คณตศาสตริ 1 mathematics1 · map1402 คณิตศาสตร 1 mathematics1...

คณตศาสตร 1Mathematics 1

ธนชยศ จำปาหวาย

สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตรมหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

2561

MAP1402คณตศาสตร 1

Mathematics 1

อาจารย ดร.ธนชยศ จำปาหวายสาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

สารบญ

1 ความเป นมาของแคลคลส 11.1 ยคโบราณ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 ยคกลาง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 ยคใหม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 ลมต 92.1 ลมตของฟงกชน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 ลมตทางเดยว . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 ลมตของฟงกชนตรโกณมต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4 ลมตเกยวกบอนนต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5 ความตอเนอง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 อนพนธของฟงกชน 513.1 อตราการเปลยนแปลงและอนพนธ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2 กฎของอนพนธ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3 กฎลกโซ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.4 อนพนธอนดบสง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.5 อนพนธของฟงกชนเลขชกำลง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.6 อนพนธของฟงกชนตรโกณมต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.7 อนพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.8 อนพนธของฟงกชนทนยามโดยปรยาย . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.9 คาเชงอนพนธ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4 การประยกตของอนพนธ 894.1 คาสดขด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.2 ความเวาและจดเปลยนเวา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.3 การรางกราฟ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.4 อตราสมพทธ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.5 กฎของโลบตาล . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

ก

ข สารบญ

5 ปรพนธ 1155.1 ปฏยานพนธและปรพนธไมจำกดเขต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.2 การหาปรพนธโดยการเปลยนตวแปร . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.3 ปรพนธจำกดเขต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.4 ทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6 เทคนคการหาปรพนธ 1376.1 การหาปรพนธทละสวน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.2 ปรพนธของฟงกชนตรรกยะ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.3 ปรพนธของฟงกชนตรรกยะในรปตรโกณมต . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.4 ปรพนธของฟงกชนในรปกรณฑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576.5 ปรพนธของฟงกชนตรโกณมต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.6 ปรพนธโดยการแทนคาตรโกณมต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

7 การประยกตของปรพนธ 1817.1 พนทระหวางเสนโคง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.2 ปรมาตรของรปทรงตนซงหาพนทภาคตดได . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.3 ปรมาตรของรปทรงตนทเกดจากการหมน . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

8 ปรพนธไมตรงแบบ 2018.1 ปรพนธไมตรงแบบชนดทหนง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018.2 ปรพนธไมตรงแบบชนดทสอง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2058.3 ปรพนธไมตรงแบบชนดผสม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

บทท 1ความเป นมาของแคลคลส

1.1 ยคโบราณรากฐานเรมตนของแคลคลส คอความร เกยวกบการแกปญหาการวด หลกฐานทคนพบ

มอายกอนครสตศกราช เช น บนทกบนกระดาษปาปรส (Papyrus) ของชาวอยปตโบราณ บนทกบนแผนดนเหนยวของชาวบาบโลน แตกยงไมทราบแนชดวาคนสมยนนไดความรเหลาน มาไดอยางไร เช น ในบนทกของอาเมส (Ahmose, 1680 - 1620BC, Egypt) ช วาชาวอยปต โบราณมความรวา ปรมาตรของพระมดฐานสเหลยมจตรสเปน 1/3 เทาของปรมาตรของปรซมท มฐานเดยวกนและสงเทากน

สมยกรกโบราณ เปนยครงเรองของการใชตรรกวทยาในการแสวงหาความร ม บนทกถงความรของนกปรชญาชาวกรกหลายชน แตท อาจนบไดวาเปนจดเรมตนของแคลคลสในยคนไดแก The Method of Exhaustion

ตวอยางเช น การหาพนทของรปวงกลม เรมจากสรางรปหลายเหลยมแนบในวงกลม โดยสงเกตไดวา หากจำนวนเหลยมมากขน ผลตางของพนทของรปทงสองจะหมดไป นำเสนอโดยแอนตฟอน ( Antiphon the Sophist, 480 - 411BC, Greece) แตกมขอแยงในเชงปฏบตวาเราจะสามารถสรางรปหลายเหลยมใหมจำนวนเหลยมไดมากมายแคไหนกน

1

2 บทท 1. ความเปนมาของแคลคลส

คนกรกโบราณเปนผทยดมนกบความรและการใหเหตผลทางตรรกะทตองรดกมเขมงวด ขอแยงหนงทเกดขนตอ The Method of Exhaustion เช น รปหลายเหลยมกคอรปหลายเหลยม รปวงกลมกคอรปวงกลม กระบวนการทจะทำใหรปหลายเหลยนปรบเปลยนไปเปนรปวงกลม มนสมเหตสมผลหรอไม หรอกลาวอกนยหนงวา มผทปฏเสธการแบงขนาด ไมวาจะเปน ความยาวพนท ปรมาตร หรอเวลา อยางไมจำกด ตวอยางของขอปฏเสธน เช น จากผลงานของ ซโนแหงอเลย (Zeno of Elea, 490 – 430BC, Italy) ผทไดเสนอขอความทขดแยงกบสามญสำนกทวไปหรอปฏทรรศ ซงปฏทรรศของซโน (Zeno’s paradoxes) ขอน ช จดบกพรองทางตรรกะ หากเราสามารถแบงขนาดไดอยางไมจำกด

ปฏทรรศของซโนไดนำไปสแนวคดของสงทเรยกวา ขนาดทแบงยอยไมไดอก (infinitesimals)ซงตอมา ลซปปส (Leucippus, 480 - 420BC, Turkey) และเดโมครตส (Democritus, 460 -370BC, Greece) ไดขยายแนวคดน เพอเสนอแนวคดท วา " ขนาดจะประกอบไปดวย อนภาคมลฐานทแบงยอยไมได (indivisible elements หรอ atom) จำนวนจำกดจำนวนหนง "

อารสโตเตล (Aristotle, 384 – 322BC, Greece) ไดใชหลกการเดยวกนน ไปเขยนถง เสนท แบงยอยไมไดอก (indivisible line) แตแนวคดของ ขนาดทแบงไมได น กไมมความรดกมพอทจะนำไปใชในการใหเหตผลทางคณตศาสตร เพอหลกเลยงขอขดแยงทางตรรกะและการใชแนวคดของขนาดทแบงยอยไมไดอกโดยตรง ยโดซส (Eudoxus of Cnidus, 390 - 340BC, Turkey)จงไดปรบปรงการใหเหตผลเกยวกบ The Method of Exhaustion ใหมความรดกมมากขน โดยอาศยความรทางเรขาคณตชวยในพจารณาขนาดทแบงไมไดอกในทางออม โดยพจารณาผานอตราสวนของขนาดทวดไดทางเรขาคณต ซงตอมาภายหลงความรเหลาน ไดปรากฎในผลงานของ ยคลด (Euclid of Alexandria, 365 – 275BC, Egypt)

การแบงยอยเซกเมนตของพาราโบลาออกเปนรปสามเหลยมไดเปนจำนวนอนนตตามแนวคดของอารคมดส

ผทใชความรจากระเบยบวธน จนไดผลงานทถอไดวามแนวคดใกลเคยงกบแนวคดของการหาปรพนธ ในแคลคลสท ทราบกนแลวในปจจบนคอ อารคมดส (Archimedes, 287 – 212BC,

1.2. ยคกลาง 3

Italy) ตวอยางผลงานทเดนซงทำใหแนวคดของกระบวนการเขาถงคาจรงอยางไมจำกดชดเจนยงขน ไดแก วธการหาพนททป ดลอมดวยพาราโบลาตดกบเสนตรง หรอเรยกวา เซกเมนตของพาราโบลา (The quadrature of parabola)

จากกระบวนการสรางขางตน ทำใหทราบวาพนท ของเซกเมนต ของพาราโบลาจะเปน 4/3เทาของพนท ของรปสามเหลยมรปแรกทสรางใหแนบในเซกเมนต ของพาราโบลานน (ซงตอมาทราบวาเปนผลบวกของอนกรมเรขาคณตอนนต ทมอตราสวนรวมเปน 1/4) อารคมดส ยงไดพฒนาตอยอดระเบยบวธเพอใชหาพนทผวและปรมาตรของทรงเรขาคณตแบบตาง ๆ จนไดระเบยบวธทตอมาเรยกวา The method of Archimedes หรอ Method of equilibrium โดยมแนวคดของแบงยอยทรงเหลานนออกเปนแผนบาง ๆ ตามแนวศนย ถวง แลวหาผลบวกของขนาดของแผนบาง ๆ เหลานน ถงแมจะไมมคณตศาสตรท รดกมรองรบ แตถอวาเปนภาพแสดงแนวคดคราว ๆ ของการหาปรพนธในแคลคลสททราบในปจจบน

1.2 ยคกลางในยคน การพฒนาแคลคลสไมมการกาวกระโดดมากนก แนวคดและวธการสวนใหญยงอง

อย กบการวด การเขยนกราฟ และการแบงระนาบออกเปนหนวยเลกๆ ทไมสามารถแบงไดอก ตอเนองมาจนถงครสต ศตวรรษท 16 เมอวศวกรรมศาสตร เครองกลมความตองการทจะใชคณตศาสตรท รดกมในการแกปญหาเกยวกบจดศนยถวง ผลงานทเกยวของกบการพฒนาแนวคดของแคลคลสลำดบไดดงน

• วาเลรโอ (Luca Valerio, 1553-1618, Italy) ไดตพมพผลงานทไดรบแรงบนดาลใจมาจากThe method of Archimedes ภาพแสดงแนวคดของปรพนธในแคลคลสเรมชดขน

• เคปเลอร ( Johannes Kepler, 1571 - 1630, Germany)ไดพฒนาวธการหาพนทของเซกเตอรของวงรโดยพจารณาวาพนทเปนผลรวมของเสน

• คาวาลเอร (Bonaventura Francesco Cavalieri, 1598 - 1647, Italy) ไดขยายแนวคดใหชดเปนระเบยบวธทเรยกวา Method of indivisible โดยมองวา เสนตรงประกอบดวยจดเปนจำนวนอนนต พนทผวประกอบดวยเสนจำนวนอนนต และปรมาตรประกอบดวยพนทผวจำนวนอนนต

ทำใหไดเทคนคการหาพนท ของรปสามเหลยมมมฉาก โดยการแบงยอยพนท ออกเปนสวนประกอบเลกๆ เกอบเปนเสน แลวหาผลรวมของเสนเหลาน ซงแนวคดน คลายกบทชาวกรกโบราณไดเสนอไว แตวธคดแบบใหมน มการใหเหตผลทางคณตศาสตรท รดกมกวารบรอง ซงจากการพจารณาปญหาขางตน สามารถแปลงไปเปนปญหาของการหาคาของนพจน

0 + 1 + 2 + 3 + · · ·+ n

n(n+ 1)


ซงเมอใหจำนวนเตมบวก n มคามากขน นพจนดงกลาวจะมคาเขาใกล 1/2 และปญหาในทำนองเดยวกนในสามมต ระเบยบวธดงกลาวใหเทคนคการหาปรมาตรของกรวย และสามารถแปลงปญหามาเปนการพจาณาหาคาของนพจน

02 + 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2

n2(n+ 1)

ซงเมอใหจำนวนเตมบวก n มคามากขน นพจนดงกลาวจะมคาเขาใกล 1/3โรแบรวาล (Gilles Personne de Roberval, 1602 - 1675, France) ไดพจารณาปญหาทำนอง

เดยวกบ คาวาลเอร จนไดปญหาของการหาคาของนพจน0m + 1m + 2m + 3m + · · ·+ (n− 1)m

nm+1

และพบวานพจนน มคาเขาใกล1

m+ 1

เมอใหจำนวนเตมบวก n มคามากขน สำหรบจำนวนเตมบวก m ใด ๆแฟรมา (Pierre de Fermat, 1601 - 1665, France) ไดขอสรปเช นเดยวกบ โรแบร วาล

และนอกจากน ยงสามารถขยายบทพสจนเพอแสดงวา m สามารถเปนไดทงจำนวนเตมลบหรอเศษสวน จะเหนวาการพจารณาใหจำนวนเตมบวก n มคามากขนไดและทำไดอยางไมจำกดเปนตวอยางการอางองความรทางคณตศาสตรท รดกมและเขมงวดกวา ในการยนยนแนวคดของกระบวนการ การเขาถงคาแทจรงของผลเฉลยอยางไมจำกด ผลงานของแฟรมาทถอวามบทบาทสำคญตอการพฒนาแนวคดของแคลคลสแบบกาวกระโดด ซง ลากรองช (Joseph LouisLagrange, 1736 - 1813, France) ถงกบยกยองใหแฟรมาวาเปนผคดคนแคลคลสแนวใหม ไดแก" การแกปญหาคาสงสดหรอตำสดโดยอาศยความรทางเรขาคณต ซงใหหลกการแปลงปญหาไปเปนการแกปญหาเกยวกบ การหาจดบนเสนโคงททำใหเสนสมผสเสนโคง ณ จดนนขนานกบแกนนอน "

ความรเกยวกบ เสนสมผสเสนโคง (tangent line) ปรากฏนานแลว ดงจะเหนไดจากผลงานของ แปปปส (Pappus of Alexandria, 290 - 350AD, Greece) และในยคกลางน จากผลงานของ โอเรสเม (Nicolas Oresme, 1323 - 1382, France) ทำใหทราบวา คาตำสดหรอสงสงของเสนโคงจะอยบรเวณทมการเปลยนแปลงคาของตวแปรชาทสด จากจดน ถอไดการพฒนาแคลคลสเรมอยบนรากฐานแขนงของคณตศาสตร ท เรยกวา เรขาคณตวเคราะห โดยความรทางคณตศาสตรของความชนของเสนสมผสเสนโคง สามารถนำมาอธบายไดอยางรดกมถงแนวคดของ อตราสวนของสองขนาดทไมสามารถแบงแยกไดอก ซงปรากฏอยในระเบยบวธท แรกเรมทเสนอโดยชาวกรกโบราณ จากหลกฐานการตดตอแลกเปลยนความรกบ เรอเน เดสการตส (René Descartes, 1596 - 1650, France) ทำใหทราบวา แฟรมา ไดเสนอ " หลกการของการแกปญหาคาตำสดหรอคาสงสดวาเปนการแกสมการเพอหาจดททำใหความชนของเสนสมผสเสนโคงเปนศนย "

เรมมผลงานทเกยวกบการพฒนาแคลคลสตอจากแฟรมามากขน ซงผลงานหลายชนไดม

1.2. ยคกลาง 5

สวนในการพฒนาแคลลสแบบคขนานของนวตนและไลบ นตซ (ทงสองท ไดช อรวมกนวาเปนผประดษฐ แคลคลส ถงแมจะพฒนาความรทางแคลคลสอยางอสระตอกน แตมหลกฐานเชอมโยงบคคลทงสองในทางออม ซงเปนจดหมายโตตอบความรระหวางเพอนรวมงานของบคคลทงสอง โดยพบวาเพอนรวมงานของทงสองหลายคนเปนนกคณตศาสตรคนเดยวกน บคคลเหลานน เช น

• บวเนอร ( Florimond de Beaune, 1601-1652, France) ไดขยายแนวคดวธของเดการตเกยวกบเรขาคณตวเคราะห เพอพจารณาปญหาเกยวกบเสนสมผสเสนโคงผานทางปญหาของการหารากซำของสมการพหนาม

• ฮดเด (Johann van Waveren Hudde, 1628 - 1704, the Netherlands) ไดปรบปรงวธการทบวเนอรใช ใหงายลง จนไดเปน กฎของฮดเด (Hudde’s rule) โดยกฎน แสดงความสมพนธระหวางรากซำและสงทตอมาเรยกวา อนพนธของฟงกชนพหนาม ทงระเบยบวธทางเรขาคณตวเคราะของเดการตท บวเนอร ใชและกฎของฮดเดได มส วนสำคญในการพฒนาผลงานทางแคลคลสของนวตน

• ไฮย เคนส (Chistiaan Huygens, 1629 – 1695, Netherlands) มผลงานทเปนแรงจงใจใหไลบนตซพฒนาแนวทางการเขาถงแนวคดของแคลคลสไดงายขน

• แบร โรว (Isaac Barrow, 1630 – 1677, England) เปนอกบคคลหนงท มอทธพลตอการพฒนาผลงานของนกคณตศาสตรรนถดมาโดยเฉพาะไลบนตซ แบร โรว เสนอระเบยบวธการพจารณาเสนสมผสเสนโคง วาเปนลมตของลำดบของเสนตดเสนโคง (secant lines) มแนวคดโดยสงเขปดงน " ถาเรมจากเสนตดเสนโคงเสนหนง จะไดสองคอนดบของจดตดเหลานนในระบบพกดฉาก ใหสรางเสนตดเสนโคงเสนใหมซงมคอนดบของจดตดเสนโคงทงสอง โดยทคาสมบรณของผลตางของพกดทหนงทมคานอยกวาเดม ดำเนนกระบวนการสรางน ไปเรอย ๆ โดยใหคาสมบรณของผลตางของพกดท หนงมคาเขาใกลศนย ในทางเรขาคณตอาจถอไดวา กระบวนการสรางน ใหลำดบของเสนตดเสนโคงท มลกษณะใกลเคยงกบเสนสมผสเสนโคงมากขน "

Barrow’s differential triangle, History Of Mathematics Vol II (1925), p.690


มความเปนไปไดวาทงนวตนและไลบนตซไดศกษาผลงานน และไดรบคำแนะนำจากแบรโรวใหพฒนาผลงานของตน บทพสจนแสดงภาพแนวคดของกระบวนการขางบนหลายอน มรปสามเหลยมคลายๆ กบรปดานลาง ซงตอมาเรยกชอวา Barrow’s differential triangle ผลงานชนหนงของ ปาสกาล (Blaise Pascal, 1623 – 1662, France) กมรปสามเหลยมลกษณะเดยวกนทเปนแนวทางใหไลบนตซพฒนาทฤษฎบทของตวเอง

แบรโรว และตรรเชลล (Evangelista Torricelli, 1608 – 1647, Italy) ศกษาปญหาของการเคลอนทดวยอตราเรวทแปรผน พบวาการดำเนนการทตอมาเรยกวาอนพนธของระยะทางน จะไดความเรว และถาดำเนนการผกผนกระบวนการดงกลาวจากความเรวจะไดระยะทาง แบรโรวรบรถงสองกระบวนการทผกผนซงกนและกนซง (ตอมาทราบกนวาคอ อนพนธและปรพนธในแคลคลส) แตกไมไดประโยชนจากความรน มากนก แตกมอทธพลใหนวตนเสนอทฤษฎบทหลกมลของแคลคลสในเวลาตอมา ในอกทางหนงผลงานเดยวกนของแบรโรว บทพสจนทเกยวของกบ Barrow’s differential triangle ไดใหแนวคดแกไลบนตซในการประดษฐสญลกษณ

dy

dx

เพอแทนสงท สบทอดมาจากชาวกรกโบราณ นนคอ ขนาดทแบงยอยไมไดอก และไดใหกฎการดำเนนการเกยวกบสญลกษณ เหลาน ทำใหการศกษาแนวคดของแคลคลสทำไดงายและสามารถตอยอดออกไปอยางทเราไดใชอยในปจจบน

1.3 ยคใหม

รปท 1.1: Sir Isaac Newton

นวตน (Sir Isaac Newton, 1643-1727, England)ท ไดช อวาเปนผ กอกำเนดแคลคลสเพราะวามผลงานทสำคญมากมายตอการพฒนารากฐานของแคลคลสดง จะ เหน ได จาก ผล งาน ท รวบรวม ไว ใน หนงสอ ชอชด Principia ตวอยาง ผล งาน ท ได กลาว มา แลว เช นการ เสนอ ทฤษฎบท หลก มล ของ แคลคลส เพอ แสดงกระบวนการทผกผนกนของอนพนธและปรพนธตามทแบร โรว ไดสงเกตเหน โดยนวตนไดใชประโยชนจากวธการน ในการแกปญหาทางอนพนธ (ซงตอนนนเรยกวาMethod of tangents) และนำไปแกปญหาทางปรพนธ(ซงตอนนนเรยกวา Method of quadrature) ในผลงานMethod of Fluxions ทนวตนไดศกษาเกยวกบการเคลอนท มการใชแนวคดของ ขนาดทแบงยอยไมไดอก เช นกน ซงนวตนใชสญลกษณ

x

แทน fluxion ของ x และx

1.3. ยคใหม 7

(ความเรง) แทน fluxion ของ fluxion ของ x (เทยบไดกบอนพนธอนดบหนงและอนพนธอนดบสองททราบในปจจบน) แตระบบการดำเนนการเกยวกบสญลกษณทนวตวใชมความคลมเครอเขาใจยากกวาของระบบสญลกษณทไลบ นตซเสนอ ในผลงาน Tractatus de Quadratura Curvarumนวตนไดใหระเบยบวธคดเกยวกบลมตเปนศนย และการใชอนกรมกำลงแทนฟงกชนททราบกนในปจจบน

รปท 1.2: Gottfried Wilhelm Leibniz

ไลบนตซ (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716,German) นอกจากจะประดษฐระบบสญลกษณทใชงายกวาสำหรบศกษาแนวคดของอนพนธ (ตามแนวคดท ได จากบทพสจน ของแบร โรว ท กลาวแลวขางตน) ยงประดษฐ ระบบสญลกษณท ใชแทนแนวคดของปรพนธโดยใช ∫เปนสญลกษณแทนการบวกของ ขนาดทแบงยอยไมไดอก ดงท ไดระบในระเบยบวธท คาวาลเอรเสนอ ในผล

งานชนหนง ไลบนตซไดเขยนสมการทคนเคยในปจจบน ไดแก∫y dy =

1

2y2

เปนจดเรมตนของแคลคลสเชงปรพนธ ซงสมยนนไลบนตซใชช อวา calculus summatorius หรอcalculus integralis ในเวลาตอมา ระบบสญลกษณของอนพนธและปรพนธทเสนอโดยไลบนตซไดรบความนยมและใชกรอยางแพรหลาย ตามทเหนจนถงปจจบน

การพฒนาแคลคลสในครสตศกราชท 19 ยงองรากฐานทางคณตศาสตรจากผลงานทสำคญของนวตนและไลบนตซ มทงทอยบนความร แบบสถต (static phase) เช น จากความรในเรองการวด แตยงมการพฒนาแคลคลสโดยอาศยคณตศาสตรของ infinitesimals ซงตกทอดมาจากชาวกรกโบราณ และสงทปรบปรงใหรดกมกวาของคาวาลเอร ทช อ indivisible และอกรากฐานบนความรแบบพลวต (dynamic phase) เช น การเคลอนทของจดในปญหาของเสนสมผสเสนโคง

แตกมผ ช ให เหนถงจดออนของการให เหตผลทางตรรกในผลงานของนวตนและไลบ นตซเช น เบอรคเลย (George Berkeley, 1685 – 1753, England) จากผลงาน Analyst จากจดนทำใหแคลคลสตองแสวงหารากฐานความรทรดกมกวาเพอมารองรบแนวคด ถอไดวาเปนช วงท รากฐานของแคลคลสไดขยบมาอยบนแขนงคณตศาสตร ท เรยกวา คณตศาสตร วเคราะห(Analysis)


รปท 1.3: Augustin-Louis Cauchy

ผทมบทบาทสำคญในการเสนอความรทางคณตศาสตรท จะ เปนรากฐานท รดกม เขม งวดกวา ให กบแคลคลสคอ โคช (Baron Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857,French) นกคณตศาสตรชาวฝรงเศษนนเอง และความรทางคณตศาสตรทเปนรากฐานดงกลาวคอ แนวคดของลมตของฟงกชน ซงภายหลงไดมบทนยามของลมตของฟงกชนทมความรดกมยงขนอก อยางเช น การเสนอใหเขาถงแนวคดของลมตโดยใชแนวคดของ

{ε, δ}

ซง เสนอ โดย ไวแยรสตราสต (Karl Weierstrass, 1815 – 1897, Germany) และ เชอ วา ยงความจำเปนพฒนาแนวคดของแคลคลสใหอยบนรากฐานแนวคดของคณตศาสตรทสามารถใหเหตผลไดรดกม เขมงวด และขยายใหครอบคลมปญหาตางๆ ทจะเกดขนจากความจำเปนตองพฒนาความรดานวทยาศาสตรและวศวกรรมศาสตร ขนสง เพอตอบสนองการแสวงหาความรใหมของมนนย ทไมมทส นสด

บทท 2ลมต

2.1 ลมตของฟงกชนพจารณาฟงกชน

f(x) =

2− x2 เมอ x < 1

2 เมอ x = 1

2x− 1 เมอ x > 1

แสดงไดดงกราฟ

X

Y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

คำควณคาฟงกชน f(x) เมอคาของ x ใกล ๆ 1 สำหรบบางคาดงตารางตอไปน

x f(x) x f(x)

0.5 1.75 1.5 2

0.8 1.36 1.4 1.8

0.9 1.19 1.1 1.2

0.99 1.0199 1.01 1.02

0.999 1.001999 1.001 1.002

0.9999 1.00019999 1.0001 1.0002

0.99999 1.0000199999 1.00001 1.00002

9

10 บทท 2. ลมต

เมอพจารณา f(x) จากตารางจะเหนวา f(x) มคาเขาใกล 1 ไมวาเมอใหคา x จะเขาใกลลกษณะx < 1 หรอลกษณะ x > 1 ในกรณเช นน เราจะกลาววา ลมตของฟงกชน (limit of function)f(x) ขณะ x เขาใกล (approach) 1 มคาเทากบ 1 เขยนแทนดวย

limx→1

f(x) = 1

เมอพจารณาคาของ limx→a

f(x) เราตองพจารณาคาของ f(x) ทจดอน ๆ ใน Dom(f) ทอยใกล ๆ a ดงนนการหาลมตทจด a ตองมคาอน ๆ ใกล ๆ จด a ใหพจารณาเสมอ เราเรยกจด a

