ทฤษฎีจำนวน - udon thani rajabhat...

ทฤษฎจำนวน

Number Theory

วลลภ เหมวงษ

มหาวทยาลยราชภฏอดรธาน2556

ทฤษฎจำนวนNumber Theoryผศ.ดร. วลลภ เหมวงษ

สาขาวชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยราชภฏอดรธาน

พมพครงท 1 จำนวน 200 เลม พฤษภาคม 2556

(สงวนลขสทธ)

ISBN XXX-XXX-XXXX-XX-X

ราคา 80 บาท


ทฤษฎจำนวน / วลลภ เหมวงษ

อดรธาน : xxxxxการพมพ, 2556. 194 หนา.

1. ทฤษฎกราฟเบองตน 2. หลกการคณตศาสตร

QA371

ตดตอสงซอไดท สำนกงานคณะวทยาศาสตร

มหาวทยาลยราชภฏอดรธาน

โทรศพท/โทรสาร 0-4234-1615

ทฤษฎจำนวนNumber Theory


ปร.ด. (คณตศาสตร)

คณะวทยาศาสตรมหาวทยาลยราชภฏอดรธาน

2556

คำนำ

ตำราทฤษฎจำนวนเลมน นอกจากจะใชเปนเอกสารเพอศกษาหาความรของนกศกษา

และผสนใจทวไปแลว ยงสามารถใชเปนเอกสารในการเรยนการสอนในรายวชาทฤษฎจำนวน

ตามหลกสตรวทยาศาสตรบณฑต สาขาวชาคณตศาสตร มเนอหาแบงเปนบทนำ กลาวถงพฒนา

การของจำนวนเตม การสรางสรรคผลงานของนกคณตศาสตร และประโยชนของทฤษฎจำนวน

บทท 1 เปนความรพนฐาน กลาวถงสมบตทสำคญของจำนวนเตม หลกการจดอนดบด ผลบวก

และผลคณ และหลกอปนยเชงคณตศาสตร บทท 2 ไดกลาวถง การหารลงตว ขนตอนวธการ

หาร ขนตอนวธแบบยคลด และจำนวนเฉพาะ ในบทท 3 เปนเรองฟงกชนเกยวกบการหารลง

ตว มฟงกชนเลขคณตและฟงกชนอน อาท ฟงกชน τ ฟงกชน σ ฟงกชน φ ฟงกชนเมอบอส

และฟงกชนจำนวนเตมมากสด สวนบทท 4 กลาวถง สมภาค สวนตกคางและระบบลดทอน

วธรอนดวย 9 และ 11 รวมถงสมภาคเชงเสน บทท 5 เปนเรองของทฤษฎบททสำคญในทฤษฎ

จำนวนและรจกกนทวไป คอ ทฤษฎบทของวลสน ทฤษฎบทของแฟรมาต และทฤษฎบทของ

ออยเลอร บทท 6 เปนเรองราวของสมการไดโอแฟนไทน ซงแยกกลาวเปนสมการเชงเสนดกร

หนง สมการปทาโกรส ทฤษฎบทสดทายของแฟรมาต และสมการของเพลล สวนบทท 7

กลาวถง สมภาคกำลงสอง สวนตกคางกำลงสอง สญลกษณเลอชองดร และสญลกษณจาโคบ

และในภาคผนวก ไดกลาวถงจำนวนทมรปแบบเฉพาะทควรรและการหาจำนวนเฉพาะทใหญ

ขนพรอมกบการตรวจสอบ

ผเขยนหวงวาเอกสารน จะอำนวยประโยชนแกนกศกษา และคร อาจารย ตลอดจนผ

ทสนใจไดเปนอยางด ขอขอบคณคณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยราชภฏอดรธาน ทสนบสนน

การพมพ และคณาจารย คณะกรรมการสาขาวชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลย

ราชภฏอดรธาน ทใหกำลงใจ


2556

สารบญ

หนา

คำนำ ก

สารบญ ค

สารบญภาพ จ

บทนำ 1

บทท 1 ความรเบองตน 11

1.1 สมบตสำคญของจำนวนเตม 11

1.2 หลกการจดอนดบด 14

1.3 ผลบวกและผลคณ 15

1.4 หลกอปนยเชงคณตศาสตร 20

บทท 2 การหารลงตวและจำนวนเฉพาะ 25

2.1 การหารลงตว 25

2.2 ขนตอนวธการหาร 30

2.3 ขนตอนวธแบบยคลด 37

2.4 จำนวนเฉพาะ 41

บทท 3 ฟงกชนในทฤษฎจำนวน 49

3.1 ฟงกชน τ 49

3.2 ฟงกชน σ 52

3.3 ฟงกชน φ ออยเลอร 55

3.4 ฟงกชนเมอบอส 60

3.5 ฟงกชนจำนวนเตมคามากสด 67

บทท 4 สมภาค 75

4.1 สมภาค 75

4.2 สวนตกคางและระบบลดทอน 83

4.3 วธรอนดวย 9 และ 11 89

4.4 สมภาคเชงเสน 93

บทท 5 ทฤษฎบทสมภาคสำคญ 103

5.1 ทฤษฎบทของวลสน 103

5.2 ทฤษฎบทของแฟรมาต 107

5.3 จำนวนเฉพาะเทยม 110

5.4 ทฤษฎบทของออยเลอร 113

บทท 6 สมการไดโอแฟนไทน 117

6.1 สมการไดโอแฟนไทนเชงเสน 117

6.2 ชดสามจำนวนของปทาโกรส 123

6.3 ทฤษฎบทสดทายของแฟรมาต 130

6.4 สมการของเพลล 132

บทท 7 ทฤษฎสวนตกคางกำลงสอง 141

7.1 สมภาคกำลงสอง 141

7.2 สวนตกคางกำลงสอง 147

7.3 สญลกษณเลอชองดร 151

7.4 สญลกษณจาโคบ 161

ภาคผนวก 169

จำนวนทมรปแบบเฉพาะ 171

คาของฟงกชนเลขคณต 177

สญลกษณ 179

ผลเฉลยแบบฝกหด 181

บรรณานกรม 189

ดชน 191

สารบญภาพ

หนา

ภาพท 1.1: การคนพบจำนวนนบของมนษยและนำมาใชงาน 1

ภาพท 1.2: ปทาโกรส "บดาแหงตวเลข" 2

ภาพท 1.3: ยคลดแหงอเลกซานเดรย ผมผลงานชด the elements 3

ภาพท 1.4: เอราโตสเทเนส ผคดวธการหาจำนวนเฉพาะ 3

ภาพท 1.5: ไดโอแฟนตส ผใหกำเนดสมการไดโอแฟนไทน 4

ภาพท 1.6: ฟโบนกช ผใหกำเนดลำดบฟโบนกช 4

ภาพท 1.7: ปแยร เดอ แฟรมา "บดาแหงทฤษฎจำนวนสมยใหม" 5

ภาพท 1.8: เลออนฮารด ออยเลอร ผคดคนฟงกชนฟออยเลอร 5

ภาพท 1.9: คารล ฟรดรช เกาส ผไดพฒนาแนวคดเกยวกบสมภาค 6

ภาพท 1.10: ศรนวาสะ รามานจน ผศกษาคณตศาสตรดวยตนเอง 6

ภาพท 1.11: เออดอส นกคณตศาสตร ผประมาณจำนวนของจำนวนเฉพาะได 7

ภาพท 1.12: ผลงานของชาวบาบโลนและมายน 8

ภาพท 1.13: จเลยส ซซาร แมทพกองทพโรมน 8

ภาพท 1.14: เครองเขารหสลบ อนกมา ของเยอรมน 9

ภาพท 1.15: การเขารหสและการถอดรหส 9

ภาพท 1.16: รหสบตร ATM หรอบตรเครดตเกยวของทฤษฎจำนวน 10

บทนำ

ทฤษฎจำนวนเปนแขนงหนงของคณตศาสตรทเกาแกทสด เปนวชาทศกษาเกยวกบ

สมบตของจำนวนเตม จากหลกฐานเทาทปรากฏ มนษยไดเรมใชจำนวนในชวตประจำวนมา

ตงแตสมยกอนครสตศกราช ดวยเพราะ ชวตประจำวนของมนษย มความจำเปนตองใชการนบ

เพอชวยบนทกจดจำขอมล ดงนนจำนวนชดแรกทมนษยคนพบและนำมาใชงานจงเปน จำนวน

นบ หรอ จำนวนธรรมชาต (natural number)

ภาพท 1.1: การคนพบจำนวนนบของมนษยและนำมาใชงาน

ทฤษฎจำนวนในฐานะทฤษฎทางคณตศาสตรเปนศาสตรสาขาแรก ๆ ทมนษยเลอก

ทจะ ศกษาเพอพฒนาความคด สตปญญาและนำไปประยกต นอกจากนยงตอบสนองตอหลก

ปรชญา ความเชอ โหราศาสตร หรอแมแตพธกรรมศกดสทธ ชาวกรกไดศกษาจำนวนเตมเมอ

ประมาณ 600 ปกอนครสตศกราชในแงมมตางๆ ดงท ปทาโกรส เกดทเมองซามอส (Samos)

ประเทศกรซ (Greece) เปนนกคณตศาสตรและนกปราชญ ไดชอวาเปน"บดาแหงตวเลข" เปน

นกทฤษฎจำนวนยคแรก ผกอตงสำนกปทาโกเรยน ศกษาดานปรชญา ทฤษฎจำนวน เรขาคณต

ดนตร และดาราศาสตร มอทธพลดานการเมองและ การแสวงหาความรใหม โดยถอวาผลงาน

ของสมาชกเปนผลงานของสำนก

2 ทฤษฎจำนวน

ภาพท 1.2: ปทาโกรส "บดาแหงตวเลข"

ตวอยางผลงาน เชน ทฤษฎบทปทาโกรส

การคนพบจำนวนอตรรยะ สมบตของจำนวนบาง

ประเภท จำนวนเชงรปภาพ เปนตน ปทาโกรส

มความเชอและสงสอนศษยวา “ทกสรรพสงแทน

ไดดวย จำนวน” (All is number) (คำวา

จำนวน หมายถง จำนวนตรรกยะบวกและศนย

เทานน)

ในการศกษาจำนวนในสมยของปทาโกรส

ไดนำความมหศจรรยของจำนวนไปผกพนกบความ

เชอโชคลาง โหราศาสตรและราศ เชน จำนวนเชงมตร (amicable numbers) คแรกทเชอวาพบ

ในสมยนน คอ 220 กบ 284 มสมบตพเศษคอ ผลบวกของตวหารแทของจำนวนหนงเทากบ

อกจำนวนหนง นนคอ ตวหารแทของ 220 ไดแก 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 และ 110

มผลบวกเปน 284 ตวหารแทของ 284 ไดแก 1, 2, 4, 71 และ 142 มผลบวกเปน 220

โดยผทเชอเรองโชคลางจะจารกตวเลขลงในเครองราง ของขลงโดยเชอวาคนคใดหอยของขลง

ทจารกตวเลขดงกลาวจะเปนมตรแทตอกน ตอมากมการคนพบจำนวนเชงมตรเพมขนและใน

ปจจบนโดยการใชคอมพวเตอรในการคนหาจำนวนเชงมตร เมอป ค.ศ.2004 พบวามทงหมด

6, 262, 871 ค หรออกตวอยางหนงเกยวกบความเชอในความ มหศจรรยของจำนวน คอ

จำนวนสมบรณ (perfect number) เปนเปนจำนวนทมสมบตพเศษคอ ผลบวกของตวหารแท

ทงหมดของจำนวนนนเทากบจำนวนนน เชน 6 เปนจำนวนสมบรณ เพราะวา ม 1, 2 และ 3

เปนตวหารแทของ 6 ซง 1 + 2 + 3 = 6

ดวยความงายในการเขาถงปญหาและความงดงามของการแกปญหาดานทฤษฎจำนวน

จงทำใหเกดการสานตองานของศาสตรสาขานเปนไปอยางตอเนอง โดยตอมาประมาณ 300 ป

กอนครสตศกราช ยคลด (Euclid) นกคณตศาสตรชาวกรก เกดทเมองอเลกซานเดรย ประเทศ

อยปตเปนศาสตราจารยและหวหนาภาควชาคณตศาสตรคนแรกทมหาวทยาลยอเลกซานเดรย

ซงเปนมหาวทยาลยแหงแรกของโลก ไดศกษาเกยวกบทฤษฎจำนวน โดยมการเขยนหนงสอ

ตพมพซงเปนการรวบรวมผลงานการศกษาของนกคณตศาสตรในอดต และรวมสงทตนเองได

ศกษาคนควาในชดหนงสอ the elements จำนวน 13 เลม ซงจำนวน 3 เลม ทมเนอหาเกยว

ของกบทฤษฎจำนวน คอ เลม 7 กลาวถง จำนวนค จำนวนค จำนวนเฉพาะ จำนวนประกอบ


บทนำ 3

จำนวนสมบรณ ขนตอนวธแบบยคลด สวนเลม 8 กลาวถง สดสวนตอเนอง และความสมพนธ

ของสดสวนตอเนองกบเรขาคณต และเลม 9 กลาวถง ทฤษฎบททพสจนวาจำนวนเฉพาะม

เปนอนนต

ภาพท 1.3: ยคลดแหงอเลกซานเดรย

ผมผลงานชด the elements

องคความรดานทฤษฎจำนวนทยคลดได

รวบรวมในยคนน ทง 3 เลมโดยเฉพาะ จำนวน

เตมค จำนวนเตมค จำนวนเฉพาะ ขนตอนวธแบบ

ยคลด ตวหารรวมมาก ตวคณรวมนอย ยงคง

เปนทฤษฎบทสำคญทจำเปนตองเรยนร และนำ

ไปใชในงานคณตศาสตรในปจจบน

หลงยคของยคลด ทฤษฎจำนวนไดพฒนาไปอยางตอเนองพรอมกบการพฒนาการของ

คณตศาสตรสาขาอนๆ ดวยการตอยอดองคความรของนกทฤษฎจำนวนหลายทาน อาท

ภาพท 1.4: เอราโตสเทเนส

ผคดวธการหาจำนวนเฉพาะ

เอราโตสเทเนส แหงไซรน

(Eratosthenes of Cyrene, 276− 194 ป

กอน ป ค.ศ.) นกคณตศาสตร ชาวกรกและ

ปราชญบรรณารกษแหงหองสมดอะเลกซานเดรย

ผคดวธการหาจำนวนเฉพาะจากจำนวนนบ

ตงแต 1 ถง n ดวยวธการตดจำนวนนบท

ไมเปนจำนวนเฉพาะทง

เรยกวา "ตะแกรงของเอราโตสเทเนส"

(The Sieve of Eratosthenes)

สาขาวชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร


ภาพท 1.5: ไดโอแฟนตส

ผใหกำเนดสมการไดโอแฟนไทน

ไดโอแฟนตส แหงอะเลกซานเดรย

(Diophantus of Alexandria, ค.ศ. 200− 284)

เปนชาวกรก ไดตพมพหนงสอจำนวน 13 เลม และ

สามารถแกสมการทางพชคณตทมตวแปรไมทราบคา

สองตวแปรหรอสามตวแปรทมสมประสทธเปนจำนวน

เตมได โดยมผลเฉลยเปนจำนวนเตม ซงเรยกสมการ

เหลานวา สมการไดโอแฟนไทน (Diophantine

equation) เพอใหเปนเกยรตแกไดโอแฟนตส

เชน x2 + y2 = z2 เปนตน

ภาพท 1.6: ฟโบนกช

ผใหกำเนดลำดบฟโบนกช

เลโอนารโด ฟโบนกช

(Leonardo F ibonacci, ค.ศ. 1170− 1250 ) หรอ

เลโอนารโดแหงปชา เปนนกคณตศาสตรชาวอตาล

มชอเสยงโดงดงทสดจากการคนพบลำดบฟโบนกช

ซงนบเปนลำดบมหศจรรยทสอดประสานไดลงตวกบ

ปรากฏการณตาง ๆ ทางธรรมชาตและมบทบาทใน

การเผยแพรการเขยนและวธการคำนวณระบบจำนวน

ฐานสบทใหคาตามหลกแบบอาราบก (Arabic

positional decimal system) ทใชกน

ในปจจบน หลายคนยกยองวาเขาเปนนกคณตศาสตร

ทเกงทสดในยคกลาง


บทนำ 5

ภาพท 1.7: ปแยร เดอ แฟรมา

"บดาแหงทฤษฎจำนวนสมยใหม"

ศตวรรษท 16 ปแยร เดอ แฟรมา

(Pierre de Fermat, ค.ศ. 1601− 1665)

นกคณตศาสตรชาวฝรงเศส ซงเปนขนนาง

ราชสำนก ไดรบการยกยองใหเปนบดาแหง

ทฤษฎจำนวนสมยใหม แฟรมาไดศกษาและ

พฒนาผลงานตอจากไดโอแฟนตส เพมเตมอก

ทำใหคนพบสมบตของจำนวนเตมมากมาย

เชน ทฤษฎทสำคญเรยกวา ทฤษฎบทสดทาย

ของแฟรมา (Fermats last theorem) ใน

ป ค.ศ. 1637 ไดเขยนเปนบทสรปในบนทก

สวนตววา ไดคนพบบทพสจนของทฤษฎบท

ทวา xn + yn = zn ไมมผลเฉลย x, y และ z ทเปนจำนวนเตมบวก สำหรบทก ๆ

จำนวนเตมบวก n > 3 แตกไมไดแสดงบทพสจนไว โดยแสดงการพสจนเพยงวา n = 4

เปนจรง

ภาพท 1.8: เลออนฮารด ออยเลอร

ผคดคนฟงกชนฟออยเลอร

ผานยคของแฟรมาไมนานนก ในศตวรรษ

ท 17 เลออนฮารด ออยเลอร (Loenhard

Euler, ค.ศ.1707− 1783) นกคณตศาสตรชาว

สวตเซอรแลนด ไดพสจนวาทฤษฎบทสดทายของ

แฟรมา กรณ n = 3 เปนจรง แตการพสจนยงม

สวนบกพรอง ซงตอมานกคณตศาสตรไดแกไขให

ถกตองสมบรณ และออยเลอรไดคดคนฟงกชน

เกยวกบ จำนวนของจำนวนเตมบวกทนอยกวา

หรอเทากบ n และเปนจำนวนเฉพาะสมพทธกบ

n เรยกวา ฟงกชนฟออยเลอร (φ-Euler

function) ออยเลอรมผลงานคณตศาสตร

ในหลากหลายสาขาและสามารถยดองคความร

ทหลากหลายนนเขาไวดวยกน



ภาพท 1.9: คารล ฟรดรช เกาส

ผไดพฒนาแนวคดเกยวกบสมภาค

คารล ฟรดรช เกาส (Carl Friedrich

Gauss, ค.ศ. 1777− 1855) เกดทเมองบรนสวก

ประเทศเยอรมน มฉายาวา เจาชายแหงวงการคณต

ศาสตร ผพฒนาแนวคดของสมภาค (congruence)

ซงตพมพในหนงสอ Disquisitiones Arithmeticae

เมอ ค.ศ. 1801 เกยวกบเลขคณตมอดลาร (modular

arithmetic) ทเปนระบบจำนวนภายใตการหารแบบ

เหลอเศษ หรอสมภาค (congruence) และบทพสจน

แรกของทฤษฎ สวนกลบกำลงสอง (quadratic

reciprocity) ซงในปจจบนมบทพสจนทแตกตางกน

แตเกาสเปนคนแรกทพสจนทฤษฎบทนในป ค.ศ. 1796

ภาพท 1.10: ศรนวาสะ รามานจน

ผศกษาคณตศาสตรดวยตนเอง

ศรนวาสะ ไอเยนการ รามานจน

(Srinivasa Aiyangar Ramanujan,

ค.ศ. 1887− 1920) เกดทเมองอโรด ทางใตของ

ประเทศอนเดย นกคณตศาสตรผศกษา

คณตศาสตรดวยตนเอง อจฉรยะจากชมพทวป

มชอเสยงมากในการสงเกตรปแบบทนาสนใจของ

ตวเลข โดยเฉพาะวธทตวเลขหนงๆ สามารถเขยน

ในรปผลรวมของตวเลขอนทมคานอยกวา ซงใน

ทางคณตศาสตรเรยกวา Partition รามานจน

มผลงานทางทฤษฎจำนวน มากมาย


บทนำ 7

ภาพท 1.11: เออดอส นกคณตศาสตร

ผประมาณจำนวนของจำนวนเฉพาะได

เออดอส (Paul Erdos, ค.ศ. 1913− 1996)

เกดในเมองบดาเปสต ประเทศฮงการ รจกจำนวนลบ

(Negative number) ตงแตอาย 4 ขวบ

ตอนประถม คดกาลงสองของเลขสหลกในใจได

เมอมธยมไดแสดงวธพสจนสมการของปทาโกรส

a2 + b2 = c2 ไดถง 37 วธ และเมอศกษาใน

มหาวทยาลยขณะอาย 17 ป วงการคณตศาสตร

ตองตะลง เมอเออดอสพสจนทฤษฎบทของ เชบบเชฟ

(Chebyshev) ทวา ถาจานวนเตมสองจานวนและ

จานวนหนงมคาเปนสองเทาของอกจานวนหนงแลว

ระหวางสองจานวนนนจะมจำนวนเฉพาะ

(prime number) อยางนอยหนงจานวนเสมอ

อาท ระหวาง 7 กบ 14 จะมจำนวนเฉพาะอยาง

นอย 1 จำนวน ซงคอ 11 และ 13 เออดอสเปนนกคณตศาสตรผใหบทพสจนทสวยงามของ

ทฤษฎบทจำนวนเฉพาะ ทชวยใหสามารถทราบจำนวนโดยประมาณของจำนวนเฉพาะในขอบ

เขตทกำหนด นอกจากน เออดอส ยงไดผลตผลงานวจยทางคณตศาสตรไวกวา 1, 500 เรอง

ซงถอวาจำนวนมากเปนอนดบตน ๆ ของนกคณตศาสตรทงโลกตงแตอดตถงปจจบน

ความอยากรของนกคณตศาสตรและการตอบสนองการมคณภาพทดขนในปจจบน

ของมนษย ทำใหมการสรางสรรคพฒนาองคความรทางทฤษฎจำนวนซงนกคณตศาสตร

ถอวาเปนรากฐานทสำคญยงทจะนำไปสการศกษาคณตศาสตรสมยใหมหลายแขนง อาท

ทฤษฎเกม ทฤษฎรหส การศกษาทฤษฎจำนวนทำใหเรามองเหนววฒนาการเกยวกบความ

พยายามของมนษยทจะตอบปญหาตาง ๆ ทไมมผตอบไดในอดต อาท จำนวนเฉพาะตวท 10

คอ 29 จำนวนเฉพาะตวท 100 คอ 541 หรอ จำนวนเฉพาะตวท 664, 999 คอ 10, 006, 721

แลวจำนวนเฉพาะตวท n คอจำนวนใด ซง รปแบบทวไปในการหาจำนวนเฉพาะตวท n ยง

ไมเปนททราบกน เมอหลายศตวรรษมาแลวเชอกนวา ถา n เปนจำนวนเตมบวกแลว

n2+n+41 เปนจำนวนเฉพาะ ซงรปแบบนเปนจรงสำหรบ n = 1, 2, 3, . . . , 39 หรอ

มรปแบบ n2−79n+1601 ทใหจำนวนเฉพาะทตดตอกนถง 80 จำนวน ดงนน จำนวนเฉพาะ

เปนจำนวนทมหศจรรยทสดในทฤษฎจำนวน เปนจำนวนสากลทไมขนอยกบระบบการนบใน



ฐานใด ไมวาจะเปนชาวบาบโลนทนบเลขฐาน 60 หรอชาวมายนทนบเลขฐาน 20 ตลอดจน

คอมพวเตอรทนบเลขฐาน 2 จำนวนเฉพาะกยงคงเปนจำนวนเฉพาะของทกชนเผา

ภาพท 1.12: ผลงานของชาวบาบโลนและมายน

ภาพท 1.13: จเลยส ซซาร แมทพกองทพ

โรมน

ความตองการในการสอสารขอความทเปนความลบและจำกดวงของผรบสาร

เรมพฒนาขน ตงแตมนษยมความสมพนธทางสงคมทซบซอนขนและรหสลบถกนำมาใช

เพอสนองตอบตอ ความตองการดงกลาว จเลยส

ซซาร (Julius Caesar, 100−44 ปกอน ค.ศ.)

รฐบรษโรมนไดนำกองทพทยงใหญเคลอนทพไป

ทางทศตะวนตกเฉยงเหนอ เขารกรานเกาะเลก ๆ

เกาะหนง ซงในปจจบนรจกกนในนาม เกาะองกฤษ

สงครามในครงนนมหลกฐานบนทกวา จเลยส ซซาร

ไดใชรหสลบในการตดตอสอสารกบกองทพและทหาร

ระหวางสงครามโลกครงทสอง กองทพฝายอกษะของเยอรมนไดสรางเครองเขา

รหสลบ ทรจกกนในชอวา อนกมา (Enigma) ตอมาภายหลงความลบของเครองน ไดถก

เปดเผยโดยการใชความพยายามอยางมากของฝายสมพนธมตร การเปดเผยความลบน ทำให

ภาวะสงครามโลกครงทสองไดยตลงไดเรวขน ซงทฤษฎจำนวนไดเกยวของกบการเขารหสและ

การถอดของเครองจกรน แมทฤษฎรหสถกนำไปใชในงานทเกยวของกบสงคราม แตตอมา

แนวคดนไดถกนำมาใชในงานดานรกษาความลบและความปลอดภย ดงเชน ในปจจบน


บทนำ 9

การเงนการธนาคารไดนำทฤษฎจำนวนและทฤษฎรหสมาใชโดยการนำสมบตเฉพาะของ

จำนวนเฉพาะมาสรางเพอเปนรหสลบ RSA (Rivest− Shamir − Adelma code)

ภาพท 1.14: เครองเขารหสลบ อนกมา ของเยอรมน

รหสลบ RSA เปนแนวคดจากการนำจำนวนเฉพาะทมคามากสองจำนวนมาคณกน

ทำใหผลลพธมคามาก และเนองจากสมบตของจำนวนเฉพาะและปรมาณของจำนวนเฉพาะ

ทมมากมายเปนอนนต ดงนนผทไมไดเปนผกำหนดจำนวนเฉพาะทงสอง ยอมเปนเรองยาก

มากทจะสบคนยอนกลบเพอใหไดวาจำนวนเฉพาะสองจำนวนทคณกนซงไดผลลพธดงกลาวนน

คอจำนวนใด เราไดใชงานรหส RSA โดยไมรตว เพราะในการกำหนดและไขความลบทแสดง

ตวตนของเจาของบตร ATM หรอบตรเครดต ตาง ๆ ตองใชความรดานทฤษฎจำนวนทงสน

ภาพท 1.15: การเขารหสและการถอดรหส



ภาพท 1.16: รหสบตร ATM หรอบตรเครดตเกยวของทฤษฎจำนวน


บทท 1

ความรเบองตน

ทฤษฎจำนวน (number theory) เปนเรองการศกษาเกยวกบสมบตของจำนวนเตม

เหตผลการศกษา ประการแรก จำนวนเตมโดยเฉพาะจำนวนนบ มคณคาและมความสำคญใน

ทางประวตศาสตร ประการทสอง จำนวนนบไดเปนตวแบบใหเกดระบบจำนวนจรง ประการ

ทสาม มความสวยงาม สนก และนาตนเตน และประการสดทาย มขอปญหา ขอคาดการณ

อกมากมายเกยวกบจำนวนเตมททาทายความสามารถนกคณตศาสตรและผทสนใจทวไป ไดม

นกคณตศาสตรทานหนงชอ เกาส (Carl Friedrich Gauss, ป ค.ศ. 1777-1855) ไดแสดง

ใหเหนถงความสำคญของทฤษฎจำนวน โดยทานกลาวไววา " คณตศาสตรเปนราชนแหงวทยา

ศาสตร และทฤษฎจำนวนเปนราชนแหงคณตศาสตร "

เซตของจำนวนเตมเปนเซตอนดบ (ordered set) สอดคลองกบสจพจนการจดอนดบด

(well-ordering axiom) ซงเกยวของกบการอปนย (induction) และ ขนตอนวธการหาร

(division algorithm) และเราจะศกษาทฤษฎจำนวน โดยเรมจากสมบตพนฐานของจำนวน

เตม โดยไมขอพสจน ซงตอไปจะใชสญลกษณ N, Z, Q และ R แทน เซตของจำนวนนบหรอ

จำนวนเตมบวก(positive integers) จำนวนเตม (integers) จำนวนตรรกยะ (rational

numbers) และจำนวนจรง (real numbers) ตามลำดบ และเปนททราบกนวา N ⊂ Z ⊂

Q ⊂ R

1.1 สมบตสำคญของจำนวนเตม

เซตของจำนวนเตม (Z) กบการบวก(+)และการคณ(·) เปนรง (ring) นนคอ มสมบต

การปด การเปลยนหม การมเอกลกษณ การมตวผกผน และการแจกแจง ตอไปนเปนตวอยาง

การใชสมบตดงกลาว

ตวอยางท 1.1.1 ถา a ∈ Z จงพสจนวา 0 · a = 0

วธทำ 0 · a = (0 + 0) · a (การมเอกลกษณการบวก)

= 0 · a+ 0 · a (การแจกแจง)

−(0 · a) + 0 · a = −(0 · a) + (0 · a+ 0 · a) (การบวกดวยจำนวนเดยวกน)

−(0 · a) + 0 · a = (−(0 · a) + 0 · a) + 0 · a (การเปลยนหมการบวก)

0 = 0 + 0 · a (การมตวผกผนการบวก)

0 = 0 · a (การมเอกลกษณการบวก) �

เพอความสะดวกตอไปเราจะเขยน ab แทน a · b

ตวอยางท 1.1.2 ถา a ∈ Z จงพสจนวา −a = (−1)a

วธทำ เนองจากตวผกผนของ a (คอ −a) ซงนำมาบวกกบ a แลวไดเอกลกษณการบวก

(คอ 0) ดงนนเราพจาณา

(−1)a+ a = (−1)a+ 1a (การมเอกลกษณการคณ)

= (−1 + 1)a (การแจกแจง)

= 0a (การมตวผกผนการบวก)

= 0 (ตวอยางท 1.1.1)

นนคอ −a = (−1)a �

เนองจาก Z เปนเซตอนดบ ดงนน สำหรบ a, b ∈ Z จะกำหนดให a > b หมายถง

a − b เปนจำนวนเตมบวก และถา a a รวมทง a ≥ b และ a ≤ b

จะกำหนดความหมายไดทำนองเดยวกน

ตวอยางท 1.1.3 จงพสจนวา ถา a, b ∈ Z และ a > 0, b < 0 แลว ab < 0

วธทำ ให a > 0, b < 0 เนองจาก b < 0 ดงนน 0 − b = −b เปนจำนวนเตมบวก

และเนองจาก a > 0 และจากสมบตปดของการคณ ดงนน a(−b) เปนจำนวนเตมบวก

แตเนองจาก a(−b) = −(ab) ดงนน −(ab) เปนจำนวนเตมบวก

จะไดวา 0− (ab) = −(ab) เปนจำนวนเตมบวก

นนคอ 0 > ab �

นอกจากสมบตทกลาวมาแลวขางตน จำนวนเตมยงมสมบตอนทสำคญ (important

properties of integers) พอสรปไดดงตอไปน

(1) ถา a และ b ∈ Z แลว a+ b และ ab ∈ Z (closure property)

(2) ถา a ∈ Z แลว ไมมจำนวน x ∈ Z ซง a < x < a+ 1

(3) ถา a, b ∈ Z และ ab = 1 แลว a = b = 1 หรอ a = b = −1 อยางใดอยางหนง

(4) สำหรบ m,n ∈ N, a, b ∈ R จะไดวา

(4.1) (am)n = amn

(4.2) (ab)n = anbn

(4.3) aman = am+n

สมบตเหลานเปนจรงสำหรบ m,n ∈ Z และ a, b /∈ {0} ดวย

(5) สำหรบ a, b, c ∈ R

(5.1) ถา a ≤ b และ b ≤ c แลว a ≤ c (transitivity)

(5.2) ถา a ≤ b แลว a+ c ≤ b+ c

(5.3) ถา a ≤ b และ 0 ≤ c แลว ac ≤ bc

(5.4) ถา a ≤ b และ c < 0 แลว bc ≤ ac

(5.5) a = b หรอ a b อยางใดอยางหนงเทานน (trichonomy)

นอกจากน Z ยงมโครงสรางทางพชคณตเปนอนทกรลโดเมน (integral domain)

กลาวคอ ถา a, b ∈ Z และ ab = 0 แลว a = 0 หรอ b = 0

แบบฝกหด 1.1

ให a, b และ c เปนจำนวนเตมใด ๆ ขอความตอไปน จรงหรอเทจ เพราะเหตใด

(1) ถา ab = ac แลว b = c

(2) ถา ab < ac แลว b < c

(3) ถา a 0 แลว a2 > 0

(8) ถา a เปนจำนวนคแลว a2 เปนจำนวนค

(9) ถา ab = 0 แลว a = 0 และ b = 0

(10) สำหรบ k,m, n ∈ N, a, b ∈ R ขอความตอไปน จรงหรอเทจ เพราะเหตใด

(10.1) kmn

= nmk

(10.2) (a+ b)n = an + bn

(10.3) am + an = am+n

(10.4) amn = aman

1.2 หลกการจดอนดบด

หลกการจดอนดบด (well-ordering principle) มบทบาทสำคญทใชในการพสจน

ในบทตอ ๆ ไป จงขอกลาวไวในหวขอนพรอมกบตวอยาง ดงน

ทก ๆ เซตยอยทไมเปนเซตวางของ N จะมสมาชกคานอยสดหนงสมาชก

นนคอ ถา S ⊆ N แลว จะมจำนวนนบ a ∈ S ซง a ≤ b สำหรบแตละ b ∈ S

ตวอยางท 1.2.1 {5, 3, 16, 7, 12} มสมาชกคานอยสดคอ 3 และสมาชกในเซตสามารถ

เรยงอนดบไดเปน 3, 5, 7, 12, 16 �

ตวอยางตอไปนเปนการนำหลกการจดอนดบดไปใช

ตวอยางท 1.2.2 จงพสจนวา ไมมจำนวนเตมบวกระหวาง 0 และ 1

พสจน สมมตวา มจำนวนเตมบวก a ระหวาง 0 และ 1 ให S = {n ∈ N | 0 < n < 1}

เนองจาก 0 < a < 1 และ a ∈ S ดงนน S = ∅ จากหลกการจดอนดบด จะไดวา S

มสมาชกคานอยสด ใหเปน b ซง 0 < b < 1 แลว 0 < b2 < b ดงนน b2 ∈ S แต b2 < b

ทำใหเกดขอขดแยงกบทวา b เปนสมาชกคานอยสดใน S นนคอ ไมมจำนวนเตมบวกระหวาง

0 และ 1 �

ตวอยางท 1.2.3 (Archimedean property) ถา a, b เปนจำนวนเตมบวกใด ๆ แลว

จะมจำนวนเตมบวก n ซง na ≥ b

พสจน พสจนโดยการขดแยง สมมตวา สำหรบบาง a, b ∈ N ซง na < b สำหรบแตละ

n ∈ N จะไดวา

S = {b− na | n ∈ N} = ∅

จากหลกการจดอนดบด S จะมสมาชกคานอยสด ใหเปน b −ma และเนองจากรปแบบของ

สมาชกใน S ทำใหไดวา b− (m+ 1)a ∈ S ดวย ดงนน

b− (m+ 1)a = (b−ma)− a < b−ma

ซงเกดขอขดแยง นนคอ ถา a, b ∈ N แลว na ≥ b สำหรบบาง n ∈ N �


(1) พจารณาวา เซตตอไปนมหลกการจดอนดบด หรอไม ถาไมม จงอธบาย

(1.1) เซตของจำนวนเตมลบ

(1.2) เซตของจำนวนเตม

(1.3) {n ∈ N | n ≥ 5}

(1.4) {n ∈ Z | n ≥ −3}

(2) ให S เปนเซตของจำนวนเตมทไมเปนลบซงไมเปนเซตวาง จงพสจนวา S มสมาชกคานอยสด

(เสนอแนะ: แยกเปน 2 กรณคอ 0 ∈ S และ 0 /∈ S)

(3) ให a ∈ Z จงพสจนวา ไมมจำนวนเตมระหวาง a และ a+ 1

1.3 ผลบวกและผลคณ

เราใชสญลกษณ ∑ (อานวา ซกมา ) แทน ผลบวก (summation) ซง โจเซฟ

หลยส ลากรางจ (Joseph Louis Lagrange) นกคณตศาสตรชาวฝรงเศสใชมาตงแตป 1772

โดยกำหนดดงนn

∑

i=k

ai = ak + ak+1 + . . .+ an

เรยก i วา ดชนผลบวก (index summation)

ตวอยางท 1.3.1

(1)2

∑

i=−1

i(i− 1) = (−1)(−1− 1) + 0(0− 1) + 1(1− 1) + 2(2− 1) = 4

(2)4

∑

j=−2

j2 = (−2)2 + (−1)2 + 02 + 12 + 22 + 32 + 42 = 35 �

สมบตของผลบวกทสำคญมดงน

ทฤษฎบท 1.3.1 ให n ∈ N และ c ∈ R และ a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn เปนลำดบ

จะไดวา

(1)n

∑

i=1

c = nc

(2)n

∑

i=1

(cai) = c(n

∑

i=1

ai)

(3)n

∑

i=1

(ai + bi) =n

∑

i=1

ai +n

∑

i=1

bi


∑

j=−1

[(5j)3 − 2j] =2

∑

j=−1

(5j)3 − 2(2

∑

j=−1

j)

= 125[2

∑

j=−1

(j)3]− 22

∑

j=−1

j

= 125[(−1)3 + 03 + 13 + 23]− 2(−1 + 0 + 1 + 2)

= 996

�


(1) ให I = {0, 1, 3, 5}∑

i∈I

(2i+ 1) = (2 · 0 + 1) + (2 · 1 + 1) + (2 · 3 + 1) + (2 · 5 + 1) = 22

(2) ให I = {1, 2, 3, 4}

∑

i<j

(2i+ 3j) = (2 · 1 + 3 · 2) + (2 · 1 + 3 · 3) + (2 · 1 + 3 · 4) +

(2 · 2 + 3 · 3) + (2 · 2 + 3 · 4) + (2 · 3 + 3 · 4)

= 80

�


ตวอยางท 1.3.4 จงหาคา∑

d≥1d|6

d เมอ d | 6 แทน d หาร 6 ลงตว

วธทำ

∑

d≥1d|6

d = ผลบวกของ d ∈ N ซง d หาร 6 ลงตว

= 1 + 2 + 3 + 6

= 12

�

ตวอยางท 1.3.5 จงหาคา1

∑

i=−1

2∑

j=0

(2i+ 3j)

วธทำ

1∑

i=−1

2∑

j=0

(2i+ 3j) =1

∑

i=−1

(2

∑

j=0

(2i+ 3j))

=1

∑

i=−1

((2i+ 3 · 0) + (2i+ 3 · 1) + (2i+ 3 · 2))

=1

∑

i=−1

(6i+ 9)

= (6 · (−1) + 9) + (6 · 0 + 9) + (6 · 1 + 9)

= 27

�

ตอไปเรากลาวถงสญลกษณ ∏ (อานวา โพรดกท ) แทน ผลคณ (product)

โดยกำหนดดงนn∏

i=k

ai = akak+1 . . . an

ตวอยางท 1.3.64∏

i=1

3 = (3)(3)(3)(3) = 81


ตวอยางท 1.3.7 ฟงกชนแฟกทอเรยล (factorial function) f(n) = n! ซงกำหนดโดย

f(n) = n! = n · (n− 1) · . . . · 2 · 1 เมอ 0! = 1

=n∏

i=1

i

�

ตวอยางท 1.3.8 จงหาคา4∏

j=2

(j2 − 3)

วธทำ4∏

j=2

(j2 − 3) = (22 − 3)(32 − 3)(42 − 3)

= 1 · 6 · 13

= 78

�

ตวอยางท 1.3.9 จงหาคา∏

i,j∈Ii<j

(i+ j) เมอ I = {2, 3, 5, 7} ลงตว

วธทำ

∏

i,j∈Ii<j

(i+ j) = (2 + 3)(2 + 5)(2 + 7)(3 + 5)(3 + 7)(5 + 7)

= 5 · 7 · 9 · 8 · 10 · 12

= 302, 400

�

ทฤษฎบท 1.3.2 ให n ∈ N และ c ∈ R และ a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn เปนลำดบ

จะไดวา

(1)n∏

i=1

c = cn

(2)n∏

i=1

(aibi) = (n∏

i=1

ai)(n∏

i=1

bi)


(3)n∏

i=1

aki = (n∏

i=1

ai)k

ตวอยางท 1.3.10n∏

i=1

(cai)2 =

n∏

i=1

c2a2i = (n∏

i=1

c2)(n∏

i=1

ai) = c2n(n∏

i=1

ai)2


(1) จงเขยนผลบวกตอไปนใหอยในรปของ ∑

(1.1) 31 + 32 + . . .+ 310

(1.2) 1 · 2 + 2 · 3 + . . .+ 11 · 12

(1.3) 1(1 + 2) + 2(2 + 2) + . . .+ 5(5 + 2)

(2) จงหาคา

(2.1)4

∑

n=0

(3n− 2)

(2.2)3

∑

k=−2

3(k2)

(2.3)3

∑

i=1

2∑

j=1

(i2 − j + 1)

(2.4)5

∑

i=1

6∑

j=1

(2i+ 3j)

(2.5)3∏

i=0

(i+ 1)

(2.6)5∏

j=3

(j2 + 1)

(3) ขอความตอไปน จรงหรอเทจ

(3.1)n

∑

i=m

i =n

∑

i=m

(n+m− i)

(3.2)n

∑

i=m

xi =n

∑

i=m

x(n+m−i)

(4) ให n ∈ {2, 3, 5, 7} และ I = {1, 2, 3} จงหาคา

(4.1)∑

n≤10

n

(4.2)∑

d≥1d|12

d


(4.3)∏

n≤10

n

(4.4)∏

i,j∈Ii<j

(i+ 2j)

1.4 หลกอปนยเชงคณตศาสตร

หลกอปนยเชงคณตศาสตร (mathematical induction principle) ไดนำมาใชใน

การพสจน ซงปรากฏในหนงสอของ ออกสต เดอ มอกอง (Augustus DeMogan) เมอป

ค.ศ. 1875 และตอไปนเปนทฤษฎบทสำคญของหลกอปนย

ทฤษฎบท 1.4.1 ให S ⊆ N ซง

(1) 1 ∈ S

(2) สำหรบแตละ k ∈ N ถา k ∈ S แลว k + 1 ∈ S

จะไดวา S = N

ทฤษฎบท 1.4.2 สามารถขยายได เปนทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท 1.4.2 ให n0 ∈ Z และ S ⊆ N ซง

(1) n0 ∈ S

(2) สำหรบแตละ k ≥ n0 ถา k ∈ S แลว k + 1 ∈ S

จะไดวา n ∈ S สำหรบแตละ n ∈ Z ท n ≥ n0

ทฤษฎบทตอไปนเปนหลกอปนยแบบออน (weak induction principle)

ทฤษฎบท 1.4.3 (the principle of mathematical induction)

ให P (n) แทนขอความทมตวแปร n และ n ∈ Z โดยท

(1) P (n0) เปนจรง สำหรบบาง n0 ∈ Z

(2) สำหรบแตละ k ∈ Z ซง k ≥ n0 ถา P (k) เปนจรงแลว P (k + 1) เปนจรง


จะไดวา P (n) เปนจรง สำหรบแตละ n ∈ Z ท n ≥ n0

ในทฤษฎบท 1.4.3 จะเหนวา เงอนไข (1) P (n) เปนจรง เมอ n = n0

สำหรบเงอนไข (2): สำหรบแตละ k ∈ Z ซง k ≥ n0 ถา P (n) เปนจรงแลว มนจะเปนจรง

สำหรบ n = k + 1 ดวย ดงนน จากเงอนไข (2) ทำใหไดวา P (n0 + 1), P (n0 + 2), . . .

เปนจรง นนคอ P (n) เปนจรง สำหรบแตละ n ≥ n0

ตวอยางท 1.4.1 จงพสจนวา 1+ 2+ 3+ . . .+n =n(n+ 1)

2สำหรบแตละจำนวนเตม

บวก n

พสจน โดยใชหลกอปนยเชงคณตศาสตร ดงน

ให P (n) แทน 1 + 2 + 3 + . . .+ n =n(n+ 1)

2

นนคอ P (n) แทนn

∑

i=1

i =n(n+ 1)

2

ถา n = 1 แลว 1 =1 · (1 + 1)

2= 1 ดงนน P (1) เปนจรง (นนคอ เมอ n0 = 1)

สมมตวา P (k) เปนจรง [ จะแสดงวา P (k + 1) เปนจรง ]

จะไดวาk

∑

i=1

i =k(k + 1)

2

พจารณาk

∑

i=1

i+ (k + 1) =k(k + 1)

2+ (k + 1)

นนคอk+1∑

i=1

i =(k + 1)(k + 2)

2[ ∵

k+1∑

i=1

xi =k

∑

i=1

xi + xk+1]

ดงนน ถา P (k) เปนจรงแลว P (k + 1) เปนจรง

นนคอ P (n) เปนจรง สำหรบแตละจำนวนเตม n ≥ 1

หรอ P (n) เปนจรง สำหรบแตละจำนวนเตมบวก n �

ตวอยางท 1.4.2 จงพสจนวา 1+ 3+ 5+ . . .+ (2n− 1) = n2 สำหรบแตละจำนวนเตม

บวก n

พสจน โดยใชหลกอปนยเชงคณตศาสตร ดงน

ให P (n) แทน 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 1) = n2

นนคอ P (n) แทนn

∑

i=1

(2i− 1) = n2


ถา n = 1 แลว1

∑

i=1

(2i− 1) = 1 = 1 · 1 = 12 ดงนน P (1) เปนจรง

สมมตวา P (k) เปนจรง [ จะแสดงวา P (k + 1) เปนจรง ]

จะไดวาk

∑

i=1

(2i− 1) = k2

พจารณาk

∑

i=1

(2i− 1) + [2(k + 1)− 1] = k2 + [2(k + 1)− 1]

นนคอk+1∑

i=1

(2i− 1) = k2 + (2k + 1) ( จากสมมตฐานหลกอปนย)

= (k + 1)2

ดงนน ถา P (k) เปนจรงแลว P (k + 1) เปนจรง

นนคอ P (n) เปนจรง สำหรบแตละจำนวนเตมบวก n �

แตเนองจากการท P (k) เปนจรง บางครงยงไมเปนการเพยงพอทจะสรปไดวา

P (k+1) เปนจรง ดงนนเราจำเปนตองใชหลกอปนยแบบเขม (strong induction principle)

ตอไปน

ทฤษฎบท 1.4.4 (the second principle of mathematical induction)

ให P (n) แทนขอความทมตวแปร n และ n ∈ Z โดยท

(1) P (n0) เปนจรง สำหรบบาง n0 ∈ Z

(2) สำหรบแตละ k ∈ Z ซง k ≥ n0 ถา P (n0), P (n0 + 1), P (n0 + 2), . . . , P (k)

เปนจรงแลว P (k + 1) เปนจรง

จะไดวา P (n) เปนจรง สำหรบแตละ n ∈ Z ท n ≥ n0

ตวอยางท 1.4.3 (Lucas sequence) ให an ∈ N ซงกำหนดโดย a1 = 1, a2 = 3, และ

an = an−1 + an−2 สำหรบแตละ n ≥ 3 จงพสจนวา

an < (7

4)n

สำหรบแตละจำนวนเตมบวก n

พสจน ให P (n) แทน an < (7

4)n

สำหรบแตละจำนวนเตมบวก n ถา n = 1 และ n = 2

แลว a1 = 1 < (7

4)1

=7

4และ a2 = 3 < (

7

4)2

=49

16ดงนน P (1) และ P (2) เปนจรง

สมมตวา ถา n = 1, 2, . . . , k− 1 แลว P (n)เปนจรง (จะแสดงวา ท n = k ทำให

P (n)เปนจรงดวย ) จะไดวา

ak−1 < (7

4)k−1

และ ak−2 < (7

4)k−2

พจารณา

ak = ak−1 + ak−2 < (7

4)k−1

+ (7

4)k−2

= (7

4)k−2

(7

4+ 1)

= (7

4)k−2

(11

4)

< (7

4)k−2

(7

4)2

= (7

4)k

ดงนน P (1), P (2), . . . , P (k − 1) เปนจรง แลว P (k) เปนจรง

นนคอ an < (7

4)n

สำหรบแตละจำนวนเตมบวก n �


(1) จงพสจนวา 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 1) = n2 สำหรบแตละจำนวนเตม n ≥ 1

(2) จงพสจนวา 1·2+2·3+3·4+. . .+n(n+1) =n(n+ 1)(n+ 2)


n ≥ 1

(3) จงพสจนวา 1 + 2 + 22 + 23 + . . .+ 2n−1 = 2n − 1 สำหรบแตละจำนวนเตม n ≥ 1

(4) จงพสจนวา 12 + 22 + 32 + . . . + n2 =n(2n+ 1)(n+ 1)


n ≥ 1

(5) ให m,n ∈ N ขอความตอไปน จรงหรอเทจ

(5.1) (mn)! = m!n!

