรสการคณของเมตรกซนนเปนสงทส าคญอยางมาก เพราะจะตองน าไปใชในกระบวนการหาค าตอบจากระบบสมการเชงเสน ดงนนจ าเปนทจะตองทราบใหไดวา เมตรกซนน สามารถหาอนเวอรสการคณไดหรอไม ซงจะทราบได ถาสามารถหาคาก าหนดของเมตรกซนนได

2.11.1 การหาคาก าหนด

การหาคาก าหนดของเมตรกซมต 1×1

ตวอยางท 2.16 จงหาคาก าหนดของเมตรกซตอไปน

วธท า หาคาของ

1. วธการเตมหลก

43

ตวอยางท 2.17 ก าหนดให

วธท า เตม 2 หลกแรกของเมตรกซ A เขากบเมตรกซได A ดงน

2. วธโคแฟคเตอร

ตวอยางท 2.18 ก าหนดให

3. วธการด าเนนงานแบบแถว (หลก)

44

2.11.2 ทฤษฎบททเกยวของกบคาก าหนด

45

แบบฝกหดทายบทท 2

แบบฝกหด 2.1

เรอง เมตรกซ

1. จงบอกขนาดมตและชนดของเมตรกซทก าหนดใหตอไปน

A = 1 0

0 1

B = 2 2 C = 2

1

D =0 4 2

2 0 5

3 1 0

E = 0 0 F = 1 0 0

0 1 0

0 0 1

G =3 0 0

0 3 0

0 0 3

H =

2 1 0 7

0 3 4 1

2 4 4 0

3 7 5 6

2. จงสรางเมตรกซขนาด 5×5 ตามเงอนไขทก าหนดให พรอมทงบอกสมาชกในต าแหนงเสนทแยงมมหลกของเมตรกซดวย

2.1 aij = 0,

1,

2,

i j

i j

i j

2.2 aij = ,

,

0,

i i j

j i j

i j

2.3 aij = i+j 2.4 aij = i

j

3. จงหา A = 3 4ija

เมอ aij = 2i + 3j

4. จงหา B = 2 2ijb

เมอ bij= (-1)i+j · (i2 + j2)

5. จงหาคาของตวแปรจากสมการเมตรกซทก าหนดใหตอไปน

5.1 2 1

1 2

x y

z w

=

6 2

5 7

5.2 2 3

5 2

x

y

=

3

5

y

y

5.3 6 1

4

5 3

x

y z

= 6 1

9 4

10 9

5.4 4 1 1

3 5

0 7 9

x y z

w

= 4 1 1

8 1 10

0 14 9

46

6. ก าหนดให

A =3 5

7 9

B = 2 7

0 1

C = 1 5

2 6

0

= 0 0

0 0

จงหาเมตรกซตอไปน

6.1 -A 6.2 -A+B 6.3 (A+B) 6.4 2· 0

6.5 A+B-C

6.6 2(A+3B) 6.7 0(A+B) 6.8 4(A-C)+6· 0

6.9 2A+3C-2B

6.10 (3C+2A)-2B 6.11 1

2A-2(3B+2C) 6.12 3A- 1

2(B+C-A)

7. จงหาคาของ x, y และ z จากสมการเมตรกซทก าหนดให

7.1 x4

2

- y5

7

= 513

17

7.2 52

4

x

y

- 21

2

= 78

12

แบบฝกหด 2.2

เรอง การคณเมตรกซกบเมตรกซ

1. ถา A มขนาด 2 3 B มขนาด 3 1 C มขนาด 2 5 D มขนาด 4 3 E มขนาด3 2 และ F มขนาด 2 3 จงหาขนาดและจ านวนสมาชกของผลคณเมตรกซตอไปน

1.1 AE 1.2 DE 1.3 EC 1.4 DB

1.5 FB 1.6 BA 1.7 EA 1.8 E(AE)

1.9 E(FB) 1.10 (F+A)B

2. จงหาผลคณของเมตรกซตอไปน

2.1 1 3 6 5

8 2 4 1

2.2

4 5

3 5 7 7

1 4 1 3

7 7

2.3 2 8 1 0 4 6

3 4 2 2 1 7

3 0 4 3 5 2

2.4 1 3 1 10 7 5

2 5 0 4 1 2

3 1 2 13 10 11

47

2.5 4 2 2.6

2

11 3 7 5

2

3

3. ก าหนดให

1 2

0 3A

3 02

1 4 1B

1 1

0 3

2 4

C

1 0 0

0 1 1

1 2 1

D

1 2 4E 2

1F

3 0 0

0 6 0

0 0 3

G

10 0

3

10 0

6

10 0

3

H

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

จงค านวณหาเมตรกซตอน

3.1 AB 3.2 CF 3.3 DG 3.4 EC

3.5 DI- 1

3G 3.6 3A-2BC 3.7 2I- 1

2GH 3.8 (DC)A

4. ก าหนดให 1 2

0 3A

และ 2 1

0 3B

จงหาคาของเมตรกซตอไปน

4.1 2 3 6 8, , ,A A A A 4.2 2 2,A B A B A B

48

แบบฝกหด 2.3

เรอง สลบเปลยนของเมตรกซ และการอนเวอรสของเมตรกซ

49

50

บทท 3

ลมตและความตอเนอง

บทนจะกลาวถงเนอหาทเปนพนฐานทส าคญของแคลคลส นนคอเรองของลมต และความตอเนอง ซงเนอหาประกอบดวยการใหนยามและความหมาย ตลอดจนทฤษฎตางๆ ทเกยวของ รวมถงการแสดงวธการหาคาของลมตของฟงกชน และการทดสอบความตอเนองของฟงกชนทจดตางๆ

3.1 ลมต

ในเรองของฟงกชนโดยทวไปนนมกจะเปนการหาคาของฟงกชนทจดใดจดหนง ซงในบางครงกไมสามารถหาคาของฟงกชนทบางจดได แตอยางไรกตามเราอาจใหความสนใจคาของฟงกชนทพารามเตอรของฟงกชนนนมคาเขาใกลคาใดคาหนง ตวอยางเชน

พจารณาฟงกชน 22 1f x x เมอ x มคาเขาใกล 3 แลวคาของ f (x) เปนเทาไร

ใชวธแทนคา x ทมคาใกลเคยง 3 ซง x อาจมคานอยกวา 3 หรอ มากกวา 3 ดงตาราง

เมอ x มคานอยกวา 3 เลกนอย หรอกลาววา “x มคาเขาใกล 3 ทางดานซาย” แลวคาของ f(x) จะมคาเขาใกล 19 (ดงตาราง) และเราจะเรยกคานวา “ลมตทางซายของ f(x)” และแทนดวยสญลกษณ

3

lim 19x

f x

เครองหมาย – หมายถง การเขาใกลจากทางดานซายเพยงทางเดยว

เมอ x มคามากกวา 3 เลกนอย หรอกลาววา “x มคาเขาใกล 3 ทางดานขวา” แลวคาของ f(x) จะมคาเขาใกล 19 (ดงตาราง) และเราจะเรยกคานวา “ลมตทางขวาของ f(x)” และแทนดวยสญลกษณ

3

lim 19x

f x

เครองหมาย “+” หมายถงการเขาใกลจากทางดานขวาเพยงทางเดยว

ดงนน เมอ x มคาเขาใกล 3 แลวคาของ f(x) มคาเขาใกล 19 หรอกลาววา “ลมตของ f(x) เมอ x มคาเขาใกล 3 คอ 19” และแทนดวยสญลกษณ

3lim 19x

f x

ดงรป

51

ภาพท 3.1 ฟงกชนของลมต

3.1.1 นยาม

คาท f(x) เขาใกลเมอ x เขาใกล a ทางดานทนอยกวา a หรอ ทางซายของ a เรยกคานนวา “ลมตซายของ f(x)” และเขยนแทนดวยสญลกษณ lim

x af x

คาท f(x) เขาใกลเมอ x เขาใกล a ทางดานทมากกวา a หรอ ทางขวาของ a เรยกคา

นนวา “ลมตขวาของ f(x)” และเขยนแทนดวยสญลกษณ limx a

f x

ตวอยางท 3.1 ก าหนดให x

f xx

จงหาลมตของ f(x) เมอ 0x

วธท า เนองจาก ; 0

; 0

x xx

x x

ดงนน x

f xx

= 1; 0

1; 0

xx

x

xx

x

1; 0

1; 0

xf x

x

52

เมอ x มคาเขาใกล 0 ทางซาย (x<0) จะไดวา f(x) มคาเขาใกล –1คอ 0

lim 1x

f x

เมอ x ม

คาเขาใกล 0 ทางขวา (x>0) จะไดวา f(x) มคาเขาใกล 1 คอ 0

lim 1x

f x

เพราะฉะนน 0

limx

f x

0

limx

f x

จงไดวา 0

limx

f x

ไมมลมต เพราะวา เราไมสามารถสรปไดวา

เมอ 0x แลว f(x) มคาเขาใกลคาใด

3.2 ทฤษฎบทเกยวกบลมต

ทฤษฎบทเกยวกบลมตน ใหเฉพาะทฤษฎบททส าคญๆ เพอน าไปใชในการหาคาลมตตางๆ ได

n เปนจนวนเตมบวก k เปนคาคงตว f และ g เปนฟงกชนทมลมต เมอ 0x

ตวอยางท 3.2 จงหาคาลมตตอไปน

1. lim3 2x a

x

2. 3lim 3x a

x x

3. 2

2

7lim

2 3x a

x

x x

วธท า ใชทฤษฎบทเกยวกบลมตทก าหนดให

53

ตวอยางท 3.3 จงหาคาลมตตอไปน

1. 2

3

2 3lim

3x

x x

x

2.