ลกษณะน วา เปนจดลมต (limit point) ของ Dom(f)

ตวอยาง 2.1.1 จงพจารณาวาจด a เปนจดลมตของเซตตอไปนหรอไม

1. (−1, 3) เมอ a = 0

2. (0, 3) เมอ a = 3

3. [1, 4] เมอ a = 1

4. (1, 2) ∪ {3} เมอ a = 3

บทนยาม 2.1.2 ให f : D → R เมอ D ⊆ R และ a เปนจดลมตของ D แลวlimx→a

f(x) = L เรยกวาลมตของ f(x) ขณะ x เขาใกล a เทากบ L

กตอเมอ ∀ε > 0 ∃δ > 0∀x ∈ D, 0 < |x− a| < δ → |f(x)− L| < ε

X

Y

y = f(x)

L+ ε

L

L− ε

a+ δaa− δ

2.1. ลมตของฟงก ชน 11

ตวอยาง 2.1.3 จงลมตตอไปน โดยใชนยาม1. lim

x→1x 2. lim

x→2(2x+ 1)

ทฤษฎบท 2.1.4 ให a เปนจดลมต c เปนคาคงตว และ n ∈ N จะไดวา1. lim

x→ac = c 2. lim

x→ax = a 3. lim

x→axn = an

ทฤษฎบท 2.1.5 ให f, g เปนฟงกชนจาก D ไป R เมอ D ⊆ R โดยท a เปนจดลมตของ D

ถา limx→a

f(x) = L และ limx→a

g(x) = M เมอ L,M ∈ R แลว1. lim

x→a[f(x) + g(x)] = lim

x→af(x) + lim

x→ag(x) = L+M

2. limx→a

f(x) · g(x) = limx→a

f(x) · limx→a

g(x) = LM

3. limx→a

f(x)

g(x)=

limx→a

f(x)

limx→a

g(x)=

L

Mเมอ M = 0

4. limx→a

Cf(x) = C limx→a

f(x) = CL เมอ C เปนคาคงตว5. lim

x→a|f(x)| = | lim

x→af(x)| = |L|

6. limx→a

(f(x))n =(

limx→a

f(x))n

= Ln เมอ n ∈ N

7. limx→a

n√

f(x) = n

√limx→a

f(x) =n√L เมอ n ∈ N และ n

√L ∈ R

ตวอยาง 2.1.6 จงหาคาลมตตอไปน

1. limx→1

(2x2 − 3x+ 4)

2. limx→−1

(2− x)(3 + x)

3. limx→0

x+ 1

x− 1

4. limx→1

x√x+ 1

5. limx→2

(|x| − x)

6. limx→−1

x+ |x|x− |x|



1. limx→1

x2 − 1

x− 1

2. limx→2

x2 + x− 6

x− 2

3. limh→0

(3 + h)2 − 9

h

4. limx→−2

x4 − 16

x+ 2

5. limx→1

x4 − 1

x3 − 1

6. limx→−3

x3 + 27

x+ 3


ตวอยาง 2.1.8 จงหาคาลมตของ limx→1

x3 − 2x2 + 3x− 2

1− x2

ตวอยาง 2.1.9 จงหาคาลมตของ limx→−2

x4 − 13x2 + 36

x2 + 2x


22x − 2x+1 + 1

2x − 1



1. limx→0

(1

x− 1

x2 + x

)

2. limx→0

1 + 1x

1− 1x

ตวอยาง 2.1.12 จงหาคาลมตของ limx→−3

2|x+ 1| − |1− x|x2 − 9

ตวอยาง 2.1.13 ให f(x) เปนฟงกชนพหนามโมนกดกรสอง ถา limx→0

f(x)

x= 2 จงหาคาของ f(3)


ตวอยาง 2.1.14 จงหาคาลมตตอไปน1. lim

x→1

x− 1√x− 1

2. limx→−2

√x+ 3− 1

x+ 2

3. limx→0

4−√16 + x

x

4. limx→0

x√1 + 3x− 1



1. limt→0

√t2 + 9− 3

t2

2. limx→−2

x2 − x− 6√4x2 + 9− 5

3. limz→1

z2 − 1√1− z


√1 + x−

√1− x√

2x+ 1− 1



x→1

x− 13√x− 1

2. limx→−1

3√2x+ 1 + 3

√2 + x

x+ 1

3. limx→−8

3√x+ 2√

1− x− 3



3√x2 − 3

√4

x− 2


x3√x+ 8 + 3

√x− 8


แบบฝ กหด 2.11. จงแสดงคาลมตตอไปน โดยใชนยาม

1.1 limx→1

1− x 1.2 limx→−1

2x 1.3 limx→2

x+ 1

3

2. จงแสดงคาลมตตอไปน

2.1 limx→0

(x− 1)√2 + x 2.2 lim

x→3

|x|+ x

x2 − 12.3 lim

x→−2

3√x+ 1

x+ 1

3. จงหาคาลมตตอไปน

3.1 limx→1

x2 − x

x3 − x− 2

3.2 limx→2

x2 − 2x

x2 − x− 2

3.3 limx→−4

x2 + 5x+ 4

x2 + 3x− 4

3.4 limx→−1

2x2 + 3x+ 1

x2 − 2x− 3

3.5 limx→1

x3 − 2x2 + 3x− 2

x− 1

3.6 limx→−2

2x2 + 3x− 2

3x3 + 6x2 − 2x− 4

3.7 limx→−1

x73 + x

43 − 2x

13

x43 + 2x

13

3.8 limt→1

t4 − 1

t3 − 1

3.9 limx→1

x6 − 1

x10 − 1

3.10 limx→−2

x+ 2

x3 + 8

3.11 limx→2

2x2 − 8

x3 − 2x− 4

3.12 limx→−4

1x+ 1

4

x+ 4

3.13 limx→7

x−3 − x−2 + 7x−1 − 1

7− x

3.14 limx→−4

8x−3 + 2x−2 − 4x−1 − 1

x+ 4

3.15 limt→3

t2 − 9

2t2 + 7t+ 3

3.16 limx→−1

x2 + 2x+ 1

x4 − 1

3.17 limt→0

(1

t− 1

t2 + t

)3.18 lim

h→0

(3 + h)−1 − 3−1

h


4.1 limx→3

x3 − 27√x− 2− 1

4.2 limu→2

√4u+ 1− 3

u− 2

4.3 limx→2+

√x− 2− 2√x− 1

4.4 limx→−4

√x4 + 9x2 + 5x

x+ 4

4.5 limx→1

x3 − 1√x− 1

4.6 limh→0

(−5 + h)2 − 25

h

4.7 limx→0

√3 +

√4− x−

√5

x

4.8 limx→0

√3 + x−

√3

x

4.9 limx→16

4−√x

16x− x2

4.10 limx→−8

√1− x− 3

x− 4 3√x

4.11 limx→−4

√x2 + 9− 5

x+ 4

4.12 limt→0

(1

t√1 + t

− 1

t

)



5.1 limx→1

3√x− 1√x− 1

5.2 limx→−1

3√7− x− 2√x+ 2− 1

5.3 limx→1

3√x2 − 2 3

√x+ 1

(x− 1)2

5.4 limx→1

3√x− 2− 1

x− 1


6.1 limx→0

32x − 3x+1 + 2

3x − 1

6.2 limx→1

5x+1 − 5x

5x+2

6.3 limx→1

x · 3x − 3x + x− 1

x− 1

6.4 limx→0

52x − 5x+2 + 24

5x − 1

7. จงหาคาลมตตอไปน ในรปตวแปร x

7.1 limh→0

1x+h

− 1x

h

7.2 limh→0

(x+ h)3 − x3

h

7.3 limh→0

3(x+ h)2 − 3x2

h

7.4 limh→1

(x+ h− 1)2 − x2

h− 1

8. จงหาคาลมตของ limx→3

|x2 − 1| − 3x+ 1

|1− x| − 2


(1

1− x− 1

2− 3x+ x2

)


x(x2 − 1)2(x+ 1)2

(x2 − 5x+ 4)(x− x3)


x− 23√x− 1 + 3

√x− 3

12. ให f(x) เปนฟงกชนพหนามโมนกดกรสอง ถา limx→1

f(x)

x2 − x= 5 จงหาคาของ f(4)

2.2. ลมตทางเดยว 21

2.2 ลมตทางเดยวพจารณาฟงกชน f(x) =

√x แสดงไดดงกราฟ

X

Y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

จะเหนวา Dom(f) = [0,∞) และจด 0 เปนจดลมต จะไดวา f(x) มคาเขาใกล 0 เมอคา x เขาใกล 0 ในลกษณะ x > 0 เรยกวา x เขาใกล 0 ทางขวา แตเมอ x เขาใกลคา 0 ในลกษณะ x < 0

เรยกวา x เขาใกล 0 ทางซาย คาของฟงกชน f(x) จะไมมคาในจำนวนจรง ทำใหลมตของ f(x)

มเพยงคาเมอ x เขาใกล 0 ทางขวา เขยนแทนดวย

limx→0+

f(x) = 0

เรยกวา ลมตทางขวามอของ f(x) เมอ x เขาใกล 0 ในทำนองเดยวกนลมตของ f(x) =√−x ท

จด 0 จะมคาเมอ x เขาใกล 0 ทางซายเทานน เรยกคาลมตน วาลมตทางซายมอของ f(x) เมอ x

เขาใกล 0 เรยกลมตทงสองแบบน วา ลมตทางเดยว (One-side limit)บทนยาม 2.2.1 ให f : D → R เมอ D ⊆ R และ a เปนจดลมตของ D ∩ (a,∞) แลว

limx→a+

f(x) = L

เรยกวาลมตทางขวามอ (right-hand limit) ของ f(x) ขณะ x เขาใกล a หรอลมตของ f(x)

ขณะ x เขาใกล a ทางดานขวาเทากบ L กตอเมอ

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D, a < x < a+ δ → |f(x)− L| < ε

X

Yy = f(x)

L+ ε

L

a+ δa


บทนยาม 2.2.2 ให f : D → R เมอ D ⊆ R และ a เปนจดลมตของ D ∩ (−∞, a) แลวlim

x→a−f(x) = L

เรยกวาลมตทางซายมอ (left-hand limit) ของ f(x) ขณะ x เขาใกล a หรอลมตของ f(x)

ขณะ x เขาใกล a ทางดานซายเทากบ L กตอเมอ∀ε > 0∃δ > 0 ∀x ∈ D, a− δ < x < a → |f(x)− L| < ε

X

Yy = f(x)

L

L− ε

aa− δ

ทฤษฎบท 2.2.3 ให f : D → R, D ⊂ R และ a เปนจดลมตของ D ∩ (−∞, a) และ D ∩ (a,∞)

และ L ∈ R แลวlimx→a

f(x) = L กตอเมอ limx→a+

f(x) = L = limx→a−

f(x)

ตวอยาง 2.2.4 จากกราฟของฟงกชน y = f(x)

X

Y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

จงหาลมตตอไปน

1. limx→−4

f(x)

2. limx→−4+

f(x)

3. limx→−2−

f(x)

4. limx→−2+

f(x)

5. limx→−2

f(x)

6. limx→−3

f(x)

7. limx→2−

f(x)

8. limx→2+

f(x)

9. limx→2

f(x)

10. limx→3

f(x)

11. limx→5−

f(x)

12. limx→5

f(x)


ตวอยาง 2.2.5 ฟงกชนซกนม (signum function) เขยนแทนดวย sgn นยามโดย

sgn(x) =

−1 เมอ x > 0

0 เมอ x = 0

1 เมอ x < 0

จงวาดกราฟของฟงกชนซกนม และพจารณาคาของลมตของ sgn(x) ทจด 0

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−3

−2

−1

1

2

3

ตวอยาง 2.2.6 พจารณาคามลต limx→2

f(x) ของฟงกชน

f(x) =

√6− x เมอ 0 < x < 2

4− x เมอ 2 < x < 5

ตวอยาง 2.2.7 พจารณาคามลต limx→4

f(x) ของฟงกชน

f(x) =

√2x+1−3x2−16

เมอ x > 4

3x+ 1 เมอ x ≤ 4


ตวอยาง 2.2.8 จงตรวจสอบลมตตอไปน วามคาหรอไม1. lim

x→0|x| 2. lim

x→0

|x|x

ตวอยาง 2.2.9 จงตรวจสอบ limx→0

x|x| − x

|x|วาลมตมคาหรอไม

ตวอยาง 2.2.10 จงตรวจสอบ limx→−2

|x2 − x− 6|x+ 2

วาลมตมคาหรอไม

ตวอยาง 2.2.11 จงหาลมตของ limx→1−

√(x− 1)2

x− 1


ตวอยาง 2.2.12 จงหาคาลมตของ limx→2−

|x2 − x− 2|2− 3

√x2 + 4

ตวอยาง 2.2.13 จงหาคาลมตของ limx→1−

1√1− x

(1− 2x3

x2 + 1

)

ตวอยาง 2.2.14 ถา limx→0

|5x+ 1| − |5x− 1|√x+ a−

√a

= 80 จงหาคาของ a


ตวอยาง 2.2.15 ฟงกชนจำนวนเตมมากทสด (the greatest integer function) นยามโดย

[x] = จำนวนเตมทมากทสดทนอยกวาหรอเทากบ x

เช น [1.5] = 1, [−1.1] = −2, [3] = 3 จงหาคาลมตตอไปน ถาลมตมคา1. lim

x→1+x+ [x]

2. limx→1−

x+ [x]

3. limx→1

[x] + [−x]

4. limx→0+

[x] + x

x

5. limx→0−

[x] + x

x

6. limx→0−

[x] + 1

x


แบบฝ กหด 2.21. จงหาคาลมตตอไปน ถาลมตมคา

1.1 limx→3

(2x+ |x− 3|)

1.2 limx→−6

2x+ 12

|x+ 6|

1.3 limx→0.5+

2x− 1

|2x3 − x2|

1.4 limx→−2

2− |x|2 + |x|

1.5 limx→0−

(1

x− 1

|x|

)1.6 lim

x→0+

(1

|x|− 1

x

)

2. ให c เปนคาคงตว จงหาคาลมตตอไปน ถาลมตมคา

2.1 limx→0

|2x− 1| − |2x+ 1|x

2.2 limx→0

3√1 + cx− 1

x

2.3 limx→1

[x− 1]

x− 1

2.4 limx→0

x

[1

x

]

2.5 limx→0

[cosx]

2.6 limx→0+

[sinx]

2.7 limx→2

[x] + [−x]

2.8 limx→2

[x]− [−x]

3. กำหนดให f(x) = x2−1

x3−1เมอ x = 1

4− 2x เมอ x = 1

จงตรวจสอบคาของ limx→1

f(x)

4. กำหนดให f(x) =x3 − 2x+ 5 เมอ |x| ≤ 2

x+7x−1

เมอ |x| > 2

จงตรวจสอบคาของ limx→2

f(x) และ limx→−2

f(x)

5. จงหาคาของ limx→1+

|1 + x− x2|√x+ 3− 2

6. จงหาคาของ limx→0−

√x3 + x2 + x

x2

7. จงหาจำนวนจรง k ซงทำให limx→−3

f(x) มคา เมอ f(x) =

2x+ 5 เมอ x < −3

kx2 + 2 เมอ x ≥ −3

8. จงหาจำนวนจรง a และ b ซงทำให limx→0

√ax+ b− 2

x= 1

9. จงหาจำนวนจรง a ซง limx→a

(x3 − 4x2 + x+ 10) = 4

10. ถา limx→1

f(x)− 8

x− 1= 10 จงหา lim

x→1f(x)


2.3 ลมตของฟงกชนตรโกณมตทฤษฎบท 2.3.1 ลมตของฟงกชนตรโกณมตเปนจรงดงน

1. limx→0

sinx = 0

2. limx→0

cosx = 1

3. limx→a

sinx = sina4. lim

x→acosx = cosa

ตวอยาง 2.3.2 จงหาคาลมตตอไปน ถาลมตมคา1. lim

x→0tanx

2. limx→π

cos2xx

3. limx→0

cosx− 1

sinx

4. limx→π

sin2x− sinxcos2x+ cosx

ตวอยาง 2.3.3 จงหาคาของ limx→π

4

(cot3x− 1)(csc2x)1 + cos2x− 2sin2x

2.3. ลมตของฟงก ชนตรโกณมต 29

ทฤษฎบท 2.3.4 The Squeeze Theoremให f, g, h เปนฟงกชนจาก D ไป R เมอ D ⊆ R ถา

g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ทกๆ x ทมคาใกล ๆ a

และ limx→a

g(x) = L = limx→a

h(x) แลว limx→a

f(x) = L

ตวอยาง 2.3.5 จงหาคาลมตตอไปน ถาลมตมคา

1. limx→0

x2sin(1

x

)2. lim

x→0xcos

(2

x

)

ตวอยาง 2.3.6 จงหาคาของ limx→0

sinxcos(πx

)


พจารณากราฟของฟงกชน f(x) =sinxx

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−2

−1

1

2

และคำควณคาฟงกชน f(x) เมอคาของ x ใกล ๆ 0 สำหรบบางคาดงตารางตอไปนx f(x) x f(x)

0.1 0.998334166468282 −0.1 0.998334166468282

0.01 0.999983333416666 −0.01 0.999983333416666

0.001 0.999999833333342 −0.001 0.999999833333342

0.0001 0.999999998333333 −0.0001 0.999999998333333

0.00001 0.999999999983333 −0.00001 0.999999999983333

ทำใหสรปไดวา limx→0

sinxx

= 1 และพสจนไดโดยใช The Squeeze Theorem ดงทฤษฎบทถดไป

ทฤษฎบท 2.3.7 limx→0

sinxx

= 1


1. limx→0

sinxtanx 2. lim

x→0

1− cosxx



x→0

x+ sinxxcosx

2. limx→0

x− tanxsinx

3. limx→0

tanx− sinxx3

4. limx→0

secx− cosxx

32 บทท 2. ลมตบทแทรก 2.3.10 ถา lim

x→au(x) = 0 แลว

limx→a

sinu(x)u(x)

= 1

ตวอยาง 2.3.11 จงหาคาลมตตอไปน ถาลมตมคา1. lim

x→0

sin2xx

2. limx→0

sin24x

5x2

3. limx→0

sin5x− sin3xtanx

4. limx→π

sinxx− π


แบบฝ กหด 2.31. จงหาคาลมตตอไปน ถาลมตมคา

1.1 limx→0

x2sin(x2π

x

)1.2 lim

x→0x2sin

(xπx2

)1.3 lim

x→0tan2xcos

(3

x− 1

)1.4 lim

x→0cosx

√sin2x

1.5 limx→0

√x2 + x3cos

(x+ 1

π

)1.6 lim

x→π

cos3x− cosxsin3x+ sinx

2. จงหาคาลมตตอไปน ถาลมตมคา

2.1 limx→0

tanx4x

2.2 limx→0+

sinx√x

2.3 limx→0

tan3xtan5x

2.4 limx→0

sin5xxcosx

2.5 limx→0

tan5xsin5x

2.6 limx→0

4x

sin3x2.7 lim

x→0

sin2xsin3x

2.8 limx→0

1− cos2x3x

2.9 limx→0

sin4x

x2

2.10 limx→2

sin(12− 6x)

5− 10x

2.11 limx→−3

sin(x+ 3)

x2 + 2x− 3

2.12 limx→π

sinxπ − x

2.13 limx→0

x+ tanxsinx

2.14 limx→0

x2

1− cosx2.15 lim

x→0

x2

1− cos3x2.16 lim

x→0

sin2x+ sinxx

2.17 limx→0

1− cos4xx2

2.18 limx→π

2

sinx− 1

x− π2

2.19 limx→0+

x

1− cos√x

2.20 limx→0

x2cotx

2.21 limx→0

x

x+ sinx2.22 lim

x→0

xsinx1− cosx

2.23 limx→0

sin42x

3x4

2.24 limx→0

x2sin2 1

x

2.25 limx→0

x6cosπx

2.26 limx→0+

√xesin 1

x

2.27 limh→0

sin(x+ h)− sinxh

3. จงหาคาลมตตอไปน ถาลมตมคา

3.1 limx→0

x

xcosx+ sinx3.2 lim

x→0

cos3x− 2cos2x− cosx+ 2

x2

3.3 limx→0

xcosx− sinxx

3.4 limx→0

1− cosxsin2x− cos2xx3

3.5 limx→0

sin5x− sin3xx

3.6 limx→0

sin7x+ sinxcos7x− cosx

4. จงหาคาของ limx→π

sinx1 + cosx

5. ถา f เปนฟงกชนทมโดเมนเปนจำนวนจรง ถา limx→0

f(x)cosx = 0 จงหา limx→0

f(x)


2.4 ลมตเกยวกบอนนตพจารณาฟงกชน f(x) =

2x

x2 + 1แสดงไดดงกราฟ

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−2

−1

1

2

เมอพจารณาหาคาลมตของ f(x) เมอ x มคาเพมขนอยางไมมขดจำกด จะมคาเขาใกล 0เขยนแทนดวย

limx→∞

f(x) = 0

และเมอพจารณาหาคาลมตของ f(x) เมอ x มคาลดลงอยางไมมขดจำกด จะมคาเขาใกล 0เขยนแทนดวย

limx→−∞

f(x) = 0

บทนยาม 2.4.1 ให f : D → R โดยท D = (a,∞) เมอ a เปนคาคงตว แลวlim

x→∞f(x) = L

กตอเมอ ∀ε > 0 ∃N > 0∀x ∈ D, x > N → |f(x)− L| < ε

บทนยาม 2.4.2 ให f : D → R โดยท D = (−∞, a) เมอ a เปนคาคงตว แลวlim

x→−∞f(x) = L

กตอเมอ ∀ε > 0 ∃N < 0∀x ∈ D, x < N → |f(x)− L| < ε

ทฤษฎบท 2.4.3 ให r เปนจำนวนตรรกยะบวก แลว

1. limx→∞

1

x= 0

2. limx→−∞

1

x= 0

3. limx→∞

1

xr= 0

4. limx→−∞

1

xr= 0

2.4. ลมตเกยวกบอนนต 35

ตวอยาง 2.4.4 พจารณาคาของลมตตอไปน

1. limx→∞

3x3 − 4

2x2 + x3

2. limx→−∞

x2 − 4x

x+ x3 + 1

3. limx→∞

x43 − 2

√x

x√x+ 3

√x

4. limx→−∞

10x+ 3√25x2 − 6

5. limx→∞

√x4 + x2 + x

3x2 − 1


ตวอยาง 2.4.5 พจารณาคาของลมตตอไปน1. lim

x→∞

(√x2 + 2− x

)

2. limx→∞

(√x2 + 3x+ 1− x+ 1

)

3. limx→−∞

(√x2 − x+ x

)



x→∞

sinxx2

2. limx→−∞

1

xcosx

3. limx→−∞

x3 − 5sinx7x+ 2x4

4. limx→−∞

xcosx+ x−1 + x−2

1− x2


ทฤษฎบท 2.4.7 ให u(x) เปนฟงกชนคาจรง แลว

1. ถา limx→∞

u(x) = 0 แลว limx→∞

sinu(x)u(x)

= 1

2. ถา limx→−∞

u(x) = 0 แลว limx→−∞

sinu(x)u(x)

= 1

3. ถา limx→∞

u(x) = ∞ แลว limx→∞

arctanu(x) = π

2

4. ถา limx→−∞

u(x) = ∞ แลว limx→−∞

arctanu(x) = π

2


x→∞arctan(x2 + 1)

2. limx→∞

xsin(1

x

)

3. limx→−∞

xsin(πx

)

4. limx→−∞

xsin(

1

x+ 1

)

5. limx→∞

xsin(

π

2x+ 1

)


ทฤษฎบท 2.4.9 ให f เปนฟงกชนคาจรง แลว

1. ถา ∃M > 0, f(x) > 0 ทก ๆ x > M และ limx→∞

1

f(x)= 0 แลว lim

x→∞f(x) = ∞

2. ถา ∃M > 0, f(x) < 0 ทก ๆ x > M และ limx→∞

1


x→∞f(x) = −∞

3. ถา ∃M < 0, f(x) > 0 ทก ๆ x < M และ limx→−∞

1


x→−∞f(x) = ∞

4. ถา ∃M < 0, f(x) < 0 ทก ๆ x < M และ limx→−∞

1


x→−∞f(x) = −∞


1. limx→∞

5x3 − x2 + 3

x2 + x

2. limx→∞

x23 − x

1 + x34

3. limx→−∞

1− x2 − x4

x3

4. limx→−∞

√x2 − x3

x+ 1


บทนยาม 2.4.11 ให f : D → R โดยท D ⊆ R และ a เปนจดลมตของ D แลวlimx→a

f(x) = ∞

กตอเมอ ∀M > 0∃δ > 0 ∀x ∈ D, 0 < |x− a| < δ → f(x) > M

บทนยาม 2.4.12 ให f : D → R โดยท D ⊆ R และ a เปนจดลมตของ D แลวlimx→a

f(x) = −∞

กตอเมอ ∀M < 0∃δ > 0 ∀x ∈ D, 0 < |x− a| < δ → f(x) < M


1. limx→0+

cotx

2. limx→1+

1

x− 1

3. limx→1−

x2 + 1

x− 1

4. limx→2−

1√2− x

ตวอยาง 2.4.14 กราฟของฟงกชน f(x) =x2

x2 − 1แสดงดงน

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

จงหาลมตตอไปน

1. limx→∞

f(x)

2. limx→−∞

f(x)

3. limx→1+

f(x)

4. limx→1−

f(x)

5. limx→−1+

f(x)

6. limx→−1−

f(x)


ทฤษฎบท 2.4.15 ให f : D → R โดยท D ⊆ R และ a เปนจดลมตของ D แลว

1. ถา ∃δ > 0, f(x) > 0 ทกๆ x ∈ (a− δ, a+ δ) ∩D − {a} และ limx→a

1

f(x)= 0 แลว

limx→a

f(x) = ∞

2. ถา ∃δ > 0, f(x) < 0 ทกๆ x ∈ (a− δ, a+ δ) ∩D − {a} และ limx→a

1

f(x)= 0 แลว

limx→a

f(x) = −∞

3. ถา ∃δ > 0, f(x) > 0 ทกๆ x ∈ (a, a+ δ)∩D และ limx→a+

1


x→a+f(x) = ∞

4. ถา ∃δ > 0, f(x) < 0 ทกๆ x ∈ (a, a+ δ)∩D และ limx→a+

1


x→a+f(x) = −∞

5. ถา ∃δ > 0, f(x) > 0 ทกๆ x ∈ (a− δ, a)∩D และ limx→a−

1


x→a−f(x) = ∞

6. ถา ∃δ > 0, f(x) < 0 ทกๆ x ∈ (a− δ, a)∩D และ limx→a−

1


x→a−f(x) = −∞

ตวอยาง 2.4.16 พจารณาคาของลมตตอไปน โดยใชทฤษฎบท 2.4.15.