(5.2) (m+ n)! = m! + n!

(6) จงพสจนวา n! > n2 สำหรบแตละจำนวนเตมบวก n ≥ 4

(7) จงพสจนวา n! > n3 สำหรบแตละจำนวนเตมบวก n ≥ 6

(8) ให an ∈ N ซงกำหนดโดย a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3 และ an = an−1 + an−2 + an−3

สำหรบแตละ n ≥ 4, จงพสจนวา an < 2n สำหรบแตละจำนวนเตมบวก n

บทท 2

การหารลงตวและจำนวนเฉพาะ

บทนจะกลาวถง การหารลงตว ขนตอนวธการหาร ขนตอนวธแบบยคลด และจำนวน

เฉพาะ ดงน

2.1 การหารลงตว

การหารลงตว (divisibility) เปนพนฐานในการศกษาทฤษฎจำนวน ซงขอเรมดวย

บทนยาม ดงน

บทนยาม 2.1.1 ให a, b ∈ Z, a = 0 จะกลาววา a หาร b ลงตว กตอเมอ ม c ∈ Z ททำให

b = ac ใชสญลกษณ a | b แทน a หาร b ลงตว และใช a ∤ b แทน a หาร b ไมลงตว

เรยก a วา ตวหาร หรอ ตวประกอบของ b (divisor or factor of b) และเรยก b

วา พหคณของ a (multiple of a)

ตวอยางท 2.1.1 (1) 13 | 52 เพราะวา ม 4 ∈ Z ททำให 52 = (13)(4)

(2) −7 | 91 เพราะวา ม −13 ∈ Z ททำให 91 = (−7)(−13)

(3) 3 ∤ 20 เพราะวา ไมมจำนวนเตม k ใด ๆ ททำให 20 = 3k �

ทฤษฎบทตอไปนเปนทฤษฎบทเบองตนเกยวกบสมบตการหารลงตว (divisibility

properties)

ทฤษฎบท 2.1.1 ให a, b, c และ d ∈ Z

(1) ถา a | b แลว a | bc สำหรบ c ∈ Z ใด ๆ

(2) ถา a | b และ b | c แลว a | c (transitivity)

(3) ถา a | b และ c | d แลว ac | bd

(4) ถา a | b และ a | c แลว a | (bx+ cy) สำหรบ x, y ∈ Z ใด ๆ (linearity property)


พสจน (1) เนองจาก a | b จากบทนยาม 2.1.1 จะไดวา ม m ∈ Z ททำให b = am

ดงนน จากหวขอ ?? สมบตสำคญของจำนวนเตม จงไดวา

bc = (am)c = a(mc)

เนองจาก m ∈ Z, c ∈ Z และจากหวขอ ?? สมบตสำคญของจำนวนเตม ขอ (1) ดงนน

mc ∈ Z นนคอ a | bc

(2) เนองจาก a | b และ b | c ดงนน b = ak และ c = bh สำหรบบาง k, h ∈ Z

จะไดวา c = bh = (ak)h = a(kh) สำหรบบาง kh ∈ Z นนคอ a | c

(3) เนองจาก a | b และ c | d ดงนน b = am และ d = cn สำหรบบาง m,n ∈ Z

จะไดวา bd = (am)(cn) = (mn)(ac) สำหรบบาง mn ∈ Z นนคอ ac | bd

(4) เนองจาก a | b และ a | c ดงนน b = ar และ c = as สำหรบบาง r, s ∈ Z

จะไดวา bx = arx และ cy = asy สำหรบ x, y ∈ Z ใด ๆ แลว

bx+ cy = arx+ asy = a(rx+ sy)

โดยท rx+ sy ∈ Z นนคอ a | (bx+ cy) �

ทฤษฎบท 2.1.2 ให a, b, c และ d ∈ Z

(1) ถา a | (b+ c) และ a | b แลว a | c

(2) a | b และ b | a กตอเมอ a = ±b

(3) ถา a | b ซง a > 0 และ b > 0 แลว a ≤ b (comparison property)

(4) ถา ac | bc และ c = 0 แลว a | b (cancellation property)

พสจน (1) ให a | (b+c) และ a | b จะไดวา b+c = ak และ b = aj สำหรบบาง k, j ∈ Z

ดงนน c = ak − b = ak − aj = a(k − j) สำหรบบาง k − j ∈ Z

นนคอ a | c

(2) เนองจาก a | b และ b | a ดงนน ม s, t ∈ Z ททำให b = as และ a = bt

จะไดวา b = as = (bt)s = b(ts) ดงนน ts = 1 จากหวขอ ?? สมบตสำคญของจำนวนเตม

ขอ (3) จงไดวา t = s = 1 หรอ t = s = −1

นนคอ a = ±b

สำหรบบทกลบของทฤษฎในขอน ให a = ±b เหนไดชดวา a | b และ b | a



(4) เนองจาก ac | bc ดงนน bc = ac(t) สำหรบบาง t ∈ Z และเนองจาก c = 0

ดงนน b = at

นนคอ a | b �

หมายเหต 2.1.1 (1) a | a เพราะถา a ∈ Z แลว a = a1

a | 0 เพราะถา a ∈ Z แลว 0 = 0a

และ 1 | b เพราะถา b ∈ Z แลว b = 1b

(2) จากทฤษฎบท 2.1.2 (2) ถา a | 1 แลว a = ±1

(3) ถา a | a1, a1 | a2, . . . , an−1 | an แลว จากทฤษฎบท 2.1.1 (2) จะไดวา a | an(4) ถา a | b1, a | b2, . . . , a | bn แลว จากทฤษฎบท 2.1.1 (4) จะไดวา a |

n∑

j=1

bjxj สำหรบ

xj ∈ Z ใด ๆ

ตวอยางท 2.1.2 จงแสดงวา ถา a เปนจำนวนคแลว a2 + 2a+ 4 หารดวย 4 ลงตว

วธทำ เนองจาก a เปนจำนวนค ดงนน 2 | a

เนองจาก 2 | a และ 2 | a ดงนนจากทฤษฎบท 2.1.1 ขอ (3)

จะไดวา 4 = (2)(2) | (a)(a) = a2

เนองจาก 2 | 2 และ 2 | a ดงนนจากทฤษฎบท 2.1.1 ขอ (3)

จะไดวา 4 = (2)(2) | (2)(a)

และ จากหมายเหต 2.1.1 (1) จะไดวา 4 | 4

ดงนน 4 | (a2 + 2a+ 4) �

ตวอยางท 2.1.3 จงพสจนวา N = n(n+ 1)(2n+ 1) หารดวย 6 ลงตว สำหรบแตละ

จำนวนเตม n

พสจน เนองจาก n = 6k + r เมอ k ∈ Z และ r ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}

ถา r = 0 แลว N = 6k(6k + 1)(12k + 1)

ถา r = 1 แลว N = (6k + 1)(6k + 2)(12k + 3) = 6(6k + 1)(3k + 1)(4k + 1)

ถา r = 2 แลว N = (6k + 2)(6k + 3)(12k + 5) = 6(3k + 1)(2k + 1)(12k + 5)

ถา r = 3 แลว N = (6k + 3)(6k + 4)(12k + 7) = 6(2k + 1)(3k + 2)(12k + 7)

ถา r = 4 แลว N = (6k + 4)(6k + 5)(12k + 9) = 6(3k + 2)(6k + 5)(4k + 3)



ถา r = 5 แลว N = (6k + 5)(6k + 6)(12k + 11) = 6(6k + 5)(k + 1)(12k + 11)

และสำหรบแตละกรณจะเหนไดวา 6 | N

ดงนน 6 | N = n(n+ 1)(2n+ 1) สำหรบแตละจำนวนเตม n �

ตวอยางท 2.1.4 จงแสดงวาผลตางของจำนวนทมสองหลกสลบกนหารดวย 9 ลงตว

วธทำ ให N เปนจำนวนทมสองหลก และ P เปนจำนวนทไดจากการสลบหลกของ N

จะไดวา N = 10a+ k และ P = 10k + a เมอ a, k เปนเลขโดด

ดงนน N − P = (10a+ k)− (10k − a) เมอ a, k ∈ Z

= 9a− 9k

= 9(a− k) เมอ a− k ∈ Z

จากบทนยาม 2.1.1 จะไดวา 9 | (N − P ) �

ตวอยางท 2.1.5 หางแหงหนงมแผนกสนคาทมสนคาหลายอยางราคา 12 และ 32 บาท

เทานน ถาจะซอสนคาจากแผนกนโดยใชเงนทงหมด 100, 674 บาทพอด จะทำไดหรอไม

วธทำ ให x แทนจำนวนสนคาราคา 12 บาท

และ y แทนจำนวนสนคาราคา 32 บาท

ดงนน 12x+ 32y = 100, 674

เนองจาก 4 | 12 และ 4 | 32 ดงนน 4 | (12x+ 32y)

แต 4 ∤ 100, 674 ซงเกดขอขดแยงกบทฤษฎบท 2.1.1 (3)

นนคอ เปนไปไมไดทจะซอสนคาจากแผนกโดยใชเงนใหพอดทงหมด 100, 674 บาท �

ตวอยางท 2.1.6 จงพสจนวา 27 | (10n + 18n− 1) สำหรบแตละจำนวนนบ N

พสจน โดยการใชวธอปนยทางคณตศาสตรบน n

สำหรบ n = 1 จะไดวา 101 + 18(1)− 1 = 27 และ 27 | 27 เปนจรง

ให n = k เปนจรง นนคอ 27 | A = 10k + 18k − 1 เปนจรง

เราจะแสดงวา n = k + 1 เปนจรง (คอจะแสดงวา 27 | B = 10k+1 + 18(k + 1)− 1)

พจารณา C = B − 10A

= (10k+1 + 18k + 18− 1)− 10(10k + 18k − 1)

= (10k+1 + 18k + 17)− (10k+1 + 180k − 10)


= −162k + 27

= 27(−6k + 1)

จะไดวา B = C + 10A

เนองจาก 27 | C และ 27 | A ดงนนจากทฤษฎบท 2.1.1 (3) จะไดวา 27 | B

นนคอ 27 | (10n + 18n− 1) สำหรบแตละจำนวนนบ N �

ตวอยางขางตน ถาตวหารทมคามาก ๆ แลว เราอาจพจารณาหลายกรณ ซงเราจะได

ศกษากนตอไปในเรองของสมภาค


(1) จงหาคา x, y (ถาม) จากโจทยทกำหนด

(1.1) 16x+ 10y = −22

(1.2) 24x− 54y = 28, 010

(2) สำหรบแตละ n ∈ N จงพสจนวา

(2.1) 7 | (n7 − n)

(2.2) 9 | (4n + 15n− 1)

(3) จงแสดงวาจำนวน abcabc หารดวย 7 ลงตว เมอ a, b, c เปนเลขโดด

(4) จงพสจนวา ถา a | b และ a | c แลว a | (b± c)

(5) ถา a ∈ Z แลว จำนวนเตมบวกทหาร a และ a+ 1 ลงตวพรอมกนคอ 1 เทานน

(6) จงพสจนทฤษฎบท 2.1.2 (3)

(7) จงพสจนวา a | b กตอเมอ a | |b|

(ขอเสนอแนะ พจารณา 2 กรณคอ |b| = b ถา b ≥ 0 และ |b| = −b ถา b < 0)

(8) จงพสจนหมายเหต 2.1.1 (3) และ (4)

(9) จงพสจนวา n(n2 + 5) หารดวย 6 ลงตว สำหรบแตละจำนวนเตม n

(10) จงพสจนวา ผลคณของจำนวนเตมสองจำนวนทอยตดกน หารดวย 2 ลงตว

2.2 ขนตอนวธการหาร

ทฤษฎบทตอไปนแสดงใหเหนวา เราสามารถหาเศษเหลอทเปนจำนวนบวกจากการหาร

ของจำนวนเตมไดเสมอ

ทฤษฎบท 2.2.1 (division algorithm) ให a, b ∈ Z, a > 0 แลวจะม q, r ∈ Z

เพยงคเดยวเทานนททำให

b = aq + r โดยท 0 ≤ r < a

เรยก q วา ผลหาร (quotient) และเรยก r วา เศษ (remainder)

พสจน ตอนแรก จะพสจนวา ม q, r ∈ Z ททำให b = aq + r โดยท 0 ≤ r < a ดงน ให

S = {b− ax | x ∈ Z และ b− ax ≥ 0}

เนองจาก a > 0 จะไดวา ba ≥ b แสดงวา b− (−b)a ≥ b+ b ≥ 0

ดงนน S = ∅ ทำใหไดวา ม s ∈ S โดยท s = 0 หรอ s > 0

ถา s = 0 จะไดวา ม q ∈ Z ททำให s = b− aq

นนคอ b = aq + s เมอ s = 0

สมมตวา s > 0 จากสมบตการจดอนดบด จะม r ∈ S โดยท r = s หรอ r < s

เปนจำนวนเตมบวกทนอยทสดใน S แสดงวา ม q ∈ Z ททำให r = b− aq

นนคอ b = aq + r โดยท r > 0

ตอไปจะแสดงวา r < a สมมตวา r ≥ a ดงนน

r − a = (b− aq)− a = b− a(q + 1) ≥ 0

แสดงวา r − a ∈ S แต r − a < r ซงขดแยงกบทวา r เปนจำนวนเตมบวกทนอยทสดใน

S แสดงวา r < a ดงนน ม q, r ∈ Z ททำให b = aq + r โดยท 0 ≤ r < a

ตอนหลงจะพสจนวา ม q, r ∈ Z เพยงคเดยวเทานนททำให

b = aq + r โดยท 0 ≤ r < a (∗)

สมมตวา ม q, q′, r, r′ ∈ Z ททำให b = aq+ r, 0 ≤ r < a และ b = aq′ + r′, 0 ≤ r′ < a

จะแสดงวา q = q′ และ r = r′

จาก (∗) จะไดวา a|q − q′| = |r − r′| โดยท 0 ≤ |r − r′| < a

ดงนน 0 ≤ a|q − q′| < a แสดงวา 0 ≤ |q − q′| < 1

เนองจาก |q − q′| ∈ Z ดงนน |q − q′| = 0 และทำให |r − r′| = 0

นนคอ q = q′ และ r = r′ �

ตวอยางท 2.2.1 จงหาจำนวนเตม q และ r ทเปนไปตามทฤษฎบท 2.2.1 เมอ b = −41

และ a = 6

วธทำ ให b = −41 และ a = 6 แลวจะม q = −7 และ r = 1 ททำให b = aq+r โดยท

0 ≤ r < a �

ตวอยางท 2.2.2 (1) ถา a = −6, b = 20 แลว q = −3, r = 2

เพราะวา 20 = (−6)(−3) + 2 และ 0 ≤ 2 < 6

(2) ถา a = −6, b = −20 แลว q = 4, r = 4

เพราะวา −20 = (−6)(4) + 4 และ 0 ≤ 4 < 6

(3) ถา a = −8, b = 120 แลว q = −15, r = 0

เพราะวา 120 = (−8)(−15) + 0 และ 0 ≤ 0 ≤ 8

(4) ถา a = 7, b = 0 แลว q = 0, r = 0

เพราะวา 0 = (0)(7) + 0 และ 0 ≤ 0 < 7 �

ตวอยางท 2.2.3 ให n หารดวย 8 เหลอเศษ 5 จงหาวา n3+5n หารดวย 8 จะเหลอเศษเทาไร

วธทำ เนองจาก n = 8k + 5 เมอ k ∈ Z

ดงนน n3 + 5n = (8k + 5)3 + 5(8k + 5)

= [83k3 + 3(82k2)5 + 3(8k)52 + 53] + [5(8k) + 52]

= 8[82k3 + 3(8k2)5 + 3(k)52 + 5k] + 150

= 8[82k3 + 3(8k2)5 + 3(k)52 + 5k] + 144 + 6

= 8[82k3 + 3(8k2)5 + 3(k)52 + 5k + 18] + 6

จะไดวา n3 + 5n = 8q + 6 เมอ q = 82k3 + 3(8k2)5 + 3(k)52 + 5k + 18

ดงนน n3 + 5n หารดวย 8 เหลอเศษ 6 �

บทนยาม 2.2.1 ให a, b ∈ Z ซง a = 0 หรอ b = 0 แลว d ∈ Z เปนตวหารรวม

(common divisor) ของ a และ b ถา d | a และ d | b


d เปน ตวหารรวมมาก (greastest common divisor, ห.ร.ม. ) ของ a และ b

เขยนแทนดวย (a, b) กตอเมอ

(1) d > 0

(2) d เปนตวหารรวมของ a และ b

(3) ถา c | a และ c | b แลว c | d

หมายเหต 2.2.1 จากบทนยาม 2.2.1 จะไดวา

(1) (a, b) หาไดเสมอและมคาเดยว

(2) (a, b, c) = ((a, b), c) = (a, (b, c))


(1) ตวหารรวมของ 18 และ 30 คอ 1,−1, 2,−2, 3,−3, 6 และ −6 และ (18, 30) = 6

(2) ตวหารรวมของ −12 และ 16 คอ 1,−1, 2,−2, 4 และ −4 และ (−12, 16) = 4

(3) (42, 105, 91) = ((42, 105), 91) = (21, 91) = 7

(4) (42, 105, 91) = (42, (105, 91)) = (42, 7) = 7 �

บทนยาม 2.2.2 ให a, b ∈ Z ถา (a, b) = 1 แลวจะเรยก a และ b วา จำนวนเฉพาะสมพทธ

(relatively prime numbers)


(1) เนองจาก (49, 54) = 1 ดงนน 49 และ 54 เปนจำนวนเฉพาะสมพทธ

(2) เนองจาก (25, 105) = 5 = 1 ดงนน 25 และ 105 ไมเปนจำนวนเฉพาะสมพทธ �

ตวหารรวมมากของสองจำนวนใด สามารถเขยนอยในรปเชงเสนของสองจำนวนนน

ไดดงทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท 2.2.2 ให a, b ∈ Z ซง a = 0 หรอ b = 0 จะไดวา ม x, y ∈ Z ททำให

(a, b) = ax+ by

พสจน ให A = {am + bn | m,n ∈ Z และ am + bn > 0} เนองจาก a = 0 หรอ

b = 0 ดงนน A = ∅ และ A ⊆ N จากหลกการจดอนดบด จะไดวา d ∈ A ซง d

เปนจำนวนเตมบวกคานอยสดใน A นนคอ ม x, y ∈ Z ซง d = ax+ by


ตอไปจะแสดงวา d = (a, b) โดยแสดงสองขอตอไปน

(1) จาก a, d ∈ Z และ d ∈ A โดยขนตอนวธการหาร จะไดวา ม q, r ∈ Z ททำให

a = dq + r, 0 ≤ r < d

= (ax+ by)q + r, 0 ≤ r < d

จะไดวา r = a− (ax+ by)q, 0 ≤ r < d

จาก 0 ≤ r < d จะไดวา r = 0 หรอ 0 < r < d

ถา 0 < r < d จะไดวา r ∈ A ซงเกดขอขดแยงกบการเลอก d เปนจำนวนเตม

บวกคานอยสดใน A ดงนน r = 0 นนคอ d | a

จาก b, d ∈ Z และ d ∈ A พสจนในทำนองเดยวกน จะไดวา d | b

(2) ให c | a และ c | b จากทฤษฎบท 2.1.1 (4) จะไดวา c | (ax+ by) นนคอ c | d

จาก (1) และ (2) จะไดวา ม x, y ∈ Z ททำให (a, b) = ax+ by �

บทแทรก 2.2.1 ให a, b ∈ Z จะไดวา (a, b) = 1 กตอเมอ ม r, s ∈ Z ททำให ar+bs = 1

พสจน พสจนไดจากทฤษฎบท 2.2.2 �

ตวอยางท 2.2.6 เนองจาก (348, 124) = 4

ดงนนจากทฤษฎบท 2.2.2 จะไดวา 4 = (348)(5) + (124)(−14) �

ซงคา x, y ตามทฤษฎบท 2.2.2 ไมไดมเพยงคเดยว เชนนอกจากขางบน จะไดวา

4 = (348)(129) + (124)(−362)

สวนการหาคา x, y จะไดศกษาในหวขอ 2.3

ตอไปนเปนทฤษฎบททเกยวกบสมบตของตวหารรวมมาก

ทฤษฎบท 2.2.3 ให a, b ∈ Z ซง a = 0 หรอ b = 0 จะไดวา

(1) (a, b) = (|a|, |b|)

(2) (a, b) = (b, a)

(3) (a, b) = (a+ kb, b) สำหรบ k ∈ Z ใด ๆ


พสจน (1) สมมตวา a = 0 และให c เปนตวหารรวมของ a กบ b เนองจาก c | a และ

c | b จากแบบฝกหด 2.1 ขอ (7) จะไดวา c | |a| และ c | |b| ดงนน เซตของตวหารรวมของ

a และ b เทากบเซตของตวหารรวมของ |a| และ |b| นนคอ ตวหารรวมมากของ a และ b

เทากบตวหารรวมของ |a| และ |b| หรอ (a, b) = (|a|, |b|)

(2) จากบทนยามของการหารลงตว และใชบทนยามของตวหารรวมมาก เหนไดชดวา

(a, b) = (b, a)

(3) ถา x เปนตวหารรวมของ a กบ b แลว x | a และ x | b ................ (*)

จะไดวา x | kb ดงนน x | (a+ kb)

แลว x เปนตวหารรวมของ (a+ kb) กบ b

จะไดวา x | (a+ kb) และ x | b

ดงนน x | (a+ kb)− kb = a ................ (**)

จาก (*) และ (**) จะไดวา

เชตตวหารรวมของ a กบ b เทากบ เชตตวหารรวมของ (a+ kb) กบ b

ดงนน ตวหารรวมมากของ a กบ b เทากบ ตวหารรวมมากของ (a+ kb) กบ b

นนคอ (a, b) = (a+ kb, b) �

หมายเหต 2.2.2 ทฤษฎบท 2.2.3 (3) บอกใหทราบวา ตวหารรวมมากของสองจำนวน

ไมเปลยนเแปลงเมอมการเพมหรอลบดวยพหคณของอกจำนวน

ตวอยางท 2.2.7 จงหา ห.ร.ม. ของ 998 และ 996

วธทำ จากทฤษฎบท 2.2.3 (3) จะไดวา

(998, 996) = (998− 996, 996) = (2, 996) = 2 �

ตวอยางท 2.2.8 ให n ∈ Z จงแสดงวา (3n+ 4, n+ 1) = 1

วธทำ จากทฤษฎบท 2.2.3 (3) จะไดวา

(3n+ 4, n+ 1) = ((3n+ 4)− 3(n+ 1), n+ 1)

= (1, n+ 1)

= 1

�



ทฤษฎบท 2.2.4 ให a, b ∈ Z ซง a = 0 หรอ b = 0 และ m ∈ N

จะไดวา (ma,mb) = m(a, b)

พสจน ให D = (ma,mb) และ d = (a, b) จะแสดงวา D = md

จากทฤษฎบท 2.2.2 จะไดวา ม u, v, s, t ∈ Z ททำให D = (ma)u+ (mb)v และ

d = as+ bt จะไดวา D | m(au+ bv)

เนองจาก D | ma และ D | mb ดงนน D | (mas+mbt)

นนคอ D | md

และเนองจาก d | a และ d | b ดงนน d | (mau+mbv)

นนคอ md | D

สรปไดวา D = md หรอ (ma,mb) = m(a, b) �

บทแทรก 2.2.2 ให a, b ∈ Z และ c ∈ N จะไดวา (a

c,b

c) =

1

c(a, b) และถา d = (a, b)

แลว (a

d,b

d) = 1

พสจน เนองจาก d = (a, b) ดงนน d = (ad

d,bd

d)

จากทฤษฎบท 2.2.4 จะไดวา d = d(a

d,b

d) และ จะไดวา 1 = (

a

d,b

d)

และในสวนแรกของบทแทรก หาไดจากการใชทฤษฎบท 2.2.4 โดยแทนคา m, a และ b ดวย

c, ac

และ b

cตามลำดบ �

ทฤษฎบท 2.2.5 ให a, b, c ∈ Z ถา a | bc และ (a, b) = 1 แลว a | c

พสจน เนองจาก a | bc และ (a, b) = 1

ดงนน จะม q, x, y ∈ Z ซง bc = aq และ ax+ by = 1

จะไดวา bcy = aqy และ c = cax+ cby

ดงนน c = cax+ cby = cax+ aqy = a(cx+ qy)

นนคอ a | c �

ตวอยางท 2.2.9 ถา 8 | 25n แลว จากทฤษฎบท 2.2.5 จะไดวา 8 | n �

ทฤษฎบท 2.2.6 ให a, b ∈ Z ซง a = 0 หรอ b = 0 จะไดวา (a, b) ≤ min{|a|, |b|}



พสจน ให d = (a, b) เนองจาก d | |a| และ d | |b| ดงนน d ≤ |a| และ d ≤ |b|

ซงจะไดวา (a, b) = d ≤ min{|a|, |b|} �

ทฤษฎบทนบอกวา ถา d = (a, b) และ |a| ≤ |b| โดยท d | |a| แลวจะไดวา

ตวประกอบทมากสดของ a ทหาร b ลงตวคอ d นนเอง ตวอยางเชน พจารณา ห.ร.ม. ของ

−48 และ 732

เนองจาก ตวประกอบของ −48 คอ ±1,±2,±3,±4,±6,±8,±12,±16,±24,±48

และ จำนวนทมากสด ทหาร 732 ลงตวคอ 12 ดงนน (−48, 732) = 12

ทฤษฎบท 2.2.7 ให a ∈ Z จงแสดงวา a และ a+ 1 เปนจำนวนเฉพาะสมพทธ

พสจน ให d = (a, a+ 1) จะพสจนวา d = 1

สมมตวา d = 1 เนองจาก d | a และ d | a+ 1 ดงนน ม x, y ∈ Z ททำให

a = dx และ a+ 1 = dy นนคอ dx = dy − 1 หรอ d(y − x) = 1

โดยท y − x ∈ Z จงไดวา (d = 1 และ y − x = 1) หรอ (d = −1 และ y − x = −1)

แต d > 1 จงเกดขอขดแยงกบสมมตฐาน แสดงวา d = (a, a+ 1) = 1

นนคอ a และ a+ 1 เปนจำนวนเฉพาะสมพทธ �


(1) จงหา q และ r ของขนตอนวธการหาร เมอใหคา a และ b ดงน

(1.1) ถา a = 3 และ b = 0, 1,−1, 10,−10

(1.2) ถา a = 345 และ b = 0, 1,−1, 344, 7863,−7863

(2) ให n หารดวย 9 เหลอเศษ 5 จงหาเศษจากการหาร n(n2 + 7n− 2) ดวย 9

(3) ให n ∈ Z แลว n เปนจำนวนค ถา n = 2k และ n เปนจำนวนค ถา n = 2k + 1

สำหรบบาง k ∈ Z

(3.1) จงพสจนวา n เปนจำนวนค กตอเมอ n2 เปนจำนวนค

(3.2) จงพสจนโดยใชขนตอนวธการหารวา จำนวนเตมแตละจำนวนเปนจำนวนคหรอจำนวนค

แตจะไมเปนทงสองอยางพรอมกน

(4) ให n ∈ Z แลว จงแสดงวา (n+ 1, 2n+ 5) = 1


2.3 ขนตอนวธแบบยคลด

การหา ห.ร.ม. โดยใชบทนยามในกรณท a และ b มคามาก จะไมสะดวก และการ

หาคา x และ y ตามทฤษฎบท 2.2.2 กจะยงยากมากขนเชนเดยวกน แตขนตอนวธแบบ

ยคลด (Euclidean algorithm) จะชวยแกปญหาเหลานได ซงจากทฤษฎบท 2.2.3 ทำให

เราสมมต a > 0 ได

ทฤษฎบท 2.3.1 ให a, b ∈ Z และ a > 0 จะไดวา ม qi, rj ∈ Z โดยท i =

1, 2, . . . , n+ 1 และ j = 1, 2, . . . , n ททำให

b = aq1 + r1, 0 ≤ r1 < a

a = r1q2 + r2, 0 ≤ r2 < r1

r1 = r2q3 + r3, 0 ≤ r3 < r2

...

rn−2 = rn−1qn + rn, 0 ≤ rn < rn−1

rn−1 = rnqn+1,

และ (a, b) = (a, rn) = rn

พสจน จากขนตอนวธการหาร ถา a | b แลวจะม q, r ∈ Z ซง b = aq+ r แต r = 0 ดงนน

(a, b) = (a, r) = a

สมมตวา a ∤ b จะไดวา ม q1, r1 ∈ Z ซง

b = aq1 + r1, 0 < r1 < a

แลวใชขนตอนวธการหารซำ ๆ จะไดวา

a = r1q2 + r2, 0 ≤ r2 < r1

r1 = r2q3 + r3, 0 ≤ r3 < r2

...

rn−2 = rn−1qn + rn, 0 ≤ rn < rn−1

rn−1 = rnqn+1


โดยท qi, rj ∈ Z, i = 2, . . . , n+ 1, j = 2, . . . , n

ดงนน (a, b) = (a, r1) = (r1, r2) = . . . = (rn−1, rn) = rn �

ตวอยางท 2.3.1 จงหา ห.ร.ม. ของ 78 และ 32 พรอมหาคา x, y ททำให

(78, 32) = 78x+ 32y โดยใชขนตอนวธแบบยคลด

วธทำ

78 = (32)(2) + 14

32 = (14)(2) + 4

14 = (4)(3) + 2

4 = (2)(2)

ดงนน (78, 32) = 2

หาคา x, y ททำให 2 = 78x+ 32y โดยการกำจดเศษ ซงเปนการทำยอนกลบ ดงน

2 = 14− (4)(3)

= 14− [32− (14)(2)](3)

= (−32)(3) + (14)(7)

= (32)(−3) + [78− (32)(2)](7)

= (32)(−17) + (78)(7)

ดงนน 2 = (7)(78) + (−17)(32) นนคอ x = 7, y = −17 �

ตวอยางท 2.3.2 จงใชขนตอนวธแบบยคลดหา (803, 154) พรอมหาคา x, y ททำให

(803, 154) = 803x+ 154y

วธทำ

803 = (154)(5) + 33

154 = (33)(4) + 22

33 = (22)(1) + 11

22 = (11)(2)



ดงนน (803, 154) = 11

สำหรบคา x, y ททำให 11 = 803x+154y นน ไดจากการกำจดเศษโดยการทำยอนกลบ

ดงน

11 = 33− (22)(1)

= 33− (154− (33)(4))

= −154 + (33)(5)

= −154 + (5)(803− (154)(5))

= (803)(5)− (154)(26)

ดงนน 11 = (5)(803) + (−26)(154) นนคอ x = 5, y = −26 �

บทนยาม 2.3.1 ให a, b ∈ Z ซง a = 0 และ b = 0 แลว m ∈ Z เปน ตวคณรวม

(common multiple) ของ a และ b ถา a | m และ b | m

m เปน ตวคณรวมนอย (least common multiple, ค.ร.น.) ของ a และ b

เขยนแทนดวย [a, b] กตอเมอ

(1) m > 0

(2) m เปนตวคณรวมของ a และ b

(3) ถา a | c และ b | c แลว m | c


(1) ตวคณรวมของ a และ b มไมจำกด

(2) ถา m เปนตวคณรวมของ a และ b แลว −m เปนตวคณรวมของ a และ b ดวย

(3) [[a, b], c] = [a, [b, c]] = [a, b, c]

(4) [a, b] = [a,−b] = [−a, b] = [−a,−b] = [−b, a]

(5) ถา a | b แลว [a, b] = |b|



(1.2) (25174, 42722)

(2) จงแสดงวธการหาคา x และ y ททำให (34, 60) = 34x+ 60y

(3) จงแสดงวธการหาคา x, y และ z ททำให (6, 10, 15) = 6x+ 10y + 15z

(4) ให a, b ∈ Z ซง a = 0 และ b = 0 ถา a | c และ b | c

แลว [a, b] | c = |ab| สำหรบ c ∈ Z ใด ๆ

(5) จงพสจน ขอสงเกต 2.3.1 (5)

(6) ให a, b ∈ N จงพสจนวา (a, b) = (a+ b, [a, b])

2.4 จำนวนเฉพาะ

ประมาณ 300−400 ปกอนครสตศกราช อรสโตเตล (Aritotle) และ ยคลด (Euclid)

ไดแบงจำนวนเตม ออกเปนสองกลมเพอการศกษาคอ จำนวนเฉพาะ (prime numbers)

กบจำนวนประกอบ (composite numbers)

บทนยาม 2.4.1 ให p ∈ Z โดยท p = 0 แลว p เปนจำนวนเฉพาะ กตอเมอ p = ±1

และมเพยง ±1 และ ±p เทานนทหาร p ลงตว และจะเรยก p วา จำนวนประกอบ ถา p

ไมเปนจำนวนเฉพาะ


(1) เซตของจำนวนเตมแบงไดเปน 3 เซตยอยทไมมสมาชกรวมกนคอ เซตของจำนวนเฉพาะ

เซตของจำนวนประกอบ และ {−1, 0, 1}

(2) ถา p เปนจำนวนเฉพาะ แลว −p เปนจำนวนเฉพาะ

(3) ม ±2 เทานนทเปนจำนวนเฉพาะทเปนจำนวนค

(4) 1 ไมเปนทงจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ

ตวอยางท 2.4.1 (1) จำนวนเฉพาะทเปนบวก 20 จำนวนแรก ไดแก 2, 3, 5, 7, 11, 13,

17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71

(2) จำนวนประกอบทเปนบวก ไดแก 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, . . . �


จากหมายเหต 2.4.1 ขอ (2) จงเปนการเพยงพอทจะศกษาสมบตของจำนวนเฉพาะทเปน

บวกเทานน

ทฤษฎบท 2.4.1 ให p, q ∈ N ถา p, q เปนจำนวนเฉพาะ ซง p | q แลว p = q

พสจน เนองจาก q เปนจำนวนเฉพาะ ดงนน จะม ±1 และ q ทหาร q ลงตว

และเนองจาก p | q ดงนน p = 1 หรอ p = q

แต p เปนจำนวนเฉพาะ จะไดวา p = 1 ดงนน p = q �

ทฤษฎบท 2.4.2 ให p ∈ N, a ∈ Z และ a = 0 โดยท p เปนจำนวนเฉพาะและ p ∤ a

แลว (p, a) = 1

พสจน ให d = (p, a) สมมตวา d = 1

เนองจาก d | p ดงนน d = 1 หรอ d = p

แต d = 1 จะไดวา d = p

เนองจาก d | a ดงนน p | a ซงเกดขอขดแยงกบ p ∤ a

นนคอ d = (p, a) = 1 �

ทฤษฎบท 2.4.3 (Euclid′s lemma) ให p ∈ N ถา p เปนจำนวนเฉพาะซง p | ab

แลว p | a หรอ p | b

พสจน จะพสจนวา ถา p ∤ a แลว p | b

ถา a = 0 แลว p | a ซงเกดขอขดแยงกบ p ∤ a แสดงวา a = 0

ดงนน จากทฤษฎบท 2.4.2 จะไดวา (p, a) = 1

เนองจาก p | ab จากทฤษฎบท 2.2.5 จงสรปไดวา p | b �

ทฤษฎบท 2.4.4 ให n ∈ N และ n > 1 แลว จะมจำนวนเฉพาะ p ซง p | n

พสจน ให S = {n ∈ N | n > 1 และไมมจำนวนเฉพาะp ท p | n}

สมมตวา S = ∅ จากหลกการจดอนดบด จะม x ∈ S ซง x เปนจำนวนเตมบวก

ทมคานอยสดใน S ดงนน x ไมเปนจำนวนเฉพาะ

แสดงวา ม d ∈ N ซง 1 < d < x ททำให d | x

นนคอ มจำนวน p ซง p | d ทำใหไดวา p | x เกดขอขดแยงกบสมบตของ x ∈ S

ดงนน S = ∅ �

ทฤษฎบท 2.4.5 ให a1, a2, . . . , an ∈ Z และ p เปนจำนวนเฉพาะท p ∈ N จะไดวา ถา

p | a1a2 . . . an แลวจะม ai ท 1 ≤ i ≤ n ซง p | ai

พสจน โดยใชหลกอปนยเชงคณตศาสตร ถา n = 1 จะไดวา p | a1 ทฤษฎบทเปนจรง

สมมตวา ทฤษฎบทเปนจรงเมอ n = k จะแสดงวา ทฤษฎบทนเปนจรง เมอ n = k + 1

ให p | a1a2 . . . akak+1 จากทฤษฎบท 2.4.3 จะไดวา p | a1a2 . . . ak หรอ p | ak+1

ถา p | ak+1 จะไดวา ม i = k + 1 ซง p | ai แตถา p | a1a2 . . . ak จากสมมตฐาน

จะไดวา ม ai ท 1 ≤ i ≤ k ซง p | ai ดงนน จะม ai ท 1 ≤ i ≤ k + 1 ซง p | aiนนคอ ทฤษฎบทนเปนจรง เมอ n = k + 1 ดงนน ถา p | a1a2 . . . an แลวจะม ai ท

1 ≤ i ≤ n ซง p | ai เปนจรงสำหรบทกจำนวนเตมบวก n �

ทฤษฎบทหนงทจำเปน และนำไปใชบอยในทฤษฎจำนวน คอ ทฤษฎบทหลกมลของ

เลขคณต (fundamental theorem of arithmetic) ดงน

ทฤษฎบท 2.4.6 ให n ∈ Z และ n > 1 จะไดวา n สามารถเขยนไดในรป

n = pa11 pa22 . . . pakk

โดยท p1, . . . , pk เปนจำนวนเฉพาะ ซง p1 < p2 < . . . < pk และ ai ∈ N สำหรบ

i = 1, . . . , k ไดเพยงแบบเดยวเทานน

พสจน แบงการพสจนเปน 2 ตอน คอ 1) n เขยนไดในรปผลคณของจำนวนเฉพาะยกกำลงและ

2) ผลคณของจำนวนเฉพาะนนมเพยงแบบเดยว

ตอนแรกจะพสจนโดยวธอปนยเชงคณตศาสตรบน n ดงน ถา n = 2 แลวเราให

p1 = 2, k = 1 และ a1 = 1 จะไดผลลพธตามตองการ สมมตวาผลลพธเปนจรงสำหรบทก

n ซง 2 ≤ n ≤ m จะแสดงวา ผลลพธเปนจรง สำหรบทก n = m + 1 ถา m + 1

เปนจำนวนเฉพาะแลว เราให k = 1, p1 = m+ 1 และ a1 = 1 จะไดผลลพธตามตองการ

สมมตวา m + 1 เปนจำนวนประกอบ จะไดวา m + 1 = ab ซง a, b ∈ N และ

1 < a < m + 1 และ 1 < b < m + 1 แลวโดยสมมตฐาน จะมจำนวนเฉพาะ p1, . . . , pj

และ q1, . . . , ql ซง

a = pa11 pa22 . . . pajj และ b = qb11 qb22 . . . qbll

ทำใหไดวา m+ 1 = ab = pa11 pa22 . . . pajj qb11 qb22 . . . qbll

นนคอ m+ 1 เขยนไดในรปของผลคณของจำนวนเฉพาะ

ให k = j + l และภายใตการจดลำดบการคณทเหมาะสม จะไดวา

m+ 1 = pa11 pa22 . . . pakk ซง p1 < p2 < . . . < pk

ดงนน ผลลพธเปนจรง สำหรบทก n = m+ 1

นนคอ ผลลพธเปนจรง สำหรบทก n ∈ Z และ n > 1

ตอนสดทาย ให n = pa11 pa22 . . . pass และ n = qb11 qb22 . . . qbtt สำหรบบาง s >

1 และ t > 1 ซง p1, . . . , ps, q1, . . . , qt เปนจำนวนเฉพาะ และ p1 < p2 < . . . <

ps, q1 < q2 < . . . < qt จะแสดงวา t = s และ pi = qi สำหรบ i = 1, . . . , t

โดยวธอปนยเชงคณตศาสตรบน s ดงน ถา s = 1 แลว n = p1 เปนจำนวนเฉพาะ ดงนน

p1 = n = q1 . . . qt ถา t > 1 จะทำใหเกดขอขดแยงกบความจรงทวา p1 เปนจำนวนเฉพาะ

ดงนน t = 1 นนคอ p1 = q1 เปนจรง

สมมตวาผลลพธเปนจรงสำหรบทก s ซง 1 ≤ s ≤ k จะแสดงวา ผลลพธเปนจรง

สำหรบทก s = k + 1 สมมตวา n = pa11 pa22 . . . pakk pak+1

k+1 และ n = qb11 qb22 . . . qbtt ซง

p1 < p2 < . . . < pk+1, q1 < q2 < . . . < qt เหนไดชดวา pk+1 | n ดงนน

pk+1 | qb11 qb22 . . . qbtt จากทฤษฎบท 2.4.5 จะไดวา pk+1 | qi สำหรบบาง i ∈ {1, . . . , t}

และจากทฤษฎบท 2.4.1 จะไดวา pk+1 = qi นนคอ pk+1 = qi ≤ qt ในทำนองเดยวกน

qt | n ดงนน qt | pa11 pa22 . . . pakk pak+1

k+1 และ qt = pj สำหรบบาง j ∈ {1, . . . , k + 1}

ดงนน qt = pj ≤ pk+1 นนแสดงวา pk+1 ≤ pj ≤ pk+1 ดงนน pk+1 = qt เนองจาก

pa11 pa22 . . . pakk pak+1

k+1 = qb11 qb22 . . . qbtt และ pk+1 = qt ดงนน

pa11 pa22 . . . pakk = qb11 qb22 . . . qbt−1

t−1

จากสมมตฐานจะไดวา k = t−1 และ pi = qi สำหรบ i = 1, . . . , t−1 ดงนน k+1 = t

และ pi = qi สำหรบ i = 1, . . . , t จะไดวา ผลลพธเปนจรง สำหรบทก s = k + 1 นนคอ

ผลลพธเปนจรง สำหรบทก s ≥ 1 �

หมายเหต 2.4.2 จากทฤษฎบท 2.4.6 เมอ n = pa11 pa22 . . . pakk เราจะเรยก

pa11 pa22 . . . pakk


วา รปมาตรฐาน (standard form) ของ n

ตวอยางท 2.4.2 จงเขยนจำนวน 4, 312 ใหอยในรปมาตรฐาน

วธทำ

4, 312 = (2)(2, 156)

= (2)(2)(1, 078)

= (2)(2)(2)(539)

= (2)(2)(2)(7)(77)

= (2)(2)(2)(7)(7)(11)

นนคอ 4, 312 = (23)(72)(11) �

นกคณตศาสตรหลายทานไดมการศกษาคนควาเกยวกบจำนวนเฉพาะ เชน เบอรแทรนด

(J.L.F.Bertrand, ค.ศ. 1822 − 1900) ใหแนวคดในป ค.ศ. 1845 ดงน “(Bertrand′s

postulate) สำหรบจำนวนเตมบวก n ใด ๆ จะมจำนวนเฉพาะ p ซง n ≤ p ≤ 2n ”และเชบบเชฟ

(P.L.Chebyshev, ค.ศ. 1821− 1894) ไดพสจนไวในป ค.ศ. 1850

ป ค.ศ. 1837 ดรเคลต (P.G.L.Dirichlet,ค.ศ. 1805 − 1859) ไดแสดงใหเหนวา

“(Dirichlet′s theorem) ถา a และ d เปนจำนวนเฉพาะสมพทธแลว ลำดบเลขคณต

a+ d, a+ 2d, . . . , a+ nd, . . . จะมจำนวนเฉพาะเปนจำนวนอนนต ”เชน

1, 4, 7, 10, 13, . . . (a = 1, d = 3)

หรอ 5, 13, 21, 29, 37, . . . (a = 5, d = 8)

หรอ 3, 7, 11, 15, . . . (a = 3, d = 4)

หรอ มจำนวนเฉพาะเปนจำนวนอนนตในรป 6n+ 1 (a = 1, d = 6)

