อนุพันธ ของฟ งก ชันหลายต ัวแปร ·...
TRANSCRIPT
อนุพันธของฟงกชันหลายตัวแปร
1. ฟงกชันหลายตัวแปร การศึกษาที่ผานมาเรารูจักฟงกชันในรูป y = f(x) ซ่ึงหมายความวาเราสามารถเขียนปริมาณหรือตัวแปรตาม y ในเทอมของตัวแปรอิสระ x เพียงตัวเดียวอยางชัดเจน แตในความเปนจริง เราพบวาปริมาณหลายส่ิงที่ไมไดขึ้นอยูกับตัวแปรเพียงตัวเดียว เชน คะแนนเฉลี่ยสะสมของนักศึกษาคนหนึ่งขึ้นอยูกับจํานวนวิชาทั้งหมดที่นักศึกษาจะตองลงทะเบียนเรียน หรือตัวอยางในทางคณิตศาสตรที่พบกันบอยๆ เชน ปริมาตรของทรงกระบอกกลมขึ้นอยูกับความสูงและรัศมีของฐาน พื้นที่ส่ีเหล่ียมผืนผาขึ้นกับความกวางและความยาว หรือขนาดของแตละเวกเตอรใน 3 มิติ v = xi + yj + zk เปนปริมาณที่ขึ้นกับตัวแปร x, y และ z เปนตน การกําหนดคาจริงคาหนึ่งขึ้นกับแตละชุดของตัวแปร n ตัวโดยที่ n ≥ 2 เราจะไดฟงกชันคาจริงของหลายตัวแปร เชน ปริมาตรของทรงกระบอกกลม V = πr2h เปนการกําหนดคาจริงสําหรับแตละชุดของ r และ h ดังนั้น V จึงเปนตัวแปรในรูปฟงกชันคาจริงของ 2 ตัวแปร เปนตน และเพราะแตละคูอันดับ (x1, x2) หรือชุด n-อันดับ (x1, x2, . . . , xn) ของตัวแปร 2 ตัวหรือ n ตัวแทนไดดวยเวกเตอรใน 2 มิติหรือ n มิติตามลําดับ เราจึงอาจเรียกฟงกชันคาจริงของหลายตัวแปรเหลานี้วาฟงกชันคาจริงของเวกเตอร หรือ ฟงกชันของเวกเตอร เมื่อกลาวถึงฟงกชันเราก็ควรพิจารณามโนคติเกี่ยวกับแคลคูลัสเชนที่ไดศึกษาในกรณีของฟงกชันตัวแปรเดียว โดยการพิจารณาในแนวทางวาเราจะสามารถขยายนิยามของกรณีตัวแปรเดียวสูการวางนัยทั่วไปสําหรับฟงกชันหลายตัวแปรไดอยางไร ในบทนี้เราจะศึกษาเฉพาะมโนคติที่เกี่ยวกับอนุพันธและการประยุกต สวนเรื่องการหาปริพันธจะแยกไวในบทตอๆไป
บทนิยาม 1.1 : ให D เปนสับเซตของปริภูมิ n มิติ Rn (n ≥ 2) และ f เปนฟงกชันซึ่งกําหนดคาจริงเพียงคา
เดียว สําหรับแตละเวกเตอรใน D ที่เขียนไดในรูป y = f(x1, x2, . . . , xn) (n ≥ 2) เราจะเรียก f วาฟงกชัน n ตัวแปร(Function of n Variables) หรือฟงกชันหลายตัวแปร(Several Variables Function) เซต D คือโดเมนของ f สวนพิสัยของ f คือเซต
{f(x1, x2, . . . , xn) ∈ R | (x1, x2, . . . , xn) ∈ D }
109
ตัวอยาง 1.1 : ถาให D เปนสับเซตของ R2 และสําหรับแตละจุด (x, y) ใน R2 เรานิยามฟงกชันคาจริง
f(x, y) = x2 + y4 แลวเนื่องจาก x2 + y4 ≥ 0 ทุกจํานวนจริง x และ y ดังนั้นพิสัยของ f จึงเปนเซตของจํานวนจริงที่ไมเปนลบ
กรณีที่โจทยไมกําหนดโดเมนของฟงกชันมาให โดเมนของ f คือสับเซตที่ใหญที่สุดของ Rn ที่
กําหนดคา f(x1, x2, . . . , xn) เปนจํานวนจริง ตัวอยาง 1.2 : จงหาโดเมนและพิสัยของฟงกชัน 2 ตัวแปรและ 3 ตัวแปรที่กําหนดในแตละขอตอไปนี้ 1. f(x, y) = 4 2 2− −x y พรอมทั้งหาคา f(0, 1) และ f(-1, 1) วิธีทํา : เห็นไดชัดวา f(x, y) เปนจํานวนจริงเมื่อจํานวนใตเครื่องหมายราก
ไมเปนลบ ดังนั้นโดเมนของ f คือเซต D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 4 } นั่นคือโดเมนเปนแผนจาน ดังรูป เนื่องจาก x2 และ y2 ไมเปนลบ จํานวน 4 2 2− −x y มีคามากที่สุดเมื่อ x = y = 0 ซ่ึงทําใหได
4 2 2− −x y = 4 = 2 แตเพราะ x2 + y2 ≤ 4 คานอยที่สุดของ 4 2 2− −x y คือ 0 ซ่ึงเกิดขึ้นเมื่อ x2 + y2 =
4 หรือที่ทุกจุดบนเสนรอบวงของวงกลม x2 + y2 = 4 ดังนั้นพิสัยของ f คือชวงปด [0, 2] และ f(0, 1) = 4 0 12 2− − = 3 และ f(-1, 1) = 4 1 12 2− − −( ) = 2 2. f(x, y) = tan-1(y/x)
วิธีทํา : tan-1(y/x) หาคาไดเสมอเมื่อ x ≠ 0 ดังนั้นโดเมนของ f จะคือเซต {(x, y) ∈ R2 | x ≠ 0} และจากนิยามของ tan-1x เราจะไดพิสัยของ f คือชวงเปด (-π/2, π/2)
3. w = f(x, y, z) = )9z( )4
y( x1222
−−− พรอมทั้งหาคา f(0, 1, 1)
วิธีทํา : f(x, y, z) เปนจํานวนจริงเมื่อ )9z( )4
y( x1222 −−− ≥ 0
ซ่ึงเกิดขึ้นเมื่อ )9z( )4
y( x222
++ ≤ 1 แตสมการ )9z( )4
y( x222
++ = 1 เปนสมการของทรงรี ดังรูป
110
เพราะฉะนั้นโดเมนของ f จึงคือเซตของจุดใน 3 มิติที่อยูภายในทรงรีนี้ สวนพิสัยของ f จะคือชวงปด [0, 1]
เพราะวา )9z( )4
y( x222 ++ ≥ 0 ดังนั้น )9
z( )4y( x1
222 −−− มีคามากที่สุดเทากับ 1 เมื่อ x = y = z = 0 และสุดทาย f(0, 1, 1) = 1 0 1 4 1 92 2 2− − − ( / ) ( / ) = 1 1
419− − = 1 13
26− = 236
ขอใหสังเกตวารูปของตัวอยาง 1.2 เปนกราฟของโดเมนของฟงกชันเทานั้น ไมใชพื้นผิวของฟงกชันนั้นๆ กราฟของฟงกชันตัวแปรเดียวสามารถวาดไดในระนาบ เพราะเปนเซตของจุด (x , y) ทั้งหลายที่สอดคลองกับสมการ y = f(x) เราจึงจะนิยามกราฟของฟงกชัน 2 ตัวแปรโดยใหเปนเซตของจุด (x, y, z) ใน
R3 ที่สอดคลองกับสมการ z = f(x, y) และเรียกวาพื้นผิว (Surface) แตเพราะเราไมสามารถเห็นภาพในมิติที่มากกวา 3 จึงไมมีการกลาวถึงการวาดกราฟของฟงกชันที่มีตัวแปรมากกวา 3 ตัว อยางไรก็ตามเรายังคงนิยามกราฟของฟงกชัน n ตัวแปรและเรียกวาพื้นผิวในทํานองเดียวกัน ตัวอยาง 1.3 : จงวาดกราฟของฟงกชัน z = f(x, y) = 1 2 2− −x y
วิธีทํา : สังเกตวา z ≥ 0 ดังนั้นเมื่อยกกําลังสองทั้งสองขางของสมการจะได z = 1 2 2− −x y หรือ x y z2 2 2+ + = 1 ซ่ึงเปนสมการของทรงกลมหนวย อยางไรก็ตาม z ≥ 0 เราจึงไดกราฟของฟงกชันเปนครึ่งทรงกลม ดังรูป
จากที่เราไดพิจารณากราฟของสมการกําลังสองของ 3 ตัวแปรที่เรียกวาพื้นผิวกําลังสอง ในขณะนี้
เราจะมาพิจารณาเทคนิคการวาดกราฟของพื้นผิวอ่ืนๆบาง แตการวาดกราฟใน R3 เปนเรื่องยุงยากมาก ดัง
จะเห็นวาแมแตการวาดกราฟของพื้นผิวกําลังสองที่มีรูปแบบแนนอนก็ยังคอนขางยุงยากมาก โดยมากจะอาศัยคอมพิวเตอรเขาชวย ดังนั้นการวาดกราฟที่เราพอจะทําไดจึงเปนการวาดแบบพอใหเห็นเคาโครงเทานั้น โดยอาศัยส่ิงที่เราเรียกวาภาคตัดขวางและเสนโคงระดับ ภาคตัดขวาง(Cross Section) ของพื้นผิว คือ บริเวณของพื้นผิวที่ปรากฎบนระนาบที่ขนานกับแกนพิกัด
111
