1 ครเสวตร

บทท 1 อตราสวนตรโกณมต ค ำวำ “ ตรโกณมต ” ตรงกบภำษำองกฤษวำ “ Trigonometry ” หมำยถง การวดรปสามเหลยม ไดมกำรน ำควำมรวชำตรโกณมตไปใชในกำรหาระยะทาง พนท มม และ ทศทางทยำกแกกำรวดโดยตรง เชน กำรหำควำมสงของภเขำ กำรหำควำมกวำงของแมน ำ ทบทวนเนอหาทเกยวของ ก ำหนดรปสำมเหลยม ABC ทมมม C เปนมมฉำก ดงรป

c

b

a

C

B

A

ตวอยางท 1 ก ำหนดรปสำมเหลยมมมฉำกดงตอไปน

x

1)

54

B

CA

12

2)

13y

B

CA

จากทฤษฎบทปทาโกรส จะไดวา

2 2 2a b c

จงหาคา x

จงหาคา y

2 ครเสวตร

อตราสวนตรโกณมต พจำรณำสำมเหลยมมมฉำก ABC ทมมม C เปนมมฉำก ดงรป

c

b

a

C

B

A

ไซนของมม A คอ มมมฉากดานตรงขาความยาวของAมมมดานตรงขาความยาวของ

เขยนแทนดวย sin A

โคไซนของมม A คอ มมมฉากดานตรงขาความยาวของAมมดานประชดความยาวของ

เขยนแทนดวย cosA

แทนเจนตของมม A คอ AมมดานประชดความยาวของAมมมดานตรงขาความยาวของ

เขยนแทนดวย tan A

นอกจำกนยงมอตรำสวนตรโกณมตทเปนสวนกลบของ sin A , cosA , tan A ดงน

- 1cosecA

sin A เมอ sin A 0

- 1secA

cosA เมอ cosA 0

- 1cot A

tan A เมอ tan A 0

หมายเหต โดยปกตนยมเขยน

sin แทน ไซน เชน ไซนของมม o30 เขยนแทนดวย o30sin cos แทน โคไซน เชน โคไซนของมม o60 เขยนแทนดวย o60cos tan แทน แทนเจนต เชน แทนเจนตของมม o45 เขยนแทนดวย o45tan

ดงนนจะไดวำ c

aAsin ,

c

bAcos และ

b

aAtan

AB เปนดานทอยตรงขามมมฉาก ยาว c หนวย BC เปนดานทอยตรงขามมม A ยาว a หนวย AC เปนดานประชดมม A ยาว b หนวย

3 ครเสวตร

ตำรำงแสดงคำของ inecos,esin และ genttan ของมม oo 45,30 และ o60

o30 o45 o60 sin

2

1 2

2 2

3

cos 2

3 2

2 2

1

tan 3

1 1 3

ตวอยางท 2 จงหำคำของ Acos,Asin , tanA ,cosecA,secA และ cot A จำกรปตอไปน

x

8

15

B

CA

ตวอยางท 3 จงหำคำของ a จำกรปสำมเหลยมมมฉำกทก ำหนดใหในขอตอไปน

30o

1)

a4

B

CA

60o

2)

a

2 3

B

CA

4 ครเสวตร

ตวอยางท 4 จงหำคำของแตละขอตอไปน 1. sin45 cos30 cos45 sin30o o o o

2. 3sin30 4sec60 2tan 45o o o

3. 2 o 2 o 2 o 2 o

o o

tan 60 sin 30 cot 60 cos 60

3sin 45 cos45

ตวอยางท 5 ถำ 2 5sec

3 แลวคำของ 2 2 2 2cos ( ) tan ( ) sin ( ) tan ( ) คอขอใดตอไปน

ก.

ข.

ค.

ง.