ออยเลอร (L.Euler, ค.ศ. 1707−1780) ไดสงเกตวา y = x2+x+41 เปนจำนวนเฉพาะ

ถา x = 1, 2, . . . , 39 (และ x = −40,−39, . . . ,−2.− 1, 0) แต x ตองไมเปน 40

แฟรมาต (P.Fermat, ค.ศ. 1601−1665) ไดใหขอสงเกตวา 22n+1 เปนจำนวนเฉพาะ

ถา n = 0, 1, 2, 3, 4 และออยเลอรแสดงใหเหนวา ถา n = 5 แลว 225

+ 1 = 232 + 1 =

4, 294, 967, 297 = (641)(6, 700, 417) ไมเปนจำนวนเฉพาะ ซงจะไดกลาวละเอยดอกครง


ในภาคผนวก

ทฤษฎบทตอไปน ปรากฎในหนงสอดอลเมนตของยคลด เลม 9 (Euclid′s element

book IX) ซงถอไดวาเปนคนแรกทพสจน เรองไมมจำนวนเฉพาะทมคามากทสด

ทฤษฎบท 2.4.7 (Euclid′s theorem) มจำนวนเฉพาะอยเปนจำนวนอนนต

พสจน สมมตวา มจำนวนเฉพาะอยเปนจำนวนจำกด ใหเปน p1, p2, . . . , pn ∈ N

ให N = p1p2 . . . pn+1 เหนไดชดวา N ≥ 3 จากทฤษฎบท 2.4.4 จะไดวา มจำนวนเฉพาะ

p ∈ N ซง p | N แลวจากทฤษฎบท 2.4.5 และทฤษฎบท 2.4.1 จะไดวา p = pi สำหรบบาง

i = 1, . . . , n ให a = p1p2 . . . pn ดงนน a = pi(p1p2 . . . pi−1pi+1 . . . pn) จะไดวา

pi | a ดงนน N = a + 1 และจากสมมตฐาน จะไดวา pi | a + 1 แลวจากแบบฝกหด 2.1

(3) จะไดวา pi | (a + 1)− a นนคอ pi | 1 ซงจากหมายเหต 2.1.1 (2) ทำใหไดวา pi = 1

เกดขอขดแยงกบบทนยาม 2.4.1 ดงนน มจำนวนเฉพาะอยเปนจำนวนอนนต �

ตวอยางท 2.4.3 แสดงจำนวนของจำนวนเฉพาะ p ทมคานอยกวาจำนวนเตม n

n 102 103 104 105 106 107 108

จำนวนของ p 25 168 1, 229 9, 592 78, 498 664, 579 5, 761, 455

�

ทฤษฎบท 2.4.8 ให n ∈ N เปนจำนวนประกอบ แลว จะมจำนวนเฉพาะ p ∈ N ท

p ≤ √n และ p | n

พสจน ให n เปนจำนวนประกอบ จะไดวา n = ab โดยท 1 < a < n และ 1 √n และ b >

√n แลว n > ab >

√n√n = n นนคอ n > n ซงเกดขอขดแยง

ดงนน a ≤ √n และ b ≤ √

n สมมตวา a ≤ √n เนองจาก a > 1 จากทฤษฎบท

2.4.4 จะมจำนวนเฉพาะ p ∈ N ซง p | a ดงนน จากทฤษฎบท 2.1.1 (2) ท a | n

จงไดวา p | n และเนองจาก p | a ดงนน p ≤ a ≤ √n �

วธการทใชในทฤษฎบท 2.4.8 น เรยกวา ตะแกรงเอราโตสเทเนส

(sieve of Eratosthenes) ซงใชตรวจสอบการเปนจำนวนเฉพาะของจำนวนนบ

ตวอยางท 2.4.4 (1) 97 เปนจำนวนเฉพาะหรอไม

(2) 299 เปนจำนวนเฉพาะหรอไม

วธทำ (1) เนองจาก√97 < 10 และ จำนวนเฉพาะทนอยกวา 10 คอ 2, 3, 5 และ 7

และจำนวนเฉพาะเหลาน หาร 97 ไมลงตว ดงนน จากทฤษฎบท 2.4.8 จะไดวา 97 เปน

จำนวนเฉพาะ

(2) เนองจาก√299 < 18 และจำนวนเฉพาะทนอยกวา 18 คอ 2, 3, 5, 7, 11, 13

และ 17 เนองจาก 13 หาร 299 ไดลงตว ดงนน 299 = (13)(23) เปนจำนวนประกอบ �

ปญหาเกยวกบจำนวนเฉพาะทนกคณตศาสตรยงไมสามารถหาผลเฉลยได เชน การม

จำนวนเฉพาะแฝด (twin primes) อาท 11 และ 13 หรอ 71 และ 73 วามจำนวนจำกดหรอไม

โดยตงเปนขอคาดการณ (twin primes conjector) วา มจำนวนเฉพาะแฝดเปนจำนวนอนนต

หรอไม เดวด อนเดอรแบคค (David Underbakke) และ ฟล คารโมด (Phil Carmody)

ไดคนพบจำนวนเฉพาะแฝด จำนวนใหญสดในป ค.ศ. 2001 คอ 31802361 · 2107001 ± 1

ซงมจำนวน 32,220 หลก


(1) ให p, q ∈ N จงพสจนวา ถา p และ q เปนจำนวนเฉพาะ ซง p = q แลว (p, q) = 1

(2) ให pi = จำนวนเฉพาะตวท i จะไดวา p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, . . . แลวขอความ

p1p2 . . . pn + 1 เปนจำนวนเฉพาะ สำหรบทก n ≥ 1

เปนจรงหรอไม ถาจรงใหพสจนและถาเทจใหยกตวอยางคาน

(ขอเสนอแนะ ถา n = 1 แลว 2 + 1 = 3 เปนจำนวนเฉพาะ

ถา n = 2 แลว (2)(3) + 1 = 7 เปนจำนวนเฉพาะ

ถา n = 3 แลว (2)(3)(5) + 1 = 31 เปนจำนวนเฉพาะ)

(3) จงตรวจสอบวา จำนวนตอไปนเปนจำนวนเฉพาะหรอไม

(3.1) 541

(3.2) 2093

(3.3) 22012 − 1


(4) จงพสจนวา

(4.1) ถา n เปนจำนวนประกอบแลว 2n − 1 เปนจำนวนประกอบ

(4.2) ถา p เปนจำนวนเฉพาะแลว 2p − 1 เปนจำนวนเฉพาะ

(ขอเสนอแนะ สำหรบ (4.1) ให n = ab โดยท a, b ∈ N จาก

xb − 1 = (x− 1)(xb−1 + xb−2 + . . .+ x+ 1), x ∈ N

แทน xb ดวย 2n)


บทท 3

ฟงกชนในทฤษฎจำนวน

ในบทน เราจะศกษาฟงกชนทใชกนบอยในทฤษฎจำนวน โดยเฉพาะฟงกชนเลขคณต

(arithmetic functions) ซงเปนฟงกชนทมโดเมนเปนเซตจำนวนเตมบวกและเรนจเปนเซต

จำนวนเชงซอน เชน

f : N → Z กำหนดโดย f(n) = 1

g : N → R กำหนดโดย g(n) = n2 + 2n+ 1

ϕ : N → C กำหนดโดย ϕ(n) = 1 + ni

เปนตน สำหรบบทนจะกลาวถงฟงกชน τ (tau function) ฟงกชน σ (sigma function)

และฟงกชน µ (mu function) ซงเปนฟงกชนเลขคณตทเกยวกบการหารลงตว นอกจากน

ยงจะกลาวถง ฟงกชน φ ออยเลอร (Euler phi function) และฟงกชนจำนวนเตมมากสด

(greatest integer function หรอ bracket function) โดยจะศกษาถงสมบตเบองตน

รปแบบทวไปของฟงกชนเหลาน และการนำไปใช

3.1 ฟงกชน τ

ฟงกชน τ เปนฟงกชนทใชหาจำนวนของตวหารทงหมด ซงไดกำหนดบทนยามดงน

บทนยาม 3.1.1 ให n ∈ Z และ n > 0 ฟงกชนเทา (τ function) กำหนดโดย

τ(n) หมายถง จำนวนตวหารทเปนจำนวนบวกทงหมดของ n

นนคอ τ(n) =∑

d|n

1 เมอ d > 0

ตวอยางท 3.1.1 1) เนองจากตวหารทเปนจำนวนบวกทงหมดของ 12 คอ

1, 2, 3, 4, 6, 12

ดงนน τ(12) = 6

2) ทำนองเดยวกน

τ(11) = τ(13) = 2 �

จากทฤษฎบท ?? เราทราบวา จำนวน n ∈ Z และ n > 1 สามารถเขยนไดใน

รปมาตรฐาน (standard form) และทฤษฎบทตอไปน แสดงใหเหนการหา τ(n) จากรป

มาตรฐานของ n ดงน

ทฤษฎบท 3.1.1 ให n = pa11 pa22 . . . pakk โดยท k ≥ 1 และ p1 < p2 < . . . < pk

เปนจำนวนเฉพาะ ซง ai ∈ N สำหรบ i = 1, . . . , k จะไดวา

τ(n) = (a1 + 1)(a2 + 1) . . . (ak + 1) = Πki=1(ai + 1)

พสจน ให n = pa11 pa22 . . . pakk จะไดวา ตวหาร d ของ n เขยนไดในรป d = pb11 pb22 . . . pbkk

ซง bi ∈ {0, 1, . . . , ai} ดงนนโดยหลกการนบ

สามารถเลอก b1 ได a1 + 1 วธ

สามารถเลอก b2 ได a2 + 1 วธ...

และสามารถเลอก bk ได ak + 1 วธ

ทำใหไดวา สามารถเลอก b1, b2, . . . , bk พรอมกนไดเปนผลคณ

(a1 + 1)(a2 + 1) . . . (ak + 1) วธ

นนคอ จำนวนตวหารทเปนจำนวนบวกทงหมดของ n เทากบ

τ(n) = (a1 + 1)(a2 + 1) . . . (ak + 1) =k∏

i=1

(ai + 1)

�

ตวอยางท 3.1.2 เนองจาก 72 = (23)(32) ดงนน ตวหาร d ของ 72 คอ


(20)(30), (21)(30), (22)(30), (23)(30),

(20)(31), (21)(31), (22)(31), (23)(31),

(20)(32), (21)(32), (22)(32), (23)(32)

หรอ 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24, 9, 18, 36, 72 มทงหมด 12 จำนวน

หรอ จากทฤษฎบท 3.1.1

τ(72) = (3 + 1)(2 + 1) = (4)(3) = 12 �

ตวอยางท 3.1.3 เนองจาก 360 = (23)(32)(5) ดงนน จากทฤษฎบท 3.1.1

τ(360) = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = (4)(3)(2) = 24 �

บทนยาม 3.1.2 ให f เปนฟงกชนเลขคณต เรยก f วา ฟงกชนแยกคณ (multiplicative

function) กตอเมอ f(ab) = f(a)f(b) สำหรบแตละ a, b ∈ N และ (a, b) = 1

ตวอยางท 3.1.4 ฟงกชนตอไปนเปนฟงกชนแยกคณหรอไม

1) f(n) = n

2) g(n) = 2n+ 1

วธทำ 1) ให a, b ∈ N และ (a, b) = 1 จากการกำหนดฟงกชน จะไดวา

f(a) = a, f(b) = b และ f(ab) = ab

ดงนน

f(ab) = ab = f(a)f(b)

นนคอ f เปนฟงกชนแยกคณ

2) ให a, b ∈ N และ (a, b) = 1 จากการกำหนดฟงกชน จะไดวา

g(a) = 2a+ 1, g(b) = 2b+ 1 และ g(ab) = 2ab+ 1 จะเหนวา

g(a)g(b) = (2a+ 1)(2b+ 1)

= 4ab+ 2a+ 2b+ 1

= (2ab+ 1) + 2(ab+ a+ b)

= g(ab)

นนคอ g ไมเปนฟงกชนแยกคณ �



ทฤษฎบท 3.1.2 ให a, b ∈ N และ (a, b) = 1 จะไดวา τ เปนฟงกชนแยกคณ

พสจน ให a, b ∈ N ซง

a = pa11 pa22 . . . pakk และ b = qb11 qb22 . . . qbtt

เนองจาก (a, b) = 1 ดงนน pi = qj สำหรบแตละ i ∈ {1, . . . , k} และสำหรบแตละ

j ∈ {1, . . . , t} ทำใหไดวา

ab = pa11 pa22 . . . pakk qb11 qb22 . . . qbtt

จากทฤษฎบท 3.1.1 จะไดวา

τ(ab) = (a1 + 1)(a2 + 1) . . . (ak + 1)(b1 + 1)(b2 + 1) . . . (bt + 1) = τ(a)τ(b)

นนคอ τ เปนฟงกชนแยกคณ �


(1) จงหา τ(n) เมอ 1 ≤ n ≤ 10

92) จงหา τ(n)

(2.1) n = 900

(2.2) n = 496

(2.3) n = 1, 024

(3) จงหา n เมอ τ(n) = 60

(4) ฟงกชนตอไปนเปนฟงกชนแยกคณหรอไม

(4.1) f(n) = n2

(4.2) g(n) = 2n

(5) จงพสจนวา n เปนกำลงสองของจำนวนเตมบวก กตอเมอ τ(n) เปนจำนวนค

3.2 ฟงกชน σ

ฟงกชน σ เปนฟงกชนทใชหาผลบวกของตวหารทงหมด ซงไดกำหนดบทนยามดงน


บทนยาม 3.2.1 ให n ∈ Z และ n > 0 ฟงกชนซกมา (σ function) กำหนดโดย

σ(n) หมายถง ผลบวกของตวหารทเปนจำนวนบวกทงหมดของ n

นนคอ σ(n) =∑

d|n

d เมอ d > 0

ตวอยางท 3.2.1 1) เนองจากตวหารทเปนจำนวนบวกทงหมดของ 12 คอ

1, 2, 3, 4, 6, 12

ดงนน σ(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28

2) ทำนองเดยวกน

σ(11) = 1 + 11 = 12 และ σ(13) = 1 + 13 = 14 �

ขอสงเกต 3.2.1 ถา p เปนจำนวนเฉพาะแลว σ(p) = p+ 1

ทฤษฎบทตอไปน แสดงใหเหนการหา σ(n) จากรปมาตรฐานของ n ดงน

ทฤษฎบท 3.2.1 ให n = pa11 pa22 . . . pakk โดยท k ≥ 1 และ p1 < p2 < . . . < pk

เปนจำนวนเฉพาะ ซง ai ∈ N สำหรบ i = 1, . . . , k จะไดวา

σ(n) = (pa1+11 − 1

p1 − 1)(pa2+12 − 1

p2 − 1) . . . (

pak+1k − 1

pk − 1) =

k∏

i=1

(pai+1i − 1

pi − 1)

พสจน ให n = pa11 pa22 . . . pakk เหนไดชดวา

ตวหารทงหมดของ pa11 คอ 1, p1, p21, . . . , p

a11

ตวหารทงหมดของ pa22 คอ 1, p2, p22, . . . , p

a22

...

และตวหารทงหมดของ pakk คอ 1, pk, p2k, . . . , p

akk

ซงโดยวธอปนยทางคณตศาสตรบน ai, i ∈ {1, . . . , k} สามารถแสดงไดวา

(pi − 1)(1 + pi + p2i + . . .+ paii ) = pai+1i − 1

ดงนน จากบทนยาม 3.2.1 จะไดวา

σ(n) = σ(pa11 pa22 . . . pakk )

= (1 + p1 + p21 + . . .+ pa11 )(1 + p2 + p22 + . . .+ pa22 ) . . . (1 + pk + p2k + . . .+ pakk )

= (pa1+11 − 1

p1 − 1)(pa2+12 − 1

p2 − 1) . . . (

pak+1k − 1

pk − 1)


นนคอ ผลบวกของตวหารทเปนจำนวนบวกทงหมดของ n เทากบ

σ(n) = (pa1+11 − 1

p1 − 1)(pa2+12 − 1

p2 − 1) . . . (

pak+1k − 1

pk − 1) =

k∏

i=1

(pai+1i − 1

pi − 1)

�

ตวอยางท 3.2.2 เนองจาก 72 = (23)(32) ดงนน จากทฤษฎบท 3.2.1

σ(72) = (24 − 1

2− 1)(33 − 1

3− 1) = (15)(13) = 195 �

ตวอยางท 3.2.3 เนองจาก 360 = (23)(32)(5) ดงนน จากทฤษฎบท 3.2.1

σ(360) = (24 − 1

2− 1)(33 − 1

3− 1)(52 − 1

5− 1) = (15)(13)(6) = 1, 170 �

ทฤษฎบท 3.2.2 ให a, b ∈ N และ (a, b) = 1 จะไดวา σ เปนฟงกชนแยกคณ

พสจน สามารถพสจนไดทำนองเดยวกนกบทฤษฎบท 3.1.2 �


(1) จงหา σ(n) เมอ 1 ≤ n ≤ 10

(2) จงหา σ(n)

(2.1) n = 900

(2.2) n = 496

(2.3) n = 1, 024

(3) จงพสจนวา ฟงกชน σ ในทฤษฎบท 3.2.2 เปนฟงกชนแยกคณ

(4) ถา n = 2k แลว จงแสดงวา σ(n) เปนจำนวนค

(5) ให n = 957 จงแสดงวา σ(n) = σ(n+ 1)

(6) ถา F (m) =∑

d|m

f(d) และ f เปนฟงกชนแยกคณแลว

จงแสดงวา F ((6)(5)) = F (6)F (5)

(7) ให σk(n) คอ ผลบวกตวหารของ n ทยกกำลง k (ดงนน σk(n) =∑

d|n

dk) และ

σ1(n) = σ(n) จงพสจนวา ฟงกชน σk เปนฟงกชนแยกคณ



3.3 ฟงกชน φ ออยเลอร

ฟงกชน φ ออยเลอร เปนฟงกชนการนบชนดพเศษ ซงไดกำหนดบทนยามดงน

บทนยาม 3.3.1 ให n ∈ N ฟงกชนฟออยเลอร (φ Euler function) กำหนดโดย

φ(n) หมายถง จำนวนของจำนวนเตมบวก m ซง m ≤ n และ (m,n) = 1

นนคอ φ(n) =∑

m≤n

1 เมอ m > 0 และ (m,n) = 1

ตวอยางท 3.3.1 1) ให n = 12 จะไดวา จำนวนเตมบวก m ท m ≤ 12 และ (m, 12) = 1

คอ 1, 5, 7 และ 11 ดงนน φ(12) = 4

2) ทำนองเดยวกน จะไดวา φ(1) = φ(2) = 1, φ(3) = φ(4) = φ(6) = 2 และ

φ(5) = 4 เปนตน �

ขอสงเกต 3.3.1 ถา p เปนจำนวนเฉพาะแลว φ(p) = p− 1

ตวอยางท 3.3.2 จงหา φ(25)

วธทำ เนองจากจำนวนตงแต 1 ถง 25 มทงหมด 25 จำนวน และจำนวนทไมเปนจำนวน

เฉพาะสมพทธกบ 25 แตไมเกน 25 คอ 1(2), 2(2), 3(2), 4(2), 5(2), 6(2), 7(2), 8(2), 9(2),

10(2), 11(2), 12(2), 13(2), 14(2), 15(2), 16(2) = 25 ซงมทงหมด 16 = 24 จำนวน

ดงนน φ(25) = 25 − 24 = 24(2− 1) = 16 จำนวน �

ทฤษฎบท 3.3.1 ให p เปนจำนวนเฉพาะ และ n ∈ N จะไดวา

φ(pn) = pn − pn−1 = pn(p− 1

p)

พสจน เนองจากจำนวนเตมตงแต 1 ถง pn มทงหมด pn จำนวน และจำนวนเตมตงแต 1

ถง pn ทไมเปนจำนวนเฉพาะสมพทธกบ pn ซงหารดวย p ลงตวคอ

p, 2p, 3p, . . . , (p− 1)p, pp, (p+ 1)p, . . . , pn−1p

ซงมจำนวนทงหมด pn−1 จำนวน

ดงนน φ(pn) = pn − pn−1 = pn(p− 1

p) �


ตวอยางท 3.3.3 จงหา φ(25) และ φ(720)

วธทำ จากทฤษฎบท 3.3.1 จะไดวา

φ(25) = 25(2− 1

2) = 24 = 16

และ φ(720) = 720(7− 1

7) = 6(7)19 �

ฟงกชน φ เปนฟงกชนแยกคณ โดยใชบทตงตอไปนชวยในการพสจน

บทตง 3.3.1 ให a, b, c, d ∈ N ซง (a, b) = (b, d) = (a, c) = 1 จะไดวา

(ad+ bc, ab) = 1

พสจน สมมตวามจำนวนเฉพาะ p ซง p | ab และ p | (ad + bc) จะไดวา p | a หรอ p | b

และ p | (ad + bc) ถา p | a และ p | (ad + bc) จะไดวา p | bc ดงนน p | b หรอ

p | c ซงเกดขอขดแยงกบ (a, b) = (a, c) = 1 ถา p | b และ p | (ad + bc) จะไดวา

p | ad ดงนน p | a หรอ p | d ซงเกดขอขดแยงกบ (a, b) = (b, d) = 1 จงสรปไดวา

(ad+ bc, ab) = 1 �

ทฤษฎบท 3.3.2 ฟงกชน φ เปนฟงกชนแยกคณ

พสจน ให X = {x | 1 ≤ x < a, (x, a) = 1}

Y = {y | 1 ≤ y < b, (y, b) = 1}

Z = {z | 1 ≤ z < ab, (z, ab) = 1}

ถา z ∈ Z แลว (z, ab) = 1 ดงนน (z, a) = (z, b) = 1 นนคอ ม q1, q2, r1, r2 ∈ Z

ซง

z = q1a+ r1 และ z = q2b+ r2 ซง 1 ≤ r1 < a และ 1 ≤ r2 < b

จะไดวา (r1, a) = (r2, b) = 1 ดงนน r1 ∈ X และ r2 ∈ Y นนคอ φ(ab) ≤ φ(a)φ(b)

ให c ∈ X และ d ∈ Y จากบทตง 3.3.1 จะไดวา (ad + bc, ab) = 1 ดงนน ม

q, r ∈ Z ซง

ad+ bc = (ab)q + r, 1 ≤ r < ab และ (r, ab) = (ad+ bc, ab) = 1

ทำใหไดวา r ∈ Z ดงนน φ(ab) ≥ φ(a)φ(b)

นนคอ φ(ab) = φ(a)φ(b) �

ทฤษฎบท 3.3.3 ให n ∈ Z และ n > 1 ซง n เขยนไดในรปมาตรฐาน

n = pa11 pa22 . . . pakk

โดยท k ≥ 1 และ p1 < p2 < . . . < pk เปนจำนวนเฉพาะ ซง ai ∈ N สำหรบ i = 1, . . . , k

จะไดวา

φ(n) = (pa11 − pa1−11 )(pa22 − pa2−1

2 ) . . . (pakk − pak−1k )

= n(p1 − 1

p1)(p2 − 1

p2) . . . (

pk − 1

pk)

พสจน โดยวธอปนยทางคณตศาสตรบน k ถา k = 1 แลว n = pa11 และจากทฤษฎบท

3.3.1 จะไดวา

φ(n) = pa11 − pa1−11 = pa11 (

p1 − 1

p1)

ดงนน ทฤษฎบทเปนจรง

สมมตวาทฤษฎบทเปนจรง เมอ k = i (จะแสดงวา ทฤษฎบทเปนจรงเมอ k = i+1)

จะไดวา

n = pa11 pa22 . . . paii และ

φ(n) = (pa11 − pa1−11 )(pa22 − pa2−1

2 ) . . . (paii − pai−1i )

เนองจาก (pa11 pa22 . . . paii , pai+1

i+1 ) = 1 ดงนน จากทฤษฎบท 3.3.2 จะไดวา

φ(pa11 pa22 . . . paii pai+1

i+1 ) = φ(pa11 pa22 . . . paii )φ(pai+1

i+1 )

= (pa11 − pa1−11 )(pa22 − pa2−1

2 ) . . . (paii − pai−1i )(p

ai+1

i+1 − pai+1−1i+1 )

จากสมมตฐาน และ φ(pai+1

i+1 ) = pai+1

i+1 −pai+1−1i+1 ทำใหไดวา ทฤษฎบทเปนจรง เมอ k = i+1

นนคอ ทฤษฎบทเปนจรงสำหรบแตละจำนวนเตมบวก k �

หมายเหต 3.3.1 จากทฤษฎบท 3.3.3 เราอาจเขยนเปน

φ(n) = n∏

p|n

(1− 1

p) เมอ p เปนจำนวนเฉพาะ

ตวอยางท 3.3.4 จงหา

(1) φ(24)

(2) φ(160)

วธทำ (1) φ(24)

เนองจาก 24 = 23 · 31 ดงนน จากทฤษฎบท 3.3.3 จะไดวา

φ(24) = 24(2− 1

2)(3− 1

3) = 24(

1

2)(2

3) = 8

หรอ φ(24) = (23 − 22)(31 − 30) = 22(2− 1)(3− 1) = (4)(2) = 8

(2) φ(160)

เนองจาก 160 = 25 · 51 ดงนน จากทฤษฎบท 3.3.3 จะไดวา

φ(160) = 160(2− 1

2)(5− 1

5) = 160(

1

2)(4

5) = 64

หรอ φ(160) = (25 − 24)(51 − 50) = 24(2− 1)(5− 1) = (4)(16) = 64

�

ตวอยางท 3.3.5 จงแสดงวา ถา n > 2 แลว φ(n) เปนจำนวนเตมค

พสจน ให n > 2 จากทฤษฎบทหลกมลเลขคณต จะไดวา n เขยนไดในรป

n = pa11 pa22 . . . pakk

โดยท p1 < p2 < . . . < pk เปนจำนวนเฉพาะ ซง ai ∈ N สำหรบ i = 1, . . . , k

ดงนนโดยทฤษฎบท 3.3.3 จะไดวา

φ(n) = (pa11 − pa1−11 )(pa22 − pa2−1

2 ) . . . (pakk − pak−1k )

= pa1−11 (p1 − 1)pa2−1

2 (p2 − 1) . . . pak−1k (pk − 1)

กรณ p1 = 2 แยกพจารณาเปน a1 = 1 หรอ a1 > 1

ถา a1 = 1 เนองจาก n > 2 จะม p2 > 2 เปนตวประกอบของ n ดงนน p2

เปนจำนวนค ทำใหไดวา p2 − 1 เปนจำนวนค นนคอ φ(n) เปนจำนวนค

ถา a1 > 1 แลว pa1−11 = 2a1−1 ดงนน φ(n) ม 2 เปนตวประกอบ นนคอ φ(n)

เปนจำนวนค

กรณ p1 = 2 แลว p1 > 2 เปนจำนวนค ดงนน p1 − 1 เปนจำนวนค นนคอ φ(n)

เปนจำนวนค �

ขอสงเกต 3.3.2∑

d|n

φ(d) = n


ตวอยางท 3.3.6 (1) เนองจาก ตวหารของ 6 คอ 1, 2, 3 และ 6 ดงนน∑

d|6

φ(d) = φ(1) + φ(2) + φ(3) + φ(6)

= 1 + 1 + 2 + 2

= 6

(2) เชนเดยวกน∑

d|12

φ(d) = φ(1) + φ(2) + φ(3) + φ(4) + φ(6) + φ(12)

= 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 4

= 12


(1) จงหา

(1.1) φ(72)

(1.2) φ(210)

(1.3) φ(720)

(1.4) φ(pt) เมอ p เปนจำนวนเฉพาะ

(2) ให Sd = {x | (x, 8) = d และ 1 ≤ x ≤ 8}

(2.1) จงเขยนสมาชกของเซต Sd สำหรบแตละ d ∈ N ท d | 8

(2.2) จงแสดงวา จำนวนสมาชกของ Sd เทากบ φ(8d)

(2.3) จงแสดงวา∑

d|8

φ(8

d) = 8

(3) จงหา n ∈ N ทงหมด ททำให φ(n) เปนจำนวนค

4) จงหา n ∈ N ทนอยทสด ททำใหสมการ φ(x) = n

(4.1) ไมมคำตอบ

(4.2) ม 2 คำตอบ

(4.3) ม 3 คำตอบ

(5) ให n เปนจำนวนเตมคทเปนบวก จงพสจนวา φ(2n) = φ(n)

(6) ให p > 2 เปนจำนวนฉพาะ และ n = 2(2p− 1) จงพสจนวา φ(n) = φ(n+ 2)


3.4 ฟงกชนเมอบอส

ฟงกชนเมอบอส เปนฟงกชนเลขคณต ซงไดกำหนดบทนยามดงน

บทนยาม 3.4.1 ให n ∈ N ซงเขยนไดในรป

n = pa11 pa22 . . . pakk

โดยท p1 < p2 < . . . < pk เปนจำนวนเฉพาะ ซง ai ∈ N เมอ i = 1, . . . , k จะไดวา

ฟงกชนเมอบอส (Mobius function) กำหนดโดย

µ(n) =

1 ถา n = 1

0 ถามจำนวนเฉพาะ p ซง p2 | n

(−1)k ถาแตละ ai = 1

ตวอยางท 3.4.1 (1) µ(2) = µ(3) = µ(5) = µ(p) = (−1)1 = −1 เมอ p เปนจำนวนเฉพาะ

(2) µ(9) = µ(32) = 0

µ(81) = µ(34) และเนองจาก 32 | 81 ดงนน µ(81) = 0

(3) µ(6) = µ(2 · 3) = (−1)2 = 1

µ(30) = µ(2 · 3 · 5) = (−1)3 = −1

µ(210) = µ(2 · 3 · 5 · 7) = (−1)4 = 1

µ(p1p2 . . . p10) = (−1)10 = 1 เมอ pi i ∈ {1, 2, . . . , 10}เปนจำนวนเฉพาะ

(4) µ(18) = µ(2 · 32) และเนองจาก 32 | 18 ดงนน µ(18) = 0

µ(120) = µ(23 · 3 · 5) และเนองจาก 22 | 120 ดงนน µ(120) = 0

µ(p1p32p

73p

114 ) = 0 เมอ p1, p2, p3, p4 เปนจำนวนเฉพาะ �

ทฤษฎบท 3.4.1 µ เปนฟงกชนแยกคณ

พสจน ให a, b ∈ N ซง (a, b) = 1

กรณ a = 1 หรอ b = 1

ถา a = 1 แลว µ(ab) = µ(1 · b) = µ(b) = 1 · µ(b) = µ(1)µ(b) = µ(a)µ(b)

ในทำนองเดยวกน ถา b = 1 แลว µ(ab) = µ(a)µ(b)


กรณ a > 1 หรอ b > 1

ถามจำนวนเฉพาะ p ซง p2 | a หรอ p2 | b จะไดวา p2 | ab

ดงนน (µ(a) = 0 หรอ µ(b) = 0) และ µ(ab) = 0

นนคอ µ(ab) = 0 = µ(a)µ(b)

ถาไมมจำนวนเฉพาะ p ซง p2 | a และ p2 | b

ให a = p1p2 . . . pr และ b = q1q2 . . . qs, เมอ pi, qj เปนจำนวนเฉพาะ

ดงนน µ(ab) = µ(p1p2 . . . prq1q2 . . . qs)

= (−1)r+s = (−1)r(−1)s

= µ(a)µ(b)

นนคอ µ เปนฟงกชนแยกคณ �

ตวอยางท 3.4.2 จงหา µ(210 · 143)

วธทำ ใชทฤษฎบท 3.4.1 จะไดวา

µ(210 · 143) = µ(210)µ(143)

= µ(2 · 3 · 5 · 7)µ(11 · 13)

= µ(2)µ(3)µ(5)µ(7)µ(11)µ(13)

= (−1)6

= 1

�


(1)∑

d|(24)

µ(d)

(2)∑

d|(22·32)

µ(d)

วธทำ

(1)∑

d|(24)

µ(d) = µ(1) + µ(2) + µ(3) + µ(4) + µ(6) + µ(12) + µ(24)

= 1 + (−1) + (−1) + 0 + 1 + 0 + 0

= 0



(2) เนองจากตวหารของ 22 · 32 คอ 2a · 3b เมอ a = 0, 1, 2 และ b = 0, 1, 2

และใชทฤษฎบท 3.4.1 จะไดวา

∑

d|(22·32)

µ(d) = µ(20 · 30) + µ(20 · 31) + µ(20 · 32) +

µ(21 · 30) + µ(21 · 31) + µ(21 · 32) +

µ(22 · 30) + µ(22 · 31) + µ(22 · 32)

= (µ(20) + µ(21) + µ(22))(µ(30) + µ(31) + µ(32))

= (1 + (−1) + 0)(1 + (−1) + 0)

= 0

�

ทฤษฎบท 3.4.2 ให f เปนฟงกชนแยกคณ d > 0 และ F เปนฟงกชนซงกำหนดโดย

F (n) =∑

d|n

f(d)

จะไดวา (1) F เปนฟงกชนแยกคณ

(2) ถา G(n) =∑

d|n

µ(d) แลว G(n) =

1 ถา n = 1

0 ถา n > 1

พสจน (1) ให a, b ∈ N ซง (a, b) = 1, d | ab และ d | d1d2 โดยท d1 | a และ d2 | b

จะไดวา

F (ab) =∑

d|ab

f(d) =∑

d1|a,d2|b

f(d1d2)

เนองจาก (a, b) = 1, d1 | a และ d2 | b ดงนน (d1, d2) = 1

จากทฤษฎบท 3.4.1 จะไดวา µ(d1d2) = µ(d1)µ(d2) ดงนน

F (ab) =∑

d1|a,d2|b

f(d1)f(d2) = (∑

d1|a

f(d1))(∑

d2|b

f(d2)) = F (a)F (b)

นนคอ F เปนฟงกชนแยกคณ


(2) เนองจาก G(n) =∑

d|n

µ(d) และจากทฤษฎบท 3.4.1 µ เปนฟงกชนแยกคณ

ดงนนจาก (1) จะไดวา G เปนฟงกชนแยกคณ

กรณ ถา n = 1 แลว G(n) =∑

d|n

µ(d) =∑

d|1

µ(d) = µ(1) = 1

กรณ ถา n > 1 แลว n เขยนไดในรป n = pa11 pa22 . . . pakk โดยท 1 < p1 < p2 < . . . < pk

เปนจำนวนเฉพาะ ซง ai ∈ N เมอ i = 1, . . . , k

ถา k = 1 แลว n = pa11

เนองจาก d | n ดงนน d = p01, p11, p

21, . . . , p

a11 ทำใหไดวา

G(pa11 ) =∑

d|pa11

µ(d)

= µ(p01) + µ(p11) + µ(p21) + . . .+ µ(pa11 )

= 1 + (−1) + 0 + . . .+ 0

= 0

ถา k > 1 และ G เปนฟงกชนแยกคณ แลว

G(n) = G(pa11 pa22 . . . pakk )

= G(pa11 )G(pa22 ) . . . G(pakk )

= 0

�

ตวอยางท 3.4.4 ให n = 99, a = 9 และ b = 11 จงแสดงวา F (9 · 11) = F (9)F (11)

และ F (99) = 0

วธทำ เนองจาก (a, b) = (9, 11) = 1 และ d | 99 หรอ d | (32 · 11)


ดงนน d คอ 30 · 110, 30 · 111, 31 · 110, 31 · 111, 32 · 110 และ 32 · 111 จะไดวา

F (9 · 11) = µ(30 · 110) + µ(30 · 111) + . . .+ µ(32 · 111)

= µ(30)µ(110) + µ(30)µ(111) + . . .+ µ(32)µ(111)

= (µ(30) + µ(31) + µ(32))(µ(110) + µ(111))

= (∑

d1|9

µ(d1))(∑

d2|11

µ(d2))

= F (9)F (11)

และ

F (99) = F (9 · 11) =∑

d|99

µ(d) =∑

d1|9,d2|11

µ(d1d2) = (∑

d1|9

µ(d1))(∑

d2|11

µ(d2))

= (µ(30) + µ(31) + µ(32))(µ(110) + µ(111))

= (µ(1) + µ(3) + µ(32))(µ(1) + µ(11))

= (1 + (−1) + 0)(1 + (−1))

= 0

�

บทตง 3.4.1 ให c, d, n ∈ N จะไดวา d | n และ c | nd

กตอเมอ c | n และ d | nc

พสจน เนองจาก d | n ดงนน จะม s ∈ N ททำให n = ds

ให s = n

dและจาก c | n

dจะไดวา ม t ∈ N ททำให s = n

d= ct

นนคอ n = ds = d(ct) = c(dt)

ดงนน c | n และ d | nc

�

ทฤษฎบท 3.4.3 (Mobius inversion formula)

ให f เปนฟงกชนเลขคณต c, d, n ∈ N และ F เปนฟงกชนซงกำหนดโดย

F (n) =∑

d|n

f(d)

จะไดวา

f(n) =∑

d|n

µ(d)F (n

d) =

∑

d|n

µ(n

d)F (d)



พสจน จากทฤษฎบท 3.4.2 (1) จะไดวา

∑

d|n

µ(d)F (n

d) =

∑

d|n

µ(d)∑

c|(nd)

f(c) =∑

d|n

∑

c|(nd)

µ(d)f(c)

และจากบทตง 3.4.1 จะไดวา

∑

d|n

∑

c|(nd)

µ(d)f(c) =∑

c|n

(∑

d|(nc)

f(c)µ(d)) =∑

c|n

f(c)∑

d|(nc)

µ(d)

จากทฤษฎบท 3.4.2 (2) จะไดวา

∑

d|(nc)

µ(d) =

1 ถา n

c= 1 (c = n)

0 ถา n

c> 1 (c = n)

ดงนน

∑

d|n

µ(d)F (n

d) =

∑

c|n

f(c)∑

d|(nc)

µ(d) = 0 + 0 + . . .+ 0 + f(n) · 1 = f(n)

ให d′ = n

dจะไดวา d =

n

d′ดงนน

∑

d|n

µ(d)F (n

d) =

∑

d|n

µ(n

d′)F (d′) โดยท dd′ = n

เนองจากเซต {d | d หาร n ลงตว } = {d′ | d′ = n

d}

ดงนน∑

d|n

µ(d)F (n

d) =

∑

d|n

µ(n

d)F (d) �

หมายเหต 3.4.1 จากทฤษฎบท 3.4.3 จะไดวา

φ(n) =∑

p|n

µ(d)(n

d)

ตวอยางท 3.4.5 จงหา∑

d|(24)

µ(d)(24

d)



วธทำ จากตวอยาง 3.3.4 เราไดวา φ(24) = 8

∑

d|(24)

µ(d)(24

d) = µ(1)(

24

1) + µ(2)(

24

2) + µ(3)(

24

3) + µ(4)(

24

4) +

µ(6)(24

6) + µ(12)(

24

12) + µ(24)(

24

24)

= (1)(24) + (−1)(12) + (−1)(8) + (0)(6) +

(1)(4) + (0)(2) + (0)(1)

= 24− 12− 8 + 0 + 4 + 0 + 0

= 8

= φ(24)

�


(1) จงหา

(1.1) µ(300) (1.2) µ(166)

(2) จงหา µ(105 · 143)

(3) ให n ∈ N และ n ≥ 3 จงแสดงวาn

∑

k=1

µ(k!) = 1

(4) จงหาคาของ∞∑

j=1

µ(j!)

(5) จงหาจำนวนเตม n ททำให

µ(n) + µ(n+ 1) + µ(n+ 2) = 3

(6) จงพสจนวา สำหรบแตละ n ∈ N

µ(n)µ(n+ 1)µ(n+ 2)µ(n+ 3) = 0


3.5 ฟงกชนจำนวนเตมคามากสด

บทนยาม 3.5.1 ให x ∈ R ฟงกชนจำนวนเตมคามากสด (greatest integer function

หรอ floor function) กำหนดโดย

⌊x⌋ หมายถง จำนวนเตมคามากสดทนอยกวาหรอเทากบ x

ขอสงเกต 3.5.1 จากบทนยาม จะเหนวา

(1) ⌊x⌋ เปนฟงกชน จาก R ไปทวถง Z แบบหลายตอหนง (many to one)

เคนเนท อเวอรสน (Kenneth Iverson) เปนคนแรกทใชเครองหมายนเมอตนป

ค.ศ. 1960 และนยมใชกนอยางแพรหลายในเวลาตอมา

(2) ⌊x⌋+ a = x สำหรบบาง a ∈ R ท 0 ≤ a < 1

ตวอยางท 3.5.1 (1) ⌊163⌋ = 5 (2) ⌊−9⌋ = −9

(3) ⌊√12⌋ = 3 (4) ⌊−

√12⌋ = −4

(5) ⌊π⌋ = 3 (6) ⌊−π⌋ = −4

(7) ⌊√3 + 0.573⌋ = 2 (8) ⌊1.99 . . .⌋ = 2 �

ทฤษฎบทตอไปนกลาวถงสมบตเบองตนของฟงกชน ⌊x⌋

ทฤษฎบท 3.5.1 ให x ∈ R จะไดวา x− 1 < ⌊x⌋ ≤ x

พสจน จากบทนยาม 3.5.1 จะไดวา ⌊x⌋ ≤ x

ดงนน โดยขอสงเกต 3.5.1 (2) จะม 0 ≤ a < 1 ททำให ⌊x⌋+ a = x ทำใหไดวา

⌊x⌋ = x− a และ x− 1 < x− a

ดงนน ⌊x⌋ > x− 1

นนคอ x− 1 < ⌊x⌋ ≤ x �

จากทฤษฎบท 3.5.1 ทำใหไดบทแทรกตอไปน

บทแทรก 3.5.1 ให x ∈ R จะไดวา

(1) ⌊x⌋ ≤ x < ⌊x⌋+ 1

(2) 0 ≤ x− ⌊x⌋ < 1

ทฤษฎบท 3.5.2 ให x, y ∈ R จะไดวา

(1) ⌊x+m⌋ = ⌊x⌋+m เมอ m ∈ Z

(2) ⌊x⌋+ ⌊−x⌋ = 0 หรอ − 1

(3) ⌊x+ y⌋ ≥ ⌊x⌋+ ⌊y⌋

(4) ⌊⌊x⌋n

⌋ = ⌊xn⌋ เมอ n ∈ N

พสจน (1) ให x ∈ R และ m ∈ Z จากขอสงเกต 3.5.1 (2) จะไดวา ⌊x⌋ + a = x

สำหรบบาง a ∈ R ท 0 ≤ a < 1 ดงนน x + m = ⌊x⌋ + m + a แต ⌊x⌋ + m

เปนจำนวนเตม จงทำใหไดวา ⌊x+m⌋ = ⌊x⌋+m

(2) ถา x ∈ Z แลว ⌊x⌋ = x และ ⌊−x⌋ = −x

จะไดวา ⌊x⌋+ ⌊−x⌋ = x+ (−x) = 0

ถา x /∈ Z แลว ⌊x⌋ + a = x สำหรบบาง 0 ≤ a < 1 ดงนน −x = −⌊x⌋ − a =

−1− ⌊x⌋+ (1− a) เนองจาก 0 < 1− a < 1 ดงนน ⌊−x⌋ = −1− ⌊x⌋

นนคอ ⌊x⌋+ ⌊−x⌋ = ⌊x⌋ − 1− ⌊x⌋ = −1

(3) ให x = ⌊x⌋+ a สำหรบบาง 0 ≤ a < 1 และ

y = ⌊y⌋+ b สำหรบบาง 0 ≤ b < 1

จะไดวา x+ y = ⌊x⌋+ ⌊y⌋+ a+ b เมอ 0 ≤ a+ b < 2

ถา 0 ≤ a+ b < 1 แลว ⌊x+ y⌋ = ⌊x⌋+ ⌊y⌋

ถา 1 ≤ a+ b < 2 แลว ⌊x+ y⌋ = ⌊x⌋+ ⌊y⌋+ 1 จะไดวา ⌊x+ y⌋ > ⌊x⌋+ ⌊y⌋

นนคอ ⌊x+ y⌋ ≥ ⌊x⌋+ ⌊y⌋

(4) ให x = ⌊x⌋+ c สำหรบบาง 0 ≤ c < 1 จากขนตอนวธการหาร จะไดวา

⌊x⌋ = qn+ r เมอ 0 ≤ r ≤ n− 1

ดงนน ⌊x⌋n

= q +r

nเมอ 0 ≤ r

n≤ n− 1

n< 1 แต q ∈ Z

ทำใหไดวา ⌊⌊x⌋n

⌋ = q

เนองจาก x = ⌊x⌋+ c = (qn+ r) + c สำหรบบาง 0 ≤ c < 1

ดงนน x

n=

(qn+ r) + c

n= q+

r + c

nโดยท q ∈ Z และ 0 ≤ r + c

n≤ n− 1 + c

n=

1− 1− c

n< 1

ทำใหไดวา ⌊xn⌋ = q นนคอ ⌊⌊x⌋

n⌋ = ⌊x

n⌋ �

ความสมพนธระหวางฟงกชน τ σ และ ⌊x⌋ แสดงไดจากทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท 3.5.3 ให n ∈ N จะไดวา

(1) τ(1) + τ(2) + . . .+ τ(n) = ⌊n1⌋+ ⌊n

2⌋+ . . .+ ⌊n

n⌋

(2) σ(1) + σ(2) + . . .+ σ(n) = 1⌊n1⌋+ 2⌊n

2⌋+ . . .+ n⌊n

n⌋

พสจน (1) ให P (n) แทน τ(1) + τ(2) + . . . + τ(n) = ⌊n1⌋ + ⌊n

2⌋ + . . . + ⌊n

n⌋ ถา

n = 1 แลว τ(1) = 1 = ⌊1⌋ = ⌊11⌋ ดงนน P (1) เปนจรง

สมมตวา P (k) เปนจรง คอ τ(1)+ τ(2)+ . . .+ τ(k) = ⌊k1⌋+ ⌊k

2⌋+ . . .+ ⌊k

k⌋

จะแสดงวาทฤษฎเปนจรง เมอ n = k + 1 คอ จะแสดงวา

τ(1) + τ(2) + . . .+ τ(k) + τ(k + 1) = ⌊k1⌋+ ⌊k

2⌋+ . . .+ ⌊k

k⌋+ τ(k + 1) (∗)

พจารณา ⌊k + 1

i⌋ เมอ i = 1, 2, . . . , k + 1 จะเหนวา k + 1

i=

k

i+

1

i

ถา i ∤ (k+1) แลว ⌊k + 1

i⌋ = ⌊k

i⌋ และถา i | (k+1) แลว ⌊k + 1

i⌋ = ⌊k

i⌋+1

ดงนน

⌊k + 1

1⌋+ ⌊k + 1

2⌋+ . . .+ ⌊k + 1

k⌋+ ⌊k + 1

k + 1⌋

= (⌊k1⌋+ ⌊k

2⌋+ . . .+ ⌊k

k⌋+ ⌊ k

k + 1⌋) + τ(k + 1)

= (⌊k1⌋+ ⌊k

2⌋+ . . .+ ⌊k

k⌋) + ⌊ k

k + 1⌋+ τ(k + 1)

= (⌊k1⌋+ ⌊k

2⌋+ . . .+ ⌊k

k⌋) + 0 + τ(k + 1) (∗∗)

จาก (∗) และ (∗∗) จะไดวา

τ(1)+ τ(2)+ . . .+ τ(k)+ τ(k+1) = ⌊k + 1

1⌋+ ⌊k + 1

2⌋+ . . .+ ⌊k + 1

k⌋+ ⌊k + 1

k + 1⌋

ดงนน P (k + 1) เปนจรง นนคอ P (n) เปนจรงสำหรบแตละ n ∈ N

(2) สามารถพสจนไดในทำนองเดยวกน �

ตวอยางท 3.5.2 จงแสดงวา

(1)6

∑

n=1

τ(n) =6

∑

n=1

⌊ 6n⌋

(2)6

∑

n=1

σ(n) =6

∑

n=1

n⌊ 6n⌋

วธทำ (1) เนองจาก τ(1) = 1, τ(2) = 2 = τ(3), τ(4) = 3, τ(5) = 2 และ τ(6) = 4

และ ⌊61⌋ = 6, ⌊6

2⌋ = 3, ⌊6

3⌋ = 2, ⌊6

4⌋ = ⌊6

5⌋ = ⌊6

6⌋ = 1

นนคอ6

∑

n=1

τ(n) = 1 + 2 + 2 + 3 + 2 + 4 = 14 = 6 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 =6

∑

n=1

⌊ 6n⌋

(2) เนองจาก σ(1) = 1, σ(2) = 1 + 2 = 3, σ(3) = 1 + 3 = 4,

σ(4) = 1 + 2 + 4 = 7, σ(5) = 1 + 5 = 6 และ σ(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12

และ 1⌊61⌋ = 6, 2⌊6

2⌋ = 6, 3⌊6

3⌋ = 6, 4⌊6

4⌋ = 4, 5⌊6

5⌋ = 5, 6⌊6

6⌋ = 6

ดงนน6

∑

n=1

σ(n) = 1+3+4+7+6+12 = 33 = 6+6+6+4+5+6 =6

∑

n=1

n⌊ 6n⌋ �

บทนยาม 3.5.2 ให n ∈ N และ pi เปนจำนวนเฉพาะ ซง n! = 1 · 2 · 3 · . . . · (n− 1) · n

เขยนไดในรปมาตรฐาน pa11 pa22 . . . pakk แลว เลขชกำลงสงสดของ pi ใน n! จะเขยนแทนดวย

Epi(n!)