1. limx→2+

3x+ 1

x2 − 4

2. limx→3−

x2 + x− 4

x2 + 2x− 15

3. limx→1+

1 + x√(1− x)2

4. limx→−1

2 + 3x

(x3 + 1)2

5. limx→1

x− 2

(x2 − 1)2

6. limx→4

x

x2 − 4


แบบฝ กหด 2.41. พจารณาคาของลมตตอไปน

1.1 limx→∞

(1

x 3√x+ 3

)1.2 lim

x→−∞

9 + 5√x

4 + 3√x

1.3 limx→−∞

(2x+ 5)5(x− 8)7

(x3 − 2)2(3x+ 1)4

1.4 limx→−∞

x3 − 3x+ 4

7x+ x2 − 2x3

1.5 limx→∞

x3 + x+ 1

4 + x2 + 3x3

1.6 limx→∞

√3− 8x2

x(x+ 2)

1.7 limx→∞

7x2 − 4

2x4 + x

1.8 limx→−∞

√x2 + 6

2x− 5

1.9 limx→∞

|x2 − 1|x2 + 1

1.10 limx→−∞

x3 − |x||x3 − 2x2 − x+ 2|

1.11 limx→∞

(√x2 + 3x− x

)1.12 lim

x→−∞

(√x2 + x+ 1 + x

)1.13 lim

x→∞

(√x2 + ax−

√x2 + bx

)1.14 lim

x→−∞

(x+

√x2 + 2x

)

1.15 limx→∞

(1

x− 2− 3

x2 − 4

)1.16 lim

x→∞x(x−

√x2 + 4

)1.17 lim

x→−∞

(3√x3 + x− 3

√x3 + 1

)1.18 lim

x→−∞

√x2 + 4− 2

2x+ 3

1.19 limz→−∞

√8 + z2

z + 4

1.20 limx→−∞

√4x2 + 1

x− 1

1.21 limx→−∞

√9x6 − x

x3 + 1

1.22 limx→∞

x3 − 2x+ 1

x2 + 3x− 10

1.23 limx→−∞

3√x3 + 2x− 1

1.24 limx→−∞

x5 + 6x2 − 7x

4x3 − x2 + 1

1.25 limx→−∞

x3 − x+ 6

3x2 − x

1.26 limx→∞

√x6 − x4

x2 + x− 12

1.27 limx→∞

8− x2

√2x2 − x+ 1

1.28 limx→∞

10 +√1 + x2

x

2. พจารณาคาของลมตตอไปน

2.1 limx→0+

arctan(ℓnx)2.2 lim

x→0−e

1x

2.3 limx→−∞

cos ( 1x

)x

2.4 limx→−∞

x

[cos

(1

x

)− 1

]2.5 lim

x→∞arctan(ex)

2.6 limx→∞

x2 + xsinxcos3x− 2x2

2.7 limx→∞

sin2x

x2 + 1

2.8 limx→∞

xsin(2

x

)

2.9 limx→∞

xsin2

(2

x

)

2.10 limx→−∞

cosxsin3xℓn(−x)



3.1 limx→1+

13√x− 1

3.2 limx→2−

x− 3

x3 − 8

3.3 limx→−3−

1√−x− 3

3.4 limx→4+

x− 5

x− 4

3.5 limx→−1+

3√x− 2x+ x

43

x2 − 8x− 9

3.6 limx→1

2x− 3

x2 − 2x+ 1

3.7 limx→−2−

x2 + x+ 4− 3

x2 + x− 2

3.8 limx→−5

x+ 6

x2 + 10x+ 25

3.9 limx→5−

[x]− x

5− x

3.10 limx→3

x2 − 2x+ 6

x2 + 2x− 15


4.1 limx→∞

sinx√x

4.2 limx→∞

sin(x− 1)

3x− 3

4.3 limx→−∞

x2sin(

2

x2

)4.4 lim

x→−∞(x− π)tan

(π

x− π

)


2.5 ความตอเนองในหวขอน จะกลาวถงความตอเนองของฟงกชนซงมความสำคญมากในการศกษาวชาแคลคลส

จะเรมตนจากการพจารณาลกษณะของกราฟตอไปน

X

Y

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−1

1

2

3

4

f1

X

Y

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−1

1

2

3

4

f2

X

Y

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−1

1

2

3

4

f3

จากกราฟเหนไดวาฟงกชน f1 และ f2 ไมมตอเนองท x = 1 แต f3 มความตอเนองท x = 1

บทนยาม 2.5.1 ให f : D → R โดยท D ⊆ R และ a ∈ D แลว f มตอเนองทจด a กตอเมอ1. lim

x→af(x) มคา และ

2. limx→a

f(x) = f(a)

ตวอยาง 2.5.2 จงตรวจสอบวา f มความตอเนองทจด x = a หรอไม

1. f(x) =

3x2 − 2x+ 1 เมอ x = 1

1 + x เมอ x = 1; a = 1

2. f(x) =

|x|+ 3 เมอ x ≤ −1

|x| − 1 เมอ x > −1; a = −1

3. f(x) =

x−2 เมอ x = 0

1 เมอ x = 0; a = 0

4. f(x) = [x] ; a = 1

2.5. ความตอเนอง 45

ตวอยาง 2.5.3 จงตรวจสอบวา f มความตอเนองทจด x = 2 หรอไม

1. f(x) =x2 − x− 2

x− 2 2. f(x) =

x2−x−2x−2

เมอ x = 2

3 เมอ x = 2

ทฤษฎบท 2.5.4 ถา f และ g เปนฟงกชนตอเนองทจด a และ c เปนคาคงตว แลวฟงกชนตอไปนตอเนองทจด a

1. f + g

2. f − g

3. fg

4. cf

5. f

gเมอ g(a) = 0

บทนยาม 2.5.5 ใหฟงกชน f ตอเนองทางขวา (continuous from the right) ทจด a ถาlim

x→a+f(x) = f(a)

และ f ตอเนองทางซาย (continuous from the left) ทจด a ถาlim

x→a−f(x) = f(a)

ถาให I ⊆ Dom(f) จะกลาววาฟงกชน f ตอเนองบนชวง I ถา f ตอเนองทกจด a ∈ I

X

Y

a b

y = f(x)

กรณ I = [a, b]

ตวอยาง 2.5.6 ให f(x) =√1− x2 จงตรวจสอบวา f ตอเนองทจด x = 1 และ x = −1


ทฤษฎบท 2.5.7 ฟงกชนพหนาม (polynomial function) ตอเนองบนจำนวนจรง

ทฤษฎบท 2.5.8 ฟงกชนตอไปนตอเนองบนโดเมนของฟงกชนนน1. ฟงกชนตรรกยะ (rational function)2. ฟงกชนกรณฑ (root functions)

3. ฟงกชนเลขชกำลง (exponential functions)4. ฟงกชนลอการทม (logarithmic functions)5. ฟงกชนตรโกณมต (trigonometric functions)6. ฟงกชนตรโกณมตผกผน (inverse trigonometric functions)

ตวอยาง 2.5.9 จงหาชวงทใหญทสดททำให f ตอเนอง

1. f(x) =

√x+ 1

x− 1

2. f(x) = arcsin(x2 − 1

3

)

3. f(x) =ℓnx+ arctanx

x2 − 1


ทฤษฎบท 2.5.10 ถา f เปนฟงกชนตอเนองทจด b และ limx→a

g(x) = b แลว limx→a

f(g(x)) = f(b)

หรอจะกลาวไดอกอยางคอlimx→a

f(g(x)) = f( limx→a

g(x))

ตวอยาง 2.5.11 จงหาลมต limx→1

arcsin(1−

√x

1− x

)

ตวอยาง 2.5.12 จงหาลมต limx→0

arctan(cos2x− 1

2x2 − x

)

ตวอยาง 2.5.13 กำหนดให k เปนจำนวนจรง โดยท

f(x) =

kx2 + 1 เมอ x > 2

3x− 1 เมอ x ≤ 2

เปนฟงกชนตอเนองบนจำนวนจรง จงหา k

48 บทท 2. ลมตทฤษฎบท 2.5.14 ทฤษฎบทคาระหวางกลาง (The Intermediate Value Theorem: IVT)ให f ตอเนองบนชวง [a, b] และให N เปนจำนวนทอยระหวาง f(a) และ f(b) เมอ f(a) = f(b)

แลวจะไดวาม c ∈ (a, b) ซง f(c) = N

X

Y

a c b

N

f(a)

f(b)

บทแทรก 2.5.15 กำหนดให f ตอเนองบนชวง [a, b] ซง f(a) และ f(b) มเครองหมายตางกนแลวจะไดวาม c ∈ (a, b) ซง f(c) = 0

X

Y

a c b

f(a)

f(b)

ตวอยาง 2.5.16 จงแสดงวา 4x3 − 6x2 + 3x− 2 = 0 มรากคำตอบในชวง [0, 3]

ตวอยาง 2.5.17 จงแสดงวา x5 − x3 − x+ 1 = 0 มรากคำตอบในชวง [−2, 2]


แบบฝ กหด 2.51. พจารณาวาฟงกชนตอไปนตอเนองทจด x = a หรอไม

1.1 a = −2; f(x) =

1x+2

เมอ x = −2

1 เมอ x = −2

1.2 a = 0; f(x) =

ex เมอ x < 0

x2 เมอ x ≥ 0

1.3 a = 1; f(x) =

3x+ 1 เมอ x < −1

2− x3 เมอ x ≥ −1

1.4 a = 1; f(x) =

x2−xx2−1

เมอ x = 1

1 เมอ x = 1

1.5 a = 3; f(x) =

2x2−5x−3x−3

เมอ x = 3

6 เมอ x = 3

2. ฟงกชน f(x) =

√x2 + x เมอ − 4 ≤ x < −1

|x|+ 1 เมอ − 1 < x < 1

1−x2

2x2−5x+3เมอ 1 < x ≤ 4

ตอเนองทจด x = 1 และ x = −1 หรอไม

3. จงขยายโดเมนเพอทำใหฟงกชนตอไปนตอเนองบนจำนวนจรง3.1 f(x) =

x2 + x− 2

x− 1

3.2 f(x) =x3 − 8

x2 − 4

3.3 f(x) =x3 − 2x2 − 4x+ 3

x2 − 2x− 3

4. จงหาคา c ททำใหฟงกชน f ตอเนองบน (−∞,∞) เมอ

f(x) =

cx2 + 2x เมอ x < 2

x3 − cx เมอ x ≥ 2

5. จงหาคา a และ b ททำใหฟงกชน f ตอเนองบน (−∞,∞) เมอ

f(x) =

x2−4x−2

เมอ x < 2

ax2 − bx+ 3 เมอ 2 ≤ x < 3

2x− a+ b เมอ x ≥ 3


6. จงหาชวงทใหญทสดททำให f ตอเนอง

6.1 f(x) =x

x2 + 5x+ 6

6.2 f(x) = x2 +√2x− 1

6.3 f(x) =sinxx+ 1

6.4 f(x) =tanx√4− x2

6.5 f(x) =

√1 +

1

x

6.6 f(x) = arctan(1 + e−x2)

6.7 f(x) = ℓn(1 + cosx)6.8 f(x) = ℓn(sinx− 1

2)

7. จงใชทฤษฎบทคาระหวางกลาง แสดงวามรากคำตอบในชวงทกำหนดให

7.1 x4 + x− 3 = 0, [1, 2]

7.2 3√x = 1− x, [0, 1]

7.3 ex = 3− 2x, [0, 1]

7.4 sinx = x2 − x, [1, 2]

บทท 3อนพนธของฟงกชน

3.1 อตราการเปลยนแปลงและอนพนธพจารณาฟงกชนการเคลอนทของวตถชนดหนงกบเวลาทมสมการเปน s(t) = 2t − 1

4t2 เมตร

และเวลา t ในหนวยวนาท

t

s

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

เมอสนใจความเรวเฉลยของการเคลอนทของวตถนสามารถหาไดจาก

ความเรวเฉลย =ระยะทางทเคลอนทได

เวลาทใชในการเคลอนท

หรออาจเขยนไดเปน

ความเรวเฉลยในช วงเวลา t1 ถง t2 =s(t2)− s(t1)

t2 − t1

เช น ความเรวของการเคลอนทของวตถน ในช วงเวลา 1 วนาท ถง 3 วนาท คอ

ความเรวเฉลยในชวงเวลา 1 ถง 3 =s(3)− s(1)

3− 1= 1 เมตร/วนาท

เราจะใชแนวคดน ในการนยาม อตราการเปลยนแปลงเฉลย (average rate of change) ของฟงกชนอน ๆ ดงนยาม

51

52 บทท 3. อนพนธ ของฟงก ชน

บทนยาม 3.1.1 ให y = f(x) เปนฟงกชน แลว∆y

∆x=

f(x2)− f(x1)

x2 − x1

เรยกวาอตราการเปลยนแปลงเฉลย ของ y เทยบกบ x บนชวง [x1, x2]

ตวอยาง 3.1.2 ให y = f(x) จงหาอตราการอตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x บนชวงทกำหนดให

1. f(x) = x3 − x2 + x บนชวง [−1, 1] 2. f(x) =√x2 + 3 บนชวง [0, 3]

ตอไปเราสนใจ ความเรว ณ ตำแหนงตาง ๆ ทเกดขนจรง ของการเคลอนทเรยกวา ความเรวชวขณะ ตวอยางเช น ความเรว ขณะ t = 2 ของ s(t) = 2t− 1

4t2

t

s

2

1

2

3

4

t

อาจพจารณาจากความเรวเฉลยบนชวง [2, t] เมอ t ใกล ๆ 2 นนคอ t− 2 = ∆t → 0 แลว

ความเรวขณะ t = 2 คอ limt→2

s(t)− s(2)

t− 2

จะไดวา

limt→2

s(t)− s(2)

t− 2= lim

t→2

2t− 14t2 − 3

t− 2= lim

t→2

−14(t2 − 8t+ 12)

t− 2

= limt→2

−14(t− 2)(t− 6)

t− 2= lim

t→2−1

4(t− 6) = 1

ดงนน ความเรวของการเคลอนทของวตถน ขณะ t = 2 เทากบ 1 เมตร/วนาทเราจะขยายแนวคดน ไปยงฟงกชนอน ๆ เรยกวา อตราการเปลยนแปลงขณะใดขณะหนง

(instantaneous rate of change) ของฟงกชน f ดงนยามตอไปน

3.1. อตราการเปลยนแปลงและอนพนธ 53

บทนยาม 3.1.3 ให y = f(x) เปนฟงกชน แลว อตราการเปลยนแปลงขณะใดขณะหนง ของฟงกชน f ทจด x0 นยามโดย

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

ตวอยาง 3.1.4 อตราการเปลยนแปลงขณะใดขณะหนงของฟงกชน f(x) = x2 + x ทจด x = 1

บทนยาม 3.1.5 เสนสมผส (tangent line) กบเสนโคง y = f(x) ทจด P (a, f(a)) ผานจด P

จะมคาความชนเทากบm = lim

x→a

f(x)− f(a)

x− aถาลมตน มคา

และสมการเสนสมผสคอ y = m(x− a) + f(a)

X

Y

a

f(a)y = f(x)

เสนสมผสทจด x = a

ตวอยาง 3.1.6 จงหาสมการของเสนสมผสกบเสนโคง y =2

xทจด P (2, 1)


จากแนวคดอตราการเปลยนแปลงขณะใดขณะหนงของฟงกชน y = f(x) พจารณากราฟ

X

Y

∆x

∆y

x

f(x)

x+∆x

f(x+∆x)

y = f(x)

อตราการเปลยนแปลงของของฟงกชน y = f(x) กบการเปลยนแปลงคาของตวแปรอสระของ x

ในชวง x กบ x+∆x คอ∆y

∆x=

f(x+∆x)− f(x)

∆x

ถา ∆x เขาใกล 0 จะเรยก ∆y

∆xเรยกวาอนพนธของฟงกชน

โดยไลบนซไดใชสญลกษณ dydx

เรยกวา สญกรณไลบนซ (Leibniz notation)และลากรางจไดใชสญลกษณ f ′(x) เรยกวา สญกรณลากรางจ (Lagrange notation)

บทนยาม 3.1.7 ให f เปนฟงกชนคาจรง และ y = f(x) เรยก

lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0

f(x+∆x)− f(x)

∆xถาลมตมคา

วาอนพนธของฟงกชน (derivative of function) ของ f เทยบกบ x หรอกลาววา f มอนพนธ(differentiable) ท x เขยนแทนดวยสญลกษณ

f ′(x) หรอ y′ หรอ Dxf(x) หรอ dy

dxหรอ df

dx

ถา a ∈ Dom(f) แลวอนพนธ f ทจด x = a เขยนแทนดวย f ′(a) หรอ dydx|x=a นนคอ

lim∆x→0

f(a+∆x)− f(a)

∆xถาลมตมคา

ถาให h = ∆x จะไดวาอนพนธของฟงกชนของ f เทยบกบ x คอ

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h

สำหรบอนพนธ f ทจด x = a ถาให x = a+∆x จะได ∆x = x− a ดงนน

f ′(a) = limx→a

f(x)− f(a)

x− a


ตวอยาง 3.1.8 จงหาอนพนธของฟงกชน f(x) = x2 + 3x

ตวอยาง 3.1.9 จงหาอนพนธของฟงกชน f(x) =1

xทจด x = 2

ตวอยาง 3.1.10 จงตราจสอบวาฟงกชน

f(x) =

x2 + 1 เมอ x < 1

2x เมอ x ≥ 1

มอนพนธทจด x = 1 หรอไม


ตวอยาง 3.1.11 จงตราจสอบวาฟงกชนตอไปน มอนพนธทจด x หรอไม1. f(x) = |x| 2. f(x) = x|x|

บทนยาม 3.1.12 ฟงกชนทหาอนพนธไดทก ๆ จดในชวง I ⊂ R แลวเราจะกลาววาฟงกชนนนหาอนพนธไดบนช วง I

ทฤษฎบท 3.1.13 ถา f หาอนพนธไดทจด a แลว f จะตอเนองทจด a

ตวอยาง 3.1.14 จงยกตวอยางคานบทกลบของทฤษฎบท 3.1.13

ตวอยาง 3.1.15 กราฟของฟงกชน y = f(x) บนชวง [−6, 6] ดงกราฟ

X

Y

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

−2

−1

1

2

จงตรวจสอบวาฟงกชน f มอนพนธทจดตอไปนหรอไม1. x = −5

2. x = −3

3. x = −1

4. x = 0

5. x = 1

6. x = 3

7. x = 4

8. x = 5


แบบฝ กหด 3.11. ให y = f(x) จงหาอตราการอตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x บนชวงท

กำหนดให1.1 f(x) = 3x− x2 บนชวง [−2, 2]

1.2 f(x) = cosx บนชวง [0, π]

1.3 f(x) = x|x| บนชวง [−3, 1]

1.4 f(x) =√2x2 − 1 บนชวง [1, 5]

2. จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน

2.1 f(x) =√x 2.2 f(x) = 1− 3x2 2.3 f(x) = 3

√x 2.4 f(x) = x+3

2

3. จงตราจสอบวาฟงกชนตอไปน มอนพนธทจด x = a หรอไม

3.1 f(x) =

x2 − 1 เมอ x > 0

2x− 1 เมอ x ≤ 0; a = 0

3.2 f(x) =

x3 เมอ x = 1

1 เมอ x = 1; a = 1

3.3 f(x) = x|x3| ; a = 0

3.4 f(x) = [x] ; a = −1

4. จงตราจสอบวาฟงกชนตอไปน มอนพนธทจด x = 0 หรอไม

4.1 f(x) =

xsin 1x

เมอ x = 0

0 เมอ x = 04.2 f(x) =

x2sin 1x

เมอ x = 0

0 เมอ x = 0

5. พจารณาอนพนธของ f ทจด x = 1 และรางกราฟของ f เมอกำหนดให

f(x) =

x2 + 1 เมอ x < 1

x+ 1 เมอ x ≥ 1

6. ให a และ b เปนคาคงตว ถาฟงกชน f(x) =

x2 เมอ x ≤ 1

x3 − ax+ b เมอ x > 1

หาอนพนธไดบนจำนวนจรง จงหาคาของ a และ b

7. จงหาสมการเสนสมผสเสนโคงของฟงกชน y = f(x) ทจด x = a

7.1 f(x) = x3 ; a = 2

7.2 f(x) = sinx ; a = π

7.3 f(x) = 1 + x2 ; a = −1

7.4 f(x) =√x+ 1 ; a = 3


3.2 กฎของอนพนธทฤษฎบท 3.2.1 อนพนธของฟงกชนคงตว (Derivative of a constant function)

d

dx(c) = 0 เมอ c เปนคาคงท

ทฤษฎบท 3.2.2 อนพนธของฟงกชนเอกลกษณ (Derivative of the identity function)d

dx(x) = 1

ทฤษฎบท 3.2.3 อนพนธของฟงกชนกำลง (Derivative of a power function)d

dx(xn) = nxn−1 เมอ n เปนจำนวนนบ

บทแทรก 3.2.4 ให n เปนจำนวนตรรกยะ และ xn เปนจำนวนจรงd

dx(xn) = nxn−1

3.2. กฎของอนพนธ 59

ทฤษฎบท 3.2.5 กฎการคณดวยคาคงตว (The constant multiplication rule)d

dx[cf(x)] = c

d

dxf(x)

เมอ f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธได และ c เปนคาคงท

ทฤษฎบท 3.2.6 กฎการบวก (The sum rule)d

dx[f(x) + g(x)] =

d

dxf(x) +

d

dxg(x)

เมอ f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธได

บทแทรก 3.2.7 กฎผลตาง (The different rule)d

dx[f(x)− g(x)] =

d

dxf(x)− d

dxg(x)

เมอ f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธได

ตวอยาง 3.2.8 จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน

1. f(x) = x3 + 3x2 − x+ 4

2. y = 2√x− x+ π

3. f(x) =1

x+

1

x2+

1

x3

4. y =1√x− 3

√x+

√2

60 บทท 3. อนพนธ ของฟงก ชนทฤษฎบท 3.2.9 กฎการคณ (The product rule)ถา f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธได แลว

d

dx[f(x)g(x)] = f(x)

d

dxg(x) + g(x)

d

dxf(x)

ทฤษฎบท 3.2.10 ถา f, g และ h เปนฟงกชนทหาอนพนธได แลว[fgh]′(x) = [f ′gh+ fg′h+ fgh′](x)


1. f(x) = (x+ 1)(x2 − 1) 2. y = (√x− 1)(x3 + 1)

ตวอยาง 3.2.12 ให f(x) = (x− 1)(x− 2)(x− 3) จงหา f ′(0)

3.2. กฎของอนพนธ 61

ทฤษฎบท 3.2.13 กฎการหาร (The quoteint rule)ถา f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธได แลว

d

dx

[f(x)

g(x)

]=

g(x) ddxf(x)− f(x) d

dxg(x)

[g(x)]2เมอ g(x) = 0


1. f(x) =x+ 1

x− 1

2. y =1 + 1

x

1− 1x

ตวอยาง 3.2.15 จงหาจดบนเสนโคง y =x

x2 + 1ทมเสนสมผสขนานกบแกน X


แบบฝ กหด 3.21. จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน

1.1 f(x) = x10 + x7 − x

1.2 f(x) =√x+ 2 3

√x

1.3 f(x) = x−2 − x−1 − 1

1.4 f(x) = (x3 − 1)(2− x− x2)

1.5 f(x) = x5 + 2x+ π2

1.6 f(x) =x− 1

x2 + 1

1.7 f(x) =

√x√

x+ 1

1.8 f(x) =1

x3− 1√

x+ 3

1.9 f(x) =1

x3 + x− 1

1.10 f(x) =x2 − 5x

2x− 1

1.11 y =x2 + x√x+ 1

1.12 y =(x2 − 1)(x3 + x)

x2 + 1

2. ให f(x) = (x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4) จงหา f ′(0)

3. ให f(x) = (x− 1)(x+ 3)

(x− 2)(x+ 1)จงหา f ′(0)