ตัวอยาง 1.4 : จงเขียนเคาโครงและแสดงภาคตัดขวางของพื้นผิว z = f(x, y) = x3+ 3x2 - y2 - 9x + 2y - 10 วิธีทํา : สมการของระนาบ xz คือ y = 0 และสมการของระนาบที่ขนานกับระนาบ xz คือ y = c เมื่อ c เปนคาคงที่ ถาแทนคา y = c ในสมการของพื้นผิวเราจะได z = x3 + 3x2 - 9x - 10 + (-c2 + 2c) = x3 + 3x2 - 9x - 10 + k เมื่อ k = -c2 + 2c เปนคาคงที่ และสําหรับการแทนคา k หลายๆคา เราจะเห็นภาพของภาคตัดขวางบนระนาบที่ขนานกับระนาบ xz เปนกราฟของ z = x3 + 3x2 - 9x - 10 ที่ระดับตางๆกันดังรูป 4.1.1(ก) คามากสุดของฟงกชัน g(c) = -c2 + 2c เทากับ 1 เกิดขึ้นเมื่อ c = 1 (ทําไม) ภาคตัดขวางที่อยูสูงสุดของพื้นผิวคือกราฟของสมการ z = x3 + 3x2 - 9x - 9 (เมื่อ k = 1)
(ก) (ข) (ค)
รูป 4.1.1 ทํานองเดียวกันสมการของระนาบ yz คือ x = 0 และสมการของระนาบที่ขนานกับระนาบ yz คือ x = c เมื่อ c เปนคาคงที่ และเมื่อแทนคา x = c ในสมการของพื้นผิวเราจะได z = -y2 + 2y + (c3 + 3c2 - 9c - 10) = -y2 + 2y + k และสําหรับการแทนคา k หลายๆคา เราจะไดภาคตัดขวางบนระนาบที่ขนานกับระนาบ xz เปนดังรูป 4.1.1(ข) เราไดภาพของพื้นผิวที่วาดโดยคอมพิวเตอรเปนดังรูป 4.1.1(ค)
112
ถาเราให z ของ z = f(x, y) คงที่ หรือพิจารณา z = c เราจะไดสมการ c = f(x, y) เปนสมการของเสนโคงบนระนาบ xy ซ่ึงเราจะเรียกเสนโคงเหลานี้วาเสนโคงระดับ(Level Curve) หรือกลาวไดวาเสนโคงระดับคือสวนฉายลงบนระนาบ xy ของสวนที่ตัดกันของพื้นผิว z = f(x, y) กับระนาบ z = c และเสนโคงระดับนี้ มีประโยชนอยางมากในการวาดแผนที่ทางภูมิศาสตร
(ก) (ข)
รูป 4.1.2 รูป 4.1.2 (ก) แสดงเสนโคงระดับของพื้นผิวทรงพาราโบลาเชิงวงกลม z = x2 + y2 ที่มีกราฟของพื้นผิวแสดงในรูป 4.1.2 (ข) ตัวอยาง 1.5 : จงวาดเสนโคงระดับของพื้นผิว z = ln(4 - x2 - 4y2) วิธีทํา : ถาเราให z = z0 = ln c โดยที่ c เปนจํานวนจริงบวกคงที่ แลวเสนโคงระดับจะถูกกําหนดโดย c = 4 - x2 - 4y2
ซ่ึงแตละเสนโคงระดับคือวงรีที่เขียนไดในรูป
x
c
2
144 1( )−
+ y
c
2
141−
= 1 หรือ x
ez
2
144 1 0( )−
+ y
ez
2
141 0−
= 1
เมื่อ 0 < c < 4 หรือ −∞ < z0 < ln 4 เสนโคงระดับเหลานี้แสดงใหเห็นในรูป 4.1.3
เสนโคงระดับของ z = ln(4 - x2 - 4y2) พ้ืนผิวของ z = ln(4 - x2 - 4y2)
รูป 4.1.3
113
2. ลิมิตและความตอเนื่อง
ลิมิตของฟงกชันตัวแปรเดียวนิยามบนชวงเปดเล็กๆรอบจุดคงที่ โดยเราจะกลาววา x เขาใกล x0 เมื่อ x x−
0 มีขนาดเล็กเพียงพอ หรือ x อยูในชวงเปดเล็กๆรอบจุด x0 ดังนั้นเมื่อจะใหนิยามลิมิตของฟงกชัน
หลายตัวแปร เราจึงควรขยายความหมายของมโนคติเหลานี้ใน Rn เสียกอน โดยจะขอเริ่มใน R2 เพื่อใหเห็น
แนวความคิดของการนิยามในรูปวางนัยทั่วไป
ให (x0, y0) เปนจุดคงที่ใน R2 แลวเซตของจุด (x, y) ที่มีระยะหางจาก (x0, y0) เปนระยะคงที่ r คือ
เซต
{(x, y) | ( , ) ( , )x y x y −0 0
= r } และเซตนี้ก็คือวงกลมที่มีรัศมี r และจุดศูนยกลางที่ (x0, y0) แตเพราะจุดคือเวกเตอร ดังนั้นระยะหางของ (x, y) กับ (x0, y0) หรือ ( , ) ( , ) x y x y−
0 0 ก็คือ ขนาดของเวกเตอรผลตางของ (x, y) กับ (x0, y0) นั่นเอง
ทําใหเราได ( , ) ( , )x y x y −
0 0 = ( , ) x x y y− −
0 0 = ( ) ( ) x x y y− + −
02
02 = r
เพราะฉะนั้น ( , ) ( , )x y x y −
0 0 = r จึงสมมูลกับ ( ) ( ) x x y y− + −
02
02 = r2
จะเห็นวาสมการหลังคือสมการของวงกลมที่กลาวถึงขางตน ดังนั้นเซตของจุด (x, y) ที่สอดคลองกับอสมการ ( , ) ( , )x y x y −
0 0 < r
จึงคือเซตของจุดใน R2 ที่อยูภายในวงกลมรัศมี r และจุดศูนยกลางที่ (x0, y0) ดังรูป 4.2.1 (ก)
(ก) (ข)
รูป 4.2.1
ทํานองเดียวกันจุด(x, y) ที่สอดคลองกับอสมการ ( , ) ( , )x y x y −
0 0 ≤ r
จะคือเซตของจุดใน R2 ที่อยูภายในและที่เสนรอบวงของวงกลมดังรูป 4.2.1 (ข)
114
เราจะเรียกสับเซตของ R2 ที่เขียนไดในรูปตอไปนี้
{(x, y) | ( , ) ( , )x y x y −0 0
< r } และ {(x, y) | ( , ) ( , )x y x y −
0 0 ≤ r }
วาแผนวงกลมเปด(Open Disc) หรือยานจุด (x0, y0) (Neighborhood of (x0, y0)) และแผนวงกลมปด(Closed Disc) ที่มีรัศมี r และจุดศูนยกลางที่ (x0, y0) ตามลําดับ สวนวงกลม
{(x, y) | ( , ) ( , )x y x y −0 0
= r }
คือขอบ(Boundary)ของแผนวงกลมเปดและแผนวงกลมปด ถาให x = (x, y) และ x 0 = (x0, y0) เราสามารถเขียนอสมการ ( , ) ( , )x y x y −
0 0 < r
และ ( , ) ( , )x y x y −0 0
≤ r ไดใหมเปนดังนี้
0xx − < r และ 0xx − ≤ r
ทําใหเราเขียนนิยามลิมิตของฟงกชัน 2 ตัวแปรไดดังนี้ บทนิยาม 2.1 : ให f เปนฟงกชัน 2 ตัวแปรซึ่ง f(x, y) ถูกนิยามที่แตละจุด (x, y) ในยานจุด
(x0, y0) แตอาจไมนิยามที่จุด (x0, y0) เราจะเรียกจํานวนจริง L วาคาลิมิตของ f(x, y) เมื่อจุด (x, y) เขาใกลจุด (x0, y0) และเขียนแทนดวยสัญลักษณ lim ( , )
( , ) ( , )x y x yf x y
→0 0
= L
นั่นคือ L สอดคลองกับขอความ “สําหรับแตละจํานวนจริง ε > 0 จะมีจํานวนจริง δ > 0 ที่ซ่ึงถา (x, y) เปนจุดในยานจุด (x0, y0) รัศมี δ และ (x, y) ≠ (x0, y0) แลว f x y L( , ) − < ε ” เราอาจอธิบายบทนิยาม 4.2.1 ไดดวยรูป 4.2.2 รูป 4.2.2 ตัวอยาง 2.1: จงแสดงวา lim ( )
( , ) ( , )x yy
→+
1 23x 2
= 7 เปนจริง
วิธีทํา : ให ε เปนจํานวนจริงบวก เราตองการหาจํานวนจริง δ > 0 ที่ทําให 3x 2 7+ −y < ε เมื่อใดก็ตามที่ 0 < ( ) ( )x y− + −1 22 2 < δ เราจึงเริ่มตนดวย
115
3x 2 7+ −y = 3x 3 2 4− + −y ≤ 3x 3 2 4− + − y (คุณสมบัติอสมการสามเหลี่ยม) ≤ 3 1 2 2x y− + − จะเห็นวา x−1 = ( )x −1 2 ≤ ( ) ( )x y− + −1 22 2 และ y− 2 = ( )y− 2 2 ≤ ( ) ( )x y− + −1 22 2 ทําใหได 3x 2 7+ −y ≤ 3 1 2 2 1 22 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )x y x y− + − + − + − = 5 1 22 2( ) ( )x y− + − < 5δ แตเราตองการ 3x 2 7+ −y < ε ดังนั้นเราจึงเลือก δ ≤ ε/5 และได 3x 2 7+ −y < (5)(ε/5) = ε ตามตองการ
