อัตราส่วนตรีโกณมิติ (trigonometry ratios) ·...

อตราสวนตรโกณมต (TRIGONOMETRY RATIOS) อ.ภานวฒน เกยรตนฤมล

1 เจอคนเกง…จงเรยนรจากเขา…เจอคนงเงา…ใหเอามาสอนตวเอง…

อตราสวนตรโกณมต

(Trigonometry ratios)

1. ความหมายของตรโกณมต

ตรโกณมต หมายถง วทยาศาสตรวเคราะห (Analytic Science) จดเรมตนของวชานเรมในศตวรรษท 17 หลงจากไดพฒนาสญลกษณของพชคณต

ตรโกณมต หมายถง เรขาคณตทเก ยวกบดาราศาสตร ซงเก ยวกบการวดมม ตนก าเนดวชานอาจจะขนอยทผลงานของ ฮปพารคส (Hipparchus)

ตรโกณมต หมายถง การวดรปสามเหลยมตนก าเนดวชานอาจมมานานราว 2,000 ปกอนครสตศกราช

2. อตราสวนรปสามเหลยม

ชาวอยปตโบราณท าการวดฐานของพระมดโดยการแบงเสนเชอกออกเปน 12 สวนเทาๆกน แลวท า

เชอกใหเปนปมตรงสวนทแบงนน แลวดงใหตงเปนรปสามเหลยม ดวยอตราสวนของดาน 3 : 4 : 5 และมมทอย

ตรงขามกบดานทยาวทสดจะเปนมมฉากเสมอ จงเปนทนาเชอไดวาทฤษฎปทาโกรสเปนทรจกกนมาแพรหลาย

แลว

ทฤษฎบทปทาโกรส ในรปสามเหลยมมมฉาก ดานตรงขามมมฉากยกกาลงสองมคาเทากบผลบวกของกาลงสอง ของอกสองดาน



3. อตราสวนตรโกณมต (Trigonometric ratios)

อตราสวนตรโกณมตเปนอตราสวนทเก ยวกบดานและมมของรปสามเหลยมมมฉากทเปนมมแหลม ก าหนดให ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากทมม ACB เปนมมฉาก ดงรป



ตวอยาง 1.

Asin ………. , Acos ………. , Atan ……….

Bsin ………. , Bcos ………. , Btan ……….

2.

Asin ………. , Acos ………. , Atan ……….

Bsin ………. , Bcos ………. , Btan ……….

3.

Asin ………. , Acos ………. , Atan ……….

Bsin ………. , Bcos ………. , Btan ……….

แบบฝกหด 2.1

ใหหาอตราสวนตรโกณมต เมอก าหนดรปสามเหลยมและความยาวของดานดงตอไปน 1.



2.

3.

4.

Dsin ………. , Dcos ………. , Dtan ………

Gsin ………. , Gcos ………. , Gtan ……… 5.

Rsin ………. , Rcos ………. , Rtan ………

Ssin ………. , Scos ………. , Stan ………



4. อตราสวนตรโกณมตของคามมทควรจ า

ตารางสรปอตราสวนตรโกณมตของคามมทควรจ า



แบบฝกหด 2.2 จงหาคาอตราสวนตรโกณมตของมมทก าหนดใหตอไปน 1. 30sin ……………………………… 2. 60cos ………………………………… 3. 45sin ……………………………… 4. 45cos ………………………………… 5. 60sin ……………………………… 6. 30cos ………………………………… 7. 0sin ……………………………… 8. 90cos ………………………………… 9. 90sin ……………………………… 10. 0cos ………………………………… 11. 90tan ……………………………… 12. 0tan ………………………………… 13. 30tan ……………………………… 14. 45tan ………………………………… 15. 0cos90sin = ……………………………… = ……………………………… 16. 60cos30sin = ……………………………… = ……………………………… 17. 45cos45sin = ……………………………… = ……………………………… 18. 60cos45tan = ……………………………… = ……………………………… 19. 60cos30sin = ……………………………… = ……………………………… 20. 60cos)30(sin 2 = ……………………………… = ……………………………… 21. 30cos60sin = ……………………………… = ……………………………… 22. 45cos)45(tan 3 = ……………………………… = ……………………………… 23. 45tan)0cos90(sin = ……………………………… = ……………………………… 24. 60cos)30sin45(tan = ……………………………… = ……………………………… 25. 30sin)45sin0(tan = ……………………………… = ………………………………



