แบบรปฟโบนกช ฟงกชนการเจรญเตบโต ปรมาตรของเมลดและการจดเรยงเมลด บนดอกทานตะวน สายพนธอะควอรา-6

Fibonacci Pattern, Growth Function, Volume of Seeds and Arrangement of Seeds on Aguara-6 Sunflower Heads

มฮมหมดอาลาว บก Muhammad-Alawee Buku

วทยานพนธนเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตรปรญญาวทยาศาสตรมหาบณฑต

สาขาวชาคณตศาสตรประยกต มหาวทยาลยสงขลานครนทร

A Thesis Submitted in Partial Fulfillment of the Requirement for the Degree of Master of Science in Applied Mathematics

Prince of Songkla University

2560

ลขสทธของมหาวทยาลยสงขลานครนทร

i

แบบรปฟโบนกช ฟงกชนการเจรญเตบโต ปรมาตรของเมลดและการจดเรยงเมลด บนดอกทานตะวน สายพนธอะควอรา-6

Fibonacci Pattern, Growth Function, Volume of Seeds and Arrangement of Seeds on Aguara-6 Sunflower Heads

มฮมหมดอาลาว บก Muhammad-Alawee Buku

วทยานพนธนเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตรปรญญาวทยาศาสตรมหาบณฑต

สาขาวชาคณตศาสตรประยกต มหาวทยาลยสงขลานครนทร

A Thesis Submitted in Partial Fulfillment of the Requirement for the Degree of Master of Science in Applied Mathematics

Prince of Songkla University

2560

ลขสทธของมหาวทยาลยสงขลานครนทร

ii

ชอวทยานพนธ แบบรปฟโบนกช ฟงกชนการเจรญเตบโต ปรมาตรของเมลดและ

การจดเรยงเมลดบนดอกทานตะวน สายพนธอะควอรา-6

ผเขยน นายมฮมหมดอาลาว บก

สาขาวชา คณตศาสตรประยกต

อาจารยทปรกษาวทยานพนธหลก คณะกรรมการสอบ

......................................................... ................................................ประธานกรรมการ

(ดร.ภาขวญ รยาพนธ) (ดร.เซาฟ บสะมญ)

............................................................กรรมการ

อาจารยทปรกษาวทยานพนธรวม (ดร.ภาขวญ รยาพนธ)

......................................................... ............................................................กรรมการ

(ดร.สมพร ชวยอารย) (ดร.สมพร ชวยอารย)

............................................................กรรมการ

(ผศ.ดร.กตตยา คงกระพนธ)

............................................................กรรมการ

(ผศ.ดร.กรวกา กองกล)

บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยสงขลานครนทร อนมตใหนบวทยานพนธฉบบนเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตรปรญญาวทยาศาสตรมหาบณฑต สาขาวชาคณตศาสตรประยกต

.............................................................. (รองศาสตราจารย ดร.ธระพล ศรชนะ)

คณบดบณฑตวทยาลย

iii

ขอรบรองวา ผลงานวจยนมาจากการศกษาวจยของนกศกษาเอง และไดแสดงความขอบคณบคคลทมสวนชวยเหลอแลว

ลงชอ.................................................. (ดร.ภาขวญ รยาพนธ)

อาจารยทปรกษาวทยานพนธหลก

ลงชอ.................................................. (ดร.สมพร ชวยอารย)

อาจารยทปรกษาวทยานพนธรวม

ลงชอ.................................................. (นายมฮมหมดอาลาว บก)

นกศกษา

iv

ขาพเจาขอรบรองวา ผลงานวจยนไมเคยเปนสวนหนงในการอนมตปรญญาในระดบใดมากอน และไมไดถกใชในการยนขออนมตปรญญาในขณะน

ลงชอ.................................................. (นายมฮมหมดอาลาว บก)

นกศกษา

v

ชอวทยานพนธ แบบรปฟโบนกช ฟงกชนการเจรญเตบโต ปรมาตรของเมลดและ

การจดเรยงเมลดบนดอกทานตะวน สายพนธอะควอรา-6

ผเขยน นายมฮมหมดอาลาว บก

สาขาวชา คณตศาสตรประยกต

ปการศกษา 2559

บทคดยอ

การศกษางานวจยนมวตถประสงคเพอศกษาความสมพนธระหวางจ านวนกลบของดอก

ทานตะวนกบจ านวนฟโบนกช โดยการนบจ านวนกลบของดอกทานตะวน รวมทงศกษาความสมพนธ

ระหวางจ านวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดของดอกทานตะวนกบจ านวนฟโบนกช โดยการ

นบจ านวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดของดอกทานตะวนในทศทวนและตามเขมนาฬกา

พรอมทงศกษาการเจรญเตบโตของดอกทานตะวนโดยการวดความยาวของเสนผานศนยกลางของ

ดอกทานตะวน และใชแบบจ าลองการเตบโตดวยฟงกชนลกษณะคลายตว S เพอหาผลเฉลยทวไป

นอกจากนผวจยไดศกษาปรมาตรของเมลดดอกทานตะวนโดยวธการเกบขอมลทาง

กายภาพของเมลด (ความกวาง ความยาวและความหนา) และประมาณคาปรมาตรของเมลดในแตละ

พนทและทงดอกทานตะวนดวย 5 วธ อกทงศกษาการบรรจเมลดของดอกทานตะวน โดยการหา

ประสทธภาพของการบรรจเมลดจากดอกทานตะวนจรงและไดสรางแบบจ าลองการจดเรยงเมลดของ

ดอกทานตะวนดวย

vi

Thesis Title Fibonacci Pattern, Growth Function, Volume of Seeds and

Arrangement of Seeds on Aguara-6 Sunflower Heads

Author Mr.Muhammad-Alawee Buku

Major Program Applied Mathematics

Academic Year 2016

ABSTRACT

The aim of this study is to investigate the relation between the number of

sunflower petals and Fibonacci number by counting the number of sunflower petals.

The relation between the spiral number of arrangement of sunflower seeds and

Fibonacci number is studied by counting spiral number of arrangement of sunflower

seeds in counterclockwise and clockwise directions. The growth of sunflowers is

observed by measuring the length of diameter of sunflowers and studied by using a

sigmoid function in order to find the general solution

Furthermore, the volume of sunflower seeds is collected from the physical grain

of sunflowers (width, length and thickness) and estimated on each region of sunflower

heads and on the whole heads by using 5 methods. Moreover, the packing of sunflowers

is considered by computing the efficiency of arrangement of seeds and creating a model

for studying of this arrangement.

vii

กตตกรรมประกาศ

วทยานพนธฉบบนเสรจสมบรณไดดวยความชวยเหลอของผมบญคณหลายทาน ขาพเจา

ขอขอบคณ ดร.ภาขวญ รยาพนธ อาจารยทปรกษาวทยานพนธหลกและ ดร.สมพร ชวยอารย อาจารย

ทปรกษาวทยานพนธรวม ทคอยใหค าปรกษาแนะน าในการท าวจย การคนควาเอกสารและการเขยน

วทยานพนธฉบบน ขอขอบคณ ดร.เซาฟ บสะมญ ประธานคณะกรรมการสอบวทยานพนธ ผศ.ดร.

กตตยา คงกระพนธ และ ผศ.ดร.กรวกา กองกล กรรมการสอบวทยานพนธทกรณาใหค าแนะน าและ

ตรวจทานแกไขวทยานพนธใหถกตองและสมบรณยงขน

ขอขอบคณบณฑตวทยาลย มหาวทยาลยสงขลานครนทรส าหรบทนสนบสนนวจยของบณฑต

วทยาลยของมหาวทยาลยสงขลานครนทรและทนจากศนยความเปนเลศดานคณตศาสตรทคอย

สนบสนนงบประมาณเพอการวจย และขอขอบคณคณาจารยภาควชาคณตศาสตรและวทยาการ

คอมพวเตอรทคอยใหค าแนะน าและอ านวยสถานทในการวเคราะหขอมล ขอขอบคณคณาจารยแผนก

วชาเทคโนโลยการเกษตรทอนเคราะหสถานทเพอการเพาะปลกตนทานตะวน ขอขอบคณคณาจารย

แผนกวชาเคมและแผนกวชาฟสกสทใหยมอปกรณเพอท าการทดลอง และวทยานพนธฉบบนจะ

สมบรณไมไดหากขาดก าลงใจจากครอบครวของขาพเจา จงขอขอบคณไว ณ โอกาสน ขอขอบคณ

นกศกษาปรญญาโท สาขาวชาคณตศาสตรประยกตทใหค าแนะน าตาง ๆ เกยวกบการวจย ขอขอบคณ

ทกทานทมสวนชวยใหวทยานพนธฉบบนส าเรจสมบรณดวยด

มฮมหมดอาลาว บก

viii

สารบญ

หนา

สารบญ (vii)

รายการตาราง (x)

รายการภาพประกอบ (xii)

บทท

1 บทน า 1

1.1 หลกการและเหตผล 1

1.2 วตถประสงค 5

1.3 ขอบเขตงานวจย 5

1.4 ผลทคาดวาจะไดรบ 5

2 ความรพนฐาน 6

2.1 งานวจยทเกยวของ 6

2.2 ทฤษฎบททเกยวของ 9

3 วสด อปกรณ และวธการด าเนนงาน 16

3.1 วสดและอปกรณ 16

3.2 วธการด าเนนงาน 17

4 ผลการทดลอง 31

4.1 การนบจ านวนกลบของดอกทานตะวน 31

4.2 การนบจ านวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดของดอกทานตะวน 32

4.3 การพยากรณการเจรญเตบโตของดอกทานตะวน 35

4.4 การหาปรมาตรเมลดของดอกทานตะวน 38

4.5 การบรรจเมลดของดอกทานตะวน 54

ix

5 อภปรายผลและขอเสนอแนะ 56

5.1 อภปรายผล 56

5.2 ขอเสนอแนะ 57

บรรณานกรม 58

ภาคผนวก ก. คมอการใชโปรแกรม 60

ภาคผนวก ข. ขอมลและการวเคราะห 64

ภาคผนวก ค. Proceeding 76

ประวตผเขยน 87

x

รายการตาราง

ตาราง หนา

4.1 ผลการนบกลบดอกของดอกทานตะวนในแตละชน 33

4.2 จ านวนตนทมจ านวนกลบดอกของดอกทานตะวนเปนจ านวนฟโบนกชในชนท 1-3 33

4.3 จ านวนเสนเวยนกนหอยในแตละทศทางและจ านวนเสนเวยนกนหอยในรปคอนดบ 34

4.4 จ านวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดในรปคอนดบ 35

4.5 ความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวน 37

4.6 ความยาวเสนผานศนยกลางและปรมาตรจรงของเมลดดอกทานตะวน 38

4.7 คาเฉลยของความกวาง ความหนาและความยาว 39

4.8 ปรมาตรเฉลยของแตละเมลดในแตละพนทดวยวธการตาง ๆ 40

4.9 ปรมาตรเมลดในแตละพนทดวยวธการตาง ๆ 41

4.10 ฟงกชนสวนโคงบนและฐานรองของเมลดดอกทานตะวน 44

4.11 ปรมาตรเมลดทงดอกทานตะวนดวยวธการตาง ๆ 48

4.12 ผลการเปรยบเทยบปรมาตรของเมลดในแตละพนทดวยวธการตาง ๆ 49

4.13 ผลการเปรยบเทยบปรมาตรของเมลดทงดอกของดอกทานตะวนดวยวธการตาง ๆ 50

4.14 พนทวงกลมในแตละพนท 51

4.15 พนทหนาตดของเมลดในแตละพนท 52

4.16 ประสทธภาพของการบรรจเมลดดวยพนทหนาตด 53

ภ.1 ขอมลชดท 1 65

ภ.2 ขอมลชดท 2 66

ภ.3 ขอมลชดท 3 67

ภ.4 ขอมลชดท 4 68

ภ.5 ขอมลชดท 5 69

xi

ภ.6 ขอมลชดท 6 70

ภ.7 ขอมลชดท 7 71

ภ.8 ขอมลชดท 8 72

ภ.9 ขอมลชดท 9 73

ภ.10 ขอมลชดท 10 74

ภ.11 คา 2R ของขอมลทง 10 ชดดวยดกร 1 ถง ดกร 10 75

xii

รายการภาพประกอบ

ภาพ หนา

1.1 ตวอยางแบบรปเสนเวยนกนหอยทพบในธรรมชาต 2

1.2 ตวอยางแบบรปเสนเวยนกนหอยและทศทางของแบบรปเสนเวยนกนหอย 2

1.3 การเจรญเตบโตของดอกทานตะวน 3

1.4 ววฒนาการการเกดเมลดของดอกทานตะวน 4

2.1 สมมตฐานขอท 2 ของ Vogel 8

2.2 ลกษณะกราฟของสมการวงร 12

3.1 เครองมอวดขนาดของเมลดทานตะวน คอ เวอรเนยคาลปเปอร 16

3.2 โปรแกรมวเคราะหจด X และ Y 17

3.3 บกเกอรทใชในการหาปรมาตรของเมลดดอกทานตะวน 17

3.4 กลบดอกและกลบเลยงของดอกทานตะวน 18

3.5 ทศทางการวดความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนในแตละดอก 20

3.6 การหาปรมาตรจรงของเมลดดอกทานตะวนโดยการถวงน าในบกเกอร 22

3.7 ขนตอนการแบงพนทของดอกทานและแสดงพนทแตละสวน 23

3.8 คาตาง ๆ ของเมลดทานตะวน 24

3.9 การวดคาตาง ๆ ของเมลดดอกทานตะวนดวยเวอรเนย คาลปเปอร 24

3.10 แบบจ าลองปรมาตรเมลดดวยทรงกระบอกหนาตดวงร 25

3.11 แบบจ าลองปรมาตรเมลดดวยทรงกระบอกหนาตดวงกลม 25

3.12 แบบจ าลองปรมาตรเมลดดวยพระมดฐานสเหลยม 25

3.13 ภาพของภาคตดขวางดอกทานตะวน 26

3.14 ภาพเปรยบเทยบระหวางภาพจรงกบภาพทเกดจากการหมนฟงกชน 27

3.15 ชวงการเกดเมลดของดอกทานตะวน 30

xiii

4.1 กราฟการเจรญเตบโตของดอกทานตะวน 36

4.2 กราฟแสดงการเปรยบเทยบคาความผดพลาดของการประมาณคาของทงสองผลเฉลย 36

4.3 แบบจ าลองการบรรจเมลดของดอกทานตะวน 55

ภ.1 สวนการปรบขนาดของการเลอกจดเรยงเมลดทมขนาดแตกตางกน 61

ภ.2 หนาตางโปรแกรมในงานวจยน 63

1

บทท 1

บทน ำ

1.1 หลกกำรและเหตผล

แบบรปของพช (plant pattern) เปนการแสดงลกษณะรปรางสณฐานของการจดเรยง

สวนประกอบตาง ๆ ของพช เชน ใบ เมลด ดอก กลบเลยง เปนตน ในระยะแรกของสวนประกอบตาง

ๆ ของพช ซงเรยกวา primordia จะเกดขนทเนอเยอเจรญปลายยอด (shoot apical meristem)

แลวเคลอนทออกจากเนอเยอเจรญปลายยอดจนกลายเปนสวนประกอบตาง ๆ ของพช เชน ใบ ดอก

เมลด เปนตน การจดเรยงสวนประกอบตาง ๆ ของพชเราเรยกวา ฟลโลแทกซส (phyllotaxis) ซง

แบบรปทเกดจากการจดเรยงดงกลาวม 2 แบบ คอ แบบรปวง (whorl) และแบบรปเสนเวยนกนหอย

(spiral) (Alan, 2005; Jay, 2004; Jean, 1994; Michison, 1977 and Pennybacker, 2013)

แบบรปทสามารถพบเหนไดบอยในพช คอ แบบรปเสนเวยนกนหอย ซงตวอยางของพชทม

การจดเรยงของแบบรปเสนเวยนกนหอย ดงรปท 1.1 เชน การจดเรยงของดอกกะหลาปล การ

จดเรยงเมลดของดอกทานตะวนและการจดเรยงตาบนลกยอ เปนตน นอกจากนเสนเวยนกนหอยม

ลกษณะเปนวงขดเกลยวประกอบดวย 2 ทศทาง นนคอ ทศตามเขมนาฬกาและทศทวนเขมนาฬกา

ดงรปท 1.2 อกทงสามารถเขยนจานวนเสนเวยนกนหอยอยในรปคอนดบ (m, n) เมอ m คอ จานวน

เสนเวยนกนหอยในทศทางตามเขมนาฬกาและ n คอ จานวนเสนเวยนกนหอยในทศทางทวนเขม

นาฬกา ดงรปท 1.2 (ก) เสนทบแสดงทศทางตามเขมนาฬกา (ข) เสนประแสดงทศทางทวนเขม

นาฬกา โดยสวนใหญแลวจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงสวนประกอบตาง ๆ ของพชเปน

จานวนหนงในจานวนฟโบนกช

จานวนฟโบนกชเปนจานวนทเกดจากผลรวมของสองพจนกอนหนา ซงสามารถเขยนอยใหใน

รปทวไปดงน 1 1k k kF F F เมอ

1 21,F F 2k และสามารถเขยนเปนลาดบ คอ 1, 1,

2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … แบบรปทสอดคลองเงอนไขของจานวนในลาดบฟโบนกชเราจะ

เรยกแบบรปดงกลาววา แบบรปฟโบนกช (Alan, 2005; Jay, 2004; Jean, 1994; Michison,

1977 and Pennybacker, 2013)

2

การศกษานจะศกษาแบบรปทเกดขนกบดอกทานตะวนซงมชอทางวทยาศาสตร คอ

Helianthus Annus L. เปนพชลมลกอายหนงป (annual plant) ทสามารถปลกงายและมการ

ปรบตวเขากบสภาพของเขตรอนไดด มความทนทานตอสภาพแหงและรอนไดพอสมควร นอกจากนม

ลกษณะดอกเปนแบบชอดอก (inflorescence) ทมดอกยอย (florets) เรยงบนฐานรองดอกทแผกวาง

และไมมกานดอกยอย(head) ซงมการอดตวแนนของดอกยอยหลายรอยดอกทดเหมอนเปนดอกเดยว

(ลลล, 2546) นอกจากนการเจรญเตบโตของดอกทานตะวนม 2 สถานะ นนคอ สถานะแรก มการ

สรางดอกทปลายยอดและเรมมการขยายตวของฐานดอกดงรปท 1.3(ก) และชอดอกหนไปตามทศ

ของดวงอาทตย นนคอ หนไปทางทศตะวนออกในตอนเชาและทศตะวนตกในตอนเยน สาหรบสถานะ

ทสองเปนการสรางเมลดโดยมการสรางจากภายนอกสดของดอกทานตะวนเขาสจดศนยกลางของดอก

ทานตะวน ซงในกระบวนการนมการขยายตวของเมลดและฐานของดอกทานตะวนดงรปท 1.3(ข)

(ก) (ข)

รปท 1.2 ตวอยางแบบรปเสนเวยนกนหอยและทศทางของแบบรปเสนเวยนกนหอย (ก) เสนทบแสดงทศทางตามเขมนาฬกา (ข) เสนประแสดงทศทางทวนเขมนาฬกา

(ก) (ข) (ค) รปท 1.1 ตวอยางแบบรปเสนเวยนกนหอยทพบในพช (ก) ดอกกะหลาปล (ข) ดอก

ทานตะวน (ค) ลกยอ

3

(Pennybacker, 2013) และชอดอกจะหนเพยงทศเดยว นนคอ ทศตะวนออกเสมอ นอกจากนเมลด

ของดอกทานตะวนมการจดเรยงเปนแบบรปเสนเวยนกนหอย อกทงขนาดเมลดของทานตะวนทอย

วงรอบนอกมขนาดใหญ สวนบรเวณจดศนยกลางจะมขนาดเลกลง ซงสามารถจาแนกเมลดทานตะวน

ออกเปน 3 จาพวก ไดแก เมลดใชสกดนามน เมลดใชรบประทานและเมลดใชเลยงสตว

ดอกทานตะวนสายพนธนามนเปนพชนามนทสาคญทางเศรษฐกจรองจากถวเหลอง และ

ปาลมนามน (Vollmann. and Rajcan, 2010.) ซงนามนของเมลดดอกทานตะวนมคณคาทาง

โภชนาการสงและสามารถเกบไวไดนานกวานามนพชชนดอน เนองจากนามนทานตะวนมคณคาสง จง

เปนทตองการของตลาดทงในและตางประเทศเพอการบรโภคและใชในอตสาหกรรม เชน นามนชกเงา

นามนหลอลน สทาบาน สาหรบประเทศไทยไดมการสงเสรมใหมการปลกทานตะวนเปนอาชพเสรม

มากขน เพอเพมผลผลตใหเพยงพอกบอตสาหกรรมพชนามนและความตองการของผบรโภค

(Laosuwan, 1997; Satjawattana and Laosuwan, 2002) ซงในประเทศไทยมดอกทานตะวน

สายพนธนามนหลายชนดดวยกน เชน อะควอรา-6, โอลซน-3, ไฮซน-33 เปนตน ในงานวจยนจะ

ศกษาดอกทานตะวนสายพนธอะควอรา-6 ซงมจดเดน คอ ใหผลผลตสงและดอกมขนาดใหญ

ในการศกษาน ผวจยศกษาการเจรญเตบโตของดอกทานตะวนดวยการวดความยาวเสนผาน

ศนยกลางของดอกทานตะวนเพอสรางแบบจาลองทางคณตศาสตรโดยใชแบบจาลองตว S (sigmoid

(ก)

(ข)

รปท 1.3 การเจรญเตบโตของดอกทานตะวน (ก) สถานะแรกมการสรางดอกทปลายยอดและเรมมการขยายตวของดอก (ข) สถานะทสองเปนการสรางเมลดโดยมการสรางจากภายนอกสดของดอกทานตะวนเขาสจดศนยกลางของดอกทานตะวน