ตัวอยาง 2.2 : จงแสดงวา lim( )
( , ) ( , )x y
xy y x
x y→
−
+0 0
2 2
2 2 = 0
วิธีทํา : ให ε เปนจํานวนจริงบวก เราตองการหาจํานวนจริง δ > 0 ที่ซ่ึง ถา 0 < x y2 2+ < δ แลว
f x y( , ) = xy y x
x y
( )2 2
2 2
−
+ < ε
แต x ≤ x y2 2+ , y ≤ x y2 2+ และ y x2 2− ≤ x y2 2+ เราจะได
xy y x
x y
( )2 2
2 2
−
+ ≤
x y x y x y
x y
2 2 2 2 2 2
2 2
+ + +
+
( )
( ) = x y2 2+ < δ2
ซ่ึงแสดงวาเราตองเลือก δ ≤ ε
หมายเหตุ : 1. กราฟของ z =
xy y x
x y
x y
x y
( ) ,
,
( , ) (
( , ) (
2 2
2 2
0
0,0)
0,0)
−
+
⎧
⎨⎪⎪
⎩
⎪⎪
≠
=
วาดโดยคอมพิวเตอรดังแสดงในรูป
116
2. เราสามารถพิสูจนลิมิตเปนจริงของตัวอยาง 2.2 ใหงายขึ้นโดยใชพิกัดเชิงขั้ว ดังนี้
x = r cos θ , y = r sin θ และ x y2 2+ = r ดังนั้น (x, y) → (0, 0) จะสมมูลกับ r→0 ทําใหได
lim( )
( , ) ( , )x y
xy y x
x y→
−
+0 0
2 2
2 2 = lim
( cos )( sin )( sin cos )r
r r r r
r→
−
0
2 2 2 2
2
θ θ θ θ
= limcos sin (sin cos )
r
r
r→
−
0
4 2 2
2
θ θ θ θ
= lim cos sin (sin cos )r
r→
−0
2 2 2θ θ θ θ
แต sin cos2 2θ θ− = − −(cos sin )2 2θ θ = − cos2θ , sinθ ≤ 1 และ cosθ ≤ 1 ทําใหได cos sin (sin cos )θ θ θ θ2 2− = cos sin cosθ θ θ2 1≤ เพราะฉะนั้น
− ≤ − ≤r r r2 2 2 2 2 cos sin (sin cos )θ θ θ θ และ lim( )
rr
→−
0
2 = limr
r→0
2 = 0 เราจึงได lim cos sin (sin cos )r
r→
−0
2 2 2θ θ θ θ = 0
เมื่อเรากลาววา f(x, y) เขาใกลจํานวนจริง L ขณะที่จุด (x, y) เคลื่อนเขาใกลจุด (x0, y0) มีความหมาย ตามนิยามของลิมิตวาจุด (x, y) เคลื่อนเขาใกลจุด (x0, y0) ในทุกๆทิศทางรอบจุด (x0, y0) ดังแสดงในรูป ขอใหสังเกตวาลิมิตของฟงกชันตัวแปรเดียว lim ( )
x xf x
→0
= L เราก็พิจารณา x→x0 ในทุกๆทิศทาง
เชนกัน แตการเขาใกลกันบนเสนจํานวนจริงมีเพียง 2 ทิศทางเทานั้นคือ x→x0− และ x→x
0+ และหากการเขา
ใกลในทิศทางทั้งสองนี้ทําให f(x) เขาใกลจํานวนจริงที่ตางกัน เราจะกลาววา lim ( )x x
f x→
0
ไมมีคาลิมิต
หรือไมมีความหมาย ใน R2 ก็เชนกันแมการเขาใกลจุดๆหนึ่งมีไดหลายทิศทางนับไมถวน แตถามีบาง
ทิศทางที่ทําให f(x, y) เขาใกลจํานวนจริงที่แตกตางกัน เราก็จะกลาววาลิมิตหาคาไมได
117
ตัวอยาง 2.3 : ฟงกชันที่กําหนดโดย f(x, y) = y x
x yx y
2 2
2 2 0,0)−
+≠ , ( , ) ( ถาเราพิจารณา (x, y) เขาใกล
(0, 0) ตามแกน x หรือก็คือตามเสนตรง y = 0 เราจะได
lim( , ) ( , )x y
y x
x y→
−
+0 0
2 2
2 2 = lim
( , ) ( , )x y
x
x→
−
0 0
2
2 = lim ( )
( , ) ( , )x y →−
0 01 = -1
แตถาพิจารณา (x, y) เขาใกล (0, 0) ตามแกน y หรือก็คือตามเสนตรง x = 0 เราจะได
lim( , ) ( , )x y
y x
x y→
−
+0 0
2 2
2 2 = lim
( , ) ( , )x y
y
y→ 0 0
2
2 = lim ( )
( , ) ( , )x y → 0 01 = 1
เพราะฉะนั้น f(x, y) ไมมีคาลิมิตเมื่อ (x, y) → (0, 0)
ตัวอยาง 2.4 : ฟงกชันซึ่งกําหนดโดย f(x, y) = xy
x yx y
2
2 4 0,0)+
≠ , ( , ) ( ก็ไมมีคาลิมิตเมื่อ
(x, y) → (0, 0) เพราะบนเสนตรงที่ผานจุดกําเนิดใดๆ y = mx เราจะได
f(x, y) = xy
x y
2
2 4+ = x mx
x mx
( )
( )
2
2 4+ =
xm 1xm
24
2
+
และ xm 1
xmlim 24
2
0x +→= 0 เราจึงสรุปวาในทิศทางตามเสนตรงที่ผานจุดกําเนิด คาของ f(x, y) เขาใกล 0
แตถาเราพิจารณา (x, y) → (0, 0) ตามเสนโคงพาราโบลา y2 = x เราจะได
lim)0,0()y,x( →f(x, y) = lim
)0,0()y,x( → y y
y y
2 2
4 4
( )
+ = 1
2
ซ่ึงแสดงวา f(x, y)→ 12 เมื่อ (x, y) → (0, 0) บนเสนโคงพาราโบลา
หมายเหตุ : จากตัวอยางการแสดงวามีคาลิมิตหรือไมมีคาลิมิตของฟงกชันที่กลาวมา ทําใหเห็นวาการแสดงลิมิตหาคาไมได เราเพียงกําหนดบางทิศทางของการเขาใกลจุด (x0, y0) ในระนาบที่ ตางกันและใหคาลิมิตตางกัน แตการแสดงลิมิตเปนจริงเราตองแสดงจากบทนิยามของลิมิตโดยตรง หรือจากทฤษฎีบทของลิมิตที่พิสูจนไดจากบทนิยาม บทนิยาม 2.2 : ให f เปนฟงกชัน 2 ตัวแปรซึ่ง f(x, y) นิยามที่ทุกจุดในยานจุด (x0, y0) เราจะกลาววา f เปน
ฟงกชันตอเนื่อง(Continuous Function)ที่จุด (x0, y0) ถา f สอดคลองกับเงื่อนไขทั้ง 3 ขอตอไปนี้ 1. f(x0, y0) นิยามหรือหาคาได [นั่นคือ (x0, y0) เปนจุดในโดเมนของ f] 2. lim ( , )
( , ) ( , )x y x yf x y
→0 0
หาคาได
3. lim ( , )( , ) ( , )x y x y
f x y→
0 0
= f(x0, y0)
118
ขอสังเกต : 1. เงื่อนไขที่ 3 ของบทนิยาม 4.2.2 ทําใหเราสามารถคํานวณคาลิมิต lim ( , )( , ) ( , )x y x y
f x y→
0 0
ไดดวย
การหาคา f(x0, y0) ถา f เปนฟงกชันตอเนื่องที่จุด (x0, y0) 2. ถา f ไมสอดคลองเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งของบทนิยาม 4.2.2 เราจะกลาววา f ไมตอเนื่อง(Discontinuous )ที่จุด (x0, y0) ตัวอยาง 2.5 :
1. ถา f(x, y) = xy
x y
2
2 4+ แลว f ไมตอเนื่องที่ (0, 0) เพราะวาจุด (0, 0) ไมอยูในโดเมนของ f
2. ถา f(x, y) =
xy
x y
x y
x y
2
2 4
0
0,0)
0,0)
+
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
≠
=
,
,
( , ) (
( , ) (
แลวแมวาจุด (0, 0) จะอยูในโดเมนของ f แต
จากตัวอยาง 2.4 จะไดวา lim ( , )( , ) ( , )x y
f x y→ 0 0
หาคาไมได ดังนั้น f จึงไมตอเนื่องที่จุด (0, 0) เชนกัน
3. ถา f(x, y) =
xy y x
x y
x y
x y
( ) ,
,
( , ) (
( , ) (
2 2
2 2
1
0,0)
0,0)
−
+
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
≠
=
แมวา lim( )
( , ) ( , )x y
xy y x
x y→
−
+0 0
2 2
2 2
หาคาไดเทากับ 0 จากตัวอยาง 2.2 แต f(0, 0) = 1 ดังนั้น f จึงไมตอเนื่องที่ (0, 0)
4. ถา f(x, y) =
xy y x
x y
x y
x y
( ) ,
,
( , ) (
( , ) (
2 2
2 2
0
0,0)
0,0)
−
+
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
≠
=
แลว f สอดคลองตามบทนิยาม 2.2 นั่นคือ f
