คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetic waves)...คล น...

1 คลืน่ (Waves)

Yingyot Infahsaeng | THAMMASAT UNIVERSITY

คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า (Electromagnetic Waves)

ในชีวิตประจ้าวัน เราได้รับประสบการณ์เกี่ยวกับคลื่นมากมาย อาทิเช่น คลื่นน ้า เมื่อเราโยนก้อนหิน

ลงสระน ้า ก้อนหินจะรบกวนผิวน ้า ท้าให้เกิดลูกคลื่นแผ่กระจายออกเป็นวง คลื่นเสียง ทั งแบบที่เกิดจากเครื่อง

ดนตรีชนิดสาย และเครื่องดนตรีชนิดเป่า ล้วนเกิดการสั่นของสายดนตรีหรืออากาศ น้าพาพลังงานของคลื่นไป

ยังผู้ฟัง พลังงานที่คลื่นน้าพาไปนี มีขนาดแตกต่างกันออกไป ในเครื่องดนตรีพลังงานของคลื่นจะมีขนาด

เล็กน้อย ขณะที่คลื่นแผ่นดินไหว (Seismic Waves) มีพลังงานของคลื่นขนาดมาก และอาจท้าให้เกิดคลื่นสึนา

มิ (Tsunami Waves) ซึ่งพลังงานของคลื่นทั งสองสามารถท้าให้เกิดความเสียหายแก่โครงสร้างอาคาร ผู้คน

หรือสิ่งแวดล้อมได้ คลื่นที่กล่าวมาทั งหมดนี เป็นคลื่นกล ที่จ้าเป็นต้องอาศัยตัวกลางในการน้าพาพลังงานของ

คลื่นให้เคลื่อนที่ไปยังอีกจุดหนึ่ง ขณะที่คลื่นอีกชนิดหนึ่งคือคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า กลับไม่จ้าเป็นต้องอาศัย

ตัวกลางใด ๆ ในการเคลื่อนที่

คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า (Electromagnetic Waves) จัดได้ว่าเป็นคลื่นรูปแบบหนึ่ง ที่ปัจจุบันมีการ

น้ามาใช้ในชีวิตประจ้าวันในหลายๆ ด้าน เช่น คลื่นวิทยุ คลื่นโทรทัศน์ คลื่นที่ใช้ส้าหรับโทรศัพท์เคลื่อนที่

ดาวเทียมก็ใช้คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในการสื่อสารโทรคมนาคม รังสีเอ็กซ์ (X-rays) ที่ใช้ในเครื่องเอกซเรย์ตาม

โรงพยาบาลส้าหรับการตรวจวินิจฉัยทางการแพทย์ ก็ถือเป็นคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าชนิดหนึ่ง นอกจากนี คลื่น

แม่เหล็กไฟฟ้าตามธรรมชาติเช่นแสงจากดวงอาทิตย์ ก็เป็นปัจจัยส้าคัญอย่างยิ่งส้าหรับการด้ารงอยู่ของ

สิ่งมีชีวิตบนโลก

เพ่ือให้เกิดความเข้าใจเกี่ยวกับคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ในบทนี จึงทบทวนพื นฐานและคุณสมบัติของคลื่น

หลังจากนั นจึงพิจารณาคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า การก้าเนิดคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า สมการแมกซ์เวล สมการคลื่น

แม่เหล็กไฟฟ้า การส่งถ่ายพลังงาน ความเข้ม และโพลาไรเซชั่น

คลื่น (Waves) คลื่น (Waves) คือลักษณะของการถูกรบกวน (Disturbance) ทีม่ีการส่งต่อ เคลื่อนที่ หรือแผ่กระจาย

ออกไป (Propagation) จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งตามระยะทาง ซึ่งการเคลื่อนที่แบบคลื่น (Wave motion)

จะเป็นการส่งถ่ายพลังงาน (Energy transfer) จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งตามระยะทางอีกด้วย ซึ่งอาจจะผ่าน

หรือไม่ผ่านตัวกลางก็ได้ โดยที่กรณีที่ผ่านตัวกลางนั น ตัวกลางหรือสสารที่น้าพาคลื่นไปนั น จะไม่ได้เคลื่อนที่

ตามคลื่นไปด้วย โดยพื นฐานแหล่งก้าเนิดของคลื่นจะถูกรบกวน ท้าให้เกิดจากการสั่น (Vibration,

Oscillation) หรือการเคลื่อนที่กลับไปกลับมาซ ้าแนวทางเดิมผ่านจุดสมดุลหรือเรียกว่าการเคลื่อนที่แบบฮาร์โม

นิก (Harmonic motion) เช่น การเคลื่อนแบบฮาร์โมนิกอย่างง่าย (Simple Harmonic Motion, SHM) การ

2 ชนิดของคลืน่


เคลื่อนที่ฮาร์โมนิกแบบหน่วง (Damped Harmonic Motion, DHM) หรือการเคลื่อนที่ฮาร์โมนิกด้วยแรง

ภายนอก (Force Harmonic Motion, FHM)

เมื่อพิจารณาการกระตุกเส้นเชือกที่ปลายถูกตรึงไว้ด้านหนึ่ง ตามรูปที่ 1 จะเห็นว่าเส้นเชือกถูก

กระตุ้นด้วยแรงมือท้าให้เกิดการเปลี่ยนแปลงต้าแหน่งของเส้นเชือกจากแนวระดับสมดุล (แสดงด้วยเส้นประ)

การเปลี่ยนต้าแหน่งของเส้นเชือกนี ส่งถ่ายพลังงานต่อไปตามแนวราบ ท้าให้เกิดการเคลื่อนที่ของส่ วนนูน เมื่อ

เวลาผ่านไปเส้นเชือกจะกลับมาที่ต้าแหน่งเดิมของแนวระดับสมดุล เมื่อกระตุกเส้นเชือกอีกครั งหนึ่ง จะท้าให้

เกิดการเปลี่ยนแปลงต้าแหน่งของเส้นเชือกเช่นเดิม ลักษณะการเคลื่อนที่กลับไปกลับมาเช่นนี เรียกว่า การสั่น

ซึ่งเป็นแหล่งก้าเนิดคลื่น ส่วนนูนที่เคลื่อนที่ไปตามแนวราบ เรียกว่า การเคลื่อนที่แบบคลื่น และเรียกส่วนนูนนี

ว่า ลูกคลื่น

รูปที่ 1 การเกิดคลื่นบนเส้นเชือก เส้นประแสดงระดับสมดุล (Equilavent or Undisturbed Level)

ชนิดของคลื่น เราสามารถแบ่งชนิดของคลื่นได้หลายลักษณะ คือ การแบ่งตามชนิดตัวกลางของคลื่น การแบ่งตาม

ลักษณะการเคลื่อนที่ของคลื่น หรือการแบ่งตามลักษณะการเกิดคลื่น

การแบ่งตามชนิดตัวกลางของคลื่น – สามารถแบ่งได้เป็น 2 ชนิด คือ

1. คลื่นกล (Mechanical Waves) – เป็นคลื่นที่ต้องอาศัยตัวกลางในการเคลื่อนที่ ในคลื่นชนิดนี

คุณสมบัติทางฟิสิกส์ของตัวกลางบางอย่างจะถูกรบกวน ซึ่งสามารถกล่าวได้ว่า คลื่นกลเป็นการแผ่ของ

สิ่งรบกวนผ่านตัวกลาง ตัวอย่างของคลื่นกล เช่น คลื่นเสียง คลื่นน ้า คลื่นบนเส้นเชือก

2. คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า (Electromagnetic Waves) – เป็นคลื่นที่ไม่ต้องอาศัยตัวกลางในการเคลื่อนที่ ซึ่ง

หมายความว่า คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าสามารถเคลื่อนที่จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งได้ โดยไม่จ้าเป็นต้องมี

ตัวกลางส้าหรับน้าพาพลังงานของคลื่นไปในการเคลื่อนที่ อย่างไรก็ตาม คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า เมื่อเดิน

ทางผ่านตัวกลางที่มีคุณสมบัติทางฟิสิกส์แตกต่างกัน ปริมาณทางฟิสิกส์บางอย่างของคลื่นก็จะ

เปลี่ยนไปตามตัวกลางต่างๆ ด้วย ตัวอย่างของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า เช่น คลื่นแสง คลื่นวิทยุ คลื่น

โทรศัพท์ รังสีเอ็กซ์

3 ชนิดของคลืน่


การแบ่งตามลักษณะการเคลื่อนที่ของคลื่น – ในการเคลื่อนที่ของคลื่น คลื่นจะมีทิศทางการเคลื่อนที่ของคลื่น

แน่นอนอยู่ทิศทางหนึ่ง แต่ปริมาณทางฟิสิกส์ที่เป็นองค์ประกอบในการเกิดคลื่นสามารถมีทิศทางการเคลื่อนที่

