บทท 4 ความนาจะเปนเบองตน

บทน า คณเปนคนถนดมอซายหรอไม ? จากการสงเกตคณมวธจ านวนมากมาย หรอสงซงอตรา

รอยละของเพอนของคณ เปนคนถนดมอซายหรอไม? ประมาณหลายปทผานมาประธานาธบดของสหรฐจาก สในหกประธานาธบดลาสดคอถนดมอซาย ตวอยางการสอดคลอง กบการส ารวจประมาณ 15 %ของคน และ 9% ของผหญงในสหรฐคอคนถนดมอซาย

โดยปกตทวไปเรามกจะคาดการณความนาจะเปน ตวอยางเชน การท านายพยากรณอากาศวา อาจจะมฝนตกประมาณ 80 % ในวนพรงน ขาวการรายงานสขภาพของผสบบหรอาจจะมโอกาสเปนโรคมะเรงมากกวาผทไมสบบหร

ความนาจะเปนเปนการวดชนดหนงและเปนเหตการณทจะเกดขน เปนสวนส าคญบางสวนทางสถต เปนพนฐานของขอมลทางสถตเชงอนมาน ในสถตเชงอนมาน เราสามารถทจะตดสนใจภายใตเงอนไขของความไมแนใจ บาง ททฤษฎทใชในการวดอาจจะเกยวของกบการตดสนใจ ตวอยางเชน การประมาณวาในปถดมาการคาขายในบรษทอาจจะเปนขอมลทเปนขอตกลง บางอยางอาจจะเกดขนจรงและบางอยางอาจจะไมเกดขน ความนาจะเปนจะชวยใหคณตดสนใจภายใตเงอนไขทมความสมบรณของขอมล การรวมความนาจะเปนและการแจกแจงความนาจะเปน ( มการอธบายในบทท 5 ถง 7 ) ดวยการใชสถตเชงพรรณนาทจะชวยใหคณตดสนใจกลมประชากรทเปนพนฐานของขอมลจากกลมตวอยาง บทนจะมการเสนอแนวคดของความนาจะเปน และกฎส าหรบการค านวนความนาจะเปน

4.1 การทดลอง ผลลพธ และ เซตสากล ( Sample space ) Jack cook เปนผตรวจสอบคณภาพ บรษททผลตลกเทนนส ซงพบวาจากการตรวจสอบคณภาพของผลตภณฑ มลกษณะดหรอบกพรอง การตรวจสอบลกเทนนสเปนตวอยางการทดลองทางสถต สงทไดจากการต รวจจะไดลกษณะของลกเทนนส คอ ดหรอบกพรอง จากการสงเกตนเรยกวา ผลลพธ จากการทดลอง และ ผลลพธทไดก าหนดเปน Sample space มาจากการทดลอง ค านยาม

การทดลอง ผลลพธ และ เซตสากล ( Sample space ) การทดลอง คอกระบวนการ เมอเกดผลลพธจากก ารกระท าในสงหนง หรอจากการสงเกตจ านวนหลายๆครง การสงเกตคอเรยกวา ผลลพธของการทดลอง ผลลพธทเปนไปไดทงหมดจากการทดลองเรยกวาเซตสากล ( Sample space )

Sample space เขยนแทนดวย S Sample space จากการทดลองเมอมการตรวจสอบอยางละเอยดจากการเลนเทนนสพบวาสามารถไดดงน S = { ด , บกพรอง } แตละสมาชกของ Sample space เรยกวา Sample point ตารางท 4 แสดงตวอยางของการทดลอง ผลลพธ และ เซตสากล ( Sample space )

การทดลอง ผลลพธ เซตสากล ( Sample space )

โยนเหรยญหนงครง หว , กอย S = { หว , กอย } โยนลกเตาหนงครง 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } โยนเหรยญสองครง HH , HT , TH , TT S = { HH , HT , TH , TT } เลนลอตเตอรร ชนะ , เสย S = { ชนะ , เสย } ทดสอบ ผาน , ตก S = { ผาน , ตก } เลอกนกเรยน ชาย , หญง S = { ชาย , หญง } Sample space จากการทดลองสามารถอธบายโดยใชภาพประกอบดวย Vann diagram

หรอ tree diagram คอรปภาพ ( สวนประกอบของรปเรขาคณต เชน สเหลยมมมฉาก หรอวงกลม ) บรรยายถงความเปนไปไดของผลลพธจากการทดลอง ใน tree diagram ผลลพธโดยสาขาของตนไม Vann diagram และ tree diagram ท าใหคณเขาใจความหมายของความนาจะเปน ทแสดงเสมอน ตวอยาง 4.1 จนถงตวอยาง 4. 3 ทบรรยายโดยใชรปภาพส าหรบการทดลองทางสถต ตวอยาง 4.1 วาดภาพ Vann diagram และ tree diagram จากการทดลองโยนเหรยญหนงครง วธแกปญหา

การทดลองมสองผลลพธทแสดงความเปนไปได : หว และ กอย ผลทตามมา Sample space เขยนไดดงน S = { H ,T } H = Head และ T = Tail วาดภาพ Vann diagram ส าหรบตวอยาง โดยการวาดรป สเหลยมมมฉากท าจดสองจดในรปสเหลยมมมฉากเพอแสดงสองผลลพธ คอ หวและกอย เขยนอกษร S นอกรปสเหลยมมมฉากเพราะเปนการแสดงถง Sample space ( ในรป 4.1a ) วาดภาพ tree diagram โดยการเรมวาดรป

สองกงทแสดงถง Sample point กงทหนงแสดงถงหว กงทสองแสดงถงกอย ผลลพธสดทายทไดแสดงถงรายละเอยดของสาขา รปภาพ 4.1 a. Vann diagram b. tree diagram จากการโยนเหรยญหนงครง ผลลพธ S H head Tail T

( a ) ( b ) ตวอยาง 4.2 วาดภาพ Vann diagram และ tree diagram จากการทดลองโยนเหรยญสองครง วธแกปญหา

การทดลองนสามารถแยกไดสองสวน การโยนครงแรก และการโยนครงทสอง สมมตโยนครงแรกอาจจะรบไดหว ดงนนเมอโยนคงทสองอาจจะรบไดหวหรอกอย สงทไดคอสองผลลพธ : HH ( โยนไดหวหรอทงสองอยาง ) สมมตวาโยนครงแรกไดกอย ผลลพธทไดอาจจะเปนหวหรอกอย ถาหากวามสองผลลพธ : TH (โยนได กอยในครงแรก และหวในครงทสอง ) และ TT (โยนได กอยทงสองครง ) ดงนน Sample space จากการโยนเหรยญทงสองครงคอ