เปนฟงกชันตอเนื่องที่ (0, 0)
119
ในกรณีของฟงกชันตัวแปรเดียวที่เราศึกษามา กลุมของฟงกชันตอเนื่องที่เรารูจักกันอยางดีคือฟงกชันพหุนามและฟงกชันตรรกยะ เราจึงจะศึกษากลุมของฟงกชันหลายตัวแปรที่เปนฟงกชันตอเนื่องในแนวทางเดียวกัน บทนิยาม 2.3 : พหุนาม 2 ตัวแปร x และ y คือการกําหนดคาของฟงกชัน 2 ตัวแปร p(x, y) ในรูปผลบวกจํากัดของพจนในรูป Axmyn โดยที่ m และ n เปนจํานวนเต็มไมเปนลบ และ A เปนจํานวนจริง จะเรียก p วาฟงกชันพหุนาม ฟงกชันตรรกยะ r ใน 2 ตัวแปร x และ y คือฟงกชันที่กําหนดในรูปผลหารของพหุนามใน 2 ตัวแปร x และ y นั่นคือ
r(x, y) = p x y
q x y
( , )
( , )
เมื่อ p และ q เปนฟงกชันพหุนาม ตัวอยาง 2.6 : p(x, y) = 5x5y2 + 12xy9 - 37x82y5 + x + 4y - 6 เปนฟงกชันพหุนามและ
r(x, y) = 8 7 2
1 3y 7 18
3 7 2 4
3 2 2 7
x y x y xy y
x y xy
− + −
− + + เปนฟงกชันตรรกยะ เปนตน
ทฤษฎีบท 2.1 : (สมบัติของฟงกชันตอเนื่อง) 1. ฟงกชันพหุนามเปนฟงกชันตอเนื่องที่ทุกจุดในระนาบ R2
2. ฟงกชันตรรกยะ r = p
q เปนฟงกชันตอเนื่องที่ทุกจุด (x0, y0) ซ่ึง q(x0, y0) ≠ 0 และจะไมตอเนื่องที่
(x0, y0) ถา q(x0, y0) = 0 เพราะวา r ไมนิยามที่ (x0, y0) 3. ถา f และ g เปนฟงกชันตอเนื่องที่ (x0, y0) แลวฟงกชัน f+g , f - g และ fg ตางเปนฟงกชันตอเนื่องที่ (x0, y0) 4. ถา f และ g เปนฟงกชันตอเนื่องที่ (x0, y0) และ g(x0, y0) ≠ 0 แลว f/g เปนฟงกชันตอเนื่อง ที่ (x0, y0) 5. ถา f เปนฟงกชันตอเนื่องที่ (x0, y0) และ h เปนฟงกชันตัวแปรเดียวซ่ึงตอเนื่องที่
f(x0, y0) แลวฟงกชันผลประกอบ h f ซ่ึงนิยามโดย (h f)(x, y) = h(f(x, y)) จะตอเนื่องที่(x0, y0)
120
ตัวอยาง 2.7 : จงคํานวณคา lim( , ) ( , )x y
x y xy
x xy→
−
+4 1
3 2
3
4
6
วิธีทํา : r(x, y) = x y xy
x xy
3 2
3
4
6
−
+ เปนฟงกชันตรรกยะซึ่ง q(x, y) = x + 6xy3 และ
q(4, 1) = 28 ≠ 0 ดังนั้น r จึงตอเนื่องที่ (4, 1) ทําใหเราสามารถคํานวณคาลิมิตไดดวยการคํานวณคาฟงกชัน r ที่ (4, 1) และได
r(4, 1) = x y xy
x xy
3 2
34 1
4
6
−
+( , )
= ( ) ) ( )( )( )
( )( )
64 91 4 4 1
4 6)(4 1
−
+ = 48
28 = 12
7
จากแนวความคิดในกรณีฟงกชัน 2 ตัวแปร ทําใหเราไดมโนภาพของยานจุด (x0, y0, z0) ใน R3 รัศมี r เปนเซตของจุดภายในทรงกลมที่กําหนดโดยสมการ (x - x0)
2 + (y - y0)2 + (z - z0)
2 = r2 หรือก็คือเซต
{(x, y, z) | (x - x0)2 + (y - y0)
2 + (z - z0)2 < r2 }
ดังรูป และดังนั้นแผนทรงกลมปดใน R3 จึงคือเซต
{(x, y, z) | (x - x0)2 + (y - y0)
2 + (z - z0)2 ≤ r2 }
ทําใหไดบทนิยามของลิมิตและความตอเนื่องของฟงกชัน 3 ตัวแปร ในที่นี้เราจะวางนัยทั่วไปของลิมิตและความตอเนื่องของฟงกชัน n ตัวแปร (n ≥ 2)
บทนิยาม 2.4 : 1. บอลเปด(Open Ball) Br( x 0) บอลปด(Closed Ball) Br( x 0) ใน Rn ซ่ึงมีจุดศูนยกลางที่
x 0 และรัศมี r หนวยคือสับเซตของ Rn ตามลําดับตอไปนี้
Br( x 0) = { x ∈Rn | x x−0
< r } และ B
r( x 0) = { x ∈Rn | x x−
0 ≤ r }
สวนขอบ(Boundary) ของวงกลมเปดหรือวงกลมปดคือทรงกลม(Sphere) Sr( x 0) ใน Rn ที่กําหนด
โดยเซต Sr( x 0) = { x ∈Rn | x x−
0 = r }
2. ยานจุดของเวกเตอร x 0 ใน Rn คือวงกลมเปดซึ่งมีจุดศูนยกลางที่ x 0
3. เราจะเรียกเซต Ω ใน Rn วาเซตเปด(Open Set) ถาทุกจุด x 0∈Ω มียานจุด Br( x 0) ที่ซ่ึง
Br( x 0) ⊂ Ω
121
เซตเปด เซตปด
หมายเหตุ : สัญลักษณที่ใชในบทนิยาม 2.4 คือสัญลักษณที่ใชกับมโนคติของเวกเตอร เชนถา x 0 = ( , , . . . , )( ) ( ) ( )x x x
n10
20 0 และ x = ( , , . . . , )x x x
n1 2
แลว x x−0
< r หมายความวา
( ) ( ) . . . ( )( ) ( ) ( )x x x x x xn n1 1
0 22 2
0 2 0 2− + − + + − < r
บทนิยาม 2.5 : ให f : Rn → R เปนฟงกชันที่นิยามที่ทุกจุดในยานจุดของ x 0 แตอาจไมนิยามที่จุด x 0 เราจะเรียกจํานวนจริง L วาคาลิมิตของ f( x ) เมื่อ x เขาใกล x 0 และเขียนแทนดวยสัญลักษณ lim ( )
x xf x
→0
= L
ถาสําหรับทุกจํานวนจริง ε > 0 มีจํานวนจริง δ > 0 ที่ซ่ึงถา x x−0
< δ แลว f x L( ) − < ε
ตัวอยาง 2.8 : จงแสดงวา lim ( )( , , , )x
x x x→ −
+ − +4 1 0 3 1 2 3 4
2 3x = 7
วิธีทํา : กําหนดจํานวนจริง ε > 0 ตองการหา δ > 0 ที่ทําให x x x
1 2 3 42 3x 7+ − + − < ε
ถา 0 < ( ) ( ) ( )x x x x1
22
232
424 1 3+ + − + + − < δ
เราจะเริ่มตนจากอสมการ x x x
1 2 3 42 3x 7+ − + − < ε แลวพิจารณายอนขึ้นไป โดยใชคุณสมบัติ
ของอสมการสามเหลี่ยมจะได x x x
1 2 3 42 3x 7+ − + − = x x x
1 2 3 44 2 2 3x 9+ + − − + −
≤ + + − + + − x x x1 2 3 4
4 2 2 3x 9
= x x x x
1 2 3 44 2 1 0 3 3+ + − + − + −
122
โดยที่แตละจํานวน x x x x1 2 3 4
4 1 3+ − −, , , มีคานอยกวาหรือเทากับ
( ) ( ) ( )x x x x1
22
232
424 1 3+ + − + + −
จึงทําใหได x x x
1 2 3 42 3x 7+ − + − ≤ 7 ( ) ( ) ( )x x x x
12
22
32
424 1 3+ + − + + −
= 7 ( , , , ) ( , ,0,3)x x x x1 2 3 4
4 1− −
เราจึงเลือก δ ≤ ε/7 แลวถา x− −( , ,0,3)4 1 < δ เราจะได f x( ) − 7 = x x x
1 2 3 42 3x 7+ − + − ≤ 7δ ≤ (7)(ε/7) = ε
ตามตองการ ตัวอยาง 2.9 : จงแสดงวา lim ( )
xf x
→0 หาคาไมได เมื่อกําหนดให
f(x1, x2, x3, x4, x5) = x x x x x
x x x x x52
42
32
22
12
12
22
32
42
52
− + − +
+ + + + ; (x1, x2, x3, x4, x5) ≠ (0, 0, 0, 0, 0)
วิธีทํา : เราจะแสดงโดยการหาเสนทางอยางนอย 2 เสนทางที่ซ่ึง x → 0 แตใหคาลิมิตตางกัน เสนทางแรกคือ x → 0 ตามแกน x5 ซ่ึงบนเสนทางนี้เราจะมี x1 = x2 = x3 = x4 = 0 และ x5→ 0 ทํา
ใหเราได f( x ) = x
x52
52 = 1 ดังนั้น lim ( )
( , , , , )0 0 0 0 05
xf x
→ = 1
อีกเสนทางหนึ่งคือ x → 0 ตามแกน x4 ซ่ึงบนเสนทางนี้เราจะมี x1 = x2 = x3 = x5 = 0 และ x4→ 0
ทําใหเราได f( x ) = −x
x42
42 = -1 ดังนั้น lim ( )
