ปีการศึกษา 2561 -...

ช

นางสาวสพฒตา ศรเมอง ต าแหนง คร วทยฐานะ ครช านาญการพเศษ

กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

ภาคเรยนท 2

ปการศกษา

2561 ชนมธยมศกษาปท 5

โรงเรยนกระดมทองวทยา อ าเภอกนทรารมย จงหวดศรสะเกษ องคการบรหารสวนจงหวดศรสะเกษ

z=a+bi

Re(z)=a i

i2

i3 i4 i+i2+i3+i4

34

แผนการจดการเรยนร เรอง จ านวนเชงซอน รายวชาเสรมทกษะคณตศาสตร 4 รหสวชา ค30204 ชนมธยมศกษาปท 5 หนวยการเรยนรท 1 เรอง จ านวนเชงซอน จ านวน 19 ชวโมง แผนการจดการเรยนรท 1 เรอง การสรางจ านวนเชงซอน จ านวน 3 ชวโมง ภาคเรยนท 2 ปการศกษา 2561 สอนวนท 25, 26 เดอน ตลาคม, 1 พฤศจกายน พ.ศ. 2561 ******************************************************************************* 1. ผลการเรยนร 1) มความคดรวบยอดเกยวกบจ านวนเชงซอน 2. สาระส าคญ

บทนยาม จ านวนเชงซอน คอ คอนดบ (a, b) เมอ a, b R ถาให (a, b) และ (c, d) เปนจ านวนเชงซอนใด ๆ แลว (a, b) = (c, d) กตอเมอ a = c และ b = d

จ านวนเชงซอน คอ จ านวนทมสญลกษณ คอ z และอยในรปของ a + bi สวน a เรยกวา สวนจรง สวน bi เรยกวา สวนจนตภาพ จ านวนเชงซอน z = a +bi จะถก แบงเปน 3 ลกษณะ ดงน

1) ถา a = 0 และ b 0 จะได z = bi ซงเปนจ านวนจนตภาพ และเราเรยกจ านวนเชงซอนในลกษณะเชนนวา จ านวนจนตภาพแท

2) ถา a 0 แต b = 0 จะได z = a ซงเปนจ านวนจรง นนคอ จ านวนจรงทกจ านวนตางกเปนจ านวนเชงซอนทไมมสวนจนตภาพ

3) ถา a 0 และ b 0 จะได z = a +bi ซงเปนจ านวนเชงซอนทมทงสวนจรงและจนตภาพ ถานยาม i2 = -1 จะไดวาส าหรบ in เมอ n I+ { 0 }

1 ถา n หารดวย 4 ลงตว i ถา n หารดวย 4 แลวเหลอเศษ 1

คาของ in = -1 ถา n หารดวย 4 แลวเหลอเศษ 2 -i ถา n หารดวย 4 แลวเหลอเศษ 3

3. จดประสงคการเรยนร หลงจากเรยนเรองนแลวนกเรยนสามารถ 3.1 ดานความร นกเรยนสามารถ 3.1.1 บอกไดวาคอนดบ (a, b) เปนจ านวนเชงซอน 3.1.2 เขยนจ านวนเชงซอน (a, b) ในรป a + bi และเขยนจ านวนเชงซอน a + bi ในรป (a, b)ได 3.1.3 ระบสวนจรงและสวนจนตภาพของจ านวนเชงซอนทก าหนดใหได 3.1.4 ค านวณจ านวนเชงซอนทอยในรปของ ni เมอ n เปนจ านวนเตมบวกได

35

3.2 ดานทกษะกระบวนการ นกเรยนสามารถ 3.2.1 แกปญหา 3.2.2 ใหเหตผล 3.2.3 สอสาร การสอความหมายทางคณตศาสตร และการน าเสนอ 3.2.4 เชอมโยงความร 3.2.5 มความคดรเรมสรางสรรค 3.3 ดานคณลกษณะทพงประสงค นกเรยน 3.3.1 มความรบผดชอบเพยรพยายาม 3.3.2 มความซอสตย 3.3.3 รวมแสดง/ยอมรบฟงความคดเหนเพอน 3.3.4 มระเบยบวนย รอบคอบ 3.3.5 มความเชอมนในตนเอง

4. สาระการเรยนร ความหมายของจ านวนเชงซอน ในระบบจ านวนจรงสมการพหนามบางสมการ เชน x2 + 1 = 0 ไมมค าตอบเนองจากก าลงสอง

ของจ านวนใด ๆ จะมากกวาหรอเทากบศนยเสมอจงไมมจ านวนจรงใดเปนค าตอบของสมการแตนกคณตศาสตรตองการสรางระบบจ านวนซงขยายออกไปเพอใหหาค าตอบของสมการพหนามไดเสมอและเรยกจ านวนในระบบทสรางขนใหมนวา “จ านวนเชงซอน” (Complex number) ซงเซตของจ านวนในระบบใหมนตองเปนเซตทมเซตของจ านวนจรงเปนสบเซต บทนยาม จ านวนเชงซอน คอ คอนดบ (a, b) เมอ a และ b เปนจ านวนจรงและก าหนดการเทากนการบวกและการคณของจ านวนเชงซอน ดงน ส าหรบจ านวนเชงซอน (a, b) และ (c, d) 1) การเทากน (a, b) = (c, d) กตอเมอ a = c และ b = d 2) การบวก (a, b) + (c, d) = (a + c , b + d) 3) การคณ (a, b) (c, d) = (ac - bd , ad + bc) อาจแทน (a, b) (c, d) ดวย (a, b)(c, d) กได เซตของจ านวนเชงซอนเขยนแทนดวยสญลกษณ C บทนยาม ส าหรบจ านวนเชงซอน z = (a, b) เมอ a และ b เปนจ านวนจรง

เรยก a วาสวนจรง( real part ) ของ Z และแทนดวย Re(z) เรยก b วาสวนจนตภาพ ( imaginary part ) ของ Z และแทนดวย Im(z)

36

จากบทนยามนอาจกลาวไดวาจ านวนจรงกคอจ านวนเชงซอนทมสวนจนตภาพเปนศนยจ านวนเชงซอนทมสวนจรงเปนศนยแตสวนจนตภาพไมใชศนยเรยกวาจ านวนจนตภาพแท (purely imaginary number)

หนวยจนตภาพ (Imaginary unit) บทนยาม จ านวนเชงซอน (0, 1) เขยนแทนดวยสญลกษณ 1- หรอ i โดยท i2 = – 1 เรยก i วาหนวยจนตภาพ (imaginary unit) เมอ

i = 1- i2

= 21- = -1

i3 = i2i = -i i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1 i9 = (i4)2i = (-1)2i = i i14 = (i4)3i2 = i2 = -1 i23 = (i4)5i3 = i3 = -i i24 = (i4)6 = 16 = 1