แตกต่างกัน ปริมาณทางฟิสิกส์ที่ว่านี เช่น มวลของเส้นเชือก อนุภาคในอากาศ หรือสนามไฟฟ้าและ

สนามแม่เหล็ก เมื่อพิจารณาจากลักษณะการเคลื่อนที่ของปริมาณทางฟิสิกส์ดังกล่าว ขณะที่คลื่นเคลื่อนที่ผ่าน

สามารถแบ่งคลื่นได้เป็น 3 ชนิด คือ

1. คลื่นตามขวาง (Transverse Waves) – เป็นคลื่นที่ทิศทางการเคลื่อนที่ของปริมาณทางฟิสิกส์ที่ถูก

รบกวน ตั้งฉาก (Perpendicular) กับทิศทางการเคลื่อนที่ของคลื่น หรืออาจกล่าวได้ว่า ทิศทางของ

การสั่น (Direction of vibration) มีทิศตั งฉากกับทิศทางการแผ่กระจายของคลื่น (Direction of

propagation) เช่น คลื่นบนเส้นเชือก คลื่นแสง

2. คลื่นตามยาว (Longitudinal Waves) – เป็นคลื่นที่ทิศทางการเคลื่อนที่ของปริมาณทางฟิสิกส์ที่ถูก

รบกวน ขนาน (Parallel) กับทิศทางการเคลื่อนที่ของคลื่น หรืออาจกล่าวได้ว่า ทิศทางของการสั่น

(Direction of vibration) มี ทิ ศ ขน านกั บ ทิ ศ ท า ง ก า ร แผ่ ก ร ะจ าย ข อ ง คลื่ น (Direction of

propagation) ตัวอย่างเช่น คลื่นเสียง

3. คลื่นผสม (Mixed Waves) – เป็นคลื่นที่ทิศทางการเคลื่อนที่ของปริมาณทางฟิสิกส์ที่ถูกรบกวน มีทั ง

ตั งฉากและขนาน กับทิศทางการเคลื่อนที่ของคลื่น ตัวอย่างเช่นคลื่นบนพื นผิวของของไหล

รูปที่ 2 ลักษณะคลื่นต่างๆ ตามทิศการเคลื่อนที่ของคลื่น (a) คลื่นตามขวางบนเส้นเชือก (b) คลื่นตามยาวในท่อของไหล (c) คลื่นบนผิวของของไหล

4 สว่นประกอบของคลืน่


การแบ่งตามลักษณะการเกิดคลื่น – เมื่อพิจารณาลักษณะการท้าให้เกิดคลื่น หรือผลลัพธ์ของการเกิดคลื่น

เราสามารถแบ่งคลื่นได้หลายแบบ เช่น

1. คลื่นดล (Pulse Waves) – เป็นคลื่นที่เกิดจากการสั่นของแหล่งก้าเนิดคลื่นในช่วงเวลาสั นๆ หรือการ

ไปรบกวนแหล่งก้าเนิดคลื่นเพียงครั งเดียว

2. คลื่นต่อเนื่อง (Continuous Waves) – เป็นคลื่นที่เกิดจากการสั่นของแหล่งก้าเนิดคลื่นที่มีความ

ต่อเนื่อง มีการรบกวนอย่างสม่้าเสมอ

3. คลื่นรูปไซน์ (Sinusoidal Waves) – เป็นคลื่นที่เกิดจากสั่นของแหล่งก้าเนิดซ ้าไปซ ้ามา ตามฟังกชัน

คณิตศาสตร์รูปร่างไซน์ คลื่นรูปไซน์นี สามารถอธิบายได้ทั งฟังกชันไซน์ (Sine Function) และโคไซน์

(Cosine Function) ซึ่งขึ นอยู่กับเฟสเริ่มต้น (Initial phase) ของแหล่งก้าเนิดคลื่น หรือตามสะดวก

ของผู้น้าไปใช้ คลื่นรูปไซน์ ถือว่าเป็นคลื่นต่อเนื่องชนิดหนึ่ง

4. คลื่นนิ่ง (Standing Waves) – เป็นคลื่นที่มีรูปร่างจ้ากัดในบริเวณหนึ่ง โดยคลื่นนิ่งนี มักจะเกิดใน

พื นที่ซึ่งถูกจ้ากัด ท้าให้เกิดการสะท้อน และแทรกสอดกันของคลื่น

5. คลื่นเดอบอยล์ (De-Broglie Waves) – เป็นคลื่นสสาร (Matter Waves) หรือกล่าวได้ว่า คุณลักษณะ

ใด ๆ ของพฤติกรรมหรือคุณสมบัติของวัตถุสสารที่เปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาและกาลอวกาศใด ๆ จะ

สอดคล้องกับสมการทางคณิตศาสตร์ส้าหรับอธิบายความเป็นคลื่น

ส่วนประกอบของคลื่น พิจารณาคลื่นตามขวางรูปไซน์ที่ต่อเนื่อง ซึ่งเป็นคลื่นอย่างง่ายสุดของคลื่นแบบซ ้าไปซ ้ามา โดยอาจ

เป็นฟังกชันไซน์หรือโคไซน์ก็ได้ โดยในหัวข้อต่อไปนี เราจะพิจารณาในรูปแบบของฟังกชันโคไซน์เป็นหลัก

รูปแบบการอธิบายคลื่นด้วยรูปแบบทางคณิตศาสตร์นี เรียกว่าฟังกชันคลื่น (Wave Function) ตามที่แสดงใน

รูปที่ 3 จากรูปจะเห็นได้ว่ารูปแบบของคลื่นเส้นสีน ้าเงินเป็นแบบเดียวกับเส้นโค้งที่เป็นกราฟระหว่าง cos 𝜃

กับมุม 𝜃 โดยเส้นสีน ้าเงินแสดงภาพนิ่ง (Snapshot) ของคลื่นแบบไซน์ที่ก้าลังเคลื่อนที่ (Traveling Waves)

ที่เวลา t = 0 ขณะที่เส้นสีแดงแสดงภาพนิ่งของคลื่นเดียวกัน หลังจากเวลาผ่านไปแล้วที่เวลา t ใด ๆ พิจารณา

ว่าการเคลื่อนที่ของคลื่นเกิดขึ นจากรูปแบบคลื่นทั งสอง เริ่มแรก รูปแบบคลื่นทั งหมดของเส้นสีน ้าเงินเคลื่อนที่

ไปทางขวา จนถึงต้าแหน่งของเส้นสีแดง ลักษณะเช่นนี คือการเคลื่อนที่ของคลื่น (Waves motion) ถ้าเราสนใจ

องค์ประกอบหนึ่งบนตัวกลางหรือบนเส้นโค้ง ที่ต้าแหน่งหนึ่งๆ เช่น องค์ประกอบที่ต้าแหน่ง x = 0 เราจะเห็น

ว่าองค์ประกอบนั นมีการเคลื่อนที่ขึ นและลงตามแกน y ในรูปแบบเดียวกับการเคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิกอย่างง่าย

การเคลื่อนที่นี เป็นการเคลื่อนที่ขององค์ประกอบในตัวกลางหรือปริมาณทางฟิสิกส์ใด ๆ ซึ่งต้องพึงระลึกเสมอ

ว่า การเคลื่อนท่ีของคลื่น และการเคลื่อนที่ของปริมาณทางฟิสิกส์ นั นแตกต่างกัน

5 สว่นประกอบของคลืน่


รูปที่ 3 คลื่นตามขวางในรูปแบบไซน์ 1 มิติ เคลื่อนที่ไปทางขวาด้วยอัตราเร็ว v เส้นสีน้้าเงินแสดงภาพนิ่งของคลื่นที่เวลา t = 0 และเส้นสีแดงแสดงภาพนิ่งของคลื่นเดียวกันที่เวลา t

ลักษณะทางกายภาพที่ส้าคัญของคลื่น แสดงตามรูปที่ 4 โดยรูปแบบคลื่น (Waveform) ที่เวลา t ใด ๆ แสดง

ในรูปที่ 4(a)ขณะเดียวกัน เมื่อพิจารณาลักษณะการสั่นเทียบกับเวลาของปริมาณทางฟิสิกส์ที่ต้าแหน่งใด ๆ จะ

ได้ภาพนิ่งของคลื่นที่เคลื่อนที่ตามรูปที่ 4(b) รูปทั งสอง จะใช้แกน y เป็นแกนการกระจัดของการเคลื่อนที่

ส้าหรับปริมาณทางฟิสิกส์ใดๆ เหมือนกัน ต่างกันแต่เพียงแกน x โดยรูปที่ 4(a) แกน x จะเป็นแกนกระจัดตาม

ทิศการเคลื่อนที่ของคลื่น ขณะที่รูปที่ 4(b) แกน x จะเป็นแกนเวลา

รูปที่ 4 ภาพนิ่งของคลื่นรูปไซน์ที่ก้าลังเคลื่อนที่ (a) รูปแบบคลื่นที่เวลาใดๆ (b) ลักษณะการสั่นของคลื่นเทียบกับเวลาที่ต้าแหน่งใดๆ