4. จงหาจดบนเสนโคง y = x4 − 6x2 + 4 ทมเสนสมผสขนานกบแกน X

5. ถา f, g, h และ k เปนฟงกชนทหาอนพนธได จงแสดงวา[fghk]′(x) = [f ′ghk + fg′hk + fgh′k + fghk′](x)

6. จงหาอนพนธของ f ทก ๆ จดทมอนพนธ

6.1 f(x) =

x3 + 3 เมอ x < 1

3x+ 1 เมอ x ≥ 16.2 f(x) =

x3 + 1 เมอ x < 1

3x+ 1 เมอ x ≥ 1

7. พจารณาวาฟงกชน g หาอนพนธไดทจดใดบาง พรอมทงรางกราฟ g และ g′

g(x) =

2x เมอ x ≤ 0

2x− x2 เมอ 0 < x < 2

2− x เมอ x ≥ 2

8. กำหนดใหf(x) =

x2 เมอ x ≤ 2

mx+ b เมอ x > 2

จงหาคาของ m และ b ถา f เปนฟงกชนทหาอนพนธไดบนจำนวนจรง

3.3. กฎลกโซ 63

3.3 กฎลกโซ ทฤษฎบท 3.3.1 กฎลกโซ (Chain rule)ถา g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดทจด x และ f หาอนพนธไดทจด g(x) แลวฟงกชนประกอบ f ◦g

หาอนพนธไดทจด x และเขยนแทนดวย (f ◦ g)′ คอ(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x)

เมอกำหนด y = f(u) และ u = g(x) แลวdy

dx=

dy

du· dudx

ตวอยาง 3.3.2 กำหนดให f(x3 + 1) = x3 + x− 1 จงหา f ′(2)

ตวอยาง 3.3.3 กำหนดให f(g(x) + x) = 2x2 − x+ 1 เมอ g(0) = g′(0) = 1 จงหา f ′(1)

ตวอยาง 3.3.4 กำหนดให y = u2 + 3u− 1 และ u = x2 − x จงหา dy

dxขณะ x = 1

ตวอยาง 3.3.5 กำหนดให y = u+1

u, u = x2 + 1 และ x = 2t+ 1 จงหา dy

dt

64 บทท 3. อนพนธ ของฟงก ชนตวอยาง 3.3.6 จงหาอนพนธของ F (x) =

√x2 + 1

ทฤษฎบท 3.3.7 กฎทวไปของอนพนธสำหรบฟงกชนกำลงให n เปนจำนวนตรรกยะ และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธได แลว

d

dx[g(x)]n = n[g(x)]n−1 · g′(x)

ตวอยาง 3.3.8 จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน1. f(x) = (x3 − 1)100

2. h(x) =1

3√x2 + x+ 1

3. g(t) =

(t− 2

2t+ 1

)9

4. k(x) = (1− x)5(x3 + 2)4

3.3. กฎลกโซ 65

ทฤษฎบท 3.3.9 กฎอนพนธของฟงกชนผกผน ให y = f(x) เปนฟงกชนคาจรงทผกผนได และมอนพนธไมเปนศนยท x แลว f−1(y) = x จะไดวา

dy

dx· dxdy

= 1 หรอ dx

dy=

1dydx

ตวอยาง 3.3.10 ให y = x3 + 1 จงหา dx

dyในรป y


แบบฝ กหด 3.31. จงหา dy

dxเมอ

1.1 y = u3 − 2u และ u =√x

1.2 y = (u+ 1)2 และ u = x+1

x

1.3 y =√u2 + 3 และ u = x− 2x2

1.4 y =u+ 1

u− 1และ u =

1

2x

2. จงหา dy

dtเมอ

2.1 y = u−u2, u = x−x3 และ x =√t+1 2.2 y = 5 + 3u−2, u =

√x และ x = t2

3. จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน3.1 f(x) = (x2 + 1)

√x2 − 1

3.2 F (x) = (x4 + 3x2 − 2)5

3.3 F (x) = (4x− x2)99

3.4 F (x) =4√x3 + 2x+ 1

3.5 f(x) = (x+√x)5

3.6 f(x) =x

3√x3 − x

3.7 f(x) = (1 + x4)23

3.8 g(t) =1

(t4 + 1)3

3.9 f(x) = (2x− 3)4(x2 + x)3

3.10 g(x) = (x+ 1)43 (x2 + 1)4

3.11 f(s) =

√s2 + 1

s2 + 3

4. จงหาสมการของเสนสมผสเสนโคง (bullet-nose) y =|x|√2− x2

ทจด (1, 1)

5. ให F (x) = f ◦ g(x) เมอ f(−2) = 8, f ′(−2) = 4, f ′(5) = 3, g(5) = −2 และ g′(5) = 6

จงหา F ′(5)

6. ถา h(x) =√4 + 3f(x) เมอ f(1) = 7 และ f ′(1) = 4 จงหา h′(1)

7. ให r(x) = f(g(h(x))) เมอ h(1) = 2, g(2) = 3, h′(1) = 4, g′(2) = 5 และ f ′(3) = 6

จงหา r′(1)

8. ให F (x) = f(3f(4f(x))) เมอ f(0) = 0 และ f ′(0) = 2 จงหา F ′(0)

9. ให F = f(xf(xf(x))) เมอ f(1) = 2, f(2) = 3, f ′(1) = 4, f ′(2) = 5 และ f ′(3) = 6

จงหา F ′(1)

10. ให y = f

(√x− 1√

x

)เมอ f ′(0) = 2 จงหา dy

dxท x = 1

11. ให y = f(1 +√u), u = 2− x2 เมอ f ′(2) = −3 จงหา dy

dxท x = 1

12. ให y = w

(3 + u

3− u

), u =

√7− 3x, x = 1 + t2 เมอ w′(2) = 2 จงหา dy

dtท t = 1

13. ให y =f(1 +

√x)

g(1−√x)

, x = 3 + t2 เมอ f(3) = 2, g(−1) = 4, f ′(3) = −2, g′(−1) = −1

จงหา dy

dtท t = 1

3.4. อนพนธ อนดบสง 67

3.4 อนพนธอนดบสงบทนยาม 3.4.1 อนพนธอนดบสง (Higher order derivatives)ให y = f(x) เปนฟงกชนทหาอนพนธได และ f ′ เปนฟงกชนทหาอนพนธได แลว f ′′ จะเรยกวาอนพนธอนดบสอง (second derivative) ของ f นยามโดย

f ′′(x) = (f ′(x))′ หรอ dy2

dx2=

d

dx

(dy

dx

)ให n ∈ N และ f (0) = f อนพนธอนดบ n ของ f เขยนแทนดวย f (n) นยามโดย

y(n) = f (n)(x) =dny

dxn=

d

dx

(dn−1y

dxn−1

)

ตวอยาง 3.4.2 กำหนดให f(x) = x3 − 8x2 + 9x+ 3 จงหา f ′′(x) และ f ′′(2)

ตวอยาง 3.4.3 ให f(x) = x8 + 12x5 − 4x4 + 8x3 − 5x+ 5 จงหา f ′′(x)

ตวอยาง 3.4.4 สมการการเคลอนทของวตถชนหนง s = 2t3 − 5t2 + 3t+ 4 เมอ s มหนวยเปนเซนตเมตร และ t มหนวยเปนวนาท จงหาสมการความเรง และความเรงทขณะ 2 วนาท


ตวอยาง 3.4.5 ให n ∈ N จงหาอนพนธของ n ของฟงกชน f(x) = xn

ตวอยาง 3.4.6 ให n ∈ N จงหาอนพนธของ n ของฟงกชน f(x) =1

1− x

ตวอยาง 3.4.7 ให f(x) =1

x+ 1จงหา f (2561)(0)

3.4. อนพนธ อนดบสง 69

แบบฝ กหด 3.41. จงหาอนพนธอนดบสองและอนดบสาม ของฟงกชนตอไปน

1.1 f(x) = x5 + 6x3 + x2 + 3

1.2 f(x) = x10 + x7 − x

1.3 f(x) =√x+ 3

√x

1.4 f(x) = (x− 1)(x+ 1)

1.5 f(x) =1

x+ 1

1.6 f(x) =1√x− 1

1.7 f(x) =1

x2 + 1

2. ให n ∈ N จงหาอนพนธของ n ของฟงกชนตอไปน

2.1 f(x) = x−n

2.2 f(x) =√x

2.3 f(x) =1

x

2.4 f(x) =1√x

2.5 f(x) =1

x+ 2

2.6 f(x) =1

1− 2x

3. สมการการเคลอนทของวตถชนหนง s = t3 + 2t2 − t + 4 เมอ s มหนวยเปนเซนตเมตรและ t มหนวยเปนวนาท จงหาสมการความเรง และความเรงทขณะ 1 วนาท

4. ให f(x) =1

xจงหา f (2018)(1)


3.5 อนพนธของฟงกชนเลขช กำลงในหวขอน จะกลาวถงการอนพนธของฟงกชนเลขชกำลงโดยเรมตนจาก f(x) = ex เมอ e คอ

คาคงตวออยเลอร (Euler's constant) ซงเปนจำนวนอตรรกยะทคำนวนไดจากอนกรมกำลง

e =∞∑n=0

1

n!=

1

0!+

1

1!+

1

2!+

1

3!+ · · ·

หรอ e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995...

และเรยกฟงกชนผกผนของ f วาฟงกชนลอการทมฐานธรรมชาต นนคอ f−1(x) = ℓnxทฤษฎบท 3.5.1 ให x, y เปนจำนวนจรง จะไดวา

1. (ex)y = exy

2. ex · ey = ex+y

3. ex

ey= ex−y

4. e−x =1

ex

ทฤษฎบท 3.5.2 ให x, y เปนจำนวนจรงบวก และ m ∈ N จะไดวา1. ℓnxy = ℓnx+ ℓny2. ℓn

(yx

)= ℓny − ℓnx

3. ℓnxm = mℓnx4. eℓnx = x

พจารณาอนพนธของ f(x) = ex จะได

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

ex+h − ex

h

= limh→0

ex(eh − 1)

h= ex lim

h→0

eh − 1

h= exf ′(0)

ให f ′(0) = 1 จะไดวา f ′(x) = ex สรปไดวา d

dxex = ex

ทฤษฎบท 3.5.3 ให u = u(x) จะไดวา d

dxeu(x) = eu(x) · u′(x)

ทฤษฎบท 3.5.4 ให a > 0 และ a = 1 ถา ax = exℓna จะไดวาd

dxax = axℓna

ทฤษฎบท 3.5.5 ให a > 0 และ a = 1 และ u = u(x) จะไดวา d

dxau(x) = au(x)ℓna · u′(x)

3.5. อนพนธ ของฟงก ชนเลขช กำลง 71ตวอยาง 3.5.6 จงหาอนพนธของ

1. f(x) = ex + e−x

2. f(x) = 3x2+ ex

2+2x

3. f(x) = (ex + x)(e2x + 1)

4. f(x) =ex + e−x

ex − e−x

พจารณาฟงกชน f(x) = ℓnx เมอ x > 0 จะไดวา x = ef(x) ดงนน

ef(x)d

dxf(x) =

d

dxef(x) =

dx

dx= 1

d

dxf(x) =

1

x

ดงนน d

dxℓnx =

1

xและพสจนไดวา d

dxℓn|x| = 1

xเมอ x = 0

ทฤษฎบท 3.5.7 ให u = u(x) > 0 จะไดวา d

dxℓnu(x) = 1

u(x)· u′(x)

ตวอยาง 3.5.8 จงหาอนพนธของ1. f(x) = ℓn(x2 + 1)

2. f(x) = ℓn(1− x− x2)

3. f(x) = ℓn(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3)

4. f(x) = ℓn(ex + 1

ex − 1

)


ทฤษฎบท 3.5.9 ให a > 0 และ a = 1 และ u = u(x) ถา ℓogax =ℓnxℓna จะไดวา

1. d

dxℓoga|x| =

1

xℓna 2. d

dxℓogau(x) =

1

u(x)ℓna · u′(x)

ตวอยาง 3.5.10 จงหาอนพนธของ1. f(x) = ℓog2(x

3 + x) 2. f(x) = ℓog3(x2 + 2)(1− x)

ตวอยาง 3.5.11 จงหาอนพนธของ1. f(x) = xx

2. f(x) = x1x

3.5. อนพนธ ของฟงก ชนเลขช กำลง 73

ตวอยาง 3.5.12 จงหา dy

dxโดยใชอนพนธของฟงกชนลอการทม

1. y = (x3 + 1)5(x− 1)7(x2 − 4)9

2. y =5

√x4√7x+ 1

(2x3 − 5)9

3. y =(x+ 1)9(x2 − 4)4

(1− 2x)√x2 − 1



1.1 y = xe + ex

1.2 y = 21−x + 3ℓnx − e3x

1.3 y = 21−x + 3ℓnx − e3x

1.4 y = (1 + π)x+π

1.5 y = ℓog2(x2 + ℓnx)

1.6 y = ℓog3(2x + 3x)

1.7 y = (1 +√2)x

1.8 y = (1 + e)1+ex


2.1 y = xx2

2.2 y = x2x

2.3 y = (1 + ex)x

2.4 y = (ℓnx)x

3. จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน3.1 y = x2ℓn2(3x+ 1)

3.2 y =√xe + ex

3.3 y = (x+ 1)9(x+ 2)8(x+ 3)7(x+ 4)6

3.4 y = (x2 + 1)9ℓn2(4x+ 1)√

(x+ 1)11

3.5 y =

√(x2 + 1)ℓn|x3 + x|

(2x− 3)3

3.6 y = 4

√x3√5x− 6

(2x2 − 1)5

3.6. อนพนธ ของฟงก ชนตรโกณมต 75

3.6 อนพนธของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชน y = f(x) โดเมน เรจนไซน (Sine) y = sinx R [−1, 1]

โคไซน (Cosine) y = cosx R [−1, 1]

แทนเจนต (Tangent) y = tanx =sinxcosx R−

{(2n−1)π

2: n ∈ Z

}R

โคแทนเจนต (Cotangent) y = cotx =cosxsinx R− {nπ : n ∈ Z} R

เซแคนต (Secant) y = secx =1

cosx R−{

(2n−1)π2

: n ∈ Z}

(−∞,−1] ∪ [1,∞)

โคเซแคนต (Cosecant) y = arccscx =1

sinx R− {nπ : n ∈ Z} (−∞,−1] ∪ [1,∞)

เอกลกษณตรโกณมต1. sinxcscx = 1

2. cosxsecx = 1

3. cotxtanx = 1

4. sin2x+ cos2x = 1

5. sec2x− tan2x = 1

6. csc2x− cot2x = 1

7. sin(−x) = −sinx8. cos(−x) = cosx9. tan(−x) = −tanx

10. sin(x± y) = sinxcosy ± cosxsiny11. cos(x± y) = cosxcosy ∓ sinxsiny12. tan(x± y) =

tanx± tany1∓ tanxtany

13. sin(2x) = 2sinxcosx =2tanx

1 + tan2x

14. cos2x = cos2x− sin2x

cos2x = 1− 2sin2x

cos2x = 2cos2x− 1

15. tan(2x) = 2tanx1− tan2x

16. cos2x =1

2(1 + cos2x)

17. sin2x =1

2(1− cos2x)

18. tanx =sin2x

1 + cos2x =1− cos2x

sin2x19. sin3x = 3sinx− 4sin3x

20. cos3x = 4cos3x− 3cosx

76 บทท 3. อนพนธ ของฟงก ชนทฤษฎบท 3.6.1 ให u = u(x) จะไดวา

1. d

dxsinx = cosx 2. d

dxsinu(x) = cosu(x) · u′(x)

ทฤษฎบท 3.6.2 ให u = u(x) จะไดวา

1. d

dxcosx = −sinx

2. d

dxtanx = sec2x

3. d

dxsecx = secxtanx

4. d

dxcotx = −csc2x

5. d

dxcscx = −cscxcotx

6. d

dxcosu(x) = −sinu(x) · u′(x)

7. d

dxtanu(x) = sec2u(x) · u′(x)

8. d

dxsecu(x) = secu(x)tanu(x) · u′(x)

9. d

dxcotu(x) = −csc2u(x) · u′(x)

10. d

dxcscu(x) = −cscu(x)cotu(x) · u′(x)

3.6. อนพนธ ของฟงก ชนตรโกณมต 77


1. f(x) = sin(√x)

2. f(x) = sin2xcos5x

3. f(x) = tan(ℓnx) + ℓn(tanx)

4. f(x) = esecx + sec2x

5. f(x) = cot2(x2)

6. f(x) =1√csc2x− 1


1. f(x) = (sinx)x 2. f(x) = (tanx)cosx



1.1 f(x) = cotxsec2x1.2 f(x) = sin2x+ xcosx1.3 f(x) = extanex1.4 f(x) = e−cotx2

1.5 f(x) =ex + e−x

ex − e−x

1.6 f(x) =

√ex + 2x

2−x − 3−x2

1.7 f(x) =√e−x2 + cosx

1.8 f(x) = 2secxcot(xex)1.9 f(x) =

sin(2ex)1 + tan(x−1)

+ etanx

1.10 f(x) = xeex+ sin2x+ sinx2cos(ex)

1.11 f(x) = sin(sec√x)

1.12 f(x) = etanx + sin5x

1.13 f(x) = sinx2 + cos(1− x2)

1.14 f(x) =1√sec2x+ tanx2

1.15 f(x) = 2sinxtan(cosx)1.16 f(x) = ex

2sin2(tan2x2)

1.17 f(x) = ex(cosx+ sinx)1.18 f(x) = x2[cos(ℓnx) + sin(ℓnx)]


2.1 f(x) = xcosx

2.2 f(x) = (tanx)cotx2.3 f(x) = (1 + x)ℓnx

2.4 f(x) = (ℓnx)ex


3.1 y =

√(x2 − 1)5(1− x− x3)9

tan3xcos7ℓnx

3.2 y = (1 +√x)10sec5(cosx)tan7x

3.3 y =

( cosx(x2 − secx)14(x+ cosx)3(x+ 1)5

)3

3.4 y = 3

√ℓnx2(sinx)5(1− x2)9

4. ให y = sinucosu และ u = esecx จงหา dy

dx

5. จงแสดงวา y = 2cosx+ 3sinx สอดคลองสมการ y′′ + y = 0

3.7. อนพนธ ของฟงก ชนตรโกณมตผกผน 79

3.7 อนพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผนฟงกชน y = f(x) โดเมน เรจนArcsine y = arcsinx [−1, 1] [−π

2, π2]

Arccosine y = arccosx [−1, 1] [0, π]

Arctangent y = arctanx R (−π2, π2)

Arccotangent y = arccotx R (0, π)

Arcsecant y = arcsecx (−∞,−1] ∪ [1,∞) [0, π2) ∪ (π

2, π]

Arccosecant y = arccscx (−∞,−1] ∪ [1,∞) [−π2, 0) ∪ (0, π

2]

ทฤษฎบท 3.7.1 ให u = u(x) จะไดวา1. d

dxarcsinx =

1√1− x2

2. d

dxarccosx = − 1√

1− x2

3. d

dxarctanx =

1

1 + x2

4. d

dxarccotx = − 1

1 + x2

5. d

dxarcsecx =

1

|x|√x2 − 1

6. d

dxarccscx = − 1

|x|√x2 − 1

7. d

dxarcsinu(x) = 1√

1− [u(x)]2u′(x)

8. d

dxarccosu(x) = − 1√

1− [u(x)]2u′(x)

9. d

dxarctanu(x) = 1

1 + [u(x)]2u′(x)

10. d

dxarccotu(x) = − 1

1 + [u(x)]2u′(x)

11. d

dxarcsecu(x) = 1

|u(x)|√[u(x)]2 − 1

u′(x)

12. d

dxarccscu(x) = − 1

|u(x)|√[u(x)]2 − 1

u′(x)



1. f(x) = arcsinxarccosx

2. f(x) = earctanx

3. f(x) = x2arcsecx

4. f(x) =arctanx+ 1

arccotx+ 1


1. f(x) = arcsinx2 + arcsin2x

2. f(x) = xarctan(ℓnx)

3. f(x) =√arcsec3x

4. f(x) =arcsinx2

√arctanx2

3.7. อนพนธ ของฟงก ชนตรโกณมตผกผน 81


1.1 f(x) = arcsin(x2 + 1)

1.2 f(x) =√x− arccosx2

1.3 f(x) = x3arcsin(ex + x)

1.4 f(x) = arccsc3x1.5 f(x) = cos(arctanx)sin2x1.6 f(x) = arccot3xarctan4x1.7 f(x) =

arcsin(ex)2x+ arccosx

1.8 f(x) = arctan(

x

x+ 1

)1.9 f(x) = 3

√arccscx2

1.10 f(x) = arcsec√x

1.11 f(x) = arctanx2+ arccot2

x

1.12 f(x) = arctan(ℓn(tanx))


2.1 f(x) = xarctanx

2.2 f(x) = (arcsinx)x2.3 f(x) = (arccosx)arcsinx

2.4 f(x) = (√x)arccosx

3. กำหนดให f(x) =(1− x

1 + x

)arcsinxจงหา f ′(0)


3.8 อนพนธของฟงกชนทนยามโดยปรยายในหวขอทผานมาเราหาอนพนธของฟงกชนในรป y = f(x) เราจะเรยกฟงกชนลกษณะแบบ

น วาฟงกชนทนยามโดยชดแจง (explicit function) แตในหวขอน เราจะศกษาการอนพนธของฟงกชนทอยในรปแบบ

F (x, y) = c

เมอ c เปนคาคงตว และ x เปนตวแปรอสระ และ y เปนตวแปรทขนกบ x เรยกฟงกชนแบบน วาฟงกชนทนยามโดยปรยาย (implicit function)

ตวอยาง 3.8.1 จงหา dy

dx

1. x3 + y3 = xy

2. x3 + y2x+ x2y = 5

3. √xy + y = x2y

4. sinxy = cosxy

5. xey + yex = 1

6. arctan(x+ y) = xℓny

3.8. อนพนธ ของฟงก ชนทนยามโดยปรยาย 83

ตวอยาง 3.8.2 จงสมการเสนสมผสเสนวงกลม x2 + y2 = 25 ทจด (3, 4)

ตวอยาง 3.8.3 จงสมการเสนสมผสเสนโคง arctan(xy) + xy =√xy +

π

4ทจด (1, 1)

ตวอยาง 3.8.4 กำหนดให ℓn(yx) = exy จงหา y′′


แบบฝ กหด 3.81. จงหา dy

dx

1.1 4x2 + 9y2 = 36

1.2 y2 − x2 = 1

1.3 ycosx+ xy = y2

1.4 2x2 − 4xy + y2 − 5x+ 3y = 10

1.5 √xsiny +√

y = 0

1.6 √x+

√y +

√y +

√x = 1

1.7 (x2y3 + x3y2)2 = xy2 − yx2 + 3

1.8 exy + cos(xy) = xtany1.9 ℓnxy + arctanx2y = sec2xy

1.10 x13 + y

13 = 1

1.11 cos2xy = sinxy21.12 earctanxy + sin(cscxy) = cot(ℓny)

2. จงหา y′′

2.1 arctany = xy

2.2 √xy − 1 = x+ y

2.3 ysecx = y + cotx2.4 x =

1√x+ y

3. กำหนดให y = xy จงหา y′′′

4. จงสมการเสนสมผสเสนโคง yx2 + xy2 = 2xy ทจด (1, 1)

5. จงสมการเสนสมผสเสนโคง xℓny + 9 = 5x− xy2 + cosπx ทจด (2, 1)

3.9. คาเชงอนพนธ 85

3.9 คาเชงอนพนธกำหนดให y = f(x) เปนฟงกชนทหาอนพนธได จะไดวา

f ′(x) = lim∆x→0

∆y

∆x

เมอ ∆y = f(x+∆x)− f(x) คอการเปลยนของ y ขณะท x มคาเปลยนแปลงไป ∆x

ถา ∆x มคาใกลศนย เราจะไดวา

f ′(x) ≈ ∆y

∆xหรอ ∆y ≈ f ′(x)∆x

และ ∆y ≈ dy

บทนยาม 3.9.1 กำหนดให y = f(x) เปนฟงกชนทมอนพนธท x เแลวdy = df(x) = f ′(x)∆x

เรยกวา คาเชงอนพนธ (diferential) ของ f ทจด x และเรยกสมการf(x+∆x) ≈ f(x) + f ′(x)∆x

วาการประมาณคาเชงเสน (Linear approximation)ตวอยาง 3.9.2 กำหนดให f(x) = x2 จงหา ∆y, dy และ |∆y−dy| เมอ x = 1 และ ∆x = 0.01

ตวอยาง 3.9.3 จงใชคาเชงอนพนธประมาณคาของ √16.001

86 บทท 3. อนพนธ ของฟงก ชนตวอยาง 3.9.4 จงใชคาเชงอนพนธประมาณคาของ 3

√7.998

ตวอยาง 3.9.5 เมอวดดานของลกบาศกลกหนงยาว 25 เซนตเมตร พบวาวดความผดพลาดไปดานละไมเกน 0.04 เซนตเมตร จงใชคาเชงอนพนธประมาณคาความผดพลาดทเกดขน พรอมทงหาคาความผดพลาดสมพทธ และคาความผดพลาดเปนกเปอรเซนตของปรมาตรน

3.9. คาเชงอนพนธ 87

ทฤษฎบท 3.9.6 กำหนดให u = f(x) และ v = g(x) เปนฟงกชนทมอนพนธท x และ c เปนคาคงตว และ r เปนจำนวนจรง แลว