0

4 2limx

x

x

วธท า ใชทฤษฎบทเกยวกบลมตทก าหนดใหหาคา

1. ในการหา2

3

2 3lim

3x

x x

x

ถาแทน x ดวย 3 จะได 2 2 3x x มคาเปนศนย

และ x-3 มคาเปนศนยเชนกน

2. การหาคาของ0

4 2limx

x

x

นนมลกษณะเชนเดยวกบขอ 1. คอลมตอยใน

รปแบบ 0

0แตการหาคาของลมตในกรณน ท าไดโดยการคณดวยสงยค (Conjugate) ของ 4 2x

ทงเศษ และสวนดงน

54

3.3 ลมตขางเดยว

สามารถแบงออกเปน 2 ระเภท คอ ลมตซายและลมตขวา (Left-Hand and Right-Hand Limits)

3.3.1 นยามลมตทางขวา

ก าหนด f (x) นยามบนชวงเปด (a, c) โดยท c > a และถา f (x) มคาเขาใกล L เมอ x เขาใกล a ในชวง (a, c) แลว กลาวไดวา f มลมตขวาท a เทากบ L และจะเขยนแทนดวย

limx a

f x L

3.3.1 นยามลมตทางซาย

ก าหนด f (x) นยามบนชวงเปด (b, a) โดยท b < a และถา f (x) มคาเขาใกล K เมอ x เขาใกล aในชวง (b, a) แลว กลาวไดวา f มลมตซายท a เทากบ K และจะเขยนแทนดวย

limx a

f x K

ตวอยางท 3.4 จงหาคาของลมต0

limx

x

xและ

0limx

x

x

วธท า 0

limx

x

x =

0limx

x

xเพราะวา 0x

0

lim 1x

= 1

0

limx

x

x =

0limx

x

x เพราะวา 0x

0

lim 1x

= -1

55

หมายเหต:จาก x

f xx

จะเขยนกราฟไดดงน

จะเหนวา เมอ x มคาเขาใกล 0 ทางซาย (x<0) จะไดกราฟอยขางใตแกน และได

1f x นนคอ 0

lim 1x

x

x

และเมอ x มคาเขาใกล 0 ทางขวา (x>0) จะไดกราฟอยขางบนแกน และได 1f x นน

คอ 0

lim 1x

x

x

หมายเหต : ฟงกชน f อาจจะไมมลมตทจด x = a ดวยเหตผลดงน

1. ฟงกชน f ไมมลมตทางซาย หรอไมมลมตทางขวาทจด x = a

2. ฟงกชน f มลมตทางซาย และลมตทางขวาทจด x = a แตลมตทงสองไมเทากน

ตวอยางท 3.5 ให f(x) = 4x – 3 จงหา 2 2

lim , limx x

f x f x

วธท า

2 2

lim ( ) lim 4 3 4(2) 3 8 3 5x x

f x x

2 2lim ( ) lim 4 3 4(2) 3 5x x

f x x

ตวอยางท 3.6 ให f(x) = | x-3 | จงหา

1. 3 3

lim ( ) , lim ( )x x

f x f x

2. 3 3

lim ( ) , lim ( )x x

f x f x

วธท า เนองจาก f(x) เปนคาสมบรณ คา x ภายในคาสมบรณม 2 คา

, 0| |

, 0

x xx

x x

3 , 3 0 3| 3 |

( 3) , 3 0 3

x x xx

x x x

56

3 3 3lim ( ) lim | 3 | lim ( 3) (3 3) 0x x x

f x x x

3 3 3

lim ( ) lim | 3 | lim 3 3 3 0x x x

f x x x

3 3 3

lim ( ) lim | 3| lim ( 3) ( 3 3) 6x x x

f x x x

3 3 3

lim ( ) lim | 3 | lim 3 3 3 6x x x

f x x x

3.4 ความตอเนอง

ให f(x) เปนฟงกชน และ a เปนจ านวนจรงใดๆฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = a เมอเปนจรงทง 3 ขอดงน

1. f(a) หาคาได

2. lim ( )x a

f x

หาคาได นนคอ lim ( ) lim ( )x a x a

f x f x

3. lim ( ) ( )x a

f x f a

หมายเหต : ถาเงอนไขขอใด ขอหนงขาดไป แสดงวา f ไมตอเนอง x = a

ตวอยางท 3.7 ถา

23 , 3

( ) 2 5 , 1 3

3 2 , 1

x x

f x x x

x x

ขอใดตอไปนถก

1. f ตอเนองทx = – 1 แตไมตอเนองท x =3

2. f ตอเนองทx = – 1 และ x =3

3. f ไมตอเนองทx = – 1 แตตอเนองท x =3

4. f ไมตอเนองทx = – 1 และ x =3

วธท า ม 2 จดทตองพจารณาคอ x = -1 และ x = 3

พจารณาความตอเนองของ f ท x = –1

1. f(a) หาคาได

2. lim ( )x a

f x

หาคาได นนคอ lim ( ) lim ( )x a x a

f x f x

3. lim ( ) ( )x a

f x f a

57

แทนคา f(-1) = 2(-1) + 5 = 3 2 2

1 1lim ( ) lim 3 3( 1) 3x x

f x x

1 1lim ( ) lim(2 5) 2( 1) 5 3x x

f x x

แสดงวา ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x =-1

พจารณาความตอเนองของ f ท x = 3

แทนคา f(3) = 3(3) - 2 = 9 – 2 = 7

3 3lim ( ) lim(2 5) 2(3) 5 6 5 11x x

f x x

33lim ( ) lim(3 2) 3(3) 2 9 2 7

xxf x x

แสดงวา ฟงกชน f เปนฟงกชนไมตอเนองท x = 3

fตอเนองท x = -1 แตไมตอเนองท x = 3

ตวอยางท 3.8 ถา

1,0 1

3 1

( ) 1 , 1

2 5, 1

1

xx

f x x

xx

x

พจารณาขอความตอไปนวาขอใดถกและขอใดผด

ก. 1 1

lim ( ) lim ( )x x

f x f x

ข . f เปนฟงกชนตอเนองทx = 1

วธท า พจารณาความตอเนองท x = 1

1. f(1) = 1

2. 1 1

1 1 1lim ( ) lim

3 1 3(1) 1 4x xf x

x

3. 1 1 1

2 5 2 5 2 5lim ( ) lim lim

1 1 2 5x x x

x x xf x

x x x

1 1

4 (5 ) 1lim lim

( 1)(2 5 ) ( 1)(2 5 )x x

x x

x x x x

1

1 1 1 1lim

2 2 4(2 5 ) (2 5 1)x x

ก. 1 1

lim ( ) lim ( )x x

f x f x

ถก

58

ข . f เปนฟงกชนตอเนองทx = 1 ผด

ตวอยางท 3.9 ถา 2 , 1

( ) 1 ,0 1

0 , 0

x x

f x x x

x

2

0 1lim ( ) lim ( 1)x x

f x f x

เทาไร

วธท า พจารณา 2

0lim ( )x

f x

จาก 0x จะได 2 0x แสดงวา

2 2

2 2 2

0 0 0lim ( ) lim ( ) lim ( 1) 0 1 1x x x

f x f x x

พจารณา 1

lim ( 1)x

f x

จาก 1x จะได 1 0x แสดงวา

1 ( 1) 0 ( 1) 0

lim ( 1) lim ( 1) lim ( 1) 1 0 1 1x x x

f x f x x

ดงนน 2

0 1lim ( ) lim ( 1)x x

f x f x

= -1-1 = -2

3.5 ลมตอนนต

ในการพจารณาขอบเขตของ f(x) บอยครงทจ าเปนตองศกษาถงคาของ f(x) เมอ x มคาเพมมากขนไปจนถงบวกอนนต หรอลดลงจนถงลบอนนต การศกษาดงกลาวสามารถท าไดโดยใช

3.5.1 นยามการบวกอนนต

limx

f x K

หมายถง f(x) มคาเขาใกล K (หรอมคาลมต = K) เมอ x มคาเขาใกลบวก

อนนต

3.5.2 นยามการลบอนนต

limx

f x L

หมายถง f(x) มคาเขาใกล L (หรอมคาลมต = L) เมอ x มคาเขาใกลลบ

อนนต

ตวอยางท 3.10 จงหาคาของลมตตอไปน

วธท า ใชวธการหาคาเหมอนกบคา x = a

59

ตวอยางท 3.11 จงหาคาของลมตตอไปน

วธท า ใชวธการหาคาเหมอนกบคา x = a

60

61

แบบฝกหดทายบทท 3

แบบฝกหด 3.1

เรอง ลมต

1.จงหาลมตของฟงกชนตอไปนเมอ x เขาใกลจด a ทก าหนดให

1.1 2 5 3 ; 1f x x x a 1.2 2 16

; 44

xf x a

x

1.3 5 5

; 02

xf x a

x

1.4

225 4; 3

3

xf x a

x

2. จงหาคาของลมตตอไปน

2.1 2

2lim

1x

x

x 2.2

2

2

4lim

2x

x

x

2.3

2

22

2 3lim

4 3x

x x

x x

2.4 2

22

4lim

6x

x

x x

2.5

2 22limx

x a

x a

3. จงหาคาของลมตตอไปน

3.1 1

1lim

1x

x

x

3.2 1

1lim

2 3x

x

x

3.3

3

2 1lim

3x

x

x

3.4 1

2lim

9 3x

x

x

3.5

1

1 1limx

x

x

3.6 21

2lim

2x

x

x x

4. จงหาคาของ 0

3 3limh

x h x

h

5. จงหาคาของ 0

limh

x h x

h

6. จงใชนยามของลมต พสจนวา

6.1 3 2

1lim 2x

x x

6.2 3

1 1lim

2 5x x

62

แบบฝกหด 3.2

เรอง ลมตขางเดยว

จงหาลมตของฟงกชนทก าหนดใหตอไปน ในกรณทไมมลมต จงหาลมตทางซาย และลมตทางขวา

1.0

lim 1x

x

x

2. 0

lim 1x

x

3. 3

2

; 2lim

1 ; 2 x

x xf x f x

x

4. 3

7 ; 3lim

1 ; 3 x

x xf x f x

x x

5. 4

lim 4x

x

6. 24

1lim 1x

xx

แบบฝกหด 3.3

เรอง ความตอเนอง

1. ฟงกชนตอไปนมความตอเนองท x = 2 หรอไม

2. ฟงกชนตอไปนมความตอเนองทจดใดบาง

3. ฟงกชน 1f x x ตอเนองท x = -1หรอไม

4. ก าหนดฟงกชน f x ใหแลว ขอความใดถกบาง

63

ก. fตอเนองท 1x ข. f ตอเนองท 1x

5. ก าหนดฟงกชน f x ใหแลว ขอความใดถกบาง

ก. 1 1

lim limx x

f x f x

ข. fเนฟงกชนตอเนองท 1x

6. จงหาคา a ทท าใหฟงกชน 2

3 , 2

4, 2

2

x a x

f x xx

x

มความตอเนองท x = 2

7. ถาฟงกชน

, 1

4, 1

, 1

ax x

f x x

x b x

ตอเนองทจดซง x = 1 แลว จงหาคา a, b

8. ก าหนดให f เปนฟงกชนตอเนอง โดยท 3 2

2

4 4, 2

4

x x xf x x

x

และ

2 , 2f a f b แลว a และ b มคาเทาไร

แบบฝกหด 3.4

เรอง ลมตอนนต

จงหาคาของลมตตอไปน

1. lim 2 3

4 5

x

x x

2.

2

2

lim 7 2

3 10 100

x

x x x

3. 3

2

lim 2

1

x

x x 4.

3

3

2

3 3

2lim

1

x

x

xx

x x

64

5. 2

lim 3

4x x 6.

3

2

lim

7 51

x

x x

7. lim 2 5

3 4

x

x x

8.

2

3

lim 2 7 3

5

x x

x x

9. 3

3

lim 4 2 3

8 5

x x

x x

10.