4

model) ทมลกษณะกราฟคลายตว S และเปนฟงกชนการเจรญเตบโต (growth function) (Chuai-

aree, 2009) อกทงทดสอบความแมนยาของแบบจาลองดวยวธกาลงสองนอยสด (least square

method) (Julian, 2005)

นอกจากนศกษาความสมพนธระหวางจานวนกลบของดอกทานตะวนกบจานวนฟโบนกช

และความสมพนธระหวางจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดของดอกทานตะวนกบ

จานวนฟโบนกชดวยการนบจานวนกลบดอกทานตะวนในแตละชนและจานวนเสนเวยนกนหอยของ

การจดเรยงเมลดดอกทานตะวน

อกทงไดศกษาปรมาตรของเมลดดอกทานตะวนดวยวธการตาง ๆ ไดแก สตรของ Mirzabe

ทรงกระบอกหนาตดวงร ทรงกระบอกหนาตดวงกลม พระมดหนาตดสเหลยมและการหมนฟงกชน

แบบเปลอกทรงกระบอก เพอประมาณคาปรมาตรเมลดทใกลเคยงกบปรมาตรของเมลด พรอมทง

ศกษาการบรรจเมลดของดอกทานตะวน ซงเปนการบรรจอยางเหมาะสม (optimal packing) โดย

การวางวงกลมเลก n วง ทแตละวงมรศมเทากบr หนวย วางลงในวงกลมใหญทมรศม R หนวย ซง

ลกษณะการวางของวงกลมเลกตองวางไมซอนทบกน (Graham, 1998) สาหรบงานวจยนจะมอง

วงกลมใหญเปนดอกทานตะวนและวงกลมเลก n วง เปนเมลดของดอกทานตะวนจานวน n เมลด ซง

จากการศกษาการบรรจเมลดและแบบจาลองของ Vogel มการบรรจเมลดจากรอบนอกสดสจด

ศนยกลางของดอก ดงรปท 1.4 (Przemyslaw, & et. al. 1990, Ridley, 1982 and Vogel, 1978)

งานวจยนจะกาหนดขนาดเมลดในแตละพนทใหมขนาดทแตกตางกน 3 ขนาด โดยอาศยการแบงพนท

ออกเปน 3 สวน ตามบทท 3 พรอมทงใหแตละชนของเมลดมขนาดทแตกตางกนเพอใหมลกษณะการ

จดเรยงเหมอนดอกจรง โดยทเมลดทพนทรอบนอกสดมขนาดใหญสดและบรเวณจดศนยกลางมขนาด

เลกสด

(ก) (ข) (ค) รปท 1.4 ววฒนาการการเกดเมลดของดอกทานตะวน ซงจะเกดจากรอบนอกสดของ

ดอกแลวเขาสจดศนยกลางของดอก

5

1.2 วตถประสงค

1.2.1 ศกษาความสมพนธระหวางจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดของดอก

ทานตะวนสายพนธอะควอรา-6 กบจานวนฟโบนกชและความสมพนธระหวางจานวนกลบของดอก

ทานตะวนสายพนธอะควอรา-6 กบจานวนฟโบนกช

1.2.2 ศกษาและเกบขอมลการเจรญเตบโตของดอกทานตะวน สายพนธอะควอรา-6 เพอ

สรางแบบจาลองของฟงกชนการเจรญเตบโตของดอกทานตะวน

1.2.3 ศกษาและเปรยบเทยบวธการหาปรมาตรทแมนตรงของเมลดของดอกทานตะวน สาย

พนธอะควอรา-6

1.2.4 ศกษาการจดเรยงเมลดของดอกทานตะวน เพอเปนแนวทางการวเคราะหกระบวนการ

บรรจเมลดอยางเหมาะสม (optimal packing)

1.3 ขอบเขตงำนงำนวจย

1.3.1 นบจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดและจานวนกลบของดอกทานตะวน

สายพนธอะควอรา-6

1.3.2 หาปรมาตรเมลดของดอกทานตะวนสายพนธอะควอรา-6 ในแตละวนโดยใชวธแบบ

เปลอกทรงกระบอก (method of cylindrical shells) รปทรงทางเรขาคณตและปรมาตรของ

Mirzabe

1.3.3 วดเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนสายพนธอะควอรา-6 ในแตละวน และใช

แบบจาลองทางคณตศาสตร เพอพยากรณการเจรญเตบโตของดอกทานตะวน

1.4 ผลทคำดวำจะไดรบ

1.4.1 ทราบความสมพนธระหวางจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดของดอก

ทานตะวนกบจานวนฟโบนกชและความสมพนธจานวนกลบของดอกทานตะวนกบจานวนฟโบนกช

1.4.2 ไดขอมลปรมาตรเมลดของดอกทานตะวนและวธการหาปรมาตรของเมลดทเทยงตรง

1.4.3 ไดตวแบบเชงวเคราะหและเชงตวเลขของฟงกชนการเจรญเตบโตของดอกทานตะวน

สายพนธ อะควอรา-6

1.4.4 ไดวธการบรรจเมลดของดอกทานตะวนอยางมประสทธภาพ

6

บทท 2

คำมรพนฐำน

2.1 งำนวจยทเกยวของ

2.1.1 งำนวจยทเกยวของกบแบบรปฟโบนกช

Mathai (1974) ศกษาโครงสรางของตนทานตะวนและคนพบวาการจดเรยงใบของตน

ทานตะวนเปนแบบสลบ (alternate) รวมทงแบบรปของการจดเรยงใบเปนแบบรปเสนเวยนกนหอย

ทม 1 เสน นนคอ อาจจะเปนเสนเวยนกนหอยในทศทวนเขมหรอตามเขมนาฬกาและมมมระหวางใบ

เปนมม 137.5 นอกจากนเขาไดสรางแบบจาลองเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดของดอก

ทานตะวนโดยอาศยพนฐานของเสนเวยนกนหอยแบบลอการทม พบวาจานวนเสนเวยนกนหอยทอย

รอบนอกมมากกวาจานวนเสนเวยนกนหอยทอยรอบใน เชน รอบนอกสดมจานวนเสนเวยนกนหอยใน

แตละทศทางเปน 34 และ 21 เสน รอบในจะมจานวนเสนเวยนกนหอยเปน 21 และ 13 เสน จาก

งานวจยนไดขยายงานจากการนบใบเปนการนบกลบดอกของดอกทานตะวนและจานวนเสนเวยนกน

หอยของการจดเรยงเมลดของดอกทานตะวน

Davis (1994) ศกษาการจดเรยงของกานใบของปาลมชนดตาง ๆ เขาพบวาจานวนกานใบ

ในการหมนครบรอบ (การจดเรยงกานใบทตาแหนงตรงกน) เปน 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … และ

จานวนรอบททาใหกานใบอยตาแหนงเดยวกนเปน 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … จากการนบจานวน

กานใบในการหมนครบรอบและจานวนรอบททาใหกานใบอยตาแหนงเดยวกนเปนจานวนหนงใน

จานวนฟโบนกช อยางไรกตาม ปาลมแตละชนดจะแสดงจานวนรอบและจานวนกานใบแตกตางกน

จากงานวจยนไดขยายงานจากการนบใบของตนปาลมเปนการนบกลบของดอกทานตะวนและการนบ

จานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดและเปนการแสดงถงแบบรปฟโบนกชทเกดขนในพช

2.1.2 งำนวจยทเกยวของกบฟงกชนกำรเจรญเตบโต

Chuai-Aree (2009) ศกษาแบบจาลองการเจรญเตบโตของลาตนของพชสองแบบ คอ

ฟงกชนเลขยกกาลงและฟงกชนลกษณะตว S สาหรบฟงกชนเลขยกกาลงเขยนอยในรป dy kydt

เมอ y คอ คาของการเจรญเตบโตและ k คอ อตราการเจรญเตบโตและ t คอ เวลา ซงฟงกชน

ดงกลาวเปนฟงกชนทเพมขนอยางไมสนสดและไมสามารถอธบายขอมลทมระยะเวลามาก เพราะทา

7

ใหคาของขอมลเพมขนอยางรวดเรว อกฟงกชนหนงเปนฟงกชนลกษณะคลายตว S เขยนอยในรป

1dy y

ydt u

เมอ y คอ คาของการเจรญเตบโตและ ,u คอ พารามเตอรของฟงกชนการ

เจรญเตบโตและ t คอ เวลา กลาวคอ ในชวงแรกขอมลมการเพมเหมอนกบฟงกชนเลขยกกาลงและ

เมอถงจดหนงคาของขอมลจะคงท นอกจากนเขาไดแนะนาแบบจาลองสาหรบการพยากรณการ

เจรญเตบโตในรปฟงกชนลกษณะตว S ซงสามารถพยากรณกบการเจรญเตบโตทกสวนของตนไม แม

จะมระยะเวลาการเจรญเตบโตทนาน จากงานวจยนไดใชฟงกชนการเจรญเตบโตเพอพยากรณการ

เจรญเตบโตของดอกทานตะวน

2.1.3 งำนวจยทเกยวของกบกำรหำปรมำตรของเมลดดอกทำนตะวน

Mirzabe, Khazaei และ Chegini (2012) ไดแบงพนทของดอกทานตะวนออกเปน 3

บรเวณ เพอศกษาสมบตทางกายภาพของเมลดดอกทานตะวน ไดแก

ความสง (length, L)

ความหนา (thickness, T)

ความกวาง (width, W)

ความยาวของเสนผานศนยกลางเฉลยทางเรขาคณต (geometric mean diameter,

D) นนคอ 3D LWT

พนทผว (surface area, S) นนคอ 2S D

ปรมาตรเมลดของดอกทานตะวน นนคอ 3 6V D

ในดอกทานตะวน 3 สายพนธ ไดแก Mikhi, Sirena และ Songhori

ซงทาการสมเมลดเพอเกบขอมลทางกายภาพในแตละสวนทเกดจากการแบงบรเวณ เพอหา

คาความยาวเสนผานศนยกลางเฉลยทางเรขาคณต พนทผวและปรมาตรเมลดของดอกทานตะวน

พบวา เมอความยาวเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนเพมขน สงผลใหคาความยาวเสนผาน

ศนยกลางเฉลยทางเรขาคณต พนทผวและปรมาตรเมลดของดอกทานตะวนเพมขน สวนบรเวณตรง

กลางจะมเมลดกลวง (เมลดทไมมเนอเมลดอยดานใน) มากกวาบรเวณอนและบรเวณนอกสดมขนาด

เมลดใหญสด จากงานวจยนไดใชหลกการแบงบรเวณของดอกทานตะวนและนาสตรของเขามา

เปรยบเทยบเพอหาปรมาตรทใกลเคยงกบปรมาตรจากการถวงนา

8

2.1.4 งำนวจยทเกยวของกบกำรบรรจเมลดดอกทำนตะวน

Graham (1966) ศกษาความหนาแนนของการบรรจวงกลม n วง ทเทากนทกประการใน

วงกลมใหญทมรศม 1 หนวย และไดใหนยามการบรรจวงกลมใหเหมาะสม (optimal packing) คอ

การวางวงกลม n วงลงในวงกลมใหญทมรศม 1 หนวย โดยไมใหวงกลมเลกวางซอนทบกน นอกจากน

สามารถหาความหนาแนน (ประสทธภาพ) ของการบรรจ ดวยอตราสวนผลรวมของพนทวงกลม

เลกทงหมดหารดวยพนทวงกลมใหญ นนคอ

1

A

n

ii

a

เมอ ia คอ พนทของวงกลมเลกวงท i โดยท 1 i n และ A คอ พนทของวงกลมใหญ

จากงานวจยนไดใชวธการหาความหนาแนนของการบรรจเมลด

Vogel (1978) ศกษาการบรรจเมลดดอกทานตะวนพรอมไดสรางแบบจาลองการบรรจเมลด

ใน 2 มต โดยสรางเงอนไข 2 ขอ

1. กาหนดใหเมลดดอกทานตะวนมพนทหนาตดเทากน เทากบ ตารางหนวย

2. กาหนดใหมมระหวางเมลดท n และ n+1 มมมเทากนดวยมม137.5 ดงรปท 1.5

จากสมมตฐานขอทหนง ถานาเมลดจานวน n เมลด วางบนดอกทานตะวนจะไดวาจะมพนท

ทงหมดเปน n ตารางหนวย ดงนนจะมรศมเปน n หนวย และจากสมมตฐานขอทสอง จะมมม

ระหวางเมลดท 0 ถง n เปน 2 n เมอ เปนมมใด ๆ จากการสรางแบบจาลองดงกลาวพบวามม

รปท 2.1 สมมตฐานขอท 2 ของ Vogel นนคอ มมระหวางเมลดท 1 กบเมลดท 2 เมลด

ท 2 กบเมลดท 3 และเมลดท 3 กบเมลดท 4 จนถงเมลดท n กบ n+1 เปนมม 137.5

ทมำ : Vogel, 2012

A

9

ทดสดและใกลเคยงกบการจดเรยงของเมลดดอกทานตะวนเปนมม 137.5 เรยกวา มมฟโบนกช

แบบจาลองการบรรจเมลดของ Vogel คอ

r n

5 1

2n

เมอ n คอ จานวนเมลด

r คอ ระยะทางระหวางเมลดท 0 กบ n

จากงานวจยนไดใช ใชหลกการของเขาเพอสรางแบบจาลองของการจดเรยงเมลดดอกทานตะวน

2.2 ทฤษฎบททเกยวของ

2.2.1 สมกำรถดถอยแบบพหนำม

การถดถอยแบบพหนาม (polynomial regression) เปนความสมพนธระหวางตวแปรตาม

iy และตวแปรอสระ

ix อกทงเปนเครองมอสาหรบหาคาสมประสทธของฟงกชนพหนามดกร n ซง

เขยนอยในรป (Patrick, and Willi, 2008) 2

0 1 2; 1, 2, 3, ,m

i i i m i iy a a x a x a x i n (2.1)

เมอ iy คอ คาของ y ตวท i

ix คอ คาของ x ตวท i

0 1 2, , , ,

ma a a a คอ สมประสทธ

iคอ ความผดพลาดของขอมล

จากสมการ (2.1) สามารถเขยนอยในรปของเมทรกซไดเปน

21 1 11 1 1

22 2 22 2 2

23 3 3 3 3 3

2

1

1

1

1

m

m

m

mn n nn n n

x x xy a

x x xy a

y x x x a

y ax x x

โดยท ,m n และ m n

นนคอ

y Xa

10

ดงนนคาสมประสทธของพหนาม คอ

1T Ta X X X y (2.2)

2.2.2 กำรถดถอยแบบไมเชงเสน

การถดถอยแบบไมเชงเสน (non-linear regression) คอการสรางสมการทมความสมพนธ

ระหวางตวแปรตาม y และตวแปรอสระ x ซงเปนขอมลทไมไดอยในรปแบบเชงเสน ซงการถดถอย

แบบไมเชงเสนม 2 แบบ คอ สามารถแปลงเปนเชงเสนไดและไมสามารถแปลงเปนเชงเสน (Patrick,

and Willi, 2008)

สาหรบการถดถอยแบบไมเชงเสนเขยนอยในรป

, ,i i iy f x (2.3)

สมการ (2.3) สามารถเขยนใหม เปน

i i iy f x (2.4)

จาก if x สามารถเขยนอยในรปของ Taylor’s series จะไดวา

1

i ij j

i ij j

f x f xf x f x (2.5)

นาสมการ (2.5) แทนในสมการ (2.4) จะไดวา

i ij j

i i ij

f x f xy f x (2.6)

จดรปสมการ (2.6) ใหม จะไดวา

i ij j

i i ij

f x f xy f x (2.7)

11

จากสมการ (2.7) สามารถเขยนอยในรปเมทรกซ จะไดวา

D Z a (2.8)

เมอ

1 1

2 2

2 2

f x f x

f x f xZ

f x f x

และ

1 1

2 2

n n

y f x

D y f x

y f x

ดงนนพารามเตอรหาไดจาก

1T Ta Z Z Z D (2.9)

เรมดวยกาหนด i และ

i

จะไดวา 1i i และ 1i i

ดาเนนการจนกวาจะได

1

1100j j

j

1

2100j j

j

12

2.2.3 กำรพนทของวงร

วงร คอ เซตของจดทกจดบนระนาบ ซงผลบวกของระยะหางจากจดใด ๆในเซตนไปยงจด

คงทสองจดมคาคงตว โดยคาคงตวมากกวาระยะหางระหวางจดคงททงสอง และสามารถเขยนสมการ

ทวไปของวงร คอ 2 2

2 21

x y

a b (2.10)

จากสมการ (2.10) มลกษณะกราฟดงรปท 2.2

จดสมการ (2.10) ใหม จะไดวา

2 2

2

ab bxy

a

(2.11)

เนองจาก ตองการหาพนทของวงร โดยพจารณาจตภาคท 1 สงผลใหคา x และ y เปน บวก

และอนทเกรตอยในชวง 0,a

จะไดวา

2 2

20

a ab bxdx

a

2 2

0

ab

a x dxa

ให sinx a จะไดวา cosdx a d

พจารณาชวงอนทเกรต 0 sin 0, sin2

x a x a a

รปท 2.2 ลกษณะกราฟของสมการวงร

13

ดงนน

2 2

20

a ab bxdx

a

2

22

0

sin sinb

a a a dxa

2

22

0

1 sin cosba a dxa

2

2

0

cosba dx

2

0

1 cos2

2ba dx

2

0

sin2

2 2

ba

4

ba

ดงนนพนททงหมดของวงร คอ

4 พนทจตภาคท 1 = 44

baba

(2.12)

2.2.4 ก ำลงสองนอยทสด

กาลงสองนอยทสด(least square method) เปนวธการตรวจสอบการประมาณคาของขอมล

ระหวางสองชดขอมลไดแก ขอมลจรงกบขอมลจากแบบจาลอง เขยนอยในรป (Julian, 2005) คอ

2

2 1

2

1

ˆ

1

n

i iin

ii

y y

R

y y

(2.13)

เมอ 2R คอ ประสทธภาพของแบบจาลอง

iy คอ ขอมลจรงท i

iy คอ ขอมลเกดจากการประมาณดวยแบบจาลองท i

y คอ คาเฉลยของขอมลจรง

14

2.2.5 กำรหมนฟงกชนแบบเปลอกทรงกระบอก

มนยามคอ

2 ( ) ( )b

a

V k x f x g x dx (2.14)

เมอ f x คอ ฟงกชน f

g x คอ ฟงกชน g

a คอ ขอบเขตเรมตนของการหมนฟงกชน

b คอ ขอบเขตปลายของการหมนฟงกชน

k คอ แกนหมนฟงกชน โดยท k a หรอ k b

V คอ ปรมาตรจากการหมน

2.2.6 สมกำรแยกตวแปรได

สมการเชงอนพนธสามญอนดบหนงและระดบขนหนงมรปแบบทวไป (สาเรง, 2555) คอ

0F x G y dx f x g y dy (2.15)

หรอ

dy

g x h ydx

(2.16)

จะเรยกสมการ (2.16) วา สมการแยกตวแปรได (variable separable equation)

ดงนน ถาคณสมการ (2.15) ดวย 1

f x G y จะไดวา

0F x g y

dx dyf x G y

(2.17)

จาก สมการ (2.17) กาหนดให

F xM x

f x และ

g yN x

G y จะไดวา

0M x dx N y dy (2.18)

เมอ M x คอ ฟงกชนของ x เพยงอยางเดยว และ N y คอ ฟงกชนของ y เพยงอยาง

เดยว

15

ดงนน สมการ (2.17) มผลเฉยทวไป คอ

M x dx N y dy c เมอ c คอ คาคงท

2.2.7 กำรสมอยำงงำย

การสมอยางงาย (simple random sampling) คอ การเลอกกลมตวอยางจากประชากร

ทงหมด ดงสตรตอไปน (สเมธ, 2550)

2 2

2 2 2

NZ snNe Z s

(2.19)

เมอ n คอ จานวนดอกทานตะวนทสม

N คอ จานวนดอกทานตะวนทงหมด

e คอ คาความผดพลาดของการวดความยาวของเสนผานศนยกลาง

ของดอกทานตะวน

s คอ สวนเบยงเบนมาตรฐาน

2s คอ ความแปรปรวน

Z คอ ระดบความเชอมน

16

บทท 3

วสด อปกรณและวธกำรด ำเนนงำน

ในบทนจะกลาวถงวสดและอปกรณ ไดแก เวอรเนย คาลปเปอร โปรแกรม MAPLE

โปรแกรม LAZARUS และบกเกอร รวมทงวธการดาเนนงานวจยในแตละวธและแตละขนตอน ซงม

รายละเอยดดงตอไปน

3.1 วสดและอปกรณ

3.1.1 เวอรเนยร คำลปเปอร (vernier calipers) เปนเครองมอวดความยาวอยางละเอยดท

ใชหลกของเวอรเนยรสเกล โดยการแบงสเกลตามแนวยาวคลายไมบรรทดและมการแบงสเกลรองโดย

การใชสเกลเลอนเพอใหสามารถวดความยาวไดละเอยดถง 0.001 ซม. ดงรปท 3.1

3.1.2 โปรแกรม LAZARUS เปนโปรแกรมกราฟกในการพฒนาโปรแกรมตาง ๆ โดยใช

ภาษาปาสคาลเปนภาษาหลก เรานาโปรแกรม LAZARUS มาสรางโปรแกรมวเคราะหพกดฉาก X

และ Y เพอมาสรางฟงกชนพหนามตามรปภาพทเราตองการดงรปท 3.2

3.1.3 โปรแกรม MAPLE เปนโปรแกรมทางคณตศาสตรทมความสามารถคานวณเชง

ตวเลขและแสดงผลอยในรปจานวน กราฟ 2 มต และกราฟ 3 มต นอกจากนสามารถสรางโปรแกรม

การประมวลผลขอมลและสรางฟงกชนตาง ๆ ตามทตองการ สาหรบงานวจยนเราใชโปรแกรม

MAPLE เพอหาคาปรพนธของฟงกชนพหนามทเปนฟงกชนสวนโคงดอกทานตะวนและฐานรองรบ

เมลดของดอกทานตะวน

รปท 3.1 เครองมอวดขนาดของเมลดทานตะวนคอ เวอรเนยคาลปเปอร

17

3.1.4 บกเกอร (beaker) เปนเครองมอทางวทยาศาสตรทใชในหองปฏบตการ มรปรางเปน

ทรงกระบอกกนแบน ขนาดของบกเกอรทพบไดโดยทวไปจะมตงแต 50 มลลลตร ไปจนถง 5 ลตร ซง

มขดบอกปรมาตรไว ในงานวจยนใชเพอนาเมลดทานตะวนมาถวงนาเพอหาปรมาตรของเมลด

ทานตะวน ดงรปท 3.3

3.2 วธกำรด ำเนนงำน

ในการวจยนเราจะศกษาแบบรปทเกดขนกบดอกทานตะวน โดยนบจานวนกลบของดอก

ทานตะวนและจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดของดอกทานตะวน นอกจากนศกษา

ความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนเพอพยากรณการเจรญเตบโตของดอกทานตะวน

และปรมาตรเมลดของดอกทานตะวนทมขนาดเสนผานศนยกลางแตกตางกน

รปท 3.2 โปรแกรมวเคราะหจด X และ Y ของรปภาพ

รปท 3.3 บกเกอรทใชในการหาปรมาตรของเมลดดอกทานตะวน

18

3.2.1 กำรนบจ ำนวนกลบของดอกทำนตะวน

การศกษาจานวนกลบดอกทานตะวน โดยนบจานวนกลบดอกของดอกทานตะวนในแตละชน

ซงดอกทานตะวนมกลบดอกทงหมดจานวน 5 ชน ดงรปท 3.4 สาหรบชน 1-4 จะมลกษณะโครงสราง

คลายกน และชน 5 จะเปนชนทมสเหลอง อยางไรกตาม ชนท 1 เปนชนทมขนาดกลบดอกทใหญสด

นอกจากนเราสามารถแบงกลบของดอกทานตะวนแตละชนโดยการสงเกตการวางของกลบดอกทวาง

ไมทบซอนกนหรออาจจะวางซอนทบกนเพยงเลกนอย ซงสามารถพจารณาแตละชนดงรปท 3.4

3.2.2 กำรนบจ ำนวนเสนเวยนกนหอยของกำรจดเรยงเมลดของดอกทำนตะวน

การศกษาจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดของดอกทานตะวน โดยนบจานวน

เสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดของดอกทานตะวนในแตละทศทาง นนคอ ทศตามเขมนาฬกา

และทวนเขมนาฬกา ดงรปท 1.2

รปท 3.4 กลบดอกและกลบเลยงของดอกทานตะวน (ก) กลบดอกชนท 1 (ข) กลบดอกชนท 2 (ค) กลบดอกชนท 3 (ง) กลบดอกชนท 4 (จ) กลบดอกชนท 5

19

3.2.3 กำรพยำกรณกำรเจรญเตบโตของดอกทำนตะวน

การพยากรณการเจรญเตบโตของดอกทานตะวนศกษาโดยการวดความยาวของเสนผาน

ศนยกลางของดอกทานตะวนตงแตระยะทเรมเหนดอกทานตะวนชดเจน (ตงแตวนท 46 ถง วนท 110

ของการปลก) มรายละเอยดดงน

3.2.3.1 กาหนดกลมตวอยาง

3.2.3.1.1 กาหนดจานวนดอกทานตะวนทจะสม เพอวดความยาวของเสนผาน

ศนยกลางของดอกทานตะวนโดยการสมอยางงาย (simple random sampling) (สเมธ, 2550) ดง

สตรตอไปน 2 2

2 2 2

NZ snNe Z s

(3.1)

เมอ n คอ จานวนดอกทานตะวนทสม

N คอ จานวนดอกทานตะวนทงหมด

e คอ คาความผดพลาดของการวดความยาวของเสนผานศนยกลาง

ของดอกทานตะวน

s คอ สวนเบยงเบนมาตรฐาน

2s คอ ความแปรปรวน

Z คอ ระดบความเชอมน

ดงนนสามารถหาคา 2s ไดจากการเกบขอมลรอบแรก ซง s มสตรดงน

2

1

1( )

1

N

ii

s x xN

เมอ N คอ จานวนของขอมลทงหมด

ix คอ ขอมลตวท i

x คอ คาเฉลยของขอมลทงหมด

ดงนน จากการสารวจรอบแรกจะไดคา 0.4784s

หมำยเหต การสารวจรอบแรกของการเกบขอมลความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวน

เพอหาคาs เปนการเกบขอมลจากดอกทานตะวนจานวน 4 ตน (N = 4) ซงไดคา 5.67x

20

3.2.3.1.2 พจารณาระดบความเชอมนท 95% นนคอ 1.96Z และกาหนดความ

ผดพลาดของความยาวเสนผานศนยกลางเปน 0.5 เซนตเมตร ( 0.5e ) ซงจานวนดอกทานตะวน

ทงหมดเปน 40 ตน ( 40N ) แลวนามาแทนในสมการ (3.1) จะได

2 2

2 2 2

40(1.96) (0.4784)

40(0.5) (1.96) (0.4784)n

3.2326 นนคอ จะตองใชขนาดตวอยางของดอกตะวนทจะวดความยาวของ เสนผาน

ศนยกลางของแตละวนอยางนอย 4 ตน

3.2.3.2 วดความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนตงแตระยะทเรมเหนดอก

ทานตะวนชดเจน (ตงแตวนท 46 ถง วนท 110 ของการปลก)

3.2.3.2.1 วดความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนในแตละตนจานวน

4 ครงดงรปท 3.5 แลวนามาหาคาเฉลยของการวดทง 4 ครง จะไดความยาวของเสนผานศนยกลาง

เฉลยของดอกทานตะวนตนนน

(ก) (ข)

(ค) (ง)

รปท 3.5 ทศทางทางการวดความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนในแตละดอก

21

3.2.3.2.2 นาคาเฉลยของความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนในแต

ละตนมาหาคาเฉลยจะไดความยาวของเสนผานศนยกลางเฉลยในวนนน ๆ ทาแบบนตงแตวนท 46

จนถงวนท 110 ของการปลก

3.2.3.3 นาขอมลมาสรางแบบจาลองการพยากรณการเจรญเตบโตของดอกทานตะวนโดยใช

ฟงกชนการเจรญเตบโต นนคอ

1

dy yy

dt u (3.2)

เมอ คอ อตราการเจรญเตบโต

y คอ ความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวน (ซม.)

u คอ ความยาวสงสดของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวน (ซม.)

dy

dtคอ อตราการเปลยนแปลงความยาวสงสดของเสนผานศนยกลางของ

ดอกทานตะวนขนอยกบเวลา (วน)

จากสมการ (3.2) สามารถจดรปสมการใหม จะไดวา

1

dydt

yy

u

(3.3)

หาผลเฉลยทวไปโดยการปรพนธทงสองขาง นนคอ

1

1

dy dty

yu

ดงนน ผลเฉลยทวไปโดยของสมการ (3.2) นนคอ

1 t

uy

e

เมอ คอ คาคงท (3.4)

จากสมการ (3.4) มคาพารามเตอร 2 ตว นนคอ และ ซงคา เปนอตราการเตบโต

ของดอกทานตะวนและ เปนคาคงตวใด ๆ นอกจากนการเลอกคา และ ใชวธการถดถอยแบบ

ไมเชงเสน

หมำยเหต การเพาะปลกครงนจะควบคม การใหปย การรดนาและระยะหางการเพาะปลก

22

3.2.4 กำรหำปรมำตรเมลดของดอกทำนตะวน

การศกษาปรมาตรเมลดดอกทานตะวนทาได 3 วธ ดงน

วธท 1 นาเมลดของดอกทานตะวนมาถวงนา

วธท 2 หาปรมาตรเมลดในแตละบรเวณดวยวธการตาง ๆ ไดแก ทรงกระบอกหนาตดวงร

ทรงกระบอกหนาตดวงกลม สตรของ Mirzabe และพระมดฐานสเหลยม

วธท 3 หาปรมาตรเมลดทงดอกทานตะวนดวยวธการตาง ๆ ไดแก ทรงกระบอกหนา ตดวงร

ทรงกระบอกหนาตดวงกลม สตรของ Mirzabe พระมดฐานสเหลยมและการหมน

แบบเปลอกทรงกระบอก

ซงมรายละเอยดดงน

3.2.4.1 วธท 1 (ปรมำตรจำกกำรถวงน ำ)

การหาปรมาตรของเมลดดอกทานตะวนจะอาศยพนฐานของหลกอารคมดส ซงไดกลาววา

“ปรมำตรของวตถใด ๆ จะมคำเทำกบปรมำตรของเหลวทเปลยนแปลง ถงแมวตถจะจมหรอลอย

เพยงบำงสวน” (คณาจารยภาควชาฟสกส, 2549) ดงนน การหาปรมาตรของเมลดดอกทานตะวนหา

โดยนาเมลดของดอกทานตะวนในแตละบรเวณ (การแบงบรเวณจะขอกลาวทหลง) มาถวงนาแลว

สงเกตปรมาณนาทเพมขนจากเดมดงรปท 3.6 และเนองจากบกเกอรมลกษณะเปนทรงกรงกระบอก

จะไดวาปรมาตรของเมลดดอกทานตะวน คอ

2V r h

เมอ h คอ อตราการเปลยนของความสงนาทเพมขนเมอเอาวตถเอามาถวง

(ก) (ข)

รปท 3.6 การหาปรมาตรเมลดของเมลดดอกทานตะวนโดยการถวงนาในบกเกอร (ก) ความสงของนาขณะยงไมถวงเมลด (ข) ความสงของนาขณะถวงเมลด

23

ดงนนปรมาตรของเมลดทงดอกทานตะวน คอ นาปรมาตรเมลดในแตละพนทมารวมกน

หมำยเหต เนองจากการถวงนาใชพลาสตกเดม สงผลใหบางครงพลาสตกอาจไมแหงสนทและอาจม

ความผดพลาดเกดขน

3.2.4.2 วธท 2 (ปรมำตรเมลดในแตละบรเวณ)

3.2.4.2.1 ทาการวดความยาวเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนดวยเชอกไนลอนจานวน

สทศแลวหาคาเฉลยของความยาวเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนแลวทาการแบงความยาวเสน

ผานศนยกลางของดอกทานตะวนออกแบงสามสวน นนคอ บรเวณทจดศนยกลาง บรเวณสวนกลาง

และบรเวณขอบนอก โดยมวธการแบง คอ แบงความยาวของเสนผานศนยกลาง (D) ออกเปนสาม

สวนเทา ๆ กน จะไดวาแตละสวนมยาวเทากบ D/3 หนวย ดงรปท 3.7(ข) หลงจากนนแบงสวนขาง ๆ

ออกเปนสองสวนเทา ๆ กนไดแตละสวนมความยาวเทากบ D/6 หนวย ดงรปท 3.7(ค) และสราง

วงกลมตามทแบงจากรปท 3.7(ค) จะไดดงรปท 3.7(ง)

(ก) (ข)

(ค) (ง)

รปท 3.7 ขนตอนการแบงบรเวณของดอกทานตะวนและแสดงบรเวณแตละสวน นนคอ

(ก) แสดงความยาวของเสนผานศนยกลาง (D) (ข) แบงความยาวของเสนผานศนยกลางออกเปนสามสวนเทา ๆ กน จะไดวาแตละสวนมความยาวเทากบ D/3 หนวย (ค) แบงสวนขาง ๆ ออกเปนสองสวนเทา ๆ กน ไดแตละสวนมความยาวเทากบ D/6 หนวย (ง) สรางวงกลมตามทแบงจะไดบรเวณทงหมด 3 สวน ไดแก A คอ บรเวณทจดศนยกลาง, B คอ บรเวณสวนกลางและ C และ บรเวณขอบนอก ทมำ : หลกการแบงจาก Mirzabe et al., 2012

24

3.2.4.2.2 ทาการสมเมลดในแตละบรเวณ ดงรปท 3.7(ง) (บรเวณ A, B, C) ดวยวธการ

เลอกตวอยางสมอยางงายดงสมการ (3.1)

3.2.4.2.3 ทาการวดความยาว ความกวาง ความหนาของแตละเมลดดงรปท 3.8 ทสมในแต

ละบรเวณ ดงรปท 3.7(ง) (พนท A, B, C) ดวยเครองมอเวอรเนยคาลปเปอร ทมความละเอยด

0.001 เซนตเมตร ดงรปท 3.9

3.2.4.2.4 หาคาเฉลยความยาว ความกวางและความหนาในแตละบรเวณดงรปท 3.7(ง)

(บรเวณ A, B, C) เพอหาปรมาตรดวยวธการดงน

3.2.4.2.4.1 หาปรมาตรดวยสตรของ Mirzabe ดงน

6

V LWT

3.2.4.2.4.2 หาปรมาตรดวยทรงกระบอกหนาตดวงร ดงรปท 3.10 ดงน

4

V LWT

รปท 3.8 คาตาง ๆ ของเมลดทานตะวน เมอ W คอ ความกวาง, L คอ ความยาวและ T

คอ ความหนา

รปท 3.9 การวดคาตาง ๆ ของเมลดดอกทานตะวนดวยเวอรเนย คาลปเปอร

25

3.2.4.2.4.3 หาปรมาตรดวยทรงกระบอกหนาตดวงกลมดงรปท 3.11 ดงน

2

4V LT

3.2.4.2.4.4 หาปรมาตรดวยพระมดฐานสเหลยมดงรปท 3.12 ดงน

21

6V LW

3.2.4.3 วธท 3 (ปรมำตรเมลดทงดอกทำนตะวน)

การหาปรมาตรเมลดทงดอกทานตะวนม 2 วธ ดงน

3.2.4.3.1 นาปรมาตรทไดจากการคานวณดวยการประมาณคาของวธการตาง ๆ ในแตละ

บรเวณ (บรเวณ A, B, C) มารวมกน ซงมดวยกน 4 วธ ดงไดกลาวไวในหวขอ 3.2.4.2

3.2.4.3.2 หาปรมาตรดวยการหมนฟงกชนแบบเปลอกทรงกระบอก (cylindrical method)

มรายละเอยดดงตอไปน

รปท 3.10 แบบจาลองปรมาตรเมลดดวยทรงกระบอกหนาตดวงร

รปท 3.11 แบบจาลองปรมาตรเมลดดวยทรงกระบอกหนาตดวงกลม

รปท 3.12 แบบจาลองปรมาตรเมลดดวยพระมดหนาตดสเหลยม

26

นาดอกทานตะวนมาผากลางและทาเปนภาพของภาคตดขวางไดดงรปท 3.13(ก) จาก

ภาพของภาคตดขวางตามรปท 3.13(ข) จะมสวนโคงสองสวน ประกอบดวย สวนโคงบนเมลด

ของดอกทานตะวนใหเปน ( )f x และสวนโคงทฐานรองเมลดใหเปน ( )g x ดงรปท 3.13

นาภาพของภาคตดขวางมาวเคราะหพกดฉาก X และ Y ตามสวนโคงทงสองดวย

โปรแกรมวเคราะหจด X และ Y ดงรปท 3.2

นาจดทไดจากการวเคราะหพกดฉาก X และ Y มาสรางฟงกชน ( )f x และ ( )g x ดวย

การถดถอยแบบพหนาม แลวนาฟงกชนทได มาตรวจสอบความแมนยาดวยวธกาลงสองนอย

ทสด นนคอ

2

2 1

2

1

ˆ

1

n

i iin

ii

y y

R

y y

เมอ 2R คอ ประสทธภาพของแบบจาลองการเจรญเตบโตของดอกทานตะวน

iy คอ ขอมลความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนทเกบในวนท i

iy คอ ขอมลความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนทเกดจากการ

ประมาณดวยแบบจาลองในวนท i

y คอ คาเฉลยความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนทเกบในวนท i

นาฟงกชนทสรางขนมา หาปรมาตรดวยการหมนแบบเปลอกทรงกระบอกโดยใช

โปรแกรม Maple เพอหาคาปรมาตร ซงการหมนฟงกชนแบบเปลอกทรงกระบอกมนยามคอ

(ก) (ข)

รปท 3.13 ภาพของภาคตดขวางดอกทานตะวน (ก) แสดงสวนหนาของดอกทานตะวน (ข) แสดงภาพของภาคตดขวางดอกทานตะวน เสนทบหรอ f(x) แสดงสวนโคงบนเมลดของดอกทานตะวนและเสนประหรอ g(x) แสดงสวนโคงของฐานรองเมลด

27

2 ( ) ( )b

a

V k x f x g x dx

เมอ f x คอ สวนโคงบนเมลดของดอกทานตะวน

g x คอ สวนโคงฐานรองเมลดของดอกทานตะวน

a คอ ขอบเขตเรมตนของการหมนฟงกชน

b คอ ขอบเขตปลายของการหมนฟงกชน

k คอ แกนหมนฟงกชน หาไดจาก 2

a b

V คอ ปรมาตรเมลดของดอกทานตะวน

เนองจากคา a k b ทาใหไมสามารถหมนฟงกชนครบรอบได ดงนนการหาปรมาตรดวย

การหมนฟงกชนหาไดจากหมนฟงกชนจาก a ถง k หมนรอบแกน x k และจาก k ถง b หมนรอบ

แกน x k ดงนนปรมาตรทเกดจากหมนแบบเปลอกทรงกระบอก คอ คาเฉลยของการหมนฟงกชน

จาก a ถง k และจาก k ถง b หมนรอบแกน x k ดงรปท 3.14

(ก)

(ข)

รปท 3.14 ภาพเปรยบเทยบระหวางภาพจรงกบภาพทเกดจากการหมนฟงกชน (ก) ภาพจรงของภาคตดขวางของดอกทานตะวน (ข) ภาพทเกดจากการหมนฟงกชนดวยเปลอกทรงกระบอก

28

3.2.5 กำรบรรจเมลดของดอกทำนตะวน

การบรรจอยางเหมาะสม (optimal packing) เปนการบรรจสงของ n สงทมขนาดแตกตาง

กนมาบรรจในบรรจภณฑทมขนาดใหญกวา เชน การบรรจสมในกระเชาผลไม การบรรจสเหลยม

ขนาดตาง ๆ ในสเหลยมใหญ การบรรจวงกลมเลกในวงกลมใหญ เปนตน ซงการศกษานจะสนใจการ

บรรจวงกลมเลกในวงกลมใหญ

สาหรบการบรรจวงกลมในวงกลมใหญเปนการวางวงกลมเลก n วงทมขนาดเทากน (นนคอ

มรศม r หนวย) วางลงในวงกลมใหญทมรศม R หนวย ซงลกษณะการวางของวงกลมเลกตองวางไม

ซอนทบกน โดยมองวงกลมใหญเปนดอกทานตะวนและวงกลมเลก n วง เปนเมลดของดอกทานตะวน

จานวน n เมลด

สาหรบการเกดเมลดทานตะวน จะเกดในสถานะท 2 ของการเจรญของชอดอก ดงทไดกลาว

ไวในบทท 1 ซงเมลดจะเกดในชวงทเกดวงแหวนบนดอก ซงวงแหวนจะเรมเกดทขอบนอกสดของดอก

แลวเคลอนเขาสจดศนยกลางของดอกทานตะวน ซงภายใตวงแหวนนนจะเปนการสรางเนอเยอของ

เมลด สงผลใหเมลดทอยดานหลงของวงแหวนนนจะเปนเมลดทสมบรณ ดงรปท 2.15 ซงจะทาให

เมลดดอกทานตะวนเรมเกดขนบรเวณขอบนอกสดของดอกแลวจะเลอนเขามาสจดศนยกลางของดอก

ทานตะวนโดยทเมลดใหมจะทามมกบเมลดทเกดกอนดวยมม 137.5 นนคอ เมลดท 1 เปนเมลดแรก

ทเกดขนและมเมลดท 2 เปนเมลดใหมทเกดขน ซงเมลดท 2 ทามมกบเมลดท 1 ดวยมม 137.5

เชนเดยวกนเมลดท 3 เปนเมลดทเกดหลงจากเมลดท 2 และมมระหวางกนเปนมม 137.5 ดงนน

เมลดท n+1 เปนเมลดทเกดหลงจากเมลดท n และจะทามมระหวางกนเปนมม137.5 นอกจากน

เมลดใหมจะเกดขนในพนททมการแออดนอย ซงสงผลใหขนาดของเมลดทอยบรเวณจดศนยกลางม

ขนาดเลกสดและบรเวณขอบดอกทานตะวนจะมขนาดเมลดใหญสด ดงรปท 1.4

อกทงยงสามารถหาประสทธภาพ (ความหนาแนน, ) ของการบรรจเมลดโดยอาศย

หลกการของ Garham นนคอ

1

n

ii

a

A (3.5)

เมอ คอ ประสทธภาพของการบรรจเมลด

ia คอ พนทหนาตดของแตละเมลด

A

A คอ พนททงดอกทานตะวน

29

ซงการบรรจเมลดของดอกทานตะวนจะศกษาดวยกน 2 วธ

3.2.5.1 ศกษาการบรรจเมลดจากดอกทานตะวนจรงดวยการหาประสทธภาพของการบรรจ

เมลดโดยการหาพนทหนาตดเฉลยของเมลดในแตละบรเวณ พรอมทงหาพนทวงกลมในแตละบรเวณท

ทเกดจากการแบงในหวขอ 3.2.4.2.1 ซงประสทธภาพของการบรรจเมลดคอ อตราสวนของผลรวม

ของพนทหนาตดในแตละบรเวณดวยพนทวงกลมในบรเวณนน ๆ

3.2.5.2 สรางแบบจาลองของการบรรจเมลด โดยอาศยนยามการบรรจเมลดของ Vogel โดย

มนยามดงน

r n

จะไดวา r c n (3.6)

ดงนน คา c หาไดจาก rc

n

หา c จากขอมลจรง ดวยการหาคา c เฉลยจากตนทานตะวนจานวน 15 ตน จะไดวา

294

125c

นา 294

125c แทนลงในสมการ (3.6) จะไดวา

294

125r n ( มหนวยเปน มลลเมตร) (3.7)