ตวอยางท 6 ให ABC เปนสำมเหลยมมมฉำก โดยมมม ABC เปนมมฉำก และมม CAB กำง องศำ ถำผลบวกของควำมยำวดำน AB กบ AC เทำกบ หนวย แลว CB จะยำวเทำกบขอใดตอไปน

ก. )( หนวย ข. หนวย ค. หนวย ง. หนวย

5 ครเสวตร

ตวอยางท 7 ก ำหนดให 5sec

3 แลว sin c s

tan c s

o

o ec

มคำเทำกบขอใดตอไปน

ก. . ข.

ค.

ง. .

ตวอยางท 8 คำของ 2 2 34 13tan 30 cos 30 sec 60

3 8

o o o คอขอใดตอไปน

ก. ข.

ค.

ง.

ตวอยางท 9 ถำ 4cos

5 แลวคำของ 25tan 4sec คอขอใดตอไปน

ก. 4 ข. 8 ค. 10 ง. 20

ตวอยางท 10 เมอดวงอำทตยท ำมม o กบแนวระนำบแลว ตกสง 150 เมตร จะทอดเงำยำวเทำกบขอใดตอไปน

ก.

ข.

ค. ง.

6 ครเสวตร

ตวอยางท 11 ถำรปสำมเหลยมหนำจวมฐำนยำว และสง 1 เมตร แลวมมยอด จะเทำกบขอใดตอไปน ก. o ข. o60 ค. o90 ง. o120

ตวอยางท 12 ก ำหนดใหสำมเหลยม ABC มดำน BC ยำว 18 นว มม 30oB และมม 60oC แลวดำน AC ยำวเทำกบขอใดตอไปน

ก. 10 นว ข. 9 นว ค. 8 นว ง. 7 นว

ตวอยางท 13 จำกจด A วดมมเงยของยอดเขำได 45o เมอเขำเดนเขำหำยอดเขำตำมแนวรำบ 1,818 เมตร วดมมเงยได 60o ภเขำนเทำใด

7 ครเสวตร

แบบฝกทกษะพนฐานอตราสวนตรโกณมต

1) สำมเหลยมรปหนงมดำนยำว 17 , 15 และ 8 เซนตเมตร ถำสำมเหลยมอกรปหนงซงคลำยกบสำมเหลยมรปนมดำนสนทสดยำว 4 เซนตเมตร ดำนอก 2 ดำนยำวกเซนตเมตร ก. 6.5 , 7.5 ข. 7.5 , 8 ค. 8.5 , 7.5 ง. 8.5 , 9.5

2) สำมเหลยมรปหนงมดำนยำว 13 , 12 และ 5 เซนตเมตร ถำสำมเหลยมรปหนงซงคลำยกบสำมเหลยมรปนมดำนยำวทสดยำว 18 เซนตเมตร ดำนอก 2 ดำนยำวกเซนตเมตร ก. 6.5 , 16.5 ข. 6.9 , 16.6 ค. 7.5 , 16.9 ง. 7.5 , 17.5