S = { HH , HT , TH , TT }

H٠ ٠T

รปภาพ 4.2 แสดงผลลพธทไดจากการทดลองทใชวธการของ Vann diagram และ tree diagram

โยนครงแรก โยนครงทสอง ผลลพธสดทาย

S HT H

H T HT

T H HT

T HT

( a ) Vann diagram ( b ) tree diagram

ตวอยางท 4. 3

สมมตเราสมเลอกสองคนจากสมาชกชมรม และสงเกตเหนวาสมาชกของชมรมมสองประเภทคอ ผชายและผหญง สามารถทจะเขยนผลลพธจากการทดลองโดยการวาดภาพ Vann diagram และ tree diagram วธแกปญหา ผชายแทนดวย M ผหญงแทนดวย N สามารถทจะเปรยบเทยบการเลอกสองคนทมความคลายกบการโยนเหรยญ การโยนเหรยญแตละครงจะไดสองผลลพธ คอ หวหรอกอย แตละครงทเลอกจากสมาชกชมรมจะมไดสองผลลพธ ชายหรอหญง โดยสามารถท าไดจาก การวาดภาพ Vann diagram และ tree diagram ในรป 4.3 มทงหมด 4 ผลลพธ: MM , MW , WM, WW เขยน Sample space ไดคอ

S = { MM , MW , WM, WW }

HH٠ ٠HT

TH ٠ ٠ TT

Vann diagram tree diagram

เลอกครงแรก เลอกครงทสอง ผลลพธสดทาย

S MM M

M W MW

W M WM W

WW ( a ) ( b )

4.1.1เหตการณเดยวและเหตการณรวม เหตการณ ประกอบดวย หนงผลลพธหรอมากกวาหนงผลลพธของการทดลอง ค านยาม เหตการณ การเลอกหนงผลลพธหรอมากกวาหนงผลลพธของการทดลอง เหตการณอาจจะเปน เหตการณเดยวหรอเหตการณรวม เหตการณเดยวเรยกวา เหตการณเบองตน และเหตการณรวมเรยกวาสวนประกอบของเหตการณ เหตการณเดยว ผลลพธทงหมดแตละอนของการทดลอง เรยกวา เหตการณเดยว ในแตละเหตการณเดยวรวมถงหนงหรอมากกวาหนงผลลพธ ใช เหตการณเดยว เขยนแทนดวย E1 , E2, E3, และ ส อยางไรกตามเราสามารถทจะแทนไดดวยค าอน เชน A , B , C , ค านยาม เหตการณเดยว เปนเหตการณทผลของการทดลองเกดไดเพยงอยางเดยวเทานน และเปนเหตการณทประกอบดวยสมาชกเพยง 1 ตวเทานน เรยกวา เหตการณเดยว ใชแทนดวย Ei

MM ٠ ٠MW

WM ٠ ٠ WW

ตวอยาง 4.4 อธบายถงเหตการณเดยว ตวอยาง 4.4 พจารณาจากตวอยาง 4.3 เลอกสองคนจากสมาชกในชมรมและสงเกตเหนวาสมาชกของชมรมมสองประเภทคอ ผชายและผหญง สามารถทจะเขยนผลลพธจากการทดลอง ไดดงน MM , MW , WM, WW จากการทดลองนคอ เหตการณเดยว ทงหมดม 4 เหตการณ สามารถแทนไดโดย E1 , E2, E3 และ E4 แสดงไดดงน E1 = ( MM ) , E2 = ( MW ) , E3 = ( WM ) , E4 = ( WW ) เหตการณรวม เหตการณรวมประกอบดวยสมาชกมากกวา 1 ผลลพธ ค านยาม เหตการณรวม คอการรวมมากกวาหนงผลลพธของการทดลอง

เหตการณรวมเขยนแทนดวย A ,B , C , D ……………หรอ แทนดวย A1 , A2 , A3, ……., B1 , B2 , B3 ตวอยาง 4.5 และ 4.6 บรรยายเรองของเหตการณรวม ตวอยาง 4.5 พจารณาจากตวอยาง 4.3 เลอกสองคนจากสมาชกในชมรมและสงเกตเหนวาสมาชกของชมรมมสองประเภทคอ ผชายและผหญง A เปนเหตการณทผชายถกเลอกหนงคน เหตการณ A จะเกดขนทไมใชผชายหรอผหญงทถกเลอก ดงนน เหตการณ A เขยนไดดงน

A = { MW , WM, WW }

เพราะเหตการณ A มากกวาหนงผลลพธ นคอ เหตการณรวม ในรป 4.4 เปนภาพแสดง เหตการณรวม A S

A MW

MW WM WW

ตวอยางท 4.6 ในกลมบคคล ทมจ านวนหนงทสนบสนนวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร และมบางกลมทตอตาน ตองการสมเลอกสองคนจากกลมจากทสนบสนนวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร และมบางกลมทตอตาน จ านวนผลลพธทแสดงความเปนไปไดมเทาไร วาดรป Vann diagram tree diagram จากการทดลอง อธบายรายละเอยดทกลาวถงเหตการณเดยวและเหตการณรวม a. ทงคทสนบสนนวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร b. อยางมากทสดทตอตานวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร c. โดยแนนอนบคคลทสนบสนนวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร วธแกปญหา ให F = บคคลทสนบสนนวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร A = บคคลทตอตานวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร

ผลลพธทไดจากการทดลองม 4 ดงน FF = ทงคทสนบสนนวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร FA = หนงคนทสนบสนนและสองคนทตอตาน AF = หนงคนทตอตานและสองคนทสนบสนน AA = ทงคทตอตานวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร Vann diagram tree diagram เลอกครงแรก เลอกครงทสอง ผลลพธสดทาย S F EF F A FA A F FA A (a ) ( b ) AA

FF٠ ٠FA

AF ٠ ٠ AA

(a ) เหตการณทบคคลทงคทสนบสนนวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร จะเกดผลลพธคอ FF ทงคทสนบสนนวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร = { FF } เพราะเหตการณทสรปไดมเพยงหนงจาก 4 ผลลพธ คอ เหตการณเดยว ( b ) เหตการณ อยางมากทสดทตอตานวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร จะเกดขน ถาไมมอนใดอนหนง หรอสงหนงของบคคลทเลอกคอตอตาน ดงนน อยางมากทสดทตอตานวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร = { FF , FA , AF } เพราะเหตการณทสรปไดมมากกวาหนงผลลพธ คอ เหตการณรวม ( c ) เหตการณโดยแนนอนบคคลทสนบสนนวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร จะเกดขนจากการสมเลอกสองคนในกลมคนทตอตานและคนทสนบสนน วศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร ดงนน สรปไดม 2 ผลลพธ โดยแนนอนบคคลทสนบสนนวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร = { FA } เพราะเหตการณทสรปไดมมากกวาหนงผลลพธ คอ เหตการณรวม