( , , , , )0 0 0 0 04
xf x
→ = -1
บทนิยาม 2.6 : ให f : Rn → R เปนฟงกชันที่นิยามที่ทุกจุดในยานจุดของ x 0 จะกลาววา f เปนฟงกชันตอเนื่องที่ x 0 ถา f สอดคลองเงื่อนไขทั้ง 3 ขอตอไปนี้ 1. f( x 0) นิยามหรือเปนจํานวนจริง [นั่นคือ x 0 อยูในโดเมนของ f ] 2. lim
x x→0
f x( ) หาคาได
3. limx x→
0
f x( ) = f( x 0)
ถา f ไมสอดคลองกับเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งใน 3 เงื่อนไข เราจะกลาววา f ไมตอเนื่องที่ x 0 และถา f ตอเนื่องที่ทุกจุดในเซตเปด Ω เราจะกลาววา f ตอเนื่องบน Ω
123
ขอใหสังเกตวาเงื่อนไขที่ 3 บอกวิธีคํานวณคาลิมิต limx x→
0
f x( ) ของฟงกชันตอเนื่องที่ x 0 โดยการหา
คาของฟงกชันที่ x 0
ตัวอยางเชนใน R5 ฟงกชันที่กําหนดโดย f(x1, x2, x3, x4, x5) = x x x x x
x x x x x52
42
32
22
12
12
22
32
42
52
− + − +
+ + + +
ไมตอเนื่องที่ 0 เพราะเราแสดงไวขางตนแลววา limx→0
f x( ) หาคาไมได เปนตน
บทนิยาม 2.7 : พหุนาม(Polynomial) p(x) = p(x1, x2, . . . , xn) ใน n ตัวแปร x1, x2, . . . ,xn คือนิพจนในรูปผลบวกจํากัดของพจนในรูป Ax x x
m m
n
mn
1 21 2 . . . โดยที่ m1, m2, . . . , mn เปนจํานวนเต็มไม
เปนลบ และ A เปนจํานวนจริง และเรียกคามากที่สุดของผลบวก m1 + m2 + . . . + mn วาระดับขั้น(Degree )ของ p ฟงกชันตรรกยะ(Rational Function) r( x ) = r(x1, x2, . . . , xn) ใน n ตัวแปรคือฟงกชันที่กําหนดในรูปผลหารของ 2 พหุนาม นั่นคือ
r( x ) = p x
q x
( )
( )
ตัวอยางเชน p(x1, x2, x3, x4) = 2 5x 11
13
2 32
44
1 27
32
43
14
23
34
4x x x x x x x x x x x + − เปนพหุนามที่มี
ระดับขั้น 13 ใน 4 ตัวแปร เปนตน ทฤษฎีบท 2.2 : (สมบัติของฟงกชันตอเนื่อง) 1. ฟงกชันพหุนามเปนฟงกชันตอเนื่องที่ทุกจุดใน Rn
2. ฟงกชันตรรกยะ r = p
q เปนฟงกชันตอเนื่องที่ทุกจุด x 0 ที่ซ่ึง q( x 0) ≠ 0 และจะไมตอเนื่องที่
x 0 ถา q( x 0) = 0 เพราะวา r จะไมนิยามที่ x 0 3. ถา f และ g เปนฟงกชันตอเนื่องที่ x 0 แลวฟงกชัน f+g , f - g และ fg ตางเปนฟงกชันตอเนื่องที่ x 0 4. ถา f และ g เปนฟงกชันตอเนื่องที่ x 0 และ g( x 0) ≠ 0 แลว f/g เปนฟงกชันตอเนื่องที่ x 0 5. ถา f เปนฟงกชันตอเนื่องที่ x 0 และ h เปนฟงกชันตัวแปรเดียวซ่ึงตอเนื่องที่ f( x 0) แลวฟงกชัน
ผลประกอบ h f ซ่ึงนิยามโดย (h f)( x ) = h(f( x )) จะตอเนื่องที่ x 0
124
ตัวอยาง 2.10 : 1.พหุนาม p( x ) = x x x x x x x x x13
25
58
1 24
42
12
23
34
42
53x 5x − + เปนฟงกชันตอเนื่องที่ทุกจุด x
ใน R5
2. ฟงกชันตรรกยะ r( x ) = x x x x x x x x x x
x x x x12
5 44
1 22
33
45
16
2 53
1 2 3 4 52 3x 4 2 6
+ −
− + − + − เปนฟงกชันตอเนื่องที่ทุกจุด x ใน
R5 ยกเวนจุด x ที่สอดคลองสมการ x x x x1 2 3 4 5
2 3x 4 2 6− + − + =
3. ฟงกชันซึ่งกําหนดโดย sin(x x x x x12
1 4 34
552 + − ) เปนฟงกชันตอเนื่องที่ทุกจุด x ใน R5 โดย
ทฤษฎีบท 4.2.2 ขอ 5 เพราะ sin x เปนฟงกชันตอเนื่องและ x x x x x12
1 4 34
552 + − เปนพหุนาม
3. อนุพันธยอย
อนุพันธของฟงกชันตัวแปรเดียวคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรตามเทียบกับการเปลี่ยนแปลงที่นอยมากของตัวแปรอิสระ และมีบอยคร้ังที่ขณะพิจารณาฟงกชันหลายตัวแปร แตเราสนใจเฉพาะการเปลี่ยนแปลงคาของฟงกชันเทียบกับการเปลี่ยนไปของตัวแปรอิสระตัวใดตัวหนึ่งเพียงตัวเดียวโดยขณะนั้นเรากําหนดใหตัวแปรอื่นๆคงที่ ซ่ึงก็เสมือนวาเรากําลังพิจารณาฟงกชันตัวแปรเดียวนั่นเอง เชนถาพิจารณาความสัมพันธ PV = nkT โดยที่ P คือแรงดัน V เปนปริมาตร T เปนอุณหภูมิ และ n เปนจํานวนโมเลกุลของกาซ เมื่อ k เปนคาคงที่ เราอาจกําหนดจํานวนโมเลกุลของกาซ n ใหคงที่ดวย แลว P จะเปนฟงกชันของ V และ T ในรูป
P(V, T) = nkT
V นักศึกษาวิชาเคมีผูหนึ่งอยากทราบอัตราการเปลี่ยนแปลงแรงดันของกาซเมื่อเพิ่มความรอน
ใหกับภาชนะบรรจุกาซที่ไมสามารถยืดขยายหรือหดตัวได และเนื่องจาก V คงที่ P จึงเปนฟงกชันที่เปลี่ยนแปลงคาตาม T เทานั้น เพราะฉะนั้นสิ่งที่นักศึกษาวิชาเคมีผูนี้ตองการทราบก็คือ
dP
dT = nk
V
แตเพราะเรากําหนดสัญลักษณ dP
dT เพื่อใชกับอนุพันธของฟงกชันตัวแปรเดียวไปแลว และเพราะ P ไมใช
ฟงกชันตัวแปรเดียว เราจึงกําหนดสัญลักษณอ่ืนขึ้นเชนใช ∂∂
P
T ในความหมายที่กลาวมาเพื่อใหเห็น
ความหมายที่แตกตางกัน เนื่องจากเราไดเคยศึกษาเรื่องอนุพันธยอยมาแลวในวิชาคณิตศาสตรพื้นฐาน ในหัวขอนี้จึงเพียงรวบรวมบทนิยาม พรอมใหตัวอยางเพื่อเปนการทบทวนเทานั้น
125
บทนิยาม 3.1 : (อนุพันธยอยใน R2) 1. อนุพันธยอย(Partial Derivative)ของ z = f(x, y) เทียบกับ x ที่จุด (x0, y0, z0) บนพื้นผิว z = f(x, y) [โดยที่ z0 = f(x0, y0)] คืออัตราการเปลี่ยนแปลงชั่วขณะของ z เทียบกับ x โดยให y คงที่เทากับ y0 และใช
สัญลักษณแทนดวย ∂∂
f
x x y( , )0 0
นั่นคือ
∂
∂
f
x x y( , )0 0
= limΔx→0
f x x y f x y
x
( , ) ( , )0 0 0 0+ −Δ
Δ
ในทํานองเดียวกันอนุพันธยอยของ z = f(x, y) เทียบกับ y ที่จุด (x0, y0, z0) กําหนดโดย
∂
∂
f
yx y( , )
0 0
= limΔy→0
f x y y f x y
y
( , ) ( , )0 0 0 0
+ −Δ
Δ
2. อนุพันธยอยของ z = f(x, y) เทียบกับ x [โดยถือวา y คงที่] คือฟงกชัน
∂
∂
z
x = ∂
∂
f
x = lim
Δx→0
f x x y f x y
x
( , ) ( , )+ −Δ
Δ (4.3.1)
ซ่ึงเปนฟงกชันที่มีโดเมนเปนเซตของจุด (x, y) ในโดเมนของ f ซ่ึงลิมิต (4.3.1) หาคาได ในทํานองเดียวกันอนุพันธยอยของ z = f(x, y) เทียบกับ y [โดยถือวา x คงที่] คือฟงกชัน
yz∂∂ =
yf∂∂ =
limΔy→0
y)y,x(f)yy,x(f
Δ
−Δ+ (4.3.2)
ซ่ึงเปนฟงกชันที่มีโดเมนเปนเซตของจุด (x, y) ในโดเมนของ f ซ่ึงลิมิต (4.3.2) หาคาได
หมายเหตุ : 1. เราอาจใชสัญลักษณแทนอนุพันธยอย ∂∂
f
x และ ∂
∂
f
y
ในรูปอื่น ๆ เชน fx , fy หรือ zx , zy เปนตน 2. ความหมายทางเรขาคณิตของจํานวน
∂∂
f