สรป ถา n เปนจ านวนเตมบวกจะได in = 1 i4n+1 = i i4n+2 = -1 i4n+3 = -i

การเขยนจ านวนเชงซอนในรปของหนวยจนตภาพ ตวอยางท 1 จงหาคาของ in เมอ n เปนจ านวนเตมบวกตอไปน 1) i12 มคาเทากบ 1

เนองจากจดในรป i4(3)+0 หรอ 412

จะได 3 เหลอเศษ 0

2) i17 มคาเทากบ 1


17 จะได 4 เหลอเศษ 1



12 จะได 5 เหลอเศษ 2

37



จะได 5 เหลอเศษ 3

ตวอยางท 2 จงเขยนจ านวนเชงซอนใหอยในรปหนวยจนตภาพ 1) 81- = 1-81 = i99 (จาก 1- = i)

= 9i 2) 3 + 50- = 3 + 1-50 = 3 + i552 (จาก 1- = i)

= 3 + 5 2 i จ านวนเชงซอนทอยในรป (0, b) สามารถเขยนในรปหนวยจนตภาพไดเปน bi จ านวนเชงซอนทอยในรป (a, b) เขยนในรปหนวยจนตภาพไดเปน a + bi สามารถสรปลกษณะตางๆของจ านวนเชงซอน z = (a, b) = a + bi ไดดงน (1) ถา a = 0 และ b 0 จะได z = bi ซงเปนจ านวนจนตภาพและเรยก จ านวนเชงซอนนวาจ านวนจนตภาพแท

(2) ถา a 0 และ b = 0 จะได z = a ซงเปนจ านวนจรง a นนคอจ านวนจรงทกจ านวนเปนจ านวนเชงซอนทมสวนจนตภาพเปน 0 (3) ถา a 0 และ b 0 จะได z = a + bi ซงเปนจ านวนเชงซอนทมทงสวนจรงและสวนจนตภาพ ตวอยางท 1 จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยรปของ a + bi 1) จ านวนเชงซอน (4, 1) คอ 4 + i 2) จ านวนเชงซอน (0, –9) คอ –9i 3) จ านวนเชงซอน (–3, 8) คอ –3 + 8i 4) จ านวนเชงซอน (–4, –3) คอ –4 – 3i 5) จ านวนเชงซอน (5, –1) คอ 5 – i ตวอยางท 2 จงบอกสวนจรง Re(z) และสวนจนตภาพIm(z) ของจ านวนเชงซอนตอไปน 1) จ านวนเชงซอน (5, 8) มสวนจรง Re(z) คอ 5 สวนจนตภาพ Im(z) คอ 8 2) จ านวนเชงซอน (8, –2) มสวนจรง Re(z) คอ 8 สวนจนตภาพ Im(z) คอ –2 3) จ านวนเชงซอน –7 – 4i มสวนจรง Re(z) คอ –7 สวนจนตภาพ Im(z) คอ –4 4) จ านวนเชงซอน 1 – 9i มสวนจรง Re(z) คอ 1 สวนจนตภาพ Im(z) คอ –9 5) จ านวนเชงซอน 5 + 3i มสวนจรง Re(z) คอ 5 สวนจนตภาพ Im(z) คอ 3

38

5. กจกรรมการเรยนร ชวโมงท 1 5.1 ขนกระตน 5.1.1 ใหนกเรยนบอกเซตของจ านวนทนกเรยนทราบ (แนวตอบ R, I, Q, N)

5.1.2 ครใหนกเรยนพจารณาสมการก าลงสอง 01x 2

จะได 1x2 ครถามนกเรยนวา มจ านวนจรงใดทยกก าลงสองแลวได –1 หรอไม นกเรยนควรตอบไดวา

ไมม เนองจากไมมจ านวนจรงใดทยกก าลงสองแลวนอยกวาศนย นกคณตศาสตรจงไดสรางระบบจ านวนชนดใหม เรยกวา จ านวนเชงซอน เพอใหหาคาของ

x จากสมการ 1x 2 ได โดยไดเสนอความคดเหนให i แทนจ านวนเหลานซง

01i2 1i2

สามารถเขยนในรป 1-i

และเรยก i วารากทสองของ –1 5.1.3 ครและนกเรยนสนทนาเกยวกบจ านวนตาง ๆ ทเกดขนจากความจ าเปนของมนษย ในการทจะแกปญหาตาง ๆจ านวนใหม ๆทเกดขนนอกจากจะท าใหแกปญหาตามตองการไดแลวยงกอใหเกดความรและทฤษฎใหม ๆซงในทนจะกลาวถงจ านวนจ านวนหนงทเรยกวา “จ านวนเชงซอน” ครท าความคนเคยในการเรมเรยน จากนนทบทวนความรการแกสมการโดยใหนกเรยนแตละคนยกตวอยางสมการก าลงสองในระบบจ านวนจรงแลวรวมกนอภปรายวาค าตอบของสมการก าลงสองในระบบจ านวนจรงเปนอยางไรในทางคณตศาสตรก าหนดวาค าตอบทเปนจรงในระบบสมการคอเมอตรวจค าตอบแลวท าใหสมการทงสองขางเทากนแตถาต าตอบใดตดลบและอยภายในเครองหมายกรณฑค าตอบนนไมเปนจรงในระบบสมการนกคณตศาสตรจงหาวธแกปญหาของค าตอบทตดลบและอยภายในเครองหมายกรณฑ 5.1.4 ท าแบบทดสอบกอนเรยน เรอง จ านวนเชงซอน จ านวน 20 ขอ 5.1.5 ครน าเสนอปญหาตวอยางท 2 จงเขยนจ านวนเชงซอนใหอยในรปหนวยจนตภาพ 1) 81- 2) 3 + 50- (แนวการตอบ 1) 81- = 1-81 = i99 (จาก 1- = i)

= 9i

39

2) 3 + 50- = 3 + 1-50 = 3 + i552 (จาก 1- = i)