4.2 การค านวณความนาจะเปน ความนาจะเปนมความเหมอนของการปรากฏของเหตการณ คอแทนดวย P ความนาจะเปนเปนเหตการณเดยว Ei จะเกดขนคอการแทนดวย P ( Ei ) และความนาจะเปนของเหตการณรวมทจะเกดขนแทนดวย P ( A ) ค านยาม ความนาจะเปน คอเครองมอวดเกยวกบตวเลขของความเหมอนสงนนกบเหตการณทมความจ าเพาะเจาะจงเกดขน คณสมบตของความนาจะเปน 1. ความนาจะเปนของเหตการณจะมคาอยระหวาง 0 ถง 1 ไมวาจะเปนเหตการณเดยวหรอเหตการณรวม ความนาจะเปนเปนเหตการณทไมนอยกวา 0 แตไมมากกวา 1 ใชสญลกษณทางคณตศาสตร สามารถเขยนไดดงน 10 iEP 10 AP เหตการณทไมเกดขนเลยความนาจะเปนมคาเทากบ 0 เรยกเหตการณนวา เหตการณทไมมโอกาสเกดขน เหตการณทเกดขนแนนอนความนาจะเปนมคาเทากบ 1 เรยกเหตการณนวา เหตการณทเกดขนแนนอน ดงน เหตการณทไมมโอกาสเกดขน P ( M ) = 0

เหตการณทเกดขนแนนอน P ( C ) = 1 2. ผลรวมของความนาจะเปนทงหมดของเหตการณเดยวทมาจากการทดลองเขยนแทนดวย iEP มคาเทากบ 1 1.........321 EPEPEPEP i จากคณสมบตน ในการทดลองโยนเหรยญหนงครง

P ( H ) + P ( T ) = 1 จากคณสมบตน ในการทดลองโยนเหรยญสองครง

P ( HH ) + P ( HT ) + P (T H) + P ( TT ) = 1 ในการเลนเกมฟตบอล

P (win ) + P ( loss ) + P ( tie) = 1 4.2.1 แนวคดของความนาจะเปนม 3 ขอ (1 ) ความนาจะเปนแบบคลาสสก (2 ) ความถสมพทธของความนาจะเปน (3 ) ความนาจะเปนภายใน ความนาจะเปนแบบคลาสสก จ านวนมากมายตางทเปนผลลพธจากการทดลองจะเหมอนกบความนาจะเปนทเกดขน และผลลพธของความนาจะเปนเรยกวา เหตการณนนตองมโอกาสเกดขนไดเทาๆกน ความนาจะเปนดงเดมเปนกฎทมการประยกตมาจากเหตการณของการทดลองส าหรบเปนเหตการณทมโอ กาสเกดขนไดเทาๆกน ค านยาม เหตการณทมโอกาสเกดขนไดเทาๆกน จะมจ านวนสองหรอมากกวาหนงผลลพธ เหมอนกบความนาจะเปนของเหตการณทจะเกดขน ตามทกฎของความนาจะเปนแบบคลาสสก ความนาจะเปนของเหตการณเดยวจะมคาเทากบ 1 โดยมการแบงจ านวนผลลพธทงหมดจากการทดลอง เพราะผลรวมของความนาจะเปนทงหมดของการทดลองมคาเทากบ 1 และผลลพธทงหมดกจะมโอกาสเกดขนอยางเทาๆกน ในทาง

ตรงกนขาม ความนาจะเปนของเหตการณรวม จ านวนผลลพธทงหมดของเหตการณรวมจะมการแบงจ านวนผลลพธทงหมด P ( Ei ) = 1 จ านวนผลลพธทงหมดจากการทดลอง P ( M ) = จ านวนผลลพธทงหมดในเหตการณรวม จ านวนผลลพธทงหมดจากการทดลอง จากตวอยาง 4.7 ถง 4.9 แสดงความนาจะเปนของเหตการณใชการค านวณและความนาจะเปนแบบคลาสสก ตวอยาง 4.7 ความนาจะเปนจากการโยนเหรยญหนงครงอาจจะรบไดหวหรอรบไดกอย วธแกปญหา ผลลพธทไดมสองอยาง คอ หวและกอย เหตการณทงสองนมโอกาสทจะเกดขนไดเทากน ดงนน

P( หว) = 1 = 2

1 = 0.5

จ านวนผลลพธทงหมด

P (กอย) = 1 = 2

1 = 0.5

จ านวนผลลพธทงหมด ตวอยาง 4.8 ความนาจะเปนของการโยนลกเตาหนงครง วธแกปญหา จากการทดลองผลลพธทไดทงหมด 1 , 2 , 3 , 4, 5, 6 ดงนนผลลพธทงหมดมโอกาสทจะเกดขนไดเทาๆกน ให A เปนจ านวนทโยนไดตวเลข 2 , 4 , 6 เหตการณ A มจ านวนสามผลลพธ คอ A = { 2 , 4 , 6 } ถาสามจ านวนเปนเหตการณ A ทเกดขนดงนน

P ( M ) = จ านวนผลลพธในเหตการณ A = 6

3 = 0.5

จ านวนผลลพธทงหมด

ตวอยาง 4.9 ในกลมผหญง 500 คน อยางนอยทสดใน 120 คนชอบเลนกอลฟ สมมตวาในจ านวนผหญง 500 คน จากการสมเลอก ความนาจะเปนทผหญงอยางนอยทสดชอบเลนกอลฟคอเทาไร เพราะวาในการเลอกโดยการสมจากจ านวนผหญง 500 มโอกาสทจะเปนไปไดเหมอนๆกน ดงนนการทดลองจากจ านวนทงหมด 500 มโอกาสทเกดขนเทาๆกน 120 จากจ านวนผหญงทชอบเลนกอลฟ ดงนน

P ( จ านวนอยางนอยทสดทผหญงชอบเลนกอลฟ) = 500

120 = 0.24

ความถสมพทธของความนาจะเปน สมมต เราตองการค านวณหาความนาจะเปนของการปฎบตตามเหตการณดงน 1. ความนาจะเปนของการสมเลอกรถทจะออกมาจากบรษทอตโนมต คอ lemon 2. ความนาจะเปนของการสมเลอกบานเปนของตนเอง 3. ความนาจะเปนของการสมเลอกผหญงทไมเคยสบบหร 4. ความนาจะเปนของการโยนเหรยญทมความไมสมดลจะมผลลพธเพยง หว 5. ความนาจะเปนของการสมเลอกบคคลทจะยอมรบพาหนะเครองมอกฬา

จากความนาจะเปนขางตนไมสามารถทจะค านวณโดยการใชความนาจะเปนแบบคลาสสกได เพราะผลลพธมาจากการทดลองไมมโอกาสทจะเกดขนไดเทาๆกน จากตวอยาง รถคนถดไปทจะออกจากบรษทอาจจะใช lemon หรออาจจะไมใช lemon ซงไมมโอกาสเกดขนไดเทาๆกน ถาตองการประมาณวาครงหนงของบรษทจะเปนรถ lemon อาจจะพสจนวาซงท าใหบรษทเกดความสญเสย แมวาผลลพธแตละชนดจากการทดลอง ไมมโอกาสเกดขนไดเทาๆกน แตการทดลองแตชนดนสามารถทจะแสดงขอมลทวไปได การค านวณความนาจะเปนจะใชขอมลใหมหรอวาขอมลเกา ในการแสดงขอมลแตละครง โดยทวไปมาจากการทดลอง ความสมพนธของความถในเหตการณทมการประมาณความนาจะเปน วธนเรยกวา ความถสมพทธของความนาจะเปน เพราะความสมพนธของความถทใชในการตดสนใจมาจากการทดลอง การค านวณความนาจะเปนใชความถสมพทธแตละครงในการทดลองถกท าซ า จากตวอยางทกๆเวลามกลมตวอยางของรถ 500 คนจากการสมในสายการผลตในบรษท จ านวนของรถ lemon ทคาดหวงเอาไวมความแตกตางกน อยางไรกตามเปอรเซนในการเลอกรถ lemon จะมขนาดเลกกวากลมตวอยางขนาดใหญ ถามการพจารณากลมประชากร และความถสมพทธจะใหคาความนาจะเปนทแนนอน