x x y( , )0 0
หรือ ∂∂
f
yx y( , )
0 0
ก็คือความชันของเสนสัมผัสเสนโคง ที่เกิดขึ้นจากการตัดกันของพื้นผิว z = f(x, y) กับระนาบ y = y0 หรือ x = x0 ตามลําดับ ดังรูป 3. เราสามารถหาอนุพันธยอยไดดวยวิธีการเดียวกับ การหาอนุพันธของฟงกชันตัวแปรเดียว
126
ตัวอยาง 3.1 : ถา f(x, y) = x y+ 2 แลว ∂∂
f
x และ ∂
∂
f
y ที่จุด (2, -3) คํานวณดังนี้
∂∂
f
x = 1
2 2x y+
∂
∂xx y( )+ 2 = 1
2 2x y+(1 + 0) = 1
2 2x y+ [โดยถือวา y คงที่] และ
∂∂
f
y = 1
2 2x y+
∂
∂yx y( )+ 2 = 1
2 2x y+(0 + 2y) = y
x y+ 2 [โดยถือวา x คงที่]
และที่จุด (2, -3) จะได
∂∂
f
x ( , )2 3− = fx(2, -3) = 1
2 2 3 2+ −( ) = 1
2 11 และ ∂
∂
f
y( , )2 3−
= fy(2, -3) = −3
11
ตัวอยาง 3.2 : สมมติราคาสินคาอยางหนึ่งเปนไปตามฟงกชัน C = 21h + 32p โดยที่ h เปนคาจางผลิตสินคา
ตอช่ัวโมง และ p เปนราคาวัตถุดิบตอหนวยน้ําหนัก จงคํานวณ ∂∂
C
h และ ∂
∂
C
p พรอมอธิบายความหมาย
ของปริมาณทั้งสอง
วิธีทํา : ∂∂
C
h = 21 เปนอัตราการเปลี่ยนแปลงราคาสินคา นั่นคือราคาสินคาจะเพิ่มขึ้น 21 บาทตอหนวย ถา
คาจางการผลิตเพิ่มขึ้น 1 บาทตอช่ัวโมงโดยราคาวัตถุดิบไมเปลี่ยนแปลง
∂
∂
C
p = 32 เปนอัตราการเปลี่ยนแปลงราคาสินคา นั่นคือราคาสินคาจะเพิ่มขึ้น 32 บาทตอหนวย ถา
ราคาวัตถุดิบเพิ่มขึ้น 1 บาทตอหนวยน้ําหนักโดยไมเปลี่ยนแปลงคาจางการผลิต
ตัวอยาง 3.3 : ให f(x, y) =
xy
x y
x y
x y
2 2
0
0,0)
0,0)
+
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
≠
=
,
,
( , ) (
( , ) (
จงแสดงวา fx(0, 0) และ fy(0, 0) หาคาได แต f ไมตอเนื่องที่จุด (0, 0) วิธีทํา : เราจะแสดงวา lim
( , ( , ))x y→ 0 0f(x, y) หาคาไมได และดังนั้น f ไมตอเนื่องที่จุด (0, 0)
และในการแสดงวาลิมิตหาคาไมไดเราจะพิจารณาบน 2 เสนทาง ให (x, y)→(0, 0) ตามเสนตรง y = x ซ่ึงจะได
lim( , ( , ))x y→ 0 0
xy
x y2 2+ = lim
( , ( , ))x y→ 0 0
x
x x
2
2 2+ = lim
( , ( , ))x y→ 0 0
1
2 = 1
2
127
แต(x, y)→(0, 0) ตามเสนตรง y = - x เราจะได
lim( , ( , ))x y→ 0 0
xy
x y2 2+ = lim
( , ( , ))x y→ 0 0
−
+
x
x x
2
2 2 = lim( , ( , ))x y→ 0 0
( −1
2) = −1
2
เพราะฉะนั้น lim( , ( , ))x y→ 0 0
xy
x y2 2+ หาคาไมได แต
fx(0, 0) = limΔx→0
f x f
x
( , (0 0) 0, 0)+ −Δ
Δ
= limΔx→0
( ).0 002 2
+
+
Δ
ΔΔ
xx
x = lim
Δx→0
0
Δx = lim
Δx→00 = 0
ในทํานองเดียวกัน fy(0, 0) = 0 ถา f เปนฟงกชันตัวแปรเดียวและหาอนุพันธไดที่จุดใด แลว f จะตอเนื่องที่จุดนั้นดวย แตขอใหสังเกตจากตัวอยาง 4.3.3 ขางตนวาขอความเชนนี้ไมเปนจริงในกรณีของอนุพันธยอย
บทนิยาม 3.2 : (อนุพันธยอยใน R3) ให w = f(x, y, z)
1. อนุพันธยอยของ w = f(x, y, z) เทียบกับ x คือฟงกชัน
∂
∂
w
x = ∂
∂
f
x = fx = lim
Δx→0
f x x y z f x y z
x
( , , ) ( , , )+ −Δ
Δ (4.3.3)
เปนฟงกชันที่นิยามสําหรับทุกจุด (x, y, z) ในโดเมนของ f ซ่ึงคาลิมิตของ (4.3.3) หาคาได 2. อนุพันธยอยของ w = f(x, y, z) เทียบกับ y คือฟงกชัน
yw∂
∂ =
y
f
∂
∂ = fy =
0ylim→Δ y
)z,y,x(f)z,yy,x(fΔ
−Δ+ (4.3.4)
เปนฟงกชันที่นิยามสําหรับทุกจุด (x, y, z) ในโดเมนของ f ซ่ึงคาลิมิตของ (4.3.4) หาคาได 3. อนุพันธยอยของ w = f(x, y, z) เทียบกับ z คือฟงกชัน
zw∂
∂ =
zf∂
∂ = fz =
limΔz→0
f x y z z f x y z
z
( , , ) ( , , )+ −Δ
Δ (4.3.5)
เปนฟงกชันที่นิยามสําหรับทุกจุด (x, y, z) ในโดเมนของ f ซ่ึงคาลิมิตของ (4.3.5) หาคาได
หมายเหตุ : เราสามารถหาอนุพันธยอยของ w = f(x, y, z) ที่จุด (x0, y0, z0) เชนเดียวกับบทนิยาม 4.3.1(1) ไดตามลําดับตอไปนี้
128
∂
∂
f
x x y z( , )0 0 0
= limΔx→0
f x x y z f x y z
x
( , , ) ( , , )0 0 0 0 0 0+ −Δ
Δ ,
∂
∂
f
yx y z( , )
0 0 0
= limΔy→0
f x y y z f x y z
y
( , , ) ( , , )0 0 0 0 0 0
+ −Δ
Δ
และ ∂∂
f
yx y z( , )
0 0 0
= limΔz→0
f x y z z f x y z
z
( , , ) ( , , )0 0 0 0 0 0
+ −Δ
Δ
ตัวอยาง 3.4 : ให w = f(x, y, z) = xz + e y z2
+ xy z2 3 จงหา ∂∂
w
x, ∂∂
w
y และ ∂
∂
w
z
วิธีทํา : ในการหา ∂∂
w
x เราจะให y และ z คงที่ แลวหาอนุพันธเทียบกับ x จะได
∂
∂
w
x = ∂
∂x(xz) + ∂
∂xe y z2
+ 1
2 2 3xy z
∂
∂x( )xy z2 3
= z + 0 + y z
xy z
2 3
2 32 = z + y z
xy z
2 3
2 32
ในการหา ∂∂
w
y เราจะให x และ z คงที่ แลวหาอนุพันธเทียบกับ y จะได
∂
∂
w
y = ∂
∂y(xz) + e y z2 ∂
∂y( )y z2 + 1
2 2 3xy z
∂
∂y( )xy z2 3
= 0 + 2yze y z2
+ 2
2
3
2 3
xyz
xy z = 2yze y z2
+ xyz
xy z
3
2 3
ในการหา ∂∂
w
z เราจะให x และ y คงที่ แลวหาอนุพันธเทียบกับ z จะได
∂
∂
w
z = ∂
∂z(xz) + e y z2 ∂
∂z( )y z2 + 1
2 2 3xy z
∂
∂z( )xy z2 3
= x + y2e y z2
+ 3xy
2
2 2
2 3
z
xy z
บทนิยาม 3.3 : (อนุพันธยอยใน Rn) ให f : Rn → R อนุพันธยอยของ f เทียบกับ xi สําหรับแตละ
i = 1, 2, . . . , n คือฟงกชัน
∂
∂
f
xi
= lim( , , ... , , , , ... , ) ( , , . . . , )
Δ
Δ
Δx
i i i i n n
ii
f x x x x x x x f x x x
x→
− ++ −
0
1 2 1 1 1 2
(4.3.6)
129
และอาจใชสัญลักษณ fi แทน ∂∂
f
xi
โดยที่ i = 1, 2, . . . , n โดเมนของฟงกชัน ∂∂
f
xi
หรือ fi คือเซตของจุด
x = ( , , . . . , )x x xn1 2
ในโดเมนของ f ซ่ึงลิมิตของ (4.3.6) หาคาได
ตัวอยาง 3.5 : ให f ( x ) = x x x x x x12
22
1 2 3 4 13x− + − ( / ) จงคํานวณ ∂
∂
f
xi
; i = 1, 2, 3, 4
วิธีทํา : 1. ∂∂
f
x1
= f1 = 2 3x1 2 3 4 1
2x x x x+ + ( / ) 2. ∂
∂
f
x2
= f2 = − + 2 3x2 1 3
x x
3. ∂∂
f
x3
= f3 = 3x1 2x 4. ∂
∂
f
x4
= f4 = − 11
/ x
เนื่องจากอนุพันธยอยของฟงกชันหลายตัวแปรยังคงเปนฟงกชันหลายตัวแปร ดังนั้นเชนเดียวกับฟงกชันตัวแปรเดียวซ่ึงจะมีอนุพันธยอยอันดับสูง
′y = ′f x( ) , ′′y = ′′f x( ) = d f
dx
2
2 = d
dx
df
dx( ) , . . .