5 1

12

n

เมอ n คอ เมลดของดอกทานตะวน เมลดท n

r คอ ระยะทางระหวางเมลดท 0 กบท n

คอ มมระหวางเมลดท n กบท n+1

ดงนนตาแหนงของแตละเมลด คอ ตาแหนงของพกดฉาก (X, Y) ซงจากสมมตฐานดงกลาว

จะไดวาจดพกดฉากเปน cos 2 , sin 2r r

30

สาหรบการสรางแบบจาลองของการจดเรยงเมลดแบงออกเปนสองแบบ ดงน

แบบท 1 สรางแบบจาลอง โดยอาศยพนฐานของการแบงบรเวณเพอหาปรมาตรตาม

หวขอ 3.2.4.2.1 ซงจะไดบรเวณออกมาเปน 3 สวน รวมทงสามารถหาประสทธภาพของการบรรจ

เมลดในแตละบรเวณดวยสมการ (3.5) นอกจากนสามารถหาจานวนเมลดในแตละพนทดงน

จากสมการ (3.7) จะไดวา 2

125

294n r

ดงนน จานวนเมลดในบรเวณ A An =9

n

จานวนเมลดในบรเวณ B Bn =4

9 A

nn

จานวนเมลดในบรเวณ C Cn = A Bn n n

แบบท 2 สรางแบบจาลองใหเมลดมขนาดทแตกตางกนเพอใหคลายกบดอกจรง นน

คอ ขนาดเมลดทอยจดศนยกลางของดอกมขนาดเลกสดและบรเวณขอบดอกมขนาดใหญสด

(ก)

(ข) รปท 3.15 ชวงการเกดเมลดของดอกทานตะวน ซงจะเกดพรอมกบวงแหวนบนดอก (ก) ชวงแรกทเกดวงแหวนซงจะเกดทรอบนอกสดของดอกทานตะวน (ข) วงแหวนบนดอกเคลอนเขาสจดศนยกลางซงเมลดทอยหลงวงแหวนจะเปนเมลดทสรางเสรจแลว

31

บทท 4

ผลกำรทดลอง

สาหรบการทดลองน สนใจแบบรปทเกดขนในดอกทานตะวนสายพนธ อะควอรา-6 เปนสาย

พนธผลตนามนทสาคญในประเทศไทย ในบทนเราจะกลาวถงผลการทดลองเกยวกบแบบรปทม

ความสมพนธกบจานวนฟโบนกช คอนดบเสนเวยนกนหอย การพยากรณการเจรญเตบโตของดอก

ทานตะวน การหาปรมาตรของเมลดดอกทานตะวนและการบรรจเมลด

สาหรบงานวจยน ไดศกษาตนทานตะวนทงหมด 145 ตน แบงออกเปน 3 สวน ไดแก

สวนท 1 นบจานวนกลบของดอกทานตะวนและจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยง

เมลดดอกทานตะวนจานวน 45 ตน

สวนท 2 ศกษาการเจรญเตบโตของดอกทานตะวนจานวน 40 ตน

สวนท 3 ศกษาปรมาตรของเมลดดอกทานตะวนจานวน 60 ตน

ซงมรายละเอยดดงตอไปน

4.1 กำรนบจ ำนวนกลบของดอกทำนตะวน

ผลการนบจานวนกลบของดอกทานตะวนในแตละชนจานวน 45 ตน พบวา ลกษณะการวาง

ของกลบดอกของดอกทานตะวน ชนท 1-3 สามารถแยกชนไดชดเจน เพราะขนาดของกลบมขนาด

ใหญ และสาหรบลกษณะการวางของกลบดอกของดอกทานตะวน ชนท 4-5 การแบงชนอาจจะ

ซบซอน เพราะขนาดของกลบมขนาดเลกลงและมจานวนกลบมาก อกทงลกษณะการวางของกลบ

ดอกในชนดงกลาวมการวางทซอนทบกนมาก ซงมรายละเอยด ดงน

ชนท 1 จานวนกลบทนอยทสดและมากทสดเปน 8 กลบและ 13 กลบ ตามลาดบ

ชนท 2 จานวนกลบทนอยทสดและมากทสดเปน 8 กลบและ 15 กลบ ตามลาดบ

ชนท 3 จานวนกลบทนอยทสดและมากทสดเปน 8 กลบและ 22 กลบ ตามลาดบ

ชนท 4 จานวนกลบทนอยทสดและมากทสดเปน 25 กลบและ 40 กลบ คามลาดบ

ชนท 5 จานวนกลบทนอยทสดและมากทสดเปน 38 กลบและ 55 กลบ ตามลาดบ

จากการนบกลบดอกครงน พบวาในชนท 4 – 5 จะมความผดพลาดในการนบเพมขน ดงนนจงสนใจ

การนบกลบดอกในชนท 1 – 3 ผลปรากฎวา

32

ชนท 1 จานวนกลบดอกทเปนลาดบในจานวนฟโบนกชมจานวน 39 ตน

ชนท 2 จานวนกลบดอกทเปนลาดบในจานวนฟโบนกชมจานวน 36 ตน

ชนท 3 จานวนกลบดอกทเปนลาดบในจานวนฟโบนกชมจานวน 27 ตน

รวมทงยงสามารถคดเปนรอยละของจานวนกลบดอกทเปนลาดบในจานวนฟโบนกชในชนท 1 - 3

ไดแก 86.67, 80 และ 60 ตามลาดบ รวมทงยงสามารถเขยนจานวนกลบดอกทเปนลาดบในจานวนฟ

โบนกชในรปคอนดบระหวางชนท 1 กบชนท 2 ทอยในรปคอนดบ (13,13) มจานวน 32 ตน และ

จานวนกลบดอกทเปนลาดบในจานวนฟโบนกชในรปคอนดบระหวางชนท 2 กบชนท 3 ทอยในรปค

อนดบ (13,21) มจานวน 20 ตน รวมทงสามารถเขยนจานวนกลบดอกทเปนลาดบในจานวนฟโบนกช

ในรปสามอนดบระหวางชนท 1 ชนท 2 และชนท 3 อยในรป (13,13,21) มจานวน 17 ตนและ

สามารถคดเปนรอยละของคอนดบและสามอนดบ ไดแก 71.11, 44.44 และ 37.78 ตามลาดบ ดง

ตารางท 4.1 และ 4.2

3.2 กำรนบจ ำนวนเสนเวยนกนหอยของกำรจดเรยงเมลดดอกทำนตะวน

ผลการนบจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลด รวมทงจานวนเสนเวยนกนหอยของ

การจดเรยงเมลดอยในรปคอนดบ (m, n) เมอ m คอ จานวนเสนเวยนกนหอยในทศทางตามเขม

นาฬกาและ n คอ จานวนเสนเวยนกนหอยในทศทางทวนเขมนาฬกาจานวน 45 ตน ดงตารางท 4.3

มรายละเอยดดงน

ทศทำงตำมเขมนำฬกำ จานวนนอยสดของจานวนเสนเวยนกนหอยและจานวนมากสดของ

จานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดเปน 55 เสนและ 89 เสน ตามลาดบ

นอกจากนจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดในทศทางตามเขมนาฬกาทม

55 เสนมทงหมด 23 ตน มจานวนเสนเวยนกนหอยในทศทางตามเขมนาฬกา 76 เสนม

ทงหมด 1 ตนและจานวนเสนเวยนกนหอยในทศทางตามเขมนาฬกา 89 เสนมทงหมด

21 ตน

ทศทำงทวนเขมนำฬกำ จานวนนอยสดของจานวนเสนเวยนกนหอยและจานวนมากสดของ

จานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดเปน 55 เสนและ 144 เสน ตามลาดบ

อกทงจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดในทศทางตามเขมนาฬกาม 55 เสน

มทงหมด 14 ตน จานวนเสนเวยนกนหอยในทศทางทวนเขมนาฬกา 89 เสนมทงหมด

23 ตน จานวนเสนเวยนกนหอยในทศทางทวนเขมนาฬกา 123 เสนมทงหมด 1 ตนและจานวนเสนเวยนกนหอยในทศทางทวนเขมนาฬกา 144 เสนมทงหมด 7 ตน

33

ตนท

จ ำนวนกลบในแตละชน

ตนท

จ ำนวนกลบในแตละชน

ชนท 1

ชนท 2

ชนท 3

ชนท 4

ชนท 5

ชนท 1

ชนท 2

ชนท 3

ชนท 4

ชนท 5

1 13 13 20 25 40 24 13 13 21 32 48

2 13 13 16 28 40 25 13 13 15 35 47

3 13 13 21 28 40 26 13 13 15 30 42

4 13 13 18 40 50 27 13 13 17 31 44

5 13 13 21 40 55 28 13 13 22 39 55

6 13 13 21 34 55 29 13 13 15 32 55

7 8 8 21 34 55 30 13 13 21 34 55

8 13 13 21 34 50 31 12 13 20 36 53

9 13 11 8 34 50 32 13 13 21 36 53

10 13 12 13 28 38 33 11 15 21 35 53

11 13 12 12 31 39 34 13 13 17 34 47

12 13 13 21 32 47 35 13 12 19 34 48

13 12 13 21 40 55 36 12 13 21 34 49

14 13 13 21 34 55 37 13 14 19 31 44

15 11 13 21 34 47 38 13 11 17 28 39

16 13 13 21 34 51 39 12 12 18 29 43

17 13 13 21 34 55 40 13 13 20 33 50

18 13 13 13 34 45 41 13 13 20 32 44

19 13 13 13 33 44 42 13 13 21 36 55

20 13 13 13 36 47 43 13 13 21 37 52

21 13 13 21 34 55 44 13 12 21 33 45

22 13 13 21 36 55 45 13 13 21 34 53

23 13 13 19 35 49

จ ำนวนกลบ ชนท 1 (ตน) ชนท 2 (ตน) ชนท 3 (ตน)

8 กลบ 1 1 1

13 กลบ 38 35 4

21 กลบ - - 22

ตำรำงท 4.1 ผลการนบกลบดอกของดอกทานตะวนในแตละชน

ตำรำงท 4.2 จานวนตนทมจานวนกลบดอกของดอกทานตะวนเปนจานวนฟโบนกชในชนท 1-3

34

0

34

ตนท 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

จานวนเสนเวยนกนหอยในทศตามเขมนาฬกา

55 55 89 89 89 89 55 55 89 89 55 55

จานวนเสนเวยนกนหอยในทศตามเขมนาฬกา

89 89 55 55 55 55 89 89 55 55 89 89

จานวนเสนเวยนกนหอยในรปคอนดบ(m, n)

(55,89) (55,89) (89,55) (89,55) (89,55) (89,55) (55,89) (55,89) (89,55) (89,55) (55,89) (55,89)

ตนท 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

จานวนเสนเวยนกนหอยในทศตามเขมนาฬกา

89 89 76 55 55 55 55 55 89 89 55 89

จานวนเสนเวยนกนหอยในทศตามเขมนาฬกา

144 144 123 89 89 89 89 89 144 144 89 144

จานวนเสนเวยนกนหอยในรปคอนดบ(m, n)

(89,144) (89,144) (76,123) (55,89) (55,89) (55,89) (55,89) (55,89) (89,144) (89,144) (55,89) (89,144)

ตนท 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

จานวนเสนเวยนกนหอยในทศตามเขมนาฬกา

89 55 89 55 89 89 55 55 55 55 89 89

จานวนเสนเวยนกนหอยในทศตามเขมนาฬกา

55 89 55 89 55 55 89 89 89 89 55 55

จานวนเสนเวยนกนหอยในรปคอนดบ(m, n)

(89,55) (55,89) (89,55) (55,89) (89,55) (89,55) (55,89) (55,89) (55,89) (55,89) (89,55) (89,55)

ตนท 37 38 39 40 41 42 43 44 45

จานวนเสนเวยนกนหอยในทศตามเขมนาฬกา

89 89 55 55 89 89 55 55 55

จานวนเสนเวยนกนหอยในทศตามเขมนาฬกา

55 55 89 89 144 144 89 89 89

จานวนเสนเวยนกนหอยในรปคอนดบ(m, n)

(89,55) (89,55) (55,89) (55,89) (89,144) (89,144) (55,89) (55,89) (55,89)

ตำรำ

งท 4

.3 จ

านวน

เสนเ

วยนก

นหอย

ในแต

ละทศ

ทางแ

ละจา

นวนเ

สนเวย

นกนห

อยใน

รปคอ

นดบ

35

นอกจากน จากตารางท 4.3 สามารถสรปไดวา จานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลด

ในรปคอนดบ (55, 89) มทงหมด 23 ตน จานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดในรปคอนดบ

(76, 123) มทงหมด 1 ตน จานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดในรปคอนดบ (89, 144) ม

ทงหมด 7 ตน และจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดในรปคอนดบ (89, 55) มทงหมด 14

ตน สงเกตไดวาจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดและจานวนเสนเวยนกนหอยของการ

จดเรยงเมลดในรปคอนดบดงกลาวเปนจานวนในลาดบฟโบนกช ดงตารางท 4.3 และ ตารางท 4.4

ตำรำงท 4.4 จานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดของดอกทานตะวนในรปคอนดบ

4.3 กำรพยำกรณกำรเจรญเตบโตของดอกทำนตะวน

การเกบขอมลของการเจรญเตบโตของดอกทานตะวน ทาการสมจานวนตนมา 8 ตนจาก 40

ตนเพอวดความยาวเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวน ซงจะเรมเกบในชวงทสามารถเหนดอกได

อยางชดเจน นนคอ ตงแตวนท 46 จนถงวนท 110 ของการเพาะปลก จากการเกบขอมล ความยาว

ของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนเรมจะเขาชวงคงทวนท 65 และความยาวของเสนผาน

ศนยกลางคงทตงแตวนท 74 ซงมเสนผานศนยของดอกทานตะวนเปน 18.65 เซนตเมตร จากตารางท

4.5 และรปท 4.1

สาหรบการประมาณคาเจรญเตบโตของดอกทานตะวนดวยผลเฉลยทวไป ทไดจากการหา

คาพารามเตอรดวยการถดถอยแบบไมเชงเสน จะไดคา 0.161908 และ 3.376769 สงเกตได

วาการประมาณความยาวของเสนผานศนยกลางดวยผลเฉลยทวไปเรมเขาใกลคาจรงของความยาว

ของเสนผานศนยกลางตงแตวนท 74 อกทงคานอยสดและสงสดของคาความผดพลาดระหวางผล

เฉลยทวไปกบความยาวของเสนผานศนยกลางจรงเปน 0.001693 และ 1.114858 เซนตเมตร รวมทง

คาเฉลยของคาความผดพลาดระหวางผลเฉลยทวไปกบความยาวของเสนผานศนยกลางจรงเปน

0.237621 นอกจากนคาความผดพลาดระหวางการประมาณคาดวยผลเฉลยทวไปกบความยาวของ

เสนผานศนยกลางจรงเพมขนทสามารถเหนไดชด 5 ชวง ไดแก วนท 51-54, 59-60,61-63,65-68

และ 69-71 สามารถสงเกตจากตารางท 4.5 และรปท 4.1

คอนดบของจ ำนวนเสนเวยนกนหอย (55, 89) (76, 123) (89, 144) (89, 55)

จานวนตน 23 1 7 14

36

รปท 4.1 กราฟการเจรญเตบโตของดอกทานตะวน เมอ 0.161908 3.376769,

1t และ 18.65u

4

6

8

10

12

14

16

18

20

40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115

เสนผ

ำนศน

ยกลำ

ง (เซ

นตเม

ตร)

จ ำนวนวนเพำะปลก (วน)

เสนผานศนยกลางจรงผลเฉลยทวไป

รปท 4.2 กราฟแสดงการเปรยบคาความผดพลาดของการประมาณคาของทงสองผลเฉลย คอ error n-r คอ คาความผดพลาดระหวางขอมลจรงกบการประมาณคาดวยผลเฉลยเชงตวเลขและ error a-r คอ คาความผดพลาดระหวางขอมลจรงกบการประมาณคาดวยผลเฉลยทวไป

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115

คำคว

ำมผด

พลำด

(เซน

ตเมต

ร)

จ ำนวนวนเพำะปลก (วน)

errors

37

วนท 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58

ขอมลจรง (ซม.) 5.6 6.175 6.575 7.2 7.875 8.3 8.55 8.95 9.325 10.475 11.4 12.3875 13.2

ผลเฉลยทวไป (ซม.) 4.817 5.417 6.060 6.740 7.451 8.186 8.936 9.690 10.440 11.175 11.887 12.569 13.213

วนท 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71

ขอมลจรง (ซม.) 13.8 14.575 14.825 15.225 15.525 15.95 16.35 16.925 17.425 17.8 17.95 18.225 18.4

ผลเฉลยทวไป (ซม.) 13.815 14.372 14.882 15.345 15.763 16.136 16.468 16.761 17.019 17.244 17.441 17.612 17.759

วนท 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

ขอมลจรง (ซม.) 18.5 18.55 18.65 18.65 18.65 18.65 18.65 18.65 18.65 18.65 18.65 18.65 18.65

ผลเฉลยทวไป (ซม.) 17.887 17.997 18.092 18.173 18.243 18.303 18.354 18.397 18.435 18.467 18.494 18.517 18.537

วนท 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97

ขอมลจรง (ซม.) 18.65 18.65 18.65 18.65 18.65 18.65 18.65 18.65 18.65 18.65 18.65 18.65 18.65

ผลเฉลยทวไป (ซม.) 18.554 18.568 18.580 18.591 18.599 18.607 18.613 18.619 18.623 18.627 18.631 18.634 18.636

วนท 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

ขอมลจรง (ซม.) 18.65 18.65 18.65 18.65 18.65 18.65 18.65 18.65 18.65 18.65 18.65 18.65 18.65

ผลเฉลยทวไป (ซม.) 18.638 18.640 18.641 18.643 18.644 18.645 18.646 18.646 18.647 18.647 18.648 18.648 18.648

ตำรำ

งท 4

.5 ค

วามย

าวขอ

งเสนผ

านศน

ยกลา

งของ

ดอกท

านตะ

วน

37

38

4.4 กำรหำปรมำตรของเมลดดอกทำนตะวน

จากการเกบขอมลเกยวกบความยาว ความกวางและความหนาของเมลดดอกทานตะวนในแต

ละบรเวณของดอกทานตะวนทเกดจากการแบงตามรปท 3.7 โดยทาการสมจานวน 15 ตน จาก 60

ตน

4.4.1 ผลกำรหำปรมำตรของเมลด

ผลการหาปรมาตรเมลด หาโดยนาเมลดในแตละบรเวณมาถวงนา ดงนนปรมาตรเมลดของ

เมลดทงดอกทานตะวน คอ ผลรวมของปรมาตรเมลดในแตละบรเวณ ไดดงตารางท 4.6

ตำรำงท 4.6 ความยาวของเสนผานศนยกลางและปรมาตรเมลดของเมลดดอกทานตะวน

ตนท เสนผานศนย

กลาง (ซม.)

ปรมาตรเมลดในแตละบรเวณ (ลบ.มม.) ปรมาตรเมลดทง

ดอกทานตะวน

(ลบ.มม.) A B C

1 22 22012.56 52830.14 79245.2 154087.9

2 19.2 13207.53 22012.56 39622.6 74842.69

3 18.6 13207.53 35220.09 52830.14 101257.8

4 20.4 8805.023 39622.6 57232.65 105660.3

5 17.4 13207.53 17610.05 39622.6 70440.18

6 20.8 13207.53 35220.09 48427.62 96855.25

7 18 13207.53 37421.35 52830.14 103459

8 21 17610.05 46226.37 68238.92 132075.3

9 20.4 15408.79 37421.35 74842.69 127672.8

10 15 8805.023 26415.07 33018.83 68238.92

11 15.6 10125.78 23333.31 40503.1 73962.19

12 16.6 14528.29 28616.32 34779.84 77924.45

13 16.8 11886.78 21132.05 24654.06 57672.9

14 23.2 8615.667 17610.05 22012.56 57672.9

15 19.8 22012.56 52830.14 79245.2 154087.9

39

4.4.2 ผลกำรหำปรมำตรในแตละบรเวณ

สาหรบการหาความยาว ความกวางและความหนาในแตละบรเวณ ตองทาการสมเมลดโดยใช

สมการ (3.7) ดงนนจานวนเมลดในแตละบรเวณเพอวดความยาว ความกวางและความหนาเปน

จานวน 50, 100 และ 100 เมลด ตามลาดบ หลงจากนนหาคาเฉลยความกวาง ความหนา ความยาว

ในแตละบรเวณไดดงตารางท 4.7 ดงนนการหาปรมาตรเฉลยของเมลดในแตละบรเวณดวยการ

ประมาณคาของวธการตาง ๆ ไดดงตารางท 4.8 นอกจากนปรมาตรเมลดในแตละบรเวณ หาไดจาก

ปรมาตรเฉลยของเมลดคณจานวนเมลดในแตละบรเวณไดดงตารางท 4.9

ตำรำงท 4.7 คาเฉลยของความกวาง ความหนาและความยาว (มหนวยเปน มม.)