การใชความถสมพทธในการหาความนาจะเปน ถาการทดลองแทนดวย n และเหตการณ A ทไดจากการสงเกตแทนดวย f ตามทความสมพนธของความถในการหาความนาจะเปนจะได

n

fAP

ตวอยางท 4.10 ถง 4.11 แสดงความนาจะเปนของเหตการณทมการประมาณโดยใชความสมพนธของความถ ตวอยางท 4.10 สมเลอกรถ 10 คนจาก 500 คน ทมการผลตในบรษท สมมตมการสม เลอกรถ lemon ความนาจะเปนถดไปทจะเปนรถทผลตในบรษทเปนรถ lemon วธแกปญหา ให n แทนจ านวนทงหมดของรถในกลมตวอยาง และ f แทนจ านวน lemon ทงหมด ดงนน N = 500 และ f = 10 ใชความสมพนธของความถในการหาความนาจะเปน

P( next car is a lemon ) = 02.500

10

n

f

ความนาจะเปนทงหมดทแสดงความสมพนธของความถของรถ lemon ใน 500 คน ตาราง 4.2 แสดงการแจกแจงความสมพนธของความถจากกลมตวอยางของรถ รถ f ความสมพนธของความถ Good 490 490 / 500 = 0. 98 Lemon 10 10 / 500 = 0. 02 n = 500 Sum = 1.00 จากความสมพนธของความถในตาราง 4.2 ใชความนาจะเปนในการประมาณคา ดงนนจากความสมพนธของความถในตาราง P( next car is lemon) = 0.02 P( next car is good car ) = 0.08

จากความสมพนธของความถไมใชความนาจะเปนแตใชการประมาณคาความนาจะเปน อยางไรกตาม ถาการท ดลองมการแทนทหลายๆครง การประมาณคาความนาจะเปนของเหตการณจากผลลพธจากความถสมพทธ จะมความเหมาะสมในการแสดงผลลพธ เรยกวา กฎของจ านวน ค านยาม กฎของจ านวน ถาการทดลองมการแทนทหลายๆครง ความนาจะเปนของเหตการณจากความถสมพทธมความเหมาะตามความเปนจรง หรอเกยวกบทฤษฎ ตวอยาง 4.11 Allison ตองการตดสนใจเลอกความนาเปนในการสมเลอกครอบครวจากสถานะการรบบานใน New York จะใชวธการอยางไรในการเลอกความนาจะเปน วธแกปญหา มสองผลลพธจากการสมเลอกจากรฐใน New York คอครอบครวทยอมรบบาน และครอบครวทไมยอมรบบาน มสองเหตการณทเปนไปไดเหมอนกน ดงนน ทฤษฎความนาจะเปนไมสามารถทจะประยกตใชได อยางไรกตามเรากสามารถทจะแทนทดวยการทดลองอกครง ในทางตรงกนขาม เราสามารถทจะเลอกกลมตวอยางของครอบครวจากรฐใน New York และสงเกตจากการเลอกบาน ดงนน เราจะตองใชความถสมพทธในการเลอกความนาจะเปนนาจะเปนการเหมาะสมกวา สมมตวา Allison เลอกกลมตวอยาง 1,000 ครอบครวจากรฐใน New York และการสงเกตจากคนทมบานเปนของตวเองจ านวน 670 ครอบครว และจาก 330 ครอบครวเปนครอบครวทไมมบานเปนของตนเอง n = จ านวนกลมตวอยาง = 1,000 f = จ านวนครอบครวทมบานเปนของตนเอง 670 ครอบครว ดงนน

P ( การสมเลอกจากคนทมบานเปนของตนเอง ) = 670.01000

670

n

f

การเลอกกลมตวอยางความนาจะเปนดวยการประมาณจากครอบครวทมบานเปนของตนเอง จ านวน 670 ครอบครว ทกๆเวลา Allison จะมการแทนทการทดลองโดยการใชความแตกตางความนาจะเปนของเหตการณ อยางไรกตาม เพราะกลมตวอยางขนาดใหญ ( n = 1000 ) ในตวอยางขนาดใหญ ความแปรปรวนถกคาดหวงจากตวอยางขนาดเลก ความนาจะเปนภายใน มจ านวนมากมายทเราไดมาจากการทดลองไมวาสงนนจะเกดผลลพธอยางเทาเทยมกน และไมสามารถแทนทดวยขอมลอนๆ ในกรณนน เราสามารถทจะค านวณความนาจะเปนของ

เหตการณโดยวธคลาสสกหรอความถสมพทธ จากตวอยางพจารณาความนาจะเปนของเหตการณตอไปน 1. ความนาจะเปนทตองการใชสถตในรายวชาน 2. ความนาจะเปนทคาเฉลยดชนดาวโจนทมคาสงในวนถดไป 3. ความนาจะเปนทปลาโลมาใน Miami จะชนะในฤดกาลถดไป 4. ความนาจะเปนทเขา จะสญเสยการฟองรองคดทเขามการตอตานตอเจาของทดน ไมวาจะเปนกฎของความนาจะเปนแบบคลาสสก หรอความถสมพทธของความนาจะเปนสามารถทจะประยกตใชการค านวณจากตวอยางตอไปน ค านยาม ความนาจะเปนภายใน คอความนาจะเปนทมการก าหนดอยภายใตการพจารณาตดสนของขอมลขาวสารและความเชอ ความนาจะเปนภายใน คอการก าหนดอยางตามอ าเภอใจ ทมการใชมอทธพลโดย อคต สงทชอบ และประสบการณของบคคลทก าหนดวานาจะเปนไปได

4.3 กฎการนบ การทดลองสามารถจดการกบจ านวน ทมผลลพธเพยงเลกนอยรายละเอยดคอนขางงาย อยางไรกตาม การทดลองดวยการนบจ านวนผลลพธ จะไมมรายละเอยดของผลลพธทงหมด ในกรณ ทตองการจะใชกฎการนบ เมอตองหาจ านวนผลลพธทงหมด กฎการนบผลลพธทงหมด ถาการทดลองประกอบดวย 3 ขนตอน และใน ขนตอนแรกม ผลลพธ m ขนตอนทสองมผลลพธ n และขนตอนทสามมผลลพธ k ดงนนผลลพธทงหมดจากการทดลอง = m × n × k กฎการนบนสามารถทจะน าไปใชกบการทดลองทประกอบดวยขนตอนมากกวา 2 ขนตอนขนไป ตวอยางท 4.12 สมมตวาโยนเหรยญสามครงในเวลาเดยวกน ในการทดลอง 3 ครง คอโยนครงแรก โยนครงทสองและโยนครงทสาม ในแตละขนมสองผลลพธคอ หว และกอย ดงนน ผลลพธทงหมดจากการโยนเหรยญสามครงคอ = 2 × 2 × 2 = 8 ตวอยางท 4.13 ในอนาคตผซอรถยนต จะสามารถเลอกระหวางการซอมและอตราการซอรถใหม และสามารถทจะจายภายใน 36 เดอน 48 เดอน 60 เดอน จ านวนผลลพธทงหมดทเปนไปไดมเทาไร