เราก็จะมีอนุพันธยอยอันดับสูงของฟงกชันหลายตัวแปร ดังจะนิยามตอไปนี้
บทนิยาม 3.3 : (อนุพันธยอยอันดับสองใน R2) ให z = f(x, y)
1. อนุพันธยอยของ z เทียบกับ x สองครั้ง จะใชสัญลักษณและนิยามดังนี้
∂
∂
2
2
z
x = ∂
∂
2
2
f
x = fxx = ∂
∂x( ∂∂
f
x)
2. อนุพันธยอยของ z เทียบกับ x คร้ังแรก และแลวเทียบกับ y คร้ังที่สอง จะใชสัญลักษณและนิยามดังนี้
∂
∂ ∂
2 z
y x = ∂
∂ ∂
2 f
y x = fxy = ∂
∂y( ∂∂
f
x)
3. อนุพันธยอยของ z เทียบกับ y คร้ังแรก และแลวเทียบกับ x คร้ังที่สอง จะใชสัญลักษณและนิยามดังนี้
∂
∂ ∂
2 z
x y = ∂
∂ ∂
2 f
x y = fyx = ∂
∂x( ∂∂
f
y)
4. อนุพันธยอยของ z เทียบกับ y สองครั้ง จะใชสัญลักษณและนิยามดังนี้
∂
∂
2
2
z
y = ∂
∂
2
2
f
y = fyy = ∂
∂y( ∂∂
f
y)
130
และจะเรียกอนุพันธยอย fxy และ fyx เหลานี้วาอนุพันธยอยผสมอันดับสอง(Mixed Second Derivatives) ตัวอยาง 3.6 : ถา z = f(x, y) = x3y2 - xy5 แลว fx = 3x2y2 - y5 และ fy = 2x3y - 5xy4 ซ่ึงทําใหได
fxx = ∂∂x
(fx) = 6xy2 , fxy = ∂∂y
(fx) = 6x2y - 5y4
fyx = ∂
∂x(fy) = 6x2y - 5y4 , fyy = ∂
∂y(fy) = 2x3 - 20xy3
ทฤษฎีบท 3.1 : (การเทากันของอนุพันธยอยผสมใน R2) ให f , fx , fy , fxy และ fyx ตางเปนฟงกชันตอเนื่องที่จุด (x0, y0) แลว fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0) จากบทนิยามของอนุพันธยอยอันดับสองและทฤษฎีบทที่กลาวถึงการเทากันของอนุพันธยอยผสม ทําใหเราสามารถขยายไปสูการใหนิยามมโนคติเหลานี้สําหรับฟงกชัน 3 ตัวแปร ถา w = f(x, y, z) แลวเราจะมีอนุพันธยอยอันดับสองถึง 9 ฟงกชัน (ถาทุกฟงกชันหาคาได) ดังตอไปนี้
∂
∂
2
2
f
x = fxx ,
∂
∂ ∂
2 f
y x = fxy ,
∂
∂ ∂
2 f
z x = fxz
∂
∂ ∂
2 f
x y = fyx ,
∂
∂
2
2
f
y = fyy ,
∂
∂ ∂
2 f
z y = fyz
∂
∂ ∂
2 f
x z = fzx ,
∂
∂ ∂
2 f
y z = fzy ,
∂
∂
2
2
f
z = fzz
ทฤษฎีบท 3.2 : (การเทากันของอนุพันธยอยผสมใน R3) ให f , fx , fy , fz และอนุพันธยอยผสมทั้ง 6 ฟงกชันตางเปนฟงกชันตอเนื่องที่จุด (x0, y0, z0) แลว ที่จุดดังกลาวจะไดวา fxy = fyx , fxz = fzx และ fyz = fzy
131
ตัวอยาง 3.7 : ให f(x, y, z) = xy3 - zx5 + x2yz แลวเราจะมีอนุพันธอันดับหนึ่ง 3 ฟงกชันคือ fx = y3 - 5zx4 + 2xyz , fy = 3xy2 + x2z และ fz = -x5 + x2y แลวอนุพันธยอยอันดับสอง 9 ฟงกชันจะมีดังตอไปนี้ fxx = -20zx3 + 2yz , fyy = 6xy , fzz = 0 ,
fxy = ∂∂y
(y3 - 5zx4 + 2xyz) = 3y2 + 2xz = fyx = ∂∂x
(3xy2 + x2z)
fxz = ∂∂z
(y3 - 5zx4 + 2xyz) = -5x4 + 2xy = fzx = ∂∂x
(-x5 + x2y)
fyz = ∂∂z
(3xy2 + x2z) = x2 = fzy = ∂∂y
(-x5 + x2y)
และจะเห็นวาอนุพันธยอยอันดับสูงอื่นๆ สามารถนิยามไดในทํานองเดียวกัน เชน
fzyx = ∂
∂ ∂ ∂
3f
x y z = ∂
∂x( ∂∂ ∂
2 f
y z) = ∂
∂x(fzy)
เชนจากตัวอยางฟงกชันขางตนเราจะได อนุพันธยอยอันดับสามบางฟงกชันดังนี้
fxxx = ∂∂x
(fxx) = -60zx2 , fxzy = ∂∂y
(fxz) = 2x , fyxz = ∂∂z
(fyx) = 2x
(สังเกตวา fxzy = fyxz ) และอนุพันธยอยอันดับสี่บางฟงกชัน คือ
fyxzx = ∂∂x
(fyxz) = ∂∂x
(2x) = 2
จากบทนิยามของอนุพันธยอยอันดับสูงใน R2 และ R3 ทําใหไดแนวความคิดของการหาอนุพันธ
ยอยอันดับสูง รวมทั้งการเทากันของอนุพันธยอยผสมใน Rn ดังจะกลาวไวในทฤษฎีบทตอไปนี้
ทฤษฎีบท 3.3 : (การเทากันของอนุพันธยอยผสมใน R3) ให f : Rn → R และ f , fi , fj และทุกๆ fij ; 1≤ i , j ≤ n ตางเปนฟงกชันตอเนื่องในเซตเปด Ω
แลวฟงกชัน fji จะถูกนิยามและตอเนื่องใน Ω ยิ่งไปกวานั้นสําหรับทุก x ใน Ω เราจะได fij = fji
132
ให f : Rn → R เปนฟงกชันของ n ตัวแปร แลวอนุพันธยอย f1, f2, . . . , fn เรียกวาอนุพันธยอย
อันดับหนึ่งของ f สวน fij โดยที่ 1≤ i , j ≤ n เรียกวาอนุพันธยอยอันดับสองของ f โดยลักษณะการเดียวกันเราจะไดอนุพันธยอยอันดับสามของ f นิยามในรูปดังนี้
fijk = ∂
∂ ∂ ∂
3f
x x xk j i
เมื่อ 1≤ i , j, k ≤ n
และสุดทายเราก็สามารถนิยามอนุพันธยอยอันดับที่ m ของ f ไดดังนี้
fi i i
m1 2, ,...,
= ∂
∂ ∂ ∂
m
i i i
f
x x xm m−1 1
. . .
เมื่อ 1≤ i i im1 2
, , . . . , ≤ n และ i i im1 2
+ + +. . . = m
ตัวอยาง 3.8 : ใน R4 จงหา f13 , f31 และ f312 เมื่อ f ( x ) = x x x x x x12
22
1 2 3 4 13x− + − ( / )
จากตัวอยาง 3.5 เราจะได f3 = 3x1x2 ดังนั้น
f31 = ∂
∂ ∂
2
1 3
f
x x = ∂
∂
∂
∂x
f
x1 3
( ) = ∂
∂xx
11 2
3x( ) = 3x2
ในทํานองเดียวกัน
f13 = ∂
∂ ∂
2
1 3
f
x x = ∂
∂
f
x1 3
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ = [ ( / )]2 3x
12
2 3 4 12
3x x x x+ − = 3x2
และสุดทาย
f312 = (f31)2 = ∂
∂x2
23x( ) = 3
ขอใหสังเกตวา ∂
∂ ∂
2
1 3
f
x x = ∂
∂ ∂
2
3 1
f
x x
และเพื่อใหนิยามอนุพันธของฟงกชันในรูป Rn เราจะนิยามเกรเดียนทขึ้นใช ดังนี้
บทนิยาม 3.4 : ให f เปนฟงกชันคาจริงของหลายตัวแปรซึ่งอนุพันธยอยอันดับหนึ่งทั้งหมด fi ; 1 ≤ i ≤ n หา
คาไดที่จุด x ใชสัญลักษณ ∇f( x ) แทนเกรเดียนท(Gradient) ของ f ที่ x และนิยามโดย
∇f( x ) = (fx
1
( x ), fx
2
( x ), . . . , fx
n
( x ))
133
สําหรับเกรเดียนทใน R2 และ ใน R3 คือเวกเตอรตอไปนี้ เกรเดียนทใน R2 : ∇f( x ) = fx(x, y)i + fy(x, y)j เกรเดียนทใน R3 : ∇f(x) = fx(x, y, z)i + fy(x, y,z)j + fz(x, y, z)k ตัวอยางเชนใน R2 ถา f(x, y) = x2 + y2 แลว
fx = 2x และ fy = 2y ซ่ึงทําใหได ∇f( x ) = ∇f(x, y) = 2xi + 2yj และเราจะเห็นทิศทางของ ∇f ที่จุด (1, 2), จุด (3, 0) และ จุด (2, -1) ตามลําดับ ดังแสดงในรูป สังเกตวาดวยสัญลักษณของเกรเดียนท เราจะได ∇f( x ).Δ x = (fxi + fyj).(Δxi + Δyj) = fx(x, y)Δx + fy(x, y)Δy และ f(x+Δx , y+Δy) = f( x +Δ x ) ตัวอยาง 3.9 : จงหา ∇f และคํานวณ ∇f( x ) ณ x ที่กําหนด 1. z = f(x, y) = sin xy2 + e x y2 3
; x = (1, 1) วิธีทํา : ∂
∂
f
x = y2cos(xy2) + 2xy3e x y2 3
และ ∂∂
f
y = 2xycos(xy2) + 3x2y2e x y2 3
และ ∇f(x, y) = (y2cos(xy2) + 2xy3e x y2 3 )i + ( 2xycos(xy2) + 3x2y2e x y2 3 )j ดังนั้นที่ (1, 1) เราจึงได ∇f(1, 1) = (cos 1 + 2e)i + (2cos 1 + 3e)j 2. w = f(x, y, z) = xy2z3 ; x = (3, -1, 2) วิธีทํา : ∂
∂
f
x = y2z3 , ∂
∂
f
y = 2xyz3 และ ∂
∂
f
z = 3xy2z2
เนื่องจาก f , ∂∂
f
x , ∂
∂
f
y และ ∂
∂
f
z ตางเปนฟงกชันตอเนื่อง f จึงมีอนุพันธที่ x และ
∇f(x, y, z) = (y2z3)i + (2xyz3)j + (3xy2z2)k
ดังนั้นที่ (3, -1, 2) เราจึงได ∇f(3, -1, 2) = 8i - 48j + 36k
134
3. ใน R4 ถา f(x) = x x x x x x12
22
1 2 3 4 13x− + − ( / ) แลวจากตัวอยาง 3.5 จะได
∇f( x ) = (f1( x ), f2( x ), f3( x ), f4( x )) = (2 3x1 2 3
4
12x x
x
x+ + , − + 2 3x
2 1 3x x , 3x
1 2x , 1
1x )