ตวอยางท 3.5.3 เนองจาก 10! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 = 28 · 34 · 52 · 7

ดงนน E2(10!) = 8, E3(10!) = 4, E5(10!) = 2 และ E7(10!) = 1 �

ทฤษฎบทตอไปน ชวยหาคา n! ในรปมาตรฐานไดงายขน และยงชใหเหนกำลงสงสดของ

p ทหาร n! ลงตว

ทฤษฎบท 3.5.4 ให n ∈ N และ p เปนจำนวนเฉพาะ จะไดวา

Ep(n!) =∞∑

k=1

⌊ npk

⌋ = ⌊np⌋+ ⌊ n

p2⌋+ ⌊ n

p3⌋+ . . .

พสจน ให n ∈ N และ p เปนจำนวนเฉพาะ จะไดวา

จำนวนทหารดวย p ลงตวตงแต 1 ถง n คอ p, 2p, 3p, . . . ,mp โดยท m เปนจำนวน

เตมบวกทมากทสดท mp < n หรอ m ≤ ⌊np⌋ นนคอ m = ⌊n

p⌋


จำนวนทหารดวย p2 ลงตวตงแต 1 ถง n คอ p2, 2p2, 3p2, . . . , ⌊ np2⌋p2 มทงหมด

⌊ np2⌋ จำนวน

...

จำนวนทหารดวย pk ลงตวตงแต 1 ถง n เมอ pk ≤ n คอ pk, 2pk, 3pk, . . . , ⌊ npk

⌋pk

มทงหมด ⌊ npk

⌋ จำนวน

เนองจาก n! = 1 · 2 · 3 · . . . · (n− 1) · n

ดงนน เมอนำ p หารจำนวนทางขวาตวละหนงครง จะได ⌊np⌋ ครง

และ เมอนำ p หารจำนวนทางขวาซงเปนผลลพธจากครงแรก จะไดอก ⌊ np2⌋ ครง

...

เมอนำ p หารจำนวนทางขวาตวละครงไปเรอย ๆ จนไมสามารถหารไดอก จะไดจำนวนครงของ

การหารดวย p ทงหมด

⌊np⌋+ ⌊ n

p2⌋+ ⌊ n

p3⌋+ . . . =

∞∑

k=1

⌊ npk

⌋

ดงนน เลขชกำลงสงสดของ p ใน n คอ∞∑

k=1

⌊ npk

⌋

นนคอ Ep(n!) =∞∑

k=1

⌊ npk

⌋ �

ตวอยางท 3.5.4 (1) จงหา E3(80!)

(2) คาของ 80! ม 0 ทงหมดกตว

วธทำ (1) E3(80!) =∞∑

k=1

⌊803k

⌋ = ⌊803⌋+ ⌊80

32⌋+ ⌊80

33⌋+ ⌊80

34⌋+ . . .

= 26 + 8 + 2 + 0

= 36

(2) พจารณาวา ม 10 เกดขนกครงใน 80! นนคอหา E2(80!) และ E5(80!) แลวเลอกตวท

มคานอย ดงน

E2(80!) = ⌊802⌋+⌊80

22⌋+⌊80

23⌋+⌊80

24⌋+⌊80

25⌋+⌊80

26⌋+⌊80

27⌋+ . . .

= 40 + 20 + 10 + 5 + 2 + 1 + 0

= 78


E5(80!) = ⌊805⌋+ ⌊80

52⌋+ ⌊80

53⌋+ . . .

= 16 + 3 + 0

= 19

เนองจาก 278 | 80! และ 519 | 80! ดงนน 278 · 519 | 80!

ทำใหไดวา 1019 | 80!

นนคอ 80! ม 0 ทงหมด 19 ตว �

จากทฤษฎบท 3.5.4 น ทำใหไดวา จำนวนเฉพาะ pi ซง pi ≤ n เปนตวประกอบของ

n! และสามารถหา Ep(n!) ซง pEpi

(n!)

i เปนตวประกอบของ n! ดวย ทำใหสามารถเขยน n!

ในรปมาตรฐานไดดงน

n! = p

∞∑

i=1

⌊ npi1⌋

1 p

∞∑

i=1

⌊ npi2⌋

2 . . . p

∞∑

i=1

⌊ npik

⌋k

เมอ p1 < p2 < · · · < pk เปนจำนวนเฉพาะ และ pk มคามากทสดท pk ≤ n ซงเราเรยก

รปมาตรฐานนวา สตรของเลอชองดร (Legendre formula)

ตวอยางท 3.5.5 จงเขยน 30! ใหอยในรปมาตรฐาน

วธทำ จาก n! = p

∞∑

i=1

⌊ npi1⌋

1 p

∞∑

i=1

⌊ npi2⌋

2 . . . p

∞∑

i=1

⌊ npik

⌋k

ถา p = 2 แลว∞∑

i=1

⌊302i⌋ = ⌊30

2⌋+ ⌊30

22⌋+ ⌊30

23⌋+ ⌊30

24⌋+ ⌊30

25⌋+ . . .

= 15 + 7 + 3 + 1 + 0 = 26


i=1

⌊303i⌋ = ⌊30

3⌋+ ⌊30

32⌋+ ⌊30

33⌋+ ⌊30

34⌋+ . . .

= 10 + 3 + 1 + 0 = 14


i=1

⌊305i⌋ = ⌊30

5⌋+ ⌊30

52⌋+ ⌊30

53⌋+ . . .

= 6 + 1 + 0 = 7



i=1

⌊307i⌋ = ⌊30

7⌋+ ⌊30

72⌋+ . . .

= 4 + 0 = 4


i=1

⌊ 3011i

⌋ = ⌊3011

⌋+ ⌊ 30112

⌋+ . . .

= 2 + 0 = 2


i=1

⌊ 3013i

⌋ = ⌊3013

⌋+ ⌊ 30132

⌋+ . . .

= 2 + 0 = 2

ถา p = 17, 19, 23, 29 แลว∞∑

i=1

⌊30pi⌋ = 1

ดงนน 30! = 226 · 314 · 57 · 74 · 112 · 132 · 17 · 19 · 23 · 29 �


(1) ขอความตอไปน จรงหรอเทจ

(1.1) ⌊1.5 + 1.7⌋ = ⌊1.5⌋+ ⌊1.7⌋

(1.2) ⌊1.8 + 2⌋ = ⌊1.8⌋+ ⌊2⌋

(1.3) ⌊85⌋ = ⌊8⌋

⌊5⌋(1.4) ⌊(3.5) · 2⌋ = ⌊3.5⌋⌊2⌋

(1.5) ⌊⌊3 · 2⌋4

⌋ = ⌊3 · 24

⌋

(1.6) ⌊nx⌋ = ⌊n⌊x⌋⌋ เมอ x ∈ R, n ∈ N

(2) จงพสจนบทแทรก 3.5.1

(3) จงพสจนทฤษฎบท 3.5.3 (2)

(4) จงหา E5(100!)

(5) จงหาจำนวนเตม n ≥ 1 ซง E5(n!) = 100

(6) จงหา 100! ม 0 ทงหมดกตว

(7) จงเขยน 40! ในรปมาตรฐาน



(8) จงหาเซตของ x ท ทำให

(8.1) ⌊x⌋+ ⌊x⌋ = ⌊2x⌋

(8.2) 3 + ⌊x⌋ = ⌊x+ 3⌋

(9) ให x, y ∈ R จงพสจนวา

(9.1) ⌊x⌋⌊y⌋ ≤ ⌊xy⌋

(9.2) ⌊x− y⌋ ≤ ⌊x⌋ − ⌊y⌋


บทท 4

สมภาค

บทนเราไดศกษาถงความหมายสมภาค ทฤษฎบทสำคญของสมภาค สวนตกคาง ระบบ

สวนตกคางและระบบลดทอน วธรอนดวย 9 และ 11 รวมทงสมภาคเชงเสนและการหาผลเฉลย

ตลอดถงการประยกตสมภาค

4.1 สมภาค

สมภาค (congruence) เปนเรองการหารจำนวนเตมในอกรปแบบหนงในทฤษฎจำนวน

ซงปรากฎเมอ ป ค.ศ. 1801 ในหนงสอ Disquisitiones Arithmeticae ของนกคณตศาสตร

ชอ เกาส

บทนยาม 4.1.1 ให m ∈ N, a, b ∈ Z จะกลาววา a สมภาคกบ b มอดโล m เขยนแทนดวย

a ≡ b(mod m) กตอเมอ m | (a− b) และถา m ∤ (a− b) จะกลาววา a ไมสมภาคกบ b

มอดโล m เขยนแทนดวย a ≡ b(mod m)

ตวอยางท 4.1.1 (1) 7 ≡ 2(mod 5) เพราะวา 5 | (7− 2)

(2) 25 ≡ 2(mod 4) เพราะวา 4 ∤ (25− 2)

(3) −25 ≡ −2(mod 3) เพราะวา 3 ∤ (−25 + 2)

(4) a ≡ b(mod 1) สำหรบ a, b ∈ Z เพราะวา 1 | (a− b)

(5) a ≡ a(mod m) สำหรบ a ∈ Z เพราะวา m | (a− a) หรอ m | 0

(6) 4a ≡ 9(mod 512) สำหรบ a ∈ Z เพราะวา 512 ∤ (4a− 9) �

ตวอยางท 4.1.2 ถา a ≡ b(mod m) แลว จงแสดงวา

(1) a+ c ≡ b+ c(mod m)

(2) ac ≡ bc(mod m)


พสจน (1) เนองจาก a ≡ b(mod m) ดงนน จากบทนยาม 4.1.1 จะไดวา m | (a − b)

ดงนน

a− b = km, ∃k ∈ Z ⇒ (a− b) + (c− c) = km

⇒ (a+ c)− (b+ c) = km

⇒ m | (a+ c)− (b+ c)

นนคอ a+ c ≡ b+ c(mod m)

(2) เนองจาก a ≡ b(mod m) ดงนน m | (a− b)

m | (a− b) ⇒ a− b = lm, ∃ l ∈ Z

⇒ (a− b)c = (lm)c

⇒ (ac)− (bc) = (lc)m

⇒ m | (ac)− (bc)

นนคอ ac ≡ bc(mod m) �

ตวอยางท 4.1.3 เนองจาก 14 ≡ 8(mod 6) ดงนน

(1) 17 = 14 + 3 ≡ 8 + 3 = 11(mod 6)

(2) 11 = 14− 3 ≡ 8− 3 = 5(mod 6)

(3) 28 = (14)(2) ≡ (8)(2) = 16(mod 6)

แต

(4) 7 = 14÷ 2 ≡ 8÷ 2 = 4(mod 6)

หมายเหต 4.1.1 (1) a ≡ b(mod m) กตอเมอ a และ b หารดวย m แลวเหลอเศษเทากน

(2) เนองจาก m | (a−b) กตอเมอ −m | (a−b) ดงนนจงจะไมกลาวถง m ทเปนจำนวนเตมลบ

ทฤษฎบท 4.1.1 ให m ∈ N และ a, b, c, d, x, y ∈ Z จะไดวา

(1) ขอความตอไปนสมมลกน

(1.1) a ≡ b(mod m)



(1.2) b ≡ a(mod m)

(1.3) a− b ≡ 0(mod m)

(2) ถา a ≡ b(mod m) และ b ≡ c(mod m) แลว a ≡ c(mod m)

(3) ถา a ≡ b(mod m) และ c ≡ d(mod m) แลว ax+ cy ≡ bx+ dy(mod m)

(4) ถา a ≡ b(mod m) และ c ≡ d(mod m) แลว ac ≡ bd(mod m)

(5) ถา a ≡ b(mod m) และ d | m, d > 0 แลว a ≡ b(mod d)

พสจน (1) (1.1) ⇒ (1.2) ให a ≡ b(mod m) จากบทนยาม 4.1.1 จะไดวา m | (a − b)

และจากบทนยาม ?? จะไดวา ม k ∈ Z ซง a−b = mk ดงนน b−a = m(−k) แลวจะไดวา

m | (b− a) นนคอ b ≡ a(mod m)

(1.2) ⇒ (1.3) ให b ≡ a(mod m) จากบทนยาม 4.1.1 จะไดวา m | (b − a)

และจากบทนยาม ?? จะไดวา ม l ∈ Z ซง b− a = ml ดงนน a− b = m(−l) แลวจะไดวา

m | (a− b)− 0 ดงนน m | (a− b) นนคอ a− b ≡ 0(mod m)

(1.3) ⇒ (1.1) ให a−b ≡ 0(mod m) จากบทนยาม 4.1.1 จะไดวา m | (a−b)−0

ดงนน m | (a− b) นนคอ a ≡ b(mod m)

(3)

a ≡ b(mod m) และ c ≡ d(mod m) ⇒ m | (a− b) และ m | (c− d)

⇒ m | (a− b)x และ m | (c− d)y

⇒ m | (a− b)x+ (c− d)y

⇒ m | (ax+ cy)− (bx+ dy)

⇒ ax+ cy ≡ bx+ dy(mod m)

(5) ให a ≡ b(mod m) และ d | m, d > 0 จะไดวา m | (a − b) และ d | m

จากทฤษฎบท ?? (2) จะไดวา d | (a− b) ดงนน a ≡ b(mod d) �

จากตวอยาง 4.1.1 (5) และทฤษฎบท 4.1.1 (1) ขอ (1.1), (1.2), และ (2) จะไดวา

สมภาคมสมบตสะทอน (reflexive) สมบตสมมาตร (symmetric) และสมบตถายทอด (tran



sitive) ตามลำดบ ดงนน สมภาคเปนความสมพนธสมมลบน Z (equivalent relation on

Z)

ตวอยางท 4.1.4 จงหาเศษจากการหาร ตอไปน

(1) 5110 หารดวย 6

(2) 220 − 1 หารดวย 41

(3) 710 หารดวย 51

วธทำ (1) เนองจาก 5 ≡ −1(mod 6) ดงนน จากทฤษฎบท 4.1.1 (4) จะไดวา

5110 ≡ (−1)110(mod 6) ดงนน 5110 ≡ 1(mod 6)

(2) เนองจาก 25 ≡ −9(mod 41) จากทฤษฎบท 4.1.1 (4) จะไดวา

(25)4 ≡ (−9)4(mod 41) นนคอ 220 ≡ (81)(81)(mod 41)

เนองจาก 81 ≡ −1(mod 41) และจากทฤษฎบท 4.1.1 (4)

จะไดวา (81)(81) ≡ (−1)(−1)(mod 41)

จากทฤษฎบท 4.1.1 (2) จะไดวา 220 ≡ 1(mod 41)

ดงนน 41 หาร 220 − 1 ไมมเศษ นนคอ 41 | 220 − 1

(3) เนองจาก 72 = 49 ≡ −2(mod 51) จะไดวา (72)5 ≡ (−2)5(mod 51)

ดงนน 710 = (72)5 ≡ (−2)5 = −32(mod 51)

เนองจาก −32 ≡ 19(mod 51) และจากทฤษฎบท 4.1.1 (2)

จะไดวา 710 ≡ 19(mod 51)

นนคอ 51 หาร 710 เหลอเศษ 19 �

ตวอยางท 4.1.5 จงหาเศษจากการหาร (32, 517)(5, 328) ดวย 14

วธทำ เนองจาก 32, 517 ≡ 9 (mod 14)

และ 5, 328 ≡ 8 (mod 14)

จาก ทฤษฎบท 4.1.1(4) จะไดวา

(32, 517)(5, 328) ≡ (9)(8) = 72 (mod 14)

เนองจาก 72 ≡ 2 (mod 14) และ จาก ทฤษฎบท 4.1.1 (2)

ดงนน (32, 517)(5, 328) ≡ 2 (mod 14)

นนคอ (32, 517)(5, 328) หารดวย 14 เหลอเศษ 2 �



ตวอยางท 4.1.6 จงหาเศษจากการหาร (375)2100 − 3587 ดวย 6

วธทำ เนองจาก 375 ≡ 3 (mod 6)

2100 = (25)20 = 3220 ≡ 220 = (25)4 = 324 ≡ 24 = 16 ≡ 4 (mod 6)

และ 35 ≡ −1 (mod 6)

แลว 3587 ≡ (−1)87 = −1 (mod 6)

ดงนน (375)2100 − 3587 ≡ (3)(4)− (−1) = 13 ≡ 1 (mod 6)

นนคอ (375)2100 − 3587 หารดวย 6เหลอเศษ1 �

ตวอยางท 4.1.7 ให n หารดวย 8 เหลอเศษ 5 จงหาเศษจากการหาร n3 + 5n ดวย 8

วธทำ เนองจาก n ≡ 5 (mod 8)

ดงนน n3 ≡ 53 = (25)(5) ≡ (1)(5) = 5 (mod 8)

และ 5n = (5)(5) = 25 ≡ 1 (mod 8)

จะไดวา n3 + 5n ≡ 5 + 1 = 6 (mod 8)

นนคอ n3 + 5n หารดวย 8 เหลอเศษ 6 �

ตวอยางท 4.1.8 จงพสจนวา N = n(n + 1)(2n + 1) หารดวย 6 ลงตว สำหรบแตละ

จำนวนเตม n

พสจน เนองจาก n สมภาคในมอดโล 6 ดงนน n ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}

ถา n = 0 แลว N = (0)(1)(1) = 0 ≡ 0 (mod 6)

ถา n = 1 แลว N = (1)(2)(3) = 6 ≡ 0 (mod 6)

ถา n = 2 แลว N = (2)(3)(5) = (6)(5) ≡ 0 (mod 6)

ถา n = 3 แลว N = (3)(4)(7) = (12)(7) ≡ 0 (mod 6)

ถา n = 4 แลว N = (4)(5)(9) = (36)(5) ≡ 0 (mod 6)

ถา n = 5 แลว N = (5)(6)(11) = (5)(6)(5) ≡ 0 (mod 6)

จะเหนวาแตละกรณ N ≡ 0 (mod 6) ดงนน 6 | N

นนคอ N = n(n+ 1)(2n+ 1) หารดวย 6 ลงตว สำหรบแตละจำนวนเตม n �

ทฤษฎบท 4.1.2 ให m ∈ N และ a, x, y ∈ Z จะไดวา

(1) ax ≡ ay(mod m) กตอเมอ x ≡ y(modm

(a,m))



(2) ถา ax ≡ ay(mod m) และ (a,m) = 1 แลว x ≡ y(mod m)

(3) x ≡ y(mod mi) สำหรบ i = 1, 2, . . . , r กตอเมอ x ≡ y(mod [m1,m2, . . . ,mr])

พสจน (1) ให ax ≡ ay(mod m) จะไดวา ax− ay = mk สำหรบบาง k ∈ Z

ดงนน ax− ay

(a,m)=

mk

(a,m)แลวจะไดวา m

(a,m)| a(x− y)

(a,m)

จากบทแทรก ?? จะไดวา (a

(a,m),

m

(a,m)) = 1 ดงนน จากทฤษฎบท ??

จะไดวา m

(a,m)| (x− y) นนคอ x ≡ y(mod

m

(a,m))

สำหรบการพสจนบทกลบของทฤษฎ ให x ≡ y(modm

(a,m))


(a,m)| (x− y) ดงนน m | (a,m)(x− y)

จากทฤษฎบท ?? (1) จะไดวา m | a(x− y) นนคอ ax ≡ ay(mod m)

(2) ให ax ≡ ay(mod m) และ (a,m) = 1

จาก (1) จะไดวา x ≡ y(modm

(a,m)) นนคอ x ≡ y(mod m)

(3) ให x ≡ y(mod mi) สำหรบ i = 1, 2, . . . , r

จะไดวา mi | (x− y) สำหรบ i = 1, 2, . . . , r

ดงนน x− y เปนตวคณรวมของ m1,m2, . . . ,mr

จากทฤษฎบท ?? จะไดวา [m1,m2, . . . ,mr] | (x− y)

นนคอ x ≡ y(mod [m1,m2, . . . ,mr])

สำหรบการพสจนบทกลบของทฤษฎ ให x ≡ y(mod [m1,m2, . . . ,mr])

จะไดวา [m1,m2, . . . ,mr] | (x− y)

เนองจาก mi | [m1,m2, . . . ,mr] สำหรบ i = 1, 2, . . . , r

ดงนน mi | x− y สำหรบ i = 1, 2, . . . , r

นนคอ x ≡ y(mod mi) สำหรบ i = 1, 2, . . . , r �

ตวอยางท 4.1.9 จงเขยนสมภาคตอไปนใหอยในรปงายขน

(1) 69 ≡ 75(mod 6)

(2) 161 ≡ 77(mod 12)

(3) 27 ≡ 3(mod 2), 27 ≡ 3(mod 3), 27 ≡ 3(mod 4)

วธทำ (1) เนองจาก 69 ≡ 75(mod 6) เขยนเปน 3(23) ≡ 3(25)(mod 6) และ (3, 6) = 3

ดงนน จากทฤษฎบท 4.1.2 (1) จะไดวา 23 ≡ 25(mod 2)


(2) เนองจาก 161 ≡ 77(mod 12) เขยนเปน 7(23) ≡ 7(11)(mod 12) และ

(7, 12) = 1 ดงนน จากทฤษฎบท 4.1.2 (2) จะไดวา 23 ≡ 11(mod 12)

(3) เนองจาก 27 ≡ 3(mod 2), 27 ≡ 3(mod 3), 27 ≡ 3(mod 4)

ดงนน จากทฤษฎบท 4.1.2 (3) จะไดวา 27 ≡ 3(mod [2, 3, 4])

ดงนน 27 ≡ 3(mod 12) และจากทฤษฎบท 4.1.2

จะไดวา 9 ≡ 1(mod 4) �

ทฤษฎบท 4.1.3 ให a, b ∈ Z และ m ∈ N จะไดวา a ≡ b(mod m) กตอเมอ a และ b

หารดวย m แลวไดเศษเทากน

พสจน ให a ≡ b(mod m) จะไดวา m | (a − b) ดงนน a − b = mt สำหรบบาง t ∈ Z

จากขนตอนวธการหาร จะไดวา a = mq1 + r1, 0 ≤ r1 < m และ

b = mq2 + r2, 0 ≤ r2 < m ดงนน mt = a− b = m(q1 − q2) + (r1 − r2)

ทำใหได m(t− (q1 − q2)) = r1 − r2 นนคอ

m | (r1 − r2) (∗)

แต r1 < m และ r2 < m ดงนน

r1 − r2 < m (∗∗)

จาก (∗) และ (∗∗) จะไดวา r1 − r2 = 0 ดงนน r1 = r2 นนคอ a และ b หารดวย m

แลวไดเศษเทากน

สำหรบการพสจนบทกลบของทฤษฎ ให a และ b หารดวย m แลวไดเศษเทากน

คอ r ดงนน a = mq1 + r, 0 ≤ r < m และ b = mq2 + r, 0 ≤ r < m

จะไดวา a− b = m(q1 − q2) แสดงวา m | (a− b) นนคอ a ≡ b(mod m) �

ตวอยางท 4.1.10 จงหาเศษจากการหาร ตอไปน

(1) 5110 หารดวย 6

(2) 1! + 2! + 3! + 4! + . . .+ 99! + 100! หารดวย 12

วธทำ (1) เนองจาก 5 ≡ −1(mod 6) ดงนน จากทฤษฎบท 4.1.1 (4)

จะไดวา 5110 ≡ (−1)110 = 1(mod 6)


เนองจาก 1 หารดวย 6 ไดเศษ 1 และ จากทฤษฎบท 4.1.3 จะไดวา 5110 หารดวย

6 ไดเศษ 1

(2) เนองจาก 4! = 24 ≡ 0(mod 12) ดงนน สำหรบ k ≥ 4 จะไดวา

k! ≡ 4! · 5 · 6 · . . . k ≡ 0(mod 12)

ดงนน

1! + 2! + 3! + 4! + . . .+ 99! + 100! ≡ 1! + 2! + 3! + 0 + 0 + . . .+ 0 ≡ 9(mod 12)

นนคอ เศษทไดจากการหาร 1! + 2! + 3! + 4! + . . .+ 99! + 100! ดวย 12 คอ 9 �


(1) พจารณาขอความตอไปนวา จรงหรอเทจ พรอมบอกเหตผล

(1.1) 385 ≡ 322(mod 3)

(1.2) −385 ≡ −322(mod 3)

(1.3) ถา 12x ≡ 15(mod 35) แลว 4x ≡ 5(mod 7)

(1.4) ถา x ≡ 3(mod 7) แลว (x, 7) = 1

(1.5) ถา x ≡ 6(mod 12) แลว (x, 12) = 6

(1.6) ถา 3x ≡ 3y(mod 17) แลว x ≡ y(mod 17)

(1.7) ถา 5x ≡ y(mod 6) แลว 15x ≡ 3y(mod 18)

(1.8) ถา 12x ≡ 12y(mod 15) แลว x ≡ y(mod 5)

(1.9) ถา x ≡ 73(mod 75) แลว x mod 75 = 73

(1.10) ไมมจำนวนเตม x ซง 12x ≡ 7(mod 33)

(2) จงใชทฤษฎบทของสมภาคแสดงวา 15 | (17100 − 1)

(3) จงแสดงวา a เปนจำนวนค กตอเมอ a ≡ 0(mod 2) และ a เปนจำนวนค กตอเมอ

a ≡ 1(mod 2)

(4) จงพสจนทฤษฎบท 4.1.1 (2) และ (4)

(5) จงหาเศษจากการหารตอไปน

(5.1) 211 หารดวย 23

(5.2) 5099 หารดวย 7



(5.3) 371992 หารดวย 17

(5.4) 15 + 25 + 35 + . . .+ 995 + 1005 หารดวย 4

(6) ให a, b, c ∈ Z และ m ∈ N จงพสจนวา

(6.1) a ≡ b(mod m) กตอเมอ a+ c ≡ b+ c(mod m)

(6.2) a ≡ b(mod m) กตอเมอ a− c ≡ b− c(mod m)

(6.3) ถา a ≡ b(mod m) แลว ac ≡ bc(mod m)

(6.4) ถา a ≡ b(mod m) แลว ac ≡ bc(mod mc)

(7) ให a, b, c, d ∈ Z และ m ∈ N โดยท a ≡ b(mod m) และ c ≡ d(mod m) จงพสจนวา

a+ c ≡ b+ d(mod m)

(8) ให a, b ∈ Z และ m ∈ N โดยท m เปนจำนวนเฉพาะ จงพสจนวา a ≡ 0(mod m)

หรอ b ≡ 0(mod m)

(9) จากทฤษฎบท 4.1.1 (1) จงพสจนวา ถา a ≡ b(mod m) และ b ≡ a(mod m) แลว

a ≡ a(mod m)

(10) จงพสจนวาบทกลบของทฤษฎบท 4.1.1 (3), (4) ไมเปนจรงโดยการยกตวอยางคาน

(11) ให n หารดวย 9 เหลอเศษ 5 จงหาเศษจากการหาร n(n2 + 7n− 2) ดวย 9

(12) จงพสจนวา n5 − n หารดวย 5 ลงตว สำหรบแตละจำนวนเตม n

(13) จงพสจนวา n(n2 + 5) หารดวย 6 ลงตว สำหรบแตละจำนวนเตม n

(14) จงพสจนวา ผลคณของจำนวนเตมสองจำนวนทอยตดกน หารดวย 2 ลงตว

(15) จงพสจนวา ผลคณของจำนวนเตมสามจำนวนทอยตดกน หารดวย 3 ลงตว

4.2 สวนตกคางและระบบลดทอน

บทนยาม 4.2.1 ถา a ≡ r(mod m) แลวจะเรยก r วาเปน สวนตกคาง (residue) ของ a

มอดโล m

เรยกเซตของจำนวนเตม A = {r1, r2, . . . , rm} วาเปน ระบบสวนตกคางบรบรณ

(complete residue system) มอดโล m กตอเมอ สำหรบ x ∈ Z ใด ๆ จะม ri ∈ A

เพยงตวเดยว ททำให x ≡ ri(mod m)

และเรยกชนสมมลของ ri คอ {x | x ∈ Z ซง x ≡ ri(mod m)} นวา ชนสวนตกคาง


(residue class) ของ ri มอดโล m

หมายเหต 4.2.1 ให q, r, x ∈ Z, m ∈ N และ x = mq + r จะไดวา

(1) x ≡ r(mod m) และ r เปนสวนตกคางของ x มอดโล m

(2) x = mq + r เมอ 0 ≤ r < m แลวจะเรยก r วา สวนตกคางคานอยสด

(the least residue) ของ x มอดโล m

ดงนน จะเรยก {0, 1, 2, . . . ,m − 1} วา ระบบสวนตกคางคานอยสด (the least

residue system) มอดโล m


(1) สวนตกคางของ 9 มอดโล 4 มา 5 จำนวน

(2) ชนสวนตกคางของ 1 มอดโล 4

(3) ชนสวนตกคางของ 2 มอดโล 4

(4) ระบบสวนตกคางบรบรณ มอดโล 4

วธทำ (1) เนองจาก 9 ≡ 1(mod 4), 9 ≡ −3(mod 4), 9 ≡ −7(mod 4), 9 ≡ 5(mod 4)

และ 9 ≡ 9(mod 4) ดงนน 1,−3,−7, 5, 9 เปนสวนตกคางของ 9 มอดโล 4

(2) ชนสวนตกคางของ 1 มอดโล 4 คอ

{x | x ≡ 1(mod 4)} = {. . . ,−7,−3, 1, 5, 9 . . .} = {4k + 1 | k ∈ Z}

ซงจำนวนในชนน เมอหารดวย 4 จะเหลอเศษ 1 เทากน

(3) ชนของสวนตกคางของ 2 มอดโล 4 คอ

{x | x ≡ 2(mod 4)} = {. . . ,−6,−2, 2, 6, 10, . . .} = {4k + 2 | k ∈ Z}

ซงจำนวนในชนน เมอหารดวย 4 จะเหลอเศษ 2 เทากน

(4) วธหาระบบสวนตกคางบรบรณ มอดโล 4 ทงายทสดคอ เขยนเซตทมสมาชกเปน

จำนวนเรยงกน 4 จำนวน เชน {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5}, {8, 9, 10, 11} เปนตน �

จากหมายเหต 4.2.1 (2) ทำใหไดวา ระบบสวนตกคางคานอยสด เปนระบบสวนตกคาง

บรบรณ นนคอ จะม r ∈ {0, 1, 2, . . . ,m−1} เพยงจำนวนเดยวเทานนทเปนสวนตกคางของ

x มอดโล m ซงสามารถพสจนได ดงน

ให x ∈ Z จากทฤษฎบท ?? ขนตอนวธการหาร จะม q, r ∈ Z เพยงคเดยว ซง

x = mq + r, 0 ≤ r < m

ดงนน x− r = mq, โดยท r = 0, 1, 2, . . . ,m− 1 เพยงจำนวนเดยวเทานน

นนคอ x ≡ r(mod m) โดยท r = 0, 1, 2, . . . ,m− 1 เพยงจำนวนเดยว


(1) สวนตกคางคานอยสดของ 9, 10, 11, 12, 13, 14 มอดโล 4

(2) ระบบสวนตกคางคานอยสด มอดโล 4

วธทำ (1) สวนตกคางคานอยสดของ 9 มอดโล 4 คอ 1

สวนตกคางคานอยสดของ 10 มอดโล 4 คอ 2





(2) เซตของสวนตกคางคานอยสด มอดโล 4 คอ {0, 1, 2, 3} �

ตวอยางท 4.2.3 ใน มอดโล 4

(1) ให A1 = {−7,−2, 11, 24} จะเหนวา −7 ≡ 1(mod 4), −2 ≡ 2(mod 4),

11 ≡ 3(mod 4) และ 24 ≡ 0(mod 4) ดงนน A1 เปนระบบสวนตกคางบรบรณ มอดโล 4

(2) A2 = {0, 1, 2, 3} เปนระบบสวนตกคางบรบรณ มอดโล 4

(3) A3 = {3, 4, 5, 6} เปนระบบสวนตกคางบรบรณ มอดโล 4

(4) A4 = {0, 2, 4, 6} ไมเปนระบบสวนตกคางบรบรณ มอดโล 4 เพราะวา 2, 6 ∈ A4 ซง

10 ≡ 2(mod 4) และ 10 ≡ 6(mod 4) (นนคอ มสวนตกคาง r ของ 10 มอดโล 4 ใน A4

มากกวาหนงตว) �

ทฤษฎบท 4.2.1 ถา A = {r1, r2, . . . , rm} เปนระบบสวนตกคางบรบรณ มอดโล m แลว

ri ≡ rj(mod m) สำหรบ ri, rj ∈ A ซง i = j

พสจน สมมตวา ม ri, rj ∈ A ซง ri ≡ rj(mod m) จากขนตอนวธการหาร จะไดวา

ri = mqi + ti, 0 ≤ ti < m

ดงนน ti ∈ {0, 1, 2, . . . ,m− 1} และ ri ≡ ti(mod m) และสำหรบ a ∈ Z ใด ๆ จะไดวา

a ≡ r(mod m), r ∈ {0, 1, 2, . . . ,m−1} ดงนน จะม a ∈ A ซง a ≡ ri(mod m) สำหรบ

ri ∈ A และจากทสมมต จะไดวา a ≡ rj(mod m) ซงเกดขอขดแยงกบสมบตของระบบ

สวนตกคางบรบรณ มอดโล m สรปไดวา ri ≡ rj(mod m) �

จากตวอยาง 4.2.3 (4) ใชประพจนแยงสลบท (contrapositive) ของทฤษฎบท 4.2.1

จะไดวา ม 2, 6 ∈ A4 ซง 6 ≡ 2(mod 4) ดงนน A4 ไมเปนระบบสวนตกคางบรบรณ มอดโล

4 และเรามวธสรางระบบสวนตกคางบรบรณ มอดโล m ไดจากทฤษฎตอไปน

ทฤษฎบท 4.2.2 ถา A = {r1, r2, . . . , rm} เปนระบบสวนตกคางบรบรณ มอดโล m และ

(a,m) = 1 แลว {ar1, ar2, . . . , arm} เปนระบบสวนตกคางบรบรณ มอดโล m

พสจน สมมตวา {ar1, ar2, . . . , arm} ไมเปนระบบสวนตกคางบรบรณ มอดโล m และ

(a,m) = 1 ดงนน จะม i = j ซง ari ≡ arj(mod m) เนองจาก (a,m) = 1 จะไดวา

ri ≡ rj(mod m) ท i = j ซงเกดขอขดแยงกบทวา A เปนระบบสวนตกคางบรบรณ มอดโล

m นนคอ {ar1, ar2, . . . , arm} เปนระบบสวนตกคางบรบรณ มอดโล m �

ตวอยางท 4.2.4 เนองจาก {0, 1, 2, 3} เปนระบบสวนตกคางบรบรณ มอดโล 4 และ

(5, 4) = 1 ดงนน {0, 5, 10, 15} เปนระบบสวนตกคางบรบรณ มอดโล 4 �

บทนยาม 4.2.2 ให A = {r1, r2, . . . , rm} และ m ∈ N จะเรยก A วา ระบบลดทอน

สวนตกคาง (reduced residue system) มอดโล m กตอเมอ

(1) (ri,m) = 1 สำหรบแตละ ri ∈ A

(2) ri ≡ rj(mod m) สำหรบแตละ ri, rj ∈ A ซง i = j

(3) สำหรบ a ∈ Z ใด ๆ ซง (a,m) = 1 จะม ri ∈ A ททำให a ≡ ri(mod m)


ตวอยางท 4.2.5 เซตตอไปน เปนระบบลดทอนสวนตกคาง มอดโล 4 หรอไม

(1) A = {1, 3}

(2) B = {11, 1,−1}

(3) C = {−1}

วธทำ (1) เนองจาก

1) (1, 4) = 1 และ (3, 4) = 1

2) 1 ≡ 3(mod 4)

3) สำหรบ a ∈ Z ซง (a, 4) = 1 จะเหนวา เมอ t ∈ Z,

(4t, 4) = 1, (4t+ 2, 4) = 1

ดงนน a ≡ 0(mod 4) และ a ≡ 2(mod 4)

นนคอ a ≡ 1(mod 4) หรอ a ≡ 3(mod 4)

สรปไดวา A เปนระบบลดทอนสวนตกคาง มอดโล 4

(2) เนองจาก ม −1, 11 ∈ B ซง −1 ≡ 11(mod 4) ดงนน

จากบทนยาม 4.2.2 (2) ทำให B ไมเปนระบบลดทอนสวนตกคาง มอดโล 4

(3) เนองจาก เมอ a = 5 จะเหนวา (5, 4) = 1 แต 5 ≡ −1(mod 4) ดงนน

จากบทนยาม 4.2.2 (3) ทำให C ไมเปนระบบลดทอนสวนตกคาง มอดโล 4 �

จากทฤษฎบท 4.1.2 (1), (2) และโดยบทนยามของ φ(m) ทำใหไดวา ระบบลดทอน

สวนตกคาง มอดโล m คอเซตทบรรจชนสวนตกคางของมอดโล m เพยง φ(m) จำนวน

ตวอยางท 4.2.6 ในมอดโล 4 เนองจาก φ(4) = 2 ดงนนระบบลดทอนสวนตกคางมอดโล

4 จะเปนเซตทบรรจชนสวนตกคาง ของมอดโล 4 เพยง 2 จำนวน เชน {1, 3} เปนตน �

ทฤษฎบท 4.2.3 ถา A1 และ A2 เปนระบบลดทอนสวนตกคาง มอดโล m แลว A1 และ

A2 มจำนวนสมาชกเทากน

พสจน ให A1 = {r1, r2, . . . , rl} และ A2 = {s1, s2, . . . , st}

ดงนน (ri,m) = 1, i = 1, 2, . . . , l และ ri ≡ rh(mod m), i = h

และ (sj,m) = 1, j = 1, 2, . . . , t และ sj ≡ sq(mod m), j = q


จาก A2 เปนระบบลดทอนสวนตกคาง มอดโล m ดงนน แตละ ri จะม sj เพยงตวเดยว

ททำให ri ≡ sj(mod m) ถา l > t แลวจะม ra, rb ∈ A1 และ sk ∈ A2 ททำให

ra ≡ sk(mod m) และ rb ≡ sk(mod m)

ดงนน ra ≡ rb(mod m) ซงเกดขอขดแยงกบทวา ri ≡ rp(mod m) และถา l < t แลว

จะทำใหเกดขอขดแยงไดในทำนองเดยวกน ดงนน l = t นนคอ A1 และ A2 มจำนวนสมาชก

เทากน �

จากบทนยาม 4.2.2 และทฤษฎบท 4.2.3 นอกจากทำใหเราทราบวา ระบบลดทอน

ของสวนตกคาง มอดโล m สองระบบจะมจำนวนสมาชกเทากนแลว ยงสามารถสรางระบบ

ลดทอนสวนตกคาง มอดโล m ไดอกมากมาย เชน {1, 3} เปนระบบลดทอนของสวนตกคาง

มอดโล 4 และ {−3,−1}, {5, 7}, {−3, 7} . . . ตางกเปนระบบลดทอนสวนตกคาง มอดโล

4


(1) จงหา

(1.1) สวนตกคางของ 53 มอดโล 5 มา 5 จำนวน

(1.2) ชนของสวนตกคางของ 0, 1, 2, 3 และ 4 มอดโล 5

(1.3) ระบบสวนตกคางบรบรณ มอดโล 5

(1.4) ระบบสวนตกคางคานอยสด มอดโล 5

(2) ให m ∈ Z จงพสจนวา เซตของจำนวนเตม m จำนวนเรยงกน เปนระบบสวนตกคางบรบรณ

มอดโล m

(3) เซตตอไปน เปนระบบลดทอนสวนตกคาง มอดโล 6 หรอไม

(3.1) {1, 5}

(3.2) {−2, 13}

(3.3) {1, 4}

(3.4) {17, 1,−1}

(3.5) {−5}


(4) จงพสจนวา ถา A = {r1, r2, . . . , rq} เปนระบบลดทอนสวนตกคาง มอดโล 6 และ

(a,m) = 1 แลว {ar1, ar2, . . . , arq} เปนระบบลดทอนสวนตกคาง มอดโล 6

4.3 วธรอนดวย 9 และ 11

วธการทางเลขคณตอกอยางหนงซงเราสามารถตรวจสอบการหารลงตวของจำนวนเตม

โดยใชสมภาค เชน การตรวจสอบวา จำนวนเตมบวกทกำหนดใหนนหารดวย 9 ลงตวหรอไม

คอ ใชวธการนำเลขโดด (digit) ทงหมดบวกกนแลวหารดวย 9 ซงในระบบตวเลขฐาน 10

จะเหนวา 10 ≡ 1(mod 9) ในทำนองเดยวกน จะเหนวา 10 ≡ −1(mod 11) เราจงจะใชความร

เรองสมภาคและพหนาม เพอหาขอเทจจรงบางอยางของ จำนวน 9 และ 11 ดงตอไปน

ทฤษฎบท 4.3.1 ให N ∈ N ซง

N = an10n + an−110

n−1 + . . .+ a110 + a0 =n

∑

i=0

ai10i

โดยท ai = 0, 1, 2, . . . , 9 จะไดวา N และ an+an−1+. . .+a1+a0 หารดวย 9 ไดเศษเทากน

พสจน เนองจาก 10 ≡ 1(mod 9) ดงนน 10k ≡ 1k = 1(mod 9) สำหรบ k = 0, 1, 2, . . . , n

แลวจะไดวา ak10k ≡ ak(mod 9) ดงนน จากทฤษฎบท 4.1.1 (3) จะไดวา

n∑

i=0

ai10i ≡

n∑

i=0

ai(mod 9)

นนคอ N ≡ (an + an−1 + . . .+ a1 + a0)(mod 9) จากทฤษฎบท 4.1.3 จะไดวา N และ

an + an−1 + . . .+ a1 + a0 หารดวย 9 ไดเศษเทากน �

ทฤษฎบท 4.3.1 บอกวา ใหหาn

∑

i=0

ai = N1 แทน N แลวจงหารดวย 9 และถา

N1 ยงมคามากซงอาจอยในรป N1 = crcr−1 . . . c1c0 กสามารถหาr

∑

i=0

ci = N2 แลวหาร

ดวย 9 ใชขนตอนวธเดยวกนน จนไดวา∑

i

ti ≤ 9 ซงจะไดเปนเศษของการหารดวย 9

ซงขนตอนวธดงกลาวน เรยกวา วธรอนดวย 9 (casting out nine)

ตวอยางท 4.3.1 จงหาเศษจากการหารจำนวนตอไปน ดวย 9

(1) 302, 108, 000

(2) 63× 1015



วธทำ (1) ให N = 302, 108, 000

จะไดวา∑

i

ai = 3 + 0 + 2 + 1 + 0 + 8 + 0 + 0 + 0 = 14

แลว∑

i

ci = 1 + 4 = 5

ดงนน 302, 108, 000 หารดวย 9 ไดเศษ 5

(2) ให N = 63× 1015 = (6× 1016) + (3× 1015)

จะไดวา∑

i

ai = 6 + 3 = 9

ดงนน 9 | (63× 1015) �

ทฤษฎบท 4.3.2 ให N ∈ N ซง

N = an10n + an−110

n−1 + . . .+ a110 + a0 =n

∑

i=0

ai10i

โดยท ai = 0, 1, 2, . . . , 9 จะไดวา N และ (−1)nan+ . . .+a4−a3+a2−a1+a0 หารดวย

11 ไดเศษเทากน

พสจน เนองจาก 10 ≡ −1(mod 11) ดงนน 10k ≡ (−1)k(mod 11), k = 0, 1, 2, . . . , n

จะไดวา ak10k ≡ (−1)kak(mod 11) ดงนน

n∑

i=0

ai10i ≡

n∑

i=0

(−1)iai(mod 11)

หรอ N ≡ [(−1)nan + . . .+ (−1)4a4 + (−1)3a3 + (−1)2a2 + (−1)a1 + a0](mod 11)

นนคอ N ≡ ((−1)nan + . . . + a4 − a3 + a2 − a1 + a0)(mod 11) ดงนน N และ

(−1)nan + . . .+ a4 − a3 + a2 − a1 + a0 หารดวย 11 ไดเศษเทากน �

ตวอยางท 4.3.2 จงหาเศษจากการหารจำนวนตอไปน ดวย 11

(1) 145, 732

(2) 903 + 120 + 108

วธทำ (1) ให N = 145, 732

จะไดวา N ≡ (−1 + 4− 5 + 7− 3 + 2)(mod 11) ≡ 4(mod 11)

ดงนน 145, 732 หารดวย 11 ไดเศษ 4



(2) ให N = 903 + 120 + 108

จะไดวา N = (1× 108) + (93 × 103) + (12× 10)

= (1× 108) + (7× 105) + (2× 104) + (9× 103) +

(1× 102) + (2× 10) + (0)

ดงนน N ≡ (1− 7 + 2− 9 + 1− 2 + 0)(mod 11)

≡ −14(mod 11) ≡ −3(mod 11) ≡ 8(mod 11)

นนคอ 903 + 120 + 108 หารดวย 11 ไดเศษ 8 �

ทฤษฎบท 4.3.3 ให N ∈ N ซง N = an10n + an−110

n−1 + . . . + a110 + a0 โดยท

ai = 0, 1, 2, . . . , 9 จะไดวา

(1) N และ a0 หารดวย 2 ไดเศษเทากน

(2) N และ a0 หารดวย 5 ไดเศษเทากน

(3) N และ an + an−1 + . . .+ a1 + a0 หารดวย 3 ไดเศษเทากน

(4) N และ 10a1 + a0 หารดวย 4 ไดเศษเทากน

(5) N และ 100a2 + 10a1 + a0 หารดวย 8 ไดเศษเทากน

พสจน สามารถพสจนไดเชนเดยวกนกบทฤษฎบท 4.3.1 ใหพสจนเปนแบบฝกหด �

จากทฤษฎบท 4.3.3 (1)−(3) ทฤษฎบท 4.3.1 และทฤษฎบท 4.3.2 จะไดบทแทรก

ตอไปน

บทแทรก 4.3.1 ให N ∈ N ซง N = an10n + an−110

n−1 + . . . + a110 + a0 โดยท

ai = 0, 1, 2, . . . , 9 จะไดวา

(1) 2 | N กตอเมอ a0 = 0, 2, 4, 6 หรอ 8

(2) 5 | N กตอเมอ a0 = 0 หรอ 5

(3) 3 | N กตอเมอ 3 | (an + an−1 + . . .+ a0)