3) ถำ 1sin

2A แลว มม A เทำกบขอใดตอไปน

ก. 30o ข. 45o ค. 60o ง. 90o

4) ถำ tan 3A แลว มม A เทำกบขอใดตอไปน ก. 30o ข. 45o ค. 60o ง. 90o

5) ถำ cos 0.8A แลว sin A จะมคำเทำกบขอใดตอไปน ก. 0.4 ข. 0.5 ค. 0.6 ง. 0.8

8 ครเสวตร

6) ถำ 3tan

4A แลว sin cosA A มคำเทำกบขอใดตอไปน

ก. 0 ข. 1 ค. 2

15

ง. 12

5

7) ถำ 4sin

5A แลว คำของ sin cos tanA A A เทำกบขอใดตอไปน

ก. 1115

ข. 12

5

ค. 112

15

ง. 143

15

8) ก ำหนดให 0 90o oA และ 5sin

13A แลว tan cosA A มคำเทำใด

ก. 5

13

ข. 6

13

ค. 7

13

ง. 8

13

9) ก ำหนดให 0 90o oA และ 4tan 3A คำของ sin A และ cos A มคำเทำใด ก. 3 4

,5 5

ข. 3 4,

4 5

ค. 4 3,

5 5

ง. 3 3,

5 4

10) สำมเหลยม ABC ม C เปนมมฉำก และ 5cos 3A แลว tan cotA B มคำเทำใด ก. 1

23

ข. 22

3

ค. 13

3

ง. 23

3

9 ครเสวตร

11) คำของ sin A และ cos A จะเทำกนเมอมม A กำงกองศำ ก. 30o ข. 45o ค. 60o ง. 90o

12) tan30

sec30

o

o มคำเทำกบ cos กองศำ

ก. 30o ข. 45o ค. 60o ง. 90o

13) 2 2 2sin 45 tan 30 cos 60o o o มคำเทำกบเทำใด ก. 1 ข. 1

112

ค. 2 ง. 1

22

14) 2 23sec 45 2cos 30o o มคำเทำใด ก. 6 ข. 1

62

ค. 7 ง. 1

72

15) ถำ 1tan30 cos30o o

x แลว x มคำเทำใด

ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4

16) sin30tan 45

cos45

oo

o มคำเทำใด

ก. 2 1

2

ข. 1 2

2

ค. 1 2 ง. 1

2

10 ครเสวตร

17) sin45 cos45 sin30 cos30o o o o มคำเทำใด

ก. 2 3

3

ข. 2 3

4

ค. 1 2

3

ง. 1 2

2

18) 2 2 2sin 45 tan 30 cos 60o o o มคำเทำใด

ก. 1 ข. 1

112

ค. 2 ง. 1

22

19) 2 23sec 45 2cos 30o o มคำเทำกบเทำใด ก. 6 ข. 1

62

ค. 7 ง. 1

72

20) ถำ cos30 tan30 1o ox แลว x มคำเทำใด ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4

21) sin 45tan30

cos30

oo

o มคำเทำใด

ก. 1.4 ข. 1.5 ค. 1.6 ง. 1.7

22) sin45 cos30 cos45 sin30o o o o มคำเทำใด ก. 0.25 ข. 1.25 ค. 2 ง. 2.25

11 ครเสวตร

23) สำมเหลยมมมฉำกซงมมม B เปนมมฉำก ถำ tan 1A แลว cos A มคำเทำใด ก. 0 ข. 1 ค. 2 ง. 2

2

24) ถำ 3tan

7A แลว

2 2

2cos sin cos

1 sin sin cos

A A A

A A A

มคำเทำกบเทำใด

ก. 3

7

ข. 4

7

ค. 7

3

ง. 7

4

25) ถำ 2 2sin cos 1A A แลว 2 2sin ( 60 ) cos 60o oA A มคำเทำใด

ก. 0 ข. 1 ค. 1

2

ง. 1

2

26) ถำ 2tan

3A แลว cos (sec cos )

sin ( sec sin )

A A A

A co A A

มคำเทำกบเทำใด

ก. 1

3

ข. 3 ค. 2

3

ง. 4

9

27) เดกคนหนงยนอยบนทำเรอซงอยสงกวำระดบน ำทะเล 120 ฟต มองเหนเรอเปนมมกม 30 องศำ เรอจะอยหำงจำกทำเรอเทำใด ก. 200 ฟต ข. 207.8 ฟต ค. 212.5 ฟต ง. 220 ฟต

12 ครเสวตร

28) ชำย 2 คน ยนอยตรงขำมกนและหำงจำกอำคำรหลงหนงซงสง 80 เมตร ทงสองวดมมเงยของอำคำรได 30 องศำ และ 45 องศำตำมล ำดบ ชำยสองคนนยนอยหำงกนเทำใด ก. 180 เมตร ข. 200 เมตร ค. 218.5 เมตร ง. 221.8 เมตร

29) ชำยคนหนงยนอยบนหนำผำรมทะเลซงสง 250 ฟต มองเหนเรอสองล ำเปนมม 30 องศำและ 45 องศำ ตำมล ำดบ เรอสองล ำนหำงกนเทำใด ก. 180 ฟต ข. 183 ฟต ค. 190 ฟต ง. 195 ฟต