3

2

lim

7 5

x

x x

65

66

บทท 4

สมการเชงอนพนธ

4.1 สมการเชงอนพนธ

4.1.1 นยาม

สมการเชงอนพนธ คอ สมการทแสดงความสมพนธระหวางฟงกชนกบอนพนธของฟงกชนนน

ตวอยางของสมการเชงอนพนธ เชน

4.1.2 อนดบของสมการเชงอนพนธ

อนดบสงสดของอนพนธทปรากฏอยในสมการเชน

1. 2

2y y xy เปนสมการเชงอนพนธอนดบทสอง เพราะวา อนดบทสง ทสดของอนพนธ คอ 2

2. 2

3 22 3

3 22

d y dy d yx y

dx dx dx

เปนสมการเชงอนพนธอนดบทสามเพราะวา อนดบทสงทสดของ

อนพนธ คอ 3

3. 4 3

2 1y y xy เปนสมการเชงอนพนธอนดบทหนง เพราะวา อนดบทสงทสดของอนพนธ คอ 1

67

4.1.3 ดกรของสมการเชงอนพนธ

ก าหนดสมการเชงอนพนธทอยในรปเลขชก าลงของอนพนธอนดบตางๆ โดยจดใหมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมบวกทนอยทสด จะเรยกเลขชก าลงของอนพนธอนดบทสงทสดทปรากฏอยในสมการเชงอนพนธนนวา ดกร (degree) เชน

1. 2 0dy

xydx

เปนสมการเชงอนพนธ อนดบหนง ดกรหนง

2. 2 3

0y y เปนสมการเชงอนพนธ อนดบสอง ดกรสอง

3. 2

3 22 2

3 20

d y d yx y x

dx dx

เปนสมการเชงอนพนธ อนดบสาม ดกรหนง

4. 2

32

1 0d y dy

xdx dx

เปนสมการเชงอนพนธ อนดบสอง ดกรสาม

เพราะวา จาก 2

32

1d y dy

xdx dx

ยกก าลงสามทงสองขาง จะไดวา

33

2

32

1d y dy

xdx dx

= 3

2

21

d y dyx

dx dx

5. 2 3

3 1 1y y y เปนสมการเชงอนพนธ อนดบสาม ดกรเกา

เพราะวา จาก 2 3

3 1 1y y y ยกก าลงหกทงสองขาง จะไดวา

6 6

2 33 1 1y y y

32

2 31 1y y y

4 9

1 1y y y

4.1.4 สมการเชงอนพนธสามญ

หมายถง สมการเชงอนพนธทเกยวกบอนพนธของฟงกชนทมตวแปรเพยงตวแปรเดยว (Ordinary differential equations) เชน

68

4.1.5 สมการเชงอนพนธยอย

หมายถง สมการเชงอนพนธทเกยวกบ อนพนธของฟงกชนทมตวแปรหลายตวแปร (Partial differential equations) เชน

4.2 สมการเชงอนพนธอนดบหนง

สมการเชงอนพนธสามญอนดบหนงทพจารณาในบทน หมายถง สมการทเขยนอยในรปอนพนธ

,dy

f x ydx

หรอเขยนอยในรปคาเชงอนพนธ

, , 0M x y dx N x y dy

ตวอยางท 4.1 สมการ 2dy y

dx x y

สามารถเขยนอยในรปคาเชงอนพนธเปน

2 0ydx x y dy

สมการอนดบหนง (first order equations) แบงเปนประเภทตางๆ โดยอาศยรปแบบของสมการ ซงจะท าใหสามารถบอกวธการแกสมการไดงาย แบงไดดงน คอ

1. สมการแยกกนไดหรอสมการแยกตวแปรได (separable equations)

2. สมการเอกพนธ (homogeneous equations)

3. สมการแมนตรง (exact equations)

4. สมการเชงเสน (linear equations)

สมการแตละประเภทจะมวธการหาผลเฉลยแตกตางกนออกไป ดงตอไปน

4.2.1 สมการแยกกนไดหรอสมการแยกตวแปรได

สามารถใหบทนยามของสมการทแยกตวแปรได ดงน คอ

0dy

F x G ydx

หมายเหต : ผลเฉลยของ 0F x dx G y dy หาจาก F x dx G y dy c

ตวอยางของสมการเชงอนพนธแบบทสามารถแยกตวแปรได เชน

69

1. 22 1 3 0dy

x ydx

จะเหนวา 2 1F x x และ 2 3G y y

2. 2

sin 2

cos 1

dy x

dx y

ซงสามารถจดรปของสมการไดเปน

2

2

cos 1 sin 2

sin 2 cos 1 0

dyy x

dx

dyx y

dx

ซงจะเหนวา sin2F x x และ 2cos 1G y y

การแกสมการเชงอนพนธทสามารถแยกตวแปรได มหลกการแกสมการเชงอนพนธดงน คอ จากสมการ

0dy

F x G ydx

สามารถเขยนไดในรปของคาเชงอนพนธ ไดวา

F x dx G y dy หรอ 0F x dx G y dy

อนทเกรตทงสองขาง จะได

F x dx G y dy หรอ F x dx G y dy c

ตวอยางท 4.2 จงแกสมการ 22 1 0dy

x ydx

วธท า จดสมการใหอยในรป 0F x dx G y dy จะไดวา

ตวอยางท 4.3 จงแกสมการ 2

2

3 1, 0 1

3 2

dy x xy

dx y y

วธท า จดสมการใหอยในรป 0F x dx G y dy จะไดวา

70

ตวอยางท 4.4 จงแกสมการ 25 1 2 0y dx xydy

วธท า จดสมการใหอยในรป 0F x dx G y dy จะไดวา

ในการแกสมการแยกตวแปรไดนน จะเหนวาฟงกชนทเปนผลเฉลยจะเปนฟงกชนท แตกตางกนออกไป เชน ผลเฉลยทอยในรปฟงกชนตรรกยะ, ฟงกชนลอการทม หรอฟงกชนอดศย

ตวอยางท 4.5 จงแกสมการ 2 0xdx y dy

วธท า จดสมการใหอยในรป 0F x dx G y dy แลวอนทเกรตทงสองขาง

71

ตวอยางท 4.6 จงแกสมการ 2 3dyy x

dx

วธท า จดสมการใหอยในรป 0F x dx G y dy

ตวอยางท 4.7 จงแกสมการ 5y y

วธท า จดสมการใหอยในรป 0F x dx G y dy

72

4.2.2 สมการเอกพนธ

สมการเอกพนธเปนสมการเชงอนพนธอกรปแบบหนงซงมลกษณะเฉพาะตว แตกอนทจะศกษาการแกสมการเชงอนพนธแบบสมการเอกพนธ จะตองใหบทนยามของฟงกชนเอกพนธกอนดงน หมายเหต :ผลเฉลยของสมการเอกพนธหาไดจาก การแปลงใหเปนสมการแบบแยกตวแปรได โดยก าหนด y vx และเปลยนตวแปร

1. ฟงกชน f (x,y) วาเปนฟงกชนเอกพนธดกร n ถา

, ,nf kx ky k f x y

ตวอยางท 4.8 จงพจารณาฟงกชนเอกพนธ 4 3, 2f x y x x y

วธท า จากฟงกชนเอกพนธดกร n สมการ , ,nf kx ky k f x y

ตวอยางท 4.9 จงพจารณาฟงกชนเอกพนธ 2

,y

h x yx

วธท า จากฟงกชนเอกพนธดกร n สมการ , ,nf kx ky k f x y

73

2. สมการเชงอนพนธอนดบหนงทอยในรป , , 0M x y N x y y ถา สมการเอกพนธ ถา ,M x y และ ,N x y เปนฟงกชนเอกพนธดกรเดยวกน

จากสมการ , , 0M x y N x y y

,

,

M x yy

N x y

และถาก าหนดให

,,

,

M x yf x y

N x y ดงนนจะไดวา ,y f x y หรออาจจะ

กลาวอกอยางหนงไดวา สมการเชงอนพนธทอยในรป ,y f x y หรอ ,dy

f x ydx

จะเปนสมการเอกพนธ ถา , ,f kx ky f x y

ตวอยางท 4.10 จงพจารณาสมการเชงอนพนธ2dy y

dx x เปนสมการเอกพนธหรอไม

วธท า จากสมการเชงอนพนธทอยในรป ,dy

f x ydx

74

ตวอยางท 4.11 จงพจารณาสมการเชงอนพนธ 2 2x y

yxy

วาเปนสมการเอกพนธหรอไม

วธท า จากสมการเชงอนพนธทอยในรป ,y f x y

ตวอยางท 4.12 จงพจารณาสมการเชงอนพนธ4 4

3

2y xy

xy

วาเปนสมการเอกพนธหรอไม

วธท า จากสมการเชงอนพนธทอยในรป ,y f x y

75

4.2.3 สมการแมนตรง

สมการแมนตรงเปนสมการเชงอนพนธอกรปแบบหนงซงมลกษณะเฉพาะตว ซงสามารถใหบทนยามไดดงนคอ

, , 0M x y dx N x y dy

และ , ,M x y N x yy x

เ เปนฟงกชนตอเนอง จะไดวา สมการ

, , 0M x y dx N x y dy เปนสมการแมนตรง กตอเมอ M N

y x

หมายเหต: ผลเฉลยของสมการแมนตรง คอ ,F x y c เมอ c เปนคาคงตว

ตวอยางท 4.13 จงพจารณาวาสมการเชงอนพนธ 22 1 0xydx x dy เปนสมการแมนตรง

หรอไม

วธท า จากสมการแมนตรงทอยในรป , , 0M x y dx N x y dy

22 1 0xydx x dy เปนสมการแมนตรง

76

ตวอยางท 4.14 จงพจารณาวาสมการเชงอนพนธ sin cos 2 0x y dx x y y dy เปนสมการแมนตรง หรอไม

วธท า จากสมการแมนตรงทอยในรป , , 0M x y dx N x y dy

sin cos 2 0x y dx x y y dy เปนสมการแมนตรง

ตวอยางท 4.15 จงพจารณาวาสมการเชงอนพนธ sin cos sin cos 0x ydx y xdy เปนสมการแมนตรง หรอไม

วธท า จากสมการแมนตรงทอยในรป , , 0M x y dx N x y dy

77

sin cos sin cos 0x ydx y xdy ไมเปนสมการแมนตรง

ส าหรบกรณทสมการเชงอนพนธทก าหนดใหอยในรป ( บรอนสน. 2542)

, , 0M x y dx N x y dy แตไมเปนสมการแมนตรง นนคอ M N

y x

การหาผลเฉลยจะท า

เหมอนกบการหาผลเฉลยของสมการแมตรงไมไดสามารถจดสมการทก าหนดใหเปนสมการแมนตรงได โดยการหาฟงกชนทเหมาะสมมาคณสมการ แลวท าใหสมการกลายเปนสมการแมนตรง และสามารถหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธนนไดเราเรยกวา ตวประกอบอนทเกรต ,x y หรอ ตวประกอบปรพนธ ,I x y