(4) 9 | N กตอเมอ 9 | (an + an−1 + . . .+ a0)



(5) 11 | N กตอเมอ 11 | ((−1)nan + . . .+ a4 − a3 + a2 − a1 + a0)

ทฤษฎบท 4.3.4 ให N ∈ N ซง N = an10n + an−110

n−1 + . . . + a110 + a0 โดยท

ai = 0, 1, 2, . . . , 9 จะไดวา

7 | N กตอเมอ 7 | (an10n−1 + an−110n−2 + . . .+ a210 + a1)− 2a0

พสจน ให N = 10c + a0 โดยท c = an10n−1 + an−110

n−2 + . . . + a210 + a1 จะไดวา

−2N = −20c−2a0 เนองจาก −20 ≡ 1(mod 7) ดงนน −20c−2a0 ≡ c−2a0(mod 7)

นนคอ −2N ≡ c − 2a0(mod 7) แลวจากทฤษฎบท 4.1.3 จะไดวา 7 | −2N กตอเมอ

7 | c − 2a0 เนองจาก (7, 2) = 1 ดงนน จากทฤษฎบท ?? จะไดวา 7 | −2N กตอเมอ

7 | N นนคอ 7 | N กตอเมอ 7 | c− 2a0 �

ตวอยางท 4.3.3 จงตรวจสอบวา จำนวนตอไปน หารดวย 7 ลงตวหรอไม

(1) 43, 018

(2) 430, 185

วธทำ (1) 7 | 43, 018 ⇔ 7 | 4, 301− 16

⇔ 7 | 4, 285

⇔ 7 | 428− 10

⇔ 7 | 418

⇔ 7 | 41− 16

⇔ 7 | 25

เนองจาก 7 ∤ 25 ดงนน 7 ∤ 43, 018

(2) 7 | 430, 185 ⇔ 7 | 43, 018− 10

⇔ 7 | 43, 008

⇔ 7 | 4, 300− 16

⇔ 7 | 4, 284

⇔ 7 | 428− 8

⇔ 7 | 420

⇔ 7 | 42− 0



⇔ 7 | 42

เนองจาก 7 | 42 ดงนน 7 | 430, 185 �


(1) จงหาเศษจากการหารจำนวนตอไปนดวย 9 และ 11

(1.1) 375, 604

(1.2) 176, 521, 221

(1.3) 149, 235, 678

(1.4) 508 + 105

(2) 115, 342 หารดวย 7 ลงตวหรอไม

(3) 176, 521, 221 หารดวย 3 ลงตวหรอไม

(4) ถา 9 หาร 1, 025, x67 ลงตวแลว จงหาคา x

(5) ถา 11 หาร 93x, 165 ลงตวแลว จงหาคา x

(6) ถา 9 หาร 193, x43 เหลอเศษ 6 แลว จงหาคา x

(7) จงหาคา a ∈ N ทนอยสดซงทำให a ≡ 281(mod 7)

(8) จงพสจนทฤษฎบท 4.3.3 (1) และ (3)

(9) ให N ∈ N จงพสจนวา N | 4 กตอเมอ เลขทายสองหลกของ N หารดวย 4 ลงตว

4.4 สมภาคเชงเสน

หวขอนกลาวถงทฤษฎเกยวกบสมภาคเชงเสน ระบบสมภาคเชงเสน และการหาผลเฉลย

บทนยาม 4.4.1 ให a, b ∈ Z และ m ∈ N เรยก ax ≡ b(mod m), a = 0 วา

สมภาคเชงเสน (linear congruence) และ เรยก c ∈ Z วา ผลเฉลยของ ax ≡ b(mod m)

กตอเมอ ac ≡ b(mod m)

ตวอยางท 4.4.1 จงหาผลเฉลยของสมภาคเชงเสนตอไปน

(1) 2x ≡ 4(mod 6)

(2) 5x ≡ 7(mod 10)



วธทำ (1) เราใชระบบสวนตกคางนอยสด มอดโล 6 คอ {0, 1, 2, 3, 4, 5} ซงเปน

ระบบสวนตกคางบรบรณของมอดโล 6 เพอหาผลเฉลยได ดงน

เนองจาก 2(0) = 0 ≡ 4(mod 6)

2(1) = 2 ≡ 4(mod 6)

2(2) = 4 ≡ 4(mod 6)

2(3) = 6 ≡ 4(mod 6)

2(4) = 8 ≡ 4(mod 6)

และ 2(5) = 10 ≡ 4(mod 6)

ดงนน ผลเฉลยทงหมดของ 2x ≡ 4(mod 6) คอ

{x ∈ Z | x ≡ 2(mod 6)} ∪ {x ∈ Z | x ≡ 5(mod 6)}

เขยนสน ๆ x ≡ 2, 5(mod 6)

(2) ระบบสวนตกคางนอยสด มอดโล 10 คอ {0, 1, 2, . . . , 9}

และเนองจาก 5(0) = 0 ≡ 7(mod 10)

5(1) = 5 ≡ 7(mod 10)

5(2) = 10 ≡ 7(mod 10)

5(3) = 15 ≡ 7(mod 10)

5(4) = 20 ≡ 7(mod 10)

5(5) = 25 ≡ 7(mod 10)

5(6) = 30 ≡ 7(mod 10)

5(7) = 35 ≡ 7(mod 10)

5(8) = 40 ≡ 7(mod 10)

และ 5(9) = 45 ≡ 7(mod 10)

ดงนน 5x ≡ 7(mod 10) ไมมผลเฉลย �

แตเรามทฤษฎบท ททำใหหาผลเฉลยของสมภาคเชงเสนไดงายขน ดงน

ทฤษฎบท 4.4.1 ให a, b ∈ Z และ m ∈ N โดยท d = (a,m) ถา ax ≡ b(mod m) และ

d ∤ b แลว ax ≡ b(mod m) ไมมผลเฉลย


พสจน สมมตวา ax ≡ b(mod m) มผลเฉลยคอ c ∈ Z จะไดวา ac ≡ b(mod m) แลว

m | (ac − b) ดงนน ac − b = mq สำหรบบาง q ∈ Z จะไดวา b = ac + m(−q)

เนองจาก d | a และ d | m ดงนน d | (ac+m(−q)) นนคอ d | b ซงเกดขอขดแยง ดงนน

ax ≡ b(mod m) ไมมผลเฉลย �

ทฤษฎบท 4.4.2 ให a, b ∈ Z และ m ∈ N โดยท d = (a,m) ถา ax ≡ b(mod m) และ

d | b แลว ax ≡ b(mod m) มจำนวนผลเฉลยทตางกน d ผลเฉลย

พสจน กอนอนจะแสดงวา ax ≡ b(mod m) มผลเฉลย เนองจาก d = (a,m) ดงนน จะม

p, q ∈ Z ซง d = pa+ qm แต d | b ทำใหไดวา b = kd = k(pa+ qm) = a(kp)+m(kq)

นนคอ kp เปนผลเฉลยของ ax ≡ b(mod m)

จะแสดงวามผลเฉลยอย d จำนวนทไมสมภาค มอดโล m

จาก d = (a,m) และ d | b จะไดวา ถา x เปนผลเฉลยของ ax ≡ b(mod m) แลว x

เปนผลเฉลยของa

dx ≡ b

d(mod

m

d) (∗)

ถา c, c1 เปนผลเฉลยของ (∗) แลว a

dc ≡ b

d≡ a

dc1(mod

m

d) แต (a

d,m

d) = 1 ดงนน

c ≡ c1(modm

d) ทำใหไดวา c1 = c+

m

dt เมอ t ∈ Z

นนคอ ทก ๆ ผลเฉลยของ ax ≡ b(mod m) อยในรป

x = c+m

dt เมอ t ∈ Z (∗∗)

ตอไปจะแสดงวา เซตของจำนวนเตมในรป (∗∗) ทไมสมภาค มอดโล m ตางกน d

จำนวน คอ

c, c+m

d, c+

2m

d, . . . , c+

(d− 1)m

d(∗ ∗ ∗)

โดยสมมตวา c+m

dt1 ≡ c+

m

dt2(mod m) เมอ t1, t2 ∈ Z และ 0 ≤ t1 < t2 ≤ d− 1


dt1 ≡

m

dt2(mod m) และเนองจาก (

m

d,m) =

m

dดงนน t1 ≡ t2(mod m)

นนคอ d | (t2 − t1) ซงเกดขอขดแยงกบทวา 0 < t2 − t1 < d

สดทายจะแสดงวา ผลเฉลยอน ๆ ในรป (∗∗) จะสมภาค มอดโล m กบจำนวนใน

(∗ ∗ ∗) เพยงจำนวนหนงและจำนวนเดยวเทานน ดงน จากขนตอนวธการหาร อาจเขยน t

ไดเปน t = qd+ r ซง q, r ∈ Z และ 0 ≤ r < d ดงนน

c+m

dt = c+

m

d(qd+ r)

= c+mq +m

dr

≡ c+m

dr(mod m)

ซง c+m

dr เปนผลเฉลยหนงในจำนวน d ผลเฉลยใน (∗ ∗ ∗) �

ตวอยางท 4.4.2 จงหาผลเฉลยของสมภาคเชงเสนตอไปน

(1) 3x ≡ 9(mod 15)

(2) 9x ≡ 11(mod 15)

(3) 48x ≡ 56(mod 50)

วธทำ (1) เนองจาก (3, 15) = 3 และ 3 | 9 ดงนน โดยทฤษฎบท 4.4.2 สมภาคทกำหนดให

ม 3 ผลเฉลยทตางกน โดยทฤษฎบท 4.1.2 (1) จะไดวา x ≡ 3(mod 5) ดงนน

x = 3 + 5t, t ∈ Z และคา x ทเปนเศษตกคางคานอยสด มอดโล 15 คอ

ถา t = 0 แลว x = 3 + 5(0) = 3

ถา t = 1 แลว x = 3 + 5(1) = 8

ถา t = 2แลว x = 3 + 5(2) = 13

ดงนน ผลเฉลยของสมภาคนคอ x ≡ 3, 8, 13(mod 15)

(2) เนองจาก (9, 15) = 3 และ 3 ∤ 11 ดงนน จากทฤษฎบท 4.4.1 สมภาคทกำหนดให

ไมมผลเฉลย

(3) เนองจาก (48, 50) = 2 และ 2 | 56 ดงนน โดยทฤษฎบท 4.4.2 สมภาคทกำหนด

ใหมผลเฉลยทตางกน 2 จำนวน และจากสมภาค 48x ≡ 56(mod 50) โดยทฤษฎบท 4.1.2

(1) จะไดวา 24x ≡ 28(mod 25) และโดยทฤษฎบท 4.1.2 (2) จะไดวา 6x ≡ 7(mod 25)

แลว โดยทฤษฎบท 4.1.1 (1), (2) จะไดวา 6x ≡ −18(mod 25) แลว โดยทฤษฎบท

4.1.2 (2) อกครง จะไดวา x ≡ −3(mod 25) ดงนน x = −3 + 25t, t ∈ Z และ

คา x ทเปนเศษตกคางคานอยสด มอดโล 50 คอ

ถา t = 1 แลว x = −3 + 25(1) = 22

ถา t = 2 แลว x = −3 + 25(2) = 47

ดงนน ผลเฉลยของสมภาคนคอ x ≡ 22, 47(mod 50) �


บทนยาม 4.4.2 เรยกสมภาคเชงเสนทมากกวาหนงสมภาควา ระบบสมภาคเชงเสน (linear

congruence system) และเรยกผลเฉลยททำใหทกสมภาคเปนจรงวา ผลเฉลย รวม (common

solution)

พจารณา ระบบสมภาค a1x ≡ b1(mod m1)

a2x ≡ b2(mod m2)

...

anx ≡ bn(mod mn)

สงทเราตองการคอ ผลเฉลยรวม x′ ∈ Z ของระบบสมภาค ซงเปนผลเฉลยของทก

สมภาคในระบบสมภาคน

ตวอยางท 4.4.3 จงหาผลเฉลยรวมของ x ≡ 2(mod 3)

x ≡ 3(mod 5)

วธทำ เนองจาก x ≡ 2(mod 3) ดงนน จะม t ∈ Z ททำให

x = 2 + 3t (∗)

จะไดวา 2 + 3t ≡ 3(mod 5) ทำใหไดวา 3t ≡ 1(mod 5) ≡ 6(mod 5) ดงนน

t ≡ 2(mod 5) จะไดวาม t′ ∈ Z ททำให t = 2 + 5t′ แลวจาก (∗) ทำใหไดวา

x = 2 + 3(2 + 5t′) = 8 + 15t′

นนคอ x ≡ 8(mod 15) เปนผลเฉลยรวมของระบบสมภาคน �

ตวอยางท 4.4.4 จงหาจำนวนเตมทงหมด ซงหารดวย 6 แลวเหลอเศษ 2 และเมอหารดวย

11 แลวเหลอเศษ 10

วธทำ ใหจำนวนเตมทงหมดดงกลาว เปน x จากโจทยจะไดวา

x ≡ 2(mod 6) และ x ≡ 10(mod 11)

เนองจาก x ≡ 2(mod 6) ดงนน จะม t ∈ Z ททำให

x = 2 + 6t (∗)

จะไดวา 2 + 6t ≡ 10(mod 11) ทำใหไดวา 6t ≡ 8(mod 11) ≡ 30(mod 11)

ดงนน t ≡ 5(mod 11)

จะไดวาม t′ ∈ Z ททำให t = 5 + 11t′



แลวจาก (∗) ทำใหไดวา x = 2 + 6(5 + 11t′) = 32 + 66t′

นนคอ x ≡ 32(mod 66) จำนวนเตมทงหมดทตองการ �

ทฤษฎบทหนงทชวยในการหาผลเฉลยรวมของระบบสมภาคเชงเสนไดงายขน คอ

ทฤษฎบทเศษเหลอของชาวจน (Chinese remainder theorem) ตอไปน

ทฤษฎบท 4.4.3 ถา m1,m2, . . . ,mn ∈ N และ a1, a2, . . . , an ∈ Z ซง (mi,mj) = 1,

i = j แลวระบบสมภาคเชงเสน

x ≡ a1(mod m1)

x ≡ a2(mod m2)

...

x ≡ an(mod mn)

มผลเฉลยรวมเพยงผลเฉลยเดยวในมอดโล m เมอ m = m1m2 . . .mn

พสจน ตอนแรกจะพสจนวา ระบบสมภาคเชงเสนมผลเฉลยรวม ดงน ให

Mk =m

mk

= m1m2 . . .mk−1mk+1 . . .mn

เนองจาก (mi,mj) = 1, i = j ดงนน (Mk,mk) = 1 ทำใหไดวา Mkx ≡ 1(mod mk)

มผลเฉลยรวม ใหเปน xk ดงนน Mkxk ≡ 1(mod mk) จะไดวา akMkxk ≡ ak(mod mk)

เนองจาก mi | Mk, i = k ดงนน

a1M1x1 + · · ·+ anMnxn ≡ akMkxk(mod mk) ≡ ak(mod mk)

นนคอ a1M1x1 + · · ·+ anMnxn เปนผลเฉลยรวมของระบบสมภาคเชงเสนน

ตอนหลงจะพสจนวา ระบบสมภาคเชงเสนมผลเฉลยรวมเพยงผลเฉลยเดยว ดงน

สมมตวาม x′ และ x′′ เปนผลเฉลยรวมของระบบสมภาคเชงเสน จะไดวา

x′ ≡ ak ≡ x(mod mk), k = 1, 2, . . . , n และทำใหไดวา

x′ ≡ x′′(mod [m1,m2, . . . ,mn])

เนองจาก (mi,mj) = 1, i = j ดงนน [m1,m2, . . . ,mn] = m1m2 . . .mn = m จะไดวา

x′ ≡ x′′(mod m) นนคอ x′ และ x′′ เปนผลเฉลยรวมทไมตางกน �




x ≡ 3(mod 5)

วธทำ เนองจาก (3, 5) = 1 และ (3)(5) = 15 ดงนน ระบบสมภาคเชงเสนน มผลเฉลย

รวมเพยงผลเฉลยเดยวในมอดโล 15 และเนองจาก

m1 = 3, m2 = 5

M1 =15

3= 5, M2 =

15

5= 3

a1 = 2, a2 = 3

ดงนน 5x ≡ 1(mod 3) และ 3x ≡ 1(mod 5) และหาผลเฉลยรวมไดดงน

เนองจาก 5x1 ≡ 1(mod 3) และ 3x2 ≡ 1(mod 5)

จะไดวา 5x1 ≡ 10(mod 3) และ 3x2 ≡ −9(mod 5)

ดงนน x1 ≡ 2(mod 3) และ x2 ≡ −3 ≡ 2(mod 5)

ซงมผลเฉลยรวม คอ x1 = 2 = x2

ดงนน 2(5)2 + 3(3)2 = 38 เปนผลเฉลยรวมของระบบสมภาคนในมอดโล 15

นนคอ x ≡ 38(mod 15) แต 38 ≡ 8(mod 15) ดงนน x ≡ 8(mod 15) �

ทฤษฎบทตอไปน mi และ mj ไมจำเปนตองเปนจำนวนเฉพาะสมพทธ

ทฤษฎบท 4.4.4 ถา m1,m2 ∈ N และ a1, a2 ∈ Z แลวระบบสมภาคเชงเสน

x ≡ a1(mod m1)

x ≡ a2(mod m2)

มผลเฉลยรวมในมอดโล [m1,m2] กตอเมอ (m1,m2) | (a1 − a2)

พสจน ให d = (m1,m2) เนองจากระบบสมภาคเชงเสนมผลเฉลยรวม และจากทฤษฎบท

4.1.1 (5) จะไดวา x ≡ a1(mod d) และ x ≡ a2(mod d) ดงนน จากทฤษฎบท 4.1.1 (1)

และ (2) จะไดวา a1 ≡ a2(mod d) นนคอ d | (a1 − a2) สำหรบการพสจนบทกลบของ

ทฤษฎบท สมมตวา d | (a1 − a2) จะไดวา ผลเฉลยของ x ≡ a1(mod m1) คอ x =

a1 +m1y สำหรบบาง y ∈ Z แลวแทนคา x ใน x ≡ a2(mod m2) จะไดวา

m1y + (a1 − a2) ≡ 0(mod m2)

จากทฤษฎบท 4.4.3 จะไดวา สมภาคนมผลเฉลยเพยงผลเฉลยเดยวคอ y มอดโล m2

d



ดงนน ระบบสมภาคเชงเสนนมผลเฉลยรวมในมอดโล m1(m2

d) ให m = m1(

m2

d) =

[m1,m2] ตามตองการ �

หมายเหต 4.4.1 ทฤษฎบท 4.4.4

(1) บอกใหเราทราบวา ถา (m1,m2) ∤ (a1 − a2) แลว

ระบบสมภาคเชงเสนนนจะไมมผลเฉลยรวม

(2) ถา (m1,m2) = 1 จะไดวา [m1,m2] = m1m2

เราสามารถใชทฤษฎบท 4.4.3 และ ทฤษฎบท 4.4.4 ตรวจสอบและหาผลเฉลยรวม

ของระบบสมภาคเชงเสนได


x ≡ 3(mod 5)

วธทำ เนองจาก (3, 5) = 1 และ 1 | (2−3) ดงนนจากทฤษฎบท 4.4.4 ระบบสมภาคเชงเสนน

มผลเฉลยรวมในมอดโล 3 · 5 = 15

วธท (1) ในตวอยาง 4.4.3

วธท (2) ให A แทนเซตของ x ∈ Z ซง x ≡ 2(mod 3) ในมอดโล 15

และ B แทนเซตของ x ∈ Z ซง x ≡ 3(mod 5) ในมอดโล 15 จะไดวา

A = {2, 5, 8, 11, 14}, B = {3, 8, 13}

และ A ∩ B = {8}

ดงนน ผลเฉลยรวมของระบบสมภาคนคอ x ≡ 8(mod 15) �

ตวอยางท 4.4.7 จงหาผลเฉลยรวมของ 3x ≡ 4(mod 14)

6x ≡ 4(mod 20)

วธทำ จาก 3x ≡ 4(mod 14) จะไดวา x ≡ 6(mod 14)

และจาก 6x ≡ 4(mod 20) จะไดวา 3x ≡ 2(mod 10)

ดงนน x ≡ 4(mod 10)

เนองจาก (10, 14) = 2 และ 2 | (6− 4) ดงนนจากทฤษฎบท 4.4.4 ระบบสมภาคเชงเสนน

มผลเฉลยรวมในมอดโล 14 · 102

= 70



ให A แทนเซตของ x ∈ Z ซง x ≡ 6(mod 14) ในมอดโล 70

และ B แทนเซตของ x ∈ Z ซง x ≡ 4(mod 10) ในมอดโล 70

จะไดวา A = {6, 20, 34, 48, 62} และ B = {4, 14, 24, 34, 44, 54, 64}

และ A ∩ B = {34} ดงนน ผลเฉลยรวมของระบบสมภาคเชงเสนน คอ

x ≡ 34(mod 70)

�


(1) สมภาคเชงเสนตอไปนมผลเฉลยกจำนวน

(1.1) 6x ≡ 9(mod 15)

(1.2) 2x ≡ 8(mod 15)

(1.3) 3x ≡ 6(mod 15)

(1.4) 4x ≡ 5(mod 15)

(2) จงหาผลเฉลย (ถาม) ของสมภาคเชงเสนตอไปน

(2.1) 35x ≡ 14(mod 21)

(2.2) 29x ≡ 5(mod 34)

(2.3) 235x ≡ 54(mod 7)

(3) จงหาผลเฉลยรวมของระบบสมภาคเชงเสนตอไปน

(3.1) x ≡ 1(mod 3)

x ≡ 2(mod 5)

(3.2) x ≡ 5(mod 15)

x ≡ 1(mod 21)

(3.3) 2x ≡ 3(mod 5)

4x ≡ 3(mod 7)

(3.4) 4x ≡ −8(mod 18)

6x ≡ 24(mod 45)

(4) จงหาผลเฉลยรวมของระบบสมภาคเชงเสน



x ≡ 1(mod 3)

x ≡ 2(mod 5)

x ≡ 3(mod 7)

(5) จงหาจำนวนเตมบวกคานอยสดทหารดวย 3 แลวเหลอเศษ 2 เมอหารดวย 4 แลวเหลอเศษ

3 และ เมอหารดวย 5 แลวเหลอเศษ 4


บทท 5

ทฤษฎบทสมภาคสำคญ

บทนจะกลาวถงทฤษฎบทสมภาคทมบทบาทสำคญในการพฒนาทฤษฎจำนวนทรกน

อยางกวางขวางคอ ทฤษฎบทของวลสน ทฤษฎบทของแฟรมาต และทฤษฎบทของออยเลอร

สองทฤษฎบทแรกสามารถนำไปแกปญหาสมภาคทมจำนวนใหญ ๆ ทยากใหงายขน สวน

ทฤษฎบทของออยเลอรเปนการขยายสองทฤษฎบทแรก โดยแกปญหาสมภาคทมอดโลไม

จำเปนตองเปนจำนวนเฉพาะ นอกจากนยงไดกลาวถงจำนวนบางจำนวนทเกยวของกบทฤษฎ

ดงกลาวขางตน

5.1 ทฤษฎบทของวลสน

จอหน วลสน (John Wilson 1741 − 1793) ไมไดคดคนทฤษฎบทน แตเปนนก

คณตศาสตรชาวเยอรมนชอ ไลบนซ (Baron Gottfried Wilhelm Leibniz 1646−1716)

เปนผคนพบประมาณป 1682 แตไมไดตพมพ ผทพสจนและตพมพ คอ วอรง (Edward

Waring 1734− 1798) นกคณตศาสตรชาวองกฤษเมอป 1770 จะขอเรมดวยเรองของตว

ผกผน ดงน

บทนยาม 5.1.1 ให p เปนจำนวนเฉพาะ และ a ∈ N สำหรบสมภาค

x2 ≡ 1(mod p)

จะกลาววา a เปน ตวผกผน (inverter) มอดโล p ถา a เปนสวนตกคางคานอยสด มอดโล

p และ a2 ≡ 1(mod p)

ตวอยางท 5.1.1 ให p = 7 จะไดวา เซตของสวนตกคางคานอยสด มอดโล 7 คอ


{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} จะเหนวา

1 · 1 = 1 ≡ 1(mod 7)

2 · 4 = 8 ≡ 1(mod 7)

3 · 5 = 15 ≡ 1(mod 7)

6 · 6 = 36 ≡ 1(mod 7)

และม 1 และ 6 เปนตวผกผน มอดโล 7

บทตง 5.1.1 ให p เปนจำนวนเฉพาะ และ a ∈ N จะไดวา a เปนตวผกผน มอดโล p

กตอเมอ a ≡ ±1(mod p)

พสจน สมมตวา a เปนตวผกผน มอดโล p จากบทนยามจะไดวา a2 ≡ 1(mod p) ดงนน

p | (a2 − 1) แลว p | (a − 1)(a + 1) ทำใหไดวา p | (a − 1) หรอ p | (a + 1) นนคอ

a ≡ 1(mod p) หรอ a ≡ −1(mod p) อยางใดอยางหนง

ในการพสจนบทกลบ สมมตวา a ≡ 1(mod p) หรอ a ≡ −1(mod p)

ถา a ≡ 1(mod p) แลว a · a = a2 ≡ 1 · 1 = 1(mod p)

ถา a ≡ −1(mod p) แลว a · a = a2 ≡ (−1) · (−1) = 1(mod p)

ดงนน a เปนตวผกผน มอดโล p �

บทตงนบอกวา มสวนตกคางคานอยสดมอดโล p สองจำนวนทเปนตวผกผน มอดโล

p คอ 1 และ p− 1 ดงนน x2 ≡ 1(mod p) มสองผลเฉลยคอ x ≡ 1, p− 1(mod p)

ตวอยางท 5.1.2 ให p = 13 จะไดวา สวนตกคางคานอยสดมอดโล 13 ทเปนตวผกผน

มอดโล 13 คอ 1 และ 12 ซง 12 ≡ 1(mod 13) และ (12)2 = 144 ≡ 1(mod 13) นนคอ

ผลเฉลยของ x2 ≡ 1(mod 13) คอ x ≡ 1, 12(mod 13) �

ทฤษฎบท 5.1.1 (ทฤษฎบทของวลสน (Wilson′s theorem)) ถา p เปนจำนวนเฉพาะแลว

(p− 1)! ≡ −1(mod p)

พสจน พสจนโดยใชหลกการอปนยแบบเขม ดงน

ถา p = 2 แลว (2− 1)! = 1! = 1 ≡ −1(mod 2) ดงนน ทฤษฎเปนจรง



สมมตวา p > 2 และ 2 · 3 · . . . · (p− 2) ≡ 1(mod p) เปนจรง ดงนน

(p− 1)! = 1 · (2 · 3 · . . . · (p− 2)) · (p− 1) ≡ 1 · 1 · (p− 1)(mod p)

≡ (p− 1)(mod p)

≡ −1(mod p)

�

ตวอยางท 5.1.3 จงแสดงวา (10)! ≡ −1(mod 11)

วธทำ ให p = 11 จากทฤษฎบท 5.1.1 จะไดวา

(p− 1)! = (11− 1)! = (10)! = 1 · (2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9) · 10

≡ 1 · 1 · 10(mod 11)

≡ 10(mod 11)

≡ −1(mod 11)

�

และตวอยางตอไปนเปนการประยกตทฤษฎบท 5.1.1

ตวอยางท 5.1.4 จงหาเศษจากการหาร (18)! ดวย 19

วธทำ ให p = 19 จากทฤษฎบท 5.1.1 จะไดวา

(p− 1)! = (19− 1)! = (18)! ≡ −1(mod 19) และเนองจาก −1 ≡ 18(mod 19)

ดงนน (18)! หารดวย 19 เหลอเศษ 18 �

ตวอยางท 5.1.5 ให p เปนจำนวนเฉพาะ และ n ∈ N จงพสจนวา

(np)!

n!pn≡ (−1)n(mod p)


พสจน

(np)!

n!pn=

(np)!

p · 2p · 3p · . . . · (np)

=p!(2p)!(3p)! . . . ((n− 1)p)!(np)!

p(2p)(3p) . . . ((n− 1)p)(np)

= (p− 1)!(2p− 1)!(3p− 1)! . . . (np− 1)!

=n∏

i=1

((i− 1)p+ 1) · ((i− 1)p+ 2) · . . . · ((i− 1)p+ (p− 1))

≡n∏

i=1

(p− 1)!(mod p)

≡n∏

i=1

(−1)(mod p)

≡ (−1)n(mod p)

�

ตวอยางท 5.1.6 จากตวอยางท 5.1.5 ให p = 5 และ n = 46

จะไดวา (np)!

n!pn=

(46 · 5)!(46)!546

≡ (−1)46 ≡ 1(mod 5) �

ทฤษฎบท 5.1.2 ให n เปนจำนวนเตมบวก

ถา (n− 1)! ≡ −1(mod n) แลว n เปนจำนวนเฉพาะ

พสจน ให n เปนจำนวนประกอบ จะไดวา n = ab ซง a, b ∈ N และ 1 < a, b < n

เนองจาก a | n และ n | ((n − 1)! + 1) ดงนน a | ((n − 1)! + 1) และเนองจาก

1 < a < n และ a ∈ {2, 3, . . . , n − 1} ดงนน a | (n − 1)! ทำใหไดวา a | ((n − 1)! +

1− (n− 1)!) จะไดวา a | 1 นนคอ a = 1 ซงเกดขอขดแยงกบสมมตฐาน จงสรปไดวา n

เปนจำนวนเฉพาะ �

จะเหนไดวา ทฤษฎบท 5.1.1 และ 5.1.2 เปนเงอนไขจำเปนและเพยงพอสำหรบจำนวน

เตมบวกทจะเปนจำนวนเฉพาะ คอ

ถา n เปนจำนวนเตมบวกและ n ≥ 2 แลว

n เปนจำนวนเฉพาะ กตอเมอ (n− 1)! ≡ −1(mod n)



(1) เนองจาก (7 − 1)! = 6! = 720 ≡ −1(mod 7) ดงนน จากทฤษฎบท 5.1.2

จะไดวา 7 เปนจำนวนเฉพาะ

(2) เนองจาก (12− 1)! = (11)! = 39, 916, 800 ≡ 0(mod 12) ดงนน

(12− 1)! ≡ −1(mod 12)

จากทฤษฎบท 5.1.2 โดยขอความแยงสลบท จะไดวา 12 ไมเปนจำนวนเฉพาะ �


(1) จงหาตวผกผน มอดโล p ตอไปน

(1.1) p = 11

(1.2) p = 19

(2) สำหรบ p ตอไปน จงแสดงวา (p− 1)! ≡ −1(mod p) โดยไมใชทฤษฎบท 5.1.2

(2.1) p = 5

(2.2) p = 13

(3) ให p, q เปนจำนวนเฉพาะ ซง p = q ขอความ

" ถา x2 ≡ 1(mod p) และ x2 ≡ 1(mod q) แลว x2 ≡ 1(mod pq) "

จรงหรอเทจ ถาเทจใหยกตวอยาง

(4) ให p เปนจำนวนเฉพาะค จงพสจนวา 2(p− 3)! ≡ −1(mod p)

(5) จงพสจนวา จำนวนเตมบวก n ≥ 2 เปนจำนวนเฉพาะ กตอเมอ (n− 2)! ≡ 1(mod n)

5.2 ทฤษฎบทของแฟรมาต

ทฤษฏบทของแฟรมาต (Fermat′s theorem) ไดมการพสจนครงแรกโดยออยเลอร

ในป 1736 เกอบรอยปหลงจากแฟรมาตไดสรางทฤษฏบทนเมอป 1640 อยางไรกตามไลบนซ

ไดพสจนไวกอนออยเลอรเกอบ 50 ป แตไมไดตพมพ

บทตงตอไปนจะทำใหเราพสจนทฤษฏบทของแฟรมาตไดสะดวกขน



บทตง 5.2.1 ให p เปนจำนวนเฉพาะและ a ∈ Z ซง (a, p) = 1 จะไดวา สวนตกคาง

คานอยสดของ {a, 2a, 3a, . . . , (p− 1)a} มอดโล p คอ {1, 2, 3, . . . (p− 1)}

พสจน เราจะแสดงวา ia ≡ 0(mod p) ซง 1 ≤ i ≤ p − 1 และ ถา ia ≡ ja(mod p) ซง

1 ≤ i, j ≤ p− 1 แลว i = j

ตอนแรกจะพสจนวา ia ≡ 0(mod p) ซง 1 ≤ i ≤ p − 1 สมมตวา ia ≡

0(mod p) จะไดวา p | ia แต (a, p) = 1 ดงนน p | i ซงเปนไปไมได เพราะวา p > i ดงนน

ia ≡ 0(mod p)

ตอไปจะพสจนวา ถา ia ≡ ja(mod p) ซง 1 ≤ i, j ≤ p− 1 แลว i = j สมมตวา

ia ≡ ja(mod p) ซง 1 ≤ i, j ≤ p − 1 เนองจาก (a, p) = 1 และจากทฤษฏบท

?? (2) ดงนน i ≡ j(mod p) แตเนองจาก i และ j เปนสวนตกคางคานอยสด มอดโล

p ดงนน i = j นนคอ ไมมสวนตกคางคานอยสดคใดของ {a, 2a, 3a, . . . , (p − 1)a}

ทสมภาคกนในมอดโล p �

ตวอยางท 5.2.1 จงหาสวนตกคางคานอยสดของ {12, 24, 36, 48, 60, 72} มอดโล 7

วธทำ ให p = 7 และ a = 12 ซง (12, 7) = 1 เนองจาก

{12, 24, 36, 48, 60, 72} = {1 · 12, 2 · 12, 3 · 12, 4 · 12, 5 · 12, 6 · 12}

จะเหนวา

1 · 12 = 12 ≡ 5(mod 7)

2 · 12 = 24 ≡ 3(mod 7)

3 · 12 = 36 ≡ 1(mod 7)

4 · 12 = 48 ≡ 6(mod 7)

5 · 12 = 60 ≡ 4(mod 7)

6 · 12 = 72 ≡ 2(mod 7)

ดงนน สวนตกคางคานอยสดของ {1 · 12, 2 · 12, 3 · 12, 4 · 12, 5 · 12, 6 · 12} คอ

{1, 2, 3, 4, 5, 6} �



ทฤษฎบท 5.2.1 (ทฤษฎบทของแฟรมาต (Fermat′s theorem)) ให p เปนจำนวนเฉพาะ

และ a ∈ Z จะไดวา

ap−1 ≡ 1(mod p)

พสจน ให p เปนจำนวนเฉพาะ และ a ∈ Z จากบทตง 5.2.1 จะไดวา สวนตกคางคานอย

สดของ {a, 2a, 3a, . . . , (p− 1)a} มอดโล p คอ {1, 2, 3, . . . (p− 1)} ดงนน

a · 2a · 3a · . . . · (p− 1)a ≡ 1 · 2 · 3 · . . . · (p− 1)(mod p)

นนคอ (p−1)!ap−1 ≡ (p−1)!(mod p) เนองจาก ((p−1)!, p) = 1 ดงนน จากทฤษฏบท

?? (2) จะไดวา ap−1 ≡ 1(mod p) �

ตวอยางท 5.2.2 จงแสดงวา (12)6 ≡ 1(mod 7)

วธทำ ให p = 7 และ a = 12 จากทฤษฎบท 5.2.1 จะไดวา สวนตกคางคานอยสดของ

{1 · 12, 2 · 12, 3 · 12, 4 · 12, 5 · 12, 6 · 12} มอดโล 7 คอ {1, 2, 3, 4, 5, 6} ดงนน

(1 · 12)(2 · 12)(3 · 12)(4 · 12)(5 · 12)(6 · 12) ≡ 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6(mod 7)

นนคอ 6!(12)6 ≡ 6!(mod 7)

เนองจาก (6!, 7) = 1 ดงนน (12)6 ≡ 1(mod 7) �

ตวอยางท 5.2.3 จงหาเศษจากการหาร (24)1947 ดวย 17

วธทำ เนองจาก 24 ≡ 7(mod 17) ดงนน (24)1947 ≡ 71947(mod 17) แตจากทฤษฎบท

5.2.1 จะไดวา 716 ≡ 1(mod 17) ดงนน

71947 = 7(16)(121)+11 = 7(16)(121) · 711 ≡ 1121 · 711 ≡ 711(mod 17)

เนองจาก 72 ≡ −2(mod 17) ดงนน

711 ≡ (72)5 · 7 ≡ (−2)5 · 7 ≡ (−32) · 7 ≡ 2 · 7 ≡ 14(mod 17)

นนคอ (24)1947 หารดวย 17 เหลอเศษ 14 �

ทฤษฎบทตอไปน แสดงใหเหนวาทฤษฎบทของแฟรมาต สามารถนำไปใชไดกบจำนวน

เตม a ใด ๆ



ทฤษฎบท 5.2.2 ให p เปนจำนวนเฉพาะ และ a ∈ Z จะไดวา

ap ≡ a(mod p)

พสจน ให p เปนจำนวนเฉพาะ ถา (a, p) = 1 แลวจากทฤษฎบทของ 5.2.1

จะไดวา ap−1 ≡ 1(mod p) ดงนน ap ≡ a(mod p)

สมมตวา (a, p) = 1 จะไดวา p ≡ a ≡ 0(mod p) ดงนน ap ≡ 0(mod p)

แลวทำใหไดวา ap ≡ a(mod p)

จากทงสองกรณ สรปไดวา ap ≡ a(mod p) �

ตวอยางท 5.2.4 ให p = 7 ถา a = 12 แลวจากตวอยางท 5.2.2

จะไดวา (12)6 ≡ 1(mod 7) ดงนน (12)7 ≡ 12(mod 7)

และถา a = 28 แลว 28 ≡ 0(mod 7) ดงนน (28)7 ≡ 0(mod 7)

แต 0 ≡ 28(mod 7) ดงนน (28)7 ≡ 28(mod 7) �


(1) จงหาสวนตกคางคานอยสดของ 3204 มอดโล 11

(2) จงแสดงวา 536 ≡ 3(mod 11)

(3) ให p, q เปนจำนวนเฉพาะ p = q และ a ∈ N ซง ap ≡ a(mod q) และ aq ≡ a(mod p)

จงพสจนวา apq ≡ a(mod pq)

(4) จงแสดงวา 2383 ≡ 4(mod 384)

5.3 จำนวนเฉพาะเทยม

ถาสมภาคในทฤษฎบท 5.2.2 ทไดจากทฤษฎบทของแฟรมาตไมเปนจรงสำหรบบาง

จำนวนเตม b นนคอ ถา bn ≡ b(mod n) สำหรบบาง b ∈ Z แลว n จะไมเปนจำนวนเฉพาะ

ดงนน n จะเปนจำนวนประกอบ

ตวอยางท 5.3.1 จงแสดงวา 33 เปนจำนวนประกอบ



วธทำ ถา 33 เปนจำนวนเฉพาะ จะไดวา 233 ≡ 2(mod 33)

เนองจาก 25 ≡ (−1) ≡ 8(mod 33) ดงนน

233 = (25)6 · 23 ≡ (−1)6 · 8 ≡ 8(mod 33) ≡ 2(mod 33)

นนคอ 33 ไมเปนจำนวนเฉพาะ �

ตวอยางท 5.3.2 จงแสดงวา 2341 ≡ 2(mod 341)

วธทำ เนองจาก 341 = 11 · 31 และ

210 ≡ 1(mod 11) ทำให 2341 = (210)34 · 2 ≡ 134 · 2 ≡ 2(mod 11)

และ 25 ≡ 1(mod 31) ทำให 2341 = (25)68 · 2 ≡ 168 · 2 ≡ 2(mod 31)

ดงนน 2341 ≡ 2(mod [11, 31])

นนคอ 2341 ≡ 2(mod 341) ซง 341 ไมเปนจำนวนเฉพาะ �

จากตวอยางขางตน จะเหนวาสมภาคทงสองมฐานเปน b = 2 ซงเปนทมาของบทนยาม

ตอไปน

บทนยาม 5.3.1 ให n เปนจำนวนประกอบ เราจะเรยก n วา จำนวนเฉพาะเทยม

(pseudoprime) ถา 2n ≡ 2(mod n)

หมายเหต 5.3.1 จำนวนเฉพาะเทยม 4 ตวแรกทเปนจำนวนคคอ 341, 561, 645 และ

1, 105 สวนจำนวนเฉพาะเทยมทเลกสดทเปนจำนวนคคอ 161, 038

ทฤษฎบทตอไปนทำใหเราสามารถสรางจำนวนเฉพาะเทยมไดและสรางไดไมจำกด

บทตง 5.3.1 ให m,n เปนจำนวนเตมบวก และ m | n จะไดวา (2m − 1) | (2n − 1)

พสจน เนองจาก m | n ดงนน n = km สำหรบบางจำนวนเตมบวก k จะไดวา

(2n − 1) = (2km − 1)

= (2m − 1)[2(k−1)m + 2(k−2)m + . . .+ 2m + 1]

ดงนน (2m − 1) | (2n − 1) �

บทตง 5.3.2 ให n เปนจำนวนเฉพาะเทยมและเปนจำนวนค จะไดวา 2n − 1 เปนจำนวน

เฉพาะเทยมและเปนจำนวนค


พสจน ให n เปนจำนวนเฉพาะเทยม จะไดวา n เปนจำนวนประกอบและ 2n ≡ 2(mod n)

เนองจาก n เปนจำนวนค ดงนน 2n−1 ≡ 1(mod n) ให n = rs เมอ 1 < r, s < n

และ N = 2n − 1 เนองจาก r | n จากบทตง 5.3.1 จะไดวา (2r − 1) | (2n − 1) นนคอ

(2r − 1) | N ดงนน N เปนจำนวนค ตอไปจะแสดงวา 2N ≡ 2(mod N) ดงน เนองจาก

2n ≡ 2(mod n) ดงนน n | (2n − 2) จะไดวา (2n − 2) = kn สำหรบบางคา k ∈ Z

นนคอ (N − 1) = kn ทำใหไดวา 2(N−1) − 1 = 2kn − 1 จากบทตง 5.3.1 จะไดวา

N = 2N − 1 | 2kn − 1 ดงนน 2(N−1) − 1 ≡ 0(mod N) นนคอ 2(N−1) ≡ 1(mod N)

ทำใหไดวา 2N ≡ 2(mod N) �

ตวอยางท 5.3.3 ถา 341 เปนจำนวนเฉพาะเทยมแลว จงหาจำนวนเฉพาะเทยมอก 2 จำนวน

วธทำ เนองจาก 341 เปนจำนวนเฉพาะเทยม ดงนน

จากบทตง 5.3.2 จะไดวา 2341 − 1 เปนจำนวนเฉพาะเทยม

และจากบทตง 5.3.2 จะไดวา 2(2341−1) − 1 เปนจำนวนเฉพาะเทยม �

ทฤษฎบท 5.3.1 มจำนวนเฉพาะเทยมเปนจำนวนอนนต

พสจน ให ni เปนจำนวนเฉพาะเทยมทเปนจำนวนค จากบทตง 5.3.2 จะไดจำนวนเฉพาะเทยม

ทเปนจำนวนค ni+1 คอ 2ni−1 สำหรบ i = 0, 1, 2, . . . ให n0 = 341 จะไดจำนวนเฉพาะเทยม

เปนจำนวนอนนต �

นอกจากสมภาคทมฐานเปน b = 2 แลวยงมสมภาคทมฐาน a และ n เปนจำนวน

ประกอบ ซง an ≡ a(mod n) เชน 391 ≡ 3(mod 91) และ 415 ≡ 4(mod 15)

สำหรบสมภาคทมฐาน a ∈ Z และ n เปนจำนวนประกอบ ซง an ≡ a(mod n)

เราจะเรยก n วา จำนวนเฉพาะเทยมสมบรณ (absolute pseudoprime number) หรอ

จำนวนคารไมเคล (Carmichael number) ซง โรเบรต คารไมเคล (Robert Daniel

Carmichael, 1879–1967) นกคณตศาสตรชาวอเมรกน ไดคนพบและตพมพไวในป 1970

เชน จำนวน 561 และ 1, 105 รวมทง 1, 709 เปนตน ซงสำหรบ a ∈ Z จะไดวา

a561 ≡ a(mod 561)

ในป ค.ศ. 1994 อลฟอรด (W.R. Alford) แอนดร แกรนวลล (Andrew Granville)

และ คารล พอเมอรนซ (Carl Pomerance) ไดตพมพผลงานวจยแสดงใหเหนวา มจำนวน

เฉพาะเทยมเปนจำนวนอนนต



(1) สำหรบ n ในแตละขอตอไปน จงแสดงวา 2n ≡ 2(mod n)

(1.1) n = 561

(1.2) n = 645

(1.3) n = 1, 105

(2) จงแสดงวา

(2.1) 2340 ≡ 2(mod 340)

(2.2) 390 ≡ 1(mod 91)

(2.3) 414 ≡ 1(mod 15)

(2.4) 5123 ≡ 1(mod 124)

(3) จงแสดงวาจำนวนตอไปนเปนจำนวนคารไมเคล

(3.1) 1, 105 = (5)(13)(17)

(3.2) 1, 729 = (7)(13)(19)

(3.3) 2, 465 = (5)(17)(29)

5.4 ทฤษฎบทของออยเลอร

ทฤษฎบทของแฟรมาตบอกเราวามจำนวนเฉพาะ p ซง a(p−1) ≡ 1(mod p) และ

ออยเลอร ไดขยายทฤษฎบทนไปสจำนวนเตมบวกใด ๆ โดยพสจนไวเมอป 1760 จากบทตง

5.2.1 เราจะขยายจากจำนวนเฉพาะ p เปนจำนวนเตมบวก ดงน

บทตง 5.4.1 ให m ∈ N และ a ∈ Z และ (a,m) = 1 ให r1, r2, . . . , rφ(m) เปนจำนวน

เตมบวกทนอยกวาหรอเทากบ m ซง (ri,m) = 1, i = 1, 2, . . . , φ(m) จะไดวา สวนตกคางคา

นอยสดของ {ar1, ar2, . . . , arφ(m)} มอดโล m คอ

r1, r2, . . . , rφ(m)

พสจน กอนอนเราจะแสดงวา (ari,m) = 1, สำหรบแตละ i ∈ {1, 2, . . . , φ(m)}

สมมตวา (ari,m) > 1 ให (ari,m) = p ซง p เปนจำนวนเฉพาะ จะไดวา

p | ari และ p | m


เนองจาก p | ari ดงนน p | a หรอ p | ri ถา p | ri และ p | m แลว (ri,m) = 1

ซงเกดขอขดแยง ดงนน p | a ขณะนเราไดวา p | a และ p | m ดงนน p | (a,m)

ซงเกดขอขดแยง ดงนนจงสรปไดวา (ari,m) = 1

ตอไปจะแสดงวา ari ≡ arj(mod m) ซง 1 ≤ i < j ≤ φ(m)

สมมตวา ari ≡ arj(mod m) (จะแสดงวา ri = rj) เนองจาก (a,m) = 1

ดงนน ri ≡ rj(mod m) และเนองจาก ri, rj เปนสวนตกคางคานอยสด มอดโล m

ดงนน ri = rj นนคอ ถา ri = rj แลว ari ≡ arj(mod m)