6 การบรรยายคลืน่เชิงคณิตศาสตร์


นิยามและความหมายที่ส้าคัญส้าหรับคลื่น

• แอมพลิจูด (Amplitude, A, ym) – คือขนาดการกระจัดมากสุดขององค์ประกอบการสั่น โดยคิดจาก

ระดับสมดุลถึงยอดคลื่น (Crest) ซึ่งเป็นต้าแหน่งสูงสุดจากระดับสมดุล หรือท้องคลื่น (Trough) ซึ่ง

เป็นต้าแหน่งต่้าสุดจากระดับสมดุล มีหน่วยเป็น เมตร (m)

• ความยาวคลื่น (Wavelength, ) – คือระยะทางซึ่งขนานไปกับทิศการเคลื่อนที่ของคลื่นที่น้อยที่สุด

ระหว่างจุดซ ้าซ้อนกันสองจุดของรูปร่างคลื่น เช่น จากยอดคลื่นไปยังยอดคลื่นที่อยู่ถัดไป มีหน่วยเป็น

เมตร (m)

• เลขคลื่น (Angular Wave Number, k) – คือจ้านวนลูกคลื่นที่มีในระยะวงกลมหนึ่งหน่วย (2 rad)

มีหน่วยเป็นรอบต่อเมตร (rad/m)

• คาบ (Period, T) – คือเวลาที่คลื่นใช้ในการสั่นครบ 1 รอบ หรือ 1 cycle โดยสามารถคิดได้จาก

ระยะเวลาระหว่างจุดซ ้าซ้อนกันสองจุดของลักษณะการสั่นของคลื่นเทียบกับเวลา (รูปที่ 4(b)) เช่น

จากท้องคลื่นไปยังท้องคลื่นถัดไป มีหน่วยเป็น วินาที (s)

• ความถี่ (Frequency, f, ) – คือจ้านวนรอบของการสั่นของคลื่นหรือจ้านวนลูกคลื่นที่ผ่านจุดหนึ่งจุด

ใด ในหนึ่งหน่วยเวลา โดยคลื่นเคลื่อนที่ครอบ 1 รอบ เรียกว่า 1 cycle ความถี่มีหน่วยเป็น รอบต่อ

วินาที (cycle/s, Hz, s-1)

• ความถี่เชิงมุม (Angular Frequency, ) – จ้านวนรอบของการสั่นของคลื่นที่มีในช่วงเวลาที่คลื่น

เดินทางครบรอบวงกลมหนึ่งหน่วย มีหน่วยเป็น เรเดียนต่อวินาที (rad/s)

• เฟส (Phase) – คือการบอกต้าแหน่งต่าง ๆ บนคลื่น โดยใช้อาร์กิวเมนท์ (Argument) ของพจน์ kx-

t+ ซึ่งพจน์สุดท้าย คือเฟสเริ่มต้น (Initial phase) เป็นการบอกว่าคลื่นเริ่มต้นที่ต้าแหน่ง x = 0

และ t = 0 ที่ต้าแหน่งใด เฟสมีหน่วยเป็น องศา หรือเรเดียน (rad)

การบรรยายคลื่นเชิงคณิตศาสตร์ ฟังกชันคลื่น (Wave Function, y(x,t)) จะใช้ในการอธิบายคลื่นเชิงคณิตศาสตร์ ในฟังกชันนี y คือ

การกระจัด (Displacement) ขององค์ประกอบหรือปริมาณทางฟิสิกส์ใด ๆ ตามพิกัดแกน y ที่ต้าแหน่ง x ใด

ๆ และท่ีเวลา t ใด ๆ ฟังกชันคลื่นส้าหรับคลื่นรูปไซน์ที่เคลื่อนที่ไปตามทิศ +x แสดงตามสมการข้างล่าง



(1)

โดยที่เราสามารถพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณต่าง ๆ ได้ดังนี เมื่อพิจารณาจากความหมายของคาบ

และความถี่ของคลื่น จะได้ความสัมพันธ์ดังนี

𝑇 =1

𝑓 (2)

และจากนิยามของความถี่เชิงมุมและเลขคลื่นเชิงมุมแล้ว เราจะได้ว่า

𝜔 = 2𝜋𝑓 (3)

𝑘 =2𝜋

𝜆 (4)

ส้าหรับเฟสของคลื่น สามารถพิจารณาความสัมพันธ์ของมุมในรูปขององศาและเรเดียนได้ว่า 360o 2 rad

อัตราเร็วของคลื่นรูปไซน์

เนื่องจากคลื่นเคลื่อนที่ตามระยะทางในช่วงเวลาหนึ่งๆ ดังนั นปริมาณทางฟิสิกส์ที่ส้าคัญส้าหรับคลื่น

อีกอย่างหนึ่งคือ อัตราเร็ว (speed) ถ้าพิจารณาการเคลื่อนที่ของคลื่นแล้ว เราจะพบว่าลักษณะการเคลื่อนที่

สามารถแบ่งออกได้เป็น 2 แบบ เช่นเดียวกับการเคลื่อนที่ 2 มิติ คือการเคลื่อนที่ตามทิศการเคลื่อนที่ของคลื่น

และการเคลื่อนที่ของปริมาณทางฟิสิกส์ใด ๆ ในกรณีคลื่นตามขวางนั น ทิศทางการเคลื่อนที่ของทั ง 2 แบบจะมี

ทิศตั งฉากกัน

พิจารณาคลื่นรูปไซน์ ซึ่งแสดงรูปแบบคลื่นที่เวลา t = 0 ตามรูปที่ 4(a) สมการที่คาดว่าจะใช้นิยาม

รูปแบบคลื่นได้คือ ฟังกชันโคไซน์ เขียนได้เป็น 𝑦(𝑥, 0) = 𝐴 cos(𝑎𝑥)

ที่ต้าแหน่ง x = 0 เราจะได้ว่า 𝑦(0,0) = 𝐴 cos(𝑎 ∙ 0) = 𝐴

ที่ต้าแหน่ง x ถัดไป ที่จะท้าให้ y มีค่าเป็น -A คือ 𝑥 = 𝜆/2

ดังนั นแล้ว 𝑦(𝜆/2,0) = 𝐴 cos(𝑎 ∙ 𝜆/2) = −𝐴



เพ่ือให้สมการนี เป็นจริง จะได้ว่า 𝑎 ∙ 𝜆/2 = 𝜋 หรือจะได้ว่า 𝑎 = 2𝜋/𝜆

ดังนั นฟงักชันคลื่นรูปไซน์จะได้ว่า 𝑦(𝑥, 0) = 𝐴 cos (2𝜋𝜆

𝑥)

เนื่องจากอัตราเร็วของคลื่นรูปไซน์คือ v ดังนั นที่เวลา t ใดๆ คลื่นจะเคลื่อนที่ไปทางขวาตามพิกัด +x

เป็นระยะทาง vt ตามรูปที่ 3 โดยรูปร่างของคลื่นไม่เปลี่ยนไปตามเวลา ถ้าให้ y(x,0) = f(x) เป็นฟังกชันคลื่นที่

เวลา t = 0 แล้ว จะได้ว่า ที่เวลา t ใด ๆ y(x,t) = f(x-vt) ดังนั น f(x) = f(x-vt) ซึ่งจะท้าให้ฟังกชันคลื่นสามารถ

เขียนได้ว่า

𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 cos [2𝜋𝜆

(𝑥 − 𝑣𝑡)]

ส้าหรับคลื่นที่เคลื่อนที่ไปทางซ้ายตามพิกัด –x เราจะได้ว่า f(x) = f(x+vt) ซึ่งจะท้าให้เราฟังกชันคลื่นว่า

𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 cos [2𝜋𝜆

(𝑥 + 𝑣𝑡)]

โดยนิยาม คลื่นเคลื่อนที่ผ่านระยะขจัด Δ𝑥 จะเท่ากับหนึ่งความยาวคลื่น λ ในช่วงเวลา Δ𝑡 ของหนึ่ง

คาบ T ดังนั นอัตราเร็วของคลื่นรูปไซน์จะนิยามได้ว่า

𝑣 =Δ𝑥

Δ𝑡=

𝜆

𝑇= 𝜆𝑓 (5)

โดยที่อัตราเร็วมีหน่วยคือ เมตรต่อวินาที (m/s) เมื่อแทนค่าอัตราเร็วของคลื่นกลับในฟังกชันคลื่น จะได้ว่า

𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 cos [2𝜋 (𝑥

𝜆−

𝑡

𝑇)] = 𝐴 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) (6)

จากฟังกชันคลื่น ที่เวลา t = 0 จะได้ว่า 𝑦(𝑥, 𝑡 = 0) = 𝐴 cos (2𝜋𝜆

𝑥) = 𝐴 cos(𝑘𝑥) ซึ่งสามารถอธิบาย

กราฟแสดงรูปร่างของคลื่นที่เวลา t = 0 ตามรูปที่ 4(a)