การหาผลเฉลยตวประกอบอนทเกรต สามารถหาไดดงน คอ

ตวอยางท 4.16 จงหาผลเฉลยทวไปของ 23 2 2 0x y dx xydy

วธท า จากสมการแมนตรงทอยในรป , , 0M x y dx N x y dy

78

ตวอยางท 4.17 จงหาผลเฉลยทวไปของ 2 2 1 2 0x y dx x x y dy

วธท า จากสมการแมนตรงทอยในรป , , 0M x y dx N x y dy

4.2.4 สมการเชงเสน

สมการเชงอนพนธแบบเชงเสน คอสมการทสามารถเขยนอยในรป

กรณท 0r x จะเรยกวาเปน homogeneous

กรณท 0r x จะเรยกวาเปน nonhomogeneous

ค าตอบของสมการเชงอนพนธแบบเชงเสนสามารถค านวณไดดงน

กรณท 1. 0r x y p x y r x

ท าการแยกตวแปร จะได dy

p x dxy

79

ln y p x dx c

ค าตอบทวไปคอ p x dx

y x ce

หมายเหต : ถาเลอกคา 0c จะไดค าตอบ 0y x ซงเปนค าตอบหนงของสมการ

กรณท 2. 0r x จดรปสมการเพอหาตวประกอบอนทเกรต

จะไดวา pdx

F x e เปนตวประกอบการอนทเกรต

ค าตอบทวไปคอ h hy x e e rdx c

ตวอยางท 4.18 จงหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ 3 23 2dy

x y x x xdx

วธท า จากสมการเชงเสนอยในรป h hy x e e rdx c

ตวอยางท 4.19 จงหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ 2 4dy

xy xdx

วธท า จากสมการเชงเสนอยในรป h hy x e e rdx c

80

4.3 การประยกตในสมการเชงอนพนธ

4.3.1 การเปลยนแปลงอณหภม

ณ เวลา t ใดๆ หากน าวตถทมอณหภม x ใสลงไปในตวกลางทมอณหภม T จะได

ตวอยางท 4.19 หากน าเทอรโมมเตอรทอานอณหภมภายในหองได 75 F ออกมาขางนอกหอง พบวาหลงจากน าออกมา 5 นาทเทอรโมมเตอรอานอณหภมได 65 F และอก 5 นาทตอมาเทอรโมมเตอรอานอณหภมได 60 F จงหาอณหภมภายนอกหอง

วธท า จากสมการ , 0dx

k T x kdy

81

4.3.2 ปฎกรยาเคม

กรณเปลยนแปลงจากสารชนดหนงไปเปนสารอกชนดหนง

ให x แทนปรมาณสาร A ทยงไมเปลยนแปลงไปเปนสาร B ณ เวลา t ใดๆ

จะไดวา , 0dx

kx kdt

ตวอยางท 4.20 สาร A โดยปฏกรยาเคมเปลยนแปลงไปเปนสาร B พบวา หนงในสของสาร A เปลยนแปลงไปเปนสาร B ในเวลา 10 นาท จงหาระยะเวลาทสาร A ถกเปลยนไปเกาในสบของปรมาณเรมตน

วธท า จากสมการ , 0dx

kx kdt

82

ระยะเวลาทสาร A ถกเปลยนไป คอ 10 ln10

ln 4 ln 3

กรณสาร A ท าปฏกรยากบสาร B ไดสาร C

ให x แทนปรมาณสาร C ณ เวลา t ใดๆ และa แทนปรมาณสาร A ทยงไมเกดปฏกรยา และ

bแทนปรมาณสาร B ทยงไมเกดปฏกรยา

83

จะไดวา , 0dx

kab kdt

ตวอยางท 4.21 สาร A ท าปฏกรยากบสาร B ไดสาร C โดยปฏกรยานใชสาร A จ านวน 2 กรม และสาร B จ านวน 1 กรม ถาเรมตนดวยสาร A จ านวน 10 กรม และสาร B จ านวน 20 กรม เมอเวลาผานไป 20 นาท ไดสาร C จ านวน 6 กรม จงหาปรมาณสาร C ณ เวลา t ใดๆ และหาปรมาณสาร C ทมากทสดทเกดขนได

วธท า จากสมการ , 0dx

kab kdt

84

85

แบบฝกหดทายบทท4

แบบฝกหด 4.1

เรอง สมการเชงอนพนธอนดบหนง

1. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธดงตอไปน

1.1 xdy – ydx = 0 1.2 (1 + y2 )dx + (1 + x2 )dy = 0

1.3 2ydx + (xy + 5x)dy = 0 1.4 (xy – 4x)dx + (x2 y + y)dy = 0

1.5 y' = x – 1 + xy – y 1.6 (y + yx2 )dy + (x + xy2 )dx = 0

1.7 ex + 2y dx – e2x - y dy = 0 1.8 cos xdy – ydx = 0

1.9 y(1+ x3 )y' + x2(1+ y 2 ) = 0 1.10 x 2 y' – yx 2 = 0

1.11 x tany – y' secx = 0 1.12 e y sinx dx – cos2 xdy = 0

1.13sin y cos xdx + (1 + sin2 x)dy = 0

แบบฝกหด 4.2

เรอง สมการเอกพนธ

1. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน

2.จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธตอไปน

86

แบบฝกหด 4.3

เรอง สมการแมนตรง

1. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน

2. จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธตอไปน

87

แบบฝกหด 4.4

เรอง สมการเชงเสน

1. จงหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธตอไปน

2. จงหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ ตามเงอนไขทก าหนด

88

แบบฝกหด 4.5

เรอง การประยกตในสมการเชงอนพนธ

1. โลหะแทงหนงใชเวลา 40 นาทส าหรบลดอณหภมจาก 200 องศา เปน 100 องศา เมอจมลงในของเหลวชนดหนงซงมอณหภม 10 องศา แตถาของเหลวชนดนมอณหภม 5 องศา จงหาระยะเวลาทโลหะแทงนใชในการลดอณหภมจาก 100 องศา เปน 10 องศา

2. เมอเทอรโมมเตอรอยในหองทมอณหภมคงตวท 30 F และเมอเวลาผานไป 10 นาท พบวา เทอรโมมเตอรบอกอณหภมท 0 F และเมอเวลาผานไป 20 นาท พบวา เทอรโมมเตอรบอกอณหภมท15 F จงหาอณหภมเรมตนของเทอรโมมเตอร

3. ถงใบหนงมน าจด 1000 ลตร ถาเตมน าเกลอทมความเขมขน 1 กโลกรมตอลตร ลงในถงดวยอตราเรวคงท 6 ลตรตอนาท และในขณะเดยวกนปลอยน าในถงซงไดคนใหเขาเปนเนอเดยวกนแลวออกจากถงในอตราเดยวกบอตราการไหลเขา จงหาเวลาเมอความเขมขนเกลอในถงเปน 0.5 กโลกรมตอลตร

4. สาร A ท าปฏกรยาเปลยนเปนสาร B พบวาเมอเวลาผานไป 30 นาท สาร A เปลยนไปแลว 100%

3

จงหาวาเมอปฏกรยานครบ 60 นาท จะมสารละลายเหลอกเปอรเซนต

89

90

บทท 5

คาสงสดและต าสดของฟงกชน

5.1 คาสงสดและต าสดของฟงกชน

5.1.1 นยาม

1. ฟงกชน f มคาสงสดสมพทธ ณ ท x c ถาในชวงเปดมคา c ทท าให f c f x ส าหรบทกๆคา xในชวงเปดน

ภาพท 5.1 ฟงกชน f มคาสงสดสมพทธ ณ ท x c

ถา 0f x เมอ x นอยกวา c เลกนอย

แต 0f x เมอ x มากกวา c เลกนอย

แลวฟงกชน f มคาสงสดสมพทธ ท x c และคาสงสดสมพทธเทากบ f x

2. ฟงกชน f มคาต าสดสมพทธ ณ ท x = c ถาในชวงเปดมคา c ทท าให f c f x ส าหรบทกๆ คา x ในชวงเปดน

91

ภาพท 5.2 ฟงกชน f มคาต าสดสมพทธ ณ ท x c

ถา f '(x)<0 เมอ x นอยกวา c เลกนอย

แต f '(x)> 0 เมอ x มากกวา c เลกนอย

แลวฟงกชน f มคาต าสดสมพทธท x = c และคาต าสดสมพทธเทากบ f(c)

3. ถา c เปนจ านวนในโดเมนของฟงกชน f และถา 0f c หรอ f c หาคาไมไดจะเรยก c วาเปนคาวกฤตของฟงกชน f และจด ,c f c บนกราฟของ f ถกเรยกวาจดวกฤตของกราฟของf เมอทราบวา 0f c แสดงวา c เปนคาวกฤตของฟงกชนใหระวงดงน

3.1 c อาจเปนคาวกฤตทท าใหฟงกชนมคาสงสดสมพทธถากราฟเปนรปคว าลงแลว 0f x แสดงวา 0f c ดวย

ภาพท 5.3 คาวกฤตทท าใหฟงกชนมคาสงสดสมพทธ

3.2 cอาจเปนคาวกฤตทท าใหฟงกชนมคาต าสดสมพทธ ถากราฟเปนรปหงายขน แลว 0f x แสดงวา 0f c ดวย

92

ภาพท 5.4 คาวกฤตทท าใหฟงกชนมคาต าสดสมพทธ

3.3 cอาจเปนคาวกฤตทไมไดท าใหฟงกชนมคาสงสดสมพทธหรอคาต าสดสมพทธเชน

ภาพท 5.5 คาวกฤตทไมไดท าใหฟงกชนมคาสงสดสมพทธหรอคาต าสดสมพทธ

สรป ขนตอนในการหาคาสงสดหรอต าสดสมพทธของ f(x)