= 3 + 5 2 i) 5.2 ขนส ารวจ 5.2.1 ใหนกเรยนท าใบกจกรรมฝกทกษะท 1 ขอ 1 5.3 ขนอภปราย 5.3.1 นกเรยนรวมกนอภปรายการไดมาซงค าตอบของใบกจกรรมฝกทกษะท 1 (แนวตอบ ค าตอบทไดจะประกอบดวยจ านวนจรงและจ านวนทมลกษณะ a- เมอ a R-{0} จะไดวา

a- = a 1- = a i) 5.4 ขนสรป 5.4.1 อธบายนกเรยนวา จ านวนทประกอบดวย 1- หรอ i คอจ านวนทเปนสมาชกของเซตจ านวนชนดใหมทเกดขนมาเพอรองรบค าตอบของสมการพหนามบางสมการทมค าตอบเปน a- ซงเกาสเรยกวา จ านวนเชงซอน 5.5 ขนน าไปใช 5.5.1 ใหนกเรยนท าใบกจกรรมฝกทกษะท 1 ขอ 2 ชวโมงท 2 5.1 ขนกระตน 5.1.1 ทบทวนความรคา i โดยท i2 = -1 5.1.2 น าเสนอปญหา i3, i4 บนกระดานแลวใหนกเรยนน าความรเรองเลขยกก าลงมาแกปญหา (แนวตอบ i3 = i i i = i2 i = (-1)i = -i i4 = i i i i = i2 i2 = (-1)(-1) = 1) 5.2 ขนส ารวจ 5.2.1 ใหนกเรยนแตละคนหาคา in โดยท n เปนเลขทของนกเรยน 5.2.2 ใหนกเรยนจดกลมของเพอนในหองโดยใชปญหาของแตคนเปนแนวทางในการจดกลม (แนวตอบ จะไดนกเรยนทหมด 4 กลม คอกลมทม ค าตอบเปน i , -i, -1, 1) 5.2.3 ใหนกเรยนหาความสมพนธของเพอนในกลมวาเปนอยางไร (เมอน า 4 มาหารแลวลงตว หรอเศษ 1 เศษ 2 เศษ 3) 5.2.4 ท าใบกจกรรมฝกทกษะท 2 ขอ 1, 2 เปนกลมตามทจด

40

5.3 ขนอภปราย 5.3.1 นกเรยนน าเสนอแนวทางการตอบค าทางของตนเองจากการท าใบกจกรรมฝกทกษะท 2 ขอ 1 5.4 ขนสรป 5.4.1 ใหนกเรยนสรปผลการท ากจกรรม โดยขอสรปทได คอ

ถานยาม i2 = -1 จะไดวาส าหรบ in เมอ n I+ { 0 } 1 ถา n หารดวย 4 ลงตว i ถา n หารดวย 4 แลวเหลอเศษ 1

คาของ in = -1 ถา n หารดวย 4 แลวเหลอเศษ 2 -i ถา n หารดวย 4 แลวเหลอเศษ 3

5.5 ขนน าไปใช 5.5.1 ใบกจกรรมฝกทกษะท 2 ขอ 3 ชวโมงท 3 5.1 ขนกระตน 5.1.1 ทบทวนความร in การเลนเกม ฉนคอใคร ก าหนดให

หนงเมด แทน จ านวน – 1 หนงฝา แทน จ านวน + 1 หนงฝาหนงเมด มคาเทากบ 0

หนงเมด แทน จ านวน – i หนงฝา แทน จ านวน + i หนงฝาหนงเมด มคาเทากบ 0 แบงกลมนกเรยนออกเปน 2 กลมเทากน นกเรยนแตละกลมจะไดตะกราอปกรณจ านวนเชงซอน และกระดานจ านวนเชงซอน วธเลน 1) ใหนกเรยนตงแถวเปนแถวตอนยาวคกเลอกคนอานโจทย 1 คน ทเหลอเปนคนตอบ 2) ครเปนกรรมการตรวจค าตอบในเวลาทก าหนด 3) นกเรยนทอานโจทย อานโจทย i2 คนเลนตองตอบภายใน 10 วนาท (-1) ครกนกลางระหวางคนอานและคนตอบ ถาตอบถกใหนกเรยนหยบอปกรณทมคาเทากบจ านวนทก าหนดลงในกระดานจ านวนเชงซอน ใชเวลาเลนกลมละ 2 นาท แลวนบแตมกลมทมอปกรณมากทสดเปนผชนะ

41

5.1.2 ครน าเสนอปญหา ตวอยางท 1 จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยรปของ a + bi และบอกสวนจรง Re(z) และสวนจนตภาพIm(z) ของจ านวนเชงซอน 1) จ านวนเชงซอน (4, 1) คอ 4 + i

4 i สวนจรง คอ 4 [Re(z) = 4] สวนจนตภาพ คอ 1 [Im(z) = 1] 2) จ านวนเชงซอน (0, –9) คอ –9i

0 -9i สวนจรง คอ 0 [Re(z) = 0] สวนจนตภาพ คอ -9 [Im(z) = -9] 3) จ านวนเชงซอน (–3, 8) คอ –3 + 8i -3 8i สวนจรง คอ -3 [Re(z) = -3] สวนจนตภาพ คอ 8 [Im(z) = 8] 4) จ านวนเชงซอน (–4, –3) คอ –4 – 3i -4 -3i สวนจรง คอ -4 [Re(z) = -4] สวนจนตภาพ คอ -3 [Im(z) = -3] 5.2 ขนส ารวจ 5.2.1 ใหนกเรยนท าใบกจกรรมฝกทกษะท 3 ขอ 1, 2, 3, 4 5.3 ขนอภปราย 5.3.1 ใหนกเรยนน าเสนอค าตอบของตนเอง โดยพลดกนเฉลยคนละ 1 ขอ นกเรยนทไมไดน าเสนอสามารถซกถามและอภปรายค าตอบของเพอนทน าเสนอได และครบอกค าตอบหลงมขอยตจากการเฉลยค าตอบในแตละขอ

42

5.4 ขนสรป 5.4.1 ใหนกเรยนสรปผลการท ากจกรรม โดยขอสรปทได คอ บทนยาม ส าหรบจ านวนเชงซอน z = (a, b) เมอ a และ b เปนจ านวนจรง เรยก a วาสวนจรง(real part) ของ z และแทนดวย Re(z) เรยก b วาสวนจนตภาพ (imaginary part) ของ z และแทนดวย Im(z) 5.5 ขนน าไปใช 5.5.1 ใหนกเรยนท าใบกจกรรมฝกทกษะท 3 ขอ 5 5.5.2 ทดสอบหลงเรยน

6. สอการเรยนร และแหลงเรยนร 6.1 สอการเรยนร 6.1.1 หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม คณตศาสตร ม.5 เลม 2 หนวยการเรยนรท 1 จ านวนเชงซอน 6.1.2 แบบฝกหดคณตศาสตร ม.5 เลม 2 หนวยการเรยนรท 1 จ านวนเชงซอน 6.1.3 ใบกจกรรมฝกทกษะท 1, 2, 3 เรอง การสรางจ านวนเชงซอน

6.2 แหลงการเรยนร 6.2.1 หองเรยน 6.2.2 หองสมด 6.2.3 อนเทอรเนต 7. การวดผลประเมนผล

รายการวด วธวด เครองมอ เกณฑการประเมน 7.1 การประเมนผลดานความรและความสามารถของนกเรยน

