ทฤษฎีบท 1: (สมบตักิารตัดออกของการบวก)

ส ำหรับจ ำนวนจริง a, b และ c ใดๆ

(1)ถ้ำ a + b = a + c แล้ว b = c

พิสจูน์ (1) a + b = a + c (ก ำหนดให้)

(-a)+a + b = (-a)+a + c (สมบตักิำรบวกด้วยจ ำนวนเดียวกนั)

[(-a)+a] + b = [(-a)+a]+ c (สมบตักิำรเปลี่ยนกลุม่ของกำรบวก)

0 + b = 0+ c (สมบตักิำรมีอินเวอร์ส กำรบวก)

b = c (สมบตักิำรมีเอกลกัษณ์กำรบวก)

ทฤษฎีบท 2: ส ำหรับจ ำนวนจริง x และ a ใดๆ

(1) ถ้ำ x + a = a แล้ว x = 0

พสูิจน์ (1) x + a = a (ก ำหนดให้)

x+a+(-a) = a+(-a) (สมบตัิกำรบวกด้วยจ ำนวนเดียวกนั)

x+[(-a)+a] = a+(-a) (สมบตัิกำรเปลี่ยนกลุม่ของกำรบวก)

x+0 = 0 (สมบตัิกำรมีอินเวอร์สกำรบวก)

x = 0 (สมบตัิกำรมีเอกลกัษณ์กำรบวก)

ทฤษฎีบท 4: ส ำหรับจ ำนวนจริง a แตล่ะตวั (a) = a

พสูิจน์ -(-a)+(-a) = 0 (สมบตัิกำรมีอินเวอร์สกำรบวก)

-(-a)+(-a)+a = 0+a (สมบตัิกำรบวกด้วยจ ำนวนเดียวกนั)

-(-a)+[(-a)+a] = 0+a (สมบตัิกำรเปลี่ยนกลุม่ของกำรบวก)

-(-a)+0 = 0+a (สมบตัิกำรมีอินเวอร์สกำรบวก)

-(-a) = a (สมบตัิกำรมีเอกลกัษณ์กำรบวก)

ทฤษฎีบท 5: ส าหรับจ านวนจริง a ทุกตัว a0 = 0 และ 0a = 0

พิสจูน์ 0+0 = 0 (สมบตัิกำรมีเอกลกัษณ์กำรบวก)

a(0+0) = a0 (สมบตัิกำรคณูด้วยจ ำนวนเดียวกนั)

(a0+a0) = a0 (สมบตัิกำรแจกแจงทำงซ้ำย)

a0+a0 = a0+0 (สมบตัิกำรมีเอกลกัษณ์กำรบวก)

a0 = 0 (สมบตัิกำรตดัออกกำรบวก)

ทฤษฎีบท 6: (สมบตักิารตัดออกของการคูณ)

ส ำหรับจ ำนวนจริง a, b และ c ทกุตวัท่ี a ≠ 0

(1) ถ้ำ ab = ac แล้ว b = c

พสูิจน์ ab = ac (ก ำหนดให้)

a-1ab = a-1ac (สมบตัิกำรคณูด้วยจ ำนวนเดียวกนั)

(a-1a)b = (a-1a)c (สมบตัิกำรเปลี่ยนกลุม่กำรคณู)

1.b = 1.c (สมบตัิกำรมีอินเวอร์สกำรคณู)

b = c (สมบตัิกำรมีเอกลกัษณ์กำรคณู)

ทฤษฎีบท 7: ส ำหรับจ ำนวนจริง x และ a ใดๆ ซึง่ a ≠ 0

(1) ถ้ำ xa = a แล้ว x = 1

พสูิจน์ xa = a (ก ำหนดให้)

a-1 xa = a-1a (สมบตัิกำรคณูด้วยจ ำนวนเดียวกนั)

(a-1a)x = (a-1a) (สมบตัิกำรเปลี่ยนกลุม่กำรคณู)

1.x = 1 (สมบตัิกำรมีอินเวอร์สกำรคณู)

x = 1 (สมบตัิกำรมีเอกลกัษณ์กำรคณู)