1. หา f x

2. จาก f x หาจดวกฤต สมมตวาจดนนเปน x c

3. ทดสอบเครองหมายของ f x ดงน

- 3.1 ถา f x เปลยนจาก จะไดวา f มคาสงสดสมพทธท x c

- 3.2 ถา f x เปลยนจาก จะไดวา f มคาต าสดสมพทธท x c

- 3.3 ถา ไมเปลยนเครองหมาย จะไดวา f ไมมคาสงสดสมพทธ หรอต าสด

สมพทธท x c แตทจด x c จะเปนจดเปลยนเวา

ตวอยางท 5.1 จงหาคาสงสดสมพทธและคาต าสดสมพทธของฟงกชน f เมอก าหนดให32 x2x3x128)x(f

93

วธท า จาก 32 x2x3x128)x(f

ด าเนนการตามล าดบ ดงน

1. หา )x(f จะได 2x6x612)x(f

2. หาคา x ทท าให 0)x(f

นนคอ -12 + 6x + 6x2 = 0

6x2 + 6x – 12 = 0

x2 + x – 2 = 0

(x + 2)(x – 1) = 0

x = -2, 1

3. หา ( )f x จะได ( )f x = 6 + 12x

4. น า x = 2, 1 ไปแทนคาใน ( )f x

4.1 แทนคาx = -2 จะได ( 2)f = 6 + 12(2) = 18 เปนจ านวลบ แสดงวาฟงกชนมคาสงสดสมพทธ

น า x = -2 แทนคาใน f(x) = 8-12x+3x2+2x3จะได

คาสงสดสมพทธเทากบ f(-2) = 8-12(-2)+3(-2)2+2(-2)3 = 28

4.2 แทนคาx = 1 จะได (1)f = 6+12(1) = 12 เปนจ านวนบวก

แสดงวาฟงกชนมคาต าสดสมพทธ

น า x = 1 แทนคาใน f(x) = 8-12x+3x2+2x3จะได

คาต าสดสมพทธ = f(1) = 8-12(1)+3(1)2+2(1)3 = 1

ตวอยางท 5.2 จงหาคาสงสดสมพทธและคาต าสดสมพทธของฟงกชน f เมอก าหนดให 3x)x(f

วธท า จาก 3x)x(f

ด าเนนการตามล าดบ ดงน

1. หา )x(f จะได 2( ) 3f x x

2. หาคา xทท าให ( ) 0f x

94

Y

นนคอ 3x2 = 0

x2 = 0

x = 0

3. น าคา x = 0 ไปตรวจสอบดวยวธท2 ดงน

จาก 2( ) 3f x x

ดงนน ( ) 6f x x

นนคอ (0) 6(0)f 0

ดงนนไมสามารถตรวจสอบดวยวธท 2 ได ตองยอนกลบไปใชวธท 1

3.1 ถา x < 0 เลกนอย จะได 2x3)x(f เปนจ านวนบวกเชน แทน x = -1 จะได 3)1(3)1(f 2 เปนจ านวนบวก

3.2 ถา x> 0 เลกนอย จะได 2x3)x(f เปนจ านวนบวกเชน แทน x = 1 จะได 3)1(3)1(f 2 เปนจ านวนบวก

การเปลยนจากจ านวนลบเปนจ านวนบวก แสดงวาจดท x = 0 คอจด (0, 0) ไมเปนจดสงสดสมพทธและไมเปนจดต าสดสมพทธ ดงนน ฟงกชน f น จงไมมคาสงสดสมพทธ และไมมคาต าสดสมพทธ จาก 2( ) 3f x x จะไดวา ( ) 0f x เมอ 0x หรอ 0x นนคอ f เปนฟงกชนเพมบน R

ตวอยางท 5.3 จงหาคาสงสดสมพทธและคาต าสดสมพทธของฟงกชน f เมอก าหนดให

1. 22 2f x x x 2. 3 27 1f x x x

วธท า จาก 2( ) 2 2f x x x

จะได ( ) 4 2f x x (จะไดคาวกฤตคอ 21

x )

4)x(f ซงมากกวา 0 (แสดงวา f จะมคาต าสดสมพทธ)

ดงนน f จะเปนคาต าสดสมพทธคอ 21

21

221

221

f2

จาก 3( ) 27 1f x x x

จะได 3( ) 27 1f x x x (จะไดคาวกฤตคอ 3,3x )

95

x6)x(f 18)3(6)3(f (แสดงวา f จะมคาต าสดสมพทธท x = 3)

18)3(6)3(f (แสดงวา f จะมคาสงสดสมพทธท x = 3)

ดงนน f จะเปนคาต าสดสมพทธคอ 551)3(273)3(f 3

และ f จะเปนคาสงสดสมพทธคอ 531)3(27)3()3(f 3

5.2 การประยกตปญหาคาสงสดและต าสด

เราจะน าเอาความรเกยวกบคาสงสด และคาต าสดของฟงกชนมาชวยในการแกปญหาโจทยตางๆ โตยจะตองสรางฟงกชนทมความสมพนธกบโจทยและสงทตองการหา ตอจากนนจงหาจดทท าใหคาของฟงกชนดงกลาวมคาสงสดหรอต าสดไวดวย

5.2.1 แนวทางในการแกปญหาการหาคาทเหมาะทสด

ขนตอนท 1 การแปลงรปโจทยใหอยในรปของปญหาทางคณตศาสตร

ขนตอนท 2การหาค าตอบ

ขนตอนท 3การแปลผล แปลงค าตอบทไดใหอยในรปของภาษาทวไป

96

ตวอยางท 5.4 สนามรปสเหลยมผนผาซงมพนท 2700 ตารางเมตร ตองการลอมรวโดยรอบและรวแบงครงสนามซงรวส าหรบแบงครงสนามราคาเมตรละ 80 บาทสวนรวโดยรอบสนามราคาเมตรละ 120 บาทจงหาขนาดของสนามซงจะเสยคารวนอยทสด

วธท า ใหสนามยาว x เมตร และกวาง y เมตรใหคาท ารวทงหมด เปน f(x)

ดงนน f(x) = 120 (2x + 2y) + 80y = 240x + 320y

แตพนทสนามทงหมดเทากบ 2700 ตารางเมตร เพราะฉะนน 2700x y

ดงนน 2700y

x

นนคอ 2700

240 320f x xx

2

864,000240f x

x ก าหนดใหคาของ 0f x

ไดวา 2

864,000240 0

x น า 2x มาคณตลอดสมการ

จะไดวา 2240 864,000 0x

2 864,000

240x , 2 3600x

ฉะนน 60x

ดงนน 60 เปนคาวกฤตของ f ใชอนพนธอนดบ2 ทดสอบวา f(60) เปนคาต าสดหรอไม

3

864,000f x

x ซงมคามากกวาศนย

แสดงวา f (60) เปนคาต าสดสมพทธของ f ซงมเพยงคาเดยวใน (0, )

เพราะวาสนามมพนทเทากบ 2700x y ถา

60x จะได 45y

ดงนนสนามจะตองกวาง 45 เมตร ยาว 60 เมตร จงจะเสยคารวนอยทสด

ตวอยางท 5.5 ถงเปดรปสเหลยมผนผาซงมฐานเปนรปสเหลยมจตรสและมปรมาตร 125 ลบ.เมตร คาวสดทใชท ากนถงตารางเมตรละ160 บาท และวสดส าหรบดานขางตารางเมตรละ 80 บาทจงหาขนาดของถงทมความจเทาเดมแตเสยคาวสดนอยทสด

วธท า ใหถงมฐานยาวดานละ x เมตรถงมความสง y เมตร

ถงนมปรมาตร 2 125x y ลบ.เมตร . 1)

97

ให f x เปนคาวสดทใชท าถง

ดงนน 2 2160 80 4 160 320f x x xy x xy

จากสมการท 1 จะไดวา 2

125y

x

จะไดวา 2

2

125160 320f x x x

x

โดเมนของ f คอ (0, )

หาอนพนธอนดบ 2 3

125320 320f x

x

เมอ x = 0 เราหาคา f x ไมไดแตให 0f x

จะได 3

125320 320 0

x , 3

3

320 125125320 320

320x

x

ไดวา 3 125 5x x

ดงนน 5 เปนคาวกฤตของ f ใชอนพนธอนดบ2 ทดสอบวาf(5) เปนคาต าสดหรอไม

3

125320 320f x

x ซงมคามากกวาศนย

แสดงวา f (5) เปนคาต าสดสมพทธของ f ซงมเพยงคาเดยวใน (0 , )

เพราะวาปรมาตรของถงคอ 2 125x y ถา x = 5 จะได y = 5

ดงนนจะตองท าถงซงมฐานจตรสดานละ 5 เมตร และสง 5 เมตรจงจะไดถงมปรมาตรตามตองการและเสยคาวสดนอยทสด

98

แบบฝกหดทายบทท5

แบบฝกหด 5.1

เรอง คาสงสดสมพทธและคาต าสดสมพทธ

1. จงหาคาสงสดสมพทธและคาต าสดสมพทธของฟงกชน fเมอก าหนดให

1.1 3 21 16 8

3 2f x x x x 1.2 2 33f x x x

1.3 3 26 12 8f x x x x 1.4 4 3 24 2 12 7f x x x x x

1.5 3 3 7f x x x 1.6 4 34f x x x

1.7 3 25 3f x x x x 1.8 4 16f x x

1.9 5 4 38 5 20f x x x x 1.10 1 3 4 34f x x x

1.11 5 2f x x x 1.12 22 1f x x x

2. จงหาจดสงสดสมบรณ และจดต าสดสมบรณของฟงกชน fบนชวงทก าหนดให

2.1 3 22 1; 3 3f x x x x x 2.2 2 31; 1 5

6f x x x x

2.3 4 22 1;0 5f x x x x 2.4 3 22 9 12 ;0 2f x x x x x

2.5 3 22 3 12 15;0 3f x x x x x 2.6 3 2 ;1 4f x x x

2.7 2 3 5 35 ; 1 4f x x x x 2.8 4

;1 4f x x xx

แบบฝกหด 5.2

เรอง การประยกตปญหาคาสงสดและต าสด

1. บรษทแหงหนงท ากลองดบกตองการใชแผนดบกขนาด8 15 นวโดยตดทงสมมเปนรปสเหลยมจตรสแลวยกเปนความสงของกลองดบก จงหาความยาวทยาวทสดของดานของสเหลยมจตรสซงจะท าใหกลองดบกมปรมาตรมากทสด

2. ชมรมคณตศาสตรจงหวดยะลาเกบเงนคาสมาชกตอคนปละ 99.50 บาทส าหรบสมาชกทเกน 600 คนและเพมอก 50 สตางค ถาสมาชกนอยกวา600 คน จงหาจ านวนสมาชกทจะท าใหชมรมมก าไรมากทสดทกๆ ป

99

3. การสรางกลองรปสเหลยมผนผาทมกนกลองเปนรปสเหลยมจตรสและไมมฝาปดดานบนและมปรมาตร 62.5 ลกบาศกเซนตเมตร แลวพนทผวของกลองใบนมคานอยทสดเทาไร

4. นายลองลอยลอยเรออยในทะเลทจด A หางจากหาดทรายทจด B ซงเปนระยะทางทสนทสด เทากบ 9 ไมล เขาตองการจะไปทจด D ซงอยทหาดทรายหางจากจด B เทากบ 20 ไมล ถาเขาพายเรอไดดวยอตราเรว 4 ไมลตอชวโมงไปทจด C ซงอยระหวางจด B และ D หลงจากนนเขาเดนไดดวยอตราเรว 5ไมลตอชวโมง จากจด C ถง D แลว เขาตองไปขนฝงทไหนจงจะใชเวลานอยทสด

5. สามเหลยมรปหนงมฐานยาว12 ฟต และสง 6 ฟต จงหาพนทของสเหลยมผนผาทใหญทสดทสามารถบรรจในสามเหลยมนได โดยมฐานทบกบฐานของสามเหลยม