1. dc = 0

2. d(cu) = cdu

3. d(u± v) = du± dv

4. d(uv) = udv + vdu

5. d(ur) = rur−1du

6. d(uv

)=

vdu− vdu

v2เมอ v = 0

ตวอยาง 3.9.7 จงหาคาเชงอนพนธตอไปน

1. d(xsinx)

2. d(ex√x)

3. d(cos2x)

4. d( x

ex

)


แบบฝ กหด 3.91. ให f(x) = 3x2 + 1 จงหา ∆y, dy และ |∆y − dy| เมอ x = 1 และ ∆x = −0.01

2. จงหาคาเชงอนพนธตอไปนสำหรบคา x และ ∆x ทกำหนดให2.1 f(x) = 2x2 + 1 ; x = 1 และ ∆x = 0.1

2.2 f(x) =√x+ 1 ; x = 3 และ ∆x = 0.02

2.3 f(x) = (x+ 1)√x ; x = 4 และ ∆x = −0.2

2.4 f(x) =x+ 1

x+ 2; x = 3 และ ∆x = 0.03

3. จงใชคาอนพนธประมาณคาของ3.1 √

81.03

3.2 3√15.89

3.3 4√127

3.4 (33)25

3.5 sin(0.03)3.6 (8.1)

43 + (8.1)

23

4. ถงใบรปทรงกระบอกใบหนงไมมฝา ตองการทาสดานนอกรอบถงโดยทาสหนา 0.25 เซนตเมตรถาวดรศมภายนอกได 75 เซนตเมตร และถงสง 150 เซนตเมตร จงหาปรมาตรของสทใชทาถงโดยอาศยคาเชงอนพนธ

5. ในการวดดานของรปสเหลยมจตรสรปหนงซงยาว 16 น ว พบวาวดผดพลาดไมเกน 0.01น ว เราจะคำนวณพนทผดพลาดไปไมเกนเทาใด และจงหาคาความผดพลาดสมพทธและคาความผดพลาดคดเปนรอยละของพนทน

บทท 4การประยกตของอนพนธ

4.1 คาสดขดบทนยาม 4.1.1 ให y = f(x) เปนฟงกชนคาจรงบนชวง I แลวจะกลาววา

1. f เปนฟงกชนเพม (increasing function) บนชวง I กตอเมอ

สำหรบ x1 และ x2 ใน I ถา x1 < x2 แลว f(x1) < f(x2)

2. f เปนฟงกชนลด (decreasing function) บนชวง I กตอเมอ

สำหรบ x1 และ x2 ใน I ถา x1 < x2 แลว f(x1) > f(x2)

ทฤษฎบท 4.1.2 ให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] และหาอนพนธไดบนชวง (a, b) จะไดวา

1. ถา f ′(x) > 0 ทก x ∈ (a, b) แลว f เปนฟงกชนเพมบนชวง [a, b]

2. ถา f ′(x) < 0 ทก x ∈ (a, b) แลว f เปนฟงกชนลดบนชวง [a, b]

3. ถา f ′(x) = 0 ทก x ∈ (a, b) แลว f เปนฟงกชนคงตวบนชวง [a, b]

ตวอยาง 4.1.3 จงหาชวงททำใหฟงกชนตอไปน เปนฟงกชนเพม และเปนฟงกชนลด1. f(x) = x2 − 2x+ 3 2. f(x) = x4 − 4x3 + 4x2 + 2

89

90 บทท 4. การประยกต ของอนพนธ

ตวอยาง 4.1.4 จงหาชวงททำให f(x) = x

x2 + 1เปนฟงกชนเพมและเปนฟงกชนลด

บทนยาม 4.1.5 ให f : D → R เปนฟงกชนคาจรงและ S ⊆ D และ c ∈ S แลวจะกลาววา1. f(c) เปนคาสงสด (maximum value) หรอคาสงสดสมบรณ (absolute maximum

value) บน S กตอเมอ f(c) ≥ f(x) ทก ๆ x ∈ S

2. f(c) เปนคาตำสด (minimum value) หรอคาตำสดสมบรณ (absolute minimumvalue) บน S กตอเมอ f(c) ≤ f(x) ทก ๆ x ∈ S

3. f(c) เปนคาสดขด (extreme value) บน S กตอเมอ f(c) เปนคาสงสดหรอคาตำสดของf บน S

ตวอยาง 4.1.6 จงหาสดขดของฟงกชน f(x) = x2 + 1 บนชวงทกำหนดให

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1. [0, 2]

2. [−1, 3]

3. [−2, 2]

4. [1,∞)

5. (−∞, 1]

6. (−∞,∞)

4.1. คาสดขด 91

บทนยาม 4.1.7 ให f : D → R เปนฟงกชนคาจรงและ S ⊆ D และ c ∈ S แลวจะกลาววา

1. f(c) เปนคาสงสดสมพทธ (relative maximum value) บน S กตอเมอ ม δ > 0 ซงf(c) ≥ f(x) ทก ๆ x ∈ S ∩ (c− δ, c+ δ)

2. f(c) เปนคาตำสดสมพทธ (relative minimum value) บน S กตอเมอ ม δ > 0 ซงf(c) ≤ f(x) ทก ๆ x ∈ S ∩ (c− δ, c+ δ)

3. f(c) เปนคาสดขดสมพทธ (relative extreme value) บน S กตอเมอf(c) เปนคาสงสดสมพทธหรอคาตำสดสมพทธของ f บน S

X

Y

a b

ทฤษฎบท 4.1.8 ให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] และ c ∈ [a, b] แลว

ถา f มคาสดขดสมพทธทจด c แลว f ′(c) = 0 หรอ f ′(c) ไมมคา

บทนยาม 4.1.9 ให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] และ c ∈ [a, b] แลวจะเรยก

c วาจดวกฤต (critical point) ของฟงกชน f กตอเมอ f ′(c) = 0 หรอ f ′(c) ไมมคา

ตวอยาง 4.1.10 จงหาจดวกฤตของฟงกชนตอไปน

1. f(x) = x3 − 12x+ 7

2. f(x) = 3√x− 1

3. f(x) =1

x3

4. f(x) = xex


ทฤษฎบท 4.1.11 การทดสอบโดยอนพนธอนดบหนง (First Derivative Test)ให f เปนฟงกชนทหาอนพนธไดบนชวง S และ c ∈ S เปนจดวกฤตของ f แลว ม δ > 0 ซง

1. ถา f ′(x) > 0 ทก x ∈ (c− δ, c) ∩ S และ f ′(x) < 0 ทกๆ x ∈ (c, c+ δ) ∩ S แลวf(c) เปนคาสงสดสมพทธของ f

2. ถา f ′(x) < 0 ทก x ∈ (c− δ, c) ∩ S และ f ′(x) > 0 ทกๆ x ∈ (c, c+ δ) ∩ S แลวf(c) เปนคาตำสดสมพทธของ f

c− δ c c+ δ

f ′(c) = 0

f ′(x) < 0f ′(x) > 0

c− δ c c+ δ

f ′(c) = 0f ′(x) < 0f ′(x) > 0

ตวอยาง 4.1.12 จงหาคาสดขดสมพทธของฟงกชนตอไปน1. f(x) = 3x4 + 4x3 − 12x2

2. f(x) = 2x3 − 9x2 + 12x− 5


ทฤษฎบท 4.1.13 การทดสอบโดยอนพนธอนดบสอง (Second Derivative Test)ให f เปนฟงกชนทหาอนพนธไดบนชวง (a, b) และ c ∈ (a, b) โดยท f ′(c) = 0 และ f ′′(c) หาคาได แลว

1. f ′′(c) < 0 แลว f(c) เปนคาสงสดสมพทธของ f

2. f ′′(c) > 0 แลว f(c) เปนคาตำสดสมพทธของ f

3. f ′′(c) = 0 แลว f(c) ไมเปนคาสดขดสมพทธ

ตวอยาง 4.1.14 จงหาคาสดขดสมพทธของฟงกชนตอไปน1. f(x) = x3 − 3x+ 1

2. f(x) = x(x− 1)4


ตวอยาง 4.1.15 จงหาคาสดขดสมพทธของฟงกชนตอไปน1. f(x) = 3x2 − x

32 + 1

2. f(x) = (x2 − 1)23

3. f(x) = x2ex


ขนตอนการหาคาสดขดให f เปนฟงกชนตอเนอง [a, b] และมอนพนธเปนช วง ๆ บนชวง (a, b) หาคาสดขดไดดงน

1. หาจดวกฤต c ของ f

2. หาคา f(c) ทงหมด f(a) และ f(b)

3. เปรยบเทยบคาในขนตอนท 2 โดย• คามากทสด จะเปนคาสงสดของ f บน [a, b]

• คานอยทสด จะเปนคาตำสดของ f บน [a, b]

ตวอยาง 4.1.16 จงหาคาสดขดของฟงกชน f(x) = x3 − 12x+ 5 บนชวง [−3, 3]

ตวอยาง 4.1.17 จงหาคาสดขดของฟงกชน f(x) =x2 + 100

x2 − 25บนชวง [−1, 3]


ปญหาคาสงสดและคาตำสดของฟงกชนตวอยาง 4.1.18 เมอนำจำนวนจรงสองจำนวนมารวมกนไดเทากบ 16 จงหาผลคณทมากทสดของสองจำนวนนน

ตวอยาง 4.1.19 มไมทำรวยาว 800 เมตร นำมาลอมรวบานเปนรปสเหลยมพนผา โดยใชบานเปนรวดานหนง จงหาพนทมากสดทลอมรวน ได


ตวอยาง 4.1.20 จงหาดานของรปสเหลยมพนผาทมพนทมากทสดทบรรจลงไปในสามเหลยมมมฉากทมดานประชดมมฉากทงสองดานคอ a และ b

ตวอยาง 4.1.21 จงหาสวนสงของกรวยกลมตรงทมปรมาตรมากทสด และสามารถบรรจในทรงกลมรศม r หนวย


แบบฝ กหด 4.11. จงหาชวงททำใหฟงกชนตอไปน เปนฟงกชนเพม และเปนฟงกชนลด พรอมหาจดวกฤต

1.1 f(x) = x3 − 6x2 + 9x

1.2 f(x) = 3x4 + 4x3 − 12x2

1.3 f(x) =x

x+ 1

1.4 f(x) = x4 − 4x2 + 4

1.5 f(x) = (x− 1)23

1.6 f(x) =√x+ 1√

x

1.7 f(x) = (6− x)x15

1.8 f(x) = x52 + 2x

32 + x

12

2. จงหาคาสดขดบนชวงทกำหนดใหตอไปน

2.1 f(x) = 2x− x2 ; [0, 1]2.2 f(x) =

x

x+ 3; [−1, 5]

2.3 f(x) = x+1

x; [1

2, 5]

2.4 f(x) = |x2 − 2x− 3| ; [−5, 5]

3. จงหาคาสดขดสมพทธของฟงกชนทกำหนดใหตอไปน

3.1 f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x

3.2 f(x) = x4 + 2x3

3.3 f(x) = 2x4 − 4x2 + 6

3.4 f(x) =1

x− x2

3.5 f(x) =x− 2

x+ 2

3.6 f(x) = x 3√5− x

3.7 f(x) = (1− x2)(1− x)

3.8 f(x) = x73 − 7x

13

3.9 f(x) = x23 + 2x− 1

3

3.10 f(x) = x2(1 + x)13

3.11 f(x) =|x|

1 + |x|3.12 f(x) = arctanx− ℓn√1 + x2

4. จงหาพนท มากทสดของสามเหลยมหนาจว ถาดานทเทากนทงสองดานยาวเทากบ 12หนวย

5. จงหาความสงและรศมของฐานของรปทรงกระบอกกลมตรงทมปรมาตรมากทสด ทบรรจในกรวยกลมซงมรศมของฐานยาว 12 น ว และสง 30 น ว โดยทฐานของทรงกระบอกอยบนฐานของกรวย

6. กระป องรปทรงกระบอกกลมตรงมปรมาตร 125 ลกบาศกเซนตเมตร มฝาป ดหวทาย ฝาปดทำจากแผนโลหะบางรปสเหลยมจตรส และผวดานขางทำจากรปสเหลยมผนผา จงหารศมและความสงของกระป องททำใหใชปรมาณโลหะนอยทสด

7. โรงเรยนแหงหนงนำนกเรยนไปทศนศกษา โรงเรยนเกบเงนนกเรยนคนละ 150 บาท ถามนกเรยนไมเกน 150 คน แตถานกเรยนไปเกน 150 คนจะเกบลดลง 50 สตางคคณดวยจำนวนคนทเกนจากจำนวน 150 คน นกเรยนควรไปทศนศกษากคนจงจะทำใหโรงเรยนเกนเงนไดมากสด

4.2. ความเวาและจดเปลยนเวา 99

4.2 ความเวาและจดเปลยนเวาบทนยาม 4.2.1 ให f เปนฟงกชนทมอนพนธท x0 และ y = g(x) เปนสมการของเสนสมผสเสนโคง y = f(x) ทจด x0

1. f มความเวาอยลาง (concave downward) ทจด x0 กตอเมอ

f(x) < g(x) ทกๆ x ทอยใกล ๆ x0

2. f มความเวาอยบน (concave upward) ทจด x0 กตอเมอ

f(x) > g(x) ทกๆ x ทอยใกล ๆ x0

X

Y

x0

y = g(x)

y = f(x)

X

Y

x0

y = g(x)

y = f(x)

บทนยาม 4.2.2 ให f เปนฟงกชนตอเนองทจด x0 เรยกจด (x0, f(x0)) วาจดเปลยนเวา (inflectionpoint) กตอเมอม δ > 0 ซงเปลยนจากความเวาแบบหนงบนชวง (x0− δ, x0) ไปเปนความเวาอกแบบหนงบนชวง (x0, x0 + δ)

ทฤษฎบท 4.2.3 ให f เปนฟงกชนทหาอนพนธไดบนชวง (a, b) และ c ∈ (a, b) แลว1. ถา f ′′(x) > 0 ทกๆ x ∈ (a, b) แลว f มความเวาอยบนบนชวง (a, b)

2. ถา f ′′(x) < 0 ทกๆ x ∈ (a, b) แลว f มความเวาอยลางบนชวง (a, b)

3. ถา (c, f(c)) เปนจดเปลยนเวาของ f แลว f ′′(c) = 0 หรอ f ′′(c) ไมมคา

ตวอยาง 4.2.4 ให f(x) = x4 − 4x3 จงหาชวงของ f ทมความเวาอยบน มความเวาอยลาง และจดเปลยนเวาของ f


ตวอยาง 4.2.5 จงหาชวงทมความเวาอยบน มความเวาอยลาง และจดเปลยนเวาของฟงกชนตอไปน

1. f(x) = xe−2x

2. f(x) = (4− x2)23

4.2. ความเวาและจดเปลยนเวา 101

แบบฝ กหด 4.2จงหาชวงทมความเวาอยบน มความเวาอยลาง และจดเปลยนเวา ของฟงกชนตอไปน

1. f(x) = x3 − 3x2

2. f(x) = 3x4 + 2x3 − 5

3. f(x) = x4 − 6x3 + 12x2 + 5x+ 7

4. f(x) = x6 − 15x2 + 5

5. f(x) = (1− x)13

6. f(x) = (x− 2)23

7. f(x) = (2− x)x15

8. f(x) =4x

x2 + 1

9. f(x) =x

x2 − 1

10. f(x) = x− 1

x

11. f(x) = (x− 1)e−x

12. f(x) = e−x2


4.3 การรางกราฟบทนยาม 4.3.1 เสนตรง x = a เปน เสนกำกบแนวดง (vertical asymptote) ของกราฟของฟงกชน f ถา

limx→a+

f(x) = ±∞ หรอ limx→a−

f(x) = ±∞

บทนยาม 4.3.2 เสนตรง y = b เปน เสนกำกบแนวนอน (horizontal asymptote) ของกราฟของฟงกชน f ถา

limx→−∞

f(x) = b หรอ limx→∞

f(x) = b

บทนยาม 4.3.3 เสนตรง y = ax+ b เปน เสนกำกบแนวเอยง (slant asymptote) ของกราฟของฟงกชน f ถา f(x) = (ax+ b) + g(x) และ a = 0 แลว

limx→−∞

g(x) = 0 หรอ limx→∞

g(x) = 0

ตวอยาง 4.3.4 จงหาเสนกำกบแนวดง เสนกำกบแนวนอน และ เสนกำกบแนวนอนเอยง (ถาม)ของฟงกชนตอไปน

1. f(x) =1

x2 − 1

2. f(x) =x+ 1

x− 1

3. f(x) =x+ 1

x2 − 4

4. f(x) =x2 + x

x− 2

4.3. การรางกราฟ 103

การวเคราะหกราฟเพอใหการเขยนกราฟของเสนโคง y = f(x) ไดสะดวกและสมบรณ เราควรวเคราะห ขอมลประกอบการเขยนกราฟดงน

1. โดเมนของ f

2. จดตดแกน3. จดสดขดสมพทธ

4. ช วงท f เปนฟงกชนเพม และชวงท f เปนฟงกชนลด5. จดเปลยนเวา

6. ช วงท f มความเวาอยบน และชวงท f มความเวาอยลาง

7. เสนกำกบแนวดง เสนกำกบแนวนอน และเสนกำกบแนวเอยงตวอยาง 4.3.5 จงวเคราะหและเขยนกราฟของกราฟเสนโคง f(x) = x4 − 4x3

X

Y


ตวอยาง 4.3.6 จงวเคราะหและเขยนกราฟของกราฟเสนโคง f(x) =x2

x2 − 1

X

Y


ตวอยาง 4.3.7 จงวเคราะหและเขยนกราฟของกราฟเสนโคง f(x) =4x

x2 + 1

X

Y


ตวอยาง 4.3.8 จงวเคราะหและเขยนกราฟของกราฟเสนโคง f(x) =x2 + x

x− 2

X

Y


แบบฝ กหด 4.3จงวเคราะหและเขยนกราฟของเสนโคงตอไปน

1. f(x) = x3 + 5x2 + 3x− 4

2. f(x) = 5x23 − x

53

3. f(x) = 2− (x− 3)13

4. f(x) = x2e−3x

5. f(x) = 2x+1

x2

6. f(x) = 4x2−1x2−1

7. f(x) = x− 1

x

8. f(x) = x(4− x)13

9. f(x) =x2 − 1

x

10. f(x) = 5x15 − 2x

11. f(x) =4x2 − 1

x2 − 1

12. f(x) = e−x2

13. f(x) =x2 + 2x

x− 3

14. f(x) =5x

x2 − 4


4.4 อตราสมพทธสมการความสมพนธระหวางตวแปรทงสอง ตวแปรเหลานนตางแปรผนตามเวลา ทำใหเราสนใจปญหากบผลกระทบของอตราการเปลยนแปลงของตวแปรบางตวเทยบกบเวลาทมอตราการเปลยนแปลงของตวอนๆเทยบกบเวลา เราเรยกปญหาแบบน วา ปญหาอตราสมพทธ (relativerate problem)ตวอยาง 4.4.1 ชายคนหนงเดนเขาหาฐานหอคอยทมความสง 60 ฟต ดวยอตราเรว 2 ฟตตอวนาท จงหาวาชายผน จะเคลอนทเขาใกลยอดของหอคอยดวยอตราเรวเทาใด ในขณะเขาอยหางจากฐานของหอคอยเปนระยะทาง 80 ฟต

ตวอยาง 4.4.2 ถงนำรปกรวยกลมตรง มเสนผานศนยกลางทปากถงยาว 1 เมตร และสง 2 เมตรไขนำเขาถงดวยอตราเรว 50 ลกบาศก เซนตเมตรตอวนาท จงหาวาระดบนำในถงจะสงขนดวยอตราเรวเทาใด เมอความสงของนำในถงเปน 80 เซนตเมตร

4.4. อตราสมพทธ 109

แบบฝ กหด 4.41. โยนกอนหนกอนหนงลงในสระ จะทำใหเกดนำเปนละลอกแผออกไปเปนวงกลมมจดศนยกลาง

อยทจดของกอนหนตกรศมของวงกลมวงนอกเพมขนดวยอตราเรว 50 เซนตเมตรตอวนาทจงหาพนทของวงกลมทจะเพมขนดวยอตราเทาใด หลงจากทกอนหนตกถงผวนำ 5 วนาท

2. จรวดลำหนงถกยงขนจากพนดนตามแนวดง ขณะทจรวดเคลอนทขนไปไดมเรดาหซงอยหางจากฐานยงจรวดไปตามพนดนเปนระยะ 3 กโลเมตร คอยสงเกตการเคลอนท จงหาอตราเรวของจรวดขณะเมอระยะทางจากเรดาหถงจรวดมคาเทากบ 5 กโลเมตร โดยระยะทางนกำลงเพมขนดวยอตรา 5,000 กโลเมตรตอชวโมง

3. บนไดยาว 13 ฟต วางพงกำแพงไว ถาฐานบนไดกำลงเลอนออกจากกำแพงดวยอตราเรม 0.1 ฟตตอวนาท จงหาวาปลายบนของบนไดเลอนลงดวยอตราเรวเทาใด และจงหาอตราเรวของมมทบนไดทำกบพนดนขณะทยอดอยสงจากพน 12 ฟต

4. อากาศถกอดใสในลกโป งรปทรงกลมดวยอตราเรวคงตว 10 ลกบาศกน วตอวนาท จงหาอตราเรวของพนทผวของลกโป งทเพมขน ขณะทรศมของลกโป งเปน 5 น ว

5. ถามมเงยของดวงอาทตย เปน 45 องศา และกำลงลดลงดวยอตรา 0.25 เรเดยนตอวนาทจงหาวาเงาของเราซงสง 5 ฟต ททอดบนพนดนจะยาวขนดวยอตราเรวเทาใด


4.5 กฎของโลบตาลให f และ g เปนฟงกชนซง lim

x→af(x) = 0 และ lim

x→ag(x) = 0 เราจะวา

limx→a

f(x)

g(x)อยในรปแบบทเรยกวา รปแบบไมกำหนด (indeterminate form: I.F.) 0

0

ทฤษฎบท 4.5.1 กฎของโลบตาล (L'Hospital's rule)ให f และ g เปนฟงกชนทมอนพนธบนชวง (a, a + δ) สำหรบบางคา δ > 0 และ lim

x→a+f(x) = 0

และ limx→a+

g(x) = 0 และ g′(x) = 0 ทก ๆ x ∈ (a, a+ δ) แลว

limx→a+

f(x)

g(x)= lim

x→a+

f ′(x)

g′(x)

ทฤษฎบท 4.5.2 ให f และ g เปนฟงกชนทมอนพนธบนชวง (a−δ, a) สำหรบบางคา δ > 0 และlim

x→a−f(x) = 0 และ lim

x→a−g(x) = 0 และ g′(x) = 0 ทก ๆ x ∈ (a− δ, a) แลว

limx→a−

f(x)

g(x)= lim

x→a−

f ′(x)

g′(x)

ทฤษฎบท 4.5.3 ให f และ g เปนฟงกชนทมอนพนธบนชวง S = (a − δ, a + δ) − {a} สำหรบบางคา δ > 0 และ lim

x→af(x) = 0 และ lim

x→ag(x) = 0 และ g′(x) = 0 ทก ๆ x ∈ S แลว

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)

ทฤษฎบท 4.5.4 ให f และ g เปนฟงกชนทมอนพนธสำหรบทก ๆ x > N สำหรบบางคา N > 0

และ limx→∞

f(x) = 0 และ limx→∞

g(x) = 0 และ g′(x) = 0 ทก ๆ x > N แลว

limx→∞

f(x)

g(x)= lim

x→∞

f ′(x)

g′(x)

ทฤษฎบท 4.5.5 ให f และ g เปนฟงกชนทมอนพนธสำหรบทก ๆ x < N สำหรบบางคา N < 0

และ limx→−∞

f(x) = 0 และ limx→−∞

g(x) = 0 และ g′(x) = 0 ทก ๆ x < N แลว

limx→−∞

f(x)

g(x)= lim

x→−∞

f ′(x)

g′(x)

ในกรณรปแบบไมกำหนด I.F. ∞∞

กสามารถพสจนทฤษฎบบทดงกลาวไดในทำนองเดยวกน

4.5. กฎของโลบตาล 111

ตวอยาง 4.5.6 จงหาลมตของ

1. limx→0

tan6xx

2. limx→π

2

cosx1− sinx

3. limx→∞

ex

x+ ex

4. limx→0+

ℓnxcotx

5. limx→0

x2 + 2ℓn(cosx)2− 2cosx− x2

6. limx→−∞

(1 + x2)32

x2 + ex(x− 1)

112 บทท 4. การประยกต ของอนพนธรปแบบ I.F. ∞−∞ และ 0 · ∞

ตวอยาง 4.5.7 จงหาลมตของ

1. limx→∞

xtan(1

x

)

2. limx→0+

xℓnx

3. limx→0+

(cotx− cscx)

4. limx→1−

(1

x− 1− 1

ℓnx)

4.5. กฎของโลบตาล 113

รปแบบ I.F. 00, ∞0 และ 1∞

ตวอยาง 4.5.8 จงหาลมตของ1. lim

x→0+xx

2. limx→∞

(1 +

1

x

)x

3. limx→∞

(2x + x)2x


แบบฝ กหด 4.5จงหาลมตตอไปน

1. limx→0+

sinx√x

2. limx→0

cos2x− 1

x

3. limx→π

2

cosxx− π

2

4. limx→0

ex − cos2xxsinx

5. limx→0

x− sinxx− tanx

6. limx→0

x− arctanxx+ sinx

7. limx→∞

xℓnxx2 + 1

8. limx→∞

5x

ℓn(x+ ex)