ตนท

บรเวณ A บรเวณ B บรเวณ C

W T L W T L W T L

1 4 2.157 9.677 5.34 2.984 10.709 5.338 3.271 10.941

2 3.929 2.636 10.111 4.9065 2.8135 10.318 5.4045 3.247 10.7205

3 4.198 2.263 10.416 5.4055 2.892 10.8585 6.3525 4.1469 11.4375

4 4.423 2.461 10.479 5.44 3.123 10.6865 5.7795 3.5275 10.8185

5 4.157 2.496 9.701 4.8745 2.8035 10.0945 5.5195 3.5555 10.695

6 3.937 2.264 10.019 5.3275 2.861 10.729 5.906 3.5275 11.118

7 3.43 2.318 9.219 4.4565 2.5945 9.5885 4.875 3.0605 10.0215

8 4.087 2.828 10.122 5.487 3.1295 10.6405 5.3795 3.265 10.5715

9 4.164 2.773 9.918 4.957 2.9905 9.949 5.225 3.279 9.9705

10 4.215 2.9 9.444 4.3455 2.3745 9.2435 4.593 2.784 9.5655

11 4.034 2.621 9.215 5.062 2.838 9.6725 5.5565 3.5545 9.9339

12 3.95 2.101429 9.455714 4.695882 2.395882 9.595882 5.0235 2.73 10.127

13 4.673 2.689 10.827 5.256 2.954 10.5185 5.5205 3.442 10.716

14 5.236215 2.822667 12.992 6.742344 3.607226 13.54394 7.923548 5.172477 14.26613

15 4.10772 2.214333 10.192 5.289253 2.829806 10.62498 6.215887 4.057719 11.19153

40

ตำรำงท 4.8 ปรมาตรเฉลยของแตละเมลดในแตละบรเวณดวยวธการตาง ๆ (มหนวยเปน ลบ.มม.)

15

14

13

12

11

10

9 8 7 6 5 4 3 2 1 ตนท

48.5

156

100.

492

71.1

989

41.0

757

50.9

89

60.4

129

59.9

326

61.2

25

38.3

592

46.7

353

52.6

768

59.6

935

51.7

853

54.8

02

43.6

95

A

สตรข

อง M

irza

be

83.2

258

172.

388

85.4

669

56.4

997

72.7

196

49.9

145

77.1

828

95.6

204

58.0

199

85.5

813

72.1

928

95.0

134

88.8

346

74.5

41

89.3

03

B

147.

725

305.

987

106.

562

72.6

822

102.

678

64.0

106

89.3

97

97.1

718

78.2

489

121.

218

109.

84

115.

426

157.

68

98.4

54

99.9

76

C

28.6

622

59.3

69

39.4

047

24.5

888

24.9

929

27.9

64

28.6

612

28.1

789

18.0

768

25.8

824

27.9

399

34.1

667

30.5

939

26.0

14

25.8

05

A พร

ะมดฐ

านสเ

หลยม

49.5

411

102.

616

48.4

299

35.2

67

41.3

078

29.0

914

40.7

442

53.3

926

31.7

386

50.7

522

39.9

755

52.7

087

52.8

799

41.3

99

50.8

96

B

72.0

683

149.

277

54.4

3

42.5

934

51.1

177

33.6

317

45.3

668

50.9

881

39.6

945

64.6

342

54.3

036

60.2

277

76.9

253

52.1

89

51.9

59

C

72.7

734

150.

738

106.

798

61.6

135

76.4

835

90.6

194

89.8

989

91.8

375

57.5

388

70.1

029

79.0

152

89.5

402

77.6

779

82.2

04

65.5

42

A

ทรงก

ระบอ

กวงร

124.

839

258.

582

128.

2

84.7

495

109.

079

74.8

718

115.

774

143.

431

87.0

298

128.

372

108.

289

142.

52

133.

252

111.

81

133.

96

B

221.

587

458.

98

159.

842

109.

023

154.

017

96.0

159

134.

096

145.

758

117.

373

181.

826

164.

76

173.

139

236.

521

147.

68

149.

96

C

39.2

297

81.2

578

61.4

553

32.7

788

49.6

934

62.3

479

59.8

678

63.5

47

38.8

848

40.3

132

47.4

433

49.8

21

41.8

735

55.1

51

35.3

44

A ทร

งกระ

บอกว

งกลม

66.7

9

138.

344

72.0

517

43.2

4

61.1

552

40.9

12

69.8

452

81.8

053

50.6

673

68.9

389

62.2

81

81.8

18

71.2

912

64.1

15

74.8

54

B

144.

652

299.

622

99.6

607

59.2

483

98.5

25

58.1

99

84.1

53

88.4

652

73.6

864

108.

6

106.

133

105.

675

154.

4

88.7

26

91.8

94

C

41

ตำรำงท 4.9 ปรมาตรเมลดเฉลยในแตละบรเวณดวยวธการตาง ๆ (มหนวยเปน ลบ.มม.)

15

14

13

12

11

10

9 8 7 6 5 4 3 2 1 ตนท

1285

0

1653

6

1552

1

9693

.9

9535

1184

1

1402

4

1653

1

1081

7

1327

3

8586

.3

1313

3

1325

7

1540

0

1136

1

A สต

รของ

Mir

zabe

5206

3

6216

1

4017

0

3536

9

3272

4

2979

9

4700

4

8108

6

4438

5

6042

0

3385

8

5320

8

4983

6

4711

0

6724

5

B

8753

1

1380

67

5296

1

6134

4

6622

7

4455

1

9923

1

1004

76

7198

9

9964

1

6996

8

8945

5

1106

92

4361

5

1077

74

C

4092

.4

5266

.1

4943

.1

3087

.2

3036

.6

3771

4466

.3

5264

.6

3445

4227

2734

.5

4182

.3

4222

4904

.3

3618

A พร

ะมดฐ

านสเ

หลยม

1658

1

1979

7

1279

3

1126

4

1042

2

9490

.1

1497

0

2582

4

1413

5

1924

2

1078

3

1694

5

1587

1

1500

3

2141

6

B

2787

6

4397

0

1686

7

1953

6

2109

2

1418

8

3160

2

3199

9

2292

6

3173

3

2228

3

2848

9

3525

2

1389

0

3432

3

C

1927

5

2480

4

2328

2

1454

1

1430

2

1776

1

2103

6

2479

6

1622

6

1990

9

1288

0

1969

9

1988

6

2309

9

1704

1

A

ทรงก

ระบอ

กหนา

ตดวง

ร

7809

5

9324

2

6025

4

5305

3

4908

6

4469

8

7050

7

1216

29

6657

8

9063

1

5078

8

7981

1

7475

4

7066

4

1008

68

B

1312

97

2071

01

7944

2

9201

6

9934

1

6682

7

1488

46

1507

13

1079

83

1494

61

1049

52

1341

82

1660

37

6542

2

1616

61

C

1072

5

1337

1

1339

7

7735

.8

9292

.7

1222

0

1400

9

1715

8

1096

6

1144

9

7733

.3

1096

1

1072

0

1549

8

9189

.3

A

ทรงก

ระบอ

กหนา

ตดวง

กลม

4483

3

4988

6

3386

4

2706

8

2752

0

2442

4

4253

6

6937

1

3876

1

4867

1

2921

0

4581

8

3999

4

4052

1

5636

5

B

8013

7

1351

95

4953

1

5000

6

6354

9

4050

7

9341

0

9147

3

6779

2

8926

9

6760

7

8189

8

1083

89

3930

6

9906

2

C

8615

.7

1647

4

1188

7

1452

8

1012

6

8805

1540

9

1761

0

1320

8

1320

8

1320

8

8805

1320

8

1320

8

2201

3

A

ถวงน

า

3877

1

4393

0

2113

2

2861

6

2333

3

2641

5

3742

1

4622

6

3742

1

3522

0

1761

0

3962

3

3522

0

3962

3

5283

0

B

5600

2

6589

6

2465

4

3478

0

4050

3

3301

9

7484

3

6823

9

5283

0

4842

8

3962

3

5723

3

5283

0

2201

3

7924

5

C

42

4.4.3 ผลกำรหำปรมำตรเมลดทงดอก

ผลการหาปรมาตรเมลดทงดอกทานตะวนมดวยกน 2 สวน คอ หาโดยหมนฟงกชนดวยวธ

เปลอกทรงกระบอกและการประมาณดวยวธการตาง ๆ มรายละเอยดดงน

สวนแรก หาปรมาตรดวยการหมนกราฟของฟงกชน โดยอนดบแรกสรางฟงกชนของดอก

ทานตะวน ซงม 2 ฟงกชน คอ ฟงกชนสวนโคงบนเมลดดอกทานตะวน f(x) และฟงกชนสวนโคง

ฐานรองรบเมลด g(x)

การสรางฟงกชนของสวนโคงดงกลาวจะสรางดวยการถดถอยแบบพหนามตงแตดกร 1 ถง

ดกร 10 แลวนามาพจารณา 2R ซงจากการหาคาเฉลยของ 2R ดงตารางท ภ.11 สงเกตไดวา พหนาม

ดกร 6 ถง 9 มความแตกตางกนนอยมาก ดงนนในการสรางฟงกชน f(x) และ g(x) เลอกพหนามดกร

6 จะไดดงตารางท 4.10 โดยนาฟงกชนทงสองหาปรมาตรดวยการหมนแบบเปลอกทรงกระบอกหมน

ซายและหมนขวาแลวนามาหาคาเฉลย

สวนทสอง นาปรมาตรในแตละบรเวณทเกดจากการประมาณดวยวธการตาง ๆ ดงทไดกลาว

ในหวขอ 3.2.3.2 มารวมกนจะไดตารางท 4.11

4.4.4 ผลกำรเปรยบเทยบปรมำตร

สาหรบการเปรยบเทยบวธการตาง ๆ ของการประมาณคาปรมาตรเมลด โดยพจารณาผลตาง

นอยสดระหวางปรมาตรจากการถวงนากบวธการประมาณคานน ๆ มดวยกน 2 สวน ดงน

สวนแรก ผลการเปรยบเทยบการประมาณคาปรมาตรเมลดในแตละบรเวณดวยวธการตาง ๆ

ซงมรายละเอยดดงน

บรเวณ A ตนท 2, 3, 6, 9, 10, 11 และ 14 จะดทสดสาหรบการประมาณคาดวยสตร

ของ Mirzabe ตนท 1, 5 และ 12 จะดทสดสาหรบการประมาณคาดวย ทรงกระบอกหนาตดวงร ตน

ท 4 และ 15 จะดทสดสาหรบการประมาณคาดวย พระมดฐานสเหลยม และตนท 7, 8 และ 13 จะด

ทสดสาหรบการประมาณคาดวย ทรงกระบอกหนาตดวงกลม

บรเวณ B ตนท 5, 6, 8และ 13 จะดทสดสาหรบการประมาณคาดวย พระมดฐาน

สเหลยม และตนท 1 – 4, 7, 9 - 12 และ 14 – 15 จะดทสดสาหรบการประมาณคาดวย ทรงกระบอก

หนาตดวงกลม

43

บรเวณ ตนท 2 - 6, 8 และ 11-15 จะดทสดสาหรบการประมาณคาดวย พระมดฐาน

สเหลยม และตนท 1, 7 และ 9 - 10 จะดทสดสาหรบการประมาณคาดวย ทรงกระบอกหนาตด

วงกลม

ดงนนผลการหาคาเฉลยของผลตางทนอยสดทมคานอยทสดในแตละบรเวณ (A, B, C) คอ

สตรของ Mirzabe ทรงกระบอกหนาตดวงกลมและพระมดฐานสเหลยม ตามลาดบ ดงตารางท 4.12

สวนทสอง ผลการเปรยบเทยบการประมาณคาปรมาตรเมลดทงดอก มผลดงน ตนท 1 , 7,

9 - 10 ,12 และ 15 จะดทสดสาหรบการประมาณคาดวย ทรงกระบอกหนาตดวงกลมและตนท 2-6,

8, 11 และ 13 -14 จะดทสดสาหรบการประมาณคาดวย พระมดฐานสเหลยม อยางไรกตามผลการ

หาคาเฉลยของผลตางทนอยสดทมคานอยทสด คอ พระมดฐานสเหลยม ดงตารางท 4.13

44

ตำรำ

งท 4

.10

ฟงกช

นสวน

โคงบ

นและ

ฐานร

องขอ

งเมลด

ดอกท

านตะ

วน

ตนท ฟงกชนสวนโคงบนและฐานรองของเมลดดอกทานตะวน

1

ฟงกชนบน

ฟงกชนลาง

2

ฟงกชนบน

ฟงกชนลาง

3

ฟงกชนบน

ฟงกชนลาง

4

ฟงกชนบน

ฟงกชนลาง

45

ตำรำ

งท 4

.10

ฟงกช

นสวน

โคงบ

นและ

ฐานร

องขอ

งเมลด

ดอกท

านตะ

วน

ตนท ฟงกชนสวนโคงบนและฐานรองของเมลดดอกทานตะวน

5

ฟงกชนบน

ฟงกชนลาง

6

ฟงกชนบน

ฟงกชนลาง

7

ฟงกชนบน

ฟงกชนลาง

8

ฟงกชนบน

ฟงกชนลาง

46

ตนท ฟงกชนสวนโคงบนและฐานรองของเมลดดอกทานตะวน

9

ฟงกชนบน

ฟงกชนลาง

10

ฟงกชนบน

ฟงกชนลาง

11

ฟงกชนบน

ฟงกชนลาง

12

ฟงกชนบน

ฟงกชนลาง

ตำรำ

งท 4

.10

ฟงกช

นสวน

โคงบ

นและ

ฐานร

องขอ

งเมลด

ดอกท

านตะ

วน

47

ตนท ฟงกชนสวนโคงบนและฐานรองของเมลดดอกทานตะวน

13

ฟงกชนบน

ฟงกชนลาง

14

ฟงกชนบน

ฟงกชนลาง

15

ฟงกชนบน

ฟงกชนลาง

ตำรำ

งท 4

.10

ฟงกช

นสวน

โคงบ

นและ

ฐานร

องขอ

งเมลด

ดอกท

านตะ

วน

48

ตำรำงท 4.11 ปรมาตรเมลดทงดอกทานตะวนดวยวธการตาง ๆ (มหนวยเปน ลบ.มม.)

ท สตรของ Mirzabe

พระมดฐานสเหลยม

ทรงกระบอกหนาตดวงร

ทรงกระบอกหนาตดวงกลม

ปรพนธ ถวงนา

1 186380 101046 279570 164616 201867 154088

2 106124 56593.5 159186 95323.6 168325 74842.7

3 173785 91499.2 260677 159103 154768 101258

4 155795 83710 233693 138677 257360 105660

5 112413 57894.1 168619 104550 149201 70440.2

6 173334 96311 260001 149389 264579 96855.2

7 127191 65896.6 190787 117517 158677 103459

8 198092 105607 297139 178002 157573 132075

9 160259 81877.1 240389 149955 186849 127673

10 86191.3 46256.2 129287 77151.2 24043.1 68238.9

11 108486 56233.1 162729 100361 125675 73962.2

12 106406 63828.9 159610 84809.6 136197 77924.4

13 108652 58404 162978 96793 131803 57672.9

14 216764 69033.1 325146 198451 283643 126300

15 152445 48549.2 228667 135694 242074 103388

49

ตำรำงท 4.12 ผลการเปรยบเทยบปรมาตรเมลดในแตละบรเวณดวยวธการตาง ๆ

(มหนวยเปน ลบ.มม.)

15

14

13

12

11

10

9 8 7 6 5 4 3 2 1 ท

4234

.5

61.7

4

3634

.6

4834

.4

590.

83

3035

.9

1384

.6

1079

.3

2390

.2

65.2

79

4621

.2

4327

.5

49.4

99

2192

1065

2

A

สตรข

อง M

irza

be

1329

3

1823

1

1903

7

6752

.5

9390

.5

3383

.9

9583

3486

0

6963

.9

2520

0

1624

8

1358

5

1461

6

7487

1441

5

B

3152

9

7217

1

2830

7

2656

4

2572

4

1153

3

2438

8

3223

7

1915

9

5121

3

3034

5

3222

2

5786

2

2160

2

2852

9

C

4523

.3

1120

8

6943

.7

1144

1

7089

.2

5034

1094

3

1234

6

9762

.5

8980

.5

1047

3

4622

.7

8985

.6

8303

.2

1839

5

A พร

ะมดฐ

านสเ

หลยม

2219

0

2413

4

8339

.2

1735

2

1291

2

1692

5

2245

2

2040

3

2328

6

1597

8

6827

.1

2267

8

1934

9

2462

0

3141

4

B

2812

6

2192

5

7787

.5

1524

4

1941

2

1883

1

4324

1

3624

0

2990

4

1669

5

1734

0

2874

4

1757

8

8122

.5

4492

2

C

1066

0

8329

.6

1139

5

12.4

94

4176

.6

8956

.4

5627

.6

7186

.1

3018

.4

6701

.7

328.

05

1089

4

6678

9891

.7

4971

.6

A ทร

งกระ

บอกห

นาตด

วงร

3932

4

4931

2

3912

2

2443

7

2575

2

1828

3

3308

5

7540

3

2915

6

5541

1

3317

8

4018

9

3953

4

3104

2

4803

8

B

7529

5

1412

05

5478

8

5723

6

5883

8

3380

8

7400

3

8247

5

5515

3

1010

34

6532

9

7695

0

1132

07

4341

0

8241

6

C

2109

.3

3103

.2

1510

.5

6792

.5

833.

1

3415

.2

1399

.7

452.

37

2242

1758

.6

5474

.3

2155

.6

2487

.9

2289

.9

1282

3

A

ทรงก

ระบอ

กหนา

ตดวง

กลม

6062

.3

5955

1273

2

1548

.1

4186

.5

1990

.6

5114

.4

2314

5

1339

.1

1345

1

1160

0

6195

.5

4774

.3

898.

02

3535

.1

B

2413

5

6929

9

2487

7

1522

6

2304

6

7487

.7

1856

7

2323

4

1496

1

4084

2

2798

4

2466

5

5555

9

1729

3

1981

7

C

50

ตำรำงท 4.13 ผลการเปรยบเทยบปรมาตรของเมลดทงดอกของดอกทานตะวนดวยวธการตาง ๆ

(มหนวยเปน ลบ.มม.)

ท สตรของ Mirzabe

พระมดฐานสเหลยม

ทรงกระบอกหนาตดวงร

ทรงกระบอกหนาตดวงกลม

ปรพนธ

1 32291.9 53042 125482 10528.5 47778.7

2 31281.3 18249.2 84343.4 20480.9 93482.6

3 72527.2 9758.56 159420 57845.2 53510.7

4 50134.7 21950.3 128032 33016.3 151700

5 41972.5 12546 98178.8 34109.8 78760.9

6 76478.8 544.296 163146 52533.9 167724

7 23732.4 37562.4 87328.2 14058.4 55217.7

8 66017.1 26468.4 165063 45926.3 25498.2

9 32586.4 45795.7 112716 22281.8 59176.5

10 17952.3 21982.7 61048 8912.24 44195.8

11 34524 17729.1 88767.1 26398.9 51712.9

12 28482 14095.5 81685.2 6885.13 58272.9

13 50979 731.08 105305 39120.1 74130.4

14 90464 57266.9 198846 72151 157343

15 49056.6 54838.8 125279 32306.3 138686

51

4.5 กำรบรรจเมลดของดอกทำนตะวน

สาหรบการศกษาการบรรจเมลดของดอกทานตะวน ศกษาดวยการหาประสทธภาพของการ

บรรจเมลดในแตละบรเวณ ตามทไดแบงดงรปท 3.7 ซงการหาประสทธภาพในแตละบรเวณนน จะหา

ดวยอตราสวนของผลรวมของพนทหนาตดในแตละบรเวณดวยพนทวงกลมในแตละบรเวณ สาหรบ

ผลรวมของพนทหนาตดหาไดจากจานวนเมลดคณกบคาเฉลยของพนทหนาตดในแตละพนท ซงจะ

ศกษาจากขอมลจรง (ศกษาจากดอกทานตะวน) และจากโปรแกรมทสรางขนมา ซงมรายละเอยด

ดงตอไปน

4.5.1 ประสทธภำพของกำรบรรจเมลดของดอกทำนตะวน

สาหรบการพจารณาพนทหนาตดของเมลดดอกทานตะวนนนจะพจารณาดวยกน 2

พนทหนาตด นนคอ สเหลยมและวงกลม ผลจากการหาพนทวงกลมของแตละบรเวณและผลรวมของ

พนทหนาตดทงสองพนทหนาตดจะไดดงตารางท 4.14 และตารางท 4.15

ตำรำงท 4.14 พนทวงกลมในแตละพนท (มหนวยเปน ตร.มม.)

ตนท

พนทวงกลมในแตละบรเวณ

A B C

1 4223.697 12671.09 21118.48

2 3216.991 9650.973 16084.95

3 3019.071 9057.212 15095.35

4 3631.681 10895.04 18158.41

5 2642.079 7926.238 13210.4

6 3775.496 11326.49 18877.48

7 2827.433 8482.3 14137.17

8 3848.451 11545.35 19242.26

9 3631.681 10895.04 18158.41

10 1963.495 5890.486 9817.477

11 2123.717 6371.15 10618.58

12 2404.715 7214.144 12023.57

13 2463.009 7389.026 12315.04

14 4697.03 14091.09 23485.15

15 3421.194 10263.58 17105.97

52

ตำรำงท 4.15 พนทหนาตดของเมลดในแตละบรเวณ (มหนวยเปน ตร.มม.)