และที่ต้าแหน่ง x = 0 จะได้ว่า 𝑦(𝑥 = 0, 𝑡) = 𝐴 cos (− 2𝜋𝑇

𝑡) = 𝐴 cos(−𝜔𝑡) ซึ่งสามารถอธิบายกราฟ

แสดงการกระจัด y ของคลื่นที่เป็นฟังกชันของเวลาที่ต้าแหน่ง x = 0 ตามรูปที่ 4(b)

นอกจากนี ยังสามารถเขยีนอัตราเร็วในรูปของความสัมพันธ์ระหว่างความถี่เชิงมุมและเลขคลื่นได้ว่า

𝑣 = 𝜆𝑓 = (𝜆

2𝜋) (2𝜋𝑓) =

𝜔

𝑘 (7)

ส้าหรับอัตราเร็วตามขวาง (Transverse speed, vy) จะเป็นอัตราเร็วที่องค์ประกอบหรือปริมาณทาง

ฟิสิกส์หนึ่งเคลื่อนท่ีหรือสั่น ตามแนวพิกัดแกน y จากฟังก์ชั่นคลื่นและนิยามอัตราเร็วจะได้ว่า



𝑣𝑦 =𝜕𝑦

𝜕𝑡=

𝜕

𝜕𝑡{𝐴 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)}

𝑣𝑦 = −𝐴(−𝜔) sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

𝑣𝑦 = 𝜔𝐴sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) (8)

จากสมการที่ 8 จะเห็นว่าอัตราเร็วสูงสุดตามขวาง (𝑣𝑦,𝑚𝑎𝑥) ของตัวกลางหรือองค์ประกอบหรือปริมาณทาง

ฟิสิกส์ จะเกิดขึ นเมื่อพจน์ sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) = 1 ดังนั นแล้ว

𝑣𝑦,𝑚𝑎𝑥 = 𝜔𝐴

ส้าหรับอัตราเร่งตามขวาง (Transverse acceleration, ay) จะเป็นอัตราเร่งที่องค์ประกอบหรือ

ปริมาณทางฟิสิกส์หนึ่งเคลื่อนท่ีหรือสั่น ตามแนวพิกัดแกน y จากนิยามอัตราเร่งจะได้ว่า

𝑎𝑦 =𝜕2𝑦

𝜕2𝑡=

𝜕𝑣𝑦

𝜕𝑡=

𝜕

𝜕𝑡{𝜔𝐴 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)}

𝑎𝑦 = 𝜔𝐴(−𝜔) cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

𝑎𝑦 = −𝜔2𝐴 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) = −𝜔2𝑦(𝑥, 𝑡) (9)

จากสมการที่ 9 จะเห็นว่าอัตราเร่งสูงสุดตามขวาง (𝑎𝑦,𝑚𝑎𝑥) ของตัวกลางหรือองค์ประกอบหรือปริมาณทาง

ฟิสิกส์ จะเกิดขึ นเมื่อพจน์ cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) = −1 ดังนั นแล้ว

𝑎𝑦,𝑚𝑎𝑥 = 𝜔2𝐴

จากฟังกชันคลื่น เราเรียกอาร์กิวเมนท์ (Argument) (𝑘𝑥 ± 𝜔𝑡 + 𝜙) ว่าเฟส (Phase) ซึ่ งมี

ความส้าคัญต่อการบอกต้าแหน่งบนคลื่น และปริมาณเชิงมุมต่าง ๆ โดยค่า x และ t ใด ๆ นั นจะก้าหนด

ต้าแหน่งบนคลื่นรูปแบบกราฟไซน์ เช่น บนยอดคลื่น y = A ค่าโคไซน์ (Cosine) จะต้องมีค่าเท่ากับ 1 ดังนั น

เฟสควรจะเป็น 0, 2, 4, … ส้าหรับคลื่นที่เคลื่อนที่ตามทิศ +x เราจะได้ว่า (𝑘𝑥 ± 𝜔𝑡 + 𝜙) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

และเราสามารถหาอนุพันธ์ได้ว่า

𝜕

𝜕𝑡(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙) =

𝜕

𝜕𝑡(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡)

𝜕(𝑘𝑥)

𝜕𝑡−

𝜕(𝜔𝑡)

𝜕𝑡+

𝜕(𝜙)

𝜕𝑡= 0

𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡=

𝜔

𝑘 (11)

เราเรียกอัตราเร็วนี ได้อีกอย่างว่า อัตราเร็วเฟส (Phase speed)



สมการคลื่นเชิงเส้น

จากฟังกชันคลื่น เราสามารถหาอนุพันธ์ย่อย (Partial differential) เทียบกับการกระจัด (dx) โดยที่อนุพันธ์

อันดับหนึ่ง จะเป็นความชันของคลื่นที่ต้าแหน่ง x และท่ีเวลา t ใด ๆ ซึ่งจะได้ว่า

𝜕𝑦

𝜕𝑥=

𝜕

𝜕𝑥{𝐴 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)} = −𝑘𝐴 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

ส้าหรับอนุพันธ์อันดับสอง จะแสดงความโค้งของคลื่น ซึ่งจะได้ว่า

𝜕2𝑦

𝜕2𝑥=

𝜕

𝜕𝑥{−𝑘𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)}

𝜕2𝑦

𝜕2𝑥= −𝑘2𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

𝜕2𝑦

𝜕2𝑥= −𝑘2𝑦(𝑥, 𝑡) (12)

จากฟังกชันคลื่น (สมการที่ 1) อัตราเร่งตามขวางของคลื่น (สมการที่ 9) อัตราเร็วของคลื่น (สมการที่ 11) และ

ความโค้งของคลื่น (สมการที่ 12) จะได้ว่า

𝑦(𝑥, 𝑡) = (−1

𝜔2)𝜕2𝑦

𝜕2𝑡

𝑦(𝑥, 𝑡) = (−1

𝑘2)𝜕2𝑦

𝜕2𝑥

ดังนั น

(−1

𝑘2)𝜕2𝑦

𝜕2𝑥= (−

1

𝜔2)𝜕2𝑦

𝜕2𝑡

𝜕2𝑦

𝜕2𝑥= (

𝑘

𝜔)2 𝜕2𝑦

𝜕2𝑡

ซึ่งจะท้าให้ได้ สมการคลื่นเชิงเส้น

𝜕2𝑦

𝜕2𝑥=

1

𝑣2𝜕2𝑦

𝜕2𝑡 (13)

11 คลืน่แมเ่หลก็ไฟฟา้


คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า (Electromagnetic Waves) เป็นคลื่นที่ไม่ต้องการตัวกลางในการเคลื่อนที่

ตัวอย่างคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า เช่น คลื่นแสง คลื่นวิทยุ รังสีเอกซ์ เป็นต้น โดยแหล่งก้าเนิดคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าคือ

ประจุไฟฟ้าที่ก้าลังสั่น (Oscillating Electric Charges) คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่ถูกปลดปล่อย (radiate) ออกมาก

จะถูกตรวจวัดได้ที่ระยะทางไกล ๆ นอกจากนี เนื่องจากคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าได้น้าพาพลังงานและโมเมนตัมไปใน

การเคลื่อนที่ด้วย จึงท้าให้คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าเกิดความดันบนพื นผิวใด ๆ ในบทนี เราจะพิจารณาคลื่น

แม่เหล็กไฟฟ้าที่มีช่วงความถ่ีต่างๆ ซึ่งจะเรียกว่าสเปกตรัมของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า (Electromagnetic

Spectrum) อีกด้วย

จากบทท่ีเกี่ยวกับเรื่องแม่เหล็กไฟฟ้า เราได้เคยพิจารณากฎของแอมแปร์ (Ampere’s law) เพ่ือ

วิเคราะห์สนามแม่เหล็กที่ถูกสร้างขึ นโดยกระแส ตามสมการ

∮ �⃗� ∙ 𝑑𝑙 = 𝜇0𝐼 (14)

ในสมการนี อินทิกรัลเชิงเส้นของสนามแม่เหล็กรอบเส้นทางปิดใด ๆ ของลวดตัวน้า จะขึ นกับกระแสไฟฟ้า I ใน

ลวดตัวน้า โดยที่กระแสในลวดตัวน้านิยามโดย 𝐼 = 𝑑𝑞/𝑑𝑡 เราจะแสดงให้เห็นว่ากฎของแอมแปร์ในรูปแบบนี