ตรวจผลงาน ใบกจกรรม และแบบฝกทกษะ

แบบประเมนผลดานความรและความสามารถของนกเรยน

คะแนนเฉลยรวมในระดบดขนไป

7.2 การประเมนผล กอนเรยน

ตรวจแบบทดสอบ กอนเรยน

แบบทดสอบ กอนเรยน

คะแนนมากกวา รอยละ 60

7.3 การประเมนผล หลงเรยน

ตรวจแบบทดสอบ หลงเรยน

แบบทดสอบ หลงเรยน

คะแนนมากกวา รอยละ 60

7.4 การประเมนดานทกษะกระบวนการทางคณตศาสตร

สงเกตและตรวจจากใบกจกรรมและแบบฝกทกษะ

แบบประเมนดานทกษะกระบวนการทางคณตศาสตร


43

รายการวด วธวด เครองมอ เกณฑการประเมน 7.5 การประเมนคณลกษณะทพงประสงครายบคคลขณะรวมท ากจกรรม

สงเกตจากการท ากจกรรม

แบบประเมนคณลกษณะทพงประสงครายบคคลขณะรวมท ากจกรรม


44

8. ความคดเหนและขอเสนอแนะของผบรหารสถานศกษาหรอผทไดรบมอบหมาย ไดตรวจแผนการจดการเรยนรท 1 เรอง การสรางจ านวนเชงซอน ของ นางสาวสพฒตา ศรเมอง มความเหนดงน 8.1 กระบวนการเรยนร มความสอดคลองกบจดประสงค เหมาะสมกบความสนใจและความถนดของนกเรยน ไมสอดคลองและยงไมเนนนกเรยนเปนส าคญควรปรบปรง 8.2 การจดกจกรรมการเรยนร ค านงถงล าดบขนของการเรยนรโดยจดใหนกเรยนไดมโอกาสเรยนรจากประสบการณจรง สงเสรมใหนกเรยนฝกการคดอยางหลากหลาย สรางองคความรไดดวยตนเองและมการฝกใหนกเรยนมวนยและความรบผดชอบในการท างาน ล าดบขนของการเรยนรไมสอดคลอง ควรปรบปรง 8.3 การวดผลและประเมนผล ระบวธวดและเครองมอวดสอดคลองกบกจกรรมการเรยนรใชวธการทหลากหลายสอดคลองและเหมาะสมกบวตถประสงคการวด ไมระบวธวดและเครองมอวดไมหลากหลายและไมสอดคลองกบวตถประสงคของการวด ควรปรบปรง 8.4 ความเหมาะสมในการน าแผนการจดการเรยนรไปใชจดการเรยนร สามารถน าไปใชจดการเรยนรไดจรง ควรปรบปรงกอนน าไปใชจดการเรยนร 8.5 ขอเสนอแนะอน ๆ …………………………………………………...…………………………………………… ……………………….……………………………………………………………………………… ……………………….………………………………………………………………………………

(ลงชอ).......................................................... (นางนวพรรณ มะลรกษ)

ต าแหนง ผอ านวยการโรงเรยนหนองถมวทยา รกษาราชการแทน ผอ านวยการโรงเรยนกระดมทองวทยา

วนท.........เดอน....................พ.ศ........

45

รายวชาเสรมทกษะคณตศาสตร 4 รหสวชา ค30204 ระดบชนมธยมศกษาปท 5

ใบกจกรรม ฝกทกษะท 1

ประกอบแผนการจดการเรยนรท 1 เรอง การสรางจ านวนเชงซอน โดย นางสาวสพฒตา ศรเมอง

ชอ...........................................................................................ชน......................เลขท.......................... 1. จงเขยนจ านวนเชงซอนตอไปนใหอยในรปของหนวยจนตภาพ 1) 9- วธท า 9- =………………………………………………………….. =………………………………………………………….. =………………………………………………………….. แต 1- =………………………………………………………….. ดงนน 9- =………………………………………………………….. 2) 64- วธท า 64- =………………………………………………………….. =………………………………………………………….. =………………………………………………………….. แต 1- =………………………………………………………….. ดงนน 64- =………………………………………………………….. 3) 25-2 วธท า 25-2 =………………………………………………………….. =………………………………………………………….. =………………………………………………………….. แต 1- =………………………………………………………….. ดงนน 25-2 =…………………………………………………………..

46

2. จงเตมค าตอบลงในตารางใหถกตอง

ขอ จ านวนเชงซอน วธท า เขยนใหอยในรปหนวยจนตภาพ 1 4 122 2i 2 50 3 100 4 121 5 83 6 32 7 54- 8 2-7 9 495

10 32

9

47




ชอ...........................................................................................ชน......................เลขท..........................

1. จงหาคา ik เมอ k เปนจ านวนเตมบวกตอไปน

ขอ ik จดรป ik ใหอยในรป i4n+r เมอ r คอเศษและ n I+

ผลลพธ

1 i8 i4(2) 1 2 i13 3 i26 4 i31 5 i32 6 i43 7 i21 8 i38 9 i99 10 i100

สรป ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………

48

2. ใหนกเรยนระบายสฟาในชองวางทมผลลพธ i ระบายสเหลอง ในชองวางทมผลลพธ –i ระบายสแดง ในชองวางทมผลลพธ 1 และระบายสเขยว ในชองวางทมผลลพธ -1

49

3. จงหาคาของ 1) i + i2 + i3 + i4 =……………………………………………………………………. =……………………………………………………………………. 2) 1 + i + i2 + i3 =……………………………………………………………………. =……………………………………………………………………. 3) 1 + i + i2 + i3 +… + i13 =……………………………………………………………………. =……………………………………………………………………. =……………………………………………………………………. 4) 1 + i + i2 + i3 +… + i101 =……………………………………………………………………. =……………………………………………………………………. =……………………………………………………………………. =……………………………………………………………………. 5) i10 + i11 + i12 + i13 =……………………………………………………………………. =……………………………………………………………………. =…………………………………………………………………….

50

โจทยบตรค า ฉนคอใคร กตกา

หนงเมด แทน จ านวน – 1 หนงฝา แทน จ านวน + 1 หนงฝาหนงเมด มคาเทากบ 0

หนงเมด แทน จ านวน – i หนงฝา แทน จ านวน + i หนงฝาหนงเมด มคาเทากบ 0 แบงกลมนกเรยนออกเปน 2 กลมเทากน นกเรยนแตละกลมจะไดตะกราอปกรณจ านวนเชงซอน และกระดานจ านวนเชงซอน วธเลน 1. ใหนกเรยนตงแถวเปนแถวตอนยาวคกเลอกคนอานโจทย 1 คน ทเหลอเปนคนตอบ 2. ครเปนกรรมการตรวจค าตอบในเวลาทก าหนด 3. นกเรยนทอานโจทย อานโจทย i2 คนเลนตองตอบภายใน 10 วนาท (-1) ครกนกลางระหวางคนอานและคนตอบ ถาตอบถกใหนกเรยนหยบอปกรณทมคาเทากบจ านวนทก าหนดลงในกระดานจ านวนเชงซอน ใชเวลาเลนกลมละ 2 นาท แลวนบแตมกลมทมอปกรณมากทสดเปนผชนะ