ผลการหาประสทธภาพของการบรรจเมลดดวยพนทหนาตดสเหลยมและวงกลม ไดผลดง

ตารางท 4.16 ซงคาของประสทธภาพของการบรรจเมลดดวยพนทหนาตดทใหมคามากทสดในบรเวณ

A เปน พนทหนาตดวงกลม คาของประสทธภาพของการบรรจเมลดดวยพนทหนาตดท ใหมคามาก

ทสดในบรเวณ B เปน พนทหนาตดวงกลมและคาของประสทธภาพของการบรรจเมลดดวย

ตนท พนทหนาตดสเหลยม

2

WT

พนทหนาตดวงกลม 2T

A B C A B C

1 1121.64 5999.362 9411.262 1209.689 6704.905 11533.9974

2 1455.137 3057.683 5545.298 1952.527 3506.692 6663.181688

3 1216.009 4384.974 9246.457 1311.019 4692.016 12072.13929

4 1197.35 4756.954 7900.035 1332.435 5461.752 9643.523594

5 845.6336 3204.597 6250.429 1015.493 3686.158 8052.686619

6 1265.698 5380.418 8562.534 1455.698 5778.837 10228.35664

7 1121.054 4422.614 6863.171 1515.221 5149.544 8617.32743

8 1560.335 7280.744 9080.623 2159.348 8305.117 11022.67265

9 1350.972 4513.88 9508.69 1799.35 5446.342 11934.54351

10 1197.903 3080.039 4449.845 1648.36 3366.035 5394.456576

11 988.5862 3232.34 6369.562 1284.623 3624.41 8149.233311

12 979.4759 3521.495 5787.373 1042.176 3593.398 6290.2476

13 1369.661 3648.663 4721.888 1576.297 4101.275 5888.139908

14 2357.424 8512.405 17951.16 2541.616 9108.455 23436.96184

15 1141.531 4108.596 8663.869 1230.721 4396.285 11311.51433

53

พนทหนาตดทใหมคามากทสดในบรเวณ C เปน พนทหนาตดวงกลม ดงนนประสทธภาพของการ

บรรจเมลดทใหคาประสทธทดทสดเปนพนทหนาตดวงกลม

ตำรำงท 4.16 ประสทธภาพของการบรรจเมลดดวยพนทหนาตด

ตนท พนทหนาตดสเหลยม

2

WT

พนทหนาตดวงกลม 2T

A B C A B C

1 0.265559 0.473468475 0.445641 0.286405 0.52915 0.546157

2 0.452328 0.316826405 0.344751 0.606942 0.363351 0.414249

3 0.402776 0.484141722 0.612537 0.434246 0.518042 0.799726

4 0.329696 0.436616309 0.435062 0.366892 0.501306 0.531078

5 0.320064 0.404302437 0.473145 0.384354 0.465058 0.609572

6 0.33524 0.475029658 0.453585 0.385565 0.510205 0.541828

7 0.396492 0.521393231 0.48547 0.5359 0.607093 0.609551

8 0.405445 0.630621185 0.471911 0.561095 0.719347 0.572837

9 0.371996 0.414305846 0.523652 0.495459 0.499892 0.657246

10 0.610087 0.522883718 0.453258 0.839503 0.571436 0.549475

11 0.465498 0.507340143 0.59985 0.604894 0.568878 0.76745

12 0.407315 0.488137566 0.481336 0.433389 0.498105 0.52316

13 0.556093 0.493794809 0.383424 0.639988 0.555049 0.478126

14 0.501897 0.604098406 0.764362 0.541111 0.646398 0.997948

15 0.333664 0.400308111 0.506482 0.359734 0.428338 0.661261

54

4.5.2 กำรบรรจเมลดจำกโปรแกรม

จากการสรางโปรแกรมดวยสมมตฐานทไดกลาวไวในบทท 3 โปรแกรมจะเรมสรางเมลดจาก

ดานในสดานนอกโดยทมมระหวางเมลดท n กบเมลดท n+1 ทามมระหวางกนเปนมม 137.5

สาหรบตวอยางตาแหนงและการเกดเมลดของการบรรจเมลดในแตละกรณแสดงดงรปท 4.3(ก – ง)

โดยการสมมตใหเมลดมจานวน n = 4, 16, 25 และ 50 เมลด จากรปสงเกตไดวาแตละเมลดทเรยง

ตดกนจะทามมระหวางกนดวยมม137.5 รวมทงมคาระยะทางระหวางเมลดท 0 ถงเมลดท n มคา

เปน 294125

n เมอเพมคา n ไปเรอย ๆ ตาแหนงของเมลดท n จะไมมการเปลยนแปลง นอกจากน

อตราสวนระหวางระยะทางของเมลดท n กบเมลดท n+1 มคานอยกวา 1 สาหรบการสราง

แบบจาลองของการจดเรยงเมลดแบงออกเปน 2 แบบ เพอสามารถกาหนดขนาดของเมลด

แบบท 1 แบบจาลองทเกดจากการแบงบรเวณออกเปน 3 สวนโดยอาศยการแบงบรเวณตาม

หวขอ 3.2.4.2 สงผลใหสามารถกาหนดขนาดของเมลดในแตละบรเวณตามความตองการ รวมทง

สามารถกาหนดสของแตละบรเวณได นอกจากนสามารถคานวณจานวนเมลดในแตละบรเวณ (A, B,

C) และสามารถคานวณประสทธภาพการบรรจเมลด ซงจะแสดงผลของจานวนเมล ดและ

ประสทธภาพของการบรรจเมลดของแตละบรเวณบนหนาตางของโปรแกรมในสวนของ number

และ packing efficiency ตามลาดบ ดงรปท 4.3(ง)

แบบท 2 สรางขนาดเมลดในแตละบรเวณใหมขนาดแตกตางกน นนคอ เมลดทอยบรเวณ

ขอบนอกสดจะมขนาดใหญสดและบรเวณจดศนยกลางของดอกมขนาดเลกสด นอกจากนสามารถ

กาหนดขนาดเมลดในแตละชน ดงรปท 4.3(ก)

55

n = 4 n = 9

(ก) (ข)

n = 16 n = 50

(ค) (ง)

(จ) (ช)

รปท 4.3 แบบจาลองการบรรจเมลดของดอกทานตะวน (ก-ง) ตาแหนงและการเกดเมลดการบรรจเมลดในแตละกรณ (จ) การจดเรยงเมลดของดอกทานตะวนในแตละบรเวณ (ช) การจดเรยงเมลดของดอกทานตะวนทเมลดมขนาดแตกตางกน

56

บทท 5

อภปรำยผลและขอเสนอแนะ

ในบทนจะเปนการกลาวถงบทสรปจากการทดลองในแตละสวน ไดแก แบบรปฟโบนกช การ

พยากรณการเจรญเตบโตของดอกทานตะวน การหาปรมาตรเมลดของดอกทานตะวนและการบรรจ

เมลด นอกจากนไดกลาวถงขอเสนอแนะจากงานวจยน ซงมรายละเอยดดงตอไปน

5.1 อภปรำยผล

การเกบขอมลจานวนกลบของดอกทานตะวนในแตละชน จานวนเสนเวยนกนหอยของการ

จดเรยงเมลดในแตละทศทางและจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดในรปคอนดบสามารถ

สรปไดวา จานวนกลบของดอกทานตะวนในแตละชน จานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลด

ในแตละทศทางและจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดในรปคอนดบทมจานวนตนมาก

ทสดเปนจานวนชดหนงของลาดบฟโบนกช

สาหรบการเจรญเตบโตของดอกทานตะวนโดยใชความยาวของเสนผานศนยกลางตงแตวนท

46 – 110 ของการเพาะปลกดวยผลเฉลยแมนตรงเลอกคา 0.161908 และ 3.376769 สงเกต

ไดวา คาความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนเรมเจรญเตบโตชาลงตงแตวนท 65-89

และเรมคงทตงแตวนท 90 สาหรบขอมลจรงความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนเรม

คงตวตงแตวนท 73 เปนตนไป ดงนนแบบจาลองการพยากรณการเตบโตของดอกทานตะวนสายพนธ

อะควอรา-6 สามารถเขยนอยในรปแบบผลเฉลยเชงตวเลขและผลเฉลยแมนตรงตามลาดบ คอ

0.161908 45

18.65; 46,110

1 3.376769t

y t t

e

สาหรบการหาปรมาตรเมลดดอกทานตะวนในแตละบรเวณ ไดแก บรเวณ A การประมาณ

คาดวยสตรของ Mirzabe จะดทสด บรเวณ B การประมาณคาดวยทรงกระบอกหนาตดวงกลมดทสด

และบรเวณ C การประมาณคาดวยพระมดฐานสเหลยมดทสด สงเกตไดวาในแตละบรเวณวธการ

ประมาณคาปรมาตรจะไมเหมอนกน เนองจากคณสมบตทางกายภาพ คอ ความยาว ความกวางและ

ความหนาของเมลดในแตละบรเวณไมเหมอนกน อยางไรกตามสาหรบการประมาณคาปรมาตรเมลด

ทงดอกทานตะวนดทสดดวยวธพระมดฐานสเหลยมและรองลงมาดวยวธทรงกระบอกหนาตดวงกลม

57

นอกจากนจากการสรางฟงกชนสวนโคงบนเมลด f x และสวนโคงของฐานรองเมลด g x

ของดอกทานตะวน สงผลไดลกษณะของฟงกชนสวนโคงบนเมลดและสวนโคงของฐานรองเมลดของ

ดอกทานตะวนดงสมการ (5.1) และ (5.2) ตามลาดบ

2 3 4 5 60 1 2 3 4 5 6f x a a x a x a x a x a x a x (5.1)

2 3 4 5 60 1 2 3 4 5 6g x b b x b x b x b x b x b x (5.2)

เมอ ,i ia b โดยท ; 0,1, 2, , 6i ia b i

สาหรบการบรรจเมลด จากการศกษาจากดอกทานตะวนจรง การสมมตพนทหนาตดของ

เมลดดวยวงกลมจะมประสทธภาพสงสด อกทงจากการสรางการบรรจเมลดดวยโปรแกรมมความ

ใกลเคยงกบการบรรจเมลดทานตะวนจรง

5.2 ขอเสนอแนะ

การทาวจยนสามารถสรปนามาใชในชวตจรงไดดงน

1. แบบรปทเกดขนบนดอกทานตะวนสายพนธ อะควอรา-6 จะเปนแบบรปฟโบนชช

2. การพยากรณการเจรญเตบโตของดอกทานตะวนในแตละพนทจะมความแตกตางกน

ขนอยกบสภาพแวดลอมรอบขางและการควบคมการปลก

3. การเกบเกยวเมลดของดอกทานตะวนในบรเวณ A จะมเมลดกลวงมากกวาเมลดทมเนอ

และอาจจะไดปรมาตรทนอย ดงนนควรเกบเมลดในบรเวณ B และ C เพราะมปรมาตรเมลดมากและ

จะไมคอยมเมลดกลวง

4. สามารถประมาณคาปรมาตรเมลดในแตละบรเวณหรอทงดอกทานตะวนดวยวธการตามท

สรปในหวขอ 5.1

58

บรรณำนกรม

คณาจารยภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย. 2549. ฟสกส 1, สานกพมพ

จฬาลงกรณมหาวทยาลย, กรงเทพมหานคร, หนา 335 –361.

ลลล กาวตะ. 2546. การเปลยนแปลงทางสณฐานและพฒนาการของพช, สานกพมพ

มหาวทยาลยเกษตรศาสตร, กรงเทพมหานคร, หนา 163-174.

สาเรง ชนรงสกล. 2555. สมการเชงอนพนธ, สานกพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย,

กรงเทพมหานคร, หนา 11 –72.

สเมธ สมภกด. 2550. ทฤษฎการเลอกตวอยาง, สานกพมพประกายพรก, กรงเทพมหานคร, หนา

18 – 94.

Alan, C. and Patrick, D. 2005. Plants and Fibonacci. Journal of Statistical Physics.

121, 937-967

Asaithambi, N.S. 1995. Numerical Analysis Theory and Practice, Saunders College,

New York, U.S.A., 467-479.

Chuai-aree, S. 2009. Modeling, Simulation and Visualization of Plant Growth.

Ph.D. Thesis, Ruprecht-Karls Universit¨at Heidelberg.

Graham, R.L., Lubachevsky, B.D., Nurmela, K.J. and Ostergard, P.R.J. 1998.

Dense Packing of Congruent Circles in a Circle. Discrete Mathematics. 181,

139 – 154.

Jay, K. 2004. Growth in Plants: A Study in Number. Forma. 19, 335 – 354.

Jean, R.V. 1994. Phyllotaxis : A Systemic Study in Plant Morphogenesis, the Press

Syndicate of the University of Cambridge, New York, U.S.A., pp. 9-48.

Julian, J. 2005. Texts in Statistical Science Linear Models with R,

Chapman&Hall/Crc, New York, U.S.A., pp. 11-24.

Laosuwan, P. (1997). Sunflower Production and Research in Thailand. Suranaree J.

Sci. Technol. 4, 159 - 167.

Mathai, A.M. 1974. Constucting the Sunflower Head. Mathematical Biosciences. 20,

117 – 133.

59

Mirzabe, A., Khazaei, J.and Chegini, G.H. 2012. Physical Properties and Modeling

for Sunflower Seeds. Agric Eng Int: CIGR Journal. 14, 190-202.

Mitchison, G. 1977. Phyllotaxis and the Fibonacci Series. Science New Series. 196,

270-275.

Patrick, R. and Willi, S. 2008. Multivariable Model-Building, John Wiley & Sons

Ltd, Southern Gate of Chichester, England, pp. 71-99.

Pennybacker, M. 2013. A Numerical Study of Pattern Forming Fronts in

Phyllotaxis. Ph.D. Thesis, University of Arizona.

Przemyslaw, P., James, H., David, F., Deborah, R.F., Martin J. M. and Lynn, M.

1990. The Algorithmic Beauty of Plants, Springer-Verlag, New York, U.S.A.,

pp. 99-109.

Ridley, J.N. 1982. Packing Efficiency in Sunflower Heads. Mathematical

Biosciences. 58, 129 – 139.

Satjawattana, K., and Laosuwan, P. 2002. Performance of Synthetic Varieties of

Sunflower. Suranaree J. Sci. Technol. 9, 278 - 282.

Vogel, H. 1978. A Better Way to Construct the Sunflower Head. Mathematical

Biosciences. 44, 179 – 189.

Vollmann, J. and Rajcan, I. 2010. Oil Crops: Series 4, Springer. New York, U.S.A.,

pp. 155 - 232.

60

ภำคผนวก ก

61

คมอกำรใชโปรแกรม

โปรแกรมในงานวจยนประกอบดวย 2 หนาตาง ไดแก วเคราะหจด (X, Y) และการบรรจ

เมลด ซงมรายละเอยดการทางานดงน

หนำตำงท 1 (Point Analysis)

1. เลอกรปภาพทจะทาการวเคราะหจด (X, Y) โดยทาการกดปมไอคอน

2. เมอไดรปภาพมาแลว คลกตามรปทตองการ ซงโปรแกรมจะแสดงจด (X, Y) ในตาราง

ทางขวาของรป

3. คดลอกขอมลในตาราง แลววางใน Microsoft Excel เพอสรางฟงกชน

หนำตำงท 2 (Optimal Packing)

1. ปอนจานวนเมลดลงในชอง Number of Seeds

2. เลอกใหโปรแกรมสรางการจดเรยงแบบใด ซงประกอบดวย แบงบรเวณออกเปน 3 สวนและเมลดมขนาดแตกตางกน ถาเลอกแบงบรเวณออกเปน 3 สวน ใหคลกเลอก 3 regions ถาเลอกเมลดมขนาดแตกตางกนใหคลกเลอก real ซงเมอเลอกการจดเรยงแบบแบงบรเวณออกเปน 3 สวน

แลว สามารถกาหนดขนาดของเมลดในแตละพนท ดวยการปอนขอมลในชองของ A, B และ C ในสวนของ Size และหากเลอกการจดเรยงแบบเมลดมขนาดแตกตางกน สามารถปรบขนาดในสวน Scales ดงรปท ภ.1

3. เมอเลอกลกษณะของการจดเรยงแลว หลงจากนนใหเลอกลกษณะของเมลดทจะใหแสดง

จะประกอบดวย ลกษณะวงกลม (Circle) หรอ สเหลยม (Square)

4. โปรแกรมจะทาการสรางการจดเรยงเมลดตามทเลอก และแสดงรศมของดอกทานตะวน

ในชอง Radius ซงสามารถคานวณไดจาก

รปท ภ.1 สวนการปรบขนาดของการเลอกจดเรยงเมลดทมขนาดแตกตางกน

62

294

125r n เมอ n คอ จานวนเมลดทปอนในชอง Number Of Seeds

5. โปรแกรมทาการลงจด (X, Y) ตงแต 1 ถง n ดวยนยาม ดงน

5 11

2n

cos 2x r

sin 2y r

พรอมทงสรางขนาดตามทไดกาหนดไวในขอ 2 และในกรณเลอกการจดเรยงเมลดแบบแบง

บรเวณออกเปน 3 สวน โปรแกรมทาการคานวณจานวนเมลดในแตละบรเวณ A, B และ C ดวย

4,

9 9 9

n n n

และ

4

9

nn ตามลาดบและแสดงในชอง A, B และ C ในสวนของ Number

รวมทงโปรแกรมจะแสดงประสทธภาพของการบรรจเมลดในชอง A, B และ C ในสวนของ Packing

Efficient นอกจากนสามารถกาหนดสของเมลดในแตละบรเวณโดยเลอกสไดในสวนของ Color of

Each Region

หมำยเหต สามารถดโปรแกรมแตละหนาตางดงรปท ภ.2

63

(ก)

(ข)

รปท ภ.2 หนาตางโปรแกรมในงานวจยน (ก) หนาตางของโปรแกรมวเคราะหจด (X, Y)