วธแกปญหา การทดลองม 2 ขนตอน เลอกในสงทสนใจและระยะเวลาในการจาย มาจากในขนท 1 และในขนทสองม 3 ผลลพธ ผลลพธทงหมดจากการทดลอง = 2 × 3 = 6 ตวอยางท 4.14 การแขงขนอเมรกนฟตบอลทม A Nation football league will play 16 เกม ระหวางฤดกาลปกต แตละเกมมผลลพธสามอยางคอ ชนะ แพ หรอ เสมอ ผลลพธทงหมดจากการเลน 16 เกมมดงน ผลลพธทงหมด = 3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3 = 316 = 43,046,721 4.4 ขอบเขตและเงอนไขของความนาจะเปน สมมตมคนงานทงหมด 100 คน จากบรษทไมวาอยในการสนบสนน หรอตอตานการจายเงนเดอนสงของ CEOs ของเราบรษท ตารางท 4.3 มสองแนวทางในการจ าแนกกลมของคนงานทสนบสนน 100 คน ตารางท 4.3 การแสดงสองแนวทางในการจ าแนกกลมของคนงานทสนบสนน

สนบสนน ตอตาน เพศชาย 15 45 เพศหญง 4 36

ตาราง 4.3 แสดงการแจกแจงคนงานจ านวน 100 คน ทมตวแปร สองหรอลกษณะเพศ ( หญงหรอชาย ) และขอเสนอ ( สนบสนนหรอตอตาน ) เชน ตารางนเรยกวา ตารางความบงเอญในตารางท 4. กลองแตละใบจะบรรจจ านวนซงเรยกวา เซลล ดงนนม 4 เซลล แตละเซลลจะมความถสองคณลกษณะ จากตวอยาง 1.5 คนงานเปนกลมของบคคลทม 2 คณลกษณะ ชาย ทแสดงการสนบสนนในการจายเงนเดอนให CEOs เราสามารถอธบายจ านวนอนๆในเซลลเดยวกน ถามแถวและคอลมนในการหาผลรวมทงหมด ในตารางท 4.3 เราสามารถเขยนตารางท 4.4 ได

ตารางท 4.4 การแสดงสองแนวทางในการจ าแนกกลมของคนงานทสนบสนนทงหมด

สนบสนน ตอตาน ทงหมด

เพศชาย 15 45 60 เพศหญง 4 36 40

ทงหมด 19 81 100 สมมตวามคนงาน 1 คนถกสมจากคนงาน 100 คน คนงานอาจจะถกแยกประเภท อยางอนใดอนหนงบนพนฐานของเพศ หรอบนพนฐานของความคดเหน ถามการพจารณาบคลกอยางใดอยางหนงในเวลาเดยวกน คนงานทจะถกเลอกสามารถทจะเปนชายหรอ ผหญง ในการสนบสนนหรอตอตาน ความนาจะเปนแตละชนดมดวยกน 4 คณลกษณะ หรอเหตการณถกเรยกวา ขอบเขตของความนาจะเปน หรอความนาจะเปนเดยว นคอความนาจะเปนซงถกเรยกวา ขอบเขตของความนาจะเปน เพราะ พวกเรามการค านวณ โดยการแบงแถวนอนตรงกนเกยวกบขอบเขต ( ผลรวมของแถว ) หรอขอบเขตของคอลมน (ผลรวมของคอลมน ) ค านยาม ขอบเขตขอ งความนาจะเปน คอ ความนาจะเปนของเหตการณเดยวทปราศจากการพจารณาเหตการณอนๆ จงถกเรยกวา ความนาจะเปนเดยว จากตาราง 4.4 ขอบเขตของความนาจะเปนสามารถค านวณไดดงน

P ( ชาย ) = จ านวนเพศชาย = 60.100

60

จ านวนคนงานทงหมด เราสามารถสงเกต ความนาจะเปนของเพศชายทจะถกเลอกโดยการแบงทงหมดในแถวตามปาย “ เพศชาย ” ( 60 ) จ านวนทงหมด 100 เชนเดยวกน P ( ชาย ) = 40 / 100 = .40 P ( สนบสนน ) = 19 / 100 = .19 P (ตอตาน) = 81 / 10 = .81 นคอขอบเขตของความนาจะเปนในการแสดงระหวางดานทเหมาะสมและตามขางลาง

ตารางท 4.5 การแสดงรายละเอยดขอบเขตของความนาจะเปน

สนบสนน ตอตาน ทงหมด A B

เพศชาย ( M ) 15 45 60 เพศหญง( F ) 4 36 40

ทงหมด 19 81 100 P (A ) = 19 / 100 P (A ) = 81 / 10 = .19 = .81 ขางตนนสมมตเลอกสมคนงาน 1 คน จาก 100 คน นอกจากน สงทคณรคอ ( การเลอก ) คนงานทเปนเพศชาย ในทางตรงกนขามเหตการณทคนงานถกเลอกคอเพศชาย ซงเกดขนเรยบรอยแลว อะไรคอความนาจะเปนของคนงานทถกเลอกในการสนบสนนการ การสนบสน นการจายเงนเดอนสงของ CEOs ความนาจะเปนเขยนไดดงน เรยกวาทให P ( สนบสนน / เพศชาย ) เหตการณทถกตดสนใจ เหตการณนไดเกดขนเสรจเรยบรอย ความนาจะเปน , P ( สนบสนน / เพศชาย ) ถกเรยกวา ความนาจะเปนแบบมเงอนไข “ การสนบสนน ” ความนาจะเปนในการเลอกคนงานทถกเลอกในการสนบสนนของคนงานในเพศชาย ค านยาม ความนาจะเปนแบบมเงอนไข คอความนาจะเปนทเหตการณจะเกดขนเมอ ใหเหตการณอนๆไดเกดขนเสรจเรยบรอย ถาเหตการณ A และ B มสองเหตการณ ดงนนความนาจะเปนแบบมเงอนไขของเหตการณ A และ B เขยนแทนดวย A|BP และอานไดวาความนาจะเปนไปไดของเหตการณ A นนเมอเหตการณ B ไดเกดขนเสรจเรยบรอย