สรปไดวา สวนตกคางคานอยสดของ {ar1, ar2, . . . , arφ(m)} มอดโล m คอ

r1, r2, . . . , rφ(m) �

ตวอยางท 5.4.1 จงหาสวนตกคางคานอยสดของ {35, 175, 245, 385} มอดโล 12

วธทำ ให m = 12 และ a = 35 จะเหนวา φ(12) = 4 และเนองจาก

35 · 1 = 35 ≡ 11(mod 12)

35 · 5 = 175 ≡ 7(mod 12)

35 · 7 = 245 ≡ 5(mod 12)

35 · 11 = 385 ≡ 1(mod 12)

และ (ri,m) = 1, ri ∈ {1, 5, 7, 11} ดงนน สวนตกคางคานอยสดของ

{35 · 1, 35 · 5, 35 · 7, 35 · 11} มอดโล 12 คอ {1, 5, 7, 11} มอดโล 12 �

ทฤษฎบท 5.4.1 (ทฤษฎบทของออยเลอร (Euler′s theorem)) ให m ∈ N และ a ∈ Z

ซง (a,m) = 1 จะไดวา

aφ(m) ≡ 1(mod m)

พสจน ให r1, r2, . . . , rφ(m) เปนสวนตกคางคานอยสด มอดโล m ซง (ri,m) = 1,

i = 1, 2, . . . , φ(m) จากบทตง 5.4.1 จะไดวา

(ar1)(ar2) . . . (arφ(m)) ≡ r1r2 . . . rφ(m)(mod m)

ดงนน aφ(m)r1r2 . . . rφ(m) ≡ r1r2 . . . rφ(m)(mod m)

เนองจาก (ri,m) = 1 ดงนน (r1, r2, . . . , rφ(m)) = 1

ทำใหไดวา aφ(m) ≡ 1(mod m) �


ตวอยางท 5.4.2 จงแสดงวา (35)φ(12) ≡ 1(mod 12)

วธทำ จากตวอยาง 5.4.1 เนองจาก (35 ·1)(35 ·5)(35 ·7)(35 ·11) ≡ 1 ·5 ·7 ·11(mod 12)

ดงนน (35)4(1 · 5 · 7 · 11) ≡ 1 · 5 · 7 · 11(mod 12) และเนองจาก (1 · 5 · 7 · 11, 12) = 1

ดงนน (35)4 ≡ 1(mod 12) นนคอ (35)φ(12) ≡ 1(mod 12) �

ตวอยางท 5.4.3 จงแสดงวา (77)8 ≡ 1(mod 24)

วธทำ ให m = 24 และ a = 77 เนองจาก จำนวนเตมบวกทนอยกวาหรอเทากบ 24 และเปน

จำนวนเฉพาะสมพทธกบ 24 มจำนวน 8 ตว คอ 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19 และ 23 ดงนน

φ(24) = 8 เนองจาก (77, 24) = 1 ดงนนจากทฤษฎบท 5.4.1 จะไดวา

aφ(24) ≡ 1(mod m)

นนคอ (77)8 ≡ 1(mod 24)

ตรวจสอบ เนองจาก 77 ≡ 5(mod 24) ดงนน (77)8 ≡ 58(mod 24) และ เนองจาก

52 ≡ 1(mod 24) ดงนน (77)8 ≡ 58 = (52)4 ≡ 14 ≡ 1(mod 24) จรง �

ทฤษฎบทของออยเลอรมประโยชนในการหาเศษเหลอของจำนวนทยกกำลงมากๆ แต

ทงน เลขฐานกบตวหารตองเปนจำนวนเฉพาะสมพทธ

ตวอยางท 5.4.4 จงหาเศษจากการหาร 2451040 ดวย 18

วธทำ เนองจาก 245 ≡ 11(mod 18) ดงนน (245)1040 ≡ (11)1040(mod 18)

แต (11, 18) = 1 และ φ(18) = 6 จากทฤษฎบท 5.4.1 จะไดวา

(11)φ(18) = (11)6 ≡ 1(mod 18)

ดงนน (11)1040 = ((11)6)173 · (11)2 ≡ 1173 · 121 ≡ 13(mod 18) �

ตวอยางท 5.4.5 จงหาเศษจากการหาร 33100 ดวย 40

วธทำ เนองจาก φ(40) = 16 และจากทฤษฎบท 5.4.1 จะไดวา

(33)φ(40) = (33)16 ≡ 1(mod 40)

ดงนน (33)100 = (3396)(334) = ((33)16)6 · (1089)2 ≡ 16 · 92 = 81 ≡ 1(mod 40) �

บทแทรกตอไปนไดจากทฤษฎบท 5.4.1



บทแทรก 5.4.1 ให m1,m2, . . . ,mk ∈ N และ (mi,mj) = 1, i = j และ a ∈ Z ซง

(a,mi) = 1, 1 ≤ i ≤ k จะไดวา

a[φ(m1),φ(m2),...,φ(mk)] ≡ 1(mod m1m2 . . .mk)


(1) จงแสดงวา a6 ≡ 1(mod 18) สำหรบ a = 5, 7, 11, 13 และ 17

(2) จงหาเศษจากการหาร ตอไปน

(2.1) 71020 ÷ 15

(2.2) (79)1776 ÷ 24

(3) ขอตอไปน ถาจรงใหพสจน ถาเทจใหยกตวอยางคาน

(3.1) φ((a, b)) = (φ(a), φ(b))

(3.2) φ([a, b]) = [φ(a), φ(b)]

(4) ให a และ b เปนจำนวนเฉพาะสมพทธ จงพสจนวา ab + ba ≡ 1(mod ab)

(5) จงพสจนวา 215 − 23 หาร a15 − a3 ลงตว สำหรบจำนวนเตม a ใด ๆ


บทท 6

สมการไดโอแฟนไทน

สมการ xn + yn = zn มผลเฉลยทเปนจำนวนจรงไดหลายผลเฉลย เชน

x = 1 y = 1 และ z = 3√2

ซงสมการนไมมผลเฉลยทเปนจำนวนเตม แตสมการไดโอแฟนไทน (Diophantine equations)

ซงเปนชอทตงขนเพอเปนเกยรตแกนกคณตศาสตรชาวกรกชอ ไดโอแฟนตส (Diophantus,

ค.ศ. 200−284) เปนสมการทเราสนใจผลเฉลยทเปนจำนวนเตม สมการเหลานอาจเปนสมการ

ดกรหนงหรอมากกวาหนงและอาจมตวแปรหนงตวหรอหลายตว หรอเปนระบบสมการทมตวแปร

มากกวาจำนวนสมการ เชน สมการทอยในรป

ax+ by = c หรอ xn + yn = zn เชน 3x− 4y = 10, x2 + 2y2 = z2 เปนตน

ซงสมการไดโอแฟนไทนตาง ๆ เหลาน หาผลเฉลยทงหมดทเปนจำนวนเตมไดไมงายนก ในบทน

ไดกลาวถงสมการไดโอแฟนไทนตวแปรกำลงหนง ตวแปรกำลงสองขนไป และสมการรปแบบ

พเศษอกหนงรปแบบ

6.1 สมการไดโอแฟนไทนเชงเสน

บทนยาม 6.1.1 ให a1, a2, . . . , an ∈ Z− {0} และ k ∈ Z จะเรยกสมการ

a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = k

เมอ x1, x2, . . . , xn เปนตวแปรของจำนวนเตมวา สมการไดโอแฟนไทนเชงเสน (linear

Diophantine equations) n ตวแปร


ตวอยางท 6.1.1 1) 4x+ 6y = 10 เปนสมการไดโอแฟนไทนเชงเสน 2 ตวแปร

2) x+ 5y − 7z + w = 1 เปนสมการไดโอแฟนไทนเชงเสน 4 ตวแปร

3)√3x+ 7y = 5 ไมเปนสมการไดโอแฟนไทนเชงเสน เพราะ

√3 /∈ Z

4) 3x− xy + 11 = 0 ไมเปนสมการไดโอแฟนไทนเชงเสน เพราะมพจน xy �

ทฤษฎบท 6.1.1 สมการไดโอแฟนไทน ax + by = c มผลเฉลยเปนจำนวนเตม กตอเมอ

(a, b) | c

พสจน ให d = (a, b) สมมตวา ax+ by = c มผลเฉลยเปน x0, y0 ∈ Z

ดงนน ax0 + by0 = c จากบทนยาม ?? จะไดวา d | a และ d | b ดงนน d | (ax0 + by0)

นนคอ d | c สำหรบการพสจนบทกลบของทฤษฎ สมมตวา d | c และจาก d = (a, b)

ดงนน จะม x′, y′ ∈ Z ซง ax′ + by′ = d เนองจาก d | c ดงนน จะม k ∈ Z ซง c = dk

จะไดวา a(kx′) + b(ky′) = (ax′)k + (by′)k = dk = c ดงนน สมการ ax + by = c

มผลเฉลย �

จากสมการไดโอแฟนไทน ax+ by = c จะเหนวา

ax− c = −by หรอ by − c = −ax

ดงนน

b | (ax− c) หรอ a | (by − c)

นนคอ

ax ≡ c(mod b) หรอ by ≡ c(mod a)

ซงสามารถใชสมการสมภาคสองสมการนหาผลเฉลยของ ax+ by = c ได

ตวอยางท 6.1.2 จงหาผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน 2x+ 6y = 8

วธทำ เนองจาก (2, 6) = 2 และ 2 | 8 ดงนน สมการมผลเฉลย

จาก 2x+ 6y = 8 จะไดวา 2x ≡ 8(mod 6) หรอ 6y ≡ 8(mod 2)

เราเลอกใช 2x ≡ 8(mod 6) จะไดวา x ≡ 4(mod 3) ≡ 1(mod 3)

นนคอ



x = 1 + 3t เมอ t ∈ Z

แทนคา x ในสมการจะไดวา 2(1 + 3t) + 6y = 8 ดงนน y = 1− t

นนคอ ผลเฉลยรปทวไปคอ x = 1 + 3t และ y = 1− t เมอ t ∈ Z �

ตวอยางผลเฉลยของสมการในตวอยาง 6.1.2 เชน

ถา t = 0 แลว x = 1 และ y = 1

ถา t = 1 แลว x = 4 และ y = 0

ถา t = −1 แลว x = −2 และ y = 2 เปนตน

ตวอยางท 6.1.3 จงหาผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน 3x− 6y + 9z = 63

วธทำ เนองจาก (3,−6, 9) = 3 และ 3 | 63 ดงนน สมการมผลเฉลย

จาก 3x− 6y + 9z = 63 จะไดวา 3x− 6y = 63− 9z (∗)

จะเหนวา (3,−6) = 3 ดงนน สมการ (∗) มผลเฉลย กตอเมอ 3 | (63− 9z)

เนองจาก z ∈ Z และ 3 | (63− 9z) เปนจรงเสมอ

ให z = t1 เมอ t1 ∈ Z

แทนคา x ในสมการ (∗) จะไดวา 3x− 6y = 63− 9t1

หรอ x− 2y = 21− 3t1 (∗∗)

เนองจาก (1,−2) = 1 และ 1 | (21− 3t1) เปนจรงเสมอ ดงนน สมการ (∗∗) มผลเฉลย

ให y = t2 เมอ t2 ∈ Z

แทนคา y ในสมการ (∗∗) จะไดวา x = 21− 3t1 + 2t2

ดงนน ผลเฉลยของสมการ คอ x = 21− 3t1 + 2t2

y = t2

z = t1

เมอ t1, t2 ∈ Z �

ตวอยางท 6.1.4 รถโดยสารสาย 44 อดร-โนนสง เกบคาโดยสารผใหญคนละ 14 บาท

และเดกคนละ 8 บาท ถาวนหนงเกบคาโดยสารได 576 บาท แลวในวนนน มผใหญและ

เดกนงโดยสารทเปนไปไดกคน



วธทำ สมมตวาในวนนนมผโดยสารนง เปนผใหญจำนวน x คนและเปนเดกจำนวน y คน

จะไดสมการเปน

14x+ 8y = 576

ซง (14, 8) = 2 และ 2 | 576 ดงนน สมการมผลเฉลย

จาก 14x+ 8y = 576 จะไดวา 14x ≡ 576(mod 8) แลวไดวา 7x ≡ 288(mod 4)

แต 7x ≡ 3x(mod 4) และ 288 ≡ 0(mod 4) ดงนน 3x ≡ 0(mod 4) และจากทฤษฎบท

?? (2) จะไดวา x ≡ 0(mod 4) ทำใหไดวา

x = 0 + 4t เมอ t ∈ Z

แทนคา x ในสมการจะไดวา 14(4t) + 8y = 576 ดงนน y = 72− 7t

เนองจากจำนวนผโดยสาร คอ x ≥ 0 และ y ≥ 0 ดงนน 4t ≥ 0 และ 72 − 7t ≥ 0

จะไดวา t ≥ 0 และ t ≤ 72

7นนคอ t = 0, 1, 2, . . . , 10 แทนคา t เพอหาคา x และ y

จะไดจำนวนผโดยสารทเปนไปไดดงตาราง

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

จำนวนผใหญ(x) 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

จำนวนเดก(y) 72 65 58 51 44 37 30 23 16 9 2

�

ตวอยางท 6.1.5 นกศกษาคนหนง หารายไดพเศษชวงปดเทอมโดยการขายลกชนปงประเภท

ปลา หม และเนอ ไมละ 5, 6 และ 7 บาท ตามลำดบ มอยเชาวนหนงขายไดเงนแค 50 บาท

ถามวาเชานนเขาขายไดอยางละกไม

วธทำ สมมตวาเชาวนนนเขาขายประเภทปลา หม และเนอ ไมละ 5, 6 และ 7 บาท ตามลำดบ

จะไดสมการเปน

5x+ 6y + 7z = 50

ซง (5, 6, 7) = 1 และ 1 | 50 ดงนน สมการมผลเฉลย

จดสมการเปน 5x+ 6y = 50− 7z (∗)

จะเหนวา (5, 6) = 1 และ 1 | (50− 7z) ไดเสมอ

ให z = t1 เมอ t1 ∈ Z

แทนคา x ในสมการ (∗) จะไดวา 5x+6y = 50− 7t1 ทำใหไดวา 5x ≡ 50− 7t1(mod 6)



แต 5x ≡ −x(mod 6) และ −x ≡ 50− 7t1(mod 6) ดงนน x ≡ 7t1 − 50(mod 6)

จะไดวา x = 7t1 − 50 + 6t2 เมอ t2 ∈ Z

แทนคา x และ z ในสมการ (∗) จะไดวา 5(7t1 − 50 + 6t2) + 6y = 50 − 7t1 หรอ

y = 50− 7t1 − 5t2

ดงนน ผลเฉลยของสมการ คอ x = −50 + 7t1 + 6t2

y = 50− 7t1 − 5t2

z = t1

เมอ t1, t2 ∈ Z

เนองจาก x, y, z ∈ N ดงนน t1 ≥ 0, −50 + 7t1 + 6t2 ≥ 0 และ 50− 7t1 − 5t2 ≥ 0

จะไดวา t1 ≥ 0, t2 ≥50− t1

6และ t2 ≤

50− t15

นนคอ t1 ≥ 0 และ 50− t16

≤ t2 ≤50− t1

5เมอแทนคา t1 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7 จะไดคา t2 = 10, 8, 7, 5, 4, 2, 1 และ หาคาไมได

ตามลำดบ ดงนน เขาขายจำนวน(ไม)ลกชนปลา หม และเนอ ตามตาราง (นกศกษาชวยเตมใน

ชองวาง)

t1 0 1 2 3 4 5 6

t2 10 8 7 5 4 2 1

จำนวน(ไม)ลกชนปลา(x) 10 5 6

จำนวน(ไม)ลกชนหม(y) 0 3 1

จำนวน(ไม)ลกชนเนอ(z) 0 1 2 3 4 5 6

�

เราอาจนำวธการกำจดตวแปร มาหาผลเฉลยของระบบสมการไดโอแฟนไทนได

ดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 6.1.6 จงหาผลเฉลยของระบบสมการไดโอแฟนไทนเชงเสน

2x+ 2y + z = 13 (1)

x+ 4y + 3z = 21 (2)

วธทำ (1)× 3; 6x+ 6y + 3z = 39 (3)

(3)− (2); 5x+ 2y = 18 (4)



เนองจาก (5, 2) = 1 และ 1 | 18 ดงนน สมการ (4) มผลเฉลย

จากสมการ (4) เขยนไดเปน 5x ≡ 18(mod 2) จะไดวา 5x ≡ 0(mod 2)

นนคอ x ≡ 0(mod 2) จะไดวา x = 0 + 2t เมอ t ∈ Z

แทนคา x ในสมการ (4) จะไดวา 5(2t) + 2y = 18 นนคอ y = 9− 5t

แทนคา x และ y ในสมการ (1) จะไดวา 2(2t) + 2(9− 5t) + z = 13 นนคอ z = 6t− 5

ดงนน ผลเฉลยของระบบสมการคอ x = 2t

y = −5t+ 9

z = 6t− 5

เมอ t ∈ Z �


(1) จงหาผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทนเชงเสนตอไปน

(1.1) 13x+ 15y = 34

(1.2) 6x+ 15y = 51

(1.3) 40x+ 63y = 521

(1.4) 2x− 5y + 3z = 17

(1.5) 10x+ 16y − 4z = 48

(2) แมคาขายผาคนหนง ขายเสอตวละ180 บาท ขายกางเกงตวละ 280 บาท วนนแมคามรายได

จากการขายเสอและกางเกงเปนเงน 2, 880 บาท ถามวาเธอขายเสอและกางเกงอยางละกตว

(3) ววฝงหนง ถาพอววกนหญาวนละ 2 ฟอน แมววกนหญาวนละฟอนครง และลกววกนหญา

วนละ ครงฟอน ปรากฎวาวนหนง ๆ มหญาหมดไป 10 ฟอน ถามวาววฝงนมพอวว แมวว

และลกววทเปนไปไดอยางละกตว

(4) ถา a, b, c ∈ Z จงพสจนวา ax+by = a+c มผลเฉลย กตอเมอ ax+by = c มผลเฉลย

(5) ถา a, b, c ∈ Z และ a+ b > c จงพสจนวา ax+ by = c ไมมผลเฉลย

(6) ถา a, b, c ∈ Z จงพสจนวา ax + by = c มผลเฉลย กตอเมอ (a, b) = (a, b, c)

มผลเฉลย

(7) จงหาผลเฉลยของระบบสมการไดโอแฟนไทนเชงเสนตอไปน



(7.1) 2x+ 6y + 4z = 3

3x+ 2y − z = 4

(7.2) 2x+ 3y + 5z = 1

4x+ 6y + 10z = 10

6.2 ชดสามจำนวนของปทาโกรส

ปทาโกรส(Pythagoras 569−500 ปกอนครสตศกราช) นกคณตศาสตรกรก ไดพบ

ทฤษฎเกยวกบดานของสามเหลยมมมฉากวา มความสมพนธกนเปนสมการ x2 + y2 = z2

ซงเรยกวา ทฤษฎบทของปทาโกรส แตปญหาทนาสนใจคอ จะหาจำนวน a, b, c ∈ Z ทงหมด

ทสอดคลองกบสมการดงกลาวไดอยางไร สำหรบจำนวนเตมบวกสามจำนวนทสอดคลองกบ

สมการน จะเรยกวา ชดสามจำนวนของปทาโกรส (Pythagorean triples)

บทนยาม 6.2.1 จำนวนนบ a, b และ c ซง (a, b) = 1 เปน ผลเฉลยปฐมฐาน (primitive

solution) ของสมการ x2 + y2 = z2 ถาแทน x = a, y = b และ z = c แลวทำใหสมการ

เปนจรง

ตวอยางท 6.2.1 (1) เนองจาก 3, 4, 5 ∈ N ซง (3, 4) = 1 และ 32 + 42 = 52 เปนจรง

ดงนน 3, 4, 5 เปนผลเฉลยปฐมฐานของ x2 + y2 = z2

(2) ทำนองเดยวกนกบ (1) จะไดวา 5, 12, 13 เปนผลเฉลยปฐมฐานของ

x2 + y2 = z2

(3) 6, 8, 10 ไมเปนผลเฉลยปฐมฐานของ x2 + y2 = z2 เพราะวา 62 + 82 = 102

จรง แต (6, 8) = 1 �

ทฤษฎบท 6.2.1 ถา a, b, c เปนผลเฉลยปฐมฐานของ x2 + y2 = z2 แลว

(a, c) = (b, c) = 1

พสจน ให a, b, c เปนผลเฉลยปฐมฐานของ x2 + y2 = z2 และ (a, c) = d = 1 จะไดวา

d | a และ d | c ดงนน d2 | a2 และ d2 | c2 ทำใหไดวา d2 | (c2−a2) เนองจาก c2−a2 = b2

ดงนน d2 | b2 นนคอ d | b จะไดวา (a, b) = d = 1 เกดขอขดแยงกบบทนยาม 6.2.1 ดงนน

(a, c) = 1

ในทำนองเดยวกน สามารถพสจนไดวา (b, c) = 1 �



ทฤษฎบท 6.2.2 ถา a, b, c เปนผลเฉลยปฐมฐานของ x2 + y2 = z2 แลว ma,mb และ

mc เมอ m ∈ Z เปนผลเฉลยของสมการ x2 + y2 = z2

พสจน เนองจาก a, b, c เปนผลเฉลยของสมการ x2 + y2 = z2 ดงนน a2 + b2 = c2

ทำใหไดวา

m2(a2 + b2) = m2c2

ดงนน (ma)2 + (mb)2 = (mc)2

นนคอ ma,mb และ mc เปนผลเฉลยของสมการ x2 + y2 = z2 �

ทฤษฎบท 6.2.3 ถา a, b, c เปนผลเฉลยปฐมฐานของ x2 + y2 = z2 แลว a และ b

ไมเปนจำนวนค หรอ ค พรอมกน

พสจน สมมตวา a และ b เปนจำนวนคพรอมกน จะไดวา a = 2m + 1, b = 2n + 1

สำหรบบาง m,n ∈ Z ดงนน

a2 = 4m2 + 4m+ 1 ≡ 1(mod 4) และ b2 = 4n2 + 4n+ 1 ≡ 1(mod 4)

จะไดวา a2 + b2 = 4(m2 + n2) + 4(m+ n) + 2 ≡ 2(mod 4) และเนองจาก a2 + b2 = c2

ดงนน c2 ≡ 2(mod 4) นนคอ

c2 = 4t+ 2 สำหรบบาง t ∈ Z (∗)

ทำใหไดวา ไมมจำนวนเตม c ดงกลาว ดงนน (∗) จงเปนไปไมได นนคอ a และ b

เปนจำนวนคพรอมกนไมได

สมมตวา a และ b เปนจำนวนคพรอมกน จะไดวา a และ b ม 2 เปนตวประกอบ

ซงทำให (a, b) = 1 เกดขอขดแยงกบทวา a และ b เปนผลเฉลยปฐมฐาน �

บทตง 6.2.1 ถา r, s, t ∈ Z ซง r2 = st และ (s, t) = 1 แลว s และ t เปนกำลงสองของ

จำนวนเตมบวก

พสจน สมมตวา s, t ∈ Z จากทฤษฎมลฐานเลขคณต สามารถเขยนเปน

s = ar11 ar22 . . . arkk และ t = bq11 bq22 . . . bqll



โดยท ai, bj ∈ Z และ ri, qj ∈ N เมอ i ∈ {1, 2, . . . , k} j ∈ {1, 2, . . . , l}

เนองจาก (s, t) = 1 ดงนน ai, bj ไมเปนจำนวนเฉพาะทซำกน และ

เนองจาก st = (ar11 ar22 . . . arkk )(bq11 bq22 . . . bqll ) = r2 ดงนน ri, qj เปนจำนวนค

นนคอ s และ t เปนกำลงสองของจำนวนเตมบวก �

ทฤษฎบท 6.2.4 ให a, b, c ∈ N และ a เปนจำนวนค ถา a, b, c เปนผลเฉลยปฐมฐาน

ของสมการ x2 + y2 = z2 แลวจะม m,n ∈ Z ซง

(1) m > n > 0

(2) m ≡ n(mod 2)

(3) (m,n) = 1

(4) a = 2mn, b = m2 − n2, c = m2 + n2

พสจน ให a เปนจำนวนค จะไดวา a = 2r, สำหรบบาง r ∈ Z ดงนน a2 = 4r2

เนองจาก a, b, c ∈ N เปนผลเฉลยปฐมฐาน ดงนน a2 + b2 = c2 จะไดวา

a2 = c2 − b2 = (c− b)(c+ b) = 4r2 (∗)

เนองจาก a เปนจำนวนค ดงนนจากทฤษฎบท 6.2.3 จะได b เปนจำนวนค แลวจะไดวา c

เปนจำนวนค ทำใหไดวา (c − b) และ (c + b) เปนจำนวนค ดงนน (c − b) = 2t และ

(c+ b) = 2s สำหรบบาง t, s ∈ Z จะไดวา

c = s+ t และ b = s− t (∗∗)

แลวแทนคา (c− b) และ (c+ b) ใน (∗) จะไดวา 4r2 = (2t)(2s) นนคอ r2 = st

ตอไปจะแสดงวา (s, t) = 1 ดงน ให (s, t) = d = 1 จะไดวา d | s และ d | t ดงนน

d | (s+ t) และ d | (s− t) นนคอ d | c และ d | b ซงเกดขอขดแยงกบ (b, c) = 1

เนองจาก r2 = st และ (s, t) = 1 โดยบทตง 6.2.1 จะไดวา

s = m2 และ t = n2, m, n ∈ N (1)

ดงนน จาก (∗) และ (∗∗) จะไดวา

b = s− t = m2 − n2, c = s+ t = m2 + n2 และ

a2 = 4r2 = 4st = 4m2n2 หรอ a = 2mn (4)

เนองจาก (s, t) = 1 จะไดวา (m2, n2) = 1 ดงนน (m,n) = 1 (3)



สดทายจะแสดงวา m ≡ n(mod 2) ดงน ให m ≡ n(mod 2) จะไดวา

m2 ≡ n2(mod 2) ดงนน 2 | (m2 − n2) และ 2 | (m2 + n2)

นนคอ 2 | b และ 2 | c ซงทำใหไดวา (b, c) = 1 เกดขอขดแยงกบทฤษฎบท 6.2.1

ดงนน m ≡ n(mod 2) (2) �

หมายเหต 6.2.1 m ≡ n(mod 2) หมายถง m และ n ไมเปนจำนวนคหรอคพรอมกน

จากทฤษฎบท 6.2.4 ทำใหทราบวา ทกผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน

x2 + y2 = z2 ทงหมด สามารถหาไดเสมอ และแตละ a, b, c สามารถหาผลเฉลยปฐมฐาน

ในรปตอไปน คอ

a, b,−c หรอ a,−b, c หรอ −a, b, c หรอ a,−b,−c หรอ

−a, b,−c หรอ −a,−b, c หรอ −a,−b,−c

และจากทฤษฎบท 6.2.2 ทำใหไดผลเฉลยอน ๆ ทงหมดทสรางจากแตละผลเฉลยปฐมฐาน

ขางบน

ตวอยางท 6.2.2 จงหาชดสามจำนวนของปทาโกรส a, b, c เมอ 6 > m > n > 0

วธทำ เราสามารถหาชดสามจำนวนของปทาโกรส a, b, c ไดดงตาราง

m n a = 2mn b = m2 − n2 c = m2 + n2 ชดสามจำนวนของปทาโกรส

2 1 4 3 5 3, 4, 5

3 2 12 5 13 5, 12, 13

4 1 8 15 17 8, 15, 17

4 3 24 7 25 7, 24, 25

5 2 20 21 29 20, 21, 29

5 4 40 9 41 9, 40, 41

�

จะเหนวา ถาตองการผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน x2+ y2 = z2 สามารถทำได

โดยกำหนด m,n ∈ Z และถา m,n ไมสอดคลองผลลพธในทฤษฎบท 6.2.4 แลว ผลเฉลย

ทไดจะไมเปนผลเฉลยปฐมฐาน เชน



m n 2mn m2 − n2 m2 + n2 ชดสามจำนวนของปทาโกรส

3 1 6 8 10 6, 8, 10

4 2 16 12 20 12, 16, 20

5 1 10 24 26 10, 24, 26

5 3 30 16 34 16, 30, 34

5 5 50 0 50 0, 50, 50

ตวอยางท 6.2.3 กำหนด a และ b ในแตละขอตอไปน

(1) a = 48, b = 55

(2) a = 51, b = 62

(3) a = 452, b = 68

จงหา c ∈ N ททำให a, b, c เปนผลเฉลยของ x2 + y2 = z2

วธทำ (1) ให a = 48, b = 55 เนองจาก a เปนจำนวนคและ b เปนจำนวนค ดงนน

จากทฤษฎบท 6.2.4 จะม c ∈ N ซง

c = m2 + n2 เมอ a = 2mn, b = m2 − n2, m, n ∈ Z

ดงนน

2mn = 48 (∗)

m2 − n2 = 55 (∗∗)

จาก (∗) จะไดวา m =24

nแทนคาใน (∗∗) ดงนน

(24

n)2

− n2 = 55

n4 + 55n2 − (24)2 = 0

(n2)2 + 55n2 − 576 = 0

(n2 + 64)(n2 − 9) = 0

n2 = −64, 9

จะไดวา n = ±3 ทำใหได m = ±8 ดงนน c = (±8)2 + (±3)2 = 73

(2) ให a = 51, b = 62 เนองจาก a เปนจำนวนคและ b เปนจำนวนค ดงนน จะหา

c ∈ N ซง

c = m2 + n2 เมอ a = 2mn, b = m2 − n2, m, n ∈ Z



เนองจาก

2mn = 51 (∗)

m2 − n2 = 62 (∗∗)

จาก (∗) จะไดวา m =51

2nแทนคาใน (∗∗) ดงนน

(51

2n)2

− n2 = 62

4(n2)2 + 4(62)n2 − (51)2 = 0

เนองจาก m /∈ Z หรอ n /∈ Z ดงนน ไมม c ∈ Z ททำให a, b, c เปนผลเฉลยของ

x2 + y2 = z2

(3) เนองจาก

2mn = 452 (∗)

m2 − n2 = 68 (∗∗)

และจาก (∗) จะไดวา m =226

nแทนคาใน (∗∗) ดงนน

(226

n)2

− n2 = 68

(n2)2 + 68n2 − (226)2 = 0

n2 =−68±

√

(68)2 + 4(1)(226)2

2/∈ Z

เนองจาก m /∈ Z หรอ n /∈ Z ดงนน ไมม c ∈ Z ททำให a, b, c เปนผลเฉลยของ

x2 + y2 = z2 �

ทฤษฎบทตอไปน สามารถตรวจสอบผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน x2 + y2 =

z2 ไดอกวธหนง

ทฤษฎบท 6.2.5 ถา a, b, c เปนผลเฉลยของสมการ x2 + y2 = z2 แลว

(1) 4 | a หรอ 4 | b

(2) 3 | a หรอ 3 | b

พสจน ให d = (a, b)

(1) เนองจาก a, b, c เปนผลเฉลยของ x2 + y2 = z2 ดงนน มผลเฉลยปฐมฐาน

a′, b′, c′ ซง a′ =a

d, b′ = b

d, c′ = c

dจะไดวา a = a′d, b = b′d จากทฤษฎบท 6.2.4 จะไดวา


a′ = 2mn หรอ b′ = 2mn, m,n ∈ N และม m หรอ n อยางนอยหนงตวเปนจำนวนค

นนคอ 4 | 2mn แสดงวา 4 | a หรอ 4 | b

(2) เนองจาก a = a′d และ b = b′d ให a′ = 2mn จะแสดงวา ถา 3 ∤ a แลว

3 | b

สมมตวา 3 ∤ a จะไดวา 3 ∤ a′ จากทฤษฎบท 6.2.4 เนองจาก a′ = 2mn ดงนน b′ = m2−n2

จะไดวา 3 ∤ 2mn ทำใหไดวา 3 ∤ m และ 3 ∤ n นนคอ

[m ≡ 1(mod 3) หรอ m ≡ 2(mod 3)] และ [n ≡ 1(mod 3) หรอ n ≡ 2(mod 3)]

จะไดวา

[m2 ≡ 1(mod 3) หรอ m2 ≡ 4 ≡ 1(mod 3)] และ

[n2 ≡ 1(mod 3) หรอ n2 ≡ 4 ≡ 1(mod 3)]

แสดงวา m2 ≡ 1(mod 3) และ n2 ≡ 1(mod 3)

ทำใหไดวา b′ = m2 − n2 ≡ 0(mod 3) นนคอ 3 | b′ แสดงวา 3 | b �

ขอความแยงสลบทของทฤษฎบท 6.2.5 คอ

ถา 4 ∤ a และ 4 ∤ b แลว a, b, c ไมเปนผลเฉลยของ x2 + y2 = z2

และ ถา 3 ∤ a และ 3 ∤ b แลว a, b, c ไมเปนผลเฉลยของ x2 + y2 = z2

ซงนำไปตรวจสอบ ตวอยางท 6.2.3 (2) และ (3) ไดดงน

(2) เนองจาก 4 ∤ 51 และ 4 ∤ 62 ดงนน ไมม c ∈ Z ททำให a, b, c เปนผลเฉลย

ของสมการไดโอแฟนไทน x2 + y2 = z2 ได

(3) ทำนองเดยวกนกบ (2) เนองจาก 3 ∤ 452 และ 3 ∤ 68 ดงนน ไมม c ∈ Z

ททำให a, b, c เปนผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน x2 + y2 = z2


(1) จงหา a, b, c ทเปนชดสามจำนวนของปทาโกรส ซง 30 < c < 50

(2) กำหนดคา a, b แตละคตอไปน

(2.1) a = 24, b = 15


(2.2) a = 20, b = 48

(2.3) a = 123, b = 678

(2.4) a = 1, 000, b = 472

จงหา c ∈ Z ททำให a, b, c เปนผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน x2 + y2 = z2

ถาไมม c ดงกลาว จงใหเหตผล

(3) จากทฤษฎบท 6.2.1 จงพสจนวา (b, c) = 1

(4) จงพสจนวา ถา a, b, c เปนผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน x2+y2 = z2 แลว 12 | ab

(5) จงพสจนวา ถา a, b, c เปนชดสามจำนวนของปทาโกรสแลว a+ b ≡ 1, 7(mod 8)

6.3 ทฤษฎบทสดทายของแฟรมาต

เราทราบวา เมอ n = 1, 2 สมการ xn + yn = zn มผลเฉลยเปนจำนวนเตมบวก

แตสงทนาสนใจคอ ถา n ≥ 3 แลว สมการดงกลาวจะมผลเฉลยเปนจำนวนเตมบวกหรอไม

ซงจนถงปจจบนยงไมมขอความพสจนได นกคณตศาสตรเรยกปญหานวา ทฤษฎบทสดทาย

ของแฟรมาต (Fermat′s last theorem) หรอ ขอคาดการณของแฟรมาต (Fermat′s

conjector)

ทฤษฎบท 6.3.1 สมการ x4 + y4 = z2 ไมมผลเฉลยเปนจำนวนเตมบวก

พสจน ให S = {c ∈ N | a4 + b4 = c2 สำหรบบาง a, b ∈ Z} จะพสจนวา S = ∅

สมมตวา S = ∅ และให c เปนจำนวนเตมบวกนอยสดใน S จะไดวา ม a, b ∈ Z ซง

a4 + b4 = c2 ให d = (a, b, c) จะไดวา d | a, d | b, d | c และ

(a

d)4 + (

b

d)4 =

a4 + b4

d4=

c2

d4= (

c

d2)2

ดงนน c

d2∈ S เนองจาก c เปนจำนวนเตมบวกนอยสดใน S ทำใหไดวา d = 1 และ

a, b, c เปนผลเฉลยปฐมฐานของชดสามจำนวนของปทาโกรส แลวจากทฤษฎบท 6.2.4 จะม

m,n ซง m > n > 0, (m,n) = 1 และ m ≡ n(mod 2) ททำให a2 = m2 − n2, b2 =

2mn, c = m2 + n2

จาก a2 = m2 − n2 จะไดวา a2 + n2 = m2 และ (m,n) = 1 จงทำให a,m, n

เปนผลเฉลยปฐมฐานของชดสามจำนวนของปทาโกรส ดงนน จะม r, s ซง r > s > 0,

(r, s) = 1 และ r ≡ s(mod 2) ททำให a = r2 − s2, n2 = 2rs และ m = r2 + s2


จาก b2 = 2mn, n เปนจำนวนค และ (m,n) = 1 จะไดวา (b

2)2 = u(

v

2) ดงนน

จะม e, f > 0 ซง m = e2 และ n

2= f 2 และจาก rs =

n

2= f 2 และ (r, s) = 1 ดงนน

จะม b1, c1 > 0 ซง r = b21 และ s = c21 และเนองจาก m = r2+s2 = (b1)2+(c1)

2 ดงนน

e2 = m = b41+c41 และ 0 < e ≤ m < m2+n2 = c นนคอ จะม b21, c21, e เปนผลเฉลยของ

x4+y4 = z2 ซง e < c ทำใหเกดขอขดแยงกบท c เปนคานอยสดใน S จงสรปไดวา สมการ

x4 + y4 = z2 ไมมผลเฉลยเปนจำนวนเตมบวก �

ทฤษฎบท 6.3.2 สมการ x4 + y4 = z4 ไมมผลเฉลยเปนจำนวนเตมบวก

พสจน สมมตวา a, b, c เปนผลเฉลยของ x4 + y4 = z4 จะไดวา a, b, c2 เปนผลเฉลยของ

x4 + y4 = z2 ซงเกดขอขดแยงกบทฤษฎบท 6.3.1 ทวา x4 + y4 = z2 ไมมผลเฉลยเปน

จำนวนเตมบวก ดงนน x4 + y4 = z4 ไมมผลเฉลยเปนจำนวนเตมบวก �

ทฤษฎบทตอไปนทำใหเราทราบวา มคา n อกมากมาย ททำใหทฤษฎบทสดทายของ

แฟรมาต เปนจรง

ทฤษฎบท 6.3.3 ถาสมการ xn + yn = zn ไมมผลเฉลยเปนจำนวนเตมบวกแลว สมการ

xkn + ykn = zkn, k ∈ N ไมมผลเฉลยเปนจำนวนเตมบวก

พสจน สมมตวา a, b, c เปนผลเฉลยทเปนจำนวนเตมบวกของ xkn + ykn = zkn,k ∈ N

จะไดวา akn+bkn = ckn ดงนน (ak)n+(bk)

n= (ck)

n นนคอ ak, bk, ck เปนผลเฉลยทเปน

จำนวนเตมบวกของ xn + yn = zn ซงเกดขอขดแยง ดงนน xkn + ykn = zkn ไมมผลเฉลย

เปนจำนวนเตมบวก �


(1) จงพสจนวา สมการ x4 − y4 = z2 ไมมผลเฉลยเปนจำนวนเตมบวก

(2) จงพสจนวา สมการ x4 + y4 = 2z2 ไมมผลเฉลยเปนจำนวนเตมบวก นอกจาก

x2 = y2 = z

(เสนอแนะ: ยกกำลงสองแลวนำ −4x2y4 บวกเขาทงสองขางของสมการ)

(3) จงพสจนวา สมการ x4 + 4y4 = z2 ไมมผลเฉลยเปนจำนวนเตมบวก

(เสนอแนะ: ยกกำลงสองแลวนำ −16x4y4 บวกเขาทงสองขางของสมการ)

(4) จงพสจนวา สมการ x4 − 4y4 = z2 ไมมผลเฉลยเปนจำนวนเตมบวก

(เสนอแนะ: เขยนสมการใหมในรป (2y2)2+ z2 = (x2)

2)

(5) ให p เปนจำนวนเฉพาะ จงใชทฤษฎบทสดทายของแฟรมาต พสจนขอตอไปน

(5.1) ถา xp−1 + yp−1 = zp−1 แลว p | xyz

(5.2) ถา xp + yp = zp แลว p | (x+ y − z)

6.4 สมการของเพลล

สมการไดโอแฟนไทนทนาสนใจอกแบบคอ x2 − dy2 = n เมอ d, n ∈ Z

สงเกตวา

(1) ถา d < 0 และ n < 0 สมการไมมผลเฉลย

(2) ถา d < 0 และ n > 0 แลว | x |≤ √n และ | y |≤

√

n

| d | และมผลเฉลยจำนวน

จำกด

(3) ถา d เปนจำนวนกำลงสองสมบรณ เชน d = s2 แลว

x2 − dy2 = x2 − s2y2 = (x+ sy)(x− sy) = n

จะไดวา สมการมผลเฉลยจำนวนจำกด

ตวอยางท 6.4.1 สมการไดโอแฟนไทน x2 − 2y2 = ±1

จะเหนวา 12 − 2 · 12 = −1 ดงนน x = 1, y = 1

32 − 2 · 22 = 1 ดงนน x = 3, y = 2

72 − 2 · 52 = −1 ดงนน x = 7, y = 5

172 − 2 · 122 = 1 ดงนน x = 17, y = 12

สำหรบหวขอนเราสนใจศกษา กรณเฉพาะของสมการไดโอแฟนไทน x2 − dy2 = n

กรณท n = 1 ซง ออยเลอรไดตงชอใหเปนเกยรตแกนกคณตศาสตรชาวองกฤษชอ จอหน

เพลล (John Pell, 1611− 1685) ทเปนผรเรมแนวคดและศกษาเรองน

บทนยาม 6.4.1 ให d ∈ Z และ d ไมเปนจำนวนกำลงสองสมบรณ เราเรยกสมการ

ไดโอแฟนไทน

x2 − dy2 = 1

วา สมการของเพลล (Pell′s equation)

หมายเหต 6.4.1 (1) ถา d = 0 แลว x = ±1

ถา d = −1 แลว (x, y) = (±1, 0) หรอ (x, y) = (0,±1) อยางใดอยางหนง

ถา d < −1 แลว (x, y) = (±1, 0)

ถา d = s2 แลว (x+ sy)(x− sy) = 1 ดงนน (x, y) = (±1, 0)

(2) จะเหนวา (x, y) = (±1, 0) เปนผลเฉลยของสมการของเพลล สำหรบแตละ

d ∈ Z

จากบทนยาม 6.4.1 และหมายเหต 6.4.1 ทำใหเราทราบวา ถา d < 0 หรอ d

เปนจำนวนกำลงสองสมบรณแลว สมการของเพลล มผลเฉลยจำนวนจำกด

สงทเราสนใจคอ สมการของเพลล x2 − 2y2 = 1 เมอ d ∈ N และ d ไมเปนจำนวน

กำลงสองสมบรณ จะทำใหสมการนมผลเฉลยหรอไม และถาม จะมผลเฉลยอนอกหรอไม

ตวอยางท 6.4.2 สมการไดโอแฟนไทน x2 − 2y2 = 1 เปนสมการของเพลล และเนองจาก

32 − 2 · 22 = 1 ดงนน (3, 2) เปนผลเฉลยของสมการ และเชนเดยวกน (17, 12) เปนอก

ผลเฉลยหนงของสมการ

ซงตอจากนไป เราจะไดเหนวา สมการของเพลลมผลเฉลยจำนวนไมจำกด

ออยเลอรไดแกปญหาสมการของเพลล พบวา แม d มคานอยแตผลเฉลยของสมการทเปน

จำนวนบวกคานอยสด ยงคงมขนาดใหญมาก เชน สมการ x2 − 109y2 = 1 มผลเฉลยท

เปนจำนวนบวกคานอยสด

(x, y) = (158070671986349, 15140424455100)

หมายเหต 6.4.2 (1) ถา (a, b) เปนผลเฉลยของสมการของเพลลแลว (±a,±b) จะเปน

ผลเฉลยของสมการของเพลลดวย ดงนนจงเปนการเพยงพอทเราจะศกษาเฉพาะผลเฉลยทเปน

จำนวนบวก

(2) ถา (a, b) เปนผลเฉลยของสมการของเพลลแลว

a2 − db2 = (a +√db)(a −

√db) ดงนนจำนวน a +

√db จะเปนจำนวนทใชหาผลเฉลย

อน ๆ ตอไป

ทฤษฎบทตอไปน ทำใหเราหาผลเฉลยอน ทไดจากผลเฉลยทเรามอยแลว

บทตง 6.4.1 ถา u และ v เปนผลเฉลยของสมการของเพลล x2 − dy2 = 1 ซง d ∈ N

และ d ไมเปนจำนวนกำลงสองสมบรณ แลว uv เปนผลเฉลยของสมการของเพลล

พสจน ให u = a+ b√d และ v = c+ f

√d และเนองจาก

uv = (a+ b√d)(c+ f

√d) = (ac+ bfd) + (af + bc)

√d

ดงนน uv เปนผลเฉลยของสมการ �

ตวอยางท 6.4.3 ถา u = 3+2√2 และ v = 17+12

√2 เปนผลเฉลยของ x2 − 2y2 = 1

แลงจงหาอกสองผลเฉลย

วธทำ จากบทตง 6.4.1 จะไดวา uv = (3 ·17+2 ·12 ·2)+(3 ·12+2 ·17)√2 = 99+70

√2

เปนผลเฉลยของสมการ และเชนเดยวกน u2 = (3·3+2·2·2)+(3·2+2·3)√2 = 17+12

√2

เปนผลเฉลยของสมการ �

ทฤษฎบทตอไปนแสดงความเชอมโยงระหวางสมการของเพลลและ x

y

ทฤษฎบท 6.4.1 ให d ∈ N และ d ไมเปนจำนวนกำลงสองสมบรณ ถา (x, y) เปนผลเฉลย

ของสมการของเพลล แลว x

yลเขาหา

√d

พสจน สมมตวา (x, y) เปนผลเฉลยของสมการของเพลล จะไดวา x2 − dy2 = 1

ดงนน (x+ y√d)(x− y

√d) = 1 เนองจาก (x+ y

√d) > 0 ดงนน (x− y

√d) > 0

ทำใหไดวา x > y√d ดงนน 0 <

x

y−√d =

x− y√d

y=

x2 − dy2

y(x+ y√d)

=1

y(x+ y√d)

จะไดวา x

y−√d <

1

y(y√d+ y

√d)

=1

2y2√d<

√d

2y2√d=

1

2y2

ทำใหไดวา |√d− x

y|< 1

2y2

ดงนน x

yลเขาหา

√d �

ตวอยางท 6.4.4 พจารณาคา x

yของ x2 − 2y2 = 1

วธทำ จากตวอยาง 6.4.3 u = 3 + 2√2 v = 17 + 12

√2 และ

uv = 99 + 70√2 เปนผลเฉลยของ x2 − 2y2 = 1 จะเหนวา

3

2= 1.5

17

12= 1.416

99

70= 1.4 ¯1428757

≈√2 = 1.4142135623 . . .