(ข) หนาตางโปรแกรมของการบรรจเมลด

64

ภำคผนวก ข

65

ขอมลและกำรวเครำะห

สาหรบการสรางฟงกชนสวนโคงบนเมลด f(x) และสวนโคงของฐานรองเมลด g(x) ของดอก

ทานตะวน จะสรางดวยการถดถอยแบบพหนามดวยสมการ (2.1) และหาสมประสทธของแตละดกร

ดวยสมการ (2.2) ตงแตดกร 1 ถง ดกร 10 แลวพจารณาคาของ 2R จากสมการ (2.13) ดงตวอยาง

ของขอมล 10 ชดและคา 2R ของขอมลทง 10 ชดดวยดกร 1 ถง ดกร 10 ดงตารางท ภ.1 – ภ.11

ตำรำงท ภ.1 ขอมลชดท 1

n ix

iy n

ix

iy n

ix

iy n

ix

iy

1 64 -228 23 179 -109 45 370 -87 67 552 -98

2 65 -220 24 187 -109 46 379 -86 68 558 -101

3 67 -211 25 195 -107 47 388 -86 69 564 -103

4 70 -202 26 206 -104 48 397 -84 70 571 -107

5 72 -193 27 216 -103 49 405 -83 71 579 -110

6 76 -186 28 224 -101 50 412 -83 72 586 -114

7 79 -177 29 234 -100 51 421 -82 73 592 -119

8 82 -172 30 240 -100 52 430 -81 74 599 -124

9 87 -165 31 246 -99 53 438 -81 75 606 -129

10 93 -158 32 255 -97 54 446 -81 76 613 -135

11 98 -152 33 263 -98 55 455 -80 77 620 -141

12 103 -146 34 271 -97 56 462 -80 78 624 -147

13 109 -139 35 281 -95 57 469 -80 79 627 -153

14 114 -133 36 290 -95 58 477 -80 80 629 -160

15 121 -128 37 297 -94 59 486 -82 81 631 -168

16 126 -124 38 306 -93 60 495 -82 82 637 -176

17 132 -120 39 314 -92 61 505 -82 83 639 -181

18 139 -118 40 323 -90 62 514 -82 84 643 -190

19 148 -116 41 332 -90 63 521 -85 85 645 -194

20 155 -115 42 340 -89 64 529 -87 86 650 -201

21 162 -113 43 351 -89 65 537 -90 87 651 -207

22 171 -111 44 360 -87 66 546 -95

66

ตำรำงท ภ.2 ขอมลชดท 2

n ix

iy n

ix

iy n

ix

iy n

ix

iy

1 36 -239 30 176 -79 59 388 -60 88 595 -99

2 37 -231 31 185 -77 60 392 -58 89 600 -104

3 39 -222 32 195 -75 61 400 -55 90 605 -109

4 39 -215 33 205 -75 62 405 -55 91 611 -113

5 40 -208 34 213 -73 63 411 -54 92 618 -118

6 41 -199 35 222 -73 64 420 -54 93 622 -124

7 42 -190 36 229 -71 65 429 -54 94 626 -130

8 43 -183 37 235 -70 66 438 -56 95 630 -133

9 45 -178 38 242 -67 67 448 -56 96 633 -138

10 48 -172 39 248 -70 68 455 -56 97 639 -142

11 51 -164 40 253 -72 69 461 -56 98 642 -147

12 54 -158 41 261 -72 70 469 -56 99 645 -153

13 58 -150 42 271 -71 71 475 -57 100 648 -158

14 64 -144 43 280 -70 72 482 -57 101 651 -166

15 70 -137 44 288 -70 73 489 -57 102 655 -174

16 76 -132 45 295 -69 74 496 -57 103 657 -179

17 81 -127 46 303 -68 75 504 -57 104 657 -184

18 86 -122 47 312 -67 76 513 -60 105 657 -188

19 93 -115 48 321 -65 77 521 -61 106 660 -194

20 99 -110 49 328 -65 78 529 -64 107 662 -200

21 106 -105 50 333 -65 79 536 -68 108 663 -204

22 114 -100 51 339 -65 80 543 -69 109 664 -209

23 123 -96 52 344 -65 81 551 -72 110 665 -216

24 131 -93 53 349 -64 82 557 -76 111 667 -221

25 137 -91 54 355 -62 83 562 -79 112 667 -232

26 144 -87 55 363 -62 84 569 -84 113 667 -237

27 153 -85 56 370 -62 85 574 -88 114 669 -242

28 162 -83 57 377 -62 86 582 -90 115 669 -246

29 169 -81 58 383 -61 87 591 -96

67

ตำรำงท ภ.3 ขอมลชดท 3

n ix

iy n

ix

iy n

ix

iy n

ix

iy

1 64 -251 26 177 -117 51 368 -93 76 552 -118

2 67 -247 27 182 -116 52 375 -93 77 558 -123

3 70 -241 28 189 -114 53 383 -94 78 564 -128

4 74 -235 29 197 -113 54 392 -94 79 571 -132

5 75 -228 30 203 -113 55 403 -95 80 576 -136

6 78 -219 31 210 -113 56 412 -93 81 582 -140

7 78 -215 32 217 -112 57 421 -93 82 589 -146

8 79 -208 33 225 -109 58 426 -93 83 594 -153

9 80 -202 34 235 -108 59 433 -93 84 599 -157

10 83 -194 35 244 -108 60 441 -92 85 604 -163

11 86 -187 36 254 -107 61 450 -91 86 608 -169

12 89 -181 37 262 -105 62 455 -91 87 611 -179

13 92 -175 38 272 -104 63 462 -91 88 615 -187

14 97 -170 39 278 -104 64 468 -91 89 619 -195

15 102 -164 40 288 -104 65 474 -92 90 620 -202

16 106 -158 41 294 -102 66 480 -93 91 621 -209

17 113 -152 42 302 -101 67 488 -92 92 621 -216

18 121 -148 43 310 -99 68 498 -94 93 621 -223

19 126 -144 44 316 -98 69 506 -96 94 621 -229

20 132 -138 45 322 -98 70 515 -98 95 624 -238

21 138 -132 46 330 -97 71 522 -102 96 626 -243

22 147 -131 47 340 -96 72 527 -106 97 627 -252

23 155 -127 48 347 -95 73 534 -109 98 630 -256

24 161 -124 49 353 -95 74 540 -111

25 168 -119 50 361 -95 75 546 -115

68

ตำรำงท ภ.4 ขอมลชดท 4

n ix

iy n

ix

iy n

ix

iy n

ix

iy

1 26 -216 31 167 -72 61 349 -29 91 601 -80

2 29 -210 32 172 -69 62 359 -29 92 610 -83

3 32 -202 33 180 -67 63 369 -29 93 618 -87

4 35 -195 34 188 -66 64 375 -29 94 624 -90

5 38 -187 35 193 -66 65 385 -28 95 630 -93

6 42 -178 36 197 -66 66 396 -28 96 636 -96

7 45 -169 37 202 -65 67 403 -28 97 642 -103

8 47 -161 38 207 -64 68 410 -28 98 648 -108

9 50 -155 39 213 -61 69 419 -29 99 653 -114

10 53 -149 40 219 -59 70 428 -31 100 660 -118

11 57 -141 41 224 -55 71 436 -31 101 667 -123

12 64 -135 42 228 -52 72 444 -33 102 673 -130

13 71 -129 43 234 -50 73 453 -35 103 678 -139

14 76 -123 44 242 -46 74 464 -40 104 685 -148

15 80 -119 45 248 -46 75 473 -42 105 688 -156

16 85 -115 46 252 -46 76 477 -45 106 693 -160

17 90 -111 47 257 -47 77 484 -45 107 697 -166

18 94 -107 48 262 -44 78 493 -49 108 700 -173

19 98 -105 49 267 -42 79 504 -52 109 703 -180

20 103 -99 50 272 -42 80 511 -53 110 706 -187

21 108 -96 51 277 -40 81 522 -58 111 708 -194

22 114 -93 52 281 -38 82 533 -61 112 712 -201

23 120 -90 53 285 -38 83 542 -63 113 717 -209

24 126 -87 54 292 -35 84 549 -66 114 721 -217

25 132 -85 55 298 -34 85 555 -66 115 721 -224

26 137 -82 56 305 -31 86 562 -66 116 724 -229

27 142 -78 57 317 -30 87 569 -69 117 724 -236

28 150 -76 58 327 -29 88 575 -71

29 156 -75 59 335 -29 89 583 -73

30 162 -73 60 342 -29 90 592 -75

69

ตำรำงท ภ.5 ขอมลชดท 5

n ix

iy n

ix

iy n

ix

iy n

ix

iy

1 25 -238 24 149 -81 47 356 -28 70 556 -70

2 28 -227 25 155 -77 48 366 -29 71 569 -74

3 29 -219 26 165 -74 49 376 -30 72 579 -77

4 30 -211 27 175 -69 50 383 -30 73 589 -81

5 30 -201 28 186 -65 51 390 -32 74 596 -84

6 32 -192 29 198 -61 52 396 -34 75 604 -90

7 36 -183 30 209 -57 53 405 -34 76 611 -94

8 37 -175 31 217 -54 54 416 -36 77 617 -98

9 39 -165 32 225 -51 55 426 -38 78 625 -104

10 43 -156 33 237 -46 56 434 -40 79 631 -108

11 48 -149 34 247 -44 57 444 -42 80 639 -114

12 52 -144 35 252 -41 58 452 -44 81 645 -121

13 58 -137 36 258 -39 59 461 -47 82 653 -130

14 64 -130 37 266 -36 60 471 -49 83 661 -138

15 70 -125 38 274 -34 61 481 -49 84 665 -147

16 77 -119 39 285 -32 62 490 -51 85 672 -155

17 84 -112 40 293 -32 63 497 -54 86 678 -162

18 93 -108 41 299 -30 64 506 -57 87 681 -173

19 104 -102 42 308 -29 65 513 -59 88 685 -181

20 111 -97 43 314 -29 66 522 -61 89 688 -192

21 122 -92 44 322 -29 67 531 -63 90 693 -203

22 129 -87 45 332 -29 68 537 -65 91 698 -216

23 139 -85 46 343 -28 69 546 -69

70

ตำรำงท ภ.6 ขอมลชดท 6

n ix

iy n

ix

iy n

ix

iy n

ix

iy

1 21 -201 25 160 -63 49 341 -46 73 554 -47

2 26 -194 26 167 -61 50 346 -46 74 562 -49

3 30 -187 27 176 -60 51 358 -46 75 569 -53

4 32 -179 28 185 -60 52 368 -44 76 576 -56

5 35 -169 29 193 -59 53 376 -43 77 584 -59

6 38 -163 30 200 -57 54 385 -43 78 593 -64

7 42 -158 31 210 -57 55 394 -42 79 600 -66

8 46 -149 32 220 -57 56 403 -40 80 612 -72

9 50 -139 33 229 -55 57 410 -40 81 620 -78

10 55 -132 34 237 -53 58 417 -40 82 629 -86

11 61 -126 35 244 -52 59 424 -40 83 636 -91

12 68 -117 36 252 -51 60 432 -39 84 643 -98

13 75 -110 37 259 -52 61 442 -37 85 650 -108

14 80 -103 38 265 -52 62 453 -35 86 654 -115

15 88 -98 39 272 -52 63 463 -34 87 660 -122

16 94 -93 40 279 -52 64 471 -33 88 665 -128

17 100 -89 41 287 -50 65 481 -32 89 669 -135

18 109 -84 42 293 -50 66 489 -34 90 672 -143

19 116 -81 43 298 -50 67 500 -36 91 676 -151

20 123 -78 44 307 -48 68 507 -37 92 680 -159

21 129 -74 45 313 -48 69 515 -39 93 682 -164

22 136 -72 46 320 -48 70 525 -41 94 685 -171

24 153 -66 48 334 -47 72 544 -46 96 690 -182

71

ตำรำงท ภ.7 ขอมลชดท 7

n ix

iy n

ix

iy n

ix

iy n

ix

iy

1 9 -168 25 164 -47 49 369 -40 73 571 -56

2 15 -162 26 173 -47 50 376 -40 74 583 -62

3 19 -155 27 183 -44 51 384 -39 75 589 -66

4 22 -147 28 192 -43 52 392 -36 76 597 -71

5 27 -139 29 199 -43 53 401 -36 77 606 -77

6 31 -135 30 207 -42 54 412 -36 78 614 -84

7 37 -128 31 217 -40 55 419 -35 79 622 -89

8 42 -122 32 225 -39 56 426 -33 80 628 -96

9 48 -117 33 234 -38 57 435 -32 81 632 -102

10 53 -110 34 241 -39 58 445 -32 82 637 -108

11 57 -105 35 249 -39 59 454 -31 83 643 -117

12 62 -100 36 258 -39 60 461 -33 84 647 -127

13 68 -94 37 267 -40 61 472 -32 85 654 -133

14 75 -88 38 277 -41 62 478 -33 86 660 -142

15 82 -84 39 288 -41 63 487 -34 87 665 -151

16 88 -79 40 295 -41 64 496 -35 88 670 -159

17 94 -75 41 305 -42 65 505 -35 89 673 -168

18 100 -71 42 313 -42 66 515 -35 90 677 -177

19 108 -67 43 322 -40 67 524 -39 91 678 -187

20 117 -63 44 330 -41 68 532 -43 92 680 -195

21 125 -60 45 337 -41 69 538 -44 93 682 -201

22 134 -55 46 343 -41 70 542 -46 94 684 -209

23 145 -52 47 352 -41 71 550 -49 95 685 -213

24 155 -49 48 361 -40 72 559 -53

72

ตำรำงท ภ.8 ขอมลชดท 8

n ix

iy n

ix

iy n

ix

iy n

ix

iy

1 38 -214 24 159 -62 47 372 -36 70 557 -58

2 38 -206 25 170 -59 48 380 -36 71 566 -61

3 40 -196 26 181 -56 49 387 -36 72 575 -65

4 42 -189 27 191 -51 50 396 -36 73 583 -70

5 43 -180 28 201 -48 51 405 -36 74 593 -74

6 46 -171 29 212 -45 52 414 -35 75 600 -77

7 51 -161 30 223 -42 53 421 -36 76 609 -82

8 55 -153 31 234 -41 54 428 -36 77 616 -88

9 59 -144 32 241 -41 55 435 -36 78 623 -95

10 64 -136 33 250 -40 56 443 -37 79 630 -102

11 67 -130 34 258 -38 57 452 -37 80 638 -110

12 70 -124 35 265 -38 58 459 -38 81 644 -117

13 75 -120 36 273 -37 59 469 -39 82 650 -125

14 81 -116 37 281 -36 60 478 -39 83 658 -136

15 89 -108 38 290 -36 61 486 -39 84 662 -147

16 96 -103 39 301 -36 62 495 -39 85 666 -157

17 104 -95 40 311 -36 63 503 -40 86 671 -164

18 113 -91 41 319 -36 64 510 -42 87 674 -173

19 119 -87 42 328 -35 65 515 -45 88 676 -185

20 126 -81 43 339 -35 66 521 -48 89 680 -191

21 133 -75 44 348 -36 67 533 -50 90 681 -199

22 143 -71 45 357 -36 68 541 -52 91 682 -206

23 151 -66 46 365 -36 69 550 -55 92 683 -216

73

ตำรำงท ภ.9 ขอมลชดท 9

n ix

iy n

ix

iy n

ix

iy n

ix

iy

1 69 -259 23 180 -108 45 380 -61 67 555 -99

2 70 -250 24 188 -104 46 389 -59 68 562 -102

3 70 -239 25 196 -101 47 398 -60 69 567 -105

4 73 -233 26 203 -98 48 405 -59 70 573 -107

5 76 -223 27 211 -94 49 413 -60 71 581 -113

6 77 -215 28 218 -92 50 422 -60 72 585 -116

7 81 -206 29 228 -88 51 429 -60 73 591 -120

8 83 -198 30 238 -86 52 439 -63 74 596 -125

9 85 -192 31 250 -82 53 448 -64 75 601 -129

10 89 -183 32 260 -77 54 456 -66 76 605 -133

11 93 -177 33 268 -74 55 464 -67 77 608 -137

12 98 -170 34 276 -73 56 471 -70 78 614 -142

13 103 -162 35 288 -70 57 480 -72 79 619 -147

14 111 -155 36 297 -68 58 488 -75 80 622 -154

15 118 -147 37 306 -68 59 496 -77 81 626 -160

16 124 -141 38 317 -68 60 506 -80 82 629 -166

17 131 -136 39 326 -66 61 514 -82 83 633 -172

18 139 -130 40 333 -66 62 521 -84 84 637 -178

19 146 -126 41 343 -64 63 527 -87 85 641 -185

20 155 -121 42 353 -64 64 534 -90 86 643 -191

21 165 -115 43 363 -62 65 541 -92 87 647 -197

22 172 -111 44 371 -61 66 547 -95

74

ตำรำงท ภ.10 ขอมลชดท 10

n ix

iy n

ix

iy n

ix

iy n

ix

iy

1 35 -255 24 134 -91 47 345 -30 70 564 -62

2 37 -246 25 143 -86 48 355 -28 71 571 -65

3 37 -239 26 150 -81 49 362 -25 72 578 -70

4 38 -230 27 157 -76 50 371 -24 73 584 -72

5 39 -221 28 169 -73 51 379 -21 74 592 -77

6 39 -212 29 179 -67 52 388 -21 75 598 -79

7 40 -204 30 192 -63 53 399 -21 76 605 -87

8 42 -198 31 200 -59 54 411 -23 77 614 -91

9 45 -190 32 212 -55 55 423 -24 78 621 -96

10 49 -183 33 220 -52 56 433 -24 79 629 -101

11 52 -175 34 229 -49 57 446 -24 80 639 -106

12 56 -167 35 238 -47 58 455 -26 81 646 -115

13 61 -158 36 246 -45 59 464 -28 82 654 -123

14 66 -148 37 253 -41 60 472 -29 83 660 -130

15 71 -142 38 261 -39 61 485 -32 84 666 -139

16 78 -134 39 272 -36 62 495 -35 85 669 -145

17 83 -128 40 282 -33 63 504 -38 86 671 -152

18 90 -123 41 290 -33 64 515 -42 87 676 -160

19 96 -118 42 302 -33 65 524 -46 88 680 -167

20 101 -114 43 310 -33 66 532 -48 89 683 -174

21 108 -108 44 318 -34 67 541 -51

22 117 -102 45 324 -33 68 550 -55

23 125 -96 46 334 -33 69 556 -59

Degree 21R 2

2R 2

3R 2

4R 2

5R 2

6R

1 0.003913 0.004004 0.016296 0.018899 0.025314 0.015075

2 0.854841 0.851523 0.945353 0.940204 0.857723 0.876351

3 0.865903 0.859097 0.946777 0.941788 0.863406 0.879648

75

ตำรำงท ภ.11 คา 2R ของขอมลทง 10 ชดดวยดกร 1 ถง ดกร 10

Degree 21R 2

2R 2

3R 2

4R 2

5R 2

6R

1 0.025314 0.003913 0.004004 0.016296 0.018899 0.015075

2 0.857723 0.854841 0.851523 0.945353 0.940204 0.876351

3 0.863406 0.865903 0.859097 0.946777 0.941788 0.879648

4 0.983654 0.976464 0.974975 0.984074 0.974774 0.994159

5 0.986546 0.976681 0.974976 0.984093 0.97478 0.995285

6 0.995926 0.987279 0.988416 0.998559 0.991747 0.998331

7 0.996123 0.987435 0.988884 0.99864 0.994583 0.998362

8 0.997817 0.993998 0.992293 0.998779 0.996691 0.998966

9 0.997763 0.993999 0.993231 0.99884 0.997242 0.998967

10 0.971783 0.979505 0.887013 0.998381 0.997114 0.998711

Degree 27R 2

8R 2

9R 2

10R 2R

1 0.025416 0.001366 0.084123 0.137448 0.033185

2 0.868417 0.90702 0.949089 0.94633 0.899685

3 0.887376 0.907527 0.950679 0.950439 0.905264

4 0.994824 0.987777 0.985772 0.981248 0.983772

5 0.995958 0.987964 0.988015 0.986046 0.985034

6 0.996635 0.994705 0.996167 0.991906 0.993967

7 0.997593 0.994744 0.996862 0.992479 0.994571

8 0.998699 0.998208 0.998353 0.995697 0.99695

9 0.998907 0.998261 0.998995 0.996434 0.997264

10 0.9978 0.989747 0.555781 0.996471 0.937231

76

ภำคผนวก ค

77

แบบรปฟโบนกชและแบบจ ำลองกำรเตบโตของดอกทำนตะวน สำยพนธอะควอรำ 6

มฮมหมดอาลาว บก1,* และ ภาขวญ รยาพนธ2

1,2ภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอร คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยสงขลานครนทร วทยาเขตปตตาน

1Rawee_512@hotmail.com, 2Pakwan.r@psu.ac.th

บทคดยอ

งานวจยฉบบนมวตถประสงคเพอศกษาความสมพนธระหวางจานวนฟโบนกชกบจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงของเมลดดอกทานตะวนและจานวนกลบของดอกทานตะวน ดวยวธการนบจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดของดอกทานตะวนในทศทวนเขมและตามเขมนาฬกาและนบจานวนกลบของดอกทานตะวน

นอกจากนผวจยไดศกษาการเตบโตของดอกทานตะวนโดยการเกบขอมลความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนและใชแบบจาลองการเตบโตดวยฟงกชนลกษณะคลายตว S หาผลเฉลยทวไปและผลเฉลยวธเชงตวเลขแบบไปขางหนาของแบบจาลองดงกลาว พรอมทงเปรยบเทยบผลเฉลยกบขอมลจรง

Mathematics Subject Classification: 11B39, 91B62 ค ำส ำคญ: แบบรปฟโบนกช แบบจาลองการเตบโต ดอกทานตะวน เสนเวยนกนหอย

1 บทน ำ เปนเวลามากกวาสรอยปมาแลวทนกวทยาศาสตรสนใจแบบรป (pattern) ทเกดขนในพช โดยศกษาการจดเรยงของฟลลา (phylla) ไดแก ดอกยอย ใบ เมลด สะเกด เปนตน ซงการจดเรยงดงกลาวเรยกวา ฟลโลแทกซส (phyllotaxis) แบบรปทเกดขนในการจดเรยงดงกลาวสวนใหญจะเปนแบบรปเสนเวยนกนหอย (spiral) การจดเรยงแบบรปเสนเวยนกนหอยจะมสองทศทาง คอ ทศตามเขมและทศทวนเขมนาฬกา [5, 8, 9, 11]

(ก) (ข) (ค)

รปท 1 ตวอยางแบบรปฟโบนกชทพบในธรรมชาต (ก) สบปะรด (ข) ดอกทานตะวน (ค) ลกสน ทมำ : [1]

* Corresponding author

78

สาหรบจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงสวนประกอบตางๆ ของพชทสามารถเหนไดบอย เชน จานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงตาสบปะรด จานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดของดอกทานตะวน จานวนเสนเวยนกนหอยบนลกสน ดงรปท 1 ซงจานวนเหลานนเปนจานวนหนงในลาดบฟโบนกช จานวนฟโบนกชสามารถเขยนอยในรปท วไปไดเปน

1 1n n nF F F สาหรบ 2n เมอ 1 2 1F F ซงแตละพจนเกดจากนาผลรวมสองพจนกอนหนาและสามารถ

เขยนเปนลาดบดงน {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …} เรยกแบบรปทเปนจานวนในลาดบฟโบนกชวา แบบรปฟโบนกช [5, 8, 9, 11]

งานวจยฉบบนสวนแรกสนใจแบบรปทเกดขนบนดอกทานตะวน ซงดอกทานตะวนมลกษณะดอกเปนแบบชอดอก (inflorescence) ทมดอกยอย (florets) เรยงบนฐานรองดอกทแผกวางและไมมกานดอกยอย(head) อกทงมการอดตวแนนของดอกยอยหลายรอยดอกทดเหมอนเปนดอกเดยว [2] นอกจากนการเตบโตของดอกทานตะวนมดวยกน 2 สถานะ คอ สถานะแรก เปนการสรางดอกทปลายยอดและเรมมการขยายตวของฐานดอกดงรปท 2 (ก) สถานะทสอง เปนการสรางเมลดโดยมการสรางจากภายนอกสดของดอกทานตะวนเขาสจดศนยกลางของดอกทานตะวน [11] ซงในกระบวนการนมการขยายตวของเมลดและฐานของดอกทานตะวนดงรปท 2 (ข)

ในป ค.ศ. 2002 Carrillo และ Gonzalez [6] ศกษาแบบจาลองทสามารถอธบายการเตบโตของพชและการเตบโตของสงมชวตดวยฟงกชนการเตบโตในลกษณะตางๆ รวมทงไดทดสอบประสทธภาพของแบบจาลอง 2 วธ คอ mean absolute percent error และ root mean square percent error และพบวาการสมเลอกคาพารามเตอรทเกดจากการหาผลเฉลยของแบบจาลองจะงายกวา แตการตรวจสอบความผดพลาดดงกลาวนนไมสามารถบอกระดบความเชอมนของขอมลได

ตอมาในป 2009 Chuai-Aree [7] ศกษาแบบจาลองการเตบโตของลาตนของพชสองแบบ คอ แบบฟงกชนเลขยกกาลง (exponential function) และแบบฟงกชนลกษณะคลายตว S (sigmoid function) สาหรบฟงกชนเลขยกกาลงจะอยใน

รป dy

kydt เมอ y คอ คาของการเตบโตและ k คอ อตราการเตบโต ซงฟงกชนดงกลาวเปนฟงกชนทเพมขนอยางไม

สนสด อกทงไมสามารถอธบายขอมลท t เพราะทาใหคาของขอมลเพมขนอยางรวดเรว อกฟงกชนหนงเปนฟงกชน

(ก)

(ข)

รปท 2 การเตบโตของดอกทานตะวนในระยะทมองเหนดอกไดชดเจน (ก) สถานะแรก (ข) สถานะทสอง ทมำ : ภาพถายโดยผวจย

79

ลกษณะคลายตว S เขยนอยในรป 1dy y

ydt u

เมอ y คอ คาของการเตบโตและ ,u คอ พารามเตอรของ

ฟงกชนการเตบโต กลาวคอ ในชวงแรกการเตบโตมการเพมเหมอนกบฟงกชนเลขยกกาลงและเมอถงจดหนงคาของการเตบโตจะคงตว นอกจากนเขาไดแนะนาแบบจาลองสาหรบการพยากรณการเตบโตในรปฟงกชนลกษณะคลายตว S ซงสามารถพยากรณกบการเตบโตทกสวนของตนไม แมจะมระยะเวลาทยาวนาน

ในงานวจยฉบบนอกสวนหนงผวจยศกษาการเตบโตของดอกทานตะวนโดยการวดความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนและใชแบบจาลองฟงกชนการเตบโตทเปนฟงกชนลกษณะคลายตว S เพออธบายการเตบโตของดอกทานตะวน อกทงทดสอบประสทธภาพของแบบจาลองดวยวธกาลงสองนอยสด (least square method) [10]

2 วตถประสงค 1. ศกษาความสมพนธระหวางจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดของดอกทานตะวนสายพนธอะควอรา 6

กบจานวนฟโบนกชและความสมพนธระหวางจานวนกลบของดอกทานตะวนในแตละชนสายพนธอะควอรา 6 กบจานวนฟโบนกช