5. การหาคาอตราสวนตรโกณมต จากตาราง



ตวอยาง ใหหาคาอตราสวนตรโกณมต จากตารางทตรงกบขนาดของมมทก าหนดใหดงตอไปน 1. 15sin ……………………………… 2. 78cos ………………………………… 3. 41tan ……………………………… 4. 86cos ………………………………… 5. 23sin ……………………………… 6. 30tan ………………………………… 7. 89sin ……………………………… 8. 10cos ………………………………… 9. 46tan ……………………………… 10. 70cos …………………………………

แบบฝกหด 2.3 1. ใหหาคาอตราสวนตรโกณมต จากตารางทตรงกบขนาดของมมทก าหนดใหดงตอไปน

2. จงหาขนาดของมมตอไปนเมอก าหนดคาของอตราสวนตรโกณมตใหดงน

3. จากรปสามเหลยมมมฉาก ACB ทมมม C เปนมมฉาก จงหาวาอตราสวน sin และ cos เปนของมม A หรอมม B



4. ใหจ าลองการหาคา sin และ cos โดยใชนวมอ

6. สวนกลบของ tancos,sin,

ตวอยาง

1. 30csc ……………………………… 2. 30sec ………………………………… 3. 60csc ……………………………… 4. 30cot …………………………………



แบบฝกหด 2.4 จงหาคาอตราสวนตรโกณมตของมมทก าหนดใหตอไปน 1. 30csc ……………………………… 2. 60sec ………………………………… 3. 45csc ……………………………… 4. 45sec ………………………………… 5. 60csc ……………………………… 6. 30sec ………………………………… 7. 0csc ……………………………… 8. 90sec ………………………………… 9. 90csc ……………………………… 10. 0sec ………………………………… 11. 90cot ……………………………… 12. 0cot ………………………………… 13. 30cot ……………………………… 14. 45cot ………………………………… 15. 0sec90csc = ……………………………… = ……………………………… 16. 60sec30csc = ……………………………… = ……………………………… 17. 45sec45csc = ……………………………… = ……………………………… 18. 60sec45cot = ……………………………… = ……………………………… 19. 60sec30csc = ……………………………… = ……………………………… 20. 60sec)30(csc 2 = ……………………………… = ……………………………… 21. 30sec60csc = ……………………………… = ……………………………… 22. 45sec)45(cot 3 = ……………………………… = ……………………………… 23. 45cot)0sec90(csc = ……………………………… = ……………………………… 24. 60sec)30csc45(cot = ……………………………… = ……………………………… 25. 30sec)45csc45(cot = ……………………………… = ………………………………



7. การน าอตราสวนตรโกณมตไปใชในการแกปญหา ในการวดระยะทางและความสง วชาตรโกณมตจะใหประโยชนอยางมากมาย เพราะไมจ าเปนจะตองทา

การวดจรง เพยงแตทราบมมทเก ยวของเรากสามารถหาระยะทางและความสงของสงตางๆ ได เชน ภเขา อาคาร เสาธง เปนตน เพยงแตเรายดเสนระดบสายตา (horizontal line) จะไดมมส าคญสองชนด คอ

มมยกขน หรอมมเงย (Angle of Elevation) และมมกดลงหรอมมกม (Angle of Depression) ซงมลกษณะดงน 1. มมยกขนหรอมมเงย (Angle of Elevation)

ให A เปนจดสงเกต และ B เปนยอดของตกมมยกขนหรอมมเงยของยอดตก B เมอสงเกตทจด A คอ มมซงเสนตรง AB ทากบเสนระดบสายตาทจด A ดงรป

2. มมกดลงหรอมมกม (Angle of Depression) ให A เปนจดสงเกต และ B เปนจดซงเรอทอดสมออย มมกดลงของเรอ B เมอสงเกตทจด A คอมมซง

เสนตรง AB ทากบเสนระดบสายตาทจด A ดงรป



x

12

60°

x14

45°

ตวอยาง จากรปสามเหลยมมมฉากทก าหนดให จงหาคาของ x 1. …………………………………………………………………..