ซงจะเหนวา คา x

yลเขาหา

√2 �

เนองจาก d ∈ N และ d ไมเปนจำนวนกำลงสองสมบรณ ดงนน d > 1 จะไดวา√d > 1 ซงทฤษฎบทนบอกเราวา ผลเฉลย (x, y) ของสมการของเพลล นน จะตองม x > y

และตอไปนเปนตารางของผลเฉลยคานอยสดของสมการของเพลล x2−dy2 = 1 เมอ d = 1

ถง d = 60

d x y d x y d x y

1 − − 21 55 12 41 2049 320

2 3 2 22 179 42 42 13 2

3 2 1 23 24 5 43 3482 531

4 − − 24 5 1 44 199 30

5 9 4 25 − − 45 161 24

d x y d x y d x y

6 5 2 26 51 10 46 24335 3588

7 8 3 27 26 5 47 48 7

8 3 1 28 127 24 48 7 1

9 − − 29 9801 1820 49 − −

10 19 6 30 11 2 50 99 14

d x y d x y d x y

11 10 3 31 1520 273 51 50 7

12 7 2 32 17 3 52 649 90

13 649 180 33 23 4 53 66249 9100

14 15 4 34 35 6 54 486 66

15 4 1 35 6 1 55 89 12



d x y d x y d x y

16 − − 36 − − 56 15 2

17 33 8 37 73 12 57 151 20

18 17 4 38 37 6 58 19603 2574

19 170 39 39 25 4 59 530 69

20 9 2 40 19 3 60 31 4

บทตง 6.4.2 กำหนดสงยคของ x = a1 + b1√c และ y = a2 + b2

√c คอ

x′ = a1 − b1√c และ y′ = a2 − b2

√c ตามลำดบ จะไดวา

1 (x+ y)′ = x′ + y′

2 (xy)′ = x′y′

พสจน ใหพสจนเปนแบบฝกหด �

ทฤษฎบทตอไปน ทำใหเราหาผลเฉลย(ทเปนจำนวนบวก)ทงหมดของสมการของเพลล

x2 − dy2 = 1 จากผลเฉลย(ทเปนจำนวนบวก)คานอยสด

ทฤษฎบท 6.4.2 ให (x1, y1) เปนผลเฉลยคานอยสดของสมการ x2−dy2 = 1 ซง d ∈ N

และ d ไมเปนจำนวนกำลงสองสมบรณ จะไดวา ผลเฉลย (xn, yn) ทงหมดของสมการไดจาก

xn + yn√d = (x1 + y1

√d)n

สำหรบ n = 1, 2, . . .

พสจน ตอนแรก จะพสจนวา (xn, yn) เปนผลเฉลย สำหรบ n = 1, 2, . . .

กำหนด xn + yn√d = (x1 + y1

√d)n และจากบทตง 6.4.2 (2) จะไดวา xn − yn

√d =


(x1 − y1√d)n ดงนน

x2 − dy2 = (xn + yn√d)(xn − yn

√d)

= (x1 + y1√d)n(x1 − y1

√d)n

= [(x1 + y1√d)(x1 − y1

√d)]

n

= (x21 − dy21)

n

= 1n

= 1

นนคอ (xn, yn) เปนผลเฉลยของสมการของเพลล สำหรบ n = 1, 2, . . .

ตอไปจะแสดงวา ไมมผลเฉลยทเปนรปแบบอนอก ดงน สมมตวามจำนวน

(p, q) = (xn, yn), n = 1, 2, . . . ซง p2 − dq2 = 1 จะไดวา ม m ∈ Z ซง

(x1 + y1√d)

m< p+ q

√d < (x1 + y1

√d)

m+1

คณดวย (x1 − y1√d)

m จะไดวา

1 < (p+ q√d)(x1 − y1

√d)

m< x1 + y1

√d)

ให a, b ซง a+ b√d = (p+ q

√d)(x1 − y1

√d)

m จะไดวา

a2 − b2d = (a+ b√d)(a− b

√d) และจากบทตง 6.4.2 (1)

= [(p+ q√d)(x1 − y1

√d)

m][(p− q

√d)(x1 + y1

√d)

m]

= (p2 − dq2)(x21 − dy21)

m

= (1)(1)m

= 1

ดงนน (a, b) เปนผลเฉลยของ x2 − dy2 = 1 โดยท 1 < a+ b√d < x1 + y1

√d

เนองจาก a+ b√d > 1 ดงนน 0 < (a+ b

√d)

−1< 1 นนคอ 0 < a− b

√d) < 1

ดงนน a =1

2[(a+ b

√d)+(a− b

√d)] > 0 และ b =

1

2√d[(a+ b

√d)− (a− b

√d)] > 0

นนคอ (a, b) เปนผลเฉลยท a ≥ x1 และ b ≥ y1 แต (x1, y1) เปนผลเฉลยคานอยสด

จงเกดขอขดแยงทวา a + b√d < x1 + y1

√d ดงนน (p, q) = (xn, yn) สำหรบบาง

n = 1, 2, . . . �

ตวอยางท 6.4.5 จงหาผลเฉลยคานอยสดของสมการไดโอแฟนไทน x2 − 2y2 = 1 และ

หาผลเฉลยทตางกนอกจำนวน 4 ผลเฉลย พรอมทงผลเฉลยทงหมด

วธทำ สมการไดโอแฟนไทน x2 − 2y2 = 1 มผลเฉลยคานอยสดคอ (x1, y1) = (3, 2)

และ x2 + y2√2 = (x1 + y1

√2)2 = (3 + 2

√2)

2= 17 + 12

√2

x3 + y3√2 = (x1 + y1

√2)3 = (17 + 12

√2)(3 + 2

√2) = 99 + 70

√2

x4 + y4√2 = (x1 + y1

√2)4 = 577 + 408

√2

x5 + y5√2 = (x1 + y1

√2)5 = 3363 + 2378

√2

และผลเฉลยทงหมดของสมการ คอ xn + yn√2 = (3 + 2

√2)n, n = 1, 2, . . . �

ตวอยางท 6.4.6 จงหาผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน x2 − 13y2 = 1 จำนวน

สองผลเฉลยและผลเฉลยทงหมด

วธทำ จากตารางสมการ x2 − 13y2 = 1 มผลเฉลยคานอยสดคอ (x1, y1) = (649, 180)

และ x2 + y2√13 = (x1 + y1

√13)2 = (649 + 180

√13)

2= 84236 + 233640

√13

ดงนน (x2, y2) = (84236, 233640) เปนผลเฉลยของสมการซง (x2, y2) = (x1, y1) และ

ผลเฉลยทงหมดของสมการ คอ xn + yn√13 = (649 + 180

√13)n, n = 1, 2, . . . �


(1) จงพสจนบทตง 6.4.2 (1) และ (2)

(2) จงหาจำนวนสองผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทนตอไปน

(2.1) x2 − 3y2 = 1

(2.2) x2 − 12y2 = 1

(2.3) x2 − 5y2 = 1

(2.4) x2 − 45y2 = 1


(3) ถาผลเฉลยคานอยสดของสมการไดโอแฟนไทน x2 − 61y2 = 1 คอ

(x1, y1) = (1766319049, 226153980) จงหาผลเฉลย (a, b) ทไมเทากบ (x1, y1)

(4) จงแสดงวา ถา (xn, yn) เปนผลเฉลยของสมการของเพลล x2 − dy2 = 1 แลว

(xn+1, yn+1) = (x2n − dy2n, 2xnyn) เปนผลเฉลยอน


บทท 7

ทฤษฎสวนตกคางกำลงสอง

ในบทน เราศกษาถงการหาผลเฉลยของสมภาคกำลงสอง สวนตกคางกำลงสองรวม

ถงสญลกษณเลอชองดร บทตงของเกาส และสญลกษณจาโคบ

7.1 สมภาคกำลงสอง

ในหวขอ 4.4 ไดกลาวถงสมภาคเชงเสน สำหรบหวขอน จะไดศกษาถงการหาผลเฉลย

ของสมภาคกำลงสอง (quadratic congruence)

บทนยาม 7.1.1 ใหฟงกชนพหนาม

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ a0 ซง an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ Z

ถา c ∈ Z และ f(c) ≡ 0(mod m) แลว จะเรยก c วา ผลเฉลย (solution) ของ

f(x) ≡ 0(mod m)

ตวอยางท 7.1.1 ให x2 − x− 1 ≡ 0(mod 5)

เนองจาก 32 − 3− 1 = 5 ≡ 0(mod 5)

จะไดวา 3 เปนสวนหนงของผลเฉลยของ x2 − x− 1 ≡ 0(mod 5)

ดงนน x ซง x ≡ 3(mod 5) เปนผลเฉลยของ x2 − x− 1 ≡ 0(mod 5) �

ทฤษฎบท 7.1.1 ให f เปนฟงกชนพหนามทมสมประสทธเปนจำนวนเตม

ถา a ≡ b(mod m) แลว f(a) ≡ f(b)(mod m)

พสจน ให f(x) = c0xn + c1x

n−1 + . . .+ cn ซง ci ∈ Z, i = 1, 2, . . . , n

เนองจาก a ≡ b(mod m) จากทฤษฎบท ?? (4) จะไดวา

a2 ≡ b2(mod m), a3 ≡ b3(mod m), . . . , an ≡ bn(mod m)


และ cjan−j ≡ cjb

n−j(mod m), j = 1, . . . , n แลวจากทฤษฎบท ?? (3) จะไดวา

c0an + c1a

n−1 + . . .+ cn ≡ (c0bn + c1b

n−1 + . . .+ cn)(mod m)

นนคอ f(a) ≡ f(b)(mod m) �

ตวอยางท 7.1.2 ให f(x) = x2 + 1 เนองจาก 4 ≡ −3(mod 7) ดงนน

จากทฤษฎบท 7.1.1 จะไดวา f(4) = 17 ≡ 10 = f(−3)(mod 7) �

บทแทรก 7.1.1 ให b, c ∈ Z และ f(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . . + a1x + a0 โดยท

an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ Z ถา c เปนผลเฉลยของ f(x) ≡ 0(mod m) และ c ≡ b(mod m)

แลว b เปนผลเฉลยของ f(x) ≡ 0(mod m)

พสจน เนองจาก c เปนผลเฉลยของ f(x) ≡ 0(mod m) และ c ≡ b(mod m) จากบทนยาม

7.1.1 จะไดวา f(c) ≡ 0(mod m) และจากทฤษฎบท 7.1.1 จะไดวา f(c) ≡ f(b)(mod m)

ดงนน f(b) ≡ 0(mod m) นนคอ b เปนผลเฉลยของ f(x) ≡ 0(mod m) �

ตวอยางท 7.1.3 พจารณาผลเฉลยของ x2 − x+ 4 ≡ 0(mod 10)

เนองจาก 32 − 3 + 4 = 10 ≡ 0(mod 10) และ 82 − 8 + 4 = 60 ≡ 0(mod 10)

จะไดวา 3 และ 8 เปนสวนหนงของผลเฉลยของ x2 − x+ 4 ≡ 0(mod 10) ดงนน

x ≡ 3(mod 10) หรอ x ≡ 8(mod 10) เปนผลเฉลยของ x2 − x+ 4 ≡ 0(mod 10) �

หมายเหต 7.1.1 โดยทวไป ถา f(x) ≡ 0(mod m) มผลเฉลยเปน c แลวจะมคา x

ทเปนผลเฉลยได หลายผลเฉลย ซง x ≡ c(mod m) และจะถอวา x และ c เปนผลเฉลย

ทไมตางกน

ทฤษฎบท 7.1.2 ให A = {r0, r1, . . . , rm−1} เปนระบบสวนตกคางบรบรณ มอดโล m

จะไดวา จำนวนผลเฉลย ของ f(x) ≡ 0(mod m) เทากบ จำนวนของ ri ∈ A ซง

f(ri) ≡ 0(mod m), i = 0, 1, . . . ,m− 1

พสจน จากหมายเหต 7.1.1 และทฤษฎบท 7.1.1 �

ตวอยางท 7.1.4 จงหาผลเฉลยทงหมดของ x2 + 1 ≡ 0(mod 5)



วธทำ ให f(x) = x2+1 เนองจาก ระบบสวนตกคางนอยสดในมอดโล 5 คอ {0, 1, 2, 3, 4}

ซงเปนระบบสวนตกคางบรบรณ และจากทฤษฎบท 7.1.2 ดงนน จงเปนการเพยงพอทจะหา

ผลเฉลยจากเซตน

เนองจาก f(0) = 02 + 1 = 1 ≡ 0(mod 5)

f(1) = 12 + 1 = 2 ≡ 0(mod 5)

f(2) = 22 + 1 = 5 ≡ 0(mod 5)

f(3) = 32 + 1 = 10 ≡ 0(mod 5)

และ f(4) = 42 + 1 = 17 ≡ 0(mod 5)

ดงนน ผลเฉลยทงหมดของ x2 + 1 ≡ 0(mod 5) คอ

{x ∈ Z | x ≡ 2(mod 5)} ∪ {x ∈ Z | x ≡ 3(mod 5)} �

ตวอยางท 7.1.5 จงหาผลเฉลยทงหมดของ x2 + 1 ≡ 0(mod 7)

วธทำ ระบบสวนตกคางนอยสดในมอดโล 7 คอ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} ซงเราจะหาผลเฉลยจาก

เซตน เนองจาก 02 + 1 = 1 ≡ 0(mod 7)

12 + 1 = 2 ≡ 0(mod 7)

22 + 1 = 5 ≡ 0(mod 7)

32 + 1 = 10 ≡ 0(mod 7)

42 + 1 = 17 ≡ 0(mod 7)

52 + 1 = 26 ≡ 0(mod 7)

และ 62 + 1 = 37 ≡ 0(mod 7)

ดงนน x2 + 1 ≡ 0(mod 7) ไมมผลเฉลย �

ทฤษฎบท 7.1.3 ให d | m และ d > 0 ถา c เปนผลเฉลยของ f(x) ≡ 0(mod m) แลว

c เปนผลเฉลยของ f(x) ≡ 0(mod d)

พสจน พสจนไดโดยตรงจากทฤษฎบท ?? (5) �

ตวอยางท 7.1.6 ให x2 − x+ 2 ≡ 0(mod 8)

เนองจาก 32 − 3 + 2 = 8 ≡ 0(mod 8)

จะไดวา 3 เปนสวนหนงของผลเฉลยของ x2 − x+ 2 ≡ 0(mod 8)



เนองจาก 4 | 8 และจากทฤษฎบท 7.1.3

ดงนน 3 เปนผลเฉลยของ x2 − x+ 2 ≡ 0(mod 4) �

บทนยาม 7.1.2 สมภาคในรป

Ax2 +Bx+ C ≡ 0(mod p) (∗)

เมอ p เปนจำนวนเฉพาะ และ p ∤ A จะเรยกวา สมภาคกำลงสอง (quadratic congruence)

พจารณาสมภาค (∗) กรณ p = 2 ถาแทนคา x ดวยสมาชกในเชตของสวนตกคาง

นอยสด {0, 1} แลวจะไดผลเฉลยของ (∗)

กรณ p เปนจำนวนเฉพาะค และ p ∤ A จะไดวา p ∤ 4A นนคอ (4A, p) = 1 และจาก

(∗) จะไดวา

Ax2 +Bx+ C ≡ 0(mod p) ⇔ 4A(Ax2 +Bx+ C) ≡ 0(mod p)

⇔ (2Ax+B)2 − (B2 − 4AC) ≡ 0(mod p)

⇔ (2Ax+B)2 ≡ (B2 − 4AC)(mod p)

⇔ y2 ≡ a(mod p) (∗∗)

เมอ y = 2Ax+B และ a = B2 − 4AC

ดงนน (∗) มผลเฉลย กตอเมอ (∗∗) มผลเฉลย

ตวอยางท 7.1.7 จงหาผลเฉลยของ 3x2 − 4x+ 7 ≡ 0(mod 13)

วธทำ

3x2 − 4x+ 7 ≡ 0(mod 13)

⇔ (4 · 3)(3x2 − 4x+ 7) ≡ 0(mod 13)

⇔ 36x2 − 48x+ 84 ≡ 0(mod 13)

⇔ (6x− 4)2 − (16− 84) ≡ 0(mod 13)

⇔ (6x− 4)2 ≡ (16− 84)(mod 13)

⇔ (6x− 4)2 ≡ −68(mod 13)

⇔ (6x− 4)2 ≡ 10(mod 13)



ให y = 6x − 4 จะไดวา y2 ≡ 10(mod 13) ซงเมอตรวจสอบแลวมเพยง 2

ผลเฉลยคอ y ≡ 6, 7(mod 13) ดงนนผลเฉลยของ 3x2 − 4x + 7 ≡ 0(mod 13) คอ

6x− 4 ≡ 6(mod 13) และ 6x− 4 ≡ 7(mod 13) นนคอ x ≡ 6, 4(mod 13) �

ทฤษฎบทตอไปนทำใหเราหาผลเฉลยของสมภาคกำลงสองไดสะดวกขน

ทฤษฎบท 7.1.4 ให p เปนจำนวนเฉพาะค และ a ∈ Z ซง (a, p) = 1

ถา y2 ≡ a(mod p) มผลเฉลยเปน y ≡ y′(mod p) แลว (y′, p) = 1 และ

มผลเฉลยทตางจาก y ≡ y′(mod p) คอ y ≡ −y′(mod p)

พสจน ให (a, p) = 1 และ (y′)2 ≡ a(mod p)

จะไดวา (y′, p) = 1 และ (y′)2 = (−y′)2 ≡ a(mod p)

ทำใหไดวา y ≡ −y′(mod p) เปนผลเฉลยของ y2 ≡ −a(mod p)

และเนองจาก 2y′ ≡ 0(mod p) ดงนน y′ ≡ −y′(mod p)

นนคอ y ≡ y′(mod p) และ y ≡ −y′(mod p) เปนผลเฉลยทตางกน

สมมตวา x ∈ Z ซง x2 ≡ a(mod p)

เนองจาก (y′)2 ≡ a(mod p) ดงนน x2 ≡ (y′)2(mod p)

ทำใหไดวา x2 − (y′)2 = (x− y′)(x+ y′) ≡ 0(mod p)

แตเนองจาก p เปนจำนวนเฉพาะ ดงนน x− y′ ≡ 0(mod p) หรอ x+ y′ ≡ 0(mod p)

นนคอ x ≡ y′(mod p) หรอ x ≡ −y′(mod p)

แสดงวา มเพยงสองผลเฉลยเทานนทตางกน �

ตวอยางท 7.1.8 จงหาผลเฉลย 5x2 − 6x+ 2 ≡ 0(mod 13)

วธทำ

5x2 − 6x+ 2 ≡ 0(mod 13)

⇔ 5(5x2 − 6x+ 2) ≡ 5(0)(mod 13)

⇔ (5x− 3)2 + 1 ≡ 0(mod 13)

⇔ y2 ≡ −1(mod 13) เมอ y = 5x− 3

⇔ y2 ≡ 12(mod 13) เมอ y = 5x− 3



ตรวจสอบแลว จะไดวา y ≡ 5, 8(mod 13) เปนผลเฉลยของ y2 ≡ 12(mod 13)

ดงนน 5x− 3 ≡ 5(mod 13) และ 5x− 3 ≡ 8(mod 13)

ทำใหได x ≡ 10, 12(mod 13) เปนผลเฉลยของ y2 ≡ 12(mod 13)

นนคอ x ≡ 10, 12(mod 13) เปนผลเฉลยของ 5x2 − 6x+ 2 ≡ 0(mod 13) �

จากทฤษฎบท 7.1.4 จะเหนวา สมภาคกำลงสองจะมเพยงสองผลเฉลยเทานน แต

อยางไรกตาม ยงมบางสมภาคกำลงสองทไมมผลเฉลย

ตวอยางท 7.1.9 จงหาผลเฉลยของ 3x2 + 7x+ 5 ≡ 0(mod 13)

วธทำ

3x2 + 7x+ 5 ≡ 0(mod 13)

12(3x2 + 7x+ 5) ≡ 12(0)(mod 13)

36x2 + 84x+ 60 ≡ 0(mod 13)

(36x2 + 84x+ 49) + 11 ≡ 0(mod 13)

(6x+ 7)2 ≡ −11(mod 13)

(6x+ 7)2 ≡ 2(mod 13)

y2 ≡ 2(mod 13), y = 6x+ 7

เมอตรวจสอบแลว จะเหนวา y2 ≡ 2(mod 13) ไมมผลเฉลย ดงนน

3x2 + 7x+ 5 ≡ 0(mod 13) ไมมผลเฉลย �

จะเหนวา สมภาคกำลงสองมผลเฉลยหรอไมกได แตถาม x เปนผลเฉลยหนงแลว

จะไดวา −x เปนผลเฉลยหนงเสมอ


จงหาผลเฉลยทงหมดของสมภาคตอไปน

(1) x2 ≡ 1(mod 6)

(2) x2 ≡ 1(mod 12)



(3) x2 ≡ 5(mod 6)

(4) 3x2 ≡ 5(mod 7)

(5) 4x2 ≡ 7(mod 11)

(6) x2 + 5 ≡ 0(mod 7)

(7) x2 + 3 ≡ 0(mod 5)

(8) x2 − 3x+ 4 ≡ 0(mod 10)

(9) 2x2 + 3x+ 1 ≡ 0(mod 13)

(10) 25x2 + 70x+ 37 ≡ 0(mod 13)

7.2 สวนตกคางกำลงสอง

จากหวขอ 7.1 ทฤษฎบท 7.1.4 ทำใหเราสนใจวา สมภาคกำลงสอง

x2 ≡ a(mod p) เมอ (a, p) = 1 มเงอนไขการมผลเฉลยเปนเชนไร

บทนยาม 7.2.1 ให p เปนจำนวนเฉพาะค และ a ∈ Z ซง (a, p) = 1

ถา x2 ≡ a(mod p) มผลเฉลยแลว จะเรยก a วา สวนตกคางกำลงสอง (quadratic

residues) ของ p และ ถาไมมผลเฉลยแลว จะเรยก a วา สวนไมตกคางกำลงสอง

(quadratic non− residue) ของ p

เนองจาก ถา a ≡ b(mod p) แลว a เปนสวนตกคางกำลงสองของ p กตอเมอ b

เปนสวนตกคางกำลงสองของ p ดงนนในการหาสวนตกคางกำลงสองของ p เราจะพจารณา

เฉพาะจำนวนเตมบวกทนอยกวา p

ตวอยางท 7.2.1 จงหาสวนตกคางกำลงสองและสวนไมตกคางกำลงสองของ p = 7

วธทำ ให y2 ≡ a(mod 7) ซง a ∈ {1, 2, 3, ..., 6}



ถา a = 1 เนองจาก

02 = 0 ≡ 1(mod 7)

12 = 1 ≡ 1(mod 7)

22 = 4 ≡ 1(mod 7)

32 = 9 ≡ 1(mod 7)

42 = 16 ≡ 1(mod 7)

52 = 25 ≡ 1(mod 7)

62 = 36 ≡ 1(mod 7)

ดงนน 1 เปนสวนตกคางกำลงสองของ 7

ทำนองเดยวกน ให a = 2, 3, ..., 6 จะไดวา 2, 4 เปนสวนตกคางกำลงสองของ 7

และ 3, 5, 6 เปนสวนไมตกคางกำลงสองของ 7 �

ตวอยางท 7.2.2 จงหาสวนตกคางกำลงสองและสวนไมตกคางกำลงสองของ p = 13

วธทำ เนองจาก

12 ≡ 1 ≡ 122(mod 13), 22 ≡ 4 ≡ 112(mod 13)

32 ≡ 9 ≡ 102(mod 13), 42 ≡ 3 ≡ 92(mod 13)

52 ≡ 12 ≡ 82(mod 13), 62 ≡ 10 ≡ 72(mod 13)

ดงนน 1, 3, 4, 9, 10, 12 เปนสวนตกคางกำลงสองของ 13 และ 2, 5, 6, 7, 8, 11 เปนสวน

ไมตกคางกำลงสองของ 13 �

หมายเหต 7.2.1 จำนวนของสวนตกคางกำลงสองเทากบ p− 1

2เทากบจำนวนของสวน

ไมตกคางกำลงสอง

ทฤษฎบทตอไปน บอกเงอนไขการมผลเฉลยของสมภาคกำลงสอง ทออยเลอรไดพฒนาขน

แตกอนอนเราจะใหสญลกษณบางอยางเพอการพสจน

บทนยาม 7.2.2 ให a,m ∈ N, r ∈ Z และ (a,m) = 1 จะเรยก r วา อนดบ (order)

ของ a ถา ar ≡ 1(mod m) และเขยนแทนดวย ordm a



ตวอยางท 7.2.3 ให m = 7, a ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, } และกำหนด ar ≡ 1(mod 7) ดงน

a a2 a3 a4 a5 a6

1 1 1 1 1 1

2 4 1 2 4 1

3 2 6 4 5 1

4 2 1 4 2 1

5 4 6 2 3 1

6 1 6 1 6 1

จากตาราง จะไดวา ord7 1 = 1, ord7 2 = 3 = ord7 4, ord7 3 = 6 = ord7 5 และ

ord7 6 = 2 �

ตวอยางท 7.2.4 จงหา ord13 5 และ ord13 7

วธทำ เนองจาก (5, 13) = 1 และ 52 ≡ −1(mod 13), 53 ≡ −5(mod 13), 54 ≡

1(mod 13) ดงนน ord13 5 = 4

เนองจาก (7, 13) = 1 และ

72 ≡ −3(mod 13), 73 ≡ 5(mod 13), 74 ≡ −4(mod 13)

75 ≡ −2(mod 13), 76 ≡ −1(mod 13), 77 ≡ 6(mod 13)

78 ≡ 3(mod 13), 79 ≡ −5(mod 13), 710 ≡ 4(mod 13)

711 ≡ 2(mod 13), 712 ≡ 1(mod 13)

ดงนน ord13 7 = 12 �

บทนยาม 7.2.3 ให m, t ∈ N ซง (m, t) = 1

t เปนรากปฐมฐาน (primitive root) มอดโล m ถา ordm t = φ(m)

ตวอยางท 7.2.5 (1) จากตวอยาง 7.2.4 เนองจาก ord13 7 = 12 = φ(13) ดงนน 7

เปนรากปฐมฐาน มอดโล 13

(2) จากตวอยาง 7.2.3 เนองจาก ord7 3 = 6 = φ(7) และ ord7 5 = 6 = φ(7)

ดงนน 3 และ 5 เปนรากปฐมฐาน มอดโล 7 �



ทฤษฎบท 7.2.1 (Euler′s criterion)

ให p เปนจำนวนเฉพาะคและ a ∈ N ซง (a, p) = 1

a เปนสวนตกคางกำลงสองของ p กตอเมอ ap−1

2 ≡ 1(mod p)

พสจน สมมตวา a เปนสวนตกคางกำลงสองของ p จะไดวา y2 ≡ a(mod p) มผลเฉลย

ใหเปน b เนองจาก (a, p) = 1 ดงนน (b, p) = 1 จากทฤษฎบท ?? จะไดวา bp−1 ≡

1(mod p) จงทำใหไดวา ap−1

2 ≡ (b2)p−1

2 = bp−1 ≡ 1(mod p)

สำหรบการพสจนบทกลบของทฤษฎบท สมมตวา ap−1

2 ≡ 1(mod p) ดงนน p

มรากปฐมฐาน ใหเปน t ดงนน a ≡ tk(mod p) สำหรบบาง k ∈ Z, 1 ≤ k ≤ p − 1

ทำใหไดวา tkp−1

2 ≡ ap−1

2 ≡ 1(mod p) เนองจาก t เปนรากปฐมฐานมอดโล p ดงนน

ordp t = (p − 1) | k(p− 1)

2จะไดวา k ตองเปนจำนวนเตมค ให k = 2i จะไดวา

a ≡ t2i ≡ (ti)2(mod p) นนคอ a เปนสวนตกคางกำลงสองของ p �

บทแทรก 7.2.1 ให p เปนจำนวนเฉพาะค และ a ∈ N ซง (a, p) = 1

a เปนสวนไมตกคางกำลงสองของ p กตอเมอ ap−1

2 ≡ −1(mod p)

พสจน ถา ap−1

2 ≡ 1(mod p) แลว จากทฤษฎบท 7.2.1 จะไดวา a เปนสวนไมตกคาง

กำลงสองของ p และจากทฤษฎบท ?? เราสามารถหาเซตสวนตกคางนอยสด ap−1 ≡ 1(mod p)

ได แตเนองจาก p เปนจำนวนเฉพาะค และ ap−1 − 1 = (ap−1

2 + 1)(ap−1

2 − 1) ดงนน

ap−1

2 ≡ 1(mod p) หรอ ap−1

2 ≡ −1(mod p)

อยางใดอยางหนง และเนองจาก ap−1

2 ≡ 1(mod p) ดงนน ap−1

2 ≡ −1(mod p)

สำหรบการพสจนบทกลบของทฤษฎบท ให (a, p) = 1 และ ap−1

2 ≡ −1(mod p)

สมมตวา a เปนสวนตกคางกำลงสองของ p จากทฤษฎบท 7.2.1 จะไดวา a p−1

2 ≡ 1(mod p)

แลวทำใหไดวา −1 ≡ 1(mod p) นนคอ p = 2 ซงเกดขอแยงกบทวา p เปนจำนวนเฉพาะค

�

ตวอยางท 7.2.6 10 และ 7 เปนสวนตกคางกำลงสองของ 13 หรอไม

วธทำ (1) เนองจาก 1013−1

2 = 106 ≡ (−3)6 ≡ 1(mod 13) ดงนน จากทฤษฎบท 7.2.1

จะไดวา 10 เปนสวนตกคางกำลงสองของ 13



(2) เนองจาก 713−1

2 = 76 = (73)2 ≡ 52 ≡ −1(mod 13) และ 76 ≡ 1(mod 13)

ดงนนจากทฤษฎบท 7.2.1 ทำใหไดวา 7 เปนสวนไมตกคางกำลงสองของ 13 �


(1) จงหาสวนตกคางกำลงสองและสวนไมตกคางกำลงสองของจำนวนตอไปน

(1.1) 11

(1.2) 17

(1.3) 8

(1.4) 12

(2) จำนวน a, b ∈ N ในแตละขอตอไปน เปนสวนตกคางกำลงสองของ p ทกำหนดให

หรอไม

(2.1) a = 5, p = 23

(2.2) a = 2, p = 33

(2.3) a = 3, b = 5, p = 7

(3) ขอความตอไปนเปนจรงหรอไม

" ผลคณของสวนไมตกคางกำลงสองของจำนวนเฉพาะค p เปนสวนตกคางกำลงสอง

ของ p " (นนคอ จรงหรอไมท x2 ≡ a(modp) และ x2 ≡ b(modp) ไมมผลเฉลย

แต x2 ≡ ab(modp) มผลเฉลย)

(4) จงพสจนวา ทก ๆ รากปฐมฐานของจำนวนเฉพาะค p เปนสวนไมตกคางกำลงสองของ

p

7.3 สญลกษณเลอชองดร

แมทฤษฎบท 7.2.1 จะใชเพอหาผลเฉลย x2 ≡ a(mod p) ได แตมขอจำกด ถา

p และ a มคามาก ซงถาใชสญลกษณเลอชองดร (Legendre symbol) เขาชวยจะทำใหสน

และงายขน (Adrien−Marie Legendre ใชสญลกษณนเมอป ค.ศ. 1798)

บทนยาม 7.3.1 ให p เปนจำนวนเฉพาะคและ a ∈ Z ซง (a, p) = 1



สญลกษณเลอชองดร (a

p) กำหนดโดย

(a

p) =

1 ถา a เปนสวนตกคางกำลงสองของ p

−1 ถา a เปนสวนไมตกคางกำลงสองของ p

ตวอยางท 7.3.1 ในตวอยางท 7.2.2 เราไดวา

1, 3, 4, 9, 10 และ 12 เปนสวนตกคางกำลงสอง ของ 13

และ 2, 5, 6, 7, 8 และ 11 เปนสวนไมตกคางกำลงสอง ของ 13

ดงนน (1

13) = (

3

13) = (

4

13) = (

9

13) = (

10

13) = (

12

13) = 1

และ (2

13) = (

5

13) = (

6

13) = (

7

13) = (

8

13) = (

11

13) = −1 �

จากสมภาค ap−1

2 ≡ −1(mod p) เราใชสญลกษณเลอชองดรเขยนไดเปน

(a

p) ≡ a

p−1

2 (mod p)

ดงนนทฤษฎบท 7.2.1 จะเขยนไดดงน

ทฤษฎบท 7.3.1 (Euler′s criterion) ให p เปนจำนวนเฉพาะค และ a ∈ Z ซง

(a, p) = 1

a เปนสวนตกคางกำลงสองของ p กตอเมอ (a

p) = 1

นนคอ x2 ≡ a(mod p) มผลเฉลย กตอเมอ (a

p) = 1

ตวอยางท 7.3.2 เนองจาก (10

13) = 1 ดงนน x2 ≡ 10(mod 13) มผลเฉลย

ขณะท ( 713

) = −1 ดงนน x2 ≡ 7(mod 13) ไมมผลเฉลย �

อยางไรกตาม การหาคา (a

p) เมอ a และ p มคามากๆ อาจไมสะดวกแตทฤษฎบท

ตอไปนจะใหสมบตพนฐานสามประการ ทเปนเครองมอหาคา (a

p)

ทฤษฎบท 7.3.2 ให p เปนจำนวนเฉพาะค และ a, b ∈ Z ซง (ab, p) = 1

(1) ถา a ≡ b(modp) แลว (a

p) = (

b

p)

(2) (ab

p) = (

a

p)(b

p)



(3) (a2

p) = 1

พสจน (1) พจาณา 2 กรณ กรณ (ap) = 1 จะไดวา x2 ≡ a(mod p) มผลเฉลย

และเนองจาก a ≡ b(mod p) ดงนน x2 ≡ b(mod p) มผลเฉลย ทำใหไดวา (b

p) = 1

นนคอ (a

p) = 1 = (

b

p)

กรณ (ap) = −1 พสจนไดทำนองเดยวกน จะไดวา (

b

p) = −1

(2) จากทฤษฎบท 7.2.1 จะไดวา

(ab

p) ≡ (ab)

p−1

2 ≡ ap−1

2 · b p−1

2 ≡ (a

p)(b

p)(mod p) (∗)

ถา (ab

p) = (

a

p)(b

p) แลวจาก (∗) จะไดวา 1 ≡ −1(mod p) ทำใหไดวา 2 ≡

0(mod p) ซงเกดขอขดแยงกบ p > 2 ดงนน (ab

p) = (

a

p)(b

p)

(3) จาก (2) จะไดวา (a2

p) = (

a

p)(a

p)

เนองจาก (a

p) = ±1 ดงนน (

a2

p) = (

a

p)(a

p) = (±1)(±1) = 1 �

จากทฤษฎบท 7.3.2 (2) และ (3) จะไดวา

(a2b

p) = (

a2

p)(b

p) = 1(

b

p) = (

b

p)

ดงนน เราสามารถนำตวประกอบกำลงสองออกไดโดยสญลกษณเลอชองดรไมเปลยนคา

ตวอยางท 7.3.3 จงหาคา (28

31)

วธทำ (28

31) = (

(4)(7)

31) = (

4

31)(

7

31) = (

22

31)(

7

31) = 1(

7

31) = (

7

31) = 1 �

บทแทรก 7.3.1 ถา p เปนจำนวนเฉพาะคแลว

(−1

p) =

1 ถา p ≡ 1(mod 4)

−1 ถา p ≡ −1(mod 4)

พสจน จากทฤษฎบท 7.2.1 จะไดวา (−1

p) ≡ (−1)

p−1

2 (mod p)

ถา p ≡ 1(mod 4) แลว p = 4k + 1 สำหรบบาง k ∈ Z

ดงนน (−1)p−1

2 = (−1)2k = 1 นนคอ (−1

p) = 1

ถา p ≡ −1(mod 4) ≡ 3(mod 4) แลว p = 4k + 3 สำหรบบาง k ∈ Z

ดงนน (−1)p−1

2 = (−1)2k+1 = −1 นนคอ (−1

p) = −1 �


ตวอยางการใชบทแทรก 7.3.1

ตวอยางท 7.3.4 จงหาคา (− 4

41) และ (− 9

83)

วธทำ

(− 4

41) = (

4

41)(− 1

41) = (

22

41)(− 1

41) (ทฤษฎบท 7.3.2 (2))

= (− 1

41) (ทฤษฎบท 7.3.2 (3))

= 1 (บทแทรก 7.3.1)

และ (− 9

83) = (

9

83)(− 1

83) = (

32

83)(− 1

83) (ทฤษฎบท 7.3.2 (2))

= (− 1

83) (ทฤษฎบท 7.3.2 (3))

= −1 (บทแทรก 7.3.1)

�

ทฤษฎบท 7.3.2 (2) สามารถประยกตหาคา qi

pซง (q, p) = 1 ไดดงน

บทแทรก 7.3.2 ให p เปนจำนวนเฉพาะค, q เปนจำนวนเฉพาะ ซง (p, q) = 1 และ i ∈ N

จะไดวา

(qi

p) = (

q

p)i

พสจน ใหพสจนเปนแบบฝกหด �

ตวอยางท 7.3.5 จงหาคา (125

17) และ (

15, 625

17) เมอ (

5

17) = −1

วธทำ (125

17) = (

53

17) = (

5

17)3 = (−1)3 = −1

และ (15, 625

17) = (

56

17) = (

5

17)6 = (−1)6 = 1 �

บทแทรก 7.3.3 ให p เปนจำนวนเฉพาะค และ a = pr11 pr22 pr33 . . . prkk ซง ri ∈ N,

p1 < p2 < . . . < pk เปนจำนวนเฉพาะ จะไดวา

(a

p) = (

p1p)r1

(p2p)r2

. . . (pkp)rk

พสจน เนองจาก (a, p) = 1 ดงนน (pi, p) = 1, i ∈ {1, 2, . . . , k}, 1 ≤ i ≤ k

จากบทแทรก 7.3.2 จะไดวา (priip) = (

pip)ri ดงนน

(a

p) = (

pr11 pr22 pr33 . . . prkkp

)

= (pr11p)(pr22p) . . . (

prkkp)

= (p1p)r1

(p2p)r2

. . . (pkp)rk

�

ตวอยางท 7.3.6 จงหาคา (5, 000

23) เมอ (

2

23) = 1 และ (

5

23) = −1

วธทำ เนองจาก 5, 000 = 2354 ดงนน จากบทแทรก 7.3.2 จะไดวา

(5, 000

23) = (

2

23)3(

5

23)4 = 13(−1)4 = 1 · 1 = 1 �

บทตงของเกาส ตอไปนไดบอกเงอนไขของจำนวน a ∈ Z ซง (a, p) = 1 เมอ p เปน

จำนวนเฉพาะ วา a จะเปนสวนตกคางกำลงสองของ p เมอใด

บทตง 7.3.1 (Gauss′ Lemma) ให p เปนจำนวนเฉพาะค และ a ∈ Z ซง (a, p) = 1

ให ν แทน จำนวนสวนตกคางทเปนบวกคานอยสดของ

a, 2a, 3a, . . . , (p− 1

2)a ทมคามากกวา p

2

จะไดวา สญลกษณเลอชองดร

(a

p) = (−1)ν

พสจน ให r1, r2, . . . , rk เปนสวนตกคางทเปนบวกคานอยสดซง p

2ของ a, 2a, 3a, . . . , (

p− 1

2)a ดงนน

k + ν =p− 1

2

พจารณา r1, r2, . . . , rk, p − s1, p − s2, . . . , p − sν ซงแตละจำนวนเปนบวกและ

<p

2จะแสดงวา ไมมคใดสมภาคกนในมอดโล p

กอนอนจะแสดงวา ri ≡ rj(mod p) สำหรบแตละ i, j, i = j สมมตวา

ri ≡ rj(mod p) จะไดวา tia ≡ tja(mod p) สำหรบบาง ti, tj, i = j และ

1 ≤ t,tj ≤ p− 1

2เนองจาก (a, p) = 1 ดงนน ti ≡ tj(mod p) ซงเปนไปไมได

และเชนเดยวกน สามารถแสดงไดวา ไมมค si, sjใดสมภาคกนในมอดโล p

ดงนนเราสรปไดวา ไมมค p− si, p− sjใดสมภาคกนในมอดโล p

ตอไปจะแสดงวา ri ≡ p− sj(mod p) สำหรบแตละ i, j, i = j สมมตวา

ri ≡ p−sj(mod p) จะไดวา ri ≡ −sj(mod p) ดงนน ri+sj ≡ 0(mod p) ซงเปนไปไมได

(เพราะวา ri ≤p

2และ sj ≤

p

2) ดงนน ri + sj < p

นนคอ ri ≡ p− sj(mod p)

เนองจาก r1, r2, . . . , rk, p − s1, p − s2, . . . , p − sν ตาง <p

2ซงไมสมภาคกน

ในมอดโล p และมจำนวน k+ν =p− 1

2ดงนนจะตองเปนสวนตกคางทเปนบวกคานอยสด

1, 2, 3, . . . ,p− 1

2นนคอ

r1, r2, . . . , rk, p− s1, p− s2, . . . , p− sν ≡ 1, 2, 3, . . . ,p− 1

2(mod p)

ทำใหได

(−1)νr1, r2, . . . , rk, s1, s2, . . . , sν ≡ (p− 1

2)!(mod p) (∗)

แต (−1)νr1, r2, . . . , rk, s1, s2, . . . , sν เปนสวนตกคางทเปนบวกคานอยสดของ a, 2a,

3a, . . . , (p− 1

2)a ดงนน

r1r2 . . . rks1s2 . . . sν ≡ a(2a)(3a) . . . (p− 1

2)a(mod p)

จากสมการ (∗) จะไดวา

(−1)νa(2a)(3a) . . . (p− 1

2)a ≡ (

p− 1

2)!(mod p)

นนคอ

(−1)νap−1

2 (p− 1

2)! ≡ (

p− 1

2)!(mod p)

เนองจาก (p, (p− 1

2)!) ดงนน

(−1)νap−1

2 ≡ 1(mod p)


นนคอ ap−1

2 ≡ (−1)ν(mod p)

จากทฤษฎบท 7.2.1 และบทแทรก 7.2.1 จะไดวา

(a

p) ≡ a

p−1

2 (mod p)

เนองจาก (a

p) = ±1 และ p เปนจำนวนเฉพาะค ดงนน (

a

p) = (−1)ν �

ตวอยางท 7.3.7 จงหาคาสญลกษณเลอชองดรตอไปน โดยใชบทตงของเกาส

(1) (10

13)

(2) (7

13)

วธทำ (1) ให p = 13 และ a = 10 ดงนน p− 1

2=

13− 1

2= 6 จะไดวา

สวนตกคางทเปนบวกคานอยสดของ 1·10, 2·10, 3·10, 4·10, 5·10 และ 6·10 มอดโล 13 คอ

10, 7, 4, 1, 11 และ 8 ตามลำดบ จะเหนวามสวนตกคางทเปนบวกคานอยสดซง >p

2= 6.5

จำนวน ν = 4 ดงนน จากบทตงของเกาส ทำใหไดวา (10

13) = (−1)4 = 1

(2) ให p = 13 และ a = 7 ดงนน p− 1

2=

13− 1

2= 6 จะไดวา

สวนตกคางทเปนบวกคานอยสดของ 1 · 7, 2 · 7, 3 · 7, 4 · 7, 5 · 7 และ 6 · 7 มอดโล 13 คอ

7, 1, 8, 2, 9 และ 3 ตามลำดบ จะเหนวามสวนตกคางทเปนบวกคานอยสดซง >p

2= 6.5

จำนวน ν = 3 ดงนน จากบทตงของเกาส ทำใหไดวา (10

13) = (−1)3 = −1 �

หมายเหต 7.3.1 จากบทตง 7.3.1 (บทตงของเกาส) จะไดวา

(a

p) = 1 กตอเมอ ν เปนจำนวนค

ตวอยางท 7.3.8 จงหาคาสญลกษณเลอชองดร ( 213

) โดยใชบทตงของเกาส

วธทำ 1 ให p = 13 และ a = 2 เนองจาก (2

13) = (−1)ν เมอ ν เปนสวนตกคางทเปน

บวกคานอยสดของ 1 · 2, 2 · 2, 3 · 2, 4 · 2, 5 · 2 และ 6 · 2 มอดโล 13 คอ 2, 4, 6, 8, 10

และ 12 ตามลำดบ และท > p

2= 6.5 ทำใหได ν = 3 ดงนน จากบทแทรก 7.3.1 จะไดวา

(2

13) = −1 �


วธทำ 2 ให p = 13 และ a = 2 เนองจาก (2

13) = (−1)ν เมอ ν เปนสวนตกคางทเปน

บวกคานอยสดของ 1·2, 2·2, 3·2, 4·2, 5·2 และ 6·2 มอดโล 13 จะเหนวา แตละจำนวนนอยกวา

p ซงทำใหสามารถหา ν ไดดงน

ν = จำนวนสวนตกคาง 2r ท > p

2

=p− 1

2− (จำนวนของ 2r ท < p

2)

= 6− (จำนวนของ r ท < p

4)

= 6− ⌊p4⌋ = 6− ⌊13

4⌋ = 6− 3 = 3

ดงนน จากบทแทรก 7.3.1 จะไดวา (2

13) = −1 �

ทฤษฎบทตอไปน เปนการประยกตบทตงของเกาส และมการนำไปใชกนมาก

ทฤษฎบท 7.3.3 ให p เปนจำนวนเฉพาะค

(2

p) =

1 ถา p ≡ ±1(mod 8)

−1 ถา p ≡ ±3(mod 8)

พสจน จากบทตงของเกาส ( 213

) = (−1)ν เมอ ν เปนสวนตกคางทเปนบวกคานอยสดของ

1·2, 2·2, 3·2, . . . , (p− 1

2)·2 มอดโล p ทมากกวา p

2จะไดวา สวนตกคางทเปนบวกคานอยสด

มอดโล p ทมคานอยกวา p จะมเทากบ p− 1

2จำนวน ดงนน

ν = จำนวนสวนตกคาง 2r ท > p

2

=p− 1

2− (จำนวนของ 2r ท < p

2)

=p− 1

2− (จำนวนของ r ท < p

4)

=p− 1

2− ⌊p

4⌋

กรณ 1 ถา p ≡ 1(mod 8) แลว p = 8k + 1 สำหรบบาง k ∈ Z ดงนน

ν =p− 1

2− ⌊p

4⌋ = 4k − 2k = 2k

กรณ 2 ถา p ≡ −1(mod 8) แลว p = 8k − 1 สำหรบบาง k ∈ Z ดงนน

ν =p− 1

2− ⌊p

4⌋ = (4k − 1)− (2k − 1) = 2k


กรณ 3 ถา p ≡ 3(mod 8) แลว p = 8k + 3 สำหรบบาง k ∈ Z ดงนน

ν =p− 1

2− ⌊p

4⌋ = (4k + 1)− 2k = 2k + 1

กรณ 4 ถา p ≡ −3(mod 8) แลว p = 8k − 3 สำหรบบาง k ∈ Z ดงนน

ν =p− 1

2− ⌊p

4⌋ = (4k − 2)− (2k − 1) = 2k − 1

จะไดวา ถา p ≡ ±1(mod 8) แลว ν เปนจำนวนค ดงนน (2

p) = 1

และ ถา p ≡ ±3(mod 8) แลว ν เปนจำนวนค ดงนน (2

p) = −1 �

จากทฤษฎบท 7.3.3 ทำใหไดวา

2 เปนสวนตกคางกำลงสองของจำนวนเฉพาะค p กตอเมอ p ≡ ±1(mod 8)

นนคอ x2 ≡ 2(mod p) มผลเฉลย กตอเมอ p ≡ ±1(mod 8)

และเราจะใชทฤษฎบท 7.3.3 น หาคาของสญลกษณจาโคบในหวขอตอไป

ตวอยางท 7.3.9 จงตรวจสอบวาสมภาค x2 ≡ 8(mod 17) มผลเฉลยหรอไม

วธทำ เราจะตรวจสอบจากการหาคาสญลกษณเลอชองดร ( 817

)