ทฤษฎีบท 8: ส ำหรับจ ำนวนจริง x และ a ใดๆ ซึง่ a ≠ 0

xa = 1 แล้ว x = a1

(1) xa = 1 แล้ว x = a1

พสูิจน์ xa = 1 (ก ำหนดให้)

a-1 xa = a-11 (สมบตัิกำรคณูด้วยจ ำนวนเดียวกนั)

(a-1a)x = (a-11) (สมบตัิกำรเปลี่ยนกลุม่กำรคณู)

1.x = (a-11) (สมบตัิกำรมีอินเวอร์สกำรคณู)

x = a-1 (สมบตัิกำรมีเอกลกัษณ์กำรคณู)

ทฤษฎีบท 9: ส ำหรับจ ำนวนจริง a ทกุตวัซึง่ไมเ่ทำ่กบั 0 จะได้วำ่

(a1 ) 1 = a

พสูิจน์ (a-1(a-1) -1) = 1 (สมบตัิกำรมีอินเวอร์สกำรคณู)

a(a-1(a-1) -1) =a. 1 (สมบตัิกำรคณูด้วยจ ำนวนเดียวกนั)

(aa-1) (a-1) -1 = a. 1 (สมบตัิกำรเปลี่ยนกลุม่กำรคณู)

1.(a-1) -1 = a. 1 (สมบตัิกำรมีอินเวอร์สกำรคณู)

(a1 ) 1 = a (สมบตัิกำรมีเอกลกัษณ์กำรคณู)

ทฤษฎีบท 11: ส ำหรับจ ำนวนจริง a และ b ทกุตวั จะได้ว่ำ

(1) a(b) = (ab)

พสูิจน์ (b+(-b)) = 0 (สมบตัิกำรมีอินเวอร์สกำรบวก)

a (b+(-b)) =a. 0 (สมบตัิกำรคณูด้วยจ ำนวนเดียวกนั)

ab+a(-b) = a. 0 (สมบตัิกำรแจกแจงทำงซ้ำย)

ab+a(-b) = 0 (สมบตัิกำรมีเอกลกัษณ์กำรคณู)

-(ab)+ab+a(-b) = -(ab)+ 0 (สมบตัิกำรบวกด้วยจ ำนวนเดียวกนั)

[-(ab)+ab]+a(-b)= -(ab)+ 0 (สมบตัิกำรเปลี่ยนกลุม่กำรบวก)

0+a(-b) = -(ab)+ 0 (สมบตัิกำรมีอินเวอร์สกำรบวก)

a(b) = (ab) (สมบตัิกำรมีเอกลกัษณ์กำรบวก)

ทฤษฎีบท 12: ส ำหรับจ ำนวนจริง a และ b ใดๆ

ถ้ำ ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0

พสูิจน์ กรณี (1) เม่ือ a = 0

(2) เม่ือ a ≠ 0

ab = 0 (ก ำหนดให้)

a-1 (ab) = a-1 . 0 (สมบตัิกำรคณูด้วยจ ำนวนเดียวกนั)

(a-1 a)b = a-1 . 0 (สมบตัิกำรเปลี่ยนกลุม่กำรคณู)

1b = 0 (สมบตัิกำรมีอินเวอร์สกำรคณู)

b = 0 (สมบตัิกำรมีเอกลกัษณ์กำรคณู)

ทฤษฎีบท 13: ส ำหรับจ ำนวนจริง a, b, c และ d ใดๆ ซึง่ b ≠ 0,

d ≠ 0 จะได้ว่ำ ก็ต่อเม่ือ ad = bc

(1)ถ้า แล้ว ad = bc

พสูิจน์ (ก ำหนดให้)

ab-1 = cd-1 (สมบตัิกำรสมมำตร)

b(ab-1 ) = b(cd-1) (สมบตัิกำรคณูด้วยจ ำนวนท่ีเท่ำกนั)

a(bb-1 ) = (bc)d-1 (สมบตัิกำรเปลี่ยนกลุม่กำรคณู)

a1 = (bc)d-1 (สมบตัิกำรมีอินเวอร์สกำรคณู)

a = (bc)d-1 (สมบตัิกำรมีเอกลกัษณ์กำรคณู)

ad = (bc)d-1d (สมบตัิกำรคณูด้วยจ ำนวนท่ีเท่ำกนั)

d

c

b

a

d

c

b

a

d

c

b

a

ad = (bc)d-1d (สมบตัิกำรคณูด้วยจ ำนวนท่ีเท่ำกนั)

ad = (bc)1 (สมบตัิกำรมีอินเวอร์สกำรคณู)

ad = bc (สมบตัิกำรมีเอกลกัษณ์กำรคณู)