2. ศกษาและเกบขอมลการเตบโตของดอกทานตะวนโดยวดความยาวเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนสายพนธอะควอรา 6 และใชแบบจาลองการเตบโตของดอกทานตะวนดวยฟงกชนลกษณะคลายตว S พรอมทงหาผลเฉลยของแบบจาลองดงกลาวและเปรยบเทยบกบขอมลจรงของความยาวเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวน

3 วธด ำเนนกำรวจย

ในการวจยน ไดปลกตนทานตะวนสายพนธอะควอรา 6 ซงเปนสายพนธผลตนามนดอกทานตะวน จานวน 85 ตนโดยแยกออกเปน 2 สวน คอ สวนนบกลบดอกทานตะวน 45 ตนและสวนการประมาณการเตบโตของดอกทานตะวน 40 ตน

1. นบจานวนกลบดอกของทานตะวนในแตละชนซงแตละดอกมจานวนกลบดอก 5 ชน ดงรปท 3 ในการพจารณากลบดอกแตละชนใหสงเกตกลบดอกทวางไมซอนทบกนหรออาจจะวางซอนทบกนเพยงเลกนอย

2. นบจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงของเมลดบนดอกทานตะวนในทศทวนเขมและตามเขมนาฬกา ดงรปท 4

3. เกบขอมลจากการวดความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนตงแตระยะทเรมเหนดอกทานตะวนชดเจน (ตงแตวนท 46 ถง วนท 110 ของการปลก) มรายละเอยดดงน

รปท 3 กลบดอกและกลบเลยงของดอกทานตะวน (ก) กลบดอกชนท 1 (ข) กลบดอกชนท 2 (ค) กลบดอกชนท 3 (ง) กลบดอกชนท 4 (จ) กลบดอกชนท 5 ทมำ : ภาพถายโดยผวจย

80

3.1 กาหนดกลมตวอยาง 3.1.1 กาหนดจานวนดอกทานตะวนทจะสมวดความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนโดยการสมอยางงาย (simple random sampling) [4] ดงสตรตอไปน

2 2

2 2 2

NZ SnNe Z S

(4)

เมอ n คอ จานวนดอกทานตะวนทสม N คอ จานวนดอกทานตะวนทงหมด e คอ คาความผดพลาดของการวดความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวน

2S คอ ความแปรปรวน Z คอ ระดบความเชอมน

ในการกาหนดคา 2S คอ ความแปรปรวนของความยาวของเสนผานศนยกลางทหาไดจาก pilot survey ซงคานวณโดย

2 2

1

1( )

1

N

ii

s x xN

เมอ N คอ จานวนของขอมล

ix คอ ขอมลตวท i

x คอ คาเฉลยของขอมลทงหมด ดงนน จากการสารวจรอบแรกจะไดคา 2 0.228867s

3.1.2 พจารณาระดบความเชอมนท 95% นนคอ 1.96Z และกาหนดความผดพลาดของความยาวเสนผานศนยกลางเปน 0.5 เซนตเมตร ( 0.5e ) ซงจานวนดอกทานตะวนทงหมดเปน 40 ตน ( 40N ) แลวนามาแทนใน (4) จะได

2

2 2

40(1.96) (0.228867)

40(0.5) (1.96) (0.228867)n

3.2326 นนคอ จะตองใชขนาดตวอยางของดอกทานตะวนทจะวดความยาวของเสนผานศนยกลางของแตละวน

อยางนอย 4 ตน

(ก) (ข)

รปท 4 ทศของแบบรปเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดของดอกทานตะวน (ก) เสนทบแสดงทศตามเขม นาฬกา (ข) เสนประแสดงทศทวนเขมนาฬกา ทมำ : ภาพถายโดยผวจย

81

3.2 วดความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนตงแตระยะทเรมเหนดอกทานตะวนชดเจน (ตงแตวนท 46 ถง วนท 110 ของการปลก) 3.2.1 วดความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนในแตละตนจานวน 4 ครงดงรปท 5 แลวนามาหาคาเฉลยของการวดทง 4 ครง จะไดความยาวของเสนผานศนยกลางเฉลยของดอกทานตะวนตนนน

3.2.2 นาคาเฉลยของความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนในแตละตนมาหาคาเฉลยจะไดความยาวของเสนผานศนยกลางเฉลยในวนนน ๆ ทาแบบนตงแตวนท 46 จนถงวนท 110 ของการปลก

4. พยากรณการเตบโตของดอกทานตะวนโดยใชฟงกชนการเตบโตในรป

1dy y

ydt u

(1)

เมอ dy

dt คอ อตราการเปลยนแปลงของความยาวของเสนผานศนยกลางขนอยกบเวลา (วน)

….. คอ อตราการเตบโต y คอ ความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวน (เซนตเมตร)

u คอ ความยาวสงสดของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวน (เซนตเมตร)

ผลเฉลยทวไปของ (1) คอ

1 t

uy

e

เมอ คอ คาคงท (2)

และจาก (1) สามารถหาผลเฉลยโดยวธเชงตวเลข (numerical solution) ของการประมาณการไปขางหนา (forward solution) โดยกาหนดให

1t ty ydy

dt t

(3)

นา (3) แทนใน (1) จะไดวา ผลเฉลยดวยวธเชงตวเลขแบบไปขางหนา (Forward numerical method) คอ

1 (1 )tt t t

yy y t y

u

เมอ ty คอ ความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวน ณ วนท t (เซนตเมตร)

1t

y

คอ ความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวน ณ วนท t+1 (เซนตเมตร)

(ก) (ข) (ค) (ง)

รปท 5 ทศทางการวดความยาวของเสนผาศนยกลางของดอกทานตะวนในแตละดอก ทมำ : ภาพถายโดยผวจย

82

u คอ ความยาวสงสดของความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวน(เซนตเมตร) คอ อตราการเตบโตของดอกทานตะวน t คอ อตราการเปลยนแปลงของเวลา (วน)

จาก (2) มคาพารามเตอร 2 ตว นนคอ และ ซงคา เปนอตราการเตบโตของดอกทานตะวนทมผลตอผลเฉลยโดยวธเชงตวเลขและผลเฉลยทวไป สาหรบ เปนคาคงตวใดๆ ทมผลตอผลเฉลยทวไปเทานน นอกจากนการเลอกคา และ ทใหความแมนยาของแบบจาลองสง (ความแมนยา ( 2R ) มากกวา 0.95 หรอ ระดบความเชอมนมากกวา 95%) โดยทดสอบความแมนยาของแบบจาลองดวยวธกาลงสองนอยทสด (Least square method) [10] นนคอ

2 1

1

ˆ1

n

i iin

ii

y yR

y y

เมอ 2R คอ ประสทธภาพของแบบจาลองการเตบโตของดอกทานตะวน

iy คอ ขอมลความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนทเกบในวนท i ˆ

iy คอ ขอมลความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนทเกดจากการ ประมาณดวยแบบจาลองในวนท i y คอ คาเฉลยความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนทเกบในวนท i

4 ผลกำรวจย ในหวขอนจะเสนอผลการวจย 3 สวนดงน

1. ผลการนบจานวนกลบดอกในแตละชนของดอกทานตะวนจานวน 45 ตน 2. ผลการนบจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดบนดอกทานตะวนจานวน 45 ตน 3. ผลการวดความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนตงแตวนท 46 ถงวนท 110 ของการปลก และผล

การพยากรณความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนตงแตวนท 46 ถงวนท 110 โดยใชแบบจาลองการเตบโตและวธการเชงตวเลขแบบไปขางหนา

4.1 ผลกำรนบจ ำนวนกลบดอกในแตละชนของดอกทำนตะวน ผลการนบจานวนกลบของดอกทานตะวนในแตละชนมรายละเอยด ดงน ชนท 1 จานวนกลบทนอยทสดและมากทสดเปน 8 กลบและ 13 กลบ ตามลาดบ นอกจากนจานวนกลบทมจานวนตนมากทสดเปน 13 กลบ สาหรบชนท 2 จานวนกลบทนอยทสดและมากทสดเปน 8 กลบและ 15 กลบ ตามลาดบ นอกจากนจานวนกลบทมจานวนตนมากทสดเปน 13 กลบ สาหรบชนท 3 จานวนกลบทนอยทสดและมากทสดเปน 8 กลบและ 22 กลบ ตามลาดบ ซงมการกระจายจานวนกลบเพมขน นอกจากนจานวนกลบทมจานวนตนมากทสดเปน 21 กลบ สาหรบจานวนกลบชนท 4 และ 5 สามารถสงเกตจากตารางท 1 จะเหนไดวา จานวนกลบในแตละชนทมความถมากทสดเปน 13, 13, 21, 34 และ 55 ตามลาดบ ซงจานวนดงกลาวเปนจานวนชดหนงในลาดบฟโบนกช ดงตารางท 1 และตารางท 2

83

ตำรำงท 1 จานวนกลบของดอกทานตะวนชนท 1 – 3 จ ำนวนกลบดอก 8 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

ชนท 1 (ตน) 1 2 4 38 - - - - - - - - - ชนท 2 (ตน) 1 2 5 35 1 1 - - - - - - - ชนท 3 (ตน) 1 - 1 4 - 3 1 3 2 3 4 22 1

ตำรำงท 2 จานวนกลบของดอกทานตะวนชนท 4 – 5 จ ำนวนกลบดอก 25 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 39 40 41 42

ชนท 4 (ตน) 1 4 1 1 3 4 3 15 3 5 1 1 3 - - จ ำนวนกลบดอก 38 39 40 42 43 44 45 47 48 49 50 51 52 53 55

ชนท 5 (ตน) 1 2 3 1 1 4 2 5 2 2 4 1 1 4 12

4.2 ผลกำรนบจ ำนวนเสนเวยนกนหอยของกำรจดเรยงเมลดบนดอกทำนตะวนจ ำนวน 45 ตน ผลการนบจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดมรายละเอยดดงน จานวนนอยสดของจานวนเสนเวยนกน

หอยและจานวนมากสดของจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดในทศตามเขมนาฬกาเปน 55 เสนและ 89 เสน ตามลาดบ นอกจากนจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดในทศตามเขมนาฬกาทม 55 เสนมทงหมด 23 ตน มจานวนเสนเวยนกนหอยในทศตามเขมนาฬกา 76 เสนมทงหมด 1 ตนและจานวนเสนเวยนกนหอยในทศตามเขมนาฬกา 89 เสนมทงหมด 21 ตน สาหรบจานวนนอยสดของจานวนเสนเวยนกนหอยและจานวนมากสดของจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดในทศทวนเขมนาฬกาเปน 55 เสนและ 144 เสน ตามลาดบ อกทงจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดในทศตามเขมนาฬกาม 55 เสนมทงหมด 14 ตน จานวนเสนเวยนกนหอยในทศทวนเขมนาฬกา 89 เสนมทงหมด 23 ตน จานวนเสนเวยนกนหอยในทศทวนเขมนาฬกา 123 เสนมทงหมด 1 ตนและจานวนเสนเวยนกนหอยในทศทวนเขมนาฬกา 144

เสนมทงหมด 7 ตน หากเขยนเปนคอนดบ ,m n เมอ m คอ จานวนเสนเวยนกนหอยในทศตามเขมนาฬกาและ n คอ

จานวนเสนเวยนกนหอยในทศทวนเขมนาฬกา จะไดวา คอนดบจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลด (55, 89) มทงหมด 23 ตน คอนดบจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลด (76, 123) มทงหมด 1 ตน คอนดบจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลด (89, 144) มทงหมด 7 ตน และคอนดบจานวนเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลด (89, 55) ม

ทงหมด 14 ตน จะเหนไดวา จานวนเสนเวยนกนหอยในแตละทศทางและคอนดบ ,m n เปนจานวนชดหนงในลาดบฟโบนก

ช ดงตารางท 3 และตารางท 4 ตำรำงท 3 จานวนเสนเวยนกนหอยในแตละทศทาง

ตำรำงท 4 คอนดบเสนเวยนกนหอยของการจดเรยงเมลดของดอกทานตะวน

จ ำนวนเสนเวยนกนหอย 55 76 89 123 144 ทศตามเขมนาฬกา (ตน) 23 1 21 - - ทศทวนเขมนาฬกา (ตน) 14 - 23 1 7

คอนดบเสนเวยนกนหอย (55, 89) (76, 123) (89, 144) (89, 55) จานวนตน 23 1 7 14

84

4.3 ผลกำรวดควำมยำวของเสนผำนศนยกลำงของดอกทำนตะวนตงแตวนท 46 ถงวนท 110 ของกำรปลก การพยากรณการเตบโตของดอกทานตะวนจะหาผลเฉลยแบบดวยวธเชงตวเลขและผลเฉลยแมนตรง โดยการเลอกคา

0.1445 , 2.84, 1 1 และ 18.65u สงผลใหคา 2 0.98998R และ 2 0.988546R ของผลเฉลยดวย

วธเชงตวเลขและผลเฉลยแมนตรงตามลาดบ แลวนาผลเฉลยมาเปรยบเทยบกบคาจรงดงรปท 6 และตารางท 5

5 อภปรำยผล

การเกบขอมลจานวนกลบของดอกทานตะวนในแตละชน จานวนเสนเวยนกนหอยในแตละทศทางและคอนดบเสนเวยนกนหอยสามารถสรปไดวา จานวนกลบของดอกทานตะวนในแตละชน จานวนเสนเวยนกนหอยในแตละทศทางและคอนดบเสนเวยนกนหอยทมจานวนตนมากทสดเปนจานวนชดหนงของลาดบฟโบนกช

สาหรบการประมาณการเตบโตของความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนดวยผลเฉลยแบบวธเชงตวเลขทเลอกคา 0.1445 และสงผลใหคา 2 0.98998R นนคอ มระดบความเชอมน 98.998% สงเกตไดวา คาความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนเรมเจรญเตบโตชาลงตงแตวนท 65-89 และเรมคงตวตงแตวนท 90

นอกจากนการประมาณการเตบโตของความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนดวยผลเฉลยแมนตรงเลอกคา 0.1445 และ 2.84, 2.84 สงผลใหคา 2 0.988546R นนคอ มระดบความเชอมน 98.8546% สงเกตไดวา คาความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนเรมเจรญเตบโตชาลงตงแตวนท 65-89 และเรมคงทตงแตวนท 90 สาหรบขอมลจรงความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวนเรมคงตวตงแตวนท 73 เปนตนไป ดงนนแบบจาลองการพยากรณการเตบโตของดอกทานตะวนสายพนธอะควอรา 6 สามารถเขยนอยในรปแบบผลเฉลยเชงตวเลขและผลเฉลยแมนตรงตามลาดบ คอ

1 10.1445 1 ; 5.618.65

tt t t

yy y y y

0.1445 45

18.65; 46

1 2.84 ty t t

e

รปท 6 กราฟการเจรญของดอกทานตะวน เมอคา 0.1445 , 2.84, t 1 และ 18.65u

4

6

8

10

12

14

16

18

20

45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115

เสนผ

ำศนย

กลำง

(เซน

ตเมต

ร)

จ ำนวนวนกำรเพำะปลก (วน)

ผลเฉลยแมนตรง

เสนผานศนยกลางจรง

ผลเฉลยดวยวธเชงตวเลข

85

ตำรำงท 5 ความยาวของเสนผานศนยกลางของดอกทานตะวน

วธเชงตวเลข (ซม.)

ผลเฉลยทวไป (ซม.)

ขอมลจรง (ซม.)

วนท

วธเชงตวเลข (ซม.)

ผลเฉลยทวไป (ซม.)

ขอมลจรง (ซม.)

วนท

วธเชงตวเลข (ซม.)

ผลเฉลยทวไป (ซม.)

ขอมลจรง (ซม.)

วนท

วธเชงตวเลข (ซม.)

ผลเฉลยทวไป (ซม.)

ขอมลจรง (ซม.)

วนท

วธเชงตวเลข (ซม.)

ผลเฉลยทวไป (ซม.)

ขอมลจรง (ซม.)

วนท

18.625

18.634

18.65

98

18.488

18.531

18.65

85

17.638

17.785

18.5

72

13.558

13.77

13.8

59

5.393

5.6

5.6

46

18.628

18.637

18.65

99

18.51

18.548

18.65

86

17.767

17.904

18.55

73

14.075

14.29

14.575

60

5.964

6.166

6.175

47

18.631

18.638

18.65

100

18.528

18.563

18.65

87

17.881

18.008

18.65

74

14.555

14.773

14.825

61

6.565

6.763

6.575

48

18.634

18.64

18.65

101

18.545

18.575

18.65

88

17.981

18.097

18.65

75

14.998

15.217

15.225

62

7.192

7.386

7.2

49

18.636

18.642

18.65

102

18.559

18.586

18.65

89

18.068

18.175

18.65

76

15.404

15.622

15.525

63

7.84

8.03

7.875

50

18.638

18.643

18.65

103

18.571

18.595

18.65

90

18.144

18.242

18.65

77

15.773

15.988

15.95

64

8.503

8.691

8.3

51

18.64

18.644

18.65

104

18.582

18.603

18.65

91

18.211

18.299

18.65

78

16.108

16.318

16.35

65

9.174

9.361

8.55

52

18.641

18.645

18.65

105

18.591

18.61

18.65

92

18.269

18.349

18.65

79

16.409

16.613

16.925

66

9.848

10.035

8.95

53

18.642

18.646

18.65

106

18.599

18.616

18.65

93

18.319

18.392

18.65

80

16.678

16.875

17.425

67

10.515

10.705

9.325

54

18.643

18.646

18.65

107

18.606

18.621

18.65

94

18.363

18.429

18.65

81

16.919

17.107

17.8

68

11.171

11.364

10.475

55

18.644

18.647

18.65

108

18.612

18.625

18.65

95

18.401

18.46

18.65

82

17.133

17.312

17.95

69

11.808

12.006

11.4

56

18.645

18.647

18.65

109

18.617

18.628

18.65

96

18.434

18.487

18.65

83

17.323

17.491

18.225

70

12.421

12.624

12.388

57

18.646

18.648

18.65

110

18.621

18.632

18.65

97

18.463

18.511

18.65

84

17.49

17.648

18.4

71

13.006

13.213

13.2

58

86

กตตกรรมประกำศ

ขอขอบคณอาจารย ดร.สมพร ชวยอารย ทคอยแนะนาการทดลองและขอบคณทนสนบสนนวจยของบณฑตวทยาลยของมหาวทยาลยสงขลานครนทรและทนจากศนยความเปนเลศดานคณตศาสตรทคอยสนบสนนงบประมาณเพอการวจย และขอขอบคณคณาจารยภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอรทคอยใหคาแนะนาและอานวยสถานทในการวเคราะหขอมล อกทงขอขอบคณคณาจารยแผนกวชาเทคโนโลยการเกษตรทอนเคราะหสถานทเพอการเพาะปลกตนทานตะวน

6 บรรณำนกรม [1] พรรณไมไทย. 1999. ฟโบนกชกบธรรมชาต. สบคนจาก:http://www.panmai.com/Tip/Tip14/

Tip14.shtml. [17 มถนายน2558] [2] ลลล กาวตะ. 2546. การเปลยนแปลงทางสณฐานและพฒนาการของพช , สานกพมพมหาวทยาลยเกษตรศาสตร

กรงเทพมหานคร, หนา 163-174. [3] สาเรง ชนรงสกล. 2555. สมการเชงอนพนธ, สานกพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย, กรงเทพมหานครฯ, หนา 11 -72

[4] สเมธ สมภกด. 2550. ทฤษฎการเลอกตวอยาง, สานกพมพประกายพรก, กรงเทพมหานคร, หนา 18 – 94. [5] Alan, C. and Patrick, D. 2005. Plants and Fibonacci. Journal of Statistical Physics. 121,

937-967

[6] Carrillo, M. and Gonzalez, J. 2002. A New Approach to Modelling Sigmoidal Curves. Technological Forecasting and Social Change. 69, 233-241. [7] Chuai-Aree, S. 2009. Modeling, Simulation and Visualization of Plant Growth. Ph.D. Thesis, Ruprecht-

Karls Universit¨at Heidelberg.

[8] Jay, K. 2004. Growth in Plants: A Study in Number. Forma. 19, 335 – 354.

[9] Jean, R.V. 1994. Phyllotaxis A Systemic Study in Plant Morphogenesis, the Press Syndicate of the

University of Cambridge, New York, U.S.A., pp. 9-48.

[10] Julian, J. 2005. Texts in Statistical Science Linear Models with R, Chapman&Hall/Crc, New York, U.S.A.,

pp. 11-24.

[11] Pennybacker, M. 2013. A Numerical Study of Pattern Forming Fronts in Phyllotaxis. Ph.D. Thesis,

University of Arizona.

87

ประวตผเขยน

ชอ สกล นายมฮมหมดอาลาว บก

รหสประจ ำนกศกษำ 5620320703

วฒกำรศกษำ

วฒ ชอสถำบน ปทส ำเรจกำรศกษำ

วทยาศาสตรบณฑต มหาวทยาลยทกษณ 2554

(คณตศาสตร)

ทนกำรศกษำ (ทไดรบในระหวำงเรยน)

- ทนสนบสนนการวจยของบณฑตวทยาลย

- ทนจากศนยความเปนเลศดานคณตศาสตร

- ทนสนบสนนคาธรรมเนยมการศกษาระดบบณฑตศกษาปรญญาโท

Proceeding

มฮมหมดอาลาว บก และ ภาขวญ รยาพนธ. 2559. แบบรปฟโบนกชและแบบจาลองการเตบโตของ

ดอกทานตะวนสายพนธอะควอรา-6. การประชมวชาการทางคณตศาสตรประจาป 2559 (ครงท 21)

และการประชมวชาการคณตศาสตรบรสทธและประยกตประจาป 2559. อาคารมหามกฏ

จฬาลงกรณมหาวทยาลย, กรงเทพมหานครฯ, 23 – 25 พฤษภาคม 2559, 187-196.