ตวอยาง 4.15 ความนาจะเปนแบบมเงอนไข P ( การสนบสนน / เพศชาย) จากขอมลคนงาน 100 คน ในตารางท 4.4 วธแกปญหา ความนาจะเปน P ( การสนบสนน / เพศชาย) ความนาจะเปนแบบมเงอนไข จากการสมเลอกคนงานทสนบสนนของคนงานทเปนเพศชาย ทรแลวเพศชาย เปนเหตการณไดเกดขนเสรจเรยบรอย พนฐานของขอมลเปนลกจางผหญงทมาจากการสมเลอกจ านวน 60 คน ดงนนจะกลาวถงในแถวทหนงจากต ารางท 4.4 เพราะฉะนน มความเกยวพนดวยกนในแถวทหนงจากตาราง

สนบสนน ตอตาน ทงหมด

เพศชาย ( M ) 15 45 60

เพศชายผซงสนบสนน จ านวนเพศชายทงหมด ถาตองการค านวณ ความนาจะเปนแบบมเงอนไขไดดงน = จ านวนเพศชายผซงสนบสนน จ านวนเพศชายทงหมด

= 25.60

15

ถาเราสงเกตจากการค านวณความนาจะเปนแบบมเงอนไข โดยการเอาจ านวนทงหมดทเปนเพศชาย ( เหตการณทเกดขนเรยบรอยแลว ) หารดวยจ านวนเพศชายผซงสนบสนน ( เปนเหตการณทพบความนาจะเปน ) เขยนแทนดวยจ านวน จากนนจงท าการพจารณาแถวของเหตการณทเกดขนเรยบรอยแลว รปภาพท 4.6 แสดงแบบ tree diagram ตวอยางไดดงน

นคอเหตการณทเกดขน ความนาจะเปนทพบ เรยบรอยแลว เพศชาย / สนบสนน 15 / 60 ความนาจะเปนทตองการ เพศหญง / ตอตาน 45 / 60 เพศชาย 60 / 100 เพศหญง 40 /100 เพศหญง / สนบสนน 4 / 40 เพศชาย / ตอตาน 36 / 40 ตวอยางท 4.16 จากขอมลในตารางท 4.4 การค านวณความนาจะเปนแบบมเงอนไขทมการสมจากลกจางผหญงทสนบสนนในการจายเงนเดอนสงใหกบ CEOs ลกจางทงหมดนจะอยในคอลมนทหนง ( ตารางในชองท สนบสนน ) และจะมจ านวนลกจางทสนบสนน 19 คน

สนบสนน

15 4 จ านวนผหญงทสนบสนน

19 จ านวนของลกจางทงหมดทใหการสนบสนน

จากแผนภมขางตนเปนการแสดงเปอรเซนตของผ หญงทผซงถนดมอซาย และเปอรเซนตของผชาย ทผซงถนดมอซาย ผชายมจ านวน 15 % ซงมากกวาผหญงม 9% ดงนนเราสามารถทจะสมเลอกบคคลม โอกาสสงวา จะเลอกบคคลทถนดทางดานซาย อาจจะเปนผชายมากกวาผหญง จ านวนเปอรเซนตทอยในแผนภมจากการสมเลอก ใหผชายมความนาจะเปนแบบมเงอนไขเทากบ .15 ทถนดซาย นอกจากนถนด ทางดานขวา ถามการสมเลอกผหญงมความนาจะเปนแบบมเงอนไขเทากบ .09 ทถนดซาย ดงนน เขยนความนาจะเปนแบบมเงอนไขไดดงน P ( สมเลอกบคคลทถนดทางดานซาย / ผชาย ) = .15 P ( สมเลอกบคคลทถนดทางดานซาย / ผหญง ) = .09 ทกลาวมาขางตนเปนการประมาณความนาจะเปนแบบมเงอนไข เพราะเปอรเซนตทมในแผนภมเปนพนฐานของกลมตวอยางทมการส ารวจ ดงนน ความนาจะเปนทตองการคอ P ( ผหญง / สนบสนน ) = จ านวนของผหญง ทงหมดทใหการสนบสนน จ านวนของลกจางทงหมดทใหการสนบสนน

= 2105.19

4

รปภาพท 4.7 แสดงแบบ tree diagram ตวอยางไดดงน นคอเหตการณทเกดขน เรยบรอยแลว เพศชาย / สนบสนน 15 / 19 เพศหญง / ตอตาน 4 / 19ความนาจะเปนทตองการ เพศชาย 19 / 100 เพศหญง 81 /100 เพศชาย / สนบสนน 45 / 81 เพศหญง/ ตอตาน 36 / 81

4.5 เหตการณทไมเกดรวมกน เหตการณทเกดขนแลวไมสามารถอยดวยกนเรยกวา เหตการณทไมเกดรวมกน กจกรรมดงกลาวไมมผลใดๆกนถามสองหรอมากกวาสองเหตการณ ทเปนอสระจากกน ก ลาววาสวนทงหมดจะเกดขนทกๆเวลา เมอมการท าซ าการ ทดลอง การปรากฏดงเชนของเหตการณหนงแยกการปรากฏของเหตการณอนๆ หรอเหตการณ ค านยาม

เหตการณทไมเกดรวมกน เหตการณทเกดขนแลวไมสามารถอยดวยกนเรยกวา เหตการณทไมเกดรวมกน

จากการทดลอง ผลลพธสดทายมาจาก เหตการณทไมเกดรวมกน เพราะ มเพยงหนงหรอนอยกวาหนงผลลพธเทานนทถกคาดหวงวาจะเกดขน ในการท าซ าในอกหนงครงของการทดลอง จากตวอยาง การพจารณาการโยนเหรยญสองครง การทดลองม 4 ผลลพธ คอ HH , HT , TH ,

TT นคอผลลพธจาก เหตการณทไมเกดรวมกน เพราะวา มเพยงหนงหรอนอยกวาหนงผลลพธเทานนทจะเกดขน เมอมการโยนเหรยญสองครง ตวอยาง 4.17 พจารณาจากเหตการณทมการโยนลกเตาหนงครง A = เปนเหตการณทโยนได = { 2 , 4 , 6 } B = เปนเหตการณทโยนได = { 1, 3 , 5 } C = เปนเหตการณทโยนไดนอยกวา 5 = { 1 , 2 , 3 , 4 , } คดวาเหตการณ A และ B เปนเหตการณทไมเกดรวมหรอไม ?และคดวาเหตการณ A และ C เปน เหตการณทไมเกดรวมกนหรอไม? วธแกปญหา รปภาพ 4.8 และ 4.6 ทมการวาดภาพ Venn diagram จากเหตการณ A และ B และ เหตการณ A และ C ตามล าดบ S S รปท 4.8 เหตการณ A และ B รปท 4.9 เหตการณ A และ C เปน เหตการณทไมเกดรวมกน เปนเหตการณทไมใชเปน เหตการณทไมเกด รวมกน เราสามารถสงเกตจากค านยามจากเหตการณ A และ B จากรป 4.8 เหตการณ A และ B ไมมสมาชกตวใดทรวมกน จากการโยนลกเตาหนงหนงครง หากมหนงหรอสองเหตการณทเกดขนในเหตการณ ดงนนทงสองนเปนเหตการณทไมเกดรวมกน ถาสงเกตจากค านยามจากเหตการณ A และ C จากรป 4.9 เหตการณ A และ C มสมาชก 2 ตวทรวมกน คอ 2 และ 4 ดงนน ดงนน ถาเราโยนลกเตาแลวรบได 2 และ 4 ดงนน A และ C เกดขนในเวลาเดยวกน ดงนน เหตการณ A และ C เปนเหตการณทไมเกดรวมกน ตวอยาง 4.18 พจารณาการเลอกสองเหตการณจากการสมเลอกผใหญ