51

บตรค าถาม i2 i2 = -1 i21 i21 = i i40 i40 = 1 i59 i59 = -i i3 i3 = -i i22 i22 = -1 i41 i41 = i i60 i60 = 1 i4 i4 = 1 i23 i23 = -i i42 i42 = -1 i61 i61 = i i5 i5 = i i24 i24 = 1 i43 i43 = -i i62 i62 = -1 i6 i6 = -1 i25 i25 = i i44 i44 = 1 i63 i63 = -i i7 i7 = -i i26 i26 = -1 i45 i45 = i i64 i64 = 1 i8 i8 = 1 i27 i27 = -i i46 i46 = -1 i65 i65 = i i9 i9 = i i28 i28 = 1 i47 i47 = -i i66 i66 = -1 i10 i10 = -1 i29 i29 = i i48 i48 = 1 i67 i67 = -i i11 i11 = -i i30 i30 = -1 i49 i49 = i i68 i68 = 1 i12 i12 = 1 i31 i31 = -i i50 i50 = -1 i69 i69 = i i13 i13 = i i32 i32 = 1 i51 i51 = -i i70 i70 = -1 i14 i14 = -1 i33 i33 = i i52 i52 = 1 i71 i71 = -i i15 i15 = -i i34 i34 = -1 i53 i53 = i i72 i72 = 1 i16 i16 = 1 i35 i35 = -i i54 i54 = -1 i73 i73 = i i17 i17 = i i36 i36 = 1 i55 i55 = -i i74 i74 = -1 i18 i18 = -1 i37 i37 = i i56 i56 = 1 i75 i75 = -i i19 i19 = -i i38 i38 = -1 i57 i57 = i i76 i76 = 1 i20 i20 = 1 i39 i39 = -i i58 i58 = -1 i77 i77 = i

52




ชอ...........................................................................................ชน......................เลขท.......................... 1. จงพจารณาคอนดบในตารางตอไปนแลวตอบค าถาม

ขอ โจทย จ านวนเชงซอน

เหตผล เปน ไมเปน

1 (5, 8) 2 ( 3 , 1) 3 (-7, 25) 4 (0 , π ) 5 (-2.5, 4.8) 6 (-1 , 2 ) 7 (-5 , 5 ) 8 ( 3 + 5, 2) 9 (1 , 4 )

10 ( 9 , 321

)

สรป ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………

53

2. จงเขยนจ านวนเชงซอนตอไปนใหอยในรปของ a + bi

ขอ จ านวนเชงซอนในรป

(a, b) จ านวนเชงซอนในรป

a+ bi สวนจรง

a สวนจนตภาพ

b 1 (6, -3) 2 (4, 3 ) 3 (0, 8) 4 (-5, 0) 5 (2, π )

3. จงเขยนจ านวนเชงซอนตอไปนใหอยในรปของ (a, b)


a+ bi จ านวนเชงซอนในรป

(a, b) สวนจรง a สวนจนตภาพ b

1 12 2 i3 3 -9i 4 4 + 3i 5 -2 – 2i

สรป ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………

54

4. ก าหนดจ านวนเชงซอนตอไปนใหนกเรยนเตมค าตอบทถกตองลงในชองวาง



(a, b) สวนจรง


b 1 3 + 0i 2 (–2, 0) 3 9 0 4 (-5, -1) 5 –4 + 6i 6 -2 – 3i 7 ( 3 , i) 8 0 8 9 0 -7 10 (0, -1)

สรป ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………

55

5. ใหนกเรยนระบายสชมพในชองทมคาความจรงเปนจรง และระบายสฟาในชองทมคาความจรงเปนเทจ เมอก าหนดให z1 = 3 , z2 = -2i, z3 = 3 - 2i, z4 = 2, z5 = 5i, z6 = 2 + 5i, z7 = -1, z8 = -4i , z9 = -1 - 4i

Re (z1) = 0

Re (z1) =3

Re (z4) = 2

Re (z3) = -2

Re (z3) = 3

Im (z2) = 0

Re (z2) = 0

Re (z2) =-2 Im (z9) = -4 Im (z1) = 0

Re (z7) = -1 Re (z1) = 3 Im (z4) = 2 Re (z4) = 1

Re (z6) = 2

Im (z3) = -2i

Re (z5)=0

Re (z5) = 5

Im (z8) = -4i

56

แบบทดสอบกอนเรยน เรอง จ านวนเชงซอน

ค าชแจง ใหนกเรยนเลอกค าตอบทถกทสดเพยง 1 ค าตอบ โดยท าเครองหมาย ลงในกระดาษค าตอบ 1. จ านวนในขอใดไมใชจ านวนเชงซอน ก. (2, 3) ข. 16- ค. (2, 3i)

ง. 2

i53i7

2. พจารณาขอความตอไปนขอใดกลาวถกตอง (a) ถา (3, –2) แลวเขยนใหอยในรป a + bi ได 3 + 2i (b) ถา -5-3i แลวเขยนใหอยในรป (a, b) ได (-5, 3) ก. ขอ (a) และ ขอ (b) จรง ข. ขอ (a) และ ขอ (b) เทจ ค. ขอ (a) จรง และ ขอ (b) เทจ ง. ขอ (a) เทจ และ ขอ (b) จรง 3. สวนจนตภาพของจ านวนเชงซอน 2 - 3i คอขอใด ก. 3i ข. 3 ค. -3 ง. 2 4. ให a เปนจ านวนเตมบวกใด ๆ แลวคาของ ia ia+1ia+2ia+3 ตรงกบขอใดตอไปน ก. –i ข. -1 ค. 1 ง. i

5. ขอใดคอคาของ x และ y จากสมการ (2y, 3) + (x, 2x –y) = (10, 3) ตามล าดบ ก. 1, 2 ข. 2, 3 ค. 2, 4 ง. 4, 2 6. ถา (x, y)(1, -2) = (-7, -16) แลวจ านวนเชงซอน (x, y) คอขอใด ก. (5, 6) ข. (6, 5) ค. (5, -6) ง. (-6, -5) 7. ผลบวกของจ านวนเชงซอน 17 + (5 -7i) + (-9 – 8i) + 4i เทากบขอใด ก. 11 – 13i ข. - 11 – 13i ค. 13 - 11i ง. -13 - 11i 8. ขอใดตอไปนไมถกตอง ก. สวนจนตภาพของจ านวนเชงซอน ( 2 -i)2 คอ -2 2 ข. สวนจนตภาพของสงยคของจ านวนเชงซอน [(4, -9) + (3, -4)] คอ 13 ค. ตวผกผนการบวกของจ านวนเชงซอน (3, -5) คอ -3 + 5i ง. คาของ x และ y ทสอดคลองกบสมการ y2i2 = (1 – x)2i คอ 1 และ -1