100

บทท 6

การอนทเกรต

6.1 การอนทเกรตเบองตน

6.1.1 สตรมาตรฐานของอนทเกรต

ความหมายแรกของอนทเกรต คอ การด าเนนการผกผนอนพนธของฟงกชน เชน

เรยกฟงกชน sin x วาการอนทกรลของฟงกชน cos x เทยบกบตวแปร x สญลกษณทใชคอ dxหมายถงการอนทเกรตเทยบกบตวแปร x เขยนแทนดวย

6.1.2 ชนดของอนทเกรต แบงเปน 2 ชนด ไดแก

1. การอนทเกรตไมจ ากดเขต ( Indefinite Integral)

ถา F x เปนฟงกชนท F x f x ส าหรบทกคาของ x ทอยในโดเมนของ f แลว เรยก F x วาเปนปฏยานพนธ (Anti derivetives) ของ f x เทยบกบ x

2. การอนทเกรตจ ากดเขต (Definite Integral)

101

ถา f เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจ เปนสบเซตของจ านวนจรง และ F x f x ส าหรบทกคาของ x ทอยในโดเมนของ f แลว อนทกรลไมจ ากดเขตของฟงกชน f คอ เซตทงหมดของปฏยานพนธของ f เขยนแทนดวย

6.2 การอนทเกรตฟงกชนพชคณต

ฟงกชนพชคณต (Algebraic Function) คอ ฟงกชนพหนาม ฟงกชนชนตรรกยะ และรวมถงฟงกชนทไดจากการ บวก ลบ คณ หาร และการถอดรากของฟงกชนพหนาม

6.2.1 สตรการอนทเกรตฟงกชนชนพชคณต

ให u และv เปนฟงกชนของ x และ a, c, n เปนคาคงตวใดๆ แลวจะได

ตวอยางท 6.1 จงหาคา 3 24 3 2 5x x x dx

วธท า จากสตรฟงกชนพชคณต u v dx udx vdx

102

ตวอยางท 6.2 จงหาคา 3 2 1 3

2x x dx

xx

วธท า จากสตรฟงกชนพชคณต u v dx udx vdx

ตวอยางท 6.3 จงหาคา 3 2x xdx

วธท า จากสตรฟงกชนพชคณต u v dx udx vdx

103

ตวอยางท 6.4 จงหาคา 2

2 3t dt

วธท า จากสตรฟงกชนพชคณต u v dx udx vdx

104

ตวอยางท 6.5 จงหาคา3 2

2

2 7 4 3x x xdx

x

วธท า จากสตรฟงกชนพชคณต u v dx udx vdx

6.2.2 การอนทเกรตโดยการเปลยนตวแปร

มกจะใชชวยในการอนทเกรตทมรปซบซอนใหอยในรปทงายขน ซงมหลกของการอนทเกรตโดยการเปลยนตวแปรดงน

1. พจารณาตรวจสอบทจะเลอกสตรมาใชในการอนทเกรต

2. เลอก u g x ซงเปนฟงกชนของตวแปรในตวถกอนทเกรต

3. หา du

g xdx

และจะได

dudx

g x

4. แทนคา g x u และ

dudx

g x

ซงในขนนการอนทกรล จะตองอยในเทอม ของu โดยไมใหม

ตวแปร x เหลออย

5. ค านวณอนทกรลในเทอมของ u

105

ตวอยางท 6.6 จงหาคา 2 32 1x x dx

วธท า จากหลกการเปลยนตวแปรก าหนดคา u และเปลยนตวแปร

ตวอยางท 6.7 จงหาคา 4sin cosx xdx

วธท า จากหลกการเปลยนตวแปรก าหนดคา u และเปลยนตวแปร

106

ตวอยางท 6.8 จงหาคา 2

1

2 5

xdx

x x

วธท า จากหลกการเปลยนตวแปรก าหนดคา u และแทนคาลงไป

ตวอยางท 6.9 จงหาคา 2ln x

dxx

วธท า จากหลกการเปลยนตวแปรก าหนดคา u และแทนคาลงไป

107

การอนทเกรตโดยการเปลยนตวแปรใหอยในรป u นน ไมสามารถใชไดกบทกๆ ฟงกชนเชน

2

2, sin

1

dxx dx

x ซงไมสามารถท าไดโดยวธดงกลาวและส าหรบอนทกรลใดๆ กตามทมตวถก

อนทเกรตอยในรปเศษสวน และทงเศษและสวน เปนฟงกชนพหนาม โดยทเศษมก าลงสงสดมากกวหรอเทากบก าลงสงสดของสวนแลว ใหน าสวนไปหารเศษ จนกระทงเศษมก าลงสงสดนอยกวาสวน แลวจงน าไปอนทเกรตทละเทอมได

ตวอยางท 6.10 จงหาคา 2

2

2 6

2 1

x xdx

x x

วธท า เนองจากก าลงสงสดของเศษเทากบก าลงสงสดของสวน

108

ตวอยางท 6.11 จงหาคา 3 22 3

1

x xdx

x

วธท า เนองจากก าลงสงสดของเศษเทากบก าลงสงสดของสวน

109

6.3 การอนทเกรตฟงกชนอดศย

ฟงกชนอดศย (Transcendental Functions) คอ ฟงกชนทไมใชฟงกชนพชคณต เชน ฟงกชนตรโกณมต, ฟงกชนตรโกณมตผกผน, ฟงกชนชก าลง และฟงกชนลอการทม เปนตน

6.3.1 การอนทเกรตฟงกชนลอการทม ม 1 สตรอย คอ

1lndu u c

u

เนองจากสตร 1du

u กคอ 1u du

ซงคลายกบสตร udu แตแตกตางกนทก าลงเทานน

นนคอ ถาก าลงของ u เปน -1 ใหใชสตร 1du

u แตถาก าลงของ u เปนคาคงทอนๆ ทไมใช -1 ใหใช

สตร n

u du

110

ตวอยางท 6.12 จงหาคาของ 1

2 3dx

x

วธท า ให 2 3u x 2 3d xdu

dx dx

1

2du dx

1

2 3dx

x = 1

2

du

u

= 1 1

2du

u

= 1ln

2u c

แต 2 3u x ดงนน 1

2 3dx

x = 1ln 2 3

2x c

ตวอยางท 6.13 จงหาคาของ 2

3 5

xdx

x

วธท า ให 3 5u x 3 5d xdu

dx dx

2

1

3du dx

x

2

3 5

xdx

x = 2

23

x du

u x

= 2

2

1

3

x du

u x

= 2

2

1

3

x du

u x

= 1 1

3du

u

6.3.2 การอนทเกรตฟงกชนชก าลงมสตรใช 2 สตร คอ

1.ln

uu a

a du ca

2. u ue du e c

ตวอยางท 6.14 จงหาคาของ 53 xdx

วธท า จากสตร ln

uu a

a du ca

111

ให ให 5u x 5d xdu

dx dx 1

5du dx

53 xdx = 35

u du

= 13

5

u du = 3

5ln3

u

c

แต 5u x ดงนน 53 xdx = 53

5ln3

x

c

ตวอยางท 6.15 จงหาคาของ 2 610xx dx

วธท า จากสตร ln

uu a

a du ca

ให 2 6u x 2 6d xdu

dx dx

1

2du dx

x

2 610xx dx

= 102

u dux

x

2 610xx dx

= 110

2

udu

2 610xx dx

= 10

2ln10

u

c

แต 2 6u x ดงนน 2 610xx dx

= 2 610

2ln10

x

c

ตวอยางท 6.16 จงหาคาของ 32 5xx e dx

วธท า จากสตร u ue du e c

ให 3 5u x 3 5d xdu

dx dx

2

1

3du dx

x

32 5xx e dx

= 2

23

u dux e

x

32 5xx e dx

= 1

3

ue du

32 5xx e dx

= 1

3

ue c

112

แต 3 5u x ดงนน 32 5xx e dx

= 3 51

3

xe c

ตวอยางท 6.16จงหาคาของ 2

1xe dx

วธท า จากสตร u ue du e c

จากสมการท าใหเปนก าลงสองสมบรณ ไดวา 2 2 1x xe e

2

1xe dx = 2 2 1x xe e dx

2

1xe dx = 2 2 1x xe dx e dx dx

จาก 2xe dx ให 2u x 2d xdu

dx dx 1

2du dx

2 2 1x xe dx e dx dx = 12 1

2

u xe du e dx dx

2 2 1x xe dx e dx dx = 12

2

u xe e x

แต 2u x ดงนน 2

1xe dx = 212

2

x xe e x

แต 3 5u x ดงนน 2

3 5

xdx

x = 31ln 5

3x c

6.3.2 การอนทเกรตฟงกชนชก าลง

มสตรใช 2 สตร คอ

1.ln

uu a

a du ca

2. u ue du e c

ตวอยางท 6.14 จงหาคาของ 53 xdx

วธท า จากสตร ln

uu a

a du ca

ให ให 5u x 5d xdu

dx dx 1

5du dx

113

53 xdx = 35

u du

= 13

5

u du = 3

5ln3

u

c

แต 5u x ดงนน 53 xdx = 53

5ln3

x

c

ตวอยางท 6.15 จงหาคาของ 2 610xx dx

วธท า จากสตร ln

uu a

a du ca

ให 2 6u x 2 6d xdu

dx dx

1

2du dx

x

2 610xx dx

= 102

u dux

x

2 610xx dx

= 110

2

udu

2 610xx dx

= 10

2ln10

u

c

แต 2 6u x ดงนน 2 610xx dx

= 2 610

2ln10

x

c

ตวอยางท 6.16 จงหาคาของ 32 5xx e dx

วธท า จากสตร u ue du e c

ให 3 5u x 3 5d xdu

dx dx

2

1

3du dx

x

32 5xx e dx

= 2

23

u dux e

x

32 5xx e dx

= 1

3

ue du

32 5xx e dx

= 1

3

ue c

แต 3 5u x ดงนน 32 5xx e dx

= 3 51

3

xe c

114

ตวอยางท 6.16จงหาคาของ 2

1xe dx

วธท า จากสตร u ue du e c

จากสมการท าใหเปนก าลงสองสมบรณ ไดวา 2 2 1x xe e

2

1xe dx = 2 2 1x xe e dx

2

1xe dx = 2 2 1x xe dx e dx dx

จาก 2xe dx ให 2u x 2d xdu

dx dx 1

2du dx

2 2 1x xe dx e dx dx = 12 1

2

u xe du e dx dx

2 2 1x xe dx e dx dx = 12

2

u xe e x

แต 2u x ดงนน 2

1xe dx = 212

2

x xe e x

6.3.4 การอนทเกรตฟงกชนตรโกณมตผกผน

มสตรทใช คอ

115

การพจารณาวาอนทเกรตแบบใดทใชสตรในกลมฟงกชนตรโกณมตผกผน คอ อนทเกรตทมนพจนทสามารถจดใหเขารป 2 2 2 2 2 2, ,u a u a a u