(8

17) = (

4 · 217

) = (4

17)(

2

17) (ทฤษฎบท 7.3.2 (2))

= (2

17) (ทฤษฎบท 7.3.2 (3))

= −1 (ทฤษฎบท 7.3.3)

ดงนน สมภาค x2 ≡ 8(mod 17) มผลเฉลย �


วธทำ หาคาสญลกษณเลอชองดร (1331

)

(13

31) = (−18

31) (ทฤษฎบท 7.3.2 (1))

= (9

31)(

2

31)(− 1

31) (ทฤษฎบท 7.3.2 (2))

= (− 1

31) (ทฤษฎบท 7.3.2 (3), 7.3.3)

= −1 (บทแทรก 7.3.1)

ดงนน สมภาค x2 ≡ 13(mod 31) ไมมผลเฉลย �




(1) จงหาคาสญลกษณเลอชองดรตอไปน

(1.1) (5

7)

(1.2) (7

11) โดยใชทฤษฎบท 7.3.2

(2) จงหาคาตอไปนโดยใชบทแทรก 7.3.1

(2.1) (16

17)

(2.2) (− 1

29)

(3) จงหาคาตอไปน เมอ (2

23) = 1 = (

3

23) และ (

5

23) = −1

(3.1) (128

23)

(3.2) (600

23)

(4) จงหาคาตอไปน เมอ (3

19) = −1 = (

7

19)

(4.1) (27

19)

(4.2) (147

19)

(5) จงตรวจสอบวาสมภาคตอไปน มผลเฉลยหรอไม

(5.1) x2 ≡ 2(mod 23)

(5.2) x2 ≡ 2(mod 41)

(5.3) x2 ≡ 12(mod 23)

(5.4) x2 ≡ 41(mod 43)

(6) ให p เปนจำนวนเฉพาะค และ (a, p) = 1 = (b, p)

จงพสจนวา ถา a ≡ b((mod p) แลว a, b เปนสวนตกคางกำลงสอง หรอ a, b

เปนสวนไมตกคางกำลงสอง อยางใดอยางหนง

(7) ให a, b ∈ N ซง ab ≡ 1(mod p) จงพสจนวา (a

p) = (

b

p)



7.4 สญลกษณจาโคบ

จาโคบ (Karl G.J. Jacobi) นกคณตศาสตรชาวเยอรมน ไดขยายแนวคดจากสญลกษณ

เลอชองดรไปเปนสญลกษณจาโคบ (Jacobean symbol) เมอป ค.ศ. 1846

บทนยาม 7.4.1 ให a ∈ Z, m เปนจำนวนเตมบวกค ซง m = pr11 pr22 . . . prkk เมอ pi, 1 ≤

i ≤ k เปนจำนวนเฉพาะ, k ∈ N และ (a,m) = 1

สญลกษณจาโคบ (a

m) กำหนดดงน

(a

m) = (

a

pr11 pr22 . . . prkk) = (

a

p1)r1(

a

p2)r2 . . . (

a

pk)rk

เมอ (a

pi), 1 ≤ i ≤ k แทนสญลกษณเลอชองดร

จะเหนวา สญลกษณจาโคบ ( am) นน m ไมจำเปนตองเปนจำนวนเฉพาะ แตตองเปนจำนวนค

และ (a,m) = 1

ตวอยางท 7.4.1 จงหาคาของสญลกษณจาโคบ ( 275

) และ (109

385)

วธทำ (1) (2

75) = (

2

3 · 52 ) = (2

3)(2

5)2

= (−1)(−1)2 = −1

(2) เนองจาก 385 = 5 · 7 · 11 ดงนน

(109

385) = (

109

5 · 7 · 11) = (109

5)(109

7)(109

11)

= (4

5)(4

7)(10

11)

= (2

5)2

(2

7)2

(−1

11)

= (−1)212(−1) = −1

�

จากหวขอ 7.2 และ 7.3 ทผานมาทำใหเราทราบวา ถา m เปนจำนวนเฉพาะแลว

x2 ≡ a(mod m) มผลเฉลย กตอเมอ (a

m) = 1

แตสำหรบหวขอ 7.4 น m = pr11 pr22 . . . prkk เมอ pi, 1 ≤ i ≤ k เปนจำนวนเฉพาะ



สมมตวา x2 ≡ a(mod m) มผลเฉลย จะไดวา x2 ≡ a(mod pi) มผลเฉลย ดงนน

(a

pi) = 1 ทำใหไดวา

(a

m) = (

a

p1)r1(

a

p2)r2 . . . (

a

pk)rk = 1r11r2 . . . 1rk = 1

ดงนน ถา x2 ≡ a(mod m) มผลเฉลยแลว สญลกษณจาโคบ ( am) = 1 ในทางกลบ

กนนนไมเปนจรง

เชน ให a = 2,m = 33 จะเหนวา

(2

33) = (

2

3 · 11) = (2

3)(

2

11) = (−1)(−1) = 1

แต x2 ≡ 2(mod 33) ไมมผลเฉลย

ทฤษฎบทตอไปน แสดงใหเหนวา สญลกษณจาโคบและสญลกษณเลอชองดร มสมบต

คลายกน

ทฤษฎบท 7.4.1 ให m เปนจำนวนเตมบวกค และ a, b ∈ Z ซง (a,m) = 1 = (b,m)

จะไดวา

(1) ถา a ≡ b(mod m) แลว (a

m) = (

b

m)

(2) (a

m)(

b

m) = (

ab

m)

(3) (a2

m) = 1

พสจน (1) เนองจาก a ≡ b(mod m) ดงนน a ≡ b(mod pi) แลวจากทฤษฏบท 7.3.2

ทำใหไดวา (a

pi) = (

b

pi) ดงนน

(a

m) = (

a

p1)r1(

a

p2)r2 ...(

a

pk)rk = (

b

p1)r1(

b

p2)r2 . . . (

b

pk)rk = (

b

m)

(2) จากทฤษฎบท 7.3.2 จะไดวา

(ab

pi) = (

a

pi)(

b

pi)



ดงนน (ab

pi)ri = (

a

pi)ri(

b

pi)ri แลวทำใหไดวา

(ab

m) = (

ab

p1)r1(

ab

p2)r2 . . . (

ab

pk)rk

= (a

p1)r1(

b

p1)r1(

a

p2)r2(

b

p2)r2 . . . (

a

pk)rk(

b

pk)rk

= [(a

p1)r1(

a

p2)r2 . . . (

a

pk)rk ][(

b

p1)r1(

b

p2)r2 . . . (

b

pk)rk ]

= (a

m)(

b

m)

(3) จาก (2) จะไดวา (a2

m) = (

a

m)(

a

m) แต ( a

m) = ±1

ดงนน (a2

m) = (

a

m)(

a

m) = (±1)(±1) = 1 �

ตวอยางท 7.4.2 จงแสดงวา (1) (211

231) = (− 20

231)

(2) (200

231) = (

4

231)(

50

231)

วธทำ (1) ให m = 231 = 3 · 7 · 11 จะเหนวา 211 ≡ −20(mod 231)

ดงนน (211

231) = (

211

3 · 7 · 11) = (211

3)(211

7)(211

11) = (

1

3)(1

7)(

2

11)

และ (− 20

231) = (− 20

3 · 7 · 11) = (−20

3)(−20

7)(−20

11) = (

1

3)(1

7)(

2

11)

ดงนน (211

231) = (− 20

231)

(2)

(200

231) = (

200

3 · 7 · 11)

= (200

3)(200

7)(200

11)

= (4 · 503

)(4 · 507

)(4 · 5011

)

= (4

3)(50

3)(4

7)(50

7)(

4

11)(50

11)

= [(4

3)(4

7)(

4

11)][(

50

3)(50

7)(50

11)]

= (4

3 · 7 · 11)(50

3 · 7 · 11)

= (4

231)(

50

231)

�


ตอไปนจะกลาวถง กฎสวนกลบกำลงสอง (quadratic reciprocity law) ทเกาส

คนพบ ซงมสวนเกยวของกบสมภาคกำลงสองมผลเฉลยหรอไมมผลเฉลย

บทตง 7.4.1 ให m เปนจำนวนเตมบวกค ซง m = pr11 pr22 . . . prkk ซง ri, k ∈ N, และ

1 < p1 < p2 < . . . < pk เปนจำนวนเฉพาะ จะไดวา

k∑

i=1

ri(pi − 1)

2≡ m− 1

2(mod 2)

พสจน จะเหนวา pi − 1 ≡ 0(mod 2) และ p2i − 1 ≡ 0(mod 8)

เนองจาก prii = (1 + (pi − 1))ri และ pi − 1 เปนจำนวนค

ดงนน โดยทฤษฎบททวนาม จะไดวา prii ≡ (1 + ri(pi − 1))(mod 4) ทำใหไดวา

m = pr11 pr22 . . . prkk ≡ (1 + r1(p1 − 1))(1 + r2(p2 − 1)) . . . (1 + rk(pk − 1))(mod 4)

เนองจาก (1 + ri(pi − 1))(1 + rj(pj − 1)) ≡ (1 + ri(pi − 1) + rj(pj − 1))(mod 4)

ดงนน m ≡ (1 + r1(p1 − 1)r2(p2 − 1) . . . rk(pk − 1))(mod 4)

≡ (1 +k

∑

i=1

ri(pi − 1))(mod 4)

จะไดวา m− 1 ≡k

∑

i=1

ri(pi − 1)(mod 4)

นนคอ

k∑

i=1

ri(pi − 1)

2≡ m− 1

2(mod 2) �

ทฤษฎบท 7.4.2 ให m,n เปนจำนวนเฉพาะค ซง m,n ∈ N และ (m,n) = 1 จะไดวา

(m

n)(n

m) = (−1)(

m−1

2)(n−1

2)

พสจน ให m = pa11 pa22 . . . parr =r∏

i=1

paii และ n = qb11 qb22 . . . qbss =s∏

j=1

qj

จากบทนยาม 7.4.1 จะไดวา

(m

n) =

l∏

j=1

(m

qj)bj =

s∏

j=1

[r∏

i=1

(piqj)aibj ] =

s∏

j=1

r∏

i=1

(piqj)aibj


และ (n

m) =

r∏

i=1

(n

pi)ai =

r∏

i=1

[s∏

j=1

(qjpi)bjai ] =

r∏

i=1

s∏

j=1

(qjpi)bjai ดงนน

(m

n)(n

m) =

r∏

i=1

s∏

j=1

[(piqj)(qjpi)]aibj

=r∏

i=1

s∏

j=1

[(−1)(pi−1

2)(

qj−1

2)]aibj

= (−1)

r∑

i=1

s∑

j=1

aibj(pi − 1

2)(qj − 1

2)

= (−1)

[r

∑

i=1

ai(pi − 1

2)][

s∑

j=1

bj(qj − 1

2)]

แลวจากบทตง 7.4.1 สรปไดวา (m

n)(n

m) = (−1)(

m−1

2)(n−1

2)

�

ทฤษฎบท 7.4.3 ให m และ n เปนจำนวนเฉพาะค จะไดวา

(m

n) =

(n

m) ถา m ≡ 1(mod 4) หรอ n ≡ 1(mod 4)

−(n

m) ถา m ≡ n ≡ 3(mod 4)

พสจน ถา m ≡ 1(mod 4) แลวจำนวน m− 1

2เปนจำนวนค

และ ถา m ≡ 3(mod 4) แลว m− 1

2เปนจำนวนค

จะเหนวา ถา m ≡ 1(mod 4) หรอ n ≡ 1(mod 4) แลว (m− 1

2)(n− 1

2) เปนจำนวนค

และ ถา m ≡ n ≡ 3(mod 4) แลว (m− 1

2)(n− 1

2) เปนจำนวนค ดงนน

(m

n)(n

m) =

1 ถา m ≡ 1(mod 4) หรอ n ≡ 1(mod 4)

3 ถา m ≡ n ≡ 3(mod 4)

เนองจาก (m

n), (m

n) มคาเปนไปไดทง 1 หรอ −1 ดงนน

(m

n) =

(n

m) ถา m ≡ 1(mod 4) หรอ n ≡ 1(mod 4)

−(n

m) ถา m ≡ n ≡ 3(mod 4)

�



ตวอยางท 7.4.3 จงหาคาสญลกษณจาโคบ (1771

)

วธทำ เนองจาก 17 ≡ 1(mod 4) ดงนน

(17

71) = (

71

17)

= (3

17)

= (17

3)

= (2

3)

= −1

นนคอ x2 ≡ 17(mod 71) ไมมผลเฉลย �

ตวอยางท 7.4.4 จงหาคาสญลกษณจาโคบ ( 55273

) และ (364

935)

วธทำ เนองจาก 273 = 3 · 7 · 13 ดงนน

(55

273) = (

55

3)(55

7)(55

13)

= (1

3)(−1

7)(

3

13)

= 1 · (−1)(13

3)

= −(1

3)

= −1

เนองจาก 935 = 5 · 11 · 17 ดงนน

(364

935) = (

364

5)(364

11)(364

17)

= (4

5)(

1

11)(

7

17)

= 1 · 1 · ( 717

)

= (7

17)

จากหมายเหต 7.4.3 จะไดวา (7

17) = (

17

7) = (

3

7) = −1 �




วธทำ เราจะตรวจสอบจากการหาคา (3797

7297)

เนองจาก 3797, 7297 เปนจำนวนเฉพาะค และ

3797 ≡ 1(mod 4) และ 7297 ≡ 1(mod 4) จากทฤษฎบท 7.4.3 จะไดวา

(3797

7297) = (

7297

3797)

= (3500

3797)

= (22 · 53 · 73797

)

= (22

3797)(

53

3797)(

7

3797)

= (5

3797)(

7

3797)

= (3797

5)(3797

7)

= (2

5)(3

7)

= (−1)(−1)

= 1

�

จากตวอยาง 7.4.5 ทำใหเราเหนวา สมภาค x2 ≡ 3797(mod 7297) มผลเฉลย


(1) จงหาคาสญลกษณจาโคบ ตอไปน

(1.1) (3

35)

(1.2) (23

65)

(1.3) (442

385)

(1.4) (−198

2873)



(2) จงตรวจสอบวา แตละสมภาคตอไปน มผลเฉลยหรอไม

(2.1) x2 ≡ 2(mod 15)

(2.2) x2 ≡ 17(mod 33)

(2.3) x2 ≡ 3533(mod 4133)

(3) จงหาคา

(3.1) (3

72)

(3.2) (3

53 · 75 )

(3.3) (3

5 · 73 · 136 )

(4) ให m เปนจำนวนเตมบวกค และ m = papbpc ซง p ≡ q ≡ r ≡ ±5(mod 12) แลว

มเงอนไขอะไรทจะทำให ( 3m) = 1

(5) ให m เปนจำนวนเตมค และ a ∈ Z ซง (a

m) = −1 จงพสจนวา x2 ≡ a(mod m)

ไมมผลเฉลย


ภาคผนวก

จำนวนทมรปแบบเฉพาะ

หวขอนอยากใหทราบถงจำนวนบางจำนวนและการสรางจำนวนเหลาน อาท จำนวน

สมบรณ จำนวนแมรแซน และจำนวนแฟรมาต ความสมพนธกนของจำนวนดงกลาว รวมถง

การสรางจำนวนเฉพาะทมขนาดใหญขนและการตรวจสอบจำนวนเฉพาะทสรางขนจากจำนวน

ดงกลาว

บทนยาม 1 ให N ∈ Z และ N > 1 จะเรยก N วา จำนวนสมบรณ (perfect number)

ถา σ(N) = 2N และจะเรยก N วา จำนวนพรอง (deficient number) และ จำนวนเกน

(abundant number) ถา σ(n) < 2N และ σ(N) > 2N ตามลำดบ

ตวอยางท 1

1) เนองจาก σ(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2(6) ดงนน 6 เปนจำนวนสมบรณ

2) เนองจาก σ(12) = 28 > 24 = 2(12) ดงนน 12 เปนจำนวนเกน

3) จำนวนเฉพาะเปนจำนวนพรอง �

ทฤษฎบท 1 ให N,m ∈ N และ m ≥ 2 จะไดวา

N เปนจำนวนสมบรณทเปนจำนวนค กตอเมอ N = 2m−1(2m − 1)

โดยท 2m − 1 เปนจำนวนเฉพาะ

พสจน จะแสดงวา ถา N = 2m−1(2m − 1) โดยท 2m − 1 เปนจำนวนเฉพาะ แลว N

เปนจำนวนสมบรณ

เนองจาก 2m − 1 เปนจำนวนเฉพาะค ดงนน (2m−1, 2m − 1) = 1 จะไดวา

σ(N) = σ(2m−1)σ(2m − 1) = (2m − 1)(2m) = 2N

นนคอ N เปนจำนวนสมบรณ

ตอไปจะพสจนวา ถา N เปนจำนวนสมบรณทเปนจำนวนค แลว

N = 2m−1(2m − 1) โดยท 2m − 1 เปนจำนวนเฉพาะ

ให N = 2ts เมอ t ≥ 1 และ s เปนจำนวนค

เนองจาก σ(N) = 2N = 2t+1s และ (2t, s) = 1

ดงนน σ(N) = σ(2ts) = σ(2t)σ(s) = (2t+1 − 1)σ(s)

จะไดวา 2t+1s = (2t+1 − 1)σ(s) (∗)

เนองจาก (2t+1, 2t+1 − 1) = 1 ดงนน 2t+1 | σ(s)

จะไดวา σ(s) = 2t+1r สำหรบบางจำนวนเตมบวก r แทนคา σ(s) ใน (∗) จะไดวา

s = (2t+1 − 1)r (∗∗)

ทำใหได r | s ถา r = s แลว t = 0 เกดขอขดแยง ดงนน r < s

จะแสดงวา r = 1 ดงน จาก (∗∗) จะไดวา

s+ r = 2t+1r = σ(s)

ถา r = 1 แลวจะมตวหารของ s อยางนอย 3 จำนวน คอ 1, r และ s ดงนน

σ(s) ≥ s + r + 1 เกดขอขดแยง นนคอ r = 1 จงทำใหไดวา s = 2t+1 − 1 และเนองจาก

σ(s) = s + 1 ดงนน s เปนจำนวนเฉพาะ นนคอ N = 2t(2t+1 − 1) เมอ 2t+1 − 1

เปนจำนวนเฉพาะ �

ทฤษฎบทนบอกใหทราบวา การหาจำนวนสมบรณทเปนจำนวนคนน เราตองหาจำนวน

เฉพาะทอยในรป 2m − 1 ซงจะกลาวถงตอไปน

บทนยาม 2 ให n ∈ Z และ n ≥ 2 จำนวน Mn = 2n − 1 จะเรยกวา จำนวนแมรแซน

(Mersene number) และจะเรยกวา จำนวนเฉพาะแมรแซน (Mersene prime number)

ถา Mn เปนจำนวนเฉพาะ

ตวอยางท 2

M2 = 22 − 1 = 3, M3 = 23 − 1 = 7, M4 = 24 − 1 = 15 และ M5 = 25 − 1 = 31

เปนจำนวนแมรแซน แต M2,M3 และ M5 เปนจำนวนเฉพาะแมรแซน �

จำนวนเฉพาะแมรแซน มาจากชอนกคณตศาสตรชาวฝรงเศส ชอ แมรแซน (Marin

Mersenne 1588 – 1648) ซงไดรบการยกยองวาเปนผคดวธทงายทสดในการทดสอบเลข

จำนวนเฉพาะ

ทฤษฎบท 2 ให a > 1 และ n ∈ N ซง n > 1 ถา an − 1 เปนจำนวนเฉพาะแลว a = 2

และ n เปนจำนวนเฉพาะ

พสจน เนองจาก

an − 1 = (a− 1)(an−1 + . . .+ a+ 1) (∗)

ถา a > 2 และ n > 1 แลว a− 1 > 1 และ an−1 + . . .+ a+ 1 > a+ 1 > 3

ดงนน (∗) > 1 และ an − 1 ไมเปนจำนวนเฉพาะ

นนคอ ถา an − 1 เปนจำนวนเฉพาะแลว a = 2

ตอไป ให 2n − 1 เปนจำนวนเฉพาะ จะแสดงวา n เปนจำนวนเฉพาะ

สมมตวา n ไมเปนจำนวนเฉพาะ ดงนน เขยน n = st ซง 1 < s, t < n จะไดวา

2n−1 = 2st−1 = (2s)t−1 เปนจำนวนเฉพาะ เนองจาก ถา an−1 เปนจำนวนเฉพาะแลว

a = 2 ดงนน จงทำใหได 2s = 2 นนคอ s = 1, t = n ดงนน n ไมเปนจำนวนประกอบ

นนคอ n เปนจำนวนเฉพาะ �

บทแทรก 1 ให n ∈ N และ n > 1 ถา Mn เปนจำนวนเฉพาะแลว n เปนจำนวนเฉพาะ

พสจน จากทฤษฎบท 2 �

ทฤษฎบทตอไปนสามารถใชตรวจสอบจำนวนแมรแซน วาเปนจำนวนเฉพาะแมรแซน

หรอไม ซงการพสจนคอนขางยาก จงไมขอพสจน ดงน

ทฤษฎบท 3 (Lucas− Lehmer test) ให p เปนจำนวนเฉพาะค และกำหนดลำดบ

r1, r2, r3, . . . , rp−1 ซง r1 = 4 และ สำหรบ k ≥ 2,

rk = (r2k−1 − 2)(mod Mp), 0 ≤ rk < Mp

จะไดวา Mp เปนจำนวนเฉพาะ กตอเมอ rp−1 ≡ 0(mod Mp)


ตวอยางท 3 ให p = 5 จะไดวา Mp = M5 = 31 และ

r1 = 4

r2 ≡ 42 − 2 = 14(mod 31)

r3 ≡ 142 − 2 = 194 ≡ 8(mod 31)

r4 ≡ 82 − 2 = 62 ≡ 0(mod 31)

ดงนน จากทฤษฎบท 3 จะไดวา M5 = 31 เปนจำนวนเฉพาะ �

เราจะเหนวา ทฤษฎบทนใชทดสอบ Mp เปนจำนวนเฉพาะ เพยง p−1 ครง ซงถาใช

การทดสอบจากการหาจำนวนเฉพาะท ≤√

Mp ตองใชการทดสอบ 2p

2 ครง

ทฤษฎบทตอไปน แสดงใหเหนถง ความสมพนธระหวาง จำนวนแมรแซนและจำนวน

สมบรณ

ทฤษฎบท 4 ถา 2p − 1 เปนจำนวนเฉพาะแมรแซนแลว 2p−1(2p − 1) เปนจำนวนสมบรณ

พสจน ให q = 2p − 1 และ n = 2p−1q = 2p−1(2p − 1)

เนองจาก q เปนจำนวนเฉพาะค ดงนนจากทฤษฎบท ?? จะไดวา

σ(n) = σ(2p−1q)

= (2p − 1

2− 1)(q2 − 1

q − 1)

= (2p − 1)(q + 1)

= (2p − 1)2p

= 2n

�

ตวอยางท 4 เนองจาก 22 − 1, 23 − 1, 25 − 1 และ 27 − 1 เปนจำนวนเฉพาะแมรแซน



ดงนน

2(22 − 1) = 2 · 3 = 6,

22(23 − 1) = 22 · 7 = 28,

24(25 − 1) = 24 · 31 = 496,

26(27 − 1) = 26 · 127 = 8, 128

เปนจำนวนสมบรณ �

ตอไปจะกลาวถงการสรางจำนวนเฉพาะทมขนาดใหญขนพรอมกบการตรวจสอบ

บทนยาม 3 ให n ∈ Z และ n ≥ 0 จำนวน Fn = 2(2n) + 1 จะเรยกวา จำนวนแฟรมาต

(Fermat number) และจะเรยกวา จำนวนเฉพาะแฟรมาต (Fermat prime number) ถา

Fn เปนจำนวนเฉพาะ

ตวอยางท 5 จำนวน F0 = 2(20) + 1 = 3, F1 = 2(2

1) + 1 = 5, F2 = 2(22) + 1 = 17,

F3 = 2(23) +1 = 257 และ F4 = 2(2

4) +1 = 65, 537 เปนจำนวนแฟรมาตและเปนจำนวน

เฉพาะแฟรมาต �

ทฤษฎบท 5 ให a > 1 และ n, k ∈ N ซง n > 1 ถา an + 1 เปนจำนวนเฉพาะแลว a

เปนจำนวนค และ n = 2k สำหรบบาง k ≥ 1

พสจน จาก an − 1 = (a− 1)(an−1 + . . .+ a+ 1) แทน a ดวย −a จะไดวา

(−a)n−1 = (−a−1)((−a)n−1+(−a)n−2+. . .+(−a)+1) (∗)

เนองจาก n เปนจำนวนค และ n− 1 เปนจำนวนค และ n− 2 เปนจำนวนค . . .

ดงนน an = (−a)n, (−a)n−1 = an−1, (−a)n−2 = −an−2, . . .

ดงนน จาก (∗) ทำใหไดวา −(an + 1) = −(a+ 1)(an−1 − an−2 + . . .− a+ 1)

แลว an + 1 = (a+ 1)(an−1 − an−2 + . . .− a+ 1) เมอ n เปนจำนวนค ถา a ≥ 2 แลว

an+1 > a+1 > 1 แสดงวา ถา n เปนจำนวนคและ a > 1 แลว an+1 ไมเปนจำนวนเฉพาะ

สมมตวา n = 2st เมอ t เปนจำนวนค จะไดวา ถา an + 1 เปนจำนวนเฉพาะแลว


(a2s

)t+1 เปนจำนวนเฉพาะ แตเราไดวาจำนวนนไมเปนจำนวนเฉพาะ ถา t เปนจำนวนคและ

t ≥ 2 ดงนนจงสรปไดวา t = 1 และ n = 2s เชนเดยวกน ถา an+1 เปนจำนวนเฉพาะแลว

a เปนจำนวนค เพราะวา ถา a เปนจำนวนคแลว an เปนจำนวนค ดงนน an+1 เปนจำนวนค

คอ 2 แต a > 1 ดงนน a ≥ 2 นนคอ an + 1 ≥ 3 �

ทฤษฎบท 6 (Pepin′s test, 1877) ให M เปนจำนวนแฟรมาต ซง M = Fn = 2(2n) + 1

เมอ n ≥ 1 จะไดวา

M เปนจำนวนเฉพาะแฟรมาต กตอเมอ 3M−1

2 ≡ −1(mod M)

พสจน สมมตวา M เปนจำนวนเฉพาะ เนองจาก M ≡ 1(mod 4) ดงนน (3

M) = (

M

3)

และเนองจาก M ≡ (−1)2n

+ 1 ≡ 2(mod 3) ดงนน (3

M) = (

M

3) = (

2

3) = −1

จากทฤษฎบท ?? และบทแทรก ?? จะไดวา (3

M) ≡ 3

M−1

2 (mod M) ดงนน

3M−1

2 ≡ −1(mod M)

สำหรบบทกลบของทฤษฎบท สมมตวา 3M−1

2 ≡ −1(mod M) จะไดวา

3M−1

2 ≡ −1(mod p) สำหรบจำนวนประกอบเฉพาะ p ของ M ดงนน 3M−1 ≡ 1(mod p)

ทำใหไดวา ordp 3 | (M − 1) นนคอ ordp 3 | 2(2n) แลวจะไดวา ordp 3 = 2k สำหรบบาง

จำนวนเตมบวก k ตอไปจะแสดงวา k = 2n สมมตวา k < 2n จะไดวา 2n − k − 1 ≥ 0

เนองจาก 32k ≡ 1(mod p) ดงนน (32

k

)22n−k−1 ≡ 1(mod p)

นนคอ 322n−1 ≡ 3

M−1

2 ≡ 1(mod p) ทำใหไดวา 1 ≡ −1(mod p) จะไดวา p = 2

เกดขอขดแยง ดงนน k = 2n และ ordp 3 = (M − 1) จากทฤษฎบทของแฟรมาต

ordp 3 ≤ (p − 1) ดงนน (M − 1) = ordp 3 ≤ (p − 1) โดยท p | M จงทำใหไดวา

M = p เปนจำนวนเฉพาะ �

ตวอยางท 6 จากตวอยางท 5 จะไดวา มจำนวนเฉพาะแฟรมาต Fn เมอ 0 ≤ n ≤ 4

สำหรบจำนวนแฟรมาต M = F5 = 2(25) + 1 = 2, 863, 311, 531 และ

3M−1

2 ≡ 10, 324, 303 ≡ −1(mod M)

ดงนน จากทฤษฎบท 6 จะไดวา F5 ไมเปนจำนวนเฉพาะแฟรมาต �

คาของฟงกชนเลขคณต

n τ(n) σ(n) φ(n)

1 1 1 1

2 2 3 1

3 2 4 2

4 3 7 2

5 2 6 4

6 4 12 2

7 2 8 6

8 4 15 4

9 3 13 6

10 4 18 4

11 2 12 10

12 6 28 4

13 2 14 12

14 4 24 6

15 4 24 8

16 5 31 8

17 2 18 16

18 6 39 6

19 2 20 18

20 6 42 8


คาของฟงกชนเลขคณต (ตอ)

n τ(n) σ(n) φ(n)

21 4 32 12

22 4 36 10

23 2 24 22

24 8 60 8

25 3 31 20

26 4 42 12

27 4 40 18

28 6 56 12

29 2 30 28

30 8 72 8


สญลกษณ

Σ ผลบวก∏ ผลคณ

n! n แฟกทอเรยล

P (n) ขอความทมตวแปร n

a | b a หาร b ลงตว

a ∤ b a หาร bไมลงตว

(a, b) ตวหารรวมมากของ a และ b

[a, b] ตวคณรวมนอยของ a และ b

τ(n) จำนวนตวหารทเปนจำนวนบวกทงหมดของ n

σ(n) ผลบวกของตวหารทเปนจำนวนบวกทงหมดของ n

φ(n) จำนวนของจำนวนเตมบวก m ซง m ≤ n และ (m,n) = 1

µ(n) ฟงกชนเมอบอส , 42

⌊x⌋ จำนวนเตมคามากสดทนอยกวาหรอเทากบ x

Epi(n!) เลขชกำลงสงสดของ pi ใน n!

a ≡ b(mod m) a สมภาคกบ b มอดโล m

a ≡ b(mod m) a ไมสมภาคกบ b มอดโล m

ordm a อนดบของ a ในมอดโล m

(a

p) สญลกษณเลอชองดร

(a

m) สญลกษณจาโคบ

Mn จำนวนแมรแซน

Fn จำนวนแฟรมาต

ผลเฉลยแบบฝกหด

ผลเฉลยแบบฝกหดบทท 1

ผลเฉลยแบบฝกหด 1.1

(1) เทจ

(2) เทจ

(3) เทจ

(4) เทจ

(5) เทจ

(6) เทจ

(7) จรง

(8) จรง

(9) เทจ

(10.1) เทจ

(10.2) เทจ

(10.3) เทจ

(10.4) เทจ


(1.1) ไมม

(1.2) ไมม

(1.3) ม (1.4) ม


(1.1)

10

1i

i3

(1.2)

11

1i

)1i(i

(1.3)

5

1i

)2i(i

(2.1) 20

(2.2) 57

(2.3) 25

(2.4) 360 (2.5) 24

(2.6) 4,420

(3.1) เทจ

(3.2) เทจ

(4.1) 17

(4.2) 28

(4.3) 210 (4.4) 280

182 ทฤษฎจ ำนวน

มหำวทยำลยรำชภฏอดรธำน


(5.1) เทจ (5.2) เทจ



(1.1) มผลเฉลย x = 5t+3, y = –8t–7 ,

t เปนจ ำนวนเตม

(1.2) ไมมผลเฉลย


(1.1) a = 3, b = 0, จะได q = 0, r = 0

a = 3, b = 1, จะได q = 0, r = 1

a = 3, b = –1, จะได q = –1, r = 2

a = 3, b = 10, จะได q = 3, r = 1

a = 3, b = –10, จะได q = –4, r = 2

(2) 2

(1.2) a = 345, b = 0, จะได q = 0, r = 0

a = 345, b = 1, จะได q = 0, r = 1

a = 345, b = –1, จะได q = –1, r = 344

a = 345, b = 344, จะได q = –1, r = 1

a = 345, b = 7863, จะได q = 22, r = 273

a = 345, b = –7863, จะได q = –23, r = 270


(1.1) 793 (1.2) 82


(3.1) เปน

(3.2) ไมเปน


183 ผลเฉลยแบบฝกหด




(2.1) 27

(2.2) 10

(2.3) 11

3) 259

(4.1) เปน



(1) ดในภำคผนวก

(2.1) 2,821

(2.2) 992

(2.3) 2,047


(1.1) 288

(1.2) 48

(1.3) 192

(1.4) pt-1

(2.1) {1, 2, 4, 8}

(3) 1, 2

(4.1) n = 3

(4.2) n = 1

(4.3) n = 2


(1.1) 0

(1.2) 0

(2) –1

(4) 3


(1.1) เทจ

(1.2) จรง

(1.3) เทจ

(1.4) เทจ

(1.5) จรง

(1.6) เทจ

(4) 24

(5) 405 n 409

(6) 24

(7) 238·3

18·5

9· 7

5· 11

3· 13

3· 17

2· 19

2· 23 ·37





(1.1) จรง

(1.2) จรง

(1.3) จรง

(1.4) จรง

(1.5) เทจ

(1.6) จรง

(1.7) เทจ

(1.8) เทจ

(1.9) จรง

(1.10) จรง

(5.1) 1

(5.2) 1

(5.3) –1

(11) 2


(1.1) –7, –2, 3, 8, 13

(1.2) {5k, k เปนจ ำนวนเตม},

{5k+1, k เปนจ ำนวนเตม},




(1.3) {0,1,2,3,4}, {3,4,5,6,7} ฯลฯ

(1.4) {0,1,2,3,4}

(3.1) เปน






(1.1) 7 และ 9

(1.2) 0 และ 8

(1.3) 0 และ 9

(1.4) 8 และ 3

(2) ไมลงตว

(3) ลงตว

(4) 600

(5) 5,000

(6) 400




(1.1) 3 จ ำนวน

(1.2) 1 จ ำนวน

(1.3) 3 จ ำนวน

(1.4) 1 จ ำนวน

(2.1) x = 1,4,7,10,13,16,19(mod 21)

(2.2) x = 33 (mod 34)

(2.3) x = 3 (mod 7)

(3.1) x = 7 (mod 15)

(3.2) ไมมผลเฉลยรวม

(3.3) x = 19 (mod 35)

(3.4) x = 34 (mod 45)



(1.1) 1 และ 10 (1.2) 1 และ 18


(2.1) 1 (2.2) 1



(1.1) x = 15t+13, y = 9–13t , t เปนจ ำนวนเตม

(1.2) x = 15t+ 6, y = 9– 6t , t เปนจ ำนวนเตม

(1.4) x = 17–3t1+5t2, y = t2 , z = t1 , t2 , t1 เปนจ ำนวนเตม

(2) เสอ 2 ตว และ กำงเกง 9 ตว


(2.1) ไมม c ทเปนจ ำนวนเตม (2.2) ไมม c ทเปนจ ำนวนเตม

(2.3) ไมม c ทเปนจ ำนวนเตม (2.4) ไมม c ทเปนจ ำนวนเตม




(2.1) (2,1) และ (7,4) (2.2) (7,2) และ (97,14) (2.3) (9,4) และ (161,72) (2.4) (169,24) และ (15842,7724)

(3) a = (1766319049)2+(226153980)2

b = 2(1766319049)(226153980)



(1) x = 1, 5 (mod 6) (2) x = 1, 5, 7, 11(mod 12) (3) ไมมผลเฉลย (4) x = 2, 5 (mod 7) (5) ไมมผลเฉลย

(6) x = 3, 4 (mod 7) (7) ไมมผลเฉลย (8) x = 4, 9 (mod 10) (9) ไมมผลเฉลย (10) x = 3, 5 (mod 13)


(2.1) ไมเปน (2.2) ไมเปน



(1.1) –1 (1.2) –1 (2.1) 1 (2.2) 1 (3.1) 1 (3.2) 1

(4.1) –1 (4.2) –1 (5.1) มผลเฉลย (5.2) ไมมผลเฉลย (5.3) มผลเฉลย (5.4) มผลเฉลย




(1.1) 1 (1.2) –1 (2.1) มผลเฉลย (2.2) ไมมผลเฉลย

(3.1) 1 (3.2) 1 (3.3) 1

บรรณานกรม

จณดษฐ ละออปกษณ และ รตนนท บญเคลอบ. ทฤษฎจำนวนเบองตน. คมอสอการสอน

วชาคณตศาสตร, คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลยและสำนกงานคณะ

กรรมการการศกษาขนพนฐาน. กระทรวงศกษาธการ, (ม.ป.ป.).

ณรงค ปนนม และคณะ. ทฤษฎจำนวน. พมพครงแรก ดานสทธาการพมพ : โครงการตำรา

วทยาศาสตรและคณตศาสตรมลนธ สอวน., 2547.

มานะ เอกจรยวงศ. ทฤษฎจำนวนเบองตน. พมพครงท 1 ลพบร : โครงการตำราเฉลม

พระเกยรตฯ, สถาบนราชภฏเทพสตร, 2542.

สมจต โชตชยสถตย. ทฤษฎจำนวน 2. ขอนแกน : ภาควชาคณตศาสตร, คณะวทยาศาสตร,

มหาวทยาลยขอนแกน, 2540.

สมใจ จตพทกษ. ทฤษฎจำนวน. พมพครงท 3 สงขลา: ภารกจเอกสารและตำรา, มหาวทยาลย

ทกษณ, 2547.

สมวงษ แปลงประสพโชค. ทฤษฎจำนวน. พมพครงท 3 กรงเทพฯ : ภาควชาคณตศาสตร

และสถต, สถาบนราชภฏพระนคร. 2537.

อจฉรา หาญชวงศ. ทฤษฎจำนวน. พมพครงท 1 กรงเทพฯ : ภาควชาคณตศาสตร, คณะ

วทยาศาสตร, จฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2542.

อำพล ธรรมเจรญ. ทฤษฎจำนวน. ชลบร : ภาควชาคณตศาสตร, คณะวทยาศาสตร, มหา

วทยาลยศรนครนทรวโรฒ บางแสน, 2519.

Andrew Granville, W. R. and Carl Pomerance. There are infinitely many Carmichael

numbers, Annals of Mathematics, 140(1994), pp. 703 - 722.

Burton, D. M., Elementary Number Theory, 6th ed., The McGraw-Hill

Companies, Inc., New York, 2007.

Jiagu Xu. Congruence of Integers, Lecture Note on Mathematical Olympiad

Course, 2009, pp. 13 - 18.


Niven, I., Zuckerman, H. S. and Montgomery, H. L., An Introduction to the

Theory of Numbers, 5th ed., John Wiley & Sons, Inc., New York, 1991.

Schumer, P. D., Introduction to Number Theory, PWS Publishing Company,

Boston, 1995.

Silverman, J. H., A Friendly Introduction to Number Theory, 3th ed., Pearson

Prentice Hall, New Jersey, 2006.

Stewart, B. M., Theory of Number, 2th ed., The Macmillan Company, New York,

1964.

Thomas Steinberger, Alexandru Zaharescu and Mohummad Zaki. Arithmetic

Function on Gaussian Integers, International Journal of Number

Theory, Vol 09, 08(1013), pp. 1923 - 1932.

Tianxin Cai, Deyi Chen and Yong Zhang. Perfect Numbers and Fibonacci,

International Journal of Number Theory, Vol 11, 01(1015),

pp. 159 - 309.


ดชน

กฎสวนกลบก ำลงสอง, 164

กำรหำรลงตว, 25

เกำส, 11

ขนตอนวธกำรหำร, 30

ขนตอนวธกำรหำร , 30

ขนตอนวธแบบยคลด, 37

ค.ร.น., 39

ควำมสมพนธสมมล, 78

คำรล พอเมอรนซ, 112

จอหน วลสน, 103

จอหน เพลล, 132

จำโคบ, 161

จ ำนวนคำรไมเคล, 112

จ ำนวนประกอบ, 41

จ ำนวนพรอง, 171

จ ำนวนสมบรณ, 171

จ ำนวนเกน, 171

จ ำนวนเฉพำะ, 41

จ ำนวนเฉพำะสมพทธ, 32

จ ำนวนเฉพำะเทยม, 111

จ ำนวนเฉพำะเทยมสมบรณ, 112

จ ำนวนเฉพำะแฟรมำต, 175

จ ำนวนเฉพำะแมรแซน, 172

จ ำนวนเตม, 11

จ ำนวนแฟรมำต, 175

จ ำนวนแมรแซน, 172

ชนสวนตกคำง, 84

ชดสำมจ ำนวนของปทำโกรส, 123

ดชนผลบวก, 15

เดอ มอกอง, 20

ไดโอแฟนตส, 117

ตะแกรงเอรำโตสเทเนส, 47

ตวคณรวม, 39

ตวคณรวมนอย, 39

ตวประกอบ, 25

ตวผกผน, 103

ตวหำร, 25

ตวหำรรวม, 31

ตวหำรรวมมำก, 31

ทฤษฎบทของปทำโกรส, 123

ทฤษฎบทของวลสน, 104

ทฤษฎบทของออยเลอร, 114

ทฤษฎบทของแฟรมำต, 108

ทฤษฎบทสดทำยของแฟรมำต, 130

ทฤษฎบทหลกมลของเลขคณต, 43

ทฤษฎบทเศษเหลอของชำวจน, 98

ทฤษฏบทของแฟรมำต, 107

บทตงของเกำส, 155

ปทำโกรส, 123

ผลคณ, 17



ผลบวก, 15

ผลหำร, 30

ผลเฉลย, 141

ผลเฉลยปฐมฐำน, 123

ผลเฉลยรวม, 97

พหคณ, 25

ฟงกชนจ ำนวนเตมคำมำกสด, 67

ฟงกชนจ ำนวนเตมมำกสด, 49

ฟงกชนซกมำ, 53

ฟงกชนฟออยเลอร, 55

ฟงกชนหลำยตอหนง, 67

ฟงกชนออยเลอรฟ, 49

ฟงกชนเทำ, 49

ฟงกชนเมอบอส, 60

ฟงกชนเลขคณต, 49

ฟงกชนแฟกทอเรยล, 17

ฟงกชนแยกคณ, 51

มอดลส, 75

มอดโล, 75

ระบบลดทอนสวนตกคำง, 86

ระบบสมภำคเชงเสน, 97

ระบบสวนตกคำงคำนอยสด, 84

ระบบสวนตกคำงบรบรณ, 84

รำกปฐมฐำน, 149

โรเบรต คำรไมเคล, 112

วอรง, 103

วธรอนดวย 9, 89

เศษ, 30

สมกำรของเพลล, 133

สมกำรไดโอแฟนไทน, 117

สมกำรไดโอแฟนไทนเชงเสน, 117

สมบตถำยทอด, 78

สมบตสมมำตร, 78

สมบตสะทอน, 78

สมภำค, 75

สมภำคก ำลงสอง, 141, 144

สมภำคเชงเสน, 93

สมำชกคำนอยสด, 14

สญลกษณจำโคบ, 161

สญลกษณเลอชองดร, 151

สตรของเลอชองดร, 72

สวนตกคำง, 84

สวนตกคำงก ำลงสอง, 147

สวนตกคำงคำนอยสด, 84

สวนไมตกคำงก ำลงสอง, 147

ห.ร.ม., 31

หลกกำรจดอนดบด, 14

หลกอปนยเชงคณตศำสตร, 20

หลกอปนยแบบออน, 20

หลกอปนยแบบเขม, 22

อนดบ, 149

อลฟอรด, 112

แอนดรแกรนวลล, 112

193 ดชน


φ Euler function, 55

σ function, 53

function, 49

absolute pseudoprime number, 112

abundant number, 171

Adrien-Marie Legendre, 151

Andrew Granville, 112

Archimedean property, 14

arithmetric functions, 49

bracket function, 49

cancellation property, 25

Carl Pomerance, 112

Carmichael number, 112

casting out nine, 89

Chinese remainder theorem, 98

common divisor, 31

common multiple, 39

common solution, 97

comparison property, 25

complete residue system, 84

composite numbers, 41

congruence, 75

deficient number, 171

DeMogan, 20

Diophantine equations, 117

Diophantus, 117

divisibility, 25

divisibility properties, 26

division algorithm, 30

divisor, 25

Edward Waring, 103

equivalent relation, 78

Euclid’s theorem, 46

Euclidean algorithm, 37

Euler phi function, 49

Euler’s criterion, 149, 152

Euler’s theorem, 114

factor, 25

factorial function, 17

Fermat number, 175

Fermat prime number, 175

Fermat’s conjector, 130

Fermat’s theorem, 107, 108

Fermat’slasttheorem, 130

floor function, 67

fundamental theorem of arithmetic, 43

Gauss, 11

Gauss’ Lemma, 155

greastest common divisor, 31

greatest integer function, 49, 67

index summation, 15

integers, 11

integral domain, 13

inverter, 103

Jacobean symbol, 161

John Pell, 132

John Wilson, 103

Karl G.J. Jacobi, 161



least common multiple, 39

Legendre formula, 72

Legendre symbol, 151

linear congruence, 93

linear congruence system, 97

linear Diophantine equations, 117

linearity property, 25

Lucas-Lehmer test, 173

many to one, 67

Marin Mersenne, 173

mathematical induction principle, 20

Mersene number, 172

Mersene prime number, 172

Mobius function, 60

modulus, 75

multiple, 25

multiplicative function, 51

order, 149

Pell’s equation, 133

Pepin’s test, 176

perfect number, 171

prime numbers, 41

primitive root, 149

primitive solution, 123

product, 17

pseudoprime, 111

Pythagoras, 123

Pythagorean triples, 123

quadratic congruence, 141, 144

quadratic non-residue, 147

quadratic reciprocity law, 164

quadratic residue, 147

quotient, 30

reduced residue system, 86

reflexive, 78

relatively prime numbers, 32

remainder, 30

residue, 84

residue class, 84

ring, 11

Robert Daniel Carmichael, 112

sieve of Eratosthenes, 47

solution, 141

strong induction principle, 22

summation, 15

symmetric, 78

the least residue, 84

the least residue system, 84

transitive, 78

transitivity, 13, 25

trichonomy, 13

W.R. Alford, 112

weak induction principle, 20

well-ordering principle, 14

Wilson’s theorem, 104

ประวต

ชอ : ผศ.ดร.วลลภ เหมวงษ

วนเกด : 4 เมษายน 2506

สถานทเกด : อำเภอโพนพสย จงหวดหนองคาย

ทอยปจจบน : 123/85 หมบานอดรฟลอราวลล ซอย 6 หม 12

ถนนมตรภาพอดร-ขอนแกน ตำบลโนนสง

อำเภอเมอง จงหวดอดรธาน 41330.

การศกษา :

2554 ปร.ด. (คณตศาสตร)

มหาวทยาลยขอนแกน

2541 วท.ม. (คณตศาสตร)

มหาวทยาลยขอนแกน

2528 ค.บ. (คณตศาสตร)

วทยาลยครอดรธาน

ตำแหนงงาน : ผชวยศาสตราจารย



จงหวดอดรธาน

ทฤษฎีจำนวน - udon thani rajabhat...

Documents