จะใช้ได้เฉพาะเมื่อสนามไฟฟ้าใด ๆ เป็นค่าคงตัวที่ไม่ขึ นกับเวลา เจมส์

คลากส์ แมกซ์เวล (James Clerk Maxwell, 1831-1879) พบข้อจ้ากัดนี

และได้ท้าการปรับปรุงกฎของแอมแปร์ส้าหรับสนามไฟฟ้าใด ๆ ที่ขึ นอยู่กับ

เวลา พิจารณาตามรูปที่ 5

ที่พื นผิว S1 จะได้ว่า ∮ �⃗� ∙ 𝑑𝑠 = 𝜇0𝐼

ขณะที่พื นผิว S2 จะได้ว่า ∮ �⃗� ∙ 𝑑𝑠 = 𝜇0𝐼 = 0

ซึ่งจะเห็นได้ว่าเกิดสถานการณ์ท่ีขัดแย้งขึ นจากการที่กระแสมี

ความไม่ต่อเนื่อง ดังนั นแมกซ์เวลจึงแก้ปัญหานี โดยการเพ่ิมพจน์สมมติเข้า

ไปทางขวาในสมการกฎของแอมแปร์ โดยจะรวมพจน์ใหม่ด้วย เรียกว่า

กระแสการขจัด (Displacement Current, Id) ซึ่งนิยามโดย

𝐼𝑑 =𝑑𝑄

𝑑𝑡≡ 𝜖0

𝑑𝛷𝐸𝑑𝑡

เมื่อ 𝜖0 คือค่าสภาพซาบซึมได้ของสนามไฟฟ้าในสุญญากาศ (Permittivity in free space) และ 𝛷𝐸 ≡

∫ �⃗� ∙ 𝑑𝐴 คือฟลักซ์ไฟฟ้าผ่านพื นผิวที่ห่อหุ้มไว้ด้วยเส้นทางของการอินทิเกรต ซึ่งสุดท้ายแล้วเราสามารถเขียน

สมการกฎของแอมแปร์ใหม่ (เรียกว่า กฎแอมแปร์ – แมกซ์เวล, Ampere – Maxwell law) ได้ว่า

รูปที่ 5 พืน้ผิวทั้งสอง S1 และ S2 .ใกล้กับแผ่นตัวเก็บประจุถกูห่อหุ้มโดยเสน้ทาง P เดียวกนั

12 คลืน่แมเ่หลก็ไฟฟา้


∮ �⃗� ∙ 𝑑𝑠 = 𝜇0(𝐼𝑐 + 𝐼𝑑) = 𝜇0 (𝐼𝑐 + 𝜖0𝑑𝛷𝐸

𝑑𝑡) (15)

เมื่อ Ic คือกระแสตัวน้า (Conduction Current) และ Id คือกระแสการขจัด และ 𝜇0 สภาพซาบซึมได้ของ

สนามแม่เหล็กในสุญญากาศ (Permeability in free space)

สมการของแมกซ์เวลและการค้นพบของเฮิร์ต

ในตอนนี เราจะแสดงสมการ 4 สมการที่เป็นพื นฐานส้าคัญของปรากฏการณ์ทางไฟฟ้าและแม่เหล็ก

ทั งหมด เช่นเดียวกับสมการในกฎของนิวตันที่เป็นสมการพื นฐานของปรากฏการณ์ทางกลศาสตร์ สมการเหล่านี

ถูกพัฒนาขึ นโดยแมกซ์เวล สมการของแมกซ์เวลในสุญญากาศคือ

∮ �⃗� ∙ 𝑑𝐴 =𝑄𝑒𝑛𝑐𝑙

𝜖0 กฎของเกาส์ (Gauss’s law) (16.1)

∮ �⃗� ∙ 𝑑𝐴 = 0 กฎของเกาส์ในแม่เหล็ก (Gauss’s law in magnetism) (16.2)

∮ �⃗� ∙ 𝑑𝑠 = −𝑑𝛷𝐵

𝑑𝑡 กฎของฟาราเดย์ (Faraday’s law) (16.3)

∮ �⃗� ∙ 𝑑𝑠 = 𝜇0 (𝐼𝑐 + 𝜖0𝑑𝛷𝐸

𝑑𝑡) กฎของแอมแปร์ – แมกซ์เวล (Ampere – Maxwell law) (16.4)

โดยที่ 𝜖0 = 8.85×10−12 𝐶2/𝑁 ∙ 𝑚2 และ 𝜇0 = 4𝜋×10−7𝑇 ∙ 𝑚/𝐴

จะเห็นได้ว่าสมการของแมกซ์เวลมีความสมมาตรซึ่งกันและกัน สมการที่ 16.1 และ 16.2 สมมาตรกัน

เว้นเสียแต่ว่าการหายไปของพจน์ส้าหรับแม่เหล็กขั วเดียว (Magnetic monopoles) ในสมการที่ 16.2

นอกจากนี สมการที ่ 16.3 และ 16.4 ก็สมมาตรกันในรูปแบบของอินทิกรัลเชิงเส้นของสนามไฟฟ้าและ

สนามแม่เหล็กรอบเส้นทางปิด ซึ่งสัมพันธ์กับอัตราการเปลี่ยนแปลง ฟลักซ์แม่เหล็กและฟลักซ์ไฟฟ้าตามล้าดับ

สมการแมกซ์เวลเป็นสมการพื นฐานที่ส้าคัญยิ่ง ไม่ใช่เพียงแต่ทฤษฎีทางแม่เหล็กไฟฟ้า แต่เป็นวิทยาศาสตร์ทั ง

ปวง ดังค้าทีไ่ฮน์ริช เฮิร์ต (Heinrich Hertz, 1857 - 1894) กล่าวไว้ว่า “ไม่มีใครจะหนีจากความรู้สึกที่ว่าสูตร

ทางคณิตศาสตร์เหล่านี้มีการด้ารงอยู่อย่างเป็นอิสระ และมีความฉลาดล้้าในตัวของมันเอง ซึ่งสมการเหล่านี้

เฉลียวฉลาดมากกว่าพวกเรา และยิ่งเฉลียวฉลาดมากกว่าผู้ค้นพบ ซึ่งพวกเราได้รับจากสมการเหล่านี้มากกว่าที่

เราใส่เข้าไปในสมการเหล่านั้นเอง”

จากสมการที่ 16.3 และ 16.4 สามารถน้ามาวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ และได้สมการคลื่นส้าหรับ

สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก และยังแสดงให้เห็นว่าอัตราเร็วของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่เคลื่อนที่มีขนาดเท่ากับ

อัตราเร็วแสง เป็นผลให้ แมกซ์เวลท้านายว่า “คลื่นแสงอาจเป็นรูปแบบหนึ่งของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า และประจุ

ไฟฟ้าที่มีการสั่นจะปลดปล่อยรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าในรูปแบบของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าออกมาด้วย” เฮิร์ตได้ท้าการ

ทดลองเพ่ือพิสูจน์การท้านายของแมกซ์เวล โดยอุปกรณ์การทดลองของเฮิร์ต ประกอบไปด้วยเครื่องผลิตและ

ตรวจวัดคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า โดยใช้ขดลวดเหนี่ยวน้าต่อกับเครื่องส่งที่ท้าจากขั วไฟฟ้าทรงกลม ซึ่งแยกจากกัน

13 คลืน่ระนาบ (Plane Waves)


ด้วยช่องว่างขนาดเล็ก ขดลวดจะปล่อยศักย์ไฟฟ้าไปยังขั วไฟฟ้า ท้าให้เกิดประจุบวกและลบที่ขั วไฟฟ้าทั งสอง

การเกิดประกายระหว่างขั วไฟฟ้าจะท้าให้คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าถูกปลดปล่อยออกมา ซึ่งสามารถตรวจรับได้โดย

เครื่องรับที่มีขั วไฟฟ้าทรงกลมเช่นกันที่วางไว้อีกด้านหนึ่งของมุมห้อง ถ้ามีการตรวจพบคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า

ขั วไฟฟ้าท่ีเครื่องรับจะเกิดประกายระหว่างขั วไฟฟ้าเช่นเดียวกับท่ีเกิดขึ นกับเครื่องส่ง และเฮิร์ตก็สามารถแสดง

ให้เห็นว่ากระแสไฟฟ้าที่มีการสั่นหรือประกายซึ่งเหนี่ยวน้าในเครื่องรับ เกิดขึ นโดยคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าซึ่งถูก

ปลดปล่อยออกมาจากเครื่องส่ง นอกจากนี เฮิร์ตยังพบว่าอัตราเร็วของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้านั นใกล้เคียงกับ

อัตราเร็วแสงอีกดว้ย และนี เป็นการยืนยันได้อย่างดีส้าหรับการท้านายของแมกซ์เวล

คลื่นระนาบ (Plane Waves) สมมติให้เวกเตอร์ของสนามไฟฟ้าและแม่เหล็กในคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้ามีคุณสมบัติเฉพาะของกาล-ปริภูมิ

(Space-Time) ที่สอดคล้องกับสมการแมกซ์เวล และสมมตใิห้คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าเคลื่อนที่ (Direction of

Propagation) ในทิศพิกัด +x โดยมีสนามไฟฟ้าสม่้าเสมอในทิศ +y และสนามแม่เหล็กสม่้าเสมอในทิศ +z