ลกษณะนพจนทสามารถจดใหเขารป 2 2 2 2 2 2, ,u a u a a u ม 2 ประเภท คอ

1. นพจนทประกอบดวย 2 พจน คอ พจนทเปนตวแปรและพจนคงท เชน

2 22

2 22

2 2

4 9 2 3 ; 2 , 3

3 16 3 4 ; 4 , 3

3 1 3 1 ; 3 , 1

x x u x a

x x u x a

x x u x a

2. นพจนทประกอบดวยพจนตางๆ เชน 2 4 26 25, 4 3, 2 2x x x x x ควนจดใหอยในรของ 2 2 2 2 2 2, ,u a u a a u โดยใชวธก าลงสองสมบรณ มหลกการดงน

1. เรยงก าลงของตวแปรจากมากไปนอย

2. ท าสมประสทธ หนาพจนตวแปรทมก าลงสงสดใหเปน 1

3. คดค านวณพจนคงททจะตองใชจากสตรตอน

พจนคงท = (ส.ป.ส. พจนกลาง/2)2

4. เตมพจนคงททค านวณไว แลวปรบคาใหเทาเดม

ตวอยาง เชน 2 22 2 26 25 6 9 9 25 6 9 16 3 4x x x x x x x

2 2 2 24 4 4 4 4 4 133 4 3 3 1 3 1 3

3 3 9 9 3 9 9x x x x x x x x

222 13

33 3

x

2 2 2 232 4 32 4 32 4 32 4 4 4x x x x x x x x

2 22 232 4 4 4 36 4 4 6 2x x x x x

ตวอยางท 6.20 จงหาคาของ 2

4

9 16

dx

x

วธท า จากสตร

จดใหอยใ นรปแบบของ 2 2a u

116

2

4

9 16

dx

x =2

49 16

dx

x

2

4

9 16

dx

x =

2 24

3 4

dx

x

ใชสตรอนพนธเขาชวย 3 13 , ,

3

d xduu x dx du

dx dx

2

4

9 16

dx

x =

2 2

4

3 3 4

du

x

2

4

9 16

dx

x =

4 1 3 4ln

3 2 3 3 4

x

x x

2

4

9 16

dx

x = 2 3 4ln

9 3 4

xc

x x

ตวอยางท 6.21 จงหาคาของ 23 4x dx

วธท า จากสตร

จดใหอยในรปแบบของ 2 2a u

23 4x dx = 2

3 2x dx

ใชสตรอนพนธเขาชวย 2 12 , ,

2

d xduu x dx du

dx dx

23 4x dx = 21

3 22

x du

23 4x dx =

2 221 1 1 2

2 3 2 3 arcsin2 2 2 3

xx x

23 4x dx = 2 2 3 2

3 2 arcsin2 2 3

x xx

ดงนน 23 4x dx = 2 3 23 4 arcsin

2 2 3

x xx c

117

ตวอยางท 6.22 จงหาคาของ 3 2

2

3 4 3

1

x x xdx

x

วธท า จากสมการเหนวาก าลงของเศษมากกวาก าลงของสวนตองหารกอน

การหาร

2 3 2

3

2

2

1 3 4 3 3 4

3 3

4

4 4

4

x x x x x

x x

x

x

3 2

2

3 4 3

1

x x xdx

x

= 2

43 4

1x dx

x

3 2

2

3 4 3

1

x x xdx

x

= 2

43 4

1xdx dx dx

x

3 2

2

3 4 3

1

x x xdx

x

= 2 2

13 4 4

1xdx dx dx

x

จากสตร

3 2

2

3 4 3

1

x x xdx

x

= 2

134 tan

2

xx x c

118

แบบฝกหดทายบทท 6

แบบฝกหด 6.1

เรอง การอนทเกรตฟงกชนพชคณต

1.จงหาคาอนทกรลตอไปน

119

แบบฝกหด 6.2

เรอง การอนทเกรตฟงกชนอดศย

จงหาคาของ

1. 3

dx

x 2. 2 5

xdx

x 3. 2

2

4

x dx

x x

4. 1

1

xdx

x

5. 2 3

dx

x 6. 2

2 3

3

xdx

x x

7. 2 3

2

xdx

x

8. 1

3

dx

x x 9.

2 1 2 1

dx dx

x

10. 2 2 2

2

x xdx

x

แบบฝกหด 6.3

เรอง การอนทเกรตฟงกชนชก าลง

จงหาคาตอไปน

1. 2 x

dx

e 2. x xa e dx 3. 2xxe dx 4.

2 3

dx

x 5. 5 5x xe a dx

6. 2

2 3

3

xdx

x x

7. 2 3

2

xdx

x

8. 1

3

dx

x x 9.

2 1 2 1

dx dx

x x

10 2 2 2

2

x xdx

x

11. 5xx ee dx 12.

21 x

x

edx

e

แบบฝกหด 6.4

เรอง การอนทเกรตฟงกชนตรโกณมต

จงหาคาอนทเกรตตอไปน

1. 2cos 4 1ec x dx 2. cos 3 cos3ec y ydy 3. sec5

cot 5

xdx

x

4. 2

sin

cos

xdx

x 5. 1 sin 2

tan 2

xdx

x

6.

2

1 cos

sind

7. 2

tan 2 1x dx 8. 2

sec cosx ecx dx 9. 1 cos3

dx

x

120

10. 1 sin

2

dx

x

11. 1 sec 2

dx

x 12. 1 sin

1 cos

xdx

x

แบบฝกหด 6.5

เรอง การอนทเกรตฟงกชนตรโกณมตผกผน

จงหาคาอนทเกรตตอไปน

1.2

5

4 25

dx

x 2. 225 16

dx

x 3. 2 21

dy

a y

4.

24 3

dx

x 5. 2 36x dx 6.

24 9

dx

x x

7. 416 9

xdx

x 8.

4 1

dx

x x 9.

4

sin8

9 sin 4

xdx

x

10. 4 2

2

2

2 1

x xdx

x

11. 2

2 5

9

xdx

x

12. 23 2x x dx

121

122

บทท 7

เทคนคการอนทเกรต

ในบทท 6 ทผานมา ไดกลาวถงการหา f x dx เมอ f เปนฟงกชนงายๆ ไวแลว ในบทนจะ

กลาวไปถงการอนทเกรตฟงกชนทมความยากมากขน โดยจะแบงการอนทเกรตออกเปน 4 หวขอดวยกน ดงน

1. การอนทเกรตโดยแยกสวน

2. การอนทเกรตโดยการแยกเปนเศษสวนยอย

3. การอนทเกรตโดยการแทนคาทางตรโกณมต

4. การอนทเกรตโดยใชสตรลดรปและฟงกชนตรโกณมต

7.1 การอนทเกรตโดยแยกสวน

ถา u และ v เปนฟงกชนของตวแปร x และตางกมอนพนธซงตอเนอง เราจะไดวา

จะเหนวาการอนทเกรตแตละสวนนน เปลยนการอนทเกรตจากรแบบ udu ไปสรปแบบ

vdu ดงนน การเลอก u และ dv นนตองใหเหมาะสมดวย โดยยดหลกวาตองท าใหอนทกรลหลงนน

งายขน

123

ตวอยางการเลอก u และ dv จากตวถกอนทเกรตในรปแบบตางๆ กน ดงน

1. ถาตวถกอนทเกรตอยในรปผลคณของฟงกชนโพลโนเมยลกบฟงกชนตรโกณมต หรอฟงกชนโนเมยลกบฟงกชนชก าลง ใหเลอก u เปนฟงกชนโพลโนเมยล และฟงกชนทเหลอเปน dv เชน

sinx xdx เลอก u x sindv xdx

3 7 2 cosx x xdx เลอก 3 7 2u x x cosdv xdx

2. ถาตวถกอนทเกรตอยในรปผลคณของฟงกชนชก าลงกบฟงกชนตรโกณมต จะเลอกu เปนฟงกชนอะไรกๆได ฟงกชนทเหลอเปน dv เชน

sinxe xdx เลอก xu e sindv xdx

หรอ

เลอก sinu x xdv e dx

3. ถาตวถกอนทเกรตอยในรปผลคณของฟงกชนโพลโนเมยลกบฟงกชนลอการทม หรอฟงกชนลอการทมอยางเดยว ใหเลอก u เปนฟงกชนลอการทม ฟงกชนทเหลอเปน dv เชน

2 lnx xdx เลอก lnu x 2dv x dx

ln xdx เลอก lnu x dv dx

4. ถาตวถกอนทเกรตมฟงกชนตรโกณผกผนประกอบอย ใหเลอก uเปนฟงกชนตรโกณผกผนนน ฟงกชนทเหลอเปนdv เชน

cotarc xdx เลอก cotu arc x dv dx

ตวอยางท 7.1 จงหาคาของ ln xdx

วธท า จากสตร udv uv vdu

124

ตวอยางท 7.2 จงหาคาของ ln xdx

x

วธท า จากสตร udv uv vdu

ตวอยางท 7.3 จงหาคาของ sinx xdx

วธท า จากสตร udv uv vdu

การอนทเกรตโดนการแยกสวนบางครงแยกเพยงครงเดยวกไดค าตอบ แตบางครงการแยกสวนเพยงครงเดยวอาจไมสามารถแยกได จ าเปนตองแยกสวนสองครง หรอมากกวานนจงจะไดค าตอบ

ตวอยางท 7.4 จงหาคาของ 2 sinx xdx

วธท า จากสตร udv uv vdu

125

ตวอยางท 7.5 จงหาคาของ 2 2 1xx e dx

วธท า จากสตร udv uv vdu

126

7.2 การอนทเกรตโดยการแยกเปนเศษสวนยอย

การอนทเกรตฟงกชนทอยในรปฟงกชนตรรกยะ

P x

Q xเมอ P x และ 0Q x เปน

ฟงกชนพหนามน เราใชคณสมบตตางๆ ของเศษสวนยอย โดยพยายามแยกตวฟงกชนใหอยในรปของผลบวกของเศษสวนยอยๆ เพอทจะท าใหอนทเกรตไดงายขน แตกอนทเราจะศกษาถงตวอยางการอนทเกรตโดยวธน เราจะศกษาการแปลงเศษสวนยอยกอน