57

9. ถา z เปนจ านวนเชงซอน และ1z18=36-z3 แลวคาสมบรณของ z

เทากบจ านวนใด ก. 2 ข. 6 ค. 4 ง. 8 10. ให z1 และ z2 เปนจ านวนเชงซอนใด ๆ และ

1z เปนสงยคของ z1 พจารณาขอความ

ตอไปน

(a) 1z =

1z =

1z-

(b) 21 z+z = 1z +

2z

(c) 21 zz = 1z 2z ขอใดตอไปนถกตอง ก. ขอ (a), (b) ถกตอง ข. ขอ (b), (c) ถกตอง ค ขอ (a), (c) ถกตอง ง. ขอ (a), (b) และ (c) มขอถกเพยงขอเดยว 11. จากกราฟทก าหนดใหคอสมการขอใด ก. 3z =1 ข. 2i-3z = 1 ค. 6iz = 2 ง. z + z = 4

12.ขอใดคอรปเชงขวของ –2 + 2 i3

ก. 4(cos 120 + isin 120 ) ข. 3(cos 120 + isin 120 ) ค. 3 (cos 120 + isin 120 ) ง. 2 (cos 120 + isin 120 )

13. ขอใดคอคาของ

cis2252

cis54083

ก. 3 – 3i ข. –3 – 3i ค. –3 + 3i ง. 3 + 3i 14. ขอใดคอคาของ (1 + i3 )7

ก. –64 + 64 i3

ข. 64 + 64 i3

ค. 64 – 64 i3

ง. –64 – 64 i3

15. ผลคณของรากทสองจ านวนเชงซอน 3 + 4i มคาเทาไร ก. -3 - 4i ข. 3 – 4i ค. -3 + 4i ง. 3 + 4i

58

16. ก าหนดจ านวนเชงซอน z = x + yi รากทสองของจ านวนเชงซอนทก าหนดใหสามาหาไดจากขอใด

ก. 0y:i2

xr+2

x+r± ≥

ข. 0<y:i2

xr+2

x+r±

ค. 0>y:i2

xr2

x+r± -

ง. 0y:i2

xr2

x+r± ≥-

17. รากทสองของ -7 – 24i มคาเทากบขอใด ก. -3 – 4i และ -3 + 4i ข. 3 – 4i และ -3 + 4i ค. 3 – 4i และ 3 + 4i ง. -3 – 4i และ 3 + 4i 18. จงพจารณาขอความตอไปน (a) ถา z1 และ z2 เปนรากของสมการ

z2 + 2z + 4 = 0 แลว 1z

z

2

1

(b) ถา z1 และ z2 เปนรากของสมการ z2 = I แลว 0zz 21 - ขอใดกลาวถกตอง ก. ขอ (a) ถก (b) ผด ข. ขอ (a) ผด (b) ถก ค. ขอ (a) ถก (b) ถก ง. ขอ (a) ผด (b) ผด

19. ผลบวกของรากท 3 ของ 1 มคาเทาใด ก. 0 ข. -1 ค. 1

ง. i23

21

20. x3– 4x2 + 9x – 10 = 0 มเซตค าตอบตามขอใด ก. {2, 2 + i, 2 – i} ข. {2, 1 + 2i, 1 – 2i} ค. {2, –1+ 2i, –1 – 2i} ง. {2, –2 + i, –2 – i}

59

แบบทดสอบหลงเรยน เรอง การสรางจ านวนเชงซอน

ค าชแจง ใหนกเรยนเลอกค าตอบทถกทสดเพยง 1 ค าตอบ โดยท าเครองหมาย ลงในกระดาษค าตอบ 1. ขอใดไมใชจ านวนเชงซอน ก. (2, 3 ) ข. (0, 1) ค. (5, 9- )

ง. (23 , )

2. ขอใด ไม ถกตอง ก. 2 4- = 4i ข. 3 16- = 12i ค. 20- = 2 5 i ง. 4 12- = 24i 3. 813 เขยนใหอยในรปของหนวย จนตภาพไดอยางไร ก. 3 – 9i ข. 3 + 9i ค. -27i ง. 27i 4. จ านวนเชงซอน (–8, –7) เขยนใหอยในรป a + bi ไดดงขอใด ก. 8 + 7i ข. 8 – 7i ค. –8 – 7i ง. –8 + 7i 5. 5 + 225- เขยนใหอยในรปของหนวยจนตภาพไดอยางไร ก. 5 – 15i ข. 5 + 15i ค. -20i ง. 20i

6. 50- เขยนใหอยในรปของหนวย จนตภาพไดอยางไร ก. 50i ข. 5 + 10i ค. 25i ง. 2i5 7. ขอใด ไม ถกตอง ก. 5 ไมเปนจ านวนเชงซอน ข. คาของ i ในจ านวนเชงซอน คอ 1 ค. จ านวนเชงซอน (1, 3) มสวนจรงเปน 1 และสวนจนตภาพเปน 3 ง. 2 + 6i เปนจ านวนเชงซอนทมสวนจรงเปน 2 และสวนจนตภาพเปน 6 8. คาของ i2520 + i2553 + i2012 เทากบจ านวนในขอใด ก. 1 ข. i – 1 ค. 2 + i ง. 3 9. คาของ i + i2 + i3 + i4 + … + i2501 + i2502 เทากบจ านวนในขอใด ก. 1 ข. i – 1 ค. 2 + i ง. 3 10. ขอใดมคาเปนจ านวนจรง ก. 9i6 ข. 2i11 ค. 4i17 ง. 7 – 5i

60


เฉลยใบกจกรรม ฝกทกษะท 1


ชอ...........................................................................................ชน......................เลขท.......................... 1. จงเขยนจ านวนเชงซอนตอไปนใหอยในรปของหนวยจนตภาพ 1) 9 วธท า 9 = 1)(9 = 133 = 1-3 แต 1 = i ดงนน 9 = 3i 2) 64 วธท า 64 = 1)(64 = 188 = 1-8

แต 1 = i ดงนน 64 = 8i 3) 252 วธท า 252 = 1)(252 = 1552 = 1-52 แต 1 = i ดงนน 252 = 10i

61

2. จงเตมค าตอบลงในตารางใหถกตอง

ขอ จ านวนเชงซอน วธท า เขยนใหอยในรปหนวยจนตภาพ 1 4 122 2i 2 50 1552 5 2 i 3 100 11010 10i 4 121 11111 11i 5 83 12223 6 2 i 6 32 132 2 + 3 i 7 54- 154- -4 + 5 i 8 2-7 127 7 - 2 i 9 495 1775 5 +7i

10 32

9 13332

2i

62




ชอ...........................................................................................ชน......................เลขท..........................