ดังนั นบนจุดใด ๆ บนปริภูมิ ขนาดของสนามไฟฟ้าและแม่เหล็กขึ นอยู่กับ x และ t เท่านั น ก้าหนดให้รังสี (Rays)

คือเส้นที่ลากขนานไปตามการเคลื่อนที่ของคลื่น คลื่นจากรังสีใด ๆ ที่มีสนามสม่้าเสมอขนาดเท่ากันตลอดพื นผิว

ระนาบใด ๆ ที่ตั งฉากกับทิศการเคลื่อนที่ของคลื่น เรียกคลื่นเหล่านี ว่า คลื่น

ระนาบ (Plane Wave) พื นผิวที่เชื่อมต่อคลื่นที่มีเฟสใด ๆ เท่ากัน จะ

เรียกว่า หน้าคลื่น (Wave Front)

จากรูปที่ 6 ให้สนามไฟฟ้าและแม่เหล็กมีค่าเป็น 0 ส้าหรับระนาบ

ทางขวาของหน้าคลื่นที่แรเงา และให้มีขนาดของสนามใด ๆ เท่ากันทั งหมด

ส้าหรับระนาบทางซ้ายของหน้าคลื่นที่แรเงา

คลื่นที่สนามไฟฟ้าและแม่เหล็ก ขนาน กับคู่สนามอ่ืนที่ตั งฉากกับ

แกนการเคลื่อนที่ จะเรียกว่า คลื่นโพลาไรซ์เชิงเส้น (Linearly Polarized

Waves) รังสีทุกเส้นส้าหรับคลื่นโพลาไรซ์เชิงเส้นจะ ขนาน กัน

ส้าหรับคลื่นระนาบแม่เหล็กไฟฟ้าอย่างง่าย เราสามารถพิจารณาสมการของแมกซ์เวล ตามสมการที่

16.1 และ 16.2 โดยการสร้างผิวเกาส์เซียน (Gaussian) เป็นผิวกล่องสี่เหลี่ยมผืนผ้าตามรูปที่ 7(a) ภายในกล่อง

ไม่มีประจุไฟฟ้าใด ๆ อยู่ ฟลักซ์ (Flux) ไฟฟ้าและแม่เหล็กสุทธิที่ผ่านกล่องเป็น ศูนย์ ทั งคู่ คลื่นนี สอดคล้องกับ

สมการแมกซ์เวลที่ 16.1 และ 16.2 หรือไม?่ จากรูปที่ 7(a) สนามไฟฟ้าและแม่เหล็กจะมีทิศ ตั งฉาก กับทิศการ

เคลื่อนที่หรือการแผ่กระจายของคลื่น ดังนั นคลื่นระนาบแม่เหล็กไฟฟ้าอย่างง่ายเป็นคลื่นตามขวาง

รูปที่ 6 หน้าคล่ืนของคลื่นแมเ่หล็กไฟฟ้า ระนาบแสดงถึงหนา้คล่ืนที่เคลือ่นที่ไปทางขวา (ในทิศ +x) ด้วยอัตราเร็ว c



รูปที่ 7 (a) ผวิเกาส์เซียนของคลื่นระนาบแม่เหล็กไฟฟ้าอยา่งง่าย (b) การประยกุต์กฎของฟาราเดยก์ับคลื่นระนาบ (c) ภาพด้านข้าง ที่เวลา dt

ฟลักซ์แม่เหล็กผ่านรูปสี่เหลี่ยมบนระนาบ xy เพิ่มขึ้นโดยจ้านวนของ dB การเพิ่มนี้จะเท่ากับฟลักซ์ที่ผ่านรูปสี่เหลี่ยมที่แรเงาด้วยพื้นที่

จากรูปที่ 7 และสมการแมกซ์เวลที่ 16.3 ∮ �⃗� ∙ 𝑑𝑠 = − 𝑑𝛷𝐵𝑑𝑡

เราจะสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้า efgh ที่ขนานกับ

ระนาบ xy ตามรูปที่ 7(b) สี่เหลี่ยมนี สูง a และกว้าง ∆𝑥 โดยให้หน้าคลื่นแรกเคลื่อนที่ผ่านสี่เหลี่ยม efgh ไปบางส่วน ดังนั นสนามไฟฟ้าและแม่เหล็กจะเป็น ศูนย์ บนด้าน ef ซึ่งจะได้ว่าเวกเตอร์ 𝑑𝐴 ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า efgh อยู่ในทิศ +z ตามกฎมือขวา จ้าเป็นต้องหาปริพันธ์ (integrate) ของ �⃗� ∙ 𝑑𝑙 ตามทิศ ทวนเข็มนาฬิกา รอบรูปสี่เหลี่ยม efgh ซึ่งจะได้ค่าต่าง ๆ ดังนี บนด้าน ef สนามไฟฟ้าเป็นศูนย์ บนด้าน fg และ he ถ้าสนามไฟฟ้าไม่เป็นศูนย์ มันก็ตั งฉากกับ dl และบนด้าน gh เท่านั นที่มีผลต่อปริพันธ์ ซึ่งจะได้ว่า

∮ �⃗� ∙ 𝑑𝑙 = −𝐸𝑎

จากกฎของฟาราเดย์ จะต้องมีองค์ประกอบของสนามแม่เหล็กในทิศ +z เพ่ือที่จะท้าให้มีฟลักซ์แม่เหล็กที่ไม่

เท่ากับศูนย์ผ่านพื นผิวสี่เหลี่ยม efgh และอนุพันธ์ (derivative) 𝑑𝛷𝐵/𝑑𝑡 ในช่วงเวลา 𝑑𝑡 หน้าคลื่นเคลื่อน

เป็นระยะทาง 𝑐 ∙ 𝑑𝑡 ไปทางขวา หน้าคลื่นกวาดพื นที่สี่เหลี่ยม efgh ไปได้ 𝑎 ∙ 𝑐 ∙ 𝑑𝑡 ในช่วงเวลานี ฟลักซ์

แม่เหล็กผ่านพื นที่สี่เหลี่ยม efgh เพ่ิมขึ น 𝑑𝛷𝐵 = 𝐵(𝑎 ∙ 𝑐 ∙ 𝑑𝑡) ดังนั น อัตราการเปลี่ยนแปลงฟลักซ์แม่เหล็ก

คือ 𝑑𝛷𝐵𝑑𝑡

= 𝐵𝑎𝑐

จากสมการก่อนหน้า เราจะได้ว่า −𝐸𝑎 = −𝐵𝑎𝑐 ดังนั น

𝐸 = 𝑐𝐵 (17)

ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในสุญญากาศ

ค าถาม: ถ้าสนามแม่เหล็กอยู่ในทิศ –z สมการข้างต้นจะมีเครื่องหมายลบหน้า B และถ้าสนามแม่เหล็กอยู่ใน

ทิศ +y ?

(a)

(b) (c)



ส้าหรับสมการแมกซ์เวลที่ 16.4 ∮ �⃗� ∙ 𝑑𝑠 = 𝜇0 (𝐼𝑐 + 𝜖0𝑑𝛷𝐸

𝑑𝑡) สามารถพิจารณาได้ตามรูปที่ 8

โดยสมการของแอมแปร์ – แมกซ์เวล จะไม่กระแสตัวน้า Ic = 0 และเราสามารถสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้าบนระนาบ

xz เวกเตอร์พื นที่ 𝑑𝐴 อยู่ในทิศ +y จากนั นจึงหาปริพันธ์ (integrate) �⃗� ∙ 𝑑𝑙 ตามทิศ ทวนเข็มนาฬิกา รอบรูป

สี่เหลี่ยม efgh ซึ่งจะได้ค่าต่างๆ ดังนี บนด้าน ef สนามแม่เหล็กเป็นศูนย์ บนด้าน fg และ he ถ้า

สนามแม่เหล็กไม่เป็นศูนย์ มันก็ตั งฉากกับ dl บนด้าน gh เท่านั นที่มีผลต่อปริพันธ์ ซึ่งจะได้ว่า

∮�⃗� ∙ 𝑑𝑙 = 𝐵𝑎

รูปที่ 8 (a) การประยุกต์ใช้กฎของแอมแปร์กับคลื่นระนาบ (b) ที่เวลา dt ฟลักซ์ไฟฟ้าผ่านรูปสี่เหลีย่มบนระนาบ xz เพิ่มขึ้นโดยจา้นวนของ dE การ

เพิ่มขึ้นนี้เท่ากับฟลักซ์ที่ผ่านรูปสี่เหลีย่นที่แรเงาด้วยพื้นที่ ac dt

เนื่องจากทางซ้ายของสมการแอมแปร์ – แมกซ์เวล (สมการที่ 16.4) ไม่เท่ากับศูนย์ ทางขวาของสมการก็ต้องไม่