ในการหา

P xdx

Q x เมอ

P x

Q x เปนฟงกชนตรรกยะ ใหพจารณาดงน ดวา Q x สามารถ

แยกตวประกอบไดหรอไม ถาแยกไดกสามารถท าฟงกชน

P x

Q x ใหเปนเศษสวนยอย ซงเราจะแยก

พจารณาเปนกรณตางๆ ดงน

127

128

ตวอยางท 7.6 จงเขยน 2

2

1 1

x

x x ใหอยในรปผลบวกเศษสวนยอย

วธท า จาก กรณท 2 Repeat Linear Factors

ตวอยางท 7.7 จงเขยน 3 2

4

5 2 4

1

x x x

x

ใหอยในรปผลบวกเศษสวนยอย

วธท า จาก 4 21 1 1 1x x x x

129

ตวอยางท 7.8 จงเขยน

2

5

2 1

x

x x

ใหอยในรปผลบวกเศษสวนยอย

วธท า จาก

2 2

5

2 12 1 1

x A B C

x xx x x

130

ตวอยางท 7.9 จงหาคาของ2

1

4

xdx

x

วธท า จาก 2

1 1

4 2 2 2 2

x x A B

x x x x x

ตวอยางท 7.10 จงหาคาของ3 2

3

2 2

xdx

x x x

วธท า จากสมการใชวธการแยกตวประกอบ

131

ตวอยางท 7.11 จงหาคาของ

4 3 2

22

3 5 4

3 1

x x x x

x x

วธท า จากสมการใชวธการแยกตวประกอบ

132

7.3 การอนทเกรตโดยการแทนคาทางตรโกณมต

การอนทเกรตของฟงกชนทมพจนอยในรของ 2 2 2 2 2 2, ,a u a u u a เราอนทเกรตไดโดยการแทนคาดวยฟงกชนตรโกณมต เพอใหอยในรปของการอนทเกรตทงายขน ซงสามารถแยกเปนกรณยอยๆ ดงน

133

ตวอยางท 7.12 จงหาคา 24 x dx

วธท า จาก 2 2a u ให sinu a และแทน 2 2 2 2cosa u a

ตวอยางท 7.13 จงหาคา 2

22

x dx

x x

วธท า จาก 2 2a u ให sinu a และแทน 2 2 2 2cosa u a

134

ตวอยางท 7.13 จงหาคา 29 4

dx

x x

วธท า จาก 2 2a u ให tanu a และแทน 2 2 2 2seca u a

135

ตวอยางท 7.14 จงหาคา 2 9x

x

วธท า จาก 2 2u a ให secu a และแทน 2 2 2 2tanu a a

ตวอยางท 7.15 จงหาคา

32 24 24 27

dx

x x

วธท า จาดสมการจดใหอยในรปแบบ 2 2u a

136

137

7.4 การอนทเกรตโดยใชสตรลดรปและฟงกชนตรโกณมต

ตวอยางท 7.16 จงหาคาตอไปน

วธท า โดยใชสตรลดทอนในรปแบบของ sinn u

ตวอยางท 7.17 จงหาคาตอไปน

วธท า โดยใชสตรลดทอนในรปแบบของ cosn u

138

ตวอยางท 7.18 จงหาคาของ 3 5sin cosx xdx

วธท า เนองจาก m = 3 เราจดรปใหมไดเปน

139

ตวอยางท 7.19 จงหาคาของ 4 5sin 2 cos 2x xdx

วธท า เนองจาก n = 5 เราจดรปใหมไดเปน

ตวอยางท 7.20 จงหาคาของ 2 4sin cosx xdx

วธท า ใชเอกลกษณของเลขชก าลงชวยในการแตกพจน

140

141

ตวอยางท 7.21 จงหาคาของอนทเกรตตอไปน

วธท า โดยใชสตรลดทอนในรปแบบของ tann u

ตวอยางท 7.22 จงหาคาของอนทเกรตตอไปน

วธท า โดยใชสตรลดทอนในรปแบบของ secn u

142

ตวอยางท 7.23 จงหาคาของ 4 6sec tanx xd

วธท า แยก 2sec u ออกจาก secn u ใชเอกลกษณ 2 2sec 1 tanu u

ตวอยางท 7.24 จงหาคาของ4sec 2

tan 2

xdx

x

วธท า ให 2u x จะไดวา 2du dx

143

ตวอยางท 7.25 จงหาคาของ 5 3sec tanx xdx

วธท า ใหแยก sec tanu u ออก ใชเอกลกษณ 2 2tan sec 1u u

144

ตวอยางท 7.26 จงหาคาของ3

3

tan 6

sec6

xdx

x

วธท า ให 6u x จะไดวา 6du dx

ตวอยางท 7.27 จงหาคาของ 2tan secx xdx

145

วธท า ใหแยก 2tan u ออกแลวใชเอกลกษณ 2 2tan sec 1u

ตวอยางท 7.27 จงหาคาของ 3 2sec 3 tan 3x xdx

วธท า ให 3u x จะไดวา 3du dx

146

ตวอยางท 7.28 จงหาคาของคาตอไปน

วธท า 1..ให 2u x จะไดวา 2du dx

147

ตวอยางท 7.29 จงหาคาตอไปน

วธท า 1..ให 9 1u x จะไดวา 2du dx

148

ตวอยางท 7.30 จงหาคาของ 4cot3 cos 3x ec xdx

วธท า ให 3u x จะไดวา 3du dx

149

ตวอยางท 7.31 จงหาคาของ 3 5cot 5 cos 5x ec xdx

วธท า ให 5u x จะไดวา 5du dx

ตวอยางท 7.31 จงหาคาของ sin7 cos5x xdx

วธท า จากเอกลกษณ 1

sin sin2

x A B A B

150

7.5 การประยกตใชอนทเกรต

ในการน าเอาอนทเกรต ไปประยกตใชนนมในหลากหลายรปแบบดวยกน เชน การหาคาความยาวของเสนโคง, การหาพนทระหวางเสนโคง, การหาปรมาตรของรปทรงตางๆ แตในบทนจะกลาวถงเฉพาะการเอาไปประยกตใชในการหาพนทเทานน

1. การหาพนทใตเสนโคง

ในการหาพนททอยระหวางเสนโคง เสนโคง y f x ในชวงท n มคาอยในชวง

,a b นนสามารถน าเอาการอนทเกรตแบบจ ากดไปประยกตใชได ทงนพนทดงกลาวจะหาไดจาก

b

a

f x dx

ตวอยางท 7.32 จงหาพนททอยระหวางแกน x กบเสนโคง y = f (x) ในชวง [a, b] โดยท

วธท า การหาพนทจากสตร b

a

f x dx

151

ตวอยางท 7.33 จงหาพนททอยระหวางเสนโคง 3 24 6f x x x x กบแกน , 1 3x x

วธท า การหาพนทจากสตร b

a

f x dx

152

2. การหาพนทระหวางเสนโคง

การหาพนทระหวางเสนโคง y f x กบเสนโคง y g x โดยท f x g x ในชวง

,a b นนหาไดจาก b

a

f x g x dx

153

ตวอยางท 7.34 จงหาพนททอยระหวางเสนโคง 22y x และเสนตรง y x

วธท า จากสตรการหาพนท b

a

f x g x dx

ตวอยางท 7.35 จงหาพนทลอมรอบดวยเสนโคง 2y x และเสนตรง 2y x

วธท า จากสตรการหาพนท b

a

f x g x dx

154

จะเหนไดวาพนททอยใตเสนโคง 2y x และเสนตรง 2y x นนแบงออกไดเปน 2 สวน

สวนท 1 คอในชวง [0, 1] เปนพนททอยใตเสนโคง y x และอยเหนอเสนโคง y x

สวนท 2 คอชวง [1, 4] เปนพนททอยใตเสนโคง y x และเสนตรง 2y x

155

แบบฝกหดทายบทท 7

แบบฝกหด 7.1

เรอง การอนทเกรตโดยแยกสวน

จงค านวณหาคาอนทเกรตแตละขอตอไปน

แบบฝกหด 7.2

เรอง การอนทเกรตโดยการแยกเปนเศษสวนยอย

จงหาคาของอนทเกรตตอไปน

156

แบบฝกหด 7.3

เรอง การอนทเกรตโดยการแทนคาทางตรโกณมต

จงหาคาของอนทเกรตตอไปน

แบบฝกหด 7.4

เรอง การอนทเกรตโดยใชสตร sin x และ cos x

จงค านวณหาคาของอนทเกรตตอไปน

แบบฝกหด 7.5

เรอง การอนทเกรตโดยใชสตรtan x และ sec x

จงค านวณหาคาของอนทเกรตแตละขอตอน

157

แบบฝกหด 7.6

เรอง การอนทเกรตโดยใชสตร cot x และ cosec x

1. จงหาคาของอนทเกรตโดยใชสตร

2. จงหาคาของอนทเกรตแตละขอตอน

แบบฝกหด 7.7

เรอง การประยกตใชอนทเกรต

1. จงหาพนททอยเหนอหรอใตแกน x ของ f(x) ตอไปน

2. จงหาพนททอยระหวางเสนโคง f(x) กบ g(x) ตอไปน

158

บรรณานกรม

ชนศกด บายเทยง, ชนศกด บายเทยง, ศรบตร แววเจรญ, และศรบตร แววเจรญ. (๒๕๓๓). การ วเคราะหเวกเตอรและอนกรมอนนต. กรงเทพฯ:สอเสรมกรงเทพ.

ฝายวชาการ พบซ. (๒๕๕๒) เวกเตอร ฉบบมน (พมพครงท ๑). กรงเทพฯ: ศนยหนงสอแหงจฬาลงกรณ มหาวทยาลย

ปรยาพร โกษา. (๒๕๕๐). เอกสารประกอบการสอนรายวชาสถตยศาสตรวศวกรรม. นครราชสมา: สาขาวชาวศวกรรมโยธา ส านกวชาวศวกรรมศาสตรมหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร.

ฟสกสราชมงคล. (๒๕๕๑). เวกเตอร ปรมาณเวกเตอร. คนเมอ มนาคม ๑๑, ๒๕๕๖ จาก http://www.rmutphysics.com/physics/oldfront/72/vector.htm

มนส ประสงค. (๒๕๕๑). คณตศาสตร๒ . กรงเทพฯ : ศนยสงเสรมวชาการ

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (๒๕๕๑). คณตศาสตร เลม ๒ กลมสาระการ เรยนรเพมเตม. ชน มธยมศกษาปท 4. กรงเทพฯ : โรงพมพครสภา ลาดพราว.

กานดา ลอสทธวบลย และยพน จรสขานนท. (๒๕๕๕). สรปคณตศาสตร ม.ปลาย เมทรกซ. คนเมอ กมภาพนธ ๑๓, ๒๕๕๖ จาก http://www.neutron.rmutphysics.com/news/index.php?option=com_content&t ask=view&id=638&Itemid=5&limit=1&limitstart=0109

พงศทอง แซเฮง, และเจษฎา กานตประชา. (๒๕๕๔). เมทรกซ. คนเมอ กมภาพนธ ๑๒, ๒๕๕๖ จาก http://www.mathcenter.net/review/review11/review11p01.shtml

มณฑชา ชยประเสรฐ. (๒๕๕๔). การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซและดเทอรมนนต. คนเมอ เมษายน ๒๑, ๒๕๕๖ จาก http://www.snr.ac.th/m5html/monticha/work/Lesson%207.htm

กมล เอกไทยเจรญ. (๒๕๕๔). คมอคณตศาสตร ม.4 เลม 2 (สาระเพมเตม). กรงเทพฯ:ไฮเอดพบลชชง