9. limx→0

3x − 1

2x − 1

10. limx→0+

cot3xcot2x

11. limx→0

ex − x− 1

x2

12. limx→∞

xℓnxx+ ℓnx

13. limx→∞

2e2x + ℓnxe2x + x2

14. limx→0

4− 3ex − e−3x

4x2

15. limx→1

ℓnxx− 1

16. limx→∞

x8

ex

17. limx→π

4

sec2x− 2tanx1 + cos4x

18. limx→0+

(tanx)ℓn(sinx)

19. limx→∞

x(e1x − 1)

20. limx→−∞

xsin1x

21. limx→π

2−

(x− π

2

)tan5x

22. limx→∞

(x2 − sec1

x

)2−x2

23. limx→1+

(1

1− x− 1√

1− x

)

24. limx→1−

(1

1− x+

x

ℓnx)

25. limx→0

(csc2x− 1

x2

)

26. limx→0

(1

x− 1

tanx)

27. limx→1+

(1

ℓnx +x

x− 1

)28. lim

x→π2−(tan5x− tanx)

29. limx→0

(2x

x− cscx

)

30. limx→∞

(x2

x− 1− x2

x+ 1

)31. lim

x→0(1 + x)

1x

32. limx→0

(ex + 2x)1x

33. limx→1−

(√2− x2 − 1)x−1

34. limx→1

(1− x)ℓnx

35. limx→0+

(1 + 3x)12x

36. limx→0

(x+ ex2 )

2x

37. limx→0−

(cosx− sinx) 1x

38. limx→0+

(x+ sinx)tanx

39. limx→∞

(ex + x)ex

40. limx→∞

(1− 1

x3

)x

41. limx→0+

(cosx)cotx

42. limx→∞

(2x + x2)1x

43. limx→0

(ex2cosx) 4

x4

44. limx→π

2−(secxtanx)cosx

45. limx→0

(1 + sinx) 3x

บทท 5ปรพนธ

5.1 ปฏยานพนธและปรพนธไมจำกดเขตการดำเนนการยอนกลบของการหาอนพนธเรยกวา การหาปรพนธ (antidifferentiation)

หรอ การอนทเกรต (integration)บทนยาม 5.1.1 จะกลาววาฟงกชน F เปนปฏยานพนธ ของฟงกชน f บนชวง I ถา

F ′(x) = f(x) ทก x ∈ I

ตวอยาง 5.1.2 จงหาปฏยานพนธของฟงกชนตอไปน อยางนอย 2 ฟงกชน1. f(x) = 2x 2. f(x) = sinx

ทฤษฎบท 5.1.3 ถา F และ G เปนปฏยานพนธของของฟงกชน f บนชวง I แลวG(x) = F (x) + C ทก x ∈ I

เราจะเรยก F (x) + C วาปฏยานพนธทวไป (general antiderivative) ของ f บนชวง I

บทนยาม 5.1.4 ให F เปนปฏยานพนธของของฟงกชน f จะเรยกปฏยานพนธทวไปของ f วาปรพนธไมจำกดเขต หรอ อนทกรลไมจำกดเขต (indefinite integral) ของ f เขยนแทนดวย∫f(x) dx จะไดวา ∫

f(x) dx = F (x) + C

เรยก ∫ วาเครองหมายอนทกรล (integral sign)เรยก f(x) วาตวถกอนทเกรต (integrad)เรยก x วาตวแปรของอนทเกรต (variable of integration)เรยก C วาคาคงตวของอนทเกรต (constant of integration)

115

116 บทท 5. ปรพนธ

ทฤษฎบท 5.1.5 ให f และ g เปนฟงกชนทหาปฏยานพนธได และ k เปนคาคงตวแลว

1.∫

f ′(x) dx = f(x) + C

2.∫

kf(x) dx = k

∫f(x) dx

3.∫

(f(x) + g(x) dx =

∫f(x) dx+

∫g(x) dx

4.∫

(f(x)− g(x) dx =

∫f(x) dx−

∫g(x) dx

จากความรเรองอนพนธของฟงกชนจะไดวา∫1 dx = x+ C∫xn dx =

xn+1

n+ 1+ C เมอ n = −1∫

1

xdx = ℓn|x|+ C∫

ex dx = ex + C∫ax dx =

ax

ℓna + C∫sinx dx = −cosx+ C∫cosx dx = sinx+ C∫secxtanx dx = secx+ C∫sec2x dx = tanx+ C∫cscxcotx dx = −cscx+ C∫csc2x dx = −cotx+ C∫

1√1− x2

dx = arcsinx+ C = −arccosx+ C∫1

1 + x2dx = arctanx+ C = −arccotx+ C∫

1

|x|√x2 − 1

dx = arcsecx+ C = −arccscx+ C

5.1. ปฏยานพนธ และปรพนธ ไมจำกดเขต 117

ตวอยาง 5.1.6 จงหาปรพนธไมจำกดเขตตอไปน

1.∫

3x2 + x− 1 dx

2.∫ √

x(x− 1) dx

3.∫

2x− 13√x

dx

4.∫

2ex − 2x+1 − cosx dx

5.∫

(x− 1)2

x2dx

6.∫

1 + cosxsin2x

dx

7.∫

1 + sinxcos2x dx

8.∫

2 + x2

1 + x2dx


ตวอยาง 5.1.7 จงหาสมการเสนโคงทผานจด (1, 2) โดยทความชนทจด (x, y) ใดๆเปน x4 − x

x2

ตวอยาง 5.1.8 อนภาคหนงเคลอนทตามแนวแกน X ดวยความเรงขณะเวลา t ใด ๆ เปน√t+ sint− 5 ฟต/วนาท2

เมอ t = 0 อนภาคอยหางจากจดกำเนดไปทางซาย 30 ฟต และอนภาคเคลอนทดวยความเรว20 ฟต/วนาท จงหาสมการการเคลอนท

5.1. ปฏยานพนธ และปรพนธ ไมจำกดเขต 119

แบบฝ กหด 5.11. จงหาฟงกชน f ทมปฏยานพนธเปน F ตอไปน

1.1 F (x) = 5

1.2 F (x) = (2x+ 1)10

1.3 F (x) = 3√x3 + x2 − 1

1.4 F (x) =x− 1

2x+ 3

1.5 F (x) = arctan(ℓnx+ sinx)1.6 F (x) = sin2(cosex)

2. จงหาปรพนธไมจำกดเขตตอไปน

2.1∫

x4(√x+ 2) dx

2.2∫

3√x2(x− 2)2 dx

2.3∫(x+ 1)3 dx

2.4∫(1 +

1

t)2 dt

2.5∫

x+ 13√x+ 1

dx

2.6∫

x− 1

x+√xdx

2.7∫

cosx(secx+ 3tanx) dx

2.8∫

secx(tanx− 2cosx) dx

2.9∫

2− x2

√1− x2

dx

2.10∫

x2

1 + x2dx

2.11∫

1− cos2xcos2x dx

3. จงหาสมการเสนโคงทผานจด (−1, 2) โดยทความชนทจด (x, y) ใดๆเปน x3 − x2

x5

4. วตถหนงเคลอนทดวยความเรงตามแนวแกน X ขณะเวลา t ใด ๆ เปน

6t+ cost ฟต/วนาท2

เมอ t = 0 วตถอยหางจากจดกำเนดไปทางซาย 20 ฟต และเคลอนทดวยความเรว 10 ฟต/วนาท จงหาสมการการเคลอนทของวตถน


5.2 การหาปรพนธโดยการเปลยนตวแปรทฤษฎบท 5.2.1 ให u = u(x) เปนฟงกชนทมอนพนธและเรจนบนชวง I และ f เปนฟงกชนทหาอนทรกรลไมจำกดเขตเปนช วง I แลว∫ [

f(u(x))du(x)

dx

]dx =

∫f(u) du

ตวอยาง 5.2.2 จงหาปรพนธไมจำกดเขตตอไปน1. ∫

(2x+ 1)10 dx

2. ∫x√x2 + 1 dx

3.∫

ex

ex + 1dx

5.2. การหาปรพนธ โดยการเปลยนตวแปร 121


1. ∫ sin(1− 3x) dx

2.∫ sin(ℓnx)

xdx

3.∫ cosx

1 + sin2xdx

4.∫

1

xℓnx dx


1. ∫x2√x− 2 dx 2.

∫x

3√x+ 3

dx


โดยอาศยกฎของคาเชงอนพนธจะไดวา1. u′(x)dx = du(x)

2. kdu(x) = d[ku(x)] เมอ k เปนคาคงตว

3. d(x+ b) = dx เมอ b เปนคาคงตว

ทำใหทฤษฎบทดงตอไปน

ทฤษฎบท 5.2.5 ให a และ b เปนคาคงตว โดยท a = 0 จะไดวา

1.∫

eax dx =eax

a+ C

2.∫

sinax dx = −cosaxa

+ C

3.∫

cosax dx =sinaxa

+ C

4.∫

eax+b dx =eax+b

a+ C

5.∫

sin(ax+ b) dx = −cos(ax+ b)

a+ C

6.∫

cos(ax+ b) dx =sin(ax+ b)

a+ C


1. ∫ cos(2x+ 3) dx

2.∫

xsin(x2) dx

3.∫

e−cosxsinx dx

4.∫ cos2x

sin22xdx

5.∫

1

x(1 + ℓn2x)dx

6.∫

ex

e2x + 1dx


ตวอยาง 5.2.7 จงหาปรพนธไมจำกดเขตตอไปน1.

∫tanx dx

2.∫

cotx dx

3.∫

1

x2 + 2x+ 2dx

4.∫ sin√x√

xdx


การหาปรพนธไมจำกดเขตของฟงกชนตรโกณมตบางรปแบบอาจจะอาศยสมบตตอไปน

1. sin2x+ cos2x = 1



4. cos2x =1

2(1 + cos2x)

5. sin2x =1

2(1− cos2x)

6. sin3x =1

4[3sinx− sin3x]

7. cos3x =1

4[3cosx+ cos3x]

8. sinxcosy =1

2[sin(x+ y) + sin(x− y)]

9. cosxsiny =1

2[sin(x+ y)− sin(x− y)]

10. cosxcosy =1

2[cos(x+ y) + cos(x− y)]

11. sinxsiny = −1

2[cos(x+ y)− cos(x− y)]


1.∫

tan2x dx

2.∫

sin2x dx

3.∫

sin3x dx

4.∫

cos4x dx

5.∫

sinxcosx dx

6.∫

sin3xcos5x dx


แบบฝ กหด 5.21. จงหาปรพนธไมจำกดโดยการกำหนดตวแปรตอไปน

1.1∫

x2√1− x dx ให u = 1− x

1.2∫

1√x(√x+ 1)3

dx ให u =√x+ 1

1.3∫

1− sinx(x+ cosx)2 dx ให u = x+ cosx

1.4∫

ℓn(x)x

dx ให u = ℓnx

2. จงหาปรพนธไมจำกดเขตตอไปน

2.1∫

x4(√x+ 2) dx

2.2∫

3√x2(x− 2)2 dx

2.3∫(1 +

1

t)2 dt

2.4∫

x+ 13√x+ 1

dx

2.5∫

1− cos2xcos2x dx

2.6∫

3√3x+ 1 dx

2.7∫(x+ 1)2

√1− x dx

2.8∫(x2 − 2x+ 1)10 dx

2.9∫

4x2 + 6x+ 1√1− 2x

dx

2.10∫ √

1 +√1 + x dx

2.11∫

2x+ 3√4− 9x2

dx

2.12∫

x√3x2 + 2 dx

2.13∫

1

(3x2 + 1)√3x2 + 2

dx

2.14∫

1

xℓnx4dx

2.15∫

ex√1 + ex

dx

2.16∫ sine−x

excose−xdx

2.17∫

secx(tanx− 2cosx) dx

2.18∫

sin2x

2dx

2.19∫

cos3x dx

2.20∫

sin4x dx

2.21∫

sin2xcos2x dx

2.22∫ sinx

(1− cosx)2 dx

2.23∫

cos2xcos6x dx

2.24∫

sin3xcos3x dx

2.25∫ cos4x

1 + sinx dx

2.26∫ cos22x√sin2x dx

2.27∫

tan24t dt

2.28∫

csc5tcot5t dt

2.29∫

sec10ttant dt

2.30∫

cosxtan2(sinx) dx

2.31∫

cot3xcsc4x dx

2.32∫

zsin(−z2)cos5(−z2) dz


5.3 ปรพนธจำกดเขตบทนยาม 5.3.1 เรยกเซต P = {x0, x1, x2, ..., xn} วาผลแบงกน (partition) ของชวง [a, b] ซงจดใน P แบงช วง [a, b] ออกเปน n ชวงคอ

[x0, x1], [x1, x2], [x2, x3], ..., [xn−1, xn]

นนคอ [a, b] = [x0, x1]∪ [x1, x2]∪ [x2, x3]∪ ...∪ [xn−1, xn] เมอ a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b

X

Yy = f(x)

a = x0 x1 x2 xk−1 xk xn−1 xn = b

... ...

บทนยาม 5.3.2 ให y = f(x) เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] และ P = {x0, x1, x2, ..., xn}เปนผลแบงกน [a, b] สำหรบ k = 1, 2, 3, ..., n และ ∆xk = xk − xk−1 ถา

mk เปนคาของ f ทนอยทสดในชวง [xk−1, xk]

Mk เปนคาของ f ทมากทสดในชวง [xk−1, xk]

และให

L(P, f) =n∑

k=1

mk∆xk และ U(P, f) =n∑

k=1

Mk∆xk

จะเรยก L(P, f) วาผลบวกลาง (lower sum) ของ f บนชวง [a, b] เทยบกบผลแบงกน P

และเรยก U(P, f) วาผลบวกบน (upper sum) ของ f บนชวง [a, b] เทยบกบผลแบงกน P

X

Yy = f(x)

a = x0 x1 x2 x3 xk−1 xk xn−1 xn = b

... ...

L(P, f) =n∑

k=1

mk∆xk

5.3. ปรพนธ จำกดเขต 127

X

Yy = f(x)

a = x0 x1 x2 x3 xk−1 xk xn−1 xn = b

... ...

U(P, f) =n∑

k=1

Mk∆xk

ถาให A เปนพนทป ดลอมดวยกราฟ y = f(x) กบแกน X บนชวง [a, b] แลวจะไดวาL(P, f) ≤ A ≤ U(P, f)

ตวอยาง 5.3.3 ให f(x) = x2 + 1 บนชวง [0, 1]

จงหา L(P, f) และ U(P, f) เมอกำหนด P ดงตอไปน

1. P =

{0,

1

2, 1

}

X

Y f(x) = x2 + 1

0 12

1

2

1

2. P =

{0,

1

4,1

2,3

4, 1

}

X

Y f(x) = x2 + 1

0 14

12

34

1

2

1

128 บทท 5. ปรพนธ3. P = {0, 0.2, 0.5, 0.6, 0.8, 1}

X

Y f(x) = x2 + 1

0 0.2 0.5 0.6 0.8 1

1

2

4. P เปนผลแบงกนโดยแบงออกเปน n ชองเทา ๆ กน

X

Y f(x) = x2 + 1

0 1n

2n

3n

k−1n

kn

n−1n

1

1

2

... ...


บทนยาม 5.3.4 ให y = f(x) เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] และ P = {x0, x1, x2, ..., xn}เปนผลแบงกน [a, b] สำหรบ k = 1, 2, 3, ..., n และ ∆xk = xk − xk−1 ถา x∗

k ∈ [xk−1, xk]

หรอ mk ≤ f(x∗k) ≤ Mk แลว

S∗(P, f) =n∑

k=1

f(xk)∆xk

เรยก S∗(P, f) วาผลบวกรมนน (Riemann sum) ของ f บนชวง [a, b] เทยบกบผลแบงกน P

จากการนยามผลบวกรมนนจะไดวาL(P, f) ≤ S∗(P, f) ≤ U(P, f)

ตวอยาง 5.3.5 ให f(x) = x2 บนชวง [0, 1] และ P เปนผลแบงกนทแบงช วง [0, 1] เปน n ชองเทา ๆ กน จงหา

1. L(P, f)

2. U(P, f)

3. S∗(P, f) เมอ x∗i เปนจดกงกลางของชวง [xi−1, xi]

4. limn→∞

L(P, f), limn→∞

U(P, f) และ limn→∞

S∗(P, f)


ทฤษฎบท 5.3.6 ให y = f(x) เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] และ P = {x0, x1, x2, ..., xn}

เปนผลแบงกน [a, b] ถา limn→∞

∥P∥ = 0 โดยท

∥P∥ = max{|xi − xi−1| : i = 1, 2, 3, ..., n}

แลว limn→∞

L(P, f), limn→∞

S∗(P, f) และ limn→∞

U(P, f) มคา และ

limn→∞

L(P, f) = limn→∞

S∗(P, f) = limn→∞

U(P, f) = A

เมอ A เปนพนทระหวางเสนโคง y = f(x) กบแกน X บนชวง [a, b]

บทนยาม 5.3.7 ให y = f(x) เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] และ P เปนผลแบงกน [a, b] ถาlim

n→∞S∗(P, f) = L

จะกลาววา f หาปรพนธได (integrable) บน [a, b] และเรยกคาลมต L วา ปรพนธจำกดเขตหรอ อนทรกรลจำกดเขต (definite integral) ของ f บน [a, b] และเขยนแทนดวย∫ b

a

f(x) dx = L

เรยก a และ b วาลมตลาง (lower limit) และลมตบน (upper limit) ตามลำดบตวอยาง 5.3.8 กำหนดให f(x) = α สำหรบคา x ∈ [a, b] เมอ α เปนคาคงตว จงแสดงวา∫ b

a

f(x) dx = α(b− a)


ทฤษฎบท 5.3.9 กำหนดให f และ g หาปรพนธไดบนชวง [a, b] และ k เปนคาคงท แลว

1.∫ c

c

f(x) dx = 0 เมอ c ∈ [a, b]

2.∫ b

a

f(x) dx = −∫ a

b

f(x) dx

3.∫ b

a

kf(x) dx = k

∫ b

a

f(x) dx

4.∫ b

a

f(x) + g(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx+

∫ b

a

g(x) dx

5.∫ b

a

f(x)− g(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx−∫ b

a

g(x) dx

6.∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx+

∫ b

c

f(x) dx เมอ c ∈ [a, b]

7. ถา f(x) ≥ 0 สำหรบ x ∈ [a, b] แลว∫ b

a

f(x) dx ≥ 0

8. ถา f(x) ≤ g(x) สำหรบ x ∈ [a, b] แลว∫ b

a

f(x) dx ≤∫ b

a

g(x) dx

9.∣∣∣∣∫ b

a

f(x) dx

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

|f(x)| dx

ตวอยาง 5.3.10 ให∫ 3

0

f(x) dx = 3,∫ 5

1

f(x) dx = 8 และ∫ 5

0

f(x) dx = 10 จงหา

1.∫ 1

0

f(x) dx

2.∫ 1

3

f(x) dx

3.∫ 5

3

f(x) dx

4.∫ 5

1

f(x) dx

5.∫ 3

5

f(x) dx

6.∫ 3

3

f(x) dx


แบบฝ กหด 5.31. จงหา L(P, f), U(P, f) และ S∗(P, f) เลอก x∗

i เปนจดกงกลางชวง

1.1 f(x) = x+ 1, x ∈ [0, 1] P =

{0,

1

4,1

2,3

4, 1

}1.2 f(x) = x2 − x, x ∈ [−1, 1] P =

{−1,−1

2, 0,

1

2, 1

}1.3 f(x) = x3 + 1, x ∈ [0, 1] P =

{0,

1

8,1

2,5

8, 1

}1.4 f(x) = |x|, x ∈ [−1, 2] P =

{−1,−1

2, 0,

1

2, 1,

3

2, 2

}2. กำหนดให f(x) = 1 − x2 สำหรบ x ∈ [0, 1] ให P เปนผลแบงกนทแบงช วง [0, 1] เปน n

ชองเทาๆกน จงหา L(P, f), U(P, f) และ S∗(P, f) เลอก x∗i เปนจดกงกลางชวง

3. กำหนดให f(x) = x2 สำหรบคา x ∈ [a, b] จงแสดงวา∫ b

a

f(x) dx =b3 − a3

3

4. กำหนดให∫ 5

1

f(x) dx = 5,∫ 5

3

f(x) dx = 8 และ∫ 10

1

f(x) dx = 15 จงหาคาของ

4.1∫ 3

1

f(x) dx

4.2∫ 1

5

f(x) dx

4.3∫ 10

5

f(x) dx

4.4∫ 10

3

f(x) dx

4.5∫ 3

5

f(x) dx

4.6∫ 5

5

f(x) dx

5. กำหนดให∫ b

a

α dx = α(b− a) และ∫ b

a

x dx =1

2(b2 − a2) จงหาคาของ

5.1∫ 1

−1

|x| dx

5.2∫ 3

0

|x− 1| dx

5.3∫ 1

0

|2x− 1| dx

5.4∫ 2

1

|3x− 2| dx

5.5∫ 3

−2

|x+ 1|+ |x| dx

5.6∫ b

a

|x− a|+ |x− b| dx

5.4. ทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส 133

5.4 ทฤษฎบทหลกมลของแคลคลสพจารณาฟงกชน f ตอเนองบนชวง [a, b] และ f(x) ≥ 0 ทกๆ x ∈ [a, b]

X

Yy = f(x)

a x b

∫ x

a

f(t) dt

ทฤษฎบท 5.4.1 ทฤษฎบทหลกมลบททหนงของแคลคลส (The First Fundamental Theoremof Calculus)ให f เปนฟงกชนตอเนองบน [a, b] และ c ∈ [a, b] กำหนดให

F (x) =

∫ x

c

f(t) dt เมอ x ∈ [a, b]

แลวจะไดวา F เปนฟงกชนทมอนพนธบนชวง [a, b] และ

F ′(x) =d

dx

∫ x

c

f(t) dt = f(t) ทกๆ x ∈ [a, b]

ทฤษฎบท 5.4.2 ให f เปนฟงกชนตอเนองบน [a, b] และ c ∈ [a, b] แลวd

dx

∫ u

c

f(t) dt = f(u)du

dx

เมอ u = u(x) เปนฟงกชนทมอนพนธท x และมเรนจเปนสบเซตของ [a, b]

ตวอยาง 5.4.3 จงหา d

dx

∫ x2+1

1

tcost dt

ตวอยาง 5.4.4 จงหา d

dx

∫ x2

x

1

1 + tdt


ทฤษฎบท 5.4.5 ทฤษฎบทหลกมลบททสองของแคลคลส (The Second FundamentalTheorem of Calculus)ให f เปนฟงกชนตอเนองบน [a, b] และ F เปนปฏยานพนธของ f บนชวง [a, b] หรอ F ′(x) = f(x)

แลว ∫ b

a

f(t) dt = F (b)− F (a)

ตวอยาง 5.4.6 จงหาคาของ1.

∫ 1

0

x2 + x+ 1 dx

2.∫ 3

1

x

x2 + 1dx

3.∫ 2

1

x2 + 1√x3 + 3x

dx

5.4. ทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส 135

ตวอยาง 5.4.7 จงหาคาของ1.

∫ π

0

sintcos3t dt

2.∫ 0

−π2

cost(1− sint)2 dt

3.∫ 1

0

arctanx1 + x2

dx


แบบฝ กหด 5.41. กำหนดให F (x) =

∫ x

1

1√t2 + 3

dt จงหา1.1 F (1) 1.2 F ′(1) 1.3 F ′′(1)

2. จงหา F ′(x) เมอกำหนดให

2.1 F (x) =

∫ x

1

1√t2 − 1

dt

2.2 F (x) =

∫ 3

x

cost2 dt

2.3 F (x) =

∫ 1+x

1−x

etarctant dt

2.4 F (x) =

∫ cosx√x

tℓn(tant) dt

3. จงหาคาปรพนธจำกดเขตตอไปน

3.1∫ 2

1

(1

x3+

1

x2+ x

)dx

3.2∫ 3

1

√x

(3− x+

1√x3

)dx

3.3∫ 1

0

|3− 4x| dx

3.4∫ π

2

π6

(x+

2

sin2 x

)dx

3.5∫ 1

−2

|x2 + 3x+ 2| dx

3.6∫ 3π

4

0

| cosx| dx

3.7∫ 4

−1

||x− 2| − 1| dx

3.8∫ 2

−1

√2 + |x| dx

3.9∫ 2

0

x√4− x2 dx

3.10∫ 0

−1

t2(t3 + 1)10 dt

3.11∫ 1

0

t√4− 3t

dt

3.12∫ π

2

0

(1 + sinx)2 dx

3.13∫ 1

−1

1

(1 + |x|)3dx

3.14∫ 8

1

1

( 3√t+ 1)4

dt

3.15∫ 1

0

y√(1 + y2)3

dy

3.16∫ 3π

4

π2

sin3xcos5x dx

3.17∫ π

2

0

cos4x1 + sinx dx

3.18∫ π

2

0

cos3z√7− 2sin3z dz

3.19∫ π

4

0

tan3θsec3θ dθ

3.20∫ π

4

0

sec4θ√tanθ dθ

3.21∫ π

3

0

tan3θ

secθ dθ

3.22∫ π

3

π6

tan32θsec2θ dθ

บทท 6เทคนคการหาปรพนธ

6.1 การหาปรพนธทละส วนกำหนดให u = u(x) และ v = v(x) เปนฟงกชนคาจรงทขนกบตวแปร x โดยกฎการคณของคาเชงอนพนธ d(uv) = udv + vdu จะไดวา∫

u dv = uv −∫

v du

เรยกวธการน วา การหาปรพนธทละส วน (integration by part)ตวอยาง 6.1.1 จงหาปรพนธตอไปน

1.∫

xex dx

2.∫

xcos2x dx

3.∫

xsin3x dx

4.∫

ℓnx dx

137

138 บทท 6. เทคนคการหาปรพนธ

ตวอยาง 6.1.2 จงหาปรพนธตอไปน

1.∫ 2

1

x2ℓnx dx

2.∫ 1

0

arctanx dx

ตวอยาง 6.1.3 จงหา∫

x5arctanx2 dx

6.1. การหาปรพนธ ทละสวน 139

ตวอยาง 6.1.4 จงหาปรพนธตอไปน1.