(2) ถ้า ad = bc แล้ว

พสูิจน์ ad = bc (ก ำหนดให้) d

c

b

a

ทฤษฏีบทที่ 1

(1) ถ้ำ a เป็นจ ำนวนจริงลบ และ b เป็นจ ำนวนจริงบวก แล้ว ab

เป็นจ ำนวนจริงลบ

พสูิจน์ เน่ืองจำก a เป็นจ ำนวนจริงลบ และ b เป็นจ ำนวน

จริงบวก

จะได้วำ่ นัน้คือ

โดยท่ี

แสดงวำ่ ab เป็นจ ำนวนจริงลบ

Ra Ra)b(

-(ab)a)b(

ทฤษฏีบทที่ 2 ถ้ำ a เป็นจ ำนวนจริงซึง่ไม่เท่ำกบัศนูย์แล้ว aa เป็นจ ำนวนจริงบวก

พสูิจน์ กรณีที่ 1 ถ้า a เป็นจ ำนวนจริงบวก

จะได้ว่ำ aa เป็นจ ำนวนจริงบวก

กรณีที่ 2 ถ้า a เป็นจ ำนวนจริงลบ

จะได้ว่ำ -a เป็นจ ำนวนจริงบวก และ

โดยท่ี แสดงว่ำ aa เป็นจ ำนวนจริงบวก Ra)(-a)(aaa)(-a)(

ทฤษฏีบทที่ 3 1 เป็นจ ำนวนจริงบวก

พสูิจน์ และ 1 ไม่เท่ากับ 0

จำก ทบ.2 จะได้ว่ำ 1 เป็นจ ำนวนจริงบวก

ทฤษฏีบทที่ 4 (1) ถ้ำ a เป็นจ ำนวนจริงบวกแล้ว a – 1 เป็นจ ำนวนจริงบวก

พสูิจน์ เน่ืองจำก a เป็นจ ำนวนจริงบวก แสดงวำ่มี จ ำนวนจริง a – 1 ซึง่

aa – 1 = 1 = a – 1 a ซึง่ a ≠ 0 และ a เป็นจ ำนวนจริงลบไม่ได้จำก

ทบ.1 ดงันัน้ a – 1 เป็นจ ำนวนจริงบวก

)1)(1(1

บทนิยาม 2 ส ำหรับจ ำนวนจริง a และ b ทกุตวั a < b

(หรือ b > a ) ก็ต่อเม่ือ b – a เป็นจ ำนวนจริงบวก

ทฤษฏีบทที่ 5 ส ำหรับจ ำนวนจริง a, b และ c ใดๆ ถ้ำ a < b และ b < c

จะได้ว่ำ a < c

พสูิจน์ เน่ืองจำก a < b และ b < c พบวำ่

และ และ

จะได้ นัน้คือ a < c Ra)(b

Rb)(c

Ra)]-(bb)-c[(

Ra)-(ca)]-(bb)-c[(

ท.บ 6 ส ำหรับจ ำนวนจริง a, b และ c ใดๆ ถ้ำ a < b จะได้ว่ำ

a + c < b + c

พสูิจน์ เน่ืองจำก a < b จะได้ว่ำ

และ และ

นัน้คือ a + c < b + c (จำกนิยำม 2)

Ra)(b

Ra)]-(cc)-b[(ab

Rc)(ac)(b a)-(cc)-b(

ทฤษฏีบทที่ 7 ส ำหรับจ ำนวนจริง a, b, c และ d ใดๆ

ถ้ำ a < b และ c < d

จะได้วำ่ a + c < b + d

ทฤษฏีบทที่ 8 ส ำหรับจ ำนวนจริง a และ b ใดๆ

(1) ถ้ำ a < b และ c เป็นจ ำนวนจริงบวก

จะได้วำ่ ca < cb