1. จงหาคา ik เมอ k เปนจ านวนเตมบวกตอไปน

ขอ ik จดรป ik ใหอยในรป i4n+r เมอ r คอเศษและ n I+

ผลลพธ

1 i8 i4(2) 1 2 i13 i4(3)+1 i 3 i26 i4(6)+2 -1 4 i31 i4(7)+3 -i 5 i32 i4(8) 1 6 i43 i4(10)+3 -i 7 i21 i4(5)+1 I 8 i38 i4(9)+2 -1 9 i99 i4(24)+3 -i 10 i100 i4(25) 1

สรป คาของ ik เมอ k เปนจ านวนเตมบวกจะมคาแตกตางกนเพยง 4 คาเทานน คอ 1 , i , –1 , –i ทงนขนอยกบคาของ k เนองจากเมอ k หารดวย 4 จะได k = 4n + r โดยท r = 0 , 1 , 2 , 3 เทานน ( r คอเศษ) ดงนน คาของ ik หาไดจาก 1) เมอ k หารดวย 4 แลวเหลอเศษ 0 , ik = 4n + 0 = 1 2) เมอ k หารดวย 4 แลวเหลอเศษ 1, ik = 4n + 1 = i 3) เมอ k หารดวย 4 แลวเหลอเศษ 2, ik = 4n + 2 = -1 4) เมอ k หารดวย 4 แลวเหลอเศษ 3, ik = 4n + 3 = -i

63

2. ใหนกเรยนระบายสฟาในชองวางทมผลลพธ i ระบายสเหลอง ในชองวางทมผลลพธ –i ระบายสแดง ในชองวางทมผลลพธ 1 และระบายสเขยว ในชองวางทมผลลพธ -1

64

3. จงหาคาของ 1) i + i2 + i3 + i4 = i + (-1) + (-i) + 1 = 0 2) 1 + i + i2 + i3 = 1 + i + (-1) + (-i) = 0 3) 1 + i + i2 + i3 +… + i13 = 1 + (i + i2 + i3 + i4) + (i5 + i6 + i7 + i8) + (i9 + i10 + i11 + i12) + i13 = 1 + 0 + 0 + i = 1 + i 4) 1 + i + i2 + i3 +… + i101 = 1 + (i + i2 + i3 + i4) + (i5 + i6 + i7 + i8) +… + (i97 + i98 + i99 + i100) + i101 = 1 + 0 + 0 +…+ i = 1 + i 5) i10 + i11 + i12 + i13 = (-1) + (-i) + 1 + i = 0

65




ชอ...........................................................................................ชน......................เลขท.......................... 1. จงพจารณาคอนดบในตารางตอไปนแลวตอบค าถาม

ขอ โจทย จ านวนเชงซอน

เหตผล เปน ไมเปน

1 (5, 8) 5 และ 8 R 2 ( 3 , 1) 3 R 3 (-7, 25) -7 และ 25 R 4 (0 , π ) 0 และ π R 5 (-2.5, 4.8) -2.5 และ 4. 8 R 6 (-1 , 2 ) 2 R 7 (-5 , 5 ) -5 และ 5 R 8 ( 3 + 5, 2) 3 + 5 และ 2 R 9 (1 , 4 ) 4 R

10 ( 9 , 321

) 9 R

สรป จ านวนเชงซอน(Complex number) คอ คอนดบ (a, b) เมอ a และ b เปนจ านวนจรงใด ๆ

66

2. จงเขยนจ านวนเชงซอนตอไปนใหอยในรปของ a + bi


(a, b) จ านวนเชงซอนในรป

a+ bi สวนจรง


b 1 (6, -3) 6 – 3i 6 -3 2 (4, 3 ) 4 + 3 i 4 3 3 (0, 8) 8i 0 8 4 (-5, 0) -5 + 0i -5 0 5 (2, π ) 2 + π i 2

3. จงเขยนจ านวนเชงซอนตอไปนใหอยในรปของ (a, b)



(a, b) สวนจรง a สวนจนตภาพ b

1 12 (12, 0) 12 0 2 i3 (0, 5 ) 0 5 3 -9i (0, -9) 0 -9 4 4 + 3i (4, 3) 4 3 5 -2 – 2i (-2, -2) -2 -2

สรป จ านวนเชงซอน (a, b) สามารถเขยนแทนดวย a + bi เรยก a วาสวนจรง (real part) ของ z และแทนดวย Re(z) เรยก b วาสวนจนตภาพ (imaginary part) ของ z และแทนดวย Im(z)

67

4. ก าหนดจ านวนเชงซอนตอไปนใหนกเรยนเตมค าตอบทถกตองลงในชองวาง



(a, b) สวนจรง


b 1 3 + 0i (3, 0) 3 0 2 -2 + 0i (–2, 0) -2 0 3 9 + 0i (9, 0) 9 0 4 –5 – i (-5, -1) -5 -1 5 –4 + 6i (–4, 6) -4 6 6 -2 – 3i (–2 , –3) 2 -3 7 3 + i ( 3 , i) 3 11 8 8i (0, 8) 0 8 9 -7i (0, -7) 0 -7 10 -i (0, -1) 0 -1

สรป จ านวนเชงซอนทอยในรปของ (a, b) สามารถเขยนแทนดวย a + bi เรยก a วาสวนจรง เรยก b วาสวนจนตภาพ 1) ถา b = 0 จะได (a, 0) เขยนแทนดวย a เรยกจ านวนเชงซอนนวา จ านวนจรง a 2) ถา b 0 และ a = 0 จะได (0, b) เขยนแทนดวย bi เรยกจ านวนเชงซอนนวา จ านวนจนตภาพแท

68

5. ใหนกเรยนระบายสชมพในชองทมคาความจรงเปนจรง และระบายสฟาในชองทมคาความจรงเปนเทจ เมอก าหนดให z1 = 3 , z2 = -2i, z3 = 3 - 2i, z4 = 2, z5 = 5i, z6 = 2 + 5i, z7 = -1, z8 = -4i , z9 = -1 - 4i

69

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน เรอง จ านวนเชงซอน

ค าชแจง ใหนกเรยนเลอกค าตอบทถกทสดเพยง 1 ค าตอบ โดยท าเครองหมาย ลงในกระดาษค าตอบ 1. จ านวนในขอใดไมใชจ านวนเชงซอน ก. (2, 3) ข. 16- ค. (2, 3i)

ง. 2

i53i7

2. พจารณาขอความตอไปนขอใดกลาวถกตอง (a) ถา (3, –2) แลวเขยนใหอยในรป a + bi ได 3 + 2i (b) ถา -5-3i แลวเขยนใหอยในรป (a, b) ได (-5, 3) ก. ขอ (a) และ ขอ (b) จรง ข. ขอ (a) และ ขอ (b) เทจ ค. ขอ (a) จรง และ ขอ (b) เทจ ง. ขอ (a) เทจ และ ขอ (b) จรง 3. สวนจนตภาพของจ านวนเชงซอน 2 - 3i คอขอใด ก. 3i ข. 3 ค. -3 ง. 2 4. ให a เปนจ านวนเตมบวกใด ๆ แลวคาของ ia ia+1ia+2ia+3 ตรงกบขอใดตอไปน ก. –i ข. -1 ค. 1 ง. i