30) จำกจดหนงรมทะเลซงสงกวำระดบน ำทะเล 80 เมตร จะมองเหนเรอสองล ำ จอดในแนวเดยวกนเปนมม 30 องศำและ 60 องศำ ตำมล ำดบ เรอทงสองล ำนอยหำงกนเทำใด ก. 82 เมตร ข. 90 เมตร ค. 92.3 เมตร ง. 95.61 เมตร

31) มำนะกบมำน ยนอยคนละดำนของปรำงคองคหนง ทงสองมองเหนยอดปรำงคเปนมมเงย 45 องศำ และ 60 องศำ

ตำมล ำดบ ถำทงสองอยหำงกน 100 เมตร ปรำงคองคนสงเทำใด(ตอบเปนจ ำนวนเตม)

ก. 60 เมตร ข. 63 เมตร ค. 70 เมตร ง. 73 เมตร

32) สำมเหลยมมมฉำกรปหนงมมม A เทำกบ 45 องศำ คำของอตรำสวนตรโกณมตในขอใดตอไปนมคำมำกสด

ก. sin A ข. cos A ค. tan A ง. sec A

13 ครเสวตร

33) จำกจดหนงบนฝงแมน ำตรงขำมกบตนไมบนอกฝงหนง วดมมเงยของตนไมได 60 องศำ ครนถอยหลงไปอก 100 ฟต มมเงยของตนไมเปน 30 องศำ แมน ำนกวำงเทำใด ก. 40 ฟต ข. 50 ฟต ค. 60 ฟต ง. 70 ฟต

34) จำกขอ 33) ตนไมสงเทำใด(ตอบเปนจ ำนวนเตม) ก. 60 ฟต ข. 72 ฟต ค. 80 ฟต ง. 86 ฟต

35) เฮลคอปเตอรล ำหนงขนตรงดงจำกทรำบแหงหนง เมอไปไดระยะหนงคนขบมองลงมำเหนบำนหลงหนงมมมกม 30 องศำ เมอบนตรงไปอก 100 เมตร กเหนมมกมของบำนหลงนนเปนมม 60 องศำ เฮลคอปเตอรขนไปสงกเมตร เมอมองเหนบำนครงแรก ก. 40 เมตร ข. 45 เมตร ค. 50 เมตร ง. 55 เมตร

36) จำกขอ 35) บำนหลงนนไกลจำกทเฮลคอปเตอรขนไปประมำณกเมตร ก. 85 เมตร ข. 86 เมตร ค. 87 เมตร ง. 88 เมตร

37) สมบตยนบนตก เมอมองลงไปยงถนนหนำตกเหนรถยนตคนหนงแลนตรงเขำมำขณะทรถแลนถงจด A มมมกม 15o อก 6 วนำท แลนถงจด B มมมกม 30o ถำตกทยนอยสงชนละ 1

33 เมตร และรถยนตแลนไดชวโมงละ 60

กโลเมตร จด A และ จด B หำงกนกเมตร ก. 80 ข. 100 ค. 120 ง. 140

14 ครเสวตร

38) จำกจดหนงหำงจำกเชงของหอคอย 50 ฟต มองเหนยอดของหอคอยเปนมมเงย 50 องศำ หอคอยสงกฟต (ก ำหนดให tan50 1.2o ) ก. 30 ฟต ข. 40 ฟต ค. 50 ฟต ง. 60 ฟต

39) สมศกดสง 6 ฟต ยนหำกจำกเสำธง 8 ฟต เงำของเขำทอดยำวเปน 2 เทำของควำมสงของเขำ ดวงไฟบนเสำสงจำก

พนดนกฟต ก. 10 ฟต ข. 15 ฟต ค. 18 ฟต ง. 19 ฟต

40) นนทนำยนอยบนหนำผำแหงหนง มองเหนทน 2 ทนในทะเลดวยมมกม 45 องศำ และ 60 องศำ ถำทนทงสองอยหำง

กน 220 ฟต หนำผำจะสงเทำใด ก. 500 ฟต ข. 520 ฟต ค. 530 ฟต ง. 540 ฟต