…………………………………………………………………..

…………………………………………………………………..

…………………………………………………………………..

…………………………………………………………………

2. …………………………………………………………………..

…………………………………………………………………..

…………………………………………………………………..

…………………………………………………………………..

…………………………………………………………………..

แบบฝกหด 2.5 จากรปสามเหลยมมมฉากทก าหนดให จงหาคาของ x

1. 2.

……………………………………………………. ……………………………………………………. ……………………………………………………. ……………………………………………………. ……………………………………………………. ……………………………………………………. ……………………………………………………. ……………………………………………………. ……………………………………………………. …………………………………………………….



3. 4.

……………………………………………………. ……………………………………………………. ……………………………………………………. ……………………………………………………. ……………………………………………………. ……………………………………………………. ……………………………………………………. ……………………………………………………. ……………………………………………………. …………………………………………………….

โจทยปญหา การน าอตราสวนตรโกณไปใชในชวตประจ าวน ตวอยาง

1. ลกเสอคนหนงตองการหาความสงของเสาธงของโรงเรยนจงท ามมขนาด 45 องศาขนอนหนง ถาขณะทเลงเขายนอยหางจากเสาธง 10 เมตร และความสงจากพนดนถงระดบสายตาเขาเปน 1.5 เมตร จงหาความสงของเสาธง ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 2. ชายคนหนงยนอยบนหนาผารมฝงทะเล ซงสงจากระดบน าทะเล 100 เมตร มองเหนเรอล าหนง เปนมมกม 60 องศา เรอล านอยหางจากหนาผาก เมตร ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………



แบบฝกหด 2.6 1. เจมส จราย ยนอยบนหนาผารมฝงทะเล ซงสงจากระดบน าทะเล 100 เมตร มองเหนเรอล าหนง เปนมมกม 30 องศา เรอล านอยหางจากหนาผาก เมตร ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 2. ณเดชตองการหาความสงของเสาธงของโรงเรยนจงท ามมขนาด 45 องศาขนอนหนง ถาขณะทเลงเขายนอยหางจากเสาธง 15 เมตร และความสงจากพนดนถงระดบสายตาเขาเปน 1.8 เมตร จงหาความสงของเสาธง ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 3. มารคยนอยหางจากบานหลงหนงเปนระยะทาง 100 เมตร เขาเหนเครองบน เครองหนงบนอยเหนอหลงคาบานพอด และแนวทเขามองเปนมมเงย 60 องศา จงหาวาเครองบน อยสงจากพนดนก เมตร ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 4. บนไดยาว 50 ฟต พาดอยกบก าแพง ปลายบนไดถงขอบก าแพงพอด ถาบนไดท ามม 60oกบก าแพง จงหาวาบนไดอยหางจากก าแพงเทาไร

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

[อตราสวนตรโกณมต (Trigonometry ratios)] อ.ภานวฒน เกยรตนฤมล

15 ความส าเรจของคน…ไมไดเกดจากสวรรค…ไมไดเกดจากโชคชะตา…แตเกดจากการฝกฝน…อยางจรงจง…และสม าเสมอ…

ตารางการสงงานเรองอตราสวนตรโกณมต

วน/เดอน/ป งาน ลายเซนผปกครอง ลายเซนคร แบบฝกหดท 2.1 แบบฝกหดท 2.2 แบบฝกหดท 2.3 แบบฝกหดท 2.4 แบบฝกหดท 2.5 แบบฝกหดท 2.6

ประโยชนของการตรงตอเวลา 1.ท าใหเรามนสยขยนขนแขงเอาการเอางานอยางจรงจง

2.ฝกใหเราเปนคนกระตอรอรนมชวตชวา 3.ท าใหเรามความซอตรงตอตวเองรกษาเกยรตยศของตนเอง

4.ท าใหเราท างานไดสะดวกรวดเรวเรยบรอยและมผลด 5.หนาทการงานประสบความส าเรจชวตกาวหนา

6.สามารถก าหนดกจกรรมตางๆ ทเราจะกระท าไดในแตละวนท าใหชวตมระเบยบและมวนยกบตนเอง 7.เปนทเชอถอและไวใจของคนอน

อัตราส่วนตรีโกณมิติ (trigonometry ratios) ·...

Documents