5. ขอใดคอคาของ x และ y จากสมการ (2y, 3) + (x, 2x –y) = (10, 3) ตามล าดบ ก. 1, 2 ข. 2, 3 ค. 2, 4 ง. 4, 2 6. ถา (x, y)(1, -2) = (-7, -16) แลวจ านวนเชงซอน (x, y) คอขอใด ก. (5, 6) ข. (6, 5) ค. (5, -6) ง. (-6, -5) 7. ผลบวกของจ านวนเชงซอน 17 + (5 -7i) + (-9 – 8i) + 4i เทากบขอใด ก. 11 – 13i ข. - 11 – 13i ค. 13 - 11i ง. -13 - 11i 8. ขอใดตอไปนไมถกตอง ก. สวนจนตภาพของจ านวนเชงซอน ( 2 -i)2 คอ -2 2 ข. สวนจนตภาพของสงยคของจ านวนเชงซอน [(4, -9) + (3, -4)] คอ 13 ค. ตวผกผนการบวกของจ านวนเชงซอน (3, -5) คอ -3 + 5i ง. คาของ x และ y ทสอดคลองกบสมการ y2i2 = (1 – x)2i คอ 1 และ -1

70

9. ถา z เปนจ านวนเชงซอน และ1z18=36-z3 แลวคาสมบรณของ z

เทากบจ านวนใด ก. 2 ข. 6 ค. 4 ง. 8 10. ให z1 และ z2 เปนจ านวนเชงซอนใด ๆ และ

1z เปนสงยคของ z1 พจารณาขอความ

ตอไปน

(a) 1z =

1z =

1z-

(b) 21 z+z = 1z +

2z

(c) 21 zz = 1z 2z ขอใดตอไปนถกตอง ก. ขอ (a), (b) ถกตอง ข. ขอ (b), (c) ถกตอง ค ขอ (a), (c) ถกตอง ง. ขอ (a), (b) และ (c) มขอถกเพยงขอเดยว 11. จากกราฟทก าหนดใหคอสมการขอใด ก. 3z =1 ข. 2i-3z = 1 ค. 6iz = 2 ง. z + z = 4

12.ขอใดคอรปเชงขวของ –2 + 2 i3

ก. 4(cos 120 + isin 120 ) ข. 3(cos 120 + isin 120 ) ค. 3 (cos 120 + isin 120 ) ง. 2 (cos 120 + isin 120 )

13. ขอใดคอคาของ

cis2252

cis54083

ก. 3 – 3i ข. –3 – 3i ค. –3 + 3i ง. 3 + 3i 14. ขอใดคอคาของ (1 + i3 )7

ก. –64 + 64 i3

ข. 64 + 64 i3

ค. 64 – 64 i3

ง. –64 – 64 i3

15. ผลคณของรากทสองจ านวนเชงซอน 3 + 4i มคาเทาไร ก. -3 - 4i ข. 3 – 4i ค. -3 + 4i ง. 3 + 4i

71

16. ก าหนดจ านวนเชงซอน z = x + yi รากทสองของจ านวนเชงซอนทก าหนดใหสามาหาไดจากขอใด

ก. 0y:i2

xr+2

x+r± ≥

ข. 0<y:i2

xr+2

x+r±

ค. 0>y:i2

xr2

x+r± -

ง. 0y:i2

xr2

x+r± ≥-

17. รากทสองของ -7 – 24i มคาเทากบขอใด ก. -3 – 4i และ -3 + 4i ข. 3 – 4i และ -3 + 4i ค. 3 – 4i และ 3 + 4i ง. -3 – 4i และ 3 + 4i 18. จงพจารณาขอความตอไปน (a) ถา z1 และ z2 เปนรากของสมการ

z2 + 2z + 4 = 0 แลว 1z

z

2

1

(b) ถา z1 และ z2 เปนรากของสมการ z2 = I แลว 0zz 21 - ขอใดกลาวถกตอง ก. ขอ (a) ถก (b) ผด ข. ขอ (a) ผด (b) ถก ค. ขอ (a) ถก (b) ถก ง. ขอ (a) ผด (b) ผด

19. ผลบวกของรากท 3 ของ 1 มคาเทาใด ก. 0 ข. -1 ค. 1

ง. i23

21

20. x3– 4x2 + 9x – 10 = 0 มเซตค าตอบตามขอใด ก. {2, 2 + i, 2 – i} ข. {2, 1 + 2i, 1 – 2i} ค. {2, –1+ 2i, –1 – 2i} ง. {2, –2 + i, –2 – i}

72

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน เรอง การสรางจ านวนเชงซอน

ค าชแจง ใหนกเรยนเลอกค าตอบทถกทสดเพยง 1 ค าตอบ โดยท าเครองหมาย ลงในกระดาษค าตอบ 1. ขอใดไมใชจ านวนเชงซอน ก. (2, 3 ) ข. (0, 1) ค. (5, 9- )

ง. (23 , )

2. ขอใด ไม ถกตอง ก. 2 4- = 4i ข. 3 16- = 12i ค. 20- = 2 5 i ง. 4 12- = 24i 3. 813 เขยนใหอยในรปของหนวย จนตภาพไดอยางไร ก. 3 – 9i ข. 3 + 9i ค. -27i ง. 27i 4. จ านวนเชงซอน (–8, –7) เขยนใหอยในรป a + bi ไดดงขอใด ก. 8 + 7i ข. 8 – 7i ค. –8 – 7i ง. –8 + 7i 5. 5 + 225- เขยนใหอยในรปของหนวยจนตภาพไดอยางไร ก. 5 – 15i ข. 5 + 15i ค. -20i ง. 20i

6. 50- เขยนใหอยในรปของหนวย จนตภาพไดอยางไร ก. 50i ข. 5 + 10i ค. 25i ง. 2i5 7. ขอใด ไม ถกตอง ก. 5 ไมเปนจ านวนเชงซอน ข. คาของ i ในจ านวนเชงซอน คอ 1 ค. จ านวนเชงซอน (1, 3) มสวนจรงเปน 1 และสวนจนตภาพเปน 3 ง. 2 + 6i เปนจ านวนเชงซอนทมสวนจรงเปน 2 และสวนจนตภาพเปน 6 8. คาของ i2520 + i2553 + i2012 เทากบจ านวนในขอใด ก. 1 ข. i – 1 ค. 2 + i ง. 3 9. คาของ i + i2 + i3 + i4 + … + i2501 + i2502 เทากบจ านวนในขอใด ก. 1 ข. i – 1 ค. 2 + i ง. 3 10. ขอใดมคาเปนจ านวนจรง ก. 9i6 ข. 2i11 ค. 4i17 ง. 7 – 5i

ปีการศึกษา 2561 -...

Documents