A

1 5

3

B

2 6

4

A

C

Y = ผใหญทซอของในอนเตอรเนตอยางนอยทสด N = ผใหญทไมเคยซอของในอนเตอรเนต เหตการณ Y และ เหตการณ N เปนเหตการณทไมเกดรวมกนหรอไม วธแกปญหา เหตการณ y ประกอบดวย ผใหญทซอของใน อนเตอรเนตอยางนอยทสดอยางนอยทสดและ เหตการณ N เปนผใหญทไมเคยซอของในอนเตอรเนตทงสองเหตการณแสดงรปภาพ Venn diagram

S

เราสามารถสงเกตค านยามจาก เหตการณ Y และ เหตการณ N จากรป 4.10 จาก เหตการณ Y และ เหตการณ N ไมมผลลพธใดทเกยวของกนเลย เราสามารถทจะแสดงความแตกตางของทงสองเซตคอ ผใหญทซอของในอนเตอรเนต อยางนอยทสด และผใหญทไมเคยซอของในอนเตอรเนต ดงนน เหตการณทงสองเปนเหตการณทไมเกดรวมกน

4.6 การเปรยบเทยบเหตการณทเปนอสระกบเหตการณทไมเปนอสระ ส าหรบเหตการณใดๆสองเหตการณทเปนอสระ ทอสระ ถาเหตการณหนงทเกดขนไมมผลท าใหโอกาสทอกเหตการณหนงจะเกดขนเปลยนไป ค านยาม เหตการณทเปนอสระ ถามสองเหตการณกลาวไดวา เหตการณทเปนอสระ เมอเกดขนหนงแลวไมมผลกระทบตอความนาจะเปนของเหตการณทจะเกดขนอน ในทางเดยวกน A และ B เปนเหตการณดงกลาว เลอกอยางใดอยางหนง P(B|A) = P (A ) หรอ P(A|B) = P (B )

ถาตองการแสดงทมหนงหรอสองเงอนไขทเปนจรง ตอมาครงทสองกจะเปนจรง ถาครงทหนงไมเปนจรงครงทสองกจะไมเปนจรง

N

Y

▪▪▪▪▪▪

▪▪▪▪▪▪

●□□

□□□

ถามหนงเหตการณทเกดขนแลวมผลกระทบกบความนาจะเปนตอเหตการณอน เรยกสองเหตการณนวา เหตการณ ทไมเปนอสระ สามารถเขยนสญลกษณของความนาจะเปนจากสองเหตการณทเหตการณทไมเปนอสระดงน P(A|B) ≠ P (A ) หรอ P(B|A) ≠ P (B ) ตวอยางท 4.19 กลาวถงขอมลลกจาง 100 คน ในตาราง 4.4 ให เพศหญงแทนดวย F และการสนบสนนแทนดวย A เปนอสระจากกนหรอไม วธปญหา เหตการณ F และเหตการณ A จะเปนอสระจากกนถา P( F ) = P(F|A) ไมเชนนนเหตการณไมเปนอสระจากกน ใชขอมลในตารางท 4.4 เราสามารถค านวณความนาจะเปนของสองเหตการณดงน

P( F ) = 40 / 100 = .40 และ P(F|A) = 4 / 19 = .2105 เพราะสองความนาจะเปนไมเทากน สองเหตการณมความเกยวของกน ตวอยาง 4.20 กลองบรรจ CD 100 แผน ทผลตในเครองสองเครอง จากทงหมด 60 แผนผลตในเครองท 1 จาก CD ทงหมด ม 15 แผนท คณภาพไมด จาก 60 แผนมการผลตในเครองท 1 ม 9 แผนทไมมคณภาพ ให D เปนเหตการณทสมเลอก CD ทไมมคณภาพ และให A เปนเหตการณทสมเลอก CD ทผลตในเครองท 1 เหตการณ D และเหตการณ A เปนเหตการณทไ มเปนอสระจากกนใชหรอไม วธแกปญหา จากขอมลดงกลาว

P( D) = 15 / 100 = .15 และ P(D|A) = 9 / 60 = . 15 ดงนน P( D) = P(D|A) ดงนน สองเหตการณ D และ A เปนเหตการณทไมเปนอสระ จากเหตการณทไมอสระในตวอยา งหมายความวา ในความนาจะเปนของ CD ทไมมคณภาพ เหมอนกน เครองมอทท าหนาทผลต ในทางตรงกนขาม เครองท ในความเปนจรงขอมลเราสามารถเปรยบเทยบตารางท 4.6

ตารางแสดงการจ าแนกสองแนวทาง มคณภาพ ไมมคณภาพ ทงหมด

เครองท 1 ( A ) 15 45 60 เครองท 1 ( B ) 6 34 40

ทงหมด 15 85 100

ใชตาราง ทพบความนาจะเปน P( D) = 15 / 100 = .15

P(D|A) = 9 / 60 = .15 เพราะสองเหตการณของความนาจะเปน เปนเหตการณทเปนอสระตอกน เราสามารถท าใหการสงเกตทงสองเหตการณทมความส าคญเปนเหตการณทไมเกดรวมกน เปนเหตการณทเปนอสระและไมเปนอสระ 1. สองเหตการณเปนเหตการณทไมเกดรวมกนหรอเหตการณทเปนอสระ a. เหตการณทไมเกดรวมกนคอเหตการณทเปนอสระ b. เหตการณทเปนอสระเปนเหตการณทไมเกดรวมกน

4.7 คอมพลเมนทของเหตการณ ถามสอง เหตการณทไมเกดรวมกน ผลลพธทไดจากการทดลองคอคอมพลเมนทของเหตการณ แสดงดวยคอมพลเมนทของเหตการณเปนเหตการณทไมเกดรวมกนเสมอ ค านยาม คอมพลเมนตของเหตการณ เหตการณ A เขยนแสดงดวย A อานวา A บาร หรอ A คอมพลเมนท หมายถงเหตการณซงเปนผลลพธมาจากการทดลองแตไมใชเหตการณทอยในเหตการณ A เหตการณ A และ A เปนคอมพลเมนท ดงแสดงใน ภาพท 4.1 ทใช Vann diagram ทแสดงคอมพลเมนทของเหตการณ A และ A S

A

A

รปภาพท 4.1 Vann diagram แสดงสองเหตการณทคอมพลเมนท เพราะสองเหตการณทมสวนประกอบดวยกน สามารถสรปไดจากผลการทดลอง เพราะผลรวมของความนาจะเปนเทากบ 1 แสดงไดดงน