ทฤษฎีบท 3.4 : ให f : Rn → R เปนฟงกชันซึ่งมีอนุพันธที่ x 0 แลว f ตอเนื่องที่ x 0
ทฤษฎีบท 3.5 : ให f และ g เปนฟงกชันซึ่งมีอนุพันธในเซตเปด Ω และ α เปนสเกลาร แลวฟงกชัน αf และ f + g ตางเปนฟงกชันซึ่งมีอนุพันธใน Ω ยิ่งไปกวานั้น
∇(αf ) = α∇f และ ∇(f + g ) = ∇f + ∇g 4. กฎลูกโซ ในหัวขอนี้เราจะแสดงการหากฎลูกโซสําหรับฟงกชันประกอบของฟงกชันหลายตัวแปร โดยจะเร่ิมจากการทบทวนกฎลูกโซสําหรับฟงกชันประกอบ 2 ฟงกชันในตัวแปรเดียว ให y = f(u) และ u = g(x) โดยที่ f และ g ตางเปนฟงกชันมีอนุพันธ แลว
dy
dx = dy
du
du
dx = ′ ′f g x g x( ( )) ( )
ถา z = f(x, y) เปนฟงกชันของ 2 ตัวแปร แลวเราจะมีกฎลูกโซอยู 2 ลักษณะดังจะกลาวไวใน 2 ทฤษฎีบทตอไปนี้ ทฤษฎีบท 4.1 : ให z = f(x, y) เปนฟงกชันที่มีอนุพันธ และสมมติวา x = x(t) และ y = y(t) เปนฟงกชันตัวแปรเดียว ที่ซึ่ง dx/dt และ dy/dt หาคาไดและมีอนุพันธ แลว z สามารถเขียนในรูปของฟงกชันของพารามิเตอร t และ
dz
dt = ∂
∂
z
x
dx
dt + ∂
∂
z
y
dy
dt = fx
dx
dt + fy
dy
dt
ทฤษฎีบท 4.2 : ให z = f(x, y) เปนฟงกชันที่มีอนุพันธ และสมมติวา x และ y เปนฟงกชัน 2 ตัวแปร r และ s
นั่นคือ x = x(r, s) และ y = y(r, s) ถา ∂∂
x
r , ∂∂
x
s , ∂
∂
y
r และ ∂
∂
y
s ตางนิยามและตอเนื่อง แลว z เขียนไดใน
รูปฟงกชันของ r และ s ดังนี้
∂
∂
z
r = ∂
∂
z
x
∂
∂
x
r + ∂
∂
z
y
∂
∂
y
r
และ ∂∂
z
s = ∂
∂
z
x
∂
∂
x
s + ∂
∂
z
y
∂
∂
y
s
135
ตัวอยาง 4.1 : ให z = f(x, y) = xy2 โดยที่ x = cos t และ y = sin t จงหา dz
dt
วิธีทํา : dz
dt = ∂
∂
z
x
dx
dt + ∂
∂
z
y
dy
dt = y2(-sin t) + 2xy(cos t)
= (sin2t)(-sin t) + 2(cos t)(sin t)(cos t) = 2 sin t cos2 t - sin3t
ตัวอยาง 4.2 : ให z = f(x, y) = sin(xy2) โดยที่ x = r/s และ y = e r s− จงหา ∂∂
z
r และ ∂
∂
z
s
วิธีทํา : ∂∂
z
r = ∂
∂
z
x
∂
∂
x
r + ∂
∂
z
y
∂
∂
y
r = (y2 cos(xy2))( s
1 ) + (2xy cos(xy2))e r s−
= e r s e
s
r s r s2 2
2
( ) ( )cos[( / ) ]− −
− 2rs {cos[( / ) ]}( ) ( )r s e er s r s2 2− −
และ
∂
∂
z
s = ∂
∂
z
x
∂
∂
x
s + ∂
∂
z
y
∂
∂
y
s = (y2 cos(xy2))( −r
s2 ) + (2xy cos(xy2))( )− −e r s
= −− −re r s e
s
r s r s2 2
2
( ) ( )cos[( / ) ] − 2rs {cos[( / ) ]}( ) ( )r s e er s r s2 2− −
สําหรับฟงกชัน 3 ตัวแปร w = f(x, y, z) สามารถเขียนกฎลูกโซตามทฤษฎีบท 1 และทฤษฎีบท 2 ไดตามลําดับดังนี้ ถา x = x(t) , y = y(t) และ z = z(t) โดยที่ dx/dt , dy/dt และ dz/dt หาคาไดและตอเนื่องแลว w ก็จะเปนฟงกชันในตัวแปร t ซ่ึงหาอนุพันธเทียบกับ t ไดดวยกฎลูกโซ
dw
dt = ∂
∂
w
x
dx
dt + ∂
∂
w
y
dy
dt + ∂
∂
w
z
dz
dt
และถา x = x(r, s, t) , y = y(r, s, t) และ z = z(r, s, t) โดยที่อนุพันธยอยทั้งหมดตางนิยามและตอเนื่อง แลว w จะเปนฟงกชันของ r , s และ t และ ∂
∂
w
r = ∂
∂
w
x
∂
∂
x
r + ∂
∂
w
y
∂
∂
y
r + ∂
∂
w
z
∂
∂
z
r ,
∂
∂
w
s = ∂
∂
w
x
∂
∂
x
s + ∂
∂
w
y
∂
∂
y
s + ∂
∂
w
z
∂
∂
z
s
136
และ ∂∂
w
t = ∂
∂
w
x
∂
∂
x
t + ∂
∂
w
y
∂
∂
y
t + ∂
∂
w
z
∂
∂
z
t
และสําหรับกรณีทั่วไปของกฎลูกโซใน Rn เราจะกลาวไวในทฤษฎีบทตอไปนี้
ทฤษฎีบท 4.3 : ให x (t) : R → Rn เปนฟงกชันคาเวกเตอรซ่ึงมีอนุพันธที่ t0 และ f( x ) : Rn→ R เปนฟงกชันหลายตัวแปรซึ่งมีอนุพันธที่ x 0 = x (t0) แลวฟงกชันผลประกอบ
f( x (t)) จะมีอนุพันธที่ t0 และ
d
dtf( x (t0)) = ∇f( x 0) . ′x t( )
0
ตัวอยาง 4.3: ให f( x ) = x x x x12
2 3 42+ − โดยที่ x1 = t2 , x2 = sin t , x3 = t3 และ x4 = ln t จงหา d
dtf( x (t))
วิธีทํา : d
dtf( x (t)) = ∇f( x ). ′x t( ) = (2x1, x3 , x2 , -2x4) . (2t, cos t, 3t2, 1
t )
= (2t2, t3 , sin t , - 2ln t) . (2t, cos t, 3t2, 1t )
= 4t3 + t3cos t + 3t2 sin t − 2 ln tt
แบบฝกหัด 1. จงเขียนเซตที่เปนโดเมนและพิสัยของฟงกชันตอไปนี้
1.1 f(x, y) = 22 yx + 1.2 f(x, y) = yx1 ++
1.3 f(x, y) = yxyx
+
− 1.4 f(x, y) = 22 y4x1 ++
1.5 f(x, y, z) = 222 zyx −−− 1.6 f(x, y, z) = 222 zyx
1
+−
1.7 f(x, y, z) = xyz1
1.8 f(x, y, z) = zsinycosxsin ++
1.9 )x,x,x,x(f 4321 = 4321 xxx2x1 −+++ 1.10 )x,....,x,x(f n21 = ∑=
n
1i
2ix
2. จงวาดเสนโคงระดับของพื้นผิวในขอตอไปนี้
2.1 22 y4xz += 2.2 y2xz +=
137
2.3 =z yx1 ++ 2.4 =zyx
2.5 =z 22 y4x1 −− 2.6 =z yx1 2−+
3. จงใชนิยามในการแสดงวาลิมิตในขอตอไปนี้เปนจริง 3.1 10)y7x(lim
)1,3()y,x(=−
−→ 3.2
)2,5()y,x(lim
−→b2a5)byax( −=+
3.3 0yxyx2
lim 22
2
)0,0()y,x(=
+→ 3.4
)1,4()y,x(lim→
19)y3x( 22=+
3.5 9)x3x4xx3x2(lim 54321)3,1,4,2,1(x
=+−+−−−→
3.6 0zyxxzy
lim 222
32
)0,0,0()z,y,x(=
++
+
→
3.7 2)xxxx(lim 24
23
22
21
)2,0,1,1(x−=−++
−→
4. จงแสดงวาลิมิตในขอตอไปนี้หาคาไมได
4.1 44
3
)0,0()y,x( yxxy
lim+→
4.2 x2yy2x
lim 2
2
)0,0()y,x( +
−
→
4.3 222)0,0,0()z,y,x( zyx
yz3xz2xylim
++
++
→ 4.4 333
)0,0,0()z,y,x( zyxxyz
lim++→
4.5 0x
lim→
45
44
43
42
41
325
332
341
xxxxx
xxxxxx
++++
++ 4.6
0xlim→
44
43
42
41
4321
xxxxxxxx+++
5. จงหาฟงกชัน g(x) ที่ทําให f(x, y) ที่นิยามดังตอไปนี้ ตอเนื่องทุกจุดใน R2
yx,
yx,
yx
2y2x
)x(g
)y,x(f≠
=
−
−
=
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
138
6. จงหาจํานวนจริง c ที่ทําให )y,x(f ที่นิยามดังตอไปนี้ตอเนื่อง
0)y,x(,
0)y,x(,
2y2x
xy3
,c
)y,x(f≠
=
+=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
7. จงหาอนุพันธยอยในแตละขอตอไปนี้
7.1 )z,y,x(f = ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−
zxy
tan 1 , )2,2,1(fx −
7.2 )z,y,x(f = zyxzyx
++
−+ , )1,1,1(fz
7.3 tcosrw +−= θ , 22 yxr += , ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−θ =xy
tan 1 , t = z , xw , yw , zw
7.4 222 zyxw ++= , θφρ= cossinx , θφρ= sinsiny , φρ= cosz
,wρ∂∂
,wφ∂
∂θ∂
∂w
7.5 )z,y,x(gw = , θ= cosrx , θ= sinry , tz = , ,wr∂
∂θ∂
∂w,z
w∂∂
7.6 ให )s,r(Yy),s,r(Xx),y,x(Fz === จงหา 2
2
rz
∂
∂
7.7 ให )e1(27
e)y,x(fz 2/yy)4/5(x−+
+== จงหาคาของ f2f4f3 yx +−
8. จงเขียนสมการเสนตรงซึ่งสัมผัสพื้นผิว 9z4y4x 222=++ ที่จุด (1, 1, 1) และอยูบนระนาบ
z = 1 9. จงหาเกรเดียนท และเกรเดียนท ณ จุดที่กําหนดของฟงกชันตอไปนี้
9.1 )y,x(f = )1yx2ln( +− 9.2 )y,x(f = xye , (1,1)
9.3 )y,x(f = )y3xsec( + , (0,1) 9.4 )y,x(f = ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−
x
ytan 1 , (3, 3)
9.5 )z,y,x(f = ztanycosxsin ; (π/6, π/4, π/3)
9.6 )z,y,x(f = z3y2xe)zy( ++− ; (-4, -1, 3)
9.7 )z,y,x(f = 22 xy1
zx
+−
−; (0, 0, 1)