∫x2ex dx

2.∫

x3sinx dx



∫exsinx dx

2.∫

xexsinx dx


แบบฝ กหด 6.11. จงหาปรพนธตอไปน

1.1∫

xsinx dx

1.2∫

x22x dx

1.3∫(x3 + x)ex

2

dx

1.4∫

x3cosx dx

1.5∫

csc3x dx

1.6∫

xnℓnx dx เมอ n =−1

1.7∫

xsinx dx

1.8∫

ℓn(3x+ 5) dx

1.9∫(ℓnx)2 dx

1.10∫

e−xsinx dx

1.11∫ arccot√x√

xdx

1.12∫ (

ℓnxx

)2

dx

1.13∫

xtan2x dx

1.14∫

x2arctanx dx

1.15∫

cos(ℓnx) dx

1.16∫

ℓn(x2 + 5) dx

1.17∫

sinxℓn(cosx) dx

1.18∫(x2+3x+1)cosx dx

1.19∫

(x+ 1)2sinx dx

1.20∫

ℓnx√xdx

1.21∫

xℓnx(x2 − 1)

32

dx

1.22∫

exsin2x dx

1.23∫

sin√x dx

1.24∫

xex

(1 + x)2dx

1.25∫

x2ex

(x+ 2)2dx

1.26∫

xe√2−x dx

1.27∫

xℓn3x dx

2. จงหาคาของปรพนธจำกดเขตตอไปน

2.1∫ 1

0

xe−√x dx

2.2∫ 3π

4

π4

xcotxcscx dx

2.3∫ π

2

0

x3cos2x dx

2.4∫ π

4

0

e3xsin4x dx

2.5∫ e

√e

ℓnxx2

dx

2.6∫ 1

2

0

xarctanx√1− x2

dx

2.7∫ e

1

(ℓnx)2 dx

2.8∫ 1

2

0

arccosx dx

2.9∫ −1

−2

arcsecx dx

6.2. ปรพนธ ของฟงก ชนตรรกยะ 143

6.2 ปรพนธของฟงกชนตรรกยะการหาปรพนธฟงกชนตรรกยะ f(x) โดยท p(x) และ q(x) เปนฟงกชนพหนามในรปแบบ

f(x) =p(x)

q(x)โดยท deg p(x) < deg q(x)

เรยกวธน วา ปรพนธของฟงกชนตรรกยะ หรอ การหาปรพนธเศษส วนยอย (intrigral ofRational Function) ประกอบไปดวย 3 รปแบบดงตอไปน

รปแบบท 1. q(x) มรากทไมซำกนเลยกำหนดให q(x) = (x− a1)(x− a2)...(x− an) โดยท ai ไมมตวใดซำกนเลย แลว

p(x)

q(x)=

A1

x− a1+

A2

x− a2+ · · ·+ An

x− an


∫1

(x+ 1)(x+ 2)dx

2.∫

x

x2 − 1dx



1.∫

x2 − 1

x(2x+ 1)(x+ 2)dx

2.∫

x

(x− 1)(4x2 − 1)dx


ตวอยาง 6.2.3 จงหาปรพนธของ∫

x4 + 5

x3 + 2x2 − x− 2dx

ตวอยาง 6.2.4 จงหาปรพนธของ∫ cosx

(1 + 2sinx)(1− sinx) dx


รปแบบท 2. q(x) มรากซำใน q(x) มตวประกอบ (x− a)k จะไดวา

p(x)

(x− a)k=

A1

x− a+

A2

(x− a)2+ · · ·+ Ak

(x− a)k


∫1

(x− 1)(x+ 1)2dx

2.∫

x+ 1

x2(x− 1)2dx



1.∫

x2 + 1

(x2 − 1)2(x− 2)dx

2.∫

x3 − 1

x2(x− 2)3dx


รปแบบท 3. q(x) ไมมรากเป นจำนวนจรงใน q(x) มตวประกอบ (ax2 + bx+ c)k โดยท b2 − 4ac < 0 มตวซำกนบางตว แลว

p(x)

(ax2 + bx+ c)k=

A1x+B1

ax2 + bx+ c+

A2x+B2

(ax2 + bx+ c)2+ · · ·+ Akx+Bk

(ax2 + bx+ c)k


∫1

x(x2 + 1)2dx

2.∫

1

x4 − 1dx


ตวอยาง 6.2.8 จงหาปรพนธของ∫

11x2 − 6x+ 4

(x+ 3)(x2 + 2)2dx



1.1∫

1

16x2 − 1dx

1.2∫

x

x2 − x− 6dx

1.3∫

x3 + 5

x2 − 25dx

1.4∫

4x3 + 2x2 + 1

4x3 − xdx

1.5∫

2x3 − 5x2 + 2x− 3

x2 − 2x− 2dx

1.6∫

x− 1

x3 − x2 − 2xdx

1.7∫

x2

(x− 1)3dx

1.8∫

20x− 11

(3x+ 2)(x2 − 4x+ 5)dx

1.9∫

x4 − 8

x3 + 2x2dx

1.10∫

10x2 + 13x

(2x− 1)(x2 + 2)dx

1.11∫

11x2 + 13x

(x+ 3)(x+ 2)(x2 + 3)dx

1.12∫

35x+ 47

(3x+ 5)2(x2 + 3x+ 6)dx

1.13∫

11x2 + 13x

(x+ 3)(x+ 2)(x2 + 3)dx

1.14∫

2x

(x2 + 1)(x+ 1)2dx

1.15∫

x3

(x2 − 2x+ 10)2dx

1.16∫

4x2 + 2x+ 8

x(x2 + 2)2dx

1.17∫

(1 + sec2x)sec2x(1 + tan3x)

dx

1.18∫ cost

sint+ sin3tdt

1.19∫

1

xℓnx(1− ℓnx) dx

1.20∫

1

e3x + e2x + exdx

2. จงหาคาปรพนธจำกดเขตตอไปน

2.1∫ 0

−2

5x+ 7

x2 + 2x− 3dx

2.2∫ 1

0

x3 − x2 − 11x+ 10

x3 − 2x+ 4dx

2.3∫ 4

3

5x3 − 4x

x4 − 16dx

2.4∫ π

3

−π4

2secθtanθsec3θ + secθ dθ

6.3. ปรพนธ ของฟงก ชนตรรกยะในรปตรโกณมต 151

6.3 ปรพนธของฟงกชนตรรกยะในรปตรโกณมตพจารณาการหาปรพนธ

∫1

1 + sinx dx โดยอาศยเอกลกษณ sin2x+ cos2x = 1 จะไดวา∫

1

1 + sinx dx =

∫1− sinx

(1 + sinx)(1− sinx) dx

=

∫1− sinx1− sin2x

dx

=

∫1− sinxcos2x dx

=

∫sec2x− secxtanx dx

= tanx− secx+ C

แตเมอหาปรพนธของ∫

1

cosx+ sinx dx เราไมสามารถหาปรพนธโดยอาศยเพยงเอกลกษณไดอก ในหวขอน จงสนใจการเปลยนฟงกชนตรรกยะในรป sinx และ cosx ในรปตวแปรใหมคอ z

โดยกำหนดใหz = tanx

2

√1 + z2

1

z

x2

จากรปจะไดวา

sinx2=

z√1 + z2

และ cosx2=

1√1 + z2

ดงนนsinx = 2sinx

2cosx

2=

2z

1 + z2

cosx = cos2x2− sin2x

2=

1− z2

1 + z2

dz =(sec2x

2

) 1

2dx =

1

2(1 + z2)dx

นนคอ

sinx =2z

1 + z2และ cosx =

1− z2

1 + z2และ dx =

2

1 + z2dz


ตวอยาง 6.3.1 จงหาปรพนธ∫

1

cosx+ sinx dx



1

4cosx+ 3sinx dx



1

5 + 3sec2x dx


ตวอยาง 6.3.4 จงหาปรพนธ∫ π

2

0

1

3 + 5sinx dx



1.1∫

1

2− sinx dx

1.2∫

1

3 + 2cosx dx

1.3∫

2

tanx+ sinx dx

1.4∫

1

cosx− sinx+ 1dx

1.5∫

1

cosx− sinx+ 3dx

1.6∫ sinx

2− sinx+ 1dx

1.7∫

1

3secx− 1dx

1.8∫ cotx

1 + sinx dx

1.9∫ secx

1 + sinx dx

1.10∫ tanx

1 + tanx+ secx dx

2. จงหาคาของ∫ π

6

0

1

4− 3cos2x+ 5sin2xdx

6.4. ปรพนธ ของฟงก ชนในรปกรณฑ 157

6.4 ปรพนธของฟงกชนในรปกรณฑพจารณาฟงกชนท ถกอนทเกรตในรป n

√ax+ b เราจะกำจดเครองหมายกรณฑ เพอใหงายตอ

การหาปรพนธโดยใหz =

n√ax+ b


x3(x− 1)53 dx


x12

1 + x13

dx



3√

1 + 4√x√

xdx

6.4. ปรพนธ ของฟงก ชนในรปกรณฑ 159


1

(1 + et)32 + (1 + et)

12

dt


แบบฝ กหด 6.4จงหาปรพนธตอไปน

1.∫

x3√7x+ 2 dx

2.∫ √

5x

x+ 5dx

3.∫

1

(x+ 7)√x− 2

dx

4.∫

x4√3x− 5

dx

5.∫

1

2√x− 1 + 3

dx

6.∫

4√x

x+√xdx

7.∫

x43 − 2x

x32

dx

8.∫

1

x14 (1 + x

16 )

dx

9.∫

x12

x+ x43

dx

10.∫

1 + x14

x12 + x

dx

11.∫

3x− 1√x(1 + 3

√xdx

12.∫

1√x+ 1− 4

√x+ 1

dx

13.∫

1−√x− 3

√x2

1 + 3√x

dx

14.∫

13√x√x(1 + 3

√x)2

dx

15.∫ √

x

(1 + 3√x)2

dx

16.∫ √

3x12 − 1 dx

17.∫

3√1− 4

√x√

xdx

18.∫

e2x

4√ex + 1

dx

6.5. ปรพนธ ของฟงก ชนตรโกณมต 161

6.5 ปรพนธของฟงกชนตรโกณมตในหวขอน จะกลาวถงวธการหาปรพนธของฟงกชนตรโกณมตในรปแบบ sinmxcosnx และtanmxsecnx และ cotmxcscnx

รปแบบท 1. sinmxcosnxการหาปรพนธรปแบบ 1 . อาจจะอาศยสมบตตอไปน

1. sin2x+ cos2x = 1

2. cos2x =1

2(1 + cos2x)

3. sin2x =1

2(1− cos2x)

4. sin3x =1

4[3sinx− sin3x]

5. cos3x =1

4[3cosx+ cos3x]

6. sinxcosy =1


7. cosxsiny =1


8. cosxcosy =1


9. sinxsiny = −1



∫cos2x dx

2.∫

sin4x dx

3.∫

cos6x dx



∫sin3x dx

2.∫

cos5x dx

3.∫

cos7x dx



∫sin3xcos4 dx

2.∫

sin2xcos3x dx

3.∫

sinxcos3x dx

4.∫

sin3x3√cos5x dx



∫sin3xcos5x dx

2.∫

sin4xsin6x dx

3.∫

cos3xcos7x dx


รปแบบท 2. secmxtannx

การหาปรพนธรปแบบนอาศยสมบต sec2x− tan2x = 1 และการการหาปรพนธทละสวน และ

1.∫

sec2x dx = tanx+ C

2.∫

secxtanx dx = secx+ C

3.∫

tanx dx = ℓn|secx|+ C

4.∫

secx dx = ℓn|secx+ tanx|+ C


∫tan2x dx

2.∫

sec4x dx

3.∫

tan4x dx



∫tan3x dx

2.∫

sec3x dx

3.∫

sec5x dx



∫secxtan2x dx

2.∫

sec2xtan3 dx

3.∫

sec3xtan2x dx



∫sec2xtan4x dx

2.∫

secxtan3 dx

3.∫

sec3xtan5x dx


รปแบบท 3. cscmxcotnxการหาปรพนธรปแบบนอาศยสมบต csc2x− cot2x = 1 และการการหาปรพนธทละสวน และ

1.∫

csc2x dx = −cotx+ C

2.∫

cscxcotx dx = −cscx+ C

3.∫

cotx dx = ℓn|sinx|+ C

4.∫

cscx dx = ℓn|cscx− cotx|+ C


∫cot4x dx

2.∫

cot3x dx

3.∫

csc5x dx



∫cotxccsc3x dx

2.∫

csc2xcot4x dx

3.∫

cot4xcsc3x dx



1.1∫

sin8x dx

1.2∫

cos6x dx

1.3∫

sin5x dx

1.4∫

cos5x dx

1.5∫

sin5xcos5x dx

1.6∫

cos3xsin7x dx

1.7∫

sin7xcosx dx

1.8∫

sin9xsin11x dx

1.9∫

cos13xcos5x dx

1.10∫

tan6x dx

1.11∫

tan7x dx

1.12∫

sec7x dx

1.13∫

cot7x dx

1.14∫

cot8x dx

1.15∫

sec6x dx

1.16∫

sec7xtan7x dx

1.17∫

sec9xtan6x dx

1.18∫

sec3x√tanx dx

1.19∫

sec6xtan 115 x dx

1.20∫

cot5x√cscx dx

1.21∫ tan3xsec2x

sin2xdx

1.22∫

tan3x

3

(2 + secx

3

)2

dx

2. จงหาปรพนธจำกดเขตตอไปน

2.1∫ π

0

sin2xcos3x dx

2.2∫ π

2

π4

sinxcos3xsin2x dx

2.3∫ π

4

π6

tan5x dx

2.4∫ π

4

0

sec4 x√tanx dx

2.5∫ π

3

π6

sinx1 + cosx dx

2.6∫ 5π

6

2π3

cot3xcsc7x dx


6.6 ปรพนธโดยการแทนคาตรโกณมตการหาปรพนธของฟงกชนทอยในรปแบบ √

a2 − u2 และ √a2 + u2 และ √

u2 − a2 เมอu = u(x) และ a > 0 เปนคาคงตว อาศยการเปลยนตวแปรในรปฟงกชนของตรโกณมต เพอใชเอกลกษณ

sin2x+ cos2x = 1 และ sec2x− tan2x = 1 และ csc2x− cot2x = 1

เรยกวธน วา การหาปรพนธ โดยการแทนคาตรโกณมต (integration by trigonometricsubstitution)

รปแบบท 1. √a2 − u2

ให u = asinθ เมอ θ ∈ [−π2, π2] และ a > 0


∫ √9− x2 dx

2.∫ √

25− 4x2 dx

6.6. ปรพนธ โดยการแทนคาตรโกณมต 173


∫1√

16− x2dx

2.∫

(36− 49x2)32 dx

3.∫ √

1− e2x dx


ตวอยาง 6.6.3 จงหาคาปรพนธ∫ 4

3

1

x2√25− x2

dx


รปแบบท 2. √a2 + u2

ให u = atanθ เมอ θ ∈ (−π2, π2) และ a > 0


∫ √4 + x2 dx

2.∫ √

2 + x2 dx

3.∫

1√x2 + 2x+ 2

dx



1.∫ 2

0

√9 + 4x2 dx

2.∫

(25 + 4x2)52 dx

3.∫

x2 + 3x√x2 + 6x+ 10

dx


รปแบบท 3. √u2 − a2

ให u = asecθ เมอ θ ∈ [0, π2) ∪ [π

2, π) และ a > 0


∫ √x2 − 4 dx

2.∫

1√x2 − 9

dx


ตวอยาง 6.6.7 จงหาคาของปรพนธ∫ 3

32

√4x2 − 9

xdx


ตวอยาง 6.6.8 จงแสดงวาพนทอาณาบรเวณภายในวงรสมการx2

a2+

y2

b2= 1

มคาเทากบ πab

X

Y

a−a

b

−b



1.1∫ √

16− x2 dx

1.2∫(9 + 16x2)

32 dx

1.3∫ √

4x2 + 4x− 3 dx

1.4∫ √

a2 − x2

xdx

1.5∫

1

(25− x2)32

dx

1.6∫

x3

(x2 + 4)32

dx

1.7∫ √

x2 − 16

x3dx

1.8∫

x2

(9− x2)52

dx

1.9∫

5x2 − 2x+ 1

(25− x2)12

dx

1.10∫

1√12 + 4x− y2

dx

1.11∫

x2

√9− 8x− x2

dx

1.12∫

(t2 − 6t+ 13)32 dt

1.13∫

1

(y − 1)√

y2 − 1dy

1.14∫

1

(4s2 − 24s+ 27)32

ds

1.15∫

1

(a2 + x2)2dx เมอ a > 0

1.16∫

ex

(4e2x + 25)32

dx

1.17∫

1

e2t√e2t − 9

dt

1.18∫

1

(et + 1)32

dt

2. จงหาคาปรพนธจำกดเขตตอไปไปน

2.1∫ 6

0

√49− x2 dx

2.2∫ 2

0

x3√2x− x2 dx

2.3∫ 3

√5

x3

(x4 − 2x2 − 3)32

dx

3. จงหาปรพนธ∫

1

(√x− 1)(3− x− 2

√x)

12

dx

4. จงแสดงวาพนทอาณาบรเวณภายในวงกลม x2 + y2 = r2 มคาเทากบ πr2

บทท 7การประยกตของปรพนธ

7.1 พ นทระหวางเสนโคงใหฟงกชน f และ g เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] โดยท f(x) ≥ g(x) ทก x ∈ [a, b] ใหA = พนทอาณาบรเวณ R ซงป ดลอมดวยเสนโคง y = f(x), y = g(x) และ x = a, x = b

X

Y

R

y = g(x)

y = f(x)

x = a x = b

R = {(x, y) : a ≤ x ≤ b และ g(x) ≤ y ≤ f(x)} ดงนน A =

∫ b

a

[f(x)− g(x)] dx

X

Y

R

x = h(y) x = k(y)

y = d

y = c

R = {(x, y) : c ≤ y ≤ d และ h(y) ≤ x ≤ k(y)} ดงนน A =

∫ d

c

[k(y)− h(y)] dy

181

182 บทท 7. การประยกต ของปรพนธ

ตวอยาง 7.1.1 จงหาพนทระหวางเสนโคง y = ex และ y = −(x− 1)2 จาก x = −1 ถง x = 2

X

Y

y = ex

y = −(x− 1)2

x = −1 x = 2

ตวอยาง 7.1.2 จงหาพนทระหวางเสนโคง y = cosx และ y = sinx จาก x = 0 ถง x = π

X

Y

y = cosx

y = sinx

7.1. พนทระหวางเสนโคง 183

ตวอยาง 7.1.3 จงหาพนทป ดลอมดวยเสนตรง y = x2 + 2x และ y = x3 − 4x

X

Y

ตวอยาง 7.1.4 จงหาพนทระหวางเสนโคง y =√x− 1 เสนตรง y = 2 และ x+ 2y = 4

X

Y

0 1 2 3 4 5 6

1

2

3


แบบฝ กหด 7.1จงหาพนทของอาณาบรเวณทป ดลอมดวยเสนโคงในแตละขอตอไปน

1. y = x และ y = x2 − 4x+ 6

2. y = 4x− x2 และ y = x จาก x = 0 ถง x = 4

3. y = 2x และ y = 2x− x2 จาก x = 0 ถง x = 2

4. y =

√3x+ 1

xและ y = 0 จาก x = 1 ถง x = 8

5. y = xcosx และแกน X จาก x = 0 ถง x = π

6. y = 2− x2 และ y = |x|

7. y = sinx และ y = cosx จาก x = −3π4

ถง x = π4

8. y = x2 − x และ y = x− x2

9. y = sin2x และ y = cosx จาก x = −π2

ถง x = π4

10. y =√1 + x2 และแกน X จาก x = 0 ถง x = 2

√2

11. y = x2 − x และ y = sinπx12. y = 2 + |x− 1| และ 5y + x = 35

13. y = xsinx และ y = x จาก x = 0 ถง x = π2

14. y = x3 − 6x2 + 8x และแกน X จาก x = 0 ถง x = 4

15. y2 = x+ 2 และ y = x

16. x = y − y2 และ y = x+ 2

17. x = y3 + 1 และ x = 3y − 1

18. x = y2 − 4y − 3 และ x = 1− 2y2

19. y = x2, x = y3 และ x+ y = 2

20. y = x2 − x, y = x2 − 9x+ 16 และ y = −x

21. x+ y = 1, x+ y = 5, y = 2x+ 1 และ y = 2x+ 6

22. y = x3 − x, x+ y + 1 = 0 และ x =√y + 1

23. xy = 1 และ 2x+ 2y = 5

24. x2 − 2x− 4y + 9 = 0, x+ 2y = 5 และ y2 − 4y + x = 0

25. x2 + y2 = 25 และ x2 + y2 − 16x+ 39 = 0

7.2. ปรมาตรของรปทรงตนซงหาพนทภาคตดได 185

7.2 ปรมาตรของรปทรงตนซงหาพ นทภาคตดไดให L เปนเสนตรงในสามมต และ P เปนจดในสามมต เมอลากเสนตรงจากจด P ไปตงฉากกบ Lทจด Q จะเรยก Q วา ภาพฉาย (projection) ของ P บน L

L

P

Q

ถา S เปนรปทรงตนในสามมต S จะประกอบไปดวยจดในสามมต ภาพฉายของ S บน L คอเซตของจดทเปนภาพฉายของจดตาง ๆ ทเปนสมาชกของ S บน L และเรยกอาณาบรเวณระนาบซงไดจากการตด S ดวยระนาบทตงฉากกบ L วา ภาคตด (cross section) ของ S ทตงฉากกบ L

La b

S

x

A(x)

ให A(x) เปนพนภาคตดของ S ทตงฉากตบแกน X ทจด x ใด ๆ เมอ x ∈ [a, b] โดยท A เปนฟงกชนทมความตอเนองบนชวง [a.b] จะไดวา ปรมาตร V ของรปทรงตน S หาไดจาก

V =

∫ b

a

A(x) dx

186 บทท 7. การประยกต ของปรพนธตวอยาง 7.2.1 จงหาปรมาตรทรงกลมรศม r หนวย

ตวอยาง 7.2.2 จงหาปรมาตรของพระมดตรงทมความสงตรง h หนวย และมฐานเปนรปสเหลยมจตรสซงมความยาวดานละ r หนวย

7.2. ปรมาตรของรปทรงตนซงหาพนทภาคตดได 187

แบบฝ กหด 7.21. จงหาปรมาตรของรปทรงตนซงมฐานเปนวงกลมรศม 3 หนวยและทกภาคตดทตงฉากกบ

เสนผานศนยกลางของฐานเปน

1.1 รปสเหลยมจตรส1.2 รปสเหลยมหนาจวทมส วนสงเทากบฐาน

2. จงหาปรมาตรของรปทรงตนทมฐานลอมรอบดวยวงร x2 + 4y2 = 4 และถาตดรปทรงตนนดวยระนาบทตงฉากกบแกน X ภาคตดจะเปนรปครงวงรทมแกนโทอยบนฐาน และมครงแกนเอกยาว 2 หนวย (กำหนดใหพนทวงรเทากบ πab เมอ a คอความยางครงแกนเอกและ b คอความยาวครงแกนโท)

3. อางเกบนำรปครงทรงกลมมเสนผานศนยกลางยาว 40 เมตรมนำบรรจอยทระดบตำกวาขอบอาง 5 เมตร จงหาปรมาตรของนำในอาง

4. จงหาปรมาตรของรปทรงตนทมฐานอยบนระนาบ XY ลอมรอบดวย 4x2 + 4y2 = 36 และถาตดรปทรงตนน ดวยระนาบทตงฉากกบแกน X แลวภาคตดจะเปนรปครงวงกลม โดยทเสนผานศนยกลางอยบนฐาน

5. ฐานของรปทรงตนรปหนง คออาณาบรเวณทป ดลอมดวยแกน X แกน Y เสนตรง x = e

และเสนโคง y = ex จงหาปรมาตรของรปทรงตน ซงภาคตดตงฉากกบแกน Y เปนรปสามเหลยมดานเทา


7.3 ปรมาตรของรปทรงตนทเกดจากการหมนรปทรงตนทเกดจากการหมน (Solid by Rotation) คอรปทรงตนท ไดจากการหมนอาณาบรเวณในระนาบรอบเสนตรงเสนตรงซงอยระนาบเดยวกน โดยเรยกเสนตรงนนวาแกนหมน(axis of rotation) และเรยกปรมาตรของรปทรงตนนนวา ปรมาตรของรปทรงตนทเกดจากการหมน (volume by rotation)

การหาปรมาตรทเกดจากการหมนของอาณาบรเวณในระนาบ XY ขอบแกน X หรอเสนตรงทขนานกนแกน X และแกน Y หรอเสนตรงทขนานกบแกน Y โดยการหาปรมาตรดงกลาวไดจาก2 วธคอ

1. วธทแบบจาน (method of dishs)2. วธแบบเปลอกทรงกระบอก (method of cylindrical shells)