เท่ากับศูนย์ด้วย ดังนั นสนามไฟฟ้าต้องอยู่บนพิกัด y และตั งฉากกับสนามแม่เหล็กเพ่ือให้ฟลักซ์ไฟฟ้า 𝛷𝐸 ผ่าน

รูปสี่เหลี่ยม และอนุพันธ์ย่อยเทียบเวลา 𝑑𝛷𝐸/𝑑𝑡 ไม่เท่ากับศูนย์ ซึ่งท้าให้เราได้ข้อสรุปเช่นเดียวกันกับกฎ

ของฟาราเดย์ที่ว่า ในคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กจะต้องตั งฉากกัน ในช่วงเวลา 𝑑𝑡 ฟลักซ์

ไฟฟ้า 𝛷𝐸 ผ่านรูปสี่เหลี่ยมจะเพ่ิมขึ น ดังนั น 𝑑𝛷𝐸 = 𝐸(𝑎 ∙ 𝑐 ∙ 𝑑𝑡) และเนื่องจากเราเลือก 𝑑𝐴 ในทิศ +y

การเปลี่ยนแปลงฟลักซ์จึงเป็นบวก และอัตราการเปลี่ยนแปลงของสนามไฟฟ้าคือ 𝑑𝛷𝐸𝑑𝑡

= 𝐸𝑎𝑐

จากสมการก่อนหน้านี เราจะได้ว่า B𝑎 = 𝜖0𝜇0𝐸𝑎𝑐 ดังนั น B = 𝜖0𝜇0𝑐𝐸 (18)

จากสมการที่ 17 และ 18 คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าต้องสอดคล้องตามกฎของฟาราเดย์และแอมแปร์ทั งคู่ ดังนั น

สมการผลลัพธ์จะต้องเป็นจริงทั งคู่ ซึ่งจะเป็นจริงๆ ก็ต่อเมื่อ

𝑐0 =1

√𝜖0𝜇0 (19)

ซึ่งเป็นสมการอัตราเร็วของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในสุญญากาศ เมื่อแทนค่าค่าซาบซึมได้ทางไฟฟ้าและแม่เหล็กใน

สมการที่ 19 จะได้ว่า อัตราเร็วของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในสุญญากาศมีค่า 3108 m/s ซึ่งเท่ากับอัตราเร็วแสง

และอาจกล่าวได้ว่า แสงเป็นคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าแบบหนึ่ง

16 ลกัษณะส าคญัของคลืน่แมเ่หลก็ไฟฟา้


ลักษณะส้าคัญของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า • คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าถือว่าเป็นคลื่นตามขวาง ที่ทั งสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กตั งฉากกับทิศทางการ

แผ่หรือการเคลื่อนที่ของคลื่น นอกจากนี สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กยังตั งฉากกันเองอีกด้วย

• ทิศทางการเคลื่อนที่ของคลื่นคือทิศทางของผลคูณเวกเตอร์ของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก �⃗� ×�⃗�

• นอกจากนี อัตราส่วนระหว่างขนาดของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กจะมีค่าคงตัวแน่นอน นั่นคือ 𝐸 = 𝑐𝐵

• ดังนั นแล้ว คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าจะเคลื่อนที่ในสุญญากาศ ด้วยอัตราเร็วแน่นอนคงท่ี คือ 𝑐 = 3×108 𝑚/𝑠

• คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าไม่ต้องการตัวกลางในการเคลื่อนที่

ในการหาทิศการเคลื่อนที่ของคลื่นไม่เหล็กไฟฟ้า สามารถหาได้โดยใช้กฎมือขวา

ตามรูปที่ 9 โดยที่ (1) ชี นิ วหัวแม่โป้งของมือขวาไปยังทิศการเคลื่อนที่ของคลื่น

(2) ตั งฝ่ามือไว้ในทิศของสนามไฟฟ้าและก้าฝ่ามือตามธรรมชาติไป 90 องศา ก็

จะได้ทิศของสนามแม่เหล็ก

ค าถาม: จงหาทิศทางขององค์ประกอบของคลื่นไม่เหล็กไฟฟ้าที่เหลือ

ก) คลื่นเคลื่อนที่ไปในทิศ +z และสนามไฟฟ้าอยู่ในทิศ +x

ข) คลื่นเคลื่อนที่ไปในทิศ +y และสนามแม่เหล็กอยู่ในทิศ –z

ค) สนามแม่เหล็กอยู่ในทิศ –x และสนามไฟฟ้าอยู่ในทิศ +z

คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าแบบไซน์ คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าแบบไซน์มีลักษณะเดียวกับคลื่นตามขวางในเส้นเชือกแบบไซน์ โดยที่คลื่น

แม่เหล็กไฟฟ้าแบบไซน์บางชนิดมีคุณสมบัติแบบคลื่นระนาบด้วย พิจารณาตามรูปที่ 10 คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า

เคลื่อนที่ผ่านพื นที่เล็ก ๆ ที่ระยะไกลจากแหล่งก้าเนิด ท้าให้สามารถประมาณว่าเป็น

คลื่นระนาบได ้

ในคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าแบบไซน์นี สนามไฟฟ้าและแม่เหล็กจะเป็น ฟังก์ชั่น

แบบไซน์ที่ขึ นอยู่กับทั งเวลาและการกระจัด ซึ่งสามารถเขียนได้ว่า

�⃗� (𝑥, 𝑡) = 𝑗̂𝐸𝑚𝑎𝑥 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) (20.1)

�⃗� (𝑥, 𝑡) = �̂�𝐵𝑚𝑎𝑥cos (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) (20.2)

ซึ่งจะสอดคล้องตามรูปที่ 11 เมื่อคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าเคลื่อนที่ในสุญญากาศไป

ตามทิศพิกัด +x ด้วยอัตราเร็ว 𝑐 = 3×108 𝑚/𝑠 โดยที่ Emax และ Bmax คือแอมพลิ

รูปที่ 9 การหาทิศของคลื่นแม่เหลก็ไฟฟ้าโดยใช้กฎมอืขวา

รูปที่ 10 คลื่นเคลื่อนทีผ่่านพืน้ที่ขนาดเลก็ ซึ่งอยู่ไกลจาก

แหล่งก้าเนิดพอทีจ่ะประมาณได้ว่าเป็นคลืน่ระนาบ

17 คลืน่แมเ่หลก็ไฟฟา้แบบไซน์


จูดสูงสุด (Amplitude) ของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กตามล้าดับ, k คือเลขคลื่น (Wave number), คือ

ความถี่เชิงมุม (Angular frequency), 𝑗̂ คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วย (unit vector) ในทิศพิกัด +y และ �̂� คือ

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (unit vector) ในทิศพิกัด +z ข้อควรระวังคือ ในคลื่นระนาบ สนามไฟฟ้าและ

สนามแม่เหล็กเป็นระนาบที่อยู่บนผิวระนาบเสมอ

รูปที ่11 แผนภาพแสดงสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กที่เป็นฟังก์ชั่นกบัต้าแหน่ง x ส้าหรับคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าแบบไซน์ที่มีโพราไรเซชั่นเชิงเส้น ที่เวลา t = 0

ตัวอย่าง

เลเซอร์คาร์บอนไดออกไซด์ให้คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าแบบไซน์ เคลื่อนที่ในสุญญากาศทิศทาง –x ความยาวคลื่นของ

เลเซอร์คือ 10.6 µm โดยสนามไฟฟ้าขนานกับแกน +z ด้วย Emax = 1.5 MV/m จงเขียนสมการเวกเตอร์ของ E

และ B ในรูปฟังก์ชั่นของเวลาและต้าแหน่ง

จากโจทย์ คลื่นเคลื่อนที่ไปในทิศ –x และมีสนามไฟฟ้าอยู่ในทิศ +z ดังนั นแล้ว จากกฎ

มือขวา สนามแม่เหล็กจึงอยู่ในทิศ +y และเราสามารถเขียนแผนภาพแสดง

สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กได้ตามรูปทางซ้าย และสามารถเขียนสมการคลื่นของ

สนามไฟฟ้าและแม่เหล็ก ได้ว่า

�⃗� (𝑥, 𝑡) = �̂�𝐸𝑚𝑎𝑥 cos(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡)

�⃗� (𝑥, 𝑡) = 𝑗̂𝐵𝑚𝑎𝑥cos (𝑘𝑥 + 𝜔𝑡)

พจน์ 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡 เป็นเครื่องหมายบวก เพราะคลื่นเคลื่อนที่ไปในทิศ –x