P ( A ) + P ( A ) = 1 จากสมการทเราสามารถอนมานไดดงน P ( A ) = 1 - P ( A ) และ P ( A ) = 1 - P ( A )

ดงเชน ถารความนาจะเปนของเหตการณ เราสามารถทจะพบความนาจะเปนจากคอมพลเมนทของเหตการณโดยลบจากความนาจะเปนทมคาเทากบ 1

ตวอยาง 4.21

ในกลมผเสยภาษจ านวน 2,000 คน ม 400 คน ถกการตรวจสอบบญชโดย IRS อยางนอยทสด ถามการสมในกลมผเสยภาษ อะไรคอคอมพลเมนทสองเหตการณทมาจากการทดลอง และอะไรคอความนาจะเปนของเหตการณ วธแกปญหา ของสองเหตการณซงเปนคอมพลเมนทส าหรบทดลองน

A = เลอกจากผเสยภาษทถกตรวจสอบบญชโดย IRS อยางนอยทสด A = เลอกจากผเสยภาษทไมเคยถกตรวจสอบบญชโดย IRS หมายเหต สรปวาเหตการณ A นรวมถง 400 คน ถกการตรวจสอบบญชโดย IRS อยาง

นอยทสด และ A กลาววา 1600 คน ผเสยภาษผซงไมเคยถกตรวจสอบบญชโดย IRS ดงนนความนาจะเปนของเหตการณ A และ A

P ( A ) = 400 / 2000 = .20 และ P ( A ) = 1600 / 2000 = .80 เราสามารถสงเกตผลรวมของความนาจะเปนทงสองเทากบ 1

ดงแสดงในรปภาพท 4.12 Vann diagram รปภาพท 4.12 Vann diagram S

A

A

ตวอยาง 4.22 ในกลมผใหญ 5,000 คน มจ านวน 3,500 คน ทสนบสนนใหมการกฎหมายควบคม

1,200 คนทตอตาน และ 300 คนทไมแสดงความคดเหน การสมเลอกผใหญจากกลม เหตการณ A เปนเหตการณทมการสนบสนนการมกฎหมายควบคม อะไรคอคอมพลเมนทของเหตการณ A และความนาจะเปนของเหตการณสองเหตการณ วธแกปญหา สองเหตการณซงเปนคอมพลเมนทส าหรบทดลองน A = เลอกจากผทสนบสนนใหมการกฎหมายควบคม

A = เลอกจากผทตอตานกฎหมายหรอคนทไมแสดงความคดเหน กลาวถงในเหตการณ A สรปวา ผใหญจ านวน 1500 คน ผซงตอตานการควบคม

กฎหมายหรอไมแสดงความคดเห น สงเกตไดจากเหตการณ A และ A ทคอมพลเมนทจากเหตการณอน เพราะ มผใหญ 3500 คน ในกลมผทสนบสนนใหมการกฎหมายควบคม และ 1500 คน ผทตอตานกฎหมายหรอคนทไมแสดงความคดเหน ความนาจะเปนของเหตการณ A และ A

P ( A ) = 3500 / 5000 = .70 และ P ( A ) = 1500 / 5000 = .30 เราสามารถสงเกตผลรวมของความนาจะเปนทงสองเทากบ 1

ยงพบวา P ( A ) หาความนาจะเปนของ P ( A ) ไดจาก P ( A ) = 1 - P ( A ) = 1 - .70 = .30

รปภาพ 4.13 แสดง Vann diagram จากตวอยาง รปภาพ 4.13 แสดง Vann diagram S

4.8 อนเตอรเซคชนของเหตการณ และกฎการคณ สวนนกลาวถงจดตดของสองเหตการณ และกฏของการคณการค านวณความนาจะเปนไปไดของจดตดของเหตการณ 4.8.1อนเตอรเซคชนของเหตการณ อนเตอรเซคชนของเหตการณ คอผลลพธมาจากเหตการณรวมกนของทงค

A A

ค านยาม อนเตอรเซคชนของเหตการณ ให A และ B เปนสองเหตการณทอยใน Sample space

อนเตอรเซคชนของเหตการณ A และ B แทนดวยกลมของผลลพธทรวมกนของสองเหตการณ A และ B แสดงโดย A และ B อนเตอรเซคชนของเหตการณ ให A และ B แทนโดยอยางใดอยางหนง BA หรอ AB ให A = เหตการณทครอบครวยอมรบเครองเลน DVD B = เหตการณทครอบครวยอมรบกลองถายรปดจตอล รปภาพ 4.14 แสดงอนเตอรเซคชนของเหตการณ A และ B ทแสดงพนทของการอนเตอรเซคชนของเหตการณ A และ B แสดงวาครอบครวยอมรบเครองเลน DVDและครอบครวยอมรบกลองถายรปดจตอลมสวนทเกยวของกน รปภาพ 4.14 แสดงอนเตอรเซคชนของเหตการณ A และ B

แสดงอนเตอรเซคชนของเหตการณ A และ B

A B

B

4.8.2 กฎการคณ บางเวลาเราตองการหาความนาจะเปนส าหรบ 2 เหตการณหรอมากกวาสองเหตการณขนไปเขาดวยกน ค านยาม

ความนาจะเปนรวม ความนาจะเปนของอนเตอรเซกชนเหตการณตงแต 2 เหตการณขนไปเรยกวาความนาจะเปนรวม เขยนแทนดวย BandAP ความนาจะเปนของอนเตอรเซกชนของเหตการณตงแต 2 เหตการณ จะบรรลโดยการคณเศษความนาจะเปนส าหรบเหตการณหนง โดยมเงอนไขความนาจะเปนของเหตการณทสอง กฎนเรยกวากฎการคณ กฎการคณส าหรบความนาจะเปนรวม ความนาจะเปนของสองเหตการณ A และ B คอ ABPAPBandAP ความนาจะเปนรวมของเหตการณ A และ B สามารถใช BAP หรอ ABP ได ตวอยาง 4.23 จากตารางท 4.7 ใหแบงแยกประเภทลกจางของบรษทโดยแยกเปนเพศ และ ระดบการศกษา ตารางท 4.7 ประเภทลกจางของบรษทโดยแยกเปนเพศ และ ระดบการศกษา

มปรญญา (G)

ไมมปรญญา (N)

รวม

เพศชาย (M) 7 20 27 เพศหญง(F) 4 9 13 รวม 11 29 40

ถาหนงในลกจางเหลานถกคดเลอกจากการสมโดยสมาชกคณะกรรมการบรษท ความนาจะเปนทจะไดลกจางหญงทมปรญญาเปนเทาไร วธท า เราค านวณความนาจะเปนของอนเตอรเซกชนของเหตการณ “เพศหญง” (แทนดวย F) และ “มปรญญา” (แทนดวย G) ความนาจะเปนสามารถค านวณไดจาก

FGPFPGandFP พนทแรเงาสแดงในรปท 4.15 แสดงถงการอนเตอรเซกชนของเหตการณ“เพศหญง”และ “มปรญญา”