1. การหาปรมาตรของรปทรงตนโดยวธแบบจานการหมนรอบแกน X และรอบเสนตรงทขนานกบแกน X

X

Y

y = f(x)

a b

RX

Y

y = f(x)

a bR

xx

V =

∫ b

a

π[f(x)]2 dx

y = k

Y

y = f(x)

a bx

R

X

V =

∫ b

a

π[f(x)− k]2 dx

7.3. ปรมาตรของรปทรงตนทเกดจากการหมน 189

การหมนรอบแกน Y และรอบเสนตรงทขนานกบแกน Y

X

Y

x = h(y)d

cR

X

Y

x = h(y)d

cR

y

V =

∫ d

c

π[h(y)]2 dy

X

x = kY

x = h(y)d

cR

yV =

∫ d

c

π[h(y)− k]2 dy

ตวอยาง 7.3.1 จงหาปรมาตรทเกดจากการหมนอาณาบรเวณทป ดลอมดวยแกน X แกน Y และเสนโคง y = (x− 2)2 รอบแกน X และรอบแกน Y

X

Y

0 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

y = (x− 2)2


ตวอยาง 7.3.2 จงหาปรมาตรทเกดจากการหมนอาณาบรเวณทป ดลอมดวยเสนโคง xy = 3

เสนตรง x = −1 และ y = 3x+ 8 รอบเสนตรง x = −1

X

Y

−6−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 6

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

xy = 3

y = 3x+ 8

x = −1


ตวอยาง 7.3.3 จงหาปรมาตรทเกดจากการหมนอาณาบรเวณทป ดลอมดวยเสนโคง y =√x

เสนตรง y = x รอบแกน X

X

Y

0 1 2

−1

0

1 y =√x

y = x


ตวอยาง 7.3.4 จงหาปรมาตรทเกดจากการหมนอาณาบรเวณทป ดลอมดวยเสนโคง y =√x

และ y = x3 รอบแกน Y

X

Y

−1 0 1

1

y =√x

y = x3


ตวอยาง 7.3.5 จงหาปรมาตรทเกดจากการหมนอาณาบรเวณทป ดลอมดวยเสนโคง y2 = x

และ y = x รอบเสนตรง x = 5 และรอบเสนตรง y = 4

X

Y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

y = x

y2 = 4x

x = 5

X

Y

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

y = x

y2 = 4x

y = 4


2. การหาปรมาตรของรปทรงตนโดยวธแบบเปลอกทรงกระบอกการหมนรอบแกน X และรอบเสนตรงทขนานกบแกน X

X

Y

x = p(y) x = q(y)

c

d

R X

Yx = p(y) x = q(y)

c

d

Ry

V =

∫ d

c

2πy[k(y)− h(y)] dy

X

y = k

Yx = p(y) x = q(y)

c

d

Ry

V =

∫ d

c

2π|y − k|[k(y)− h(y)] dy


การหมนรอบแกน Y และรอบเสนตรงทขนานกบแกน Y

X

Y

y = f(x)

y = g(x)

a b

R

X

Y

y = f(x)

y = g(x)

a b

R

x

V =

∫ b

a

2πx[f(x)− g(x)] dx

X

x = kY

y = f(x)

y = g(x)

a b

R

x

V =

∫ b

a

2π|x− k|[f(x)− g(x)] dx


ตวอยาง 7.3.6 จงหาปรมาตรทเกดจากการหมนอาณาบรเวณทป ดลอมดวยแกน X แกน Y และเสนโคง y = (x− 2)2 รอบแกน X และรอบแกน Y โดยวธแบบเปลอกทรงกระบอก

X

Y

0 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

y = (x− 2)2

X

Y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

1

2

3

4

5

y = (x− 2)2


ตวอยาง 7.3.7 จงหาปรมาตรทเกดจากการหมนอาณาบรเวณทป ดลอมดวยเสนโคง xy = 3

เสนตรง x = −1 และ y = 3x+ 8 รอบเสนตรง x = −1 โดยวธแบบเปลอกทรงกระบอก

X

Y

−6−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 6

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

xy = 3

y = 3x+ 8

x = −1


ตวอยาง 7.3.8 จงหาปรมาตรทเกดจากการหมนอาณาบรเวณทป ดลอมดวยแกน X แกน Y เสนโคง y =

√x− 1 เสนตรง x = 3 และเสนตรง y = 2 รอบแกน X และเสนตรง y = 3 โดยวธแบบ

เปลอกทรงกระบอก

X

Y

0 1 2 3 4

−3

−2

−1

0

1

2

3

y =√x− 1

X

Y

0 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7

y =√x− 1

y = 3


ตวอยาง 7.3.9 จงหาปรมาตรทเกดจากการหมนอาณาบรเวณทป ดลอมดวยแกน X แกน Y เสนโคง y = x2 − 4x และ y = 16− x2 รอบแกนเสนตรง x = 6 โดยวธแบบเปลอกทรงกระบอก

X

Y

−2 0 2 4 6 8 10 12 14

−5

0

5

10

15

20

y = x2 − 4x

x = 6

y = 16− x2


แบบฝ กหด 7.31. จงหาปรมาตรของรปทรงตนทเกดจากการหมนอาณาบรเวณทป ดลอมดวยเสนโคงตอไป

น โดยใชวธแบบจาน1.1 y = x, x = 1 และ y = 0 รอบแกน X1.2 y = x2 − 4x และแกน X รอบแกน X1.3 y = 4x− x2 และแกน X จาก x = 0 ถง x = 5 รอบแกน X1.4 y = cosx, x = 0 และ y = 0 ในจตภาคท1 รอบแกน X1.5 y + x+ 1 = 0, x− 2y = 2 และ y = 0 รอบแกน X1.6 y = x2, x = 1 และ y = 0 รอบแกน Y1.7 x = 2y − y2 − 2 และ x = −5 รอบแกน Y1.8 y = x2, x = 1 และแกน X รอบเสนตรง x = −1 และ

รอบเสนตรง y = −1

1.9 y = x2 − x และ y = 2x− x2 รอบเสนตรง y = 2

2. จงหาปรมาตรของรปทรงตนทเกดจากการหมนอาณาบรเวณทป ดลอมดวยเสนโคงตอไปน โดยใชวธแบบเปลอกทรงกระบอก2.1 y = x3, x = 2, x = 3 และแกน X รอบแกน Y2.2 y = x และ y = x2 รอบแกน Y2.3 y = x2 − x3 และแกน X รอบแกน Y2.4 x =

√9− y2 และแกน Y รอบแกน Y

2.5 y = 2x, x = 6 และ x = 0 รอบแกน X2.6 x+ y = 4, y = 2

√x− 1 และแกน X รอบแกน X

2.7 y = x2, x = 1 และ y = 0 รอบเสนตรง x = 1

2.8 y = 2− |x| และแกน X รอบเสนตรง y = −1

2.9 x = y2, x = 0 และ x+ y = 2 รอบเสนตรง y = −3

3. จงหาปรมาตรของรปทรงตนทเกดจากการหมนอาณาบรเวณทป ดลอมดวยเสนโคงตอไปน3.1 y = sinx, y = cosx, x = 0 และ x = π

4รอบแกน X

3.2 y = |x|3, x = −1, x = 1 และแกน X รอบแกน X3.3 x2 + y2 − 4x+ 3 = 0 รอบแกน Y3.4 y2 = x3, x = 4 และแกน X รอบเสนตรง y = 8

3.5 y2 = x3, y = 6 และแกน Y รอบเสนตรง y = 8

บทท 8ปรพนธไมตรงแบบจากแนวคดการหาปรพนธไมจำกดเขต

∫ b

a

f(x) dx เมอ f เปนฟงกชนคาจรงบนชวง [a, b] เราจะขยายแนวคดไปยงกรณการหาปรพนธบนชวงอนนต หรอการหาปรพนธ ของฟงกชนท ไมมขอบเขตบนชวงการหาปรพนธ เรยกปรพนธลกษณะน วา ปรพนธไมตรงแบบ หรออนทกรลไมตรงแบบ (improper integral) แบงออกเปน 3 ชนด

1. ปรพนธไมตรงแบบชนดทช วงการหาปรพนธเปนช วงอนนต2. ปรพนธไมตรงแบบชนดทช วงการหาปรพนธของฟงกชนทไมมขอบเขตบนชวงการหา

ปรพนธ3. ปรพนธ ไมตรงแบบชนดท ช วงการหาปรพนธ เปนช วงอนนต และชวงการหาปรพนธ ของ

ฟงกชนทไมมขอบเขตบนชวงการหาปรพนธ

8.1 ปรพนธไมตรงแบบชนดทหนงบทนยาม 8.1.1 ให a, b เปนจำนวนจรง และ a < b

1. ให f เปนฟงกชนมขอบเขตและหาปรพนธไดบนชวง [a, t] ทก ๆ t > a

ถา limt→∞

∫ t

a

f(x) dx มคา จะกลาววา ปรพนธไมตรงแบบ∫ ∞

a

f(x) dx ลเขา (convergence)และ ∫ ∞

a

f(x) dx = limt→∞

∫ t

a

f(x) dx

2. ให f เปนฟงกชนมขอบเขตและหาปรพนธไดบนชวง [t, b] ทก ๆ t < b

ถา limt→−∞

∫ b

t

f(x) dx มคา จะกลาววา ปรพนธไมตรงแบบ∫ b

−∞f(x) dx ลเขา และ

∫ b

−∞f(x) dx = lim

t→−∞

∫ b

t

f(x) dx

3. ให f เปนฟงกชนมขอบเขตและหาปรพนธไดบนชวง [a, b] ทก ๆ a, b

201

202 บทท 8. ปรพนธ ไมตรงแบบ∫ ∞

−∞f(x) dx ลเขากตอเมอ

∫ 0

−∞f(x) dx และ

∫ ∞

0

f(x) dx ลเขา∫ ∞

−∞f(x) dx ลออก (divergence) กตอเมอ

∫ 0

−∞f(x) dx หรอ

∫ ∞

0

f(x) dx ลออก

ตวอยาง 8.1.2 จงพจารณาปรพนธไมตรงแบบตอไปน วาลเขาหรอลออก

1.∫ ∞

1

1

(x− 2)3dx 2.

∫ ∞

1

1

x− 2dx

ตวอยาง 8.1.3 จงพจารณาวาปรพนธไมตรงแบบตอไปน วาลเขาหรอลออก

1.∫ 0

−∞x2−x2

dx 2.∫ ∞

0

1

x2 − 2x+ 5dx

8.1. ปรพนธ ไมตรงแบบชนดทหนง 203

ตวอยาง 8.1.4 จงพจารณาวาปรพนธไมตรงแบบตอไปน วาลเขาหรอลออก

1.∫ ∞

−∞

1

x2 − 2x+ 5dx 2.

∫ ∞

−∞

x√2x2 + 1

dx

ตวอยาง 8.1.5 จงหาพนทของอาณาบรเวณทอยระหวางเสนโคง

y =1

x2 − 1กบแกน X เมอ x ≥ 3

204 บทท 8. ปรพนธ ไมตรงแบบ

แบบฝ กหด 8.11. จงพจารณาวาอนทรกรลไมตรงแบบตอไปน วาลเขาหรอลออก

1.1∫ ∞

2

1

(x+ 1)2dx

1.2∫ ∞

0

cosx dx

1.3∫ ∞

1

ℓnxx

dx

1.4∫ ∞

e

1

xℓn3xdx

1.5∫ ∞

0

1

1 + 2xdx

1.6∫ ∞

−1

x

1 + x2dx

1.7∫ ∞

2

1

4 + x2dx

1.8∫ ∞

0

1√ex

dx

1.9∫ ∞

0

xe−x dx

1.10∫ ∞

0

e−xcosx dx

1.11∫ ∞

0

1

ex + e2xdx

1.12∫ ∞

0

1√x(1 + e

√x)

dx

1.13∫ 1

−∞

1

3− 2xdx

1.14∫ 0

−∞e3x dx

1.15∫ −1

−∞

x√1 + x2

dx

1.16∫ 0

−∞

1

(1− x)52

dx

1.17∫ 0

−∞

ex

3− 2exdx

1.18∫ 0

−∞

1

(x− 8)23

dx

1.19∫ 0

−∞

1

2x2 + 2x+ 1dx

1.20∫ ∞

−∞

|x+ 1|x2 + 1

dx

1.21∫ ∞

−∞

x2

x2 + 1dx

1.22∫ ∞

−∞

x

(x2 + 3)2dx

1.23∫ ∞

−∞

1

ex + e−xdx

1.24∫ ∞

−∞xe−x2

dx

2. จงหาคาของ a ททำให∫ ∞

0

e−ax dx = 5

3. จงหาพนทของอาณาบรเวณทอยระหวางเสนโคง y =8

x2 − 4กบแกน X เมอ x ≥ 3


xและ y =

1

x2เมอ x ≥ 1

8.2. ปรพนธ ไมตรงแบบชนดทสอง 205

8.2 ปรพนธไมตรงแบบชนดทสองบทนยาม 8.2.1 ให a, b เปนจำนวนจรง และ a < b

1. ให f เปนฟงกชนมขอบเขตและหาปรพนธไดบนชวง [t, b] ทกๆ a < t < b

และ limx→a+

f(x) = ±∞ ถา limt→a+

∫ t

a

f(x) dx มคา จะกลาววา ปรพนธไมตรงแบบ∫ b

a

f(x) dx

ลเขา และ ∫ b

a

f(x) dx = limt→a+

∫ b

t

f(x) dx

2. ให f เปนฟงกชนมขอบเขตและหาปรพนธไดบนชวง [a, t] ทกๆ a < t < b

และ limx→b−

f(x) = ±∞ ถา limt→b−

∫ t

a

f(x) dx มคา เราจะกลาววา ปรพนธ ไมตรงแบบ∫ b

a

f(x) dx ลเขา และ∫ b

a

f(x) dx = limt→b−

∫ t

a

f(x) dx

3. ให f เปนฟงกชนมขอบเขตและหาปรพนธ ไดบนชวง (a, b) และ limx→a+

f(x) = ±∞ และlim

x→b−f(x) = ±∞ โดยทม c ∈ (a, b) ททำให f มขอบเขตและหาปรพนธ ไดบนชวง [s, c]

และ [c, s] ทกๆ s, t ซง a < s < c < t < b ถาปรพนธ ไมตรงแบบ∫ c

a

f(x) dx และ∫ b

c

f(x) dx ลเขา เราจะกลาววา ปรพนธไมตรงแบบ∫ b

a

f(x) dx ลเขา และ∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx+

∫ b

c

f(x) dx

ปรพนธไมตรงแบบ∫ b

a

f(x) dx ลออก กตอเมอ∫ c

a

f(x) dx หรอ∫ b

c

f(x) dx ลออก

ตวอยาง 8.2.2 จงพจารณาวาปรพนธไมตรงแบบ∫ 2

1

1

(x− 1)2dx วาลเขาหรอลออก



0

x√1− x2

dx วาลเขาหรอลออก


0

1

x(x− 1)dx วาลเขาหรอลออก

8.2. ปรพนธ ไมตรงแบบชนดทสอง 207

ตวอยาง 8.2.5 จงพจารณาวาปรพนธไมตรงแบบ∫ e

1e

1

x 3√ℓnx dx วาลเขาหรอลออก

ตวอยาง 8.2.6 จงหาพนทของอาณาบรเวณทอยระหวางเสนโคง

y =1

x2กบแกน X เมอ x ∈ [−2, 1]


แบบฝ กหด 8.21. จงพจารณาวาอนทรกรลไมตรงแบบตอไปน วาลเขาหรอลออก

1.1∫ 9

0

1√xdx

1.2∫ 1

0

1√1− x2

dx

1.3∫ 4

3

1

(x− 3)2dx

1.4∫ 4

0

1

(4− x)32

dx

1.5∫ 2

1

x√x− 1

dx

1.6∫ 1

0

xℓnx dx

1.7∫ π

6

0

cosx1− 2sinx dx

1.8∫ π

2

0

sec2x dx

1.9∫ 2

0

2x+ 1

x2 + x− 6dx

1.10∫ 1

0

ℓnx dx

1.11∫ 4

0

ℓn√x√x

dx

1.12∫ 1

0

1√1−

√xdx

1.13∫ 4

2

x3√x− 2

dx

1.14∫ 2

0

x

(x2 − 1)2dx

1.15∫ 8

−1

13√xdx

1.16∫ 7

−2

1

(x+ 1)23

dx

1.17∫ 1

−1

1√|x|

dx

1.18∫ 4

2

1

(x− 3)7dx

1.19∫ 3

0

1

x2 + 2x− 3dx

1.20∫ 3

1

x

(x2 − 4)3dx

1.21∫ 2

−1

1

x2cos1

xdx

1.22∫ 2

0

1√2x− x2

dx

1.23∫ 2

−1

1

x2 − x− 2dx

1.24∫ 1

0

1

x(ℓnx) 15

dx


(1− x)2กบแกน X เมอ x ∈ [0, 4]


xและ y =

1

x(x2 + 1)เมอ x ∈ [0, 1]

8.3. ปรพนธ ไมตรงแบบชนดผสม 209

8.3 ปรพนธไมตรงแบบชนดผสมในหวขอน เราพจารณาปรพนธ ไมตรงแบบแบบชนดท หนงและสอง โดยการพจารณาเปนช วงยอย และพจารณาการลเขาลออกตามนยามตามหวขอทกลาวมาแลว

ตวอยาง 8.3.1 จงพจารณาวาปรพนธไมตรงแบบ∫ ∞

1

1√x− 1



−∞

1

x2dx วาลเขาหรอลออก



0

e−√x

√x


8.3. ปรพนธ ไมตรงแบบชนดผสม 211

แบบฝ กหด 8.3จงพจารณาวาปรพนธไมตรงแบบตอไปน วาลเขาหรอลออก

1.∫ ∞

0

1

(x− 1)23

dx

2.∫ ∞

1

1

x√x2 − 1

dx

3.∫ ∞

−1

1

x2 − 1dx

4.∫ ∞

1

1

xℓnx dx

5.∫ ∞

0

x−0.1 dx

6.∫ ∞

0

1√x(x+ 4)

dx

7.∫ ∞

1

1

x2 − 6x+ 8dx

8.∫ ∞

0

√x

1−√xdx

9.∫ ∞

2

1

(x+ 7)√x− 2

dx

10.∫ ∞

−∞

1

x2 + 2x+ 1dx

11.∫ ∞

−∞

1

x2 − 3x+ 2dx

12.∫ ∞

−∞

ex

ex − 1dx

สรปสตรเกยวกบแคลคลสเอกลกษณตรโกณมต

1. sinxcscx = 1

2. cosxsecx = 1

3. cotxtanx = 1

4. sin2x+ cos2x = 1



7. sin(−x) = −sinx8. cos(−x) = cosx9. tan(−x) = −tanx

10. sin(x± y) = sinxcosy ± cosxsiny11. cos(x± y) = cosxcosy ∓ sinxsiny

12. tan(x± y) =tanx± tany1∓ tanxtany

13. sin(2x) = 2sinxcosx =2tanx

1 + tan2x

14. cos2x = cos2x− sin2x

cos2x = 1− 2sin2x = 2cos2x− 1

cos2x = 2cos2x− 1

15. tan(2x) = 2tanx1− tan2x

16. cos2x =1

2(1 + cos2x)

17. sin2x =1

2(1− cos2x)

18. tan2x =1− cos2x1 + cos2x

19. tanx =sin2x

1 + cos2x =1− cos2x

sin2x20. sin3x = 3sinx− 4sin3x

21. cos3x = 4cos3x− 3cosx22. sin3x =

1

4[3sinx− sin3x]

23. cos3x =1

4[3cosx+ cos3x]

24. tan3x =3tanx− tan3x

1− 3tan2x

25. sinx+siny = 2sin(x+ y

2

)cos

(x− y

2

)

26. sinx−siny = 2cos(x+ y

2

)sin

(x− y

2

)

27. cosx+cosy = 2cos(x+ y

2

)cos

(x− y

2

)

28. cosx−cosy = −2sin(x+ y

2

)sin

(x− y

2

)

29. sinxcosy =1


30. cosxsiny =1


31. cosxcosy =1


32. sinxsiny = −1


อนพนธของฟงกชน1. d

dxC = 0

2. d

dxx = 1

3. d

dxxn = nxn−1

4. (af)′(x) = af ′(x)

5. (f ± g)′(x) = f ′(x)± g′(x)

6. (fg)′(x) = f ′(x)g(x) + g′(x)f(x)

7.(f

g

)′

(x) =g(x)f ′(x)− f(x)g′(x)

[g(x)]2

8. (f ◦ g)′(x) = f ′(g(x))g′(x)

9. d

dxex = ex

10. d

dxax = axℓna

11. d

dxℓn|x| = 1

x

12. d

dxloga|x| =

1

xℓna13. d

dxsinx = cosx

14. d

dxcosx = −sinx

15. d

dxtanx = sec2x

16. d

dxsecx = secxtanx

17. d

dxcotx = −csc2x

18. d

dxcscx = −cscxcotx

19. d

dxarcsinx =

1√1− x2

20. d

dxarccosx = − 1√

1− x2

21. d

dxarctanx =

1

1 + x2

22. d

dxarccotx = − 1

1 + x2

23. d

dxarcsecx =

1

|x|√x2 − 1

24. d

dxarccscx = − 1

|x|√x2 − 1

คาเชงอนพนธ1. dC = 0

2. d(u+ v) = du+ dv

3. d(ku) = kdu

4. u′dx = du

5. d(uv

)=

vdu− udv

v2

6. d(uv) = vdu+ udv

ปรพนธของฟงกชน1.

∫af(x)dx = a

∫f(x)dx

2.∫

f(x) + g(x)dx =

∫f(x)dx+

∫g(x)dx

3.∫

kdx = kx+ C

4.∫

vdu = uv −∫

vdu

5.∫

xndx =xn+1

n+ 1+ C, n = −1

6.∫

1

xdx = ℓn|x|+ C

7.∫

exdx = ex + C

8.∫

eaxdx =1

aeax + C

9.∫

axdx =ax

ℓna + C

10.∫

sinxdx = −cosx+ c

11.∫

cosxdx = sinx+ C

12.∫

sec2xdx = tanx+ C

13.∫

secxtanxdx = secx+ C

14.∫

csc2xdx = −cotx+ C

15.∫

cscxcotxdx = −cscx+ C

16.∫

tanxdx = ℓn|secx|+ C

17.∫

secxdx = ℓn|secx+ tanx|+ C

18.∫

cotxdx = ℓn|sinx|+ C

19.∫

cscxdx = ℓn|cscx− cotx|+ C

20.∫

eaxsinbxdx =eax

a2 + b2(asinbx− bcosbx) + C

21.∫

eaxcosbxdx =eax

a2 + b2(acosbx+ bsinbx) + C

22.∫

1√1− x2

dx = arcsinx+ C

23.∫

1

1 + x2dx = arctanx+ C

24.∫

1

|x|√x2 − 1

dx = arcsecx+ C

25.∫

ℓnxdx = xℓnx− x+ C

26.∫

cosaxdx =1

asinax+ C

27.∫

sinaxdx = −1

acosax+ C

28.∫

arcsinxdx = xarcsinx+√1− x2 + C

29.∫

arccosxdx = xarccosx−√1− x2 + C

30.∫

arctanxdx = xarctanx− 1

2ℓn(1 + x2) + C

31.∫

arccotxdx = xarccotx+1

2ℓn(1 + x2) + C

32.∫

arcsecxdx = xarcsecx− ℓn|x+√x2 − 1|+ C

33.∫

arccscxdx = xarccscx+ ℓn|x+√x2 − 1|+ C

บรรณานกรมดำรง ทพยโยธา, ยวรย พนธกลา และณฏฐนาถ ไตรภพ. (2548). แคลคลส ๑. กรงเทพฯ:

สำนกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.James Stewart. (2012). Calculus Early Transcendentals. Canada. Nelson Education,

Ltd.Josip Hercet, Lorraine Heienrichs, Palmira Mariz Seiler and Marlence Torres Skoumal.

(2012). Mathematics higher level. New York: Oxford university press.Pual Glendinning. (2012). Maths in minutes. London, England: Quercus Editions

Ltd.Tom Jackson. (2012). Mathematics an illustrated history of numbers. New York:

Shelter Harbor Press and Worth Press Ltd

ประวตผเขยน

นายธนชยศ จำปาหวาย• ปรญญาเอก วทยาศาสตรดษฎบณฑต (คณตศาสาตร), จฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2557

Ph.D. (Mathematics), Chulalongkorn University, 2014• ปรญญาโท วทยาศาสตรมหาบณฑต (คณตศาสาตร), จฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2552

M.Sc. (Mathematics), Chulalongkorn University, 2009• ปรญญาตร วทยาศาสตรบณฑต (คณตศาสาตร, เกยตรนยมอนดบสอง),

จฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2549B.Sc. (Mathematics, 2nd class honours),Chulalongkorn University, 2006

• ปจจบนดำรงตำแหนงอาจารยประจำสาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตรมหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

Email: [email protected]: www.facebook.com/Jampawai

Office: 1145Block: www.eledu.ssru.ac.th/thanatyod_ja

ผลงานทางวชาการ1. เอกสารประกอบการสอนวชาทฤษฎเซต, 25612. เอกสารประกอบการสอนวชาสมการเชงอนพนธสำหรบคร, 2560

3. หนงสอความจรงทตองพสจน, 25604. เอกสารประกอบการสอนวชาหลกการคณตศาสตรสำหรบคร, 25595. ตำราวชาทฤษฎจำนวน, 2559

คณตศาสตริ 1 mathematics1 · map1402 คณิตศาสตร 1 mathematics1...

Documents