จากกฎของฟาราเดย์ เราทราบว่า 𝐸𝑚𝑎𝑥 = 𝑐𝐵𝑚𝑎𝑥

สนามไฟฟ้ามีขนาด 𝐸𝑚𝑎𝑥 = 1.5×106 𝑉/𝑚

ดังนั นจะได้ว่าสนามแม่เหล็กมีขนาด 𝐵𝑚𝑎𝑥 =𝐸𝑚𝑎𝑥

𝑐=

1.5×106 𝑉/𝑚

3.0×108 𝑚/𝑠= 5.0×10−3 𝑇

18 คลืน่แมเ่หลก็ไฟฟา้แบบไซน์


จากโจทย์ ความยาวคลื่น = 10.6 m = 10.610-6 m

ดังนั นเลขคลื่นคือ 𝑘 = 2𝜋𝜆

=2𝜋 𝑟𝑎𝑑

10.6×10−6 𝑚= 5.93×105 𝑟𝑎𝑑/𝑚

และความถี่เชิงมุมคือ 𝜔 = 𝑐𝑘 = (3.00×108 𝑚/𝑠)(5.93×105 𝑟𝑎𝑑/𝑚) = 1.78×1014 𝑟𝑎𝑑/𝑠

เมื่อแทนค่าในสมการคลื่นของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก จะได้ว่า

�⃗� (𝑥, 𝑡) = �̂�(1.5×106𝑉/𝑚) cos{(5.93×105𝑟𝑎𝑑/𝑚)𝑥 + (1.78×1014𝑟𝑎𝑑/𝑠)𝑡}

�⃗� (𝑥, 𝑡) = 𝑗̂(5.0×10−3𝑇) cos{(5.93×105𝑟𝑎𝑑/𝑚)𝑥 + (1.78×1014𝑟𝑎𝑑/𝑠)𝑡}

ค าถาม:

1. ที่ต้าแหน่ง x = 0 และเวลา t = 0 สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กสูงสุดมีค่าเท่าใด

2. ที่เวลา t = 0 สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กมีค่าสูงสุดที่ต้าแหน่ง x มีค่าเท่าใดบ้าง ยกตัวอย่างมาสัก 2

ค่า

3. คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าดังกล่าวเคลื่อนที่ในสุญญากาศด้วยอัตราเร็ว มากกว่า น้อยกว่า หรือเท่ากันกับคลื่น

แม่เหล็กไฟฟ้าที่มีความยาวคลื่นน้อยกว่านี เพราะอะไร

4. ถ้าคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าดังกล่าว กระทบวัสดุซึ่งสะท้อนคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าได้ ท้าให้ทิศการเคลื่อนที่ของ

คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าเปลี่ยนเป็น +x ถ้าสนามแม่เหล็กไม่เปลี่ยนทิศทาง ทิศของสนามไฟฟ้าควรจะอยู่ใน

ทิศใด

คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในสสาร

เมื่อคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าเคลื่อนที่ในสสาร ปริมาณทางฟิสิกส์ของคลื่นจะมีการเปลี่ยนแปลงไป ได้แก่

อัตราเร็วของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในสารไดอิเล็กตริก ซึ่งจะขึ นอยู่กับคุณสมบัติทางวัสดุของสารไดอิเล็กตริกนั นๆ

เขียนความสัมพันธ์ของอัตราเร็วในสารไดอิเล็กตริกได้ว่า

𝑣 =1

√𝜖𝜇=

1

√𝐾𝐾𝑚

1

√𝜖0𝜇0=

𝑐

√𝐾𝐾𝑚

เมื่อ n คือค่าดัชนีหักเหในวัสดุ (index of refraction)

K คือค่าคงตัวไดอิเล็กตริก (Dielectric Constant) โดยที่ 𝜖 = K𝜖0

Km คือค่าซึมผ่านสัมพัทธ์ของไดอิเล็กตริก (Relative permeability of dielectric) โดยที ่𝜇 = 𝐾𝑚𝜇0

19 พลงังานในคลืน่ไมเ่หลก็ไฟฟ้า


ส้าหรับสารไดอิเล็กตริกส่วนใหญ่ ค่าซึมผ่านสัมพัทธ์จะมีค่าประมาณหนึ่ง, Km1 ดังนั นแล้ว

𝑣 =1

√𝐾

1

√𝜖0𝜇0=

𝑐

√𝐾

เนื่องจากค่าคงตัวไดอิเล็กตริกมีค่ามากกว่าหนึ่งเสมอ ดังนั นอัตราเร็วของคลื่นในสารไดอิเล็กตริกจึงมีค่าน้อย

กว่าอัตราเร็วของคลื่นไม่เหล็กไฟฟ้าในสุญญากาศ c ด้วยส่วนหาร 1/√𝐾 ซึ่งจะได้ว่าอัตราส่วนของอัตราเร็ว c

ในสุญญากาศต่ออัตราเร็ว v ในวัสดุคือค่าดัชนีหักเห (Index of Reflection, n) โดยที่

𝑐

𝑣= 𝑛 ≈ √𝐾

ค าถาม:

1. ค่าดัชนีหักเหในน ้า K = 1.8 ส้าหรับแสงช่วงที่มองเห็น อัตราเร็วของแสงนี ในน ้าคิดเป็นกี่เปอร์เซ็นต์

เทียบกับอัตราเร็วของแสงในสุญญากาศ

2. นักศึกษาไปร้านเครื่องประดับในตอนเย็น โดยที่นักศึกษาถือเพชรให้แสงจากหลอดไฟชนิดไอระเหย

โซเดียมส่องผ่าน ถ้าแสงจากหลอดไฟให้แสงสีเหลืองที่ความถ่ี 5.091014 Hz จงหาความยาวคลื่นใน

สุญญากาศ อัตราเร็วและความยาวคลื่นในเพชรที่ความถี่นี

พลังงานในคลื่นไม่เหล็กไฟฟ้า โดยตามธรรมชาติ คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าจะน้าพาพลังงานไปด้วย ให้ลองนึกถึง การแผ่รังสีจากดวง

อาทิตย์ การอุ่นอาหารในเตาไมโครเวฟ การส่งสัญญาณโทรทัศน์วิทยุ สิ่งเหล่านี ล้วนต้องการใช้พลังงานที่คลื่น

แม่เหล็กไฟฟ้าน้าพามาด้วย ฉะนั นเพ่ือจะเข้าใจกระบวนการส่งผ่านพลังงานคลื่นไม่เหล็กไฟฟ้าได้ดีขึ น เราจึง

ต้องศึกษารายละเอียดความสัมพันธ์ระหว่างคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าและพลังงาน

ความหนาแน่นของพลังงานไฟฟ้าที่กักเก็บไว้สามารถใช้หลักการเกี่ยวกับการกักเก็บพลังงานในตัวเก็บ

ประจุ และตัวเหนี่ยวน้าได้ ซึ่งเราสามารถพิจารณาความหนาแน่นของพลังงานทั งหมด (Total energy

densities) เขียนได้ว่า

𝑢 =1

2𝜖0𝐸

2 +1

2𝜇0𝐵2 = 𝜖0𝐸

2

เนื่องจากสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก เป็นฟังก์ชั่นที่ขึ นอยู่กับต้าแหน่งและเวลา ดังนั นความ

หนาแน่นพลังงานนี จะขึ นอยู่กับต้าแหน่งและเวลาของคลื่นที่ก้าลังเคลื่อนที่ด้วย โดยที่เราสามารถอธิบายการ

ส่งผ่านพลังงานจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งของคลื่นที่ก้าลังเคลื่อนที่ได้ในหน่วยของ พลังงานที่ส่งผ่านต่อหน่วย

20 พลงังานในคลืน่ไมเ่หลก็ไฟฟา้


เวลาต่อหน่วยพื นที่หน้าตัด, J/s·m2 หรือก้าลังต่อหน่วยพื นที่, W/m2 ส้าหรับพื นที่ซึ่งตั งฉากกับทิศการเดินทาง

ของคลื่น

เมื่อพิจารณาระนาบซึ่งตั งฉากกับแกน x ที่ทับซ้อนกับหน้าคลื่นที่เวลาขณะหนึ่ง จะได้ว่า ปริมาณ

พลังงานที่ไหลผ่านต่อปริมาตรหนึ่งหน่วยคือ

𝑑𝑈 = 𝑢𝑑𝑉 = (𝜖0𝐸2)(𝐴𝑐 𝑑𝑡)

นิยาม S เป็นพลังงานที่ไหลผ่านพื นที่ A ในช่วงเวลา dt จะได้ว่า

𝑆 =1

𝐴

𝑑𝑈

𝑑𝑡= 𝜖0𝑐𝐸

2 = √𝜖0𝜇0

𝐸2 =𝐸𝐵

𝜇0

โดย S สามารถนิยามเป็นเวกเตอร์ได้ว่า

𝑆 =1

𝜇0�⃗� ×�⃗�

เรียกเวกเตอร์ 𝑆 ว่าเวกเตอร์พอยติง (Poynting vector) ในกรณีนี อยู่ใน

สุญญากาศ และทิศของเวกเตอร์นี ชี ทิศการแผ่ของคลื่นดังแสดงตามรูปที่ 12

พลังงานทั งหมดต่อเวลาหนึ่งหน่วย (ก้าลัง Power, P) ออกจา�

คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetic waves)...คล น...

Documents